ix_epem_cc_parte iii

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A A F.C.; MORAES, M. S. S. O Livro Didático de Matemática e a Formação 2
para a cidadania: mitos ou desafio? Anais do IX Encontro Paulista de Educação
Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-8598092-07-2)
Utilizando os conhecimentos adquiridos com a educação escolar, os indivíduos
terão condições de compreender muitas questões que são postas pela sociedade. Para
tanto é necessário que os conteúdos, bem como os instrumentos e materiais utilizados
no processo de ensino-aprendizagem desses indivíduos e a maneira que o professor fará
uso destes, sejam muito bem articulados.
No caso específico da Matemática, é importante que o conhecimento clássico
dessa disciplina, seja propiciado aos indivíduos, preocupando-se com a formação para a
cidadania e possibilitando a esses, perceberem que a Matemática não tem um fim nela
mesma, mas sim proporciona a capacidade de pensar, estabelecer relações, justificar,
analisar e discutir o que a realidade social apresenta.
Sob esse aspecto que uns dos instrumentos mais utilizados em sala de aula está
sendo discutido neste trabalho, ou seja, buscou com este artigo verificar o que as
literaturas discutem sobre o que é o Livro didático? Qual sua função e lugar em sala de
aula? Como foi a avaliação dos livros didáticos de Matemática efetuada pelo MEC para
o PNLD de 2005? e O que foi analisado em relação a formação para a cidadania nas
coleções de forma geral?
O Livro Didático Contexto Geral
Os Livros Didáticos são materiais que no Brasil, de acordo com Romanatto
(2004), sempre foram considerados de qualidade duvidosa, não cumprindo seu papel de
apoio ao processo educacional, pois são autoritários e fechados com exercícios que
pedem respostas padronizadas, não permitindo aos alunos e professores um debate
crítico e criativo.
Ainda de acordo com esse autor, os livros didáticos diluem e simplificam as
fontes de conhecimentos de maneira a torná-los acessíveis aos alunos, o que com
raríssima exceção é feito com competência.
Críticas como essas feitas por Romanatto são comuns quando se trata do livro
didático, que durante muito tempo foi considerado como uma produção menor, mas que
sempre esteve presente em sala de aula.
Embora discussões e críticas, esse material sempre foi considerado como um
instrumento que não pode faltar no processo de escolarização, pois são auxiliares
importantes da atividade docente.
F.C.; MORAES, M. S. S. O Livro Didático de Matemática e a Formação 3
De acordo com Bittencourt (2004), os livros didáticos, também podem assumir
funções diferentes que dependem da seleção, lugar e momento que são utilizados nas
diferentes situações escolares, essa autora ainda ressalta que, as pesquisas sobre o livro
didático mostram que esse instrumento nos últimos tempos tem sido considerado como
o principal e/ou o único referencial do trabalho em sala de aula, o que torna este, um
fato preocupante, pois, esse instrumento deveria ser mais um recurso auxiliar ao
professor no preparo e melhoria das aulas.
Romanatto (2004), expressa que a maior preocupação, diz respeito ao fato que
muitas vezes esse material está atuando como um substituto do professor, sendo assim,
os conteúdos e métodos que o professor utiliza em sala de aula ficam na dependência
dos livros didáticos.
Há uma certa importância no uso desses materiais em sala de aula, pois eles
carregam em si, ou deveriam carregar o conteúdo científico, sistematizado,
historicamente acumulado das diferentes disciplinas curriculares, conteúdos que
compõem a cultura erudita. No entanto, não devem ser considerados como o único
referencial no auxílio dos docentes e alunos, mas sim aliados a outros materiais e sob os
devidos cuidados do professor em selecioná-los, poderão contribuir para a
aprendizagem dos conteúdos clássicos do saber acumulado necessários para
participação efetiva do indivíduo como cidadão e ser consciente de sua sociedade.
O Edital de Convocação para Obras Didáticas (ECOD, 2002), ressalta que é
necessária a reversão da situação do livro didático como material principal em sala de
aula. Para tanto, esse documento propõe que sejam garantidos parâmetros curriculares
nacionais básicos em todo o país, acompanhados de orientação metodológica, para
nortear o trabalho docente, assegurando uma boa formação dos professores. Dessa
forma, esses instrumentos poderão assumir sua função de auxiliar em sala de aula.
Sem dúvida, o livro didático guarda grande importância em seu aspecto
pedagógico. Porém para Oliveira (1984), esse é apenas mais um aspecto que o livro
didático possui, essa autora defende, que é necessário também observar seu aspecto
político e cultural, pois esse instrumento reproduz e representa os valores da sociedade
em relação a sua visão de ciência, da história, da interpretação dos fatos que estarão
sendo apresentados, como também é importante observar o próprio processo de
transmissão do conhecimento que o livro didático estará possibilitando aos alunos e
professores que dele utilizam.
Observando os itens mencionados por Oliveira (1984), é importante que o
professor ao selecionar o livro que irá trabalhar, analise seus aspectos, pedagógicos,
ideológicos, políticos, bem como a sua preocupação com a formação para a cidadania,
tanto dos alunos quanto dos professores.
Segundo as Recomendações para uma Política Pública dos Livros Didáticos
(RPPLD, 2002), a preocupação com a formação do cidadão, previstas na LDB 9394/96,
tem nas Diretrizes Curriculares e nos Parâmetros Curriculares, novas orientações que
indicam revisões importantes que vêm se dando na legislação e nas práticas escolares e
precisam, portanto estarem refletidas nos livros didáticos.
Sendo assim, para que o uso desse instrumento reforce o vínculo com as práticas
sociais atendendo as novas demandas das escolas,
[...] é necessário que seja um instrumento que favoreça a
aprendizagem do aluno, no sentido do domínio do conhecimento e no
sentido da reflexão na direção do uso dos conhecimentos escolares
para ampliar sua compreensão da realidade e instigá-los a pensar em
perspectiva, formulando hipóteses de solução para os problemas
atuais. Isso significa colocar o livro didático como subsídio da escola
para a consecução do objetivo de promover o exercício da cidadania
[...]. (RPPLD, 2002, p. 27).
Essa preocupação com o exercício da cidadania torna-se um critério para a
avaliação do Livro Didático feita pelo MEC, nas diferentes disciplinas curriculares, que
aliado a outros critérios selecionou as coleções para o ensino fundamental 3º e 4º ciclos.
Avaliação essa que atendeu aos critérios estabelecidos pelo edital de convocação de
forma geral e específica a cada disciplina curricular.
O Livro Didático de Matemática
A importância do Livro Didático no processo de ensino-aprendizagem da
Matemática é indiscutível, já que esse instrumento apresenta o conteúdo clássico que
requer essa disciplina, porém a utilização desses acaba sendo feita de forma incorreta,
tornando esse o único material instrucional e auxiliar durante as aulas.
Richaudeau (apud OLIVEIRA, 1984, p. 11), define, “o livro didático é um
material impresso, estruturado, destinado ou adequado a ser utilizado num processo de
aprendizagem ou formação”.
Lopes (2000) faz comentário sobre a definição de Richaudeau no contexto da
Matemática, levantando a questão que, por ser um material impresso o livro didático de
Matemática é limitado para a aprendizagem e essa limitação, oriunda das várias formas
de linguagens somado ao fato desse material impresso expressar concepções e
competências do autor em determinado meio social, sendo que este material estará à
disposição de realidades distintas.
O autor ressalta ainda que o livro didático de Matemática, ou das demais
disciplinas, terá sua eficiência se considerar também o uso que o professor possa fazer
dele, por si só ele não presta a obtenção de uma aprendizagem eficaz, é necessário uma
boa escolha e utilização, dessa forma, esse instrumento será um recurso instrucional
auxiliar tanto para os alunos, quanto para os professores.
Tanto para professor, quanto para alunos, o livro didático poderá, de acordo com
Pfromm Netto (1974 apud LOPES, 2000, p. 53), aumentar a capacidade de leitura,
integrar e sistematizar a matéria, facilitar revisões periódicas e desenvolver o hábito de
independência e autonomia.
Na Matemática, segundo Romanatto (2004), ao adotar um livro, deve-se verificar
se está de acordo com os objetivos propostos para o nível a que se destina, se atende o
nível de maturidade dos alunos e se o conteúdo está adequado ao nível de escolaridade e
série ao qual será destinado.
Portanto, a escolha desse material deve ser feita com muita cautela, pois o ensino
da Matemática já enfrenta inúmeros problemas. É preciso que o livro didático auxilie o
professor de forma positiva, sendo estruturado e elaborado para que juntamente com
esse profissional e outros recursos, possa preparar o cidadão para utilizar a Matemática
em suas atividades, organizando pensamentos, sabendo lidar com dados expressos em
gráficos ou tabelas e os interpretando.
Para tanto, o livro didático de Matemática, além de abordar os conteúdos clássicos
que requer essa disciplina, deveria se preocupar com questões de esferas sociais,
culturais e políticas, principalmente na sociedade contemporânea marcada pela,
! F.C.; MORAES, M. S. S. O Livro Didático de Matemática e a Formação 6
[...] afirmação da diversidade e flexibilidade das formas de
organização escolar, originadas pela necessidade de atender aos
diferentes interesses e expectativas gerados por fatores de ordem
cultural, social e regional. Para isso, é necessário dispor de um livro
didático também diversificado e flexível, sensível à variação das
formas de organização escolar e dos projetos pedagógicos, assim
como à diversificação das expectativas e interesses sociais e regionais.
(RPPLD, 2002, p. 30).
Lopes (2000), assim como este trabalho, defende que os livros didáticos de
Matemática deveriam preocupar-se com a questão crítica e social dos conteúdos, pois
quando esses são apresentados nos livros didáticos preocupados com a crítica social,
poderão conciliar os interesses e experiências dos alunos, possibilitando aos mesmos
compreenderem sua realidade. Dessa forma, segundo Lopes (2000), há necessidade de
incorporar nesses materiais, novos contextos para que as reflexões sobre eles façam os
alunos progredirem tanto em nível de conteúdo, quanto em espírito crítico, Lopes
conclui.
Neste sentido, o livro didático poderá ser um grande auxiliar do
professor se conduzido a temas que dizem respeito a questões sociais
ou culturais, de grande repercussão para o cidadão brasileiro de um
modo geral, com algum reflexo na vida do aluno ou do seu meio
(LOPES, 2000, p. 202).
Essa conciliação fará do livro didático, além de um instrumento auxiliar ao
professor no preparo e condução de suas aulas, também um instrumento que conduzirá
os alunos à apropriação dos conteúdos clássicos da Matemática, além de permitir aos
mesmos enxergarem essa disciplina com finalidade que vai além dos cálculos feitos em
sala de aula, mas sim, como uma disciplina que contém um caráter político-social, que
proporciona um conhecimento para a vida, longe de um caráter apenas prático e
utilitário.
Dessa forma, o livro didático possibilitará, juntamente com os demais recursos
auxiliares e principalmente o professor, a formação para a cidadania, a busca de uma
educação que concilie questões da sociedade com questões científicas e culturais, além
da preocupação com a seleção dos conteúdos, seus objetivos, a seqüência lógica e o
nível de escolaridade que pretenda atingir.
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A Avaliação dos Livros Didáticos de Matemática – PNLD 2005
O MEC promove uma avaliação sobre os livros didáticos, que é indispensável e
caracteriza suas qualidades. E mesmo com essa avaliação, ainda há livros que pouco se
preocupam com a formação para a cidadania e vinculação do que se aprende com a vida
cidadã.
A intenção deste trabalho não é julgar os critérios de avaliação levantados pelo
MEC nem discutir esses critérios, mas acredita ser necessário levantar como e quais
foram os critérios utilizados, por esse órgão governamental para a escolha das obras
didáticas que são distribuídas nas escolas brasileiras.
A avaliação dos livros didáticos de Matemática foi feita pelo MEC de acordo com
diretrizes propostas pelo edital de convocação para inscrição no processo de avaliação e
seleção de obras didáticas, para todas as áreas de conhecimento, como também foi
complementada por diretrizes e considerações específicas da Matemática.
De acordo com o Guia dos Livros Didáticos de Matemática (GLDM) 5ª a 8ª
séries (2005), a Matemática no período de escolaridade 5ª a 8ª séries se caracteriza pela
solidificação dos conhecimentos que foram adquiridos nas primeiras quatro séries,
como também nesta etapa de escolarização introduzem-se novos conceitos, inicia-se a
sistematização dos conhecimentos matemáticos pela aplicação da Matemática em
situações problemas mais complexas. É nessa fase, portanto que a explicitação da
instrução da Matemática fica mais clara para os alunos.
Esse documento ainda afirma que o ensino, nessa fase, não é apenas um prérequisito para as fases posteriores, mas sim tem a função de preparar os alunos como
cidadão para atuarem em uma sociedade complexa, marcada por desigualdades,
injustiças, como também repleta de tecnologias e inovações.
É sob esse aspecto que o livro didático não deve ser um instrumento que apenas
apresente conceitos de forma desconexa, seguidos de aplicações e exercícios rotineiros.
É necessário também que se preocupe com os objetivos do ensino da Matemática nessa
fase.
Segundo Prado (1999 apud LOPES, 2000, p. 93), o Estado democrático deve
garantir a todos o desenvolvimento de suas capacidades e o conhecimento necessário
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para que possam compreender a realidade social, cultural e política e nela intervir como
cidadão.
Prado ressalta ainda:
É preciso que todos os alunos aprendam a valorizar o conhecimento e
os bens culturais e ter acesso a eles automaticamente; que aprendam a
selecionar o que é relevante, a investigar, questionar e pesquisar, a
construir hipóteses, compreender raciocinar com lógica; a comparar
estabelecer relações, inferir e generalizar; a adquirir confiança na
própria capacidade de pensar e encontrar soluções. É preciso que
todos os alunos aprendam a relativizar, a confrontar e respeitar
diferentes pontos de vista, discutir divergências, exercitar o
pensamento crítico e reflexivo. É preciso que saibam ler criticamente
diferentes tipos de textos, utilizar diferentes recursos tecnológicos,
expressar-se em várias linguagens. (PRADO apud LOPES, 2000, p.
93).
Para essa autora, é sob essas competências desejáveis que se justificam os projetos
do MEC nos quais se inclui a avaliação qualitativa dos Livros Didáticos e a elaboração
de um Guia de Avaliação.
As avaliações feitas pelo MEC nos livros didáticos de matemática para o 3º e 4º
ciclos do ensino fundamental favoreceu a melhora desse material nos últimos anos,
porém, espera-se que os livros didáticos possam tornar-se ainda melhores,
principalmente na vinculação dos conteúdos de Matemática com questões sociais,
culturais e políticas.
No que diz respeito aos conteúdos específicos e a elaboração desses conteúdos, à
avaliação segundo o GLDM 5ª a 8ª série (2005) torna-se satisfatória:
A avaliação de um livro de Matemática baseia-se na comparação dos
objetivos implícitos ou explícitos da obra com os objetivos gerais do
ensino dessa saber para a faixa de escolaridade visada. Esses objetivos
gerais, por sua vez, refletem, em graus variados, pressupostos sobre o
ensino de Matemática no atual contexto social, o papel do professor e
as características do aluno dessa fase escolar.
Sob esse aspecto o MEC levantou alguns critérios para a avaliação desses
instrumentos, buscando atingir todos os objetivos do ensino de Matemática para essa
fase do ensino.
Os critérios levantados foram de natureza eliminatória e não eliminatória esses
critérios foram apresentados no Edital para convocação de obras didáticas, bem como
01234506 F.C.; MORAES, M. S. S. O Livro Didático de Matemática e a Formação 9
nos GLDM, para que os professores ao escolherem suas coleções estivessem mais
conscientes de como foram feitas às seleções das obras que lhes foram apresentadas.
Os Critérios Eliminatórios foram:
-
Correção dos conceitos e informações básicas
-
Adequação didático-metodológica das relações de Matemática;
-
Construção da Cidadania.
Além desses critérios eliminatórios o MEC elaborou uma ficha de avaliação com
critérios não eliminatórios.
De acordo com os GLDM 5ª a 8ª série (2005), “promover a apropriação do
conhecimento implica escolha de alternativas metodológicas que contribuam para um
bom processo de ensino-aprendizagem”.
Dessa forma, esse documento afirma que essas escolhas devam incluir estratégias
que mobilizem e desenvolvam várias competências cognitivas básicas, podendo
comprometer o desenvolvimento cognitivo do educando, aquele livro didático que
deixar de contemplar o trabalho adequado dessas competências.
Para que o livro atenda essas exigências é necessário que atenda também a dois
requisitos básicos:
- não deve privilegiar, entre as habilidades e competências que deve
mobilizar e desenvolver, uma única, mas propiciar o desenvolvimento
equilibrado de várias habilidades e competências;
- deve ser coerente com a proposta que explicita, respeitando os
preceitos que lhe dão identidade e permitem não só identificá-la, mas
compreender seu alcance. No caso de o livro didático recorrer a mais
de um modelo metodológico, deve indicar claramente sua articulação.
(GLDM 5ª a 8ª série, 2005, p. 202-203).
Sendo assim, a avaliação desses materiais deve preocupar-se com a forma de
apresentar a metodologia, se está de acordo e articulada aos objetivos, se contemplam as
competências cognitivas básicas dos alunos.
O último critério de avaliação, a construção da cidadania, exige para essa
construção que se obedeça alguns subsídios para a elaboração dos livros didáticos.
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Esses subsídios estão de acordo com o Guia do Livro Didático de Matemática e também
com o Edital para Convocação de Obras Didáticas referentes à Matemática.
Portanto é importante os livros:
- Não veicular, nos textos e nas ilustrações, preconceitos que levem a
discriminações de qualquer tipo;
- Não ser instrumento de propaganda e doutrinação religiosas;
- Não violar os preceitos legais constantes do Estatuto da Criança e do
Adolescente no que diz respeito ao estímulo ou indução ao consumo
de fumo, álcool, drogas de qualquer tipo, armas de fogo e à indução de
práticas socialmente nocivas;
- Não ser veículo de propaganda de qualquer tipo de bens ou serviços.
(GLDM 5ª a 8ª série, 2005, p. 203-204).
Os GLDM 5ª a 8ª série (2005), ainda recomendam que os livros didáticos ao
formularem suas figuras, sua apresentação gráfica, não se baseiem em estereótipos e
preconceitos, bem como é importante preocupar-se com os papéis do homem, da
mulher, da família na sociedade e no trabalho, é preciso que os livros não mostrem uma
figura totalmente diferente da realidade encontrada hoje para não despertar o
preconceito ou mesmo não discriminar os usuários desse material.
Considerações
O professor ao adotar um livro de Matemática, deverá perceber que esses
materiais necessitam ser um auxiliar que contenha os conteúdos que deverão ser
aprendidos no processo escolar de forma sistematizada, organizada e coerente, pois é na
escola que se constitui o principal meio pelo qual os alunos obterão os princípios da
construção histórica dos conhecimentos matemáticos.
Esses conteúdos devem possibilitar aos alunos compreenderem os conhecimentos
adquiridos além da esfera escolar e levá-los para vida social, não apenas fornecer
métodos e procedimentos que visam à memorização de esquemas insignificantes, o que
fará com que os alunos esqueçam rapidamente.
Portanto, além dos conteúdos clássicos específicos da Matemática, é necessário
que a escola forneça outros conteúdos que propicie aos alunos a formação para a
cidadania e possibilite a construção de uma consciência crítica.
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Essa preocupação com a formação para a cidadania requer que sejam feitos em
sala de aula, estudos de questões que vão além dos conteúdos específicos que cada
disciplina de base nacional comum requer, desde os primeiros anos de escolarização.
Ela necessita ser entendida como um exercício de direitos e deveres, sendo assim a
cidadania será entendida como uma prática social no desenvolvimento do aluno tendo
como base o ensino.
Sendo o livro didático, na maioria das vezes uma das principais fontes de consulta
do professor, de acordo com Ruggiero (2000) ele necessita que os conteúdos
apresentados a eles sejam um auxiliar na construção do conhecimento e dos conceitos
matemáticos e não um mero material feito de misturas de idéias, filosofias e
apresentação de procedimentos.
A análise feita nas coleções de livros didáticos possibilitou perceber que embora
as coleções de livros didáticos proponham o trabalho com os temas que discutem
questões sociais, políticas e culturais, muitas vezes esse trabalho é confundido com uma
contextualização simplista, na utilização prático-utilitária do conteúdo matemático
através de um problema ou outro, sem que haja discussão ou mesmo conexão do
conteúdo visto com questões da prática social dos alunos, o que não contribui para a
formação da cidadania integral.
Embora o MEC nos últimos anos tenha feito a avaliação dos livros didáticos de
Matemática, tenha se preocupado em construir o Guia do Livro Didático de Matemática
(GLDM) e a escolha desse material instrucional seja feita pelo conjunto de professores
em suas unidades escolares, o livro didático ainda apresenta muitas falhas tanto em
conteúdos específicos, forma de apresentação, metodologia, quanto na vinculação
desses conteúdos com conteúdos que refletem a realidade social dos alunos.
Quando estudados os documentos como as Diretrizes Curriculares Nacionais, Lei
de Diretrizes e Bases da Educação nº 9394/96, Guia dos Livros Didáticos de
Matemática 5ª a 8ª séries, Recomendações para uma Política Pública dos Livros
Didáticos, Edital de Convocação para Obras Didáticas, foi possível concluir que há uma
preocupação dos órgãos governamentais da educação, com a formação para a cidadania.
Porém essa cidadania almejada nesses documentos, que também defendem a educação
escolar como o caminho para este tipo de formação, encontra nos livros didáticos de
Matemática, um desafio, pois esses materiais ainda não encontraram o caminho para a
FGHIJKFL F.C.; MORAES, M. S. S. O Livro Didático de Matemática e a Formação 12
contextualização adequada dos conteúdos matemáticos vinculados aos conteúdos da
realidade social. Quando contextualizam algo, é de forma simplista e artificial não
propiciando a formação plena do cidadão.
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klmnokp qr lr sr t quvwp xr o yzyt{ |} y~}t}~ z institucionalização das noções
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Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:
SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Eixo-temático 4: Formação de Professores
O PAPEL DO PROFESSOR NA INSTITICIONALIZAÇÃO DAS NOÇÕES DE
ÁREA E PERÍMETRO EM RELAÇÃO A ATUAL PROPOSTA CURRICULAR
DO ESTADO DE SÃO PAULO
Cintia Ap. Bento dos SANTOS-UNICSUL ([email protected]
Edda CURI -UNICSUL ([email protected]
Resumo: O presente trabalho tem por objetivo apresentar alguns resultados de nossa
investigação durante as pesquisas realizadas para o desenvolvimento de nossa
dissertação de mestrado, assim apresentamos uma análise estruturada na didática
francesa da atual Proposta Curricular do Estado de São Paulo, dessa forma
reconhecemos aspectos encontrados neste documento curricular oficial que mesmo de
forma implícita fazem referência aos quadros ou domínios de Douady (1992), aos
registros de representação semiótica segundo Duval (1993) e aos níveis de
conhecimento esperados dos educandos de acordo com abordagem teórica de Robert
(1997), levando ainda em consideração a aprendizagem significativa de acordo com
Ausubel (1980). Após a apresentação da análise do documento oficial referido,
abordamos alguns autores que contribuem para formação de professores, a fim de
elucidar o fato de que, as mudanças em educação só são possíveis e reais quando se
considera a questão da formação de professores, materiais potencialmente significativos
ou alunos pré-dispostos a uma aprendizagem podem não ser suficientes se a formação
inicial de professores não contempla os reais aspectos do processo ensinoaprendizagem. Outra constatação com base na análise deste documento é o fato de que
pode ocorrer uma possível mudança no forte papel atribuído na cultura matemática ao
livro didático, da mesma forma que se vislumbra um reconhecimento da linguagem
própria existente na Matemática, o que de certa forma pode vir a contribuir para se
detectar as reais dificuldades dos educandos. Dessa forma verificamos a necessidade da
formação inicial e continuada de professores, bem como a importância do conhecimento
não apenas do conteúdo matemático pelo professor, mas também do conhecimento
didático e curricular do conteúdo.
Palavras-chave: Formação de Professores, Área e Perímetro, Aprendizagem
Significativa, Documentos Curriculares Oficiais.
Introdução
Este artigo é parte do estudo que vem sendo desenvolvido para a elaboração de
uma dissertação1 de mestrado sobre o estudo de teorias didáticas e a formação de
institucionalização das noções 2
professores no que diz respeito às noções de área e perímetro. Para responder as
questões de pesquisa realizamos um estudo teórico embasado na didática francesa e em
alguns autores que abordam a formação de professores e ainda realizamos análises de
documentos curriculares oficiais, a fim de verificarmos como se apresentam estas
noções aos professores para que institucionalizem estes saberes.
Contudo, a análise da atual Proposta Curricular do Estado de São Paulo, que
entrou em vigor em 2008, configura como parte relevante da nossa pesquisa, uma vez
que no início dos estudos do referencial teórico que constitui a referida pesquisa esse
documento ainda não se encontrava vigente, o que traz um novo olhar para as
orientações fornecidas pelos documentos que servem de diretrizes ao trabalho docente.
Sua implementação modifica aspectos da cultura da educação matemática, como por
exemplo, a aprendizagem centrada na utilização do livro didático, a constituição dos
planos anuais de ensino apoiados nos índices dos livros adotados. Sendo assim,
conhecer mais profundamente esse documento é de nosso grande interesse, uma vez que
muda de certa forma o papel do professor que até mesmo foi constituído em sua própria
formação.
Dessa forma optamos por apresentar uma análise deste documento no que diz
respeito às noções de área e perímetro, com uma fundamentação embasada na didática
francesa e mais adiante apresentando aspectos da formação inicial e continuada de
professores, assim verificar como o professor atua como ator deste jogo.
Cabe lembrar que esforços têm sido feitos pela Secretaria da Educação visando
uma mudança nos rumos que a Educação Pública tem tomado, porém podemos iniciar
este artigo levantando as seguintes questões para reflexão: A formação do professor de
matemática contempla estas mudanças? Os esforços para o sucesso de uma
aprendizagem devem ser voltados somente para os alunos, ou inicialmente deveria
haver um trabalho diferenciado de formação inicial e continuada com professores?
Sobre a atual Proposta Curricular do Estado de São Paulo
Nesse documento podemos verificar um respeito às diretrizes dos documentos
anteriores, como a Proposta Curricular do Estado de São Paulo (1997) e os PCNs2
(1998), porém este novo documento difere em relação a suas diretrizes que deixam de
ser sugestões e passam a ser orientações que devem ser efetivamente trabalhadas em
¡ ¡ ¢¡ £ ¤¥¦ §¡ ¨©¨£ª «¬ ¨¬®£¯¯¬ °© institucionalização das noções 3
sala de aula. Para tanto, além da própria Proposta Curricular de Matemática para o
ensino fundamental, existem os cadernos de apoio ao professor que apresentam tarefas a
serem trabalhadas em sala de aula, cadernos estes que têm sua publicação
bimestralmente.
Mesmo de forma implícita, a Proposta Curricular apresenta indícios de
preocupação com uma aprendizagem em que se beneficia a articulação de noções
matemáticas, uma vez que ela descreve que os alunos devem ter: “A autonomia para
gerenciar a própria aprendizagem (aprender a aprender)” [...] (PROPOSTA
CURRICULAR, 2008, p.11).
Outro enfoque deste documento é a preocupação com as capacidades leitoras e
escritoras. Entendemos que mesmo sem fazer referências às representações
semióticas3, este documento admite a linguagem própria existente na matemática e a
necessidade de aprendizagem significativa4 para que alunos possam transpor os níveis
esperados em cada situação e que estes conceitos são importantes a serem aplicados
mesmo em tarefas fora do ambiente escolar. As considerações aqui realizadas se
evidenciam de acordo com o texto apresentado:
[...] esta Proposta Curricular tem como princípios centrais: a escola
que aprende, o currículo como espaço de cultura, as competências
como eixo de aprendizagem, a prioridade da competência de leitura e
de escrita, a articulação das competências para aprender e a
contextualização
no
mundo
do
trabalho
(PROPOSTA
CURRICULAR, 2008, p.11).
Diferente dos documentos anteriores a Proposta Curricular assume a importância
da representação simbólica articulada com a língua natural e mesmo que de forma
implícita, podemos entender como uma indicação as representações semióticas e aos
quadros5 e domínios existentes para que se constituam os saberes escolares, pode-se
constatar esta preocupação conforme descrito abaixo:
Nesta proposta, a Matemática é apresentada como um sistema
simbólico que se articula diretamente com a língua materna, nas
formas oral e escrita, bem como com outras linguagens e recursos de
representação da realidade. (PROPOSTA CURRICULAR, 2008, p.
44)
±²³´µ±¶ ·¸ ²¸ ¹¸ º ·»¼½¶ ¾¸ µ ¿À¿ºÁ ÂÃ ¿ÄÃÅºÆÆÃÄ ÇÀ institucionalização das noções 4
O eixo espaço e forma, assim como era caracterizado nos PCNs, continua
configurando como articulador entre as outras noções matemáticas, esta consideração
pode ser realizada com base no texto que segue:
O par grandezas e medidas parece especialmente adequado para
favorecer a interdisciplinaridade, e mesmo a transdisciplinaridade,
uma vez que suas conexões com os eixos de números e geometria se
dão quase naturalmente. No Ensino Fundamental, sua ligação com
números, especialmente os decimais e as frações, pode ser feita por
meio da contextualização da necessidade dos múltiplos e submúltiplos
de uma unidade de medida na resolução de problemas concretos. Com
a geometria, a referida ligação se dá pelo estudo do cálculo de áreas e
volumes, iniciando a partir da contagem em malhas quadriculadas até
mesmo a formalização de expressões literais para o cálculo dessas
medidas (PROPOSTA CURRICULAR, 2008, p. 46).
Um aspecto importante e que distingue a atual Proposta Curricular do Estado de
São Paulo é que este documento, apresenta orientações metodológicas, que se
encontram nos cadernos bimestrais destinados aos professores, dessa forma verificamos
uma preocupação da Secretaria da Educação em direcionar o trabalho docente, diferente
dos PCNs que apresentavam apenas sugestões didáticas, esta preocupação pode ser
verificada uma vez que:
As sugestões que serão apresentadas nos Cadernos dos Professores,
para o desenvolvimento dos trabalhos em cada bimestre letivo,
buscarão explicitar formas de tratamento dos diversos temas
consentâneas com a visão geral desta proposta (PROPOSTA
CURRICULAR, 2008, p. 48).
Para o conteúdo específico de área e perímetro, o documento indica a abordagem
destas noções da seguinte forma:
5a série do ensino fundamental: as noções de área e perímetro devem ser abordadas no
terceiro bimestre do ano letivo.
6a série do ensino fundamental: não é especificada a abordagem para estas noções nesta
série.
7a série do ensino fundamental: as noções de área devem ser trabalhadas através do
estudo dos polígonos no quarto bimestre do ano letivo.
8a série do ensino fundamental: a abordagem das noções de área e perímetro se refere
apenas ao estudo dos círculos.
ÈÉÊËÌÈÍ ÎÏ ÉÏ ÐÏ Ñ ÎÒÓÔÍ ÕÏ Ì Ö×ÖÑØ ÙÚ ÖÛÚÜÑÝÝÚÛ Þ× institucionalização das noções 5
Verificamos que neste documento as noções relativas à área e perímetro são
enfocadas em todas as séries do ensino fundamental exceto na 6a série deste ciclo,
apesar da importância dada ao tema observa-se que o quadro algébrico continua sendo
mais enfatizado durante os bimestres. Uma outra verificação é o fato das noções aqui
em jogo serem tratadas de forma segmentada, ou seja, na 8a série não é proposta
nenhuma releitura dos temas abordados nas séries anteriores, propondo o cálculo de
área do círculo, este papel fica a cargo do professor que deve indicar aos alunos as
articulações possíveis e o resgate dos conhecimentos anteriores. Aqui entra a
importância da formação do professor, como ator neste jogo, sabendo o momento de
realizar suas escolhas em relação à passagem dos níveis6 que exigem dos alunos a
leitura das representações semióticas e a articulação de quadros ou domínios.
Sobre a formação de professores
Segundo TARDIF (2002) os saberes aprendidos na Universidade geralmente não
engloba o “como fazer”. Dessa forma professores necessitam desenvolver estratégias
em plena atividade profissional, criando e utilizando assim sua “pedagogia”, que não
pode ser outra coisa senão a prática de um profissional, que deve agir com autonomia
através da ética do trabalho e confrontada diariamente com problemas para os quais não
existem receitas prontas. Com base nas considerações deste autor fica evidente a
necessidade de adaptação de professores com a finalidade de assumir o papel de ator
deste jogo, trabalhando com autonomia as dificuldades que surgem em sala de aula. Até
este momento no decorrer de nossa pesquisa ficou evidente que apesar das noções de
área e perímetro serem consideradas como um conteúdo de pouco grau de dificuldade,
existem ainda muitas dificuldades conceituais e seu tratamento até mesmo pelos livros
didáticos dificulta este esclarecimento. Assim, cabe ao professor encontrar recursos que
facilitem esta aprendizagem, cabe a ele a articulação entre os conteúdos matemáticos e a
condução dos educandos através dos níveis que se espera deles. Cabendo ao professor
inclusive a adaptação aos documentos oficiais curriculares propostos pelas Secretarias.
Para entender melhor a formação de professores CURI (2008) apresenta três
concepções de formação para ensinar Matemática: Uma delas defende que o
conhecimento matemático amparado em sua técnica é suficiente para ensinar
matemática; uma segunda, que tenta contrapor a anterior, coloca sua ênfase na formação
ßàáâãßä åæ àæ çæ è åéêëä ìæ ã íîíèï ðñ íòñóèôôñò õî institucionalização das noções 6
pedagógica, considerando que um professor não necessita de grandes conhecimentos
matemáticos para ensinar; a terceira entende a formação de professores de matemática,
como uma articulação entre conhecimentos matemáticos e conhecimentos didáticos
pedagógicos.
Em nossa pesquisa temos a intenção de ampliar os horizontes da prática docente,
para que pesquisas acadêmicas cheguem aos professores, desta forma a terceira corrente
de pensamento sobre a formação matemática de professores apresentada por CURI
(2008) vai ao encontro dos objetivos deste trabalho. Esta concepção, de certa forma,
aproxima-se dos estudos de Shulman (1986).
Segundo Shulman (1986) existem três vertentes no conhecimento do professor
quando se refere ao conhecimento da disciplina para ensiná-la: o conhecimento do
conteúdo da disciplina; o conhecimento didático do conteúdo da disciplina e o
conhecimento do currículo.
Shulman (2005)7 amplia as categorias de base dos conhecimentos do professor e
destaca:
Conhecimento do conteúdo.
Conhecimento didático, levando em consideração os princípios e estratégias
de organização das aulas e da disciplina.
Conhecimento do currículo, em especial o domínio dos materiais e
programas que servem de ferramenta para prática docente.
Conhecimento didático do conteúdo, nesta esfera ocorre justaposição entre
dois elementos importantes da prática docente, a matéria e a pedagogia.
Conhecimento dos educandos e de suas características.
Conhecimento dos contextos educativos, que envolve desde o
funcionamento do grupo de alunos e a gestão escolar até o caráter cultural das
comunidades.
Conhecimento dos objetivos, das finalidades e os valores educativos e seus
fundamentos filosóficos e históricos.
Para Shulman (2005), o conhecimento didático do conteúdo representa uma
mistura entre conteúdo e didática para se chegar a uma compreensão de como
determinados temas e problemas se organizam, se representam e se adaptam aos
diversos interesses e capacidades do educando, se articulando para sua aprendizagem. O
conhecimento didático do conteúdo é a categoria que com maior probabilidade permite
distinguir entre a compreensão do especialista em uma área do saber e do pedagogo.
ö÷øùúöû üý ÷ý þý ÿ üS û ý ú ÿ ÿ
institucionalização das noções 7
Existem pelo menos quatro fontes principais que constituem a base do
conhecimento de acordo com Shulman (2005), e são eles: Formação acadêmica na
disciplina a ensinar, no caso a matemática; os materiais e o contexto do processo
educativo institucionalizado, por exemplo, os documentos oficiais curriculares e os
livros didáticos; a investigação sobre a escolarização, as organizações sociais, a
aprendizagem humana, o ensino e o desenvolvimento e os demais fenômenos sócioculturais que influi no que faz o professor; o saber que atribui à mesma prática.
Para formação acadêmica da disciplina de Matemática, a primeira fonte do
conhecimento base é o conhecimento dos conteúdos: o saber, a compreensão, as
habilidades e as disposições que devem adquirir os estudantes. Este conhecimento se
apóia em duas bases: a bibliografia e os estudos acumulados durante a docência, e o
saber acadêmico, histórico e filosófico sobre a natureza do conhecimento nestes campos
de estudo. No caso do professor de matemática este deve dominar não somente a
aplicação técnica de sua disciplina, porém deve-se embasar em todo o conhecimento
anterior sobre os conceitos da disciplina.
De acordo com os estudos de Shulman (2005), o professor deve compreender as
estruturas da matéria ensinada, dos princípios da organização conceitual, como também
os princípios de indagação que ajudam a responder dois tipos de perguntas em cada
âmbito: Quais são neste âmbito do saber, as idéias e as aptidões importantes? De que
maneiras se geram conhecimentos nesta área, incorporando-se novas idéias e
descartando as defeituosas? Isto é, quais são as regras e os procedimentos de um bom
saber acadêmico e da investigação? Essas perguntas podem comparar-se com o que
Schwab (1964) tem definido como conhecimento de estruturas e sintáticas. Esta visão
das fontes do conhecimento e dos conteúdos da Matemática implica necessariamente
que o professor não só deve compreender a fundo a matéria específica que ensina como
deve possuir uma ampla formação humanista, que deve servir como marco para a
aprendizagem adquirida anteriormente e como mecanismo que facilita a aquisição de
uma nova compreensão.
Para estruturas e materiais didáticos, Shulman (2005) apresenta esta fonte como o
objeto de promover os objetivos da escolarização organizada em que se criam materiais
e estruturas para o ensino e aprendizagem. Entre eles se incluem currículos com seus
âmbitos e suas seqüências; testes e materiais para sua aplicação; instituições com suas
!! " institucionalização das noções
hierarquias, seus sistemas explícitos e implícitos de regras e funções; organizações de
sindicatos de professores com suas funções de negociação, cambio social e proteção
mutua; entidades governamentais desde o nível de distrito até os níveis estatal e federal;
e mecanismos gerais de gestão e financiamento. Dessa forma para Shulman (2005) os
professores atuam inevitavelmente dentro de uma estrutura formada por estes
elementos, utilizando-os e sendo utilizados por eles, enfatizando os princípios, as
políticas e as circunstâncias de seu funcionamento configuram uma importante fonte do
conhecimento base. Assim se o professor tem que conhecer o “território” do ensino,
então é a paisagem composta de tais estruturas, como instituições, organizações e
mecanismos, algo que ele deve estar familiarizado. Estes constituem as ferramentas da
docência e as circunstâncias contextuais que facilitarão ou inibirão as iniciativas do
ensino.
Para literatura educativa especializada, Shulman (2005) define esta terceira fonte
como importante e em crescente quantidade de pesquisas acadêmicas dedicadas à
compreensão dos processos de escolarização, de ensino e aprendizagem. Nestas obras se
incluem as conclusões e os métodos de investigação empírica nas áreas de docência,
aprendizagem e desenvolvimento humano, assim como também, os fundamentos
normativos, filosóficos e éticos da educação.
Segundo Shulman (2005) os aspectos normativos e teóricos dos conhecimentos
acadêmicos sobre o ensino são talvez os mais importantes. Infelizmente os responsáveis
pelas políticas educativas e os encarregados da formação docente tendem a considerar
somente os resultados das investigações empíricas sobre ensino-aprendizagem como
elementos pertinentes da base de conhecimentos acadêmicos. Assim estas considerações
das investigações são importantes e merecem ser objeto de um estudo exaustivo,
representam uma só faceta da contribuição do mundo acadêmico, cujas influências mais
perduráveis e poderosas sobre os professores são provavelmente as que enriquecem a
imagem que se forma do que é possível desejar: suas visões do que constitui uma boa
educação, ou de como se desenvolveria um aluno bem educado se lhe oferecerem
oportunidades e estímulos adequados.
Com base nestas considerações pode-se verificar que para as noções de área e
perímetro o trabalho no nível técnico depende apenas de um professor que tenha o
conhecimento do conteúdo, porém quando se espera que professores passem com seus
8
#$%&'#( )* $* +* , )-./( 0* ' 121,3 45 1657,8856 92 institucionalização das noções
alunos do nível técnico aos níveis mobilizáveis e disponíveis, ocorre necessidade de
articulação de quadros ou domínios e nesse momento surge a dificuldade associada “não
ao que ensinar” e sim a “como ensinar”, desta forma observa-se a necessidade da
formação inicial e continuada contemplar não apenas o conhecimento de conteúdos e do
currículo, mas também o conhecimento didático do conteúdo da disciplina, que aqui
neste contexto é o fator que faz toda a diferença na formação de professores, pois
considera-se que um professor atua como ator neste jogo com autonomia quando
conhece os conceitos didáticos da sua disciplina.
Em relação a estes conhecimentos didáticos dos conteúdos da disciplina pode-se
ainda dizer que os cursos de licenciatura atualmente há um grande número de horas nas
grades curriculares destinado à formação pedagógica do professor, no entanto, ainda há
poucas pesquisas e práticas desenvolvidas que possam subsidiar discussões a esse
respeito (CURI, 2008).
Imaginamos que não só o aluno deve aprender, o professor também tem esta
necessidade, fato que pode ser melhor explicitado por CABRAL (2007):
Há uma preocupação das reformas em definir um conjunto de
princípios explicativos de como as crianças devem aprender para
alcançar os objetivos da reforma, no entanto, na ótica de Shulman, não
só os alunos devem aprender, mas também os professores. Vai além, e
considera que os princípios que explicam o aprendizado das crianças
devem da mesma forma, explicar a aprendizagem dos professores, e
acrescenta: “Não há segredos na aprendizagem dos professores: sejam
novatos em estágio ou veteranos aprendendo ao longo da carreira,
devemos criar condições comparáveis de ensino para os professores,
assim como os estudantes. Não há atalhos. As únicas escolas eficazes
são as instituições que são educativas para os professores, e não
somente para os alunos”. (p. 2)
Fica evidente ainda que a formação de professores deva contemplar as
necessidades de articulação necessárias à prática docente e que estes só se efetivam se o
professor tiver conhecimento do conteúdo que vai ensinar, mas também o conhecimento
didático desse conteúdo.
Nesse sentido podemos citar CURI (2006) que afirma:
[...] os saberes do professor devem incluir os objetos de ensino, mas
devem ir além, tanto no que se refere à profundidade dos conceitos
como à sua historicidade e articulação com outros conhecimentos e
tratamento didático, ampliando assim seu conhecimento da área.
(CURI, 2006, p. 3)
9
:;<=>:? @A ;A BA C @DEF? GA > HIHCJ KL HMLNCOOLM PI institucionalização das noções
Com base nas considerações realizadas até o momento podemos perceber a
importância dos elementos que estruturam a formação inicial de professores, porém
consideramos essencial a prática docente os aspectos de formação continuada, pois este
processo está associado a “transformação” do professor, indicando que a estagnação
docente gera dificuldades na institucionalização dos saberes.
Considerações finais
Com base nas análises realizadas até o momento podemos perceber que a nova
Proposta Curricular do Estado de São Paulo implantada neste início de 2008, aponta
para um novo papel do professor, em que de fato ele deve atuar como ator deste jogo,
pois o foco do desenvolvimento escolar deixa de ser o ensino e passa a ser a
aprendizagem. Dessa forma não é mais importante a quantidade do que se ensina e sim
a qualidade com que se aprende, quando se estabelece que o estudo deve estar centrado
nas competências, percebe-se uma preocupação da Secretária da Educação, mesmo que
de forma implícita, com a necessidade da flexibilidade cognitiva e das articulações
necessárias para que o processo de aprendizagem se efetive com eficiência. Outro
caráter que pode ser atribuído à nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo é o
fato de descentralizar o foco da aprendizagem dos domínios matemáticos conforme
descrevem os livros didáticos, estes passam a ser uma ferramenta de auxílio e não um
meio delimitador de conteúdos por séries.
Apesar das diversas críticas que tem sofrido a atual Proposta Curricular do Estado
de São Paulo, observa-se que como até o presente momento os documentos oficiais
curriculares representavam apenas diretrizes de sugestões que poderiam ser seguidas ou
não, acabou-se por não constituir um sistema educacional com uma “marca” da
Secretaria da Educação, dessa forma não havia um trabalho homogêneo das escolas
quanto aos conteúdos trabalhados, o que pode gerar um prejuízo quanto ao direito de
acesso ao saber escolar para educandos que precisam ir de uma escola para outra. A
atual Proposta tenta sanar esse problema trazendo uma diretriz a ser seguida
obrigatoriamente pelos professores.
Levando em consideração que no início de 2008 o papel do livro didático nas
escolas de rede pública de educação do Estado de São Paulo sofreu uma considerável
mudança, uma vez que, deixou de ser o instrumento principal do trabalho docente e
10
QRTUVQW XY RY ZY [ X\]^W _Y V à`[b cd èdf[ggde ha institucionalização das noções
passou a ser uma ferramenta complementar, devido à implementação da Proposta
Curricular que se tornou obrigatória nas escolas e forneceu, pelo menos no primeiro
bimestre material com atividades propostas para o aluno.
Porém esta mudança de categoria em relação à forma de utilização do livro
didático e da forma como conduzir os conteúdos institucionais não é algo tão simples
para os professores, uma vez que sua formação se apóia nos saberes experiênciais. Fato
este que pode ser melhor explicado segundo FIORENTINI, NACARATO e PINTO
(1999):
O saber experiencial está relacionado a outro tipo de saber que
Gauthier e Tardif (1997) denominam de saber da tradição pedagógica
e que o influencia fortemente. Esse saber começou a ser elaborado a
partir do século XVII e estruturou-se com base em pressupostos
divinos ou religiosos produzidos pela escolástica, uma maneira de
fazer escola e de ensinar que se disseminou pelo mundo. Os saberes
da tradição pedagógica compreendem prescrições/orientações,
regulamentações, normas disciplinares e ritos quase sagrados, que
devem ser seguidos e reproduzidos pelos professores e alunos. Alguns
desses ritos e regulamentações disciplinares são: o uso disciplinar do
tempo e do espaço (o tempo de duração das aulas e a disposição da
classe em fileiras); a disciplina da classe e do corpo de cada estudante
(código de posturas para ler, escrever e ouvir a lição); disciplina nos
deslocamentos (filas); disciplinarização do comportamento (pela
vigilância e punição); a matéria como uma disciplina escolar (a ser
ensinada e avaliada) para formar um indivíduo dócil e culto. Assim,
segundo Gauthier (1998) surgem códigos de conduta das práticas
pedagógicas. (FIORENTINI; NACARATO; PINTO, 1999, p. 37)
Assim, observa-se que para mudança de prática de professores ou ainda para a
aceitação de novas condutas pedagógicas relacionadas à docência existe muitas vezes
um forte fator de resistência a novas tendências devido aos saberes cristalizados na
tradição pedagógica.
Com base nos estudos dos autores apresentados no item anterior sobre a formação
de professores podemos concluir que a atividade docente não depende apenas de um
profundo conhecimento do conteúdo, mas também é necessário o conhecimento do
currículo e, sobretudo o conhecimento didático do conteúdo a ser ensinado. Estas
considerações nos remetem as idéias de Shulman (2005), apresentadas inicialmente,
pois verificamos que quando se deseja que o aluno desenvolva o domínio dos conteúdos
de forma significativa e trabalhe com autonomia em relação à compreensão da
linguagem matemática, ou seja, de suas representações articulando diversos quadros
11
ijklmin op jp qp r ostun vp m wxwry z{ w|{}r~~{| x institucionalização das noções
mesmo que a noção seja implícita, se faz necessário uma formação inicial e também
continuada de professores que contemple o domínio do conteúdo matemático, o
conhecimento do currículo e o conhecimento didático do conteúdo da disciplina.
Dessa forma nos parece que de pouco valem materiais potencialmente
significativos, documentos oficiais curriculares que prescrevam uma aprendizagem
significativa e pistas didáticas e metodológicas que visem à linguagem matemática ou
ainda um aluno pré-disposto à aprendizagem, se a formação inicial de professores não
contempla estes aspectos e nem fornece subsídios para que em situações futuras
professores possam fazer suas escolhas de forma a se adaptar a novas metodologias e
exercer seu papel com autonomia neste jogo.
Notas
1
O estudo aqui referido faz parte de uma pesquisa qualitativa desenvolvida no Programa de Mestrado em
Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul sob a orientação da Profa. Dra. Edda
Curi.
2
Parâmetros Curriculares Nacionais.
3
Representações semióticas: são produções constituídas pelo emprego de signos [sinais] pertencentes a
um sistema de representação que têm suas dificuldades próprias de significância e de funcionamento.
Uma figura, um enunciado em língua natural, uma fórmula algébrica, um gráfico, são representações
semióticas que salientam sistemas semióticos diferentes. Consideram-se geralmente as representações
semióticas como um simples meio de exteriorização das representações mentais para fins de
comunicação, ou seja, para deixá-las visíveis ou acessíveis a outrem. (DUVAL, 1993, p.39)
4
Aprendizagem significativa: Segundo AUSUBEL (1980) é a aprendizagem que leva em consideração
os conhecimentos prévios dos educandos no momento da introdução de novos conceitos, de forma que
ocorra de uma maneira não mecanizada.
5
Quadros ou domínios: Um quadro é constituído de objetos de um ramo da Matemática, de relações
entre esses objetos, de suas formulações eventualmente diversas e de imagens mentais associadas a esses
objetos e essas relações. Essas imagens têm um papel essencial no funcionamento dos objetos do quadro
como ferramentas. Dois quadros podem comportar os mesmos objetos e diferir pelas imagens mentais e a
problemática desenvolvida. (Douady, 1992, p. 135)
6
Níveis: Os níveis aqui tratados se referem à abordagem teórica de Robert (1997) sobre os níveis de
conhecimento esperados dos educandos e são eles: nível técnico, nível mobilizável e nível disponível.
7
Shulman (2005): O texto original é de 1987.
12
institucionalização das noções
Referências
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2002.
14
BATTAGLIOLI, C. S. M. e BIANCHINI, B. L. O registro gráfico dos sistemas lineares
com três equações e três incógnitas na segunda série do Ensino Médio. Anais do IX
Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM, Bauru: SBEM/SBEM-SP,
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
Eixo-temático 7: Resolução de Problemas e Investigação Matemática
O REGISTRO GRÁFICO DOS SISTEMAS LINEARES COM TRÊS
EQUAÇÕES E TRÊS INCÓGNITAS NA SEGUNDA SÉRIE DO ENSINO
MÉDIO
Carla S. Moreno BATTAGLIOLI - PUC – SP ([email protected])
Barbara Lutaif BIANCHINI - PUC – SP ([email protected])
Resumo: O presente trabalho é parte da dissertação de mestrado, intitulada Sistemas
lineares na segunda série do ensino médio: um olhar sobre os livros didáticos e tem por
objetivo apresentar os resultados preliminares dessa investigação. Segundo Raymond
Duval (apud Damm et al, 2002) a matemática trabalha com conceitos abstratos e por
isso necessita ser representada por gráficos, registros numéricos, etc. Esses diferentes
tipos de representação são estudados e designados por Duval, de “registros de
representações semióticas”. O foco desse artigo é o registro gráfico dos sistemas
lineares com três equações e três incógnitas. Acreditamos que esse registro possa
contribuir para uma aprendizagem mais significativa desse tema, possibilitando ao
aluno uma maior compreensão da solução, da classificação e da discussão desses
sistemas lineares. Nesta pesquisa qualitativa documental analisamos três livros da
segunda série do ensino médio de autores que possuem coleções de Matemática
aprovadas pelo Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio – PNLEM (BRASIL,
2005). Decidimos analisar o livro didático, pois acreditamos que, muitas vezes, ele
assume o papel de único norteador, pois muitos professores planejam suas aulas
unicamente baseados nos conteúdos do livro didático. Os resultados mostraram que dois
dos três livros apresentam um texto explicativo sobre os sistemas lineares no registro
gráfico, porém, nos exercícios resolvidos e propostos, tanto os que buscam resolver,
classificar ou discutir os sistemas lineares, este registro está sendo pouco explorado.
Alertamos que a classificação de um sistema linear apenas no registro algébrico pode
gerar interpretações incorretas. Concluímos que o registro gráfico deveria ser mais
explorado para que os alunos tivessem maior facilidade para entender o conjunto
solução de um sistema linear, classificar e discutir esses sistemas. Acreditamos que os
softwares gratuitos existentes, que trabalham em três dimensões, possam auxiliar o
aluno a melhor compreender esse tema.
Palavras-chave: Sistemas Lineares, Registro Gráfico, Livro Didático
BATTAGLIOLI, C. S. M. e BIANCHINI, B. L. O registro gráfico dos sistemas lineares 2
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
Introdução
Pertencemos ao Grupo de Pesquisa para Educação Algébrica (GPEA) da PUC-SP,
que visa investigar o ensino e a aprendizagem de Álgebra Linear. Levando em conta os
objetivos desse projeto, as discussões com professores do ensino superior que
vivenciamos neste grupo sobre as dificuldades que os alunos apresentam para resolver
sistemas lineares nas aulas de Álgebra Linear e por acreditarmos na hipótese de que
estas dificuldades poderiam estar relacionadas com a forma mecânica que o tema estaria
sendo trabalhado no ensino médio atualmente, decidimos investigar se sistemas lineares
estão sendo abordados no registro gráfico nos livros didáticos do ensino médio.
Problemática
A álgebra tem mais destaque que a geometria nos currículos de matemática
atualmente, porém para muitos alunos ela ainda é considerada “dificílima, abstrata”. Em
muitas aulas de álgebra, alunos continuam apenas armazenando informações e
manipulando algoritmos, reproduzindo modelos, provavelmente sem compreender
realmente os conceitos algébricos e possivelmente sem conseguir usar seus
conhecimentos em situações do dia-a-dia.
Lellis e Imenes (2001, p. 42-43) afirmam que em muitas escolas o ensino da
matemática é tratado como um conjunto de técnicas, de aplicações de fórmulas, com
uma grande quantidade de exercícios que se resumem em “calcular”, “obter”, “efetuar”,
em contextos exclusivamente matemáticos, com o objetivo de buscar resultados. O que
importa é “como” fazer, sem se preocupar com ”porque fazer assim” ou “para que
fazer”.
Acreditamos que ao abordar o tema sistemas lineares com três equações e três
incógnitas no ensino médio, o enfoque também seja algébrico, no qual valoriza-se os
processos (técnicas) de resolução no registro algébrico (escalonamento, regra de Cramer,
método da adição, entre outros) sem grandes preocupações com a análise do resultado
obtido e que esse fato ocorra tanto para resolver os sistemas, quanto para discuti-os ou
classificá-los como sistema possível e determinado (S.P.D), Sistema possível e
indeterminado (S.P.I.) ou sistema impossível (S.I.).
Pesquisas realizadas anteriormente e que relacionaremos a seguir, enfatizam a
importância de abordarmos os sistemas lineares no registro gráfico.
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
Karrer (2006) afirma que a dificuldade no estudo de conteúdos de Álgebra Linear
não é um problema especificamente brasileiro. A autora cita em seu trabalho pesquisas
como a de Dias (1998) e a de Pavlopoulou (1993) que evidenciam que os livros de
Álgebra Linear privilegiam o registro simbólico e que as dificuldades dos alunos nesta
disciplina estão relacionadas à deficiência na coordenação dos diversos registros de
representação semiótica.
Machado (1996) afirma que uma das causas das dificuldades que os alunos
enfrentam na disciplina Álgebra Linear é a falta de conhecimento de vários
conhecimentos prévios essenciais. Segundo a autora, uma das dificuldades dos alunos é
a passagem do registro algébrico para o gráfico e vice-versa. Ela enfatiza a necessidade
de se abordar essas conversões de registros antes do ensino superior, caso contrário, os
alunos continuarão resolvendo sistemas lineares sem dar sentido algum a eles.
Freitas (1999, p. 10) afirma que o grande problema para o aluno não é resolver um
sistema linear, desde que ele esteja familiarizado com algum método de resolução (a
autora cita substituição, comparação e escalonamento). Para a autora, o problema está
na interpretação da solução encontrada e ela conjectura que a dificuldade de
interpretação poderia estar relacionada ao fato que os alunos decoram as técnicas de
resolução dos sistemas lineares sem compreender o significado das respostas, isto é,
realizam o algoritmo de maneira mecânica e não interpretam a resposta encontrada.
Documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN+
(BRASIL, 2002) e Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL., 2006),
entre outros, também recomendam a abordagem do registro gráfico dos sistemas
lineares.
Com relação à álgebra, há ainda o estudo de equações polinomiais e
de sistemas lineares. Esses dois conteúdos devem receber um
tratamento que enfatize sua importância cultural, isto é, estender os
conhecimentos que os alunos possuem sobre a resolução de equações
de primeiro e segundo graus e sobre a resolução de sistemas de duas
equações e duas incógnitas para sistemas lineares 3 por 3 [...]
(BRASIL, 2002, p. 122)
Pesquisas e recomendações de documentos oficiais como as citadas anteriormente
enfatizam a relevância de analisarmos se os sistemas lineares estão sendo abordados no
registro gráfico nos livros didáticos do ensino médio.
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Apresentação dos livros didáticos analisados
O primeiro livro analisado, doravante denominado L 1 é o volume 2 da coleção
Matemática, Contexto e Aplicações, cujo autor é Luiz Roberto Dante, foi editado em
2007 pela editora Ática, está na 4º edição.
O segundo livro analisado, doravante denominado L 2 , é o volume 2 da coleção
Matemática Ensino Médio, cujas autoras são Kátia S. Smole e Maria Inez Diniz, foi
editado em 2003 pela editora Saraiva, está na 3º edição.
O terceiro livro analisado, doravante denominado L 3 , é Matemática Completa Vol. Único, cujos autores são José R. Giovanni, José R. Bonjorno e José R. Giovanni Jr.,
foi editado em 2002 pela editora FTD.
Numa primeira análise, pudemos observar que os três livros didáticos apresentam
propostas de trabalho distintas: enquanto os livros L1 e L3 apresentam o conteúdo de
sistemas lineares num único capítulo intitulado Sistemas lineares (organização linear de
conteúdos), o L2 aborda esse conteúdo em espiral: os sistemas são abordados no
capítulo intitulado Sistemas lineares e posteriormente, no estudo das matrizes e no
estudo dos determinantes.
Os sistemas lineares e o registro gráfico nos livros didáticos
O estudo dos sistemas lineares no ensino médio é apresentado com maior
freqüência no registro algébrico.
Por este motivo, o seu aprendizado requer uma
abstração para a qual a aluno talvez não tenha muita habilidade. Acreditamos que, sem
relacionar o estudo no registro algébrico com o registro de representação gráfico, este
pode tornar-se um estudo com pouco significado, apenas um roteiro de regras a serem
seguidas e resoluções mecânicas, sem nenhuma interpretação.
Analisaremos aqui se os livros didáticos analisados abordam os sistemas lineares
no registro gráfico.
Os livros L1 e L2 apresentam a interpretação geométrica dos sistemas lineares com
três equações e três incógnitas (três planos no espaço) em textos explicativos, mas estas
abordagens são feitas de maneiras distintas. O L2 apresenta uma explicação mais geral,
abordando seis possíveis casos, sem relacionar cada representação gráfica com
exemplos no registro algébrico (Figura 1). Já o L1 faz uma apresentação mais detalhada
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
apresentando oito casos possíveis e relacionando-os com exemplos no registro de
representação algébrico. Além dos casos abordados no L2, este autor aborda também o
caso com dois planos coincidentes e um terceiro plano que intercepta estes dois segundo
uma reta e caso de dois planos coincidentes e um terceiro plano paralelo e distinto dos
anteriores (Figura 2).
Figura 1- Representação no registro gráfico de sistemas lineares com três equações e três incógnitas
(seis possíveis casos).
Fonte: L2, pp. 137 e 138
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
Figura 2- Dois dos oito possíveis casos de classificação de sistemas lineares com três equações e três
incógnitas no registro de representação algébrico com conversão para o registro de representação
geométrico do L1 e que não foram abordados em L2.
Fonte: L1, pp. 186 – 187
Observamos que o tema: posições relativas entre planos no espaço (geometria de
posição), que consideramos um conhecimento prévio para o estudo dos sistemas
lineares com três equações e três incógnitas no registro de representação gráfico, é
discutido em capítulo posterior ao que apresenta o registro de representação gráfico dos
sistemas, no L1 e no L2.. Acreditamos que esse fato enfatize a importância do professor
preparar suas aulas antecipadamente e ter autonomia para selecionar a ordem dos
conteúdos a serem trabalhados, sem precisar seguir estritamente a seqüência que é
apresentada nos livros didáticos.
Já o livro L3 não aborda o registro de representação gráfico (a representação
gráfica) dos sistemas lineares, aborda o tema somente no registro de representação
algébrico.
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
Os livros didáticos e a classificação de sistemas lineares com mais de duas
incógnitas
Durante o nosso trabalho, ao analisarmos o registro de representação gráfico dos
sistemas lineares, deparamo-nos com a questão da classificação dos sistemas com mais
de duas incógnitas. Verificamos o quanto esse registro de representação é importante
para a classificação desses sistemas, inclusive como a falta desse registro pode levar a
classificação equivocada de um sistema linear.
Autores como Lima (1993, p. 8-18) e Ferreira e Gomes (1996, p. 9-16), entre
outros, advertem que a regra de Cramer só pode ser utilizada para resolver sistemas
lineares no caso em que o determinante da matriz dos coeficientes do sistema não é nulo,
isto é, (D ≠ 0), neste caso os três planos se interceptam num único ponto e o sistema tem
solução única, isto é, trata-se de um sistema possível e determinado (S.P.D.).
Eles afirmam também que quando D=0, só podemos concluir que o sistema linear
não é possível determinado, ou seja, podemos afirmar apenas ou que ele é possível
indeterminado (S.P.I.) ou que é impossível (S.I.). Entretanto alguns livros didáticos
afirmam, de maneira equivocada, que se um sistema linear possui todos os
determinantes da regra de Cramer iguais a zero (D=0, Dx=0, Dy=0 e Dz=0) então ele é
possível indeterminado (S.P.I.), isto é, os três planos que os representam possuem
infinitos pontos em comum e se D=0 e um dos seus determinantes (ou o Dx, ou o Dy,
ou o Dz) for diferente de zero, então o sistema linear é impossível, isto é, os planos que
os representam não possuem pontos em comum ( planos paralelos).
Abaixo apresentamos um contra-exemplo para esta afirmação. Neste caso, a
conversão do registro de representação algébrico para o registro geométrico dos
sistemas lineares possibilita perceber claramente que esta afirmação não é verdadeira.
Considere o sistema S1 abaixo:
x+ y + z =1
°
S1 : ®2 x + 2 y + 2 z = 8
° x+ y+z = 2
¯
Observe que os determinantes obtidos a partir de S1 são todos iguais a zero:
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
De acordo com o conteúdo apresentado em muitos livros didáticos, trata-se de um
sistema possível e indeterminado (SPI), cuja representação geométrica é formada por
três planos que possuem infinitos pontos em comum. Porém, utilizando o software
Winplot, podemos observar (Figura 3) que estes três planos não possuem nenhum ponto
em comum, logo, se trata de um sistema impossível (SI) e não de um sistema possível e
indeterminado (SPI).
Também podemos aplicar a regra do escalonamento (Regra de Gauss) no sistema
linear S1 e obtermos um sistema linear equivalente ao primeiro e que é impossível,
vejamos:
Em virtude dos fatos que acabamos de relatar, consideramos relevante se verificar
os livros didáticos abordam a classificação e a discussão dos sistemas lineares com três
equações e três incógnitas no registro gráfico.
Os livros L1 e L2 abordam a classificação dos sistemas lineares com três equações
e três incógnitas, apresentando inicialmente um texto explicativo dos possíveis casos
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
nos registros de representação algébricos e gráficos (ver Figuras 1e 2) . Os seus
exercícios resolvidos e propostos trabalham a classificação dos sistemas lineares apenas
no registro de representação algébrico, propondo o inicialmente o escalonamento do
sistema linear para classificá-lo.
Figura 4- Três dos cinco sistemas lineares propostos (classificação e sistemas lineares no registro
de representação algébrico)
Fonte: L1, p. 194.
Posteriormente apresentam também outra forma para discutir os sistemas lineares
que alia o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes ao escalonamento do
sistema, sem recair no erro anteriormente mencionado (Figuras 5 e 6). Porém
consideramos este método muito restrito visto que ele é indicado apenas aos sistemas
lineares que possuem o número de equações igual ao número de incógnitas.
Figura 5- Discussão de um sistema linear (caso particular de sistemas nxn) que
determinante ao escalonamento ou a outro processo.
associa o
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Fonte: L2, p. 180.
Figura 6- Exercício resolvido mostrando a discussão de um sistema linear (caso particular de
sistemas nxn) que associa o determinante ao escalonamento.
Fonte: L2, p. 195
O terceiro livro analisado apresenta as possíveis classificações dos sistemas
lineares num texto informativo e em seguida apresenta uma única maneira de classificar
e de discutir os sistemas lineares: utilizando a Regra de Cramer, da maneira equivocada
citada por Lima (1993).
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Figura 7- Discussão de um sistema linear apresentado no L3.
Fonte: L3, pp. 203 e 204
A proposta desse trabalho é analisar se os sistemas lineares com três equações e
três incógnitas - tema geralmente trabalhado na segunda série do ensino médio - estão
sendo abordados no registro de representação gráfico. Para alcançar este objetivo
analisamos três livros didáticos. Após esta investigação, podemos afirmar que em
apenas dois deles (denominados L1 e L2) o registro de representação gráfico está
presente. Porém observamos que este registro de representação esteve presente apenas
em textos explicativos. Nos exercícios resolvidos e propostos ainda predomina o
registro de representação algébrico. Talvez este fato ocorra devido à dificuldade que o
aluno poderia apresentar para representar graficamente estes sistemas lineares, visto que
eles estariam representando planos no espaço. Para sanar esta dificuldade, podemos
utilizar softwares gráficos. Atualmente já existem esses programas gratuitos, de fácil
manuseio, que trabalham em três dimensões e que podem ser baixados em máquinas
simples.
Podemos
citar
o
Winplot,
disponível
em
http://www.rc.unesp.br/igce/pgem/home/frames/download.htm, entre outros.
Acreditamos que o registro de representação gráfico deveria ser mais explorado,
pois ele poderia contribuir para que os alunos tivessem maior facilidade não só para
entender o conjunto solução de um sistema linear, mas também para classificá-lo e
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
discuti-lo quando necessário. Assim sendo, a abordagem desse tema não ficaria apenas
no desenvolvimento dos algoritmos, mas o aluno poderia analisar e melhor
compreender os resultados obtidos.
Essa pesquisa alterou, de maneira positiva, nossa prática docente. Além de
encontrar resultados, incentivamos os nossos alunos a refletir sobre eles. Sempre que
possível, recorremos ao registro de representação gráfico para validar, discutir e melhor
compreender os resultados obtidos no registro de representação algébrico. Um exemplo
disso é que após discutir um sistema linear, algebricamente, vamos para o laboratório de
informática para que o aluno possa compreender melhor os resultados obtidos.
Tomemos como exemplo o exercício resolvido apresentado na figura 6 deste trabalho.
Depois de discuti-lo no registro de representação algébrico, partimos para a
interpretação no registro de representação gráfico e encontramos com a ajuda do
software Winplot, as representações gráficas a seguir.
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Figura 8 - Discussão de um sistema linear no registro gráfico, utilizando o software Winplot
Como professoras de matemática, buscamos constantemente novas alternativas de
atividades que levam os alunos a realmente interpretar resultados e construir novos
conhecimentos. Acreditamos que atividades diversificadas possam contribuir para uma
aprendizagem mais significativa dos sistemas lineares.
Referências
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais+ (PCN+): ciências da natureza, matemática e
suas tecnologias. Brasília, DF, 2002.
____________ Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações
curriculares para o ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias.
Volume 2, Brasília, DF, 2006.
2008, pp.1-14. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
____________. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica.
Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLEM): matemática. Brasília,
DF,
2005.
Disponível
em
ftp://ftp.fnde.gov.br/web/livro_didatico/guia_livro_didatico_pnlem_2006_mg.pdf
Acesso em: 23 de dezembro, 2007.
DAMM, R. F. et al. Educação Matemática: uma introdução.. SP, EDUC, 2002, p. 135153.
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FERREIRA, M. C. C.; GOMES, M. L. M. Sobre o Ensino de Sistemas Lineares. In:
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FREITAS, I. M. Resolução de Sistemas Lineares Parametrizados e seu Significado
para o Aluno. 1999. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC-SP.
KARRER, M. Articulação entre álgebra Linear e Geometria: um estudo sobre as
transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica. Tese
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GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; JR J. R. G. Matemática Completa: ensino
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LELLIS, M.; IMENES, L. M. A Matemática e o Novo Ensino Médio. In: Educação
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LIMA, E. L. Sobre o Ensino de Sistemas Lineares. In: Revista do Professor de
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MACHADO, S. D. A, O Universitário principiante x Significado dos Sistemas de
Equações In: Anais do IV EPEM. São Paulo: SBEM, 1996, p. 241 – 248.
SMOLLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática: Ensino Médio. Vol. 2. São Paulo: Saraiva
2003.
½¾¿ÀÁÂ ÃÄ ÅÄÂ ÆÁÇÈÉÊ¿ËÂ ÁÄ ÌÄ ¾ ÍÎÏ ÐÑÎ ÅÉÒ ÓÔ ÒÍÕÎÏÎ ÐÓ ÌÖ×ÓØ×ÖÑÙÍÕÑ ÓÔ
Matemática: Que formação?. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:
IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
O USO DAS TIC EM CURSOS DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA: QUE
FORMAÇÃO?
Jediane Teixeira de SOUZA – PUC/SP ([email protected]Ú
Ana Lúcia MANRIQUE – PUC/SP ([email protected]Ú
Resumo: É perceptível a grande dificuldade dos professores de Matemática em lidar com
o uso das tecnologias na Educação Básica. Investigar em que condições os cursos de
formação inicial contemplam atividades, tanto do domínio técnico das tecnologias ou
softwares e suas potencialidades, quanto o modo como essas ferramentas podem ser usadas
em sala de aula são questões pertinentes de pesquisa. O objetivo deste trabalho é investigar
instituições de ensino superior que possuem cursos de licenciatura em Matemática,
relativamente ao oferecimento de recursos tecnológicos, as oportunidades de inclusão
digital e a preparação dos futuros professores de Matemática para utilizarem as TIC como
recurso pedagógico. Foram realizadas entrevistas com um professor que utiliza as
tecnologias em suas aulas e o coordenador de curso de duas instituições privadas, uma
universidade e uma faculdade. Realizamos também análise documental dos Projetos
Pedagógicos dos Cursos de Licenciatura em Matemática e das ementas das disciplinas das
duas instituições que fazem referência às novas tecnologias. Os resultados mostram que as
duas instituições oferecem recursos materiais e tecnológicos. O curso da universidade
oferece disciplinas da área de Informática e Computação e de Informática na Educação. O
curso da faculdade oferece disciplinas de formação matemática que usam as TIC como
ferramenta educacional para a construção dos conhecimentos geométricos e gráficos.
Apesar de não possuir disciplinas que se caracterizem com a Informática na Educação,
algumas disciplinas de Matemática oferecem momentos em que se propõem a investigar as
TIC aplicadas à Educação por meio de leitura de artigos que enfatizam as vantagens e
desvantagens do uso de softwares e a orientar os licenciandos de como utilizar as
tecnologias na prática docente. Entretanto, questionamos se é suficiente o oferecimento de
recursos tecnológicos e disciplinas que contemplem as categorias mencionadas para que os
licenciandos utilizem as tecnologias pedagogicamente.
Palavras-chave: Formação de Professores, Licenciatura em Matemática, Novas
Tecnologias da Informação e da Comunicação.
Financiamento: FAPESP
Introdução
A sociedade atual sofreu uma série de mudanças sociais, culturais e tecnológicas que
exigem dos cidadãos competência para inovar, produzir novos conhecimentos e buscar
ÛÜÝÞßà áâ ãâ äßåæçèÝéà ßâ êâ Ü ëìí îïì ãçð ñò ðëóìíì
de Licenciatura em 2
soluções para as questões que surgem conforme as necessidades sociais que aparecem.
Segundo Flecha e Tortajada (2000), a sociedade informacional é uma realidade econômica
e cultural que surgiu com o avanço das tecnologias. Nessa nova sociedade a informação é a
matéria-prima e o seu processamento é a base do sistema econômico. Com isso, essa
sociedade prioriza o domínio de certas habilidades como a seleção e o processamento da
informação, a autonomia, a capacidade para tomar decisões, o trabalho em grupo, a
polivalência, a flexibilidade etc.
Cabe à escola, portanto, preparar seus alunos a esse contexto social e isso é proposto
por meio das disciplinas lecionadas, todas possuindo como função e objetivo educá-los
para a sociedade atual. Uma delas é a Matemática que, segundo os Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL, 1998, p. 27), pode contribuir com:
[...] a formação do cidadão ao desenvolver metodologias que enfatizam a
construção de estratégias, a comprovação e justificativa de resultados, a
criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia
advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios.
O impacto que a informática provocou na adequação da sociedade moderna foi muito
intenso. Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 87):
Por um lado, tem-se a inserção dessa tecnologia no dia-a-dia da
sociedade, a exigir indivíduos com capacitação para bem usá-la; por outro
lado, tem-se nessa mesma tecnologia um recurso que pode subsidiar o
processo de aprendizagem da Matemática. É importante contemplar uma
formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a Matemática como
ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia como ferramenta
para entender a Matemática.
A atividade de uso do computador pode ser feita tanto para continuar transmitindo a
informação para o aluno, quanto para criar condições de o aluno construir seu
conhecimento.
Objetivos e questão de pesquisa
Este trabalho é um dos produtos do projeto de pesquisa “Formadores de Professores
de Matemática: Concepções, saberes e práticas docentes”, financiado pela FAPESP, sob
coordenação da Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique, e está inserido no grupo de pesquisa
“Professor de Matemática: formação, profissão, saberes e trabalho docente” do Programa
de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica
ôõö÷øù úû üû ýøþÿS öù øû û õ üS de Licenciatura em 3
de São Paulo, Brasil. O objetivo deste trabalho é investigar “se” e “como” o professor
formador no curso de licenciatura em Matemática está preparando os futuros professores
de matemática para utilizar as TIC como recurso pedagógico.
As questões de pesquisa que nortearam o trabalho foram:
As instituições de ensino estão oferecendo formação com TIC nos cursos de
licenciatura?
Como as TIC estão sendo utilizadas nos cursos de licenciatura?
Professores e coordenadores consideram importantes as TIC no contexto de
formação docente?
Iremos analisar duas instituições de ensino superior (IES) privadas, sendo uma
universidade e uma faculdade, ambas oferecendo curso de Licenciatura em Matemática. O
estudo foi realizado em três etapas: a primeira consistiu em um levantamento bibliográfico
a fim de obter uma base teórica para nossa análise; a segunda incidiu em uma análise
documental dos Projetos Pedagógicos das Instituições e em suas ementas; e, por fim, a
terceira etapa contemplou a realização de visitas às instituições de ensino e de entrevistas
semi-estruturas com os coordenadores e dois professores.
Categorias de Análise
O trabalho de Barcelos (2004, p.10) foi realizado na Região Sudeste do Brasil, por
concentrar a maior quantidade de Instituições de Ensino Superior públicas que oferecem a
licenciatura em Matemática presencias no Brasil e teve como objetivo geral analisar como
a formação inicial faz uso das TIC como recurso pedagógico no processo de ensino e
aprendizagem.
A pesquisa de campo possibilitou que a autora classificasse as disciplinas, de alguma
forma relacionadas as TIC, em três categorias, isto para melhor compreensão das diferentes
abordagens das mesmas, nas licenciaturas em Matemática.
Categoria 1: Disciplinas da área de Informática e Computação - usar computadores
de forma competente, para produzir coisas simples como pôsteres e desenhos; utilizar
processadores de texto, editores de textos matemáticos, bem como criar e usar um banco de
dados ou uma planilha eletrônica; usar serviços oferecidos pelas redes de computadores e
produzir páginas a serem disponibilizadas na Internet; projetar, programar e avaliar
algoritmos simples para problemas orientados a tarefas elementares.
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Categoria 2: Disciplinas da área de Informática na Educação - investigar TIC
aplicadas à Educação Matemática, identificando suas vantagens e desvantagens; provocar a
mudança de postura didática do professor face às ferramentas tecnológicas de apoio e ao
sincronismo com o mundo atual; avaliar e utilizar softwares educacionais de Matemática
voltados para o Ensino Fundamental e Médio; avaliar sites que envolvam conteúdos
matemáticos; criar projetos que utilizem TIC na construção de conhecimentos
matemáticos.
Categoria 3: Disciplinas de formação Matemática que usam as TIC como ferramenta
educacional - utilizar softwares para cálculos algébricos e aproximados, visualizações
gráficas e experimentos computacionais, ligados ao cálculo diferencial, funções reais de
uma variável e construções geométricas.
Assim, Barcelos (2004) diagnosticou que a quantidade de disciplinas obrigatórias
que contemplam o uso pedagógico das TIC ainda é pequeno. Aproximadamente 50% das
25 IES públicas dão grande ênfase à aprendizagem de computação e/ou informática, o que
foi apurado através da presença de disciplinas da categoria 1, ou seja, ocorre a
aprendizagem das TIC com fim em si mesmas. Pela análise das respostas dos
coordenadores ao questionário, verificou-se, ainda, que, na maioria das IES pesquisadas
não ocorre interdisciplinaridade dessas disciplinas com as de formação Matemática.
Analisando as ementas, a pesquisadora constatou que a carga horária destinada a
disciplinas da categoria 1 e 2 é pequena comparada à carga horária total.
Consideramos o estudo de Barcelos (2004) realizado com as instituições de ensino
superior públicas pertinente e para somar a ele iremos estudar duas IES privadas no intuito
de confrontarmos alguns resultados. Utilizaremos, então, essas mesmas categorias a fim de
categorizar nossos dados.
Análise dos Resultados
A primeira instituição contatada foi uma Universidade situada no Grande ABC,
região que compreende as cidades de Santo André, São Bernardo do Campo e São Caetano
do Sul do Estado de São Paulo, a qual nomeamos como Instituição-A.
O curso de Licenciatura em Matemática tem 184 alunos matriculados, sendo
distribuídos em: 37 alunos no 1º semestre, 20 alunos no 3º semestre, 18 alunos no 4º
semestre, duas turmas de 34 alunos cada no 5º semestre e 41 alunos no 6º semestre.
%&'()* +, -, .)/012'3* ), 4, & 567 896 -1: ;< :5=676
Essa instituição ressalta que a inserção de novas tecnologias exige do professor o
domínio do uso do computador e a potencialidade deste como ferramenta para o ensino.
Um dos procedimentos adotados como princípio fundamental é “utilizar novas ferramentas
como auxiliares na construção do saber, tais como: computadores, softwares específicos e
recursos audiovisuais” (PROJETO PEDAGÓGICO DA INSTITUIÇÃO-A, 2007, p. 8).
Nesse contexto a Instituição-A oferece algumas disciplinas que, de alguma forma
citam em sua ementa, o uso das TIC, tais como: Introdução à Informática Básica, Prática
III: Prática de Ensino em Matemática, Prática IV: Prática de Ensino em Matemática
Financeira, Métodos Computacionais e Informática Aplicada à Educação.
Quanto aos recursos materiais específicos do curso, ou seja, os laboratórios
disponíveis, o Projeto Pedagógico da Instituição-A destaca os Laboratórios de Ensino de
Matemática, de Informática e de Física. No curso de Matemática, os laboratórios de
informática servem de apoio ao aluno em estudo e pesquisa e como sala-ambiente das
disciplinas Introdução à Informática Básica e Informática Aplicada à Educação. Porém, o
laboratório também é disponível para os outros docentes do curso.
Com esses resultados podemos inferir que a instituição oferece estrutura e recursos
tecnológicos de boa qualidade, facilitando o acesso dos licenciandos à cultura digital.
Constatamos, também, que a Instituição-A possui disciplinas que contemplam o uso das
TIC e que essas possuem alguns objetivos compatíveis como os propostos nas categorias 1
e 2 apresentadas por Barcelos (2004), ou seja, a disciplina “Introdução à Informática
Básica” e “Métodos Computacionais” fazem parte da categoria 1 e as disciplinas
intituladas “Informática aplicada à Educação” e “Prática de Ensino III e IV” da categoria 2.
Por meio da entrevista realizada com o coordenador da Instituição-A, podemos
entender que cabe a esse coordenador um trabalho chamado por ele de “burocrático”, que
consiste em verificar dispensa de alunos que se transferem para a Instituição, autorizações
de materiais e aparelhos solicitados por professores, etc. O momento que o Coordenador-A
tem mais contato com alunos é quando os orienta em relação a horários das disciplinas e
aos estágios. Já os professores são orientados quanto às atividades e, se for preciso, o
coordenador os auxilia. Ainda, participa de reuniões ao longo do curso, geralmente, com a
reitoria e diretoria. Seu trabalho pedagógico é na organização dos projetos pedagógicos,
atualização das ementas e revisão bibliográfica de acordo com a legislação.
Quanto ao uso das tecnologias nessa instituição, o coordenador explicita as duas
disciplinas de Informática, sendo que a primeira disciplina relaciona-se ao ensino da
>?@ABC DE FE GBHIJK@LC BE ME ? NOP QRO FJT UV TNWOPO
utilização do computador, desenvolve atividades com o intuito de ensinar alguns softwares
básicos, como: Word e Excel. Afirma, ainda, que muitos alunos não sabem usá-los e, por
isso, a disciplina Introdução à Informática está alocada no primeiro semestre. A segunda
disciplina, Informática Aplicada à Educação, que ocorre no último semestre, é direcionada
à aplicação da informática nas aulas de Matemática, que seus licenciandos podem vir a
lecionar.
Para obtermos maiores informações sobre as disciplinas que, de alguma forma,
utilizam as tecnologias entrevistamos o professor que atualmente leciona a disciplina,
Informática Aplicada à Educação, e que, anos anteriores, já lecionou a disciplina
Introdução à Informática Básica.
O Professor-A declara que gostaria que o curso de licenciatura ensinasse a
Matemática na prática, apresentasse aos alunos onde uma fórmula Matemática pode ser
aplicada. Acredita que facilitaria o processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos
matemáticos. O professor afirmou:
[...] a licenciatura deveria ser uma matemática na prática, a gente deveria
ensinar os nossos futuros professores a ensinar matemática na prática
(Entrevista com o Professor-A, 07 de março de 2008).
As dificuldades enfrentadas pelo Professor-A, em seu trabalho como formador, estão
em fazer com que seus alunos se interessem por aprender a lecionar utilizando as
tecnologias como recurso pedagógico e compreender que esse recurso possa auxiliá-los na
sua formação como docente.
O Professor-A, que atua nesta instituição somente na licenciatura em Matemática,
afirma que desenvolve seu trabalho no curso procurando conscientizar os alunos de que o
computador é um recurso tecnológico excelente para ajudá-los e para apoiá-los nas aulas
de matemática.
Quanto a sua opinião em relação à importância do uso das TIC na formação inicial
do professor de Matemática, declara que a informática é importante em qualquer área, não
só na formação de professores, na formação de qualquer profissional.
A segunda instituição analisada foi uma Faculdade Integrada situada em Guarulhos,
cidade da Grande São Paulo. O Projeto Pedagógico da Instituição-B (2006, p. 5) afirma
que os objetivos do curso de Licenciatura em Matemática são os mesmos da instituição, e
que:
XYZ[\] ^_ `_ a\bcdeZf] \_ g_ Y hij kli `dm no mhpiji
[...] garantem um ensino de excelência e propõem uma estreita
articulação com as dimensões teóricas e práticas, considerando os
conhecimentos específicos, os pedagógicos, os curriculares e as políticas
educacionais, como base para a formação de seus alunos.
A instituição tem vários laboratórios instalados em ambientes modernos,
climatizados com equipamentos de alto desempenho e grande versatilidade de uso,
preparados para situações que viabilizam a prática eficaz das áreas a que se destinam, entre
eles o laboratório de ensino de matemática, o de física, o de informática e o de tecnologias
educacionais.
O Projeto Pedagógico afirma que essa instituição busca desenvolver habilidades no
emprego da tecnologia como ferramenta no processo ensino-aprendizagem da matemática
e fazer com que os alunos compreendam, critiquem e utilizem novas idéias e tecnologias
para a resolução de problemas.
O Curso de Licenciatura em Matemática tem duração de três anos. O regime é
semestral, portanto o curso é composto de seis períodos. Atualmente, o curso de
Licenciatura em Matemática tem 219 alunos matriculados, sendo que 63 alunos estão no 1º
ano, 76 no 2º ano e 80 no 3º ano.
Quanto ao uso da Informática, o Projeto Pedagógico da Instituição-B (2006, p. 15)
destaca que:
É importante ressaltar que a informática estará presente desde o início do
curso sendo utilizada como ferramenta para o desenvolvimento das
disciplinas, assim como conhecimento de leitura e escrita que será
desenvolvido em todas as disciplinas, tendo uma ênfase especial nas
disciplinas de Prática e Metodologia da Pesquisa.
Verificando as ementas das disciplinas do curso Licenciatura em Matemática da
Instituição-B, percebemos que não há uma disciplina específica com ênfase no uso das TIC
na educação, mas disciplinas que mencionam, em sua ementa, o uso das TIC como recurso
pedagógico, tais como: Geometria – I, II, III e IV, Cálculo Diferencial e Integral – I, II e
III, Matemática Financeira e Fundamentos da Matemática I e II.
Segundo as categorias descritas por Barcelos (2004) e mediante as ementas das
disciplinas, podemos inferir que essa instituição oferece apenas disciplinas que se
enquadram na categoria 3.
O Coordenador-B, sendo também professor do curso de Licenciatura em
Matemática, tem uma visão muito próxima dos desafios e progressos que seu grupo de
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professores enfrenta. Na entrevista, o coordenador afirma que as reuniões com os
professores são, geralmente, no começo e no fim do semestre, mas sempre que avaliam a
necessidade, se encontram e discutem assuntos referentes ao curso e a Educação
Matemática.
Quanto a número de alunos por sala, o coordenador considera viável e quanto a
equipamentos disponíveis, a instituição fornece equipamentos excelentes, como
laboratórios de informática, equipamentos de multimídias, materiais de manipulação,
laboratório de física e enfatizou o laboratório de ensino da matemática, onde os alunos têm
oportunidade de planejar aulas de forma contextualizadas.
O coordenador foi questionado quanto ao uso das tecnologias durante o curso e
afirmou que um dos momentos em que os alunos têm contato com a informática é em uma
atividade acadêmico-científica-cultural, entre as 200 horas exigidas, quando é oferecido o
curso de informática básica com ênfase na Matemática, e que isso ocorre no primeiro
semestre. Neste curso de 20 horas, os alunos têm a oportunidade de aprender a editar textos
matemáticos com a utilização do aplicativo Equation e também aprendem a construir
gráficos utilizando o software Winplot.
Um segundo momento que o coordenador destacou são as aulas de Geometria, em
que o laboratório de informática é utilizado, por cada turma, pelo menos uma vez por
semana para fazer uso de um software de geometria dinâmica. As aulas de Geometria são
dividas em uma aula na sala com exposição do conteúdo e outra no laboratório de
informática para vivenciar a geometria em um recurso tecnológico. Diz ainda que a
disciplina de Geometria tem prioridade na utilização do laboratório.
A calculadora é utilizada nas aulas de Prática de Ensino também como recurso
pedagógico. Outra visão de uso de tecnologia discutida entre os professores refere-se a
alguns momentos que são usados para ensinar a utilizar softwares de apresentação como o
PowerPoint. Menciona também que nas aulas de Cálculo o professor promove discussões
de artigos sobre as tecnologias e a importância do uso de calculadora gráfica. Na análise do
Projeto Pedagógico da Instituição-B, não encontramos na ementa da disciplina Prática de
Ensino nenhuma referência quanto à utilização das tecnologias.
Quando questionado sobre como é a articulação entre a teoria e prática, o
Coordenador-B afirma que o intuito de proporcionar a seus alunos aulas no laboratório de
informática é de ensiná-los a utilizar o computador para aprender Geometria e para ensinálos a lecionar usando o Cabri Géomètre.
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Na Instituição-B optamos em realizar a entrevista com o Professor-B, já que ele
leciona as disciplinas Geometria I, II, III e IV e utiliza as TIC em suas aulas. Atualmente
também leciona a disciplina Prática de Ensino.
O professor alega que não enfrenta nenhuma dificuldade para utilizar as tecnologias,
afirma que todo ano reserva o laboratório de informática três dias por semana, apesar de
ocorrer algumas divergências com os outros cursos, mas sempre chegam a um acordo. E
enfatiza que o curso de Licenciatura em Matemática é o único que o utiliza o laboratório de
informática semanalmente na disciplina de Geometria e durante o semestre nas disciplinas
de Cálculo Diferencial e Integral, Fundamentos da Matemática, entre outros.
Todo ano eu já reservo três dias para o uso do laboratório. [...] outros
cursos reclamam publicamente que nós da matemática monopolizamos o
laboratório. [...] as nossas aulas são preparadas, tem embasamento, [...].
Mas todos os cursos quando precisam, [...] A gente cede [...] eu combino
com os meus alunos que aquele dia nós não usaremos, dobraremos a
nossa aula em sala de aula ou aqui nesse ambiente e numa próxima a
gente repõe. [...] Matemática é o único curso que tá usando direto, dois,
três dias. E é usado não só por mim: com o pessoal de Cálculo, com o
pessoal de Fundamentos, é amplamente utilizado. (ENTREVISTA COM
O PROFESSOR-B, 10 de março de 2008).
O Professor-B afirma que desenvolve seu trabalho direcionando suas aulas não só
para o conteúdo da Geometria, mas também para ensinar os futuros professores como
lecionar Geometria utilizando os recursos tecnológicos.
O uso das tecnologias está presente em suas aulas nos quatro semestres que trabalha
Geometria com os licenciandos em Matemática. O professor divide suas quatro aulas
semanais em: duas aulas para os alunos trabalharem com teoria e exercícios no laboratório
de Matemática trabalhando com manipulação de objetos concretos, e as outras duas aulas
no laboratório de informática trabalhando com software de geometria dinâmica.
O Professor-B encaminha suas aulas primeiramente apresentando o software Cabri
Géomètre para adaptação de suas ferramentas. Depois acontece uma discussão do papel do
software com o intuito de diferenciar os conceitos de desenho e construção. Os alunos
desenvolvem atividades seqüenciais com conceitos geométricos, como lugares
geométricos, funções, entre outros. O professor enfatiza que trabalha com seus alunos não
só o conceito de geometria, mas também a utilização do software na Educação Básica.
Propõe leituras de artigos para validar o uso desses softwares educacionais na Educação
discutindo o papel do ambiente informatizado na sala de aula.
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Eles lêem também artigos para validar o uso desses softwares na
educação; qual é o papel do ambiente informatizado na sala de aula. Qual
a contribuição, a idéia do ambiente colaborativo, de interação, de
integração. [...] Então, é bem nesse sentido, usa o ambiente, cria
seqüência pedagógica, didática e, ao mesmo tempo, vai discutindo textos
(ENTREVISTA COM O PROFESSOR-B, 10 de março de 2008).
Os softwares utilizados nas aulas ministradas pelo Professor-B são o Cabri
Géomètre, o Poly, entre outros, mas ele não se restringe a esses, ensina seus alunos a
pesquisar os softwares e seus manuais de uso na Internet. Ressalta que os licenciandos têm
a oportunidade de adquirir ótimos conhecimentos do software Cabri Géomètre.
As aulas são desenvolvidas visando uma discussão das atividades seqüências. Os
licenciandos levantam as dúvidas que seus futuros alunos poderiam apresentar com certa
atividade.
Considerações Finais
Podemos perceber mudanças que estão acontecendo em nossa sociedade. Segundo
Moran (2000), ela está mudando nas suas formas de se organizar, de produzir bens, de
comercializá-los, de se divertir, de ensinar e de aprender. Estamos na era da sociedade do
conhecimento e, segundo Valente (1999, p. 31), “o conhecimento e, portanto, seus
processos de aquisição assumirão um papel de destaque, de primeiro plano”. Essa
valorização do conhecimento faz com que a Educação também passe por mudanças, pois
muitas formas de ensinar não se justificam mais.
A mudança pedagógica que todos almejam é a passagem de uma
Educação totalmente baseada na transmissão da informação, na instrução,
para a criação de ambientes de aprendizagem nos quais o aluno realiza
atividades e constrói o seu conhecimento. (VALENTE, 1999, p. 31).
Neste contexto, o papel do professor sofre mudanças, ele deixa de ser um mero
transmissor de informações e passa a ser um facilitador, mediador, condutor do aluno no
processo de construção do seu conhecimento. Para tanto, o professor precisa estar muito
bem preparado para enfrentar essas mudanças.
As Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) estão presente em todos os
aspectos de mudança e constituem instrumentos de trabalho essenciais no mundo de hoje,
desempenhando papel fundamental na Educação. Segundo Ponte, Oliveira e Varandas
(2002), as tecnologias constituem um meio privilegiado de acesso à informação; são um
instrumento fundamental para pensar, criar, comunicar e intervir sobre numerosas
¼½¾¿ÀÁ ÂÃ ÄÃ ÅÀÆÇÈÉ¾ÊÁ ÀÃ ËÃ ½ ÌÍÎ ÏÐÍ ÄÈÑ ÒÓ ÑÌÔÍÎÍ
situações; constituem uma ferramenta de grande utilidade para o trabalho colaborativo e
representam um suporte do desenvolvimento humano nas dimensões pessoal, social,
cultural, lúdica, cívica e profissional.
A Informática na Educação pode ser utilizada tanto para continuar transmitindo
conhecimento como também para auxiliar na construção do conhecimento. Segundo
Valente (1999), o computador assume o papel de máquina de ensinar quando ele é
utilizado meramente para transmissão de informação e o método de ensino continua a ser o
tradicional, mas quando o computador passa a ser uma máquina para ser ensinada, ou seja,
quando o aluno o utiliza resolvendo problemas, utilizando linguagem de programação,
refletindo sobre os resultados obtidos, utilizando softwares para realizar tarefas como
desenhar, escrever, calcular, etc., ele passa a ser utilizado para construir o conhecimento.
Valente (1999) afirma que a Informática na Educação enfatiza o fato de o professor
ter conhecimento sobre os potenciais do computador. Para que o professor se sinta seguro
em utilizar as tecnologias é muito importante que ele esteja preparado para dominar os
conhecimentos digitais e saber adequar as atividades de maneira que o computador seja
uma máquina para ser ensinada.
Neste contexto, analisamos “se” e “como” a utilização das TIC está colocada nas
matrizes curriculares e ementas das licenciaturas em Matemática das instituições de ensino
que fazem parte desta pesquisa e podemos perceber que as duas IES oferecem recursos
materiais para o uso das tecnologias e que existem disciplinas que tem, em suas ementas,
objetivos que enfatizam o uso das TIC.
As disciplinas que mais correspondem aos objetivos da Categoria 1 descrita por
Barcelos (2004) são: Introdução à Informática Básica e Métodos Computacionais da
Instituição-A.
E as disciplinas que mais correspondem aos objetivos da Categoria 2 apresentada por
Barcelos (2004) são: Informática Aplicada à Educação e Prática de Ensino III e IV da
Instituição-A.
Ao comparar os objetivos da Categoria 3 proposta por Barcelos (2004) e os objetivos
e metodologias referentes ao uso das TIC, podemos perceber que as disciplinas que estão
nessa categoria são: Geometria I, II, III e IV, Cálculo Diferencial e Integral, Matemática
Financeira e Fundamentos da Matemática Elementar I e II da Instituição-B.
A Instituição-A oferece tanto disciplinas da categoria 1 como da categoria 2 e a
Instituição-B oferece apenas a disciplina da categoria 3, mas na análise da entrevista com o
ÕÖ×ØÙÚ ÛÜ ÝÜ ÞÙßàáâ×ãÚ ÙÜ äÜ Ö åæç èéæ Ýáê ëì êåíæçæ
Professor-B percebemos que mesmo sendo aula de Geometria, o professor consegue atingir
alguns dos objetivos da categoria 2, pois ele propõe a investigação das TIC aplicadas à
Educação por meio de leitura de artigos que enfatizam as vantagens e desvantagens do uso
do software Cabri Géomètre e orienta os licenciandos a utilizar as tecnologias na prática
docente e em suas atividades usando o software, voltadas para o Ensino Fundamental e
Médio.
Segundo Valente (1999), a formação do professor deve prover condições para o
licenciando construir conhecimento sobre as técnicas computacionais, entender por que e
como integrar o computador na sua prática pedagógica e ser capaz de enfrentar
dificuldades administrativas e pedagógicas. E ainda afirma que:
[...] deve-se criar condições para que o professor saiba recontextualizar o
aprendizado e a experiência vivida na sua formação para sua realidade de
sala de aula, compatibilizando as necessidades de seus alunos e os
objetivos pedagógicos que se dispõe a atingir. (VALENTE, 1999, p.
113).
Barcelos (2004) considera que, do ponto de vista pedagógico, o ideal é que as
categorias 1 e 2 fossem contempladas, entretanto, com maior ênfase na categoria 2.
Contudo, acreditamos que a presença das disciplinas de formação Matemática, da categoria
3, que utilizam as TIC como ferramenta educacional, também é essencial. Essas disciplinas
permitem que os futuros professores vivenciem e provem como alunos, que o uso
pedagógico das TIC no ensino da matemática pode facilitar a construção do conhecimento
trabalhado.
Com esse estudo, entendemos que as três categorias têm papel fundamental na
formação inicial de professor, pois os licenciandos precisam saber manipular a máquina,
utilizar softwares de edição de texto, de planilhas eletrônicas, de apresentação e fazer
pesquisas pela Internet para ter segurança em frente ao uso das tecnologias. Precisam,
também, aprender a utilizar os recursos em sua prática docente, pois não adianta dominar a
máquina se não souber aplicar atividades com o uso do computador, objetivando a
construção do conhecimento, pois, segundo Valente (1999), deve-se utilizar o computador
como máquina para ser ensinada. Não podemos descartar que o professor deve ter um
conhecimento matemático sólido, que pode ser obtido por meio da utilização da tecnologia
como recurso de aprendizagem, como defendemos em nosso estudo.
îïðñòó ôõ öõ ÷òøùúûðüó òõ ýõ ï þÿS
ÿ öú þÿSÿ de Licenciatura em 13
Analisando as duas Instituições de Ensino Superior do escopo dessa pesquisa,
acreditamos que essas IES parecem oferecer condições para os licenciandos serem capazes
de utilizar as tecnologias numa perspectiva inovadora para que aconteça uma
aprendizagem verdadeira, buscando a construção dos conhecimentos matemáticos nos seus
futuros alunos. As instituições oferecem recursos materiais e tecnológicos, além de
disciplinas que contemplem categorias que analisamos, mas a Instituição-A precisa
envolver os professores de formação Matemática para utilizarem as TIC como ferramenta
educacional em suas aulas. Já a Instituição-B poderia colocar em sua grade disciplinas que
contenham explicitamente objetivos das categorias 1 e 2.
Uma possível solução para a inclusão de disciplinas das categorias 1 e 2 na grade
curricular, sem alterar a carga horária dos cursos, é proposta por Kenski (2003, p. 74):
[...] na ampliação das possibilidades de aprendizagem em outros espaços,
não-escolares; na possibilidade de oferecimento de ensino de qualidade
em espaços, tempos e lugares diferenciados (presenciais e a distância); no
oferecimento do ensino ao aluno, a qualquer momento e onde quer que
ele esteja.
A autora refere-se a um ensino via redes que pode acontecer de forma dinâmica e
motivadora. Essa possibilidade de acesso à informação e à interação proporcionada pelas
novas tecnologias viabiliza a modalidade de ensino a distância para todos os níveis e todos
os assuntos.
Quanto à metodologia utilizada pelos professores entrevistados, podemos inferir que
eles direcionam suas aulas vinculando teoria e prática, propondo projetos que façam os
licenciandos vivenciarem a prática docente.
É claro que, como educadores, devemos oferecer a todos as condições para que os
licenciandos sejam capazes de enriquecer suas aulas usando as tecnologias. Mas será que,
mesmo se as IES oferecerem recursos tecnológicos e disciplinas que contemplem as
categorias mencionadas, estaremos garantindo que os licenciandos vão utilizar as
tecnologias pedagogicamente?
Valente (1993) discute alguns argumentos céticos em relação ao uso do computador
na Educação. O autor destaca a pobreza do nosso sistema educacional, tanto no aspecto
físico, de valorização do salário do professor, como no processo pedagógico. Outra
dificuldade é o medo que muitos professores têm de serem substituídos pela máquina. O
maior desafio está relacionado à dificuldade de adaptação da administração escolar, dos
professores e dos pais a uma abordagem educacional que eles mesmos não vivenciaram.
Os futuros professores estão propícios a enfrentar todas essas dificuldades e, por esse
motivo, a formação do professor não pode acabar com a formatura de sua graduação, pois,
segundo Kenski (2003, p. 30), “é preciso estar em permanente estado de aprendizado e de
adaptação ao novo.”
Para contribuir com essa formação continuada, Valente (1999) afirma que a
Informática na escola deve ser integrada às atividades desenvolvidas em sala de aula. Para
tanto, quando o professor estiver em sua prática docente deverá continuar adquirindo
conhecimentos sobre a Informática e desenvolvendo, juntamente com os seus alunos,
atividades relativas ao conteúdo da sua disciplina.
Referências
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de Informação e Comunicação nas Licenciaturas em Matemática da Região Sudeste.
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Goytacazes/RJ.
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Matemática. v.1., 148p., Brasília, DF, 1998.
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/01 230 '+4 56 4/7010 de Licenciatura em 15
MORAN, J. M. Ensino e Aprendizagem Inovadores com Tecnologias Audiovisuais e
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VALENTE, J. A. Por Quê o Computador na Educação? In: VALENTE, J.A. (Org.)
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VALENTE, J. A. (Org). O computador na Sociedade do Conhecimento. Campinas, SP:
UNICAMP/NIED, 1999.
VALENTE, J. A. As Tecnologias Digitais e os Diferentes Letramentos. Pátio Revista
Pedagógica. Porto Alegre, Ano XI, n. 44, 2007, p. 12-15.
R89:8R;< => ?> ;@ ABCDE@EFGEHEIJKL@ KM MNBJOPLQ TLssibilidades para a formação do
professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação
OS MULTISIGNIFICADOS DE EQUAÇÃO: POSSIBILIDADES PARA A
FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA.
Alessandro Jacques RIBEIRO – UNIBAN ([email protected]
Resumo: Fundamentado nos resultados da tese de doutoramento do autor (Ribeiro,
2007), o presente trabalho tem por objetivo apresentar os multisignificados de equação e
discutir as possibilidades que tal abordagem pode trazer para a Formação do Professor
de Matemática. A partir de um estudo epistemológico e didático-matemático
desenvolvido em sua tese, diferentes formas de conceber e utilizar a noção de equação
foram identificadas e categorizadas no referido trabalho. Estas diferentes maneiras de
conceber e utilizar equação – multisignificados de equação – contemplam diferentes
registros de representação semiótica e se fundamentam na teoria desenvolvida por
Raymond Duval (Duval, 1993). A abordagem dos multisignificados de equação, a
saber: intuitivo-pragmático; dedutivo-geométrico; estrutural-generalista; estruturalconjuntista; processual-tecnicista; axiomático-postulacional; na Formação do Professor
de Matemática visa contribuir para a ampliação das concepções de equação de
professores em formação inicial ou continuada, uma vez que propõe: a) uma discussão
epistemológica desta importante idéia matemática; b) uma discussão didáticomatemática que procure superar um simples caráter de revisão de um conteúdo da
Educação Básica; c) a utilização de forma integrada dos diferentes significados que
podem ser atribuídos à noção de equação, bem como a discussão articulada entre os
multisignificados de equação e os diferentes tipos de equação (como algébrica,
trigonométrica, matricial, diferencial, entre outras). Assim, com estas e outras
possibilidades de abordagem na Formação do Professor de Matemática, acredito que os
professores poderão se utilizar desse novo repertório em suas aulas de Matemática, o
que de certa forma permitirá uma (re) construção das concepções de equação entre os
alunos.
Palavras-Chave: Equação. Educação Algébrica, Multisignificados de Equação,
Formação do Professor de Matemática.
Introdução
O presente trabalho tem o objetivo de apresentar os diferentes significados que
podem ser atribuídos à noção de equação no ensino e aprendizagem de Matemática e
discutir suas potencialidades para a Formação do Professor de Matemática. É
VWXYWVZ[ \] ^] Z_ àbcd_defdgdhijk_ jl lmainokp qkssibilidades para a formação do 2
professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:
IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 12. (ISBN 978-85-98092-07-2)
desenvolvido e fundamentado nos resultados da tese de doutoramento “Equação e seus
multisignificados
no
ensino
de
Matemática:
contribuições
de
um
estudo
epistemológico”, de Alessandro Ribeiro, defendida em 2007, na Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, Brasil.
Este artigo foi desenvolvido na perspectiva de um trabalho de caráter teórico, uma
vez que retoma a discussão abordada em Ribeiro (2007), ampliando-a no sentido de
colocar em discussão as possibilidades e potencialidades que a abordagem dos
multisignificados de equação, concebidos na tese de doutorado do autor, podem trazer
para o processo de ensino e aprendizagem da Álgebra.
Ao longo de minha carreira como professor e pesquisador, pude perceber que na
maior parte das vezes em que a idéia de equação é evocada, seja como ferramenta intra
ou extra matemática, ou como objeto de estudo, dá-se uma excessiva ênfase nos
procedimentos e técnicas de resolução das equações, em detrimento de outras
discussões que possam contribuir para a construção desse conhecimento de forma mais
ampla.
A fim de corroborar as constatações sobre a ênfase que é dada ao transformismo
algébrico, quando se trabalha com equação, apresento a seguir algumas pesquisas na
área de Educação Matemática que despertou minha atenção e me motivou a trazer tais
reflexões para a discussão que estou propondo.
Em minha pesquisa de mestrado pude constatar algumas das conjecturas que
levanto no que se refere à ênfase dada ao procedimental quando se trabalha com as
equações. Em Ribeiro (2001) observei um desempenho pouco satisfatório em alunos de
13-14 anos, mesmo quando esses estão trabalhando com situações que requerem
somente uma manipulação de técnicas e procedimentos “mecânicos” de resolução de
equações. Os resultados obtidos naquela época levaram-me a refletir sobre uma
ineficiência do ponto de vista instrumental, ainda que haja uma super valorização do
aspecto procedimental.
Outra pesquisa interessante é a de Dreyfus e Hoch (2004), que discutem uma
abordagem estrutural para as equações. No trabalho desenvolvido com alunos de idade
equivalente aos alunos do nosso ensino médio, aqueles autores pediam aos alunos que
falassem sobre o que pensavam a respeito da noção de equação. Dentre os resultados
dessa pesquisa, o que mais me chamou a atenção foi a constatação que eles obtiveram
no que se refere à pouca capacidade daqueles alunos em reconhecer a estrutura interna
rstusrvw xy zy v{ |}~{{ } ssibilidades para a formação do 3
de uma equação, caracterizando a idéia de equação, na maioria das vezes, como um
processo de resolução, i.e., relacionando equação com o processo de sua resolução.
Com relação aos professores, meu foco neste trabalho, observa-se que, muitas
vezes, suas concepções de equação também supervalorizam o procedimental. A
pesquisa que Attorps (2003) desenvolveu com 10 professores secundários sobre suas
concepções de equação, traz resultados relevantes para esta discussão. Em seu trabalho
Teachers’ Images of the ‘Equation’ Concept, Attorps discute a insegurança que alguns
professores têm em afirmar, por exemplo, que 2 x ! 5 y
a é uma equação, por não
saberem como encontrar a solução. Ela apresenta também, que grande parte de seus
professores têm uma concepção de equação muito ligada à questão procedimental.
Afirma ainda que, durante as entrevistas, os professores freqüentemente relacionaram
suas concepções de equação à forma como eles aprenderam – suas experiências
enquanto alunos – a trabalhar com o processo de resolução de equações.
Costa (2007) entrevistou seis professores de matemática do ensino médio com o
objetivo de investigar se e como esses professores abordavam, em suas aulas,
problemas cujo equacionamento recaia em uma equação diofantina linear com duas
incógnitas. Em seus resultados, o autor observou que todos indicaram como melhor
abordagem a da tentativa e erro. Dentre eles, alguns sugeriram que um simples calculo
mental era suficiente e outros, embora equacionassem o problema por meio da equação
adequada, com duas incógnitas, disseram que não dava para usá-las, pois era necessário
obter mais uma equação para a resolução. Somente um dos professores admitiu que o
fato de haver uma única equação linear sugeria haver mais de uma solução. Esses
resultados levaram Costa a concluir que nenhum dos professores entrevistados deu
indícios de trabalhar com seus alunos utilizando conhecimentos das propriedades da
equação linear com duas incógnitas para verificar se a mesma tinha solução, e quais
eram elas.
Tais pesquisas, assim como outras que foram analisadas por mim durante o
desenvolvimento de minha tese, parecem sinalizar que a ênfase excessiva que é dada ao
aspecto procedimental das equações, não permite se quer que alunos e professores
conheçam e utilizem corretamente esta idéia em situações especificas da Álgebra, ou
mesmo em situações gerais da Matemática ou da vida cotidiana.
¡¢£ ¢¤ ¤¥¡¦§£¨ ©£ssibilidades para a formação do 4
Com isso, as discussões propostas no presente trabalho têm a preocupação de
buscar formas de contribuir para a ampliação dessa visão, dessas concepções acerca da
noção de equação, uma vez que apresenta diferentes significados que podem ser
atribuídos à noção de equação, quando do ensino e aprendizagem de Álgebra.
Apresentando os diferentes significados de equação
Visando à condução de nossas discussões para o objetivo principal desse trabalho,
quer seja, a apresentação de diferentes formas de conceber a noção de equação, acredito
ser relevante contextualizar o ambiente no qual esses diferentes significados foram
surgindo durante o desenvolvimento da pesquisa que fundamenta tal artigo.
Em Ribeiro (2007), é apresentado o desenvolvimento epistemológico da noção de
equação e, em seguida, a análise de livros didáticos com o objetivo de reconhecer
nesses, as diferentes formas como a noção de equação foi sendo concebida/construída
ao longo da história da Matemática.
Tendo em vista o foco dado e as limitações referentes ao presente trabalho, a
análise feita nos referidos livros não será aqui colocada em discussão (ver Ribeiro,
2008). Entretanto, irei me referir a tais livros para exemplificar situações em que pude
reconhecer indícios dos multisignificados de equação.
A trajetória histórica utilizada por mim em minha tese de doutoramento iniciou-se
com os Babilônios, os Egípcios e os Gregos. Desses povos, obteve-se às seguintes
concepções:
A noção de equação utilizada por essas civilizações, principalmente
pelos egípcios, tinha um caráter pragmático e procurava, de forma
intuitiva, igualar duas quantidades, com a finalidade de encontrar o
valor da quantidade desconhecida.
Percebe-se durante essa fase da história das equações, que na maior
parte das vezes, a busca pelas soluções relacionava-se à equações
particulares, para resolver problemas específicos. Os métodos
utilizados, em sua maior parte, estavam ligados à idéias aritméticas e
não tinham como preocupação a busca por soluções gerais para esses
tipos de equações (RIBEIRO, 2007, p. 55)
(...)
Por outro lado, os gregos não estavam procurando resolver equações
que tinham sido originadas de problemas de ordem prática. A noção
de equação utilizada pelos gregos contemplava um caráter geométrico
e, de forma dedutiva, suas resoluções repousavam em manipulações
geométricas, como percebemos no método das proporções, por
exemplo. (RIBEIRO, 2007, p. 60)
ª«¬«ª®¯ °± ²± ®³ ´µ¶·¸³¸¹º¸»¸¼½¾¿³ ¾À ÀÁµ½ÂÃ¿Ä Å¿ssibilidades para a formação do 5
Prosseguindo o estudo epistemológico, fui investigar como os Árabes e os Hindus
concebiam essa noção, observando que:
(...) tanto árabes como hindus trabalhavam com equações originárias
de problemas de ordem prática, assim como os babilônios e os
egípcios já tinham feito, além de situações que recaiam em
interpretações e manipulações geométricas, como os gregos já o
faziam. Contudo, é notório que as questões investigadas por árabes e
hindus parecem dar à noção de equação, cada vez mais, um caráter
algébrico. O catálogo de expressões que se sabe resolver passa do
específico – constituído pela acumulação de problemas resolvidos,
técnicas e procedimentos de resolução particularizadas – para um
catálogo de todas as formas canônicas possíveis. (RIBEIRO, 2007, p.
67)
(...)
A noção de equação utilizada pelos árabes e hindus já apresenta uma
concepção mais estrutural, no sentido de se observar as características
e propriedades definidas em uma classe de equações e não mais em
equações relacionadas a situações particulares. (RIBEIRO, 2007, p.
68)
Finalizando meu trabalho, levantei como e com quais finalidades os Europeus
utilizavam e discutiam a noção de equação, concluindo que:
(...) nesse período da história das equações, assim como já havia
ocorrido com os árabes e hindus, principalmente com al-Khwarizmi,
as equações eram vistas dentro de um sistema estrutural com
propriedades e características definidas. A noção de equação nesse
período, até a resolução das cúbicas e quartícas, é considerada um
objeto de investigação, pois as operações são levadas a cabo sobre elas
mesmas, debruçando-se na busca de soluções gerais para esses tipos
de equações. Isso é uma característica que diferencia a maneira que a
mesma era concebida pelos babilônios ou egípcios, por exemplo.
(RIBEIRO, 2007, p. 79)
Dentre os resultados obtidas naquele momento, vale a pena destacar que (...)
“emerge desse estudo ao menos três formas diferentes de se enfocar equação: uma
relacionada a um caráter pragmático, outra relacionada a um caráter geométrico e uma
terceira relacionada a um caráter estrutural”. (RIBEIRO, 2007, p. 82)
Contudo, além das diferentes formas de conceber a noção de equação que foram
observadas no estudo epistemológico, percebeu-se ainda que pesquisas em Educação
Matemática, dentre estas as que foram apresentadas na introdução deste trabalho,
conduzem-nos a identificação de uma outra maneira de conceber equação, quer seja, a
noção de equação entendida como sua própria resolução. Por essa maneira de entender
ÆÇÈÉÇÆÊË ÌÍ ÎÍ ÊÏ ÐÑÒÓÔÏÔÕÖÔ×ÔØÙÚÛÏ ÚÜ ÜÝÑÙÞßÛà áÛssibilidades para a formação do 6
equação, alunos e professores, nas pesquisas retratadas anteriormente, concebem a
noção de equação enquanto um processo, uma técnica.
Por fim, baseado num estudo feito na obra de Chevallard (1991), no que se refere
aos objetos do saber, observei que, segundo esse autor, equação não é uma noção
matemática, mas sim, uma noção paramatemática, não podendo assim, tomar lugar
junto aos objetos de ensino. Nestes estudos, pude concluir que um dos argumentos que
estão subjacentes à postura de Chevallard parece ser o fato de não ser possível definir
equação, excluindo-a assim da “categoria” de noção matemática e, conseqüentemente,
dos objetos do ensino.
Entretanto, considerando-se todos os significados identificados em Ribeiro
(2007), parece existir sim uma grande necessidade de se discutir a noção de equação no
processo de ensino e aprendizagem da Matemática, contrapondo assim as idéias
apresentadas por Chevallard. Para isso, em Ribeiro (2007) é apresentada mais uma
forma de conceber a noção de equação, além daquelas que emergiram do estudo
epistemológico e bibliográfico.
Por esta outra forma de conceber a noção de equação é dispensada a necessidade
de defini-la, possibilitando assim sua abordagem como uma noção matemática, e
colocando-a dentre aos objetos de ensino no processo didático. Penso que com isso
consegui me desvencilhar do paradoxo que me ocorreu durante o desenvolvimento da
tese de doutoramento: se por um lado equação não é uma noção matemática, pois
aparentemente não podemos defini-la, e ela assim não pode tomar lugar juntos aos
objetos de ensino; por outro, todos os significados concebidos para ela e sua
importância intra e extra Matemática, apontam justamente a necessidade de considerar
sim esta noção no processo de ensino e aprendizagem de Matemática.
Finalmente, após a construção desse cenário que procurou discutir as fontes
geradoras dos diferentes significados concebidos para a noção de equação em Ribeiro
(2007), apresento a seguir os multisignificados de equação que proponho estar presente
no ensino e na aprendizagem de Matemática.
Concebendo os Multisignificados de Equação
Os multisignificados apresentados neste trabalho foram concebidos e amplamente
discutidos no trabalho de doutoramento já citado anteriormente. Minha principal
motivação neste trabalho é enfatizar as potencialidades que os multisignificados de
âãäåãâæç èé êé æë ìíîïðëðñòðóðôõö÷ë öø øùíõúû÷ü ý÷ssibilidades para a formação do 7
equação têm para a construção desse conhecimento matemático no processo de ensino e
aprendizagem de Álgebra e, em especial, na Formação do Professor de Matemática.
A apresentação dos multisignificados de equação neste trabalho irá obedecer a
uma ordenação histórica da forma como os quais, na minha leitura, foram aparecendo e
sendo utilizados, implícita ou explicitamente, na história da Matemática. Procurarei
ainda exemplificar cada um deles, recorrendo à história da Matemática, a pesquisas em
Educação Matemática, e a livros didáticos de Matemática.
Imagino ser relevante, antes de iniciar a apresentação das diferentes formas de
conceber a noção de equação – que estou optando por chamar de multisignificados de
equação – ressaltar que as diferenças entre esses multisignificados são, às vezes,
bastante sutis e que é tênue a linha que separa um significado de outro. Assim, vamos à
apresentação desses multisignificados:
Intuitivo-Pragmático: a noção de equação é concebida como uma noção intuitiva,
ligada à idéia de igualdade entre duas quantidades. Sua utilização está relacionada à
resolução de problemas de ordem prática, os quais são originários de situações do dia-adia. Alguns exemplos de situações que caracterizam esse significado podem ser
encontrados:
"
Nos Babilônios e Egípcios: problemas de origem prática envolvendo questões da
agricultura, por exemplo;
"
No livro didático de Bourdon (1897).
Dedutivo-Geométrico: a noção de equação é concebida como uma noção ligada às
figuras geométricas, aos segmentos. Sua utilização está relacionada às situações quem
envolvem cálculos e operações com segmentos, ou com medida de lados de figuras
geométricas, ou com intersecções de curvas. Alguns exemplos de situações que
caracterizam esse significado podem ser encontrados:
"
Gregos: utilização do método das proporções e o da aplicação de áreas. O método
das proporções permite que se construa um segmento de reta x dado por a : b = c : x ou
por a : x = x : b, em que a, b, c são segmentos de reta dados. Em relação ao método da
aplicação de áreas, pode-se recorrer aos Elementos de Euclides, utilizando-se a
Proposição 44 do Livro I, e as Proposições 28 e 29 do livro VI;
þÿR ÿþ ssibilidades para a formação do 8
"
Geometria das Curvas: Khayyam encontrou uma solução geométrica para a
equação cúbica do tipo x3 + ax = b, utilizando a intersecção do círculo x2 + y2 = qx e a
parábola x2 = py, e também trabalhou com a cúbica do tipo x3 = ax +b, utilizando a
intersecção da parábola x
2
(b
%
x& ! x #
a y e a hipérbole eqüilátera ' a
$
y2
.
Estrutural-Generalista: a noção de equação é concebida como uma noção estrutural
definida e com propriedades e características próprias. A equação aqui é considerada
por si própria, operando-se sobre ela mesma na busca de soluções gerais para uma
classe de equações de mesma natureza. Alguns exemplos de situações que caracterizam
esse significado podem ser encontrados:
"
al-Khwarizmi: embora as equações com que ele trabalhava eram originárias de
problemas de ordem prática, sua atenção estava focada para a determinação da
resolução de qualquer equação quadrática. Estabeleceu duas operações fundamentais aljabr e al muqabalah, que reduziam as equações tratadas por ele em seis tipos, em sua
forma canônica;
"
Descartes: quando da utilização de seu método cartesiano passa a tomar as próprias
equações não mais como um meio de organização de fenômenos, mas como um campo
de objetos que necessita de novos meios para sua organização: seria a resolução de
equações utilizando-se a forma canônica;
"
Demais matemáticos a partir de Descartes, como Abel e Galois, que passaram a
investigar a estrutura do processo de resolução das equações, visando encontrar, ou
mostrar que não existia, um algoritmo capaz de resolver, por meio de radicais, as
equações de grau superior a quatro.
Estrutural-Conjuntista: a noção de equação é concebida dentro de uma perspectiva
estrutural, que está diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma
ferramenta para resolver problemas que envolvam relações entre conjuntos. Alguns
exemplos de situações que caracterizam esse significado podem ser encontrados em
Bourbaki (1970), Rogalski (2001) e Warusfel (1969).
! " #$%&'"'()'*'+,-." -/ /0$,12.3 4.ssibilidades para a formação do 9
Processual-Tecnicista: a noção de equação é concebida como a sua própria resolução –
como os métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos
estruturalistas, não enxergam a equação como um ente matemático sobre o qual as
operações e manipulações que são realizadas atendem à regras bem definidas. Alguns
exemplos de situações que caracterizam esse significado podem ser encontrados em
pesquisas realizadas na área de Educação Matemática que indicam a presença desse
significado, como em Cotret (1997) ou em Dreyfus e Hoch (2004).
Axiomático-Postulacional: concebe equação como uma noção da Matemática que não
precisa ser definida, uma idéia a partir da qual outras idéias, matemáticas e não
matemáticas, são construídas. Por essa concepção, a noção de equação é utilizada no
mesmo sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana.
Um exemplo desse significado pode ser observado com a partir dos trabalhos de:
"
Chevallard, o qual, de forma indireta concebe equação com esse significado em seu
trabalho sobre a Transposição Didática, ao se referir às noções matemáticas e
paramatemáticas, pois a noção de equação não pode ser concebida como uma noção
matemática, por não ter uma “definição” única, aliás, nem precisa, afinal, ela é uma
noção paramatemática, servindo como um saber auxiliar quando se trabalha com
alguma noção matemática propriamente dita.
Esse último significado apresentado, o axiomático-postulacional, no meu modo de
ver, deve ser entendido como subjacente a todos os outros, pois ele permite que não nos
preocupemos em definir a noção de equação, podendo priorizar a discussão da idéia
central da noção de equação, quer seja – a idéia de igualdade e de equivalência.
Conclusões e considerações finais
Levanto nesta parte do trabalho, algumas conclusões e orientações que acredito
serem pertinentes e importantes para o ensino e aprendizagem de Álgebra,
principalmente na Formação do Professor de Matemática, lócus no qual entendo que a
abordagem dos multisignificados de equação ganha relevância.
Por essa maneira diversificada de poder conceber a noção de equação, imagino
colocar em pauta uma discussão sobre a necessidade de trabalhar com estes
multisignificados de maneira integrada, buscando relacionar um significado a outro. Tal
5678659: ;< =< 9> ?@ABC>CDECFCGHIJ> IK KL@HMNJO PJssibilidades para a formação do 10
perspectiva é corroborada pelas reflexões apresentadas por Duval (1993, 2003) em sua
teoria dos registros de representação semiótica, uma vez que este autor defende a
importância da articulação entre diferentes registros de representação para a construção
do conhecimento matemático.
Aceitando-se a importância de utilizar diferentes registros de representação
semiótica para a construção do conhecimento matemático, levanto a conjectura que
articulando o intuitivo-pragmático com o dedutivo-geométrico, por exemplo, podemos
propiciar situações em que a idéia de equação, ainda entendida como um problema entre
igualdade de quantidades, possa ser interpretada e representada de diferentes formas
gráficas, seja por meio de diagramas, de esquemas gráficos, ou mesmo, posteriormente,
pela intersecção de duas curvas, gerando a solução para o problema apresentado.
Uma outra possibilidade, dentre as muitas possibilidades que podem ser
exploradas quando da utilização da perspectiva dos multisignificados de equação em
sala de aula, é a articulação entre o dedutivo-geométrico e o estrutural-conjuntista. Ao
trabalhar com situações envolvendo equações onde as incógnitas não são números, mas,
por exemplo, funções, é possível discutir outros tipos de equações, como é o caso das
equações diferenciais, sem perder de vista a idéia central de equação, quer seja, a de
igualdade. Nesse sentido, podemos explorar a idéia de igualdade, ampliando a
concepção que os alunos têm de equação, para além daquela em que se deve encontrar é
o número desconhecido.
Considerando que conhecemos um objeto matemático quando somos capazes de
interpretá-lo e concebê-lo por meio de diferentes registros de representação semiótica
(DUVAL, 1993), acredito que o trabalho com os multisignificados em sala de aula de
forma articulada poderá possibilitar a ampliação da concepção de equação para além de
um “simples” conjunto de regras e técnicas.
Com isso, minhas pesquisas atuais visam elaborar, aplicar e avaliar os impactos
que situações de aprendizagem, que contemplem os multisignificados de equação,
possam ter entre alunos e professores de Matemática. Essas situações privilegiam a
articulação desses diversos significados, levando em consideração o nível de ensino e os
objetivos propostos para a educação matemática que quero praticar.
Pesquisas como a desenvolvida em Ribeiro (2007) e apresentada neste trabalho
podem trazer para o ambiente da Formação do Professor de Matemática discussões de
temas da Educação Básica – como é o caso das equações. Tais discussões devem ir além
QSTUSQVW XY ZY V[ \]^_`[àb`c`defg[ fh hi]ejkgl mgssibilidades para a formação do 11
de um simples caráter de revisão e retomada de conteúdos “básicos”, mas sim,
possibilitar discussões epistemológicas e didático-pedagógicas desses conhecimentos
elementares, o que deverá contribuir para a ampliação das concepções que os futuros
professores e os professores em atuação possam ter dessas noções matemáticas.
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WARUSFEL, A. Dictonnaire Raisoné de Mathématiques. Paris: Éditions du Seuil,
1969.
ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de
abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação
POR QUE É IMPORTANTE ENSINAR CONTEÚDOS MATEMÁTICOS
PROVENIENTES DE ABSTRAÇÕES DAS ABSTRAÇÕES?
Richael Silva CAETANO – UNESP, Bauru ([email protected]
Resumo: A presente pesquisa – de cunho teórico-bibliográfica – visa ressaltar ao
professor de matemática a importância de/em (também) abordar os conteúdos tidos
como abstratos, ou seja, àqueles que não possuem aplicação direto-prática com a vida
cotidiana. Buscando subsídios na Pedagogia Histórico-Crítica (Saviani), contributos da
Psicologia Soviética (Leontiev, Markus e Vigotski) e considerações sociológicas de
Agnes Heller e Karl Marx, o presente trabalho defende o ensino de conteúdos
matemáticos – proveniente das abstrações das abstrações – como uma das condições
necessárias à formação de alunos-indivíduos conscientes com relação à sociedade ao
qual pertencem. Nesta formação (do indivíduo-consciente) a aprendizagem dos
conteúdos matemáticos abstratos é tida como importante ao desenvolvimento das
Funções Psicológicas Superiores, isto é, funções psíquicas que permitem ao sujeito –
por meio de um processo de abstração – abstrair e generalizar as idéias acerca de si
mesmo e do mundo. Generalizando, ou seja, compreendendo a realidade de modo
conceitual/formal, o indivíduo torna-se capaz de pensar sobre a sociedade de um modo
reflexivo (e não pragmático). Nesse sentido, este estudo objetiva-se contra a concepção
prático-utilitarista aos quais os conteúdos matemáticos vêm sendo abordados nas
últimas décadas (de 1990 à atual) pelo/no ideário pedagógico brasileiro. Concepção essa
decorrente da alienação e conseqüente (e proposital) má-interpretação das teorias de
aprendizagem construtivistas, reduzindo-as em simples jargões educacionais
superficiais e equivocados, como por exemplo: aprender a aprender, ensinar somente
aquilo que é necessidade/cotidiano do aluno. Faz-se conveniente ressaltar a não negação
dos conhecimentos matemáticos decorridos do cotidiano, ou seja, àqueles que
apresentam aplicação direta na vida pragmática dos indivíduos, mas sim que, a escola
deve utilizá-los como ponto de partida para a aquisição dos conteúdos matemáticos não
cotidianos (isto é, os provenientes de abstrações das abstrações). Assim, tal
aquisição/aprendizagem deve valer-se da lógica da superação por incorporação e jamais
da lógica da negação.
Palavras-chave: Formação de Professores, Ensino de Matemática, Pedagogia
Histórico-Crítica.
ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 2
I - Introdução
Esta pesquisa é proveniente de discussões/reflexões realizadas durante a disciplina
– oferecida pelo Programa de Pós-Graduação em Educação Para A Ciência,
UNESP/Bauru – intitulada: Contribuições da Pedagogia Histórico-Crítica para a
Fundamentação da Prática Docente, de responsabilidade do Prof. Dr. José Roberto
Boettger Giardinetto (no 2º semestre de 2007). Após uma considerável revisão de
literatura acerca das bases teóricas da Pedagogia Histórico-Crítica (PHC): 1. Psicologia
Soviética: Leontiev, Markus, Vigotski, 2. Considerações sociológicas de Agnes Heller e
Karl Marx, o docente solicitou a elaboração de um trabalho monográfico/final que
respondesse a seguinte pergunta: “Professor, para quê serve aprender isso? – Desafios
para ensinar ciência(s) frente à concepção prática utilitária do aprender.”.
Devido o interesse no Ensino de Matemática, houve um ‘direcionamento’ da
pergunta acima, culminando no questionamento a seguir: “Por que é importante
ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações?”. Porém,
para refletir sobre a importância do ensino de conteúdos matemáticos abstratos, fez-se
necessário ater-se em alguns tópicos. Os mesmos apresentam abaixo:
1) Para que ensinar conteúdos matemáticos abstratos aos alunos dos diversos
níveis educacionais? Os conteúdos matemáticos imediatamente observados e utilizados
no cotidiano [ou seja, prático-utilitários] não são suficientes para a formação do
aluno/indivíduo? Decorrentes desta questão fez-se necessário o pensar sobre:
1.1) Qual o papel da escola para a PHC?
1.2) O que são conteúdos matemáticos abstratos e, o que se constitui a
abstração?
1.3) O que são os conteúdos matemáticos do cotidiano? A partir desta foi
imprescindível refletir: 1.3.1) O que é cotidiano, e, em oposição, o que se constitui o
não-cotidiano?
1.4) O que é necessário à formação do indivíduo? A fim de respondê-la tornouse imperioso pensar: 1.4.1) O que é indivíduo e, subjacente a esta: como o homem se
faz homem?
2) Quais fatores / ideologias externas que promovem / defendem o ensino de
conteúdos matemáticos prático-utilitários em detrimento dos provenientes de sucessivas
abstrações?
No decorrer desta investigação, procurou-se responder os questionamentos
explicitados acima, para, a partir da PHC, defender a seguinte idéia/hipótese: “A
formação do verdadeiro homem, ou “homem inteiramente” torna-se possível graças a
um ensino que possibilite ao aluno vir-a-ser em todas suas possibilidades intelectuais,
àquele que não restrinja [o estudante] à sua vida cotidiana, mas que a supere por
incorporação.”.
A ordem utilizada para responder (argumentar sobre) as questões (1.1 a 2)
sugeridas, acima, far-se-á diferente da ordem à qual as mesmas foram apresentadas,
devido a discussão inicial sobre: “O que é o homem e o que o diferencia dos outros
animais”.
II. Desenvolvimento
Quantas vezes nós professores, de matemática nesse caso, não fomos
questionados por nossos alunos, do seguinte modo: “Professor, porque é importante
aprender Números Complexos se eu não vou utilizar isso na vida?”. As respostas para
tal aluno, de imediato não se constitui tão simples e óbvio como parece ser, pois,
“simplesmente o porquê sim, não é uma resposta convincente e fundamentada”. Para
buscar responder tal pergunta, não só aos alunos, mas aos demais profissionais
envolvidos com o ensino é que este trabalho se objetiva. Os tópicos a seguir buscam
responder a pergunta 1) [p. 2] explicitada na Introdução, procurando defender a
idéia/hipótese [p. 2] apresentada no mesmo item.
II. 1 - O Que é Necessário à Formação do Indivíduo?
Pensando de um modo simplista/pragmático, à formação do indivíduo é
necessário que ele seja criado/ajudado/ensinado por outro indivíduo. Esse modo
imediatista era suficiente no Período Feudal, onde a grande maioria da sociedade (os
dominados/proletários) formava-se indivíduo com o ‘simples’ viver junto com as
gerações mais velhas. Assim, o camponês aprendia a plantar olhando seu pai cultivar a
terra; e desse modo a escola ocupava uma Função Secundária na educação, sendo
somente destinada aos proprietários de terras (os nobres). Porém, mudou-se o eixo do
processo, ou seja, na Idade Burguesa (Moderna), a concentração que antes era no
campo, passou a ocorrer na cidade (devido o surgimento dos burgos, das feiras de
comércio). Assim, não foi mais possível educar-se somente trabalhando (vivendo junto),
e a escola passou a assumir a Função Primária da educação. Conforme Saviani (1991):
Sendo a cidade um dado artificial, daí decorre não apenas uma
sociedade contratual, mas também a exigência de generalização
daqueles elementos que integram a vida da cidade; a generalização da
escrita é posta como exigência deste tipo de sociedade moderna. E é aí
que a forma escolar da educação deixa de ser uma forma secundária e
subordinada e passa a ser a forma dominante da educação. É a partir
da modernidade que educar passa a ser, fundamentalmente,
escolarizar. (p. 30, grifo nosso)
Logo, à formação do indivíduo, hoje (no mundo atual), é necessária a escola cumprindo a sua Forma Primária de educação. Complementando, Saviani (2003):
Esta passagem de escola à forma dominante de educação coincide
com a etapa histórica em que as relações sociais passaram a prevalecer
sobre as naturais. (...) Em conseqüência, o saber metódico,
sistemático, científico, elaborado, passa a predominar sobre o saber
espontâneo, “natural”, assistemático, resultando daí que a
especificidade da educação passa a ser determinada pela forma
escolar. (p. 8, grifo nosso)
Não significa que a formação do indivíduo faça-se somente pela via escolar, tendo
em vista a necessária convivência em seu meio social, familiar; mas que, por meio da
escola ele [o indivíduo] aprende mecanismos intelectuais [tais como escrever, ler,
contar, entre outros] que o possibilite viver em sociedade e transformá-la [assunto a ser
discutido em itens posteriores].
Até o momento defendeu-se a existência da escola em sua Forma Primária
propiciando a formação do indivíduo ‘apto’ a viver em nossa sociedade. Mas, o que é
indivíduo? O item a seguir busca responder esta indagação.
II. 2 - O Que é Indivíduo e, Subjacente a Esta: Como o Homem se faz Homem?
Para compreender – segundo os pressupostos teóricos adotados – o que é o
homem, torna-se necessário recorrer à esfera social. Segundo Leontiev (1978):
(...) o homem é um ser de natureza social, que tudo o que tem de
humano nele provem da sua vida em sociedade, no seio da cultura
criada pela humanidade. (p. 261, grifo nosso)
¡ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 5
(...) Podemos dizer que cada indivíduo aprende a ser um homem. O
que a natureza lhe dá quando nasce não lhe basta para viver em
sociedade. É lhe ainda preciso adquirir o que foi alcançado no decurso
do desenvolvimento histórico da sociedade humana. (p. 267, grifo
nosso)
Daí, para explicar o que é o homem faz-se imprescindível comentar sobre o
processo que permitiu – e permite – a construção do social. E tal processo deu-se pelo
trabalho. Mas, o que é trabalho, para este referencial teórico? Em Markus, (1974), o
trabalho:
(...) em primeiro lugar, é um processo que se desenvolve entre o
homem e a natureza, no qual o homem – através de sua própria ação –
mediatiza, regula e controla o intercâmbio orgânico entre ele mesmo e
a natureza. (p. 51, grifo nosso)
Através do trabalho o homem foi modificando a si e concomitante a natureza,
construindo coisas (materiais: artefatos e não-materiais: idéias), enfim, constituindo a
cultura humana. A construção destas ‘coisas’ materiais e não-materiais só foi possível
graças à dinâmica entre objetivação x apropriação. As objetivações são os produtos
provenientes da modificação da realidade natural (modificada via trabalho) em realidade
humanizada (cultural). Logo, podemos considerar as “coisas materiais e não-materiais”
como sendo as objetivações. Já a apropriação é o meio do homem assimilar (através de
um
processo
racional)
as
objetivações.
Contudo,
este
processo
de
assimilação/apropriação da cultura não pode ser considerado como passiva ou ‘pura
reprodução’, ‘cópia do real’, mas: “(...) uma atividade do indivíduo destinada a dominar
o mundo dos objetos da cultura humana e suas transformações”. (FACCI, 2004, p. 231)
Assim, o acesso à cultura é aquilo que forma o indivíduo em sua genericidade, sendo
este um processo de apropriação por incorporação e não por negação.
Como ressaltado acima, através da dinâmica apropriação x objetivação o homem
foi/continua modificando/construindo a realidade natural em humanizada, assim como
continua ‘se fazendo’ homem. Com relação às objetivações, é possível classificá-las em
dois níveis qualitativamente distintos. Existem as EM-SI (costumes, linguagem,
artefatos) e PARA-SI (ciência, filosofia, moral, arte). Ambas, constituem o gênero
humano em sua universalidade. Gênero humano, então, constitui-se tudo que é
construído pelo homem, seja material ou imaterial (idéias, teorias, reflexões).
¢£¤¥ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 6
Em suma, a partir da apropriação das objetivações (em-si e para-si) é que o
homem se fez (e se faz) homem. É por meio deste processo – social e histórico – que o
homem foi se constituindo enquanto gênero humano, alcançando complexos níveis de
raciocínio.
II. 3 - O Que é Cotidiano, e, em Oposição, o que se Constitui Não-Cotidiano?
No item anterior, definiu-se o indivíduo como sendo um ser de natureza social; e
através do trabalho (donde por meio de uma dinâmica infindável entre apropriação x
objetivação) o homem construiu/constrói a realidade humanizada. Assim como as
objetivações apresentam níveis qualitativamente distintos, isto é, diferentes relações de
intencionalidade durante o processo de trabalho, a realidade humanizada também o
possui. Desse modo, é possível classificá-la como sendo constituída pela esfera
cotidiana e não-cotidiana. A primeira é formada pelas objetivações em-si, sendo
constituída pela consciência em-si. A consciência em-si é caracterizada por apresentar
aspectos pragmáticos, de não intencionalidade/reflexão no momento da apropriação das
objetivações em-si. Imagine se tivéssemos que refletir sobre cada ato de nossa vida
cotidiana? Provavelmente, não cumpriríamos nem um décimo dos afazeres dessa esfera
social.
Em contrapartida, o não-cotidiano é constituído pelas objetivações para-si,
estando presente aí a consciência para-si. Nesta, o sujeito estabelece uma relação de
intencionalidade/reflexão, culminando assim na elaboração de raciocínios altamente
abstratos, como o matemático, por exemplo. A partir da apropriação das objetivações
para-si (não-cotidianas) o sujeito pode atingir o máximo de suas potencialidades, do seu
vir-a-ser enquanto homem inteiramente, ou seja, como representante do máximo
conhecimento atingido pelo gênero humano.
Para finalizar, faz-se necessário salientar a relação entre cotidiano e não-cotidiano.
Para a constituição deste último foi/é necessário a existência do cotidiano; como aponta
Giardinetto (1999):
O modo de pensamento processado no cotidiano lança elementos para
se trabalharem os conceitos formais, isto é, o saber cotidiano fornece
elementos para a apropriação do saber escolar. Mas isso se dá na
forma de uma relação de superação por incorporação, isto é, o saber
escolar supera o modo de pensamento presente no cotidiano, a partir
¦§¨©ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 7
de elementos, gérmens presentes no cotidiano e que são incorporados
pelo saber escolar. (p. 50, grifo nosso)
II. 4 - O Que São os Conteúdos Matemáticos do Cotidiano?
Decorre do tópico anterior que, os conteúdos matemáticos do cotidiano são
constituídos pelas objetivações em-si, ou seja, apresentadas ao indivíduo sobre a lógica
da consciência em-si (não-intencional, pragmática).
Inúmeros exemplos da matemática do cotidiano podem ser evidenciados. Uma
delas ocorre quando, o menino, no campo de futebol de areia, fixa a ponta do dedão na
areia e gira o pé (seu corpo) em 360º, ou seja, uma volta inteira. Ao fazê-lo, ‘constrói’
um ‘monte’ de areia cujo centro representa uma circunferência. O menino não sabe o
porquê do surgimento da circunferência, mas o faz, pois, certamente imitou a
ação/comportamento de outrem. Assim, houve a apropriação de um conhecimento
matemático, mas em sua característica/finalidade em-si – objetivação em-si. Não há
como a criança, nesse exemplo compreender a gênese explicativa do “surgimento” da
circunferência. Somente conseguirá explicar esta ação (de fazer circunferências na
areia) quando tiver já apropriado o conhecimento matemático escolar – constituído
pelas objetivações para-si. Através do conhecimento sistematizado de lugar geométrico
(um conteúdo matemático escolar, portanto, sistematizado), o menino conseguirá
explicações lógicas sobre o porquê do desenho da circunferência na areia.
O exposto no parágrafo acima, de modo algum deprecia o conhecimento
matemático do cotidiano (e nenhum outro conhecimento dessa esfera), mas denota os
limites destes conhecimentos, devido seu caráter prático-utilitário (sendo este
imprescindível à vida cotidiana). Porém, salienta-se a possibilidade do conhecimento
matemático do cotidiano (não-intencional) lançar germens para a apropriação – através
de um processo de superação por incorporação – do conhecimento sistematizado (em
sua versão escolar). Para o menino do exemplo anterior, apre(e)nder o tema lugar
geométrico (e em especial a circunferência) poderia tornar-se mais significativo, com
um maior significado, caso o professor – intencionalmente – utilizasse o conhecimento
do cotidiano (do aluno), propiciando ao mesmo um pensar por incorporação e não por
negação.
ª«¬ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 8
II. 5 - O Que São Conteúdos Matemáticos Abstratos e, O Que Se Constitui a
Abstração?
Os conteúdos matemáticos abstratos são aqueles relacionados com as objetivações
para-si, apropriados por meio da consciência para-si, intencional/reflexivo-abstrata.
Com já exposto, a apropriação destas objetivações permite ao indivíduo atingir o
máximo de suas potencialidades, constituindo-se enquanto homem inteiramente, ou
seja, capaz de pensar/refletir de modo organizado (intencional) sobre a sociedade.
Assim, a aprendizagem dos conteúdos matemáticos abstratos (não-cotidianos) contribui
ao máximo desenvolvimento do pensar do homem, superando por incorporação o
pragmatismo presente na vida cotidiana. É fato que, além dos conteúdos matemáticos
são necessários a apropriação das outras objetivações para-si (moral, filosofia, ciências
físico-químico-naturais, arte, etc.).
Sobre o processo de abstração, inerente à apropriação dos conteúdos matemáticos
não-cotidianos, torna-se oportuno recorrer ao estudo das Funções Psicológicas
Superiores (FPS). Conforme Facci (2004), as funções psicológicas (processos
característicos de todo homem que possui condições biológico-sociais favoráveis)
dividem-se em elementares e superiores.
Os processos psicológicos elementares – tais como reflexos, reações
automáticas, associações simples, memória imediata, etc. – são
determinados fundamentalmente pelas peculiaridades biológicas da
psique; já os processos psicológicos superiores – tais como atenção
voluntária, memorização ativa, pensamento abstrato, planejamento –
nascem durante o processo de desenvolvimento cultural,
representando uma forma de conduta geneticamente mais complexa e
superior. (FACCI, 2004, p. 205, grifos da autora)
As Funções Psicológicas Superiores (FPS) regulam o comportamento
do homem e o diferencia dos animais por meio da tomada de
consciência. (FACCI, 2004, p. 206, grifo nosso)
Deste modo, é graças ao processo de desenvolvimento cultural que o homem foi
desenvolvendo ‘condutas superiores’ de raciocínio, atingindo assim o pensamento
abstrato. Assim, ao apropriar-se (por meio da consciência para-si) dos conteúdos
matemáticos abstratos (as objetivações para-si) o indivíduo desenvolve suas FPS.
Durante este processo, a linguagem desempenhou/desempenha um papel primordial.
Para Facci (2004):
®¯°±ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 9
É a partir da linguagem que se formam os complexos processos de
regulação das próprias ações do ser humano. (...) A linguagem, sendo
um sistema simbólico, constitui-se então como um instrumento
psicológico fundamental na interiorização das FPS. (p. 211, grifo
nosso)
O signo e a palavra é que permitem ao indivíduo dominar e dirigir
suas próprias operações psíquicas, controlando o curso de sua
atividade e orientando-a de forma que resolva a tarefa proposta pelo
meio em que vive. (...) Os conceitos envolvem um sistema de relações
e generalizações contido nas palavras e determinado por um processo
histórico. (...) Todo conceito é sempre uma generalização. (p. 212,
grifo nosso)
Do exposto acima, observa-se a necessária abordagem escolar dos conteúdos
matemáticos abstratos, e não somente aqueles vinculados à esfera cotidiana (os práticoutilitários). Assim, para finalizar, é possível definir a abstração como a “capacidade de
concentrar toda atenção em alguma atividade”; isto, já que a mesma relaciona-se com
as objetivações para-si – presentes em maior ênfase nas esferas não-cotidianas (por
exemplo, na escola). Não que na vida cotidiana os indivíduos não abstraiam; só que aí
este processo é realizado de modo não intencional, pragmático e difuso; portanto, uma
abstração ‘de menor grau’.
II. 6 - Qual o Papel da Escola para a Pedagogia Histórico Crítica?
Os itens anteriores, fundamentados em pesquisas científicas correlatas às
temáticas enunciadas na introdução, indicam (indiretamente) que, a escola cumpre o seu
papel quando: “Permite ao aluno apropriar-se das objetivações para-si (mediado
inicialmente por um processo de superação por incorporação das ‘em-si’), fazendo
com
que
este
atinja
sua
máxima
humanização,
gerando
assim
novos
carecimentos/necessidades que impliquem em novas objetivações”. Em se tratando do
ensino de matemática (foco desta pesquisa), a função da escola é oferecer ao aluno a
possibilidade do seu vir-a-ser, ou seja, fazer com que este se aproprie da matemática
abstrata (aprenda as objetivações para-si, sendo estas provenientes das abstrações das
abstrações), para assim superar por incorporação a matemática do cotidiano.
Duarte (1993), expôs o seguinte:
(...) a prática pedagógica não pode ser concebida apenas enquanto
aquela que possibilita ao indivíduo o acesso àquilo que das
objetivações genéricas apresente como imediatamente relacionado aos
carecimentos já apropriados pela individualidade, mas sim, enquanto
²³´µANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 10
aquela que, ao mediar a relação do indivíduo com as objetivações
genéricas, gere o carecimento cada vez maior de apropriação dessas
objetivações. (p. 190, grifo nosso)
Newton Duarte, a partir desta citação, apontou que a prática pedagógica não deve
oferecer ao aluno a apropriação das objetivações em-si (ou seja, as que estão
imediatamente relacionadas com a esfera da vida cotidiana), mas a partir delas, gerar
nos alunos novas necessidades/estímulos para aprenderem as objetivações que fujam da
realidade imediata (ou seja, as para-si).
Dermeval Saviani, um dos precursores (ou o precursor) da PHC, elaborou
reflexões oportunas sobre a prática pedagógica. Segundo ele, o trabalho educativo
constitui-se o:
(...) ato de produzir, direta e intencionalmente, em cada indivíduo
singular, a humanidade que é produzida histórica e coletivamente pelo
conjunto dos homens. (SAVIANI, 2003, p. 7, grifo nosso)
Devida tal intencionalidade, sublinhada acima, há necessidade de estabelecimento
de
objetivos
educacionais,
pois
a
formulação
dos
mesmos
permitem
a
sistematização/organização do trabalho educativo. Sobre isto, tal autor salientou que os
objetivos da educação deviam/devam visar a:
(...) identificação dos elementos culturais que precisam ser
assimilados pelos indivíduos da espécie humana para que eles se
tornem humanos e, (...) concomitantemente, a descoberta das formas
mais adequadas para atingir esse objetivo. (SAVIANI, 2003, p. 13,
grifo nosso).
Estes “elementos culturais” são garantidos na escola através da apropriação dos
conteúdos clássicos. Conforme Saviani (2003):
O clássico é aquilo que se firmou como fundamental, como essencial.
O clássico não se confunde com o tradicional e também não se opõe,
necessariamente, ao moderno e muito menos ao atual. (p. 13, grifo
nosso)
Assim, o clássico refere-se às máximas objetivações que se tornaram
fundamentais à plena humanização do indivíduo, ou seja, permitindo a constituição do
homem inteiramente. Ao falar de conteúdos, remete-se a questão do saber escolar;
logo, defini-los torna-se necessário:
¶·¸¹ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 11
(...) o saber escolar pressupõe a existência do saber objetivo (e
universal). Aliás, o que se convencionam chamar de saber escolar não
é outra coisa senão a organização seqüencial e gradativa do saber
objetivo disponível numa etapa histórica determinada para efeito de
sua transmissão-assimilação ao longo do processo de escolarização”.
(SAVIANI, 2003, p. 62, grifo nosso)
Sobre os conteúdos escolares, segundo Giardinetto (2007):
A escola é o espaço próprio em que se realiza o processo de ensinoaprendizagem dos conteúdos das ciências bem como promover a
sensibilidade artística, a postura filosófica, a análise política, etc, a
partir de atividades intencionalmente dirigidas pelo professor.
(GIARDINETTO, 2007, p. 3, grifo nosso)
Conforme a citação é justamente a escola o espaço destinado ao ensino da
matemática, mas não qualquer manifestação da matemática, e sim aquela que se
constituiu como um saber universal, histórico e sistematizado (fruto das abstrações das
abstrações).
Deste
modo,
as
argumentações
expostas
neste
tópico
indicaram
os
apontamentos/considerações da Pedagogia Histórico-Crítica à escola, ou seja, uma
instituição social responsável pela formação de indivíduos autônomos, “conscientes
para-si” de seus papéis frente à sociedade.
II. 7 - Quais Fatores/Ideologias Externas que Promovem/Defendem o Ensino de
Conteúdos Matemáticos Prático-Utilitários em Detrimento dos Provenientes de
Sucessivas Abstrações?
Em síntese, os fatores que defendem o exclusivo ensino de conteúdos
matemáticos prático-utilitários (as objetivações em-si do cotidiano) operam sobre a
lógica da alienação. A alienação priva o indivíduo de se constituir enquanto homem
inteiramente, já que este processo não permite ao mesmo apropriar-se das objetivações
para-si. Como apontou Leontiev (1978):
O processo de alienação económica, produto do desenvolvimento da
divisão social do trabalho e das relações de sociedade privada, não
tem portanto por única conseqüência afastar as massas da cultura
intelectual, mas também dividir esta em elementos de duas categorias,
umas progressistas, democráticas, servindo o desenvolvimento da
humanidade, e as outras que levantam obstáculos a este progresso, se
penetram nas massas, e que forneçam o conteúdo da cultura declinante
das classes reaccionárias da sociedade. (p. 276, grifo nosso)
º»¼½ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 12
Uma das maneiras de não permitir ao indivíduo apropriar-se do pensamento
abstrato, foi à propagação proposital dos slogans (dito como construtivistas) tais como:
aprender a aprender, ensinar somente visando a necessidade/interesse do aluno. Como
não cabe a esse artigo discutir as proposições construtivistas, de modo breve, ressalta-se
que nem todas as abordagens construtivistas operam sobre essa lógica práticoutilitarista. Uma delas são as propostas educacionais decorrentes da Epistemologia
Genética de Jean Piaget, já que, interpretada de modo ‘profundo’ (ou seja, utilizando a
consciência para-si) defende um ensino que leve ao aluno à construção das operações
lógico-formais, ou seja, do pensamento hipotético-dedutivo.
Assim, a redução da escola ao cotidiano (desconstituindo-a de seu papel na
sociedade) é decorrente da tentativa de dominação das classes burguesas sobre os
proletários (dominados), como bem pontuou Karl Marx. Logo, nós professores – e de
matemática – devemos lutar contra a propagação destes slogans reducionistas,
oportunizando aos nossos alunos a apropriação das objetivações para-si.
III. Conclusão
Por meio das considerações realizadas no Desenvolvimento, acredita-se ter
justificado/defendido a hipótese salientada na Introdução. Ou seja, a escola é o local
destinado à aprendizagem de conteúdos escolares sistematizados que contribuam à
máxima humanização do indivíduo através da apropriação das objetivações para-si [da
matemática proveniente das abstrações das abstrações]. Logo, a questão: “Professor,
porque preciso aprender isso, se não vou usar na vida?” deve ser superada por
incorporação, no qual o professor mostre aos alunos [e a si mesmo] a importância de
construir FPS que vão além da lógica prática-utilitária presente na esfera cotidiana. Se à
escola fosse dado o papel de reproduzir o cotidiano, estar-se-ia perdendo tempo e
dinheiro público, pois para isso viver o dia-a-dia (de modo espontâneo, assistemático) já
seria suficiente!
Com o intuito de oferecer ao leitor futuras reflexões sobre o assunto em pauta, a
citação abaixo torna-se válida:
(...) contra uma educação centrada na cultura presente no cotidiano
imediato dos alunos que se constitui, na maioria dos casos, em
resultado da alienante cultura de massas, devemos lutar por uma
educação que amplie os horizontes culturais desses alunos, contra uma
¾¿ÀÁANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 13
educação voltada para a satisfação das necessidades imediatas e
pragmáticas imposta pelo cotidiano alienado dos alunos, devemos
lutar por uma educação que produza nesses alunos necessidades de
nível superior, necessidades que apontem para um efetivo
desenvolvimento da individualidade como um todo; contra uma
educação apoiada em concepções de conhecimento humano como
algo particularizado, fragmentado, subjetivo, relativo e parcial que, no
limite, negam a possibilidade de um conhecimento objetivo e
eliminam de seu vocabulário a palavra verdade, devemos lutar por
uma educação que transmita aqueles conhecimentos que, tendo sido
produzidos por seres humanos concretos em momentos históricos
específicos, alcançaram validade universal e, dessa forma, tornam-se
mediadores indispensáveis na compreensão da realidade social e
natural o mais objetivamente que for possível no estágio histórico no
qual encontra-se atualmente o gênero humano. (DUARTE, 2000, p.
10)
Enfim, a sociedade, e nós professores em especial, devemos lutar por uma
educação que transforme a consciência em-si dos alunos em consciência para-si. Que
este processo faça-se mediado pela superação por incorporação, preconizando a
formação de indivíduos ‘inteiramente’ libertos do processo alienador que atualmente
domina a nossa sociedade.
Referências
DUARTE, N. A individualidade para-si: contribuição a uma teoria histórico-social da
formação do indivíduo. Campinas: Autores Associados, 1993. (Coleção Educação
Contemporânea).
DUARTE, N. Vigotski e o “aprender a aprender”. São Paulo: Autores Associados,
2000.
FACCI, M. G. D. O trabalho do professor na perspectiva vigotskiana. In: Valorização
ou esvaziamento do trabalho do professor?: um estudo crítico-comparativo da teoria
do professor reflexivo, do construtivismo e da psicologia vigotskiana. Campinas, SP:
Autores Associados, 2004, p. 195-250.
GIARDINETTO, J. R. B. Matemática Escolar e Matemática da Vida Cotidiana.
Campinas: Autores Associado, 1999. (Coleção Polêmicas do Nosso Tempo, nº. 65).
GIARDINETTO, J. R. B. Reflexões de Jean-Claude Forquin sobre as concepções
relativista e universalista do conhecimento: provocações para um debate da questão
cultural na educação matemática. In: Anais do IX Encontro Nacional de Educação
Matemática, Belo Horizonte, Minas Gerais (IX ENEM), 2007.
ÂÃÄÅANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de 14
LEONTIEV, A. “O homem e a cultura”. In: O desenvolvimento do psiquismo. Lisboa:
Livros Horizonte, 1978, p. 261-277.
MARKUS, G. Marxismo y Antropologia. Barcelona: Grijalbo, 1974.
SAVIANI, D. “Educação e pós-modernidade”. In: Educação e questões da atualidade.
São Paulo: Tatu, Cortez Editora, 1991, p. 17-40.
SAVIANI, D. Pedagogia Histórico-crítica. São Paulo: Cortez/Autores Associados,
2003. (Coleção Educação Contemporânea).
ÆÇÈÉÊÆË ÆÌ ÇÌ Í ÎÏÐÐÊË ÆÌ ÏÌ ÐÌ ÑÒÓÔÕÖ×ØÒ ÙÍ ÚÛÓÍÜÙizagem: experiências narradas no
ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.
Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
PORTFOLIO DE APRENDIZAGEM: EXPERIÊNCIAS NARRADAS NO
CIBERESPAÇO
Suelen Assunção SANTOS – UFRGS ([email protected]Ý
Samuel Edmundo López BELLO – UFRGS ([email protected]Ý
Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar algumas reflexões acerca do meu
projeto de pesquisa de mestrado intitulado: “Experiências Narradas no Ciberespaço: Um
olhar para a educação matemática na EAD', o qual vem sendo desenvolvido no
Programa de Pós Graduação em Educação da Universidade Federal do Rio Grande do
Sul (PPGEDU/UFRGS). O referido trabalho tem o objetivo de, a partir de uma
perspectiva pós-estruturalista, analisar a experiência com as tecnologias da informação e
comunicação (TIC's) na fabricação de múltiplas possibilidades de sujeitos pedagógicos,
no caso docentes que ensinam matemática, a partir do instrumento de auto-narração
denominado Portfólio de Aprendizagem do curso de Pedagogia, no Programa de
Educação a Distância (PEAD), da UFRGS. As diferentes identidades de ser professor,
principalmente àquelas vinculadas à constituição do sujeito como efeito do discurso da
matemática e de seu ensino serão analisadas sob à luz das teorizações sobre as
tecnologias do eu vinculadas à estudos de Foucault e Larrosa. As narrativas a serem
problematizadas referem-se àquelas produzidas na disciplina de “Representações do
Mundo pela Matemática”, ativa no quarto semestre do curso de pedagogia a distância
(2008/01). O discurso pedagógico que orienta esta disciplina, assim como o PEAD, é o
discurso da pedagogia crítica fundamentados, principalmente, em Piaget e Freire. A
análise preliminar do material empírico mostrou que, ao serem “convidadas” à narrar-se
– por meio de descrições/relatos de aprendizagens no portfólio de aprendizagem – os
sujeitos pedagógicos [no caso, docentes que ensinam matemática] aprendem o que
significa o jogo de linguagem e como jogá-lo legitimamente.
Palavras-Chave: Educação Matemática a Distância, Tecnologias do Eu, Sujeitos
Pedagógicos
PEAD – Pedagogia a Distância
A licenciatura em Pedagogia, na modalidade a distância, foi especialmente criada
para formar professores em exercício que atuam nas Séries Iniciais do Ensino
Fundamental e na Educação Infantil. A FACED/UFRGS, neste sentido,
dispõe-se a implementar sua primeira experiência de formação
acadêmica inicial em nível de graduação de professores se valendo,
ÞßàáâÞã Þä ßä å æçèèâã Þä çä èä éêëìíîïðê ñå òóëåôñizagem: experiências narradas no 2
para isso, do ensino a distância, qual seja, o Curso de Pedagogia:
Licenciatura para os Anos Iniciais no Ensino Fundamental, oferecidos
a docentes em exercício nas escolas públicas. (NEVADO, 2007, p. 18)
O curso é desenvolvido em oito eixos temáticos, sendo que cada eixo ocorre em
um semestre acadêmico. “Dentro de um eixo, que tem um grande tema norteador, as
atividades se desdobram em interdisciplinas.” (NEVADO, 2007, p. 20) A proposta do
curso é que as várias interdisciplinas que compõem os semestres prevejam atividades
integradas e atividades específicas.
A questão da interdisciplinaridade, conceitualmente inacabada e longe de ser
evidente, apresenta-se - em algumas análises – como um mito, visto ser cheia de
obstáculos. “A própria história das ciências evidencia que cada disciplina, uma vez
emancipada da filosofia, subdivide-se em setores autônomos, constituindo uma
linguagem própria, que encerra o conhecimento num espaço fechado sem comunicação
com outras linguagens (obstáculo epistemológico). Tal separação do saber é consagrada
pelas instituições de ensino e pesquisa
(obstáculo institucional) que criam uma
multiplicidade de compartimentos estanques cada vez mais restritos, fomentando a
concorrência e conflitos de poder que esterilizam o avanço da produção científica
(obstáculo sociológico). A separação rígida das disciplinas é, ainda, agravada pelas
diferenças culturais e legitimadas por determinadas correntes filosóficas”(p. 6). O nível
de explicação acima nos permite entender que as tentativas de integração entre
diferentes disciplinas “esbarram-se em dificuldades inerentes à própria constituição das
ciências e das relações burocráticas de poder, agravadas pelos obstáculos psicossociais e
culturais, além das exigências metodológicas, pedagógicas e materiais. Tal explicação,
mesmo sendo contundente e esclarecedora como constatação dos problemas inerentes à
implantação de um trabalho interdisciplinar, pouco contribuem para sua solução, pois
constata-se como causa do fracasso da proposta interdisciplinar os próprios obstáculos
que esta pretende superar” (FLEURI, 1993, p. 8).
Para fortalecer a intenção da interdisciplinaridade e, desta forma, o
entrelaçamento entre as interdisciplinas, desenvolve-se, em cada semestre letivo, o
Seminário Integrador de eixo. Este, por sua vez, ocorrerá dentro da seguinte dinâmica:
haverá um momento presencial para apresentação e discussão das
atividades integradoras, bem como oficinas de apropriação
õö÷øùõú õû öû ü ýþÿÿùú õû þû ÿû S ü ü
izagem: experiências narradas no 3
tecnológica e outras atividades planejadas pelo coletivo do eixo;
atividades desenvolvidas a distância, através de ambiente virtual e
videoconferência, em continuidade às proposições do momento
presencial; um momento presencial final para o fechamento das
atividades do eixo, incluindo a discussão do portfolio de
aprendizagens do semestre (NEVADO, 2007, p.22)
Para atender a demanda do curso, o PEAD disponibiliza, em cinco pólos fora de
Porto Alegre – Pólo de Gravataí, Alvorada, São Leopoldo, Três Cachoeiras e Sapiranga
– salas informatizadas, acervo bibliográfico e materiais didáticos que, na realidade do
curso, são exclusivamente digitais. A cada pólo foram atribuídas 80 vagas para alunosprofessores (O PEAD adotou a denominação “alunos-professores” para dar evidência ao
exercício de docência que estes alunos estão inseridos), no entanto, aconteceram
algumas desistências e, atualmente, o número se reduziu um pouco.
O desenvolvimento dos materiais pedagógicos – que devem ser materiais
interativos na web – em todos os eixos da matriz curricular foi orientado para
“promover situações de aprendizagem interativas, utilizando-se criativamente das
TIC's.” (NEVADO, 2007, p. 24) Este material é produzido por professores do curso de
pedagogia, voluntários e técnicos.
O material pedagógico é virtualmente disponibilizado em ambientes virtuais
adotados pelo PEAD e, nestes, encontram-se textos de estudos, atividades a serem
realizadas pelos alunos-professores, assim como “local” de publicação e prazo final
para postagem das atividades.
Os alunos-professores também disponibilizam suas tarefas/atividades em
ambientes virtuais previamente especificados pela interdisciplina.
O
ambiente
virtual
oficial
do
curso
é
o
ambiente
ROODA
(http://www.ead.ufrgs.br/rooda) ü ü
ü ü
ü ü
blog
(http://www.blogger.com)ú
(http://www.pbwiki.com)ú
(http://www.bubbleshare.com)
ü
ü
ü
ü
ü
ü ü
ü ü
ü
ü
ü ü (http://www.youtube.com)û
Os ambientes escolhidos como complementação ou “agregados” ao Rooda tem
um fator de grande importância no PEAD: são públicos e gratuitos, ao contrário do
Rooda. Assim, esses ambientes poderão ser utilizados, pelos alunos-professores do
!! ! "#$%&'(*# + ,-$.+izagem: experiências narradas no 4
Pead, com os seus alunos de 1ª a 4ª séries como alternativas de trabalho docente diário.
Em nível de interação com os alunos, o Pead disponibiliza tutores e professores.
Dentro da categoria tutores existem os tutores de pólo e tutores de sede. Os primeiros
realizam o atendimento aos alunos-professores nos pólos, ou ainda, no âmbito
presencial. Os segundos atuam no âmbito virtual, por meio dos ambientes virtuais de
aprendizagem, nas interdisciplinas específicas [ou não] da sua área de formação inicial.
O tutor de sede “deve facilitar e acompanhar o acesso dos estudantes aos enfoques
temáticos e às atividades relacionadas.” (GUIA DO TUTOR, 2006, p. 27). Realizam,
desta forma, intervenções diretas nas atividades dos alunos-professores.
Portfólio de Aprendizagem
Eu sou, particularmente, tutora da sede do Pólo de São Leopoldo. A cada novo
semestre/eixo, novas interdisciplinas são oferecidas e, desta forma, novas organizações
de tutoria são efetivadas. Por exemplo: no primeiro e segundo eixos do curso, fiquei
responsável pela interdisciplina Seminário Integrador e, portanto, responsável por
tutoriar as atividades dos alunos-professores nesta especificidade. No terceiro eixo
fiquei responsável por duas interdisciplinas: Seminário Integrador e Artes Visuais. No
quarto e atual eixo, sou responsável pela interdisciplina “Representações do Mundo pela
Matemática”.
A organização e escolhas das interdisciplinas oferecidas em cada eixo, pelo tutor
de sede e pela equipe do PEAD, se estabelece por meio do seguinte critério:
proximidade da temática com a formação do tutor. Para melhor entendimento do meu
leitor, disponibilizo minha formação acadêmica: Graduada em Matemática Licenciatura,
Mestranda em Educação e estou cursando a Especialização em tutoria em Ead, todos
pela UFRGS.
No terceiro eixo do curso o Seminário Integrador propôs uma atividade que
permeará todo processo educacional: O Portfólio de Aprendizagens. Essa atividade do
Portfólio de Aprendizagem está como foco central do eixo e continuará como tal até o
final do curso. Nesse material deverão ser produzidos relatos de aprendizagens que
contenham evidências e argumentos sustentáveis. A idéia de argumento e evidência foi
explorada a partir do filme Doze Homens e Uma Sentença (DOZE HOMENS E UMA
/0123/4 /5 05 6 789934 /5 85 95 :;<=>?@A; B6 CD<6EBizagem: experiências narradas no 5
SENTENÇA. Direção: Sidney Lumet . Produção: Henry Fonda; Reginald Rose
.Roteiro: Reginald Rose. Intérpretes: Henry Fonda; Lee J. Cobb, Ed. Begley; Jack
Klugman e outros. [EUA, Orion-Nova], 1957. 1 cd (96 min)). Após a tarefa inicial de
assistir o filme, os alunos-professores do PEAD foram divididas em pequenos grupos
para discutir – no Fórum do Rooda – sobre o que é argumento e evidência.
Assim, o Portfólio de Aprendizagens constitui-se por um documento que deverá
ser construído por meio do acúmulo de descrições das aprendizagens dos alunos. Essas
descrições devem contemplar as noções de evidência e argumentação para que, assim,
não se tornem superficiais. Foi decidido pelo PEAD que o Portfólio de Aprendizagem
seria construído por meio de um blog (página na web), visto que este tipo de ambiente é
público e gratuito, e ainda possibilita a interação por meio de comentários. Desta forma,
semanalmente, os alunos devem registrar um relato de aprendizagem “significativa” e,
ao longo do semestre, os relatos de aprendizagens devem contemplar todas as
interdisciplinas do eixo.
As intervenções dos tutores – tutores do Seminário Integrador - , em relação às
postagens nos Portfólios de Aprendizagem, seguem três âmbitos ou critério para
análise: 1) a relação entre a prática pedagógica e o que a aluna aprende no curso; 2)
tecnologias da informação e comunicação; 3) Linguagens e Integração das
Aprendizagens – interdisciplinaridade.
FC@6 GC@A6E=C< HI64 G6JIEB; 16KCB; LMNNOP Q ;<JCEARCB;<C B; :6CB Q
este curso vem reforçar não só a importância atribuída à articulação
dos componentes curriculares entre si [...], mas também sua ligação
com as experiências docentes, ou seja, com a prática pedagógica
realizada nas escolas e classes onde os professores-alunos
desenvolvem a docência. (p. 21)
T6G=C >;<UC4 ;G ;VW6=AK;G4 ;I CAEBC4 CG AE=6EXY6G Bo curso são reforçados pela
D<;D;G=C B; D;<=>?@A;4 CGGAU p;U; D6@CG AE=6<K6EXY6G BA<6=CG 6 AEBA<6=CG B;G tutores de
G6B64 B6 D?@;4 D<;>6GG;<6G 6 p;;<B6ECB;<6G5
8 6G=CG AE=6EXY6G 6 ;VW6=AK;G B6AZC<[; UC<pCG Q K6G=\JA;G Q EC p;EG=A=IAX[; B;
GIW6A=; D6BCJ?JAp; HI6 6EGAEC UC=6Us=ApC4 KAG=; HI6 este está imerso e enredado pelo
:80T 6U GIC 6ZD6<A]EpAC B6 >;<UCX[;^ T6 HI6 U;B; D;demos, então, esboçar outras
AE=6EXY6G 64 B6G=C >;<UC4 D<;BIRA< ;I=<CG D;GGAVA@Adades de identidades docentes a partir
_àbc_d _e è f ghiicd _e he ie jklmnoqrk tf uvlfwtizagem: experiências narradas no 6
tu vlxmryu vftuzozryu f{mu|fqfyrtu wk vklmnoqrk tf uvlfwtrzagem?
}~ ~ ~
julu fl k vklmnoqrk tf uvlfwtruzf f uwuqr{xqk, coloco uma lente teórica
rmk f{vfynryu qfwmf vo{f{mlmluqr{mue `{{rd o sentido que estou dando para ele é
uvfwu{ u vk{{r|rqrtutf tfwmlf muwmk{ kqulf{ vk{{fr{e
iullk{ud f {f{ f{mtk{ {k|lf u{ mfywkqkzru{ tk f, analisou práticas
vftuzozryu{ wk{ ur{ k{ rwtrtk{ {k ykwrtutk{” a elaborar uma relação
lfnqfru ykw{rzk f{k{e `nrlu f mur{ vlxmryus são consideradas em seu estudo
r{mk f zuluwmf vlktrl f mluw{nklul u fvflrncia que as pessoas têm de si
f{u{e fwmlf fqu{d uqu{ tf ftyuk kluqd uqu de educação de adultos, encontros
tf nkluk tf vlknf{{klf{e
c ykwwmk tf vlxmryu{ vftuzozryu{ f{ykqrtu{ vkl iarrosa assumem um fator
yk k rvklmuwmf wk f {f uvlfwtu uqzk fmerior', um corpo de conhecimentos,
u{ f {f fqu|klf k lffqu|klf uqzu nklu tf lfqação reflexiva do “educando”
ykw{rzk f{ke i` c_`d ¡¢¢£d ve ¤ ¥¦
`{ mfklru§f{ {k|lf u{ mfywkqkzru{ tk f {k ykw{rderadas por Larrosa visto que
k f{k vlfmfwtf k{mlul u qozryu zfluq tk{ tr{vk{rmrk{ vftuzozryk{ f ykw{mroem
f ftfru u lfquk tk {frmk ykw{rzk f{k ¨|rtem, p. 36). A “história do eu
ykk {frmk ©eeeª u r{molru tu{ mfywkqkzru{ f produzem a experiência de si.”
¨|rtfd ve «¥¦ f{mu nklud k {frmkd {u r{molra e sua constituição seriam
rw{fvulxfr{ tu{ mfywkqkzru{ tk fe
¬kyuqm ¡¢¢¦ tfnrwf u{ mfywkqkzru{ tk f ykk ufqu{ vlxmryu{
®¯° ±°²³´µ°¶ · ¸¹º ´¶»´¼´»¯¹º °½°¾µ¯·²¿ ±¹² ¾¯°¶µ· propia o con la
·À¯»· »° ¹µ²¹º¿ ¾´°²µ¹ ¶Á³°²¹ »° ¹±°²·¾´¹¶°º º¹Â²° su cuerpo y su
·¸³·¿ ±°¶º·³´°¶µ¹º¿ ¾¹¶»¯¾µ·¿ ¹ ¾¯·¸®¯´°² ½¹²³· »° ser, obteniendo
·ºÃ ¯³· µ²·¶º½¹²³·¾´¹¶ »° ºÃ ³°º³¹º ¾¹¶ °¸ ½´¶ »° ·lcanzar cierto
°ºµ·»¹ »° ½°¸´¾´»·»¿ ±¯²°Ä·¿ º·Â´»¯²´· ¹ ´¶³¹²µ·¸´»ad. (p. 48)
c urwtud mfywkqkzru{ ykk
±²¹¾°»´³°¶µ¹º¿ µ·¸ ¾¹³¹ °Å´ºµ°³ º°³ »Á¼´»· °³ ®¯·¸®uer civilização,
®¯° ºÆ¹ ±²¹±¹ºµ¹º ¹¯ ±²°º¾²´µ¹º ·¹º ´¶»´¼Ã»¯¹º ±·²· fixar sua
´»°¶µ´»·»°¿ ³·¶µÇÈ¸· ¹¯ µ²·¶º½¹²³ÉÈ¸· °³ ½¯¶ÊÆ¹ »° um certo número
»° ½´¶º¿ ° Ë²·Ê·º · ²°¸·ÊÌ°º »° ·¯µ¹»¹³Ã¶´¹ Ímaitrise de soi sur soi) ou
»° ·¯µ¹¾¹¶Î°¾´³°¶µ¹ Íconnaissance de soi par soi). (FOUCAULT,
ÏÐÑÒÓÏÔ ÏÕ ÐÕ Ö ×ØÙÙÓÔ ÏÕ ØÕ ÙÕ ÚÛÜÝÞßàáÛ âÖ ãäÜÖåâizagem: experiências narradas no 7
æçèçé êëìí îïððñòïé æççóé ëô õö÷
ÐøøáùÔ úÛåøáâÖÜãÜÖá Ûø äÛÜÝÞßàáÛø âÖ ãäÜÖåâáûãüÖåø como uma prática pedagógica
ýþÖ úÛåøÝÜßá Ö ùÖâÖáã ã ÜÖàãÿqÛ âÛ øþ ÖáÝÛ úÛåøáüÛ mesmo, ou seja, como uma
ÝÖúåÛàÛüáã âÛ Öþ ýþÖ áåúáÝã Û åãÜÜãÜtøÖÔ þàüãÜtøÖÔ dominar-se, decifrar-se, observar-se.
ÏÖüþåâÛ ÙãÜÜÛøã
S
Ô
Û øþ ÖáÝÛ úÛåøÝáÝþátøÖ åÛ que é por meio das práticas
äÖâãüßüáúãø ÖpÛþ ÝÖÜãäþÝáúãøÕ SäÕ
ØÔ øÖ ýþÖÜÛ analisar a constituição do sujeito
äÖâãüßüáúÛÔ åÛ úãøÛ âÛúÖåÝÖø ýþÖ Öåøáåãù ùãÝÖùÝáúã, cabe a mim analisar as práticas
äÖâãüßüáúãø Ö ùÖúãåáøùÛø ýþÖ úÛåøÝÜÛÖù øþãø áâÖåÝáâades docentes e constituem sua
øþs ÖÝá
áâãâÖÕ
Ó äÛÜÝÞßàáÛÔ âÖøÝã ÞÛÜùãÔ åqÛ øÖÜ úÛåøáâÖÜãâÛ úÛùÛ um mero espaço de
äÛøøásáàáâãâÖøÔ úÛùÛ þù ùÖÜÛ ÖøäãÿÛ ùÖâáãâÛÜ åÛø ýþais as pessoas encontram os
ÜÖúþÜøÛø äãÜã Û äàÖåÛ âÖøÖå
Ûà
áùÖåÝÛ âÖ øþã ãþÝÛúÛnsciência e sua autodeterminação.
Ó äÛÜÝÞßàáÛ øÖÜ úÛåøáâÖÜãâÛ úÛùÛ þù ùÖúãåáøùÛ âÖ ärodução da experiência que os
âÛúÖåÝÖø Ýù âÖ øá ùÖøùÛøÔ åãø ýþãáø øÖ ÖøÝãsÖàÖúÖm, se regulam e se modificam as
ÜÖàãÿrÖø âÛ øþ ÖáÝÛ úÛåøáüÛ ùÖøùÛ Ö åãø ýþãáø øÖ úÛnstitui a experiência de si” (Ibidem,
äÕ
Ó äÛÜÝÞßàáÛ øÖÜ úÛåøáâÖÜãâÛ úÛùÛ þù ùÖúãåáømo que produz pessoas, seus
ùÛâÛø âÖ äÖåøãÜÔ âÖ ãüáÜÔ âÖ øÖÜ äÜÛÞÖøøÛÜÖø
m
åÛ úaso de minha pesquisa, professores
ýþÖ Öåøáåãù ùãÝÖùÝáúãÕ ÏÖüþåâÛ ãû S
n ì ëíê ê í íì ëíêgógico, nem fora
í ë dì ín ìê ë n ncados. A
enê í ì ì ëíê n êí a vontades ou
níiíìêíêí êì n ê in ìníêíê de suas práticas.
ñ ì ëíê nìOíé ! êí regulado no
íì ëíêé ëê íé ëê ë íiferenças que esse
íì ê"ô ñ ì ëíê ! ìê ìnção do discurso
n n íê ê é nëênêné n nerior de agência de
n cëô æõ÷
Ñã äÖÜøäÖúÝá
ã âÖ ùáåNã ãåãàÝáúãÔ Û øþ ÖáÝÛ # úÛåøtituído por meio da linguagem.
Ð
áÜãâã àáåüAøÝáúã âÖøáüåã Û äÜÖâÛùåáÛ âã àáåüuagem sobre o pensamento como
þù âÛø Ûs ÖÝÛø âã áå
ÖøÝáüãÿqÛ ÞáàÛøßÞáúã Su$%&ÐÙØÙÙ%Ô '(Õ ÐøøáùÔ ã àáåüþãüÖù
äãøøã ã øÖÜ úÛåøáâÖÜãâã úÛùÛ úÛåøÝáÝþáâÛÜã âã ÜÖãàáâade na filosofia contemporânea –
âáÞÖÜÖåÝÖùÖåÝÖ âãø ÞáàÛøÛÞáãø âã úÛåøúáåúáãÕ Ðø äãlavras, desta forma, determinam o
åÛøøÛ äÖåøãùÖåÝÛÔ âÖÝÖÜùáåãù Û ýþÖ ã üÖåÝÖ úÛåøáâÖÜa que somos, “porque não
äÖåøãùÛø úÛù äÖåøãùÖåÝÛøÔ ùãø úÛù äãàã
ÜãøÕÕÕ SÙÐ&&ÓÏÐÔ '002, p. 21)
)*+,-). )/ */ 0 1233-. )/ 2/ 3/ 456789:;5 <0 =>60?<
Q@=?<5 =8;6B5 C@0 D5B5D >65<@75 <5 <;DE@6D5 F 0 ?G5
>0?D=B0?75 H E5?D7;7@I<5 >56 >=:=J6=D. H >56C@0 5 ?
osso pensamento está determinado
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B@;75
70B>5
E;6E@:=?<5/
MPDD5
D;R?;8;E=
C@0
0D7=B5D
<0>0?<0?70D <=C@;:5 C@0 >65<@T;B5D D5E;=:UE@:7@6=:U
o em que as palavras estão a
sozinhos com nós mesmos,
lingüisticamente.” (VEIGA-NETO;
3-42). VWWX. >/ YZ 4567=?75. >0?D=6 = 60=:;<=<0 >=6
8=T D0?7;<5 >=6= 0D7= >06D>0E7;J=. >5;D M?G5 fL >0?
autores -, que nosso
a além do nosso entendimento não
samento fora da linguagem, isto é, o
, p. 5). Veiga-Neto e Lopes (2007)
C@0 ?G5 >5<0 D06 <;75 ?G5 >5<0 D06 >0?D=<5[ \P];<0B
: “não há ganchos no céu onde
@7;:;T=B @B= B07L856= B@;75 D@R0D7;J= ?0D70 D0?7;<5
0?R=?Ef=6B
os” (p. 4). Desta forma, a virada lingüística renuncia a ambição da
76=?DE0?<^?E;= 0 <0D0K= D06 ]0B B=;D B5<0D7= C@0 =D _;:5D58;
as da Consciência.
agógico que é anterior às
- >56789:;5 <0 =>60?<;T=R0B E=660R= @B <;DE@6D5 >0<
07), é
?=66=7;J=D <5D =:@?5D`>6580DD560D/ 4=6= +0J=<5 \VW
um instrumento de auto-avaliação e de avaliação coletiva. Dessa
forma, a avaliação incorpora-se ao processo de construção do
conhecimento, abandonando o seu caráter controlador, punitivo ou
mesmo reforçador e passa a ser um elemento favorecedor das tomadas
de consciência. (p. 31)
406E0]0`D0. >567=?75. C@0 = 75B=<= <0 E5?DE;^?E;=.
>56
>=670
<5D
=:@?5D`>6580DD560D
*>60?<;T=R0B. 0 60856a=<5D. >567=?75.
DG5
assim como a auto-reflexão
teadores do Portfolio de
>6;?EI>;5D
?56
pelas intervenções dos tutores.
2D7= >6L7;E= 0<@E=7;J= =5 ;?E;7=6 5 ?=66=6`D0. 5 60
conhecer-se, “transmite também a
0b>06;^?E;= C@0 =D >0DD5=D 7^B <0 D; B0DB=D[ \3*gg8@?E;5?=
E5B5
>570?70
B0E=?;DB5
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>65<@aG5
0
D@K0;75D/ h5?856B0 3=665D=. M5 <;D>5D;7;J5 >0<=R9R;
60R@:
<;D>5D;7;J5
>0<=R9R;E5
E5B>=67;:f5
ação das identidades dos
co produz e regula os textos e as
;<0?7;<=<0D[ 0 =DD;B. M= >0DD5= <08;?0 0 0:=]56= = >69>6;=
h5B5
SA, 1994, p. 45) e, assim,
E5B
identidade” (ibidem, p. 47)
5
60806
ido autor que seja
ma a experiência de si.” (Ibidem, p.
MC@=:C@06 :@R=6 ?5 C@=: D0 E5?D7;7@; 5@ D0 76=?D856
jXZ 46L7;E=D >0<=R9R;E=D C@0 DG5 56;0?7=<=D k E5?D7
ituição ou à transformação da
B=?0;6= >0:= C@=: =D >0DD5=D D0 <0DE60J0B. D0 ?=66=B. D0 K@:R
am.
ar as palavras, escolher as
*DD;B. M*7;J;<=<0D E5B5 =70?<06 kD >=:=J6=D. E6;7;E
>=:=J6=D. E@;<=6 =D >=:=J6=D. ;?J0?7=6 >=:=J6=D. ;B
por palavra, proibir palavras, etc, não
lovwxly lz oz { |}~~xy lz }z ~z { {
zem pensar, perceber e sentir.”
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citar os relatos de
zagens), também produz
erem autoconscientes, são

{ { ¡{ { ¢z
o { £ ¤¥{{ ¦{{ { {
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A auto-narração, segundo Larrosa (1994), “não é o lugar onde a
¤¥{{ {§ {y { { ¥{ {
impõe uma direção” (p. 72) É a
{ { ¨{ § {{ { ¨{
¤¥{{ { {§ { £ { {

constitui nas próprias
canismos de narrações. “É contando
próprias histórias, o que nos acontece e o sentido que damos ao que nos
{{y { {{ {
po” (ibidem, p.68)
©ª«¬®¯°¬« ±«²ª«³´ ³µ¶¯²«³ ·¶¬¸¹º¹¯»«³
o mundo de coisas
(LARROSA, 1994,
¼½½½¾¿ ÀÁÂÃÄÅÂ¿ Æ Ã¿ÇÀÁÈÉ¿ ÀÊ Ë¿ÂÂÁÌÁÍÁÀÎÀÊ ÏÎÇÏ¿ À
ÐÄÎÇÏ¿ ÀÎ Ã¿ÇÂÏÁÏÄÁÈÉ¿ ÀÊ ÄÑ ÒÎÍÎÇÏÊ ÂÁÇÓÄÍÎÅ ¼½½½¾
Ë½ ÔÔÕ
o { { Ö }o× {{ ¦
{ ¦{{z { { { { {
definem as
teorias críticas do currículo são: “ideologia, reprodução cultural e social, poder, classe
social, capitalismo, relações sociais de produção, conscientização, emancipação e
0, p. 17). Por meio do portfólio de
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uzem constantemente e
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hecimento”, o “sujeito racional”,

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o”, a
do aluno”, etc. Sensos comuns que, provavelmente, estão circulando há
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consciência, são textos que
flexivo e consciente de se ver, para
scurso pedagógico psicológico do
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linguagens. O que os
ÞßàáâÞã Þä ßä å æçèèâã Þä çä èä éêëìíîïðê ñò óôõòöñ
ôõ÷íòøø÷õòø íùúòõóû óïù üí÷ù óôõòöñòõ ó ýòõþøò ò ó ñùúòõþøò òû íÿö
ö÷õûóìùý÷ø
ôõîôõù÷ø
( ïùönÿónòû ò
ñó
ô
ôòñón÷nùó
ø
òû
ÿó
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òøì
ção dos critérios
avam se introduziram.”
em o que significa o jogo de
óïÿö÷øþôõ÷íòøø÷õòø óôõòöñ
÷û÷ ÷nóõ ïònùìùûóûòöìò
Aóù÷ ÿû ò
òõì÷
ÿò ñòøìó
óû ñò û÷ñ÷
÷öøìùìÿùc÷ ñò ÿû øÿòùì÷ üóÿìö÷û÷
Aóøìóöìò òxplícito, a relevância dada à
÷öø ùòöìò ò õó
cional.
Sugeri pra minha filha que conversasse com o professor e colocasse o
que ela pensa, que relatasse que não gosta de decorar, que prefere
entender; quis com isso faze-la entender que ela já pode resolver os
seus problemas, que com certeza a família está presente, mas que
nossas frustrações precisam ser resolvidas , é preciso ter
AUTONOMIA - agir por si, assumir os riscos de suas ações.
Assim será que damos oportunidade para nosso aluno desenvolver
sua autonomia, completar o seu processo passando da Anomia, a
Heteronomia e finalmente nosso objetivo maior a Autonomia.
Com certeza ainda reproduzimos muito do que nossos professores e
sociedade nos incutiu, é preciso muita reflexão e um passo de cada
vez para conseguirmos progredir e transformar o nosso pensamento.
(http://peadportfolio156766.blogspot.com/search/label/Matem%C3%
A1tica)
Matemática para mim sempre foi um bicho papão. Com esta
interdisciplina passei a gostar de Matemática.
Apesar das muitas atividades semanais elas foram muito importantes
para mim.
As atividades matemáticas propostas ajudaram a desenvolver a
observação, atenção, o raciocínio lógico, com as possibilidades de
classificação, seriação, seqüência, etc
(http://peadportfolio156768.blogspot.com/search/label/Matematica)
Os números têm um papel muito importante em nossa vida e a
Matemática, muito além de ensinar a fazer cálculos, colabora para a
estruturação do pensamento e desenvolve o raciocínio lógico,
habilidades necessárias também em outras áreas do conhecimento
como História, Geografia e Ciências.
(http://peadportfolio164275.blogspot.com/search/label/MATEM%C3
%81TICA)
Esta semana pude por em prática algumas das atividades que
desenvolvi para disciplina de matemática.
Foi surpreendente, meus alunos não só adoraram como foram agentes
de muitas construções. As aulas correram e o tempo foi pouco para
tanto
envolvimento
e
entusiasmo.
SS S S !"#$% & '* +&izagem: experiências narradas no 11
http://peadportfolio156788.blogspot.com/search/label/MATEM%C3%
81TICA,
E- !. '/'%E 01 &2+.! '2 12' * -1*'34 2 “dar voz ao aluno” para
01 '..%2 -+q-%2+! & &1-'+& .5' 6'$ %7ado e, desta forma, possibilitar
'* +&%7'a+. 82'%. .%a+%"%-'!%6'.9
Dar voz ao aluno, escutar suas idéias e dúvidas, acolher opiniões e
ansiedades, me parece ser o caminho mais coerente a seguir,
possibilitar assim ao aluno o estabelecimento de novas relações
consigo mesmo, com o outro e com o conhecimento, buscando
garantir uma aprendizagem mais significativa em sala de aula.
%81TICA,
Hoje, felizmente, consigo ver e levar para a sala de aula,
oportunidades de aprendizagem onde o aluno possa interagir, propor,
experimentar e abstrair.
Tenho consciência também que as operações lógico-matemáticas têm
amplitude e não se restringem em somar e ordenar, mas que em uma
atividade pode e deve ser explorada pelos alunos todas as
possibilidades de resolução de uma situação-problema.
Passei a acreditar mais na bagagem dos meus alunos, no potencial
que possuem e aprendi que não sou transmissora de conteúdos
“engessados”
e
a
“dona
da
verdade”.
(http://peadportfolio156770.blogspot.com/,
..%2 -2 E- !. 01 &4 6%.%/%$%&'& ' +.%+ “prazeroso” e lúdico da
2'!2m!%-'
A matemática foi sempre um grande desafio pra mim dentro de sala
de aula. Indagações como: "Como meu aluno aprende?"; "Como
desenvolver os conteúdos sem tornar-se massante para meu aluno?",
dentre outros. Essas questões são e sempre estarão presentes
enquanto exercer meu ofício, porém agora lendo os artigos e textos
pedidos vejo o quanto posso fazer para que meu aluno aprenda de
uma forma lúdica e prazerosa pra ele.
%81TICA,
Foi excelente, porque nesta atividade conseguiram visualizar o
"menos, o tirar , o ir embora, o sobrar" de uma forma lúdica e
prazerosa proporcionada pelo computador que atrai total atenção de
todas as crianças. Comprovei mais uma vez que o visul e o concreto
para crianças desta idade são realmente necessários para que
compreendam os processos de adição e subtraçao para depois
:;<=>:? :@ ;@ B CDFF>? :@ D@ F@ GHIJKLMNH OB PQIBROizagem: experiências narradas no 12
partirem para os mais complexos, como multiplicação, divisão,
fração, etc. Que o computador é um atrativo para as crianças eu já
sabia, mas neste ano com o Laboratório da escola funcionando
estamos possibilitando que ele seja um aliado valioso na construção
do
conhecimento
de
todos
os
alunos.(
http://peadportfolio164269.blogspot.com/search/label/Matem%C3%A
1tica)
TUVU WXY Z[[\ U]\^_YÙ b ^Y]Y[[dVZ\ WXY ê[ fV\gY[[oras, esqueçamos
um pouco das regras que aprendemos no curso do magistério e dentro
das próprias escolas que trabalhamos, dando espaço para
interiorizarmos o novo, uma nova aprendizagem, mais flexível e
prazerosa para nós e para nossos alunos.
Sempre procuro inovar meus recursos para aplicação das atividades,
porém na área da matemática, busco, busco, e acabo nos tradicionais
cálculos, as vezes variando um pouco em sua aplicação, um bingo, um
jogo de memória ou outrem.A obrigatoriedade de realizar um
trabalho diferenciado, com quadrinhos em matemática, na atividade
quatro, me levou a refletir sobre o quanto nos acomodamos, apoiadas
nas tradições, em que a matemática tem que se resumir em cálculos, e
mesmo acreditando no poder da atividade interdisciplinar, deixamos
de utilizar recursos maravilhosos no desempenho de nossa prática
por não observarmos seu real valor para a aprendizagem de nossos
alunos.
(http://peadportfolio156760.blogspot.com/search/label/MATEMATIC
Ah
ijk loprk pstrur sov vkvpstk wp xuykruz{p|} pv w~ktomias como bom/ruim,
oytruu||uwkrpskxuwk} xpykskxk} pt ut krlop as valorações são historicamente
ks|t~towu| p} krtustk} ur~uwu| kr rpyuz{p| we saber/poder), mas quero exercitar o
vpo ps|uvpstk sk |pst~wk wp k||~~y~tur ovu kotru formação de sujeito pedagógico
su vkwuy~wuwp u w~|ts~u lop sjk p|tu lop wadas se institui. Para pensar em
kotru krvuzjk} rkksk ps|ur kpt~xuvpstp lop tipo de sujeitos docentes [que
ps|~suv vutpvt~u p|tuvk| loprpswk rkwo~r p uk~uwk| |k lou~| mecanismos?
||~v} kotru| rpwp| w~|or|~xu| p sjk w~|or|~xus] se formarão, e “outras” palavras e
|~s~~uwk| uru pspr k ps|uvpstk |p rkwo~rão, e outros modos de ser
rkp||krp| |p ur~ur
krty~k wp urpsw~upv} u vpo xpr} kwp |pr vuis produtivo positivivamente
su rkwozjk wp |op~tk| pwu~k| louswk} tuyxpz, propor “ensinar que nosso olhar é
tuvv vu~| y~xrp wk lop ps|uvk| } } op kwpvk| ps|ur
wp kotru vusp~ru u pwouzjk} k ps|~sk} u vutpvt~u. E, assim, possibilitar falar de
¡¢£¤ ¥ ¦ ¡¦ § ¨©ªª¤¥ ¦ ©¦ ª¦ «¬®¯°±²¬ ³§ ´µ§¶³izagem: experiências narradas no 13
¬·®¬ ¸¬³¬¥ ¹·±º´ ³§ ¬·®¬ ¸¬³¬¥ »¬¶³·¼² ´ ¶°½ ¸§½¸¬½ ³e outra maneira.
¾¬¸¬ µ¬µ¬½®´ µ§³´º°º²»´ ³§ ¯¬¸´¿À¬ ³§ ½·¹§²®¬½ µ§dagógicos que ensinam
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Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX
Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,
2008, pp. 1–10. (ISBN 978-85-98092-07-2)
PRÁTICAS SOCIAIS DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: INDÍCIOS DA
PRESENÇA DA INTERNET EM UM CURSO ONLINE
Carla Regina MARIANO – PPGEM-UNESP, RIO CLARO
([email protected][
Rosana Giaretta Sguerra MISKULIN – IGCE-UNESP, RIO CLARO
([email protected][
Resumo: A escola consiste em um espaço sócio-cultural composta por professores,
alunos e demais funcionários no qual práticas sociais são negociadas e influenciam a
constituição do ambiente escolar. Assim, as situações vivenciadas pelos diversos atores
dentro e fora da escola são de extrema importância para o desenvolvimento do ambiente
educacional. Esse fato requer que um olhar cultural seja lançado sobre a escola e,
conseqüentemente sobre essas práticas. Este artigo consiste em um excerto de uma
pesquisa de Mestrado, intitulada: Indícios da Cultura Docente revelados em um
contexto online no processo da Formação de Professores de Matemática e tem como
objetivo apontar alguns indícios da presença das TICs, mais especificamente da
Internet, nas práticas sociais de professor de Matemática. O ambiente analisado
constitui-se em um curso à distância que teve como tema a inserção das Tecnologias da
Informação e Comunicação (TICs) na Educação Matemática e que contou com a
participação de professores de Matemática de vários estados do Brasil. Dentre as
práticas sociais referentes ao uso da Internet e apontadas neste texto estão aquelas
relacionadas à busca de materiais didáticos, a utilização de blogs, a utilização da
Internet como meio para a aquisição de informações, a utilização da Internet em cursos
para a formação continuada, além da utilização da Internet para seu entretenimento. Não
só a utilização da Internet, como também outras TICs se mostraram presentes nas falas
dos participantes do curso bem como os problemas na utilização dessas em sala de aula.
Palavras-chave: Educação Matemática, Tecnologias, Práticas Sociais.
Introdução
A escola pode ser concebida como o resultado de um confronto de interesses nos
quais, sujeitos com determinado tipo de experiência agem e interferem no cotidiano
escolar levando para a sala de aula distintos pressupostos, conceitos e convicções sobre
a educação. De um lado, segundo Dayrell (1996), encontra-se a organização oficial do
sistema escolar e, de outro, os sujeitos que compõem a escola – alunos, professores e
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2008, pp. 1–10. (ISBN 978-85-98092-07-2)
funcionários. A organização oficial é a responsável por definir os conteúdos, as normas
e regras que buscam unificar e delimitar a ação dos sujeitos, os quais, por sua vez, criam
uma trama própria de inter-relações, com alianças, conflitos, imposições de normas e
estratégias individuais e/ou coletivas de transgressão e de acordos. Conceber os sujeitos
que constituem a escola como sujeitos sócio-culturais, torna possível que um olhar
cultural seja lançado sobre o cotidiano escolar, permitindo-nos entender cada indivíduo
como único e complexo.
Esse “olhar” sobre a escola, como o resultado de um “confronto de interesses”,
torna possível também, segundo Dayrell (1996), aprofundar-se na análise do fenômeno
educativo, buscando o que realmente ocorre no cotidiano escolar, bem como a
importância e a influência de cada sujeito que dele faz parte. No entanto, a própria
escola muitas vezes não reconhece os sujeitos enquanto indivíduos que possuem uma
historicidade, com visões de mundo, escalas de valores, sentimentos e hábitos que lhe
são próprios, enfim não os considera enquanto sujeitos sócio-culturais que se
constituem em grupos sociais, com regras e normas, aceitas ou não por eles.
Neste artigo, por entender o professor enquanto um sujeito sócio-cultural, que
vivencia situações que serão posteriormente “levadas” por ele para a sala de aula, buscase, dentre suas práticas sociais, aquelas referentes ao uso da Internet como um meio
propício ao compartilhamento de experiências, como um meio propício à busca por
novas ações docentes por meio de materiais didáticos, entre outros recursos, além é
claro da utilização da Internet como um meio para buscar informações ou
entretenimentos.
Essas práticas sociais observadas consistem em um excerto de uma pesquisa de
Mestrado intitulada: Indícios da Cultura Docente revelados em um contexto online
no processo da Formação de Professores de Matemática. Esse estudo teve como
objetivo investigar os indícios da presença das TICs nas práticas sociais de professores
de Matemática por acreditar ser essa uma presença fundamental para a sobrevivência do
docente na sociedade informatizada.
O curso de extensão online intitulado: A Inserção das TICs na Educação
Matemática oferecido para professores de Matemática, atuantes ou que venham a
atuar nos diversos níveis de ensino foi o cenário de investigação da pesquisa supracitada
e o ambiente em que as práticas sociais foram observadas. O curso abordou textos e
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2008, pp. 1–10. (ISBN 978-85-98092-07-2)
software matemáticos com o objetivo de oferecer subsídios teórico-metodológicos para
a reflexão sobre as potencialidades e limites da implementação e da disseminação das
TICs no contexto da Educação Matemática.
Mas o que são práticas sociais?
As práticas sociais consistem no conjunto de ações de um determinado grupo de
indivíduo que por persistirem por certo tempo são valorizadas por determinados
segmentos sociais e se realizam com regularidade (MIGUEL, 2004). Assim, as ações
realizadas por trabalhadores rurais no cultivo de determinada espécie agrícola são
práticas culturais desses indivíduos.
Quando se estuda o professor de matemática, suas práticas escolares constituemse no âmbito de suas práticas sociais. A maneira como o professor trabalha determinado
conteúdo em sala de aula foi adquirida e desenvolvida durante toda a vida profissional e
pessoal. Enquanto ainda aluno, o docente, ao observar retrospectivamente a atitude de
seus professores, pode espelhar-se nelas como um contra-exemplo ou como exemplo a
ser seguido.
O professor consiste em um sujeito sócio-cultural que vivencia e experiencia
muitas situações dentro e fora da escola e que algumas dessas situações vivenciadas
influenciam o espaço social no qual ele está inserido. As práticas sociais vivenciadas
pelo professor dentro e fora do ambiente escolar se confundem uma vez que ao adentrar
a sala de aula ele continua sendo o mesmo indivíduo com seus pressupostos e
conhecimentos pré-adquiridos.
Fullan e Hargreaves (2000) afirmam que o tornar-se professor está associado “à
sua vida, à sua biografia, ao tipo de pessoa que eles se tornam” (p. 42). Esses mesmos
autores reiteram: “Você não pode compreender o professor ou o ensino sem
compreender a pessoa que o professor é” (FULLAN; HARGREAVES, 2000, p. 42).
Apoiando-se nesses autores buscou-se, a partir de pistas (Na referida pesquisa o
conceito de pistas, indícios foi utilizado de acordo com o Paradigma Indiciário
(GINZBURG, 1990), esse paradigma se baseia em sinais ou indícios que são
imperceptíveis para a maioria dos indivíduos, mas que não escapam a um exame
cuidadoso de um indivíduo atento) deixadas por professores de matemática em um
ambiente online, aspectos referentes à utilização da Internet na Educação.
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Essas pistas foram deixadas no ambiente online no qual o curso estava inserido;
era composto por Fóruns de Discussão, Portfólios, Bate-Papos, entre outras
ferramentas que se tornaram um local propício ao compartilhamento de experiências e
conhecimentos. Assim, as pistas foram deixadas nessas ferramentas, evidenciadas e
analisadas posteriormente. Além do ambiente, o Questionário (Inicial e Final) enviado
aos participantes do curso também fez parte do objeto de análise, desta pesquisa.
As pistas deixadas...
Umas das práticas sociais reveladas nas falas consistiu na utilização da Internet
como meio para a aquisição de informações. O Questionário, enviado aos
participantes no final do curso, continha a pergunta disparadora: Qual é o meio mais
utilizado por você, ou de sua preferência para a aquisição de informações de uma
maneira geral? (livros, revistas, jornais, TV, Internet, entre outros). A escolha da
Internet como um meio propício a isso foi apontado por praticamente todos os
participantes. Veja algumas das falas referentes a esse aspecto,
Vou tentar descrever uma ordem: Internet seria a primeira e pra a mais
importante, pois é através dela que encontro livros e revistas com
informações interessantes, além de sites muito bons, professores e
amigos muito dispostos e cursos (Breno, Questionário Final, Grifo
nosso).
Para acesso a conteúdos matemáticos costumo utilizar livros da
biblioteca da universidade, no entanto quando estou à procura de
conteúdos computacionais recorro a Internet. A vantagem que vejo
em estudar utilizando a Internet como ferramenta para levantamento
de materiais é a grande oferta de fontes (assim temos visões críticas
diferentes sobre o mesmo tema), formatos variados (o material
encontrado pode estar em formato de texto, som ou vídeo), além do
grande volume de informações gerado pelo trabalho voluntário de
pessoas (que elaboram e disponibilizam apostilas, livros e artigos em
formatos Livres e Gratuitos). Os textos técnicos computacionais
comercializados pelas editoras nacionais possuem valores
incompatíveis com a renda da maioria dos brasileiros, além do fato de
nós educadores não querermos um livro de 600 páginas que custa R$
200,00 sobre uma linguagem de programação, por exemplo, quando
nosso objetivo não é ser um programador profissional (pelo menos
não a priori) (Edson, Questionário Final, Grifo nosso).
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2008, pp. 1–10. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Quando Breno diz ser essa a primeira e mais importante fonte de aquisição de
informações, ou quando Edson fala sobre a grande oferta de fontes, fica clara a
importância dada por eles à Internet quando se trata da busca à informação.
Outro indício pode ser observado no momento em que se questionou aos
participantes do curso qual era a opinião deles a respeito do uso da Internet para
cursos de Formação de Professores. A resposta de um dos participantes reforça a idéia
do professor como um sujeito sócio-cultural ao enfatizar a complexidade da vida e da
formação dele, uma vez que esse tem “[...] uma vida social, profissional e familiar
muito intensa [...]” (Alex, Questionário Final),
Como nós temos uma vida social, profissional e familiar muito
intensa, a utilização de e-mail’s, bate-papos, fóruns e acesso a
páginas cientificas contribui positivamente na articulação da
“mecânica desvairada” do nosso cotidiano, onde uma pessoa às vezes
tem que quase se multiplicar para honrar com seus compromissos a
tempo e a hora (Alex, Questionário Final).
Ver o professor como um sujeito que possui outros interesses além daqueles
existentes na cultura escolar (entendida como o entrelaçamento de diversas culturas
presentes no cotidiano escolar – cultura crítica, acadêmica, institucional, social e
experiencial, PÉREZ GÓMEZ, 2001) torna-se necessário, uma vez que o professor se
constitui enquanto profissional da educação, devido a todas as experiências vividas
dentro e fora do ambiente escolar. As práticas sociais extra-escolares do professor
também constituem e definem o ambiente escolar, no qual ele está inserido. A cultura
escolar é definida e constituída pelos sujeitos que tramitam por esse espaço cultural, ou
seja, por professores, alunos e outros funcionários da escola. É exatamente nesse ponto
que reside a importância em estudar esses sujeitos enquanto sujeitos sócio-culturais
(DAYRELL, 1996, Grifo nosso).
Indícios da presença da Internet nas práticas sociais dos participantes também
puderam ser observados, em alguns dos Perfis, como um meio de entretenimento.
Observe algumas das falas,
[...] Me considero uma pessoa alegre, otimista, criativa, sensível e
adoro novidades. Sou de Porto Alegre/RS, mas quando casei vim
morar em General Câmara/RS que é muito pequena (8.000 hab). Isto
vai fazer 20 anos. Se ou for falar sinceramente, não gosto muito de
morar aqui, pois a maioria das pessoas não tem ambição e não
valorizam muito a Educação. Graças a Deus exista a internet que
¿ÀÁÂÀÃÄÅ ÆÇ ÁÇ È ¿ÂÉÊËÌÂÃÅ ÁÇ ÍÇ ÉÇ ÎÏÐÑÒÓÔÕ ÕÖÓÒÔÒs de professores de 6
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me deixa perto do resto do mundo [...] (Clara, Ferramenta Perfil,
03/03/2007, Grifo nosso).
[...] Tenho dois irmãos e muitos amigos, em sua maioria distanciados
geograficamente pelas escolhas profissionais, mas graças a internet
sempre muito próximos. Gosto de andar de kaiake, passear com
minha rottweiler, jogar xadrez on-line e ler, ler muito! [...] (Edson,
Ferramenta Perfil, 01/03/2007, Grifo nosso).
[...] Acredito na importância e na necessidade da inserção das TICs
nas aulas de Matemática e estou escrevendo a minha monografia
relacionada a este tema. Adoro cinema, internet e me divertir com
minha família e meus amigos! [...] (Karen, Ferramenta Perfil,
[...] Gosto muito de tudo que se relaciona a tecnologia, internet,
música. Sou tecladista e cantor nos fins de semana. Sou santista.
(Ricardo, Ferramenta Perfil, 28/02/2007, Grifo nosso).
Quando Clara diz se sentir mais perto do mundo com o uso da Internet ou
quando Edson diz sentir seus familiares mais próximos, torna-se óbvia a importância
desta em suas vidas extra-escolares. Ricardo é mais abrangente e diz que gosta muito de
tudo que se relaciona a tecnologia. Como os perfis foram escritos logo no início do
curso, as concepções dos participantes referentes à tecnologia e ao uso da Internet não
haviam sido influenciadas pelas leituras e discussões do curso e por esse motivo, esses
indícios representam algumas práticas sociais destes professores anteriores ao início das
aulas.
Além disso, os participantes deixam claro que sempre que possível estimulam
seus alunos a adquirirem familiaridades e conhecimentos requeridos pela sociedade
tecnológica e que utilizam blogs, por exemplo. Veja uma fala que retrata isso,
em minha disciplina os alunos são estimulados criarem blogs para
publicar textos, opiniões e tudo mais... o resultado muitas vezes
surpreende, veja um exemplo http://pedrosinop.blogspot.com/ (Edson,
Ferramenta Bate-Papo, 07/03/2007).
Nessa fala há vestígios da criatividade de Edson buscando, no uso de blogs, uma
maneira de preparar seus alunos para viver na sociedade informatizada. Ao fazer isso,
Edson assume um dos papéis da profissão docente em uma sociedade informatizada,
conforme enfatiza Hargreaves (2001, apud Freitas et al, 2005), o papel de catalisador.
Hargreaves (2001) considera a profissão docente uma profissão paradoxal “presa” em
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2008, pp. 1–10. (ISBN 978-85-98092-07-2)
um triângulo cujos vértices consistem em alguns papéis que o professor pode assumir,
ou seja, o papel de catalisador, de contraponto e de vítima.
A utilização de blogs para preparar seus alunos para a sociedade informatizada faz
com que Clara, assim como Edson, assuma também o papel de catalisadora como pode
ser observado na fala abaixo,
É isto q é legal Edson. Trocar idéias. Vou olhar teu blog. Já trabalhei
blog com meus alunos tb. (...) Trabalhei blog numa época q não
tinha pc na escola. Eles escreviam no papel e uma aluna digitava
pra mim postar. Deu muito certo... (Clara, Ferramenta Bate-Papo,
Já tive a experiência de trabalhar com blog numa disciplina que fiz na
especialização da católica, foi muito bom (Elza, Ferramenta BatePapo, 07/03/2007).
O uso de Blogs para acompanhamento em aulas presenciais consiste em uma
prática docente criativa que pode ser utilizada como apoio a qualquer disciplina.
Quando Edson diz ter conseguido muitas vezes um resultado surpreendente isso mostra
que sua experiência em relação ao uso de Blogs foi positiva, e que por isso ele vê a
possibilidade de repeti-la.
O uso de Blogs também pode auxiliar uma disciplina presencial como relatado por
Breno quando diz cursar uma disciplina em que o professor faz uso desse instrumento
para comentar trabalhos e postar notas de aula. Essa prática social surgiu em outras
discussões no decorrer do curso sem que isso fosse tema de algum encontro, o que nos
dá indícios do uso de Blogs nas práticas sociais de alguns participantes,
olha esse q tenho, comecei agora numa disciplina do mestrado:
http://redes-lactea.blogspot.com/ ïðððñ ò óôõö ÷ø ÷ùúùûùóüùýø ÷õ
mestrado acompanha os trabalhos pelo blog e depois por mediações
em sala de aula e através de comentários postados no blog por ele e
por outros alunos (Breno, Ferramenta Bate-Papo, 21/03/07).
A Internet torna-se um “mar desconhecido”, no qual o professor pode navegar à
procura dos mais variados recursos e metodologias que o auxiliem em sua prática
docente. Assim, evidencia-se uma pista, deixada por um participante, que traz
referências sobre o uso da Internet, na busca por materiais didáticos,
Alguém trabalha com planilha eletrônica? (Edson, Ferramenta BatePapo, 07/03/2007).
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eu trabalhei Edson, pra ensinar equação uma vez (Breno, Ferramenta
Bate-Papo, 07/03/2007).
vocês montaram as funções para que ela mostrasse os gráficos?
(Edson, Ferramenta Bate-Papo, 07/03/2007).
Edson, encontrei um material na Internet: o uso de planilhas
eletrônicas para o ensino de equações [...] achei bem interessante,
depois disponibilizo o material (Breno, Ferramenta Bate-Papo,
Nessa interlocução, Edson questiona os demais para saber se alguém possui algum
material didático sobre o Excel (programa de planilha eletrônica distribuído pela
Microsoft para computadores com o sistema operacional Windows. Existem softwares
semelhantes como o OpenOffice org. Calc com licença aberta. O Excel é um software
instalado em qualquer máquina que tenha Windows. http://office.microsoft.com/ptbr/excel/default.aspx)
o
de uma busca
na Internet reafirmando as potencialidades pedagógicas dessa, no preparo de aulas
devido à quantidade de materiais disponíveis na rede. Assim, a prática de utilizar a
Internet como um meio para a busca de materiais didáticos pode vir a se consolidar
como uma importante prática docente para o preparo de aulas, para os mais variados
níveis de ensino.
De um modo ou de outro, os participantes do curso, buscaram superar muitas das
dificuldades encontradas, na cultura escolar ou fora dela, com o auxílio da Internet.
Muitos deles vêem as TICs como parte de seu dia-a-dia, uma vez que as TICs estão
presentes em todos os lugares, desde os relógios de pulso, passando por utensílios
domésticos (fogão, geladeira, TVs), até satélites potentes que informam a previsão da
temperatura para a semana, ou seja, fazem parte do cotidiano das pessoas, influenciando
muitas vezes, os modos de ser e conhecer dos seres humanos (MISKULIN, 1999, p. 89).
Além de indícios percebidos nas falas, a própria participação em um curso online
é um indício de que os participantes utilizam as TICs em suas práticas sociais
escolares e extra-escolares. O curso foi divulgado apenas via e-mail o que torna
provável que ele tenha chegado ao conhecimento dos participantes por esse mesmo
meio. No decorrer do curso, a observação dos indícios tecnológicos nas práticas
de professores de 9
2008, pp. 1–10. (ISBN 978-85-98092-07-2)
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sociais dos participantes se pautou na maneira como cada participante “se mostrou” no
decorrer do curso, como realizou atividades, participou dos Fóruns de Discussão e do
Bate-Papo, enfim, como vivenciou o ambiente online no qual o curso estava inserido.
A presença das TICs nas falas dos professores, participantes do curso, faz com
que os professores assumam o papel de catalisadores conforme aponta Hargreaves, uma
vez que formam indivíduos globais com habilidades requeridas pela sociedade
tecnológica.
Além disso, para enfrentar os desafios da sociedade tecnológica o professor
necessita, conforme Ponte (2004 apud KENSKI, 2007, p. 104), ser um explorador,
O professor, em suma, tem de ser um explorador capaz de perceber o
que lhe pode interessar, e de aprender, por si só ou em conjunto com
os colegas mais próximos, a tirar partido das respectivas
potencialidades. Tal como o aluno, o professor acaba por ter de estar
sempre a aprender. Desse modo, aproxima-se dos seus alunos. Deixa
se ser a autoridade incontestada do saber para passar a ser, muitas
vezes, aquele que menos sabe (o que está longe de constituir uma
modificação menor de seu papel profissional) (PONTE, 2004 apud
KENSKI, 2007, p. 104).
Quando se trata de ser um explorador a Internet consiste em um meio propício e
rico a essa busca. Corroborando com Ponte (2004), as falas dos participantes
demonstraram que esses agem muitas vezes como um explorador ao ir à busca de
informações na Internet, ou à busca de materiais didáticos, por exemplo.
É fato que os participantes do curso são uma minoria privilegiada, pois quase
todos lecionam em colégios privados ou em Universidades e que ser um explorador em
situações precárias é praticamente impossível. Mesmo assim, acredita-se que essas falas
trazem à tona algumas experiências que são iniciativas importantíssimas na busca a
melhoria do ensino.
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escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.
Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM, Bauru:
SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-13. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
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O debate cultural na Educação Matemática tem evidenciado a produção da
g¡^ ¢¡jig ^ idh¡â¡dc cdijgjc kj£^fcdc\ Y de¤^¡j£o desta Comunicação é tecer
f^_`âb^c ¥¦gh¡d § hî^ccjkgk^ k^ h¨d c^ ^c¥¦î^f ka importância da apropriação da
g¡^ ¢¡jig ^cid`gf\ ©gfg jccdZ k^_^hk^ªc^ g f^g`j«gção de relações entre a matemática
¬f^c^h¡^ ^ idh¡â¡dc cdijgjc kj£^fcdc ^ g g¡^ ¢¡jca escolar de forma a garantir a
g¬fd¬fjg¨d kg g¡^ ¢¡jig ^ c¦g â¬f^cc¨d cjc¡^ g¡izada.
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Cultura, Escola, Matemática Escolar, Matemática A-Escolar.
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Y de¤^¡j£d k^c¡^ ¡fgeg`´d µ g¬f^c^h¡gf g`¶¦ gc idhciderações
hî^ccjkgk^ k^ c^ ¶gfgh¡jf g g¬fd¬fjg¨d kg g¡^ ¢¡ica
escolar.
Xfg¡gªc^ k^ f^_`âb^c kg ¬^c¥¦jcg idhi`¦·kgZ id d kdi^h¡^Z
Wc¡gk¦g` ©g¦`jc¡g\ S ¬^c¥¦jcg f^_^f^ªc^ gd ©fd¤^¡d k^ ©^c¥¦isa
¸¹¹º ^ jh¡j¡¦`gªc^
que evidenciam a
na Universidade
realizado no triênio 2005-
"A relação entre produção e sistematização do conhecimento
»¼½¾»¿½ÀÁÂÃ ÁÂÄÅÀÆ¾Ç¼ÈÉ¾Å ÅÂÊÇ¾ ¼ ¼ËÇÂËÇÀ¼ÈÌÂ Æ¼ »¼temática
escolar face à questão
ÁÍÎ½ÍÇ¼ÎÏÐ
Sc f^_`âb^c gedfkg idhcjk^fgb^c ¥¦^ ¬^f ^jg g ¥uestão
gdc jhkj£·k¦dc ^ _gi^ §c k^ ghkgc ´jc¡Ñfjigc kg cdciedade
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globalizada industrializada.
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g¬f^c^h¡gkgc hg ^kjkg ^ ¥¦^ ¡gjc kjci¦fcdc c^ idhcentram,
¬fdk¦¨d kg g¡^ ¢¡jig ^ idh¡â¡dc cdijgjc kj£^fcds
^£jk^hijgf g f^`g¨d ¬gfg id g g¡^ ¢¡jig cjc¡^ g¡izada
¬dcj¨d kd g¦¡df k^c¡^ ¡fgeg`´dZ id d c^f¢ ^£jk^hijada
da formação escolar
multiculturais são
e muito, em valorizar a
sem, entretanto, se ater a
presente na esfera escolar. A
a seguir, é que a valorização da
g¡^ ¢¡jig ¬fdk¦«jkg ^ idh¡â¡dc cdijgjc µ hî^cc¢fjgZ ^h¡f^¡gh¡dZ k^£^ c^f ^`^ ento
de apropriação da matemática 2
ÒÓÔÕÖÓ×ØÙÙÚÛ ÜÝ ÕÝ ÞÝ Õßàáßâãßä äåæçß è éßêßääëìèìß
íîß êåéïçëæîè ðèçè è èðçåðçëèñòå ìè óèïßóôïëêè äëäïematizada
ßäïè äîðßçè ðåç ëéêåçðåçèñòå èíîßáè ß õ ëóðçßäêëéìövel
por entender aqui que
à formação cultural de todo
ëéìë÷öìîåÝ
Ú ïçèæèáøå èðçßäßéïåî êåóå óåïë÷èñòå è éßêßääëìèìß
çßàáßâãßä è ðèçïëç ìß îó àèïå íîß äß çß÷ßáåî ëéíîëßtante:
èðçßäßéïèñãßä ìß ïçèæèáøåä åçùèéëúèìèä ßó ïåçéå ìè
äåêëèëä
ßäðßêöàëêåäÛ
êåó
ùçèéìß
em mesas redondas e/ou
reflexão “Educação Matemática e
exposição de pesquisas em
ûîáïîçèü ÷ßçëàëêèçèóýäß øè÷ßç îóè ùçèéìß þéàèäß éè
êåéïßâïåä
de desenvolver algumas
de pesquisas realizadas em
ìßäïèíîß
êåóîéëìèìßä ëéìöùßéèäÝ ×ßääßä ïçèæèáøåäÛ å ðßäíîëäèìåç ßâðãß è áÿùëêèÛ åä êåéêßëïåä
óèïßóôïëêè ðçåìîúëìè ßó ìßïßçóëéèìå êåéïßâïå äåêëèá.
da
A exposição é freqüentemente
èêåóðèéøèìè ìß îó àåçïß ìëäêîçäå êåéïçôçëå a ìßéåóënada
ðçßäßéïß éè óèïßóôïëêè ßäêåáèç ß éèìè äß èðåéïè íîènto
“matemática ocidental”
ao que fazer com relação à
èðçåðçëèñòå åî éòå ìè óèïßóôïëêè ßäêåáèçÝ
Ô ëéíîëßïèñòå çßäëìß éå àèïå ìß íîß å ðAæáëêå èá÷å
dessas mesas redondas e/ou
èðçßäßéïèñãßä ìß ïçèæèáøåä äòåÛ ßó äîè óèëåçëèÛ ðçåfessores
que atuam na sociedade
êèðëïèáëäïè ëéìîäïçëèáëúèìè ßÛ êåóå ïèáÛ éòå äòå ßìucadores
êåéïßâïåä äåêëèëä ßäðßêöàëêåäÛ êåóå åä ìß ðå÷åä ëéìígenas.
çßäëìß éè éßêßääëìèìß ìß
1
(åî
(de matemática) para
Nesse sentido, a inquietação
esclarecer dois aspectos:
äß è éåääèü óèïßóôïëêè éòå õ ëóðåçïèéïß a ìßïßçminada
åîïçåä
êåéïßâïåä
äåêëèëä
ßäðßêöàëêåä
äåæ
íîèëä
comunidade indígena
pressupostos se encontra a
jîäïëàëêèïë÷è ìßäïè êåéäïèïèñòå 2
äß è éåääèü óèïßóôïëêè õ ëéAïëá èå êåéïßâïå äåêiais
ðçßääîðåäïåä äß ßéêåéïçè è jîäïëàëêèïë÷è ðèçè çßäðèldar
investigado, sobre quais
a idéia de que a exposição da
éèïîçßúè ß ßäðßêëàëêëìèìß ìè óèïßóôïëêè ìß ðå÷åä ëédígenas
äåêëèëä
ðåìß äßç
ðèçè éÿäÛ ðçåàßääåçßäÛ íîß áßêëånamos
(ou outros contextos
a matemática escolar,
ëóðåçïèéïß ÙçèïèýäßÛ äßó ìA÷ëìèÛ ìß äß çßàáßïëç äåæçß è èðçåðçëèñòo
da matemática escolar.
Öß èéïßóòåÛ êîóðçß ßäêáèçßêßç å äßùîëéïßD å åæjßïë÷o
deste trabalho não é buscar
ìßäóßçßêßç èä ðßäíîëäèä äåæçß è óèïßóôïëêè ðçåìîúëìa
em contextos sociais específicos,
íîßç äßjèó ðå÷åä ëéìöùßéèäÛ êåçïèìåçßä ìß êèéèýìßýèçúcar,
trabalhadores do jogo bicho,
G
! " # $ O% O% O% & ' O% ) %! o,
r! )O% ) % ! O% !ida
O% q ))$ essas pesquisas entendem a
da matemática sistematizada ?. Se tal
))$ ' * O% +%ativas
para tal posição e em que
parte dos indivíduos destes
! ))$ !!* )
c %! )* !)dora
de formação cultural?
P % " ))$ !!ática
!
"!
d
!
são relevantes que se
) ' !)d& q !$ a
rtísticos
'
escolar, assim como dos
contemplados nas
individualidade. Tal compreensão
), ))& -,"- %ção,
perspectiva de fundamentação
! m ) " ./ O% +%ga
considerações quer sejam do
â! )c -,"- % "-,ultural
Vc0 3% 3&/ O% +! â! a
(a partir dos trabalhos de
denominada pedagogia histórico-
d m ) " 4&/
C! ! !!* )%r m
& ' !)d& !!*
contextos sociais
a-escolar como ponto de partida
)d& ) c !r$ !!*
)$ && )$ %! ' O% C!%$ O% " ' +* )itada
reflexão, a partir de aspectos
%" "- - propriação
m! O% + ! c$ !s
os limites da
da matemática escolar
a-sistemáticas de manifestação
!!* )O% && /
M567896:;5 7<;=>5?@ B5?5 EFHI
!) c ) e
O% !) %$ )
no crescente progresso
às demandas do progresso social
c 3& mJKLK ) NK/ rma:
son los
tanto más crece
^_ [^ZW ^Z[^gklbgW e^ _S êRgSgbiT n USTUW Z^ gWX[_ican las tareas que
Z^ [\^Z^TUST ^X ZR SsSTgô pW\ ^ZUWf gSeS TR^sS ÛSpa en el desarrollo
e^ _S `RXSTbeSef SZk gWXW ^X ^_ e^ZS\\W__W e^ gb^\Uos pueblos, plantea
QRSTUW XYZ [\W]\^ZS _S `RXSTbeSef gRSTUW XYZ \bgWZ
\^ZR_USeWZ SgRXR_SeWZ [W\ _S [\YgUbgS ZWgbS_h`bZUi\ica,
tuvwxuyz{{|} ~ w w
la educación de
la sociedad le
£¤¡ docentes, la
£¤ ¢ ¥ ¤ y em relación
¥ ¡ ¡ diferencia; los
£¤ ¦ § ¦ ¡ perfeccionan
¨ § ©a. Esta ligazión
ª § es tan íntima, que
© ª sociedad podemos
¡ ¢ ¡ o de la educación y,
¡ ción, determinar
§ ral de la sociedad.

¡ ¢
« ¬ ® } ¯°±
(1974, p. 54) afirma o
²±®³
não os objetos
qualidade humana: esses, enquanto objetos humanos, são
indicados como uma tarefa a levar a cabo. Para que o menino
µ¶ · ¢ objetivações das
¥µ ª¡ ¢ utilizá-los de um
ª¡ ¨ as mesmas
¥ ¥µ¸ ¹¡ caso, ocorre um
¢ ·¦ ¶ ¨ º¡ iza apenas através
µ¶ ¡ ¡ edade: o que
» ¢ se processo pode
´ µ¡ ª ¨ ¡

¸
v ® ¼ ¬ ½®® ® ± ²±
½½¬¾ ±® ¿± ¬ uma
À²} ½ ½} ½
determinada sociedade
das objetivações (os produtos da
®¬¾ Á±Â
– MARX(1985)) atingidas por
Ã ÀÄ ®¬¾ tureza
pela comunidade indígena, é
¿± ÀÄ ®¬¾ ustrializada,
Å® Á± ½® ÄÀ± ngular
½½} Æ® Ä Ç
menor é a quantidade
desta comunidade para
palavras de Markus (1974, p. 54).
z®®®} È® ¬¾ ® ÄÀ±
singular e as objetivações (os
½±® Á±ÂÉ ¿± ¼
sua vida, não importa de qual
ÄÀ± ®Å } ¿± Å ± dade
½®± Æ® Ä Ç} ²Ê
o desenvolvimento de ‘faculdades’ e
Ë¬Ì ½ ½À ½ ½½¬¾o
Å®Ä¬
mais complexa que de outra, a
da função social implícita às
ÍÎÏÐÑÎÒÓÔÔÕÖ ×Ø ÐØ ÙØ ÐÚÛÜÚÝÞÚß ßàáãÚ ä åÚæÚßßçèäèÚ
ÒÚßßÚ ßÚåéçèàÖ à éÚãêà ëêäçß æàêìÜÚÝàí åîà Úßéï äðñi
ÚßìÚæòÛçæà èÚ æàêìÜÚÝçèäèÚ äéçåóçèà ìÚÜä ßàæçÚèäèÚ
indígena (as relações entre os
çåèçôòèñàßÖ ßÚñß ìãàèñéàßÖ ßñä ÜçåóñäóÚêÖ ßÚñß æàßéumes
ãÚÛÚãõåæçä ö éãäåßÛàãêä÷îà èÚ ßñä ãÚäÜçèäèÚ åäéñãäÜ
depreciando o grau
etc). É ‘menos’ complexa com
em realidade humanizada. O nível
èÚ éãäåßÛàãêä÷îà èäß Ûàã÷äß ìãàèñéçôäß ø èÚ êäçàã órau
na sociedade industrializada que
Úê èÚéÚãêçåäèä ßàæçÚèäèÚ çåèòóÚåäÖ èäò à éÚãêà ëêäçs
complexo” com referência à
ßàæçÚèäèÚ çåèñßéãçäÜçùäèä æàê ãÚÜä÷îà ö ßàæçÚèäèÚ çndígena.
óãäñ èÚ éãäåßÛàãêä÷îà èä ãÚäÜçèäèÚ åäéñãäÜ Úê ãÚäÜçzada
Para isso, basta observar o
humanizada imprimida em
åàßßä ßàæçÚèäèÚ çåèñßéãçäÜçùäèä Ú åñêä èÚéÚãêçåäèä ßàæçÚèade
indígena.
Ï æãçäå÷ä çåèòóÚåä åîà éÚãï ðñÚ ßÚ äìãàìãçäã èäß ðñalidades
àáúÚéàß èà êñåèà óÜàáäÜçùäèà çåèñßéãçäÜ åÚê ö äìãàìriação
sociais implícitas aos
de comportamentos sociais,
êàãäçß Ú øéçæàß èÚßßä ßàæçÚèäèÚØ Òîà ßÚ éãäéä èÚ æàêìÚéõåæçä àñ åîà ìäãä ßÚ
èçßßàØ ÔãäéäûßÚ èÚ äÜóà èÚßåÚæÚßßïãçà ìäãä à çåèçôòduo
deste contexto social, pois seu
êÚçà ßàæçäÜ åîà ø à êÚçà ßàæçäÜ èä åàßßä ßàæçÚèäèÚ óÜobalizada
industrial.
Ï æãçäå÷ä åà êñåèà êàèÚãåà åîà éÚãï ðñÚ ßÚ äìãàìãçär
çêìÜòæçéäß äàß àáúÚéàß èà æàåéÚÝéà ßàæçäÜ çåèòóÚåäØ
åîà ìäãä ßÚ äìãàìãçäã èçßßàØ ÔãäéäûßÚ èÚ ßÚã àñ åîà
apropriar
das qualidades sociais
Não se trata de ter competência ou
necessário (na perspectiva da relação
ßàæçäÜü ö æãçäå÷ä ßçéñäèä Úê åàßßä ßàæçÚèäèÚ çåèñßérializada.
Ñäèä à ÚåàãêÚ äôäå÷à èäß Ûàã÷äß ìãàèñéçôäßÖ à æàåýÚcimento
em nossa sociedade
óÜàáäÜçùäèä æàêìÜÚÝçÛçæäûßÚ Úê ÚßæäÜäß çåÛçåçéäßØ
þàê ä æàêìÜÚÝçèäèÚ èà æàåýÚæçêÚåéà Ûàç ßÚ æãçäåèà ä åÚæÚßßçèäèÚ èÚ èçôñÜóä÷îà
Ú äìãàìãçä÷îà èÚßßÚ æàåýÚæçêÚåéàØ Ï Ûàãêä æäìçéäÜçßta
hoje desenvolvida requer hoje
ñê èàêòåçà èÚ æàåýÚæçêÚåéà êòåçêà ìäãä éàèàßÖ èÚ óãau
de complexidade muito maior
ðñÚ à åÚæÚßßïãçà åä øìàæä êÚèçÚôäÜÖ ìàã ÚÝÚêìÜàØ Ï
necessidade de alfabetização
æçÚåéòÛçæä ÿåîà ßc ä êäéÚêïéçæäü Ú èÚ äÜÛäáÚéçùä÷îà
da língua materna é um resultado de
åàßßà éÚêìàØ Ï çåßéçéñç÷îà ÚßæàÜäã ßñãóÚ æàêà ñêä åecessidade
éàèàßØ
Ôàèàß
àß
çåèçôòèñàß
èä
ßàæçÚèäèÚ
æäìçéäÜçßéä.
de escolarização para
Todos da sociedade dita
ëêàèÚãåäíØ
ÏßßçêÖ ìäãä à äÜñåà çåßÚãçèà åä ßàæçÚèäèÚ óÜàáäÜçùäda,
åÚæÚßßïãçä
a formação escolar aí
é aquela que responde às necessidades de sua inserção nesta sociedade
óÜàáäÜçùäèä çåèñßéãçäÜçùäèä Ú çåÛàãêäéçùäèäØ
Ó à çåèçôòèñà èäß ìàìñÜä÷ÞÚß çåèòóÚåäß ëçßàÜäèäßí ÿou
de outros contextos
G s
A sociedade do indivíduo indígena lhe faz exigências próprias de seu modo de
produtivas alcançado. Neste caso
p ! p
no âmbito da vida cotidiana. A
e ! " ! # $ % & # criança nas atividades dos adultos.
" % & diferencia da escola enquanto
% & ! 'o
da relação do indivíduo para com
a a( '
p)p de institucionalização da escola é
r*+ ,--, p
..s
quanto à questão da necessidade de apropriação das objetivações, essas
'! !/ p $ ' 0r
(2002, p. 381), se apresentam em
d a !e r ''! costumes e os utensílios) e as
a pe r e, a moral).
! %!e& %pe& ! indivíduo para com as
a a %!e& ! ! !ção
porque a relação do
p ! ( ! e pontânea.
a %pe& ! ! !nação
porque a relação do
p ! ( ! epntânea.
às objetivações para-si e, dado
p # pp $ !p! ! ção
p pp a intencional, não-espontânea
ucativa
escolar é intencional,
!( a:
À # !p! a pe r sofia,
a arte, a moral e a ética).
À ' / !p " p $ 1 %ssas”
$ p p a a de apropriação, via
refa.
Seria, portanto, óbvio
objetivações, pois, a sociedade
ordem. Como tal, é impróprio que
$! $ %! !( dental”
! ' %&
' a(
é inútil para determinada
devidamente compreendido sem
! ' $ $ # $m ! e ( $
toda a linha de argumentação
$ p p $ ndígena
vive isolado de nossa
2345637899:; <= 5= >= 5?@A?BC?D DEFH? I J?K?DDLMIM?
DEKL?MIM? LJMNDOHLIALPIMI= : QN? R NS @IOE KIMI T?P SILD HIHE; T?HMIM?LHID
7UE
exceções.
se considera a possibilidade dos indivíduos desta comunidade ser obrigado a
KEJTLT?H KES
JEDDI
DEKL?MIM? ? ID LSVALKIWC?D MIX Mecorrentes
@EHSIWC?D= 8DDI VEDDLFLALMIM?; KIMI T?P SILD H?IA ?
inevitável, dado o fenômeno da
gAEFIALPIWUE ME KIVLOIA YLJM?V?JM?JO?S?JO? M? IK?LOá-lo
DLJgNAIH LJMXg?JI I OIH?@I M? D? IVHEVHLIH; OISFRS;
quanto à suas
ou não), remete ao indivíduo
das objetivações produzidas por
JEDDI DEKL?MIM?= :D KEJn?KLS?JOED MI ?DKEAI MI DEKLedade
moderna seriam também a
?DD? LJMLTXMNE; LSVH?DKLJMXT?LD= 4 MLJZSLKI OHIJD@Ermadora
KESVA?BLMIM? M? JEDDI DEKL?MIM?; D?N VHEgH?DDE; D?N
que garante a crescente
nível de transformação da
JIONH?PI ? MI DEKL?MIM?; R @?LOI IOHITRD ME KEJn?KLS?JOE KL?JOX@LKE
IOLJgLME; LJDOHNS?JOED SEOEH?D VIHI I H?IALPIWUE M?ssa
complexidade. Para o indivíduo
M? NSI M?O?HSLJIMI KESNJLMIM? LJMXg?JI VEM?H NDN@HNir
V?AI KH?DK?JO? OHIJD@EHSIWUE MI JIONH?PI V?AE nES?S
e tecnológico
dos resultados imprimidos
'moderno', ele precisa fazer parte
ME g[J?HE nNSIJE= : M?DI@LE ?DO\ ?S S?MLIH E KEJO?BOE AEKIA KES E KEJtexto
M? DEHO? I gIHIJOLH; LJKANDLT?; QN? E LJMLTXMNE LJMígena
O?S DLME TXOLSI= tIHI E INOEH M?DO? OHIFIAnE; ?DDI
universal
se defenda da exploração que
mediação é o maior desafio para os
V?DQNLDIMEH?D QN? OHIFIAnIS KES I @EHSIWUE ME VHE@?ssor
de matemática para atuação
?DV?KX@LKI ?S ?DKEAID LJMXg?JID=
: S?DSE TIA?; ? SNLOE SILD,
para contextos sociais como os de cortadores de
KIJI]M?]IW^KIH; KIHVLJO?LHED; KLHNHgLC?D; OHIFIAnIMores
?DO?D JUE D? VEM? J?S KEJK?F?H I LMRLI M? KEJO?BOED
?DOUE LJD?HLMED,
de fábricas etc uma vez que a
“isolados” uma vez que compõem,
na sociedade capitalista moderna.
_LKI; VEHOIJOE; H?DVEJMLMI I VHLS?LHI QN?DOUE YD? I
LSVEHOIJO?` b M?O?HSLJIMI KESNJLMIM? LJMXg?JI DEF
“nossa” matemática não é
quais pressupostos se encontra a
jNDOL@LKIOLTI M?DOI KEJDOIOIWUEfh=
iNIJOE
à segunda questão, isto é, a busca de justificativas para respaldar a idéia
M? QN? I ?BVEDLWUE MI JIONH?PI ? ?DV?KL@LKLMIM? MI
LSVEHOIJO?; Kn?gIJME S?DSE I D?H VHLEHLO\HLE; VELD;
educação indígena é para nós
se torna, na prática, o assunto mais
IVH?D?JOIME J?DDID S?DID]H?MEJMID ?kEN OHIFIAnED IKadêmicos
nesses Grupos de
9HIFIAnED; KNSVH? EFD?HTIH E D?gNLJO?l
tEH VIHO? M? QN?S EHgIJLPI ED 2HNVED M? 9HIFIAnE DEbre
a temática “Matemática
? oNAONHIq YVELD KEJTLMIS V?DQNLDIMEH?D QN? ?S DNI SILEHLI; OHIFIAnIS KES I
uvwxyvz{||}~ x x
~ arte

de quem expõe, não há para
A exposição de trabalhos que versam
enas
~
(ou em outros contextos) é
em si mesma. Esse fato é para

} ¡ ¢ £¤¥ ¦ELLO,1996),
§ £¨©©¨~ ª« ¬ ¡ contecer
pois, como
com tudo o que é obvio, ele
simplicidade, problemas que
~
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y ~ ¡ s
£ a
investigações matemáticas
relevância. Não se trata aqui,
~ ~ °as.
± ²~

educação indígena deveriam
a relação possível para com a matemática escolar (fato esse, que infelizmente,
¡
w ¡ ¢
zação
¬

uvwxyvz{||}~
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¡
da matemática em contexto
do “cerne fundamental”, da
²¢ica
µ

e socialmente” (Cf.:
ersão
escolar. É a
dessa “estrutura básica” que pode, e deve, quando possível, ser elemento

{° ¶¶ £
¶µ¶ £ ~ µ
caso, da matemática) de
da matemática, diferenciação muito
§ £¨©©¨~ ·¨ ¥
¸¹º»¼½º¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½ Ä¿¼ Å ÂÆÄÇÄÆÈ¼ ÁÃ É½¼ÁÊ¾¿¼ Á¼ Âaber.
A
sociais. A
Ã¹º»¼½º¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½ ÆÈÉ¹ÆËº ÃÈ ÃÏÉ½ÃÂÂº½ ÁÃ Ð¼½Èº Ãlaborada o saber
ÑÊÃ ÂÊ½ÒÃ Áº É½ÍÎÆËº Â¼ËÆº¹Ó ¸ÂÂº ÃÏÉ½ÃÂÂ¿¼ Ã¹º»¼½ºda supõe o domínio
Á¼Â ÆÄÂÎ½ÊÈÃÄÎ¼Â ÁÃ Ã¹º»¼½º¾¿¼ Ã ÂÆÂÎÃÈºÎÆÔº¾¿¼Ó Õºí a importância da
ÃÂË¼¹ºÖ ÂÃ º ÃÂË¼¹º Ä¿¼ ÉÃ½ÈÆÎÃ ¼ ºËÃÂÂ¼ º ÃÂÂÃÂ ÆÄstrumentos, os
Î½º»º¹×ºÁ¼½ÃÂ ÐÆËºÈ »¹¼ÑÊÃºÁ¼Â Ã ÆÈÉÃÁÆÁ¼Â ÁÃ ºÂËÃÄderem ao nível
Áº Ã¹º»¼½º¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½Ì ÃÈ»¼½º Ë¼ÄÎÆÄÊÃÈÌ ÉÃ¹º ÂÊº atividade prática
É½¼ÁÊ¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½ Å Â¼ËÆº¹Ì ÂÃ ÁÍ Ä¼ ÆÄÎÃ½Æ¼½ ÁºÂ ½elações
½Ãº¹Ì º Ë¼ÄÎ½Æ»ÊÆ½ Éº½º º É½¼ÁÊ¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½Ó
v µ ²ento,
se faz presente um
ØÙÚÛÜÙÝÞßßàá âã Ûã äã Ûåæçåèéåê êëìíå î ïåðåêêñòîòå
óíëðåêêë êôïõåêå òîê ö÷íñîê æëíøîê òå óíëòùúûë òåêêå ðëïüåðñøåïõë îo
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longo do
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þ
INETTO, 2003). Assim, sem
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“Matemática e Cultura”, em
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jxr yrvkqvr\ zqrmre{kj w` |`j}xvjrj `y uktz`fzkj jkciais diversos é o caráter de
~ dado a essas “matemáticas”. Os trabalhos dessa natureza, ganham destaque
|kq}x` ruq`wvzry j`q tù`jjqvk q`jrzrq k }x` `jquecido, negado, a saber, a
yrz`yzvur w` uktz`fzkj jkuvrvj wv`qjkj uky yrvkq w`jzr}x` |rqr r yatemática em
uktz`fzkj vtw`trj\ bq`tz` kxzqr yrz`yzvur }ue para a maioria deles, é entendida
ukyk j`twk xyr yrz`yzvur vy|kjzr\ r wvzr yrz`yzvua “ocidental”.
Ao contrário da perspectiva desses trabalhos, não se trata de apresentar “mais
uma” matemática, mas sim se trata de buscar evidenciar possíveis relações dessa forma
distinta de produção (daí a importância dessas pesquisas) com a forma sistematizada
apresentada na versão escolar na medida em que o ponto de chegada da atividade
escolar é a apropriação da matemática escolar.
O objetivo do professor de matemática que trabalha em nossas escolas é ensinar
yrz`yzvur rkj vtwvwxkj }x` `jzk vtj`qvwkj tr jkciedade globalizada. A exposição
w` `f|`qvtuvrj uky r yrz`yzvur vtw`tr kx `y kxzqkj uktz`fzkj jkuvrvj\ só tem
j`tzvwk j` qèruvktrwr uky r yrz`yzvur `jukerq kuidental”. O pesquisador expositor
wkj zqrmre{kj jkmq` r |qkwxk wr yrz`yzvur vtw`na (ou em outros contextos sociais)
w``qvr |kjjvmvevzrq rkj |qkb`jjkq`j\ kj vtjzqxy`tzos relacionais entre “essa matemática”
}x` |kjjvmvevzrqvry `tz`tw`q r r|qk|qvrk wr yrz`yática escolar como uma supera por
vtukq|kqrk vr tue`k evwkj wr yrz`yzvur ekure\ a indígena.
S yrz`yzvur `jukerq xyr bkqyr yrvj uky|e`fr w` uonhecimento que a
yrz`yzvur |qkwxvwr tk ymvzk wr vwr ukzvwvrtr `y contextos sociais diversos porque
r yrz`yzvur `jukerq\ |kq j` wrq tk |ertk wr jvjz`yatização, permite atingir níveis de
rmjzqrg`j yrvj uky|e`fkj }x` r yrz`yzvur ekure\ yatemática cuja lógica não é a da
jvjz`yrzvrk\ yrj wr |qkwxk |qkwxk }x` |kq je realizar no âmbito da vida
ukzvwvrtr\ urqq`r uktjvk r evur w` |`tjry`tzk vnerente a esfera da vida cotidiana
|`tjry`tzk |qryzvuk\ |kq rtrekvrj\ |kq {v|`q`teralização, por similaridade etc
b^ èe`q\ ^ Rjjk vtuexjv` `f|evur a necessidade do pesquisador ter que
j` j`qvq wr jvjz`yrzvrk wr yrz`yzvur |rqr wùkdificar a matemática “escondida”
`y w`z`qyvtrwr rzvvwrw` `y uktz`fzk jkuvre `j|ùbvuk vt`jzvrwk |kq è`^
`y q`revrq k w`jrbvk w` mxjurq zrvj qèrg`j\ r matemática” em contextos
jkuvrvj wv`qjkj r|rqù` rk |qkb`jjkq w` yrz`yzvur que assiste tais Congressos como
rek yrvj r u{ryrq r rz`tk wkj rextkj\uxqvkjvwrw`j r j`q km`zo de comentário
¡¢£¤¡¥¦§§¨© ª« £« ¬« £®¯°±² ²³´µ ¶ ·¸²²¹º¶º de apropriação da matemática 11
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§³º¶ ¶ º¹·Ã»¹¸¶ µ¹½¼Ì¶ º¶ µ¯¶ÀÁ³ ·¾µ ¶ »¶¾»Êtica sistematizada presente
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¸³·¾Ñº³² ²¸³¯¶µ²© ¿µ³¸²²¶Ò² ¼» °¸²²³ º Â¶¯³rização do conhecimento cotidiano
» ¸³·¾°¾³² ²³¸¹¶¹² º¹Âµ²³² ÇÓ®«Ô ¡¢£¤¡¥¦§§¨© ÕÖÖ×© ÕÖÖÖÈ º¾µ»¹·¶·º³ ¼»¶
º²Â¶¯³µ¹Ì¶ÀÁ³ º³ °µ¸Å¸¹³ ¾Ðµ¹¸³Ò¶´²¾µ¶¾³ ÇÓ®«Ô ABRANTES, 2006), exercício
·¸²²Êµ¹³ ²¿¸Å®¹¸³ Î ¶¾¹Â¹º¶º ²¸³¯¶µ ÇÓ®«Ô ¤¢Ø¡¤¨Ø© ÕÖÙÙÈ ·³ º¸³µµµ º¶
¶¿µ³¿µ¹¶ÀÁ³ º³ ¸³·Ú¸¹»·¾³ ²¸³¯¶µ«
Í¶µ¶ Û³µ¶² ÇÜÝÝÕÈ ¾µ¶¾¶Ò² º ¼» Ëµ¸¼³ º¶ ¾³µ¹¶ÞÔ ³² ¸³·¾Ñº³² ²¸³¯¶µ²
¿¶²²¶µ¶» ¶ ²µ µ®Ä» º³ ®Ï»µ³© º³ ¹»º¹¶¾³ ·¼»¶ ºimensão empobrecedora do papel
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ìäñ÷ðéôäï ïç êøä ïç æéïìîç åíéï æí ôùíêôçñí æí ôäêôepção moderna e
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ïçå ä ïöìäëðç æç öåí ïöüýçðéþéæíæç ñéþëçõ ëíôéäêíñõ consciente e
ëçïìäêïÿþçñõ ôíìír æç ýöïðéèéôíë ïçöï íðäï ç ëçïìäêder por eles ? Como
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ôäêôçéðäï ôéçêð÷èéôäï ïøä íìçêíï åíéï öå çêðëç åcñðiplos jogos de
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a forma sistematizada do
na esfera escolar.
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F. L. P. São Paulo faz escola? Mudanças curriculares no âmbito estadual
e a participação dos professores escolares. Anais do IX Encontro Paulista de
Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN
978-85-98092-07-2)
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Eixo-temático 2: Currículo
SÃO PAULO FAZ ESCOLA? MUDANÇAS CURRICULARES NO ÂMBITO
ESTADUAL E A PARTICIPAÇÃO DOS PROFESSORES ESCOLARES
Fernando Luis Pereira FERNANDES – GdS-UNICAMP
([email protected]
Resumo: Este artigo trata de uma pesquisa em andamento, realizada por mim e
compartilhada com os integrantes do Grupo de Sábado (GdS), da FE - Unicamp. Os
objetos de análise são: material disponibilizado pela Secretaria de Estado da Educação
de São Paulo (SEESP) no processo de implantação da nova Proposta Curricular (PC),
Jornal do Aluno e Cadernos do Professor, a Recuperação Intensiva nos 42 primeiros
dias letivos e a não participação dos professores da rede na elaboração da mesma. A
partir de análise preliminar, observamos nos Cadernos do Professor e Jornal do Aluno,
disponibilizado na recuperação inicial, atividades e situações-problema muito
semelhantes àqueles encontrados em materiais elaborados pela própria SEESP e em
livros didáticos comercializados no país. Na Recuperação Inicial, o tempo disponível
para o desenvolvimento e conclusão de todas as atividades do Jornal do Aluno com
qualidade se mostrou insuficiente, apresentado num modelo de aula muito semelhante
ao utilizado em escolas privadas que utilizam material apostilado. Diante disso,
questionamos os modos como essa proposta curricular está sendo concebida e
implementada. Afinal, os saberes docentes e experiências de sala de aula não estão
sendo valorizados nas situações de aprendizagem, nem mesmo o contexto e a
diversidade sócio-cultural em que os alunos se encontram e da comunidade em que
vivem, além de uma revisão grosseira de atividades, exercícios e problemas que
constam em materiais existentes. A nova PC, apesar de trazer menção à importância da
formação de alunos críticos e a valorização da diversificação do trabalho pedagógico
provoca um engessamento do trabalho pedagógico do professor em uma lista de
conteúdos programáticos por série e dificulta o uso de propostas diferenciadas, por
exemplo, de projetos interdisciplinares, modelação e investigações. Podemos inferir que
uma possível saída seria a constituição de grupos colaborativos nas escolas, em
conjunto, professores escolares, universitários e Equipe Gestora.
Palavras-Chave:
Colaboração.
Currículo,
Políticas
Curriculares,
Ensino
de
Matemática,
Uma Breve Introdução
Este artigo apresenta parte de um estudo iniciado por mim no Grupo de Sábado
(GdS), a respeito da nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo. O texto busca
F. L. P. São Paulo faz escola? Mudanças curriculares no âmbito estadual 2
978-85-98092-07-2)
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trazer elementos para discussão e análise do processo de mudança curricular ocorrido
dentro das escolas e a implementação da proposta, a Recuperação Intensiva nos
primeiros quarenta e dois dias letivos do ano de 2008, a análise das situações de
aprendizagem presentes nos Cadernos do Professor, aos quais têm sido distribuídos
bimestralmente e, olhar para um dos principais sujeitos dessa trama e a sua participação:
os professores escolares.
Além da análise das atividades propostas pelas situações de aprendizagem e a
crítica aos modos como essa proposta está sendo implementada, procuro trazer algumas
reflexões acerca dos grupos colaborativos como forma de promover a valorização dos
saberes
didáticos
pedagógicos
dos
professores,
a
formação
continuada
e
desenvolvimento profissional, tendo como exemplo o GdS.
O Grupo de Sábado é um sub-grupo do PRAPEM – Prática Pedagógica em
Matemática, grupo de pesquisa em Educação Matemática da Faculdade de Educação da
Unicamp. O GdS tem como integrantes professores escolares da rede pública e privada
de Campinas e região, professores universitários, alunos da graduação e pós-graduação,
reunindo-se geralmente a cada quinze dias, aos sábados pela manhã.
Dessa maneira, parte da análise dos resultados presentes foi compartilhada com os
demais integrantes do grupo colaborativo.
Os Vários Currículos e a Nova Proposta Curricular
Ao iniciar uma discussão a respeito de currículo, sentimos a necessidade de
definir esse conceito. Entretanto, Pacheco (2005) aponta que currículo se define,
essencialmente, pela sua complexidade e ambigüidade (p. 34), por se tratar de um
conceito que possui múltiplos significados e concepções construídas histórica e
culturalmente. Apesar de não haver consenso no que concerne ao seu significado, o
termo currículo, como objeto de estudo, possui entre suas características a natureza
prática e comum da educação. Em relação ao aspecto metodológico, mostra-se de
natureza interdisciplinar.
Para Carvalho (2005), ao estudar e discutir currículo é necessário passar pelos
processos e produtos presentes nos discursos em relação à diferença e à
heterogeneidade presente na sala de aula. Ela trata dos diversos currículos e suas interrelações, dividindo em currículo concebido, vivido e multicultural. Os PCN e Diretrizes
978-85-98092-07-2)

Curriculares Nacionais (ou a própria Proposta Curricular de São Paulo) seriam
exemplos de currículo concebido, pois se referem aos documentos oficiais. O currículo
vivido trata daquele currículo que não é prescritivo, não está escrito em lugar algum. Ele
acontece dentro da sala de aula, é a concretização, ou não, do currículo concebido. Trata
das relações de poder presentes nas relações interpessoais dos sujeitos envolvidos na
atividade escolar.
Há, ainda o currículo multicultural. Esse currículo contempla as experiências e
esforços da escola e dos educadores em superar as dificuldades existentes na realidade
social daquela comunidade em que ela está inserida. Esse currículo pode estar presente
em documentos oficiais, como recomendações de um ideal de uma boa escola e de um
bom professor, os quais exercem a cidadania e trazem à tona a discussão sobre a
diferença.
Entretanto, ao analisar propostas e diretrizes curriculares, vemos a incipiência
dessas em colaborar para uma efetiva mudança da realidade escolar. Em geral, são
elaboradas e confeccionadas por cientistas da educação e pesquisadores afastados da
realidade escolar. Conceber currículo como sendo apenas o documento oficial, no qual
trata dos conteúdos a serem trabalhados nos diversos níveis de ensino não seria a forma
mais conveniente e significativa em promover mudanças e transformações das práticas e
da cultura escolares. Acreditamos que as demais formas de currículo são tão
importantes quanto os documentos oficiais.
Nesse ponto, a maneira como a nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo
e os Cadernos do Professor de Matemática estão sendo elaborados, sem considerar as
diferenças sociais, culturais, de raça, gênero e regional, mostram-se, de início,
insuficientes em problematizar e buscar soluções para a melhoria da educação paulista.
Dentro da Escola: O Planejamento Escolar e a Recuperação Intensiva
Após as mudanças apresentadas pela SEESP iniciadas no final do ano de 2007,
com a criação do Projeto São Paulo Faz Escola, muita expectativa foi criada,
especialmente dos professores da rede (e me incluo nesse grupo). Enquanto professor da
rede pública estadual, sempre estive acompanhando as propostas de projetos e
mudanças promovidas pela Secretaria de Educação.
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Com o início do ano letivo, no planejamento escolar, os professores receberam
uma surpresa: uma Recuperação Intensiva de 42 dias. Dentre seus objetivos, o principal
deles era resgatar conteúdos, habilidades e competências de leitura, escrita, raciocínio
lógico e matemático com o envolvimento de todas as componentes curriculares, visando
preparar o alunado para as séries em que se encontravam e, como conseqüência, obter
um maior sucesso na implementação da nova Proposta Curricular.
Enfim, tudo estava pronto! Era só executar! Isso é bom? Promove reflexão dos
professores acerca do trabalho pedagógico realizado por eles?
Segundo Melo (2005),
o problema da inovação curricular versus produção de saberes
apresenta-se em diferentes contextos, nos quais os professores são
vistos como meros “implementadores” do que é pensado e elaborado
por especialistas. Estes últimos apresentam um conjunto de
prescrições que, segundo suas concepções e crenças. Constituem as
melhores soluções ou alternativas para enfrentar os problemas gerados
pela prática de sala de aula. (p. 34)
No contexto do Estado de São Paulo, os professores da rede não foram
consultados sobre as mudanças curriculares. Vemos que o tratamento dado ao
professorado é o de mero implementador dos projetos da SEESP. Não houve e não tem
havido espaço para discutir, debater e refletir sobre as experiências de sala de aula.
Na tentativa de estabelecer uma interlocução com os professores, foi criado um
site, o São Paulo Faz Escola. Nota-se que há nesse site, na verdade, orientações para o
desenvolvimento do trabalho, segundo a Proposta Curricular e a apresentação dos
projetos desenvolvidos pela Secretaria de Educação.
A partir desse contexto, faço a seguinte questão: Será que o material
disponibilizado na recuperação inicial foi suficiente para suprir as dificuldades dos
alunos e nivelá-los à série em que estão matriculados?
No Jornal do Aluno, material elaborado com atividades de todas as disciplinas,
buscando a recuperação de habilidades de leitura, escrita e conhecimentos matemáticos,
os assuntos foram divididos em fichas, no Ensino Fundamental (12 fichas por jornal).
No Jornal disponibilizado aos alunos do Ensino Médio havia, na parte de Matemática,
um total de 30 aulas. Note que a quantidade de aulas semanal no Ensino Médio é menor
que no Ensino Fundamental.
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Em geral, no Ensino Fundamental, cada classe possui seis aulas semanais de
Matemática e, no Ensino Médio, cerca de cinco aulas (no período noturno, em geral, são
quatro aulas por semana). Note que, tornou-se inviável desenvolver com qualidade
todos os conteúdos exigidos na recuperação, tendo em vista a proposta inicial e o tempo
disponível para o desenvolvimento da recuperação. Esse fato não se restringiu apenas
aos professores de Matemática.
O intuito de iniciar o ano letivo com uma recuperação merece elogios, por ser um
período importante ao promover um diagnóstico da realidade escolar e o ponto em que o
professor iniciará o seu trabalho. Porém, o que nos intrigou, foram os modelos de
atividades e problemas presentes no Jornal do Aluno, consideradas pelos responsáveis
pela sua elaboração suficientes para suprir as dificuldades do alunado (em quarenta e
dois dias).
Seria ingenuidade (ou muita prepotência?) em acreditar que alunos com déficit de
aprendizagem pudessem recuperar toda uma quantidade de conteúdos que, em geral,
levariam um semestre, ou quem sabe, um ano, a ser desenvolvido com qualidade.
Algumas dessas atividades constavam em cadernos do Projeto Ensinar e Aprender,
elaborados para alunos com defasagem idade-série (SÃO PAULO, s/d) de escolas
estaduais do Paraná e cedidas ao governo de São Paulo para impressão e distribuição.
Esse material foi elaborado por professores da rede estadual paranaense, para a
realidade de seus alunos. Em São Paulo, não houve qualquer tipo de adaptação ou
mudança do material à nossa realidade. (CRISTOVÃO, 2007)
Trazemos, a seguir, um exemplo dessa transposição. A atividade abaixo é uma
ficha do material do Projeto Ensinar e Aprender, sobre estimativas. Essa mesma
atividade foi encontrada, com pouquíssimas diferenças no Jornal do Aluno, na
recuperação intensiva. Para visualisar a ficha presente no Projeto Ensinar e Aprender
veja em Anexos - Figura 1. Para a ficha do Jornal do Aluno, veja Anexos - Figura 2.
Não seria possível promover uma recuperação dos alunos de todo o Estado, com
orientações vindas da SEESP, as quais trariam os requisitos mínimos exigidos para o
aluno que se encontra em uma determinada série e os educadores elaborariam e
aplicariam uma avaliação diagnóstica baseada nessas orientações ou diretrizes? Nessa
perspectiva, não haveria a necessidade de investir verbas na confecção do Jornal do
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Aluno, afinal, as atividades que ali constam estão presentes em materiais de apoio da
própria Secretaria de Educação e em livros didáticos.
Os Cadernos do Professor
O caderno do professor, elaborado bimestralmente, traz situações de
aprendizagem que o professor pode fazer uso na busca de contextualização ou aplicação
de certos conteúdos, em situações-problema que necessitam de modelação ou situações
que propiciem a generalização e demonstração, por exemplo.
A seqüência dos conteúdos programáticos, em geral, mostrou-se inalterada,
quando comparada à antiga proposta curricular e à maioria dos livros didáticos
disponíveis nas escolas estaduais, salvo raras exceções, quando se optou por trocar a
ordem dos conteúdos dentro da mesma série. Como exemplo, cito a mudança na ordem
dos conteúdos da 1a série do Ensino Médio. Na nova Proposta Curricular, inicia-se o
estudo no primeiro bimestre, com Conjuntos Numéricos, seguido das Progressões
Aritmética e Geométrica. No bimestre seguinte, inicia-se o estudo de Funções.
Essa mudança é justificada por Pietropaolo (2008) da seguinte maneira: “o estudo
das seqüências é importante, pois, além da larga aplicação em problemas (em contextos
matemáticos e de outras áreas do conhecimento), pode favorecer o desenvolvimento do
pensamento algébrico” (p. 8).
Em uma das situações de aprendizagem referente à Progressão Aritmética, consta
a explicação da demonstração da fórmula da soma de uma PA. Para Pietropaolo (2008),
são estratégias que devem ser incentivadas e valorizadas, a fim de que a discussão com
a classe permita a compreensão da demonstração da fórmula.
Ao nosso ver, é justificável a explicação do autor, tendo em vista que os processos
de prova e demonstração tornaram-se quase inexistentes nas aulas de matemática.
Entretanto, não se justifica a presença, no caderno do professor, de uma situação (a
demonstração da fórmula da soma de uma P.A. finita) que está presente em vários livros
didáticos do Ensino Médio comercializados no país. Onde há inovação nisso?
Veja algumas das situações de aprendizagem presentes no Caderno do Professor
em relação à Progressão Aritmética:
B7. Calcule a soma dos termos da progressão (10, 16, 22, ..., 70)
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B8. Calcule a soma dos termos da progressão (13, 20, 27, ...) desde o
21º termo até o 51º termo, inclusive.
B9. Calcule a soma dos números inteiros, divisíveis por 23, existentes
entre 103 e 850. (PIETROPAOLO, 2008, p. 21)
No livro didático de Barreto Filho e Silva (2000), encontramos alguns exercícios
do mesmo conteúdo:
(690). Determine a soma dos dezoito primeiros termos da PA (1,4,7,
...) ...
(693). Qual é a soma dos cinqüenta primeiros números ímpares?...
(695). Qual é a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 20 e
1000?...
(697). Escreva a PA em que o primeiro termo é igual a razão e o
vigésimo é igual a -100. Determine, também, a soma de seus vinte
primeiros termos. (p. 291-292)
Nota-se que, na situação de aprendizagem sugerida pelo Caderno do Professor, as
atividades são semelhantes aos dos livros didáticos.
Em um contexto da 6a série, também há em situações de aprendizagem, propostas
muito semelhantes às dos livros didáticos.
Em Imenes e Lellis (2006) a multiplicação de números inteiros é explicada por
meio de um problema. (vide Anexos - Figura 3)
No Caderno do Professor, a situação é apresentada conforme consta em Anexos –
Figura 4).
No Jornal do Aluno, elaborado para ser utilizado durante os primeiros 42 dias
letivos, num processo de recuperação, também aparece uma atividade semelhante no
jornal preparado para as 7a e 8a séries. (vide Anexos – Figura 5)
Em relação às propostas apresentadas no Caderno do Professor, essas têm se
mostrado aquém daquilo que os professores esperavam. Espera-se inovação e
criatividade em propostas de trabalho que possam, de fato, acrescentarem aos saberes
dos professores escolares e, principalmente, dos alunos. As propostas são copiadas na
íntegra ou alteram os seus enunciados.
Contraponto às Reformas Educacionais e os Professores como Autores
A crítica a ser feita à nova Proposta Curricular paulista não se refere à qualidade
ou ao modelo de atividades e situações propostas aos professores, nos cadernos
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entregues bimestralmente. Afinal, muitas delas são interessantes. Criticamos, sim, a
ausência de criatividade de copiar (ou até mesmo plagiar) propostas já existentes, afinal,
essas atividades e situações são acessíveis à maioria dos professores em livros didáticos
e materiais elaborados pela própria Secretaria da Educação. Além disso, a não
consideração do regionalismo e o engessamento do currículo em uma lista de conteúdos
que não possibilita a diversificação do trabalho didático-pedagógico docente, no
desenvolvimento de projetos, mostram-se como empecilhos nesse processo.
Vemos ocorrer um processo de homogeneização do ensino.
A justificativa dada pelos integrantes da SEESP na criação e implementação da
proposta curricular é de que na falta de um currículo organizado e sistematizado, os
professores não tinham o que seguir e ensinavam os conteúdos que achassem
conveniente.
Será que professores experientes, a maioria deles aprovados e efetivados na
função de professor de educação básica por concurso público, não saberiam o que
ensinar aos seus alunos? Não seriam capazes de gerir suas aulas com responsabilidade e
competência? As mazelas e o fracasso da educação paulista, em especial, da disciplina
Matemática, seriam resultado da ausência de uma lista de conteúdos a serem
desenvolvidos nas séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio?
Pode-se dizer que a Proposta Curricular, elaborada num espaço de tempo
relativamente curto, a qual não passou por discussões e reflexões pelas pessoas que a
elaboraram, muito menos por aqueles que a estão “implementando”, mostra-se incapaz
de obter sucesso e bons resultados a longo prazo. Pode ser que, num futuro muito
próximo vejamos os índices de avaliações de rendimento como Saresp e Prova Brasil
denotem melhoria da aprendizagem dos alunos. Mas, até quando?
Experiências de mudanças curriculares trazidas por Goodson (2007), quando o
autor relata a experiência do governo britânico na implementação de um novo currículo
nas escolas, visando a inclusão social. Como o próprio autor descreve, o resultado foi o
inverso, provocando uma exclusão ainda maior. “Espera-se com urgência que, da
próxima vez que as políticas forem formuladas, as pesquisas relevantes na área de
educação sejam, pelo menos, consultadas e consideradas” (p. 247). Para ele, o currículo
prescritivo segue as “regras do jogo e os financiamentos e recursos estão atrelados a
essas regras”.
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O contexto neoliberal, no qual estamos inseridos, é o pano de fundo de toda a
situação experienciada. Há o risco de estarmos caminhando para o mesmo destino das
mudanças realizadas na Inglaterra.
Diante de todos esses fatores que interferem no trabalho do professor e
acompanhando a degradação desse profissional, reforçamos a seguinte idéia: é
necessário que haja uma valorização do professor. Sua prática didático-pedagógica, sua
experiência são fundamentais nesse processo, é ele que se encontra todos os dias nas
salas de aula, que está em contato com os seus alunos.
Como uma forma possível de promover a formação continuada e a valorização
dos saberes docentes, trazemos as experiências de colaboração e a constituição de
grupos de professores que contemplam essa prática, as quais têm se tornado cada vez
mais freqüentes e oportunas na busca de interlocução entre professores escolares. No
GdS, os professores que ali estão voluntariamente e dispõem de um período do final de
semana para se reunirem,mostram que, a partir de uma “liderança compartilhada”
(FIORENTINI, 2006b) podem aprender junto com seus pares, no desenvolvimento e
discussão de propostas de trabalho diferenciadas e significativas para seus alunos.
O professor como protagonista de sua prática pedagógica. Nessa perspectiva,
Fiorentini (2006a) diz que o GdS tornou-se um “espaço de formação e de constituição
profissional do professor e de construção de sua identidade” (p. 34). É no contato, no
compartilhar de experiências com o outro em que ele se transforma e se torna
continuamente professor.
Sabemos, entretanto, que ao tentar desenvolver essa proposta de trabalho
colaborativo dentro das escolas não é uma tarefa tão simples para os professores. São
vários os empecilhos e obstáculos que surgem no contexto escolar: a falta de apoio da
equipe gestora e coordenação pedagógica, o mau uso das reuniões pedagógicas, (muitas
vezes, esse momento é utilizado apenas para dar recados vindos da Diretoria de Ensino);
a ausência de pessoas ligadas à universidade para uma possível orientação e discussão
de projetos e propostas de trabalho interdisciplinares; a não valorização dessa proposta
pela Secretaria de Educação; a própria visão de alguns professores, que não se
consideram capazes de produzirem saberes.
Essa poderia ser uma maneira de trazer aos professores a oportunidade de se
atualizarem e promoverem uma formação continuada, onde esses seriam os autores do
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seu desenvolvimento profissional, na companhia de outros professores com o mesmo
ideal, compartilhando experiências didáticas, dificuldades e problemas da realidade
escolar, lendo e discutindo textos e artigos que possam, de alguma maneira, promover
uma reflexão sobre o seu trabalho pedagógico.
A busca de qualidade na educação passa pela valorização de seus educadores, nem
entraremos na questão salarial que esses sofrem há tempos, mas do resgate desses
profissionais que têm sido vistos como meros “implementadores” de uma proposta
curricular que se mostra pronta e acabada.
Nas últimas considerações, não buscamos responder a todas as questões postas no
texto, tendo em vista que o estudo realizado ainda não foi finalizado, além de
considerarmos fundamental promover o questionamento e a problematização da
situação em que se encontra a educação no estado de São Paulo. As críticas realizadas
não deveriam ser vistas sob um olhar político-partidário, pois não é esse o fim do
presente texto. São análises realizadas a partir do material disponibilizado pela própria
Secretaria de Educação por professores que lidam e utilizam o Caderno do Professor e
procuraram olhar com outros olhos, com criticidade e observação, a imposição do
sistema, à subserviência.
A elaboração de um material como esse, de fato, não veio acrescentar e colaborar
numa efetiva mudança da qualidade da educação e das práticas dos professores. Mas,
ainda é cedo para tomarmos conclusões mais amplas.
As causas e as mazelas desse modelo de educação são diversas, inclusive a
Progressão Continuada, também entendida por parte da sociedade como Promoção
Automática. A criação de uma nova proposta e o investimento feito, a logística aplicada
na elaboração, edição e distribuição do material trarão melhorias ao ensino? O que os
professores esperam para melhorar o ensino? Que tal dar voz a esses que se encontram
nas salas de aula? Acreditamos que não seja apenas dar voz, é preciso que eles sejam
ouvidos.
A realidade de boa parte das escolas estaduais, em especial àquelas localizadas
nas periferias das grandes cidades, é bem diferente dessa apresentada pela proposta, a
qual nem considera a diversidade sócio-cultural. Consideramos importante a
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organização de um currículo comum à rede. Porém, atrelar a bonificação de professores
ao rendimento dos alunos em avaliações como Saresp, índices de reprovação e evasão
são inadmissíveis. Como ficarão as escolas e seus funcionários que nelas trabalham,
como cumprir o currículo prescritivo elaborado pela SEESP se são vários os problemas
que ali apresentam? Ao seguir esse raciocínio, vemos que esses profissionais jamais
receberão melhorias em seus salários.
Enfim, buscamos saber a quem está sendo benéfico esse modelo que está sendo
instituído, pois nem mesmo o caderno do professor e a recuperação intensiva têm se
mostrado capazes de colaborar na mudança da realidade escolar. É preciso, cada vez
mais união, diálogo, comunicação e a constituição de parcerias entre os professores e a
equipe gestora para que, juntos, possam elaborar um projeto de escola que seja própria à
sua realidade, a criação de um currículo que não abandone os conteúdos e saberes das
disciplinas, mas que contemple uma gama de possibilidades formativas aos alunos, que
o conhecimento não apenas passe por eles, mas que lhes passe, lhes transforme
(Larrosa, 2002). Acredito que seja essa a missão do educador e da escola, quando
pensamos na palavra cidadania, tão usada e abusada nos últimos tempos e com
significado desgastado e distorcido.
Referências
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ensino médio. São Paulo, Editora FTD, 2000.
CARVALHO, J. M. Pensando o currículo escolar a partir do outro que está em mim, In:
FERRAÇO, C. E. (Org.) Cotidiano escolar, formação de professores(as) e currículo,
Série Cultura, Memória e Currículo. São Paulo: Cortez, 2005.
CRISTOVÃO, E. M. Investigações Matemáticas na recuperação de Ciclo II e o
desafio da inclusão escolar. 2007. 158p. Dissertação. (Mestrado em Educação – linha
pesquisa Educação Matemática). Faculdade de Educação, Universidade Estadual de
Campinas, Campinas.
FIORENTINI, D. Grupo de sábado: Uma história de reflexão, investigação e escrita
sobre a prática escolar em matemática, In: FIORENTINI, D., CRISTOVÃO, E. M.
(Org). Histórias e Investigações de/em Aulas de Matemática. Campinas, Alínea,
2006a, p.13-36;
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FIORENTINI, D. Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In:
BORBA M. C., ARAÚJO, J. L. (Org) Pesquisa Qualitativa em Educação
Matemática. 2ª Edição. Belo Horizonte, Autêntica, 2006b, p.49-78;
GOODSON, I. Currículo, narrativa e futuro social. Revista Brasileira de Educação,
v.12, nº 35, Maio/Agosto 2007.
LARROSA, J. Notas sobre a experiência e o saber de experiência. Revista Brasileira
de Educação, nº 19, Jan/Abr 2001.
IMENES, L. M.; LELLIS, M. C. Matemática Paratodos: 6ª série: 7º ano do Ensino
Fundamental. São Paulo: Scipione, 2006;
MELLO, J. L. P., Caderno do professor. Matemática: Ensino Fundamental 6ª série 1º
bimestre. São Paulo: SEE, 2008;
MELO, G. F. A. Saberes docentes de professores de matemática em um contexto de
inovação curricular, In: FIORENTINI, D.; NACARATO, A. M. (Orgs.). Cultura,
formação e desenvolvimento profissional de professores que ensinam Matemática.
São Paulo. Musa Editora; Campinas, SP: GEPFPM – PRAPEM -FE/UNICAMP, 2005,
p. 33-48;
PACHECO, J. A. Escritos Curriculares. São Paulo: Cortez, 2005;
PIETROPAOLO, R. C. Caderno do professor. Matemática: ensino médio 1ª série 1º
bimestre. São Paulo: SEE, 2008;
SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Jornal do Aluno – São Paulo Faz Escola. Edição Especial da
Proposta Curricular. Ensino Fundamental 5ª série/ 6ª série e 7ª /8ª série, Fevereiro de
2008;
SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas/ CENPEC. Projeto Ensinar e Aprender: construindo uma
proposta. São Paulo: SEE/CENP. Matemática, 4 volumes, s/d.
978-85-98092-07-2)
ÏÐÑÒÓÒÔÐÕÖ
ANEXOS
Figura 1 (Extraído de São Paulo (s/d))
Figura 2 (Extraída do Jornal do Aluno, 5ª/6ª Série, p. 45)
978-85-98092-07-2)
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Figura 3 (Extraído de Imenes e Lellis, 2006, p. 211)
Figura 4 (Extraída de Mello, 2008, p. 27)
978-85-98092-07-2)
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Figura 5 (Extraída do Jornal do Aluno, 7ª/8ª Série, p. 36)
çèéêëèì íî ïðëñðòì íî éî íèóèôõöì éî ÷î öõñøùúõû øî üî òýþÿýT Didáticas e o Ensino-Aprendizagem de Conteúdos de Análise Combinatória. Anais do
IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEMSP, 2008, pp. 1-10. (ISBN 978-85-98092-07-2).
SEQÜENCIAS DIDÁTICAS E O ENSINO-APRENDIZAGEM DE CONTEÚDOS
DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
Camila TORINO – PUC Campinas – ([email protected])
Dra. Clayde Regina MENDES – PUC Campinas – ([email protected])
Raphael Zen COVOLAM – PUC Campinas – ([email protected])
Renata Fernandez MADRUGA – PUC Campinas – ([email protected])
Resumo: Trabalhar com seqüências didáticas que envolvam conceitos de análise
combinatória é uma idéia bastante interessante, pois possibilita que os alunos da
Educação Básica desenvolvam habilidades que os auxiliem na análise, na interpretação
e na crítica de informações retiradas de situações cotidianas e que chegam até eles
através dos mais variados meios de comunicação. Em vista disso, é extremamente
importante que os professores de Educação Básica estejam preparados para não apenas
compreender a linguagem estatística, mas também para levar seu aluno a desenvolver o
pensamento combinatório e probabilístico. Infelizmente, ainda se observa uma certa
carência de material didático para o desenvolvimento do raciocínio combinatório e
probabilístico e, por isso, o objetivo deste trabalho é propor tarefas e atividades que
propiciem o desenvolvimento do raciocínio combinatório na Educação Básica através
de materiais de manipulação, buscando, quando possível, estabelecer relações com
acontecimentos do cotidiano. Espera-se, com isso, dar aos alunos desafios cada vez
maiores para que eles desenvolvam algumas de suas habilidades cognitivas, ou seja,
aquelas necessárias para a alfabetização quantitativa, especialmente no que diz respeito
ao raciocínio combinatório e probabilístico e, também, auxiliar os professores de
Educação Básica apresentando algumas maneiras de trabalhar esses conteúdos em suas
salas de aula.
Palavras-chave: Raciocínio Combinatório e Probabilístico, Formação de Professores
de Matemática, Habilidades Cognitivas.
Financiamento: FAPIC- Reitoria PUC-Campinas/PIBIC-CNPq.
Introdução
A Estatística surge como uma forma organizada de realizar a contagem dos
elementos, dispondo seus resultados em tabelas e gráficos para serem visualizados de
forma clara e compreendidos mais facilmente, auxiliando na tomada de decisões através
da análise quantitativa e qualitativa de dados, abrangendo as relações intrínsecas entre
2
Didáticas e o Ensino-Aprendizagem de Conteúdos de Análise Combinatória. Anais do
variáveis, o que torna a Probabilidade uma ferramenta indispensável em estudos
estatísticos que envolvam inferências sobre uma população através de uma amostra. Os
primeiros conceitos de probabilidade datam do século XVII, e os encontramos no
interior da Matemática. Era uma tentativa dos matemáticos da época de quantificar a
incerteza. Motivados pelos jogos de azar, que movimentavam uma elevada soma de
dinheiro, o desenvolvimento do conceito de probabilidade deu margem à criação de um
campo específico denominado de Teoria dos Jogos.
A Teoria das Probabilidades concentra-se no estudo teórico de fenômenos
envolvendo a possibilidade de ocorrência, utilizando ferramentas básicas e sofisticadas
do Cálculo Matemático. Tais eventos, denominados aleatórios, estocásticos ou nãodeterminísticos, são aqueles que, dada sua repetição experimental, em condições
semelhantes, produzem resultados diferenciados, isto é, não é possível determinar, com
exatidão, qual o seu resultado. Esses fenômenos, na verdade, são predominantes em
todas as áreas do conhecimento. O início do estudo das probabilidades se efetuou com a
observação de fenômenos e situações que ocorriam no dia-a-dia, em que algumas vezes
foram julgadas como desejo de ordem divina. Pinturas em tumbas egípcias feitas em
3500 a.C. mostram pessoas jogando uma forma primitiva de dados feitos de um osso do
calcanhar de nome astrágalo e este osso era dotado de quatro faces (BAYER et al,
2005).
Conta-se que o primeiro problema de Probabilidade foi proposto a Pascal pelo
Cavaleiro De Méré e tratava da busca por compreender um determinado jogo com três
dados, onde Méré não conseguia entender os resultados observados. A teoria relativa às
probabilidades surgiu através da correspondência entre Pascal e Fermat, porém
encontraram a solução para o problema separadamente, por caminhos diferentes.
Jacques Bernoulli inicia a visão freqüentista de probabilidade em sua obra Ars
Conjectandi (1713), onde estabelece que a probabilidade de um evento, dada a sua
freqüência observada quando a experiência é repetida um grande número de vezes tende
a um valor constante quando o número de ensaios desse evento tende para o infinito.
Esta teoria ficou conhecida como Lei dos Grandes Números ou Teorema de Bernoulli.
A Estatística e a Probabilidade foram, por muito tempo, duas áreas distintas do
conhecimento, entretanto, compartilhavam preocupações com a contagem; a Estatística
na contagem do certo e a Probabilidade na contagem do incerto. Com a tentativa da
!"# $ %& '(#*(+$ %& !& % , -.'$ !& /& '.*!01.$ !& 2& +34536789: 3
utilização da contagem do incerto, como uma referência na contagem do certo que
possibilitou a integração destas duas áreas. Andrei Kolmogorov em 1933 adaptou a
nova definição de probabilidade que atualmente designamos por "Definição
freqüentista", dando início ao desenvolvimento da Teoria Moderna de Probabilidade.
Nos dias atuais, no entanto, não é mais possível pensar em estatística sem pensar em
probabilidade.
A probabilidade constitui a base da estatística indutiva, permitindo a tomada de
decisões e ao quantificar o erro cometido subsidia o estudo dos fenômenos aleatórios. A
conceituação de Probabilidade se aperfeiçoou com o passar dos anos e, atualmente,
conforme apresentado por Bayer et al (2005) são consideradas três diferentes
abordagens:
Clássica: primeiramente publicada pelo italiano Girolamo Cardano no livro
Liber de ludo alea (Livro dos jogos de azar) em 1525, apresenta probabilidades na
forma de frações;
Freqüentista: estabelece o cálculo de probabilidades por meio de observações
sucessivas de um experimento aleatório, sendo a probabilidade estimada de maneira
empírica experimental, podendo ser encontrada quando o número de experimentações
tende ao infinito;
Axiomática: as bases dessa teoria se devem ao russo Andrei Kolmogorov com
uma publicação de 1933.
Os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) propõem que o
ensino da probabilidade e da estatística tenha por objetivo desenvolver no aluno
posicionamentos críticos sobre as informações provenientes de estudos estatísticos, bem
como a capacidade de fazer previsões e tomar decisões à luz de informações estatísticas,
e, nesse sentido, Bayer et al (2005) complementam que esses conteúdos têm a
finalidade de promover a compreensão de grande parte dos acontecimentos do cotidiano
que são de natureza aleatória, possibilitando a identificação de resultados possíveis
desses acontecimentos.
Além disso, autores como Machado (2000), acreditam que a introdução da
Estatística e das probabilidades no currículo pode também ser justificada por constituir
um meio de abordar, de uma forma natural, diferentes temas e aplicações da
Matemática.
;<=>?<@ AB CD?EDF@ AB =B A<G<HIC@ =B JB CIE=KLI@ =B MB FNOPNQRSUV 4
Em meio a essas preocupações, verificamos que em avaliações educacionais de
grande porte, neste trabalho especificamente o SARESP - Sistema de Avaliação de
Rendimento Escolar do Estado de São Paulo dos anos de 2004, 2005 e 2007, aparecem
questões relacionadas à probabilidade, à análise combinatória e à interpretação de
gráficos e tabelas.
Daí surge uma pergunta importante: como podemos auxiliar os professores de
Educação Básica no trabalho com conteúdos de probabilidade?
Uma idéia é que esses conteúdos sejam apresentados aos alunos através de
seqüências didáticas, pois como destaca Machado (2000, p. 07)
a seqüência didática é uma unidade de trabalho escolar, constituída
por um conjunto de atividades que apresentam um número limitado e
preciso de objetivos e que são organizadas no quadro de um projeto de
apropriação de dimensões constitutivas de um gênero de textos, com
objetivo de estruturar as atividades particulares em uma atividade
global, de tal forma que essas atividades tenham um sentido para os
aprendizes.
Então, tomando por base os conceitos propostos nos livros didáticos da Educação
Básica, foi nosso objetivo propor tarefas e desenvolver atividades que propiciem o
desenvolvimento do raciocínio combinatório e o ensino/aprendizagem de conteúdos de
probabilidade nesse nível de ensino.
Algumas Seqüências Didáticas Propostas
Atividade 1: Os Uniformes De Futebol
A questão 20 da prova do 4º ano do Ensino Fundamental do SARESP 2005,
abordou o tema de análise combinatória (Figura 1).
WXYZ[X\ ]^ _`[a`b\ ]^ Y^ ]XcXde_\ Y^ f^ _eaYghe\ Y^ i^ bjkljmnopq 5
Figura 01: Questão 20 da prova do 4º ciclo do Ensino Fundamental do SARESP 2005.
Como o professor pode trabalhar em sala de aula?
Sugerimos que o professor divida a sala em duplas, preferencialmente uma
menina e um menino, pelo fato de que os meninos demonstram maior empolgação por
se tratar de uma atividade ligada ao futebol. Após essa divisão o professor daria uma
pequena introdução sobre a questão que estaria sendo discutida. Cada aluno deve
receber os diagramas (desenhados) ou modelos de manipulação confeccionados em
papel colorido (os alunos também podem participar da confecção desses modelos).
Essa atividade tem por objetivo desenvolver o raciocínio probabilístico através da
visualização das possibilidades e/ou da manipulação de materiais. A mobilização pode
ser conseguida com a contextualização do trabalho matemático relacionado ao futebol, o
que instiga a interdisciplinaridade do trabalho pedagógico à medida que o professor de
matemática poderá levantar juntos aos alunos outras questões referentes aos benefícios
do esporte em nossas vidas.
A partir daí, dependendo do nível da turma em que esses conceitos estejam sendo
trabalhados, o professor pode escolher os caminhos que levem à solução das perguntas
apresentadas a seguir.
Figura 02: Modelos propostos de calções, camisetas e chuteiras
rstuvsw xy z{v|{}w xy ty xs~szw ty y z|tw ty y } 6
Para instigar os alunos na solução desses problemas, o professor pode, por
exemplo, propor uma gincana, mas, o mais importante, é que os alunos manipulem o
material e busquem chegar a uma solução sozinhos, mesmo que inicialmente ela seja
errada!
1.
No terceiro conjunto temos duas chuteiras, sendo uma de cada cor, e no segundo
temos duas camisetas, também uma de cada cor. Quantos elementos haverá na união
desses dois conjuntos?
2.
Se você estiver vestido com o calção preto, quantas opções de combinações com
as camisetas você tem? (o professor pode sugerir o uso de árvores de possibilidades,
para auxiliar o aluno).
3.
Quantos uniformes diferentes podemos formar utilizando um calção, uma
camiseta e um par de chuteiras?
4.
Se você possuir apenas o calção vermelho, as duas camisetas e os dois pares de
chuteiras, quantos uniformes diferentes podem ser formados?
5.
Se você possuir apenas o calção preto, as duas camisetas e os dois pares de
chuteiras, quantos uniformes diferentes podem ser formados? (Nesse ponto professor
deve instigar o aluno a perceber que se juntarmos os resultados das questões 7 e 8
obtemos o da questão 6)
6.
Se você tiver apenas o calção vermelho e a camiseta azul, mas as duas opções de
pares de chuteiras, quantos uniformes distintos você pode formar?
7.
Se você tiver apenas a camiseta azul e as chuteiras pretas, mas temos as duas
opções de calção, quantos uniformes distintos você pode formar?
Atividade 2: Os Números
A questão 12 da prova do 3º ciclo do Ensino Fundamental do SARESP 2005,
abordou conceitos de análise combinatória (Figura 3).
Figura 03: Questão 12 da prova do 3º ciclo do Ensino Fundamental do SARESP 2005
¡¢ £¤¥¦§ 7
Para facilitar o desenvolvimento desses conceitos em sala de aula, sugerimos que
o professor divida a sala em grupos de quatro alunos e proponha uma gincana, por
exemplo. Cada grupo deve receber cartões numerados (Figura 4) e ir realizando as
atividades propostas “concretamente” e, à medida que os diferentes resultados das
questões vão surgindo, eles devem fazer o registro desses resultados.
Esta seqüência didática possibilita que os alunos tenham seus primeiros contatos
com análise combinatória e, adaptada à forma de utilização e ao material, ela pode ser
utilizada desde as séries iniciais até as séries finais da Educação Básica.
Figura 04: Modelo dos cartões numerados
1.
Quantos números de dois algarismos é possível formar usando 1, 2 e 3 sem
repetir?
2.
Começando pelo 2, quantos números diferentes de três algarismos podemos
formar?
3.
Começando pelo 3, quantos números diferentes de três algarismos podemos
formar?
4.
Quantos números três algarismos é possível formar usando 1, 2 e 3 sem repetir?
Trabalhar com seqüências didáticas que envolvam conceitos de análise
combinatória é uma idéia bastante interessante, pois possibilita que alunos da Educação
Básica desenvolvam habilidades que os auxiliem na análise, na interpretação e na crítica
de informações retiradas de situações cotidianas e que chegam até eles através dos mais
variados meios de comunicação.
Em vista disso, é extremamente importante que os professores de Educação
Básica estejam preparados para não apenas para compreender a linguagem estatística,
mas também para levar seu aluno a desenvolver o pensamento combinatório e
¨©ª«¬© ®¯ °±¬²±³ ®¯ ª¯ ®©´©µ¶° ª¯ ·¯ °¶²ª¸¹¶ ª¯ º¯ ³»¼½»¾¿ÀÁÂ 8
probabilístico. Infelizmente, o que ainda se observa é a existência de carência de
material didático para o desenvolvimento do raciocínio combinatório e probabilístico e
o uso de tarefas e de atividades que tragam para a sala de aula acontecimentos do
cotidiano, podem motivar um pouco mais os alunos para a aprendizagem de conceitos
probabilísticos que podem ser inseridos nas aulas de Matemática.
Espera-se, com isso, dar ao aluno desafios cada vez maiores para que ele
desenvolva algumas de suas habilidades cognitivas, ou seja, aquelas necessárias para a
alfabetização quantitativa, especialmente no que diz respeito ao raciocínio combinatório
e probabilístico e propiciar aos professores de Educação Básica algumas formas de
trabalhar conceitos de análise combinatória a partir das séries inciais.
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ÌÍÎÏÐÍÑ ÒÓ ÔÕÐÖÕ×Ñ ÒÓ ÎÓ ÒÍØÍÙÚÔÑ ÎÓ ÛÓ ÔÚÖÎÜÝÚÑ ÎÓ ÞÓ ×ßàáßâãäåæ 9
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çèéêëçì J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica
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978-85-98092-07-2)
Eixo-temático 7: Resolução de Problemas e Investigação Matemática
SINAL DE IGUALDADE, PRODUÇÃO DE SIGNIFICADOS E EDUCAÇÃO
ALGÉBRICA NAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Ms. João Ricardo Viola dos SANTOS – UNESP, Rio Claro
([email protected]í
Resumo: Para grande parte dos alunos o estudo da Álgebra se restringe apenas ao
simbolismo algébrico, na resolução de expressões, equações e funções por meio de
procedimentos mecânicos e pré-definidos. Há, em grande parte dos professores, uma
visão dicotômica entre o conhecimento aritmético e o algébrico, sendo que na maioria
das vezes eles são trabalhados de maneira isolada, na qual o primeiro antecipa o
segundo, como se não fosse possível alguma relação das idéias matemáticas que
permeiam essas áreas. Para a implementação da Educação Algébrica nas séries iniciais
do Ensino Fundamental ainda necessita-se de trabalhos que ofereçam discussões sobre
como trabalhar aspectos desse conhecimento. O presente trabalho tem por objetivo
discutir uma tarefa, que envolve o sinal de igualdade, modos de produzir significados de
alunos e possíveis maneiras para os professores interagirem e intervirem no processo de
produção de significados dos alunos em sala de aula. Para isso, tomamos uma tarefa e
modos de produção de significados de alunos, de trabalhos que têm a perspectiva de
iniciar a Educação Algébrica já nas séries iniciais do Ensino Fundamental e que
discutem aspectos do sinal de igualdade. Constituímos dois alunos fictícios para
discussão e um diálogo no qual o professor oportuniza uma mudança do que significa o
sinal de igualdade. Utilizamos como referência o Modelo dos Campos Semânticos
(Lins, 1999) para nossas discussões. Neste trabalho oportunizamos um contexto para
professores elaborarem tarefas na perspectiva de iniciar a Educação Algébrica nas séries
iniciais do Ensino Fundamental.
Palavras-chave: Sinal de Igualdade, Produção de Significados, Educação Algébrica.
Cenas de um contexto escolar
Ainda hoje nos deparamos com alunos que apresentam dificuldades, como essa 1
ao se depararem com tópicos do conhecimento algébrico.
Será que esse aluno não sabe resolver uma adição de frações na qual se tem letras
ao invés de números? Será que ele se equivocou no procedimento utilizado? Essas e
outras seriam justificativas que apenas caracterizariam esse aluno pela falta e pouco nos
possibilitariam conhecê-lo. Em relação a isso, o que geralmente é feito nas escolas, é o
îïðñòîó J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica 2
978-85-98092-07-2)
professor chamar esse aluno, mostrar como se faz uma adição de fração e não se
importar com o que ele pensou para resolver a tarefa proposta. Com isso, o aluno apenas
reproduz aquilo que o professor mostra.
Em outra perspectiva podemos pensar que para esse texto 2 o aluno produziu um
significado diferente do que aquele relacionado à adição de frações. Pode ser que ele
operou com as letras da mesma forma que se opera com os números naturais. Assim,
adiciona as duas letras que se encontram na parte de cima e utiliza o mesmo
procedimento para as letras que se encontram na parte de baixo. Possivelmente para
esse aluno, os numeradores e os denominadores, objetos 3 constituídos por nós aos quais
produzimos certos significados sistematizados, para ele são apenas letras que estão em
cima e letras que estão em baixo. Ao olharmos sua justificativa para a tarefa
percebemos que esse foi, um possível, modo pelo qual esse aluno produziu significados
e constituiu um objeto 4 .
Vemos com isso que não se trata de uma dificuldade no procedimento ou uma
falta para aluno, mas sim que para ele, possivelmente, o objeto constituído foi o de uma
adição de números naturais que estão colocados de uma forma diferente (um em baixo
do outro), sendo que como ao invés de números, temos letras na tarefa, e assim
adicionamo-las.
Na escola, geralmente, são poucas as discussões, oportunizadas por professores,
sobre as diferenças entre a adição de números naturais e racionais. Geralmente se pauta
uma regra e esta é seguida com poucos debates. Em um momento se trabalha com os
números naturais, em outro desarticulado com este, com os números racionais.
Esse exemplo ilustra que podem ser diferentes os modos de produzir significados
para um texto matemático e em muitos casos a maneira pela qual o aluno resolve uma
determinada tarefa tem regras sistematizadas por ele que não mostra uma falta de
conhecimento ou equívoco na resolução.
O objetivo desse trabalho é discutir uma tarefa, que envolve o sinal de igualdade,
produções de significados de alunos do Ensino Fundamental e possíveis maneiras para
professores interagirem e intervirem no processo de produção de significados dos
alunos em sala de aula. Discutimos aspectos da dinâmica de processos de negociação de
significados entre professores e alunos, nos quais os professores não se reduzem ao eu
mostro como faz e você copia, mas sim na perspectiva do vamos conversar sobre o que
ôõö÷øôù J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica 3
978-85-98092-07-2)
você fez, talvez possamos falar sobre outras coisas. Para isso, tomamos a tarefa e os
modos de produção de significados de alunos, de trabalhos que têm a perspectiva de
iniciar a Educação Algébrica dos alunos já nas séries iniciais do Ensino Fundamental e
que oportunizam discussões entre professores e alunos. Constituímos dois alunos
fictícios para discussão e um diálogo no qual o professor oportuniza uma mudança do
que significa o sinal de igualdade para um aluno.
Sobre a Educação Algébrica nas Séries Iniciais do Ensino Fundamental
Grande parte dos professores da Educação Básica tem uma visão dicotômica entre
o conhecimento aritmético e o algébrico, e com isso, dão um tratamento em sala de aula
de maneira isolada, na qual o primeiro antecipa o segundo, como se não fosse possível
alguma relação das idéias matemáticas que permeiam essas áreas. Nas primeiras séries
do Ensino Fundamental, inicia-se na escola a aprendizagem dos sistemas de numeração,
as quatro operações, um pouco de geometria, entre outros conteúdos. Apenas na 6ª ou 7ª
série eles têm o primeiro contato com a álgebra que, geralmente, é tratada como uma
linguagem simbólica e mecanizada. As discussões focam a resolução de equações,
sistemas de equações, nas quais a ‘historinha’ do passa pra lá e passa pra cá ainda é
presente.
Nas práticas dos professores da Educação Básica aulas em que estejam presentes
tarefas que oportunizem o estabelecimento de padrões matemáticos, reconhecimento de
regularidades nos conjuntos numéricos ou em figuras geométricas (em processo de
generalização por meio de alguma linguagem algébrica 5 ), discussão dos diferentes
significados para o sinal de igualdade, o desenvolvimento do pensamento relacional, é
algo a ser instaurado.
Para uma perspectiva das aulas de matemática que oportunizem uma visão das
idéias matemáticas que estão presentes, tanto na álgebra quanto na aritmética e também
na geometria e estatística, é necessária uma abordagem integradora, interdependente e
relacional entre essas áreas de conhecimento. Esta pode ser construída com o intuito de
que, na escola, a meta seja ampliar os modos de produção de significados dos alunos
trazendo outros elementos para suas vidas. O que acontece se tentarmos generalizar uma
situação particular? Como podemos construir uma linguagem abstrata que sirva para
vários casos particulares? Será que podemos produzir outros significados para o sinal de
úûüýþúÿ J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica 4
978-85-98092-07-2)
igualdade, a não ser aquele da aritmética: é o mesmo que? Será que podemos adicionar
números sem fazer tantas contas, mas pensando sobre a estrutura na qual se constitui o
contexto em que eles estão presentes? Esses são questionamentos que podem nortear a
prática dos professores que educam seus alunos por meio da matemática. Nesse artigo
propomos algumas situações nas quais questionamentos surgem na perspectiva de
ampliar os modos de produção de significados.
No relato de Lins, em Kendal e Stacey (2004), a Educação Algébrica no Brasil
segue o modelo tradicional da manipulação de símbolos. Não se oportuniza
estabelecimento de padrões em figuras geométricas ou em seqüências numéricas e nem
mesmo tarefas que envolvam uma busca de generalizações. Os alunos, em grande parte,
apenas resolvem equações lineares e sistema de equações, manipulam expressões
algébricas e se apropriam de um “jogo” de regras algébricas. A cultura entre os
professores de matemática no Brasil está ancorada no “ensino de conteúdos”
(KENDAL; STACEY, 2004). Apesar de vários documentos nacionais e vários trabalhos
apresentarem alternativas mais promissoras para possíveis aprendizagens dos alunos, o
que acontece na escola é pautado nas aulas tradicionais: conteúdo; explicação do
professor; exemplos; e, exercícios para os alunos resolverem.
De acordo com Kieran (2006) as pesquisas sobre a Educação Algébrica já nas
séries iniciais da Educação Básica, começaram a estar mais presente nos interesses dos
pesquisadores da Educação Matemática a partir de 1995, sendo que os principais temas
são: o pensamento relacional entre as equações numéricas; relação de simbolização
entre as quantidades; trabalho com equação; desenvolvimento do pensamento funcional
e a criação de um entendimento sobre as propriedades matemáticas. Entretanto, para a
realidade brasileira são poucos os trabalhos que tratam dessa temática e oferecem
possibilidades para os professores instaurarem a Educação Algébrica em suas práticas.
Ainda necessitamos de trabalhos que oportunizem outras maneiras de pensar a
Educação Algébrica.
Carpenter, Franke e Levi (2003), propõem que algumas das questões principais
para o desenvolvimento do raciocínio algébrico são as discussões das diferenças do
sinal de igual tanto no campo aritmético quanto no algébrico, o desenvolvimento do
pensamento relacional entre as expressões numéricas, a construção de conjecturas
matemáticas e suas representações simbólicas, o trabalho com equações com diversas
S S J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica
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variáveis sendo elas repetidas, a justificação e prova de algumas conjecturas
matemáticas, as construções de igualdades de múltiplas operações e as relações de
implicações tanto da aritmética quanto da álgebra. No trabalho desses pesquisadores são
apresentados exemplos de atividades realizadas por alunos e discussões para
professores.
Carraher et al (2006) apresenta resultados de estudos em que crianças de sete anos
de idade utilizam idéias algébricas para resolver seus problemas. Por meio de uma
abordagem adequada e da valorização das maneiras idiossincráticas dos alunos ao se
depararem com as idéias da álgebra, mostra que a Educação Algébrica deve se iniciar
desde muito cedo na escola e que isso traz vários benefícios para os alunos nas séries
superiores.
No estudo de Viola dos Santos e Buriasco (no prelo) com a produção escrita de
alunos da 4ª série do Ensino Fundamental encontramos na resolução dos alunos a
expressão de aspectos do pensamento algébrico, tais como o pensamento relacional com
informações do enunciado e a expressão de processos que envolvem relações entre as
estruturas aritméticas 6 por meio de ações sintáticas, que sigam regras procedimentais e
formais, e, semânticas, que atribuam algum sentido lógico para a relação dessas
estruturas, ao resolverem uma tarefa.
Esses, entre outros trabalhos, mostram que é possível os alunos lidarem com
elementos da Álgebra já nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Ela pode trazer
várias contribuições para as futuras aprendizagens dos alunos em relação a outros
conteúdos dentro e fora do domínio da matemática. Como afirma Lins e Kaput (2004)
“ela oportuniza criar um tipo particular de generalidades no pensamento dos alunos (p.
47)”. Por conseguinte, “iniciar Educação Algébrica nas séries iniciais não é somente
possível, mas também necessário (p. 47)”. Como Viola dos Santos e Buriasco (no prelo)
afirmam,
parece não existir motivos outros que não sejam de cunho político e de
tradição pedagógica, para não começarmos colocar nos currículos
tópicos que tratam do desenvolvimento do pensamento e da atividade
algébrica dos alunos.
5
J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica
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O sinal de igualdade e produção de significados de alunos
Discussões dos diferentes modos de produzir significado para o sinal de igualdade
ainda é algo a ser instaurado nas práticas dos professores. Explicitar essas diferenças e
ampliar suas possibilidades de significação pelos alunos, em diversos contextos deve
fazer parte das experiências escolares. Como afirmam Carpenter, Frank e Levi (2003)
/.../ discussões com os alunos sobre suas concepções do que o sinal de
igual significa oferece uma oportunidade ideal para engajá-los em
discussões que ilustram como as idéias matemáticas emergem e como
os impasses matemáticos são resolvidos (p.10)
Propiciar que os alunos produzam significados para sinal de igualdade enquanto
relação entre sentenças numéricas é uma possibilidade para o início do desenvolvimento
do pensamento algébrico. A partir dessa concepção temos um contexto para que eles
olhem as estruturas dessas sentenças e desenvolvam o pensamento relacional, que
também é um aspecto do pensamento algébrico.
Apresentamos a seguir uma tarefa para a Educação Algébrica de alunos das séries
iniciais, produções de significados de alunos e possíveis maneiras do professor interagir
e intervir no processo de produção de significados dos seus alunos. Com isso,
discutimos algumas características específicas de cada modo e oportunizamos outro
para produzir significado para o sinal de igualdade 7 .
Um modo de produzir significado para o sinal de igualdade
Professor: Luzia, que número você colocaria nessa caixinha, para a
sentença ser verdadeira?
8+4=
+5
L Hum...doze.
Professor: Por que você respondeu doze?
Luzia: Ué, porque oito mais quatro é igual a doze.
Professor: E o número cinco, o que tem a ver com a sentença?
Luzia: Nada. Ele apenas esta aí. Não tem nada a ver com a sentença.
Para Luzia tanto faz se o número cinco está ou não, na sentença. O significado que
ela produziu para o sinal de igual é adicionar o número quatro com o número oito, que
estão antes do sinal, e apresentar como resposta doze. (8 + 4 é o mesmo que).
Possivelmente se na sentença estivesse o sinal da subtração ao invés do sinal da adição,
6
J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica
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ela subtrairia 4 de 8 e apresentaria a resposta. Esse é o modo de Luzia produzir
significado para o sinal de igualdade, “opero os números que estão antes dele e
apresento a resposta de operação”.
Esse modo de produzir significado para o sinal de igual é comum em alunos das
primeiras séries do Ensino Fundamental, para os quais as experiências vividas se
restringem ao campo da aritmética. Várias são as tarefas propostas aos alunos as quais
tem por objetivo operação de números (2 + 8 =___ ). Para Luzia o sinal de igual é isso.
Nossa perspectiva, enquanto estratégia de ensino, é que ela possa produzir outros
significados para o sinal de igualdade.
Outro modo de produzir significado para o sinal de igualdade
Professor: Fernando, que número você colocaria nessa caixinha para
a sentença ser verdadeira?
F É dezessete.
8+4=
+5
Professor: Por que você acha que é dezessete?
Fernando: Ora! Eu somei todos os números.
Professor: Por que você somou todos os números?
Fernando: Porque ta dizendo que é pra eu somar. Olha (aponta a
sentença); oito mais quatro; mais cinco; (aponta o sinal de igual) igual
a dezessete! Simples.
A produção de significados de Fernando para esse texto (a sentença) é o de
adicionar 8 com quatro; depois o resultado com cinco e apresentar a resposta. Para ele o
sinal de igual também é um comando o qual ele tem que operar com os números. Este é
o objeto que ele constitui. Porém, neste caso ele opera todos os números que estão na
situação e não apenas com os que antecedem o sinal. O sinal de igualdade para
Fernando é diferente do que é para Luzia.
Nesses dois diálogos apresentados notamos que tanto Luzia quanto Fernando
constituem o sinal de igual como um comando que lhes indicam a ação de operar com
números e apresentar a resposta. A produção de significado para essa tarefa se
assemelha ao contexto das calculadoras simples, nas quais se digitam o primeiro
número, a operação e depois o sinal de igualdade. Ressaltamos que para Fernando todos
os números da sentença participam do processo.
7
!" J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica
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Para que Luzia e Fernando produzam outros significados para o sinal de igualdade
e com isso constituam outros objetos, temos pelo menos duas opções. Uma, seria
mostrar um exemplo e dizer que em contextos, como o da sentença apresentada, para o
sinal de igual, produzimos tal significado, o de relação entre números. Essa opção se
assemelha ao Ensino Tradicional, no qual o professor mostra como faz, e o aluno
reproduz o que o professor mostrou. Outra opção seria apresentar um contexto que
oportunizasse ao aluno constituir outro objeto e produzisse outro significado para o
sinal de igualdade na sentença. Nesse caso o papel do professor seria o de elaborar
estratégias para interagir com o aluno e intervir no processo de produção de significado.
Apresentamos um exemplo dessa segunda opção e com isso, uma maneira dos
professores se engajarem com seus alunos em uma interação produtiva.
Ampliando os modos de produzir significado para o sinal de igualdade
Continuaremos o diálogo entre Luzia e seu professor e com isso oportunizaremos
uma maneira de se ampliar os modos de produzir significados para o sinal de igualdade.
Professor: Luzia, que número você colocaria nessa caixinha, para a
sentença ser verdadeira?
#$zia: Hum...doze.
8+4=
+5
Professor: Por que você respondeu doze?
Luzia: Ué, porque oito mais quatro é igual a doze.
Professor: E o número 5, o que tem a ver com a sentença?
Luzia: Nada. Ele apenas esta ai. Não tem nada a ver com a sentença.
Professor: Luzia o que você me diz sobre essas sentenças. Elas são
verdadeiras ou falsas?
a)
b)
c)
d)
8= 5+3
3+5= 8+0
13 + 5 = 12 + 7
12 = 6 + 6
Luzia: A letra a e b são verdadeiras, porque oito é igual a cinco mais
três e três mais oito também é igual a oito. Só não entendo porque tem
o zero na sentença. A gente pode tirar ele, não pode? Porque 8 mais 0
é igual a 8. Eu acho que pode tirar sim o zero.
Professor: E a letra c?
Luzia: Agora a letra c, deixa eu fazer a conta. [faz a conta nos dedos]
É falsa!!! Treze mais cinco é igual a dezoito, mas doze mais sete é
igual a dezenove. Então é falso, não é verdadeiro.
8
%&'()%* J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica
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Luzia: A letra d é verdadeira. Essa foi fácil. Eu já sabia que seis mais
seis é igual a doze.
Professor: Luzia vamos voltar à letra c? Tudo bem? Que número a
gente pode colocar, no lugar do sete para que a sentença fique
verdadeira?
Luzia: Você ta me dizendo pra eu trocar o número sete por um que
fique verdadeiro e não falso?
Professor: Isso.
Luzia: Ta bom. Como treze mais cinco é dezoito, doze mais: [conta
nos dedos] um, dois, três, quatro, cinco, seis é igual a dezoito.
Consegui!!! Seu trocar o número sete pelo número seis, daí a sentença
fica verdadeira.
Professor: Muito bem. Agora vamos voltar à primeira questão que eu
te coloquei.
8+4=
P+,-.//,+0
+5
Que número você colocaria na caixinha para que a
sentença fique verdadeira?
Luzia: Hum!!!! Deixa eu ver. [fala baixinho] Oito mais quatro é doze;
cinco mais sete é doze. Já sei, eu coloco o número sete.
Professor: O que você fez?
Luzia: Eu sei que agora eu tenho que encontrar um número que
quando eu somo ele com cinco o resultado fica igual a doze.
Professor: Na primeira vez você me disse que o número era doze e
não sete. E também que o cinco não tinha nada a haver com a
sentença.
Luzia: É que aquela hora eu somei oito com quatro, e deu doze. Eu
não sabia que era desse jeito que eu tinha que fazer. Agora eu já sei. O
cinco não tinha nada a ver mesmo aquela hora, mas agora tem.
Professor: E para essas sentenças, que número você colocaria na
caixinha?
a) 10 + 6 =
b1 23 4 3 5
+7
-5
67zia: Sem problemas. Na letra a eu tenho que colocar nove e na letra
b eu tenho que colocar quinze
Notamos que houve uma ampliação da maneira de produzir significado para o
sinal de igualdade por Luzia. Na fala com seu professor, ela diz que no primeiro
momento, somou oito com quatro e apresentou o resultado. Agora ela sabe que tem que
encontrar um número que adicionado com cinco fique igual a doze. Em relação ao
modo como o professor organizou suas perguntas, vemos que em nenhum momento ele
mostrou como Luzia deveria fazer. Ele foi questionando-a e colocando a falar sobre
outras situações as quais levariam a constituir outro objeto, produzindo outro
9
89:;<8= J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica
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significado para o sinal de igualdade. No primeiro momento o sinal de igualdade, para
Luzia, significava operar com os números que o antecede e apresentar a resposta. No
segundo, ele significa uma relação de equivalência entre os dois lados da sentença.
Em uma inferência estreita, muitas vezes feita por professores, é que Luzia
aprendeu o verdadeiro significado para o sinal de igualdade ou mesmo que ela tinha
uma concepção errônea e agora sabe tem a correta. A cada momento que Luzia
produziu significado para o sinal de igualdade, ela constitui um modo de pensar e operar
com esse objeto. Assim, no primeiro momento o sinal de igualdade para ela é um
objeto, com suas características sintáticas e semânticas; no segundo momento o sinal de
igualdade era outro, com outras características.
A estratégia de apresentar sentenças numéricas e pedir para os alunos
investigarem se são verdadeiras ou falsas é promissora e oportuniza que produzam
outros significados para o sinal de igualdade. Nessas tarefas os alunos têm oportunidade
de encontrar um número que deixe a sentença verdadeira e dessa maneira podem olhar
na direção da equivalência do sinal de igualdade na sentença. Os estudos de Carpenter,
Frank e Levi (2003) e Molina e Ambrose (2008) apresentam justificativas nessa direção
e trazem discussões sobre os modos de produzir significado dos alunos.
Poderíamos continuar o diálogo com Luzia, na perspectiva de oportunizar
contextos nos quais ela falasse em outras direções, no que diz respeito ao modo como
ela opera os números. Assim, ela poderia ampliar sua maneira de produzir significado
em relação à maneira como encontra o número que deve colocar na caixinha. Ao invés
dos cálculos (o modo como ela fez), pensar nas relações entre os números, outro modo
que ela poderia fazer. Com isso estaria desenvolvendo o pensamento relacional, outro
aspecto importante do pensamento algébrico.
Algumas considerações
Explicitar as diferenças dos modos de produzir significado para o sinal de
igualdade por meio da perspectiva de ampliação de significados e não da substituição
pode ser uma estratégia pedagógica dos professores em sala de aula. Essas discussões
podem se constituírem como um disparador para o início da Educação Algébrica dos
alunos nas séries iniciais do Ensino Fundamental.
10
>?@AB>C J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica
978-85-98092-07-2)
Podemos ampliar os modos de produção de significados dos alunos por meio de
intervenções que oportunizem os alunos constituírem outros objetos. O diálogo entre o
professor e Luzia ilustra essa possibilidade e aponta para uma maneira de pensar o
processo de ensino e de aprendizagem, neste caso o processo de produção de
significados.
A Educação Algébrica no Ensino Fundamental precisa ser instaurada desde as
primeiras séries e concatenada com a Aritmética, Geometria e a Estatística. O
pensamento algébrico assim como o aritmético, geométrico e o estatístico precisam ser
desenvolvidos em suas diferenças e semelhanças para que os alunos possam utilizá-los
nas situações problemas. Como colocam Lins e Gimenez (1997)
/.../ numa proposta para Educação Matemática, a álgebra, a aritmética
e a geometria [e também a estatística], devem ser vistas não como
conteúdos justificados por sua própria existência, mas como
instrumentos que participam da organização da atividade humana (p.
28).
Esse artigo contribui para essa meta em relação a oportunizar um contexto para os
professores elaborarem tarefas sobre o sinal de igualdade.
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Notas
1
KMNOQR T U VQWXOYZW [\]QM^R X[ O_R RÒaW XR cXO]RYZo Básica
2
3
Segundo Lins (1999) texto se caracteriza por resíduos de enunciações.
Por significado podemos entender tudo o que se pode e efetivamente se diz de um objeto (Lins, 1999) e
objeto é “algo a respeito de que se [diz] algo” (LINS, 2004a, p. 114).
12
defghdi J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica
978-85-98092-07-2)
4
Figura 2 – Produção escrita de uma aluno da Educação Básica
5
Estamos entendendo por linguagem algébrica uma linguagem constituída por meio de uma notação
simbólica na qual os símbolos representam generalizações de invariâncias, padrões, regularidades.
6
Por estruturas aritméticas entendemos resultado da construção do procedimento utilizado na realização
de uma operação por meio de um enunciado (VIOLA DOS SANTOS; BURIASCO, no prelo)
7
Constituímos alunos fictícios baseados em trabalhos que apresentam discussões de sobre o sinal de
igualdade. Esses trabalhos foram Kieran (1981); Carpenter, Frank e Levi (2003); Molina e Ambrose
(2008).
13
jklmO, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência
no ensino de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX
EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Eixo-temático 5: História e Filosofia
SISTEMAS SEMIÓTICOS DE SIGNIFICAÇÃO CULTURAL E AS
TECNOLOGIAS DA INTELIGÊNCIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA
João Fábio PORTO – FE - USP ([email protected]
Resumo: Este trabalho apresenta um estudo sobre a relação entre história e educação
envolvendo os conceitos da teoria de Sistemas Semióticos de Significação Cultural
(Radford) e das Tecnologias da Inteligências (Lévy). Iremos analisar, utilizando estes
conceitos, a interatividade em vídeo-aulas do programa PEC – Formação Continuada
Municípios. Lévy considera a interatividade como um diálogo entre uma ou mais pessoas.
Tendo isso em mente, iremos analisar diferentes tipos de obras matemáticas ( ou que a
matemática como uma de suas temáticas) de autores como Platão, Galileu Galilei, Imre
Lakatos, George Polya, Yves Chevallard entre outros, que tenham como forma de sua
composição o diálogo, identificando algumas características definidas por Lévy dos
diferentes tipos de interatividade e, em seguida, fazendo um contraponto dessas idéias
discutidas com alguns trechos de vídeo-aulas de matemática do programa PEC – Formação
Universitária Municípios. Procuraremos então estabelecer, com base nos conceitos da
teoria dos SSSC , uma proposta de adoção de critérios abrangentes para avaliar os cursos
semi-presenciais de formação de professores de matemática. Particularmente, iremos
propor uma avaliação dos modelos como o do PEC – Formação Universitária Municípios.
Palavras-chave: Ensino Semi-Presencial, Informática no Ensino, Tecnologias da
Inteligência, História da Matemática, Sistemas Semióticos de Significação Cultural
Financiamento: CNPq
Apresentação
Neste trabalho, iremos propor a criação de um referencial de avaliação destes cursos
com base nas teorias de Sistemas Semióticos de Significação Cultural (SSSC) de Luis
Radford e nas teorias das Tecnologias da Inteligência (TIs) de Pierre Lèvy. Começaremos
fazendo um estudo histórico da matemática sobre um ponto de vista que proponha uma
interpretação conjunta das teorias de Radford e de Lèvy. Em um primeiro momento
opqrO, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência
analisaremos cada uma das TIs separadamente e posteriormente analisaremos todas juntas
no caso particular da Grécia Antiga, em ambos os casos, utilizando a metodologia dos
SSSC. Acreditamos que o caso particular da matemática grega seja um exemplo de uma
mistura bem sucedida de SSSC e TIs, o que possibilitou um grande desenvolvimento da
matemática em tão pouco tempo.
Nossa hipótese é a de que esta mistura bem sucedida pode ocorrer novamente no
caso do programa PEC – Formação Universitária Municípios, possibilitando grandes
avanços no processo de ensino e aprendizagem no Estado de São Paulo. O presente
trabalho pretende fazer uma análise deste projeto, nos atendo particularmente nas vídeo
aulas de matemática que foram desenvolvidas para a formação de professores. Nosso foco
de atenção nestas vídeo aula estará voltado para a questão da interatividade, tal como a
definiu Lévy (1999), ou seja, como o diálogo entre uma ou mais pessoas. Tendo isto em
mente iremos analisar diversas obras matemáticas (ou que tenham a matemática como uma
de suas temáticas), que tenham como forma de composição o diálogo, assim analisaremos
obras de autores como Platão, Galileu Galilei, Imre Lakatos, George Polya, Yves
Chevallard entre outros, e faremos um contraponto das idéias discutidas com alguns trechos
das vídeo aulas de matemática. Com isso procuraremos então estabelecer, com base nos
conceitos da teoria dos SSSC, uma proposta de adoção de critérios abrangentes para avaliar
os cursos semi-presenciais de formação de professores de matemática. Particularmente,
iremos propor uma avaliação dos modelos como o do PEC – Formação Universitária
Municípios.
Sistemas Semióticos de Significação Cultural
Uma das diversas linhas de pesquisa da história da matemática é aquela que busca
entender as influências sócio-político-culturais e tecnológicas sobre a produção matemática
de uma sociedade. Esta linha de pesquisa é chamada de História Sócio Cultural da
Matemática. Mais do que ser influenciada por fatores sócio-culturais, a matemática é, em
si, uma manifestação cultural de um povo, que por estar inserida em um contexto, terá um
significado referente a este. “De fato, a concepção de matemática de uma cultura determina
não apenas a função social do conhecimento matemático, mas também (em um nível mais
2
stuvO, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência
abstrato) a concepção dos próprios conceitos matemáticos”. (RADFORD, 1997, tradução
nossa).
Para entender melhor a influência do contexto sócio-cultural sobre a produção
matemática, Radford desenvolveu o conceito de Sistemas Semióticos de Significação
Cultural (SSSC). Este, nada mais é do que um sistema de crenças, costumes, tradições e
interesses de uma dada sociedade, que condicionam a maneira de entender e dar significado
ao mundo, e em particular a matemática, dos indivíduos desta sociedade. “SSSC são
aqueles sistemas culturais que disponibilizam diversas fontes para a produção de sentido
através de práticas sociais específicas” (RADFORD, 1998, tradução nossa).
Podemos citar inúmeros casos da influência da SSSC na produção matemática. Por
exemplo, a maneira de se representar contas aritméticas, como a utilização dos Quipos
pelos povos Incas (MANGIN, 2005) ou o uso de tabletas de barro pelos mesopotâmicos,
estas escolhas não fora aleatórias, mas tinham um significado para estes povos. Há também
os exemplos que a língua exerce, como é o caso dos gregos, em que o verbo ser
desempenhou importante papel no nascimento da lógica e das demonstrações, e há ainda o
caso dos árabes, cujo sistema língua/pensamento (LAUAND, 2005) desempenhou
importante papel no nascimento da álgebra.
As Tecnologias da Inteligência
Em 1991 Pierre Lèvy desenvolveu o conceito de Tecnologias da Inteligência (TIs),
que nada mais são que algumas técnicas desenvolvidas pelo ser humano para entender o
mundo. Ao mesmo tempo que são fruto da inteligência humana, as TIs ajudam a moldá-la.
Para Lèvy, existem três TIs fundamentais, que condicionaram a maneira de pensar do ser
humano, que ele chamou de Oralidade, Escrita e Informática. (LÈVY, 1993).
Antes de falarmos sobre cada uma destas TIs vamos citar algumas de suas
características gerais. Primeiro, a sucessão delas não se dá por simples substituição, mas
por um processo de complexificação e deslocamentos de centros de gravidade. Isto
significa que elas sempre estiveram presentes na história da evolução da humanidade,
sendo que em cada época algumas características de uma das Tecnologias se destacavam
mais do que as outras. Em segundo lugar, não existe nenhum tipo de hierarquia entre as
3
wxyzO, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência
Tecnologias da Inteligência. Elas se complementam, se influenciam e não há uma fronteira
bem definida entre elas.
Oralidade
A Oralidade remete à importância que a palavra falada tem para o ser humano, seja
como forma de expressão e comunicação ou como uma maneira de representar o mundo
que nos cerca. Lévy divide a Oralidade em duas fases: a primária e a secundária. A primária
remete ao papel da palavra antes que uma sociedade tenha desenvolvido a escrita, já a
secundária esta relacionada ao papel da palavra oral como um complemento à escrita, da
maneira que estamos acostumados (LÈVY, 1993).
Numa sociedade oral primária, quase toda a cultura e o conhecimento estão
relacionados com a lembrança de cada indivíduo, assim, nestas sociedades, a inteligência
está muito identificada com a memória. Desta maneira, os indivíduos ou as sociedades que
retêm (ou memorizam) um número maior de informações úteis, terão maior chances de
sucesso em se desenvolverem. Mas nossa memória não é um equipamento de recuperação
de informações muito confiável, portanto, as sociedades orais primárias têm que
desenvolver estratégias para que suas tradições e conhecimentos não se percam ao longo
das gerações. As representações que têm mais chances de sobreviverem são aquelas que
atendem melhor aos seguintes critérios (LÈVY, 1993):
1)
As representações serão ricamente interconectadas entre elas;
2)
As conexões entre representações envolverão sobretudo relações de causa e efeito;
3)
As proposições farão referência a domínios dos conhecimentos concretos e familiares
para os membros das sociedades em questão;
4)
Finalmente, estas representações deverão manter laços estreitos com “problemas da
vida.
Os sistemas de contagem de certas sociedades orais obedecem a estes critérios de
representação citados por Lèvy, como é o caso da tribo Luli, encontrado em (GROZA,
1968).
4
{|}~O, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência
A Oralidade Secundária remete ao papel que a palavra falada tem quando começa a
dividir espaço com a Escrita. Estas duas modalidade passam a se complementarem, e a
memória, que era tão importante na Oralidade, perde um pouco de sua importância, pois
não é mais necessário memorizar um grande número de informações, basta consultá-las em
um livro.
Como grande exemplo de Oralidade Secundária podemos citar o exemplo do teatro
medieval. Este tipo de arte era comum na Idade Média e tinha um caráter muito popular
(LAUAND, 1986), e por isso se tornou um meio um meio importante para a transmissão de
conhecimentos e ensinamentos, tanto científicos quanto religiosos. Este é o caso da peça do
século X da monja Rosvita, que utiliza este tipo de arte para passar alguns ensinamentos
religiosos e também dar uma pequena aula de aritmética (LAUAND, 1986).
Escrita
Com a Escrita abordamos aqueles que ainda são nossos modos de conhecimento e de
relação com o tempo majoritários. A escrita nasceu nas diversas civilizações da
antiguidade, que na medida em que cresciam, precisavam cada vez mais de leis, arquivos
administrativos, e dados astronômicos para as colheitas e rituais religiosos. Assim, estas
civilizações foram se dando conta que a capacidade do homem de memorizar dados e
informações é muito limitada. Agora a memória deixa de ter a importância que tinha na
oralidade primária. Com a escrita as informações e os conhecimentos de uma civilização
estão gravados em pedras, tabletas de argila, papiro etc., e é possível consultá-las a
qualquer momento, não sendo tão necessárias as estratégias de memorização.
Como exemplo da grande influência da Escrita no desenvolvimento da matemática
podemos citar dois episódios. O primeiro é o grande desenvolvimento da álgebra
proporcionado pelos árabes. Segundo Boyer, “embora [a álgebra] viesse de fontes gregas,
hindus e babilônicas, tomou nas mãos dos árabes uma forma caracteristicamente nova e
sistemática” (BOYER, 1996). Um dos possíveis motivos de tanta inovação se deve ao
esquema Língua/pensamento árabe (LAUAND, 2005), mais especificamente, a ausência do
verbo ser na língua árabe, isso possibilitou que trabalhassem com incógnitas sem grandes
problemas. Além do mais “os árabes gostavam de uma boa e clara apresentação [de um
5
O, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência
resultado matemático] indo da premissa à conclusão” (BOYER, 1986), fato que podemos
comprovar na álgebra de Al-Khwarizmi que era inteiramente retórica e não empregava
símbolos (LAUAND, 2005), o que só ressalta a importância que a Escrita teve no
desenvolvimento da álgebra árabe.
A segunda grande influência da Escrita na matemática é encontrada no nascimento
das notações algébricas. Podemos encontrar traços deste nascimento em trabalhos de alguns
matemáticos italianos no período da renascença, como é o caso da Summa Arithmetica de
Luca Pacioli, onde já pode ser encontrado o símbolo ce, que é a abreviação de census,
quadrado; co de cosa, ou incógnita e ae para a igualdade (KLINE, 1990).
Informática
Ao abordar a Informática, Lèvy não está falando sobre a importância dos
computadores na vida moderna. Na verdade, ele aborda algumas TIs que são
potencializadas pelos computadores (LÈVY, 1993). Por este motivo é possível fazer uma
abordagem histórica da informática. Estas TIs potencializadas pela Informática são o
hipertexto, o virtual, o trabalho cooperativo, as simulações e a interatividade. No presente
trabalho iremos abordar apenas as duas últimas, pois consideramos que elas são mais
significativas para a história da matemática.
Para Lèvy, a simulação está muito ligada a um processo de tentar prever o que
acontece se uma ação for executada. A simulação estaria, assim, próxima da imaginação,
pois para Lèvy esta “nada mais é do que a condição de escolha ou da ação deliberada (o que
aconteceria se fizéssemos isso ou aquilo?)” (LÈVY, 1997).
A
Simulação
desempenhou,
e
desempenha,
papel
importantíssimo
no
desenvolvimento da matemática, principalmente no nascimento do Cálculo. As primeiras
curvas a serem estudadas nos primórdios do Cálculo foram as chamadas curvas mecânicas,
nome cunhado por Descartes (BOYER, 1996), que são curvas que simulam movimentos,
ou que são obtidas através de movimentos, como é o caso da Ciclóide estudada por Galileo.
Para Lèvy, existem três tipos de interatividade (LÈVY, 1999), e uma delas é a que
eles denomina de Diálogo ou Reciprocidade. As características deste tipo de interatividade
são a troca de correspondência entre duas ou mais pessoas e o diálogo através de mundos
6
virtuais. Um personagem emblemático da história da matemática foi o frade minimista
Marin Mersenne (1588-1648). Durante muitos anos, Mersenne serviu de elo de ligação
entre os maiores matemáticos de sua época, sendo um verdadeiro “centro de distribuição de
informação matemática” (BOYER, 1996). Devido a sua amizade com alguns dos grandes
nomes da matemática do século XVII, este monge recebia diversas correspondências
relatando novas descobertas ou a proposição de novos problemas a serem estudados, em
seguida ele repassava estes relatos ao seu círculo de amigos ilustres. Portanto muitos anos
antes do surgimentos das primeiras organizações de matemáticos, Mersenne já representava
o papel de difusor desta ciência, possibilitando a interação entre os matemáticos de sua
época.
O Equilíbrio entre SSSC e TIs: A Matemática Grega
Entendemos que um bom exemplo para se aplicar conjuntamente o Sistema
Semiótico de Significação Cultural (SSSC) e as Tecnologias da Inteligência (TIs) seja a
matemática grega. Esta mistura bem sucedida de SSSC e TIs pode ter possibilitado o
enorme desenvolvimento da matemática em um período de tempo relativamente pequeno,
principalmente no período chamado de Idade Heróica que vai de 600 a.C. à 300 a.C.
aproximadamente.
Segundo Kline o início do desenvolvimento da matemática grega pode ser explicado
por dois fatores: a adoção do alfabeto e o fato do papiro se tornar disponível na Grécia
durante o sétimo século antes de Cristo. O surgimento da Escrita se juntou a uma tradição
oral, que remonta aos tempos de Homero, possibilitou que os gregos desenvolvessem suas
idéias (Kline, 1990). Mas a Escrita, somente, não explica o fato da matemática, com fortes
influências egípcias e babilônicas com fortes tendências empíricas, de até então se
transforme em uma matemática dedutiva.
A explicação para este fato pode ser encontrada no modo de pensar e de entender o
mundo dos gregos. Um dos grandes assuntos recorrentes da tradição cultural grega é o da
recusa das aparências. Este tema já era abordado nas obras de Homero, mas é mais
lembrado por causa de Platão, que escreve sobre o mundo das aparências no famoso Mito
da Caverna que está no livro VII de A República (PLATÃO, 2006). Para fugir deste mundo
7
da aparências, onde algo que parece ser verdadeiro pode ser falso, os gregos buscavam
formas de tentar convencer a todos, inclusive a si mesmos, a veracidade de algo, assim, eles
criavam argumentos, ou série de argumentos, que pudessem convencer a todos,
independentemente do contexto, da veracidade de uma afirmação, fazendo uma distinção
clara do que era um conhecimento verdadeiro de uma opinião (RADFORD, 1998). Nascia,
assim, a demonstração, que desempenhou importante papel na filosofia grega, e
principalmente na matemática, que passa a se diferenciar de todas as outras até então
existentes.
Outra explicação do desenvolvimento da matemática grega pode ser encontrado na
estrutura de sua língua, mais precisamente a figura central que do verbo ser e de sua
negativa. Esta oposição é fundamental no sistema língua/pensamento grego, que “busca
estabelecer uma exata correspondência entre pensamento e realidade” (LAUAND, 2005).
Assim, para caracterizar um objeto, ele será ou não será uma cadeira, por exemplo, este
objeto não poderá ser classificado como algo entre o ser e o não-ser uma cadeira. Para um
grego, era impossível conceber um objeto que seja e não seja algo ao mesmo tempo, ou
mesmo que ele venha a ser algo. Isto pode ter impossibilitado que os gregos aprofundassem
seus estudos em álgebra. E esta barreira lingüística só será superada pelos árabes com seu
sistema
língua/pensamento
sem
o
verbo
ser
(LAUAND,
2005).
O
sistema
língua/pensamento grego irá possibilitar o nascimento de uma dos princípios mais
importantes da lógica clássica, o Princípio do Terceiro Excluído (RADFORD, 1998).
O Princípio do Terceiro Excluído irá desempenhar um papel preponderante no
desenvolvimento da matemática grega, e em particular da geometria. Somente a partir deste
princípio é que os gregos puderam criar um dos mais importantes métodos de
demonstração, que ainda é muito usado na matemática atual, o método de demonstração
por absurdo ou Reductio ad absurdum (RADFORD, 1998).
Já vimos alguns exemplos de como o SSSC influenciou a matemática grega, agora
vamos examinar a influência das TIs. Para isso escolhemos um exemplo que consideramos
o mais significativo, OS Elementos de Euclides. Entendemos também que Os Elementos
traz todas aquelas influências do SSSC que citamos anteriormente, ou seja, este livro é fruto
da cultura clássica grega, que remonta à uma tradição oral.
8
Euclides escreveu Os Elementos quando trabalhava na Universidade de Alexandria,
onde também funcionava a famosa Biblioteca de Alexandria. Ptolomeu, imperador do
Egito, mandou construir a Universidade com a intenção de atrair “homens de saber” para a
sua cidade (EVES, 2006). Estes homens vieram em peso de todas as partes do mundo, a
maior parte veio de Atenas, para trabalharem na nova Universidade, a grande maioria
atraída pelos tesouros da grande Biblioteca. Portanto, foi neste centro intelectual e em
constante contato e interação com outros pesquisadores e alunos, que Euclides escreveu sua
obra mais famosa.
Os Elementos contêm 465 proposições, 23 noções comuns e 5 postulados distribuídos
e 13 livros, ou capítulos (HEATH, 1956). É quase inconcebível pensar no conjunto que
forma o livro sem a Escrita, além da grande quantidade de informação, algumas
demonstrações de proposições se utilizam de resultados já demonstrados anteriormente,
sem contar o freqüente uso dos postulados. Portanto, Os Elementos é um livro para ser
consultado no mesmo momento de sua leitura, retomando alguns resultados já provados.
Desta maneira, Euclides soube muito bem se aproveitar do suporte da Escrita.
Diálogos
Em um trabalho de 1999, Lévy diz que a interatividade utilizada na informática é
apenas uma de muitas outras, que são utilizadas a muito tempo. A interatividade pode ser
assim dividida em três tipos: Difusão Unilateral (imprensa, televisão, cinema); Diálogo
(correspondência postal entre duas pessoas, conversa por telefone ou pessoalmente);
Diálogo entre vários participantes (conferências eletrônicas, bate-papos on-line). Porém é
importante ressaltar que esta divisão, assim como a divisão das Tecnologias da Inteligência,
não é hierárquica e que uma substitui a outra, existe um processo de complexificação em
que um tipo influencia o outro e as três podem estar presentes em um mesmo evento, em
momentos diferentes. Estes três tipos de diálogo se complementam e se influenciam
mutuamente.
Desta maneira iremos realizar um estudo de várias obras matemáticas (ou que tenham
entre uma de suas temáticas a matemática) que tenham como forma de composição o
diálogo. Com isso em mente iremos realizar um estudo em horas de autores como Platão,
9
Galileu Galilei, Imre Lakatos, George Polya, Yves Chevallard, analisando a forma como os
diálogos são conduzidos nestas obras.
Da mesma maneira que Lévy identifica três tipos diferentes de interatividade, nosso
estudo identificou diferentes tipos de diálogos, se diferenciando entre um e outro não
apenas com relação aos diferentes estilos dos autores e das épocas em cada um viveu, mas
na própria maneira de conduzir os diálogos e aos papéis que os interlocutores presentes
nestes assumem. Temos diálogos desde o que ocorre entre Pepino e Alcuíno
(LAUAND,1986), em que o segundo, o mestre, se limita a responder, de maneira direta, as
perguntas de seu jovem discípulo. Trata-se de um diálogo medieval que retrata bem as
concepções de ensino daquela época.
Outro estilo de diálogo é o desenvolvido por Galileo Galilei em Diálogo sobre os dois
máximos sistemas do mundo ptolomaico e copernicano (2004), em que este autor coloca
suas idéias sobre ciência na boca de Salviati que as irá defender e opor às idéias de
Simplício, um defensor das idéias aristotélicas. Galileo não só defenderá suas idéias, mas
tentará, com base nelas, construir argumentos para derrubar as idéias de seus opositores. Na
análise sobre diálogo não poderia faltar um trabalho de Platão. Escolhemos para estudo o
diálogo Ménon, que contém o trecho em que Sócrates ensina a um escravo um pouco de
matemática. Neste trecho podemos ver em prática o método socrático da maiêutica e uma
referência a teoria das reminiscências.
Um estilo de diálogo que consideramos bem interessante é o de Imre Lakatos na obra
A lógica do descobrimento matemático: Provas e refutações (1978). Neste diálogo Lakatos
simula uma sala de aula, possivelmente em um curso de pós-graduação, onde os alunos,
instigados por um professor, tentarão demonstrar que a famosa fórmula de Euler para
polígonos, V-A+F=2, também será válida para poliedros. Trata-se de uma grande discussão
e reflexão sobre os métodos de demonstração usados em matemática. O interessante deste
trabalho é que Lakatos atribui a cada um dos alunos uma postura que matemáticos como
Cauchy, Lagrange, Forder ente outros que discutiram e tentarem demonstrar este mesmo
problema que esta sendo discutido em sala de aula. Inclusive as algumas falas dos alunos
presentes são falas dos próprios matemáticos na discussão deste problema e sobre o que
seria uma demonstração matemática. Este trabalho de Lakatos é um grande trabalho
10
histórico em que o autor cria um grande diálogo entre matemáticos de diferentes épocas.
Lakatos, neste trabalho, faz da história da matemática e da história de um problema
matemático, um grande diálogo.
Após feita e aprofundada esta discussão sobre os diálogos faremos um contraponto
destas idéias com uma análise de alguns trechos de vídeo aulas de matemática do programa
PEC – Formação Universitária Municípios. Escolhemos para esta análise as vídeo aulas de
um único professor por entendermos, baseados na metodologia indiciária de Ginzburg
(1990), que elas são as mais significativas para o nosso estudo, não sendo assim, necessária
uma análise de uma amostra maior de vídeo aulas de matemática.
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978-85-98092-07-2)
Eixo-temático 6: Psicologia
UM ESTUDO DA “EARLY ALGEBRA” SOB A LUZ DA TEORIA DOS
CAMPOS CONCEITUAIS DE GERARD VERGNAUD.
Otávio YAMANAKA - SEE/SP e PUC-SP ([email protected]Ä
Sandra MAGINA - PUC-SP ([email protected]Ä
Resumo: Este artigo tem o objetivo de apresentar uma discussão teórica sobre a
possibilidade de iniciar o ensino de álgebra já nas séries iniciais, a partir de
considerações teóricas advindas dos estudos realizados pelo Grupo Early Algebra (EA),
criado na Conferência: Algebra: Gateway to a Technological Future. Trata-se, portanto
de um estudo bibliográfico, já que se propõe a responder a um problema a partir de
referências teóricas, publicadas em documentos; os dados são coletados em materiais
impressos (livros, revistas, periódicos, etc.), (Gil, 1998, Lakatos, 2007). A idéia é
apresentar alguns dos seus principais resultados de pesquisa, a luz dos fundamentos
teóricos propostos por este grupo e, na seqüência relacionar tais resultados com a visão
da psicologia cognitiva de Gerard Vergnaud, em sua Teoria dos Campos Conceituais.
Assim, o artigo apresenta resultados importantes obtido pelo grupo EA, tais como o de
que a generalização é o centro do raciocínio algébrico e a introdução da álgebra nas
séries iniciais está focada na generalização algébrica. Neste caso, ela pode ser entendida
como generalização dos números e das quantidades se constituiu quais são suas
principais idéias para o ensino da álgebra. Na seqüência, apresentaremos, em linhas
gerais, as contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, direcionando nosso olhar
para o ensino da álgebra. Por fim, concluímos o artigo estabelecendo conexões entre
esses dois olhares teóricos, não excludentes, de se pensar sobre o ensino da álgebra. O
artigo conclui que os estudantes das séries iniciais podem aprender conceitos
matemáticos e representações, além da notação algébrica, pode desempenhar um papel
importante no apoio ao conhecimento matemático.
Palavras-chave: Generalização Algébrica, Raciocínio Aritmético, Relações Funcionais,
Campos Conceituais, Estudo Bibliográfico.
Financiamento: Secretaria de Estado da Educação – São Paulo- Programa “Bolsa
Mestrado”
Questões preliminares e opção metodológica
Este estudo tem por objetivo discutir a possibilidade de se introduzir a álgebra nas
séries iniciais do Ensino Fundamental. Para subsidiar tal discussão buscamos
desenvolver uma pesquisa de caráter teórico, baseados nos textos publicados pelo grupo
ÅÆÇÆÈÆÉÆÊ ËÌ Í ÇÆÎÏÈÆÊ ÐÌ ÑÒ ÍÓÔÕÖ× ÖØ ÙÍØÚÛÜ ØÛÝÍbra” sob a luz da teoria dos
Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação
Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-8598092-07-2
Early Algebra e no aporte cognitivo da teoria dos campos conceituais. É um estudo
bibliográfico, ou de fontes secundárias (LAKATOS, 2007), já que sua coleta de dados
voltou-se para leitura e interpretação de documentos públicos relacionados ao tema do
estudo. Uma pesquisa bibliográfica almeja abordar “teorias, conceitos, idéias,
ideologias, polêmicas, tendo em vista, em termos imediatos, aprimorar fundamentos
teóricos (FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p. 69), oferecendo assim meios para
resolver não apenas problemas já conhecidos, bem como explorar novas áreas em que
os conhecimentos não estão ainda cristalizados (MARCONI; LAKATOS, 2007).
Assim, nossa pesquisa contribui para o debate sobre em que momento já se é possível
pensar na introdução da álgebra para os alunos do Ensino Fundamental.
Nessa direção, iniciaremos o artigo apresentando as idéias do grupo Early
Algebra no que tange ao ensino da álgebra para as séries iniciais.
A Conferência: “Álgebra: Uma ligação para um futuro tecnológico”
Esta conferência surgiu em resposta a uma petição do Congresso Norte
Americano, para a Academia Nacional de Ciências (NAS), em 2006, em que solicitava
a determinação de dez ações principais (“top 10 actions”), a serem tomadas para elevar
o desenvolvimento da ciência e da tecnologia, de modo que os Estados Unidos
pudessem competir com êxito na comunidade global do século XXI. Ao final da
conferência foram feitas várias recomendações e entre estas estavam o fortalecimento
do conhecimento profissional de 250.000 professores em atividade, particularmente
para aqueles que ensinam Matemática e Ciências para as séries K-12, e refere-se a toda
educação básica Norte Americana, que compreende: Kindergarten (Jardim da Infância),
Elementary School (1ª até 5ª série) e High School (6ª até 12ª série). O documento
propunha, como subsídio, a elaboração do “Material curricular para as séries K-12”
entre outros, em que incluíam recomendações para que os estudantes alcançassem níveis
específicos em álgebra.
É neste contexto que a Mathematical Association of America, (M.A.A).
financiada pela NAS, convocou para uma Conferência, representantes da comunidade
de Matemática e de Educação Matemática, com o intuito de examinar o que se tem
pesquisado sobre o ensino da álgebra e também verificar os princípios comuns que
2
Þßàßáßâßã äå æ àßçèáßã éå êë æìíîïð ïñ òæñóôõ ñôöæbra” sob a luz da teoria dos
podem servir como modelo para sua conseqüente melhora, direcionando pesquisas
futuras.
A conferência aconteceu em novembro de 2006, quando aproximadamente 50
participantes foram divididos em cinco grupos de trabalho, que corresponderam a cinco
diversos níveis de instrução da álgebra:
Grupo 1 – Early Algebra (Álgebra Inicial);
Grupo 2 – Introductory Algebra (Álgebra Introdutória);
Grupo 3 – Intermediate Algebra (Álgebra Intermediária);
Grupo 4 – Algebra for Teachers ( Álgebra para Professores);
Grupo 5 – College Algebra (Álgebra para Faculdade).
Cada um dos cinco grupos produziu um relatório, em que podemos destacar as
seguintes características:
Os primeiros três grupos fizeram a suposição geral de que os estudantes serão
introduzidos nas idéias algébricas já em graus elementares. Depois passam para o curso
da álgebra introdutória formal na escola secundária (talvez depois de um ano de
geometria). E, por fim, por um curso de álgebra intermediária, visando a preparação
para a Matemática ensinada na Universidade. O objetivo, então, da álgebra nesses três
níveis é, não só suprir todos com a álgebra necessária para vencer em qualquer carreira,
mas também preparar um número crescente de estudantes para as carreiras de ciências e
tecnologia (KATZ, 2007).
O grupo de trabalho sobre a Álgebra para os Futuros Professores trata da
educação daqueles que irão trabalhar nos primeiros três níveis de instrução. Já o grupo
de trabalho de álgebra na faculdade dirige suas recomendações para uma instrução
proveitosa que atinja um grande número de estudantes desde o ensino básico, passando
por aqueles que nunca aprenderam álgebra na escola secundária, mesmo que tenham
sido expostos a ela. As pesquisas mostram que, em geral, esses estudantes não entram
nas carreiras cientificas ou técnicas. No entanto, esses estudantes também necessitam de
habilidades em álgebra para que consigam ter sucesso em qualquer carreira que eles
adentrem (KATZ, 2007).
3
÷øùøúøûøü ýþ ÿ ùøY úøü þ
ÿ ÿ ÿbra” sob a luz da teoria dos
Ainda, segundo Katz (2007), os trabalhos realizados pelos cinco grupos
apontaram recomendações explícitas para a pesquisa e ação, agrupadas nos seguintes
modos:
1.
Pesquisa para determinar as idéias centrais de um currículo de álgebra para o
século XXI em cada nível de instrução.
2.
Pesquisa sobre a compreensão da natureza do pensamento algébrico dos
estudantes e de como eles reagem aos diferentes tipos de instrução.
3.
Desenvolvimento profissional intensivo para assegurar que a equipe de ensino
possa comunicar as idéias descritas nos itens 1 e 2.
4.
Esforços colaborativos entre todos os membros da noosfera – responsáveis,
incluindo professores, matemáticos, administradores, oficiais públicos e pais, para
assegurar que as três recomendações prévias possam ser implantadas.
Apresentaremos na seção seguinte, um resumo dos estudos desenvolvidos pelo
grupo Early Algebra, cujos autores foram: Maria Blanton, Deborah Schifter, Vickie
Inge, Paty Lofgren, Cassandra Willis, Frank Davis e Jere Confrey.
Early Algebra (Álgebra Inicial):
Segundo os autores, nas séries elementares, a Matemática tem se baseado na
aritmética e na fluência calculatória, seguindo-se uma abordagem procedimental. Essa
abordagem porém não tem mostrado sucessos em termos de realizações estudantis.
Atualmente, a preparação dos estudantes requer uma abordagem diferente, que é
a de cultivar os hábitos da mente, visando o aprofundamento das estruturas subjacentes
da Matemática (KAPUT, 1999; ROMBERG, KAPUT, 1999 apud BLANTON, 2007). O
objetivo é implantar essa forma de pensamento longitudinal nas experiências escolares
dos estudantes, iniciando-se nas séries elementares.
Esse trabalho requer um exame dos tópicos matemáticos desde o Pre – K
(corresponde à nossa Creche) até o nível K8 (corresponde aos 6º ao 8º anos do EF
brasileiro), que são os anos verdadeiramente básicos para a álgebra (ex. números
inteiros, números racionais, e outros poucos tópicos), assegurando que os blocos da
construção da álgebra nesses tópicos sejam enfatizados em todos os níveis.
4
sob a luz da teoria dos 5
!
" #"$%& "%'bra”
Segundo Kaput (2007), apud Blanton (2007), os objetivos pretendidos com a
Early Algebra, compreendem: (1) generalização, ou identificação, expressando e
justificando estruturas, propriedades e relações matemáticas e (2) raciocínio e ações
baseadas em formas de generalizações.
Embora as características acima citadas façam referência a uma determinada área
da Matemática, elas são críticas para as demais áreas desta ciência. Assim, o foco da
pesquisa em Early Algebra é delineado da seguinte maneira: (1) o uso da aritmética
como um domínio para expressar e formalizar generalizações (aritmética generalizada)
e (2) generalização de padrões numéricos ou geométricos para descrever relações
funcionais (pensamento funcional) (Blanton et al, 2007).
Blanton et al (2007, p. 7), complementa esse foco de pesquisa, enfatizando que:
Adicionalmente - e igualmente importante - a álgebra inicial não é um
re-empacotamento de habilidades e procedimentos algébricos, como
tipicamente ensinados em cursos de “pré–álgebra” dos middle grades
para os elementary grades. Enquanto crianças nos elementary grades
podem desenvolver algumas habilidades nas manipulações simbólicas,
o objetivo é ao contrario, que eles aprendam a raciocinar
algebricamente e que comecem a adquirir a linguagem simbólica,
algébrica para expressarem e justificarem suas idéias (Tradução de
MACHADO, S. D. A., 2008, para o texto original: Early Algebra)
De acordo com o National Research Council (Conselho Nacional de
Pesquisa/EUA), a Álgebra Inicial compreende cinco elementos das proficiências em
Matemática, que são: compreensão conceitual, fluência procedimental, competência
estratégica, raciocínio adaptivo e disposição produtiva. (KILPATRICK et al, 2001,
apud BLANTON et al, 2007).
Sobre este aspecto, Blanton et al (2007, p. 8 ), afirma que:
Um aspecto fundamental da Early Algebra é o desenvolvimento de
uma compreensão conceitual profunda de operações e relações.
Através da aritmética generalizada, por exemplo, a Álgebra Inicial,
supre as oportunidades de os estudantes generalizar propriedades
matemáticas, como a comutatividade, de compreender como as
operações afetam os números, e entender uma visão relacional da
igualdade. Com o pensamento funcional, os estudantes, tornam-se
proficientes em expressar como as quantidades co-variam em relação
uma às outras. Por outro lado, estas atividades requerem e apóiam o
desenvolvimento da fluidez processual das crianças (tradução de
YAMANAKA, O. Y., 2008, do texto original: Early Algebra )
()*)+),)- ./ 0 *)12+)- 3/ 45 06789: 9; <0;=>? ;>@0bra”
Assim, ao desenvolver a fluência procedimental, elas também desenvolvem as
habilidades aritméticas, isto é as crianças precisam da habilidade aritmética para
encontrarem relações funcionais ou explorar cálculos que as permitam desenvolver as
generalizações sobre as operações e consecutivamente enriquecem a compreensão das
crianças sobre as operações básicas.
Podemos considerar que a Early Algebra está baseada em problemas, pois
desenvolvem a competência estratégica e a capacidade de raciocínio adaptivo das
crianças e o objetivo não é de desenvolver habilidades isoladas ou procedimentos, mas
explorar situações que exerçam influência nos conhecimentos dos alunos sobre
habilidades e procedimentos, como explica Blanton et al (Ibidem, p. 8):
Em particular as crianças desenvolvem um sistema de linguagem
algébrico - enraizado com significado em suas expressões da
linguagem natural - para descrever generalizações. Elas adquirem a
primeira linguagem de prova, incluindo formas de raciocínio indutivo
e dedutivo e uma apreciação de argumentos gerais e das limitações de
argumentos empíricos (tradução de YAMANAKA, O. Y., 2008, do
texto original: Early Algebra)
As pesquisas do grupo Early Algebra tem verificado que a criança pode:
Descrever, simbolizar e justificar propriedades aritméticas e relações;
Desenvolver uma visão relacional e algébrica da igualdade;
Usar ferramentas representacionais apropriadas na primeira série, que apoiarão a
exploração de relações funcionais nos dados;
Identificar e simbolizar relações funcionais;
Progredir a partir da construção de argumentos empíricos para construir
justificações usando problemas contextualizados e aprendendo a raciocinar com
generalizações para construir argumentos gerais; e
Aprender a comparar quantidades abstratas de medidas físicas (por exemplo:
comprimento, área, volume), a fim de desenvolver uma relação geral ( por exemplo:
propriedade transitiva da igualdade).
ABCBDBEBF GH I CBJKDBF LH MN IOPQRS RT UITVWX TWZIbra”
A Early Algebra e o processo de formação de Professores
Sobre o processo de formação de professores o grupo Early Algebra, enfatiza que
os professores estão no cerne da mudança sistêmica proposta pelo projeto. Porém
argumentam que a maioria deles tem pouca experiência com a Matemática da Early
Algebra, já que são o produto do tipo de instrução algébrica, da qual o projeto visa
substituir. O grupo propõe que se providenciem formas apropriadas de suporte
profissional que promovam mudanças efetivas de metodologias de ensino e
conhecimento matemático do professor, o que implica em um desenvolvimento
profissional.
É importante ressaltar que a preocupação com a Early Algebra já havia sido
expressa no artigo de James J. Kaput e Maria Blanton, em 1999, intitulado: Algebraic
Reasoning in the Context of Elementary Mathematics: Making it Implementable a
Massive Scale.
Nesse artigo (Ibidem), os autores apontam três dimensões algébricas em que os
professores devem atentar. Elas foram chamadas de “algebrafy”, que consistem em:
O processo de construir oportunidades, especialmente em generalização e
oportunidades progressivas da formalização;
A construção dos “olhos e ouvidos da álgebra” dos professores, de modo que
eles possam reconhecer as oportunidades para a generalização e a expressão sistemática
desta generalidade e então atuar sobre, na medida que ocorrem;
O processo de criar a prática e a cultura de sala de aula, para apoiar a ativa
generalização e formalização do aluno, dentro do contexto da conjectura e de discussões
úteis, de modo que as oportunidades da álgebra ocorram com freqüência e sejam viáveis
quando ocorrem.
Dessa forma, Blanton et al (2007) consideram necessário que se evidencie
qualitativamente e quantitativamente o impacto da educação algébrica inicial. Mas isso
requer que os alunos recebam uma educação algébrica compreensiva ao longo do K-5
(equivalente brasileiro: creche) e que os
professores tenham
orientação técnica, tendo suporte no local de trabalho.
recebido a devida
[\]\^\_\` ab c ]\de^\` fb gh cijklm ln ocnpqr nqscbra”
Existe também uma preocupação com os licenciandos, os quais são orientados
pelos professores em serviço. Para ele Blanton e Kaput, (1999) direciona as seguintes
questões:
Que capacidades os licenciandos tem para fazer e expressar generalizações,
formalizações e discussões úteis e como estas construções emergem em seu discurso
matemático?
Como o raciocínio algébrico dos licenciandos emerge através da experiência de
campo? (Particularmente, estudaremos a partir da perspectiva da primeira forma de
raciocínio algébrico: a álgebra, generalizando e formalizando padrões e restrições,
especialmente, mas não exclusivamente, álgebra como Aritmética Generalizada e
Raciocínio Quantitativo).
Que conhecimento essencial ou experiências os licenciandos necessitam para
raciocinar algébricamente e produzir aulas que fomentem o pensamento algébrico dos
alunos?
Em que medida a pesquisa de campo, transforma os licenciandos em futuros
professores em serviço, e assim como quem pensa algebricamente cultivam este tipo de
pensamento em sua aula?
Que tipos de estratégias instrucionais, ou pedagogias, que o professor educador
pode usar para estimular os licenciandos?
Segundo Blanton et al (2007), a pesquisa em Álgebra Inicial forneceu importantes
provas de que existem diferentes tipos de conhecimentos algébricos que as crianças
podem formular. Afirmam, ainda, que, como em qualquer aprendizagem, o
conhecimento que as crianças acumulam de uma “conversação algébrica” variará a
cada instante e a compreensão dos tipos de conhecimentos que elas deduzem dessa
conversa, suas trajetórias e seus momentos críticos, são passos importantes para
identificar a natureza universal do conhecimento algébrico.
Tendo exposto as linhas centrais do projeto Early Algebra, delinearemos na seção
a seguir,
alguns aspectos teóricos principais da Teoria dos Campos Conceituais,
construída por Gerard Vergnaud. Pretendemos apresentar as características da Early
Algebra que vão ao encontro dessa teoria.
tuvuwuxuy z{ | vu}~wuy { | | |bra”
A Teoria dos Campos Conceituais.
Carraher et al (2006), propõe que a instrução em álgebra ou pré-álgebra, inicie-se
ao nível da escola elementar, para preparar melhor os estudantes, do ponto de vista
epistemológicos, para a transição da aritmética à álgebra. Sua teorização sobre campos
conceituais proporciona uma análise razoável para uma Educação Matemática, em que
os conceitos são tratados como intimamente ligados, em vez de separados.
Um campo conceitual é definido como um conjunto de situações, cujas
propriedades exigem o domínio de vários conceitos, de diferentes naturezas, por
exemplo, o campo conceitual das estruturas multiplicativas consiste em todas as
situações que podem ser analisadas como problemas de proporções múltiplas e para o
qual geralmente é necessário multiplicar ou dividir. (VERGNAUD, 1988)
O quadro de campos conceituais e a definição de um conceito são apontados para
melhorar o entendimento das seguintes observações:
1-
Conceitos matemáticos estão enraizados em situações e problemas.
2-
Precisamos analisar e classificar estas situações e o procedimento que os alunos
usam para lidar com eles. Matemática é uma ferramenta.
3-
As idéias dos alunos e competências se desenvolvem em um longo período de
tempo. Ensinar alunos de uma série particular exige que tenhamos uma idéia justa dos
passos que eles possam ou não possam ter obtidos através dos últimos passos que
gostaríamos que eles atingissem.
4-
Símbolos (significantes) não se referem diretamente à realidade, mas para os
componentes cognitivos de conjunção (significados) subjacentes aos procedimentos
comportamentais dos alunos. Chamo estes componentes cognitivos de invariantes. Nós
devemos prestar atenção às distinções entre situações, invariantes e símbolos.
O desenvolvimento de um conceito está ligado à tríade: C = (S,I,R), onde S é um
conjunto de situações, que tornam o conceito significativo, I é o conjunto de invariantes
(objetos, propriedades e relacionamentos), que podem ser reconhecidos e usados como
sujeitos para análise e planejamento dessas situações e R é um conjunto de
representações simbólicas destas invariantes e portanto representa as situações e os
procedimentos para lidar com eles (VERGNAUD, 1988, 1997).
¡ ¢£¤ £¥bra”
Em termos psicológicos, Magina et al (2001), explica que S é a realidade, e a
dupla (I, R), identifica a Representação, que pode ser considerada por dois aspectos
interativos do pensamento: o significado (I) e o significante (R).
Vergnaud (1996), ainda enfatiza que a Teoria dos Campos Conceituais oferece
um eficiente quadro para a compreensão da relação entre as diferentes
situações
apresentadas aos estudantes e as capacidades desses em resolvê-las. Tal compreensão
oferece ao educador uma ferramenta poderosa para analisar
as diferentes funções
cognitivas do aprendiz que, muitas vezes, se apresentam implicitamente, por meio de
teoremas-em-ação e nos conceitos-em-ação. os quais se mostram relevantes para
selecionar a informação. Esses dois termos centrais da teoria serão discutidos neste
artigo.
Antes de tal discussão, porém, precisamos primeiro procedermos a uma discussão
sobre a idéia do conceito de esquema, proposto por Vergnaud (1998), já que o
teorema-em-ação e o conceito-em-ação são elementos constitutivos do esquema e este,
por sua vez, do conceito.
Esquemas
Vergnaud, em seu artigo “A Comprehensive Theory of Representation for
Mathematics Education” (1998), dedica uma seção inteira para discutir o conceito de
esquema. Esta seção, intitulada “What are schemes made of”, ele argumenta que os
esquemas são classes especiais de algoritmos e define algoritmo como:
Um algoritmo é uma regra eficaz e um sistema de regras eficazes, para
solucionar certas classes de problemas. Este sistema permite encontrar
uma solução a qualquer categoria de problema em um número finito
de passos, se tal solução existe ou para mostrar que não existe solução.
(tradução de YAMANAKA, O. Y., 2008, do texto original: A
Comprehensive Theory of Representation for Mathematics Education)
Vergnaud (1998) argumenta que a eficácia dos algoritmos pode ser testada e que
ela conta com o estabelecimento de limites das propriedades dos assuntos a serem
tratados e de operações realizadas nestes assuntos. Isto é, necessitam de conceitos e
teoremas. Nas palavras de Vergnaud (Ibidem, p. 171):
Esquemas não são normalmente algoritmos, apenas alguns deles são
eficazes, mas apenas eficientes; nunca se está seguro quanto a
¦§¨§©§ª§« ¬ ® ¨§¯°©§« ± ²³ ®´µ¶·¸ ·¹ º®¹»¼½ ¹¼¾®bra”
alcançar o objetivo, e certamente incapaz de provar que se alcançará
um número finito de passos. Ainda que a maior parte de nossa
atividade física e mental seja feita de esquemas. (tradução de
YAMANAKA, O. Y., 2008, do texto original: A Comprehensive
Theory of Representation for Mathematics Education)
Para esse autor, esquema é o conceito mais importante da psicologia cognitiva,
quando se trata em teorizar sobre ação e atividade, pois a maior parte de nossas
atividades cognitivas é efetuada através de esquemas. Pensar é um gesto, sob o aspecto
de produzir seqüências de ações, ou operações sob certas circunstâncias, com objetivos,
ou sub-objetivos, de agrupar informações e processá-las.
Esquemas
freqüentemente
são
totalidades
enfrentam
dinâmicas
situações
sem
e
ter
funcionais.
nenhum
Contudo,
esquema
alunos
disponível.
Conseqüentemente, eles não têm outra maneira a não ser o de chamar esquemas na
vizinhança, na tentativa de decompor e recombiná-los, a fim de formar novos esquemas,
com ou sem a ajuda do professor ou de outros alunos.
Vergnaud, (1998), destaca quatro características principais em um esquema:
1.
Objetivos e antecipações;
2.
Regras de ação, procura de informação e controle;
3.
Invariantes Operacionais;
4.
Possibilidades de Inferências;
Vergnaud (1998, p173) é enfático ao criticar modelos behavioristas de
aprendizagem:
Hoje, não é tão difícil para psicólogos e pesquisadores em educação
matemática concordar que, em uma atividade matemática,
normalmente há uma meta usual a ser alcançada e alguns sistemas
gerais de ações e operações ocorrem. Mesmo encontrando alguns
poucos pesquisadores que ainda consideram que metas devem ser
perseguidas linearmente e que o processo de tentativa-e-erro deve ser
predominante no processo de generalização do comportamento.
Assim, a proposta de Vergnaud é que se identifique, valorize e estude as ações dos
estudantes no momento em que eles estão resolvendo problemas, pois é nesse momento
¿ÀÁÀÂÀÃÀÄ ÅÆ Ç ÁÀÈÉÂÀÄ ÊÆ ËÌ ÇÍÎÏÐÑ ÐÒ ÓÇÒÔÕÖ ÒÕ×Çbra”
que
conceitos
e
conhecimentos,
traduzidos
em
invariantes
implícitos,
aparecem,formando assim os elementos constitutivos dos esquemas desses estudantes.
Teoremas em Ação e Conceitos em Ação:
Em cada ação selecionamos uma pequena parte da informação disponível, todavia
precisamos de uma variedade mais ampla de categorias para essa seleção ocorrer.
Conceitos em Ação são relevantes ou não ou são parcialmente relevantes para
identificar e selecionar a informação, porém relevância ou irrelevância não significam:
verdadeiro ou falso, não há significado em dizer que os conceitos do triângulo, ou
número, ou simetria ou operação escalar, ou transformações são, elas mesmas,
verdadeiras ou falsas; e ainda estes conceitos são conceitos matemáticos relevantes para
caracterizar representação e ação em tarefas matemáticas.
Teoremas em Ação podem ser verdadeiros ou falsos, esta é uma forte propriedade,
assim como ela possibilita a concretizar a idéia de computabilidade e representação
computável. Uma teoria de representação deve conter a idéia que a representação
oferece possibilidades de inferências. A representação nos capacita para antecipar
eventos futuros, e gerar comportamentos para alcançar resultado positivo ou evitar
alguns negativos.
Teoremas em Ação são definidos como relações matemáticas que devem ser
levados em consideração pelos alunos quando eles escolhem uma operação ou uma
seqüência de operações para resolver um problema. Estas relações geralmente não são
expressas verbalmente pelos alunos. Assim, Teoremas em Ação não são teoremas de
senso convencional porque a maioria deles não são explícitos. Eles subjazem o
comportamento dos alunos, e o alcance da validade deles é geralmente menor do que o
âmbito dos teoremas. Eles até mesmo podem estar errados. Contudo, um Teorema em
Ação pode ser visto na aplicação de um conjunto de problemas. Para estudar o
comportamento matemático das crianças é necessário expressar os teoremas em ação
em termos matemáticos.
Portanto, teoremas em ação, são formas de analisar as estratégias intuitivas dos
alunos e conseqüentemente ajudá-los à transformar conhecimento intuitivo em
conhecimento explícito e também oferecer um caminho para diagnosticar o
ØÙÚÙÛÙÜÙÝ Þß à ÚÙáâÛÙÝ ãß äå àæçèéê éë ìàëíîï ëîðàbra”
conhecimento do aluno e assim oferecer situações que permitirão consolidar seu
conhecimento.
Finalizando este tópico, citando Vergnaud (1998, p. 181):
Nem Piaget nem Vygotsky, perceberam quanto o desenvolvimento
cognitivo depende das situações e das conceitualizações exigidas para
lidar com elas. A Teoria dos Estágios, não é por ela mesma útil para
os professores, porque ela não lhes oferece nenhuma orientação para o
ensino. Esta é a razão principal de ter desenvolvido a Teoria dos
Campos Conceituais com base nos legados de Piaget e Vygotsk.
Após a apresentação das principais propostas do grupo Early Algebra para o
ensino desta disciplina e na seqüência, as idéias centrais da Teoria dos Campos
Conceituais, apresentaremos, na próxima seção, as possíveis pontes e convergências
entre esta teoria e o grupo acima citado.
Paralelos entre a Early Algebra e a Teoria dos Campos Conceituais.
Quando o grupo Early Algebra ressaltou a importância da generalização e a
identificação, expressando e justificando as estruturas matemáticas, na Early Algebra,
podemos realizar um paralelo com os conceitos-em-ação, os quais são objetos e
categorias formalizadas e em vias de serem explicitamente apropriadas pelos estudantes.
Da mesma forma, quando o grupo Early Algebra aponta as propriedades
algébricas e suas conexões com o raciocínio e ações baseadas em formas e
generalizações, referem se, do ponto de vista da Teoria dos Campos Conceituais, aos
Teoremas-em-Ação, que são proposições consideradas verdadeiras sobre o real.
Outra característica algébrica que o grupo Early Algebra levanta sobre o ensino é
o desenvolvimento de uma relação visual de igualdade algébrica e o uso apropriado de
ferramentas representacionais, as quais apoiarão a exploração de relações funcionais.
Essas características podem ser entendidas, na Teoria dos Campos Conceituais como
regras para gerar ações de acordo com as diferentes variáveis da situação.
Por fim, os Invariantes Operacionais (compreender e selecionar informações
relevantes: conceitos em ação, bem como tratar esta informação: teorema em ação),
podem ser detectados na Early Algebra, através das seguintes características: Identificar
e simbolizar relações funcionais e desenvolvimento a partir da construção de
ù ùbra” sob a luz da teoria dos 14
ñòóòôòõòö ÷ø ù óòúûôòö üø ýþ ùÿY
argumentos empíricos e efetuar justificativas usando problemas contextualizados e um
aprendizado para raciocinar com generalizações e construir argumentos gerais.
Considerações Finais:
Mostramos, ao longo deste artigo, que os estudantes das séries iniciais podem
aprender conceitos matemáticos e representações, além da notação algébrica, pode
desempenhar um papel importante no apoio ao conhecimento matemático.
Uma característica importante apresentada por nós, foi a informação de que a
pesquisa, no nível da Álgebra Inicial, tem mostrado que a generalização é o centro do
raciocínio algébrico. E mais, que a introdução da álgebra nas séries iniciais está focada
na generalização algébrica. Neste caso, ela pode ser entendida como generalização dos
números e das quantidades.
Por fim, com este artigo procuramos mostrar a relevância de um dos tópicos
centrais da matemática, e a sua conseqüente aplicação no currículo das séries iniciais,
verificando a existência cada vez maior de pesquisas que integrem a álgebra na
educação inicial da Matemática. Esta por sua vez, pode ser mediatizada através das
teorias advindas da psicologia cognitiva, nomeadamente a Teoria dos Campos
Conceituais, proposta por Gerard Vergnaud.
Referências
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(Ed.) Learning and Teaching Mathematics. Londres: Psycology Press, 1997.
L67898: ;< 6< => ?@ABCD C? EF@D @DGH? F H?@DIBJKD Ce problemas e a modelagem
matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:
Eixo-temático 3: Etnomatemática e Modelagem
UM ESTUDO DE CASO SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E A
MODELAGEM MATEMÁTICA
Cláudia de Oliveira LOZADA -GT Modelagem Matemática (SBEM)
([email protected]
Resumo: Neste artigo tecemos considerações acerca da relação entre a resolução de problemas e
a Modelagem Matemática, asseverada com a publicação das Orientações Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio. Apresenta-se um estudo de caso com alunos da 3ª série do Ensino Médio
de uma escola pública da rede estadual paulista na disciplina Matemática. Constatamos que as
práticas em Modelagem sempre estão agregadas à instrumentalização da resolução de problemas
e à aquisição de conceitos matemáticos, privilegiando as correntes pragmática e científica de
Modelagem e desconsiderando a formação cidadã preconizada pelos documentos oficiais da
Educação Nacional. Propomos, então que os docentes revejam sua prática pedagógica, visando
contribuir para a formação de um aluno crítico e reflexivo.
Palavras-chave: Resolução de Problemas, Modelagem Matemática, Educação Matemática.
Introdução
A preocupação com a formação cidadã do educando deveria ser prioridade em nossas
escolas, constituindo-se objetivo de cada disciplina, tornando-se uma questão interdisciplinar,
inter-relacionando os conteúdos das disciplinas em torno de uma temática, trabalhando os
conteúdos de maneira indagadora e não linear, como se vê hodiernamente em nossas escolas.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (BRASIL, 1996), em seu art. 2º,
estabelece que a educação escolar deve vincular-se ao mundo do trabalho e à prática social, bem
como “tem por finalidade o pleno desenvolvimento do educando, seu preparo para o exercício da
cidadania e sua qualificação para o trabalho”. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,
1999, p. 27) seguindo esta diretriz, pontuam que:
(...) a Matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao
desenvolver metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a
comprovação de justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o
trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade
para enfrentar desafios.
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Este é o âmbito da Educação Matemática de cunho crítico sugerida por Skovsmose (2001)
e corroborada por Barbosa (2003, p. 6): “Mais do que informar matematicamente, é preciso
educar criticamente através da matemática”.
No entanto, como afirma Muzzi (2004), a Educação Matemática tradicional segue o
“paradigma do exercício”. O que se observa, é que não há um trabalho efetivo que enfoque uma
perspectiva sócio-crítica de Modelagem agregada à resolução de problemas, o que encontra
dissonância com os documentos oficiais, que apontam a formação de um aluno crítico.
A prática da resolução de problemas em Matemática no contexto escolar muitas vezes
restringe-se aos “problemas – tipo” cujo objetivo é a fixação de determinado conteúdo, bem
como instrumentalizar os mecanismos de resolução por meio da repetição desses problemas. Os
problemas são vistos como exercícios de aplicação de teoria, centrando-se no domínio de
operações e algoritmos, uma tendência fortemente disseminada nas décadas de 1960 e 1970.
Este processo descaracteriza o caráter de investigação e de exploração que a resolução de
problemas sugere, certamente limitando o desenvolvimento de heurísticas pelos próprios alunos.
Pozo (1998) assevera que a resolução de problemas contribui para o aprender a aprender,
levando o aluno a autonomia de pensamento, autonomia na tomada de decisões, desenvolvendo
competências e habilidades.
Embora, os livros didáticos tragam problemas contextualizados relacionados ao cotidiano
dos alunos, há a necessidade de os professores reverem sua prática pedagógica com o objetivo de
tornar a resolução de problemas uma atividade desafiadora que mobilize o processo cognitivo
dos alunos, levando-os a desenvolver sua capacidade crítica, voltando-se para problemas com
referência na realidade, possibilitando a formação social do conhecimento, aumentando a
percepção de que o aluno atua como sujeito da produção do conhecimento, uma vez que
desenvolvimento do indivíduo constitui-se como resultado de um processo sócio-histórico, como
preconiza Vygotsky (1987, 1991).
É o que nos coloca Freire (2004, p. 41): “Assumir-se como ser social e histórico, como ser
pensante, comunicante, transformador, criador...” Essas idéias já eram defendidas por Freinet
(1985), pedagogo francês, que enfatizava que as contradições da sociedade se refletiam também
na escola. Sendo assim, a educação mostra-se como processo dinâmico, determinada pelas
condições sociais, estando voltada para a preparação para a vida social, daí a importância de se
formar para a cidadania.
Dessa maneira, fomentando-se que os professores disseminem a perspectiva sócio-crítica
da Modelagem Matemática, propomos reflexões sobre a interface entre a Modelagem
2
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Matemática e a resolução de problemas, por meio de um estudo de caso com alunos da 3ª série
do Ensino Médio.
As concepções e perspectivas sobre Modelagem Matemática
Diferentemente de outros documentos oficiais, as Orientações Curriculares para o Ensino
Médio (BRASIL, 2006) citam expressamente a Modelagem Matemática, ou seja, a destacam no
bojo de seu texto, demonstrando a sua relevância nas pesquisas em Educação Matemática.
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 84) colocam a
Modelagem Matemática “como um caminho para se trabalhar a Matemática na escola” e
prosseguem afirmando que a Modelagem Matemática “pode ser entendida como a habilidade de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas
soluções na linguagem do mundo real.”
Para Bassanezi (2002, p.16) “a Modelagem Matemática consiste na arte de transformar
problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real”.
Almeida e Dias (2004, p.25) pontuam que a Modelagem pode “proporcionar aos alunos
oportunidades de identificar e estudar situações-problema de sua realidade, despertando maior
interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação aos conteúdos
matemáticos”.
Barbosa (2001, p. 3) corrobora esta idéia afirmando que a Modelagem “é um ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da
Matemática, situações com referência na realidade.” Este ambiente de aprendizagem, contém um
“cenário de investigação”como nos coloca Skovsmose (2000, p. 69).
Para Machado Jr. e Santo (2004, p. 1) Modelagem Matemática “é o processo de criar
modelos por hipóteses e aproximações simplificadoras, para obter múltiplas respostas com suas
respectivas justificativas.”
Santo1 (2007) repensando a Modelagem Matemática recentemente a definiu “como um
processo gerador de um ambiente de aprendizagem onde é possível trabalhar os conteúdos
matemáticos e não matemáticos de forma indissociável num processo dialógico onde o
conhecimento como um todo vai se construindo sem a necessidade de fragmentação de sua
aprendizagem.”
Bean (2000, p. 1) aduz que a Modelagem Matemática “consiste em um processo no qual as
características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e
}~ ~ e problemas e a modelagem
aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáticos (o modelo matemático).
As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado através deste processo é aberto à
crítica e à aperfeiçoamento.”
Araújo (2002, p. 39) por sua vez, entende que a Modelagem consiste (...) “na abordagem
por meio da Matemática, de um problema não matemático da realidade, escolhida pelos alunos
reunidos em grupo, de tal forma que as questões da Educação Matemática Crítica embasem o
desenvolvimento do trabalho.” Essa escolha de que trata Araújo, é defendida por Borba,
Meneghetti e Hermini (1999, p. 76) com o auxílio do professor como adiante se vê, ao
descreverem que a Modelagem: “(...) pode ser vista como um esforço de descrever
matematicamente um fenômeno que é escolhido pelos alunos com o auxílio do professor.” Essa é
uma tendência encontrada nos trabalhos desenvolvidos em Modelagem Matemática, nos quais o
professor figura como mediador (BASSANEZI, 1990, 1994; BIEMBENGUT, 1990, 1999),
baseada na Teoria da Atividade, na qual as atividades são mediadas.
No entanto, dependendo do objetivo que se pretende alcançar com as atividades de
Modelagem Matemática, esta pode apresentar-se segundo uma das três perspectivas, como
aponta Barbosa (2006, p. 1): “a pragmática, com ênfase no desenvolvimento de habilidades de
resolução de problemas, a científica, com ênfase na aprendizagem dos conceitos matemáticos e a
sócio-crítica, que sublinha a análise do papel dos modelos matemáticos na sociedade.”
As perspectivas pragmática e científica são usuais em nossas escolas, seja, no Ensino
Fundamental ou Médio, agregada à resolução de problemas e à aprendizagem de conceitos
matemáticos. As atividades de Modelagem Matemática constituem um “veículo” para o domínio
de ferramentas matemáticas, como se pôde constatar no estudo de caso que adiante será exposto.
Kaiser-Messmer (1991, p. 85) afirma que a perspectiva científica “considera a ciência
matemática e sua estrutura como um guia indispensável para ensinar matemática, a qual não
pode ser abandonada.”
O citado autor apresenta uma outra classificação para as perspectivas de Modelagem
Matemática, segundo exposta por Barbosa2 (2007): realística (comporta situações mais abertas,
mais complexas), epistemológica (situações mais estruturadas para gerar teoria matemática),
educacional (integração de problemas autênticos com o propósito de gerar teoria matemática),
sócio-crítica (natureza dos modelos matemáticos e seu papel na sociedade), contextual (situações
voltadas à construção da teoria matemática, porém sustentadas em estudos de Psicologia).
As perspectivas de Modelagem que enfatizam a aprendizagem de conteúdos matemáticos
não devem associar-se às práticas que visam à mecanização de procedimentos matemáticos,
4
¡¢£ ¢ ¤¥£ £¦§ ¥ §£¨¡©ª£ ¢e problemas e a modelagem 5
numa referência à herança do ensino tecnicista, mas propiciar uma aprendizagem significativa
dos conceitos matemáticos.
Recomendamos também que os professores, possibilitem a
introdução da perspectiva sócio-crítica propiciando aos alunos
compreender o papel da
Matemática na sociedade.
Assim, a Matemática cumprirá seu papel na formação social do conhecimento, como
preconizam muitos documentos oficiais da Educação Nacional. Por conseguinte, a Modelagem
Matemática sob a perspectiva sócio-crítica torna-se uma alternativa de ensino que poderá
conduzir à formação do cidadão, desenvolvendo a criticidade, o respeito aos saberes dos
educandos, a curiosidade, a criatividade, a autonomia... (FREIRE, 1994).
Muitos autores como Barbosa (2001), Malheiros (2004), Bassanezi (2002), Araújo (2002)
discutem a Modelagem como estratégia de ensino de Matemática, sendo que a mesma é apontada
também como ambiente de aprendizagem, apresentando em suma, os seguintes argumentos para
incluí-la no currículo segundo Barbosa (2003, p. 2): “Motivação, facilitação da aprendizagem,
preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais
de exploração e compreensão do papel sócio-cultural da Matemática.”
A perspectiva sócio-crítica como bem coloca Barbosa (2003), dá ênfase ao conhecimento
reflexivo (SKOVSMOSE, 1990 apud BARBOSA 2003, p. 3-4), uma vez que oportuniza aos
alunos a discussão das “implicações dos resultados matemáticos, decorrentes da resolução da
situação-problema, na sociedade.” Além do mais, possibilita o educar pela pesquisa (DEMO,
2003).
Há uma proximidade da perspectiva sócio-crítica com a teoria das representações sociais
de Moscovici (1961, 1976 apud SOUSA; MOREIRA, 2001, p. 70): “A inserção social do sujeito
incide sobre a formação de representações. O campo social orienta, a partir de uma realidade
material e objetiva, a construção do objeto.”
Isto é perceptível quando se adota a perspectiva sócio-crítica da Modelagem, ao
analisarem-se as rotas de modelagem e o gênero discursivo utilizado pelos alunos. As crenças ou
ideologias coletivas podem produzir soluções específicas para as questões, configurando o que
Moscovici (1981 apud SOUSA; MOREIRA, 2001, p. 71) denominou de universos consensuais:
Nos universos consensuais (...) cada indivíduo é livre para se comportar como
um amador ou um observador curioso, manifestando suas opiniões,
apresentando suas teorias e tendo uma resposta para todos os problemas. A
conversação cria gradualmente núcleos de estabilidade e maneirais habituais de
fazer coisas, um conjunto de significados entre aqueles que participam dela.
«¬®¯®° ±² ¬² ³´ µ¶·¸¹º ¹µ »¼¶º ¶º½¾µ ¼ ¾µ¶º¿¸ÀÁº ¹e problemas e a modelagem
Ademais, a perspectiva sócio-crítica pode desencadear a denominada Aprendizagem
Significativa Crítica defendida por Moreira (2005), na qual o aluno passa a ser perceptor
posicionando-se criticamente sobre o objeto de aprendizagem.
A relação entre a resolução de problemas e Modelagem Matemática
No final dos anos 70, desponta o interesse pela resolução de problemas, em virtude da
falha dos programas para o ensino de Matemática que haviam sido elaborados. Nos anos 80, o
National Council of Teachers of Mathematics, elabora um documento chamado “Agenda for
Action”, que prioriza e recomenda que a resolução de problemas seja o principal escopo do
ensino de matemático (HUETE; BRAVO, 2006).
Em diversas passagens dos PCN do Ensino Médio (BRASIL, 1999), a resolução de
problemas é citada como uma prática a ser desenvolvida em nossas escolas, inclusive, esta
postura é reforçada, na seção de competências e habilidades. Outro aspecto a ser considerado em
relação à resolução de problemas refere-se a alguns conceitos que o envolvem. Diversos teóricos
discutem acerca do conceito de problema e da resolução de problemas, sendo que várias
correntes apontam os requisitos para se considerar um problema e sua resolução
(KILPATRICK,1985; SCHOENFELD, 1985). Outros autores (RABELO, 2004) explicitam que
o conceito de problema é relativo ao sujeito a que se destina.
Schoenfeld (1985), destacado autor nesta área, aponta quatro categorias de habilidades
necessárias para se resolver problemas: recursos, heurísticas, controle e convicções. Polya (1995)
por sua vez, coloca quatro fases para a resolução de problemas: compreensão do problema,
concepção de um plano, execução do plano e visão retrospectiva. Acreditamos, contudo, que
independente da área de ensino, estas quatro fases deveriam ser ensinadas aos alunos visando
facilitar o processo de resolução de problemas. Por outro lado, Krulik e Reys (1997), enfocam a
resolução de problemas como meta, processo e habilidade básica.
Diante do exposto, percebe-se que a Modelagem Matemática está diretamente ligada à
resolução de problemas e em geral, envolve as seguintes etapas: (1ª) definição do problema, (2ª)
simplificação e formulação de hipóteses, (3ª) dedução do modelo matemático, (4ª) resolução do
problema matemático, (5ª) validação e (6ª) aplicação do modelo.
É o que observa Gustineli (1990, p. XIII – apresentação), em sua Dissertação de Mestrado,
esclarecendo que tem por objetivo "(...) encarar a Modelagem Matemática e a Resolução de
Problemas globalmente relacionados e ressaltar como a criatividade emerge ao se trabalhar com
6
ÂÃÄÅÆÅÇ ÈÉ ÃÉ ÊË ÌÍÎÏÐÑ ÐÌ ÒÓÍÑ ÍÑÔÕÌ Ó ÕÌÍÑÖÏ×ØÑ Ðe problemas e a modelagem 7
essas duas linhas de pesquisa, como metodologias do ensino da Matemática, tendo em vista o
processo de ensino e aprendizagem”.
Esta relação entre a resolução de problemas é enfatizada pelas Orientações Curriculares
(BRASIL, 2006, p. 84-85):
(...) A Modelagem Matemática percebida como estratégia de ensino, apresenta
fortes conexões com a idéia de resolução de problemas (...) Ante uma
situação problema ligada ao mundo real, com sua inerente complexidade, o
aluno precisa mobilizar um leque de competências: selecionar variáveis que
serão relevantes para o modelo a construir; problematizar, ou seja, formular o
problema teórico na linguagem do campo matemático envolvido; formular
hipóteses explicativas do fenômeno em causa; recorrer ao conhecimento
matemático acumulado para a resolução do problema formulado, o que, muitas
vezes, requer um trabalho de simplificação quando o modelo originalmente
pensado é matematicamente muito complexo; validar, isto é, confrontar as
conclusões teóricas com os dados empíricos existentes; e eventualmente ainda,
quando surge a necessidade, modificar o modelo para que esse melhor
corresponda à situação real, aqui se revelando o aspecto dinâmico da construção
co conhecimento. (grifo nosso)
Barbosa (2004a, p. 3), ao referir-se ao contato inicial do professor com a Modelagem
lembra que: ”Em geral, eles podem não ter tido oportunidades de desenvolver atividades de
Modelagem anteriormente ou de resolução de problemas com referência na realidade.” E
observa que “por problema com referência na realidade, estou entendendo aqueles, de natureza
aberta3, que nascem em outras áreas que não a Matemática ou no dia-a-dia”.
Em relação aos tipos de problemas, as Orientações curriculares para o Ensino Médio
(BRASIL, 2006, p. 83-84) alertam sobre a questão da contextualização que está presente em
muitos deles e sua influência direta no processo ensino - aprendizagem:
A contextualização pode ser feita por meio de resolução de problemas, mas aqui
é preciso estar atento aos problemas fechados, porque esses pouco incentivam o
desenvolvimento de habilidades. Nesse tipo de problemas, já de antemão o
aluno identifica o conteúdo a ser utilizado, sem que haja maiores provocações
quanto à construção de conhecimento e quanto à utilização de raciocínio
matemático.
Os alunos, dessa forma, como o documento referido coloca, operam com os números que
estão presentes no problema e não refletem sobre o resultado a que chegam, seja qual for. E o
escopo de formar um aluno reflexivo torna-se insipiente.
Cabe ressaltar, inclusive, que, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL,
2006, p. 81) referem-se à corrente sócio – construtivista na resolução de problemas, o que de
certo modo, relaciona-se com a perspectiva sócio-crítica da Modelagem Matemática,
esclarecendo que a mesma ainda é pouco explorada em nossos sistemas de ensino. Prosseguem,
ÙÚÛÜÝÜÞ ßà Úà áâ ãäåæçè çã éêäè äèëìã ê ìãäèíæîïè çe problemas e a modelagem
afirmando que o professor tem o papel de mediador, ou seja, “gerador de situações que
propiciem o confronto de concepções, cabendo ao aluno o papel de construtor de seu próprio
conhecimento matemático.” Aqui, o contrato didático assume um importante papel no processo
ensino-aprendizagem.
Análise de um estudo de caso com alunos da 3ª série do Ensino Médio
No mês de outubro de 2006, realizamos uma pesquisa qualitativa com 57 alunos da 3ª série
do Ensino Médio, do período noturno, de uma escola da rede pública estadual de SP. Os
procedimentos utilizados constituíram-se em aplicação de quatro problemas contextualizados
que deveriam ser resolvidos pelos alunos em grupos formados por 3 ou 4 componentes.
A opção por realizar a atividade em grupo visou oportunizar a discussão coletiva e a
reflexão acerca da resolução de problemas propiciando analisar como os alunos desenvolvem os
modelos matemáticos, além de desenvolver valores e atitudes, tais como a socialização e o
respeito pela opinião do próximo. Esta prática enfatiza o trabalho cooperativo defendido por
Freinet (1985).
Formaram-se, então 7 grupos com 3 alunos cada e 9 grupos com 4 alunos. Após a
resolução dos problemas, os grupos responderam um questionário, cujo objetivo era levantar
dados acerca do ensino de Matemática. Além do mais, a observação dos grupos, possibilitou uma
visão geral não só da integração de seus componentes, mas também das rotas de resolução dos
problemas.
Ressalte-se que 3 problemas baseavam-se em conteúdos já vistos pelos alunos em séries
anteriores (2 problemas sobre função polinomial do 1º grau e um sobre Teorema de Pitágoras) e
apenas um deles, que versava sobre análise combinatória não fôra estudado pelos alunos, uma
vez que havia uma pequena defasagem no desenvolvimento do conteúdo programático. No
entanto, não haveria, em princípio, maior dificuldade para resolução deste problema de análise
combinatória, uma vez que os alunos poderiam utilizar o princípio fundamental da contagem,
que costumeiramente, chamam de “método das tentativas” ou “procedimento longo” ou
“resolver do meu jeito”. A escolha por problemas sobre função polinomial do 1º grau foi a
possibilidade de se elaborar o modelo matemático utilizando-se a linguagem simbólica.
A atividade e o questionário
Os problemas propostos para os alunos foram selecionados de livros didáticos da 8ª série
do Ensino Fundamental e da 1ª série do Ensino Médio, os quais o professor costumava utilizar
8
ðñòóôóõ ö÷ ñ÷ øù úûüýþÿ þú L ûÿ ûÿú
úûÿýÿ þe problemas e a modelagem 9
para preparar suas aulas. A seleção dos problemas procurou priorizar situações contextualizadas,
mais próximas da realidade dos alunos. Os problemas selecionados foram os seguintes:
1)
Márcia ligou seu computador à Internet. Para fazer uso dessa rede, ela
paga uma mensalidade fixa de R$ 30,00, mais 15 centavos a cada minuto de
uso. Se ela gasta 20 minutos acessando a Internet, quanto pagará?
2)
Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno
plano horizontal, conforme a figura. Se o ponto A está a 15 m da base B da torre
e o ponto C está a 20 m de altura, qual será o comprimento do cabo AC?
3)
C
A
4)
Num hospital existem 3 portas de entrada que dão para um saguão onde
há 4 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 5º andar utilizando-se de um
dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?
5)
Uma corrida de táxi tem um custo fixo de R$ 2,40 e outro variável de R$
0,80 por km rodado. A) Qual é a fórmula matemática dessa função? B) Quanto
custará uma corrida de 8 km?
Pela análise dos protocolos de pesquisa, constatou-se que dos 16 grupos apenas 4
utilizaram a linguagem simbólica para resolver o problema 4, que propiciava a elaboração do
modelo matemática, como se pode ver:
1: f(x) = 2,40 + 0,8. x
2: y = 2,40 + 0,80.x
3: 2,40 + (x. 0,80)
4: 2,40 + 0,80 por km
As demais resoluções do problema 4 foram efetuadas em forma de operações de
multiplicação e adição: 0,80 x 8 = 6,40 => 6,40 + 2,40 = 8,80
Para o problema 1, todos os grupos não utilizaram a linguagem simbólica, resolvendo este
problema também em forma de operações: 0,15 x 2 = 3,00 => 30,00 + 3,00 = 33,00.
Para o problema 2, todos os grupos resolveram conseguiram resolver a questão, inclusive
escrevendo corretamente o modelo matemático do Teorema de Pitágoras: a² = b² + c².
No entanto, em relação ao problema 3, afirmaram encontrar dificuldades para resolvê-lo,
alegando que: “Não vimos essa matéria!”, “Tem uma fórmula para resolver?”. Apenas 3 grupos
e problemas e a modelagem
resolveram a questão, sendo que um deles desenhou as portas de entrada e os elevadores,
associando-os com setas e por fim chegando à resposta (12 maneiras). Os outros dois grupos
utilizaram o princípio fundamental da contagem: 3 x 4 = 12 maneiras. Os demais grupos
deixaram a questão em branco.
Em seguida, os grupos responderam ao questionário (vide Anexo).
As respostas dadas ao questionário foram às seguintes:
a)
Para a pergunta 1, dois grupos deixaram de respondê-la, alegando não ter encontrado
dificuldades em resolver os problemas; 2 grupos apontaram que os dados não estavam evidentes;
6 grupos apontaram que havia necessidade de uma leitura mais aprofundada; 2 grupos
assinalaram a alternativa c, relativa a elaboração do modelo matemático e da linguagem
simbólica e 4 grupos assinalaram a alternativa d, no entanto, não apontaram quais seriam essas
outras dificuldades.
b)
Para a pergunta 2, 8 grupos assinalaram a alternativa a, 5 grupos assinalaram a alternativa
b, 2 grupos assinalaram a alternativa c e apenas um grupo assinalou a alternativa d.
c)
Para a pergunta 3, 4 grupos afirmaram que apresentam dificuldades em relação à leitura e
interpretação do enunciado; 6 grupos apontaram que possuem dificuldades em operações
matemáticas e 6 grupos assinalaram que sua dificuldade está relacionada à elaboração do modelo
matemático.
d)
Para a pergunta 4, 2 grupos assinalaram que pouco resolveram problemas nas séries
anteriores; 10 grupos afirmaram que a resolução de problemas foi de intensidade média; 2
grupos afirmaram que resolveram muitos problemas e 2 grupos assinalaram que raramente
resolviam problemas.
e)
Para a pergunta 5, todos os grupos foram unânimes em afirmar que a resolução de
problemas é importante. E apontaram os motivos dessa importância foram apontados na pergunta
6: 11 grupos assinalaram que a resolução de problemas permite o desenvolvimento do raciocínio
lógico e abstrato; 5 grupos assinalaram que a resolução de problemas permite o contato com
situações cotidianas; 2 grupos assinalaram que a resolução de problemas contribui para o
desenvolvimento da cidadania; 3 grupos assinalaram que a resolução de problemas permite o
desenvolvimento do senso crítico e 2 grupos assinalaram a alternativa e, mas não a
especificaram.
10
!"!# $% % &' ()*+,- ,( ./)- )-01( / 1()-2+34- ,e problemas e a modelagem 11
f)
Para a pergunta 7, 12 grupos afirmaram que durante a resolução de problemas costumam
imaginar a situação que está relacionada ao problema e apenas 4 grupos assinalaram que não
imaginam a situação - problema.
g)
Para a pergunta 8, 15 grupos afirmaram que os problemas contextualizados contribuem
para a assimilação de conteúdos de Matemática e apenas 1 grupo assinalou que não há
contribuição para a assimilação de conteúdos de Matemática.
h)
Para a pergunta 9, 15 grupos assinalaram que os trabalhos em grupo contribuem para uma
melhor assimilação dos conteúdos de Matemática e somente um grupo afirmou que não.
Análise dos resultados
Pela análise dos protocolos de pesquisa pudemos concluir que os alunos não possuem o
domínio da linguagem simbólica, constituinte do formalismo matemático e, portanto, este fato
pode ser um obstáculo à elaboração dos modelos matemáticos, como se pudemos verificar pelos
problemas 1 e 4. Percebemos também que a “cultura das fórmulas” e o “paradoxo do exercício”
ainda é prática dominante em nossas escolas, como visto pela memorização e mecanização do
procedimento de resolução do problema 2, que envolvia o Teorema de Pitágoras.
Outro aspecto evidente refere-se ao hábito do aluno relacionar a resolução de problemas
com conteúdos dados, o que enfatiza a cultura dos “problemas-tipo”, como constatado pelo
problema 3. Em relação à análise do questionário, as dificuldades ou facilidades apontadas para a
resolução de problemas estão ligadas a evidência de dados no enunciado, à leitura e interpretação
de enunciados, à elaboração do modelo matemático (como constatamos relaciona-se ao domínio
da linguagem simbólica) e à operações matemáticas presentes na resolução do modelo
matemático.
Inferimos que embora a intensidade de resolução de problemas tenha sido média, como
apontada pela maioria dos grupos, a mesma não se constituiu em atividade desafiadora e
investigativa, mas apenas como atividade de fixação de conteúdos e mecanismos matemáticos.
Ao responderem sobre a importância da resolução de problemas, a maioria dos grupos assinalou
que esta é relevante para o desenvolvimento do raciocínio lógico, aspecto ligado
preponderantemente ao desenvolvimento bio-psicológico, sendo que poucos grupos assinalaram
o desenvolvimento da cidadania e do senso crítico, o que demonstra que não há a percepção por
parte dos alunos do papel da Matemática na sociedade e que a mesma possibilita desenvolver a
criticidade, não estando restrita apenas a conteúdos de História.
567898: ;< 6< => ?@ABCD C? EF@D @DGH? F H?@DIBJKD Ce problemas e a modelagem
Embora, em sua maioria, apontassem que costumam imaginar a situação-problema, é
necessário um trabalho efetivo com modelagem mental para que saibam como a imaginação
destas situações seguida de discussões podem ser extremamente positivas na resolução de
problemas. Os grupos apontaram a relevância dos problemas contextualizados, o que demonstra
que o cotidiano é um fator a ser considerado no processo ensino – aprendizagem de Matemática,
bem como apontaram em sua maioria que o trabalho realizado em grupo contribui para a
aprendizagem. Neste ponto, salientamos que é necessário estimular que os componentes do
grupo participem ativamente, discutam, desenvolvam a argumentação e o confronto de idéias.
Haja vista que o objetivo fosse desenvolver a Modelagem Matemática por meio da
elaboração dos modelos matemáticos relacionados aos problemas, esta não mostrou-se tão
efetiva em virtude do perfil dos alunos, habituados a uma outra concepção de resolução de
problemas, ligada ao mecanicismo.
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) demonstram
claramente que há uma relação entre Modelagem Matemática e resolução de problemas, além de
destacarem a importância da Modelagem Matemática como estratégia de ensino, o que não se vê
em outros documentos oficiais anteriormente publicados. Além do mais a Modelagem
Matemática “melhora a qualidade da ação docente e discente” como pontuam Machado Jr e
Santo (2004).
No entanto, há a preponderância das perspectivas pragmática e científica, ligadas à
mecanização de procedimentos matemáticos desfigurados de uma aprendizagem significativa
como se pode ver neste estudo de caso, em detrimento um trabalho conjunto com a abordagem
sócio-crítica, que possibilitaria a formação cidadã e a percepção do papel da Matemática na
sociedade, desenvolvendo valores e atitudes. Oliveira e Barbosa (2006, p. 1) asseveram que a
“Modelagem Matemática busca salientar a importância da integração de situações reais na sala
de aula para instrumentalizar os alunos a intervirem em sua realidade.”
Além do mais, observar as rotas de resolução de problemas que conduzem à elaboração do
modelo matemático permite constatar não só conhecimentos anteriormente assimilados pelos
alunos, mas também a influência sócio-cultural que trazem para a escola, evidenciada em suas
argumentações, em suas discussões acerca da solução viável para o problema.
12
MNOPQPR ST NT UV WXYZ[\ [W ]^X\ X\_`W ^ `WX\aZbc\ [e problemas e a modelagem 13
Barbosa (2006) aponta inclusive as modalidades de discussão que ocorrem num espaço de
interação no qual está ocorrendo a Modelagem Matemática, a saber: discussões técnicas,
discussões matemáticas, discussões reflexivas e discussões paralelas.
Também é preciso deixar claro aos alunos que os modelos matemáticos não são neutros,
eles dependem dos pressupostos que se assume. Já se a situação for estruturada, ela não gerará
pressupostos.
De outra ponta, o desenvolvimento desta atividade com os alunos do 3ª série do Ensino
Médio, permitiu ao professor investigar sobre sua própria prática (PONTE, 2002; SERRAZINA;
OLIVEIRA, 2002), levando-o refletir com vistas a buscar outras alternativas para a construção
do conhecimento matemático, desapegando-se da “cultura dos problemas – tipos” e do
“paradoxo do exercício”.
Possibilitou também ao professor compreender o que de fato é a Modelagem Matemática,
uma atividade dinâmica que não se reduz a mera aplicação de problemas contextualizados. Sobre
contextualização, Barbosa (2004b) expõe que o termo é usado indevidamente, que o ensino de
Matemática já está contextualizado e cabe apenas escolher o contexto (SKOVSMOSE apud
BARBOSA, 2004b).
Notas
1
Definição transcrita de uma transparência apresentada pelo Prof Dr Adilson O. do Espírito Santo durante a palestra
“A Modelagem Matemática em sala de aula”. IX ENEM, Belo Horizonte, 2007.
2
Definições colhidas durante a explanação do Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa ao longo da palestra “A
Modelagem Matemática em sala de aula”. IX ENEM, Belo Horizonte, 2007.
3
Esses problemas de natureza aberta que não estão restritos à Matemática, dão margem à interdisciplinaridade
(FAZENDA, 2001), outro aspecto importante a ser trabalhado pelos professores.
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16
ÔÕÖ×Ø×Ù ÚÛ ÕÛ ÜÝ Þßàáâã âÞ äåßã ßãæçÞ å çÞßãèáéêã âe problemas e a modelagem 17
Anexos
1) Nos problemas que tiveram dificuldade em resolver apontam que:
a)
os dados não estavam evidentes;
b) havia necessidade de uma leitura mais aprofundada;
c)
havia necessidade de se elaborar um modelo matemático para resolver o problema e há dificuldade
com a linguagem simbólica;
d) outros.
2) Nos problemas que tiveram facilidade em resolver, apontam que:
a)
os dados do problema estavam evidentes e não houve necessidade de uma leitura mais aprofundada
do enunciado;
b) os problemas estão relacionados ao seu cotidiano;
c)
não havia necessidade de se elaborar um modelo matemático;
d) outros.
3) Em relação à resolução de problemas o grupo apresenta dificuldade em relação:
a)
b)
c)
d)
leitura e interpretação do enunciado;
operações matemáticas;
elaboração do modelo matemático;
outras.
4) Durante as aulas de Matemática nas séries anteriores, a quantidade de problemas para se
resolver foi:
a)
b)
Pouca
b)
média
c)
muita
d)
raramente
5) O grupo acha a resolução de problemas importante? a) sim
e)
nunca
b ) não
6) Se sim, aponte os motivos:
a)
desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato;
b)
permitem o contato com situações cotidianas;
c)
contribuem para o desenvolvimento da cidadania, colaborando para o crescimento ao lidar com
determinadas situações nas quais se tenha que apontar uma solução;
d)
desenvolver o senso crítico;
e)
outras.
7) Durante a resolução de um problema, o grupo costuma imaginar a situação que está
relacionada ao problema, para tentar solucioná-lo?
a) sim
b) não
8) Os problemas contextualizados relacionados ao cotidiano podem contribuir para assimilação de
conteúdos de Matemática?
a) sim b) não
9) Os trabalhos realizados em grupo podem contribuir para melhorar sua compreensão de
conteúdos em Matemática? a) sim b) não
ëìíîïìð M. A. V. M. P. e CARVALHO, D. L. Um grupo do tipo colaborativo:
buscando alternativas para transformação da prática pedagógica dos professores. Anais
do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEMSP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Eixo-temático 2: Currículo
UM GRUPO DO TIPO COLABORATIVO: BUSCANDO ALTERNATIVAS
PARA TRANFORMAÇÃO DA PRÁTICA PEDAGÓGICA DOS PROFESSORES
Maria Aparecida Vilela Mendonça Pinto COELHO-UNICAMP
([email protected]ñ
Dione Lucchesi de CARVALHO – UNICAMP ([email protected]ñ
Resumo: Este trabalho se refere a uma pesquisa de doutorado em andamento, inserida
na vertente de Desenvolvimento Profissional de Professores e que tem como foco a
Educação Estatística. Nosso objetivo é compreender a produção do conhecimento-daprática em um grupo de professores interessados em problematizar suas práticas
pedagógicas, visando implementar mudanças avaliadas por eles como necessárias em
sala de aula. Essas mudanças se referem principalmente à atitude dos alunos frente ao
conhecimento matemático, à autonomia e à argumentação. A possibilidade de tal
produção baseia-se no pressuposto de que o conhecimento que os professores precisam
para ensinar bem é gerado quando eles consideram suas próprias salas de aula como
locais de uma investigação intencional. Para orientar a nossa análise usamos as
abordagens que privilegiam a dimensão histórico-cultural, podendo citar aquelas
baseadas em Vygotsky (2002) e Bakhtin (2004), que consideram o conhecimento e o
pensamento humano como fundamentalmente culturais, derivados de atividades sociais,
da linguagem, do discurso e de outras formas culturais. Contamos também com os
aportes teóricos de Fiorentini (2004), Cochran-Smith e Lytle (1999) e Hargreaves
(2004), entre outros. Trata-se de uma pesquisa de natureza qualitativa, que busca uma
abordagem histórico-dialética, em uma vertente interpretativa. A nossa experiência
mostrou que um grupo do tipo colaborativo, formado por professores, com o objetivo de
problematizar suas práticas, pode ser um instrumento de grande valor para a produção
de conhecimento, para apoio às necessidades individuais dos professores, e,
principalmente, para servir de apoio a uma cultura colaborativa nas escolas.
Palavras-chave: Educação Estatística, Desenvolvimento Profissional de Professores,
Educação Matemática.
Introdução
As idéias iniciais deste projeto surgiram a partir das conclusões da Dissertação de
Mestrado: A Resolução de Problemas: da dimensão técnica a uma dimensão
problematizadora (COELHO, 2005). Os objetivos desse trabalho foram compreender as
significações sobre a Resolução de Problemas como prática pedagógica, produzidas
òóôõöó÷ øù úù ûù øù üù ý òúþûúõöó÷ ÿù õù
C o tipo colaborativo:
do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:
pelos professores nas reuniões da área de Matemática e estudar as condições de
produção dessas significações quando elas extrapolavam o próprio problema, dando
origem a significações em dimensões mais amplas. O estudo nos levou a concluir que a
Resolução de Problemas como prática pedagógica ainda era considerada pelos
professores como uma prática inovadora, difícil de ser aplicada nas salas de aula da
Escola Básica, devido às condições adversas do contexto escolar.
Em relação aos problemas estatísticos pudemos concluir que, apesar das
recomendações dos parâmetros curriculares nacionais (BRASIL, 1998, 1999), poucos
professores tratavam o tema de maneira problematizadora. A Estatística, de maneira
geral, quando é trabalhada em sala de aula, o é em uma abordagem técnica, ou seja,
através da aplicação de fórmulas matemáticas e com um enfoque determinista, o que
elimina a incerteza e desconsidera o erro embutido no modelo. Nesses casos o aluno se
encontra diante de exercícios abstratos, tratados analogamente aos matemáticos. Nossa
hipótese é que a priorização do processo de análise poderá contribuir para que os alunos
tenham condições para tratar e interpretar a informação bruta oferecida pelos resultados
estatísticos. Estes não são “dados” propriamente ditos, mas produtos complexos que têm
por trás suas leis de produção.
A Formação Continuada dos professores
Nossa dissertação de Mestrado (COELHO, 2005) contou com a colaboração de
grupos de professores da rede pública que se reuniam mensalmente, coordenados
também por um professor de Matemática. O clima de abertura proporcionado pelos
coordenadores instigou a produção de significados sobre a Matemática, seu ensino, as
funções da escola na sociedade e as condições de trabalho. Os professores colocaram as
dificuldades e dilemas enfrentados no exercício da sua profissão e declararam que essas
dificuldades se tornavam maiores em função da escassez de tempo e de condições para
participarem da vida da comunidade, o que os impedia de também participar de decisões
de sua classe profissional. Ao se omitirem, eles deixavam de exercer seus direitos
democráticos, o que lhes dificultava auxiliar seus alunos a conseguirem o acesso a tais
direitos. Alguns autores, entre eles Cochran-Smith e Lytle (1999), Hargreaves (2004) e
Kincheloe (1997) defendem que reformas educacionais não funcionarão, a não ser que
2
o tipo colaborativo:
os professores sejam fortalecidos em poder e produzam conhecimentos a partir de suas
práticas.
De acordo com Cochran-Smith e Lytle (1999) no ensino, o termo prática tem sido
normalmente usado tanto para se referir ao fazer, desempenhar o trabalho da profissão,
como para se justapor a teoria e pesquisa. Destacam três concepções de aprendizado de
professores: o “conhecimento-para-a-prática” o “conhecimento-em-prática” e o
“conhecimento-da-prática”.
A concepção de conhecimento-para-a-prática tem como pressuposto que os
pesquisadores no nível universitário geram o conhecimento formal e as teorias para que
os professores os usem para melhorar suas práticas de sala de aula. Assumir o
conhecimento-em-prática implica pressupor que os professores iniciantes aprendem
com os professores mais experientes, uma vez que é valorizado o chamado
“conhecimento prático”. A terceira concepção, o conhecimento-da-prática, procura
romper com a dualidade entre o conhecimento formal e o conhecimento prático,
considerando as salas de aula dos professores como locais para uma investigação
intencional, usando a sua própria prática e a teoria produzida por outros como material
para questionamento e interpretação.
Nesse sentido, os professores aprendem quando geram conhecimento
local “de” prática trabalhando dentro do contexto de comunidades de
investigação, teorizando e construindo seu trabalho de forma a
conectá-lo às questões sociais, culturais e políticas mais gerais.
(COCHRAN-SMITH; LYTLE, 1999, p. 2)
Nessa perspectiva, a geração de conhecimento e seu uso são problematizados e
sempre abertos à discussão, inseparáveis do sujeito que conhece. O princípio básico
desta concepção está em o professor considerar suas salas de aula como locais de
investigação, conectando seu trabalho a questões políticas, intelectuais e sociais mais
amplas e assumindo um ponto de vista crítico com relação à teoria e à pesquisa de
outros. A concepção de conhecimento-da-prática parte do pressuposto que o
conhecimento que os professores devem ter para ensinar bem emana de uma
investigação sistemática do ensino, construído coletivamente dentro de comunidades
locais e conectados a agendas políticas e sociais mais amplas.
3
!" #$ %$ &$ #$ '$ ( %)&% !" *$ $ +, -./01 2o tipo colaborativo:
A idéia central neste trabalho é de que o conhecimento da prática ao
longo de toda a vida profissional é gerado pela transformação da sala
de aula e das escolas em locais de pesquisa, através do trabalho
colaborativo em comunidades de investigação, para compreender a
co-construção do currículo, o desenvolvimento do conhecimento
local, e a tomada de uma perspectiva crítica com relação a teorias e
pesquisas de outros. (Ibidem, p. 30)
A proposta do conhecimento-da-prática abre espaço para uma relação diferente
dos professores em relação ao conhecimento, baseada fundamentalmente em uma
postura crítica em relação ao currículo e aos objetivos do processo escolar. Essa relação
com o conhecimento depende de vários fatores e experiências e o que ocorre dentro da
sala de aula é profundamente alterado e transformado quando o enfoque da prática do
professor está baseado em um contexto investigativo, no âmbito intelectual, social e
cultural do ensino.
Isso significa que os professores aprendem ao desafiar suas próprias
suposições; identificando questões importantes da prática; propondo
problemas; estudando seus próprios estudantes, salas de aula e
escolas; construindo e reconstruindo currículo; e assumindo papéis de
liderança e ativismo na busca da transformação das salas de aula, das
escolas e das sociedades. (Ibidem, p. 34)
Nesse sentido, os professores vêem o ensino como aprendizado e o aprendizado
como ensino. Hargreaves (2004) destaca que em muitos casos fica difícil mudar as
culturas escolares sem ampliar as oportunidades de colaboração entre os professores.
Kincheloe (1997) defende a postura investigativa do professor quando destaca que
pesquisar é um ato cognitivo, porque nos ensina a pensar em um nível mais elevado.
Aponta que a pesquisa dirigida apenas por acadêmicos reforça o status autoritário que
diminui o poder dos professores e destaca: A reforma educacional de qualquer estirpe
não funcionará a menos que os professores sejam fortalecidos em seu poder (p. 182).
Hargreaves (2004) instiga os professores a lutarem para ocupar novamente um
lugar entre os intelectuais mais respeitados da sociedade – abandonando o refúgio da
sala de aula para se tornarem cidadãos do mundo e para prepararem os seus alunos para
esse fim. Defende a necessidade de reinventar a educação pública na sociedade do
conhecimento:
4
3456748 9: ;: <: 9: =: > 3;?<;6748 @: 6: AB DEFGH Io tipo colaborativo:
Ensinar para a sociedade do conhecimento dos nossos dias é
tecnicamente mais complexo e mais vasto do que alguma vez o foi no
passado: implica que os docentes assentem a sua prática numa base de
pesquisa e de experiência sobre o ensino eficaz, base essa que está
sempre a mudar e a expandir-se. Os professores de hoje precisam,
portanto, de se empenhar e de se envolver continuamente na
atualização profissional. Isto implica: a participação em redes face a
face e virtuais de aprendizagem profissional. (p. 46)
Hargreaves se refere também ao poder da colaboração entre os professores,
destacando que o local de trabalho é uma arena onde deve ocorrer a luta pelo
aperfeiçoamento. Cochran-Smith e Lytle (1999) apontam o trabalho colaborativo em
comunidades de investigação como fundamentais para que seja gerado o “conhecimento
da prática” através de um processo reflexivo que possa permitir a produção de
significados em um longo período de tempo através de comentários, tensões, diferenças
e oposições. Nesse sentido, a sala de aula e a escola são transformadas em locais de
pesquisa, com base no contexto intelectual, social e cultural do ensino. A concepção
subjacente é bem diferente daquela que propõe que os professores em início de carreira
aprendam com os professores experientes. Aqui novas relações colaborativas se
estabelecem para substituir a relação perito-novato e na base se encontra o compromisso
em relação ao aprendizado dos estudantes e de suas chances de vida, A comunidade de
investigação é entendida como sendo o contexto central do desenvolvimento
profissional do professor.
O trabalho colaborativo
A análise das relações dialógicas dos professores nas reuniões pedagógicas que
constaram do trabalho de campo de nossa dissertação de Mestrado nos levaram a
concluir que mudanças significativas nas práticas pedagógicas são difíceis de ocorrer e
que a formação continuada dos professores deve ser um processo constante e contínuo,
inseparável do processo de ensinar. Em uma sociedade em constantes e rápidas
mudanças, as relações em sala de aula passaram a se constituir em um problema
complexo, com variáveis múltiplas. Acreditamos que uma tentativa para enfrentarmos
os desafios que nos são apresentados devem ter como ponto de partida a união dos
esforços de muitas pessoas em trabalhos colaborativos.
5
JKLMNKO PQ RQ SQ PQ TQ U JRVSRMNKO WQ MQ XY Z[\]^ _o tipo colaborativo:
O trabalho colaborativo ou cooperativo, entendido como uma alternativa ao
trabalho individual vem de encontro às necessidades de encontrar possíveis soluções
para problemas complexos, com muitas variáveis envolvidas, e que exigem soluções
criativas em situações imprevisíveis. Fiorentini (2004) tem trabalhado de forma
colaborativa com pesquisadores e professores que investigam suas práticas e que,
embora de lugares e perspectivas diferentes, suas vozes são enunciadas do lugar que
cada um ocupa. Destaca que na colaboração, todos trabalham conjuntamente (colaboram) e se apóiam mutuamente, visando atingir objetivos comuns negociados pelo
coletivo do grupo (p. 50). Um trabalho ou grupo colaborativo pode ser objeto de vários
estudos e de natureza diversa e uma de suas características básicas é que ele seja
constituído por pessoas voluntárias, que valorizam o trabalho conjunto e escolhem o
grupo como uma forma de crescimento, facilitada pelas significações produzidas nas
interações sociais. Nesse sentido, o autor estabelece diferenças entre o trabalho
colaborativo e o trabalho cooperativo, destacando que embora ambos tenham o mesmo
prefixo co que significa ação conjunta, elas se diferenciam pelo fato de que a palavra
colaborar é derivada do verbo latino operare, que significa operar, executar, fazer
funcionar de acordo com o sistema, e cooperar é derivada do verbo latino laborare que
significa trabalhar, produzir, desenvolver atividades tendo em vista determinado fim.
Enquanto que na cooperação uns ajudam os outros (co-operam), podendo haver
entre os membros do grupo relações desiguais ou hierárquicas, na colaboração todos
trabalham conjuntamente (co-laboram) e se apóiam mutuamente, visando atingir
objetivos comuns negociados pelo coletivo do grupo. É um grupo formado por pessoas
dispostas a compartilhar espontaneamente algo de interesse comum e, neste caso, as
relações tendem a ser não-hierárquicas, havendo liderança compartilhada e coresponsabilidade, podendo os participantes ter diferentes interesses e pontos de vista.
Quando isto acontece, as distintas contribuições e os diferentes níveis de participação
oferecem condições satisfatórias para a geração de conhecimento e crescimento pessoal
dos participantes.
A complexidade do trabalho docente tem levado os professores a buscar apoio e
parceiros que possam oferecer ajuda no processo de superação do sentimento de
incompletude que os aflige ao tentarem compreender as contradições do mundo da
prática, em uma época na qual se percebe a necessidade de uma análise mais profunda
6
àbcdae fg hg ig fg jg k `hlihcdae mg cg no pqrst uo tipo colaborativo:
sobre as funções da escola e do conhecimento na sociedade. Este apoio, que pode ser
intelectual, técnico ou afetivo, pode oferecer melhores condições de trabalho para todos
e é especialmente importante quando o objetivo é desenvolver alguma prática
inovadora.
A dimensão histórico-cultural do conhecimento
Dentre as abordagens que privilegiam a dimensão histórico-cultural podemos citar
aquelas baseadas em Vygotsky (2002) e Bakhtin (2004) que consideram o
conhecimento e o pensamento humano como fundamentalmente culturais, derivados de
atividades sociais, da linguagem, do discurso e de outras formas culturais. Estudar
alguma coisa historicamente não significa estudar algum evento do passado, mas
estudá-la no processo de mudança. Este é o requisito básico do método dialético:
Numa pesquisa, abranger o processo de desenvolvimento de uma
determinada coisa, em todas as fases e mudanças – do nascimento à
morte – significa, fundamentalmente, descobrir a natureza, sua
essência, uma vez que “é somente em movimento que um corpo
mostra o que é”. Assim, o estudo histórico do comportamento não é
um aspecto auxiliar do estudo teórico, mas sua verdadeira base.
(VYGOTSKY, 2002, p. 86).
O desenvolvimento humano é intrinsecamente social e educacional no sentido
amplo. É um produto, não um pré-requisito da educação. É uma aquisição da cultura,
que torna possível o pensamento criativo e a atividade.
As diferentes vozes de um grupo apresentam condições especiais para a geração
de conhecimento novo pelo fato de contarem com pessoas dotadas de pontos de vista
diferentes, que podem ser complementares ou apresentarem questões que levem a
reflexões importantes. Bakhtin (2004) valoriza a fala, a enunciação, e destaca sua
natureza social; dessa forma, a palavra está sempre carregada de um conteúdo
ideológico.
Para nos tornarmos conscientes de uma operação, ela deve ser recriada
na imaginação, de uma forma que possa ser expressa, transferida do
plano da ação para o plano da linguagem, que pode ser falada, escrita,
simbólica, etc. Todas as esferas da atividade humana estão
relacionadas com a linguagem, efetuada em forma de enunciados orais
e escritos. As palavras constituem a imaginação e vão configurando os
conceitos. A forma lingüística é um signo mutável no qual: “a
entonação expressiva, a modalidade apreciativa sem a qual não
7
vwxyzw{ |} ~} } |} } v~~yzw{ } y} o tipo colaborativo:
haveria enunciação, o conteúdo ideológico, o relacionamento com
uma situação social determinada, afetam a significação. (BAKHTIN,
2004, p. 15).
Assim, ele define relação dialógica como dois tipos de produções verbais, dois
enunciados confrontados um com o outro, que entabulam uma relação de sentido: dessa
forma, só a dialética pode resolver a contradição aparente entre o signo que é, por
natureza, vivo e móvel e a unicidade da significação. A palavra, signo ideológico, é
capaz de registrar as fases transitórias das mudanças sociais e por esse motivo pode ser
considerada como um material privilegiado na comunicação.
Os enunciados não são indiferentes uns aos outros, mas refletem-se mutuamente,
guardam lembranças de outros enunciados individuais e dos outros. Sendo assim, eles
são uma resposta ao que já foi dito sobre o mesmo objeto; essas respostas poderão ser
reveladas na expressividade. Nosso pensamento nasce e forma-se em interação com o
pensamento dos outros. A formação de sentido se realiza nessa relação:
O fato de ser ouvido, por si só, estabelece uma relação dialógica. A
palavra quer ser ouvida, compreendida, respondida e quer, por sua
vez, responder à resposta, e assim ad infinitum. Ela entra num diálogo
em que o ‘sentido’ não tem fim (entretanto ele pode ser fisicamente
interrompido por qualquer um dos participantes). (Ibidem, p. 357)
Nos grupos constituídos de professores escolares e acadêmicos, os acadêmicos
aprendem com os professores escolares os saberes experienciais que eles produzem no
contexto adverso e complexo da prática escolar e podem re-significar seus saberes
profissionais e aumentar seus recursos para desempenhar melhor a função de
formadores de professores. Por outro lado, os professores escolares têm oportunidades
de refletir sobre sua prática tendo por base a teoria disponível sobre o tema em questão e
podem contar com interlocutores interessados em descobrir junto com eles soluções
para os problemas discutidos.
A perspectiva colaborativa, embora complicada na sua implementação, por
esbarrar em uma tradição de trabalho individual, competitivo e sujeito a uma liderança,
que vem sendo realizado nas escolas, necessita de mais estudos e pesquisas, segundo os
autores que vêm estudando a questão.
8
¡o tipo colaborativo:
No próximo item apresentaremos os aspectos metodológicos da investigação que
tem seu foco em Estatística e conta com a colaboração de professores em grupos
cooperativos e colaborativos.
Aspectos metodológicos da investigação
Esta pesquisa é de natureza qualitativa, buscando uma abordagem histórico-
dialética, em uma vertente interpretativa. De acordo com Fiorentini e Lorenzato (2006)
esta abordagem questiona fundamentalmente a visão estática da realidade, procurando
apreender o caráter dinâmico, contraditório e histórico dos fenômenos educativos.
Alguns professores da rede pública municipal se mostraram receptivos para
formarem um grupo informal para realizarmos um trabalho com o objetivo de
problematizar as práticas pedagógicas. Este grupo, que se reúne há pouco mais de um
ano quinzenalmente, conta com quatro professoras e a pesquisadora, sendo que uma
delas está inserida em programa de Mestrado. Em princípio, todos os componentes
estão empenhados em buscar soluções para os problemas complexos da sala de aula e da
educação em nosso país e têm suas questões, que buscam compreender com a ajuda do
grupo. Podemos encontrar algumas aproximações deste grupo com os grupos
colaborativos, caracterizados por Fiorentini (2004).
O trabalho desenvolvido é baseado na concepção de conhecimento-da-prática dos
professores, tendo a investigação como princípio (COCHRAN-SMITH; LYTLE, 1999).
Os professores trabalharam com seus alunos em aulas de Matemática nas quais foram
abordados temas da Estatística. As aulas foram planejadas conjuntamente, filmadas e
assistidas pelo grupo, gerando debates nos quais foram problematizadas as práticas de
sala de aula.
Os resultados esperados são que possamos, com essa parceria, realizar uma
investigação que nos permita contribuir com o ensino da Estatística na Escola Básica,
com mudanças que se fazem necessárias nas práticas pedagógicas e com subsídios para
a formação continuada de professores através da compreensão de como os professores
produzem conhecimento a partir da investigação sistemática e da problematização de
suas práticas pedagógicas.
9
¢£¤¥¦£§ ¨© ª© «© ¨© ¬© ¢ª®«ª¥¦£§ ¯© ¥© °± ²³´µ¶ ·o tipo colaborativo:
Ensaiando as primeiras análises
Neste primeiro ano de funcionamento, o grupo de professores, que foi
denominado GCOEM (Grupo Colaborativo em Educação Matemática), se reuniu
quinzenalmente, durante duas horas. No início nos preocupamos mais com a
constituição do grupo e em estudar o seu funcionamento, com base no GDS (Grupo de
Sábado da Unicamp) e em Fiorentini (2004) através do seu artigo Pesquisar práticas
colaborativas ou pesquisar colaborativamente? Nessas primeiras análises colocaremos
em evidência a constituição do grupo, e não as aulas de Estatística. Estas serão
focalizadas em momentos posteriores.
Algumas questões em relação ao grupo me instigaram desde o início: Se o
professor não tivesse interesse acadêmico, se fosse simplesmente pela prática
pedagógica, será que ele teria também interesse em participar do grupo? E porque o
professor não pode ser também pesquisador? Será que isso abriria as portas para o seu
interesse em participar de práticas colaborativas? Ele seria também mais valorizado
profissionalmente? De que forma? A professora Tânia (os nomes dos professores são
fictícios) produziu um discurso que nos permitiu refletir um pouco melhor sobre estas
questões.
TÂNIA: Eu percebi assim, que a Cida no doutorado dela pode utilizar
o que for discutido aqui com a gente. Todas nós... Eu acho assim, que
não é idéia só para pesquisa, mas é ganho para a prática também. Eu
aprendi esse ano que não existe prática sem teoria e nem teoria sem a
prática. Então, estão presentes e associáveis. Nós estaríamos
trabalhando isso aqui. Eu estou fazendo mestrado, mas isso não
significa, por exemplo, que se alguém do grupo não estiver fazendo
mestrado não vai ganhar com o grupo.
CIDA: Pelo contrário, é importante que o grupo seja heterogêneo,
porque se ele for homogêneo, não existe tanta possibilidade de troca
entre todos...
Neste episódio eu atuei como estímulo auxiliar para o grupo, formulando
explicitamente a minha concepção sobre as características de um grupo do tipo
colaborativo. Correndo o risco de tomar as rédeas do grupo, resolvi lançar mais alguma
idéia que pudesse ajudar as colegas a perceberem a importância de um grupo do tipo
colaborativo para enfrentarmos hoje os problemas complexos que encontramos em sala
de aula. A monologização do meu discurso ocorre devido à minha função de
10
¸¹º»¼¹½ ¾¿ À¿ Á¿ ¾¿ Â¿ Ã ¸ÀÄÁÀ»¼¹½ Å¿ »¿ ÆÇ ÈÉÊËÌ Ío tipo colaborativo:
organizadora do grupo. Embora eu tivesse consciência de que um grupo do tipo
colaborativo não deve contar com coordenadores, nesses primeiros passos percebi a
necessidade de atuar como incentivadora de algumas reflexões.
CIDA: A idéia é essa. Alguns autores estão escrevendo sobre o que
eles chamam de sociedade do conhecimento. Eu até tirei copia de um
capítulo do livro que eu trouxe na reunião passada, se vocês quiserem
... O Hargreaves está escrevendo muito sobre isso, a sociedade do
conhecimento. Ele explica mais ou menos assim: hoje em dia não
adianta você ter receitar prontas, porque os problemas são muito
complexos. Então, o conhecimento tem que ser produzido por diversas
pessoas pensando ao mesmo tempo, na interação, naquele momento...
De uma forma assim, colaborativa... O grupo colaborativo agora está
muito em alta por esse motivo, porque os problemas estão muito
complexos e as pessoas estão se sentido incapazes de resolver
sozinhas, então estão precisando da ajuda dos outros, de discutir. Não
é como antigamente, que existiam regras imutáveis, tudo mais rígido.
ANA: É uma coisa impressionante mesmo, você detecta o problema,
você sabe exatamente qual é, mas sozinha você não consegue
resolver... Às vezes você até acha uma idéia diferente, mas quando
você vai colocar na pratica, você tenta e ai falha. Faltou um
embasamento, faltou a troca...
CIDA: Faltou troca... exatamente, uma pessoa sozinha se perde.
A professora Ana interrompeu a minha colocação, fazendo sua intervenção no
transcurso da fala, e pareceu tentar me colocar dentro da sua realidade, mostrando que
as coisas não são tão simples assim. Os limites impostos pelas relações de poder e pela
distância que existe entre querer e fazer são enfrentados pelo professor no seu dia a dia
de sala de aula. Podemos perceber aqui a sabedoria da prática “jogando um balde de
água fria” nas idéias abstratas do pesquisador, que está fora da sala de aula. Outro ponto
importante levantado pela professora é que se o professor tenta algo em sala de aula e o
resultado não é o esperado, o grupo oferece oportunidade de problematização e de
resignificação da prática. Há também a possibilidade de tentar a prática novamente,
depois da produção de novas significações.
Pensei também que talvez fosse melhor que não ficássemos discutindo sobre
grupos do tipo colaborativo, mas deixássemos o grupo fluir. Por outro lado, ele poderia
se tornar um grupo como qualquer outro. A professora Tânia começou a falar sobre a
leitura que havia feito do capítulo de Fiorentini (2004).
11
ÎÏÐÑÒÏÓ ÔÕ ÖÕ ×Õ ÔÕ ØÕ Ù ÎÖÚ×ÖÑÒÏÓ ÛÕ ÑÕ ÜÝ Þßàáâ ão tipo colaborativo:
TÂNIA: Então, algumas coisas eu grifei. Existe uma diferença entre
cooperação e colaboração. Cooperação você faz junto, fazer junto não
significa que está fazendo alguma coisa para. É um trabalho coletivo,
mas pode haver subserviência de um em relação aos outros. E na
colaboração não. É viver buscando objetivos comuns, negociados pelo
coletivo do grupo. Então, é de interesse de todos, não prevalece uma
idéia. Na medida em que os integrantes vão se conhecendo, vão
adquirindo autonomia e passam a se auto regular, e fazer valer seus
próprios interesses, tornando-se assim grupo efetivamente
colaborativos
ANA: Porque não é fácil.
TÂNIA: Ele [o autor] coloca aqui que não é fácil, porque...
CIDA: Porque é agora que a gente esta começando, e, por exemplo, a
gente ouve falar por ai... o problema das relações de poder dentro do
grupo, tem algumas questões...
ANA: sempre um colega de trabalho a gente tem, para fazer as coisas
juntas. Um parceiro... E eu acho que a gente sente a necessidade de
estar no grupo, porque a gente no final fica sozinho, você fica
sozinho...
O referente do discurso da professora Tânia é o artigo de Fiorentini (2004) que,
nesses primeiros momentos do grupo, estava funcionando como um estímulo auxiliar
para os nossos trabalhos. As professoras discutiam as dificuldades encontradas pelas
pessoas de trabalhar em grupos, e principalmente do professor de se relacionar com os
pares no ambiente de trabalho. Penso que se houvesse uma comunicação maior entre os
professores parceiros de uma escola, poderia haver uma integração das diversas
disciplinas no currículo, o que facilitaria a aprendizagem dos alunos. Se as regras
adotadas em sala de aula fossem discutidas por todos os professores da classe
juntamente com os alunos, talvez fosse mais fácil conseguir que elas fossem
observadas. Por que será que o trabalho do professor é tão solitário? Isso dificulta
bastante as coisas. Tentei prosseguir no meu discurso monológico.
CIDA: Você não tem um interlocutor para te ouvir, nem mesmo para
você tentar elaborar uma questão ou para resumir e sintetizar um
problema seu. Houve algum problema na sala de aula, você percebeu
alguma coisa, só que você sabe que não vai ter ninguém para contar, e
então, você nem elabora nem sintetiza aquilo. Se a gente tivesse que
passar para o grupo essa questão, eu acho que a gente acabaria
sintetizando mais as coisas.
12
äåæçèåé êë ìë íë êë îë ï äìðíìçèåé ñë çë òó ôõö÷ø ùo tipo colaborativo:
O meu discurso tinha como objetivo instigar uma reflexão sobre a possibilidade
de o professor olhar a sua sala de aula como um investigador, procurando ajuda na
teoria e nos grupos do tipo colaborativos. Mas, não aconteceu neste episódio uma
interlocução real, não houve interação nem apropriação de significados nesta forma de
enunciação. O meu dito não foi assumido pelas demais professoras.
Conclusões
A nossa experiência neste primeiro ano de funcionamento do grupo mostrou que
um grupo colaborativo, formado por professores, com o objetivo de problematizar suas
práticas, pode ser um instrumento de grande valor para a produção de conhecimento,
para apoio às necessidades individuais dos professores, e, principalmente, para servir de
apoio a uma cultura colaborativa nas escolas. Pode representar uma alternativa à
Formação Continuada de professores, no sentido de não apresentar propostas que são
impostas aos professores, mas oportunidades de apoio e crescimento a partir das
necessidades deles próprios.
Referências
BAKHTIN, M. M. Marxismo e Filosofia da Linguagem. São Paulo: Hucitec, 2004.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN): Matemática. Brasília, DF, 1998.
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: ciências da natureza,
matemática e suas tecnologias. Brasília, DF, 1999.
COCHRAN-SMITH, M.; LYTLE, S. L. Relationsships of Knowledge and Practice:
teacher learning in communities. In: Review of Research in Education. USA, 24,
1999, p. 249-305.
COELHO, M.A.V.M.P. A Resolução de Problemas: da dimensão técnica a uma
dimensão problematizadora. Dissertação (Mestrado em Educação). 2005. Faculdade de
Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas/SP.
FIORENTINI, D. Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In:
Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004, p.
47-76.
13
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ú
ýþûÿ
ý
o tipo colaborativo: 14
C
C
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática:
percuros teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.
GIROUX, H. A escola crítica e a política cultural. São Paulo: Cortez: Autores
Associados, 1987.
HARGREAVES, A. O ensino na sociedade do conhecimento: a educação na era da
insegurança. Porto, Portugal, 2004.
VIGOTSKI, L. S. A Formação Social da Mente. São Paulo: Martins Fontes, 2002.
R.Z. Um olhar sobre
os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX
2008, pp. 1-22. (ISBN 978-85-98092-07-2)
M M !M
Eixo-temático 1: Avaliação
UM OLHAR SOBRE OS CONTEÚDOS DE ESTATÍSTICA NAS AVALIAÇÕES
DO ENEM E DO SARESP
Renata Fernandes MADRUGA - PUC-Campinas ([email protected])
Dra. Clayde Regina MENDES - PUC-Campinas ([email protected])
Camila TORINO – PUC-Campinas ([email protected])
Raphael Zen COVOLAM – PUC-Campinas ([email protected])
Resumo: A utilização de instrumentos de medida para avaliar e acompanhar o
conhecimento adquirido pelos alunos cada vez mais se torna necessário e este fato tem
motivado pesquisadores de diversas áreas, entre elas da Estatística e da Educação
Estatística, a buscarem ferramentas mais sofisticadas para serem utilizadas nos
processos quantitativos de análise dessas avaliações. Em vista disso, é extremamente
importante que os professores de Educação Básica estejam preparados para
compreender a linguagem estatística para, posteriormente, entrarem em contato com
formas diferenciadas de análise de dados e terem oportunidade de estabelecer
comparações com os resultados divulgados acerca das avaliações educacionais oficiais,
melhorando sua compreensão acerca dos mesmos, que, em muitos casos, apresentam-se
em uma linguagem técnica altamente sofisticada e, por vezes, incompreensível. No bojo
dessas discussões, nosso objetivo geral foi realizar uma pesquisa bibliográfica e
documental acerca de avaliações educacionais e apresentar uma breve retrospectiva do
ENEM (Exame Nacional de Ensino Médio, aplicado em todo Brasil) e do SARESP
(Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) e alguns dados
referentes ao conteúdo de Tratamento da Informação. Esperamos com este trabalho
contribuir para a formação do futuro professor de Matemática, auxiliando-o na
decodificação de alguns resultados estatísticos referentes a avaliações educacionais de
grande porte.
Palavras-Chave: Avaliação Educacional, Formação de Professores de Matemática,
Habilidades Cognitivas.
Financiamento: FAPIC Reitoria-PUC Campinas/PIBIC-CNPq.
Introdução
Cada pessoa constrói seu conhecimento na dinâmica das relações do diálogo,
através de argumentações e contradições e a avaliação do ensino-aprendizagem é
importante tanto para o aluno quanto para o professor, pois para o aluno é importante
R.Z. Um olhar sobre 2
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
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saber o que e como está aprendendo e para o professor a importância se dá no exercício
de sua pedagogia e na verificação de onde estão suas falhas.
Os mecanismos de avaliação da Educação Básica têm sido uma das principais
causas da situação de fracasso escolar que atinge uma parte considerável dos alunos. A
avaliação torna-se sinônimo de classificar, selecionar e julgar a aquisição de
conhecimentos e habilidades utilizando-se dos mesmos instrumentos para todos, o que,
muitas vezes, é um grande erro. O objetivo de uma avaliação é quase sempre entendido
de maneira errada e Soares, Lima e Sauer (2005) sustentam que:
A avaliação vem se constituindo, ao longo dos anos, como um
problema na aprendizagem, pois os resultados da forma como vem
sendo conduzida são evidentes: alunos mais preocupados com
respostas do que com o processo de pensar e de elaborar alternativas
de resolução; alunos buscando “receitas” de resolução ao invés de
procurar compreender os procedimentos; alunos que aprendem a dar
respostas imediatas ao invés de se focar nos conceitos, e tantos outros.
Para o aluno, uma avaliação deve representar seus ganhos e onde estão suas
dificuldades a fim de melhorar seu conhecimento; para o professor, ela deve levá-lo a
perceber onde sua pedagogia é falha e, em seguida, estar pronto para modificá-la.
Assim,
A avaliação, como processo orientador, está baseada no conceito de
avaliação formativa, assim entendida por estar relacionada à sua
função de diagnosticar como está acontecendo a aprendizagem: quais
as dificuldades, quais os obstáculos, quais os avanços e quais aspectos
precisam ser aperfeiçoados. Concebida dessa maneira a avaliação não
é apenas a aplicação de instrumentos a partir dos quais se contabiliza
quanto o aluno sabe ou não sabe, mas integra o processo de
aprendizagem de forma contínua, constituindo-se em fonte de
(re)elaboração da prática pedagógica. (SOARES; LIMA; SAUER,
2005)
A avaliação educacional de grande porte tem que ser exigida, mas, ainda, precisa
ser melhorada tanto na sua maneira de formular as questões, como na divulgação dos
seus resultados, pois é ela que mostra onde estão os problemas na educação de nosso
país; além disso, como o cenário mundial está em constante transição, especialmente
por conta dos avanços tecnológicos, a avaliação deve acompanhar estas mudanças.
Costa (2003) assevera que:
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
789:;<8= :>?>@ 7AB9AD= E> :>@ FG:HBG= E> I EGJGK87=
As transformações aceleradas no processo de produção, decorrentes
do atual estágio de desenvolvimento tecnológico mundial, produziram
impacto não somente nas relações econômicas, mas também nas
relações sócio-culturais das sociedades industrializadas. Novas formas
de organização do processo de trabalho são utilizadas pelas empresas
capitalistas na garantia da sua competitividade nos mercados nacional
e internacional. Novos parâmetros de desempenho e de qualificação
estão colocados pelo capital quanto às habilidades, aos
conhecimentos, às atitudes e às relações de trabalho. A idéia da
substituição do trabalhador formado no contexto Taylorista/Fordista,
pelo chamado trabalhador cognoscente vincula-se de vez à chamada
sociedade do conhecimento que, junto à revolução tecnológica,
formam os dois grandes eixos da chamada nova ordem. (...)
A educação destaca-se neste cenário como atividade central e
organizadora na formação da chamada sociedade do conhecimento.
Tal fato constitui-se, portanto, como ponto fundamental da maioria
das propostas contidas na reforma curricular brasileira.
Quando nos debruçamos sobre os objetivos e os conteúdos propostos para o
ensino de Matemática nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (Brasil, 1998)
observamos que sobre os conceitos de Estatística e de Probabilidade encontramos:
Com relação à Estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha
a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar dados,
utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem
freqüentemente em seu dia-a-dia. Além disso, calcular algumas
medidas estatísticas como média, mediana e moda com o objetivo de
fornecer novos elementos para interpretar dados estatísticos.
Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno
compreenda que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de
natureza aleatória e que se podem identificar possíveis resultados
desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade acerca do
resultado de um deles. As noções de acaso e incerteza, que se
manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em
situações em que o aluno realiza experimentos e observa eventos (em
espaços equiprováveis).
Relativamente aos problemas de contagem, o objetivo é levar o aluno
a lidar com situações que envolvam diferentes tipos de agrupamentos
que possibilitem o desenvolvimento do raciocínio combinatório e a
compreensão do princípio multiplicativo para sua aplicação no cálculo
de probabilidades. (BRASIL, 1998, p. 52)
Apesar disso, tanto no Exame Nacional de Ensino Médio – ENEM, quanto nas
avaliações do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo –
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
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SARESP, raramente foram encontradas questões que tratassem de freqüência,
freqüência relativa, amostra e medidas de tendência central.
Uma análise sobre o ENEM
O ENEM foi aplicado pela primeira vez em 1998, em caráter voluntário e na
ocasião foram duas provas: uma redação e uma de conhecimentos gerais, composta de
63 questões objetivas e interdisciplinares. A prova de conhecimentos gerais exigiu do
aluno o exercício do domínio de diferentes linguagens, a solução de problemas do dia-adia, a compreensão de fenômenos sociais e naturais, a construção de argumentos, a
organização de informações e a elaboração de propostas de intervenção na realidade.
Seu principal objetivo foi avaliar o desempenho do aluno sobre o desenvolvimento das
competências fundamentais no exercício da cidadania ao término da Educação Básica e,
sobre isso, o Relatório Final do ENEM de 2001 assegura:
(...) a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos,
no sentido amplo do termo não se desenvolve unicamente na
aprendizagem de Língua Portuguesa, mas em todas as áreas que
estruturam as atividades pedagógicas da Escola. (...) O aluno deve,
portanto, demonstrar concomitantemente que possui instrumental de
comunicação e expressão adequada tanto para a compreensão de um
problema matemático quanto da descrição de um processo físico (...).
(MARIANO, 2004, p. 40)
Além disso, outros objetivos do ENEM, citados pelo INEP (1998) são:
oferecer uma referência para que cada cidadão possa proceder à sua
auto-avaliação com vistas às suas escolhas futuras, tanto em relação
ao mundo de trabalho quanto em relação à continuidade dos estudos;
estruturar uma avaliação ao final da educação básica que sirva
como modalidade alternativa ou complementar aos processos de
seleção nos diferentes setores do mundo de trabalho;
estruturar uma avaliação ao final da educação básica que sirva
como modalidade alternativa ou complementar aos exames de acesso
aos cursos profissionalizantes pós-médios e à Educação Superior;
possibilitar a participação e criar condições de acesso a programas
governamentais.
Esta avaliação, a princípio, surgiu também como uma proposta de ser referência
no mercado de trabalho e até substituir o vestibular, o que, INEP (1998) apresenta
como:
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
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Todas as instituições de ensino superior, públicas e privadas, poderão
utilizar os resultados do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM)
para selecionar alunos, sugere o ministro Paulo Renato. "Quando
resolvemos criar o ENEM, pensamos em fazer um exame para avaliar
não só o desempenho individual dos alunos, mas que viesse a ser
referência ao mercado de trabalho e para seleção de alunos à
universidade", sustenta. (...) Resolução aprovada recentemente pelo
Conselho Nacional de Educação (CNE) definiu as regras de ingresso
ao ensino superior. De acordo com essas novas regras, as instituições
não poderão reservar vagas para alunos de escolas conveniadas, mas
poderão, por exemplo, fazer a seleção pelas notas obtidas no ENEM
ou, ainda, por meio de programas de avaliação seriada. A análise do
histórico escolar dos alunos também pode ser uma alternativa.
Quanto à maneira de apresentar as questões, o Ministro da Educação, na época,
acrescentou que:
Os resultados são positivos em função da estrutura da prova, que
avaliou as habilidades e as competências básicas desenvolvidas pelos
alunos ao longo da escolaridade básica. Foi um desafio novo para os
alunos. Normalmente, as provas são formuladas para cobrar apenas
conteúdos específicos. No ENEM foi diferente: os alunos não
precisaram decorar fórmulas e macetes para fazer a prova, pois o que
cobramos deles foi a capacidade de aplicar o que aprenderam para
resolver problemas do seu cotidiano, ressalta o ministro da Educação,
Paulo Renato Souza. (INEP, 1998)
Logo após o seu surgimento, várias instituições de Ensino Superior tomaram o
ENEM como mais uma forma de avaliar o seu aluno ingressante e a maioria delas usou
o resultado do ENEM valendo um pequeno percentual em seus vestibulares, sendo a
primeira adesão da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Em junho de
1999, o INEP divulgou as 25 instituições que adotaram seus resultados já neste ano e
entre elas estavam a USP, UNICAMP, UNESP, PUC-Campinas e PUC/PR.
O primeiro ENEM teve a participação de 184 municípios (hoje a participação é
bem maior) e teve 157.221 inscritos e junto à prova foi entregue um questionário de
pesquisa previamente preenchido pelos participantes.
Quando os resultados da avaliação de 1998 foram publicados, eles confirmaram
alguns já observados em avaliações anteriores realizadas pelo INEP, tais como:
1. quanto maior é a distorção série-idade dos alunos pior é o
desempenho;
2. as moças vão melhor em redação e os rapazes, em conhecimentos
gerais;
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
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3. o desempenho de alunos cujos pais possuem nível superior fica
bem acima dos alunos cujos pais possuem pouca ou nenhuma
escolaridade;
4. os alunos que cursaram toda a educação básica em escola pública
apresentam rendimento inferior ao dos alunos que estudaram sempre
em escolas privadas;
5. os alunos provenientes de famílias com renda mensal acima de 10
salários mínimos têm desempenho muito superior ao daqueles em que
as famílias possuem renda de um a seis salários mínimos;
6. embora não seja significativa a diferença, os alunos que estudam no
período noturno e que trabalham durante o dia rendem menos do que
aqueles que estudam no período diurno e não trabalham. (INEP, 1998)
Fixando-nos nos conteúdos de Estatística, verificamos que em todas as avaliações
do ENEM eles estão presentes, caracterizando-se, em sua maioria, por interpretação de
gráficos e tabelas.
Em quase todos os anos faltam questões referentes a medidas de tendência central
e poucas questões sobre análise combinatória aparecem em suas provas (estão apenas
nos ENEM de 2002, 2003, 2004 e 2005). Também é escassa a presença de perguntas
sobre probabilidade (nos anos de 1999, 2002, 2003, 2004 não há questão alguma). Esses
dados podem ser melhor observados nas Tabelas 1 e 2 que apresentam a distribuição do
tipo de questão e o tipo de interpretação solicitado nas diferentes provas.
Tabela 1: Número de questões sobre o tratamento da informação do ENEM, entre os anos de 1998
a 2007. (Fonte: MEC/INEP/ENEM)
ENEM
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Total
Análise Combinatória
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
4
Tipos de Questões
Probabilidade
3
0
3
3
0
0
0
1
1
2
13
Gráficos e Tabelas
6
4
4
7
4
2
5
2
4
1
39
Total
9
4
7
10
5
3
6
4
5
3
56
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Tabela 2: Tipos de questões de Interpretação de Gráficos e Tabelas no ENEM, entre os anos de
1998 e 2007. (Fonte: MEC/INEP/ENEM)
ENEM
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Total
Interpretação (na mesma questão)
De Tabela
De Gráfico
De Ambos
2
3
1
1
3
0
2
0
2
1
6
0
0
2
2
0
1
1
0
4
1
0
2
0
0
4
0
0
1
0
6
26
7
Total
6
4
4
7
4
2
5
2
4
1
39
Explorando mais os relatórios do ENEM, encontramos o grau de dificuldade e o
percentual de acertos de cada questão selecionada e esses resultados foram compilados
nas Tabelas 3 a 7.
Tabela 3: Características das questões sobre o Tratamento da Informação do ENEM de 1998.
(Fonte: MEC/INEP/ENEM)
Questão
Tipo de Questão
Nível de Dificuldade
% de acertos
15
20
21
22
23
24
36
50
51
Gráfico e Tabela
Probabilidade
Probabilidade
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Probabilidade
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Fácil
Difícil
Difícil
Fácil
Difícil
Difícil
Difícil
Média
Difícil
61
40
16
72
10
28
34
34
17
Questão
Tipo de Questão
% de acertos
6
18
52
61
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Média
Média
Fácil
Média
69
50
69
46
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
¡¢£ ¤¥¤¦ §¨§©£ ª¤ ¤¦ «¬ ¨¬£ ª¤ ® ª¬¯¬°£
Questão
Tipo de Questão
% de acertos
8
9
26
31
39
40
58
Probabilidade
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Probabilidade
Probabilidade
Gráfico e Tabela
Difícil
Média
Difícil
Média
Média
Média
Média
63
66
52
58
48
16
40
Questão
Tipo de Questão
% de acertos
5
14
16
17
29
36
37
43
44
50
Probabilidade
Probabilidade
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Probabilidade
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Difícil
Difícil
Média
Difícil
Difícil
Difícil
Média
Média
Fácil
Média
29
21
49
28
21
21
14
29
70
29
Questão
Tipo de Questão
% de acertos
3
6
13
25
27
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Gráfico e Tabela
Difícil
Fácil
Fácil
Fácil
Fácil
32
27
47
31
25
Fazendo-se uma rápida leitura nas Tabelas 3 a 7, destacamos que a questão 22 de
1998, sobre Gráfico e Tabela, considerada de nível fácil, foi a que teve maior percentual
de acertos (72%); por outro lado, a de menor percentual (10%), também foi sobre
Gráfico e Tabela na prova de 1998 (questão número 23), considerada difícil.
Infelizmente não há relatórios dos ENEM de 2003 a 2007 que se refiram ao nível
de dificuldade e percentual de acertos de cada questão individualmente, por isso nossa
compilação foi até 2002.
Mesmo assim, podemos observar que, em geral, há um percentual baixo de
acertos nas questões referentes ao Tratamento da Informação.
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
±²³´µ¶²· ´¸¹¸º ±»¼³»½· ¾¸ ´¸º ¿À´Á¼À· ¾¸ Â ¾ÀÃÀÄ²±·
Uma análise sobre o SARESP
O SARESP é o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São
Paulo e foi criado em meados da década de 90; avaliando o rendimento escolar dos
alunos de diferentes séries e períodos e identificando os fatores que interferem no
rendimento do ensino na Educação Básica. Ele é aplicado desde 1996; primeiro apenas
com a participação de algumas séries do Ensino Fundamental e, a partir de 2003, passou
a avaliar todos os alunos do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Apenas em 2005 os
alunos passaram a ser avaliados com provas de português e de matemática; até então,
avaliava-se a leitura, escrita e interpretação de textos. Em 2004, foram inseridas
questões de interpretação de gráficos em meio a uma interpretação de texto, o que na
época a Folha de São Paulo destacou:
Os alunos que participarem do Saresp (Sistema de Avaliação de
Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) neste ano deverão ter de
responder a questões de matemática. Em 2003, foram avaliadas leitura
e escrita. (...)
Se o exame se restringir à rede pública, os alunos farão prova de
matemática. "Não adiantaria aplicar a mesma avaliação do ano
passado [com matérias ligadas à língua portuguesa] porque o quadro
ainda não teria mudado", disse a coordenadora da Cenp
(Coordenadoria de Normas Pedagógicas da secretaria de Educação),
Sonia Maria Silva. (FOLHA DE SÃO PAULO, 2004)
Assim, o SARESP 2004 apresentou nas provas do 3º e 4º ano do Ensino
Fundamental três questões (28, 29 e 30) de interpretação de gráfico, conforme mostra a
Figura 1.
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
ÅÆÇÈÉÊÆË ÈÌÍÌÎ ÅÏÐÇÏÑË ÒÌ ÈÌÎ ÓÔÈÕÐÔË ÒÌ Ö ÒÔ×ÔØÆÅË
Figura 1: Questões 28, 29 e 30 da prova do 3º ano do Ensino Fundamental do SARESP 2004.
(Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)
Nas avaliações seguintes (2005 e 2007), o SARESP avaliou os alunos tanto em
Português, quanto em Matemática e foram inseridas várias questões sobre o Tratamento
da Informação.
A Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP) e a Fundação para o
Desenvolvimento da Educação (FDE) fornecem material de apoio aos professores e são
responsáveis pela elaboração técnico-pedagógica das provas. É compulsória para todas
as escolas estaduais administradas pela SEE/SP a participação no SARESP e nas demais
redes de ensino (municipal e particular) ela ocorre por adesão.
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
ÙÚÛÜÝÞÚß Üàáàâ ÙãäÛãåß æà Üàâ çèÜéäèß æà ê æèëèìÚÙß
São dois os instrumentos de avaliação usados pelo SARESP (2004) para atingir
seus objetivos:
O primeiro consiste na aplicação de provas para medir o desempenho
dos alunos em Leitura/Escrita e Matemática, constituída cada uma de
questões objetivas, tanto no Ensino Fundamental (3ª a 8ª séries),
quanto no Ensino Médio. Essas provas apresentam também um tema
para Redação do tipo narrativo-descritivo para o Ensino Fundamental.
No Ensino Médio o tema é dissertativo-argumentativo. Já para a 1ª e
2ª séries do Ensino Fundamental, as provas serão constituídas de
questões predominantemente abertas. Para cada série e período, serão
construídos instrumentos diferentes, mas com questões equivalentes.
O segundo instrumento consiste em questionário aplicado aos alunos,
por meio do qual são coletadas informações sobre suas características
pessoais, o contexto socioeconômico e cultural em que vivem, sua
trajetória escolar, suas percepções acerca dos professores e da gestão
da escola e, também, sua participação nos projetos da SEE/SP.
Objetiva-se, com este questionário, traçar os perfis dos alunos nos
diferentes níveis de escolaridade e verificar as possíveis interferências
desses fatores na aprendizagem. (SÃO PAULO, 2004)
Seu principal propósito é obter indicadores educacionais que possam
subsidiar a elaboração de propostas de intervenção técnico-pedagógica no sistema de
ensino, visando a melhorar a sua qualidade e a corrigir eventuais distorções detectadas.
Como destaca a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo em nota sobre o
SARESP (2004):
Os resultados individuais de cada aluno são remetidos às escolas no
início do ano, tornando-se um importante instrumento para o
planejamento do ano letivo. É um mecanismo adicional para orientar a
necessidade de recuperações paralelas, oferecidas durante o ano, de
capacitação ampla de professores ou específica para alguma
habilidade que possa ter sido pouco trabalhada. A discussão, em
reuniões na escola, do desempenho do aluno com o próprio estudante
e seus pais é outro fator fundamental. (SÃO PAULO, 2004)
A seleção e a definição de habilidades necessárias para a prova estão
fundamentadas nas Propostas Curriculares da Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas - CENP/SEE e nos PCN.
Observando a composição das questões de Matemática nas provas de 2004, 2005
e 2007, percebemos uma grande quantidade de questões sobre Tratamento da
Informação em relação ao total de questões das provas, como mostra a Tabela 8.
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
íîïðñòîó ðôõôö í÷øï÷ùó úô ðôö ûüðýøüó úô þ úüÿüMîíó
Tabela 8: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP, entre os anos de
2004 a 2007. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)
SARESP
2004
2005
2007
Total
0
8
7
15
Tipos de Questões
Probabilidade
0
4
9
13
Gráficos e Tabelas
6
27
34
67
Total
6
39
50
95
É importante observar a ausência de vários conteúdos exigidos nos PCN, como
por exemplo: freqüência, freqüência relativa, amostra e medidas de tendência central.
Há, apenas, uma questão que contempla um desses conteúdos (a mediana) e merece
destaque; é a questão 25 da prova do 8º ano do Ensino Fundamental do SARESP 2005
(Figura 2).
undamental do SARESP 2005. (Fonte:
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)
F F
Analisando as questões de provas do SARESP de 2004, 2005 e 2007 segundo seu
tipo e ano; percebemos a ausência de questões sobre Probabilidade nos SARESP de
2005 e 2007, do 1º ao 7º ano do Ensino Fundamental (EF). Há também poucas questões
sobre Análise Combinatória e, assim como no ENEM, a maioria das questões é sobre
análise de Gráficos e Tabelas, como podemos perceber nas Tabelas de 9 a 16.
Tabela 9: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2005. (Fonte:
SARESP
EF
EM
Total
4
4
8
Tipos de Questões
Probabilidade
1
3
4
Gráficos e Tabelas
17
10
27
Total
22
17
39
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
! " #$%
$ " & "$'$(
Tabela 10: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2007. (Fonte:
SARESP
EF
EM
Total
4
3
7
Tipos de Questões
Probabilidade
3
6
9
Gráficos e Tabelas
28
6
34
Total
35
15
50
Tabela 11: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2005 em cada ano
do Ensino Fundamental. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)
SARESP 2005
1º ano
2º ano
3º ano
4º ano
5º ano
6º ano
7º ano
8º ano
Total
0
0
0
1
1
1
1
0
4
Tipos de Questões
Probabilidade
0
0
0
0
0
0
0
1
1
Gráficos e Tabelas
1
1
1
1
4
3
3
3
17
Total
1
1
1
2
5
4
4
4
22
do Ensino Médio. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)
SARESP
2005
1º ano
2º ano
3º ano
Total
0
4
0
4
Tipos de Questões
Probabilidade
0
2
1
3
Gráficos e Tabelas
4
2
4
10
Total
4
8
5
17
do Ensino Fundamental. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)
SARESP 2007
1º ano (manhã)
1º ano (tarde)
2º ano (manhã)
2º ano (tarde)
4º ano (manhã)
4º ano (tarde)
6º ano (manhã)
6º ano (tarde*)
8º ano (manhã)
8º ano (tarde)
8º ano (noite)
Total
* tarde e noite
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
4
Tipos de Questões
Probabilidade
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
3
Gráficos e Tabelas
1
1
2
2
2
2
2
2
5
5
4
28
Total
1
1
2
2
3
3
3
3
6
6
5
35
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
)*+,-.*/ ,0102 )34+35/ 60 ,02 78,948/ 60 : 68;8<*)/
Tabela 14: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2007, aplicado no 3º
ano do Ensino Médio. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)
SARESP
2007
Manhã
Tarde
Noite
Total
1
1
1
3
Tipos de Questões
Probabilidade
2
2
2
6
Gráficos e Tabelas
2
2
2
6
Total
5
5
5
15
Tabela 15: Tipos de questões de Interpretação de Gráficos e Tabelas no SARESP, aplicadas no
Ensino Fundamental, em 2004, 2005 e 2007. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São
Paulo, 2007)
SARESP
2004
2005
2007
Total
De Tabela
De Gráfico
De Ambos
0
6
0
4
9
4
14
12
2
18
27
6
Total
6
17
28
51
Tabela 16: Tipos de questões de Interpretação de Gráficos e Tabelas no SARESP, aplicadas no
Ensino Médio, em 2005 e 2007. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)
SARESP
2005
2007
Total
De Tabela
De Gráfico
De Ambos
2
7
1
3
3
0
5
10
1
Total
10
6
16
Há uma dificuldade em pesquisar os resultados do SARESP, pois apenas o
SARESP 2007 tem seus resultados disponíveis ao público geral; em relação aos
resultados dos anos anteriores, o acesso se restringe à escola, à diretoria de ensino e à
secretaria municipal.
O nível de cada questão foi estabelecido segundo o Sistema de Avaliação da
Educação Básica – SAEB e é representado por uma escala onde cada total de pontos
representa um conjunto de proficiências (conteúdos, competências e habilidades)
demonstradas pelos alunos por meio de ações e tarefas de matemática (SÃO PAULO,
2007).
Para a correção da avaliação o SAEB determinou uma escala para o nível de cada
questão; por exemplo, a questão 26 do 8º ano do Ensino Fundamental foi determinada
de nível 275. Se um aluno acertou esta questão, conclui-se que ele tem domínio dos
conteúdos de questões com nível inferior a 275. A escala começa em 125 (Os alunos
com proficiência menor do que 125 não dominam os conteúdos e as habilidades básicos
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
=>?@AB>C @DEDG =HI?HJC KD @DG LN@OINC KD P KNQNR>=C
que a Prova de Matemática do SARESP 2007 objetivou mensurar). Esse tipo de escala
foi utilizado para todos os conteúdos de matemática e, em particular para aqueles com
conteúdo de Tratamento da Informação, a pontuação dessa escala abrange as seguintes
proficiências:
150: Interpreta dados apresentados em gráficos de coluna.
175: Lê e interpreta informações contidas em tabela de dupla entrada e em
gráfico de coluna.
200: Resolve problema envolvendo os dados apresentados em tabela e em
gráfico de colunas.
225: Interpreta dados apresentados em gráfico de colunas, associa os dados de
uma tabela com o correspondente gráfico de colunas e vice versa.
250: Resolve problema com dados apresentados em um gráfico setorial.
275: Identifica o um gráfico de colunas associado a uma tabela de dupla entrada,
a classe correspondente a uma determinada freqüência, em uma distribuição de
dados e resolve problemas envolvendo dados obtidos da leitura de um gráfico de
linha.
300: Interpreta dados apresentados em intervalos em uma tabela de freqüências e
infere a freqüência, em porcentagem, de resultados de uma pesquisa,
apresentados em classes e em um gráfico setorial.
325: Reconhece a classe correspondente a uma determinada freqüência, em uma
distribuição de dados, interpreta informações a partir de dados apresentados em
gráfico de colunas e em tabela e resolve problema envolvendo dados
apresentados em um histograma, a partir de um exemplo de leitura de um dado
desse gráfico.
350: Identifica a variável que apresenta maior aumento percentual dentre dados
outras variáveis apresentados em dois gráficos de colunas e resolve problema
envolvendo informações apresentadas em tabela.
375: Identifica a tabela que apresenta a variação de duas grandezas, dada a
relação entre elas, resolve problema envolvendo a seleção de dados de um
gráfico de colunas e cálculo de porcentagem.
400: Interpreta os resultados de uma pesquisa cujos dados são apresentados em
um gráfico de linha e, em gráfico setorial.
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
STUVWXTY VZ[Z\ S]^U]_Y `Z VZ\ abVc^bY `Z d `bebfTSY
Os resultados do SARESP 2007 estão publicados pelo nível de cada questão; mas
em cada nível há apenas dois exemplos, não contemplando todas as questões sobre
Tratamento da Informação. Dos exemplos temos a questão 25 do 6º EF (sobre Gráficos
e Tabelas) com maior percentual de acerto (89%) e, com 30% de acertos, o menor
percentual, temos uma questão sobre Probabilidade (questão 28 do 3º Ensino Médio –
EM) . A Tabela 17 apresenta o resumo de algumas dessas informações.
Tabela 17: Nível, tipo e percentual de acertos de algumas questões sobre o tratamento da
Informação do SARESP 2007. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)
Questão
29
30
25
26
30
28
29
Série
4º EF
4º EF
6º EF
8ª EF
8ª EF
3º EM
3º EM
Nível
175
225
150
275
300
375
325
Tipo
Gráficos e Tabelas
Gráficos e Tabelas
Gráficos e Tabelas
Probabilidade
Probabilidade
Gráficos e Tabelas
Percentual de Acertos
68
60
89
47
48
30
46
A utilização de instrumentos de medida para avaliar e acompanhar o
conhecimento adquirido pelos alunos cada vez mais se torna necessário e este fato tem
motivado pesquisadores da Educação Estatística a buscarem ferramentas mais
sofisticadas para serem utilizadas nos processos quantitativos de análise dessas
avaliações.
Ainda é um desafio apresentar resultados de avaliações educacionais de uma
forma compreensível para os gestores escolares, professores e demais membros da
comunidade. Além disso, não há relatórios dos ENEM de 2003 a 2007 que se refiram ao
nível de dificuldade e percentual de acertos de cada questão individualmente, oferecidos
pelo MEC/INEP/ENEM; já o SARESP não tem seus resultados disponíveis ao público
geral, excetuando o SARESP 2007, onde há apenas dois exemplos em cada nível e,
assim, não contemplando todas as questões.
Assim, como nos dias atuais ainda não se encontra suficiente literatura que se
proponha a tratar dessa temática, esperamos contribuir para a melhoria da escola de hoje
e do futuro, ao buscar aproximar e integrar o conhecimento acadêmico às experiências e
aos anseios dos professores no cotidiano da escola e à formação do futuro professor,
especialmente o de Matemática.
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
ghijklhm jnonp gqriqsm tn jnp uvjwrvm tn x tvyvzhgm
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SÃO PAULO (Estado). Secretaria de Estado da Educação. SARESP. Disponível em:
<http://www.educacao.sp.gov.br{n h|x}}~ x x ~m n
2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)

SOARES, E. M. S.; LIMA, I. G.; SAUER, L. Z. Refletindo Sobre a Avaliação
Formativa no Processo de Aprendizagem de Matemática. In: Anais do III Congresso
Internacional de Ensino de Matemática. Canoas/RS: Universidade Luterana do Brasil
(ULBRA), 2005.
seado em conhecimento
com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais
SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 16. (ISBN 978-85-98092-07-2
¡¢£¡¤ ¥¦ ¦ §¦ ¨ ¡©ª«©ª«£¤ ¬¦ ¡¦
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Eixo-temático 8: Tecnologias de Informação e Comunicação
UM SISTEMA BASEADO EM CONHECIMENTO COM INTERFACE EM
LÍNGUA NATURAL PARA O ENSINO DAS TRANSFORMAÇÕES
GEOMÉTRICAS
Gina Magali Horvath MIRANDA – PUC-SP ([email protected]³
Prof. Dr. Saddo Ag. ALMOULOUD – PUC-SP ([email protected]³
Resumo: O objetivo de nossa pesquisa é desenvolver uma ferramenta computacional
utilizando técnicas de PLN (Processamento de Línguas Naturais) e inserir nesta
ferramenta seqüências didáticas no campo da Geometria das Transformações utilizando
como embasamento a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e os Registros
de Representações Semióticas de Raymond Duval. Considerando os avanços
tecnológicos e o interesse cada vez maior por parte dos alunos pela tecnologia, formam,
ao que tudo indica, um cenário ideal dentro deste processo de construir uma ferramenta
que possa ser utilizada como instrumento de ajuda no ensino e na aprendizagem no
contexto da educação matemática. A pesquisa será desenvolvida utilizando os princípios
da engenharia didática em que uma das funções é analisar situações dentro do quadro
teórico da didática matemática. Para desenvolver o sistema computacional usamos a
semântica ontológica a qual suporta aplicações como traduções e extração da
informação entre outras. Acreditamos que a simples utilização de uma ferramenta
computacional não pode proporcionar o aprendizado, mas associada a atividades
cuidadosamente construídas e apoiadas em teorias como as de Brousseau e de Duval,
que se dedicam a estudar fenômenos que interferem no processo de ensino e de
aprendizagem da matemática, cremos que nossa hipótese é possível.
Palavras-Chave: Processamento de Línguas Naturais, Geometria das Transformações.
Introdução
Este trabalho representa parte da minha dissertação de mestrado, que tem por
objetivo o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para o ensino e a
aprendizagem de geometria das transformações. Para elaboração desta pesquisa
tomamos como base a Inteligência Artificial, mais especificamente o Processamento de
Línguas Naturais (PLN).
A escolha realizada na área de geometria, focando a geometria das
transformações, se dá ao fato de acreditarmos que conceitos, como rotação e
seado em conhecimento 2
SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16. (ISBN 978-85-98092-07-2
´µ¶·¸¹·º »¼ ´¼ ½¼ ¾ ·¿´ÀÁ¿ÀÁ¹º Â¼ ·¼
ÁÃ ÄÅÄÆ¾ÃÇ ÈÇ
translação, permitirão ao aluno maior facilidade na verificação de relações de
semelhança e congruência, por exemplo. Acreditamos, também, que a simples
utilização de uma ferramenta computacional não propiciará o aprendizado, mas deve
estar ligada a atividades preparadas com a intenção de introduzir o conhecimento na
produção do saber.
Uma segunda inspiração para a escolha foi a tese de doutorado de Weber (2003,
Modelisation Informatique de l’apprenant – une basse sur le modèle ckc et la
Thèorie de l’émergence). Seu trabalho foi desenvolvido sobre uma plataforma
computacional chamada Baghera escrita em Java (é um sistema multi-agentes) e possui
link com software “CABRI”. O conteúdo abrangido em geometria é a simetria.
Questão de Pesquisa
O presente trabalho tem como objetivo a inserção de um modelo computacional
para ser utilizado com alunos do curso de licenciatura em Matemática, centrando-se em
Geometria das Transformações, com o propósito de contribuir no processo de ensino e
de aprendizado. Focamos nossos estudos em reflexão, translação e rotação aplicadas ao
Ensino Fundamental II, com intenção de gerar uma seqüência didática imersa em um
sistema computacional para ser utilizada na formação inicial de professores do curso de
Licenciatura em Matemática.
O modelo computacional tem como base o Processamento de Línguas Naturais
(PLN), que é um ramo da Inteligência Artificial (IA), o qual tem por objetivo interpretar
e gerar textos em uma língua natural (português, inglês, espanhol, etc). Podemos dividir
a pesquisa em PLN em: interpretação e geração de textos.
Focaremos nossos estudos na interpretação de textos para busca de similaridade e
fundamentaremos nossa pesquisa na Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e
na Teoria dos registros de Representação Semiótica de Raymond Duval.
Manrique, Silva e Almouloud escrevem no artigo “Semelhanças e diferenças:
análise de atividades envolvendo objetos de diferentes dimensões” que “a formação
inicial dos professores em relação à Geometria é muito precária, pois os cursos não
integram uma reflexão profunda a respeito desse ensino e as modalidades de formação
contínua ainda não são suficientes para atender a esses objetivos” e citam Lorenzato
(1995) no texto que diz:
ÉÊËÌÍÎÌÏ ÐÑ ÉÑ ÒÑ Ó ÌÔÉÕÖÔÕÖÎÏ ×Ñ ÌÑ
ÖØ ÙÚÙÛÓØÜ ÝÜ
Presentemente, está estabelecido um círculo vicioso: a geração que
não estudou Geometria não sabe como ensiná-la.[...], é preciso um
amplo e contínuo esforço de diferentes áreas educacionais para que
mudanças se efetivem no atual quadro do ensino da Geometria
elementar. (p. 4)
Com o movimento da Matemática Moderna, tivemos um direcionamento maior
para a Álgebra, deixando para segundo plano a Geometria. De modo geral os livros
didáticos, tratavam conteúdos desse campo, somente nos últimos capítulos. Porém,
salientamos aqui, que os livros didáticos mais recentes estão com propostas mais
atualizadas e notamos que a geometria não é colocada apenas no final dos livros. A
geometria, pouco a pouco, está se tornando presente nas práticas pedagógicas atuais.
Para os PCNs a geometria desempenha papel fundamental no currículo, uma vez
que possibilita desenvolver um pensamento particularmente voltado a compreender,
descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive (p. 122).
As transformações de figuras são vistas como atividades que devem ser
privilegiadas, pois, segundo os PCNs, permitem o desenvolvimento de conceitos
geométricos de forma significativa (p. 124).
Diante dos fatos relatados, a intenção deste trabalho é construir uma ferramenta
computacional interativa, que contenha seqüências didáticas do campo da geometria, e
verificar como esta ferramenta pode ajudar na formação inicial de professores e
conseqüentemente no processo de ensino e de aprendizagem.
Como base nesta proposta, a questão de pesquisa é:
Em quais condições uma ferramenta computacional, com interface PLN, pode
ajudar no processo ensino e de aprendizagem da Geometria das Transformações na
formação inicial de professores?
Nossas hipóteses são:
Uma seqüência didática criada segundo padrões da Teoria das Situações Didáticas
de Guy Brousseau e que utilize mais de um registro de representações é capaz de
promover conhecimentos necessários para que o aluno enfrente uma situação
geométrica desafiadora apresentada.
A aplicação desta seqüência didática inserida em uma plataforma computacional,
com interface interativa, é capaz de promover um novo saber.
Þßàáâãáä åæ Þæ çæ è áéÞêëéêëãä ìæ áæ
ëí îïîðèíñ òñ
Aspectos epistemológicos das Transformações Geométricas
Mabuchi (2000), em seu trabalho, cujo objetivo era uma contribuição para uma
reflexão sobre o processo ensino-aprendizagem de transformações geométricas, faz uma
explanação sobre pesquisas realizadas em diferentes países, como na Inglaterra com a
pesquisa realizada por Hard em 1981; na França com a pesquisa realizada por Gras
entre 1979 e 1983; descreve também o trabalho de Grenier (França, realizado em 1985);
uma pesquisa comparativa, também realizada na França por Bernadette Denys e Denise
Grenier, entre alunos japoneses residentes na França e alunos franceses; e uma pesquisa
realizada na Espanha por Gutieres e Jaime que envolvem alunos do magistério e por
último fez um estudo de uma Seqüência Didática aplicada , por ela em alunos de São
Paulo.
Depois realiza uma síntese das pesquisas analisando os seguintes pontos: posição
relativa eixo-objeto, posição do eixo de simetria na folha, o uso da malha quadriculada,
complexidade da figura, paralelismo entre a figura e seu simétrico, entre outros.
No final desta análise, a referida autora conclui que as concepções e dificuldades
apresentadas por alunos no Brasil são semelhantes a apresentadas por alunos das
pesquisas analisadas, e que as escolhas das variáveis didáticas, como a posição do eixo
de simetria, influenciam de modo significativo as concepções do aluno.
Sangaré (2006) realiza um trabalho, na República do Mali (África), com
transformações geométricas de uma maneira peculiar. Primeiro apresentando questões
de como alunos lidam com a figura objeto e sua imagem decorrente de uma
transformação, depois apresentando um estudo teórico da didática matemática
propondo uma modelagem das transformações geométricas, e por último, resultados
obtidos de um estudo de caso realizado em Mali.
O trabalho realizado por Sangaré está apoiado em estudos como o de Bautier
(1988) sobre modelagem de atividades para o ensino de simetria ortogonal, no trabalho
de Grenier e Laborde (1988) em níveis de apreensão das transformações, trabalho de
Laborde e Capponi (1995) também sobre modelagem e a tese de doutorado de Jahn
(1995) sobre a ruptura epistemológica em relação à transição do aluno entre o
“college/lycée” (correspondente à passagem do nosso ensino fundamental ao ensino
médio), sobre as transformações geométricas no plano (p. 227).
óôõö÷øöù úû óû üû ý öþóÿ
MþÿMøù
û öû
M ý seado em conhecimento 5
O autor relata uma pesquisa realizada por Métrégiste (1984) que durante dois anos
trabalhou seqüências utilizando três variáveis didáticas: papel e lápis, máquinas
mecânicas que realizam transformações e calculadoras pré-programáveis. Seus
objetivos em relação à aprendizagem dos alunos era utilizar diferentes métodos de
construção para transformar figuras, reconhecer e classificar as transformações,
localizar as propriedades e as invariantes de cada transformação e confrontar diferentes
modos de representação com a realidade física (MÉTRÉGISTE, 1984, p. 234 apud
SANGARÉ, 2006).
A relevância do trabalho de Métrégiste na pesquisa de Sangaré são as respostas
colocadas por alunos que utilizam traçar um segmento de reta entre um ponto da figura
objeto e o ponto correspondente de sua imagem obtida por uma transformação, traço
este que no decorrer de seu trabalho é analisado como fator primordial nas concepções
dos alunos.
Sangaré (2006) coloca as seguintes questões em seu trabalho: Quais são os tipos
de problemas nos quais os alunos utilizam estes “traços” de construção? Quais papéis
desempenham na resolução de problemas? Estes “traços” de construção são
significativos do estado de conhecimento dos alunos a propósito das transformações
geométricas do plano? Pode-se modelar estes “traços” em termo de objeto de
conhecimento para novas configurações ligadas a transformações geométricas?
(SANGARÉ, 2006, p. 233).
Segundo Sangaré (2006), estes “traços” de construção desempenham diferentes
papéis na resolução de problemas, como por exemplo, instrumento de construção de
uma figura dada por uma transformação, ou ainda, instrumento de controle de uma
conjectura feita sobre a identificação de uma figura.
A modelagem abrange isometria (simetria axial e central, translação e rotação) e
homotetia, o que torna esta pesquisa de grande interesse no desenvolvimento deste
trabalho. Na fase de experimentação e análise dos resultados obtidos, o autor apresenta
detalhes sobre o tipo de atividade, as variáveis didáticas e como foram aplicadas as
atividades. Suas conclusões revelam que a utilização dos “traços” ou marcas são pontos
importantes na caracterização das concepções de alunos sobre as transformações de
figuras, permitindo a dissociação entre a figura objeto e sua imagem e o estatuto da
marca (segmentos que ligam os pontos correspondentes entre figura e imagem).
Segundo Sangaré (2006, p. 262), os alunos souberam construir conhecimentos ao
redor desta noção que lhes permitiu consolidar e reorganizar as suas concepções sobre
as transformações.
Fundamentação teórica
A teoria das situações didáticas busca a interação entre o professor, o aluno e o
saber, e o “milieu” no qual o aprendizado se desenrola. Esta teoria foi desenvolvida por
Guy Brousseau (1986) pesquisador francês da Universidade de Bordeaux.
O objetivo da teoria das situações didáticas é estudar os fenômenos que interferem
no processo de ensino e de aprendizagem da matemática, e propor um modelo teórico
para a construção, análise e a experimentação de situações-problemas. Então podemos
dizer que ela propõe um modelo teórico constituindo-se uma base de apoio didático
para criar situações que conduzem à aquisição de um determinado conjunto de
conhecimentos/saberes matemáticos.
Para que haja um processo de ensino e aprendizagem eficiente, a teoria das
situações sugere quatro fases distintas: Dialética da ação, dialética da formulação,
dialética da validação e dialética da institucionalização.
Dialética da ação: fase em que se coloca para o aluno um problema no qual o
conhecimento a ser ensinado faz parte da solução do problema e o aluno possa utilizar
seus saberes anteriormente adquiridos.
Dialética da formulação: fase em que o aluno expõe por escrito ou oralmente sua
solução. Enfim, nesta fase há a formulação de seqüências lógicas para a generalização
da solução.
Dialética da validação: nesta fase a solução é submetida à validação, podendo
haver debate entre o professor e o aluno com a finalidade de justificar a solução.
Dialética da institucionalização: fase em que o professor formaliza o
conhecimento e permite ao aluno que a partir desta fase, este conhecimento possa ser
utilizado na resolução de outros problemas matemáticos.
Nas três primeiras fases o saber é personalizado e também socializado, pois no
momento da formulação e validação o aluno poderá compartilhar informações com seus
colegas e até com o professor. Na fase didática (última fase) o saber é
!" #$ $ %$ & '()'()!" *$ $ )+ ,-,.&+/ 0/seado em conhecimento 7
descontextualizado, o objeto de estudo é mostrado, e é despersonalizado, pois o saber é
reconhecido institucionalmente por uma comunidade científica.
Raymond Duval, filósofo e psicólogo, desenvolveu um modelo de funcionamento
cognitivo do pensamento, em termos de mudança de registros de representação
semiótica em que as maneiras de visualizar e raciocinar em matemática estão
intrinsecamente ligada á utilização das representações semióticas.
Segundo Raymond Duval (2005, p. 21) os objetos matemáticos não são
diretamente acessíveis à nossa percepção, sendo necessário uma representação para
esses objetos. Um mesmo objeto matemático possui várias formas de representações
que foram construídas durante o desenvolvimento da matemática. A maneira de
raciocinar em matemática, depende dessas representações semióticas.
Para Duval (2005, p. 21) a coordenação entre vários registros de representação é
condição necessária para o aprendizado e para que o objeto matemático não seja
confundido com suas representações ou seja, a compreensão da matemática só é efetiva
no momento em que distingue o objeto matemático da sua representação. A
compreensão de um conteúdo depende da coordenação de, no mínimo, dois registros.
Duval classifica em 4 os tipos de registros: a representação discursiva que divide
em dois tipos de registros, a língua natural e os sistemas de escritas (registro numérico,
algébrico e simbólico), e a representação não discursiva que é também dividida em dois
tipos de registros, os registro figurais e os registros gráficos.
Existem dois tipos de transformações de representações semióticas: o Tratamento
e a Conversão. O Tratamento
é a transformação da representação numa outra
equivalente, porém permanecendo no mesmo registro, (exemplo completar uma figura
segundo critérios de simetria). A Conversão é a transformação da representação numa
outra equivalente, porém não permanecendo no mesmo registro, (exemplo passar de
escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica).
Segundo Duval, é a atividade de conversão que aparece como atividade de
transformação representacional fundamental, a que conduz aos mecanismos subjacentes
á compreensão, segundo o ponto de vista cognitivo.
Duval destaca quatro maneiras de apreender uma figura: apreensão perceptiva
(está relacionada com a primeira visão e interpretação das formas da figura), apreensão
discursiva (está relacionada com notação em língua natural até uma legenda ou
12345647 89 19 :9 ; 4<1=><=>67 ?9 49 >@ ABAC;@D EDseado em conhecimento 8
símbolos, convenções matemáticas como, por exemplo, o símbolo para denotar 90º),
apreensão seqüencial (está relacionada com a construção da figura, quais propriedades
estão envolvidas na construção) e a apreensão operatória (corresponde a transformar a
figura dada em outras figuras para obter novos elementos que poderão nos levar à idéia
da solução de um problema ou de uma prova).
Desenvolvimento Do Material Didático
Esta pesquisa iniciou-se com os estudos de Processamento de Língua Natural que
abrangeram o histórico (como vem se desenvolvendo suas aplicações até os dias atuais),
tipos de gramáticas (regulares, livres de contexto e sensíveis ao contexto) e semântica.
Optamos por semântica ontológica e os estudos delimitaram as diversas
ferramentas para gerar a ontologia, tais como Protégé, Ontolingua, Oiled, entre outros.
As pretensões do sistema são: o aluno possui uma dúvida e elabora uma pergunta
ao sistema, em língua natural (o professor pode interferir); o sistema faz a análise
semântica e gera uma forma lógica a partir do questionamento, utilizando-se do léxico;
a forma lógica é passada para ontologia que tenta localizar as relações dos termos
empregados pelo aluno e os existentes na ontologia; o sistema tentará buscar a situaçãoproblema mais adequada e devolverá para o aluno a responsabilidade pela construção do
seu saber, caso contrário, pedirá que o aluno reformule a pergunta.
Na construção da plataforma computacional optamos por iniciar pela Base de
Dados das seqüências didáticas (o repositório de fatos). Utilizamos para
desenvolvimento o Visual Pascal (Delphi) e para auxílio nas construções geométricas
optamos por utilizar o GeoGebra que é um software gratuito, criado por Markus
Hohenwarter que pode ser utilizado para geometria, pois possui as ferramentas de um
software de geometria dinâmica, podendo também ser utilizado para álgebra e cálculo.
Para finalizar as figuras geradas pelo GeoGebra e torná-las dinâmicas dentro de nossa
plataforma, utilizamos o HTML (HyperText Markup Language - Linguagem de
Formatação de Hipertexto).
Nossas seqüências didáticas foram segregadas pelos temas: figuras com simetria,
simetria axial, simetria central, rotação e translação. Ao final de cada uma das
seqüências encontramos a institucionalização que, segundo Brousseau, é o momento em
que o professor formaliza o conhecimento para o aluno utilizá-lo na resolução de outros
FGHIJKIL NO FO PO Q IRFSTRSTKL UO IO TV WXWYQVZ [Zseado em conhecimento 9
problemas matemáticos. Neste momento apresentamos ao aluno atividades de
demonstração que, após a sua realização são conferidas pelo sistema que aponta os erros
e/ou acertos.
Nas figuras abaixo mostraremos fragmentos do tema “figuras com simetria”, o
que representa uma pequena parte de nossa proposta com a criação das seqüências
didáticas.
Esta seqüência de atividades será apresentada pelo sistema ao interpretar questões
como figuras simétricas, eixo de simetria, segmentos proporcionais, bissetriz de um
ângulo, Mediatriz de um segmento, entre outras (estas palavras estão relacionadas na
ontologia). Dependendo da formulação do questionamento o sistema deverá mostrar
toda a seqüência ou apenas separar uma das atividades da seqüência.
Uma vez que o sistema selecionou a atividade completa, o usuário deverá escolher
entre fazer todas as atividades ou o sistema lhe fornece uma segunda opção, contendo a
opção: “Click em sair caso já conheça: figuras simétricas, eixo de simetria e as
propriedades de simetria”.
No caso de nosso usuário optar por sair, isto não nos garante que seu
conhecimento abranja as referências, então o sistema apresentará a institucionalização.
No caso do usuário optar por fazer as atividades, então o sistema exige que as atividades
sejam realizadas na ordem proposta e finalizadas por completo.
A primeira atividade é uma atividade de percepção, com o objetivo de introduzir
a noção de figura simétrica e de eixo de simetria. Mostramos uma figura animada e
figuras estáticas que possuem simetria, e também, um pentágono sendo dobrado por um
de seus eixos de simetria (figura 1).
\]^_ à_ bc bcbc d]cca_e ]
e_ce] m]feb^]g h]e] c_
_cîj_cc_e f_mk_îlbc _e ae
_cd_kn]o
pqrstuv wxyx zv{u |xt|x}z{u~ uv suqv zqv{z syu obradura que faz com que
as duas partes obtidas coincidam, são denominadas figuras com simetria e a
reta que passa pelo vinco da dobradura é chamada de eixo de simetria.

A figura (borboleta) é um gif encontrado em http://www.uniblog.com.br/img/posts/imagem26/269347.gif

¡¢ £ ¤¥ ¥ ¦¥ § ¨©ª¨©ª¢£ «¥ ¥ ª¬ ®¯§¬° ±°seado em conhecimento 10
A segunda atividade é de manipulação e percepção, mantendo o mesmo objetivo
da primeira atividade (figura 2). Apresentamos figuras com simetria e utilizamos como
variáveis didáticas à escolha da malha quadriculada e a posição do eixo de simetria
(vertical, horizontal e inclinado).
Movimente um dos pontos da figura e observe o que acontece:
²³´µ¶· ¸¹ º»³¼³½·½¾ ¸
O objetivo da terceira atividade é a utilização dos conhecimentos adquiridos nas
atividades anteriores, as variáveis didáticas escolhidas são a complexidade das figuras
(uma simples e outra complexa) e a malha quadriculada.
O sistema está programado para aceitar e mudar para “cor de rosa” (figura 3)
qualquer quadradinho da malha (lado direito do eixo de simetria), porém a um segundo
toque retorna a cor original. Este problema tem como intenção fazer o aluno agir,
refletir e evoluir por iniciativa própria, segundo a Teoria das situações didáticas de
Brousseau. O sistema faz, no final, a conferência de possíveis erros e/ou acertos.
apontando-os para o usuário.
²³´µ¶· ¿¹ º»³¼³½·½¾ ¿
ÀÁÂÃÄÅÃÆ ÇÈ ÀÈ ÉÈ Ê ÃËÀÌÍËÌÍÅÆ ÎÈ ÃÈ ÍÏ ÐÑÐÒÊÏÓ ÔÓseado em conhecimento 11
O objetivo da atividade quatro é introduzir as propriedades de figuras simétricas.
Esta atividade mostra a conservação das medidas dos ângulos opostos pelo eixo de
simetria e o conceito de ângulos congruentes, a conservação das medidas de segmentos
opostos pelo eixo de simetria e o conceito de segmentos congruentes e por fim o
conceito de “bissetriz de um ângulo”, induzindo ao aluno elaborar os conceitos
matemáticos destes objetos. Todas as tarefas desta atividade envolvem a manipulação
das figuras (figura 4).
Movimente o ponto azul das figuras abaixo e observe as medidas de seus ângulos:
ÕÖ×ØÙÚ ÛÜ ÝÞÖßÖàÚàá Û
A quinta atividade tem como objetivo a aplicação dos conhecimentos adquiridos e
a introdução da noção de figuras assimétricas, para tanto, mostramos uma série de
figuras simétricas e assimétricas de diferentes níveis de dificuldade, e solicitamos que
seja apontado o número de eixos de simetria (figuras 5 e 6). A tarefa é verificada pelo
sistema: se a resposta estiver correta, o sistema mostrará a figuras com os devidos eixos
de simetria (como mostra parte da atividade abaixo). Caso contrário, pedirá uma nova
resposta.
ÕÖ×ØÙÚ âÜ ÝÞÖßÖàÚàá â
ãäåæçèæé êë ãë ìë í æîãïðîïðèé ñë æë ðò óôóõíòö ÷öseado em conhecimento 12
Figura 6: Atividade 5
O objetivo da sexta atividade é a utilização e verificação dos conhecimentos
adquiridos nas atividades anteriores, como eixo de simetria, segmentos congruentes,
bissetriz de um ângulo, entre outros. É uma atividade de simples escolha entre
verdadeiro ou falso, porém se a resposta estiver incorreta o sistema buscará atividade
anterior que condiz com a pergunta e pedirá ao aluno para resolver novamente, pois
entendemos que o objetivo da atividade não foi alcançado.
A sétima atividade tem como objetivo introduzir o conceito de mediatriz. É uma
atividade de manipulação e observação da figura e as variáveis didáticas são o
comprimento do segmento e sua posição (horizontal, vertical e inclinado).
Após o término das atividades mostramos uma tela com quatro guias que é a
institucionalização dos objetos matemáticos trabalhados na respectiva atividade (figuras
7, 8, 9 e 10).
Figura 7: Institucionalização
øùúûüýûþ ÿM øM
M ûøýþ M ûM seado em conhecimento
Ao final de cada tema criamos um link para um módulo complementar do sistema,
o qual é denominado módulo de demonstração. Esse módulo tem como objetivo
principal introduzir a demonstração matemática que, segundo Balacheff, “é uma prova
aceita pela comunidade matemática. A demonstração fundamenta-se em explicações
apresentadas
numa
seqüência
de
enunciados,
organizados
conforme
regras
determinadas. Um enunciado é conhecido como verdadeiro, ou é deduzido a partir
13
seado em conhecimento
daqueles que o precederam, graças a uma regra de dedução.” (APPUD HARUMA,
2000, p. 5).
Para Duval, “a aprendizagem da demonstração consiste primeiramente na
consciência do tipo de discurso (é diferente do discurso realizado pelo pensamento
natural) ...a dedução é uma forma de cálculo cuja organização não é evidente e, ainda, a
tomada de consciência do que é uma demonstração somente ocorre numa articulação de
dois registros, dos quais uma é a utilização pelo aluno da linguagem natural (registro
discursivo)” (ALMOULOUD, 2005, p. 128).
O nosso módulo de demonstração tem início por um tutorial com o objetivo de
explicar a utilização da ferramenta e os passos de uma demonstração. Esse tutorial
aponta a importância da leitura do enunciado e sua compreensão antes de iniciar a
tarefa, explica a diferença da hipótese e da tese e traça um rápido relato sobre cada
passo da demonstração ser dependente dos passos anteriores. Esse tutorial é automático
e se dá sobre um exemplo.
A primeira atividade de demonstração é bem simples (figura 11).
Figura 11: Demonstração
Temos um “Guia de Demonstração” à disposição na interface, onde o usuário deve
fazer, entre vários itens, a escolha da tese e da hipótese. Para cada passo da
demonstração ele deverá escolher um item e uma justificativa, e o sistema se encarrega
de colocar suas escolhas nas caixas de edição corretas sem interferir em sua resposta.
14
!"#$%&$' () !) *) + $,!-.,-.&' /) $) .0 1213+04 54seado em conhecimento
Apenas após terminar a tarefa é que o sistema fará a correção de item por item
apontando os erros e/ou acertos.
Nossa plataforma computacional e nossas seqüências didáticas ainda não estão
terminadas e, embora nossa maior preocupação no momento é desenvolver uma
ferramenta que possa ser utilizada sem treinamentos prévios e as seqüências didáticas
possam exercer o seu objetivo de ensino e de aprendizagem, acreditamos que obteremos
uma resposta satisfatória a nossa questão de pesquisa, ou seja, que a união de duas
Teorias (Registros de Representação Semiótica, Duval e Teoria das Situações Didáticas,
Brousseau) já comprovadamente eficientes à tecnologia pode promover e construção do
conhecimento.
Referências
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conceitos geométricos. In: MACHADO, Silva Dias Alcântara. Aprendizagem em
matemática (registro de representação semiótica). 2ª edição. Campinas: Papirus, 2005,
p.125-147.
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Ed. UFPR, 2007.
BRASIL, Ministério de Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais do
Ensino Fundamental: Terceiros e Quartos ciclos (PCNs), 1998.
BROUSSEAU, G. Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática. In: BRUN,
Jean. Didáticas das Matemáticas. 1ª ed. Lisboa: Ed. Instituto Piaget, 1996, p. 35-113
DUVAL, R. Registros de Representação Semióticas e Funcionamento Cognitivo da
Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silva Dias Alcântara. Aprendizagem
em matemática (registro de representação semiótica). 2ª edição. Campinas: Papirus,
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HARUNA, N. C. A. O teorema de Thales: Uma abordagem do processo ensinoaprendizagem. 2000, 294p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São
Paulo: PUC. Orientador: ALMOULOUD, S. A.
15
6789:;9< => 6> ?> @ 9A6BCABC;< D> 9> CE FGFH@EI JIseado em conhecimento
MABUCHI, Stesuko Takara. Transformações geométricas: a trajetória de um
conteúdo ainda não incorporado às práticas escolares nem à formação de professores.
2000, 259p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC.
Orientadora: Dra. Célia Maria Carolino Pires.
MANRIQUE, A. L.; SILVA, Maria José Ferreira da; ALMOULOUD, Saddo Ag.
Semelhanças e diferenças: análise de atividades envolvendo objetos de diferentes
dimensões. In: Anais do VII Encontro Paulista de Educação Matemática, 2004, São
Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, v. 1, 2004, p. 1-14.
SANGARÉ, M. S. La marque d’une transformation géométrique. Un exemple de
modelisation didactique. In: Educação Matemática Pesquisa. Educ, V.8, n2, 2006, p.
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WEBBER, Carine. Modelisation Informatique de l’apprenant: une basse sur lê
modèle ckc et la Thèorie de l’émergence. 2003, 213p. Tese (Doutorado em Ciência da
Computação). Université Joseph Fourier, Grenoble. Orientador: Nicolas Balacheff.
16
KLNOLPQRS TU V W XQYZPTS RU TU L[\ \]^_àW bca decfedimentos
alternativos
utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX
2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Eixo-temático: Resolução de Problemas e Investigação Matemática
UMA ANÁLISE DOS PROCEDIMENTOS ALTERNATIVOS
UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS E DAS DEFINIÇÕES
SOBRE FRAÇÕES
Andresa Maria JUSTULIN- UNESP, Bauru
([email protected]
Nelson Antonio PIROLA – UNESP / Bauru ([email protected]
Resumo: Esse trabalho buscou analisar os diversos procedimentos utilizados pelos
alunos do Ensino Médio (1ª, 2ª e 3ª séries) para resolver exercícios e definir frações.
Através de uma prova matemática aplicada em 95 sujeitos de uma escola pública da
região de Jaú/SP, constatou-se que existe certa dificuldade em conceituar e resolver
exercícios sem o auxílio da técnica (MMC). A metodologia utilizada foi qualitativa,
buscando analisar os procedimentos e respostas fornecidas pelos alunos. Um estudo
posterior pretende relacionar desempenho na solução de problemas e exercícios
envolvendo frações, as atitudes em relação à matemática e o gênero.
Palavras-chave: Atitudes, Matemática, Frações, Procedimentos.
O Ensino Médio, etapa final da Educação Básica, de acordo com a LDB 9394 de
1996, tem duração mínima de três anos e deve aprofundar os conhecimentos adquiridos
no Ensino Fundamental, possibilitando o prosseguimento dos estudos e pode prepará-lo
para o exercício profissional. A matemática no Ensino Médio tem um valor formativo
que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, sendo também uma
ferramenta para a vida cotidiana e para outras atividades diárias.
Uma análise das avaliações governamentais sobre o desempenho em matemática
de alunos do Ensino Fundamental e Médio, mostra baixos índices das escolas públicas
nas provas de matemática do SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar
do Estado de São Paulo) e SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica).
Essas avaliações são baseadas em situações-problema e não em questões objetivas que
valorizam apenas a memorização de fórmulas, regras e esquemas. Os resultados dessas
hijkilmno pq r s tmuvlpo nq pq iwx xyz{|}s ~} edimentos
alternativos 2
2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)
provas são preocupantes: os índices médios de acerto não têm variado muito, raramente
ultrapassam 40% de acerto nas mais diversas regiões do país.
Pesquisas na área da Educação Matemática, como as de Brito (1996), mostram
que um fator que tem influenciado a aprendizagem dos alunos em matemática diz
respeito ao fator afetivo. A autora compilou referências importantes ao tema gênero,
atitudes e a aprendizagem de matemática. Essa autora estudou e fez um vasto
levantamento bibliográfico sobre as atitudes em relação à matemática; validou e testou a
escala de atitudes elaborada por Aiken e Dreger (1961) e liderou um Grupo de Pesquisa
– Grupo de Pesquisa em Psicologia da Educação Matemática – a partir do qual foram
desenvolvidos vários trabalhos enfocando as atitudes em relação à matemática.
No documento introdutório dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN),
verifica-se que existe uma preocupação com o ensino de atitudes:
A transmissão de valores e atitudes ocorre mesmo que não faça parte
explicitamente de conteúdos a serem ensinados, por isso a reflexão
que já ocorre por parte de alguns profissionais envolvidos com
educação precisa ser ampliada de forma a promover a incorporação
consciente e sistemática dessa discussão do trabalho pedagógico.
(1999, p. 20)
Um dos eixos metodológicos da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo
(2008) e dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (1999) e que não tem
apresentado bons resultados em avaliações oficiais é a solução de problemas.
Na psicologia educacional, diversos autores analisaram a solução de problemas
(MAYER, 1992; POZO, 1998; STERNBERG, 1992, 1994, 2000; HUNT, 1994,
PIROLA, 2000; BRITO, 2006) e afirmaram a importância desse conteúdo nos
currículos escolares. ysxyo s x|y~x s~w|yx y sy}|y ~x rxsmática são os
exercícios descontextualizados que funcionam como uma espécie de treino para os
alunos. A solução de problemas fica em segundo plano ou na seção de aplicações do
livro didático e não configuram na prática, como uma metodologia de ensino.
Outro conteúdo que apresentou baixos índices nas avaliações oficiais, além de
uma “quase” ausência nas pesquisas acadêmicas ao compararmos com outros temas
abordados é o ensino de Frações.
Muitos trabalhos apontam dificuldades dos alunos com o conceito de fração
(CATALANI, 2002; OLIVEIRA, 1996). Algumas das falhas no entendimento dos
¡edimentos
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alunos desse conceito devem-se à complexidade e à forma de abordagem, que muitas
vezes é mecanicista, pronta e acabada.
Este trabalho faz parte de uma dissertação de mestrado em andamento e busca
analisar os principais procedimentos utilizados pelos estudantes do Ensino Médio
durante a solução de alguns exercícios ou problemas envolvendo o conceito de frações.
Além das definições apresentadas pelos sujeitos sobre o que entendem por fração.
O Ensino de Frações
A palavra Fração tem origem do latim Frangere e significa quebrar, ou seja, uma
parte de um todo. A idéia inicial que as crianças aprendem já nas séries iniciais do
Ensino Fundamental é que a fração é uma parte do todo. Com isso, não importa o
tamanho das partes, se os pedaços foram divididos de maneira igual.
O ensino das frações de acordo com Prado (2000 apud CATALANI, 2002) deve
ser centrado “na (re)criação dos conceitos matemáticos, destacando como elemento
importante para esta o caminho do movimento da história do conceito” (p. 56).
As crianças parecem passar pela mesma lógica do desenvolvimento do conceito
de fração. Assim, a experiência com situações envolvendo frações é importante e ao
longo da escolaridade, o aluno vai compreendendo a linguagem, os símbolos e torna
esses elementos significativos.
Os livros didáticos em sua maioria, entretanto, trazem ainda um grande
formalismo e apresentam uma matemática mecanicista. Dessa forma, pouco exploram o
movimento da história do conceito.
A notação para as frações que usa uma barra separando, horizontalmente ou de
maneira oblíqua dois números ou letras, data do século XVI. Muitas vezes, essa
representação, essa notação matemática adotada, não é significativa para o aluno, mas
isso não implica que ele não entendeu o conceito de fração. Dessa forma, o estudante
pode conceituar frações, mas não compreender os símbolos e suas operações.
O ensino e a aprendizagem do conceito de fração têm sido bastante limitados e
muitas vezes, fora da realidade do educando. Com isso, o estudante cria certa aversão a
esse conceito e à matemática, o que muitas vezes o impede de tentar compreender e
desenvolver raciocínios e buscar solucionar um determinado problema proposto.
¢£¤¥£¦§¨© ª« ¬ ®§¯°¦ª© ¨« ª« £±² ²³´µ¶· ¸¹· º»¹¼edimentos
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Existem algumas abordagens que podem ser encontradas nos diversos trabalhos,
de acordo com Catalani (2002), que investigam esse conceito: a ênfase no ensino por
meio de materiais manipulativos, pesquisa experimental, seqüências ou metodologias de
ensino e formação de professores.
Na primeira forma de abordagem do ensino de frações, a aprendizagem ocorreria
através da percepção, do contato dos alunos com objetos que representariam frações e, a
partir disso, o estudante compreenderia o conceito de fração.
Com o passar do tempo, essa forma de ensino começou a ser bastante criticada e
volta-se a atenção para a lógica e a linguagem.
Na tentativa de evitar o enfoque experimental sobre o ensino e com o avanço das
pesquisas construtivistas, novas metodologias, métodos, modelos e seqüências didáticas
que buscavam a melhoria do ensino de frações começaram a ser adotadas.
A partir dessas pesquisas, alguns autores dão indícios de que o conhecimento do
professor a respeito de frações e a forma de ensiná-lo podem levar a uma aprendizagem
fragmentada ou pautada em aspectos mecânicos.
Assim, destaca-se a importância da formação do professor, principalmente de 1ª a
4ª séries que possuem uma formação não específica da matemática e que, são os
responsáveis pela formação inicial do aluno. Sem dúvida, é uma questão que merece ser
discutida buscando novos rumos e soluções que favoreçam a aprendizagem.
Estudo Preliminar
Foram sujeitos da pesquisa 95 alunos de uma escola pública estadual de uma
cidade da Diretoria de Ensino – Região Jaú. A escola foi selecionada aleatoriamente,
considerando o número de alunos e o fato de possuir o Ensino Médio. Os sujeitos
distribuíram-se pelas três séries, sendo que 32 alunos cursavam o 1º Ano do Ensino
Médio, 37 o 2º Ano e 26 o 3º
A coleta dos dados foi realizada em duas etapas distintas após a autorização do
diretor da unidade escolar e de alguns professores que cederam suas aulas para a
aplicação dos instrumentos de pesquisa.
Após a autorização do diretor e dos professores, iniciou-se a aplicação dos
instrumentos de coleta de dados. Essa primeira etapa foi dividida em dois dias. No
½¾¿À¾ÁÂÃÄ ÅÆ Ç È ÉÂÊËÁÅÄ ÃÆ ÅÆ ¾ÌÍ ÍÎÏÐÑÒÈ ÓÔÒ ÕÖÔ×edimentos
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primeiro, os alunos deveriam responder o questionário pessoal, a escala de atitudes em
relação à matemática e realizar a prova de matemática através do recurso do MMC.
Os alunos respondiam cada instrumento e somente depois que todos terminassem
era distribuído outro. O professor da sala acompanhou a aplicação das provas e auxiliou
na ordem da sala, pois os alunos não deveriam comunicar-se durante a realização das
avaliações. A duração das atividades do primeiro dia era de cerca de 50 minutos.
No segundo dia, os estudantes realizavam a Prova de Matemática onde era
solicitado que os participantes resolvessem operações com frações sem utilizar o MMC.
Foi requerido também que eles resolvessem problemas envolvendo frações. A duração
das atividades também era de cerca de uma aula (50 minutos).
Para a segunda etapa, foi selecionado um aluno com média de aproximadamente
cinco e chamado para realizar uma entrevista. O sujeito, aluno do 1º Ano, concordou em
participar da pesquisa.
A entrevista foi audiografada e solicitou-se que o aluno explicasse cada
procedimento que realizava, como se estivesse “pensando em voz alta” e se fosse
preciso, o pesquisador iria interrogá-lo para obter da forma mais precisa o modo como
estava raciocinando e realizando o procedimento.
Nesta etapa da pesquisa, possivelmente, serão entrevistados novos sujeitos
selecionados a partir de seus desempenhos. Pretende-se escolher aleatoriamente um
aluno que obteve nota maior que 5 (cinco) e outro com conceito inferior a 5 (cinco).
Breve análise dos resultados
Este trabalho buscou analisar qualitativamente os procedimentos utilizados no
segundo dia da 1ª etapa da pesquisa, em que os alunos definiram e resolveram
exercícios sobre frações sem o uso do MMC.
No primeiro exercício da prova foi solicitado que os alunos procurassem novas
maneiras de resolver os exercícios de fração. Composto por três alternativas, o exercício
exigia que o sujeito realizasse soma e subtração de frações.
Na análise dos procedimentos, encontrou-se na divisão de frações, a denominada
Regra do Peixinho. Muitos alunos escreveram ou indicaram essa maneira de resolver
que consiste em multiplicar o numerador da 1ª fração pelo denominador da 2ª. O
número obtido será o numerador da nova fração. Em seguida, multiplica-se o
ØÙÚÛÙÜÝÞß àá â ã äÝåæÜàß Þá àá Ùçè èéêëìíã îïí ðñïòedimentos
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denominador da 1ª pelo numerador da segunda, obtendo-se o denominador da nova
fração. O desenho formado durante esse processo é o de um peixePPA.
A alternativa A (
3
10
1
) foi classificada em acertou/errou e o procedimento
4
utilizado. Neste exercício esperou-se que o aluno utilizasse as frações equivalentes ou
representação gráfica para chegar à reposta. Entretanto, apenas 12 alunos acertaram o
resultado e desenvolveram o procedimento de maneira adequada. Seis estudantes
transformaram em decimais, 3 (três) utilizaram as frações equivalentes e o restante não
indicou o procedimento claramente.
Deixaram a questão em branco, 23 alunos, o que representa cerca de 25% do total.
Quanto aos erros, foram encontrados os seguintes:
1. O estudante somou os numeradores e denominadores (16,84%)
2. O estudante realizou o MMC, mesmo não sendo permitido – o que pode
significar que não entendeu o solicitado ou não sabe fazer de outra forma (14,74%)
3. O estudante obteve uma resposta errada, mas não indicou o procedimento
(11,58%)
4. O estudante utilizou desenho, mas os inteiros eram diferentes ( 7,37%)
5. O estudante somou os numeradores e multiplicou os denominadores/ utilizou a
regra do peixinho/ Utilizou representação inadequada (como somar bolinhas com
quadradinhos) (2,11% cada)
6. O estudante descreveu um procedimento sem lógica/ Multiplicou em cruz e
somou/ Somou os numeradores e subtraiu os denominadores/ Somou o numerador,
fatorou os denominadores e somou/ Somou os numeradores e conservou o maior
denominador/ Multiplicou a 1ª fração por 3 e a 2ª por 4. (1,05% cada)
Em anexo, pode-se visualizar os gráficos de acertos A e dos principais erros B.
A questão B (
4 2
! ) solicitou que os alunos fizessem a subtração de frações sem
5 3
utilizar o recurso do MMC. O número de acertos novamente foi de 12 (doze). O número
de brancos aumentou, representando 27,37% do total.
Os erros encontrados assemelham-se aos apresentados no exercício 1A
(anterior). A tabela A indica os seguintes:
1. O estudante subtraiu os numeradores e denominadores (17,89%)
2. O estudante utilizou o recurso do MMC (15,79%)
óôõöô÷øùú ûü ý þ ÿøJ ÷ûú ùü ûü ô þ edimentos
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3. O estudante utilizou desenho, mas os inteiros eram diferentes/ Não indicou o
procedimento (5,26%)
4. O estudante subtraiu os numeradores e multiplicou os denominadores/ Tentou
desenhar, mas não concluiu as idéias (3,16%)
5. O estudante utilizou a “Regra do Peixinho”/ Utilizou procedimento incorreto
(2,11%)
6. O estudante subtraiu os numeradores, fatorou os denominadores e somou/
Subtraiu os numeradores e somou os denominadores/ Não concluiu/ Multiplicou
em cruz e somou tudo (1,05%)
O exercício 1C (
3
25
2
) apresentou resultados semelhantes ao 1A que solicitava
5
adição de frações. Entretanto, apenas 9 (nove) alunos acertaram a resposta, indicando
que o índice de acertos diminuiu.
Aproximadamente 24 % dos sujeitos deixaram o exercício em branco.
Em relação aos principais erros, 16,84 % dos alunos, somou numeradores e
denominadores e 14,37 % utilizaram o MMC. Os demais erros podem ser visualizados
na tabela A .
A 2ª questão (Escreva o que você entende por fração e dê exemplos) apresentou
respostas que evidenciaram a falta de domínio do conceito de fração. Muitos alunos não
conseguiram dar exemplos satisfatórios e outros, apenas descreveram o procedimento
técnico utilizado nos problemas ou exercícios que envolvem frações.
Um número relativamente alto de sujeitos (21) deixou a questão em branco.
Outros 4 (quatro) alunos escreveram que não lembravam o conceito de fração e 5
(cinco) estudantes apenas deram exemplos ou realizaram uma representação.
Uma grande parte dos alunos (11) relacionou a fração com uma divisão. Um
sujeito entendeu que as frações são razões, o que se reporta a idéia de divisão. O mesmo
participou da 2ª parte da pesquisa (entrevista) e complementou:
Aluno: Por exemplo, a gente tem o numerador e o denominador.
Então, a gente sabe que o denominador é em quantas partes foi
dividido o inteiro e o numerador o tanto que foi retirado dessa divisão.
E como a gente sabe a razão é uma divisão e por isso que eu falei que
a fração era uma razão.
Outra idéia de fração refere-se ao todo e suas partes. 25 (vinte e cinco) sujeitos
afirmaram que “Fração é uma parte de um todo”, o que pode levar a alguns equívocos
se o inteiro não for dividido em partes iguais. Somente 5 (cinco) alunos indicaram que
!" #$" %&$'edimentos
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“é o todo dividido em partes iguais”. Outro aluno respondeu que fração “É uma parte
pequena de um número”.
Outros sujeitos indicaram que as frações representam “partes quebradas” cuja
divisão resulta em número decimal. Essa idéia foi apontada por 8 (oito) alunos.
Quatro estudantes indicaram que “Fração é uma conta que faz MMC” e outro
afirmou ser uma conta que subtrai.
Alguns alunos parecem não ter conseguido se expressar ou apresentaram
dificuldades para definir ou conceituar frações. 4 (quatro) sujeitos responderam que
“pode representar muitas coisas”. 2 (dois) afirmaram não entender nada
O instrumento de avaliação aplicado no 2º dia da 1ª etapa da pesquisa era
composto ainda, de um 3ºexercício em que o aluno deveria indicar a fração
correspondente às figuras destacadas.
O primeiro desenhoB apresentou um todo dividido em partes não iguais. Diante da
definição de frações, somente um aluno apontou que não seria possível indicar a fração
correspondente à área hachuarada, já que as partes não são iguais.
O restante dos sujeitos participantes da pesquisa, ou seja, 94 (noventa e quatro
estudantes) responderam de maneira equivocada essa questão. 17% dos estudantes não
consideraram as duas regiões da figuras, mas, somente, a parte em preto. 11%
responderam
2
justificando de maneira parecida com a do aluno que participou da
3
entrevista:
Aluno: Então seria 2/3, porque ele dividiu em 3 e pegou 2.
Alguns alunos tentaram subdividir a figura de maneira a deixar as partes iguais,
mas como a forma era oval isso não seria possível.
Deixaram em branco o exercício 3A, 26% dos sujeitos.
Já a alternativa B C apresentava um retângulo dividido em 4 (quatro) partes e
destacadas apenas 2 (duas).
O número de sujeitos que acertaram essa questão foi de 73 (setenta e três). Destes
41 (quarenta e um) responderam
(fração irredutível).
2
, não fornecendo a resposta de modo simplificado
4
()*+),-./ 01 2 3 4-56,0/ .1 01 )78 89:;<=3 >?= @A?Bedimentos
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Nove alunos deixaram a questão em branco e um sujeito escreveu “Não Sei”. A
figura D indica a porcentagem de alunos e suas respectivas respostas no exercício 3B.
Algumas considerações
A pesquisa de Mestrado do qual esse trabalho é integrante, busca investigar
possíveis relações entre as atitudes em relação à Matemática, o gênero, o desempenho e
os procedimentos utilizados na solução de problemas/ exercícios envolvendo frações.
Alguns resultados preliminares evidenciaram que os alunos, em geral, têm melhor
desempenho na resolução de exercícios do que na solução de problemas.
É importante ressaltar que essa parte da pesquisa foi abordada de maneira
qualitativa com objetivo de verificar os principais procedimentos alternativos
apresentados pelos alunos quando não se pode utilizar a técnica – a regra do MMC mas sim o conceito de fração.
Os resultados parecem evidenciar que os alunos do Ensino Médio não apresentam
um conceito adequado de fração. Esses dados corroboram com as idéias de Lins e Silva
(2007) que apontam para uma abordagem no ensino de frações contemplando este
conteúdo de diversas maneiras com base nas várias situações. Assim, o educando
poderá entender frações não apenas como medidas ou razões, mas avaliar a ocasião para
obter a resposta adequada.
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Matemática requeridos na Solução de Problemas Aritméticos por Estudantes do
Ensino Médio. Dissertação (Mestrado em Educação). 1999. Faculdade de Educação,
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os procedimentos utilizados na solução de problemas Matemáticos. Tese
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Educação/LDB: Lei 9.394/96. Brasília, DF, 1996.
BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): Ensino Médio. Brasília, DF, 1999.
CDEFDGHIK LM N O PHQRGLK IM LM DST TUVWXYO Z[Y \][êdimentos
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BRITO, M. R. F. Um estudo sobre as atitudes em relação à Matemática em
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BRITO, M. R. F. (Org.). Psicologia da Educação Matemática. Florianópolis: Insular,
2001.
BRITO, M.R.F. (org.). Solução de Problemas e a matemática escolar. Campinas:
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conceitual da fração. Dissertação (Mestrado em Educação). 2002. Faculdade de
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GONÇALEZ, M. H. C. C. Relações entre família, o gênero, o desempenho, a
confiança e nas atitudes em relação à matemática. Tese (Doutorado em Educação).
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relação à Matemática. In: BRITO, M. R. F (Org.). Psicologia da Educação
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KLAUSMEIER, H. J.; GOODWIN, W. Manual de psicologia educacional:
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Azevedo de. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1977.
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processos diferentes de ensino na 5ª série do 1º grau. Dissertação (Mestrado em
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STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. Tradução de: BORGES, Maria Regina.
Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.
_àb`cdef gh i j kdlmcgf eh gh `no opqrstj uvt wxvyedimentos
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Anexos
A
Figura A: Regra do Peixinho, de acordo com os alunos
z{|
50%
25%
A
}~ ~ ~ }~
}~ ~
Figura B – Gráfico dos procedimentos corretos no exercício 1A
A

29%
20%
8%
2%
13%
2%
1%
18%
1%
1%
1%
1%
1%
¡¢£¤¢ ¢ ¥¦§¨¥§© ¤¢¡§nadores
ª¦§¥§« ¤¢ ¢¡¬£ §¡¦¢§ ¢£¤§®¢entes
°¢£¥§« ±±²
±¥¦§¨¥§© ¢©«¢
¡¢£¤®£¦ ¤¢¡§¡£¤¢ e somou
±¥¦§¨¥§© £ ·¸ ®£¹º ¨»¢ £ ¸ ¨¼
ª¦§¥§« ¢¨¢ ¢¡¦£¹¾¢ ¿µ¥§¡¬£ À£¤£¤ , etc)
¡¢£¤¢ ¢ ¤¢¡§¡£¤¢ ¯©¢¤§¢¡¦ ¢ ¢¡¦§¤
ª¦§¥§« £ ¢³£ ¤ ¨¢§´§¡¬
£ ¡¢£¤¢ ¢ µ¦£§ ¤¢¡§¡£¤ores
¡¢£¤¢ ¢ ©¡ ¢¶ £§¤¢¡ominador
½º §¡¤§© ¨©¢¤§¢¡¦
µ£¡©
Figura C – Gráfico dos principais erros no exercício 1A
A
Acertou/ Errou - Principais Procedimentos
Errou. Subtraiu os numeradores e denominadores
1B
17
Errou. Subtraiu os numeradores e multiplicou os denominadores
3
Errou. Tentou desenhar, mas não concluiu as idéias
3
ÁÂÃÄÂÅÆÇÈ ÉÊ Ë Ì ÍÆÎÏÅÉÈ ÇÊ ÉÊ ÂÐÑ ÑÒÓÔÕÖÌ ×ØÖ ÙÚØÛedimentos
alternativos 12
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Errou. Utilizou MMC
15
Errou. Subtraiu os numeradores, fatorou os denominadores e somou
1
Errou. Utilizou desenho, mas os inteiros eram diferentes
5
Errou. Subtraiu os numeradores e somou os denominadores
1
Errou. Não concluiu
1
Errou. Não indicou o procedimento
5
Errou. Procedimento incorreto
2
Errou. Utilizou a regra do peixinho
2
Errou. Multiplicou em cruz e somou tudo
1
Em branco
26
Acertou, mas não indicou o procedimento
6
Acertou. Transformou em decimais
3
Acertou. Utilizou frações equivalentes
3
Acertou parcialmente. Transformou em decimais, mas errou a resposta
Tabela D – Principais erros e acertos no exercício 1B
1
A
Errou. Somou numeradores e denominadores
Errou. Somou os numeradores e multiplicou os denominadores
Errou. Somou os numeradores e dividiu os denominadores
Errou. Somou os numeradores e conservou o maior denominador
Errou. Somou os numeradores, fatorou os denominadores e somou
Errou. Multiplicou em cruz e somou tudo
Errou e não indicou o procedimento
Errou. Utilizou MMC
Errou. Utilizou desenho, mas os inteiros eram diferentes
Errou. Utilizou a regra do peixinho
Errou. Utilizou representação (bolinhas, quadrados, etc)
Errou. Subtraiu numeradores e denominadores
Errou. Transformou em decimais, mas errou a soma
Errou. Procedimento incorreto
Acertou. Utilizou frações equivalentes
Acertou. Transformou em decimais
Deixou em branco
Tabela E – Principais procedimentos realizados no exercício 1C
A
ÜÝÞßàá Ü â ãäåäæçè éè äêäàëìëÝè íî
1C
16
2
1
2
1
1
12
14
7
3
1
1
1
1
4
5
23
ïðñòðóôõö ÷ø ù ú ûôüýó÷ö õø ÷ø ðþÿ ÿJ ú
edimentos alternativos 13
2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)
A
F
1%
1
6% 2% 1%
9%
44%
1%
1%
34%
A
R !"# $%&
R !"# (%(
R !"# (
E/-6# 73 )
R !"# $%'
D)* # +,-.!/
A/-0 #
R !"# &%(
R !"# '%$
A/-0 #2 +. !3 )+4)5)/ #
Figura H – Respostas freqüentes apresenta
A
Errou. Somou numeradores e denominadores
1C
16
89:;<=> ?@ B@ C <G?9HG9HI> =@ <@ HKL MNOMOPQL SC CTsino a distância para o
aprendizado da Geometria hiperbólica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação
UMA PROPOSTA DE ENSINO A DISTÂNCIA PARA O APRENDIZADO DA
GEOMETRIA HIPERBÓLICA
Marília Valério ROCHA – PUC-SP ([email protected]
Prof. Dr. Saddo Ag. ALMOULOUD – PUC-SP ([email protected]
Resumo: O presente artigo apresenta uma proposta para o estudo a distância da
geometria hiperbólica, com o suporte do software de geometria dinâmica Cinderella.
Nosso material foca o estudo axiomático dos principais teoremas dessa geometria e foi
concebido a partir da teoria das situações didáticas, de Guy Brousseau (1986) e dos
estudos com a compreensão das demonstrações, desenvolvido por Raymond Duval
(1993). Pretendemos investigar se “o conhecimento de outras geometrias poderá
contribuir para a formação do professor de matemática?”, através de uma seqüência
didática a ser aplicada em alunos de licenciatura em matemática. A idealização do
projeto prevê a aplicação das atividades em uma plataforma de ensino a distância.
Palavras-Chave: Geometria Hiperbólica, Demonstrações, Ensino a Distância,
Geometria Dinâmica, Cinderella.
Introdução
Na maioria dos cursos de licenciatura em Matemática, o estudo das geometrias
não-euclidianas não é uma realidade freqüente, obrigando o futuro professor de
matemática a, caso seja de seu interesse, buscar esse conhecimento fora da graduação.
Reconhecendo a importância histórica do surgimento das outras geometrias, além
da euclidiana, no desenvolvimento da própria matemática e também na oportunidade de
conhecer outro estudo axiomático da geometria, elaboramos uma proposta didática
sobre o estudo da geometria hiperbólica.
Idealizamos a apresentação, numa página da Internet, de uma seqüência didática
sobre o tema, orientados pelos estudos de Duval (1993) e Brousseau (1986). A
investigação será centrada na questão de pesquisa “o conhecimento de outras
geometrias poderá contribuir para a formação do professor de matemática?”
Acreditamos que a compreensão dos dados extraídos dessa pesquisa poderá ser
relevante para a comunidade de educadores no sentido de levantar alternativas didáticas,
VWXYZ[\ ]^ _^ ` Za]WbaWbc\ [^ Z^ bde fghfhije k` `lsino a distância para o 2
contribuindo assim com a prática pedagógica do professor e também para a sua
formação específica.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Raymond Duval publicou vários textos sobre a importância da demonstração no
ensino de matemática, em particular na geometria, e defende que, cognitivamente, a
demonstração requer uma maneira de raciocinar específica. O termo demonstração deve
ser entendido como uma prova matemática formal, na qual a validação de um resultado
é obtida pela aplicação de uma regra da lógica proposicional.
Estudando o comportamento de alunos com idade entre 13 e 14 anos, Duval
(1990) cita os passos que marcam o funcionamento desse processo de raciocínio: a
inferência e o encadeamento. Uma demonstração apresenta uma estrutura ternária
(figura 1), devendo contemplar uma premissa (hipótese), regras de inferência (axiomas,
teoremas, definições) que permitem concluir uma afirmação (tese).
Regras de Inferência
Verificação das
condições
Premissa
Inferência
Conclusão
Figura 1: Estrutura Ternária de um passo da demonstração
Zi mhlknopì ke fg`dniie iqh r`gnsnmekei tjnunvelkh uma determinada regra de
inferência e, somente então é possível se inferir para se chegar a uma conclusão, ou seja,
a conclusão é obtida pela implicação da regra de inferência. Essa estrutura (premissa,
regra de inferência e conclusão) terá um “estatuto operatório” definido no interior de
uma demonstração e, à medida que o encadeamento de inferências é feito, seu papel
pode se alterar. Exemplificando, o que foi uma conclusão num passo da demonstração
(numa estrutura ternária) pode se tornar uma premissa no passo seguinte.
Duval (1993) propõe que somente a partir do entendimento de tal encadeamento é
que o aluno se apropria desse conhecimento, a partir do qual a demonstração passa a ser
compreendida como um encadeamento de passos válidos.
wxyz{|} ~ {~xx} | { sino a distância para o 3
Guy Brousseau (1986) desenvolveu a Teoria das Situações Didáticas (TSD), que
tem como objetivo analisar as interferências que ocorrem no ensino da matemática, e
posteriormente modelar estratégias vencedoras, considerando as relações entre o
professor, aluno e o saber almejado. O papel inicial do professor é a elaboração de uma
situação em que o aluno, considerando seus conhecimentos anteriores, consiga elaborar
estratégias de resolução a partir de sua ação com um meio propício ao processo de
ensino e aprendizagem. Segundo Almouloud (2007),
Na teoria das situações, o milieu é um sistema antagonista ao sujeito,
sendo o milieu adidático um sistema sem intenção didática, exterior ao
sujeito, que, por suas retroações às ações do sujeito, permite sua
reflexão a respeito de suas ações e sua aprendizagem. Ou seja, o
aprendiz é o responsável pelo processo de sua aprendizagem
(ALMOULOUD, 2007, p. 35)
O aluno deve assumir a responsabilidade de seu aprendizado, devendo se
comprometer com a tentativa de criar alternativas de resolução à situação proposta. “O
professor tem, pois, de imaginar e propor aos alunos situações que eles possam viver e
nas quais os conhecimentos apareçam como a solução ótima e passível de ser
descoberta para os problemas colocados” (BROUSSEAU, 1986, p. 38).
A TSD sugere quatro fases distintas para o processo de ensino e aprendizagem,
que resumidamente apresentamos:
1.
Situação de Ação: momento em que se espera que o aluno se articule,
individualmente ou em grupo, na tentativa de solucionar um problema proposto. Agindo
com o meio, o aluno deve buscar uma solução, provocando uma aprendizagem por
adaptação. Nessa fase o professor deve observar o desenvolvimento das estratégias
elaboradas.
2.
Situação de Formulação: momento em que o aluno deve formular suas estratégias
de resolução, socializando-as com o grupo, justificando as soluções propostas.
3.
Situação de Validação: momento em que o aluno utiliza mecanismos de provas
para a solução de um problema, divulgando suas descobertas. O professor deve mediar
as apresentações no sentido de valorizar as estratégias vencedoras e uniformizar os
avanços conquistados pelos alunos.
¡¢ £ ¤sino a distância para o 4
4.
Situação de Institucionalização: após a exploração da situação proposta, quando o
saber em questão emergiu na situação de validação, o professor finalmente deverá expor
o conteúdo pretendido, o que terá mais significado para o aluno, que então poderá
utilizar esse saber na resolução de outras situações.
Entendemos que o TSD pode ser utilizada no ensino a distância, uma vez que o
professor cria as situações antecipadamente. Pensamos também em incluir na proposta
os pré-requisitos necessários para o início das atividades.
A dialética da ação propicia ao aluno momentos individuais de investigação, em
que o professor não deverá interferir. A socialização pode ocorrer em momentos
síncronos. As formulações poderão ser validadas pelos alunos através do confronto de
suas respostas com as soluções que serão divulgadas e ainda através da troca de
informações, por meio de e-mails ou fóruns.
Observando a teoria de Duval, pensamos em produzir as demonstrações,
evidenciando, passo a passo, em três colunas (número do passo, passo e justificativa) de
maneira a tornar explícito o raciocínio lógico empregado. Elaboramos também um
quadro Resumo da Geometria Absoluta, com a numeração dos axiomas, definições e
teoremas, que poderão ser utilizados nas justificativas das demonstrações. A cada
atividade esse Resumo foi atualizado com os axiomas, definições e teoremas estudados,
compondo o Resumo da Geometria Hiperbólica.
Tecnologia e Ensino à Distância
O uso da Internet é uma realidade que, num mundo globalizado, possibilita acesso
às informações nunca antes imaginado. Embora esse acesso seja imediato, ainda é
grande a carência de materiais de ensino, que sejam apresentados numa linguagem
apropriada e que fundamentalmente sejam capazes de produzir um novo saber.
O acesso às mídias pode ser aproveitado como mais uma possibilidade de
contribuição à educação tradicional, ou ainda como um veículo que viabiliza o ingresso
de muitos estudantes a uma formação, ou especialização. O Ensino a distância oficial,
ou mesmo a disponibilização de material didático na rede é crescente e ocupa hoje um
lugar relevante.
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Questão de Pesquisa
O problema central de nossa pesquisa é “o conhecimento de outras geometrias
poderá contribuir para a formação do professor de matemática?”.
Nossa pesquisa se apóia em três hipóteses:
Os conhecimentos da geometria hiperbólica devem influenciar positivamente a
prática do professor de geometria euclidiana.
Considerando as dificuldades apresentadas pelos graduandos, amplamente
discutidas no meio acadêmico, na apreensão dos conceitos da geometria euclidiana e na
compreensão das demonstrações formais, entendemos que a perspectiva de uma nova
geometria, confrontada com a geometria euclidiana, poderá contribuir para que o
professor termine por assimilar melhor também esta última.
Conhecer o desenvolvimento histórico e epistemológico da geometria, sua
repercussão em vários campos da ciência, entre eles na filosofia, na física, e na própria
concepção de Ciência, se torna fundamental na formação do professor, tornando-o mais
crítico e ampliando suas possibilidades nas escolhas futuras das variáveis didáticas, que
serão utilizadas na sua produção como professor.
Seqüências didáticas aplicadas a distância podem contribuir para a apreensão de
um novo saber.
O ensino a distância cada vez mais será o responsável pelo aprimoramento
contínuo dos futuros profissionais. Propiciar uma aprendizagem efetiva através desse
recurso torna-se uma preocupação central do atual professor. Segundo Lévy
Se olharmos, ao mesmo tempo, a velocidade na qual os
conhecimentos se desenvolvem, a extensão da capacidade cognitiva
individual mediante as tecnologias, a as novas possibilidades de
aprendizagem cooperativa e de colaboração entre as pessoas, no nível
intelectual, eu acredito que nos deparamos com uma paisagem
completamente nova na relação com o saber e somos obrigados a
constatar que muitas de nossas concepções pedagógicas a respeito do
ensino e aprendizagem, muitas das nossas instituições de ensino e dos
nossos métodos para reconhecer ou validar competências foram
elaboradas num período em que a relação com o conhecimento era
muito diferente do atual. Então, há muito trabalho a fazer para que os
nossos conceitos, as nossas instituições, os nossos modos de
organização se adaptem a essa nova fase. (LÉVY, 1997, p. 2,
traduzido por nós do original italiano).
¼½¾¿ÀÁÂ ÃÄ ÅÄ Æ ÀÇÃ½ÈÇ½ÈÉÂ ÁÄ ÀÄ ÈÊË ÌÍÎÌÎÏÐË ÑÆ ÆÒsino a distância para o 6
Entendemos que os recursos das atuais plataformas de ensino, aliado a elaboração
de seqüências didáticas que valorizem a descoberta do aprendiz e otimize as qualidades
de uma ferramenta didática, podem contribuir para um efetivo aprendizado.
A apresentação das demonstrações em três colunas (número do passo, passo,
justificativa) favorece a aprendizagem do raciocínio lógico.
Nossa pesquisa tem o interesse de averiguar se essa exposição é eficaz no
processo de aprendizagem das demonstrações. Acreditamos que a explicitação de todos
os passos de uma demonstração, feita em três colunas, favoreça o entendimento,
minimize as eventuais dúvidas e incentive os estudantes a elaborar suas próprias
demonstrações.
Desenvolvimento do Material Didático
Elaboração da página
Para a idealização de nossa página, foram realizadas as seguintes análises a priori:
I. Estudos preliminares sobre o uso da internet na educação, em que pesquisamos a
importância e os cuidados necessários para o emprego deste veículo no ensino.
Após tais estudos, consideramos alguns aspectos construtivistas e ergonômicos
propostos por Kalinke (2003) na elaboração de nossa página, pois entendemos que uma
abordagem construtivista se alinha à teoria das situações didáticas.
As primeiras pesquisas em Didática da Matemática se apoiaram em
alguns aspectos fundamentais do construtivismo de Piaget, como a
noção de desenvolvimento cognitivo e o papel central da ação no
desenvolvimento. De acordo com essa concepção, o conhecimento
está, de fato, intimamente ligado à ação e à experimentação do sujeito
e tem sua origem na atividade do sujeito em relação aos objetos.
(ALMOULOUD, 2007, p. 24, grifo do autor).
1.
Quantos aos aspectos construtivistas:
Ferramentas de Interação
Idealizamos a disponibilização de nossa página em uma plataforma de ensino a
distância, que apresenta as ferramentas síncronas e assíncronas, favorecendo a interação
do aluno tanto com os outros alunos como com o mediador.
ÓÔÕÖ×ØÙ ÚÛ ÜÛ Ý ×ÞÚÔßÞÔßàÙ ØÛ ×Û ßáâ ãäåãåæçâ èÝ Ýésino a distância para o 7
Exploramos uma ferramenta síncrona, o chat, e planejamos a utilização de uma
ferramenta assíncrona, o fórum de discussões, além da troca de e-mails.
Tratamento do Erro
Outro ponto comum entre as teorias Construtivista e a proposta por Brousseau é o
tratamento do erro. Elas consideram um erro como uma oportunidade de aprendizagem,
como uma constatação de que um determinado conteúdo deva ser trabalhado
novamente.
Propusemos situações didáticas que permitam aos alunos a retomada do conteúdo
após a verificação de um desempenho não satisfatório. Decidimos pela entrega completa
das respostas, que serão visualizadas após a entrega do exercício, para que o aluno possa
identificar suas deficiências específicas, retomar o conteúdo proposto e posteriormente
seguir em seu aprendizado. O material a ser colhido dos fóruns e do correio eletrônico
devem contribuir para a identificação dos momentos críticos da aprendizagem.
Ambiente Dinâmico
Em nossas atividades constam momentos de investigação dinâmica das
construções geométricas disponibilizadas e de outras construídas pelo aprendiz, que
devem contribuir para que o aluno se aproprie do conhecimento em questão.
2.
Quantos aos aspectos ergonômicos:
Legibilidade
Procuramos utilizar cores claras, letras grandes e disposição de links sem que os
mesmos possam poluir visualmente o texto ou levar o indivíduo a uma navegação
cansativa. Dispusemos o conteúdo por tópicos, criando assim atividades mais curtas e
específicas o que também contribui para a conclusão das tarefas.
Optamos por criar seções específicas para listar os softwares relacionados com
nossa proposta, bem como o site do software Cinderella. Entendemos que os acessos
podem ser feitos em momentos pontuais, sem concorrer com a leitura e execução das
atividades.
êëìíîïð ñò óò ô îõñëöõëö÷ð ïò îò öøù úûüúüýþù ÿô ôRsino a distância para o 8
Documentação
Incluímos duas seções na página inicial voltadas a esclarecer o aluno:
Mapa do Site: apresenta a disposição dos tópicos na página, contribuindo para
uma navegação satisfatória.
Apresentação: as intenções de nossa proposta são explicitadas, por meio de três
quadros que apresentam respectivamente a descrição do curso, sua dinâmica e o seu
conteúdo programático.
Navegabilidade
Incluímos seções específicas na página inicial com a intenção de segregar os
conteúdos:
Tópicos Históricos: apresenta um resumo histórico do desenvolvimento das
geometrias não-euclidianas (figura 3).
F Demonstrações: apresenta um histórico do desenvolvimento da demonstração
matemática, tendo como objetivo a apresentação da linguagem que será utilizada nas
atividades.
sino a distância para o 9
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Atividades: contém as treze atividades que tratam do conteúdo a ser estudado
(figura 4).
Figura 4: Descrição das Atividades
Outros: apresenta os questionários inicial e final, as atividades que serão propostas
nos dois fóruns e a delineação do conteúdo do chat.
Atividade Final: apresenta uma atividade a ser elaborada no término do curso,
onde constam questões sobre o conteúdo proposto.
II. Pesquisa nas Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática,
Bacharelado e Licenciatura (DCN), sobre as orientações pertinentes ao estudo das
geometrias.
Como competências a serem desenvolvidas pelo graduando em matemática, nas
Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática, Bacharelado e
Licenciatura (DCN), são citadas “o raciocínio lógico, a postura crítica e a capacidade de
resolver problemas” (DCN, BRASIL, 2001, p. 1). Entendemos que atividades que
proponham trabalhos com as demonstrações podem contribuir para o desenvolvimento
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do raciocínio lógico-dedutivo do aluno, preparando-o melhor para entender e interagir
criticamente com a sociedade em que vive.
Nas Diretrizes Curriculares Nacionais, além da indicação para o estudo de
Fundamentos de Geometria, é recomendada a necessidade de conhecimentos de “Física
Geral e noções da Física Moderna, como forma de possibilitar ao bacharelando o estudo
de uma área na qual historicamente o uso da matemática é especialmente significativo”
(Ibidem, p. 5). Entendemos que o conhecimento da geometria hiperbólica contribua para
o entendimento das noções da Física Moderna, sendo essencial para a compreensão de
seu desenvolvimento histórico.
Após nossa análise optamos pela inclusão em linhas gerais, na seção Tópicos
Históricos, das influências que a física moderna sofreu após a nova concepção do
espaço, que surgiu com a apresentação das novas geometrias.
III. Levantamento da literatura publicada a respeito da geometria hiperbólica, nos
livros e dissertações.
As leituras dos livros e das dissertações, na área de Matemática, nos foram
essenciais para a seleção do conteúdo a ser apresentado.
As leituras das dissertações, na área de Educação, possibilitaram verificar a
crescente importância dada no meio acadêmico em se introduzir as outras geometrias no
currículo do professor de matemática, tanto no enfoque histórico como no geométrico.
Nosso levantamento também nos permitiu analisar as diferentes estratégias
didáticas adotadas por cada autor.
IV. Análise dos principais softwares que permitem a exploração dinâmica das
construções geométricas.
Dentre os softwares de geometria analisados1, optamos pelo uso do Cinderella,
considerando a divulgação de um software pouco conhecido, e principalmente por três
fatores:
A facilidade de salvar as figuras em html;
A possibilidade de incluirmos instruções passo a passo nos exercícios de
construção geométricas, fato que permite ao aluno a validação de suas construções;
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Pelo modelo de Poincaré ser nativo, o que permite o recurso de exploração uma
mesma figura nas duas geometrias: euclidiana e hiperbólica.
V.
Levantamento histórico do surgimento das geometrias não-euclidianas.
Realizamos um levantamento histórico que nos ajudou a compreender o ambiente
que possibilitou o desenvolvimento das outras geometrias. O resultado desse estudo foi
incluído em nossa página, além de uma seção sobre o desenvolvimento das
demonstrações e do raciocínio lógico com o objetivo de familiarizar o aprendiz com os
termos que empregamos no decorrer de nossa seqüência didática. Expusemos o
desenvolvimento histórico da geometria, apresentamos em linhas gerais a influência das
principais correntes filosóficas nesse processo e também o impacto do surgimento das
outras geometrias na Física Moderna.
Após os estudos preliminares criamos nosso material didático, cuja tela inicial
apresentamos na figura 2.
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Elaboração da seqüência didática
Quanto às atividades elaboradas, procuramos proporcionar momentos em que as
diferentes dialéticas da Teoria das Situações Didáticas pudessem ser vivenciadas. Nos
preocupamos também em incluir situações em que esperamos analisar as dificuldades
apresentadas pelos aprendizes na elaboração de suas demonstrações e no entendimento
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das demonstrações apresentadas em nosso material, com a intenção de melhor
compreender o processo de apreensão desse saber.
Por questão de brevidade, extraímos algumas situações de nosso material a fim de
ilustrar tais momentos:
Investigações dinâmicas (figura 5): momento em que as construções geométricas
previamente elaboradas são apresentadas e se propõe que o aluno investigue um
determinado teorema, proporcionando momentos de ação, validação e formulação.
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Construções geométricas (figura 6): são solicitadas construções geométricas
através de exercícios previamente construídos com esse recurso do software, onde o
aluno pode verificar de imediato se a construção está correta. Em caso negativo é
possível validar passo a passo da construção para a retomada da atividade. Exploramos
também outro recurso do software, onde uma mesma construção geométrica pode ser
visualizada nos dois planos: euclidiano e hiperbólico.
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Figura 6: Cópia Parcial da Atividade de Introdução
Exercícios de demonstrações (figura 7): com a evolução das atividades e a
familiarização com a metodologia empregada nas demonstrações o aluno é convidado a
elaborar suas próprias demonstrações. Temos a intenção de pesquisar as dificuldades e
os avanços conquistados pelo aprendiz.
Figura 7: Cópia parcial da Atividade 8
Comparação entre as geometrias (figura 8): algumas investigações dinâmicas são
apresentadas nos dois modelos, permitindo que o aluno compare o comportamento de
alguns entes geométricos.
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Figura 8: Cópia Parcial da Atividade 2
Análise de Situações (figura 9): após a apresentação de uma determinada
definição ou teorema, o aprendiz é convidado a analisar uma determina situação, cuja
solução exige o resgate de um conteúdo da geometria euclidiana e a aplicação dos novos
conhecimentos. Pretendemos nesse momento colher evidências de um aprendizado
efetivo.
Figura 9: Cópia Parcial da Atividade 7
Conclusão Parcial
No momento atual, terminados os estudos a priori e a elaboração da página,
pretendemos aplicar nossa seqüência, num projeto piloto, com alunos de graduação que
tenham cursado a disciplina de geometria euclidiana a fim de testar nossas intenções
didáticas e colher elementos para melhorar nosso material.
½¾¿ÀÁÂÃ ÄÅ ÆÅ Ç ÁÈÄ¾ÉÈ¾ÉÊÃ ÂÅ ÁÅ ÉËÌ ÍÎÏÍÏÐÑÌ ÒÇ ÇÓ
Acreditamos que tal proposta permitirá ao aprendiz uma reflexão que possibilite
avançar em seus conhecimentos, e repensar o ensino de geometria, porém somente após
a experimentação estaremos aptos a validar nossos questionamentos.
Notas
1
Introduzimos uma breve apresentação dos softwares: Cabri-Géomètry, Cinderella, Geometer’s
Sketchpad, NonEuclid, Poincaré Disc e PoincaréDraw.
Referências
ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da Matemática.
Editora UFPR. 217p., 2007.
Paraná:
BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação - Câmara de
Educação Superior. Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de
Matemática, Bacharelado e Licenciatura. Brasília: 2001.
BROUSSEAU, Guy. Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática. In: BRUM,
Jean (direção). Didáticas das Matemáticas. Tradução de Maria José Figueiredo.
Lisboa: Instituto Piaget,1986, Cap.1, p. 35-113. (Coleção Horizontes Pedagógicos).
DUVAL, Raymond. Quels sont les éléments constitutifs d'un raisonnement. In : IREM
de Strasbourg. Strasbourg, 1993, p.195-221.
KALINKE, Marco Aurélio. Internet na Educação. 143p., Curitiba: Chain, 2003.
LÉVY, Pierre. Evoluzione del concettto de sapere nell’era telematica. Veneza, 1997.
Disponível em: http://www.mediamente.rai.it/home/bibliote/intervis/l/LÉVY02.htmÅ
Acesso em: 10 de novembro, 2006.
R. F. Uma re-leitura
de questões com conteúdos estatísticos no SARESP. Anais do IX Encontro Paulista
de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1– 7. (ISBN
978-85-98092-07-2)
ÔÕÖÕ×ØÙÚ ÛÜ ÝÜÞ ÙßàáßâÚ ÔÜ ÛÜÞ ãÕÛäàÕÚ ÔÜÞ ÙØáÛåæØÚ
Eixo-temático 1: Avaliação
UMA RE-LEITURA DE QUESTÕES COM CONTEÚDOS ESTATÍSTICOS NO
SARESP
Raphael Zen COVOLAM – PUC Campinas – ([email protected]ç
Dra. Clayde Regina MENDES – PUC Campinas – ([email protected]ç
Camila TORINO – PUC Campinas – ([email protected]ç
Renata Fernandes MADRUGA – ([email protected]è
Apesar de todas as deficiências existentes, a utilização de instrumentos de
medida para avaliar e acompanhar o conhecimento adquirido pelos alunos, como
também o desenvolvimento de habilidades básicas e de competências, faz-se cada vez
mais necessário. Infelizmente, mesmo concordando com a importância que o erro
assume para a compreensão do que o aluno assimilou do conhecimento e os conteúdos
que necessitam serem retomados, estamos cientes de que nas avaliações educacionais de
larga escala isso acaba sendo inviável, uma vez que as questões são normalmente
propostas em forma de múltipla escolha. Dada essa forma de apresentação, é preciso
lembrar que as questões de múltipla escolha devem estar bem formuladas, com
enunciados claros e simples, abordagem de idéias relevantes e apresentação de todas as
informações necessárias para a sua resolução; contudo, às vezes encontramos algumas
falhas e por isso nos propusemos a analisar o enunciado de algumas questões
envolvendo conteúdos de Estatística das avaliações do SARESP de 2005 e 2007.
éêëìíîï
Palavras-chave: Avaliação, Formação de Professores de Matemática, Pensamento
Estatístico.
Financiamento: FAPIC/Reitoria PUC-Campinas e PIBIC/CNPq
Introdução
A sociedade contemporânea vive imersa em uma profusão de dados sobre os quais
escolhe que atitudes tomar. Entretanto, para tomarmos uma atitude correta sob
determinado ponto de vista, precisamos compreender claramente o que nos está sendo
apresentado. Acreditamos na importância do cidadão possuir ferramentas estatísticas
com as quais possa ponderar a respeito do que lhe é dito, o quê nos Parâmetros
Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1997) é estabelecido no fato de que uma
C
de questões com conteúdos estatísticos no SARESP. Anais do IX Encontro Paulista 2
978-85-98092-07-2)
ðñòñóôõö ÷ø ùøú õûüýûþö ðø ÷øú ÿñ÷ üñö ðøú õôý÷
ôö
pessoa só pode ser considerada alfabetizada se a mesma é capaz de compreender e
estabelecer vínculos e relações entre informações provenientes de fontes variadas.
Contemplando o método pelo qual é aferido o estágio de construção do
conhecimento dos discentes, tornam-se necessários instrumentos para quantificarem e
qualificarem a maneira como as informações disponibilizadas são manipuladas, o
método de resolução da situação-problema, a atribuição de significados, o modo de
comparar e ordenar quantidades interpretando os resultados e expressando-os de
maneira organizada, ao que os PCN (BRASIL, 1997, p. 95) estipulam “que o aluno
saiba coletar, organizar e registrar informações por meio de tabelas e gráficos,
interpretando essas formas de registro para fazer previsões”.
Para uma correta aferição desses conhecimentos os instrumentos de avaliação
precisariam considerar os acertos e os erros, pois estes se traduzem em “informações
relevantes sobre o processo ensino-aprendizagem” (SILVA; BURIASCO, 2006, p. 3),
não ignorando desta maneira as estratégias que os alunos utilizam para resolverem os
problemas que lhes são propostos.
Infelizmente, apesar de concordarmos com a importância que o erro assume para a
compreensão do que o aluno assimilou do conhecimento e os conteúdos que necessitam
serem retomados, estamos cientes de que nas avaliações educacionais de larga escala
isso acaba sendo inviável, uma vez que as questões são normalmente propostas em
forma de múltipla escolha.
Nesse ponto nos deparamos com alguns dos cuidados necessários para que as
questões de múltipla escolha sejam bem formuladas: enunciados claros e simples,
abordagem de idéias relevantes e apresentação de todas as informações necessárias para
a sua resolução.
Assim, enquanto estávamos realizando uma pesquisa documental acerca das
questões com conteúdos de Estatística propostas nas provas do SARESP (Sistema de
Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) de 2005 e 2007, começamos
a perceber algumas falhas que, não sabemos se de fato ocorreram nas provas aplicadas,
ou se apareceram apenas nas provas divulgadas online. Daí, podemos dizer que o
objetivo deste trabalho foi analisar algumas falhas encontradas em algumas questões
envolvendo conteúdos de Estatística das avaliações do SARESP de 2005 e 2007.
978-85-98092-07-2)
Metodologia
Em primeiro lugar, verificamos o tipo de questão apresentado nessas duas
avaliações e constatamos que eram privilegiados os de análise de gráficos e/ou de
tabelas (Tabela 1)
Tabela 1: Distribuição de questões de avaliações do SARESP relacionadas com o conteúdo de
Estatística nos anos de 2005 e 2007.
Tipo de questão
Quantidade
Análise de gráficos
32
Análise de tabelas
22
Análise de gráficos e tabelas
10
Total
64
Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. (SÃO PAULO, 2005, 2007)
Contudo, sabemos que a interpretação de gráficos e/ou tabelas não é suficiente
para considerar uma pessoa alfabetizada quantitativamente, além do que os PCN
(BRASIL, 1997) já evidenciam a necessidade do desenvolvimento de habilidades de
leitura e interpretação de textos, coleta e organização de informações criando registros
para a comunicação das mesmas, interpretação e elaboração de listas, capacidade para
produção de texto escrito para a interpretação de dados extraídos de fontes variadas de
informação.
Começando nossa análise, vemos na Figura 1 a Questão 14 proposta na avaliação
do ciclo III do SARESP 2005 (SÃO PAULO, 2005).
Figura 1: Questão 14, avaliação do ciclo III do SARESP 2005 (SÃO PAULO, 2005).
!" # $%! "&' R. F. Uma re-leitura
978-85-98092-07-2)
Na questão 14, o enunciado cita que seis alunos escolheram a cor amarela,
entretanto o gráfico apresenta uma dúbia interpretação, pois existem duas colunas
amarelas: a primeira com seis quadradinhos pintados e a segunda com mais três, o que
nos dá um total de nove quadradinhos para seis alunos respondentes. Se essa for a forma
correta de se raciocinar, então a pergunta sobre a cor preferida fica sem sentido, pois já
seria a amarela... Outro problema é a mudança de cor nas colunas, mas, considerando a
faixa etária em que essa questão foi aplicada, podemos desconsiderar o rigor na
formatação em função da facilidade de visualização.
Encontramos o uso de cores distintas em um gráfico de colunas com apenas uma
variável pesquisada na questão 19 da avaliação do ciclo IV do SARESP de 2005e na
questão 14 da prova da manhã do ciclo III do SARESP 2007: vários tons de cinza na
questão 19 para representar a quantidade de óleo derramado no mar e cores diferentes
na questão 14 para representar os animais que haviam nascido no zoológico. Podemos
assinalar o fato de na questão 19 do ciclo IV do SARESP 2005 as colunas em vários
tons de cinza irem clareando em decorrência da passagem dos anos e não em função da
quantidade de óleo derramada, o que poderia configurar uma tentativa de expressar
pictograficamente, através do clareamento dos tons de cinza, que a quantidade de óleo
derramado foi maior ou menor.
Outra questão aplicada na avaliação do ciclo III do SARESP de 2005 que nos
chamou a atenção foi a questão 13 (Figura 3)
Figura 3: Questão 13, da avaliação do Ciclo III - SARESP 2005 (SÃO PAULO, 2005).
A questão fundamenta-se na relação entre porcentagem e a área preenchida em
um círculo, mas verificamos que as alternativas (B) e (C) apresentam áreas preenchidas
()*)+,-. /0 102 -34536. (0 /02 7)/84). (02 -,5/9:,. R. F. Uma re-leitura
978-85-98092-07-2)
bastante próximas, o que pode gerar confusões nos alunos que estão sendo avaliados;
apesar de na alternativa (C) parecer que estão representados os 70% solicitados.
Figura 4: Questão 26, da avaliação do ciclo III - SARESP 2005 (SÃO PAULO, 2005).
A questão 26 da prova do ciclo III do Ensino Fundamental do SARESP 2005
(apresentada na Figura 4) apresenta no enunciado três estilos musicais: samba, rock e
romântica, todavia a tabela apresenta somente dois estilos musicais, samba e romântica
e todos os gráficos também apresentam apenas esses dois estilos, não havendo qualquer
referência sobre o que possa ter ocorrido com o rock.
Figura 5: Questão 27, da avaliação da tarde do ciclo IV do SARESP 2007 (SÃO PAULO, 2007).
;<=<>?@A BD EDF @GHIGJA ;D BDF K<BLH<A ;DF @?IBMN?A R. F. Uma re-leitura
978-85-98092-07-2)
A questão 27 da avaliação do ciclo IV do SARESP 2007 (Figura 5) apresenta a
distribuição de analfabetos no território brasileiro e novamente utiliza um gráfico de
barras simples empregando duas cores (verde e vermelho), para designar as diferentes
regiões do Brasil. Se desconsiderarmos essa falha, imaginando que o uso de cores foi
apenas um recurso para “melhorar” a apresentação estética do gráfico, um outro ponto
aparece: no título do gráfico é salientado que se trata do analfabetismo por região e a
primeira barra tem o rótulo de Brasil, como se o país todo fosse uma das suas regiões!
Os mecanismos de avaliação da Educação Básica têm sido uma das principais
maneiras de diagnosticar a situação de fracasso escolar que atinge parte considerável
dos discentes, sendo estes usados para classificar a aquisição de conhecimentos e
habilidades, porém ao utilizar os mesmos instrumentos para todos desconsidera-se “que
cada pessoa tem o seu tempo para a aprendizagem, é dotada de identidade própria,
visões de mundo e padrões culturais próprios” (DISTRITO FEDERAL, 2006, p. 7).
Sobre estas questões, Bastos (2001, p. 125) já alertava que “a avaliação saiu das
salas de aula das escolas e está se tornando um instrumento para medir apenas
resultados e não processos educacionais”.
Mas, é importante lembrar que o diagnóstico do conhecimento construído pelos
alunos constitui importante ferramenta à prática pedagógica à medida que conduz a
necessidade de “repensar o como avaliar e as funções atribuídas à avaliação escolar é
um dos grandes desafios daqueles que ensinam matemática” (SILVA; BURIASCO,
2006, p. 2), pois “uma avaliação mal conduzida pode ser, ela mesma, um dos fatores
causadores do fracasso escolar” (BURIASCO, 2000 citado por SILVA; BURIASCO,
2006, p. 2).
Sobre isso Nascimento (2006, p. 4) adverte que “quem elaborou estava na sua sala
confortável, tranqüilo e com bastante tempo para pensar, enquanto a criança que vai
responder só teve a si e um tempo pré-fixado” e com tais pressupostos de vigilância
estruturando a elaboração de um método para quantificar e qualificar o que cada
discente absorve significativamente de conhecimento, julgamos ser da máxima
importância a elaboração de questões com objetivos específicos, enunciados precisos e
claros, substituindo falhas e situações dúbias.
OPQPRSTU VW XWY TZ[\Z]U OW VWY ^PV_[PU OWY TS\VàSU R. F. Uma re-leitura
978-85-98092-07-2)
Referências
BASTOS, João Batista. Resenha do livro Políticas Educativas e Avaliação Educacional
Resenha de: AFONSO, Almerindo Janela. Políticas Educativas e Avaliação
Educacional. Revista Brasileira de Educação. São Paulo, n. 016, 2001, p. 125-128.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN): Matemática. Brasília, DF, 141p., 1997.
DISTRITO FEDERAL. Secretaria de Estado de Educação do Distrito Federal.
Diretrizes para Avaliação da Aprendizagem. 2. Ed., Brasília, Secretaria de Estado de
Educação, 2006. Disponível em: <www.se.df.gov.br/gcs/file.asp?id=8984bW Scdeef dgh
15 de janeiro, 2007.
NASCIMENTO, J. B. Dossiês do (des)ensino de Matemática, s/d. Disponível em:
http://www.cultura.ufpa.br/matematica/?pagina=jbnW Scdeef dgh ij kd glmnfU oppqW
SAMESHIMA, D. C. T. Compreendendo a Avaliação da Aprendizagem Matemática.
In: Anais do III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática
(SIPEM). Águas de Lindóia/SP: SIPEM, 2006, 14p.
por
séries.
Disponível
em:
<http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/subpages/versoes_provas_séries.htmlbW
Scdeef
em: 30 de maio, 2007.
por séries. Disponível em: <http://saresp.edunet.sp.gov.br/2007/subpages/provas.htmlbW
SILVA, M. C. N.; BURIASCO, R. L. C. Produção escrita em Matemática: Algumas
Reflexões. In: Anais do III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação
Matemática (SIPEM) Águas de Lindóia/SP, 2006.
SILVA, N. M. A. Matemática e educação matemática: re(construção) de sentidos com
base na representação social de acadêmicos. In: Anais da XXVII Reunião Anual da
Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação (ANPEd),
Caxambu/MG: 2004.
rstuvuwsxy z{ x{| x}~vy s{ { ~{ x{ tvwy r{ sBQUEST: bola de futebol e
sólidos arquimedianos, alguma coisa em comum? Uma experiência com alunos do
Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.
WEBQUEST: BOLA DE FUTEBOL E SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS,
ALGUMA COISA EM COMUM? UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO
ENSINO MÉDIO
Clarice Silva FERNANDES – PUC /SP ([email protected]
Elen Gomes Leite Santiago da SILVA – PUC /SP ([email protected]
Fábio do PRADO – PUC /SP ([email protected]
Resumo: Este artigo tem por objetivo apresentar parte de nossa pesquisa a respeito de
uma atividade WebQuest sobre Geometria Espacial cuja finalidade foi analisar suas
possibilidades e dificuldades em desenvolvê-la com o recurso Internet nas aulas de
Matemática do Ensino Médio. Na construção dessa WebQuest – que intitulamos por
“Bola de futebol tem a ver com Matemática?” e disponível no site
www.webquestboladefutebol.com.br
potencialmente rico para a abordagem do tema Sólidos Arquimedianos. Embora este
conteúdo não conste explicitamente do currículo da escola básica, ele possibilita a
aplicação de noções geométricas notadamente às relativas aos poliedros regulares; além
disso, esses sólidos têm larga aplicação em outras áreas do conhecimento como
Química, Física, Artes, Arquitetura, entre outras. Na construção dessa WebQuest
evidenciamos as características propostas por Bernie Dodge – professor de Tecnologia
Educacional da San Diego State University, nos EUA, e criador desta metodologia de
trabalho – em cada fase da atividade. Já ao analisar os resultados desta atividade,
procuramos confrontar as evidências observadas em cada fase de aplicação com o que
Bernie Dodge propõe que seja realizada em cada fase. Ressaltamos que nossa
WebQuest, utilizada no ensino dos Sólidos Arquimedianos, favoreceu o trabalho em
grupo, a criatividade e o uso direcionado da Internet, possibilitando a obtenção de
informações atuais e verídicas uma vez que os sites pesquisados foram previamente
selecionados. A metodologia WebQuest foi criada em 1995 e atualmente é utilizada em
diversos países como Estados Unidos, Canadá, Islândia, Austrália, Portugal e Brasil,
entre outros. Nossa pesquisa encontra-se em fase de conclusão.
Palavras-chave: WebQuest, Bola de Futebol, Geometria, Sólidos Arquimedianos,
Internet.
Financiamento: Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.
Atualmente, é nítida a presença das diversas tecnologias na vida de todo
indivíduo. Seja nos códigos de barras no supermercado, na evolução dos aparelhos em
¡ ¢ £¤ ¥BQUEST: bola de futebol e
um hospital ou mesmo dentro de casa, na facilidade e economia de tempo ao utilizar um
caixa eletrônico, nas diversas possibilidades de comunicação com pessoas que estão do
outro lado do mundo, ou mesmo de saber, em tempo real, o que acontece em qualquer
parte do mundo.
Diante de todas essas possibilidades, originadas das tecnologias, é impossível o
professor fechar os olhos e não utilizá-las em suas aulas, pois somente “parando no
tempo”, ele pode ignorá-las. O educador deve acompanhar essas evoluções, pois os
alunos, em suas buscas incessantes de saber, não deixam escapar nenhuma destas
inovações, tendo em vista que nasceram na sociedade da informação.
Embora haja discursos retrógrados a respeito do uso da Informática como tornar
alunos e professores meros repetidores de tarefas, é importante que, por outro lado, não
nos prendamos a argumentos que apontam o “computador” como a solução para os
problemas educacionais. Borba e Penteado (2005) esclarecem que sempre há uma mídia
envolvida na produção de conhecimento e que o acesso à informática deve ser visto
como um direito do estudante, devendo esse ter a oportunidade de usufruir de uma
educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”.
Tal alfabetização deve ser vista não como um mero curso de informática, mas sim,
como um aprender a ler essa nova mídia.
Acreditamos que o uso destas mídias em sala de aula, desperte o interesse dos
alunos e possibilite que estes vivenciem situações que seriam impossíveis sem o uso do
computador, como por exemplo, visualizar objetos tridimensionais, visto que os alunos
têm muita dificuldade nesse sentido, quando contam somente com o recurso dos livros
didáticos, o que acaba acarretando muitas dificuldades no ensino da Geometria
Espacial, tanto para o aluno quanto para o professor.
A decisão de utilizar a atividade WebQuest neste trabalho, deu-se por ser uma
atividade que, segundo Silva (2006), propicia ao aluno a construção do conhecimento,
num ambiente colaborativo de aprendizagem e sob a orientação do professor, utilizando
todos os benefícios destas novas tecnologias e, em especial, a Internet. Esta metodologia
foi criada por Bernie Dodge (1995), segundo quem “WebQuest é uma atividade
investigativa, em que alguma ou toda a informação com que os alunos interagem
provém da Internet”.
2
¦§¨©ª©«§¬ ®¯ ¬¯° ¬±²³ª §¯ ´¯ ²¯ ¬¯ µ ¶¨ª«· ¦¯ ¸§BQUEST: bola de futebol e
Já a decisão por trabalhar o conteúdo Sólidos Arquimedianos, deu-se por ser um
assunto pouco trabalhado nas escolas de educação básica e porque quase não há
trabalhos de pesquisas nesta área. Talvez a falta de trabalhos sobre o conteúdo “Sólidos
Arquimedianos” justifique o fato de muitos professores com quem temos conversado e
que lecionam no Ensino Médio, desconhecerem a existência destes sólidos. Os “Sólidos
Arquimedianos” são poliedros semi-regulares obtidos por meio de secções feitas nos
Poliedros Regulares, portanto faz parte do conteúdo de Geometria Espacial.
Embora este conteúdo não conste explicitamente do currículo da escola básica, ele
possibilita a aplicação de noções geométricas notadamente às relativas aos poliedros
regulares.
Para nosso estudo, escolhemos a bola de futebol como tema gerador da
WebQuest, porque este é o Sólido Arquimediano que está presente em diferentes
situações do cotidiano.
A análise da atividade WebQuest, será feita na tentativa de responder a questão de
pesquisa que norteará este trabalho: Quais as principais dificuldades e possibilidades
que o uso da atividade WebQuest pode ter no ensino dos Sólidos Arquimedianos?
A escolha deste tema de pesquisa deve-se à preocupação com a desmotivação que
temos notado na maioria dos alunos em nossas vivências educacionais, e também temos
percebido que muitos deles não sabem efetuar uma pesquisa de qualidade na Internet,
lêem de maneira superficial as informações, não se preocupam com a veracidade das
mesmas e nem sempre respeitam e creditam as fontes utilizadas. Acreditamos que por
meio da atividade WebQuest, muitas dessas dificuldades possam ser amenizadas, o que
é confirmado por Moran (2007) quando diz que: “além do acesso aos grandes portais de
busca e de referência na educação, uma das formas mais interessantes de desenvolver
pesquisa em grupo na Internet é a WebQuest.”
Um dos problemas encontrados com o uso da Internet é a resistência de alguns
professores para utilizá-la, pois com a sua utilização, o professor passa a não ser mais o
dominador do saber, pois nem sempre tem respostas prontas para as mais diferentes
situações encontradas com esta tecnologia. Por outro lado, o professor aberto a estas
tecnologias, tem a oportunidade de favorecer o trabalho em grupo, o diálogo entre os
alunos e aprender com este constante processo de aprendizagem, no qual, muitas vezes
3
¹º»¼½¼¾º¿À ÁÂ ¿ÂÃ ¿ÄÅÆ½À ºÂ ÇÂ ÅÂ ¿Â È É»½¾ÊÀ ¹Â ËºBQUEST: bola de futebol e
o aluno tem mais facilidades para aprender, pois anseia navegar pelas infindáveis
informações encontradas na Internet.
Atualmente devido a Internet, é possível que os alunos possam em ambientes
virtuais de aprendizagens, além de pesquisar em várias páginas, participar e expor suas
idéias em fóruns, sala de bate-papos e emails, entre outros. Moran (2000) não ignora
que é muito comum e fácil a dispersão dos alunos perante as tantas figuras, links e
hiperlinks. Portanto, acreditamos que o professor deve buscar um equilíbrio em sua
metodologia, ou seja, nem impor demais o processo, que amarra o aluno e nem deixar
que a aula e pesquisa aconteçam livres demais, a ponto de o aluno desviar o foco de sua
pesquisa.
Compete ao professor selecionar as informações autênticas, que são as fontes
confiáveis que serão utilizadas pelos alunos. Entretanto, deve estar atento, pois segundo
Moran (2000), há uma quantidade de informação quase inesgotável acessível pela
Internet, portanto o professor deve saber gerenciar essa quantidade de informação e,
selecionar apenas as que têm qualidade e que sejam significativas para o assunto
relacionado e por meio das informações adquiridas dessas fontes, o aluno poderá usar
sua criatividade e interagir com seus colegas para desenvolver um produto pré-definido.
Normalmente a WebQuest é elaborada por um professor e, deve partir de um
tema. Deve-se propor uma tarefa que envolve consultar fontes de informação
selecionadas anteriormente pelo professor.
Segundo Burnier (2001), a WebQuest é uma maneira de garantir acesso a
informações autênticas e atualizadas, promover aprendizagem cooperativa, desenvolver
habilidades cognitivas, transformar ativamente informações, incentivar a Criatividade,
favorecer o trabalho de autoria de professores e compartilhar os saberes pedagógicos.
½ ËÈÌÍÎÈÏÐ Ñ ÒÓÔÏÐÕÎÖ×Ø ÏÈÙÎÔ×Ó ÎÚØ ÈÏÐÕÎÐÎÕØ ÛÎÈ Òontém os seguintes
ÈÜÈÚÈÔÐÓÏÝ introdução, tarefa, processo, recursos, orientações, avaliação e conclusão.
¼ÓÏÏØ ËÈÌÍÎÈÏÐ ÐÈÚ ÒÓÚÓ ÐÈÚØ ÙÈÕØ×ÓÕ ÞßÓÜØ ×È àÎÐÈbol tem a ver com a
áØÐÈÚâÐãÒØäå È ÈÏÐâ ×ãÏæÓÔÖçÈÜ ÔÓ ÏãÐÈÝ www.webquestboladefutebol.com.br Â
èÐãÜãéØÚÓÏ ÈÏÏØ ÚÈÐÓ×ÓÜÓÙãØ æØÕØ ØæÕÈÏÈÔÐØÕ Ó ÐÈÚØ “Sólidos Geométricos” e
ÚØãÏ æÕÈÒãÏØÚÈÔÐÈÀ ÓÏ Þ¿êÜã×ÓÏ ½ÕÛÎãÚÈ×ãØÔÓÏå æØÕØ alunos do Ensino Médio, de uma
ÈÏÒÓÜØ æëÌÜãÒØ ×Ø Òã×Ø×È ×È ¿ìÓ ÉØÎÜÓÀ ÌÎÏÒØÔ×Ó ×ÈÏenvolver noções relativas a esse
ÐêæãÒÓ ×È ÇÈÓÚÈÐÕãØÀ ÌÈÚ ÒÓÚÓ ØÜÙÎÚØÏ ÒÓÚæÈÐíÔÒãØÏ æara o trabalho geométrico tais
4
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A WebQuest: Bola de futebol tem a ver com Matemática resume-se em:
na Introdução é feita uma motivação para que os alunos tenham o desejo e
interesse em resolver a atividade WebQuest. Esta motivação é feita por meio da
contextualização do conteúdo com as mais diferentes áreas. Ao clicar nos nomes das
áreas, uma nova página da Internet será aberta sobre o assunto específico.
nas tarefas, alma da WebQuest, são os produtos finais que os alunos apresentarão
ao professor e demais alunos da classe. A atividade 1 tem por objetivo a elaboração de
um panfleto contendo informações, que os alunos julgarem mais importantes,
relacionando o modelo da bola de futebol com os Sólidos Arquimedianos e as suas
características.
a atividade 2 tem por objetivo a construção do Icosaedro Truncado, mais
conhecido como “modelo da bola de futebol”, por meio de papel cartão e a divisão de
segmentos realizada com o auxílio de régua não graduada e compasso, propiciando que
os alunos descubram por meio dos recursos, em quantas partes devem dividir cada lado
5
:;<=>=?;@A BC @CD @GHI>A ;C JC HC @C K L<>?MA :C N;BQUEST: bola de futebol e 6
dos polígonos do icosaedro que originarão pentágonos e hexágonos do modelo da bola
de futebol. Em seguida, deve-se dividir, no mesmo número de partes, os lados de um
triângulo eqüilátero. Para finalizar esta tarefa, os alunos devem elaborar um “Programa
de construção” (passo a passo) de como dividir um segmento em partes iguais (na
quantidade encontrada para dividir os hexágonos e pentágonos da bola de futebol).
a atividade 3 tem por objetivo propiciar condições para os alunos construírem um
jogo, chamado “Sólidos Arquimedianos”. Por meio deste jogo, os alunos têm a
oportunidade de construir os seus conhecimentos brincando, tornando assim a
Matemática prazerosa e atrativa.
o processo de avaliação deverá considerar todo o decorrer da atividade WebQuest
e, deverá ser realizada pelos alunos e pelo professor, por meio das rubricas de avaliação
por nós criadas. Nestas rubricas de avaliação serão considerados aspectos como
criatividade, coerência e estética, em todas as atividades realizadas e, a participação,
desempenho e interesse individual e do grupo na realização das tarefas.
A WebQuest: “Bola de futebol tem a ver com Matemática?” foi desenvolvida com
alunos da segunda série do Ensino Médio, em uma Escola da rede pública da cidade de
São Paulo. O laboratório de informática possuía dez computadores e a classe tinha 32
alunos freqüentes. Devido à capacidade do laboratório de informática, dividimos
inicialmente a sala em dois grupos de 16 alunos e trabalhamos com 2 alunos por micro.
Enquanto estávamos com um grupo no laboratório fazendo a pesquisa e anotando as
informações o outro grupo estava na sala de aula, separados em grupos com quatro
pessoas e fazendo as atividades propostas na WebQuest: folheto explicativo
relacionando a bola de futebol com os Sólidos Arquimedianos, construção do modelo
da bola de futebol com o papel cartão e a construção do jogo “Sólidos
Arquimedianos”. Para cada encontro foram gasto duas aulas (100 minutos).
No primeiro encontro explicamos para os alunos o que é uma atividade
WebQuest e porque estávamos interessados no desenvolvimento dessa atividade com
eles. Depois, os alunos acompanharam a introdução da WebQuest, na qual observaram a
relação de Sólidos Geométricos na Biologia, na Química, na Arquitetura, na Física e nas
Artes. Tiveram contato também com a primeira tarefa: elaborar um folheto explicativo
OPQRSRUPVX YZ VZ[ V\]^SX PZ _Z ]Z VZ ` bQSUdX OZ fPBQUEST: bola de futebol e 7
relacionando a bola de futebol com a matemática. Alguns grupos conseguiram até
observarem o processo com os passos detalhados de como realizar a primeira tarefa.
A partir do segundo encontro dividimos a classe em dois grupos de 16 alunos. Os
alunos navegaram no processo mais detalhadamente para a realização da tarefa 1.
Fizeram as suas anotações e traçaram estratégias de como eles fariam o seu folheto
seguindo as questões norteadoras e entraram nos sites propostos.
O terceiro encontro foi realizado na sala de aula. Os grupos apresentaram para os
colegas os seus respectivos folhetos. Logo após, fizemos uma discussão sobre quais
informações eram importantes e relevantes para colocar no folheto único da sala.
Pedimos para que um grupo voluntário ficasse responsável pela confecção desse
folheto.
No quarto encontro os alunos acessaram a tarefa 2: construção de um modelo da
bola de futebol utilizando papel cartão. Os grupos assistiram a um vídeo que está
disponível no site sobre os sólidos geométricos e sobre a montagem de um dodecaedro
nos moldes da nossa atividade. Os alunos também traçaram no papel cartão solicitado
no encontro anterior, os modelos dos sólidos que compõem a bola de futebol, que são
12 modelos de pentágono regular de aresta 10 cm e 20 modelos de hexágono regular de
aresta 10 cm. Recortaram esses modelos e deixamos para montarmos no próximo
encontro.
No quinto encontro montamos o modelo da bola de futebol no papel cartão com
os modelos recortados anteriormente. Em seguida, continuamos a pesquisa no
laboratório de informática para descobrir como seccionar a face do triângulo eqüilátero
que compõe o icosaedro, na sua terça parte, com régua não graduada e compasso.
O sexto encontro aconteceu no laboratório de informática e começamos a
trabalhar a terceira e última tarefa: construir o jogo “Sólidos Arquimedianos”. Os alunos
pesquisaram nos sites selecionados como é esse jogo, a composição de suas cartas,
quais as regras para as jogadas, seguindo os modelos propostos das cartas. A tarefa foi
concluída fora da escola e apresentada no encontro seguinte.
No sétimo encontro os alunos apresentaram o jogo pronto e pedimos que eles
jogassem algumas partidas para testarem os conhecimentos adquiridos no decorrer da
atividade WebQuest sobre os Sólidos Arquimedianos.
ghijkjlhmn oq mqr mtuvkn hq wq uq mq x yiklzn gq {hBQUEST: bola de futebol e 8
No oitavo encontro foram entregues aos alunos as rubricas de avaliação que
constam no site para que respondessem. Depois, solicitamos que os alunos
respondessem individualmente o que mais lhe chamou atenção nessa atividade
WebQuest, o que lhe acrescentou, o que mais gostou de fazer, o que não apreciou,
enfim, uma avaliação pessoal da nossa WebQuest.
O processo de aplicação da WebQuest foi observado por nós professores que a
construímos. Por meio destas observações foram nítidas as vantagens e desvantagens de
trabalhar com esta atividade e, da própria WebQuest por nós construída.
Na tentativa de responder a questão de pesquisa deste trabalho –Quais as
principais dificuldades e possibilidades que o uso da atividade WebQuest pode ter
no ensino dos Sólidos Arquimedianos?–, algumas observações podem ser feitas com
relação ao que foi observado e sobre a análise que estamos realizando sobre a
construção e aplicação da atividade. Com relação à utilização da atividade WebQuest,
acreditamos que o fato da utilização da Internet realmente proporcionou em
determinados momentos, certa distração e dispersão entre as duplas, o que foi sanado
com a mediação do professor. Por outro lado, foi por meio do recurso Internet que os
alunos conseguiram visualizar as figuras tridimensionais, situação esta que os alunos
têm muita dificuldade ao observar em livros, por terem apenas duas dimensões.
Embora alguns pensadores acreditam que a WebQuest é uma atividade que o
aluno consegue desenvolvê-la sozinho, sem o apoio e a presença do professor, foi nítida
a importância da mediação pedagógica do professor na atividade, inclusive há um site
que os alunos deveriam pesquisar que está em inglês, o qual eles não precisam
necessariamente ler o conteúdo, bastava que observassem as figuras sobre a evolução da
bola de futebol, mas uma dupla quando abriu a página e viu que estava em inglês,
disseram que iriam fechá-la, pois não tinham condições de pesquisar naquela fonte,
bastou que o professor dissesse que eles deveriam apenas observar as figuras para eles
abrirem o site novamente e realizar a pesquisa com muito interesse.
Alguns dos alunos não haviam percebido, a princípio, que a bola de futebol era
composta por pentágonos e hexágonos, novamente foi devido a mediação pedagógica
do professor que possibilitou que todos chegassem a esta conclusão. Sendo que os
componentes de uma dupla especifica, necessitaram contar as figuras para perceber a
|}~} } ~ | }BQUEST: bola de futebol e 9
presença de mais de uma figura geométrica, porém esta situação serviu para motivá-las
em responder as questões norteadoras para a composição do folheto.
Uma das dificuldades encontradas na aplicação da WebQuest: Bola de futebol tem
a ver com Matemática? foi a quantidade de tarefas propostas aos alunos, o que a tornou
um pouco cansativa, principalmente porque eram poucos computadores e eles tiveram
que revesar-se entre sala de aula e laboratório de informática. Talvez se ainda não
tivéssemos aplicado esta atividade, seria conveniente excluir a última tarefa, que é o
jogo.
A maior dificuldade que vivenciamos na elaboração de nossa WebQuest foi
construir tarefas que realmente fossem criativas, nas quais os alunos precisassem agir
como construtor de seu conhecimento, e que não pudessem copiar e colar as
informações sem antes transformá-las, sem dar suas reais contribuições.
Assim como sugere Bernie Dodge, nossa WebQuest: Bola de futebol tem a ver
com Matemática? tem um link chamado “ajuda ao professor”, o qual contém
informações sobre a aplicação e futuramente, os resultados que obtivemos nesta
atividade.
Referências
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação
Matemática. 3ª ed., 1ª reimp., Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEMT, 1999.
BURNIER, Suzana. Pedagogia das Competências: conteúdos e métodos. In: Boletim
Técnico do SENAC, Vol 27, n° 3, setembro/dezembro de 2001. Disponível em:
<http://webquest.sp.senac.br/
FERNANDES, Clarice Silva; PRADO, Fábio do; SILVA, Elen Gomes Leite Santiago.
WebQuest: Bola de futebol tem a ver com Matemática? Disponível em:
<http://www.webquestboladefutebol.com.br/
MORAN, José Manuel. A Internet na Educação. Entrevista dada ao Portal
Educacional,
em
15
de
junho,
2000.
Disponível
em:
<http://www.eca.usp.br/prof/moran/entrev.htm
MORAN, José Manuel. Como utilizar as tecnologias na escola. Disponível em:
<http://www.eca.usp.br/prof/moran/utilizar.htm
¡¢£¤¥¤¦¢§¨ ©ª §ª« §¬®¥¨ ¢ª ¯ª ª §ª ° ±£¥¦²¨ ¡ª ³¢BQUEST: bola de futebol e 10
SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática. São Paulo:
SEE, 2008
SILVA, Maurício Barbosa da. A Geometria Espacial no ensino Médio à partir da
Atividade WebQuest: Análise de uma experiência. 2006, 126p. Dissertação (Mestrado
em Educação Matemática). São Paulo: PUC-SP
´µ¶·¸¹º »¼ ½¼¾ ¿¹¸¿ÀÁ¹º Â¼ ´¼ Ã ÄÅ¶µÀ¸º ¹¼ Ä¼ Á¼ ´Æmo vou produzir minha
Webquest? Estudo sobre uma ferramenta de autoria. Anais do IX Encontro Paulista
de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–13.
(ISBN 978-85-98092-07-2)
COMO VOU PRODUZIR MINHA WEBQUEST?
ESTUDO SOBRE UMA FERRAMENTA DE AUTORIA.
Vanessa de Paula CINTRA – UFU ([email protected]Ç
Fernando da Costa BARBOSA – UFU ([email protected]Ç
Arlindo José de Souza JUNIOR – UFU ([email protected]Ç
Resumo: Neste artigo apresentamos a nossa reflexão sobre um trabalho colaborativo
desenvolvido a partir de uma parceria da Universidade Pública com uma Instituição
privada em busca de criar/implementar um software gerador de WebQuest,
desenvolvida por Bernie Dogde(1995), o qual a define como sendo uma sistemática de
pesquisa orientada, na qual algumas ou todas as bases de conhecimento com as quais os
aprendizes interagem são originadas de recursos da Internet. É uma pesquisa orientada,
na forma de páginas na Web, que busca nesses novos avanços da comunicação e da
tecnologia fazer melhor uso da rede mundial de computadores no processo de ensino e
aprendizagem. No presente artigo, abordaremos discussões teórico-metodológicas sobre
o processo de elaboração da ferramenta de autoria Author. Em busca de descobrir o
perfil dos professores que utilizam tecnologias em sala de aula, investigamos,
problematizamos e articulamos nossos interesses e objetivos, por meio de diálogos,
questionários e histórias compartilhadas por participantes de uma Comunidade Virtual
sobre o tema WebQuest. Com base nos dados obtidos na pesquisa foi possível linear o
formato do software de autoria Author, uma ferramenta geradora de WebQuest que
satisfaz as necessidades dos criadores de WebQuest, oferece além de um layout e
recursos de fácil manuseio ajudas de utilização do software e também constitui-se em
um tutorial sobre WebQuest com apoio teórico, tudo fundamentado na opinião de
professores/autores de WebQuest. Entendemos que o grande desafio é continuar
aprimorando permanentemente a ferramentas educativas que possibilitem tornar os
professores produtores de saberes em diferentes ambientes com Tecnologias da
Informação e Comunicação.
Palavras-chave: Webquest, Comunidade
Tecnologia, Software de Autoria (Author).
Virtual,
Formação
de
Professores,
Financiamento: CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico)
ÈÉÊËÌÍÎ ÏÐ ÑÐÒ ÓÍÌÓÔÕÍÎ ÖÐ ÈÐ × ØÙÊÉÔÌÎ ÍÐ ØÐ ÕÐ ÈÚmo vou produzir minha 2
(ISBN 978-85-98092-07-2)
Com a informatização, programas de ensino através do computador e as mudanças
exigidas pela sociedade colocam os professores – de matemática - frente a desafios que
exigem respostas rápidas e posturas inovadoras. As mudanças ocorreram tão
rapidamente que pouco se pensou no impacto possível, seja ele social ou educacional.
Tão pouco se pensou na necessidade de modificar a abordagem educacional posto que
tenta-se utilizar o método de ensino tradicional em um ambiente não tradicional. Nesse
sentido, Penteado (2005), diz que
O movimento, a velocidade, o ritmo acelerado com que a Informática
imprime novos arranjos na vida fora da escola caminham para a
escola, ajustando e transformando esse cenário exigindo uma revisão
dos sistemas de hierarquias e prioridades tradicionalmente
estabelecidos na profissão docente. (p. 284)
O presente artigo apresenta resultados de pesquisa a partir de reflexões e
investigações no processo de produção e elaboração de um software gerador da
metodologia de ensino denominada WebQuest desenvolvida por Bernie Dogde (1995), o
qual a define como sendo uma sistemática de pesquisa orientada, na qual algumas ou
todas as bases de conhecimento com as quais os aprendizes interagem são originadas de
recursos da Internet. É uma pesquisa orientada, na forma de páginas na Web, que busca
nesses novos avanços da comunicação e da tecnologia fazer melhor uso da rede mundial
de computadores no processo de ensino e aprendizagem.
Em nossas escolas, estas páginas estão sendo criadas com as ferramentas
disponíveis no mercado tais como os editores de HTML e programas para edição de
imagens. Isto é um grande complicador, pois é cada vez mais fundamental que nossos
alunos tenham acesso ao universo web e nossos professores, pouco habituados com o
uso da informática, infelizmente, não possuem as habilidades necessárias para criar, eles
próprios, suas WebQuest.
A partir dessa reflexão elaboramos um projeto que possibilitasse o
desenvolvimento de uma Ferramenta de Autoria para Criação de Webquest – Author,
que através de uma interface amigável, procurasse orientar a construção de uma
determinada WebQuest. Essa ferramenta possibilita aos usuários, sem requisitar
conhecimentos avançados em informática, a criação de Webquest e apresenta a seguinte
estrutura:
Um módulo que ofereça toda a teoria e metodologia da Webquest;
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(ISBN 978-85-98092-07-2)
Um módulo com exemplos de Webquest;
Um módulo para a criação, editoração das páginas web que compõem a Webquest;
Módulo para publicação da Webquest criada;
Um banco de dados com figuras para ilustrar a Webquest;
Um banco de dados com técnicas e estratégias de ensino;
A trajetória deste projeto teve início no segundo semestre de 2005 a partir da
estruturação de um grupo constituído por um professor da Universidade Federal de
Uberlândia, uma empresa privada, uma equipe pedagógica formada por dois alunos do
curso de licenciatura em Matemática e uma equipe tecnológica formada por dois alunos
do curso de Ciências da Computação da Universidade Federal de Uberlândia e dois
graduados em Ciência da Computação. Diante disso, é importante de ressaltar que este
artigo pretende apresentar o percurso percorrido pelos alunos do curso de licenciatura
em Matemática, equipe pedagógica.
Para a construção e elaboração da tecnologia software Author, dividimos em
etapas nossa pesquisa, tomando por base as palavras de KENSKI (2007, p. 24), que
define e exemplifica tecnologia como sendo
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(ISBN 978-85-98092-07-2)
um conjunto de conhecimentos e princípios científicos que se aplicam
ao planejamento, à construção e a utilização de um equipamento em
um determinado tipo de atividade. Para construir qualquer
equipamento – uma caneta esferográfica ou um computador – os
homens precisam pesquisar, planejar e criar o produto, o serviço, o
processo. Ao conjunto de tudo isso, chamamos de tecnologias.
Iniciando a primeira fase do projeto, aprofundamos teoricamente sobre a
metodologia WebQuest em busca de um maior aprendizado sobre o tema. Em seguida
apresentamos para toda equipe com o intuito de socializar nosso conhecimento.
As fases seguintes retratam nossa busca em definir o ambiente de aprendizagem a
ser elaborado, pois sabemos que o desenvolvimento de um software educacional possui
características específicas e os requisitos de qualidade incluem o modelo
ensino/aprendizagem a ser utilizado pelo professor. A noção de ambiente de
aprendizagem é definida por Skovsmose (2000) quando se refere às condições postas
pelo professor para que os alunos possam desenvolver as suas atividades. A Resolução
de problemas, a História como recurso didático, a Modelagem e as TICs na Educação
Matemática são alguns exemplos.
A segunda fase da pesquisa se concretizou a partir de uma análise crítica de
alguns geradores de WebQuest disponíveis na Web. A Terceira fase, uma das mais
relevantes que será foco desse artigo, foi a análise critica de questionários realizados
com professores, que delineou o processo de construção do Author.
O contato com professores em diferentes localidades do Brasil que conhecem e
utilizam a metodologia de ensino, foi possível através da Comunidade Virtual
“WebQuest” disponível no Site de Relacionamento Orkut.
Na seguinte fase do projeto, trabalhamos em parceria com a equipe técnica,
realizando testes em busca de oferecer um feedback sobre o desempenho, limites e
potencialidades do software, aos programadores.
A quinta fase consistiu em escrever a Ajuda do Author, ou seja, escrever a ajuda
de como utilizar cada item disponível em cada tela e também a ajuda didática sobre a
metodologia WebQuest.
A sexta fase se deu a partir de buscas feitas em sites livres, imagens livres com
intuito de gerar um banco de imagens gratuitas para uso dos autores de WebQuest.
mo
vou produzir minha 5
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A sétima e última fase, foi o acompanhamento durante o desenvolvimento de
WebQuest, dos alunos da disciplina Oficina I de Matemática da Universidade Federal de
Uberlândia, sob orientação do professor responsável pela referida disciplina.
A partir das análises dos geradores de WebQuest disponíveis na Web, percebemos
a necessidade de uma pesquisa mais aprofundada, a cerca de entender e perceber quais
as potencialidades e as dificuldades que os professores enfrentam ao construir uma
WebQuest. Foi então que tivemos a idéia de reunir um grupo de professores que já
conhecesse/utilizasse essa metodologia. Pensamos que a melhor maneira de isso ocorrer
seria através do site de Relacionamento Orkut, que disponibiliza uma Comunidade
Virtual nomeada WebQuest. Essa Comunidade Virtual possui diversos professores
como participantes e um fórum de discussão.
Com o uso da metodologia de 'fóruns', disponível na Comunidade Virtual, foi
possível estimular e manter discussões tematizadas e encadeadas sobre o tema
WebQuest. Ao mesmo tempo em que se pode preservar de forma organizada e
facilmente acessível todo o conteúdo discutido, a Comunidade Virtual oferece um
ambiente colaborativo de discussões e troca de saberes, de forma a tecer uma
rede/malha virtual. Segundo LÉVY (1998, p. 2)
(...) a rede é, antes de tudo, um instrumento de comunicação entre
pessoas, um laço virtual em que as comunidades auxiliam seus
membros a aprender o que querem saber. Os dados não representam
senão a matéria-prima de um processo intelectual e social vivo,
altamente elaborado. Enfim, toda inteligência coletiva do mundo
jamais dispensará a inteligência pessoal, o esforço individual e o
tempo necessário para aprender, pesquisar, avaliar e integrar-se-á
diversas comunidades, sejam elas virtuais ou não.
Diante de todo o entrosamento e retorno dos professores, percebemos uma grande
oportunidade de cadastrarmos os professores que utilizam novas tecnologias para o
auxílio do processo de ensinar e aprender.
Em uma das discussões apresentadas no fórum da Comunidade Virtual,
apresentamos perguntas em busca de respostas significativas e relevantes capazes de
nos auxiliar na estruturaçao do gerador de WebQuest. Abaixo apresentamos algumas
dessas falas:
Faço parte de um grupo de pesquisa sobre WebQuest.
Pretendemos criar um gerador de WebQuest e gostaria de contar
com a ajuda de vocês. Deixe comentários do tipo: Onde encontra
! " #$ # %mo
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maior dificuldade ao criar uma WebQuest? O que não poderia
faltar em um gerador de WebQuest? Acha importante um banco
de dados? Gostaria de trabalhar online ou offline com o gerador?
Sinta-se a vontade em dar sugestões construtivas, serão bem
vindas!!! (Vanessa)
Obtivemos ótimas contribuições, como pode ser visto abaixo nas falas que não
foram alteradas, de alguns participantes da Comunidade Virtual os quais tem sua
identidade mantida em sigilo:
Ótima idéia. Sou tutora de um curso EAD sobre WebQuest e
vamos usar o PHPWEBQUEST para criação e publicação dos
trabalhos. PHPWebquest é um programa educativo criado pelo
professor espanhol Antonio Temprano e traduzido para o
português pelo professor Eziquiel Menta (EscolaBR) para criar
Webquest, Miniquest e Caças ao Tesouro sem a necessidade de
escrever o código HTML ou utilizar programas de edição de
páginas web. O usuário pode editara ou apagar as atividades
criadas por ele. Estou aguardando mais esta ferramenta, pois a
principal dificuldade dos professores está na construção de
páginas para web e sua publicação. Uma ferramenta que
dispense o conhecimento de HTML e de fácil publicação é o
ideal. O PHPWebquest é bastante intuitivo e simples. A
simplicidade é o principal neste tipo de ferramenta. Estou
aguardado novidades e torcendo pelo sucesso. Parabéns pela
iniciativa! Abraços. (Participante 1)
Bom, respondendo a Vanessa, a aplicação geradora de webquest
a meu ver deve ter sim um banco de dados que armazene as
webquests prontas e os recursos (figuras, sons, textos, etc.) para
serem eventualmente reaproveitadas em outras webquests.
Também acredito que deva funcionar em rede, online, que pode
ser na intranet da escola ou disponível via internet, a questão é
fazer com que vários alunos e professores tenham acesso, o que
já nos leva a pensar que tem que usar a web. (...) Fico feliz em
ver esta Comunidade Virtual bem ativa todos interessados em
trocar idéias, expor projetos, parabéns a todos! Abraços.
(Participante 2)
Diante da abertura e do feedbak que recebemos dos professores participantes da
Comunidade Virtual, efetuamos contatos com todo os participantes através de conversas
informais, solicitamos o email e nome completo dos participantes. Obtivemos um
grande retorno e assim seguimos em frente com nosso objetivo.
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Com todos esses contatos recolhidos, elaboramos um questionário virtual, o qual
conseguiamos enfocar diferentes aspectos como: faixa etária, nível escolar,
conhecimento em informática etc. Enviamos emails a todos, explicando sobre nossa
pesquisa e pedindo a participação de todos.
Ainda em busca de maiores informações e sugestões, enviamos o mesmo
questionário para professores conhecidos e indicados por outros professores da nossa
Região de Uberlândia –MG os quais conhecem/utilizam informática em sala de aula.
A partir de uma pesquisa aprofundada dos dados coletados efetuamos uma análise
dos mesmos em busca de elaborar o perfil do futuro usuário do Author. A seguir os
dados coletados das principais questões do questionário enviado aos professores –
nossas amostras são, na maioria, da idade de 20-30 anos, como se pode perceber no
gráfico 1.
Esse resultado não implica que a metodologia WebQuest seja conhecida apenas
por profissionais jovens. As faixas etárias 31-40 e 41-50, por exemplo, são de mesma
quantidade, sua soma é superior ao grupo de 20-30, ou seja, WebQuest também é de
conhecimento de profissionais mais experientes, com diversas bagagens de
conhecimento teórico e prático, encontrando-se em constante aprendizado em busca de
se aperfeiçoar e atualizar com as novas “tendências” de ensino. Isso contraria muito a
opinião geral de que profissionais com muitos anos de experiência não costumam
procurar crescimento profissional.
Os professores em questão possuem, além da graduação, alguma pós-graduação,
somente uma parcela pequena ainda não concluiu a graduação, como se pode ver no
gráfico 2. Esse tipo de informação nos aponta para um grupo de pesquisadores que se
preocupam com sua formação e com a qualidade de ensino.
Ao questionar os professores se atuam em rede pública e/ou particular (Gráfico 3),
descobrimos que quase sua totalidade atua na rede pública e o nível de maior atuação é
o ensino fundamental (Gráfico 4).
Uma esmagadora quantidade de profissionais utiliza o computador como sendo
para o trabalho. Considerando assim, questionamos quais softwares eram mais usados
por eles, os quais destacamos o Power Point e Word, como demonstra o gráfico 5.
A disponibilidade de computadores (Gráfico 6) com acesso a internet foi uma
surpresa, cerca de 73% dos entrevistados confirmaram o acesso a internet. A maioria
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das escolas utiliza com os alunos para a liberação do uso dos computadores (Gráfico 7)
a identificação através de usuário e senha, o que, muitas vezes limita o professor, pois
tanto aluno como educador utilizam a mesma senha padrão que não dá suporte a
instalação de softwares ou alteração de configuração colocando o professor a mercê do
técnico de laboratório.
Aos programadores uma visão das estruturas físicas dos laboratórios oferece o
subsidio inicial para estabelecer o nível de programa suportável por essas escolas.
Quanto à metodologia WebQuest, os questionários respondidos apontaram que a
maioria conhece, e os que não conheciam estavam interessados em conhecer. Ninguém
demonstrou não ter interesse em conhecer, como demonstra o gráfico 8.
Outras questões sobre a metodologia foram abordadas, revelando que, por incrível
que pareça, a maioria conheceu a mesma por links na web. Cerca de 69% dos
entrevistados afirmaram já ter criado alguma WebQuest, e suas maiores dificuldades
estavam na criação do conteúdo da WebQuest e na montagem de layout ou modelo.
Quanto aos que não fizeram uma WebQuest, ainda tinham seu maior problema
relacionado ao tempo e domínio das ferramentas próprias para o desenvolvimento da
metodologia. Se o domínio de ferramentas computacionais é um problema na hora de
desenvolver uma WebQuest, então temos uma justificativa para o desenvolvimento de
um gerador.
Agora, falando sobre gerador de WebQuest tivemos algumas questões que
apontaram que 37% das pessoas utilizaram um gerador de WebQuest sendo que 42%
conhecem algum gerador de WebQuest. Uma das perguntas mais importantes sobre
gerador dizia respeito a quais as funcionalidades que um gerador deveria possuir.
Observe o gráfico 9.
Sem esquecer de um ponto importante, os usuários gostariam de utilizar o gerador
online, seguido de instalado no computador e depois rede local. A realização desta
pesquisa foi de extrema importância para compreender as dificuldades dos professores
em criar/elaborar uma WebQuest.
Conclusão
O Author, como ferramenta geradora de WebQuest, satisfaz as necessidades dos
criadores de WebQuest, oferece, além de um layout e recursos de fácil manuseio, ajuda
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de utilização do software e também constitui-se em um tutorial sobre WebQuest com
apoio teórico, tudo fundamentado na opinião de professores/autores de WebQuest.
Dentre os geradores existentes no mercado, o software disponibiliza as funções mais
importantes encontradas em geradores com avançados recursos de comunicação e
armazenamento das produções dos alunos, só encontrados em plataformas de EAD.
Kenski (2007), sobre os projetos e propostas de ensino mediados pelas TICs,
comenta sobre o grande desafio de inventar e descobrir usos criativos da tecnologia
educacional capazes de inspirar professores e alunos a gostar de aprender para sempre.
E indica que projetos educacionais não devem ser pensados apenas como uma forma
diferenciada de promover o ensino.
Entendemos a pesquisa cientifica como sendo uma investigação metódica a cerca
de um determinado assunto com o objetivo de esclarecer aspectos do objeto de estudo.
Um trabalho, para ser caracterizado pesquisa, segundo BEILLEROT (2001 apud
FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p. 60) deve produzir conhecimento novo, possuir
uma metodologia rigorosa e tornar-se público. A partir de tais conceitos podemos
concluir que nosso trabalho apresentado aqui se caracteriza uma pesquisa científica.
No âmbito da pesquisa cooperativa, houve algumas deficiências quando
analisamos a relação grupo/empresa, a partir da elaboração e construção deste software.
O grande desafio é continuar aprimorando permanentemente a ferramenta Author.
A partir desta etapa de construção de uma ferramenta de produção de WebQuest
passamos a realizar investigações sobre a constituição de ambientes de aprendizagem,
no qual se desenvolveu trabalhos educativos com WebQuest. Atualmente, estamos
desenvolvendo estudos sobre como os alunos do curso de licenciatura em Matemática
passaram a se ver como produtores de materiais pedagógicos digitais. Segundo Ponte,
Oliveira e Varandas (2003, p. 190)
As TICs não são apenas ferramentas auxiliares de trabalho. São um
elemento tecnológico fundamental que dá forma ao ambiente social,
incluindo o ensino da Matemática. Como tal, influenciam a evolução
do conhecimento e da identidade profissional do professor de
Matemática. Os futuros professores precisam desenvolver confiança
no uso dessas tecnologias e uma atitude crítica em relação a elas.
Precisam integrá-las nas finalidades e nos objetivos do ensino de
Matemática. A tarefa dos programas de formação não é ajudar os
futuros professores a aprender a usar essas tecnologias de um modo
instrumental, mas considerar como é que elas se inserem no
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desenvolvimento de seu conhecimento e de sua identidade
profissional.
Entendemos que o grande desafio é continuar aprimorando permanentemente a
ferramentas educativas que possibilitem tornar os professores produtores de saberes em
diferentes ambientes com Tecnologias da Informação e Comunicação. Esta pesquisa nos
revelou o quanto é importante envolver os alunos do Curso de formação de professores
de Matemática neste processo.
Referências
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.
DODGE, Bernie. Webquest: uma técnica para aprendizagem na rede internet.
Disponível em: http://www.webquest.futuro.usp.br/artigos/textos_bernie.htmlh esottr
em: 30 de abril, 2005.
LÉVY, Pierre. A inteligência coletiva. São Paulo, SP: Loyola, 1998.
PENTEADO, M. G. Redes de Trabalho: Expansão das Possibilidades da Informática na
Educação Matemática da Escola Básica. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C.
(Orgs.). Educação Matemática: Pesquisa em Movimento. São Paulo, SP: Cortez, 2005,
p. 283-295.
PONTE, J. P.; OLIVEIRA, H.; VARANDAS, J. M. O contributo das tecnologias de
informação e comunicação para o desenvolvimento do conhecimento e da identidade
profissional. In: FIORENTINI, D. (Org.). Formação de professores de Matemática:
explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas, SP: Mercado das Letras,
2003, p. 159-190.
SKOVSMOSE, O. Cenários de investigação. In: (Bolema) Boletim de Educação
Matemática, Rio Claro, n. 14, 2000, p. 66-91.
KENSKI, V. M. Educação e tecnologias, o novo ritmo da informação. Campinas, SP:
Editora Papirus, 2007.
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Softwares educacionais: Cabri Geometre, Logo, Modellus, Winplot, Real Draw, etc.
Outros: Linguagem de programação (Clipper, xHarbour), autocad, editores de imagens
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Outros: Professor é o único que possui senha e libera sites de pesquisa para os alunos;
estar matriculado, ser aluno do curso; Livre acesso; Alunos/as utilizam o laboratório
apenas com a presença de professores; Somente horário de aula.
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Recursos
9 – Sobre ferramentas que gostariam de encontrar em um gerador
Possibilidade de Criação de Layout próprio e inserção de páginas a mais;
de
comentários
e
interação,
como
em
um
Blog;
Inserção
de
animações/arquivos; Dicas a respeito de abordagens de conteúdos; Mais opções de
Layouts.