Folie - Algorithmik I - Karlsruher Institut für Technologie (KIT)

Transcrição

Algorithmen für Routenplanung
14. Sitzung, Sommersemester 2013
Thomas Pajor | 24. Juni 2013
I NSTITUT FÜR T HEORETISCHE I NFORMATIK · A LGORITHMIK · P ROF. D R . D OROTHEA WAGNER
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Fahrplanauskunft
1
Chesham
9
Chalfont &
Latimer
2
8
Watford
3
4
Special fares apply
7
8 7 6
Watford Junction
Watford High Street
5
5
6
A
Carpenders Park
Rickmansworth
Moor Park
Ruislip Manor
Stanmore
Harrow &
Wealdstone
Pinner
Burnt Oak
Harrowon-the-Hill
Rayners Lane
West
Harrow
Northwick
Park
Queensbury
Kingsbury
Brent Cross
Golders Green
Sudbury Hill
Finchley Road
& Frognal
Willesden Junction
Brondesbury
Kensal Green
2
Finchley Road
Alperton
Swiss Cottage
Queen’s Park
Greenford
Kilburn
High Road
South
Hampstead
Camden Town
St. John’s Wood
C
Caledonian
Road &
Barnsbury
Paddington
Edgware
Marylebone
Road
Baker
Street
Great
Portland
Street
Angel
East
Acton
Shepherd’s
Bush
White
City
Russell
Square
Notting
Hill Gate
Lancaster
Gate
Bond
Street
Oxford
Circus
Ealing Broadway
65 4
West
Acton
3
North
Acton
Acton Central
Ealing Common
2
Wood Lane
Shepherd’s Bush
Market
Goldhawk Road
D
Acton Town
Queensway
Holland
Park
High Street
Kensington
Hammersmith
Turnham Stamford Ravenscourt
Brook
Park
Green
Osterley
West
Kensington
2
Kew Gardens
Hounslow Central
Hatton Cross
E
4
Richmond
Heathrow
Terminals 1, 2, 3
Heathrow
Terminal 4
Heathrow Terminal 5
St. James’s
Park
5
3
Fulham Broadway
Stepney Green
Whitechapel
2
Westferry
Limehouse
Tower
Gateway
Fenchurch Street
Devons Road
Star Lane
Langdon Park
Canning
Town
Royal
Victoria
All Saints
Blackwall
Poplar
Bermondsey
Canary Wharf
Wimbledon Park
2
South Quay
Mudchute
Gallions Reach
London City Airport
2
New Cross Gate
New Cross
Brockley
District
4
Lewisham
Sydenham
Brixton
Penge West
Key to symbols
Anerley
Blackfriars Station closed
Balham
Tooting Bec
Tooting Broadway
Colliers Wood
3
Interchange stations
Crystal Palace
Norwood Junction
West Croydon
4
Morden
Step-free access from
street to train
Step-free access from
street to platform
South Wimbledon
National Rail
5
Riverboat services
2
3
Thomas Pajor – Algorithmen für Routenplanung
Folie 2 – 24. Juni 2013
4
5
6
Hammersm
Jubilee
Explanation of zones
9
Station in Zone 9
8
Station in Zone 8
7
Station in Zone 7
Station in both zones
6
Station in Zone 6
Metropolita
Northern
Piccadilly
F
Victoria
5
Station in Zone 5
4
Station in Zone 4
Station in Zone 3
Waterloo &
Station in Zone 2
Station in Zone 1
DLR
3
Tramlink
2
Airport
1
London Ove
Transport for London August 2011
1
Central
Circle
Greenwich
Elverson Road
Forest Hill
Clapham South
E
Deptford Bridge
Honor Oak Park
Clapham Common
F
Bakerloo
Woolwich Arsenal
Kennington
Clapham North
Waterloo & Ci
0615 until 214
Fridays and 08
Saturdays. Clo
and Public Ho
--------------------------------------------------Blackfriars
Underground
until late 2011
--------------------------------------------------Camden Town From 1300 unt
Sundays open
interchange a
--------------------------------------------------Canary Wharf
Step-free inte
between Unde
Canary Wharf
Heron Quays
at street level
--------------------------------------------------Cannon Street Open until 210
Fridays. Close
and Sundays
--------------------------------------------------Heron Quays
Step-free inte
between Hero
Canary Wharf
station at stre
--------------------------------------------------Hounslow West Step-free acce
wheelchair us
--------------------------------------------------Tottenham
Northern line
Court Road
stop at Totten
Road until late
--------------------------------------------------Turnham Green Served by Picc
trains early m
late evenings
--------------------------------------------------Victoria
Major escalato
refurbishment
early 2012. Use
stations or alt
--------------------------------------------------Waterloo
Waterloo & Ci
0615 until 214
Fridays and 08
Saturdays. Clo
and Public Ho
--------------------------------------------------West India Quay Not served by
from Bank tow
before 1900 o
to Fridays
---------------------------------------------------
Key to lines
3
Cutty Sark for
Maritime Greenwich
Elephant & Castle
Beckton
King George V
Island Gardens
Borough
Cyprus
for The O2
Heron Quays
Stockwell
Wimbledon
D
Royal Albert
Pontoon Dock
North
Greenwich
Canada
Water
Southwark
Lambeth
North
Oval
Clapham
Junction
4
Prince Regent
West Silvertown
Putney Bridge
Southfields
3
East
India
Beckton Park
Rotherhithe
London
Bridge
Crossharbour
1
Vauxhall
C
West Ham
River Thames
Temple
Embankment
Surrey Quays
East Putney
East Ham
Upton Park
Plaistow
Bromleyby-Bow
West
India Quay
Wapping
Waterloo
Pimlico
Imperial
Wharf
Parsons Green
Dagenham
Heathway
Becontree
Barking
Abbey
Road
Bow Road
Shadwell
Blackfriars
Westminster
Sloane
Square
South
Kensington
West Brompton
Gunnersbury
Hounslow East
Hounslow
West
Earl’s
Court
Pudding
Mill Lane
Mile End
Aldgate
Tower
Hill
Monument
Charing
Cross
Aldgate
East
Elm Park
Custom House for ExCeL
Cannon Street
Mansion House
Victoria
Chiswick
Park
Leicester Square
Piccadilly
Circus
Gloucester
Road
Barons
Court
South Ealing
Northfields
Boston Manor
Bank
Covent Garden
Green Park
Knightsbridge
B
Hornchurch
Woodgrange Park
Bow Church
1
St. Paul’s
Holborn
Tottenham
Court Road
Marble
Arch
1
Hyde Park Corner
Kensington
(Olympia)
South Acton
Upminster
Upminster Bridge
Dagenham
East
Wanstead Park
Upney
Shoreditch
High Street
Moorgate
Chancery
Lane
3
Stratford
High Street
Bethnal
Green
Liverpool
Street
Barbican
Goodge
Street
Gants
Hill
Leytonstone
High Road
Leyton
Stratford
2
Hoxton
Old Street
Farringdon
Regent’s Park
Bayswater
Leyton
Midland Road
Hackney
Wick
Homerton
Euston
Square
Warren Street
Edgware
Road
Ladbroke Grove
Latimer Road
Barkingside
Newbury Park
Wanstead
Stratford
International
Hackney Central
Haggerston
Euston
Royal Oak
Westbourne Park
Park Royal
North Ealing
Canonbury
Dalston Junction
King’s Cross
St. Pancras
Maida Vale
Warwick Avenue
Hanger Lane
Walthamstow
Queen’s Road
Mornington
Crescent
Kilburn Park
Perivale
Fairlop
Leytonstone
Dalston
Kingsland
Camden
Road
5
A
Redbridge
Walthamstow
Central
Highbury &
Islington
Caledonian Road
Chalk Farm
West Hampstead
Snaresbrook
Blackhorse
Road
Tottenham
Hale
Finsbury
Park
Arsenal
Holloway Road
Kentish
Town West
Belsize Park
Kilburn
Brondesbury
Park
Kensal
Rise
South Tottenham
Upper Holloway
Kentish Town
Willesden Green
Harlesden
South Woodford
Seven
Sisters
Manor House
Tufnell Park
Grange
Hill
Bank
6
Chigwell
Hainault
4
Woodford
Harringay
Green Lanes
Crouch Hill
Gospel
Oak
Dollis Hill
Stonebridge Park
Sudbury Town
Roding
Valley
Arnos Grove
Wood Green
Turnpike Lane
Archway
Hampstead
Heath
Hampstead
Wembley
Park
Buckhurst Hill
Bounds Green
Highgate
Neasden
North Wembley
Wembley Central
Northolt
West Finchley
Finchley Central
3
Hendon Central
Preston
Road
South Kenton
South Harrow
Check before you travel
Loughton
Southgate
East Finchley
Colindale
Kenton
South Ruislip
B
Mill Hill East
Canons Park
North Harrow
Eastcote
Ruislip
Gardens
Edgware
Headstone Lane
Ruislip
Ickenham
9
Debden
Oakwood
Woodside Park
4
Hatch End
Northwood
Northwood
Hills
West Ruislip
Hillingdon
Uxbridge
Cockfosters
Totteridge & Whetstone
Croxley
Chorleywood
8
Epping
Theydon Bois
Bushey
Amersham
7
High Barnet
7
8
9
Institut für Theoretische Informatik
Lehrstuhl Algorithmik
Abgrenzung zu Straßennetzwerken
Eingabe bei Straßennetzen
Straßenkarte bestehend aus
Kreuzungen
Straßensegmenten
Verschiedene Metriken (Reisezeit, Distanz, . . . )
Evtl. historische Reisezeitprofile
Abbiegekosten, . . .
Folie 3 – 24. Juni 2013
Abgrenzung zu Straßennetzwerken
Eingabe bei Straßennetzen
Straßenkarte bestehend aus
Kreuzungen
Straßensegmenten
Verschiedene Metriken (Reisezeit, Distanz, . . . )
Evtl. historische Reisezeitprofile
Abbiegekosten, . . .
Was ist Eingabe bei der Fahrplanauskunft?
Folie 3 – 24. Juni 2013
Fahrpläne
Gegeben (Fahrplan):
Menge B von Bahnhöfen (Stops, Bahnsteigen, . . . ),
Menge Z von Zügen (Bussen, Trams, etc)
Menge C von elementaren Verbindungen
Mindestumstiegszeiten transfer : B → N.
Folie 4 – 24. Juni 2013
Fahrpläne
Gegeben (Fahrplan):
Elementare Verbindung: Tupel bestehend aus
Zug Z ∈ Z
Abfahrtsbahnhof Sdep ∈ B
Zielbahnhof Sarr ∈ B
Abfahrtszeit τdep ∈ Π
Ankunftszeit τarr ∈ Π
Folie 4 – 24. Juni 2013
Fahrpläne
Gegeben (Fahrplan):
Elementare Verbindung: Tupel bestehend aus
Zug Z ∈ Z
Abfahrtsbahnhof Sdep ∈ B
Zielbahnhof Sarr ∈ B
Abfahrtszeit τdep ∈ Π
Ankunftszeit τarr ∈ Π
Interpretation: Zug Z fährt von Sdep nach Sarr ohne Zwischenhalt
von τdep bis τarr Uhr.
Folie 4 – 24. Juni 2013
Fahrpläne II
Trips
Fahrt eines Zuges Z
Von Endstation zu Endstation
Abfahrten an den Stops zu bestimmten Zeiten
Folie 5 – 24. Juni 2013
Fahrpläne II
Trips
Fahrt eines Zuges Z
Von Endstation zu Endstation
Abfahrten an den Stops zu bestimmten Zeiten
Routen
Partitionierung der Trips
Zwei Trips t1 , t2 gehören zur gleichen Route, gdw.
t1 und t2 folgen der genau gleichen Sequenz von Stops
Folie 5 – 24. Juni 2013
Fahrpläne, Beispiel
Beispiel für einen Fahrplan
...
(IR 2269,
(IR 2269,
(IR 2269,
(IR 2269,
...
(ICE 791,
(ICE 791,
(ICE 791,
...
Karlsruhe Hbf,
Pforzheim Hbf,
Mühlacker,
Vaihingen(Enz),
Pforzheim Hbf,
Mühlacker,
Vaihingen(Enz),
Stuttgart Hbf,
10:05,
10:25,
10:34,
10:41,
Stuttgart Hbf,
Ulm Hbf,
Augsburg Hbf,
Ulm Hbf,
Augsburg Hbf,
München Hbf,
11:12, 12:06)
12:08, 12:47)
12:49, 13:21)
Folie 6 – 24. Juni 2013
10:23)
10:33)
10:40)
10:57)
Fahrpläne, Beispiel
Beispiel für einen Fahrplan
...
(IR 2269,
(IR 2269,
(IR 2269,
(IR 2269,
...
(ICE 791,
(ICE 791,
(ICE 791,
...
Karlsruhe Hbf,
Pforzheim Hbf,
Mühlacker,
Vaihingen(Enz),
Pforzheim Hbf,
Mühlacker,
Vaihingen(Enz),
Stuttgart Hbf,
10:05,
10:25,
10:34,
10:41,
10:23)
10:33)
10:40)
10:57)
Stuttgart Hbf,
Ulm Hbf,
Augsburg Hbf,
Ulm Hbf,
Augsburg Hbf,
München Hbf,
11:12, 12:06)
12:08, 12:47)
12:49, 13:21)
Frage: Wie Fahrplan modellieren?
Folie 6 – 24. Juni 2013
Ausgabe
Ausgabe bei der Fahrplanauskunft
Sequenz von (Teil-)Trips aus dem Fahrplan
Beginnend bei Startstop
Ended bei Zielstop
(Möglicherweise mit Fußwegen dazwischen)
Folie 7 – 24. Juni 2013
Ausgabe
Ausgabe bei der Fahrplanauskunft
Sequenz von (Teil-)Trips aus dem Fahrplan
Beginnend bei Startstop
Ended bei Zielstop
(Möglicherweise mit Fußwegen dazwischen)
Reiseroute ist konsistent wenn
Erster Stop von Trip ti+1 entspricht letztem Stop von Trip ti
Abfahrt von ti+1 ist nach Ankunft von ti
Folie 7 – 24. Juni 2013
Modellierung von Fahrplänen
Zwei grundlegende Ansätze
1
Modellierung als gerichteter Graph
2
Keine besondere Modellierung (benutze Fahrplan "direkt")
Folie 8 – 24. Juni 2013
1
2
Jetzt ersteres, später zweiteres.
Folie 8 – 24. Juni 2013
1
2
Jetzt ersteres, später zweiteres.
Modellierung als Graph
Reduziere auf (bekanntes) kürzeste-Wege-Problem
Optimale Reiserouten entsprechen kürzesten Wegen
Bekannte Techniken (evtl. leicht) übertragbar
Folie 8 – 24. Juni 2013
Stationsgraph
Modellierung:
Für jeden Bahnhof S ∈ B: Ein Knoten
Kante (Si , Sj ) gdw. ex. elementare
Verbindung von Si nach Sj
Kantengewichte: Lower-Bound der
Reisezeit zw. Bahnhöfen
Folie 9 – 24. Juni 2013
Stationsgraph
Modellierung:
Für jeden Bahnhof S ∈ B: Ein Knoten
Kante (Si , Sj ) gdw. ex. elementare
Verbindung von Si nach Sj
Kantengewichte: Lower-Bound der
Reisezeit zw. Bahnhöfen
Nachteile:
Unrealistische Anfragen (keine Zeitabhängigkeit)
Mit Zeitabhängigkeit: Unrealistische Umstiege
Folie 9 – 24. Juni 2013
Modellierung: Zwei Ansätze
1. Zeitexpandiert
Zeitabhängigkeiten ausrollen
Knoten entsprechen
Ereignissen im Fahrplan
Kanten verbinden Ereignisse
miteinander
Zugfahrt eines Zuges,
Umstieg zwischen Zügen,
Warten
- Großer Graph (viele Knoten
und Kanten)
+ Einfacher Anfragealgorithmus
(Dijkstra)
Folie 10 – 24. Juni 2013
1. Zeitexpandiert
Zeitabhängigkeiten ausrollen
Knoten entsprechen
Ereignissen im Fahrplan
Kanten verbinden Ereignisse
miteinander
Zugfahrt eines Zuges,
Umstieg zwischen Zügen,
Warten
- Großer Graph (viele Knoten
und Kanten)
2. Zeitabhängig
Zeitabhängigkeit an den
Kanten
Knoten entsprechen
Bahnhöfen
Kante ⇔ Zug verbindet
Bahnhöfe
Transferzeiten?
+ Kleiner Graph
- Zeitabhängige Routenplanung
+ Einfacher Anfragealgorithmus
(Dijkstra)
Folie 10 – 24. Juni 2013
1. Zeitexpandiert
2. Zeitabhängig
Z1 , Z2
S2
S1
Z3
Arrival-, Transfer- und
Departure-Ereignisse
Partitioniere Züge in Routen
Für jeden Zug
Pro Route: Route-Knoten
Kantengewicht =
Zeitdifferenz
Routenkanten: Mehrere
Züge
Pro Bahnhof: Stationsknoten
Stationskanten: Transferzeit
Folie 11 – 24. Juni 2013
Public Transport Funktionen
Eingabe:
Reisezeit zu bestimmten Zeitpunkten (Fahrzeiten der Züge)
Jeden Tag verschieden
Somit:
Periodische stückweise lineare
Funktionen
travel time
Definiert durch Stützpunkte
Wartezeit zur nächsten
Verbindung + Reisezeit
Folie 12 – 24. Juni 2013
departure
FIFO-Eigenschaft (Wdh.)
Definition
+
Sei f : R+
0 → R0 eine Funktion. f erfüllt die FIFO-Eigenschaft, wenn
für jedes ε > 0 und alle τ ∈ R+
0 gilt, dass
f (τ ) ≤ ε + f (τ + ε).
Diskussion
Interpretation: “Warten lohnt sich nie”
Kürzeste Wege auf Graphen mit non-FIFO Funktionen zu finden
ist NP-schwer.
(wenn Warten an Knoten nicht erlaubt ist)
⇒ Sicherstellen, dass Funktionen FIFO-Eigenschaft erfüllen.
Folie 13 – 24. Juni 2013
Operationen
Funktion gegeben durch:
Menge von Interpolationspunkten
I f := {(t1f , w1f ), . . . , (tkf , wkf )}
3 Operationen notwendig:
Auswertung
Linken ⊕
Minimumsbildung
Beobachtung:
Unterschiedlich für Straße und Schiene!
Folie 14 – 24. Juni 2013
Public Transport: Auswertung
Evaluation von f (τ ):
Suche Punkte mit ti ≥ τ und ti − τ minimal
dann Evaluation durch
travel time
f (τ ) = wi + (ti − τ )
departure
Folie 15 – 24. Juni 2013
Public Transport: Auswertung
Evaluation von f (τ ):
Suche Punkte mit ti ≥ τ und ti − τ minimal
dann Evaluation durch
travel time
f (τ ) = wi + (ti − τ )
Problem:
Finden von ti und ti+1
Theoretisch:
departure
Lineare Suche: O(|I|)
Binäre Suche: O(log2 |I|)
praktisch:
|I| < 30: Lineare Suche
Sonst: Lineare Suche mit Startpunkt
Folie 15 – 24. Juni 2013
τ
Π
· |I|
Linken
Definition
+
+
Seien f : R+
0 → R0 und g : R0 zwei Funktionen die die
FIFO-Eigenschaft erfüllen. Die Linkoperation f ⊕ g ist dann definiert
durch
f ⊕ g := f + g ◦ (id +f )
Oder
(f ⊕ g)(τ ) := f (τ ) + g(τ + f (τ ))
Folie 16 – 24. Juni 2013
Public Transport: Link
Linken zweier Funktionen f und g
Folie 17 – 24. Juni 2013
u
w
7:00 - 55 min
8:00 - 55 min
9:00 - 55 min
09:00 - 60 min
12:00 - 60 min
16:00 - 60 min
v
u
8:00 - 120 min
9:00 - 240 min
7:00 - 55 min
8:00 - 55 min
9:00 - 55 min
Folie 17 – 24. Juni 2013
v
w
09:00 - 60 min
12:00 - 60 min
16:00 - 60 min
g
g
Für jeden Punkt (tif , wif ) bestimme den Verbindungspunkt (tj , wj ) mit
g
tj − tif − wif ≥ 0 minimal
Erste Verbindung, die man auf g erreichen kann
u
8:00 - 120 min
9:00 - 240 min
7:00 - 55 min
8:00 - 55 min
9:00 - 55 min
Folie 17 – 24. Juni 2013
v
w
09:00 - 60 min
12:00 - 60 min
16:00 - 60 min
g
g
g
g
g
Füge (tif , tj + wj − tif ) hinzu
u
8:00 - 120 min
9:00 - 240 min
7:00 - 55 min
8:00 - 55 min
9:00 - 55 min
Folie 17 – 24. Juni 2013
v
w
09:00 - 60 min
12:00 - 60 min
16:00 - 60 min
g
g
g
g
g
Wenn zwei Punkte den gleichen
Verbindungspunkt haben,
behalte nur den mit größerem tif
u
8:00 - 120 min
9:00 - 240 min
7:00 - 55 min
8:00 - 55 min
9:00 - 55 min
Folie 17 – 24. Juni 2013
v
w
09:00 - 60 min
12:00 - 60 min
16:00 - 60 min
g
g
g
g
g
Wenn zwei Punkte den gleichen
Verbindungspunkt haben,
behalte nur den mit größerem tif
Wieder Sweep-Algorithmus
u
8:00 - 120 min
9:00 - 240 min
7:00 - 55 min
8:00 - 55 min
9:00 - 55 min
Folie 17 – 24. Juni 2013
v
w
09:00 - 60 min
12:00 - 60 min
16:00 - 60 min
Public Transport: Diskussion Link
Laufzeit
Sweep-Algorithmus
O(|I f | + |I g |)
Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1)
Folie 18 – 24. Juni 2013
Laufzeit
Sweep-Algorithmus
O(|I f | + |I g |)
Speicherverbrauch
Gelinkte Funktion hat min{|I f |, |I g |} Interpolationspunkte
Folie 18 – 24. Juni 2013
Laufzeit
Sweep-Algorithmus
O(|I f | + |I g |)
Speicherverbrauch
Gelinkte Funktion hat min{|I f |, |I g |} Interpolationspunkte
Somit:
Deutlich gutmütiger als Straßengraph-Funktionen
Folie 18 – 24. Juni 2013
Public Transport: Merge
Minimum zweier Funktionen f und g
travel time
departure time
Folie 19 – 24. Juni 2013
Für alle (tif , wif ): behalte Punkt, wenn wif < g(tif )
g
g
g
g
Für alle (tj , wj ): behalte Punkt, wenn wj < f (tj )
Keine Schnittepunkte möglich(!)
travel time
departure time
Folie 19 – 24. Juni 2013
Für alle (tif , wif ): behalte Punkt, wenn wif < g(tif )
g
g
g
g
Für alle (tj , wj ): behalte Punkt, wenn wj < f (tj )
Keine Schnittepunkte möglich(!)
Vorgehen:
Linearer Sweep
travel time
departure time
Folie 19 – 24. Juni 2013
Public Transport: Diskussion Merge
Laufzeit
Sweep-Algorithmus
O(|I f | + |I g |)
Folie 20 – 24. Juni 2013
Public Transport: Diskussion Merge
Laufzeit
Sweep-Algorithmus
O(|I f | + |I g |)
Speicherverbrauch
Keine Schnittpunkte
⇒ Minimum-Funktion kann maximal |I f | + |I g | Interpolationspunkte
enthalten
Folie 20 – 24. Juni 2013
Schiene vs. Straße
Laufzeit Operationen
gleich für beide
O(log |I|) für Auswertung
O(|I f | + |I g |) für Linken und Minimum
Folie 21 – 24. Juni 2013
Schiene vs. Straße
gleich für beide
Speicherverbrauch
Public Transport deutlich geringer
Link:
|I f ⊕g | ≤ min{|I f |, |I g |} vs.
|I f ⊕g | ≈ |I f | + |I g |
Merge:
|I min{f ,g} | ≤ |I f | + |I g | vs. eventuell |I min{f ,g} | > (|I f | + |I g |)
Folie 21 – 24. Juni 2013
Schiene vs. Straße
gleich für beide
Speicherverbrauch
Public Transport deutlich geringer
Link:
|I f ⊕g | ≤ min{|I f |, |I g |} vs.
|I f ⊕g | ≈ |I f | + |I g |
Merge:
|I min{f ,g} | ≤ |I f | + |I g | vs. eventuell |I min{f ,g} | > (|I f | + |I g |)
Profilsuchen
Somit in Public Transport Netzen wahrscheinlich schneller
Folie 21 – 24. Juni 2013
Zeit-Anfragen
Gegeben: Startbahnhof S, Zielbahnhof T und Abfahrtszeit τS
Folie 22 – 24. Juni 2013
Zeit-Anfragen
Gegeben: Startbahnhof S, Zielbahnhof T und Abfahrtszeit τS
1. Zeitexpandiert
Startknoten:
Erstes Transferevent in S
mit Zeit τ ≥ τS .
Zielknoten:
Im Vorraus unbekannt!
Stoppkriterium: Erster
gesettleter Knoten an T
induziert schnellste
Verbindung zu T
Folie 22 – 24. Juni 2013
2. Zeitabhängig
Startknoten:
Bahnhofsknoten S
Zielknoten:
Bahnhofsknoten T
Anfrage:
Time-Dependent Dijkstra mit
Zeit τS
Hier: Ankunftszeit im
Vorraus unbekannt
Zeit-Anfragen
Algorithm 1: Time-Dijkstra(G = (V , E),s,τ )
1
2
3
4
5
6
7
8
dτ [s] = 0
Q.clear (), Q.add(s, 0)
while !Q.empty () do
u ← Q.deleteMin()
for all edges e = (u, v ) ∈ E do
if dτ [u] + len(e, τ + dτ [u]) < dτ [v ] then
dτ [v ] ← dτ [u] + len(e, τ + dτ [u])
pτ [v ] ← u
9
if v ∈ Q then Q.decreaseKey (v , dτ [v ])
10
11
else Q.insert(v , dτ [v ])
Folie 23 – 24. Juni 2013
Diskussion Zeit-Anfragen
Beobachtung:
Nur ein Unterschied zu Dijkstra
Auswertung der Kanten
Folie 24 – 24. Juni 2013
Beobachtung:
non-FIFO Netzwerke:
Im Kreis fahren kann sich lohnen
NP-schwer (wenn Warten an Knoten nicht erlaubt ist)
Transportnetzwerke sind FIFO modellierbar (notfalls Multikanten)
Folie 24 – 24. Juni 2013
Beobachtung:
non-FIFO Netzwerke:
Im Kreis fahren kann sich lohnen
NP-schwer (wenn Warten an Knoten nicht erlaubt ist)
Transportnetzwerke sind FIFO modellierbar (notfalls Multikanten)
In unserem Szenario:
Sicherstellen dass alle Routen FIFO sind.
Für alle Trips ti , tj der Route muss gelten:
ti fährt an jeder Station jeweils vor tj ab (oder andersherum).
Folie 24 – 24. Juni 2013
Literatur I
Evangelia Pyrga, Frank Schulz, Dorothea Wagner, and Christos Zaroliagis.
Efficient Models for Timetable Information in Public Transportation Systems.
ACM Journal of Experimental Algorithmics, 12(2.4):1–39, 2008.
Folie 25 – 24. Juni 2013
Nächste Termine
Mittwoch, 26.6.2013
Montag, 8.7.2013
Mittwoch, 10.7.2013
Folie 26 – 24. Juni 2013

Folie - Algorithmik I - Karlsruher Institut für Technologie (KIT)

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