Das Nabla-Ka - TU Chemnitz

HSD Dr. S. Handrock
Fakultät für Mathematik
TU Chemnitz
Arbeitsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II (Teil 3)
Das Nabla-Kalkül
1. Produkte des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld bzw. Vektorfeld
Voraussetzung: Alle betrachteten Funktionen seien zweifach stetig differenzierbar
im betrachteten Bereich.
Definition 1: Seien (x, y, z) die kartesischen Koordinaten eines Punktes P ∈ IR3 . Der
Differentialoperator
∂
∂
∂
i+
j+
k
∇ :=
∂x
∂y
∂z
heißt Nabla-Operator (Vektorieller Differentialoperator).
Definition 2: Sei U (x, y, z) ein Skalarfeld (SF). Gradient von U (x, y, z) heißt das
Vektorfeld (VF)




∂U
∂U
∂U
grad U =
i+
j+
k=


∂x
∂y
∂z


SF U
=⇒
VF grad U
∂U
∂x
∂U
∂y
∂U
∂z





.



grad U = ∇U
Definition 3: (Divergenz, Quellenfreiheit)
1. Sei v(r) = vx i + vy j + vz k ein VF. Divergenz von v(r) heißt das SF
div v =
VF v
=⇒
∂vx ∂vy ∂vz
+
+
∂x
∂y
∂z
SF div v
div v = h∇, vi
2. Ein VF v mit der Eigenschaft div v(x, y, z) = 0 ∀ (x, y, z) ∈ D heißt quellenfrei.
3. Ist v das Geschwindigkeitsfeld einer stationären Flüssigkeitsströmung, so bedeutet
div v in einem Punkt die lokale Quelldichte in diesem Punkt.
Definition 4: (Rotation, Wirbelfreiheit)
1. Sei v(r) ein VF. Rotation von v(r) heißt das VF
i
∂
rot v = ∂x
vx
j
∂
∂y
vy
k
∂
∂z
vz
∂vz ∂vy
∂vx ∂vz
∂vy ∂vx
=(
−
)i + (
−
)j + (
−
) k.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
VF v
=⇒
VF rot v
rot v = ∇ × v
2. Ein VF v mit der Eigenschaft rot v(x, y, z) = Θ ∀ (x, y, z) ∈ D heißt wirbelfrei.
3. Ist v das Geschwindigkeitsfeld einer stationären Flüssigkeitsströmung, so bedeutet
rot v die Wirbeldichte des VF v.
Definition 5: Ein VF v heißt konservatives Feld oder Potenzialfeld (PF), wenn ein
SF U exisiert, so dass gilt: v = grad U . Dies ist gleichbedeutend mit
vx =
∂U (r)
∂U (r)
∂U (r)
∧ vy =
∧ vz =
⇐⇒ vx dx + vy dy + vz dz = dU.
∂x
∂y
∂z
Dabei heißt U das Potenzial von v.
2. Nabla-Rechnung
Eigenschaften des Gradienten
1◦ ∇(U1 + U2 ) = ∇U1 + ∇U2
2◦ ∇(λU ) = λ ∇U
∀ λ ∈ IR
3◦ ∇(U1 U2 ) = U1 ∇U2 + U2 ∇U1
4◦ ∇f (U ) = f 0 (U ) ∇U für die mittelbare Funktion f (U (x, y, z))
Eigenschaften der Divergenz
1◦ h∇, (v + w)i = h∇, vi + h∇, wi
2◦ h∇, (λv)i = λ h∇, vi
∀ λ ∈ IR
3◦ h∇, (U v)i = U h∇, vi + hv, ∇U i
Beachte: h∇, vi = div v ist ein SF, aber hv, ∇i ist ein Operator.
4◦ h∇, (v × w)i = hw, rot vi − hv, rot wi
Eigenschaften der Rotation
1◦ ∇ × (v + w) = ∇ × v + ∇ × w
2◦ ∇ × (λv) = λ (∇ × v)
∀ λ ∈ IR
3◦ ∇ × (U v) = U (∇ × v) − v × (∇U )
Zweifache Anwendung des Nabla-Operators
1◦ div(rot v) = h∇, ∇ × vi = 0 =⇒ Jedes Wirbelfeld w = ∇ × v ist quellenfrei.
2◦ rot(grad U ) = ∇ × ∇U = Θ =⇒ Jedes PF v = ∇U ist wirbelfrei.
Die Kombinationen grad (grad U ), div (div v), grad (rot v) und rot (div v) sind
nicht definiert.