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Numerische Integration: graphische Übersicht
Martin Roth <[email protected]>, 1999-04-27
Mittelpunktregel
Approximation von f durch konstanten Wert in der Mitte des Intervalls: anstatt der Fläche zwischen x-Achse, a, b und der Funktion f wird die schraffierte Fläche als Näherung berechnet.
f
Approximation
von f
a
(a+b)/2
Approximation des
Integrals (Fläche)
Stellen, an denen
f ausgewertet wird
b
b
- ( b – a )
∫ f ( x ) dx ≈ f  -----------2 
a+b
a
zusammengesetzt aus n=3 Intervallen:
h
a
b
∫ f ( x ) dx ≈ M ( h )
a
x1
x2
x3
b
n
b–a
1
= h ∑ f ( x i ) , mit h = ------------ und x i = a +  i – --- h .

n
2
i=1
1 2
Fehler: I – M ( h ) = – ------ h ( b – a )f'' ( ξ ) , wobei f'' die zweite Ableitung von f an einer unbe24
kannten Stelle ξ im Innern des Intervalls [a..b]; I ist das exakte Integral.
Integration offen, Präzision linear (trotz konstantem Ansatz!), Fehlerordnung quadratisch.
Trapezregel
Auswertung von f an den Stellen a und b, Approximation von f durch lineare Funktion (Gerade)
durch diese Funktionswerte.
f
b
a
b
f(a ) + f( b)
-(b – a)
∫ f ( x ) dx ≈ -------------------------2
a
zusammengesetzt aus n=3 Intervallen:
h
a=x0
b
f ( x0 )
-+
∫ f ( x ) dx ≈ T ( h ) = h ----------2
a
x2
x1
n–1
f ( xn )
∑ f ( xi ) + -----------2
b=x3
b–a
mit h = ------------ und x i = a + ih .
n
i=1
1 2
Fehler: I – T ( h ) = ------ h ( b – a )f'' ( ξ )
12
Da die inneren Stützstellen jeweils zweimal vorkommen haben die Randstellen x0 =a und x n =b
nur das halbe Gewicht in der Summe. Manchmal (z.B. H. R. Schwarz, Numerische Mathematik)
wird für die eckige Klammer ein eigenes Summensymbol Σ'' eingeführt.
Integration geschlossen, Präzision linear, Fehlerordnung quadratisch.
Simpson-Regel
Auswertung von f an den Stellen a, b und ( a + b ) ⁄ 2 . Approximation von f durch quadratische
Funktion (Grad 2) durch diese Funktionswerte.
f
a
b
(a+b)/2
b
1
∫ f ( x ) dx ≈ --6-
a+b
f ( a ) + 4f  ------------- + f ( b ) ( b – a )
2
a
Zusammengesetzt aus n=3 Intervallen:
h
a=x0
x1
b
1
∫ f ( x ) dx ≈ S ( h ) = --6- h f ( x0 ) + 2
a
x2
n–1
x3
x4
x5
b=x6
n
∑ f ( x2i ) + f ( x2n ) + 4 ∑ f ( x2i – 1 )
i=1
i=1
h
b–a
mit h = ------------ und x i = a + i --- .
2
n
(4)
32 4
Fehler: I – S ( h ) = – ------ h ( b – a )f ( ξ )
90
Man beachte, dass Simpson gemäss obiger Notation bei gleichen h und n rund doppelt so viele
Auswertungen von f vornimmt wie die Trapez- oder Mittelpunktregel (s. Bemerkungen zur Notation, nächste Seite). Die Approximation ist stückweise quadratisch; an den Intervallgrenzen zwar
stetig, jedoch nicht differenzierbar.
Integration geschlossen, Präzision kubisch (Ordnung 3), Fehlerordnung quartisch (Ordnung 4).
Bemerkungen zur Notation
In verschiedenen Quellen werden oft n, h oder x i anders definiert als oben, was zu leicht unterschiedlichen Formeln führt. In den Vorlesungsnotizen z.B. ist für die Simpson-Regel gegenüber
oben n → 2n und h → h ⁄ 2 zu substituieren, währenddem die x i gleich numeriert sind. Im
Schwarz wiederum sind die Stützpunkte als x 0, x 1, x 1, x 1, x 2 …x n numeriert...
--2
1 --2
Einige Begriffe:
• Quadratur: numerische Integration
• einfache Regeln: einzelnes Intervall, welches nach einer bestimmten Regel integriert wird.
• zusammengesetzte Regeln: das zu bestimmende Integral wird in diverse Intervalle unterteilt, von
denen jedes einzeln nach der Regel integriert wird.
• geschossen: Integrationsgrenzen a und b sind in der Menge der Stützstellen enthalten.
• offen: die Funktion wird nur an Stützstellen zwischen den Integrationsgrenzen a und b ausgewertet, jedoch nicht an den Grenzen.
• Euler-McLaurin: keine Integrationsregel, sondern eine Gleichung (Entwicklung eines Ausdrucks in Taylorreihe). Auf den Fehler der Trapezregel angewandt, lässt sich daraus die Romberg-Integration herleiten.
• Romberg-Integration: Das Verfahren von Romberg benützt sukzessive Auswertungen der Trapezregel mit jeweils halbierter Schrittweite h und verdoppelter Anzahl Stützstellen n (dabei
müssen nur die neu hinzukommenden Stützstellen summiert werden, so dass insgesamt die
Anzahl Auswertungen von f gleich ist wie bei einmaliger Anwendung der Trapezregel mit der
kleinsten verwendeten Schrittweite). Aus der Folge von Auswertungen der Trapezregel mit h,
h/2, h/4, h/8 lässt sich nach dem Pyramidenschema eine genauere Lösung erreichen (Extrapolation nach Aitken-Neville), wobei die Fehlerordnung mit jeder Anwendung des Rekursionsschemas um eins steigt.
• Newton-Cotes Integrationsformeln: Verallgemeinerung der einfachen Mittelpunkt-, Trapez- und
Simpson-Regel; die Funktion f wird durch ein Polynom vom Grad n-1 approximiert, welches
durch n vorgegebene Stützstellen x 1 …x n geht; die erreichbare Genauigkeit ist vom Grad n-1,
der Fehler vom Grad n (siehe Zusammenfassung von Kaspar Fischer).
• Gauss-Quadratur: Wie Newton-Cotes, nur dass diesmal die n Stützstellen x i nicht vorgegeben
sind, sondern frei gewählt werden können. Durch geschickte Wahl der x i wird Genauigkeit vom
Grad 2n-1 bzw. ein Fehlerterm vom Grad 2n erreicht. (siehe Zusammenfassung von Kaspar
Fischer).
Alle Angaben wie üblich ohne Gewähr... -Martin Roth, 1999-04-27