Workshop SHARP EL 9650 – Übung 8 Mit Formeln arbeiten
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Workshop SHARP EL 9650 – Übung 8 Mit Formeln arbeiten
Workshop SHARP EL 9650 – Übung 8 Mit Formeln arbeiten Aufgabe 1 Für quaderförmige Körper mit einer quadratischen Grundfläche, der Kantenlänge a und der Höhe h gelten für das Volumen V und die Oberfläche O die Formeln V = a2 · h bzw. O = 2·a 2 + 4·a·h. a) Stelle für Quader mit einer festen Grundfläche (Kante a = 1 m) das Volumen und die Oberfläche in Abhängigkeit von der Höhe h graphisch dar. Beschreibe die Eigenschaften der Graphen und vergleiche die Maßzahlen der Oberfläche und des Volumens. b) Stelle für Quader mit einer festen Höhe (h = 1 m) das Volumen und die Oberfläche in Abhängigkeit von der Kantenlänge a graphisch dar. Beschreibe die Eigenschaften der Graphen und vergleiche die Maßzahlen der Oberfläche und des Volumens. c) Gibt es nach Teilaufgabe a) und b) je einen Quader bei denen die Höhe h des einen mit der Kante a des anderen übereinstimmt und zusätzlich die Maßzahl der Oberfläche O des ersten mit der Maßzahl des Volumens V des zweiten übereinstimmt? Lösungsvorschlag a) Bei einer Kantenlänge a = 1 m gelten für die Oberfläche und das Volumen die Formeln V = h und O = 2 + 4·h. Graphische Darstellung (x entspricht h, Y1 entspricht V und Y2 entspricht O): Ergebnis: Beide Graphen sind Geraden (die Zuordnungen sind linear). Die Maßzahl der Oberfläche ist stets größer als die Maßzahl des Volumens. b) Bei einer Höhe h = 1 m gelten für die Maßzahlen der Oberfläche und des Volumens die Formeln V = a 2 und O = 2·a2 + 4·a. Graphische Darstellung mithilfe des Y-Editors (x entspricht a, Y3 entspricht V und Y4 entspricht O): Ergebnis: Beide Graphen sind Parabeln (die Zuordnungen sind quadratisch). Die Maßzahl der Oberfläche ist stets größer als die Maßzahl des Volumens: O – A = a 2 + 4·a > 0 für a > 0. LFB GTR, RP KA 2006 Eichhorn, Höger, Reimer Datei: ws08_formeln_sharp.doc Seite 1 von 3 Workshop SHARP EL 9650 – Übung 8 c) Lösungsidee: Es ist eine Lösung der Gleichung Y2 = Y3 bzw. Y2 - Y3 = 0 gesucht. Lösungsvorschlag 1 1) Darstellen der Graphen von Y2 und Y3 im Bereich 0 x 5; 0 y 22 , numerische Lösung im TRACE-Modus eventuell mit Hilfe einer Wertetabelle. TRACE-Modus liefert x 4,468. -Taste und Pfeiltasten Tabelle liefert x 4,45 2) Schnittpunktberechnung liefert x 4,45 und (Maßzahl O = Maßzahl V) 19,8. Lösungsvorschlag 2 Im -Modus (Tastenfolge: Gleichung ein. ) gibt man die Nach erfolgt die Eingabe eines geeigneten Startwertes. Eingabe des Befehls Ergebnis: x 4,449 liefert einen Näherungswert. Interpretation der Ergebnisse: Bei einem Quader mit einer quadratischen Grundfläche der Kantenlänge 1 m und der Höhe 4,45 m stimmt die Maßzahl der Oberfläche (in etwa) überein mit der Maßzahl des Volumens eines Quaders mit einer quadratischen Grundfläche der Kantenlänge 4,45 m und der Höhe 1 m. (Hinweis: Die exakte Länge für h und a ergibt sich aus den Lösungen x = 2 6 der quadratischen Gleichung 2 + 4x = x2 (positive Lösung x 4,4494...).) LFB GTR, RP KA 2006 Eichhorn, Höger, Reimer Datei: ws08_formeln_sharp.doc Seite 2 von 3 Workshop SHARP EL 9650 – Übung 8 Aufgabe 2 Aus einer Formelsammlung erhält man für das Volumen V und die 1 Mantelfläche M eines Kegels die Formeln V r 2 h bzw. 3 M r s . Die Bedeutung der Variablen r, h und s ergibt sich aus der zugehörigen Abbildung. a) Erkläre die Formeln. Stelle eine Formel für die gesamte Oberfläche des Kegels auf. 1 b) Begründe, dass für spezielle Kegel mit r = h die Formel V r 3 das Volumen 3 2 und die Formel O = r (1 2) die (gesamte) Oberfläche des Kegels in Abhängigkeit vom Radius r angibt. c) Stelle O und V in Abhängigkeit von r graphisch und tabellarisch dar. Vergleiche die Maßzahlen der beiden Größen. Gibt es einen Radius, für den die Maßzahlen gleich sind? Aufgabe 3 Die Formel für den Abstand d zweier Punkte P(x1|y1) und Q(x2|y2) in einem Koordinatensystem ist d = (y 2 y 1 )2 (x 2 x 1 )2 . a) Stelle diese Formel mit dem GTR nach folgender Idee dar: Die Liste L 1 enthält die x-Koordinaten und die Liste L2 enthält die y-Koordinaten der beiden Punkte (L1(1) = x1; L1(2) = x2; L2(1) = y1 und L2(2) = y2). Die Funktion Y 1 berechnet d nach der Formel Y1 = ( L 2 ( 2 ) L 2 (1)) 2 ( L 1 ( 2 ) L 1 (1)) 2 . b) Teste die „Formel“ mit selbst gewählten Punkten. LFB GTR, RP KA 2006 Eichhorn, Höger, Reimer Datei: ws08_formeln_sharp.doc Seite 3 von 3