Reflexion, Brechung und Beugung

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INSTITUTE OF
W A T E R A C O U S T I C S,
SONAR ENGINEERING AND
SIGNAL THEORY
Einführung in die Technische Akustik
Inhalt
1 Grundbegriffe der Schwingungslehre
2 Schallfeldgrößen und Wellengleichung für fluide Medien
3 Ebene Schallwellen in fluiden Medien
4 Kugelwellen
5 Synthese von Schallquellen
6 Reflexion, Brechung und Beugung
7 Akustische Leitungen
8 Geometrische Akustik
Kapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
1
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
6. Reflexion, Brechung und Beugung
6.1 Elementarwellen
Huygensches Prinzip
Jeder von einer Welle getroffene Raumpunkt kann als Ausgangspunkt einer sogenannten Elementarwelle aufgefasst
werden.
Die von allen Punkten einer Wellenfront gleichzeitig ausgesendeten Elementarwellen ergeben als Einhüllende eine Wellenfront die der Wellenfront des ursprünglichen Erregungszentrums entspricht.
2
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Unter einer Elementarwelle versteht man bei 2- bzw. 3dimensionaler Ausbreitung eine Kreis- bzw. Kugelwelle
3
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Ebene Welle
Kreis- bzw. Kugelwelle
4
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SIGNAL THEORY
Huygens-Fresnelsches Prinzip
Die an einem beliebigen Raumpunkt des Wellenfeldes beobachtete Schwingung lässt sich durch die Überlagerung sämtlicher Elementarwellen, die von einer Wellenfront ausgehen,
beschreiben.
Die Ausbreitung einer Welle vollzieht sich unter gegenseiti-ger
Interferenz der von den Wellenfronten ausgehenden Elementarwellen.
5
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
6.2 Reflexion
Reflexion ebener Wellen an ebenen Grenzflächen
Einfallslot
1
2
1'
B
D
ε εr
A
2'
F
E
C
6
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SIGNAL THEORY
Die Laufzeit der einfallenden Welle von B nach C ergibt sich zu
 C  BC c .
Der Radius der von A ausgehenden Elementarwelle beträgt
nach der Zeit τC
rA  c C  AD
Es gilt also
BC  AD
Alle Elementarwellen die von Punkten zwischen A und C ausgehen, z.B. E, haben als Radien Zwischenwerte, z.B.
rE  c( C   E ) 2  EF
7
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
derart, dass sich als gemeinsame Tangente die Wellenfront CD
ausbildet.
Die beiden Dreiecke ABC und ADC
 sind rechtwinklig (Wellenfront  zur Ausbreitungsrichtung)
 haben gemeinsame Basis AC und
 gleichlange Seiten BC  AD
Somit gilt für die gegen das Einfallslot gemessenen Winkel ε
(Einfallswinkel) und εr (Aus- bzw. Reflexionswinkel) die
Beziehung
  r .
8
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Reflexionsgesetz
Die Ausbreitungsrichtung der einfallenden Welle, das Einfallslot und die Ausbreitungsrichtung der reflektierten Welle liegen
in einer Ebene, d.h. einfallender Strahl, Einfallslot und reflektierter Strahl sind in einer Ebene. Dann gilt, der Einfallswinkel
ε ist gleich dem Reflexionswinkel εr .
9
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Reflexion von Kugelwellen an ebenen Grenzflächen
Kugelwellen werden an
einer ebenen Grenzfläche
so reflektiert, dass die reflektierten Wellen von einem Zentrum Z  auszugehen scheinen, das bzgl.
der Grenzfläche spiegelsymmetrisch zum wirklichen Zentrum liegt.
10
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
6.3 Brechung
Brechung ebener Wellen an ebenen Grenzflächen
11
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Die Laufzeit der einfallenden Welle von B nach C berechnet
sich in Medium 1 zu
 C  BC c1 .
Der Radius der von A ausgehenden Elementarwelle beträgt
nach der Zeit τC in Medium 2
rA,2  c2 C  c2 c1 BC  AD
Alle Elementarwellen die von Punkten zwischen A und C
ausgehen, z.B. E, haben als Radien Zwischenwerte, z.B.
rE ,2  c2( C  E ) 2  EF
derart, dass sich als gemeinsame Tangente die Wellenfront CD
ausbildet.
12
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SIGNAL THEORY
Aus den Dreiecken
und
folgt
sin  1 
BC
AC
und
sin  2 
AD c2 BC
 
AC c1 AC
Dividiert man beide Ausdrücke durcheinander, so erhält man mit
sin  1 c1
  const.
sin  2 c2
das bereits von Snellius 1621 experimentell gefundene und
deshalb nach ihm benannte Snelliussche Brechungsgesetz.
13
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
6.4 Beugung
Ebene Wellen treffen senkrecht auf
 eine Wand mit Öffnung (Wellenfronten parallel zur Wand)
 ein Hindernis (Wellenfronten parallel zum Hindernis)
Beugung an einer
Öffnung d  7 2
14
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Beugung an einer
Beugung an einer
15
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Beugung an einem
Hindernis d  14
Beugung an einem
Hindernis d  7
16
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Die Erklärung das Wellen in den Schattenraum gelangen, also
um die Berandung der Öffnung / des Hindernisses herum in
den Schattenraum gebeugt werden, liefert wieder das HuygensFresnelsche-Prinzip.
Jeder Punkt des Mediums und somit jeder Punkt der Öffnung
ist Ausgangpunkt einer Elementarwelle.
Die Überlagerung aller Elementarwellen liefert ein Interferenzmuster, dass im Schattenbereich zwar abgeschwächt ist, aber
das dort nicht verschwindet.
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Streuung an einem Hindernis
Ist die Ausdehnung des Hindernisses d <λ, so spricht man von
Streuung.
Die einfallende ebene
Welle passiert das Hindernis fast ungestört.
Vom Hindernis geht nur
eine schwache Kreiswellen aus.
18
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SIGNAL THEORY
6.5 Reflexions- und Transmissionskoeffizient
An einer Grenzschicht zwischen zwei Medien sind der
 einfallende
 reflektierte und
 transmittierte Schall
zu berücksichtigen.
einfallende Welle
reflektierte Welle
Medium 1
ρ1,c1
1 1
Medium 2
ρ2,c2
2
x
transmittierte Welle
y
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INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Der Schalldruck der einfallenden, reflektierten und transmittierten ebenen harmonischen Welle ist gegeben durch
pe  pˆ exp j( t  k Te r )




 T pˆ exp j( t  k r ) ,
pr  R pˆ exp j( t  k Tr r )
pt
T
t
wobei
r  ( x , y )T
ist und p̂ die Amplitude des Schalldrucks der einfallenden Welle bezeichnet. Die Größen R und T geben den Reflexions- und
Transmissionskoeffizienten einer vom Medium 1 auf die
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Grenzschicht einfallenden und in das Medium 2 transmittierten
ebenen Wellen an. Die Vektoren
 sin  1 
 sin  1 
 sin  2 
,
und
k e  k1 
k

k

k
k



1
2
r
t
cos
cos
cos




1
1
2



bezeichnen dabei die Wellenvektoren der einfallenden, reflektierten und transmittierten ebenen Welle. Die Beträge der Wellenvektoren sind die Wellenzahlen
2 
2 
k1 

und k2 
 .
1 c1
2 c2
Die Wellenzahl hängt über 1 und 2 von den Eigenschaften
der Medien ab.
21
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SIGNAL THEORY
Stetigkeitsbedingungen an der Grenzschicht
Die Stetigkeitsbedingung für den Schalldruck lautet
pe  pr  pt für r  ( x ,0)T .
Die Stetigkeitsbedingung für die Senkrecht auf der Grenzschicht stehende Komponente der Schallschnelle v kann mit
( pe  pr )
y
pt
v 
v 
  1
  2
und
t
y
t
durch
 v  1 ( pe  pr ) 1 pt



t
1
y
2 y
ausgedrückt werden.
22
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SIGNAL THEORY
Einsetzen von pe , pr und pt in die beiden Stetigkeitsbedingungen liefert für r  ( x ,0)T
T
T
T
ˆ j(t  k e r )  R pe
ˆ j (t  k r r )  T pe
ˆ j ( t  k t r )
pe
e  j( k1 sin 1 x  k1 cos 1 y )  R e j( k1 sin 1 x k1 cos 1 y )  T e  j( k2 sin 2 x  k2 cos 2 y )
e  jk1 sin 1 x  R e jk1 sin 1 x  T e  jk2 sin 2 x
1  R  T e  j( k2 sin 2 k1 sin 1 )x ()
und





1 
1 
j( tkTe r )
j( tkTr r )
j( tkTt r)
 R p̂e

T p̂e
p̂e
1 y
2 y


1 
1   j(k1 sin 1xk1 cos1 y )
 j(k sin  xk cos y )
 j(k sin  xk cos y )
e
 Re 1 1 1 1 
Te 2 2 2 2
1 y
2 y
23
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SIGNAL THEORY
1
1

k1
(k cos 
1
1
2
1
)e  j( k1 sin 1 x  k1 cos 1 y )  k1 cos  1R e j( k1 sin 1 x k1 cos 1 y )
( k2 cos  2 )T e  j( k2 sin 2 x  k2 cos 2 y )
cos  1
1
(1  R )e  j( k1 sin 1 x )  k2
cos  2
2

füry  0giltdann
T e  j( k2 sin 2 x ) .
()
Da der Reflexions- und Transmissionskoeffizient nicht von x
abhängt, muss der Exponent in ( ) die Bedingung
k2 sin  2  k1 sin  1  0
befriedigen. Umformen liefert das Brechungsgesetz
24

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SIGNAL THEORY
sin  1 k2 1 c1 f c1
  
  n.
sin  2 k1 2 c2 f c2
Außerdem folgt aus der Bedingung der Ausdruck
1 R T.
Mit dem Brechungsgesetz sowie den Substitutionen m =ρ2/ρ1
und n =k2/k1 ergibt sich aus ( )dieGleichung
2
k
cos  1 (1  R ) e  j( k sin  x )  2 cos  2 T e  j( k
1
k1
m cos  1 (1  R )  n cos  2 T .
1
1
2 sin  2 x )
Einsetzen von T =1+ R liefert nach Umformungen gemäß
25
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SIGNAL THEORY
m cos  1 (1  R )  n cos  2(1  R )
m cos  1  n cos  2  (m cos  1  n cos  2 )R
für den Reflexionskoeffizienten den Ausdruck
m cos  1  n cos  2
R
m cos  1  n cos  2
bzw. mit
cos  2  1  sin2  2 und n sin  2  sin  1
und deshalb
n cos  2  n2  n2 sin2  2  n2  sin2  1
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INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
die Beziehung
R
m cos  1  n2  sin2 1
m cos  1  n2  sin2 1
Der Transmissionskoeffizient ergibt sich durch Einsetzen von
R in T =1+R schließlich zu
T 1
m cos  1  n cos  2
2m cos  1

m cos  1  n cos  2 m cos  1  n cos  2
bzw.
T
2m cos  1
m cos  1  n  sin  1
2
2
.
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SIGNAL THEORY
Anmerkung:
(Eigenschaften des Reflexions- und Transmissionskoeffizient)
a) Wenn ε1 gegen π/2 strebt, dann streben R und T unabhängig von den Parametern der Medien gegen −1 bzw. 0.
b) Für Einfallswinkel ε1 für die
m2  n2
sin  1 
, d.h. R  0
m2  1
gilt ist die Grenzschicht vollständig transparent.
c) Für n reell, sinε1 >n und n cos  2   j sin2 1  n2 kann
der Reflexionskoeffizient durch
R
m cos  1  j sin2 1  n2
m cos  1  j sin  1  n
2
2
,
 nur  j  sinvoll 
28
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
oder nach Umformung durch
 sin2  n2
1
R  exp( j ) mit R  1 und   2arctan 
 mcos  1





ausgedrückt werden, d.h. es liegt Totalreflexion vor.
Ferner besitzen die einfallende und reflektierte Welle eine
Phasendifferenz von ϑ an der Grenzschicht.
Der Einfallswinkel der sinε1 = n befriedigt wird kritischer
Winkel genannt, d.h. ε1 =εcrit.
Für ε1 >εcrit und k2 cos  2  k1n cos  2   j k1 sin2 1  n2
gilt für die Amplitude der transmittierten Welle
pt  exp( y) mit   k1 sin21  n2 ,
 nur  j k  sinvoll .
1
29
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SIGNAL THEORY
Mit Hilfe der akustischen Impedanzen
Z1  1c1 cos  1  Z1 cos  1
Z2  2c2 cos  2  Z2 cos  2
kann der Reflexionskoeffizient durch
R

m cos  1  n cos  2 2 1 cos  1  c1 c2 cos  2

m cos  1  n cos  2 2 1 cos  1  c1 c2 cos  2
2c2 cos  1  1c1 cos  2 Z 2 cos  1  Z1 cos  2

2c2 cos  1  1c1 cos  2 Z 2 cos  1  Z1 cos  2
Z 2 cos  2  Z1 cos  1 cos  1 cos  2 Z 2  Z1



Z 2 cos  2  Z1 cos  1 cos  1 cos  2 Z 2  Z1
und der Transmissionskoeffizient durch
30
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Z2  Z1
2Z2
T 1 R 1



Z2  Z1 Z2  Z1
ausgedrückt werden.
Beispiel: (Senkrechter Einfall, d.h. Z1  Z1 , Z2  Z2 )
a) angepassterÜbergang,d.h.Z1  1c1 , Z 2  Z1
 R  0, T  1
b) schallharterÜbergang,d.h.Z1  1c1 , Z 2  
 R  1, T  2
c) schallweicherÜbergang,d.h.Z1  1c1 , Z 2  0
 R  1, T  0
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INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
kg
m
kg
,
340
442
c


Z

L
L
s
m3
m2s
kg
m
kg
Wasser: W  1000 3 , cW  1480
 ZW  1,48  106 2
s
m
ms
Luft:
L  1,3
zu b) schallharter Luft → Wasser Übergang
Z1  Z L 
R  0,9994



Z 2  ZW 
T  1,9994
zu c) schallweicher Wasser → Luft Übergang
Z 1  ZW 
R  0,9994



Z2  Z L 
T  0.0006
32
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Wegen
2
2
1
1 | p|
1 | p|

I  Re pv 

2
2 ReZ  2 c
 
ergeben sich die Intensitäten der einfallenden, reflektierten
und transmittierten Welle zu
| pe |2
pˆ 2
pˆ 2
,


Ie 
21c1 21c1 2Z1
Ir 
und
It 
| pr |2
21c1
| pt |2
22c2

R2 | pe |2
ˆ2
R2 pˆ 2
2 p

R
21c1
2Z1

T 2 | pe |2
ˆ2
T 2 pˆ 2
2 p

T
22c2
2Z2
21c1
22c2
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INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Der Reflexions- und Transmissionskoeffizient der Intensitäten
ist dann durch
RI 
I c
Ir
Z
n
 R2 und TI  t  1 1 T 2  1 T 2  T 2
Ie
I e  2c 2
Z2
m
gegeben. Nach Umformen von
4m2 cos2  1
n 2 n
TI  T 
m
m (m cos  1  n cos  2 )2
in
TI 
cos  1 4nm cos  1 cos  2
cos  2 (m cos  1  n cos  2 )2
34
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
wird deutlich, dass bei Vertauschen der Übertragungsrichtung
1  2 ,
1  2
c1  c2 ,
für schräg einfallende Schallwellen die Ungleichung
TI ,12  TI ,21
gilt. Die Grenzschicht ist also abgesehen vom senkrechten
Schalleinfall nicht übertragungssymmetrisch.
Zum besseren Verständnis sei abschließend noch auf die physikalische Bedeutung des Faktors
1
2 hingewiesen.
Aus der nachfolgenden Abbildung können für die Querschnitte
des einfallenden, reflektierten und transmittierten SchallstrahlKapitel 6 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
35
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
bündels die Beziehungen
Se  S r  lz x cos  1 , St  lz x cos  2 und
hergeleitet werden.
Se cos  1

St cos  2
reflektiertes Schallstrahlbündel
einfallendes Schallstrahlbündel
Se  S r
1 1
Medium 1
St
ρ1,c1
x
2
Medium 2
ρ2,c2
y
x
bundle of transmitted rays
36
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Das Verhältnis vom Kosinus des Einfalls- zum Kosinus des
Ausfallswinkels ist somit gleich dem Verhältnis der Querschnitte des einfallenden und transmittierten Schallstrahlbündels.
Mithilfe der Leistungen der einfallenden, reflektierten und
transmittierten Welle, d.h.
Pe =SeIe, Pr =SrIr und Pt =StIt ,
erhält man dann über die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten der Leistungen
2
 m cos  1  n cos  2 
I
P SI
RP  r  r r  t  R2  

cos
cos


Pe S e Ie Ie
m
n

1
2 

und
37
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
TP 
Pt St It cos  2 It cos  2 1c1 2


 

T
Pe S e Ie cos  1 Ie cos  1 2c2
cos  2 n
4m2 cos2 1
4nm cos  1 cos  2

 

cos  1 m  m cos  1  n cos  2 2  m cos  1  n cos  2 2
auch eine Bestätigung des Energieerhaltungssatzes
RP +TP=1
Pe =Pr +Pt.
Überdies kann man zeigen, dass das Vertauschen der Übertragungsrichtung, i.e.
1  2 ,
c1  c2 ,
1  2
RP and TP unverändert lässt.
38
INSTITUTE OF
SIGNAL THEORY
Literatur zu Kapitel 6
[1]
D.T. Blackstock, Fundamentals of Physical Acoustics,
Wiley, 2000
[2]
L.M. Brekhovskikh und O.A. Godin, Acoustics of Layered
Media I, Springer, 1997
[3]
L. Cremer und M. Möser, Technische Akustik, Springer, 2003
[4]
E. Hering, R. Martin und M. Stohrer, Physik für Ingenieure,
Springer, 2002
[5]
H. Kuttruff, Akustik: Eine Einführung, Hirzel Verlag, 2004
[6]
R. Lerch, G. Sessler und D. Wolf, Technische Akustik:
Grundlagen und Anwendungen, Springer, 2009
[7]
P.A. Tipler, Physik, Spektrum, 1994
39

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