Übungen zur Vorlesung Übungsblatt 01 COMPUTERALGEBRA II

Prof.Dr. W.Koepf
Dr. T.Sprenger
Übungen zur Vorlesung
COMPUTERALGEBRA II
Übungsblatt 01
28.10.2010
Aufgabe 1: (Kronecker-Algorithmus)
Verwenden Sie den Kronecker-Algorithmus (unter Zuhilfenahme von Mathematica), um damit die
Polynome
(a) x 5 − 6 x 4 + 12 x 3 − 12 x 2 + 11 x − 6
(b) 10 x 6 − 27 x 5 + 45 x 4 − 73 x 3 + 18 x 2 + 9 x − 2
(c) 145236 x 6 − 1052961 x 5 + 1851759 x 4 − 1706523 x 3 + 2941029 x 2 + 798798 x − 363090
zu faktorisieren. Bei dem dritten Polynom wird eine naive Anwendung des Kronecker-Algorithmus
nicht zum Erfolg führen. Wie kann man trotzdem mit dem Kronecker-Algorithmus eine Faktorisierung finden?
(7 Punkte)
Aufgabe 2: (Quadratfreies Faktorisieren)
(a) Programmieren Sie eine Mathematica-Funktion, welche den quadratfreien Teil eines Polynoms
a(x) ∈ Q[x] bestimmt. Testen Sie Ihre Funktion an dem Polynom
a(x) = x 8 − 17x 7 + 103x 6 − 241x 5 + 41x 4 + 533x 3 − 395x 2 − 275x + 250
und stellen Sie sowohl a(x) als auch den quadratfreien Teil grafisch dar. Was kennzeichnet
grafisch den quadratfreien Teil?
(b) Programmieren Sie eine Mathematica-Funktion, welche die quadratfreie Faktorisierung von
a(x) ∈ Q[x] bestimmt. Testen Sie diese an
(i) a(x) = x 8 − 2x 6 + 2x 2 − 1
20
Q
(ii) a(x) =
(x − k)k
k=1
und vergleichen Sie mit der in Mathematica eingebauten Funktionalität FactorSquareFree.
(9 Punkte)
Abgabetermin: bis spätestens Donnerstag, 04.11.2010, 08.15 Uhr an [email protected].