Finanzmathematik - Grundlagen - WiWi

Finanzmathematik - Grundlagen
Formelsammlung
Zugelassene Formelsammlung zur
Klausur im Sommersemester 2005
Marco Papatrifon
Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie
Universität Augsburg
Zinsrechnung – Symbole
Universität Augsburg
Symbol
Bezeichnungen
K0
Anfangskapital
Kn
Endkapital
n
ganzzahlige Laufzeit
∆(t)
unterjährige Laufzeit in Tagen
tJahr
Länge eines Zinsjahres in Tagen
f
gebrochene Laufzeit
m
Anzahl Zinsperioden pro Jahr
x
nicht-ganzzahlige Laufzeit
Z
Zins
p
Prozentzinssatz
P∗
relativer Periodenzinssatz
p0
konformer Periodenzinssatz
peff
effektiver Jahreszinssatz
i
Gleichheit
f=
∆(t)
tJahr
(Dezimal-)Zinssatz
i=
p
100
q
Aufzinsungsfaktor
q =1+i
ZZ
Zinszahl
ZD
Zinsdivisor
Finanzmathematik - Grundlagen
1
Zinsrechnung
Universität Augsburg
Einfache Verzinsung
p · n
Kn = K0 + K0 · i · n = K0 · 1 +
100
K0
=
Kn
1+i·n
n
=
1
·
i
p
=
100
·
n
Kn
−1
K0
=
Kn
−1
K0
100
·
p
Kn
−1
K0
Einfache Verzinsung bei unterjähriger Laufzeit
Kf = K0 + K0 · i · f
Postenmethode und Zinsstaffelrechnung
ZZ
=
ZD =
K0 · ∆(t)
100
tJahr
p
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2
Zinsrechnung
Universität Augsburg
Zinseszinsliche Rechnung
Kn
= K0 · qn
K0
=
Kn
qn
q
=
r
n
=
ln Kn − ln K0
ln q
n
Kn
K0
p = 100 ·
bzw.
r
n
Kn
−1
K0
Gemischte Verzinsung
Kx,t0
∆t1
= K0 · 1 + i ·
tJahr
· (1 +
i)n
∆t2
· 1+i·
tJahr
Unterjährige Verzinsung
peff
= 100 ·
h
1+
i
h
i
p∗ m
p m
− 1 = 100 · 1 +
−1
100
100 · m
Unterjährige Verzinsung mit dem konformen Zins (ISMA)
Kf
p f
= K0 · 1 + eff
100
Stetige Verzinsung
peff
= 100 · ei − 1
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3
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
Universität Augsburg
Äquivalenz zweier Zahlungen A im Zeitpunkt m und B im Zeitpunkt m 0
A∼B
⇐⇒
A · qt−m = B · qt−m
0
0
A · qm −m = B
⇐⇒
Zeitwert eines Zahlungsstroms (At )t=0,1,...,n zum Zeitpunkt m
Km =
n
X
m−t
At · q
=
t=0
n
X
m
At · q
−t
·q
m
=q
t=0
·
n
X
−t
At · q
m
=q
t=0
·
n
X
At
t=0
qt
Kapitalwert (Barwert) eines Zahlungsstroms (At )t=0,1,...,n
n
X
K0 =
At · q−t =
t=0
n
X
At
qt
t=0
Endwert eines Zahlungsstroms (At )t=0,1,...,n
Kn =
n
X
At · qn−t = qn ·
t=0
n
X
At · q−t = qn ·
t=0
n
X
At
t=0
qt
= qn · K0
Mittlerer Zinstermin eines Zahlungsstroms (At )t=0,1,...,n
ln
m=
n
P
t=0
At − ln
n
P
At
t=0
· q−t
ln q
Finanzmathematik - Grundlagen
4
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
Universität Augsburg
Kapitalwert eines Zahlungsstroms der Periodenüberschüsse (Pt )t=0,1,...,n
K0 =
n
X
Pt · q−t =
t=0
n
X
t=0
Pt
1+
p
100
t =
n
X
Et · q−t −
t=0
n
X
At · q−t
t=0
Interner Zinssatz p∗ eines Zahlungsstroms der Periodenüberschüsse (Pt )t=0,1,...,n
0=
n
X
Pt · q−t
∗
t=0
=
n
X
t=0
p∗ −t
Pt · 1 +
100
Newton-Verfahren
0. Ein Abbruchkriterium > 0 wird festgelegt.
Eine maximale Anzahl imax von Iterationen wird festgelegt.
1. Start:
i := 0; Ein Startwert x0 mit g 0 (x0 ) 6= 0 wird ermittelt
2. Iteration:
xi+1 = xi −
g(xi )
g 0 (xi ) ; i
=i+1
3. Verzweigung:
Ist |g(xi )| < oder i > imax erfüllt, so wird x∗ := xi gesetzt und das Verfahren beendet.
Ansonsten weiter bei 2.
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5
Rentenrechnung
Universität Augsburg
Symbol
Bezeichnungen
r
konstante nachschüssige Rentenrate
r0
konstante vorschüssige Rentenrate
re
jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate
Gleichheit
einer nachschüssigen unterjährigen Rentenrate
re0
jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate
einer vorschüssigen unterjährigen Rentenrate
n
Laufzeit der Rente
m
Anzahl der Rentenzahlungen pro Zinsperiode
p
Prozentzinssatz
i
Dezimalzinssatz
i=
q
Zinsfaktor
q=1+i
p
0
p
100
Konformer Prozentzinssatz
R0
Barwert der Rente
Rk
Zeitwert der Rente
Rn
Endwert der Rente
Rentenendwert einer jährlich nachschüssigen Rente r
Rn = r ·
qn − 1
= r · NREF
q−1
Rentenbarwert einer jährlich nachschüssigen Rente r
R0 = Rn · q−n = r ·
qn − 1
qn − 1
= r · NRBF
=
r
·
qn · (q − 1)
qn+1 − qn
Finanzmathematik - Grundlagen
6
Rentenrechnung
Universität Augsburg
Nachschüssige Rente: Auflösung nach der Laufzeit n
aus Rn : n =
ln 1 +
Rn ·i
r
ln q
aus R0 : n =
− ln 1 −
ln q
R0 ·i
r
Zusammenhang zwischen nach- und vorschüssigem Rentenbarwertfaktor
NRBF · q = VRBF
360-Tage-Methode: Konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate re
einer nachschüssigen unterjährigen Rentenrate rN
m−1
re = rN · m + i ·
2
360-Tage-Methode: Konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate re0
einer vorschüssigen unterjährigen Rentenrate rV
re0
m+1
= rV · m + i ·
2
ISMA: Konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate re
einer nachschüssigen unterjährigen Rentenrate rN
re = rN ·
q−1
q0 − 1
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Rentenrechnung
Universität Augsburg
ISMA: Konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate re0
einer vorschüssigen unterjährigen Rentenrate rV
0
re0 = rV · q ·
q−1
0
q −1
Ewige Rente
r
Nachschüssig: R0 =
i
Finanzmathematik - Grundlagen
0
r
Vorschüssig: R0 = r +
i
0
0
8
Tilgungsrechnung
Universität Augsburg
Symbol
Bezeichnungen
Gleichheit
S
Kredit
RSk
Schuldenstand zu Beginn des Jahres k
Sk
Schuldenstand am Ende des Jahres k
n
Laufzeit der Kredites in Jahren
p
Prozentzinssatz
i
Dezimalzinssatz
i=
q
Zinsfaktor
q =1+i
i0
Tilgungssatz der Prozentannuitätentilgung
Zk
Nachschüssige Zinszahlung für Jahr k
Tk
Nachschüssige Tilgungsrate für Jahr k
Ak
Annuität für Jahr k
p
100
Zk = RSk · i
Ak = Tk + Zk
Jährliche Ratentilgung
• Nachschüssige Tilgungsrate für Jahr k
T=
S
n
• Schuldenstand zu Beginn des Jahres k
RSk = T · (n − k + 1)
• Annuität für Jahr k
Ak =
i
S h
· 1 + (n − k + 1) · i
n
Finanzmathematik - Grundlagen
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Tilgungsrechnung
Universität Augsburg
Jährliche exakte Annuitätentilgung
• Annuität für Jahr k
Ak = S ·
qn (q − 1)
qn − 1
• Nachschüssige Tilgungsrate für Jahr k
Tk = S ·
qk−1 (q − 1)
qn − 1
• Nachschüssige Zinszahlung für Jahr k
Zk = A · 1 −
1
qn−k+1
• Schuldenstand zu Beginn des Jahres k
RSk = S ·
qn − qk−1
qn − 1
Prozentannuitätentilgung
• Annuität für Jahr k (k = 1, . . . , n − 1)
A = (i + i 0 ) · S
• Nachschüssige Tilgungsrate für Jahr k (k = 1, . . . , n − 1)
Tk = S · i 0 · qk−1
• Nachschüssige Zinszahlung für Jahr k (k = 1, . . . , n − 1)
Zk = (i + i 0 ) · S − i 0 · S · qk−1
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