Problemlösen im Mathematikunterricht

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Bayerische
Julius-Maximilians-Universität
Würzburg
Erste Staatsprüfung für ein Lehramt an Grund – und Realschule 2008
Schriftliche Hausarbeit
Thema
Problemlösen im Mathematikunterricht –
Knobel- und Denksportaufgaben beim Übergang von der Primarstufe zur Sekundarstufe I
eingereicht von:
Regina Stephan
Fach:
Mathematik
eingereicht am:
28.09.07
Dozent:
Dr. Jürgen Roth
INHALTSVERZEICHNIS
1 EINLEITUNG ..................................................................................................................... 4
2 PROBLEMLAGE ............................................................................................................... 7
2.1 Problemlage aus bildungspolitischer Perspektive ......................................................................................... 7
2.2 Problemlage aus fachdidaktischer Sicht ..................................................................................................... 10
3 THEORETISCHE GRUNDLAGEN ZUM PROBLEMLÖSEN.................................. 12
3.1 Definitionsversuch ....................................................................................................................................... 12
3.2 Typisierung von Problemen bzw. Barrieren................................................................................................ 16
3.3 Psychologische Theorien des Problemlösens .............................................................................................. 19
3.3.1 Assoziationstheorie................................................................................................................................ 19
3.3.2 Gestalttheorie ........................................................................................................................................ 20
3.3.3 Problemlösen als Informationsverarbeitung ......................................................................................... 20
4 DIDAKTISCHE GRUNDLAGEN DES PROBLEMLÖSENS IM UNTERRICHT .. 22
4.1 Problemlösen im Mathematikunterricht ..................................................................................................... 22
4.1.1 Zum Verständnis von Problemaufgaben................................................................................................ 22
4.1.2 Voraussetzungen und Bedingungen für nachhaltiges Problemlösenlernen........................................... 24
4.1.3 Ziele des Problemlösenlernens.............................................................................................................. 26
4.1.4 Heuristische Bildung ............................................................................................................................. 29
4.1.4.1 Heuristische Hilfsmittel ................................................................................................................. 31
4.1.4.2 Heuristische Prinzipien und Strategien.......................................................................................... 37
4.1.4.3 Etappen beim Erlernen von Heurismen - Problemlösephasen....................................................... 43
4.1.5 Unterrichtsgestaltung............................................................................................................................ 46
4.1.5.1 Wo haben Problemaufgaben ihren Platz im Mathematikunterricht? ............................................. 46
4.1.5.2 Differenzierungsmaßnahmen......................................................................................................... 49
4.1.5.3 Unterrichtsmethoden ..................................................................................................................... 51
4.1.5.4 Sozialformen.................................................................................................................................. 54
4.1.6 Mögliche Schwierigkeiten ..................................................................................................................... 57
4.2 Knobel- und Denksportaufgaben im Mathematikunterricht ...................................................................... 60
4.2.1 Knobel- und Denksportaufgaben als Bestandteil eines problemlösenden Mathematikunterrichts ....... 60
4.2.2 Klassifikation von Knobelaufgaben....................................................................................................... 62
4.2.3 Lehrplanverankerung ............................................................................................................................ 67
4.2.4 Pro- und Contra Stimmen...................................................................................................................... 69
4.2.5 Auswahl von Problemlösungsaufgaben................................................................................................. 71
4.2.6 Aufgabenkatalog.................................................................................................................................... 72
4.2.6.1 Aufgabenkatalog 4 Klasse Grundschule........................................................................................ 74
4.2.6.1.1 Schwierigkeitsgrad - Leicht................................................................................................. 74
4.2.6.1.2 Schwierigkeitsgrad - Mittel ................................................................................................. 76
4.2.6.1.3 Schwierigkeitsgrad - Schwer............................................................................................... 77
4.2.6.1.4 Schwierigkeitsgrad - Sehr schwer ...................................................................................... 78
4.2.6.2 Aufgabenkatalog 5. Klasse Realschule.......................................................................................... 79
4.2.6.2.1 Schwierigkeitsgrad - Leicht................................................................................................. 79
4.2.6.2.2 Schwierigkeitsgrad - Mittel ................................................................................................. 81
4.2.6.2.3 Schwierigkeitsgrad - Schwer............................................................................................... 82
4.2.6.2.4 Schwierigkeitsgrad - Sehr schwer ...................................................................................... 84
5 UNTERRICHTSSEQUENZ ............................................................................................ 86
2
5.1 Vorüberlegungen.......................................................................................................................................... 86
5.2 Allgemeine Informationen ........................................................................................................................... 86
5.3 Erster Unterrichtsversuch - Erste Knobelstunde 4. Klasse Grundschule ................................................... 88
5.3.1 Stundenverlaufsplan .............................................................................................................................. 88
5.3.2 Leitfadeninterview................................................................................................................................. 92
5.3.3 Gruppenknobelaufgaben ....................................................................................................................... 92
5.4 Zweiter Unterrichtsversuch - Zweite Knobelstunde 4. Klasse Grundschule .............................................. 97
5.4.2 Problemaufgaben der Woche ................................................................................................................ 97
5.5 Dritter Unterrichtsversuch - Dritte Knobelstunde 4. Klasse Grundschule................................................. 99
5.5.2 Einzelknobelaufgaben ......................................................................................................................... 100
5.6 Vierter Unterrichtsversuch – Erste Knobelstunde 5. Klasse Realschule.................................................. 103
5.6.1 Stundenverlaufsplan ............................................................................................................................ 103
5.6.2 Gruppenknobelaufgaben ..................................................................................................................... 105
5.7 Fünfter Unterrichtsversuch – Zweite Knobelstunde 5. Klasse Realschule .............................................. 109
5.7.2 Einzelknobelaufgaben ......................................................................................................................... 110
5.8 Sechster Unterrichtsversuch – Dritte Knobelstunde 5. Klasse Realschule............................................... 112
5.8.2 Knobelaufgaben der Woche ................................................................................................................ 113
6 ERGEBNISSE DER UNTERRICHTSSEQUENZEN................................................. 115
6.1 Unterrichtssequenz Grundschule ............................................................................................................ 115
6.1.1 Ergebnisse des ersten Unterrichtsversuchs ....................................................................................... 115
6.1.2 Ergebnisse des zweiten Unterrichtsversuchs ..................................................................................... 125
6.1.3 Ergebnisse des dritten Unterrichtsversuchs ...................................................................................... 135
6.2 Unterrichtssequenz Realschule.................................................................................................................. 143
6.2.1 Ergebnisse des vierten Unterrichtsversuchs ...................................................................................... 143
6.2.2 Ergebnisse des fünften Unterrichtsversuchs ..................................................................................... 156
6.6.3 Ergebnisse des sechsten Unterrichtsversuchs ................................................................................... 166
6.3 Schülerinterviews ....................................................................................................................................... 178
6.3.1 Interview I: Louis (4. Klasse) nach dem Dritten Unterrichtsversuch.................................................. 179
6.3.2 Interview II: Jannik (5. Klasse) nach dem Fünften Unterrichtsversuch.............................................. 181
7 KRITISCHE ANALYSE UND DISKUSSION............................................................. 182
8 SCHLUSSWORT ............................................................................................................ 194
9 LITERATURVERZEICHNIS ....................................................................................... 197
10 ABBILDUNGSVERZEICHNIS .................................................................................. 203
11 TABELLENVERZEICHNIS ....................................................................................... 205
12 ANHANG ....................................................................................................................... 206
3
1 Einleitung
„Ja, wir können, wenn wir wollen,
das Leben als Problemlösen schlechthin beschreiben […]“
(Popper 1994, S. 70),
so ein Zitat, aus KARL POPPERs 1 im Jahre 1994 veröffentlichten Werkes Alles Leben ist
Problemlösen. Vielleicht mag nicht jeder dieser Ausschließlichkeit zustimmen, trotz allem
gehört die Fähigkeit, Probleme selbständig zu lösen zu den zentralen und elementaren Anforderungen unseres Lebens. Täglich stehen wir neuen Problemen gegenüber, „von einfachen
Alltagsschwierigkeiten bis zu folgenreichen Lebensentscheidungen, von eng vernetzten Organisationsaufgaben bis zu globalen politischen Fragestellungen“ (Funke 2003, Umschlagtext),
für deren Lösung wir nicht direkt auf vorhandenes Wissen zurückgreifen können. Problemlösen spielt nicht nur in Schule und Privatleben eine wesentliche Rolle, sondern gehört auch zu
den Kernaufgaben von Führungskräften im ökonomischen wie politischen Bereich – kurz: Es
gibt kaum einen Bereich menschlichen Lebens, in dem Problemlösen nicht bedeutsam wäre
(vgl. Funke 2003, S. 13)!
Jeder hat in seinem Leben schon zahlreiche Probleme gelöst und war hinterher froh und stolz
darauf, es geschafft zu haben, sein Wissen und seine Fähigkeiten unter Beweis zu stellen und
dabei festzustellen, dass sich etwas positiv verändert hat, in seiner Umgebung oder sogar in
sich selbst.
Auch wecken die Begriffe „Denken“ und „Problemlösen“ Assoziationen, die positiv besetzt
sind. Gute „Denker“ bzw. erfolgreiche „Problemlöser“ genießen in ihrem Umfeld Anerkennung, werden um Rat gefragt und besitzen erstrebenswerte Eigenschaften, die sowohl im
schulischen wie beruflichen Umfeld als auch im Privatleben geschätzt werden.
Im Rahmen groß angelegter internationaler Schulleistungsstudien (vgl. 2.1) zählt Problemlösen zu den so genannten Schlüsselqualifikationen, die im Unterschied zu den bereichsspezifischen Kompetenzen als fächerübergreifende Fähigkeit betrachtet werden (vgl. Funke 2003, S.
13).
1
KARL POPPER: österreichisch-englischer Philosoph, Soziologe und Wissenschaftstheoretiker, *1902, †1994
4
Die Institution Schule hat heute die Aufgabe, als Teil einer zukunftsfähigen Allgemeinbildung
„Fähigkeiten der Selbstorganisation und Selbstregulation des Lernens einschließlich der Bereitschaft, selbständig weiterzulernen, und der Fähigkeit, Durststrecken im Lernprozess zu
überstehen“ (BLK 1997, S. 11), zu wecken und zu entfalten. Hierzu zählt auch „das Wissen
über das eigene Denken und Lernen, die Kenntnis von Lernstrategien und Heuristiken sowie
die Fähigkeit, diese Kompetenzen einzusetzen, um den Lernprozess zu steuern“ (BLK 1997,
S. 12). Die Schüler sollen also frühzeitig Methoden des Lernens und des Problemlösens, persönliche Arbeitshaltungen und soziale Kompetenzen kennen lernen, um sie bei der Lösung
spezifischer, auch anspruchsvoller Probleme zukunftsfähig nutzen zu können.
Diese Arbeit hat die Absicht, sich mit der Fähigkeit zum Problemlösen bereits in einem relativ
frühen Stadium der Schullaufbahn eines Kindes, nämlich zum Ende der Primarstufe bzw. zu
Anfang der Sekundarstufe I, zu beschäftigen. Dies soll durch die Integration so genannter
Knobel- und Denksportaufgaben in den Mathematikunterricht geschehen, deren Reiz insbesondere in ihrem hohen motivationalen Potential gesehen wird.
Vor allem meine eigene Neugier trieb vorliegende Arbeit voran: Wie bearbeiten Kinder Knobelaufgaben, wenn es ihnen keiner vormacht, wenn sie die Bearbeitung der Aufgabe vor allem
auf ihrem mathematischen und ihrem Alltagswissen aufbauen? Verfügen sie über passendes
Handwerkszeug, d.h. gewisse Strategien, die den Lösungsprozess unterstützen? Und: Inwieweit können Schüler innerhalb des normalen Mathematikunterrichts die Fähigkeiten zum Lösen solcher Aufgaben erwerben?
In Kapitel zwei soll die Problemlage sowohl aus bildungspolitischer, als auch aus fachdidaktischer Perspektive genauer beleuchtet werden. Hierbei fließen insbesondere Ergebnisse aktueller Schulleistungsvergleichsstudien in die Erörterung ein.
In Kapitel drei geht es darum, die theoretischen Grundlagen zum Problemlösen zu betrachten.
Dies schließt einige wesentliche begriffliche Definitionen mit ein, versucht eine Typisierung
und schließt ab mit den wichtigsten psychologischen Theorien des Problemlösens.
Um von den bisher weitestgehend allgemeinen Ausführungen zum Problemlösen näher auf
schulrelevante Besonderheiten zu kommen, werden in Kapitel vier die didaktischen Grundlagen des Problemlösens dargelegt. Dabei geht es insbesondere um den Bestandteil des Problemlösens innerhalb des Mathematikunterrichts sowie speziell die Erörterung der Einsatzmög5
lichkeiten von Knobel- und Denksportaufgaben innerhalb eines problemlösenden Mathematikunterrichts.
In Kapitel fünf werden in einem Praxisteil Schüler einer vierten Klasse Grundschule und einer
fünften Klasse Realschule hinsichtlich der Fähigkeiten, selbständig Knobelaufgaben lösen zu
können, unter die Lupe genommen. Ziele, Inhalte, Aufbau und genaue Durchführung der Unterrichtssequenz werden genauer dargelegt.
Eine Auswahl erzielter Ergebnisse dieser Unterrichtssequenz werden in Kapitel sechs vorgestellt und auf Grundlage der geführten Interviews, Beobachtungen und Ausarbeitungen analysiert.
Kapitel sieben widmet sich der kritischen Analyse und Diskussion der Unterrichtssequenz
sowie ihrer Ergebnisse. Unterschiede hinsichtlich der Bearbeitung zwischen Viert- und Fünftklässlern werden herausgestellt.
Einige abschließende Bemerkungen unter rückblickender Betrachtung der gesamten Arbeit
sowie der Appell, den Mut aufzubringen, Knobelaufgaben in den eigenen Unterricht zu integrieren, stehen im Mittelpunkt von Kapitel acht.
Ich persönlich erachte die Beschäftigung und Auseinandersetzung mit der Thematik Problemlösen auch deshalb als äußerst wichtig und sinnvoll, weil Probleme generell lähmen und unsere Denk- und Handlungsfreiheit einschränken können. Die Notwendigkeit zur Veränderung
scheitert jedoch oft an den eingefahrenen Denkmustern. Unzufriedenheit und Stagnation sind
die Folge (vgl. Gamber 1996, S. 12ff). Deshalb ist Problembewusstsein gefragt, denn nur wer
Probleme als Möglichkeit der Weiterentwicklung und Erneuerung sieht, ist in der Lage, zu
neuen und besseren Lösungen zu kommen. Um es mit ALBERT EINSTEINs 2 Worten auszudrücken:
„Probleme kann man niemals mit derselben Denkweise lösen,
durch die sie entstanden sind.“ 3
Albert Einstein
2
3
ALBERT EINSTEIN: deutscher Physiker, * 1879, † 1955
Melzer, G., abrufbar unter: http://www.zitate-online.de/autor/einstein-albert/ (letzter Zugriff: 09.08.07)
6
2 Problemlage
2.1 Problemlage aus bildungspolitischer Perspektive
„Mathematische Fähigkeiten gehören zu den grundlegenden Kulturtechniken. Sie sind unverzichtbar für die Bewältigung des Alltags und bilden andererseits die Grundlage für weitere
Schulbildung und berufliche Laufbahnen“ - so lautet der durchaus viel versprechende Eingangssatz des Lehrplans für bayerische Realschulen für das Fach Mathematik (Bayerisches
Staatsministerium für Unterricht und Kultus 2003, S. 56). Verfolgt man die nachstehende
Textpassage, so erhält man Einblick in die wesentlichen Einflüsse von Mathematik auf die
Bereiche Bildung und Erziehung. So trägt das Fach wesentlich dazu bei
-
die Welt rational zu durchdringen,
-
kreatives und intuitives Denken zu fördern,
-
Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu
verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren,
-
rational zu argumentieren, v.a. Bedingungen anzuerkennen, zu definieren, zu formulieren, zu begründen, zu analysieren und Aussagen zu überprüfen,
-
konkrete Anschauung und abstraktes Denken, logische Analyse und Synthese zu verbinden,
-
zu erkennen, dass die Anwendung mathematischer Methoden Grenzen hat,
-
Genauigkeit, Zuverlässigkeit, Sorgfalt und Ausdauer zu entwickeln,
-
allgemeine Probleme mit Hilfe mathematischer Problemlösefähigkeiten zu erschließen, zu bewältigen bzw. zu lösen sowie zweckmäßige Entscheidungen zu treffen.
Spätestens mit der Durchführung der TIMS-Studie 4 1995/1996 wurde jedoch offensichtlich,
dass zwischen den im Lehrplan genannten angestrebten Fähigkeiten bzw. Fertigkeiten und
den in der Realität tatsächlich vorhandenen erhebliche Lücken klaffen.
Speziell für das Fach Mathematik zeigen die Ergebnisse von TIMSS (vgl. Baumert et al.
1997), dass die Leistungen der deutschen Schüler in einem breiten internationalen Mittelfeld
liegen. Besorgnis erregend ist vor allem, dass sich 20 Prozent der Schüler der 8. Jahrgangsstufe noch auf einem mathematischen Fähigkeitsniveau der Grundschule bewegen. Hinzu
kommt, dass deutsche Schüler im Bereich der mathematischen Spitzenleistungen in bedenklicher Weise unterrepräsentiert sind. Generell herrscht eine große Heterogenität vor, d.h. die
Fachleistungen der 8. Jahrgangsstufe spiegeln das gesamte Leistungsspektrum der Sekundar4
TIMSS: Third International Mathematics and Science Study
7
stufe I von der 5. bis zur 10. Klasse wieder. Die durchschnittlichen Leistungen an Realschulen
definieren mit der Beherrschung von Routineverfahren immerhin ein Grundniveau mathematischer Bildung, streuen jedoch vom untersten bis zum obersten Fähigkeitsniveau, d.h. von der
Beherrschung elementarer Rechenkenntnisse bis hin zum Verständnis mathematischer Konzepte und Verfahren.
Auch die Ergebnisse der PISA-Studien 5 2000 und 2003 waren wenig zufrieden stellend (vgl.
Baumert et. al. 2000 sowie Prenzel et al. 2003). Auch hier befinden sich deutsche Schüler im
internationalen Vergleich, bezogen auf den Bereich mathematische Grundbildung, nur im
unteren Mittelfeld (2000) bzw. im OECD 6-Durchschnitt (2003), wobei die Spitzengruppe, die
selbständig mathematisch argumentieren und reflektieren kann, äußerst klein ist (2000: 1,3 %,
2003: 4,1 %). Weniger als die Hälfte der Schüler kann Aufgaben, die zum curricularen Standard gehören, mit ausreichender Sicherheit lösen. Ein Viertel der Schüler (2003: 21,6 %)
muss sogar als Risikogruppe eingestuft werden, denn die Kompetenzen reichen nur bedingt
für die erfolgreiche Bewältigung einer Berufsausbildung aus.
Speziell für den Primarbereich sind Befunde der IGLU-Studie 7 richtungsweisend (vgl. Bos et
al. 2003). So liegen die Leistungen deutscher Grundschüler im Fach Mathematik in einem
breiten internationalen Mittelfeld, wobei der Anteil von Schülern mit sehr schwachen Mathematikleistungen gering ist. Insbesondere der Vergleich mit den Leistungsstärksten macht
deutlich, dass dort bereits im Primarbereich ein anderes qualitatives Niveau mathematischen
Verständnisses erreicht wird. Zusammenfassend zeichnet IGLU ein Bild, wonach die Effizienz der Grundschule etwas höher zu sein scheint als in den Sekundarstufen I und II.
Mit den Publikationen der internationalen Schulleistungsuntersuchungen haben Veränderungen im Bildungswesen auf breiter Front stattgefunden. Hinsichtlich der Lehrplanarbeit dürfte
die wichtigste Konsequenz in der Entwicklung nationaler Bildungsstandards 8 liegen. Die
KMK 9 hat im Dezember 2003 bundesweit geltende Standards für die Fächer Deutsch, Mathematik und Erste Fremdsprache für den Mittleren Schulabschluss (Jahrgangsstufe 10) beschlossen. Im Oktober 2004 folgten für eben diese Fächer Bildungsstandards für den Haupt5
PISA: Programme for International Student Assessment
OECD: Organisation für wirtschaftliche Zusammenarbeit und Entwicklung
7
IGLU: Internationale Grundschul-Lese-Untersuchung
8
Normative Vorgaben zur Steuerung von Bildungssystemen. Sie greifen allgemeine Bildungsziele auf und legen
fest, welche Kompetenzen die Schülerinnen und Schüler bis zu einer bestimmten Jahrgangsstufe an wesentlichen
Inhalten erworben haben sollen (KMK, 2005, S. 11).
9
KMK: Kultusministerkonferenz
6
8
schulabschluss (Jahrgangsstufe 9) sowie Bildungsstandards für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4) in Deutsch und Mathematik (vgl. KMK 2005).
Für den Mathematikunterricht der Primarstufe sind am Ende der 4. Jahrgangsstufe die in
Abbildung 1 angegebenen fünf allgemeinen mathematische Kompetenzen von Bedeutung
(KMK 2005(a), S.7/8):
Abbildung 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen in der Primarstufe (KMK 2005(a), S. 7)
Für den Mathematikunterricht der Sekundarstufe I sind am Ende der 10. Jahrgangsstufe die in
Abbildung 2 ersichtlichen sechs allgemeine mathematische Kompetenzen von Bedeutung
(KMK 2004, S. 9):
Abbildung 2: Allgemeine mathematische Kompetenz in der Sekundarstufe I (KMK 2004, S. 9)
Die Bildungsstandards für den Mathematikunterricht orientieren sich somit an allgemeinen
Bildungszielen des Fachs und nehmen zugleich Bezug auf die drei von HEINRICH WINTER
9
(vgl. Winter 1995, S. 37ff) formulierten Grunderfahrungen, die jeder Mathematikunterricht an
allgemein bildenden Schulen ermöglichen sollte: Mathematik als anwendbare Wissenschaft,
als formale Wissenschaft und als heuristisches Betätigungsfeld. Insbesondere die dritte von
Winter formulierte Anforderung an zeitgemäßen Mathematikunterricht, nämlich Schülern zu
ermöglichen, in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten), zu erwerben, begründet die vorliegende
Arbeit.
2.2 Problemlage aus fachdidaktischer Sicht
Wie soeben dargestellt wurde, liegen die mathematischen Leistungen deutscher Schüler, bezogen auf die vorgestellten internationalen Vergleichsstudien, überall in etwa im Mittelfeld,
bezeugen somit ein durchschnittliches Leistungsniveau. Natürlich stellt sich nun zum einen
die Frage, welche der Teilnehmerstaaten die internationalen Spitzenplätze belegen und zum
anderen, was den Unterricht in eben diesen besagten „Gewinnerländern“ von dem an hiesigen
Schulen unterscheidet, d.h. welche Folgerungen, Anregungen und Gewinne daraus für das
deutsche Bildungssystem gezogen werden können?
Sowohl innerhalb der PISA-, als auch der IGLU- bzw. TIMS-Studien belegen v.a. asiatische
Länder wie Japan, Singapur oder Korea die vordersten Plätze aller beteiligten Staaten. Insbesondere innerhalb von TIMSS (vgl. für das Folgende Baumert et al. 1997) konnte belegt werden, dass Japans Schüler nicht nur anderen oder mathematischeren Stoff durchnehmen, sondern denselben Stoff auch variationsreicher und mathematisch anspruchsvoller. Japanische
Mathematikstunden sind komplexer und zugleich in sich kohärenter aufgebaut.
Ein ganz besonderes Merkmal des japanischen Mathematikunterrichts ist der dort stattfindende Problemlöseunterricht, welcher mathematisches Verständnis sowie mathematisches
Denken schult. Vergleicht man diesen Problemlöseunterricht mit Mathematikstunden an deutschen Schulen so stellt man fest, dass hierzulande eher ein so genannter Wissensunterricht
vorherrscht, der auf Beherrschung von Verfahren zielt. Mathematische Konzepte werden im
Unterrichtsgespräch, das lediglich auf eine einzige Lösung hinführt, entwickelt und anschließend vom Schüler angewandt. Ganz im Unterschied zu den offenen Aufgabenstellungen an
japanischen Schulen, die Lösungen unterschiedlicher Güte zulassen.
Zudem zeichnet sich japanischer Mathematikunterricht durch intelligente Formen des Anwendens und Übens aus, d.h. die von Schülern erarbeiteten Konzepte werden in variierenden
10
Situationen angewandt und damit verfügbar gemacht. Im Vergleich zu Deutschland sind die
Übungen oft abwechslungsreicher und kognitiv anspruchsvoller.
Letzten Endes bestimmt auch in Japan, ebenso wie in Deutschland und anderen Teilnehmerstaaten, der Lehrer das Unterrichtsgeschehen. Aber das Interaktionstempo im japanischen
Unterricht ist langsamer und ermöglicht den Schülern somit mehr Zeit zur Entfaltung. Auch
die Sozialformen wie Gruppen- oder Partnerarbeit sind zum einen öfter anzutreffen als in
Deutschland und wechseln zum anderen häufiger.
Welche Konsequenzen sind aus diesen Vergleichsergebnissen zu ziehen? HANS-GEORG
WEIGAND (vgl. Weigand 1997, S. 518ff) warnt davor, die Ergebnisse der TIMS-Studie überzuinterpretieren und verneint überschnellen Reaktionen. Andererseits sieht auch er die
Notwendigkeit einer kritischen Auseinandersetzung mit dem gegenwärtigen Mathematikunterricht. Insbesondere hebt er fünf Folgerungen hervor, die zwar weder neu noch revolutionär
sind, jedoch dafür plädieren, didaktische und methodische Vorschläge und Ziele auch in der
Unterrichtspraxis ernster zu nehmen. Dazu gehören
-
Unterrichtsorganisation: Stärkere Beachtung der (Binnen-)Differenzierung im Unterricht.
-
Unterrichtsmethodik: Stärkere Beachtung von Methodenwechseln.
-
Leistungsfortschritte: Langfristige Strategien und Möglichkeiten zur Überprüfung des
Lernfortschritts (vgl. 2.1 bezüglich der Einführung von Bildungsstandards).
-
Lehrerausbildung und Fachdidaktik: Durch engere Verzahnung von Hochschule und
Schule muss die Lehreraus- und Weiterbildung effektiver gestaltet werden.
-
Lernzeit: Höherer Stundenanteil von Mathematik in allen Jahrgangsstufen.
Ziel muss es demnach sein, einen Weg von dem vorwiegend durch Wissenserwerb gekennzeichneten Unterrichtsalltag, der dem in den Lehrplänen formulierten Bildungsauftrag nicht
gerecht wird, zu einem problemlösenden Unterricht zu gelangen, in dem die Lernenden
nicht einfach bekannte Algorithmen anwenden, sondern selbst Lösungsstrategien entwickeln,
anwenden und überprüfen müssen. Dabei sind insbesondere häufige Methodenwechsel sowie
Differenzierungsmaßnahmen zu berücksichtigen, um jeden Schüler auf seinem derzeitigen
Leistungsniveau mitnehmen zu können. Wie Problemlösen im Mathematikunterricht konkret
aussehen kann und in wie weit auch so genannte Knobel- und Denksportaufgaben eine Rolle
spielen, soll im Folgenden ausführlich erläutert werden.
11
3 Theoretische Grundlagen zum Problemlösen
3.1 Definitionsversuch
Wenn man von Problemlösen spricht, geht man ganz selbstverständlich davon aus, dass Probleme existieren. Diese Vorannahme wirft die Frage auf, wie Probleme entstehen bzw. wo sie
herkommen: „Probleme werden erst dadurch zu solchen, dass Organismen bestimmte Ziele
verfolgen und diese nicht auf Anhieb erreichen. Die Situationen selbst sind nicht das Problem,
sondern eine gegebene Situation zusammen mit einer bestimmten Zielsetzung eines Organismus machen ein Problem“ (Funke 2003, S. 18). Menschliche Handlungen verfolgen also Ziele und laufen damit immer wieder Gefahr, auf Probleme zu stoßen, denn nicht alles, was man
will, ist direkt erreichbar. Man kann also sagen: „Gerade weil Menschen handeln, entstehen
Probleme“ (Funke 2003, S. 18).
Die Meinung, dass Probleme gemacht und nicht gegeben sind, hilft beim Umgang mit „unlösbaren“ Problemen: „Diese sind kein Grund, in Depressionen zu verfallen; vielmehr zeigt sich,
dass in solchen Fällen eine Debatte über die möglicherweise unrealistischen Ziele zu führen
ist“ (Funke 2003, S. 19). Gerade bei globalen Menschheitsproblemen hoher Komplexitätsstufe wie Weltfrieden, Weltklima oder Welternährung sollten einfache und schnelle Problemlösungen nicht erwartet werden. „Anstelle Lösung des Problems wäre hier wohl sinnvoller von
Annäherung an gewünschte Zielzustände oder von Optimierungen zu sprechen“ (Funke 2003,
S. 19).
Was versteht man nun konkret unter dem Begriff Problem? Ein häufig gebrauchtes und nicht
eben unverständliches Wort griechischen Ursprungs, dessen umgangssprachliche Vorstellung
sich mit der Definition des Brockhaus deckt: „Schwierigkeit, noch ungelöste wisssenschaftliche Frage, zu lösende Aufgabe“ (Brockhaus 1980, Band 9, S. 204).
Das Alltagsverständnis von „Problem“ wurde u.a. von ALAN HARTLEY (1989) untersucht.
Aus der Sicht von Laien stellt ein Problem demnach eine Situation dar, in der ein oder mehrere Ziele erreicht werden müssen, wobei nicht unmittelbar klar ist, welche Schritte unternommen werden müssen, um diese Ziele zu erreichen. Bei einem Problem wird an erster Stelle an
eine schwierige persönliche Entscheidung gedacht. In zweiter Stelle umfasst ein Problem
Schwierigkeiten, die bei der Bewältigung der in der Schule, am Arbeitsplatz oder im Haushalt
anfallenden Anforderungen auftreten können. Erst an dritter Stelle ist ein Problem eine der
12
Mathematik, den Naturwissenschaften, einem Spiel oder einer Denksportaufgabe 10 entstammende Herausforderung.
In wissenschaftlicher Literatur existiert heute eine Vielzahl von Definitionen. Einige veranschaulichende Vorschläge hierzu sind die folgenden:
„Ein Problem entsteht z.B. dann, wenn ein Lebewesen ein Ziel hat und nicht weiß, wie es dieses Ziel erreichen soll. Wo immer der gegebene Zustand sich nicht durch bloßes Handeln
(Ausführen selbstverständlicher Operationen) in den erstrebten Zustand überführen lässt,
wird das Denken auf den Plan gerufen. Ihm liegt es ob, ein vermittelndes Handeln allererst zu
konzipieren“ (Duncker 1935, S. 1).
„Das Problem ist die Lücke zwischen dem Ort, wo du bist, und dem Ort, wo du hin willst“
(Hayes, In: Arbinger 1997, S. 5).
„Ein Individuum steht einem Problem gegenüber, wenn es sich in einem inneren oder äußeren Zustand befindet, den es aus irgendwelchen Gründen nicht für wünschenswert hält, aber
im Moment nicht über die Mittel verfügt, um den unerwünschten Zustand in den wünschenswerten Zielzustand zu überführen“ (Dörner 1976, S. 10).
Laut DIETRICH DÖRNER ist ein Problem also durch drei Komponenten gekennzeichnet:
1) Unerwünschter Anfangszustand = „Ist“
2) Erwünschter Endzustand = „Soll“
3) Barriere, die die Transformation von 1) in 2) verhindert = „Transformation“
„Um eine Lösung zu finden, werden Kenntnisse und Fähigkeiten benötigt, die zwar notwendig
zum Finden einer Lösung sind, aber eben noch nicht hinreichen. Vielmehr ist es notwendig, in
einer Lösungsidee die relevanten Kenntnisse und Fähigkeiten zu aktivieren und damit den
Lösungsweg zu beschreiten“ (Vollrath 2002, S. 33). Aufgabenstellungen, die mit erlernten
Routinen lösbar sind, oder Aufgaben, welche überfordern und bloßes Versuchs-und-IrrtumVerhalten auslösen, können nach diesem Verständnis nicht als Problemlöseaufgaben gelten
(vgl. Klieme et al. 2001, S. 189).
10
Synonym: Puzzle, Knobelei, Logelei, Knobelaufgabe
13
Deutlich ist festzustellen, dass ein Problem immer abhängig vom potentiellen Problemlöser
zu sehen ist: Eine Situation wird erst dann zum Problem, wenn eine Person eine Situation vor
dem Hintergrund momentaner Zielsetzungen als unbefriedigend erachtet. Sie kann natürlich
auch ihre Zielsetzungen so ändern, dass die Situation ihren problemhaften Charakter verliert
(vgl. Arbinger 1997, S. 5/6). Folgendes Beispiel mag dies veranschaulichen:
Man findet derzeit in verschiedensten Zeitungen, Zeitschriften oder Magazinen so genannte
Sudokus, d.h. Logikrätsel, bei denen das Ziel darin besteht, ein 9 x 9-Gitter mit den Ziffern 1
bis 9 so zu füllen, dass jede Ziffer in jeder Reihe, in jeder Spalte und in jedem Block (3x3Unterquadrat) genau einmal vorkommt. Für Leser, die an derartigen „Logeleien“ kein Interesse haben oder davon nichts verstehen, stellen derartige Sudoku-Rätsel sicher kein Problem
dar, sie werden ihnen keine weitere Beachtung schenken. Für sudokubegeisterte Leser jedoch
kann sich die Situation gänzlich anders darstellen. Sie werden versuchen, dass abgedruckte
9x9-Gitter regelgerecht zu füllen – erst jetzt handelt es sich tatsächlich um ein Problem. Aber
auch für diese Leser kann sich, wenn die Zielsetzungen geändert werden, der problemhafte
Charakter verlieren, so zum Beispiel, wenn ein Leser augenblicklich keine Lust verspürt bzw.
Zeit aufbringen möchte, sich mit dem gestellten Sudoku Rätsel zu beschäftigen.
Ebenso sind Probleme deutlich von Aufgaben zu unterscheiden (vgl. Dörner 1976, S. 10):
Aufgaben sind geistige Anforderungen, für deren Bewältigung Methoden bekannt sind. Eine
Aufgabe kann durch eine bekannte Abfolge von Operationen nach einem bestimmten Lösungsschema, auch genannt Algorithmus, gelöst werden. Bekannte Beispiele für Algorithmen
sind beispielsweise der Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme oder der
Euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen.
Algorithmen führen, wenn auch nicht unbedingt auf schnellstem Wege, immer zum erwünschten Ziel. Einfache Grundrechenarten wie die Multiplikation 43 · 9, dürfte für die meisten Menschen eher eine Aufgabe als ein Problem darstellen, da nötige Lösungsmethoden bekannt sind.
Ein weiterer Unterschied liegt darin, dass Aufgaben nur reproduktives Denken erfordern,
beim Problemlösen jedoch muss etwas Neues geschaffen werden. Daher legt die Vorerfahrung fest, ob es sich für den Einzelnen um ein Problem oder eine Aufgabe handelt. Letzten
Endes fehlt Aufgaben eine der drei Komponenten, die eine Problemsituation bestimmen, nämlich die Barriere.
14
Was als Problem angesehen wird, hängt Schluss endlich auch von der jeweiligen Kultur ab:
„Während man in der deutschen Tradition bei Problemen in erster Linie an „Knobelaufgaben“ denkt, werden in den USA auch Routineaufgaben als „problems“ bezeichnet“ (Vollrath
2002, S. 34).
Unter Berücksichtigung vorausgegangener Überlegungen und Definitionen kann man unter
dem Begriff Problemlösen folgendes verstehen: „Problemlösen ist zielorientiertes Denken
und Handeln in Situationen, für deren Bewältigung keine routinierten Vorgehensweisen verfügbar sind. Der Problemlöser hat ein mehr oder weniger gut definiertes Ziel, weiß aber nicht
unmittelbar, wie es zu erreichen ist. Die Inkongruenz von Zielen und verfügbaren Mitteln ist
konstitutiv für ein Problem. Das Verstehen der Problemsituation und deren schrittweise Veränderung, gestützt auf planendes und schlussfolgerndes Denken, sind konstitutiv für den Prozess des Problemlösens“ (Mayer/Wittrock, In: Klieme et al. 2001, S. 185).
Laut JOHN R. ANDERSON kann Problemlösen als Absuchen eines Problemraumes interpretiert werden: „Dieser Raum ist durch physikalische Zustände oder Wissenszustände definiert,
die jeweils beim Lösen eines Problems für eine Person erreichbar sind. Problemlösen beinhaltet dann eine Folge von Operationen zu finden, die den Anfangszustand in den Zielzustand
überführen, der als Lösung erreicht werden soll“ (Anderson 1989, S 187).
Die Qualität des Problemlösens ist insbesondere durch das Verständnis der Problemsituation,
die Denkprozesse bei der Problembearbeitung und die Angemessenheit der erreichten Lösung
bestimmt. „Auch wie systematisch jemand vorgeht – ob er beispielsweise einzelne Komponenten der Problemsituation in kontrollierter Weise untersucht, ob er den Lösungsprozess „global“ oder „lokal“ plant, ob er alternative Lösungsschritte gezielt ausprobiert, ob er Feedback sucht und nutzt – ist ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal zwischen Personen, ein wesentlicher Teil ihrer Problemlösungskompetenz“ (Klieme et al. 2001, S. 185).
Bevor im Folgenden einzelne Typen von Problemen und Barrieren näher erläutert werden,
soll an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass auf Grund seines verbreiteten
Gebrauchs und der hier im Vordergrund stehenden Beschäftigung mit Problemaufgaben, das
Wort „Aufgabe“, wie er beispielsweise auch in Begrifflichkeiten wie „Knobelaufgabe“ bzw.
„Denksportaufgabe“ enthalten ist, synonym zu dem Begriff „Problem“ verwendet wird. Lediglich im Falle einer bewussten Unterscheidung soll zur Vermeidung von Unklarheiten bzw.
Verwechslungen die Rede von so genannten „Routineaufgaben“ sein.
15
3.2 Typisierung von Problemen bzw. Barrieren
Eine entscheidende Frage, die sich an dieser Stelle nahezu aufdrängt, ist die, was genau die
unmittelbare Überführung des Anfangszustandes in den Endzustand verhindern kann. Man
stößt hierbei auf die Frage nach bestimmten Typen von Barrieren (vgl. Dörner 1976, S. 11ff)
bzw. Problemtypen (vgl. Sell 1991, S. 17/18). Diese sollen im Folgenden vorgestellt und jeweils an einem kurzen Beispiel veranschaulicht werden.
In Aufgaben, bei denen es allein darum geht, die richtige Kombination oder Folge aus einer
Reihe bekannter Einzeloperationen zu bilden, ist eine Interpolationsbarriere vorhanden. Die
Interpolation zwischen bekanntem und damit genau definiertem Anfangs- und Zielzustand ist
behindert, eine Lösung der Aufgabe, d.h. ein Operator bzw. eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt ist dem Problemlöser nicht bekannt aber er verfügt
über Operatoren, die eine Lösung des Problems gestatten (vgl. auch Holland 1996, S. 91).
Man nennt derartige Aufgaben analytische Probleme oder Interpolationsprobleme 11.
Beispiel 1 (Sell 1991, S. 19/20): „Alters-Aufgabe“
Alfred ist 24 Jahre alt. Er ist damit doppelt so alt wie Bruno war, als Alfred so alt war wie
Bruno jetzt. Wie alt ist Bruno?
Bei diesem Beispiel liegt eine geschlossene Problemstellung vor, die Soll/Ist-Kriterien sind
eindeutig bekannt. Es bietet sich zur Lösung beispielsweise eine Umformulierung des Textes
in algebraische Ausdrücke an, deren Auflösung durch Addition, Subtraktion, Division und
Multiplikation vollzogen werden kann.
Sind wiederum Anfangs- und Zielzustand bekannt, verfügt der Problemlöser jedoch nicht
über die spezifische Kombination von Operationen bzw. vermag nicht, die bekannten zu
kombinieren, spricht man von einer vorhandenen Synthesebarriere. Hauptaufgabe ist hier die
Zusammenstellung oder Synthese eines brauchbaren Inventars von Operationen.
Sollte die Lösung also erst durch Findung nicht bekannter Operationen erreichbar sein, bei
gleichzeitig gut definierten Soll/Ist-Kriterien, spricht man von synthetischen Problemen.
Beispiel 2 (Sell 1991, S. 20ff): „Hängebrücke“
Eine Hängebrücke über einen Fluss soll nachts von vier Personen überquert werden. Aus
Sicherheitsgründen darf die Überquerung nur mit einer Taschenlampe durchgeführt werden,
diese ist von den überquerenden Personen mitzuführen und besitzt eine Leuchtzeit von genau
60 Minuten. Gleichzeitig dürfen sich nur zwei Personen auf der Brücke aufhalten. Die Perso11
Ein schönes und lesenswertes Beispiel eines geometrischen Interpolationsproblems bietet beispielsweise
HOLLAND (1996, S. 89ff).
16
nen benötigen für die Überquerung unterschiedliche Zeiten, nämlich A = 5 Minuten, B = 10
Minuten, C = 20 Minuten und D = 25 Minuten. Gehen zwei Personen gleichzeitig, bestimmt
der Langsamere das Tempo. In welcher Reihenfolge müssen die Personen die Brücke überqueren, damit sie nach 60 Minuten alle auf der anderen Flussseite sind?
Auch in diesem Beispiel sind die Soll/Ist-Kriterien eindeutig festgelegt. Vier Personen sollen
in bestimmter Zeit unter bestimmten Bedingungen auf der anderen Seite des Flusses sein. Wie
jedoch der Ist-Zustand in den Soll-Zustand transformiert werden kann, bzw. welche Operationen innerhalb der Transformation zur Anwendung gelangen sollen, ist zunächst völlig offen.
Die größte Zahl von Problemen ist dadurch gekennzeichnet, dass allenfalls bestimmte Kriterien für den Zielzustand bekannt sind, oft jedoch nicht einmal als solche formuliert werden
können. Ohne mehr als relativ globale Kriterien verfügbar zu haben weiß man lediglich, dass
die gegebene Situation verändert werden muss. Derartige Probleme enthalten eine dialektische Barriere, d.h. dass die Lösung in einem dialektischen Prozess gefunden wird, in dem ein
Vorschlag oder Entwurf für den Zielzustand auf Widersprüche überprüft und entsprechend
verändert wird.
Ist also die Problemdefinition offen, d.h. die Soll/Ist-Kriterien sind schlecht oder unvollständig definiert und eine Lösung ist durch eine Reihe bekannter Operationen nachvollziehbar,
dann liegen dialektische Probleme vor.
Beispiel 3 (Zweistein 12 1980): „Das Mützenspiel“
Beim diesjährigen Logikerball beglückte wieder einmal Otto die Festgesellschaft mit einem
logischen Spiel. Mitten auf die Tanzfläche stellte er in eine Reihe hintereinander fünf Stühle
auf. Darauf setzte er fünf der anwesenden Damen.
Frau Fünf kam auf den hintersten Stuhl, Frau Vier wurde davor platziert, Frau Drei vor diese, davor Frau Zwei und auf den vordersten Stuhl kam Frau Eins.
„Ich habe hier acht Mützen“, verkündete Otto. „Vier davon sind rot, zwei sind grün und die
beiden anderen weiß. Jetzt werden Ihnen die Augen verbunden und jede bekommt eine der
Mützen auf den Kopf gesetzt. Die drei restlichen Mützen verstecke ich.“ Also geschah es.
Daraufhin nahm er die Augenbinden ab und ermahnte die Damen: „Sie dürfen sich nicht umschauen.“ Keine der Damen vermochte die eigene Mütze zu sehen, Frau Fünf sah lediglich
die Mützen der vier vor ihr Sitzenden, Frau Vier sah die Mützen ihrer drei Vorderdamen und
so weiter. Frau Eins konnte natürlich keine Mütze vor sich sehen.
Unter welchen Bedingungen kann welche Frau die Farbe ihrer Mütze richtig benennen?
An diesem Beispiel erkennt man gut, dass die Übergänge zwischen synthetischen und dialektischen Problemen fließend sind. Das Mützenspiel soll an dieser Stelle stellvertretend für dia12
„Logelei(en) von Zweistein“ ist eine Rubik aus dem Bereich der Unterhaltungsmathematik in der Wochenzeitung Die Zeit. Autor bis von 1963 – 2004 war THOMAS VON RANDOW.
17
lektische Probleme stehen. Der Grund liegt darin, dass die Soll-Kriterien nicht vollständig
definiert sind. Welche Frau kann unter welchen Bedingungen die Farbe ihrer Mütze benennen? Möglicherweise gibt es mehrere Lösungen oder die Soll-Kriterien werden erst innerhalb
des Lösungsweges deutlicher. Die Lösung des Problems stellt sich dar als Prozess der Aufhebung von Zwängen und Widersprüchen. Kriterien für die Beurteilung, ob das angestrebte Ziel
erreicht ist, entstehen und entwickeln sich im Laufe der Lösung.
Ein letzter Problemtyp, der hier der Vollständigkeit halber nur erwähnt werden soll, ist dadurch gekennzeichnet, dass sowohl die Mittel als auch die Zielkriterien relativ unbekannt
sind, man spricht hier von einer Kombination aus dialektischer Barriere und Synthesebarriere
bzw. von dialektisch-synthetischen Problemen.
Folgende Abbildung soll die soeben erläuterten Begriffe nochmals im Zusammenhang veranschaulichen:
Abbildung 3: Klassifikation von Barrieretypen und Problemen nach den Dimensionen „Bekanntheitsgrad der
Mittel“ und „Klarheit der Zielkriterien“ (nach Dörner 1976, S. 14)
Bekanntheitsgrad
der Mittel
hoch
gering
Klarheit der Zielkriterien
hoch
gering
Interpolationsbarriere dialektische Barriere
analytisches Prob- dialektisches Problem
lem
Synthesebarriere
dialektische Barriere
synthetisches Prob- und Synthesebarriere
lem
dialektischsynthetisches Problem
Der jeweilige Barrieretyp ist nicht unabhängig vom Problemlöser (Dörner 1976, S. 14). Ist
eine Person beispielsweise in Mathematik nicht sehr bewandert, stellt die Lösung einer Exponentialgleichung ein Problem mit einer Synthesebarriere dar. Für den Mathematiker hingegen
ist es, wenn überhaupt, ein Problem mit Interpolationsbarriere. Auch treten die einzelnen
Problemtypen selten in Reinform, häufiger in Kombination auf (siehe Beispiel 3), die Bereichsgrenzen sind somit fließend und unscharf (Sell 1991, S. 18).
Generell trifft man v.a. im Bereich der Mathematik auf analytische Probleme. Synthetische
Probleme liegen bei einem Großteil der Denksportaufgaben vor und auf dialektische Probleme trifft man in der Regel in komplexeren Problemsituationen (vgl. Sell 1991, S. 18).
18
3.3 Psychologische Theorien des Problemlösens
Die wesentlichen psychologischen Theorien des Problemlösens sollen an dieser Stelle kurz
erläutert und in einer Tabelle zusammenfassend dargestellt werden. Zur Vertiefung eignen
sich insbesondere MAYER (1979), ARBINGER (1997), FUNKE (2003) oder DÖRNER
(1976).
3.3.1 Assoziationstheorie
Aus der Tradition des britischen Empirismus 13 heraus entwickelte sich Ende des 19. Jahrhunderts der Assoziationismus 14 − Problemlösen als Umschichtung von Reaktionshierarchien
(vgl. Funke 2003, S. 44/45). Dieser bildet die Grundlage für behavioristische Lerntheorien,
wonach menschliche Lernprozesse durch die Koppelung bestimmter Reize und Reaktionen
einerseits sowie die Kopplung bestimmter Verhaltensweisen mit Verstärkern andererseits beschrieben werden.
Grundgedanke des Assoziationismus ist, dass sich durch wiederholte Assoziationsbildungen
so genannte Reaktionshierarchien ergeben, an deren Spitze die jeweils wahrscheinlichste Reaktion auf einen Reiz steht. Von einem Problem spricht man in diesem Ansatz dann, wenn die
an der Spitze der Reaktionshierarchie stehend Antwort nicht zum Ziel führt. Man beginnt nun,
die Reaktionshierarchie von oben nach unten mittels trial-and-error 15 abzusuchen, bis der gewünschte Erfolg eintritt. Dadurch steigt die erfolgreiche Reaktion nach oben auf, die Reaktionshierarchie wird umgeschichtet. Problemlösen wird somit als Ausprobieren bewährter Verfahren beschrieben.
MAYER (1979, S. 34) resümiert, dass der assoziationstheoretische Ansatz eine Darstellung
des Denkens und Problemlösens erlaubt, bei welcher klare Voraussagen gemacht werden
können. Im Hinblick auf die ganze Spannweite des menschlichen Denkens mag er jedoch
unzureichend sein, denn nicht alles Denken ist die (reproduktive) Anwendung früher erworbener Gewohnheiten nach dem Prinzip des Versuch und Irrtum. So können zwar einige Arten
von Denken mit Hilfe des Reaktionshierarchie-Modells erklärt werden, aber es scheint noch
andere Aspekte zu geben.
13
Wirklichkeitserkenntnis aus Sinneserfahrung
Synonym: Assoziationstheorie
15
trial and error (engl.): Versuch und Irrtum
14
19
3.3.2 Gestalttheorie
Als ein weiterer Ansatz innerhalb der psychologischen Ansätze des Problemlösens ist die
Gestaltpsychologie 16 − sie sieht das Problemlösen als Suche nach einer guten Gestalt (vgl.
Funke 2003, S. 45ff). Diese hat ihre Wurzeln im Bereich der Wahrnehmungspsychologie 17
und entwickelte sich zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Die Forschung beschäftigt sich systematisch mit Fragen der Art, wie sich Figuren vom Grund abheben und wie sich bestimmte Reizmuster in der visuellen Wahrnehmung zu Gestalten formen. Ein Problem erscheint hier als
„defekte Gestalt“, die durch geeignete Transformationen in eine gute Gestalt zu überführen
ist. Je abstrakter und unanschaulicher ein Problem wird, umso weniger gelingt es, das Problem „vor Augen zu führen“ und damit wahrzunehmen.
Ein wichtiger Beitrag der Vertreter der Gestalspsychologie ist die Vorstellung, dass ein
Mensch beim Lösen von Problemen nicht weiter kommt, weil er seine Problemlösungsstrategie nicht ändern kann (vgl. Mayer 1979, S. 65ff). Dies bedeutet: Wenn er die Situation nicht
in einem neuen Licht sehen kann, gelingt es nicht, die Elemente auf eine neue Weise zusammenzufügen. 18.
Problemlösen wird als Neuorganisation oder gedankliche Umstrukturierung der Problemsituation durch produktives Denken (im Gegensatz zum reproduktiven Denken bei der Assoziationstheorie) aufgefasst, dessen Lösung aus plötzlicher Einsicht resultiert, wobei ungeklärt
bleibt, wie genau diese plötzliche Einsicht herbeigeführt werden kann. Die meisten Kritiker
wenden ein, die Gestalttheorie sei viel zu vage, um unmittelbar in Experimenten überprüft zu
werden (vgl. Komorek 2003; Arbinger 1997, Mayer 1979).
3.3.3 Problemlösen als Informationsverarbeitung
Eine dritte Richtung, die in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts die dominierende psychologische Sichtweise darstellte, ist das Problemlösen als Informationsverarbeitung (vgl.
Mayer 1979, Komorek 2006, Dörner 1976). Dieser Ansatz beruht auf der Annahme, dass der
Mensch ein informationsverarbeitendes System ist. Problemlösen lässt sich hier als ein Prozess beschreiben, bei dem ein Anfangszustand mit Hilfe von Operationen in den Zielzustand
überführt wird. Man kann diesen Prozess in zwei Phasen unterteilen: In einer ersten Phase
16
Synonym: Gestalttheorie
Beschäftigt sich mit dem Vorgang der Wahrnehmung und dessen subjektives Ergebnis.
18
Aufgabe: Aus sechs identischen Streichhölzern vier identische, gleichschenklige Dreiecke bilden. Laut MAYER (1979, S. 65) haben viele Menschen Schwierigkeiten, ihre Einstellung zum Problem von zwei auf drei Dimensionen zu ändern.
17
20
muss der Problemlöser zunächst einen Problemraum aufbauen. Er versucht das Problem zu
verstehen, indem er unter Einbeziehung seines Wissens Ausgangs- und Zielzustand sowie
potenzielle Lösungsmöglichkeiten feststellt. In einer zweiten Phase entdeckt der Problemlöser
im Problemraum die Lösung des Problems, indem er Operatoren sucht, die vom Ausgangszum Zielzustand führen.
In eine bestimmten Sinne ist laut MAYER (1979, S. 159) das Informationsverarbeitungsmodell „eine Spezifizierung der assoziationstheoretischen Auffassung vom Denken, d.h. der
Annahme, dass die richtige Antwort aus einer Antworthierarchie ausgewählt wird, da die
(Versuchs)Person eine Folge von (Zügen oder) Operationen so lange verwendet, bis sie die
Situation in einer Weise verändert hat, die eine Lösung des Problems möglich macht.“
Tabelle 1 stellt die theoriespezifischen Vorstellungen zum Problemlösen bzw. zum Denken
beim Problemlösen zusammen.
Tabelle 1: Übersicht der Problemlösetheorien (vgl. Mayer 1979, Funke 2003)
Assoziationstheorie
Gestalttheorie
Informationsverarbeitungstheorie
Problemlösen
Problemlösen
als
ReizReaktions-Geschehen nach dem
trial-and-error Prinzip.
Eine defekte Gestalt wird durch
produktives Denken umstrukturiert und in eine gute Gestalt
übergeführt.
Ein Ausgangszustand wird mit
Hilfe von Operationen in den
Zielzustand transformiert, wobei
unterschiedliche Problemlösetechniken angewendet werden.
Denken beim Problemlösen
Denken spielt keine besondere
Rolle und wird zu einem überflüssigen Begriff.
Das produktive Denken wird
dem reproduktiven Denken gegenübergestellt und wird zu einer notwendigen Voraussetzung
für das Problemlösen.
Denken bedeutet Informationsverarbeitung zum Zwecke der
Operatorsuche und der Operatoranwendung.
Eine heute gängige Vorstellung ist diejenige, den Menschen nicht nur als informationsverarbeitendes System zu betrachten, sondern insbesondere individuelle Komponenten in den Vordergrund zu stellen. „Problemlösen wird als Bestandteil der Persönlichkeitsentwicklung, als
System von Lernhandlungen betrachtet“ (Komorek 2006, S. 30).
Man versteht hierunter einen ganzheitlichen, tätigkeitsorientierten Ansatz (vgl. u.a.
Lompscher 1972), in dem Lernen überwiegend als aktiver Prozess des Individuums verstanden wird, den es selbst über geeignete kognitive, metakognitive, motivationale und volitiona-
21
le 19 Maßnahmen gestaltet. Man spricht in diesem Zusammenhang von selbstgesteuertem,
selbstbestimmtem, selbständigem, eigenständigem, verständnisorientiertem oder selbstreguliertem Lernen 20 (vgl. Artelt 2000, S. 9).
4 Didaktische Grundlagen des Problemlösens im Unterricht
4.1 Problemlösen im Mathematikunterricht
Auch wenn Problemlösen in nahezu allen Lebensbereichen eine Rolle spielt (vgl. Kapitel 1),
soll sich die Betrachtung von Problemlösen innerhalb dieser Arbeit auf das Fach Mathematik
konzentrieren. Im problemlösenden Mathematikunterricht unterscheidet man zwischen Beweisaufgaben, Konstruktionsproblemen, Anwendungsproblemen und Knobelaufgaben (vgl.
madin.net → Problemlösen im Mathematikunterricht → Begriffsbestimmung → mathematische Klassifikation), wobei letztere an dieser Stelle im Rahmen von Problemaufgaben (vgl.
4.4.1) den Schwerpunkt bilden sollen.
4.1.1 Zum Verständnis von Problemaufgaben
Nach RENATE RASCH (Rasch 2001, S. 26) bezeichnet der Begriff Problemaufgabe 21 „eine
Aufgabengruppe, der in der Regel anspruchsvolle mathematische Strukturen zugrunde liegen,
die mitunter so in Sachsituationen eingebettet sind, dass die den Kindern vertrauten Grundmodelle der Rechenoperationen nicht ohne weiteres sichtbar bzw. nicht ohne Transformationsleistung anzuwenden sind.“ Problemaufgaben sind demnach im Zusammenhang mit Textaufgaben klar von elementaren Text- und Sachaufgaben, so genannten Routineaufgaben, zu
unterscheiden (vgl. hierzu Winter 1994, S. 106 – 130). Ob eine Textaufgabe den Problemaufgaben zuzuordnen ist, ist natürlich von den Voraussetzungen der Bearbeitenden abhängig
(vgl. 3.1) 22. „Sachaufgaben im traditionellen Sinne eignen sich kaum als Anwendungsfeld
zum Problemlösen oder gar für das Ausbilden heuristischer Vorgehensweisen. Die Mehrheit
der Kinder weiß, dass die Sachaufgabe zu einer Rechenaufgabe führt und ihnen erscheint das
Anwenden heuristischer Arbeitsweisen wie Skizzieren oder Umformulieren des Textes umständlich“ (Franke 2003, S. 24).
19
volitional: willentlich
Definition „selbstreguliertes Lernen“: „Selbstreguliertes Lernen wird als ein Prozess begriffen, in dem Individuen die Initiative ergreifen, um mit oder ohne Hilfe anderer ihren Lernbedarf festzustellen, ihre Lernziele zu
formulieren, menschliche und materielle Lernressourcen zu ermitteln, angemessene Lernstrategien auszuwählen
und umzusetzen und ihre Lernergebnisse zu beurteilen“ (Nenninger, In: Lompscher 1996, S. 25).
21
Synonym: problemhaltige Textaufgabe
22
Für Grundschulkinder können Routineaufgaben leicht zu Problemaufgaben werden, da sie noch nicht über
wichtige Operationen, Wissen, Erfahrung etc. verfügen.
20
22
Eine zusammenfassende Gegenüberstellung wichtiger Merkmale von Routine- und Problemaufgaben zeigt Tabelle 2 (nach Dörner, In: Bardy 2007, S. 138):
Tabelle 2: Routine- vs. Problemaufgabe (Bardy 2007, S. 138)
(Routine-)Aufgabe
Problem(-Aufgabe)
-
entschlüsselbar als Aufgabe eines bestimmten Typs
-
Abruf einer verfügbaren Lösungsproze- dur möglich
-
Formales bis ritualhaftes Abarbeiten der gespeicherten Prozedur möglich
Erfolg auch ohne Verständnis möglich
Provoziert i. A. nicht zum Weiterdenken, Fortspinnen; wirkt abgeschlossen
-
eine „Barriere“ verhindert das Entschlüsseln, die Aufgabe ist offen, mehrdeutig
Suche nach einem Lösungsweg notwendig; man benötigt Einfälle, andere
Sichtweisen, neuartige Verbindungen
der Wissensbestände
Inhaltliches Denken ist unverzichtbar
zur Konstruktion eines Lösungsweges
Ohne Verständnis kein Erfolg möglich
Provoziert zum Weiterdenken, Variieren, Ausbauen; wirkt offen
Generell sollten sowohl Problemaufgaben aus dem Erfahrungsbereich der Schüler gewählt
werden, als auch Aufgaben mit ungewohnten mathematischen Zusammenhängen, welche ein
neues und anderes Nachdenken über einen bekannten Sachverhalt fordern:
Beispiel: „Händeschütteln“ (nach Rasch 2001, S. 26)
Auf dem Spielplatz treffen sich Florian, Andreas, Susi, Max und Tom. Alle Kinder begrüßen
sich mit Handschlag. Wie oft werden Hände geschüttelt?
Im Unterschied zu den üblichen Lösungsgewohnheiten von Kindern nach dem Schema Zustand – Operator – Zustand (vgl. Rasch 2001, S. 26), werden in Problemaufgaben häufig mehrere voneinander unabhängige Bedingungen genannt, die vom Lösenden gleichzeitig zu berücksichtigen sind:
Beispiel: „Alterbestimmung“ (nach Rasch 2001, S. 26)
Florian, Andreas und Susi sind zusammen 30 Jahre alt. Andreas ist zwei Jahre jünger als
Florian. Susi ist vier Jahre älter als Andreas. Kannst du das Alter der drei Kinder herausfinden?
Auch der Aspekt der Offenheit hinsichtlich der Fragestellung, d.h. das Gesuchte ist nicht oder
nicht explizit angegeben, hinsichtlich der in der Aufgabe enthaltenen Daten, die vielleicht
zunächst umgedreht, geordnet oder selektiert werden müssen oder hinsichtlich der Existenz
23
einer unsicheren, mehrerer oder keiner Lösungen unterscheidet Problemaufgaben klar von
Routineaufgaben und stellt für die Schüler ein ungewohntes Merkmal dar.
MARIANNE FRANKE (vgl. Franke 2003, S. 19/20) sieht in ihrer Darstellung unterschiedlicher Vorschläge des neuen Sachrechnens 23 neben Sachrechnen
-
das von den Alltagserfahrungen der Schüler ausgeht,
-
Sachrechnen an lesenswerten, anregenden Texten und
-
Projekten, mit deren Hilfe Kinder lernen, Mathematik in Echtsituationen zu bewältigen, auch
-
Knobel- und Kapitänsaufgaben sowie Fantasiegeschichten, die insbesondere der Entwicklung der Problemlösefähigkeiten dienen,
als wesentlichen Bestandteil heutigen Sachrechnungsunterrichts (vgl. 4.2).
4.1.2 Voraussetzungen und Bedingungen für nachhaltiges Problemlösenlernen
Wesentliche Voraussetzungen dafür, dass die von der Lehrkraft „von außen“ gestellte Aufgabe zu einer individuellen Lernaufgabe des Schülers „von innen“ wird, liegt laut REGINA
BRUDER (Bruder 2003, S. 16) insbesondere in dem Gelingen folgender drei Aspekte:
-
Übernahme von Verantwortung für das eigene Lernen auf Seiten des Schülers,
-
Zielklarheit und
-
Stärkung persönlicher Sinn- oder Bedeutungsvorstellung über die jeweiligen Lerninhalte.
Für den Lernerfolg entscheidend ist also, welche Aufgabe sich der Lernende aus einer gestellten selbst ableitet und wie diese individuelle, subjektive Lernaufgabe letzten Endes bearbeitet
wird, wie bewusst sich mit dem Problem auseinander gesetzt wird. Optimalerweise stimmt die
gestellte Aufgabe mit der selbst konstruierten Lernaufgabe überein. „Gelingt es darüber hinaus, die Schüler zum Nachdenken über ihr Vorgehen beim Lösen einer Aufgabe anzuhalten,
wachsen die Chancen, dass sie mit Hilfe einer solchen reflektierten Aufgabenbearbeitung
23
Neues Sachrechnen: Begriff aus den 80er Jahren, der die so genannte neue Mathematik revidierte und zugleich
das Bemühen ausdrückt, den Sachunterricht unter Anknüpfung an die positiven Ideen der Reformpädagogik und
der Nachkriegszeit zu verbessern.
24
tatsächlich etwas Verfügbares dazugelernt haben und nicht einfach nur beschäftigt waren“
(Bruder 2003, S. 16).
Eine weitere, nicht zu vernachlässigende Voraussetzung ist die des Vorherrschens lernförderlicher Bedingungen im Klassenzimmer. Dies geht einher mit den zehn Merkmalen guten Unterrichts von HILBERT MEYER (Meyer 2004, S. 23ff), die da wären:
(1)
Klare Strukturierung, d.h. Prozess-, Ziel- und Inhaltsklarheit sowie Rollenklarheit
(2)
Hoher Anteil echter Lernzeit, d.h. gutes Zeitmanagement und Rhythmisierung des
Tagesablaufs
(3)
Lernförderliches Klima, d.h. gegenseitiger Respekt, Verantwortungsübernahme,
Fürsorge und Gerechtigkeit
(4)
Inhaltliche Klarheit, d.h. verständliche Aufgabenstellung und Monitoring des Lernverlaufs
(5)
Sinnstiftendes Kommunizieren, d.h. Planungsbeteiligung, Gesprächskultur und Schülerfeedback
(6)
Methodenvielfalt, d.h. Reichtum an Inszenierungstechniken und Vielfalt der Handlungsmuster, Ausbalancierung der methodischen Großformen
(7)
Individuelles Fördern, d.h. Freiräume, Geduld und Zeit, innere Differenzierung und
Integration
(8)
Intelligentes Üben, d.h. Bewusstmachung von Lernstrategien, Passgenauigkeit der
Übungsaufgaben, Variation der Anwendungsbezüge
(9)
Klare Leistungserwartung, d.h. Passung, Transparenz und klare Rückmeldung
(10) Vorbereitete Umgebung, d.h. verlässliche Ordnung, geschickte Raumregie
Hiermit korrespondiert die Vorstellung WOLFGANG METZGERSs, beim Problemlösen alle
störenden Einflüsse fernzuhalten und für eine entspannte Atmosphäre zu sorgen: „Zeitdruck
bewirkt eine größere Geschäftigkeit, ohne dass die Denkvorgänge selbst beschleunigt werden“ (Metzger 1967, S. 179). Er sieht die dadurch hervorgerufene Beeinträchtigung insbesondere in den folgenden Punkten (vgl. Metzger 1967, S. 178):
-
Man kann sich viel schwerer von eingedrillten Regeln frei machen. Man verliert die
geistige Beweglichkeit und Umstellungsfähigkeit.
-
Man fällt leicht in zielloses und blindes Probieren zurück.
-
Man verliert den Überblick und neigt zu voreiligen Scheinlösungen.
25
Als Konsequenz ergibt sich somit, dass die Lehrkraft nicht auf die Lösung eines Problems
noch innerhalb der vorgesehenen Unterrichtsstunde drängen, sondern zu geeigneten Zeitpunkten darauf zurückkommen sollte.
Als eine weitere Bedingung spricht BRUDER (Bruder 2003, S. 17) außerdem vom Problemlösen Wollen, Dürfen und Können. Dies bedeutet für die Autorin, dass jede geäußerte Idee
ernst genommen wird 24, dass bewertungsfreie Phasen im Unterricht vorhanden sein müssen,
dass unterschiedliche Vorgehensweisen nicht nur akzeptiert, sondern auch entsprechend gewürdigt werden müssen 25 und dass dem Orientierungsbedarf der Schüler durch klare Zielstellungen sowie Bewertungsmaßstäbe Rechnung getragen wird26.
Abschließend seien auch noch motivierende Äußerungen wie Lob und Anerkennung für besondere, ungewohnte, neue oder besonders kreative Lösungswege sowie die angemessene
Qualität der gestellten Anforderungen, d.h. entwicklungsgemäße, entwicklungsfördernde und
damit bewältigbare Herausforderungen, erwähnt, welche langfristig das Bestreben der Schüler, auch wirklich Probleme lösen zu wollen, fördern können und damit nicht zu vernachlässigende Bedingungen darstellen.
4.1.3 Ziele des Problemlösenlernens
Die entscheidende Frage, der an dieser Stelle nachgegangen werden soll ist natürlich, warum
überhaupt explizites Problemlösungslernen innerhalb des Mathematikunterrichts stattfinden
soll. Welche Ziele verfolgt ein Mathematiklehrer, der seinen Schülern beibringen möchte,
gezielt mathematische Probleme, d.h. Problemaufgaben im Allgemeinen bzw. Knobel- oder
Denksportaufgaben im Speziellen anzugehen?
Sicherlich soll der in Lehrplänen und Bildungsstandards manifestierten Forderung „allgemeine Probleme mit Hilfe mathematischer Problemlösefähigkeiten zu erschließen, zu bewältigen
bzw. zu lösen sowie zweckmäßige Entscheidungen zu treffen“ (siehe 2.1) nachgekommen
werden, aber welche Gedanken stecken hinter dieser Absicht?
VOLKER BUGDAHL sieht den Sinn von Spielen, er meint damit u. a. mathematische Spiele
oder Denksportaufgaben in ihren unterschiedlichen Schwierigkeitsstufen und in ihrer Vielfalt,
vor allem in den folgenden Punkten (vgl. Bugdahl 1995, S. 43f): Sie
24
vgl. Merkmal (3) bei HILBERT MEYER
vgl. Merkmal (7) bei HILBERT MEYER
26
vgl. Merkmale (1) und (9) bei HILBERT MEYER
25
26
-
machen Spaß und motivieren,
-
verlangen Aktivität im Handeln,
-
spiegeln das Leben wieder 27,
-
üben soziale Prozesse und
-
vergrößern die Lebenserfahrung und entwickeln Persönlichkeit.
Für BRUDER (vgl. Bruder 2003, S. 5ff) besteht ein wichtiges Ziel des Problemlösenlernens
darin, so genannte Heureka-Effekte zu erleben. Dieser Ausdruck geht auf Archimedes 28 zurück, um den sich seinerzeit viele Legenden rankten. Eine davon ist die folgende (Bruder
2002, S. 5):
Der König von Syrakus ließ sich aus einem Klumpen Gold einen Kranz fertigen, misstraute
jedoch seinem Goldschmied. Er bat Archimedes nachzuprüfen, ob der neue Kranz wirklich
aus purem Gold war, ohne ihn jedoch wieder einzuschmelzen. Im Bade kam Archimedes der
rettende Einfall, als er bemerkte, dass er beim Einsteigen in die Wanne eine bestimmte Wassermenge verdrängte.
Genial wie er war, übertrug er diese Einsicht auf das Problem mit dem Kranz und entdeckte
so das Prinzip der Hydrostatik. Diese Erkenntnis brachte ihn völlig aus dem Häuschen, so
dass er der Legende nach voller Begeisterung nackt aus dem Bade rannte und „Heureka,
heureka!“ rief. Für den Goldschmied hatte diese Erkenntnis allerdings ein böses Nachspiel.
Archimedes fand nämlich ohne den Kranz zu beschädigen heraus, dass das Gold des Königs
zu einem hohen Anteil durch andere Materialien ersetzt wurde. Daraufhin ließ der König den
Goldschmied hinrichten.
Ein jeder kennt dieses gute, überaus befriedigende Gefühl, wenn man eine knifflige Aufgabe,
ein Alltagsproblem oder ein Rätsel gelöst hat und freudestrahlend, ganz wie Archimedes seinerzeit, sagen kann: „Heureka – ich habe es geschafft!“ Sicherlich muss die Lösung „nicht
gleich zum Nobelpreis führen oder wie in Archimedes Beispiel den Goldschmied den Kopf
kosten, hat jedoch den Nebeneffekt, dass man das nächste Problem, auf Grund der vergangenen positiven Problemlöseerfahrung mutiger und zugleich zuversichtlicher angehen kann“
(Bruder 2003, S. 5).
Ein weiteres wichtiges Ziel besteht darin zu lernen, „mit der Mathematikbrille“ Fragen zu
stellen (vgl. Bruder 2003, S. 9ff sowie Winter 1995, S. 41) sowie das eigene Denken zu Reflektieren, d.h. den Verstand zu gebrauchen. Denn Problemlösen bedeutet, entscheidende und
„richtige“ Fragen zu stellen, sowohl vor, während, als auch nach Beginn des Lösungsprozesses. Diese Fragen können beispielsweise lauten:
27
28
d.h. Gedächtnis, Strategie, Logik, Kommunikation, Problemlösen, Entscheiden
Archimedes: griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur, * um 287 v. Chr., † 212 v. Chr.
27
-
Worum geht es? - Denn nur diejenigen Schüler, die das Problem wirklich verstanden
und verinnerlicht haben, können es auch lösen. Sie sind damit in der Lage, ein komplexes Problem zu präzisieren, was es im Allgemeinen auch leichter lösbar macht.
-
Was weiß ich alles schon im Zusammenhang mit dem Problem? – Habe ich bereits
ähnliche Probleme gelöst, die mir bei der Lösung weiterhelfen können? Kann mir
mein Basiswissen weiterhelfen?
-
Welche Methoden und Techniken stehen mir zur Verfügung? Welche kenne ich und
welche eignen sich speziell für dieses Problem? – Ähnlich einem Experiment können
die Schüler entweder durch schlichtes Ausprobieren, so genanntes „trial and error“,
versuchen, zu einer Lösung zu gelangen oder aber, was sich vielfach als erfolgsversprechender herausstellt, mit Hilfe von Strategien, so genannten „Heurismen“, gezielt
zur Problemlösung vorstoßen.
-
Kann ich das Problem in Teilaufgaben zerlegen? – In welche? Inwieweit ist diese
Zergliederung hilfreich?
-
War das Ergebnis zu erwarten oder ist das Ergebnis überraschend? – Warum?
-
Gibt es vielleicht einen weiteren, einen kürzeren oder gar einen eleganteren Lösungsweg? – Die Schüler können ihre Lösungen in Vergleich mit Anderen diskutieren. Sie
lernen dabei, verschiedene Argumentationsweisen zu durchschauen und zu bewerten.
-
Kann ich selber eine ähnliche Aufgabe erfinden? – Die Schüler werden hierbei dazu
ermuntert, ihrer eigenen Kreativität freien Lauf zu lassen. Ergebnisse können an Mitschülern erprobt werden. Ist die Problemaufgabe gelungen? Warum (nicht)?
Natürlich sollen die Schüler zudem dazu befähigt werden, mathematische Aspekte auch in
Alltagssituationen zu erkennen, z. B. den Goldenen Schnitt in der Natur, Fragen rund um die
Mehrwertsteuererhöhung, Streckenverhältnisse an Baudenkmälern u.v.a.m., sowie entsprechende Fragestellungen zu formulieren. Dadurch können sie Anstrengungsbereitschaft und
Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln entwickeln.
Wie derartige Ziele in anschaulicher und verständlicher Art und Weise an die Lernenden herangetragen werden können, zeigt folgender Überblick in Form eines Folienbildes (vgl. Bruder 2003, S. 8/9):
28
Abbildung 4: Ziele mathematischen Problemlösenlernens (Bruder 2003, S. 9)
Für FRIEDRICH ZECH 29 liegt ein weiteres wesentliches Ziel des Problemlösungsunterrichts
im Lernen und Anwenden heuristischer Regeln, d.h. im selbständig denken lernen (vgl. Zech
1996, S. 309). Auf diesen Punkt soll im folgenden Abschnitt näher eingegangen werden.
4.1.4 Heuristische Bildung
Unterrichten bedeutet nicht nur, Lernanforderungen in Form von Aufgaben mit hohem Lernpotential zu stellen. Es impliziert insbesondere, zu deren Bewältigung zu befähigen. Dafür
benötigt man heuristische Bildung (vgl. Bruder 2006, S. 4). Doch was versteht man überhaupt
unter dem Begriff Heuristik? Das Wort Heuristik hat seinen Ursprung im (alt-) griechischen
Wort „heuriskein“, zu Deutsch: finden, entdecken (Bardy 2007, S. 124). Laut Brockhaus ist
Heuristik „die Lehre von der methodischen Gewinnung neuer Erkenntnisse durch Verfahren,
Modelle, Annahmen, Begriffe, Prinzipien, von denen ein heuristischer Gebrauch gemacht
wird, indem sie selbst nicht der Begründung, aber der Gewinnung dieser Erkenntnisse dienen“ (Brockhaus 1979, Band Fünf, S. 308). ZECH übersetzt Heuristik mit „Erfindungskunst“
29
FRIEDRICH ZECH: Akademischer Oberrat am Seminar für Didaktik der Mathematik, der Chemie und Physik
an der Universität Göttingen, *1939, †2001
29
(Zech 1996, S. 310). Für BRUDER sind es „geistige Werkzeuge, die man kennen und flexibel
handhaben muss“ (Bruder 2003, S.20). Sie vergleicht das Erlernen von Heurismen mit dem
Erlernen vom Autofahren: „Zuerst wird hoch konzentriert und noch etwas ungeschickt an den
Hebeln herumhantiert, aber doch recht schnell werden die Abläufe (Strategien, Hilfsmittel,
Prinzipien) ohne großes Nachdenken beherrscht. Man bedient sich in gewohnten Situationen
(keine Problemaufgabe mehr) schon unterbewusst der einzelnen Hebel und Knöpfe, kann deren Funktionalität jedoch immer wieder bei angespannten Situationen (Problemaufgabe) ins
Bewusstsein zurückholen und dann zielgerichtet anwenden“ (Bruder 2003, S. 20).
Schon vor über einem halben Jahrhundert beschäftigte man sich mit Heuristiken. Einer der
bekanntesten Wegbereiter war GEORGE POLYA 30. Er verstand unter Heuristik 31 den Namen
eines gewissen, nicht sehr deutlich abgegrenzten Wissenszweiges, der zur Logik, zur Philosophie oder zur Psychologie gehörte - das Adjektiv heuristisch bedeutet „zur Entdeckung dienend“ (vgl. Polya 1949, S. 118f).
POLYA sieht das Ziel der Heuristik darin, die Methoden und Regeln von Entdeckung und
Erfindung zu studieren. Moderne Heuristik trachtet somit danach, „den Vorgang des Lösens
von Aufgaben zu verstehen, insbesondere die Denkoperationen, die bei diesem Prozess in
typischer Weise von Nutzen sind“ (Polya 1949, S. 155).
Das, was dabei heraus kommt, sind heuristische Prinzipien, Regeln, Strategien und Hilfsmittel
(vgl. u.a. Bruder 2003; Polya 1949; vgl. 4.1.4.1, 4.1.4.2). Gelingt es, diese zu erlernen und
flexibel anzuwenden, können laut BRUDER (vgl. Bruder 2003, S. 20) ähnliche Effekte erzielt
werden wie von intuitiven Problemlösern. Unter der Voraussetzung, dass die Heurismen als
hilfreich angesehen werden, können damit sowohl leistungsschwächere als auch leistungsstärkere Schüler gefördert werden.
Für POLYA ist heuristisches Denken „nicht ein letztes und strenges, sondern vorläufiges und
plausibles Denken, dessen Zweck es ist, die Lösung der vorliegenden Aufgabe zu entdecken“
(Polya 1949, S. 119). So sehen auch BRUDER (2003) und LOMPSCHER (1976) eine entscheidende Fähigkeit guter Problemlöser darin, über eine hohe geistige Beweglichkeit zur
verfügen. Diese äußert sich in den folgenden Erscheinungsformen beim Problemlösen mit
mathematischen Mitteln (vgl. Bruder 2003, S. 20; Lompscher 1976, S. 16f):
30
31
GEORGE POLYA: amerikanischer Mathematiker ungarischer Herkunft, * 1887, † 1985
Heuristik: ars inveniendi
30
-
Aspektbeachtung, d.h. die Schüler beachten mehrere Aspekte des Problems gleichzeitig, finden Abhängigkeiten oder variieren gezielt.
-
Aspektwechsel, d.h. die Schüler wechseln Annahmen oder Kriterien, um zu einer Lösung zu gelangen, womit ein „Steckenbleiben“ vermieden bzw. überwunden werden
kann.
-
Reduktion, d.h. die Schüler reduzieren ein Problem auf das Wesentlich und können gut
fokussieren.
-
Reversibilität, d.h. die Schüler können Gedankengänge rückwärts nachvollziehen. In
geeigneten Situationen wird diese Fähigkeit automatisch abgerufen.
-
Transferierung, d.h. die Schüler übertragen ein bekanntes Vorgehen auf einen anderen
Kontext und erkennen damit den Kern der Aufgabe.
HANS-JOACHIM VOLLRATH äußerst zwar Zweifel, ob das Lehren heuristischer Regeln im
Unterricht tatsächlich etwas bringt, merkt jedoch an, dass „erfolgreiche Problemlöser über
leistungsfähige heuristische Strategien verfügen, die sie sich beim Problemlösen angeeignet
haben. Neben mathematischem Basiswissen und heuristischem Wissen ist es zum erfolgreichen Problemlösen erforderlich, dieses Wissen einsetzen zu können“ (Vollrath 2001, S. 264).
Erfahrungen zeigen, dass dies nur durch Übung zu erreichen ist.
Es existieren heute eine Vielzahl heuristischer Vorgehensweisen und Techniken (z.B. Lehmann 1990; Polya 1949, Franke 2003). Eine mögliche Klassifizierung nach heuristischen
Hilfsmitteln und heuristischen Prinzipien und Strategien soll im Folgenden dargestellt werden.
4.1.4.1 Heuristische Hilfsmittel
Zum Lösen eines Problems bieten sich zahlreiche Bearbeitungshilfen an. FRANKE (2003, S.
84ff) unterteilt diese in drei unterschiedliche Kategorien:
(1) Bearbeitungshilfen zur Textanalyse wie Lesen/Vorlesen, Nacherzählen, Aussprache
zum Inhalt, Umformulieren, Gliedern des Textes, Fragen zum Text, Herausschreiben
von Stichwörtern oder Unterstreichen/Durchstreichen/Markieren,
(2) Konkrete Bearbeitungshilfen wie Nachspielen, Rollenspiel oder Darstellungen mit
Material sowie
31
(3) Grafische Bearbeitungshilfen wie Situationsskizze, Strecken- oder Streifendiagramm,
Rechenbaum oder Tabelle.
BRUDER (2002) fasst für sich unter Bearbeitungshilfen vor allem Kategorie (3) auf und unterscheidet drei unterschiedliche heuristische Hilfsmittel informative Figur, Tabelle und
Gleichung, die allesamt den Vorteil haben, sehr leicht erlernt zu werden und kurzfristig den
größten Lernzuwachs zu liefern. „Alle drei eignen sich besonders gut, um den Mathematisierungsprozess bei Sachaufgaben zu unterstützen und eine Aufgabensituation auf das Wesentliche zu reduzieren oder geeignet zu strukturieren“ (Bruder 2002, S. 7).
Heuristische Hilfsmittel tragen dazu bei, eine Aufgabe so vorzubereiten, dass man sie leichter
lösen kann, sind also, unter dem Beweglichkeitsaspekt betrachtet, der Fähigkeit der Reduktion
zuzuordnen (vgl. 4.1.4). Informative Figur, Gleichung und Tabelle sind (fast) immer verwendbar, es hängt jedoch von der Aufgabe ab, welches Hilfsmittel am besten passt.
Bereits in der ersten Phase des Problemlösens (vgl. 4.1.4.3) kann es nützlich sein, zweckmäßige Bezeichnungen einzuführen bzw. die Wortsprache in eine geeignete Symbolsprache zu
überführen (vgl. Bardy 2007, S. 128, König 2005, S. 48). Hierbei können die Schüler erkennen, dass es sinnvoll sein kann, beispielsweise für Namen oder Berufe Buchstaben 32 als abkürzende Bezeichnung zu nützen oder für nicht bekannte Zahlen bzw. Größen Variablen 33
anzusetzen und die im Aufgabentext vorkommenden Informationen in (Un-)Gleichungen zu
übersetzen.
Entscheidend ist sicherlich, die jeweiligen Hilfsmittel entsprechend den Vorkenntnissen der
Schüler einzuführen. So hat es eher wenig Sinn, einem Schüler der Primarstufe Gleichungen
als unterstützende, entlastende Hilfe nahe zu bringen, da dieses Themengebiet erst in der 5.
bzw. 6. Jahrgangsstufe explizit zur Anwendung kommen wird (vgl. Lehrplan für bayerische
Realschulen). Die erfolgreiche Verwendung informativer Figuren oder auch Tabellen sind
jedoch bereits im Primarbereich zu erwarten (vgl. ISB 2000, Stichworte „Skizze“, „Tabelle“;
vgl. 4.2.3).
Generell von besonderer Bedeutung und vielfältig einsetzbar ist das heuristische Hilfsmittel
Tabelle. Laut KÖNIG kann dieses folgende Funktionen erfüllen (König 2005, S. 35):
32
33
z. B. Anfangsbuchstaben
Wort- oder Buchstabenvariable
32
-
Entdecken oder Überprüfen von funktionalen Zusammenhängen oder anderen Beziehungen zwischen Zahlen und Größen.
-
Hilfe beim systematischen Erfassen aller möglichen Fälle oder dem Ausschließen aller
nicht möglicher Fälle.
-
Abspeichern der Aufgabenstellung durch übersichtliches Festhalten der gegebenen
und der gesuchten Größen bzw. von gegebenen Beziehungen oder Zusammenhängen.
-
Hilfe beim Finden und Festhalten eines Lösungsplans.
Wichtige Fragen bzw. Impulse bei der Verwendung einer Tabelle sind beispielsweise (vgl.
Bardy 2007, S. 129, König 2005, S. 35):
-
Wofür sollen die Zeilen bzw. die Spalten der Tabelle verwendet werden?
-
Es sollen Felder entstehen, in die das Gegebene und das Gesuchte eingetragen werden
können. In die Zeileneingänge werden die Namen der Objekte (der Situationen) eingetragen, über die etwas ausgesagt ist. In die Spalteneingänge werden die Größen (die
Merkmale) eingetragen, über die hinsichtlich der Objekte bzw. der Situationen Aussagen gemacht werden.
-
Die gegebenen Größen werden in die betreffenden Felder eingetragen. Die Felder, in
denen das Gesuchte steht bzw. stehen soll, werden besonders gekennzeichnet.
-
Weitere Felder werden ausgefüllt, indem die in der Problemstellung genannten bzw.
die aus ihr sich ergebenden Beziehungen genutzt werden: Welches Feld kann als erstes gefüllt werden, welches als nächstes? Warum?
-
Wenn es nicht gelingt alle leeren Felder auszufüllen, empfiehlt es sich insbesondere
für Fortgeschrittene, eine Variable zu wählen und in ein passendes Feld einzutragen.
-
Nach dem Ausfüllen aller Felder, teilweise oder vollständig mit Variablen, wird die
Gleichung eines Ansatzes ermittelt, indem eine noch nicht ausgenutzte Beziehung
verwendet wird.
-
Die Ansatzgleichung wird gelöst. Hierbei muss beachtet werden, dass sich nur solche
Gleichungen ergeben, die von Kindern bereits gelöst werden können.
Weitere wichtige heuristische Hilfsmittel sind Skizzen bzw. informative Figuren. „Sie dienen der Veranschaulichung der Problemstellung“ (Bardy 2007, S. 129). Im Verlauf der ersten
Phase (vgl. 4.1.4.3) werden in einer Skizze die gewählten Bezeichnungen und die Informationen über das Gegebene und das Gesuchte festgehalten. In der zweiten Phase dienen informative Figuren dem Finden der Lösung sowie dem Notieren des Lösungsplans.
33
Wichtige Fragen bzw. Impulse bei der Verwendung einer Skizze bzw. informativen Figur
sind beispielsweise (nach. Bardy 2007, S. 130, König 2005, S. 35):
-
Was kann in der Skizze alles festgehalten werden?
-
Gegebenenfalls für jeden wichtigen Zeitpunkt eine Teilskizze zeichnen und die jeweiligen Zeitpunkte notieren.
-
Günstige Bezeichnungen einführen.
-
Sind alle vorgegebenen und gesuchten Zahlen (Größen) in der Skizze notiert. Nicht
notierbare Bedingungen oder Beziehungen sollten gesondert herausgeschrieben werden.
-
Teilresultate, die im Verlauf des Lösungsweges gewonnen wurden, in der Skizze festhalten.
Es ist sinnvoll, die einzelnen Hilfsmittel nacheinander anhand geeigneter Musteraufgaben
vorzustellen. Hierzu kann man verschiedene Problemaufgaben auswählen, die die jeweilige
Hilfsmittelhandhabung beispielhaft erläutern oder man verwendet, wie im Folgenden, ein und
dieselbe Aufgabe. Ersteres hat den Vorteil, dass mit geeigneter Titulierung der Aufgabe, z. B.
„Müller-Mufflig-Aufgabe“ 34 auch zukünftig schnell an das in ebendieser Aufgabe eingeführte
Hilfsmittel erinnert werden kann 35. Letzteres hat den Vorteil, dass die Schüler eindrucksvoll
erkennen, dass nicht nur ein, sondern mehrere Hilfsmittel zur Problemlösung ein und derselben beitragen können.
Im Anschluss daran sollen die Lernenden alle drei Hilfsmittel an ähnlichen Problemaufgaben
selbst ausprobieren um damit auch eigene Präferenzen zu erkennen. Für BRUDER (Bruder
2002, S. 7f) hat diese Vorgehensweise zum einen den Vorteil der Vernetzung von algebraischen und geometrischen Wissenselementen sowie der Förderung von Mathematisierungsfähigkeit. Zum anderen lässt die freie Wahl der Lösungswege auf Seiten der Schüler den größtmöglichen Freiraum, eigene Entscheidungen zu treffen.
Als Musteraufgabe für die Verwendung von Tabellen, informativer Figur oder Gleichung
könnte die folgende dienen:
34
Familie Müller wandert 12 km auf einem Rundweg und plant dafür vier Stunden ein, da sie zwei kleine Kinder
haben. Sie starten um 14h. Eine Stunde später tropft es bei Herrn Mufflig durch die Decke. Müllers Waschmaschine ist defekt! Herr Mufflig folgt aufgebracht den Müllers mit 5 km/h. Wann und wo wird er sie vielleicht
treffen? Würdest du auch hinterher laufen? (Abels 2002, S. 40)
35
Eselsbrücken-Funktion: „Das hatten wir doch damals beim Lösen des „Müller-Mufflig-Problems“ schon mal
so gemacht!“
34
„Busplätze-Aufgabe“ (Abels 2002, S. 27)
In einem Bus ist ein Drittel der Plätze mit Kindern besetzt. Sechs Plätze mehr werden durch
Erwachsene belegt. Neun Plätze bleiben frei. Wie viele Plätze hat der Bus?
Wie kann man eine derartige Aufgabe lösen? Ausprobieren („Versuch und Irrtum“) bietet zu
Anfang einen geeigneten Lösungsweg. Um jedoch nicht den Überblick zu verlieren, könnte
man seine Versuche in einer Tabelle strukturieren. Eine Tendenz, hin zur richtigen Lösung,
ist damit leichter erkennbar. Es liegt im Ermessen des Lehrers sowie der Löseerfahrung der
Schüler, ob er eine bereits vorgefertigte Tabelle anbietet oder ob er die Erstellung den Schülern überlässt.
Man kann sich nun überlegen, wie viele Plätze der Bus haben könnte, z. B. 30, 60. Zudem ist
bekannt, dass ein Drittel davon Kinder sind (10, 20) und es ebenso viele plus sechs weiter
Erwachsene gibt (16, 26). Neun Plätze bleiben immer frei. Im ersten Versuch lag die gedachte
Gesamtzahl zu niedrig, im zweiten Versuch zu hoch. Die richtige Anzahl an Plätzen muss
also zwischen 30 und 60 Plätzen liegen. Durch systematisches Ausprobieren unter Zuhilfenahme der Tabelle (vgl. Tabelle 3) kommen die Schüler im n-ten Versuch auf die passende
Lösung von 45 Plätzen.
Tabelle 3: Tabelle zur „Busplätze-Aufgabe“ (vgl. Abels 2002, S. 27)
gedachte Gesamtzahl
Kinder
Erwachsene
freie Plätze
Plätze insgesamt
Bemerkung
1. Versuch
30
10
16
9
35
zu wenig gedacht
2. Versuch
60
20
26
9
55
zu viel gedacht
n. Versuch
45
15
21
9
45
richtige Lösung
Als ein weiteres Hilfsmittel würde sie bei dieser Aufgabe auch die Erstellung einer informativen Figur eignen. Bereits beim erstmaligen Lesen kann man sich eine Skizze bzw. Zeichnung mit den wichtigsten Informationen ausdenken. Hierbei gibt es kein richtig oder falsch,
wichtig ist einzig, dass der Problemlöser diese Zeichnung für sich selbst als veranschaulichende Hilfe erlebt und nützen kann. Anregungen für informative Figuren sind (Abels 2002,
S. 31):
-
Punktmengen bei Anzahlen
-
Strechen, Rechtecke, Kreisflächen bei Größen oder Anteilen
-
Flächeninhalt eines Rechtecks bei dem Produkt zweier Zahlen
-
Volumen eines Quaders bei dem Produkt dreier Zahlen
35
-
Koordinatensystem bei der Zuordnung zweier Größen
-
Figuren innerhalb der Geometrie
In der „Busplätze-Aufgabe“ könnte die Gesamtzahl der Plätze durch eine Strecke (z. B. 9 cm
Länge) dargestellt werden (vgl. Abbildung 5). Zunächst teilt man die Strecke in drei Teile
(d.h. dreimal 3 cm), da die Kinder ein Drittel der Plätze belegen. Somit sind die ersten 3 cm
für die Kinder reserviert. Das mittlere Drittel gehört den Erwachsenen. Das letzte Drittel wird
mit sechs weiteren Erwachsenen sowie neun freien Plätzen belegt. Anhand der Figur erkennt
man nun leicht, dass sich im hinteren Drittel 6 + 9 = 15 Plätze befinden, somit ergibt sich als
Gesamtzahl der Busplätze 3 · 15 = 45 Plätze.
Die informative Figur könnte, obigen Überlegungen nach, folgendermaßen aussehen:
Abbildung 5: Informative Figur „Busplätze-Aufgabe“ (Abels 2002, S. 28)
Neben Tabelle und informativer Figur könnte auch die Erstellung einer Gleichung den Lösungsweg unterstützen und Zusammenhänge deutlich machen. So kann man die Anzahl der
gesamten Busplätze mit der Variabeln x bezeichnen. Da man genau an der Summe aller Plätze
interessiert ist liegt nun das Ziel darin, alle gegebenen Informationen in Abhängigkeit von x
darzustellen und anschließend nach x aufzulösen. Ein Drittel aller Plätze ist mit Kindern besetzt, dies kann mit 1/3x ausgedrückt werden. Ein weiteres Drittel und sechs weitere Plätze
sind von Erwachsenen belegt, dies wird mit (1/3x + 6) verdeutlicht. Neun Plätze bleiben generell frei. Zusammen ergibt das die folgende Gleichung:
x=
1
1
x + ( x + 6) + 9
3
3
Auflösen nach x liefert wieder die nun bereits bekannte Lösung von 45 Plätzen.
Bezüglich des heuristischen Hilfsmittels Gleichung sei abschließend erwähnt, dass es tatsächlich Kinder gibt, die bereits im Grundschulalter auf die Erstellung von Gleichungen zurückgreifen, um Probleme zu lösen. BARDY geht davon aus, dass Schüler, die selbständig auf die
Verwendung von Variablen kommen, irgendwann davon gehört haben, vielleicht von den
Eltern oder Großeltern, Geschwistern oder Lehrern (vgl. Bardy 2007, S. 216). Man sollte des36
halb die Gelegenheit, Gleichungen zu erstellen, nicht vorenthalten, aber trotz allem darauf
achten, die Kinder nicht zu überfordern. „Die Grenzen liegen vor allem darin, dass spezielle
algebraische Gesetze (z. B. das Distributivgesetz) den meisten 'unserer' Kinder nicht präsent
sind. Ich halte auch nichts davon, diese Gesetzt zu thematisieren und bereits elementare algebraische Inhalte einzuüben. Dies geschieht im normalen Mathematikunterricht der Sekundarstufe I“ (Bardy 2007, S. 219).
BARDY schlägt deshalb Aufgaben vor, die ohne algebraische Ansätze gelöst werden können,
aber andererseits die Einführung einer (oder mehrerer Variablen) geradezu provozieren.
Rückblickend erscheint die oben thematisierte „Busplätze-Aufgabe“ somit äußert sinnvoll, da
den Schülern verschiedenste Wege, genauer Hilfsmittel, offen stehen, um erfolgreich zu einer
Problemlösung zu gelangen.
4.1.4.2 Heuristische Prinzipien und Strategien 36
In der Literatur existiert eine Fülle heuristischer Prinzipien und Strategien (vgl. u.a. Polya
1949, König 1992). „Die Grenzen zwischen diesen Begriffen sind fließend und eine deutliche
Abgrenzung kann kaum gelingen“ (Bardy 2007, S. 127). Einen Überblick (vgl. Bruder 2003,
S. 27 sowie Lehmann 1990, S. 21) soll folgende Grafik (Abbildung 6) bieten.
Abbildung 6: Übersicht über Problemlöseheuristiken (Bruder 2005, Folie 18)
Sie beinhaltet zum einen die soeben erläuterten heuristischen Hilfsmittel und zählt zum anderen eine Reihe, insbesondere für die Sekundarstufe I relevante, heuristischer Strategien und
Prinzipien auf. Diese sollen im Folgenden genauer ausgeführt werden. Anschließend werden
die im Primarbereich anwendbaren Strategien zusammengestellt.
36
FRANKE versteht unter dem Begriff heuristische Strategien „allgemeine Vorgehensweisen, die die Lösungssuche unterstützen, aber das Finden der Lösung – im Unterschied zum algorithmischen Vorgehen – nicht garantieren“ (Franke 2003, S. 71).
37
Als eine der wichtigsten Strategien gilt das Vorwärtsarbeiten. Hierbei werden zunächst alle
gegebenen Informationen gesammelt. Vom Gegebenen aus hangelt sich der Problemlöser
Schritt für Schritt vorwärts, bis er das Gesuchte erreicht. Man beginnt also bei einer bestimmten Anfangssituation und versucht durch Arbeit mit den gegebenen Informationen das Ziel zu
erreichen. Oft gelangt man zunächst zu Teilzielen, die durch erneute Kombination unter Zuhilfenahme der Ausgangsinformationen bzw. durch Einsatz von Hilfsmitteln nach einigen
Zwischenschritten zum Gesuchten führen. Fragen (vgl. Abels 2002, S. 26) wie
-
Was ist gegeben?
-
Was weiß ich über das Gegebene?
-
Was kann ich daraus ermitteln?
können helfen, den oben beschriebenen Weg erfolgreich zu meistern. Da gerade in Alltagssituationen häufig nach der Strategie Vorwärtsarbeiten vorgegangen wird, z. B. bei der Planung
einer Reise, beim Kofferpacken oder beim Durchgehen eines Einkaufzettels, dürfte das Nachvollziehen dieser Strategie bei den Schülern keine großen Schwierigkeiten bereiten.
Zum Einüben der Strategie Vorwärtsarbeiten eignen sich unter anderem folgende drei Aufgaben 37:
„Drei indische Götter“ (Abels 2002, S. 26):
Ein Inder erzählt, dass nach einer alten Sage im Tempel seiner Heimatstadt einst drei Götterstatuen nebeneinander standen, die gesprochen haben sollen. Eine der Statuen stellt den Gott
der Lüge dar, der grundsätzlich log. Der Gott der Wahrheit antwortete auf alle Fragen wahrheitsgemäß und der Gott der Diplomatie habe die Eigenschaften der beiden Erstgenannten in
sich vereint Lange Zeit habe niemand gewusst, welches der drei Standbilder welchen Gott
darstellt, bis es eines Tages einem indischen Weisen gelang dieses Rätsel zu lösen. Er begab
sich zum Tempel und fragte die linke Statue: „Wer steht neben dir?“ Er erhielt die Antwort:
„Der Gott der Wahrheit.“ Die Frage an des mittlere Standbild: „Wer bist du?“ brachte ihm
die Antwort: „Der Gott der Diplomatie.“ Das dritte Standbild gab schließlich auf die Frage:
„Wer steht neben dir?“ die Antwort: „Der Gott der Lüge.“ Welche der drei Statuen stellt
welchen Gott dar?
„Belohnungs-Aufgabe“ (Abels 2002, S. 43):
Dein Patenonkel möchte dich für deine schulischen Leistungen belohnen. Er lässt dir die
Wahl: Entweder du erhältst für jede Arbeit, die besser als die Note 3 ist 2 Euro, oder du bekommst immer 2,50 Euro, wovon aber zuvor 50 % deiner Note in Euro abgezogen werden.
Wie entscheidest du dich?
37
Zum Üben der Strategie Vorwärtsarbeiten bietet HOLLAND (1996, S. 99ff) ein schönes und lesenswertes
Beispiel aus dem Bereich der Geometrie.
38
„Die sonderbare Antwort“ (Rasch 2003, S. 108):
Ein bejahrter Mann wurde gefragt, wie alt er, sein Sohn und Enkel seien? Er antwortete: Ich
und mein Sohn sind zusammen 109 Jahre, mein Sohn und mein Enkel zusammen 56 Jahre und
ich und mein Enkel zusammen 85 Jahre alt. Wie alt war jeder?
Neben der Strategie des Vorwärtsarbeitens stellt auch das so genannte Rückwärtsarbeiten
eine wichtige Methode zum Problemlösen dar. Sie verdient ihren Namen deshalb, weil man
am Ende beginnt und sich Schritt für Schritt nach vorne arbeitet. Man geht sozusagen den
umgekehrten Weg als beim Vorwärtsarbeiten: vom Gesuchten zum Gegebenen. Hat man einen Sachverhalt gefunden, von welchem aus man zum Ziel gelangen kann, wird dieser zum
neuen Ziel, einer Art Zwischenziel, und man setzt von dort aus den Prozess fort, bis man bei
der Voraussetzung oder bei Daten, die bereits berechnet wurden angelangt38. Fragen (vgl.
Abels 2002, S. 34) wie
-
Was ist gesucht?
-
Was weiß ich über das Gesuchte?
-
Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln?
können helfen, den oben beschriebenen Weg erfolgreich zu meistern. Auch die Strategie des
Rückwärtsarbeitens ist aus dem Alltag bekannt, z.B. hangelt man sich bei Verlust eines Gegenstandes (Schlüssel, Schmuckstück etc.) systematisch zurück bis einem einfällt, wo man
ihn sicher noch hatte. Oder: Verhält sich ein Freund plötzlich komisch, so überlegt man
schrittweise zurück, was genau der Auslöser davon sein könnte.
Zum Einüben der Strategie Rückwärtsarbeiten eignen sich beispielsweise folgende drei Aufgaben 39:
„Äpfelaufgabe“ (Abels 2002, S. 33):
Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht eine Wächterin und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel
mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele hatte er am Anfang?
„Bücherwurm“ (Rasch 2003, S. 96):
Thomas las in einer Woche ein Buch von 133 Seiten. Am Montag las er einige Seiten und von
da ab jeden Tag 5 Seiten mehr als am Tag davor. Am Sonntag wurde er fertig. Wie viele Seiten las er am Montag?
38
vgl. Fachbereich Mathematik (Hrsg.): http://wwwdid.mathematik.tu-darmstadt.de/prolehre/rueckwaerts.htm
(letzter Zugriff: 27.06.07)
39
Zum Üben der Strategie des Rückwärtsarbeitens bietet HOLLAND (1996, S. 101ff) ein schönes und lesenswertes Beispiel aus dem Bereich Geometrie.
39
„Drei Piraten“ (Landesinstitut für Schulentwicklung, Oktober 2005):
Drei Piraten sitzen beim Kartenspiel. Als Einsatz hat jeder einige Goldstücke vom letzten
Raubzug dabei. Bei jeder Spielrunde zahlt der Verlierer an die beiden anderen so viele
Goldstücke, dass sich deren Besitz hierdurch verdoppelt. Beim ersten Spiel verliert Einauge,
bei der zweiten Runde verliert Klumpfuß und beim letzten Spiel hat Hakennase das Nachsehen. Erstaunt stellen die Seeräuber fest, dass nach den drei Spielrunden jeder von ihnen nun
acht Goldstücke besitzt. Wie viele Goldstücke besaßen Einauge, Klumpfuss und Hakennase
vor dem Spiel?
Eine weitere sehr effektive Arbeitsweise stellt das so genannte kombinierte VorwärtsRückwärtsarbeiten (vgl. Abels 2002, S. 35) dar. Hierbei schaut man zu Beginn, was man
über das Gegebene weißt und was genau man damit ermitteln kann – dies entspricht soweit
der Strategie des Vorwärtsarbeitens. Gleichzeitig sollte man sich aber auch überlegen, was
man über das Gesuchte weiß und welche Angaben nötig sind, um das Gesuchte zu bestimmen
– was mit der Strategie des Rückwärtsarbeitens übereinstimmt. Man geht also abwechselnd
vom Gesuchten und vom Gegebenen aus, tastet sich schrittweise in beide Richtungen aufeinander zu bis man den gesamten Lösungsweg erarbeitet hat. Im Falle auftretender Verständnisschwierigkeiten Seitens der Schüler sollte man zu Beginn nochmals die Strategien des Rückwärts- bzw. Vorwärtsarbeitens wiederholen und beide Methoden einander gegenüberstellen.
Zum Einüben dieser Strategie bieten sich beispielsweise folgende beide Aufgaben an:
„Quader-Aufgabe“ (Abels 2002, S. 43):
Du stellst beim Ausmessen eines Quaders fest: Die Grundfläche ist doppelt so groß wie die
kleinere Seitenfläche und um 10 cm2 größer als die größere Seitenfläche. Die Oberfläche des
Quaders beträgt 280 cm2. Wie groß ist die Grundfläche?
„6-Liter-Problem“ (Polya 1949, S. 199):
Wie kann man vom Fluss genau 6 Liter Wasser heraufholen, wenn man nur zwei Gefäße hat,
einen 4 Liter-Eimer und ein 9 Liter-Eimer, um damit zu messen?
Eine vierte und hier letztgenannte Strategie ist die des systematischen Probierens, welche
klar vom planlosen Probieren abgegrenzt werden sollte. Hierbei versuchen die Schüler, der
Lösung schrittweise näher zu kommen. Mit einer frei gewählten möglichen Lösung wird dem
Ziel durch systematisches Einengen immer näher gerückt. Hilfreich ist hier insbesondere eine
Tabelle als veranschaulichendes Hilfsmittel (vgl. 4.1.4.1). Mittels Bemerkungen („zu viel
gedacht“, „zu wenig gedacht“ etc.) kreisen die Schüler die Lösung immer weiter ein.
Folgende Beispiele können für das systematische Probieren zur Anwendung kommen:
40
„Murmel-Aufgabe“ (Abels 2002, S. 29):
Claudia besitzt einen Sack Murmeln. Sie nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und
behält sie für sich. Dann gibt sie zwei drittel der Murmeln, die noch im Sack sind, Peter.
Claudia hat dann sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack gewesen?
„Das Weihnachtsgeschenk“ (Rasch 2003, S. 101)
Ein Vater hatte Äpfel und Nüsse, von jedem gleich viel Stück, gekauft, um damit am Weihnachtsfeste seine Kinder zu beschenken Jedem Kinde gab er 6 Äpfel und behielt 60 Stück übrig. Dann gab er auch jedem Kinde 15 Nüsse und behielt da 15 Stück übrig. Wie viele Äpfel
und Nüsse hatte er gekauft und wie viele Kinder hatte er?
„Flüsse überqueren“ (Beutelspacher 2000, S. 24)
Familie Mathefix (Vater, Mutter, Tochter und Sohn) macht einen Ausflug. Sie haben sich in
der Zeit verschätzt, es wird dunkel und sie sind noch weit von ihrem Ziel entfernt. Sie müssen
einen Fluss überqueren, aber die nächste Brücke ist weit weg. Da entdecken sie zum Glück
einen Steg, der über den Fluss führt und auf der anderen Seite wieder den Wanderweg erreicht. Sie beschließen, die Abkürzung über den Steg zu nehmen. Leider ist der Steg sehr eng,
so dass jeweils nur zwei von ihnen darüber laufen können. Auch wenn sie noch so eng zusammenrücken, mehr als zwei gleichzeitig sind nicht möglich.
Da sie schon oft gewandert sind, können sie ungefähr abschätzen, wie lange jeder von ihnen
brauche wird, um über den Steg zu laufen: Die 12-jährige Tochter braucht nur 1 Minute, ihr
kleinerer Bruder 2 Minuten, die Mütter braucht 4 Minuten und der Papa ist der langsamste,
er braucht 5 Minuten.
Es ist stockdunkel, aber zum Glück haben sie eine Taschenlampe. Sie verabreden also folgenden Plan: Zuerst gehen zwei über den Steg, dann kommt einer von denen mit der Taschenlampe zurück. Dann können wieder zwei den Fluss überqueren und einer bringt die Lampe
wieder zurück. Dies machen sie so lange, bis alle auf der anderen Seite sind. „Wir machen
das aber so, dass es insgesamt möglichst schnell geht“, sagt der Papa, denn er möchte nach
Hause.
Welche Zeit ist nötig, bis die Familie den Fluss überquert hat? Und wie geht es?
„Mädchen und Jungen“ (Rasch 2003, S. 98)
Ein Pfarrer besuchte zu Zeiten die Schule seines Ortes und fand stets, dass mehr Knaben als
Mädchen waren. Einmal fand er so, Knaben und Mädchen zusammen, 75 Kinder. Wie groß
war nun hiervon die Anzahl der Knaben und die der Mädchen, deren Differenz elf war?
Neben den soeben beschriebenen heuristischen Strategien, existieren zusätzlich unterschiedliche heuristische Prinzipien. Die wichtigsten, insbesondere für die Sekundarstufe I, sollen
hier kurz aufgelistet werden, wobei die ersten drei unter der Kategorie allgemeine Prinzipien,
der Rest unter speziellen Prinzipien einzuordnen ist (vgl. Komorek 2006, S.46, Bruder 2003,
S. 22ff):
-
Analogieprinzip, d.h. über den Vergleich und Ähnlichkeiten mit bereits gelösten Auf-
gaben zu einer Lösungsidee für eine neue Aufgabe gelangen
-
Rückführungsprinzip, d.h. Rückführung von Unbekanntem und Neuen auf Bekanntes
41
-
Transformationsprinzip, d.h. eine Aufgabe durch Ergänzungen ändern, so dass die Si-
tuation bekannt oder einfacher zu handhaben ist
-
Invarianzprinzip 40, d.h. aus Gegebenen invariante Informationen ermitteln, d.h. in Un-
terschiedlichen das Gemeinsame zu suchen bzw. selbst Invarianten zu erzeugen 41
-
Symmetrieprinzip, d.h. zum einen die Suchen nach immanenten Symmetrien bzw. de-
ren Wiederherstellung, zum anderen das Zerstören oder Auflösen von Symmetrien
-
Arbeit mit Einzel- oder Spezialfällen, d.h. mathematische Beziehungen anhand einfa-
cher Beispiele studieren
-
Fallunterscheidungsprinzip, d.h. entweder verschiedene Fälle getrennt voneinander
untersuchen oder eine Vielzahl von Möglichkeiten in Klassen zusammenfassen, die
dann einzeln untersucht werden
-
Zerlegungsprinzip, d.h. eine Aufgabe in einzelne Teile zerlegen, wobei das Bestreben
besteht, bekannte Elemente zu suchen
-
Extremalprinzip, d.h. Suche nach extremen Eigenschaften, Fällen oder Bedingungen
Speziell für den Primarbereich 42 stellt FRANKE (Franke 2003, S. 71ff) die folgenden heuristischen Strategien zusammen, die bereits Grundschulkinder erfolgreich einsetzen können:
-
Analogiebildung: Ähnlich dem soeben vorgestellten Analogieprinzip von Bruder soll
der Schüler bei Konfrontation mit einem Problem überlegen, ob bereits ähnliche Aufgaben gelöst wurden, um evtl. Lösungsschritte des gelösten Problems auf das Neue
transferieren zu können. Erkannte Ähnlichkeiten können beispielsweise auf mathematischen Beziehungen oder ähnlichem Sachkontext beruhen.
-
Suchraumeingrenzung: Ausgehend von dem Problem versucht der Schüler, das ge-
suchte Ergebnis einzugrenzen, d.h. das Probieren wird nicht mehr vom Zufall, sondern
durch systematisches Eingrenzen des Suchraumes gesteuert.
40
Ein von JEAN PIAGET (schweizer Entwicklungspsychologe, *1896, †1980) geprägter Begriff aus der Entwicklungspsychologie, der besagt, dass gewisse physikalische Eigenschaften gleich bleiben, auch wenn sich die
äußere Erscheinungsform ändert.
41
Als Beispiele für das Invarianzprinzip könnten folgende zwei Aufgaben dienen. In ersterer geht um die Erkenntnis, dass die Altersdifferenz von Vater und Sohn stets gleich bleibt, in der zweiten darum, Invarianten im
Bildungsprinzip der Zahlenfolge der Telefonnummer zu finden:
„Altersaufgabe“ (Bruder 2003, S. 7)
Als mein Vater 31 Jahre alt war, war ich 8 Jahre. Jetzt ist mein Vater doppelt so alt wie ich. Wie alt bin
ich jetzt?
„Telefonnummer merken“ (Bruder 2003, S. 7)
Finde eine möglichst einfache Bildungsvorschrift, mit der man sich die folgenden beiden Telefonnummern merken kann: 29 16 23 und 30 37 44.
42
vgl. auch BARDY (2007, S. 139ff)
42
-
Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten (vgl. 4.1.4.2 oben)
-
Ziel-Mittel-Analyse: Hierbei hat der Schüler ein klares Ziel vor Augen, weiß jedoch
nicht, wie er es mit den Ausgangsinformationen erreichen kann. Mit Hilfe geeigneter,
selbst angefertigter oder in fertiger Form vorhandener heuristischer Hilfsmittel 43 wird
die Zielsuche erleichtert.
-
Zerlegen in überschaubare Teile 44: Der Schüler unterteilt das Problem in überschau-
bare Teile und entscheidet, welche Teile zur Gesamtlösung erforderlich sind. Er kann
nun die isolierten Teile einzeln bearbeiten oder das gesamte Problem durch Teilziele
in einzelne Lösungsschritte aufgliedert.
Die Vermittlung derartiger Strategien bzw. Prinzipien erfolgt nicht in einer einzelnen Unterrichtsstunde sondern langfristig über mehrere Etappen. Auch das Lösen einzelner Problemaufgaben ist in mehrere Phasen zu unterteilen. Hierauf soll nun näher eingegangen werden.
4.1.4.3 Etappen beim Erlernen von Heurismen - Problemlösephasen
„Heuristik lässt sich nicht in eine Unterrichtseinheit sperren – sie sollte permanent präsent
und abrufbar sein, um ihre Funktion als wirksame Orientierungshilfe beim Problemlösen erfüllen zu können“ (Bruder 2002, S.8).
Deshalb schlägt BRUDER ein in vier Etappen gestaffeltes Problemlösemodell vor, welches
zwar „noch keine Lösungsgarantie bietet, jedoch mehr Lösungszuversicht und Chancen auf
Heureka-Effekte (vgl. 4.1.3) eröffnet“ (vgl. Bruder 2002, S. 8 sowie Bruder 2003, S.30ff):
In einer ersten Etappe 45 werden die Schüler an bestimmte heuristische Vorgehensweisen und
typische Fragestellungen gewöhnt. Bei Hilfeimpulsen sollte der Lehrer die Fragestrategien der
einzelnen Heurismen verwenden, ohne diese direkt zum Unterrichtsthema zu machen, z. B.
(Lehrerimpuls beim Analogieprinzip) „Wie sind wir in ähnlichen Situationen vorgegangen?“
In einer zweiten Etappe 46 wird die explizit zu erlernende Strategie anhand von Musteraufgaben für die jeweilige Klassenstufe entwickelt und vorgestellt (vgl. 4.1.4.1, 4.1.4.2). Die Strategie erhält einen Namen und wird mit typischen Fragestellungen beschrieben.
43
Heuristische Hilfsmittel können Tabellen, Skizzen bzw. Planfigur (informative Figur, vgl. 3.1.3.1) oder auch
konkrete Objekte sein. Symbolische Hilfsmittel wie Formeln, Terme, Gleichungen spielen, wie bereits erwähnt,
im Primarbereich eine untergeordnete Rolle (vgl. 4.1.4.1).
44
Synonyme: Teilzielbildung, Bergsteigemethode
45
Gewöhnung
46
Grobform
43
Die dritte Etappe 47 soll als Übungsphase dienen. Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades werden von den Schülern unter Anwendung der neu erlernten Strategie selbständig
bearbeitet. Auch sollten nun individuelle Vorlieben für einzelne Strategien und die Anwendungsvielfalt der neuen Strategie thematisiert und bewusst gemacht werden.
In einer vierten und letzten Etappe 48 wird eine schrittweise unterbewusst flexible Strategieverwendung angestrebt. Die neue Strategie erhält ihren Platz im allgemeinen Problemlösemodell. Auch verhelfen weiter führende Überlegungen, oder variieren und abwandeln der Aufgabe zu vertieften Einsichten.
Auch das Lösen einzelner Probleme lässt sich wiederum in mehrere Phasen unterteilen. So
identifizierte JACQUES HADAMARD 49 vier Stadien von Findungs- und Entdeckungsprozessen auf mathematischem Gebiet (Hadamard 1954, Wallas 1926, Rasch 2001):
(1) Präparation/Vorbereitung: In dieser Phase macht sich das Individuum mit dem Problem vertraut, versucht also das Problem zu verstehen und unternimmt erst gezielte Lösungsversuche.
(2) Inkubation/Ausbrütung: Diese Phase ist dadurch gekennzeichnet, dass die bewusste,
gezielte, angestrengte und systematische Beschäftigung mit dem Problem für einige
Zeit aufgegeben wird, vor allem dann, wenn sich das Problem einer raschen Lösung zu
entziehen scheint. Die Aufmerksamkeit wird vorübergehend auf andere Dinge gerichtet. WALLAS nimmt an, dass sich das Individuum unbewusst dennoch weiter mit dem
ungelösten Problem beschäftigt.
(3) Illumination/Erleuchtung/Inspiration: Die Erleuchtung ist eigentlich kein Abschnitt,
sondern jener Augenblick, in welchem die gesuchte Idee, der zündende Einfall auftritt.
Zu einer Phase wird sie, wenn die Idee noch bearbeitet werden muss.
(4) Verifikation/Überprüfung/Einordnung: In dieser Phase ist wieder bewusstes, zielgerichtetes Denken gefordert, das entweder noch der Elaboration, der Erleuchtung oder
ihrer Überprüfung dient. Kann die Lösung erfolgreich getestet werden, ist das Problem
gelöst, versagt sie, müssen die vier Stadien ganz oder teilweise wiederholt werden.
47
Feinform
variable Verfügbarkeit
49
JACQUES HADAMARD: französischer Mathematiker, *1866, †1963
48
44
Diese vier Stadien spiegeln sich in etwa in POLYAs Rahmenplan zur Lösung von Aufgaben50
wieder (Polya 1949, Umschlagdeckel Innenseite):
Tabelle 4: Wie sucht man die Lösung? (Polya 1949, Umschlagdeckel)
Phase 1: Verstehen der Aufgabe
•
•
Was ist unbekannt? Was ist gegeben? Wie lautet die Bedingung?
Ist es möglich, die Bedingung zu befriedigen? Ist die Bedingung ausreichend, um die Unbekannte zu bestimmen? Oder ist sie unzureichend? Oder überbestimmt? Oder kontradiktorisch?
Phase 2: Ausdenken eines Plans
•
•
•
•
•
•
•
Hast du die Aufgabe schon früher gesehen? Oder hast du dieselbe Aufgabe in einer wenig
verschiedenen Form gesehen?
Kennst du eine verwandte Aufgabe? Kennst du einen Lehrsatz, der förderlich sein könnte?
Betrachte die Unbekannte! Und versuche, dich auf eine dir bekannte Aufgabe zu besinnen,
die dieselbe oder eine ähnliche Unbekannte hat.
Hier ist eine Aufgabe, die der deinen verwandt und schon gelöst ist. Kannst du sie gebrauchen? Kannst du ihr Resultat verwenden? Kannst du ihre Methode verwenden? Würdest du
irgendein Hilfselement einführen, damit du sie verwenden kannst?
Kannst du die Aufgabe anders ausdrücken? Kannst du sie auf noch verschiedene Weise
ausdrücken? Geh auf die Definition zurück!
Wenn du die vorliegende Aufgabe nicht lösen kannst, so versuche, zuerst eine verwandte
Aufgabe zu lösen. Kannst du dir eine zugänglichere verwandte Aufgabe denken? Eine allgemeinere Aufgabe? Eine speziellere Aufgabe? Eine analoge Aufgabe? Kannst du einen
Teil der Aufgabe lösen? Behalte nur einen Teil der Bedingung bei und lasse den anderen
fort; wie weit ist die Unbekannte dann bestimmt, wie kann ich sie verändern? Kannst du
etwas Förderliches aus den Daten ableiten? Kannst du dir andre Daten denken, die geeignet
sind, die Unbekannte zu bestimmen? Kannst du die Unbekannte ändern oder die Daten oder, wenn nötig, beide, so dass die neue Unbekannte und die neuen Daten einander näher
sind?
Hast du alle Daten benutzt? Hast du die ganze Bedingung benutzt? Hast du alle wesentlichen Begriffe in Rechnung gezogen, die in der Aufgabe enthalten sind?
Phase 3: Ausführen des Plans
•
Wenn du deinen Plan der Lösung durchführst, so kontrolliere jeden Schritt. Kannst du deutlich sehen, dass der Schritt richtig ist? Kannst du beweisen, dass er richtig ist?
Phase 4: Rückschau
•
•
•
Kannst du das Resultat kontrollieren? Kannst du den Beweis kontrollieren?
Kannst du das Resultat auf verschiedene Weise ableiten? Kannst du es auf den ersten Blick
sehen?
Kannst du das Resultat oder die Methode für irgendeine andere Aufgabe gebrauchen?
50
POLYA verwendet den Begriff Aufgaben mit dem in dieser Arbeit zugrunde gelegten Definition von Problemen (vgl. 3.1).
45
Diese Tabelle stellt laut POLYA (vgl. Polya 1949, S. 14ff) eine wirksame, allgemeingültige,
aber unaufdringliche, handgreifliche, natürliche und auf gesundem Menschenverstand beruhende Hilfe für den Schüler dar. Ziel der Fragen und Anregungen innerhalb der Tabelle ist es
einerseits, die Aufmerksamkeit des Schülers auf Unbekanntes zu konzentrieren und nötige
Denkoperationen hervorzurufen, die bei der Lösung von Problemen helfen sowie andererseits,
die geistigen Fähigkeiten des Schülers zu entwickeln, so dass er zukünftig Aufgaben zusehends selbständig lösen kann.
4.1.5 Unterrichtsgestaltung
4.1.5.1 Wo haben Problemaufgaben ihren Platz im Mathematikunterricht?
Vielfach wird der Einsatz von Knobelaufgaben mit den Begriffen Begabung bzw. Hochbegabung oder Mathematikwettbewerben in Verbindung gebracht: So werden seit 1997 von den
Bundesländern auf Empfehlung der KMK Gesetze und Verordnungen zur Förderung von begabten und hochbegabten Schülern erlassen, Fortbildungsreihen für Lehrer zum Thema
Hochbegabung ins Leben gerufen sowie private Beratungsstellen, Initiativen und Institutionen
zur außerschulischen Förderung dieser Kinder und Jugendlichen gegründet (vgl. Schmitt
2004, S. 7).
Eine davon ist beispielsweise das „Zentrum für Mathematik e.V.“ 51, welche ihre Erfahrungen
aus Projekten mittlerweile in der Buchreihe „Eins plus“ veröffentlicht hat. Die Absicht liegt
darin, Lehrern zur Förderung besonders begabter und interessierter Schüler Knobelaufgaben
in entlastender und unterstützender Weise an die Hand zu geben (vgl. Schmitt 2004, S. 8):
-
Dann, wenn sie wieder einmal als Erste ihr Aufgabenblatt abgeben.
-
Wenn sie als „Bonbon“ eine besonders anspruchsvolle Aufgabe bekommen sollen.
-
Weil sie eine Extra-Hausaufgabe wünschen, und vielleicht von der regulären befreit
werden.
-
Weil die ganze Klasse einmal etwas anderes machen will, als im Lehrplan steht.
Auch werden für mathematisch begabte und interessiert Schüler mittlerweile eine Vielzahl
regionaler, nationaler und internationaler Mathematikwettbewerbe 52 angeboten, wie z. B.
51
52
gegründet 1998 in Bensheim
Einen guten Überblick bietet kann man beispielsweise auf folgender Internetseite erlangen:
http://www.mathematik-olympiaden.de/mo-inhalt.html (abgerufen am 03.07.07)
46
-
die Landeswettbewerbe Mathematik der einzelnen Bundesländer
-
der Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf 53
-
der Känguru-Wettbewerb 54
-
der Adam-Ries 55-Wettbewerb 56
-
die Mathematik Olympiade 57
-
der Bundeswettbewerb Mathematik 58 oder
-
die Internationale Mathematik Olympiade.
Die Ziele liegen weit verstreut. So bezweckt der Känguru-Wettbewerb in allererster Linie in
der Popularisierung der Mathematik, d.h. es soll zum einen durch die Aufgaben Freude an
(mathematischem) Denken und Arbeiten geweckt und unterstützt werden, zum anderen die
häufig vorhandene Furcht vor dem ernsthaften, Strengen und Trockenen der Mathematik aufgebrochen werden 59. Im Bundeswettbewerb Mathematik hingegen geht es vielmehr darum,
mathematische Talente frühzeitig zu entdecken, sie einer adäquaten Förderung zuzuführen
und eine Auslese von Teilnehmern für die Internationale Olympiade zu treffen (vgl. Swerin
1979, S. 25f).
Aber sollten Knobelaufgaben tatsächlich nur (hoch-)begaben Schülern zur Verfügung gestellt
werden? Ist es nicht durchaus vorstellbar, dass auch durchschnittlich begabte oder schwächere
Schüler Spaß am Lösen kleiner mathematischer Probleme haben und dadurch einen freudvollen Zugang in die mathematische Materie finden?
Betrachtet man, insbesondere im Primarbereich, eine Reihe gängiger Mathematikbücher, so
findet man inmitten des regulären Unterrichtsstoffes immer wieder Seiten, auf denen eine
oder sogar eine Reihe von Knobelaufgaben abgedruckt sind. Diese könnten als Anlass genommen werden, in regelmäßig wiederkehrenden Abständen als Einstieg im Sinne einer Motivation bzw. zum Stundenausklang als „Bonbon zum Schluss“ eingesetzt zu werden. Langfristig wäre es sogar denkbar, ein klasseninternes Punktesystem einzuführen, in dem sich die
Schüler im Laufe der Zeit bei richtiger Lösung oder besonders eleganter Lösungsidee Kleinigkeiten wie Süßigkeiten, Smileys bzw. Lachgesichter oder Hausaufgabengutscheine verdie53
Primarbereich, Sek I, Sek II
Klasse 3 - 13
55
ADAM RIES: deutscher Rechenmeister, *1492, †1559
56
Klasse 5
57
Klasse 5- 13
58
Klasse 10 - 13
59
vgl. Humboldt Universität zu Berlin – Didaktik der Mathematik (Hrsg.), abrufbar unter: www.mathekaenguru.de (letzter Zugriff 25.05.07)
54
47
nen können. Exemplarisch seinen nun aus dem von KOLBINGER et al. herausgegebenen
bayerischen Schulbuch Nussknacker vier Aufgaben vorgestellt 60, wobei im Anhang dieser
Arbeit alle vorhandenen fünf Knobelseiten dieses Buches abgedruckt sind. Die Aufgaben
werden ansprechend und abwechslungsreich dargeboten. Sie liefern Knobeleien aus den Bereichen Zahlenrätsel (vgl. Kolbinger et al. 2003, S. 31: 1a, b, c; S. 77: 1, 2), ebene Geometrie
(vgl. Kolbinger et al. 2003, S. 49: 3, 4), räumliche Geometrie (vgl. Kolbinger et al. 2003, S.
31: 5, 6), Logik (vgl. Kolbinger et al. 2003, S. 98: IIc, III) oder Problemtextaufgaben (vgl.
Kolbinger et al. 2003, S. 98: III; S. 99: K).
Abbildung 7: Schulbuch Knobelaufgaben (Kolbinger et al 2003, S. 77/99)
Sicherlich ist es auch in Erwägung zu ziehen, der Thematik Knobelaufgaben eine ganze Unterrichtssequenz zu widmen, in der den Schülern über einen längeren Zeitraum immer wieder
Knobelaufgaben unterschiedlichster Kategorien (vgl. 4.2.2), unterschiedlichster Schwierigkeitsstufen (vgl. 4.1.5.2), unterschiedlichster Sozialformen (vgl. 4.1.5.4) und unterschiedlichster Strategiezuwendung (vgl. 4.1.4.2) dargeboten werden. So kann zu Beginn der Unterrichtsstunde eine neue Knobelaufgabe vorgelesen und andiskutiert werden, um anschließend von
den Schülern in Einzel- oder Kleingruppenarbeit bearbeitet zu werden. In einer abschließenden Diskussion werden die Ergebnisse reflektiert und neu hinzu kommende Aspekte herausgestellt.
60
vgl. Anhang Knacknüsse Klasse 4
48
Abschließend sei auch noch an die Durchführung eines Projektes rund um Knobel- und Denksportaufgaben gedacht, in dem sich die Schüler selbständig und längerfristig mit Problemaufgaben beschäftigen, ihre Lösungen und eventuell sogar eigens erfundene Aufgaben innerhalb
der Klasse, vor Eltern oder der gesamten Schule präsentieren.
Das bei keinem der vorgestellten Einsatzmöglichkeiten eine Benachteiligung schwächerer
Kinder auftreten muss, man Knobelaufgaben also der gesamten Klasse darbieten kann, soll
mit den im Folgenden dargestellten Möglichkeiten zu Differenzierung verdeutlicht werden.
4.1.5.2 Differenzierungsmaßnahmen
Angesichts großer Unterschiede zwischen den Lern- und Leistungsvoraussetzungen der Schüler innerhalb einer Klasse stellt sich die Frage, wie es möglich ist, jeden einzelnen Schüler
entsprechend seiner individuellen Voraussetzungen und Erfahrungen optimal zu fördern. Eine
mögliche Antwort stellt der differenzierte Mathematikunterricht 61 dar.
THOMAS SYLVESTER (vgl. Sylvester 1998, S. 5) nennt als zentrale Anliegen eines binnendifferenzierenden 62 Unterrichts:
-
Die Schüler sollen lernen, selbständig zu arbeiten.
-
Die Schüler sollen schrittweise an die Übernahme von Eigenverantwortung herangeführt werden.
-
Die Schüler sollen lernen, miteinander auszukommen.
-
Jeder Schüler soll die seinen eigenen Lernvoraussetzungen angemessenen Aufgaben
vorfinden oder wählen können.
-
Jeder Schüler soll bezüglich seiner individuellen Interessen und Fähigkeiten gefördert
werden.
-
Jeder Schüler soll bei der Behebung individueller Lerndefizite unterstützt werden.
-
Jeder Schüler soll gemäß seines individuellen Lernverhaltens, d.h. bevorzugter Lernkanal, kognitiver Stil, Lerntempo etc., gefördert werden.
-
Jeder Schüler soll die Chance erhalten, sich in der Welt selbst zu orientieren sowie Zusammenhänge und Bedeutungen zu verstehen.
61
Der Begriff Differenzierung umfasst alle organisatorischen und methodischen Bemühungen, die darauf zielen,
den individuellen Begabungen, Fähigkeiten, Neigungen und Interessen einzelner Schüler oder Schülergruppen
innerhalb einer Schule oder Klasse gerecht zu werden (vgl. Klafki, In: Schittko 1984, S. 21)
62
Unter Binnendifferenzierung (Synonym: innere Differenzierung) sind alle Maßnahmen zu verstehen, die innerhalb einer bestehenden Klasse oder Lerngruppe arrangiert werden (Sylvester 1998, S. 5)
49
Folglich erhalten die Schüler zusehends mehr Freiräume und übernehmen größere Verantwortung für eigene Lernprozesse. Der Lehrer hingegen beobachtet verstärkt, steuert den Unterricht und begleitet die jeweiligen Lernwege, d.h. „ein grundlegendes Zur-Verfügung-Stehen
bei gleichzeitigem Sich-Zurückhalten, behutsames Eingreifen sowie Geduld sind sehr wichtig“ (Sylvester 1998, S. 5).
Für das Gelingen eines binnendifferenzierenden Unterrichts gehen folgende Vorraussetzungen einher (vgl. Sylvester 1998, S. 5):
-
Arbeitsanweisungen sind knapp, klar und eindeutig, im Idealfall mündlich und schriftlich zu stellen, damit die Schüler in der Lage sind, selbständig zu arbeiten.
-
Es sind Arbeits- und Lerntechniken sowie Verfahren der Selbst- und Mitschülerkontrolle zu vermitteln.
-
Fragen der Organisation, der Einteilung und Beschäftigung der Schüler sowie der Erstellung unterschiedlicher Materialien müssen vorab vom Lehrer durchdacht werden,
wobei differenzierter Unterricht auf Grund mangelnder vollständiger Planbarkeit flexibel gehandhabt werden sollte.
So bietet sich hinsichtlich eines problemlösenden Unterrichts mit Knobel- und Denksportaufgaben beispielsweise an, Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsstufen zur Verfügung zu
stellen. Jeder Schüler hat die Möglichkeit, ohne Über- und Unterforderung entsprechend seiner Fähigkeiten, die Aufgaben zu lösen. JOSEF LAUTER (Lauter 1991, S. 104) hat diesbezüglich den Begriff des l-m-s-Prinzips geprägt, d.h. die Darbietung von Aufgaben in dreierlei
Schwierigkeitsstufen: leicht, mittel und schwer. Die Anpassung der Anforderungen an die
individuellen Fähigkeiten der Schüler kann sowohl durch sensible Wahrnehmung des Lehrers,
als auch durch Selbsteinschätzung der Schüler bei der Aufgabenauswahl erreicht werden. Die
Arbeit in heterogenen Kleingruppen oder Partnerarbeit hat sich hierzu als sinnvoll erwiesen
(vgl. Krippner 1992, S. 22ff).
Es ist zudem sinnvoll, Aufgaben zu wählen, die nicht nur auf eine fest gelegte Lösung auf fest
vorgeschriebenen Weg abzielen, sondern die im Gegenteil vielfältige Lösungswege eröffnen
und vielleicht sogar unterschiedlichste Ergebnisse zulassen. „Diese Differenzierung vom Kinde aus, wird durch offene Aufgabenstellungen, die die Möglichkeit bieten, eigene Lösungswege zu beschreiten, unterstützt“ (Behörde für Bildung und Sport der Freien und Hansestadt
Hamburg 2002, S. 5).
50
Auch die Bereitstellung verschiedenartiger Hilfestellungen („Tipps“) ist denkbar, die den ins
Stocken geratenen Lösungsprozess oder die entscheidende Ausgangsüberlegung anstoßen
bzw. anregen sollen.
Weiter sollte darauf geachtet werden, Problemaufgaben mit kindgemäßen Inhalten aus verschiedenen Lebens- und Interessensbereichen der Schüler zu wählen. Dies befriedigt die kind-
liche Neugierde, baut Spannung auf und erzielt somit unterstützende motivierende Nebeneffekte.
Letzten Endes besteht natürlich auch die Möglichkeit, nach dem Umfang 63 der bereit gestellten Aufgaben, der Art der Anregung/des Zugangs 64 sowie durch unterschiedlich vorstrukturierte Lernumgebungen 65 zu differenzieren.
Zusammenfassend (vgl. Krippner 1992, S. 11 sowie S. 34) ist festzuhalten, dass innere Differenzierung als ein Optimierungsprozess zu verstehen ist, nicht als perfektes System. Auch
führt eine Vielzahl an Wegen zu differenzierenden Mathematikunterricht, es gibt kein Standardmodell innerer Differenzierung. Welcher Weg gewählt wird, ist von einer Vielzahl von
Faktoren wie Unterrichtsinhalt, Bedingungen der Klasse, Einstellungen, Unterrichtsstil und
Erfahrung des Lehrers abhängig.
4.1.5.3 Unterrichtsmethoden
„Die methodische Gestaltung des Unterrichts erfordert vom Lehrer individuelles Eingehen
auf die Schüler“ (Franke 2003, S. 120). Deshalb ist es wichtig, die Kinder bei der Bearbeitung
einer Aufgabe nicht unter Druck zu setzten, sondern ihnen ausreichend Bearbeitungszeit zur
Verfügung zu stellen: „Der Weg ist das Ziel, nicht das schnelle Finden einer Ergebniszahl“
(Franke 2003, S. 120). Der Lehrer sollte tendenziell ehre die Position eines Beobachters, Helfers oder Beraters einnehmen, die Denk- und Lösungsprozesse der Schüler jedoch nicht unterbrechen oder stören. ZECH schlägt in diesem Zusammenhang vor, nach dem Prinzip der
minimalen Hilfe vorzugehen. Er nennt folgende Hilfen, die nach zunehmender Stärke geord-
net sind (vgl. Zech 1996, S. 315ff):
-
Motivationshilfen: Hilfen, die dem Schüler Mut machen und ihn an der Aufgabe hal-
ten.
63
So sollten sich die Schüler mit einer gewissen Anzahl von Aufgaben beschäftigen und auseinander setzten,
wobei auch zusätzliche Aufgaben oder weiterführende Aspekte beachtet werden können.
64
Anfangstipps, Bild, Klassendiskussion etc.
65
Unterrichtsarrangements wie Stationsbetrieb, Buffet-Modell etc.
51
-
Rückmeldungshilfen: Hilfen, die dem Schüler Auskunft über seine Lösungsbemühun-
gen geben.
-
Allgemein-strategische Hilfen: Hilfen, die auf fachübergreifende bzw. allgemeine
fachliche Problemlösungsmethoden aufmerksam machen.
-
Inhaltsorientierte strategische Hilfen: Hilfen, die auf fachbezogene Problemlösungs-
methoden bzw. auf allgemeine Problemlösungsmethoden, verbunden mit einem inhaltlichen Aspekt aufmerksam machen.
-
Inhaltliche Hilfen: Hilfen, die spezielle Hinweise auf Begriffe, Regeln oder Zusam-
menhänge geben und bis zur Vorgabe von Teillösungen gehen.
Anregungen, wie Hilfen der jeweiligen Kategorie formuliert werden könnten, soll folgende
Tabelle liefern (in Anlehnung an Zech 1996, S. 319):
Tabelle 5: Tabelle der Hilfen (nach Zech 1996, S. 319)
Motivationshilfen
Rückmeldungshilfen
inhaltsorientierte
Hilfen
inhaltliche Hilfen
Die Aufgabe ist Du bist auf dem Lies die Aufgabe Versuche,
deine
nicht schwer!
richtigen Weg!
genau durch!
Kenntnisse bezüglich … anzuwenden!
Du wirst die Auf- Du stehst kurz vor Schreib dir die Versuche,
das
gabe schon schaf- der Lösung!
gegebenen Daten Problem graphisch
fen!
heraus!
zu lösen!
Man
braucht Da musst du noch Mach dir doch Überprüfe die Grönicht viel Zeit zur mal nachrechnen! mal eine Zeich- ßenordnung
der
Lösung.
nung!
Ergebnisse!
Zeichne doch mal
diese Hilfslinie
ein!
Man
bekommt Mach weiter so!
schnell Anhaltspunkte für die
Lösung!
allgemeinstrategische
Hilfen
Denk an den Zusammenhang …!
Versuche aus den
gegebenen Größen … die fehlende zu berechnen!
Versuche,
die Überprüfe
dein Rechne zunächst
gegebenen Daten Ergebnis am Text!
einmal …!
in einen Zusammenhang zu bringen!
Überprüfe deinen
Jetzt weißt du …,
Lösungsweg!
also …!
Nach PETER BAPTIST (vgl. Baptist 1992, S. 277f) sollte zudem darauf geachtet werden, mit
einfachen, nicht zu schwierigen Problemen zu beginnen, da gerade Anfänger zur Erlangung
von Selbstvertrauen Erfolgserlebnisse benötigen. Auch hat es sich als sinnvoll erwiesen, Lösungen bearbeiteter Aufgaben genau aufzuschreiben mit dem Ziel, die eigenen Überlegungen
zu ordnen und in knapper Form niederschreiben zu können.
52
Problem- bzw. Knobelaufgaben sind sehr gut mit entdeckendem Lernen und offenem Unterricht zu verbinden: „Der offene Unterricht geht von der Prämisse aus, dass jede Art von
Planung immer nur beschränkte Gültigkeit beanspruchen kann. […] Diese Tatsache wird
aber keineswegs als Mangel empfunden, da der offene Unterricht den spontanen Aktivitäten
der Kinder möglichst freien Raum geben möchte, ohne allerdings das Lernen dem Zufall zu
überlassen“ (Klewitz, S. 7). Offene Lernsituationen sind durch die individuellen Bedürfnisse
und Interessen der Kinder bestimmt und lassen sich auf ihre Dynamik ein. „Sie suchen motivationale, affektive, soziale und kognitive Lernprozesse zu verbinden und damit komplexe
Grundqualifikationen zu fördern. Sie wollen Neugier und Interesse in den Kindern wecken,
das zu aktivem Entdecken, produktivem Problemlösen, Selbsterarbeiten vom Begriffen, zur
gezielten Informationssuche und zu sachadäquatem umweltbezogenen Handel führt“ (Klewitz
1977, S. 145).
In einem engen Zusammenhang mit dem offenen Unterricht steht das entdeckende Lernen,
welches gleichsam als das methodische Grundprinzip dieser Auffassung von Unterricht betrachtet werden kann. Es ist als eine Unterrichtsmethode zu kennzeichnen, „die dem Kind gestattet, weitgehend selbständig Erfahrungen zu machen, Probleme zu lösen und Begriffe zu
erarbeiten 66“ (Klewitz 1977, S. 8). Im Gegensatz zum darbietenden Unterricht weißt entde-
ckendes Lernen u. a. folgende Merkmale auf (vgl. Klewitz 1977, S. 25f):
-
Es wird eine Umwelt geschaffen, die das Interesse des Kindes unterstützt und es zur
Arbeit motiviert. Der Lehrer überwacht, unterstützt und kontrolliert.
-
Die Organisationsform ist flexibel. Informelle soziale Kontakte sind während des Unterrichts erlaubt. Die zur Verfügung stehende Zeit wird flexibel verwendet.
-
Der Lehrer beurteilt die Kinder kontinuierlich auf individueller Basis. Er akzeptiert
dabei ein hohes Maß an unterschiedlichem Wissen
Entdecken hat ursprünglich nicht notwendig ein Problembewusstsein zur Bedingung, obgleich
JEROME S. BRUNER 67, der als Hauptvertreter der Theorie des entdeckenden Lernens angesehen werden kann, Entdecken immer mit Problemlösen und Forschen gleichsetzt, bei dem im
Schüler ein Prozess des Fragestellens in Gang gesetzt werden soll (vgl. Brunnhuber 1974, S.
13).
66
Definition von BIBERGALL: „Entdeckendes Lernen ist jedes zielgerichtetes Verhalten, in dem der Lernende
eine Aufgabe löst oder zu lösen versucht und dabei durch Einsatz seiner eigenen geistigen Fähigkeiten den Inhalt der Aufgabe ohne Hilfe des Lehrers organisiert und verwendet“ (In: Schwartz 2007, S. 154).
67
JEROME SEYMOUR BRUNER: amerikanischer Psychologe, * 1915
53
Man unterscheidet nun zwei Phasen der Erfahrungen. Geht einer Entdeckung keine zielgerichtete Suchbewegung voraus, bzw. folgen die Entdeckungen nicht den festen Phasen des
Problemlösens, sondern gehen unvermittelt vor sich, spricht man von präverbalen Erfahrungen. Ein zweiter Zustand von Erfahrungen wird durch Versprachlichen, Verallgemeinern,
Verarbeitung und Deutung bewirkt. Erst durch diese geistigen Akte wird präverbale Erfah-
rung zum Wissen, d.h. bisherige Erfahrungen werden als Wissen auf andere Situationen (Anwendung, Wiederentdeckung in anderer Umgebung) übertragbar und neue Erfahrungen werden angestoßen und erleichtert (vgl. Brunnhuber 1974, S. 14f). Abbildung 8 veranschaulicht
den Zusammenhang zwischen Entdeckendem Lernen und Problemlösen:
Abbildung 8. Entdeckendes Lernen und Problemlösen (Brunnhuber 1974, S. 13)
Wenn also problemlösendes Lernen, welches an nicht zwingend selbständiges Lernen bedeutet, auf entdeckendes Lernen trifft, kommt es im Überschneidungsbereich beider dazu, dass
Schüler selbständig Lösungen für Probleme entdecken können. Knobelaufgaben können deshalb als Ausgangspunkt gesehen werden, dem Interesse der Kinder folgend sowie an deren
Erfahrungen anknüpfend, vorhandenes Wissen selbständig umzuordnen, zu erweitern und zu
vertiefen. Oberstes Ziel der für Kinder motivierenden Knobelaufgaben ist dann das Entdecken
bzw. Entwickeln allgemeiner Denk- und Lösungsstrategien.
4.1.5.4 Sozialformen
Als wesentliche Sozialformen gelten allgemein der Frontalunterricht, Einzelarbeit, Partnerarbeit sowie Gruppenarbeit. ZECH (1996, S. 320) ist der Meinung, über die Vorstufe der
Kleingruppenarbeit zum Problemlösen eines jeden einzelnen Schülers zu gelangen. Beim
Problemlösen in Kleingruppen wird das Problemlösen weniger zur Sache des einzelnen als
zur Sache einer Gruppe gemacht. Sicherlich spielen an dieser Stelle zweierlei Zielsetzungen
eine entscheidende Rolle (vgl. Zech 1996, S. 75, S. 320):
54
-
soziale Ziele
o Lernen, mit anderen zusammen effizient zu arbeiten, d.h.

Fähigkeiten, Mehrwissen, individuell erarbeitet Problemlösungen, Einfälle etc.
anderen verständliche mitzuteilen,

relative Selbständigkeit bei der Lösung von Problemen – nicht einfach nachmachen aber dennoch auf die Gedanken anderer eingehen und

Konzentration auf das gemeinsame Ziel.
o Lernen, Emotionen bei sich selbst und anderen wahrzunehmen, zu verstehen und mit
ihnen umzugehen, d.h. die Fähigkeit
-

Anderen zuzuhören,

Gefühle und Vermutungen artikulieren,

Kritik zu ertragen und

Frustrationen zu tolerieren.
kognitive Ziele
o von gelernten Begriffen, Regeln und Strategien selbständig Gebrauch machen,
o mathematische Daten aus gegebenen Kontext herauslösen oder in neuer Weise kom-
binieren,
o Lösungspläne mit einzelnen Lösungsschritten aufstellen,
o Hypothesen und Alternativen entwickeln und diskutieren,
o aus Bekanntem logische Schlüsse ziehen und diese begründen,
o Lösungen vortragen und formulieren,
o Bewusstmachen hilfreicher Denkstrategien und
o verwandte Probleme sinnvoll lösen unter Anwendung erworbener inhaltlicher und
heuristischer Regeln.
Auch FRANKE und CHRISTIANE MÜLLER plädieren dafür, die Schüler in Partner- oder
Gruppenarbeit gemeinsam Probleme bearbeiten zu lassen, da so die nötige Strategiefindung
über den Problemlösedialog erfolgen kann. „Durch das Wechselspiel von Sprechen und Zuhören, bei dem durch Fragen, Zustimmung, Ablehnung und Beurteilen ein gemeinsames Verständnis aufgebaut wird, werden neue Ideen, Lösungsansätze und Strategien entwickelt“
(Franke 2003, S. 73). „Im gemeinsamen Gespräch können Lösungsideen und Strategien (weiter-)entwickelt und ausgebaut werden. Die Kinder können gegenseitig die Ansätze ihrer Mitschüler aufgreifen und in ihre Denkprozesse einbauen“ (Müller 2004, S. 45).
55
MÜLLER berichtet zudem, dass der Einsatz von in Kleingruppen bearbeiteten Knobelaufgaben positive Effekte auf das gesamte Unterrichtsgeschehen hat (vgl. Müller 2004, S. 48). So
zeigt sich im regulären Unterricht, dass
-
die Kinder sprachlich lebendiger werden,
-
die Beteiligung an mündlichen Unterrichtsphasen und der Austausch über mathematische Inhalte zunehmen,
-
die Schüler eigenständiger werden und ihre Lösungsprozesse selbständiger steuern
können,
-
das Selbstvertrauen der Schüler in die eigene Lösungsfähigkeit wächst,
-
die Schüler aktiv den Unterricht mitgestalten,
-
mit mehr Ausdauer an die Bearbeitung eine mathematischen Problemstellung gegangen wird und
-
die Bereitschaft, sich mit problemhaltigen Mathematikaufgaben auseinanderzusetzen
steigt.
Gruppenaufgaben sollten laut COHEN zwei Merkmale aufweisen (vgl. Cohen 1993, S. 48):
-
Sie sollten Ressourcen, d.h. Wissen, Fertigkeiten, Materialien beanspruchen, über die
kein einzelnes Gruppenmitglied alleine verfügt; zum Erfolg müssen möglicht viele
beitragen.
-
Gute Bedingungen für eine Zusammenarbeit liegen dann vor, wenn zwischen den
Schülern reziproke 68 Interpendenz besteht. Wenn ausschließliche bessere Schüler den
schlechteren helfen, besteht einseitige Abhängigkeit. Bei wechselseitiger Interpendenz
hängt jeder Schüler von den Beiträgen der anderen ab.
COHENs Hypothese besagt (vgl. Rasch 2001, S. 73), dass Interaktion nur dann zum direkten
Prädikator von Produktivität wird, wenn die Gruppenaufgaben wechselseitigen Austausch
erfordern. Bei Gruppenaufgaben, die eher mit Routine gelöst werden können, ist die Zusammenarbeit für einen Teil der Schüler unnötig. Dagegen werden Gruppen bei der Bearbeitung
schlecht strukturierter, nicht routinisierbarer, entdeckungsorientierter Aufgaben produktiver,
je mehr sie interagieren, da wechselseitiger Austausch eine notwendige Bedingung für die
Problemlösung ist.
68
reziprok (lat.): reciprocere bzw. reciprocus: aufeinander bezüglich, wechselseitig
56
Gruppenarbeit erweitert also das verfügbare Wissen, kann das Denkniveau der gesamten
Klasse anheben und stimuliert die Verbalisierung des eigenen Denkens.
4.1.6 Mögliche Schwierigkeiten
Das Lösen von Problemaufgaben bereitet so manchem Schüler Schwierigkeiten. Warum ist
das so? Ein Grund ist sicherlich der, dass es keinen Algorithmus gibt, keine Vorschrift die
richtig abgearbeitet immer zu einer Lösung führt (vgl. 3.1). „Manchmal sind zunächst Hilfsgrößen zu ermitteln, bevor die eigentlich gesuchte Größe berechnet werden kann. Manchmal
enthält der Text überflüssige Angaben. Und selten gibt die Aufgabenstellung einen direkten
Hinweis auf die anzuwendenden Rechenoperationen“ (Lehmann 1990, S. 30).
Aber auch die Emotionen der Schüler spielen eine entscheidende Rolle: Neue wissenschaftliche Untersuchungen (z. B. Pekrun 2000) unterstreichen die weit verbreitete Grundannahme,
dass Emotionen indirekt, d.h. über Motivation, Lernstrategien und kognitive Ressourcen, Einfluss auf die Leistungsfähigkeit nehmen. „Während Freude kreatives, selbstständiges und
ganzheitlich verknüpfendes Lernen fördert, geht Angst mit dem Einsatz starrer, analytischer
und sich im Detail verlierender Strategien einher. […] Freude, die kreative und flexible Lernformen fördert, wirkt sich somit positiv auf die Leistung aus, während Angst durch die Förderung starrer Lernformen leistungsmindernde Wirkungen zeigt“ (Götz/Kleine 2006, S. 6). Dies
deckt sich mit dem Sprichwort des Aristoteles 69: „Freude an der Arbeit lässt das Werk trefflich geraten“ (Götz/Kleine 2006, S. 4).
Abbildung 9: Angst und Mathematik (vgl. Klippert 2006, S. 51)
Für das Entstehen von Emotionen während einer Tätigkeit ist v.a. das Ausmaß, in welchem
man glaubt, die Dinge unter Kontrolle zu haben sowie das Ausmaß, in welchem man das, was
69
Aristoteles: griechischer Philosoph, * 384 v. Chr., † 322 v. Chr.
57
man tut, als wichtig erachtet von Bedeutung. GÖTZ/KLEINE (2006, S. 6ff) sind der Meinung, dass diese beiden Aspekte maßgeblich von der Unterrichtsgestaltung abhängen. Kann
ein Schüler dem Stoff nicht mehr folgen, verliert er den „roten Faden“ oder ist sich unsicher,
bedeutet dies einen Kontrollverlust, der das Freuderleben im Mathematikunterricht mindert.
Möglichkeiten, Freude zu erhöhen bzw. Angst zu mindern sehen die Autoren u.a. in folgenden Punkten:
-
Kontrollerfahrungen machen lassen, d.h. den Schülern Freiraum in der Wahl der Aufgaben bzw. in der Anwendung der Strategien zu geben.
-
Eine Kultur des Fragens etablieren, d.h. den Schülern jederzeit zu ermöglichen, Fragen zu stellen um Kontrollverluste von Vornherein zu vermeiden.
-
Etablierung eines offenen und konstruktiven Umgangs mit Fehlern, d.h. Fehler machen
ist erlaubt. Durch gemeinsame Gespräche können diese thematisiert werden und somit
als Lerngelegenheiten aller betrachtet werden.
-
Hervorheben des spielerischen Charakters von Mathematik, d.h. Lösen von Knobel-
aufgaben oder Aufgaben aus Rätselecken von Zeitschriften.
-
Loben individueller Leistungsfortschritte mit der Folge, dass sich die Schüler durch
individuelles Lob wahrgenommen, ernstgenommen und wertgeschätzt fühlen.
-
So unterrichten, dass es einem selbst Spaß macht, d.h. der Lehrer als emotionales
Vorbild, dessen Freudeerleben modellartig auf die Schüler übertragen wird.
-
Fähigkeitsangemessene (Wahl-)Aufgaben stellen, die das individuelle Fähigkeitsni-
veau der Schüler berücksichtigen (vgl. 4.1.5.2).
-
Zeitdruck reduzieren, d.h. den Schülern ausreichend Zeit zum Lösen der Aufgaben zur
Verfügung stellen.
Um erfolgreich das Problemlösenlernen der Schüler unterstützen zu können, muss man den
eigenen Unterricht hinsichtlich dieser Punkte überdenken und es sollte hinsichtlich negativer
Emotionen auf Schülerseite keine langfristig angelegten Schwierigkeiten mehr geben.
Neben negativen Emotionen sind auch die unterschiedlichen Interessen der Schüler von
entscheidender Bedeutung. Sicherlich gibt es Kinder, die sich freudestrahlend auf die Lösungssuche einer Knobelaufgabe machen und dabei gar nicht zu bremsen sind. Sie haben großes Interesse und Spaß daran, die gestellte Aufgabe zu knacken. Auf der anderen Seite stehen
jedoch diejenigen Kinder, die keine Lust und kein besonderes Interesse haben, sich intensiv,
sinn- und freudvoll mit dem Problem zu beschäftigen.
58
Um trotz allem möglichst alle Schüler anzusprechen, hat es sich als äußerst sinnvoll und anregend erwiesen, bei der Aufgabenauswahl die folgenden fünf Punkte zu berücksichtigen (vgl.
Rasch 2001, S. 311ff):
(1) Texte mit Bezug zum Alltag und den Vorerfahrungen der Kinder: Aufgaben, denen die
Schüler reichhaltige Vorstellungen zuordnen können, bei denen der Sachverhalt zur
Ausgestaltung der Aufgabe anregt.
Beispiel: „Merci-Pralinen“ (vgl. Rasch 2001, S. 312)
Steffi isst gerne Merci-Pralinen. Sie weiß, in der Schachtel sind 5 Reihen und in jeder Reihe
sind 6 Stück. Doch Markus und Johannes haben schon welche stibitzt. Rundherum fehlt die
äußere Reihe, stellt Steffi ärgerlich fest. Wie viele Pralinen bleiben für sie noch übrig?
(2) Aufgaben mit Personen und Geschehnisse, mit denen sich die Kinder identifizieren
können: Es ist sinnvoll, gleich zu Beginn der Arbeit mit Knobelaufgaben bestimmte
Personen immer wieder in die Aufgabenstellung zu integrieren. So handeln nicht irgendwelche ständig wechselnde, austauschbare Akteure, sondern Vertraute und Begleiter, denen man vielleicht sogar charakterliche Besonderheiten zuordnen kann.
„Durch die Personengebundenheit scheint der Aufgabentext weniger beliebig zu sein
und eben dadurch auch den Lösenden lösungs- und anstrengungswürdiger zu erscheinen“ (Rasch 2001, S. 312).
(3) Aufgaben, die Geschichten erzählen oder aus alter Zeit stammen, d.h. Verwendung
von Aufgaben, die über alltägliches Geschehen hinaus phantasievoll, anrührend, geheimnisvoll, abenteuerlich, märchenhaft oder rätselhaft sind.
Beispiel: „Der Teufel“ (Rasch 2001, S. 315)
Der Teufel sagte zu einem armen Manne: wenn du über diese Brücke gehst, will ich dein Geld
verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du zurückkommst, 8 Taler für mich ins Wasser
werfen. Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte, hatte er keinen blanken Heller mehr. Wie
viel hatte er anfangs?
(4) Aufgaben mit Vorgeschichte: Darin liegt der Versuch, den eigentlich mathematischen
Auftrag mit einem anregenden Kontext, z. B. einem kurzen Gedicht, Reim oder Text
derart zu verbinden, dass die Schüler schon beim Zuhören bzw. Selbstlesen der Aufgabe Spaß haben.
59
Beispiel: „Wachstum“ (Rasch 2003, S. 47)
Es wachsen alle Kinder
Sogar im kalten Winter.
Sie wachsen stets sehr leise.
Sie werden klug und weise.
Und würde man sie gießen,
dann würden sie zu Riesen.
(Gottfried Herold)
Wir beide sind zusammen riesengroß: 260 cm. Du bist 8 cm größer als ich. Wie groß bin ich?
(5) Aufgaben von Schülern selbst erfinden lassen: Hier können die Kinder ihrer Kreativität und ihren Interessenslagen freien Lauf lassen. Die erfundenen Knobelaufgaben
spiegeln die gedankliche Welt der Schüler wider und greifen oft bereits behandelte
Aufgaben in abgeänderter Form auf. Das Erfinden fällt Schülern zu Beginn eher
schwer, sie benötigen zunächst einen Handlungshintergrund, um sich auf das Entwickeln konzentrieren zu können, wären jedoch, so RASCH, „eine willkommene Ergänzung in Lehrbuchwerken und anderen entsprechenden Veröffentlichungen. Sie treffen
den „Nerv“ der kindlichen Lebenswelt gut und besitzen eine Originalität, die von erwachsenen Textschreibern häufig nicht erreicht wird“ (Rasch 2001, S. 321).
Nicht zu übergehen ist sicherlich auch mögliche fehlende Motivation und damit einhergehend fehlender Arbeitseinsatz und individuelles Sich-Eigen-Machen der Aufgabe (vgl. 4.1.3)
auf Schülerseite. Aber auch fehlendes bzw. unzureichendes Wissen der Schüler kann zu
Schwierigkeiten innerhalb des Problemlöseunterrichts führen.
4.2 Knobel- und Denksportaufgaben im Mathematikunterricht
4.2.1
Knobel- und Denksportaufgaben als Bestandteil eines problemlösenden
Mathematikunterrichts
Die unter 4.1.1 vorgestellten Problemaufgaben stehen in einem engen Zusammenhang mit
Knobel- und Denksportaufgaben und finden damit auch ihre Rechtfertigung im Mathema-
tikunterricht. Auch bei Letztgenannten reicht es für den Lösungsvorgang oft nicht aus, Wissen
abzurufen, denn Knobelaufgaben sind in der Regel so aufgebaut, dass vorhandenes Wissen
vom Lösenden neu strukturiert werden muss. Die Besonderheit innerhalb der Primarstufe,
aber auch in den unteren Klassen der Sekundarstufe I liegt darin, dass den Schülern die direk-
60
te Umsetzung der mathematischen Struktur 70 noch nicht gelingen kann. Sie müssen andere
Lösungswege einschlagen. Vor allem sind sie immer wieder darauf angewiesen, zu inhaltlichen Überlegungen zurückzukehren (vgl. Rasch 2001, S. 27).
Knobelaufgaben sind mathematische Denkaufgaben. „Das Lösen dieser Aufgaben erfordert
von den Schülern, dass diese Bekanntes in neue Zusammenhänge stellen, Geduld und Selbstkontrolle aber auch Geschick im Organisieren der eigenen Arbeit, Zuversicht und Ausdauer“
(Behörde für Bildung und Sport der Freien und Hansestadt Hamburg 2002, S. 5). Es sind
Aufgaben, „bei denen es etwas zu überlegen und entdecken gibt. Aufgaben, deren Lösungen
erst gefunden werden müssen“ (Müller 2004, S. 44).
Zudem müssen die Schüler neue Ideen entwickeln, um Knobelaufgaben lösen zu können:
„Knobeln fordert die Schüler zu strategischen und logischen Überlegungen heraus, die auf
der Ebene ihres Leistungsstandes ausgeführt werden können. Lösungsstrategien entstehen
durch das Umsetzen von Ideen, durch Erforschen, Experimentieren und Untersuchen von Ideen“ (Behörde für Bildung und Sport der Freien und Hansestadt Hamburg 2002, S. 5). Die
Schüler entwickeln zusehends ihre eigenen Problemlösestrategien, zunächst durch Versuch
und Irrtum, dann durch immer gezieltere Vorangehensweisen. Das permanente Überdenken
und Gestalten des eigenen Handelns sowie der Austausch und die Diskussion der Lösungsansätze mit Mitschülern, haben kreativitäts- und phantasiefördernde Effekte zur Folge.
Der Sinn von Knobelaufgaben liegt nicht so sehr in der Verbesserung bereits erlernter Rechenfertigkeiten, sondern vielmehr „auf einer Hinführung zu verschiedenartigen Strategien
des Problemlösens und damit verbunden einer Reihe von Fertigkeiten, die sich auch auf außermathematische Bereiche übertragen lassen“ (Schmitt 2004, S. 9). Es werden ganz allge-
meine Merkmale wie z. B. das Erkennen von Zusammenhängen und Strukturen, die Suche
nach Regeln und Gesetzmäßigkeiten oder das systematische Vorgehen bei der Lösung komplexer Probleme angesprochen. Vorrangiges Ziel ist es, die Freude am problemlösenden Denken zu wecken und zu fördern, eine den Fähigkeiten angemessne Beschäftigung zu ermöglichen sowie das Selbstbewusstsein der Schüler zu stärken. „Ein angenehmer Nebeneffekt ist
dabei der positive Einfluss auf die intrinsische Motivation bei den Kindern und damit häufig
auf den Spaß am Unterricht“ (Schmitt 2004, S. 10).
70
z.B. in ein Gleichungssystem
61
Für RASCH (2001, S. 296) ist es besonders wichtig, schon in der Grundschule frühzeitig mit
der Bearbeitung von (Knobel-)Aufgaben zu beginnen, die einerseits vom Textaufbau und Inhalt der Altersstufe entsprechen, um die Kinder zum Lösen anzuregen, andererseits aber nicht
durch oberflächliches, schnelles Lösen zu bewältigen sein dürfen. Die Verantwortung für die
Bearbeitung sollte von Anfang an beim Lösenden bleiben. RASCH ist immer wieder von den
Denkwegen der Kinder beeindruckend, auch von den fehlerhaften. Sie ist überzeugt davon,
dass die Kinder den Zugang zu den Aufgaben auf der Grundlage der eigenen Wissensbasis
mit all ihrer Unvollkommenheit finden.
4.2.2 Klassifikation von Knobelaufgaben
Man kann nun versuchen, Problem- bzw. Knobelaufgaben zu klassifizieren. RASCH beispielsweise unterscheidet dabei folgende vier Kategorien (vgl. Rasch 2001, S. 28ff):
-
Problemaufgaben auf Zeit
-
Besonderheiten in den Aufgabenbedingungen, z. B. Aufgaben mit offenen Elementen
oder rätselhaften Bedingungen
-
Schwierige mathematische Strukturen, z. B. Aufgaben mit kombinatorischem Hintergrund, mit komplexen Informationen oder Aufgaben, denen Zahlenfolgen zu Grunde
liegen
-
Aufgaben mit geometrisch-physikalischem Hintergrund, z. B. Bewegungsaufgaben
NOBACH und SCHMITT hingegen liefern eine Klassifikation nach fünf verschiedenen mathematischen Rahmengebieten (vgl. Schmitt 2004, Nobach et al. 2005):
(1) Logik
(2) „1, 2, viele“ – geschicktes Zählen
(3) Zahlensuche, z. B. Zahlenrätsel, Zahlenspielereien, Zahlenfolgen und –muster
(4) Ebene Geometrie: Wege, Flächen und Figuren
(5) Räumliche Geometrie, z. B. Würfelgebäude, Knobeln3 (hoch drei)
Innerhalb beider Klassifikationen ist festzustellen, dass die Zuordnung zu einer Kategorie
nicht immer eindeutig gelingen kann und durchaus Überschneidungen auftreten können.
In den weiteren Ausführungen soll das Augenmerk hauptsächlich auf letztere Klassifikation
gerichtet werden, da hierbei erreicht werden kann, tatsächlich Knobelaufgaben unterschied62
lichsten Charakters zum Einsatz kommen zu lassen (Kombinatorik, Zahlen, ebene bzw. räumliche Geometrie). Bei der Auswahl der Aufgaben ist entscheidend, dass diese dem Schulstoff
nicht vorgreifen, sondern entweder als Vertiefung bzw. Ergänzung zum Lehrplan gedacht sein
sollten, oder vollkommen losgelöst vom eigentlichen Unterrichtsthema als willkommene Abwechslung 71 zur Anwendung kommen (vgl. Schmitt 2004, S. 10). Wie man sich konkret Knobelaufgaben der einzelnen Rahmengebiete vorstellen könnte, welche Schwerpunkte gesetzt
werden bzw. welche Fähigkeiten damit gefördert werden können, soll im Folgenden kurz dargestellt werden.
Aus dem mathematischen Bereich Logik (1) können Knobelaufgaben beispielsweise so aussehen:
„Immer der Größe nach“ (Nobach et al. 2005, S. 13)
Fünf verschieden große Jungen sollen sich der Größe nach aufstellen. Man weiß Folgendes:
-
Adrian ist weder der kleinste noch der größte der Fünfen.
Chris und Theo sind kleiner als Erik.
Daniel ist kleiner als Chris, aber größer als Adrian.
In welcher Reihenfolge müssen sich die Jungen aufstellen, wenn sie mit dem Kleinsten beginnen?
„Mathe-Wettbewerb“ (Schmitt 2004, S. 12)
Die Klasse 6c hat an einem Mathematikwettbewerb teilgenommen. Einige Schüler vergleichen
ihre Ergebnisse, wobei sie feststellen, dass keine zwei Schüler die gleiche Punktzahl erreicht
haben. Sabine schnitt besser ab als Ralf, aber nicht so gut wie Ines. Kerstin war nur besser
als Thomas. Ines hatte einen Punkt weniger als Michael. Thomas erreicht diesmal weniger
Punkte als Ralf.
Welche Rangfolge ergibt sich hieraus?
„Mördersuche“ (Schmitt 2004, S. 15)
Florian, Timo, Lisa und Susi schauen sich zusammen einen Krimi an. Nachdem die Leiche
eines Grafen gefunden worden ist, stehen der Gärtner, der Butler und er koch unter dringendem Tatverdacht. Florian, Timo, Lisa und Susi äußern folgende Vermutungen:
Florian:
Timo:
Lisa:
Susi:
„Ich glaube, der Butler war´s.“
„Nein, ich denke, der Gärtner ist es gewesen.“
„Da wäre ich nicht so sicher, aber der Koch war es bestimmt nicht.“
„Ich glaube nicht, das es der Butler war.“
Nach der Aufklärung des Falles (der Mörder war ein Einzeltäter) zeigt sich, dass genau einer
der vier mit seiner Vermutung richtig lag. Wer war der Täter?
71
Da die Lösungswege nicht vorgegeben sind, wird bei nicht themengebundener Bearbeitung von Knobelaufgaben insbesondere die Kreativität der Kinder bei der Lösungsfindung angeregt.
63
Bei dieser Art von Aufgaben geht es insbesondere um logisch-schlussfolgerndes Denken, bei
dem gesunder Menschenverstand gefragt ist. Die Lösung kann meist durch Vorwärtsarbeiten
(vgl. 4.1.4.2) oder Fallunterscheidungen gelöst werden. Die Schüler kommen in der Regel
ohne mathematische Vorkenntnisse aus, es lassen sich jedoch bestimmte Lösungsstrategien
wie z. B. die Anlage einer Tabelle entwickeln bzw. vermitteln, die die Lösungsfindung erleichtern. Laut Schmitt sind diese Art von Knobelaufgaben bei Schülern sehr beliebt: „Da sie
häufig nicht einmal Zahlen enthalten und wenig an die sonst üblichen Mathematikaufgaben
erinnern, sind sie gerade im Mathematikunterricht eine willkommene Abwechslung. Die Fragestellungen sind nicht an ein bestimmtes Unterrichtsthema gebunden, können also jederzeit
als „Denkschulung“ eingesetzt werden“ (Schmitt 2004, S. 14).
Aus den mathematischen Bereichen geschicktes Zählen (2), Zahlenrätsel und Zahlenspielereien (3) können Knobelaufgaben beispielsweise so aussehen:
„Zahlenpyramide“ (Schmitt 2004, S. 47)
Die Zahlen in der Pyramide sollen von unten nach
oben nach dem neben stehenden Schema gebildet
werden:
a) Fülle die leeren Felder der Pyramide aus.
b) Was passiert mit der obersten Zahl, wenn man die Zahl links unten um 8 vermindert?
c) Welche Startzahlen kann man wählen, wenn im obersten Feld die 7 stehen soll?
„Buchstabenrätsel“ (Nobach et al. 2005, S. 40)
Jeder Buchstabe von „KNOBELN“ steht für eine Zahl. Ziehe deine Schlüsse aus folgenden
Aussagen:
-
E=K+L+N
L = O + 131
N1 = K : 20
O = 108 : 12
K=B+L
K + N1 + O + B + E + L + N2 = 700
64
„Folgen verfolgen“ (vgl. Schmitt 2004, S. 46)
Finde bei den sechs Zahlenfolgen jeweils die Regel, nach der die Folge gebildet wurde, und
setze die Folge um einige Glieder fort. Kannst du auch eigene Zahlenfolgen finden?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
1
1
1
1
1
1
M
2
2
4
8
5
1
D
4
4
9
5
3
2
M
8
7
12
12
15
3
… 72
16
11
17
9
13
5
…
…
20
16
65
8
25
13
63
13
…
…
…
…
Hier geht es insbesondere um systematisches Vorgehen, um beim möglichst geschickten Zählen keinen Fall zu übersehen. „Dies führt dann oft hin zu Verallgemeinerungen der Fragestellungen, z. B. der Bestimmung von Permutationen oder Kombinationen, die sich dann auf
komplexere Probleme übertragen lassen“ (Schmitt 2004, S. 27). Auch bietet sich die Anlage
von Tabellen an, um den Überblick zu behalten und die Ergebnisse übersichtlich darzustellen.
Die Schüler erkennen zudem, dass manche Fragestellungen mehrere Lösungen oder auch gar
keine Lösungen liefern. Das Aufstellen von Gleichungen tritt aufgrund der mangelnden Erfahrung mit der Arbeit mit Variablen in den Hintergrund (vgl. 4.1.4.1). Inhaltliches Schließen
oder das Prinzip des Rückwärtsarbeitens wird jedoch als wichtige Lösungsstrategie angewandt (vgl. Schmitt 2004, S. 39). Der gewählte Lösungsweg ist oft abhängig von den Vorkenntnissen der Schüler. Einige Aufgaben sind bei Verfügung über Grundkenntnisse im Bereich der Kombinatorik weniger schwierig. Es besteht jedoch auch immer die Möglichkeit,
die Lösung ohne Vorkenntnisse durch systematisches Vorgehen zu bestimmen oder die Knobelaufgabe als Anlass zu sehen, kombinatorische Zählprinzipien zu erarbeiten (vgl. Schmitt
2004, S. 27).
Aus den mathematischen Bereichen ebene Geometrie 73 (4) bzw. räumliche Geometrie (5)
können Knobelaufgaben beispielsweise so aussehen:
72
Eine mögliche Lösung wäre sicherlich, diese Reihe nach dem sich abwechselnden Muster der Buchstaben M
und D fortzusetzen: M
D
M
D
M
D
….
Eine weitere denkbare, sehr viel kreativere Lösung ist beispielsweise, die Buchstaben als vertretende Abkürzung
für Wochentage zu identifizieren, die Reihe deshalb wie folgt fortzuführen: M(ontag) D(ienstag)
M(ittwoch)
D(onnerstag)
F(reitag)
S(amstag)
S(onntag). Dem Ideenreichtum
der Schüler sind hier keine Grenzen gesetzt. Der Lehrer sollte für derartige kreative Lösungen sensibilisiert werden und darf diese, nur weil er zunächst einmal nicht damit gerechnet hat, keinesfalls als falsch oder schlechter
als die offensichtlichere Lösung werten.
73
Flächen und Figuren
65
„Grundstück zu vererben“ (Schmitt 2004, S. 72)
Vor eine schwierige Aufgabe stellte einst ein Erbonkel seine
vier Neffen, denen er sein Gartengrundstück vermachte. Auf
dem quadratischen Stück hatte der Onkel vier Apfelbäume
gepflanzt, in der Mitte der Anlage befand sich eine Wasserstelle. Die vier Neffen durften das Erbe nur antreten, wenn
sie es schaffte, das Grundstück derart aufzuteilen, das jeder
von ihnen ein Stück gleicher Größe und Form mit je einem
Apfelbaum erhielt und außerdem Zugang zu der Wasserstelle hatte. Wie musst die Fläche eingeteilt werden?
„Streichholzspielerei“ (Nobach et al. 2005, S. 72)
Aus 12 Streichhölzern wurde nebenstehende Figur
gelegt.
a) Nimm zwei Hölzchen weg, sodass zwei Quadrate übrig bleiben.
b) Lege drei Hölzchen so um, dass drei Quadrate
entstehen.
c) Lege zwei Hölzchen so um, dass drei große
und vier kleine Quadrate entstehen.
„Königsberger Brückenproblem“ (Schmitt 2004, S. 67)
Dieses Problem ist schon sehr alt und wurde von dem
berühmten Schweizer Mathematiker Euler 74 aufgeworfen.
Es bezieht sich auf die sieben Brücken der Stadt Königsberg (heute Kaliningrad): Ist es möglich, einen Spaziergang so einzurichten, dass man jede der sieben Brücken
genau einmal überschreitet und zum Ausgangspunkt zurückkehrt? Euler behauptete, dies sei unmöglich. Findest
du einen Weg?
„Spielwürfel nicht nur zum Würfeln“ (Schmitt 2004, S.97)
Bei sieben Spielwürfeln wurden immer Würfelflächen
mit gleicher Augenzahl zusammengeklebt. Wie viele Augen befinden sich insgesamt auf den zusammengeklebten
Flächen? Wie viele Augen sind insgesamt auf den übrigen sichtbaren Flächen einschließlich Boden?
Hier geht es weniger um das reine Berechnen von Längen oder Flächen, sondern um vielfältige Anforderungen an die Problemlösefähigkeit wie systematisches Vorgehen, Suche nach
74
LEONHARD EULER, schweizer Mathematiker, *1707, †1783
66
Verallgemeinerung und Gesetzmäßigkeiten oder allgemeinen Anforderungen hinsichtlich
geometrischen Verständnisses.
Bezüglich des räumlichen Vorstellungsvermögens ist
es zu Anfang ratsam, mit konkreten Modellen zu arbeiten und im Hinblick auf Schrägbilder den Schülern
ein isometrisches Raster zum Zeichnen von Würfeln
oder Würfelgebäuden an die Hand zu geben (vgl.
Schmitt 2004, S. 63, 85, 110).
4.2.3 Lehrplanverankerung
Wie rechtfertigt sich die Verwendung von Knobel- und Denksportaufgaben im regulären Mathematikunterricht? In dem Anfang des Jahres 2005 erstellten Bericht des ISB 75 (ISB 2005, S.
54) werden im Zuge der Einführung von Bildungsstandards in der Primarstufe insbesondere
im Bereich der inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen (Leitidee „Zahlen und Operationen“) einfache kombinatorische Aufgaben, z. B. Knobelaufgaben vorgeschlagen, die durch
Probieren und systematisches Vorgehen zu lösen sind.
Macht man sich in den offiziell gültigen bayerischen Lehrplänen der Jahrgangsstufen 1 bis 4
der Grundschule sowie der Jahrgangsstufen 5 – 10 der Realschule explizit nach den Begriffen
„Knobel- bzw. Denksportaufgaben“ auf die Suche, so kann man an der einen oder anderen
Stelle fündig werden, z. B. Jahrgangsstufe 1 – Sachbezogene Mathematik – Arbeit an Sachsituationen (ISB 2000, S. 101): Vergleichsaufgaben, Denksportaufgaben - leistungsschwächere
Schüler: Lösungen durch Probieren (experimentell) finden, leistungsstärkere Schüler: Lösungen finden und wenn möglich mathematisch begründen .
Liest man zudem ein wenig zwischen den Zeilen bzw. hat man bereits eine Vorstellung davon, welche Aufgaben(stellungen) der Kategorie Knobelaufgaben zugeordnet werden können,
was man unter Heuristik versteht bzw. welche heuristischen Hilfsmittel eine Rolle spielen
können, finden sich eine Reihe von Verankerungen, die den Einsatz von Knobelaufgaben im
regulären Mathematikunterricht von offizieller Seite her untermauern. Einige beispielhaft
gewählte Auszüge sollen dies verdeutlichen:
-
75
Jahrgangsstufe 1 – Geometrie – Raumerfahrung und Raumvorstellung (ISB 2000, S.
89): Übungen des visuellen Strukturierens, z. B.:
Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung
67
Wie viele Dreiecke findest du? Entwickeln einer
systematischen Vorgehensweise zur Erschließung
der Dreiecke.
76
-
Jahrgangsstufe 1 – Zahlen – Zahlen und Rechenausdrücke bis 20 vergleichen und ordnen (ISB 2000, S. 92): unregelmäßige Zahlenfolgen 76, z. B.
-
Jahrgangsstufe 2 – Rechnen – Einspluseinssätze und deren Umkehrung (ISB 2000, S.
98): vielfältige Übungsformen, z. B. Rechenpyramiden, magische Quadrate (Die
Summe der Zahlen ist horizontal, vertikal, diagonal immer gleich)
-
Jahrgangsstufe 2 – Sachbezogene Mathematik – Arbeit an Sachsituationen (ISB 2000,
S. 102): einfache Skizzen erstellen, Tabellen anlegen
-
S. 191): Lösungswege finden – zu Aufgaben mit mindestens zwei Rechenschritten
auch verschiedene Lösungswege finden und Ergebnisse berechnen; Rechenwege begründen und vergleichen, Überschlagsrechnung durchführen, Lösungswege in übersichtlicher und nachvollziehbarer Form aufschreiben
-
Jahrgangsstufe 4 – Geometrie – Flächen- und Körperformen (ISB 2000, S. 258): Mit
Einheitswürfeln bauen, z. B. nach Plan oder Schrägbild (leistungsstärkere Schüler:
Plan zu Schrägbild erstellen); Körperinhalte handelnd und in der Vorstellung vergleichen, z. B. Inhalte umfüllen, mit Würfeln auslegen
-
Jahrgangsstufe 4 – Zahlen bis 1 000 000 – Zahlen bis 1 000 000 vergleichen und ordnen (ISB 2000, S. 259): Mit Zahlen spielen, z. B. Zahlenrätsel, „ANNA“ – Zahlen
vgl. auch ISB 2000, S. 98, S. 187
68
-
S. 262): situationsadäquate Modelle selbst entwickeln; Zusammenhang zwischen Operationen erkennen und darstellen: Skizze, Tabelle, Streifenmodell usw.
-
Jahrgangsstufe 5 – Rechnen mit Größen aus dem Alltag (ISB 2003, S. 131): Lösungsvariationen und offene Aufgaben fördern vernetztes und kreatives Denken 77.
-
Jahrgangsstufe 5 – Geometrische Grundformen und geometrische Grundbegriffe (ISB
2003, S. 131): Die Schüler bauen und zeichnen einfache räumliche Modelle und entwickeln dabei ihr räumliches Vorstellungsvermögen weiter.
-
Jahrgangsstufe 6 – Rechnen mit positiven rationalen Zahlen (ISB 2003, S. 178): Die
Schüler führen bei wiederholenden, vertiefenden, vor allem aber anwendungsorientierten Sachaufgaben alle Grundrechenarten mit den bereits bekannten Rechenregeln
durch.
-
Jahrgangsstufe 7 – Gleichungen und Ungleichungen (ISB 2003, S. 233)
-
Jahrgangsstufe 9 – Systeme linearer Gleichungen (ISB 2003, S. 419): Aufgaben mit
geometrischen Problemstellungen sowie Sachaufgaben algebraisch lösen.
-
Jahrgangsstufe 10 – Trigonometrie (ISB 2003, S. 519): Praxisorientierte Aufgaben aus
verschiedenen Bereichen
4.2.4 Pro- und Contra Stimmen
Warum Knobelaufgaben? Sind diese überhaupt im Lehrplan verankert (vgl. 4.2.3)? Lohnt sich
deren Einsatz? Verschenkt man mit deren Behandlung nicht nur die wertvolle und generell
immer knapp bemessene Ressource Zeit? Ziel dieses Abschnittes soll es sein, aktuelle Pround Contra-Stimmen zu dieser Thematik darzustellen.
„Dass das Austüfteln von raffinierten Knobelaufgaben oder Olympiade-Problemen mehr lehrt
als arg bereichsspezifische Informationsbeschaffung und Denkweisen, ist wohl nur ein frommer Wunsch“ (Führer 1997, S. 68). LUTZ FÜHRER warnt davor, dass besonders Mathema-
tiklehrer, die ihre Liebe zum Fach aus tiefen persönlichen Erfolgserlebnissen beim Problemlösen gewonnen haben dazu neigen, solch schöne Erlebnisse auf Schülerseite stimulieren zu
wollen. „Dagegen ist nichts zu sagen, solange sie dieses Ziel nicht zum Maßstab ihres Unterrichts machen. Einerseits ist nämlich die Freude am mathematischen Problemlösen sehr
wahrscheinlich nicht allen Schülern zu vermitteln, auf jeden Fall nicht allen an einem beliebigen Wochentag um 9.42 Uhr, und andererseits verdeckt das sehr persönliche Engagement
in Problemlösungsprozessen […] nur zu oft deren objektive Belanglosigkeit“ (Führer 1997, S.
68). FÜHRER gesteht jedoch ein, dass nicht generell etwas gegen intellektuellen Spaß gesagt
77
vgl. ISB 2000, S. 178, S. 232, S. 317, S. 414, S. 514
69
werden kann: „Stunden in denen der Funke auf viele Schüler überspringt oder in denen Schüler merklich von der Schönheit der Mathematik berührt werden, gehören zum Schönsten, was
Schule Schülern und Lehrern zu bieten hat.“ […] Er möchte nur betonen, „dass das Schöne
noch schöner ist, wenn es etwas bedeutet 78, d.h. wenn es mehr hinterlässt als ein großes, vages Gefühl des eigenen Könnens“ (Führer 1997, S. 68).
Zeit und Energieaufwand sollen also statt auf Knobelaufgaben eher auf paradigmatische Probleme bzw. auf solche konzentriert werden, die zugleich auch für andere Unterrichtsziele funktionell wertvoll sind (vgl. Führer 1997, S. 68). Aber kann beim Einsatz von Knobel- und
Denksportaufgaben wirklich von Zeit- bzw. Energieverschwendung die Rede sein?
FÜHRERs Zweifel und Bedenken herrschen sicherlich in den Köpfen einiger Menschen, insbesondere Pädagogen bzw. Lehrer vor. Dass es aber auch andersartige Einstellungen gibt,
zeigt sich beispielsweise im Folgenden:
MÜLLER hat ihre ganz eigene, sehr vielschichtige und durchaus verheißungsvolle Meinung
zu dieser Thematik gewonnen: „Knobelaufgaben entsprechen dem Bedürfnis des Menschen
nach Unterhaltung und Spannung. Im Mathematikunterricht können sie einen wichtigen Beitrag zur allgemeinen Denkentwicklung leisten. Knobelaufgaben stellen eine Möglichkeit dar,
den Schülern Mathematik von einer anderen Seite näher zu bringen. Sie können das selbst
entdeckende Lernen fördern und richten die Perspektive auf die Denkprozesse und die Lösungswege der Kinder“ (Müller 2004, S. 44).
Es ist sicherlich kaum möglich und sinnvoll, ausschließlich nur die positiven oder nur die negativen Aspekte rund um die Thematik von Knobelaufgaben gelten zu lassen. Eine realistische Einschätzung unter Berücksichtigung beider Standpunkte wäre erstrebenswert. So sollte
man den Einsatz von Knobelaufgaben innerhalb des problemlösenden Mathematikunterrichts
so verstehen, positive Effekte, fächerübergreifende Bereicherungen und Nebenerscheinungen
wie
-
vorhandenes Wissen neu strukturieren
-
Bekanntes in neue Zusammenhänge stellen
-
Selbstkontrolle, Organisationsgeschick, Ausdauer, Zuversicht
-
neue Ideen entwickeln
-
Entwicklung eigener Problemlösungsstrategien
78
FÜHRER meint damit neben Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten insbesondere spontanen Durchblick, Einsichten, Haltungen oder Anregungen.
70
-
phantasie- und kreativitätsfördernde Effekte
-
Freude am problemlösenden Denken wecken und fördern
-
Stärkung des Selbstbewusstseins
-
Beitrag zur allgemeinen Denkentwicklung
anzuerkennen und auch anzustreben, die Bearbeitung von Knobeleien aber nicht zu Lasten
anderer wichtiger mathematischer Inhalte gehen zu lassen und sich über alle Maße damit zu
beschäftigen.
4.2.5 Auswahl von Problemlösungsaufgaben
„Bei der Auswahl von Problemlösungsaufgaben und für die Einschätzung, wie man eine bestimmte Aufgabe für Schüler erleichtern oder erschweren kann, ist es hilfreich zu wissen, wovon die Schwierigkeit einer Aufgabe vermutlich abhängt“ (Zech 1996, S. 328). ZECH spricht
in diesem Zusammenhang vom Anforderungsniveau 79 einer Aufgabe und unterscheidet fünf
verschiedene, sich in der Praxis allerdings überschneidende Kriterien (vgl. Zech 1996, S.
328f):
(1) Anschaulichkeitsgrad: Je anschaulicher ein Sachverhalt dargestellt ist bzw. je anschaulicher, konkreter und spezifischer die verwendeten Lösungsmittel sein dürfen,
desto einfacher wird die Aufgabe im Allgemeinen. Deshalb gelten Aufgaben mit
zeichnerisch-ikonischer Darstellung oder konkret-handelndem Lösungsvollzug als einfacher, als wenn Aufgaben weniger anschaulich gegeben oder gelöst werden.
(2) Abstraktionsgrad: Je mehr unwesentliche Angaben eine Aufgabe enthält, desto
schwieriger wird sie im Allgemeinen, da es schwerer wird, das Wesentliche der Aufgabe zu erkennen. Will man allerdings erkennen, ob beim Lösen echtes Verständnis
vorliegt, kann sich das Einfügen unwesentlicher Angaben als sinnvoll erweisen.
(3) Formalisierungs- bzw. Mathematisierungsgrad: Je weniger leicht relevante mathematischen Operationen zu erkennen sind, umso schwerer wird eine Aufgabe im Allgemeinen. Oft muss sich der Schüler wesentliche Daten oder notwendige Operationen
aus einer Gesamtsituation erst erschließen bzw. sie sich beschaffen. 80
(4) Bekanntheitsgrad: Je vertrauter ein Sachverhalt, je mehr bekannte Teilaufgaben, desto
einfacher wird im Allgemeinen die Aufgabe.
79
80
Damit ist die Schwierigkeit einer Aufgabe gemeint.
Hilfreich könnte in diesem Falle die Formulierung sinnvoller Fragestellungen (vgl. 4.1.3) sein.
71
(5) Komplexitätsgrad: Je mehr Bedingungen und Denkschritte sowie unterschiedliche
Operationen in eine Aufgabe eingehen, je mehr eventuelle Teilaufgaben miteinander
verschachtelt sind, desto schwieriger wird eine Aufgabe.
Zusammenfassend kann man feststellen, dass eine Aufgabe umso einfacher einzustufen ist, je
-
anschaulicher der Sachverhalt dargestellt wird.
-
weniger unwesentliche Angaben eine Aufgabe enthält.
-
leichter mathematische Operationen zu erkennen sind.
-
vertrauter der Sachverhalt ist.
-
weniger Bedingungen und Denkschritte in einer Aufgabe enthalten sind.
Die Zuhilfenahme derartiger Parameter kann eine nützliche Orientierung für die Differenzierung von Problemaufgaben darstellen, mit der es gelingen kann, alle Schüler unterschiedlichsten Leistungsstandes anzusprechen. ZECH (1996, S. 330) weißt jedoch darauf hin, dass zudem übergeordnete Auswahlgesichtpunkte 81 sowie Praktikabilitätsgesichtpunkte nicht vernachlässigt werden dürfen. Man sollte sich deshalb als Lehrer immer die Fragen stellen, ob
eine Aufgabe wichtig, sinnvoll zu variieren oder zumindest reizvoll ist. Auch liefern die genannten Kriterien nur eine grobe Richtlinie hinsichtlich der Einordnung nach vorliegendem
Schwierigkeitsgrad. Interessant ist weiter der Einfluss der Art der Textgestaltung 82, die Reihe
der Angaben im Text oder das Fehlen einer Frage innerhalb der Aufgabe. „Derartige Feinheiten hängen kognitionspsychologisch offenbar stark damit zusammen, wieweit es dem Schüler erleichtert oder erschwert wird, ein entsprechendes Situationsverständnis 83 zu entwickeln“ (Zech 1996, S. 331).
4.2.6 Aufgabenkatalog
Gelangt ein Lehrer zu der Überzeugung, Knobel- und Denksportaufgaben in seinen Unterricht
zu integrieren, sei es als Einstieg, Ausklang, als wiederkehrendes Ritual, als Problem der Woche, als Zusatzbonbon für schnelle Rechner oder als Vorbereitung auf Wettbewerbe, kann es
sinnvoll und hilfreich sein, sich frühzeitig eine Art Aufgabenkatalog unterschiedlichster Problemaufgaben anzulegen, der immer wieder um neue Knobeleien ergänzt werden kann. Man
kann hierbei versuchen, die Aufgaben unterschiedlichen Klassen- und Schwierigkeitsstufen
81
vgl. hierzu ZECH 1996, S. 65
empfehlenswert: einfache Wortwahl sowie unkomplizierter Satzbau
83
eine mentale Repräsentation des Problems
82
72
zuzuordnen, wobei wohl erst die Erfahrung der Praxisanwendung zeigen wird, wie die subjektive Einteilung der Lehrkraft mit den Einschätzungen und Empfindungen der Schüler über die
Lösbarkeit bzw. Schwierigkeit der Aufgabe übereinstimmt.
Inspirationen und Anregungen finden sich beispielsweise in dem ein oder anderen, der in großer Anzahl vorhandenen, Büchern der Unterhaltungsmathematik (z. B. Berloquin 1984, Fritsche et al. 2005, Gardner 1983, Hemme/Schwoerer 1998, Holt 2005, Mason 1988, Phillips
1990, Randow 1992).
Auch das Medium Internet bietet heute eine schier unbegrenzte Anzahl von Knobelaufgaben.
Um Ideenanstöße zu erhalten, sind im Literaturverzeichnis eine Reihe von brauchbarer und
gelungener Seiten speziell zum Thema Knobelaufgaben aufgelistet worden.
Bei der Suche nach passenden Aufgaben für den folgenden Katalog ging es mir insbesondere
darum, abwechslungsreiche Knobeleien aus den verschiedenen Bereichen Logik, Zahlenrätsel, Zahlenspielereien, ebene und räumliche Geometrie zu wählen (vgl. 4.2.2). Unter Berücksichtigung des motivierenden Aspektes versuchte ich außerdem, folgende Punkte zu berücksichtigen:
-
unterschiedliche Jahreszeiten/Feste (vgl. beispielsweise „Die Apfelernte“, „Die Skihütte“, „Ostereier“, „Nordseeurlaub“)
-
unterschiedliche Interessen (vgl. beispielsweise „Im Zoo“, „Fußball“, „Winnetou“,
„Die Fernsehsendung“, „Das Pferderennen“)
-
kindliche Essvorlieben (vgl. beispielsweise „Schokoriegel“, „Gummibärchen“, „Erdbeeren“, „Limonade“, „Kekse“)
-
Spannung und Abenteuer (vgl. beispielsweise „Die Verdächtigen“, „Verfolgungsjagd“, Zahlendetektiv“)
-
aus alter Zeit/historisch Bedeutsames (vgl. beispielsweise „Carl Friedrich Gauß“, „Fibonacci-Zahlen“, „Alte Gewichte“)
-
geometrisches/bildliches (vgl. beispielsweise „Baupläne“, „Spielwürfel selbst gemacht“, „Schau genau!“)
Generell wurde Wert darauf gelegt, Aufgaben zu wählen, die mit Hilfe „einfacher“ Strategien wie Vorwärtsarbeiten oder systematisches Probieren lösbar sind. Zudem sollen die
73
Sachverhalte zum einen möglichst anschaulich geschildert sein sowie zum anderen wenig
unwesentliche Aspekte enthalten.
Für die 4. Klasse stand im Vordergrund, dass mathematische Operationen möglichst leicht
erkennbar sind und wenige Bedingungen sowie Denkschritte enthalten sind.
Für die 5. Klasse stand im Vordergrund, dass sich mathematische Operationen relativ
leicht erkennen lassen, jedoch teilweise mehrere Bedingungen und Denkschritte enthalten
sind (höherer Komplexitätsgrad als in Klasse 4).
Nachdem die Aufgaben inhaltlich ausgewählt waren und aus meiner persönlichen Sicht
der entsprechenden Jahrgangsstufe sowie Schwierigkeitsstufe zugeordnet waren, kam die
Idee auf, Karteikarten mit den relevanten Knobeleien zu erstellen und diese meinem näheren Bekanntenkreis (21 Personen im Alter von acht bis 64 Jahren) vorzulegen. Nach genauem Studium der Aufgaben sollte jeder versuchen, eine für ihn passende Einteilung
vorzunehmen. Die Ergebnisse waren sehr unterschiedlich, es lagen hohe subjektive
Schwankungen vor. Schlussendlich wurde die jeweilige Knobelei derjenigen Jahrgangsund Schwierigkeitsstufe zugeordnet, in der die meisten Nennungen zu registrieren waren.
Ich gehe jedoch davon aus, und möchte dies and dieser Stelle betonen, dass die folgende
Zuordnung bei Vorlage anderer Personen(gruppen) sehr stark differieren kann, und somit
nur als möglicher Vorschlag meinerseits angesehen werden darf.
4.2.6.1 Aufgabenkatalog 4 Klasse Grundschule
4.2.6.1.1 Schwierigkeitsgrad - Leicht
„Mini-Nimm-Weg“ (vgl. BezRD Nov/Dez 2000, A7 Primarstufe)
Sven spiel mit Pia das „Mini-Nimm-Weg-Spiel“: Sechs Streichhölzer liegen nebeneinander.
Jeder darf abwechselnd ein oder zwei Streichhölzer wegnehmen. Verloren hat der, der das
letzte Streichholz wegnehmen muss. Wie muss Sven anfangen, damit er auf jeden Fall gewinnt. Begründe deine Strategie.
„Im Zoo“ (BezRD Jan/Feb 2001, A1 Primarstufe 3+4)
In einem Gehege im Streichelzoo sind 25 Tiere zu sehen, und zwar Enten und Hasen. Zusammen haben sie 66 Füße. Wie viele Hasen und wie viele Enten sind in dem Gehege?
„Nordseeurlaub“ (BezRD Sep/Okt 2005, A1 Primarstufe 3+4)
Maria fährt mit ihren Großeltern für zehn Tage auf die Nordseeinsel Juist. Schon auf dem
Schiff fragt sie, ob sie Taschengeld bekommen wird. Oma sagt, dass sie Maria jeden Tag einen Euro geben möchte. Opa hat sich da etwas anderes ausgedacht: „Ich gebe dir am ersten
Tag einen Cent, am zweiten Tag 2 Cent und an jedem weiteren Tag das Doppelte vom vorherigen Tag.“ Zuerst ist Maria enttäuscht, doch dann beginnt sie zu rechen. Von wem ihrer
Großeltern erhält Maria in den zehn Tagen auf Juist mehr Taschengeld?
74
„Schau genau!“ (Winkelvoß 2004, S. 11)
In jeder der folgenden Zeilen ist genau eine Figur, die man nicht durch Drehung in die gleiche Lage bringen kann, wie die grau ausgefüllte Figur links. Finde sie heraus!
„Hasensport“ (BezRD Jan/Feb 2007, A2 Primarstufe 3+4)
Sieben Osterhasen trainieren fleißig Hochsprung, um auf ihrem Weg zu den Osternestern der
Menschen auch hohe und weite Hindernisse überwinden zu können. Die Namen der Häschen
beginnen mit den Buchstaben A, I, L, M, O, P, Y. Nach dem zehnten Training stellt sich folgendes heraus:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A sprang am niedrigsten
O sprang am höchsten.
Y sprang höher als M.
P sprang höher als I.
Die Höhe von L lag zwischen der Höhe von Y und O.
Die Höhe von P lag zwischen den Höhen von I und M.
Denke dir nun passenden Namen für die Osterhasen aus. Schreibe die Osterhasen in der richtigen Reihenfolge auf (der am höchsten springende Hase zuerst) und du erhälst aus den Anfangsbuchstaben ihrer Namen ein Lösungswort. Welches?
„Zahlendetektiv“ (Winkelvoß 2004, S. 21)
Folgende Zahlen sind nach einem bestimmten System angeordnet. Welche Zahl gehört in das
leere Feld und warum?
„Fibonacci-Zahlen“ (BezRD Sep/Okt 2001, A4a Primarstufe 3+4)
Die Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … nennt man Fibonaccifolge. Gib drei weitere Folgenglieder an. Beschreibe, wie man jeweils ein weiteres Folgenglied berechnet.
75
„Der Kirschbaum“ (BezRD Jan/Mär 2005, A1 Primarstufe 3+4)
In einem alten Garten steht ein Kirschbaum. Er hat sechs dicke Äste. Jeder der Äste hat sechs
dicke Zweige. An jedem dünnen Zweig hängen sechs Kirschen. Wie viele Kirschen hängen am
Baum?
4.2.6.1.2 Schwierigkeitsgrad - Mittel
„Kekse“ (BezRD Apr/Mai 2005, A2 Primarstufe 3+4)
In drei Keksdosen sind insgesamt 45 Kekse. Wie viele Kekse sind in den einzelnen Dosen,
wenn in jeder Dose 5 mehr sind als in der davor?
„Schokoriegel“ (BezRD Aug/Okt 2003, A6 Primarstufe 3+4)
Zum Ausflug in den Zoo treffen sich vier Geschwisterpaare. Zur Verpflegung haben sie 32
Schokoriegel mitgenommen. Ina erhält einen, Birgit zwei, Martina drei und Ruth vier Schokoriegel. Da Sven genau so gerne Schokolade isst wie seine Schwester, bekommt er gleich viele
Riegel wie sie. Michael dagegen bekommt doppelt so viele wie seine Schwester. Stefan erhält
sogar dreimal so viele und Andreas viermal so viele Riegel wie seine Schwestern. Wie heißen
die Geschwisterpaare?
„Zahlenspiel“ (Winkelvoß 2004, S. 17)
Welche Zahl gehört in das leere Feld und
warum?
„Balkenwaage“ (BezRD Mär/Mai 2001, A2 Primarstufe 3+4)
Osterhase Willi hat ein Problem: Von zwölf Ostereiern, die alle genau gleich aussehen, sind
elf auch gleich schwer. Aber ein Ei ist schwerer als alle anderen. Willi hat eine Balkenwaage.
Wie kann er durch höchstens drei Wägungen das besondere Ei bestimmen?
„Eierkochen“ (BezRD Mär/Mai 2002, A3 Primarstufe 3+4)
Die Osterhasen besitzen zum Eierkochen eine Sanduhr, die 3 Minuten läuft und eine Sanduhr,
die 7 Minuten läuft. Wie können sie damit einen Zeitraum von 8 Minuten messen?
„Limonade“ (BezRD Mär/Mai 2003, A1 Primarstufe 3+4)
Leonie, Marco und Anne finden einen Karton mit 21 gleich großen Limonadeflaschen. Sieben
davon sind voll, sieben halb voll und sieben leer. Sie möchten den Inhalt und die Flaschen
gleichmäßig untereinander verteilen. Ist das möglich, wenn der Inhalt aus keiner Flasche
umgeschüttet werden darf?
„Ostereier“ (BezRD Mär/Mai 2003, A5 Primarstufe 3+4)
Der Osterhase hat in seinem Korb 67 verschiedenfarbige Eier. Es sind doppelt so viele rote
Eier wie blaue, zwei grüne weniger als blaue und neun gepunktete mehr als blaue.
„Das Alter“ (BezRD Nov/Dez 2006, A3 Primarstufe 3+4)
Oma, Mutter und Tochter haben eines gemeinsam: Ihr Alter ist in diesem Jahr ein Vielfaches
von sieben, im nächsten Jahr ein Vielfaches von fünf. Oma ist noch keine 100 Jahre alt. Wie
alt sind Oma, Mutter und Tochter?
Tipp: Schreibe dir erst alle Vielfachen von sieben, dann die Vielfachen von fünf auf.
76
„Der Tunnel“ (BezRD Mai/Jul 2004, A3 Primarstufe 3+4)
Ein Eisenbahntunnel soll 2000 Meter lang werden. 800 Meter sind bereits fertig gestellt. Von
beiden Seiten wird gleichzeitig gebaut. Auf der einen Seite werden täglich 29 Meter, auf der
anderen Seite 21 Meter fertig gestellt. Wie viele Tage muss noch gearbeitet werden, bis der
Tunnel fertig ist?
„Fußball“ (BezRD Jun/Aug 2001, A4 Primarstufe 3+4)
Die Fußballbundesliga besteht aus 18 Mannschaften. Während einer gesamten Saison spielt
jede Mannschaft gegen jede andere zweimal. Bei einem Sieg gibt es drei Punkte, bei Unentscheiden bekommt jeder einen Punkt. Zu wie vielen Spielen muss eine Mannschaft antreten?
Wie viele Spiele finden insgesamt statt? Wie viele Punkte kann eine Mannschaft maximal bekommen?
„Erdbeeren“ (BezRD Jun/Aug 2006, A1 Primarstufe 3+4)
Großmutter Spruth verteilt 117 Erdbeeren an ihre 13 Enkelkinder. Sie gibt dem Zweitjüngsten
eine Erdbeere mehr als dem Jüngsten, dem Drittjüngsten eine Erdbeere mehr als dem Zweitjüngsten usw. Wie viele Erdbeeren bekommt das jüngste Enkelkind?
4.2.6.1.3 Schwierigkeitsgrad - Schwer
„Der Betrug“ (BezRD Sep/Okt 2007, A2 Primarstufe 3+4)
Jan sitzt auf seiner Flohmarktdecke und hat eine große Auswahl an Sachen zu verkaufen. Einer freundlichen Dame verkauft er ein Buch, für das er 2,50 Euro haben möchte. Leider hat
die Frau nur einen 50 Euro Schein, den Jan aber wechseln kann. Mist, jetzt ist das ganze
Wechselgeld erst einmal futsch! Am nächsten Tag erlebt Jan eine böse Überraschung. Er
möchte das verdiente Geld auf sein Sparbuch bei der Bank einzahlen. Doch die Bank nimmt
den 50 Euro Schein nicht an. Er ist eine „Blüte“ (= Fälschung)! Der Schein wird einkassiert
und ist verloren. Jans Freund Tobi bedauert ihn: „Eigentlich hast du ja sogar 52,50 Euro
verloren. Die 50 Euro und die 2,50 Euro für das Buch.“ „Oh nein, noch viel mehr!“, jammert
Jan. „50 Euro für den falschen Schein und 47,50 Euro Wechselgeld.“ Oder hat Jan nur die
47,50 Euro Wechselgeld verloren? Wer hat Recht?
Tipp: Spiele die Geschichte nach. Nimm Spielgeld zur Hilfe!
„Pascalsches Dreieck“ (BezRD Sep/Okt 2001, A4b Primarstufe 3+4)
Diese Zahlenfigur nennt man Pascalsches Dreieck:
1
1
1
1
1
1
2
3
1
3
4
6
1
4
1
Die 5. Zahlenreihe lautet also: 1, 4, 6, 4, 1. Berechne die 6. und 7. Zahlenreihe. Beschreibe,
wie du diese Reihen erhälst.
„Glühwein“ (BezRD Nov/Dez 2002, A3 Primarstufe 3+4)
Annika hat einen 5-Liter, 3-Liter und 8-Liter Krug. Der 8 Liter Krug ist bis zum Rand mit
Kinderglühwein gefüllt. Wie kann Annika durch Umschütten erreichen, dass sich in zwei Krügen je 4-Liter Kinderglühwein befinden? Es darf kein anderes Gefäß benutzt werden.
77
„Wie viele sind wir?“ (BezRD Nov/Dez 2000, A3 Primarstufe 3+4)
Moritz erzählt Jessica: In unserer Klasse sind vier Jungen weniger als Mädchen. Die Anzahl
der Mädchen lässt sich durch acht teilen und die der Jungen ist ein Vielfaches von sechs.
Wenn alle Kinder da sind, benötigen wir weniger als 16 Schultische. Wie viele Kinder gehen
in die Klasse und wie viele Tische sind besetzt?
„Profi-Nimm-Weg-Spiel“ (vgl. BezRD Jan/Feb 2001, A4 Primarstufe 3+4)
Nun kommt das „Profi-Nimm-Weg-Spiel“. In der 1. Reihe befinden sich vier Hölzer, in der 2.
Reihe drei Hölzer, in der 3. Reihe zwei Hölzer und in der letzen ein Holz. Das ganze sieht wie
ein Dreieck aus. Lars und Annika dürfen nun abwechselnd in einer beliebigen Reihe beliebig
viele Hölzer wegnehmen. Lars darf beginnen. Wer das letzte Holz aufnimmt, hat verloren.
Gibt es eine Strategie, mit der Lars immer gewinnt?
„Alte Gewichte“ (BezRD Mai/Jul 2004, A2 Primarstufe 3+4)
Vor 5000 Jahren nahmen die Priester Babylons als Gewichtseinheit das Getreidekorn. 180
Körner wogen 8 Gramm. Ein Silberstück mit diesem Gewicht nannten sie Schekel. Für einen
Schekel bekam man 50 kg Mehl oder 360 Fische oder 2 Liter Dattelsirup. 60 Schenkel nannte
man eine Mine, 60 Minen nannte man ein Talent. Was konnte man für eine Mine kaufen? Was
bekam man für ein Talent?
4.2.6.1.4 Schwierigkeitsgrad - Sehr schwer
„Carl Friedrich Gauß 84“ (BezRD Sep/Okt 2002, A2 Primarstufe 3+4)
Hier eine Anekdote vom „Kleinen Gauß“ (Carl Friedrich Gauß war einer der bedeutendsten
deutschen Mathematiker, er lebte im 18. Jahrhundert): Die Klasse, in der der achtjährige
Gauß zur Schule ging, war einmal so laut, dass sie von ihrem Lehrer eine Sonderarbeit aufbekam. Sie sollten die Zahlen von eins bis 100 addieren. Während die anderen Mitschüler wie
wild rechneten, überlegte der kleine Gauß kurz, ging zum Lehrer und sagte im die Lösung, die
sogar richtig war. Findet auch den Rechenkniff um die Zahlen von eins bis 100 in kürzester
Zeit zu addieren. Wie lautet die Lösung?
„Das Pferderennen“ (BezRD Apr/Mai 2006, A3 Primarstufe 3+4)
Vier Kinder machen Ferien auf einem Ponyhof. An einem schönen Sonntag veranstalten sie
ein Pferderennen. Die vier Pferde haben unterschiedliche Farben: ein Schimmel, ein Rappe,
ein Brauner und ein Schecke. Die Kinder kommen aus Recklinghausen, Velbert, Dülmen und
Dorsten. Wer sitzt auf welchem Pferd und in welcher Reihen folge kommen die Reiter ins
Ziel? Wir wissen folgendes über die Kinder und ihre Ponys:
-
Der Rappe ist das schnellste, der Braune das langsamste Pony.
Peter und Nils reiten nicht auf dem Rappen.
Eines der beiden Mädchen kommt mit ihrem Pony als Dritte ins Ziel.
Peter kommt nicht aus Velbert.
Das Pferd des Kindes aus Dorsten ist ein Schecke.
Der Gewinner des Pferderennens kommt aus Dülmen.
Amalia und Elisabeth kommen nicht aus Recklinghausen.
Amalia kommt nicht aus Dülmen.
Tipp: Überlegt in einer Gruppe. Schreibt kleine Zettel mit den Namen, Städten usw.
84
CARL FRIEDRICH GAUSS: deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker, *1977, †1855
78
„Zahlenspiel“ (BezRD Jan/Feb 2003, A1 Primarstufe 3+4)
Klaus behauptet: Wenn ich mir drei beliebige natürliche Zahlen ausdenke, ist die Summe
zweier dieser Zahlen immer durch zwei teilbar. Hat Klaus Recht?
4.2.6.2 Aufgabenkatalog 5. Klasse Realschule
4.2.6.2.1 Schwierigkeitsgrad - Leicht
„Auf der Weide“ (Schmitt, 2004, S. 41)
Auf einer Weide grasen zwischen 40 und 45 Tiere: Kühe, Schafe und Ziegen. Es sind vier Ziegen weniger und elf Schafe mehr als Kühe.
Wie viele Kühe, Schafe und Ziegen grasen auf der Weide?
„Vier + Vier ist Acht“ (Winkelvoß 2005, S. 31)
In folgendem Schema sind die Buchstaben so durch Grundziffern zu ersetzen, dass man eine
richtig gelöste Additionsaufgabe erhält, deren Summe möglichst groß ist. Gleiche Buchstaben
bedeuten dabei gleiche Grundziffern, verschiedene Buchstaben, verschiedene Grundziffern.
„Winnetou“ (BezRD Nov/Dez 1999, A2 Sek. I 5+6)
Jutta ist Karl-May-Fan. In ihrem Regal hat sie die Bücher „Winnetou I“, „Winnetou II“ und
„Winnetou III“ hintereinander stehen. Als ihre Freundin Anja zu Besuch kommt, bemerkt sie:
„Daraus kann man ja die Zahl 123 lesen.“ Nun versuchen die beiden Freundinnen, durch
Umstellen der Bücher alle möglichen Zahlen zu bekommen. Welche Zahlen sind dabei möglich?
Im Bücherschrank der Eltern sehen sie kurz darauf ein Lexikon mit acht Bänden. Jetzt wollen
sie das gleiche damit machen. Welche ist die kleinste und welche die größte Zahl, die sie bilden können?
„Der Wohnort“ (BezRD Jul/Aug 1997, A2 Sek. I 5+6)
Hanna, Julia, Miriam und Sandra sind Freundinnen. Die Mädchen wohnen in der Albertgasse, der Bahnhofstraße, der Charlottenallee und dem Dohlenweg. In welcher Straße wohnt
jede, wenn folgende Bedingungen gelten
:
- Eines der Mädchen mit fünf Buchstaben im Vornamen wohnt in der Charlottenallee.
- Julia war am letzten Sonntag zu Besuch bei ihrer Freundin in der Charlottenallee, sie
wird am nächsten Wochenende bei ihrer Freundin in der Albertgasse sein.
- Miriam geht gerne mit ihren Freundinnen aus der Albertgasse und dem Dohlenweg
zusammen schwimmen.
„Das alte Foto“ (BezRD Sep/Okt 1997, A2 Sek. I 5+6)
Fritz fragt seinen Großvater: „Wie viele Jahre mag dieses Foto alt sein?“ Er bekommt zur
Antwort: „Addiere die größte einstellige Zahl und die größte zweistellige Zahl und die größte
dreistellige Zahl! Dann subtrahiere die größte vierstellige Zahl und du erhälst die Altersangabe.
79
„Baupläne“ (vgl. Schmitt 2004, S. 92)
Eine Möglichkeit, den Aufbau eines Würfelgebäudes aufzuzeichnen, ist die Darstellung der
Figur aus verschiedenen Perspektiven:
Zeichne jeweils einen Bauplan der folgenden Figuren:
„Zahlenspiel“ (BezRD Jan/Feb 2002, A1 Sek. I 5+6)
Bilde eine beliebige Zahl Z1, die aus drei verschiedenen Ziffern besteht. Ordne die Ziffern und
bilde so die größte und die kleinste Zahl. Bilde von diesen beiden Zahlen die Differenz und
nenne das Ergebnis Z2. Beginne nun von vorne und wiederhole den Vorgang auf gleiche Weise beliebig oft.
Was fällt dir auf?
Verändere die Anfangszahl. Was beobachtest du bei zweistelligen Zahlen?
„Wer bietet mehr?“ (Schmitt 2004, S. 67)
Bestimme die Anzahl an Dreiecken und
Quadraten, die in der nebenstehenden Figur
enthalten sind.
„Die Frühlingsparty“ (BezRD Apr/Mai 2006, A1 Sek. I 5+6)
Johannas Mutter möchte zu Ostern für Johannas Freunde eine Frühlingsparty im Garten ausrichten. Dazu hat sie mehrere Tische in den Garten gestellt und leckeren Frühlingskuchen
gebacken. Als alles vorbereitet ist, will Johanna unbedingt wissen, wie viele Kuchen ihre Mutter gebacken hat. Ihre Mutter weiß, dass Johanna gerne knobelt und sagt folgendes zu ihrer
Tochter: „Wenn ich auf jeden Tisch einen Kuchen stelle, so fehlt einem Kuchen ein Tisch.
Stelle ich aber auf jeden Tisch zwei Kuchen, so bleibt ein Tisch ohne Kuchen.“ Johanna überlegt angestrengt, zieht dabei die Stirn in viele Falten und weiß sich erst mal keinen Reim darauf zu machen.
Kannst du Johanna helfen?
80
4.2.6.2.2 Schwierigkeitsgrad - Mittel
„Zahlenknobelei“ (BezRD Sep/Okt 1997, A3 Sek. I 5+6)
Wie viele verschiedene Zahlen kann man mit den Ziffern 0 bis 5 schreiben, wenn jede Ziffer
nur einmal vorkommen darf?
„Cafébesuch“ (vgl. Schmitt, 2004, S. 29)
Carola möchte mit ihren Eltern ein Café besuchen. Auf der Terrasse ist gerade noch ein runder Tisch mit vier Stühlen frei.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Familie, sich in unterschiedlichen Anordnungen an den Tisch zu setzen?
„Spielwürfel selbst gemacht“ (Schmitt 2004, S. 89)
Die unten aufgeführten Netze können jeweils zu einem Würfel gefaltet werden. Es fehlen jedoch in jedem Netz drei Ziffern. Die fehlenden Ziffern sollen so eingetragen werden, dass die
Zahlen der jeweils gegenüberliegenden Würfelseiten zusammen sieben ergeben.
„Die Telefonnummer” (BezRD Sep/Okt 1998, A3 Sek. I 5+6)
Susanne erzählt von ihrer sechsstelligen Telefonnummer. Alle Ziffern die vorkommen sind
ungerade. Die vierte Ziffer ist fünfmal so groß wie die letzte, die erste Ziffer dreimal so groß
wie die letzte. Außerdem ist die vierte Ziffer genau so groß wie die Summe der ersten drei
Ziffern. Die Summe aller Ziffern beträgt 20. Ermittle Susannes Telefonnummer. Prüfe, ob es
nur eine Nummer mit den genannten Eigenschaften gibt.
„Das Fahrradschloss“ (BezRD Sep/Okt 1999, A2 Sek. I 5+6)
Bei einem Fahrradschloss kann man auf jeder der 4 Scheiben die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6
einstellen. Wie viele Einstellungsmöglichkeiten lässt das Schloss zu?
„Das Millenium-Wasser“ (BezRD Jan/Feb 2000, A3 Sek. I 5+6)
Zwei Freunde haben einen acht Liter fassenden Eimer voll mit Millenium-Wasser. Sie wollen
ihn gerecht teilen, doch sie haben nur ein Drei- und ein Fünf-Liter-Gefäß zur Verfügung. Wie
können sich die beiden helfen?
Tipp: Erkläre mit Hilfe einer Tabelle!
„Die Gedankenleserin“ (BezRD Apr/Mai 2005, A2 Sek. I 5+6)
„Ich kann eure Gedanken lesen!“ erklärt Miriam ihrer Freundin Sina. „Denke dir eine Zahl.
Multipliziere sie mit zehn. Addiere vier. Multipliziere das Ergebnis mit zwei und addiere hierzu 12. Jetzt multiplizierst du das Ergebnis mit fünf. Und nun, nenne mir dein Ergebnis.“
Sina antwortet: „Ich habe die Zahl 1400 ausgerechnet.“
Miriam bestimmt sofort die gedachte Zahl: „Du hast dir die Zahl 13 ausgedacht!“ Und das
gelingt Miriam immer. Und dir?
Erkläre den Trick. Überlege dir auch einen mathematischen Zaubertrick.
81
„Die Skihütte“ (BezRD Jun/Aug 2000, A1 Sek. I 5+6)
Das Matratzenlager einer Skihütte ist voll besetzt, jeder Schlafende hat 70 cm Platz. Es kommen vier weitere Personen dazu, jetzt hat jeder nur noch 60 cm zur Verfügung. Wie viele Personen sind im Schlafraum?
„Die Vögel“ (BezRD Jan/Feb 2001, A3 Sek. I 5+6)
Richard beobachtet Vögel im Futterhäuschen. Er sieht Blaumeisen, Kohlmeisen und Spatzen.
Es sind mehr Spatzen als Kohlmeisen und mehr Kohlmeisen als Blaumeisen da. Als Richard
die Anzahlen der Vögel multipliziert, stellt er fest, dass das Produkt eine ungerade Zahl zwischen 30 und 40 ist. Wie viele Vögel sind von den einzelnen Arten im Futterhäuschen? Nenne
alle Möglichkeiten.
„Verfolgungsjagd“ (BeuRD Mär/Mai 2001, A1 Sek. I 5+6)
Aus einem chinesischen Mathematikbuch des 3. Jahrhundert stammt folgende Aufgabe: Ein
Hund verfolgt einen Hasen. Dieser hat einen Vorsprung von 100 Schritten. Immer wenn der
Hase 12 Schritte zurücklegt, macht der Hund 15. Wie viele Schritte (gleiche Schrittlängen
vorausgesetzt) müsste der Hund laufen, um den Hasen einzuholen?
„Die Apfelernte“ (BezRD Sep/Okt 2005, A3 Sek. I 5+6)
Annetts Vater hat im Garten Äpfel geerntet. Diese hat er in drei Schalen auf den Tisch gestellt. In der ersten Schale sind halb so viele Äpfel, wie in jeder der beiden anderen. Annetts
Mutter nimmt aus der ersten Schale zwei Äpfel und legt sie in die zweite, nimmt danach aus
der zweiten Schale vier Äpfel und legt sie in die dritte, nimmt schließlich aus der dritten Schale sechs Äpfel und legt sie in die erste. Nun sind in jeder Schale gleich viele Äpfel. Nun überlegt Annett, wie viel Äpfel anfangs in jeder dieser Schalen waren. Kannst du Annett helfen?
4.2.6.2.3 Schwierigkeitsgrad - Schwer
„Ein Korb voller Äpfel“ (Schmitt, 2004, S. 33)
Tobias hat im Garten drei verschiedene Sorten Äpfel in einen Korb gelesen, insgesamt 28
Stück. Im dunklen Keller nimmt er nun zum Kuchenbacken einige Äpfel heraus. Wie viele Äpfel muss Tobias mindestens aus dem Korb nehmen, um mit Sicherheit vier Äpfel der gleichen
Sorte zu erhalten? (Die Äpfel sind gleich groß, also durch Tasten nicht zu unterscheiden.)
„Aus eins mach zwei“ (Schmitt 2004, S. 69)
Das gegebene Sechseck soll jeweils durch eine Strecke geteilt werden in:
Welche Aufteilungen des Sechsecks sind noch möglich?
„Wie alt ist Mr. Green?“ (BezRD Mär/Mai 1999, A1 Sek. I 5+6)
Auf seiner Geburtstagsparty wollte Mr. Green mit seinem Alter nicht so recht herausrücken.
Er sagte: „Wenn ihr das Jahr meiner Geburt zu diesem Jahr addiert, dann das Jahr meines
10. Geburtstages abzieht und auch das Jahr meines 50. Geburtstages, sodann mein gegenwärtiges Alter addiert, dann ist das Resultat 80. Wie alt war Mr. Green?
82
„Zahlensuche“ (Winkelvoß 2005, S. 29)
Bestimme diejenige natürliche Zahl, deren Quersumme 13 ist und bei der die Differenz aus
der ursprünglichen Zahl und der Zahl, die man durch Vertauschen der beiden Ziffern erhält,
auf sieben endet.
„Die Geldvergabe“ (BezRD Jan/Feb 2002, A3 Sek. I 5+6))
Eine Geldbörse mit 100 Euro soll an vier Freunde verteilt werden. Daniel erhält 4 Euro mehr
als Fabian. Carl-Ferdinand bekommt 8 Euro mehr als Daniel und Vera hat am Ende doppelt
so viel wie Carl-Ferdinand. Welchen Betrag besitzt der Einzelne nach der Verteilung?
„Die Fernsehsendung“ (BezRD Jan/Mär 2005, A1 Sek. I 5+6)
Ein Fernsehsender veranstaltet zum Karneval in Düsseldorf eine große Fernseh-LiveSendung. Der Eintritt beträgt immer die Hälfte des Alters der jeweiligen Person, wobei der
Höchstbetrag für den Eintritt 9 Euro beträgt. Familie Lustig hat beschlossen, an dieser Fernseh-Live-Sendung teilzunehmen. Berechne das Eintrittgeld für die Familie, wenn folgendes
bekannt ist: Der Vater ist 42 Jahre und die Mutter 38 Jahre alt. Das Produkt der Alter der
drei Kinder der Familie Lustig beträgt 1408. Dabei ist das jüngste Kind (Alexandra) mindestens halb so alt wie das Älteste (Johann). Das mittlere Kind heißt Luisa.
Wie viel Eintritt muss die Familie Lustig für jede Person und insgesamt bezahlen?
„Zahlzerlegung“ (Winkelvoß 2005, S. 33)
Die Zahl 45 ist in vier Summanden zu zerlegen, so dass man dieselbe Zahl erhält, wenn man
zum ersten Summanden zwei addiert, vom zweiten Summanden zwei subtrahiert, den dritten
Summanden mit zwei multipliziert und den vierten Summanden durch zwei dividiert.
„Die Verdächtigen“ (vgl. BezRD Jun/Aug 2005, A2 Sek. I 5+6)
In der heutigen Schulstunde gab es großen Krach, weil sich Herr M. eine nasse Hose holte,
als er sich auf den mit dem Tafelschwamm belegten Stuhl setzte. Gleich hatte er die fünf Schüler im Verdacht, die der Pausenaufsicht aufgefallen waren: Achim, Benni, Christian, Daniela
und Elli. Auf seine Frage, wer den nassen Schwamm dahingelegt habe, antworteten sie nur
zögernd:
-
Achim: „ 1. war ich es nicht. 2. habe ich die anderen vor diesem Streich gewarnt. 3.
Elli ist es gewesen.“
Benni: „ 1. ich hab es nicht getan. 2. Elli war es. 3. habe ich noch nie einen Streich
gespielt.“
Christian: „1. bin ich es nicht gewesen. 2. stimmt es, dass die Pausenaufsicht mich in
der Klasse antraf. 3. habe ich beim Rausgehen den Schwamm auf dem Stuhl gesehen.“
Daniela: „1. habe ich es nicht getan. 2. war Christian der Übeltäter. Und 3. bin ich
sehr erschrocken, als ich von dem Streich erfuhr.“
Elli: „ 1. war ich es niemals. 2. war es diesmal Daniela. 3. ist Achims Behauptung, ich
sei es gewesen, eine Lüge.“
Herr M. kennt die fünf genau und weiß, dass jeder Schüler genau zwei wahre Aussagen macht
und mit einer verwirren will.
Konnte Herr M. mit seiner festen Annnahme den Übeltäter ermitteln?
Wer war es dann?
83
4.2.6.2.4 Schwierigkeitsgrad - Sehr schwer
„In einem Zug“ (vgl. Schmitt 2004, S. 66)
Fast jeder kennt das „Haus vom Nikolaus“ – eine Figur, die ohne Absetzen des Stiftes nachgezogen werden kann, ohne dabei eine Linie doppelt zu ziehen.
a) Untersuche, welche der folgenden Figuren auf gleiche Weise in einem Zug nachgezeichnet werden können. Kennzeichne jeweils den bzw. die möglichen Anfangs- und
Endpunkte.
b) Vergleiche nun die beiden folgenden Figuren. Warum ist eine davon in einem Zug zu
zeichnen, die andere nicht? Suche nach einer allgemeinen Regel. Überprüfe deine
Vermutung an den Figuren A bis F.
c) Zeichne eigene Figuren, die in einem Zug zu zeichnen sind.
„100-Meter-Lauf“ (Winkelvoß 2005, S. 22)
Über einen 100-m-Lauf, den die drei Schüler Jens, Michael und Peter austrugen, wurden folgende Vorhersagen gemacht:
1.
2.
3.
4.
Frank sagte: „Jens oder Peter gewinnen.“
Horst sagte: „Wenn Jens nicht gewinnt, dann gewinnt Michael.“
Norbert sagte: „ Wenn Michael gewinnt, dann wird Jens Zweiter.“
Stefan sagte: „Michael wird schlechter abschneiden als Jens und Peter.“
a, Nach dem Lauf wurde festgestellt: Alle vier Voraussagen sind wahre Aussagen.
b, Nach dem Lauf wurde festgestellt: Als einziger hatte Horst eine wahre Aussage gemacht.
In den Fällen a, und b, ist noch bekannt, dass Jens, Peter und Michael alle drei verschiedene
Zeiten liefen.
Gib in beiden Fällen a, bzw. b, an, wer Erster, Zweiter bzw. Dritter wurde! Erkläre, wie du
deine Angaben gefunden hast!
„Der Geldgewinn“ (BezRD Jun/Aug 2006, A2 Sek. I 5+6)
Als Anna erfährt, dass ihre Lieblingsband schon bald in der Stadt spielen wird, und es noch
Karten für nur 45 Euro gibt, ist sie Feuer und Flamme. Leider hat sie ihr Taschengeld schon
längst ausgegeben, und leiht sich deshalb 30 Euro von ihrer Oma und 20 Euro von ihrem
Onkel. Damit kauft sie sich sofort die Konzertkarte, und behält 5 Euro über. Für 3 Euro kauft
sie sich zur Feier des Tages ein riesiges Eis, die verbleibenden 2 Euro zahlt sie schon einmal
ihrer Oma zurück. Jetzt hat sie 28 Euro + 20 Euro = 48 Euro und hat für 3 Euro Eis gegessen. Das sind zusammen 51 Euro. Anna hat also nicht nur eine Konzertkarte für ihrer Lieblingsband, sondern auch noch einen Euro Gewinn gemacht.
84
„Uhrenchaos“ (Winkelvoß 2005, S. 36)
Drei Turmuhren schlagen gleichzeitig 12. Die eine Uhr geht richtig, die zweite Uhr geht jeden Tag zehn Minuten vor, die dritte Uhr geht täglich 12 Minuten nach.
Nach Verlauf von wie vielen Tagen werden die drei Uhren wieder gleichzeitig 12 schlagen?
„Gummibärchen“ (BezRD Mär/Mai 2007, A3 Sek. I 5+6)
Mia, Pia und Manfred haben bei der Tombola auf dem Osterfest eine doppelt so hohe wie
breite Dose gefüllt mit Gummibärchen gewonnen. Sie beschließen, da sie auch noch die anderen Stände auf dem Festplatz besuchen wollen, abwechselnd auf die Dose mit den Gummibärchen acht zu geben.
Als Mia als erste auf die Gummibärchen achtet, die anderen sich währenddessen auf dem
Festplatz vergnügen, befürchtete sie bei der Aufteilung ungerecht behandelt zu werden. Sie
teilt die Gummibärchen in drei gleiche Teile und nimmt sich genau einen Teil. Dummerweise
bleibt bei der Teilung genau ein Gummibärchen übrig, das schenkt sie jedoch einem kleinen
Mädchen in der Nähe.
Pia, die nächste, die die Gummibärchen bewachen soll, ist von Anfang an misstrauisch. Auch
sie teilt die noch vorhandenen Gummibärchen in drei Teile, nimmt sich ihren Teil, und wieder
bleibt genau ein Gummibärchen übrig. Dieses Gummibärchen bekommt diesmal ein kleiner
rothaariger Junge.
Auch Manfred handelt genau so wie die anderen beiden. Auch dieses Mal bleibt ein Gummibärchen übrig und auch dieses Mal bekommt diese Gummibärchen ein kleines Kind, das gerade in der Nähe spielt. Spät am Nachmittag, als das Osterfest dem Ende zugeht, teilen Mia,
Pia und Manfred die übrig gebliebenen Gummibärchen gleichmäßig unter sich auf. Auch
diesmal bleibt ein Gummibärchen für ein kleines Mädchen übrig.
Wie viele Gummibärchen haben die Kinder mindestens gewonnen?
„Römisches Erbrecht“ (Schmitt 2004, S. 43)
Eine Aufgabe der alten Römer:
Eine Frau ist schwanger, als ihr Mann stirbt und ihr 3500 Dinar hinterlässt. Nach römischem
Recht ist sie verpflichtet, die Hinterlassenschaft mit dem Kind, das sie erwartet, zu teilen. In
dem Falle, dass ein Sohn geboren wird, steht ihr nach dem Gesetz die Hälfte des Anteils des
Sohnes zu. Wird eine Tochter geboren, so erhält die Mutter den doppelten Anteil der Tochter.
Vier Monate nach dem Tod ihres Mannes bringt die Frau nun Zwillinge zur Welt, einen Sohn
und eine Tochter.
Wie ist die Erbschaft aufzuteilen, damit allen Forderungen des Gesetzes entsprochen wird?
„Einstein-Rätsel“ (Schmitt 2004, S. 48)
Dieses Rätsel wird ALBERT EINSTEIN (1879 – 1955) zugeschrieben.
Die neun abgebildeten Kreise bilden die Ecken von vier kleinen und drei großen gleichschenkligen Dreiecken.
Die Ziffern 1 bis 9 sollen nun so in die Kreise eingetragen werden, dass die Summe in jedem
der sieben Dreiecke gleich ist.
85
5 Unterrichtssequenz
Nach den nun ausführlich dargelegten theoretischen Ausführungen rund um Problemlösen
und Knobel—und Denksportaufgaben soll nun in einer sechsstündigen Unterrichtssequenz die
Fähigkeit zum Lösen von Knobelaufgaben seitens Schülern einer vierten Klasse Grundschule
und einer fünften Klasse Realschule überprüft werden. Da es sich nur um eine Momentaufnahme handelt, können die eigentlich notwendig zu durchlaufenden Etappen des Problemlösens (vgl. 4.1.4.3) nicht berücksichtigt werden, wären jedoch bei einer Langzeitstudie unverzichtbarer Bestandteil der Beobachtung.
5.1 Vorüberlegungen
Um die Ursprünglichkeit im Lösungsverhalten ermöglichen und beobachten zu können, sollen
die didaktischen Einwirkungen möglichst gering sein. Die Schüler sollen für ihr Tun eigenverantwortlich sein und sich in hohem Maße mit Aufgabe und Lösungsprozess identifizieren.
Neben der unterrichtlichen Offenheit beim Lösen soll ein fester organisatorischer Rahmen
notwendige Sicherheit und Orientierung für die Schüler schaffen (gemeinsamer Beginn im
Stuhlkreis, Bearbeitung, gemeinsamer Ausklang im Stuhlkreis).
Auch sollen die Schüler die Aufgaben nach einem jeweils für sie optimalen zeitlichen Ablauf
lösen können, d.h. die eigentliche Lösungsphase wird stundenorganisatorisch nicht weiter
untergliedert.
Die Differenzierung besteht in der Darbietung mehrerer, unterschiedlich anspruchsvoller
Aufgaben aus verschiedenen mathematischen Rahmengebieten (vgl. 4.2.2), d. h. es steht jedem Schüler bzw. jeder Gruppe zu, nach eigenem Ermessen eine gewisse Anzahl bzw. einen
gewissen (Schwierigkeits-)Typ zu bearbeiten.
Für die Aufgabenbearbeitung soll genügend Platz zur Verfügung stehen, aus diesem Grund
werden ausreichend linienlose Blätter in DIN-A4-Größe für die Kinder bereitgestellt (in Anlehnung an Rasch 2001, S. 76ff).
5.2 Allgemeine Informationen
Jahrgang:
4. Klasse mit 25 Schülern (14 männlich, 11 weiblich)
Die Schüler dieser Klasse besuchen den Ganztagesbereich der Grundschule.
Die Stunden sind nicht starr im 45-Minuten-Rhythmus begrenzt sondern werden von der Lehrkraft in Eigenregie eingeteilt, was eine hohe Flexibilität mit
sich bringt. Nachmittags besteht die Möglichkeit des Besuchs von Zusatz- und
86
Förderkursen sowie Tätigkeiten im sportlichen und sozialen Bereich. Eine weitere Besonderheit ist die, dass die Klassenleitung mit dem Tag der Einschulung
bis zur Beendigung der 4. Jahrgangsstufe andauert (kein Wechsel zwischen 2.
und 3. Klasse). Dies birgt die Vorteile, eine enge Klassengemeinschaft entstehen zu lassen sowie eine lückenlose Lehrplanarbeit auf Seiten der Klassenlehrerin.
5. Klasse mit 31 Schülern (21 männlich, 10 weiblich)
Die Schüler dieser Klasse besuchen die sechsstufige (Halbtages-)Realschule.
Sie kennen sich seit Beginn des laufenden Schuljahres, Mathematik wird vom
Klassenleiter unterrichtet.
Fach:
Mathematik
Grobziel:
Erwerb von Problemlösekompetenz
Feinziele:

In Einzel- und in Gemeinschaftsarbeit Knobelaufgaben lösen können.

In einem eng begrenzten Zeitraum (ca. 45 min) und einem längeren Zeitraum (ca. eine Woche) Knobelaufgaben lösen können.

Heuristische Strategien und Hilfsmittel anwenden können.

Mit anderen Schülern kooperativ und produktiv zusammenarbeiten können.

Diskussionen führen können unter Akzeptanz anderer Meinungen.

Nach falschen Lösungsansätzen die Motivation und die Kraft aufbringen
lernen, neue Lösungswege einzuschlagen.

Über eigenes Handeln reflektieren können.

Spaß und Freude am Fach Mathematik erfahren lernen.
Inhalt:
Knobel- und Denksportaufgaben
Thema:
Gruppen- sowie Einzelbearbeitung von Knobelaufgaben verschiedener Schwierigkeitsstufen und Kategorien über unterschiedliche Zeiträume
87
5.3 Erster Unterrichtsversuch - Erste Knobelstunde 4. Klasse Grundschule
5.3.1 Stundenverlaufsplan
Vorbemerkungen
Die Klasse hat innerhalb ihrer bisherigen Schulzeit bereits zahlreiche Erfahrungen mit Knobel- und Denksportaufgaben gemacht, die zwar nie als eigenes Thema innerhalb des Mathematikunterrichts behandelt wurden, jedoch immer wieder als Einstieg, als Abwechslung zum
normalen Stoff oder zum Ausklang einer Stunde eingesetzt wurden. Insofern werden meinerseits keine größeren Verständnisschwierigkeiten erwartet. Auch habe ich während eines dreiwöchigen Praktikums 2006 innerhalb dieser Klasse bereits eine Unterrichtsstunde zu Knobelaufgaben gehalten. Die Kinder bearbeiteten damals im Stationsbetrieb folgende Aufgaben aus
dem Bereich Zahlenrätsel und Zahlenspielereien:
Abbildung 10: Behandelte Knobelaufgaben (Eigenproduktion der Studentin)
Abb.: Zahlenfolgen
Abb.: Zahlenmauern
Abb.: Knacknüsse
Abb.: Zahlennetze
88
Die Vorbereitung auf diese Stunde besteht insbesondere darin, aus einer großen Menge existierender Knobelaufgaben fünf, für diese Unterrichtsstunde geeignete, auszuwählen. Dies geschieht insbesondere hinsichtlich der unter 4.2.5 bereits beschriebenen Kriterien Anschaulichkeitsgrad, Abstraktionsgrad, Formalisierungs- bzw. Mathematisierungsgrad sowie Komplexitätsgrad. Es sollen alle Schüler durch Darbietung unterschiedlich schwerer Aufgaben die
Möglichkeit erhalten, den Problemlöseprozess erfolgreich bewerkstelligen zu können.
Bewusst wurden Aufgaben gewählt, die sich in ihrer Erscheinungsweise unterscheiden, d.h.
von einer kurzen Vorgeschichte eingeleitet werden (Gruppenknobelaufgabe 4), von einer
bildlichen Untermalung begleitet sind (Gruppenknobelaufgaben 1 und 3), aus dem Bereich
Zahlenrätsel (Gruppenknobelaufgabe 2) dem Bereich Geometrie (Gruppenknobelaufgabe 5)
oder dem Bereich Logik (Gruppenknobelaufgabe 4) entnommen sind.
Außerdem sind die Aufgaben so gewählt, dass die verschiedensten heuristischen Strategien
sowie Hilfsmittel zum Einsatz kommen. So eignet sich bei Gruppenknobelaufgabe 1 beispielsweise sowohl systematisches Probieren, als auch das Rückwärtsarbeiten oder Operatorschreibweise sowie die Erstellung einer informativen Figur oder Tabelle. In Gruppenknobelaufgabe 2 würde sich ebenfalls systematisches Probieren oder aber das Vorwärtsarbeiten an-
bieten. Die Strategien des systematischen Probierens, Vorwärtsarbeitens sowie der Einsatz
einer Skizze eigenen sich in Gruppenknobelaufgabe 3. Gruppenknobelaufgabe 4 ist hauptsächlich durch Vorwärtsarbeiten mit kombinatorischem Hintergrund und Erstellung einer
Skizze zu bewältigen. Gruppenknobelaufgabe 5 letztendlich kann ebenfalls durch Vorwärtsarbeiten und die Nutzung geeigneten veranschaulichenden Materials gelöst werden.
Zudem soll darauf geachtet werden, die Aufgaben hinsichtlich ihres Umfangs eher kurz und
knapp zu halten sowie sprachliche Unklarheiten wie Fremdwörter, Fachbegriffe oder veraltete
Worte zu vermeiden, da die den Schülern zur Verfügung stehende Zeit für das Wesentliche,
nämlich das Finden und Beschreiten eines möglichen Lösungsweges, genutzt werden soll.
Zudem wird vorab eine Videokamera aufgebaut, die den Lösungsprozess einer Gruppe in seiner Gesamtheit dokumentieren soll.
89
Tabelle 6: Stundenverlaufsplan zum ersten Unterrichtsversuch, Klasse 4
Zeit 85
(min)
Artikulation
geplanter/beobachteter Unterrichtsverlauf
Ziele/Inhalte/Unterrichtsform
Medien
Sozialform
0
Motivation
Die Studentin begrüßt die Schüler und hat nun
entweder die Möglichkeit, eine kurze Knobelaufgabe zur Einführung vorzustellen, z. B.
Stuhlkreis
Eine Schnecke in einem 20 m tiefen Brunnen
will nach oben auf die Wiese. Sie kriecht am
Tage immer 5 m hoch und rutscht nachts im
Schlaf wieder 2 m nach unten. Am wievielten
Tag erreicht sie den Brunnenrand?
10
13
Einweisung
Erarbeitung
woraufhin eine rege Diskussion auf Schülerseite entsteht. Die Lösungsideen und –ansätze
werden gesammelt, an der Tafel notiert und
die Aufgabe in Zusammenarbeit Aller gelöst.
Tafel
Eine andere Möglichkeit, die hier zur Anwendung kommen soll, ist der Rückbezug auf
eine von mir vor einem Jahr in ebendieser
Klasse gehaltenen Stunde zu Knobelaufgaben
mit Zahlenmauern, Zahlenfolgen, Zahlennetzen und Zahlenquadraten (siehe Vorbemerkungen). Die Kinder erinnern sich und sind
motiviert, neue Knobelaufgaben kennen zu
lernen und bearbeiten zu dürfen.
alte Knobelaufgaben
Die Kinder bekommen nun die Möglichkeit,
sich in Kleingruppenarbeit mit weiteren Knobelaufgaben zu beschäftigen. Hierzu bilden
sie selbständig 3er bzw. 4er Gruppen, die sich
jeweils an zwei aneinander gestellten Tischen
niederlassen.
Gruppeneinteilung
Anschließend werden von der Studentin Aufgabenpäckchen mit fünf verschiedenartigen,
für jede Gruppe jedoch identischen Knobelaufgaben verteilt.
vorbereitete
Knobelaufgaben
auf Karteikarten
Die Schüler lesen nun zunächst innerhalb
ihrer Gruppe die verschiedenen Aufgaben,
versuchen diese nach empfundener Schwie-
85
Kleingruppenarbeit
(Schmier-) Pa-
Die hier (und in den folgenden Stundenverlaufsplänen) gewählte Zeiteinteilung stellt eine von vielen Möglichkeiten dar und soll hier nur als Anregung dienen. Es ist durchaus denkbar, die Bearbeitungszeit einzelner Aufgaben nach persönlichem Ermessen und zeitlichen Möglichkeiten zu kürzen oder zu erweitern.
90
rigkeit zu ordnen, einigen sich hinsichtlich der
Bearbeitung und beginnen damit, eine (oder
mehrere) der zur Auswahl stehenden Knobeleien zu lösen. Dabei verwenden sie unterschiedliche Hilfsmittel wie Tabelle oder informative Figur und versuchen, mit Hilfe unterschiedlicher Strategien wie Vorwärtsarbeiten, Rückwärtsarbeiten oder mittels Versuch
und Irrtum gemeinsam einen Lösungsweg zu
beschreiten.
Die Studentin steht den Schülern während
dieser Zeit als Helferin und Beraterin zur Seite, beobachtet, macht sich Notizen, lässt den
Schülern jedoch einen großen Freiraum zum
selbständigen Arbeiten und Entdecken.
pier, Stifte, Lineal
48
Reflexion
Die Schüler stellen nun ihre Bearbeitung ein
und versammeln sich, wie zu Beginn, im
Stuhlkreis. Sie übergeben der Studentin die
bearbeitete(n) Aufgabe(n) und berichten kurz
vom Verlauf der Gruppenarbeitsphase und
äußern ihre Eindrücke, Erfahrungen, Emotionen etc. der erlebten Stunde unter Begründung ihrer Meinung.
Stuhlkreis
54
Übung
Um die Möglichkeit zu bekommen, sich auch
einmal über einen längeren Zeitraum mit einer Knobelaufgabe zu beschäftigen, bekommen die Kinder die so genannte „Knobelaufgabe der Woche“ ausgeteilt. Für deren Bearbeitung steht den Schülern eine komplette
Schulwoche zur Verfügung, wobei die Aufgabe insbesondere in der nachmittäglichen
Hausaufgabenzeit, möglichst in Einzelarbeit,
in der Schule bearbeitet werden soll.
Arbeitsblatt
„Knobelaufgabe
der Woche“
Im Anschluss an diese Stunde werden zwei der gebildeten Arbeitsgruppen nacheinander in
den an das Klassenzimmer grenzenden Raum gebeten und dort nochmals intensiver zu den
bearbeiteten Knobelaufgaben interviewt. Dieses Interview erfolgt von der Studentin als Leitfadeninterview und wird zur besseren Dokumentation mit Hilfe einer Videokamera aufgenommen. Ausschlaggebend für die Durchführung dieser Gespräche ist die Hoffnung, genaue
Informationen seitens der Schüler über die Bearbeitungsphase, Lösungsschritte, verwendete
heuristische Hilfsmittel, Zusammenarbeit sowie aufgetretener Schwierigkeiten zu erfahren.
91
5.3.2 Leitfadeninterview
Um für die Befragung der Schüler ein gewisses Konzept und Grundgerüst an Fragen zu besitzen, wurde im Vornherein folgender Fragenkatalog entwickelt, der als unterstützende Anregung durch das Interview führen soll:

Wie hat dir/euch die Unterrichtsstunde gefallen?

Habt ihr/Hast du derartige Knobelaufgaben schon früher gelöst?

Welche der fünf Aufgaben habt ihr/hast du bearbeitet?

Warum gerade diese?

Wenn ihr/du die Aufgaben nach Schwierigkeitsgrad sortieren solltet/solltest, wie würde das aussehen?

Warum würdet ihr/würdest du das gerade so einteilen?

Habt ihr alle die gleiche Meinung?

Könnt ihr/Kannst du beschreiben, wie ihr/du beim Lösen vorgegangen seid/bist?

Habt ihr/Hast du von Beginn an diesen Lösungsweg eingeschlagen?

Habt ihr/Hast du irgendwelche Hilfsmittel benutzt?

Habt ihr/Hast du eine Zeichnung (eine Tabelle/eine Gleichung) erstellt?

Habt ihr eure/Hast du deine Lösung in irgendeiner Art und Weise hinterfragt oder überprüft?
5.3.3 Gruppenknobelaufgaben
Die folgenden fünf Aufgaben sind die zur Auswahl stehenden Knobelaufgaben, die den Schülern innerhalb der Bearbeitungsphase auf gelb-kartonierten Karteikarten vorgefertigt zur Verfügung stehen.
Die gewählte Nummerierung der Aufgaben ist willkürlich, dient hier dem Zweck einer besseren Übersicht; es muss ihr deshalb keine besondere Bedeutung zugemessen werden. Den Kindern selber werden die Knobelaufgaben in zufällig gemischter Reihenfolge in Form von Aufgabenpäckchen gereicht. Von einer möglichen Nummerierung für die Schüler nahm ich Abstand, da das Lösungsverhalten und die Auswahl der Knobelaufgaben unbeeinflusst und nach
persönlichen Vorlieben der Einzelnen vorgenommen werden soll.
92
Gruppenknobelaufgabe 1
Abbildung 11: Gruppenknobelaufgabe 1 - Der Mandarinengarten (Müller 2004, S. 47)
Der Mandarinengarten
Hassan kam in einen Garten mit Mandarinenbäumen und drei
bewachten Toren. Er half dem Gärtner beim Pflücken. Zum
Dank schenkte ihm dieser einen Korb voller duftender Mandarinen. Als Hassan hinausgehen wollte, musste er den Wächtern von diesen Mandarinen abgeben. Dem ersten Wächter
gab er die Hälfte der geschenkten Mandarinen und eine mehr,
dem zweiten Wächter die Hälfte der übrig gebliebenen Mandarinen und eine mehr. Als er auch dem dritten Wächter wieder die Hälfte und eine mehr gegeben hatte, besaß Hassan nur
noch eine Mandarine.
Mögliche Lösung:
Rückwärtsarbeiten ermöglicht folgenden Lösungsweg: Da der Gärtner Hassan 22 Mandarinen
schenkte, Hassan an jedem der drei Tore die Hälfte der Mandarinen und eine mehr abgeben
musste und am Schluss nur noch eine Mandarine besaß, ergibt sich durch Rückwärtsarbeiten
folgender Rechenweg:
3. Tor: 1 + 1 = 2 Mandarinen; 2 verdoppelt: 4 Mandarinen
Abbildung 12: Gruppenknobelaufgabe 2 - Anfang gesucht (Nobach et al. 2005, S. 43)
Anfang gesucht
Für welche Zahlen stehen die Buchstaben von M A T H E jeweils, wenn du Folgendes
weißt?
93
Mögliche Lösung:
Unmittelbar zu bestimmen und damit Ausgangspunkt der Bearbeitung ist E = 40 : 5 = 8. Hieraus folgen unmittelbar die Zahlenwerte der restlichen Buchstaben:
T = 8 · 7 = 56
M = 8 + 56 = 64
A = 64 : 2 = 32
H = 170 – (64 + 32 + 56 + 8) = 10
Abbildung 13: Gruppenknobelaufgabe 3 – Flussüberquerung (vgl. BezRD Sep/Okt 2001, A5 Primarstufe 3+4)
Flussüberquerung
Auf der Mainseite bei Escherndorf warten ein Hund, eine
Katze und ein Vogel. Sie wollen mit der Fähre auf die andere
Seite, um schnell nach Nordheim zu kommen. Die Fähre darf
aber immer nur ein Tier mitnehmen. Da sich der Hund mit der
Katze und die Katze mit dem Vogel nicht vertragen, dürfen
diese beiden Tiere nicht alleine auf einer Seite bleiben. Wie
oft muss die Fähre hin- und herfahren? Wen nimmt sie jeweils
mit?
Mögliche Lösung:
Zuerst wird die Katze hinüber gebracht und die Fähre fährt leer zurück. Dann wird der Vogel
hinüber gebracht und die Katze wieder mitgenommen. Nun wird der Hund hinüber gebracht
und die Fähre fährt leer zurück. Die letzte Fahrt erfolgt mit der Katze. Insgesamt ergeben sich
so sieben Fährfahrten.
94
Abbildung 14: Gruppenknobelaufgabe 4 – Langeweile (vgl. Rasch 2003, S. 49)
Langeweile
Ich weiß nicht was ich tun soll.
Ich habe mein Bett gemacht.
Ich habe Flöte geübt.
Ich habe alle meine Bücher gelesen.
Ich kann Puzzles nicht mehr ausstehen.
Mir ist langweilig, langweilig, LANGWEILIG, jammert Momo.
Löse ein Rätsel, sagt die Mutti: Wenn sich Anke, Birgit, Christian und Dieter früh auf dem
Schulweg treffen, geben sie sich gegenseitig die Hand. Wie viele Handschläge werden zwischen ihnen gewechselt.
Heute hat Anke ihre zwei Geschwister Lara und Sandra mitgebracht. Wie viele Handschläge
werden nun gewechselt, wenn die sechs Kinder aufeinander treffen?
Mögliche Lösung:
Anke beginnt und gibt Birgit, Christian und Dieter die Hand (3 Handschläge). Im Anschluss
reicht Birgit Christian und Dieter die Hand (2 Handschläge). Abschließend haben sich lediglich Christian und Dieter zu begrüßen (1 Handschlag). Dies ergibt insgesamt 3 + 2 + 1 = 6
Handschläge.
Treffen sich nicht nur vier, sondern sechs Kinder, lässt sich der Lösungsweg analog verdeutlichen: Lara beginnt, Sandra, Anke, Birgit, Christian und Dieter die Hand zu geben (fünf Handschläge). Anschließend gibt Sandra Anke, Birgit, Christian und Dieter die Hand (vier Handschläge). Bei den anderen vier Kindern weiß man bereits, dass diese sich untereinander zur
Begrüßung genau sechsmal die Hände schütteln. Dies ergibt insgesamt: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
Handschläge.
95
Abbildung 15: Gruppenknobelaufgabe 5 - Stein auf Stein (Nobach et al. 2005, S. 91)
Stein auf Stein
Die folgende Abbildung zeigt drei verschiedenen „Würfelgebäude“:
a) Aus wie vielen Würfeln bestehen die Gebäude jeweils? (Die Hinterseite der Gebäude
ist ohne Vorsprünge.)
b) Wie viele Quadrate bilden jeweils die gesamte Oberfläche (d.h. oben, unten, rechts,
links, vorne und hinten)?
c) Daniela möchte Körper Nummer 3 aus Holzwürfeln zusammenkleben. Wie viele
quadratische Seitenflächen muss sie dazu mit Leim bestreichen, wenn sie den Kleber
immer nur einseitig aufträgt?
Mögliche Lösung:
a) Gebäude 1 besteht aus sechs Würfeln, Gebäude 2 aus acht und Gebäude 3 aus 16 Würfeln.
b) Eine Vereinfachung beim Zählen bringt die Erkenntnis, dass die Anzahl der Quadratflächen von vorne und von hinten gleich ist, ebenso von oben, von unten und entsprechend auch
von rechts und von links. Es genügt also jeweils, aus einer Richtung zu zählen und diese Zahl
zu verdoppeln.
Tabelle 7: Lösungsmöglichkeit Gruppenknobelaufgabe 5 - Stein auf Stein (vgl. Nobach et al. 2005, S. 100)
Gebäude
vorne + hinten
rechts + links
oben + unten
Gesamtzahl
1
2·3=6
2·4=8
2 · 5 = 10
24
2
2 · 5 = 10
2·4=8
2 · 6 = 12
30
3
2 · 9 = 18
2 · 7 = 14
2 · 9 = 18
50
c) Durch schrittweises Abzählen kommt man auf 23 Klebestellen. Diese Zahl lässt sich auch
aus den Ergebnissen der Aufgaben a) und b) herleiten: Das Gebäude drei besteht aus 16 kleinen Würfeln mit insgesamt 16 · 6 = 96 Flächen. Hiervon sind 50 Flächen nach außen hin
sichtbar, also 96 – 50 = 46 verdeckt. Die 46 verdeckten Flächen gehören, da jeweils zwei Seiten aneinander liegen, zu 46 : 2 = 23 Klebestellen.
96
5.4 Zweiter Unterrichtsversuch - Zweite Knobelstunde 4. Klasse Grundschule
Dieser Unterrichtsversuch stellt die Fortsetzung der vor einer Woche begonnenen Unterrichtssequenz zum Lösen diverser Knobelaufgaben dar. Stand am 12.06.07 noch die Gruppenbearbeitung in einem eng begrenzten Zeitraum im Vordergrund, soll hier ein Schwerpunkt auf die
Einzelbearbeitung ausgewählter Aufgaben über einen längeren Zeitraum gelegt werden.
Tabelle 8: Stundenverlaufsplan zweiter Unterrichtsversuch, 4. Klasse
Zeit
(min)
Artikulation
Medien
Sozialform
0
Einführung
Motivation
In einer kurzen Gruppendiskussion wird an
die Erlebnisse und Empfindungen der Kinder
beim Lösen der Gruppenknobelaufgaben angeknüpft. Die Schüler erzählen eifrig und
schnell kommen die zur Bearbeitung ausstehenden Knobelaufgaben der Woche zur Sprache. Die Studentin fragt, welche Kinder welche Aufgabe aus welchem Grund bearbeitet
haben.
Stuhlkreis
10
50
Einzelinterviews Um detailliertere Informationen über die Bearbeitung zu bekommen, werden die Schüler
nun einzeln mit ihren Bearbeitungen in die
zum Filmen vorbereitet Tischgruppe gebeten.
Das Interview folgt dem unter 5.3.2 vorgestellten Muster.
Um die Wartezeit der nicht am Interview beteiligten Schüler sinnvoll zu nutzen, wird am
derzeitigen Wochenplan weitergearbeitet, in
dem zwei weitere Knobelaufgaben als freiwillige Ergänzung integriert sind.
Ausklang
Die letzten Minuten der Unterrichtsstunde
werden dazu genutzt, die Idee der Problemaufgabe der Woche mit den Kindern zu erörtern.
Videokamera
Lösung der
Knobelaufgabe
der Woche seitens der Kinder
Sitzkreis
5.4.2 Problemaufgaben der Woche
Um nicht nur die Fähigkeit zum Lösen von Knobelaufgaben innerhalb einer Kleingruppe und
eingeschränkter Bearbeitungszeit zu überprüfen, sondern auch die Fähigkeit jedes Einzelnen
mit deutlich längerer Bearbeitungszeit, bekommen die Schüler zwei Probleme der Woche zur
Verfügung gestellt, von denen eines gelöst werden soll. Nach sieben Tagen Bearbeitungszeit
97
sollen diese mit einzelnen, ausgewählten Schülern hinsichtlich Vorgehensweise, aufgetretenen Problemen, Lösungsprozess und Reflexion durchgesprochen werden Diese Einzelgespräche werden wiederum zur Dokumentation per Videokamera aufgezeichnet.
Die Problemaufgabe der Woche 1 eignet sich insbesondere zur Anwendung der Strategien des
systematischen Probierens und Vorwärtsarbeitens sowie zur Erstellung einer Tabelle. Die
Problemaufgabe der Woche 2 kann besonders gut durch die Kombination von Vorwärts- und
Rückwärtsarbeiten sowie das Nutzen einer Skizze bewältigt werden.
Problemaufgabe der Woche 1
Abbildung 16: Problemaufgabe der Woche 1 – Die Sportasse (BezRD Nov/Dez 2001, A6 Primarstufe 3+4)
Die Sportasse
Sabrina, Moritz, Jens, Annette, Florian und Caroline sind Freunde. Jeder ist in einem anderen
Sportverein. Sie gehen zum Schwimmen, Fußball, Tennis, Eishockey, Reiten und Tischtennis.
-
Jens kann kein Tor schießen aber bei seinem Sport kommt ein Netz vor.
Anette hat sieben Geschwister.
Sabrina spielt weder mit einem Ball noch mit einem Puck.
Florian liebt schnelle Spiele, langweilt sich aber beim Fußball.
Moritz hat eine Vorliebe für Minibälle.
Jens bester Freund heißt Andreas.
Annette hat es gerne feucht.
Reiten ist Mädchensache.
Wer übt welche Sportart aus? Erkläre deine Überlegungen genau!
Mögliche Lösung:
Tabelle 9: Lösungsmöglichkeit Problemaufgabe der Woche 1 - Sportasse
Schwimmen
Fußball
Tennis
Eishockey
Reiten
Tischtennis
86
Sabrina
+ (2)
-
Moritz
+ (3)
Jens
+ (4)
-
Annette
+ (1) 86
-
Florian
+ (5)
-
Die Zahlen (1) – (6) geben eine mögliche Reihenfolge der zu ermittelnden Lösungen an.
98
Caroline
+ (6)
-
Problemaufgabe der Woche 2
Abbildung 17: Problemaufgabe der Woche 2 – 8-Liter-Problem (vgl. BezRD Jan/Feb 2001, A6 Primarstufe 3+4)
Das 8-Liter-Problem
Anne möchte genau 8 Liter Wasser in ihr neues Aquarium schütten. Leider hat sie nur einen 10-Liter-Eimer
und einen 3-Liter-Eimer zur Verfügung. Kannst du Anne helfen, die 8 Liter zu erhalten, wobei ihr möglichst
wenig Wasser verbrauchen sollt?
Tipp: Erstelle eine Zeichnung! Vielleicht hast du sogar
geeignete Gefäße und kannst das Problem nachspielen!
Mögliche Lösung:
Mit dem 3-Liter-Eimer füllt man dreimal Wasser in den 10-Liter-Eimer. Im 10-Liter-Eimer
befinden sich nun neun Liter. Nun füllt man den 3-Liter-Eimer noch einmal und gießt damit
den 10-Liter-Eimer voll. Die restlichen zwei Liter schüttet man in das Aquarium.
Im Anschluss schöpft man aus dem vollen 10-Liter-Eimer mit dem 3-Liter-Eimer zweimal
drei Liter in das Aquarium, das dann acht Liter enthält. Insgesamt hat man 12 Liter verbraucht.
5.5 Dritter Unterrichtsversuch - Dritte Knobelstunde 4. Klasse Grundschule
Auch diese dritte Unterrichtsstunde knüpft inhaltlich an die beiden vorangegangenen an, wobei dieses Mal wiederum die Einzelbearbeitung des Schülers im Vordergrund stehen soll,
diesmal jedoch in einen eng begrenzten Zeitraum und, wenn möglich, unter Einzelbeobachtung.
Tabelle 10: Stundenverlaufsplan dritter Unterrichtsversuch, 4. Klasse
Zeit
(min)
Artikulation
Beobachteter/geplanter Unterrichtsverlauf Ziele/Inhalte/Unterrichtsform
Medien Sozialform
0
Einführung
stummer Impuls
Die Studentin heftet die in den vergangenen
Wochen gelösten Knobelaufgaben (vergrößert) an die Tafel. Die Schüler melden sich
und wiederholen kurz die gemachten Erfahrungen.
Sitzkreis
Auf A3 vergrößerte Knobelaufgaben
99
3
Hinführung
Daraufhin erläutert die Studentin, dass heute, Dreierpack Einim Zuge des Unterrichtsversuchs, ein letztes zelknobelaufgaben weißes A4
Mal geknobelt werden wird, diesmal jedoch
nicht in Gruppen-, sondern in Einzelarbeit. Papier Schmierpapier
Drei freiwillige Schüler sollen hierbei von
der Studentin bzw. der Videokamera genauer
Zusatzbeobachtet werden. Nachdem diese drei Kinder feststehen, darf sich jeder einen Dreier- Knobelaufgabe
pack Knobelaufgaben abholen und mit der „Sportabzeichen“
Bearbeitung beginnen. Für den Fall, dass der
ein oder andere Schüler früher als erwartet
mit der Bearbeitung fertig sein sollte, wird
von der Studentin eine Zusatzknobelaufgabe
bereit gehalten.
5
Bearbeitung
Die Schüler beginnen mit dem Lösen der Einzelbearbeitung
Videokamera
vergebenen Aufgaben. Die Schwerpunkte
der Beobachtung liegen nun insbesondere in
der Auswahl der jeweiligen Aufgabe durch
den einzelnen Schüler, in der Wahl heuristischer Strategien und Hilfsmittel, in der Art
und Weise des Lösungsprozesses, dem Umgang mit möglichen Fehlversuchen und der
Reflexion der bearbeiteten Knobelaufgabe.
50
Reflexion
Die Schüler versammeln sich im Sitzkreis
und es werden exemplarisch einzelne Bearbeitungen vorgestellt. Die Schüler erzählen,
an welchen Stellen sie Probleme hatten, was
ihnen leicht gefallen ist und resümieren, wie
sie die Unterrichtsstunden rund ums Knobeln gefunden haben.
Sitzkreis
5.5.2 Einzelknobelaufgaben
Die Nummerierung der vier den Kindern vorgelegten Einzelaufgaben wurde hier wieder willkürlich gewählt. Einzelaufgabe 1 kann z. B. durch systematisches Probieren unter Zuhilfenahme einer Tabelle oder informativen Figur gelöst werden. Einzelaufgabe 2 ist bildlich untermalt und ist etwa mit der Strategie des kombinierten Vorwärts-Rückwärtsarbeitens lösbar.
Auch hier könnte eine Skizze gute Dienste leisten. Einzelaufgabe 3 entstammt dem Bereich
Zahlenspiele, vereint verschieden schwere Zahlenreihen und ist z. B. durch Vorwärtsarbeiten
bzw. eigenes Erfinden zu Lösen. Die Zusatzknobelaufgabe schließlich kann durch schrittweises Vorwärtsarbeiten unter Zuhilfenahme einer Skizze bewältigt werden.
100
Einzelknobelaufgabe 1
Abbildung 18: Einzelknobelaufgabe 1 – Altersfrage (BezRD Okt 2000, A3 Primarstufe 3+4)
Altersfrage
Marius besucht die Grundschule. Seine Schwester Lara ist fünf Jahre jünger. In zwei Jahren
ist er doppelt so alt wie seine Schwester. Wie alt sind die Geschwister jetzt?
Mögliche Lösung:
Da Marius die Grundschule besucht, ist er in der Regel sechs, sieben, acht, neun oder zehn
Jahre alt. Wäre er sechs Jahre alt, ist seine Schwester ein Jahr alt. In zwei Jahren ist dann Marius acht Jahre und seine Schwester drei Jahre alt. Er ist dann nicht doppelt so alt. Wäre Marius sieben Jahre alt, ist er in zwei Jahren auch nicht doppelt so alt. Aber wenn Marius acht Jahre alt ist, ist seine Schwester drei Jahre alt. In zwei Jahren ist er dann zehn und seine Schwester fünf Jahre alt. Er wäre dann doppelt so alt.
Abbildung 19: Einzelaufgabe 2 – Obst (vgl. Nobach et al. 2005, S. 60)
Obst
In vier Obstkisten liegen zusammen 58 Äpfel, wobei in jeder Kiste drei Äpfel mehr liegen als in der vorherigen.
Wie viele Äpfel sind in den einzelnen Kisten?
Mögliche Lösung:
In der zweiten Kiste liegen drei Äpfel mehr als in der ersten, in der dritten sechs Äpfel und in
der vierten neun Äpfel mehr als in der ersten Kiste. Der Überschuss in der zweiten, dritten
und vierten Kiste gegenüber der ersten beträgt zusammen also 3 + 6 + 9 = 18 Äpfel. Alle übrigen 58 – 18 = 40 Äpfel sind gleichmäßig auf die vier Kisten verteilt, womit in der ersten
Kiste 40 : 4 = 10 Äpfel liegen müssen. Damit befinden sich in der zweiten Kiste 13, in der
dritten 16 und in der vierten Kiste 19 Äpfel, sodass es zusammen wieder 10 + 13 + 16 + 19 =
58 Äpfel sind.
101
Abbildung 20: Einzelknobelaufgabe 3 – Finde die Regel (Nobach et al. 2005, S. 38)
Finde die Regel
Schreibe die nächsten zwei Zahlen der Folge auf. Erkläre, die Regel, nach der du vorgegangen bist! Kannst du auch eine eigene Zahlenfolge erfinden?
a)
b)
c)
d)
e)
1
10
99
7
___
2
5
72
13
4
12
27
6
8
7
45
18
16
14
18
12
___
___
27
36
___
___
___
___
___
___
___
___
___
___
___
___
___
Mögliche Lösung:
a) Jedes Folgeglied ist das Doppelte seines Vorgängers: mal 2. Die nächsten Zahlen sind
32, 64, 128.
b) Hier wird abwechselnd 5 subtrahiert und 7 addiert: -5, +7. Die nächsten Zahlen sind
9, 16, 11.
c) Hier ergibt sich jedes neue Glied als Differenz der beiden Vorgänger. Die nächsten
Zahlen der Folge sind 9, 18.
d) Die Differenz der erste beiden Zahlen ergibt die dritte, das Dreifache dieser Zahl die
nächste. So wird abwechselnd die Differenz der beiden Vorgänger gebildet bzw. die
vorangegangene Zahl verdreifacht. Die nächsten Zahlen sind 24, 72.
Zusatzknobelaufgabe – Für Turbos 87
Abbildung 21: Zusatzknobelaufgabe – Sportabzeichen (BezRD Apr/Mai 2006, A1 Primarstufe 3+4)
Sportabzeichen
Lutz und sein großer Bruder Hannes laufen 100 Meter für
ihr Sportabzeichen. Wenn Lutz 4 Meter gelaufen ist, hat
Hannes schon 5 Meter zurückgelegt. Hannes kommt nach
16 Sekunden ins Ziel. Wie lange braucht Lutz für die 100
Meter?
Tipp: Fertige eine Skizze an!
87
Turbos: Super-Schnelle-Schüler, die die Bearbeitung schneller als die Norm bewerkstelligen
102
Mögliche Lösung: (vgl. 6.3)
5.6 Vierter Unterrichtsversuch – Erste Knobelstunde 5. Klasse Realschule
Vorbemerkungen
Die Klasse hat, ganz im Gegensatz zur Versuchsklasse der Primarstufe, keinerlei Knobelerfahrungen im Mathematikunterricht gemacht. Einige wenige Kinder berichten davon, in der
Grundschule hin und wieder geknobelt zu haben. Andere beschäftigen sich regelmäßig in ihrer Freizeit mit dem Lösen von Sudoku-Rätseln.
Die Vorbereitungen auf diese Stunde bestehen analog zu den ersten drei Unterrichtsversuchen
in der Primarstufe darin, aus einer großen Anzahl existierender Knobelaufgaben fünf, für diese Unterrichtsstunde und Klassenstufe geeignete auszuwählen. Dies geschieht wiederum hinsichtlich der unter 4.2.5 beschriebenen Kriterien Anschaulichkeitsgrad, Abstraktionsgrad,
Formalisierungs- bzw. Mathematisierungsgrad sowie Komplexitätsgrad. Durch die Darbietung unterschiedlich schwerer Aufgaben verschiedenster Interessensgebiete sollen alle Schüler die Möglichkeit erhalten, den Problemlöseprozess erfolgreich durchlaufen zu können. Bewusst wurden Aufgaben gewählt, die von einer bildlichen Untermalung begleitet sind (Gruppenknobelaufgabe 1, 4 und 5), aus älterer Zeit stammen (Gruppenknobelaufgabe 2), aus dem
Bereich Zahlenrätsel (Gruppenknobelaufgabe 1), dem Bereich Geometrie (Gruppenknobelaufgabe 4) oder dem Bereich Logik (Gruppenknobelaufgabe 1) entnommen sind.
Außerdem sind die Aufgaben so gewählt, dass die verschiedensten heuristischen Strategien
sowie Hilfsmittel zum Einsatz kommen. So eignet sich Gruppenknobelaufgabe 1 zum
schrittweisen Vorwärtsarbeiten unter Anwendung des Ausschlussprinzips oder auch die Zuhilfenahme einer informativen Skizze oder einer Tabelle. In Gruppenknobelaufgabe 2 können
die Schüler sowohl durch Rückwärtsarbeiten sowie systematisches Probieren zu einer Lösung
gelangen. Systematisches Probieren bietet sich auch in Gruppenknobelaufgabe 3 an. Die Erstellung einer Tabelle kann eine Hilfe darstellen. In Gruppenknobelaufgabe 4 sollten die
Schüler durch Vorwärtsarbeiten, Probieren, Skizzieren oder Nachbauen Schritt für Schritt ihre
Lösungen komplettieren können. Gruppenknobelaufgabe 5 ist sowohl durch Aufstellung von
Gleichungen, Zuhilfenahme einer Skizze, kombiniertes Vorwärts- Rückwärtsarbeiten oder
systematisches Probieren zu lösen.
103
Neben alledem soll darauf geachtet werden, die Aufgaben hinsichtlich ihres Umfangs eher
kurz und kompakt zu halten sowie sprachliche Unklarheiten wie Fremdwörter, Fachbegriffe
oder veraltete Worte zu vermeiden, da die den Schülern zur Verfügung stehende Zeit für das
Finden und Beschreiten eines möglichen Lösungsweges optimal genutzt werden soll.
Tabelle 11: Stundenverlaufsplan vierter Unterrichtsversuch, 5. Klasse
Zeit
(min)
Artikulation
0
Motivation
Beobachteter/geplanter Unterrichtsverlauf
Die Studentin begrüßt die Schüler und stellt
eine kurze Knobelaufgabe zur Einführung in
die Thematik vor:
Medien
Sozialform
Stuhlkreis
Tafel
Einführungsknobelaufgabe
Der neue Pizzaservice „Pizza Quick“ bietet
für seine Pizzen fünf verschiedene Beläge:
Salami, Champignons, Ananas, Zwiebel und
Peperoni. Klaus möchte eine Pizza bestellen.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat er
für eine Pizza mit drei Belägen?
Es entsteht eine rege Diskussion auf Schülerseite. Die Lösungsideen und –ansätze werden
gesammelt, an der Tafel notiert und die Aufgabe in Zusammenarbeit Aller gelöst.
10
13
Einweisung
Erarbeitung
Die Kinder bekommen nun die Möglichkeit,
sich in Kleingruppenarbeit mit weiteren Knobelaufgaben zu beschäftigen. Hierzu bilden
sie selbständig Dreier- bzw. Vierergruppen,
die sich jeweils an zwei aneinander gestellten
Tischen niederlassen.
Gruppeneinteilung
Anschließend werden von der Studentin Aufgabenpäckchen mit 5 verschiedenartigen, innerhalb der einzelnen Gruppen jedoch identischen Knobelaufgaben verteilt.
vorbereitete
Knobelaufgaben
auf Karteikarten
Die Schüler lesen nun zunächst innerhalb
ihrer Gruppe die verschiedenen Aufgaben,
versuchen diese nach empfundener Schwierigkeit zu ordnen und beginnen damit, eine
(oder mehrere) der zur Auswahl stehenden
Knobeleien zu lösen. Dabei verwenden sie
unterschiedliche Hilfsmittel wie Tabelle oder
informative Figur und versuchen, mit Hilfe
unterschiedlicher Strategien wie Vorwärtsarbeiten, Rückwärtsarbeiten oder mittels Versuch und Irrtum gemeinsam einen Lösungs-
Kleingruppenarbeit
(Schmier-) Papier, Stifte, Lineal
104
weg zu beschreiten.
Die Studentin steht den Schülern während der
Bearbeitung als Helferin und Beraterin zur
Verfügung, beobachtet, macht sich Notizen,
lässt den Schülern jedoch einen großen Freiraum zum selbständigen Arbeiten und Entdecken.
38
Reflexion
Die Schüler stellen nun ihre Bearbeitung ein
und versammeln sich, wie zu Beginn, im
Stuhlkreis. Sie übergeben der Studentin die
bearbeitete(n) Aufgabe(n) und berichten kurz
vom Verlauf der Gruppenarbeitsphase und
äußern ihre Eindrücke, Erfahrungen, Emotionen etc. der erlebten Stunde unter Begründung ihrer Meinung.
Stuhlkreis
44
Übung
Um die Möglichkeit zu bekommen, sie auch
einmal über einen längeren Zeitraum mit einer Knobelaufgabe zu beschäftigen, bekommen die Kinder zwei so genannte „Knobelaufgaben der Woche“ ausgeteilt. Für die Bearbeitung einer der beiden Aufgaben steht den
Schülern eine Woche zur Verfügung. Sie soll
möglichst in Einzelarbeit und ohne Unterstützung seitens der Eltern gelöst werden.
Arbeitsblatt
„Knobelaufgabe
der Woche“
5.6.2 Gruppenknobelaufgaben
Die folgenden fünf Aufgaben sind die zur Auswahl stehenden Knobelaufgaben, die den Schülern innerhalb der Gruppenbearbeitungsphase auf Karteikarten vorgefertigt zur Verfügung
stehen. Die Nummerierung der Aufgaben ist wie in der 4. Klasse Grundschule willkürlich
gewählt. Die Schüler selber bekommen unnummerierte Aufgabenpäckchen in beliebiger Reihenfolge an die Hand.
105
Abbildung 22: Gruppenknobelaufgabe 1 – Nachbarschaft (Schmitt 2004, S. 17)
Nachbarschaft
Lena, Florian und Martin sind Nachbarn. Ihre
Häuser stehen in einer Reihe nebeneinander.
-
Das weiße Haus steht links neben dem gelben
Haus.
Lena wohnt links von Florian.
Das rote Haus steht rechts von Martin.
Florian wohnt rechts des roten Hauses.
Welche Farbe hat Florians Haus? Wie kommst du
auf diese Antwort?
Mögliche Lösung
Da das rote Haus rechts von Martin steht und Florian rechts des roten Hauses wohnt, muss
sich das rote Haus in der Mitte befinden und von Lena bewohnt werden. Dies stimmt auch mit
den übrigen Aussagen überein. Da das weiße Haus links des gelben liegt, wohnt Florian im
gelben Haus.
Abbildung 23: Gruppenknobelaufgabe 2 – Zeustempel (Schmitt 2004, S. 44)
Zeustempel
Ein alter Grieche in Geldnöten ging einst zum Zeustempel und bat den Göttervater, das Geld,
das er in der Tasche habe, zu verdoppeln. Sein Gebet wurde erhört und zum Dank opferte der
Mann acht Goldstücke.
Dann ging er zum Tempel Apollos, wo er die gleiche Bitte äußerte. Auch dort wurde er erhört und opferte den gleichen Betrag.
So zog er dann zum Tempel der Athene, wo sich die Geschehnisse in gleicher Weise wiederholten.
Wieder zu Hause, wollte er nun feststellen, wie viele Goldstücke er denn besitze, stellte jedoch zu seiner Überraschung fest, dass er völlig mittellos war.
-
Wie viele Goldstücke trug er bei sich , als er zum Tempel des Zeus kam
Wie viele Goldstücke hätte er mindestens dabei haben müssen, um „reich“ zu werden?
Begründe deine Antworten.
106
Mögliche Lösung:
Bei dieser Aufgabe erhält man den Startwert durch Rückwärtsrechnen: Bei allen drei Göttern
wird der Geldbetrag jeweils verdoppelt und dann um acht verringert. Rechnet man nun rückwärts von null Goldstücken ab, muss man entsprechend bei jedem Schritt den Betrag zunächst
um acht vergrößern und dann halbieren:
Abbildung 24: Lösungsmöglichkeit Zeustempel (Schmitt 2004, S. 55)
Beginnt der Grieche also mit sieben Goldstücken, bleibt ihm nichts übrig. Bei anfänglich acht
Goldstücken hat er am Ende wieder acht, d.h. er hat nichts verloren, aber auch nichts gewonnen. Einen echten „Zugewinn“ hat er erst ab einem Startkapital von mindestens neun
Goldstücken.
Abbildung 25: Gruppenknobelaufgabe 3 – Zahlen-Steckbrief (Schmitt 2004, S. 45)
Zahlen-Steckbrief
Gesucht ist eine Zahl mit der folgenden Eigenschaft:
Die Zahl ist zweistellig, wobei die Einerziffer dreimal größer ist als die Zehnerziffer. Vertauscht man die Ziffern, so ist die neue Zahl um 36 größer.
Wie lautet die gesuchte Zahl? Wie bist du auf dein Ergebnis gekommen?
Gibt es mehrere Möglichkeiten?
Mögliche Lösung:
Die Lösung ist schnell durch systematisches Probieren zu finden. Es gibt nur drei zweistellige
Zahlen, deren Einerziffer dreimal so groß ist wie die Zehnerziffer: 13, 26 und 39. Betrachtet
man dazu nun jeweils die „umgekehrte“ Zahl und die Differenz, so findet man als einzig mögliche Ausgangszahl 26.
a
13
26
39
b
31
62
93
b−a
18
36
54
107
Abbildung 26: Gruppenknobelaufgabe 4 – Würfel (Schmitt 2004, S. 91)
Würfel
Aus vier Holzwürfeln sollen durch Aneinanderkleben „Würfelvierlinge“ gebildet werden (siehe
rechts).
Finde möglichst viele verschiedenartige „Vierlinge“ und zeichne deine Lösung auf.
Mögliche Lösung:
Um möglichst alle Vierlinge zu finden, muss man möglichst systematisch vorgehen. Zu empfehlen ist hierzu zunächst eine Betrachtung der möglichen Drillinge. Hier gibt es zwei mögliche Anordnungen. Diese beiden Körper können nun jeweils um einen Würfel erweitert werden:
Abbildung 27: Lösungsmöglichkeit Würfelaufgabe (Schmitt 2004, S. 103)
Abbildung 28: Gruppenknobelaufgabe 5 – Geschwisterlich geteilt (Schmitt 2004, S. 40)
Geschwisterlich geteilt
Lauras Mutter bringt vom Einkaufen einen Beutel Mandarinen mit nach Hause. Dort möchte sie die Früchte gerecht
unter ihren Kindern aufteilen. Dabei stellt sie allerdings
fest: Gibt sie jedem der Kinder zwei Mandarinen, dann
bleiben drei Mandarinen übrig. Wenn stattdessen jedes
Kind drei Mandarinen erhalten soll, dann fehlen zwei
Mandarinen. Wie viele Geschwister hat Laura? Wie viele
Mandarinen waren im Beutel?
Mögliche Lösung:
Die 3 + 2 = 5 Mandarinen Differenz beim Verteilen von zwei bzw. drei Mandarinen entspricht gerade der Anzahl Kinder. Laura hat demnach vier Geschwister. Beim Verteilen von
108
je zwei Mandarinen an fünf Kinder bleiben drei Früchte übrig, weshalb die Zahl im Beutel 2 ·
5 + 3 = 13 Früchte beträgt.
5.7 Fünfter Unterrichtsversuch – Zweite Knobelstunde 5. Klasse Realschule
Diese zweite Unterrichtsstunde knüpft inhaltlich an die vorangegangene an, wobei dieses Mal
die Einzelbearbeitung jedes einzelnen Schülers im Vordergrund stehen soll.
Tabelle 12: Stundenverlaufsplan fünfter Unterrichtsversuch, 5. Klasse
Zeit
(min)
0
Artikulation
Beobachteter/geplanter Unterrichtsverlauf
Medien Sozialform
Sitzkreis
Die Studentin heftet die in den vergangenen
Einführung
stummer Impuls Wochen gelösten Knobelaufgaben (vergrö- Auf A3 vergrößert) an die Tafel. Die Schüler melden sich ßerte Knobelaufgaben
und wiederholen kurz die gemachten Erfahrungen.
3
Hinführung
Dreierpack
Daraufhin erläutert die Studentin, dass heute
Einzelein weiteres Mal geknobelt werden wird,
diesmal jedoch nicht in Gruppen-, sondern in knobelaufgaben
Einzelarbeit. Drei freiwillige Schüler sollen weißes A4 Pahierbei von der Studentin bzw. der Videoka- pier Schmierpapier
mera genauer beobachtet werden. Nachdem
diese drei Kinder feststehen, darf sich jeder
Zusatzeinen Dreierpack Knobelaufgaben abholen
und mit der Bearbeitung beginnen. Für den Knobelaufgabe
Fall, dass einzelne Schüler schneller als erwartet fertig sein sollten, wird die unter 5.5.2
vorgestellte Zusatzknobelaufgabe „Sportabzeichen“ bereitgehalten.
5
Bearbeitung
Die Schüler beginnen mit dem Lösen der vergebenen Aufgaben. Die Schwerpunkte der
Beobachtung liegen nun insbesondere in der
Auswahl der jeweiligen Aufgabe durch den
einzelnen Schüler, in der Wahl heuristischer
Strategien und Hilfsmittel, in der Art und
Weise des Lösungsprozesses, dem Umgang
mit möglichen Fehlversuchen und der Reflexion der bearbeiteten Knobelaufgabe.
Einzelbearbeitung
Videokamera
38
Reflexion
Die Schüler versammeln sich im Sitzkreis und
es werden exemplarisch einzelne Bearbeitun-
Sitzkreis
109
gen vorgestellt. Die Schüler erzählen, an welchen Stellen sie Probleme hatten, was ihnen
leicht gefallen ist und resümieren, wie sie die
Unterrichtsstunden rund ums Knobeln gefunden haben.
5.7.2 Einzelknobelaufgaben
Folgende vier Einzelaufgaben wurden den Kindern vorgelegt. Auch hier ist die Nummerierung willkürlich gewählt.
Die Einzelaufgabe 1 ist insbesondere durch systematisches Probieren sowie unter Zuhilfenahme einer Skizze zu lösen. Vorwärtsarbeiten und systematisches Probieren eignen sich bei
Bearbeitung der Einzelaufgabe 2. Bei Einzelaufgabe 3 gelangt man v.a. durch systematisches
Probieren zu einer korrekten Lösung.
Abbildung 29: Einzelknobelaufgabe 1 – Schnittpunkte (vgl. BezRD Sep/Okt 2001, A1 Sek. I 5+6)
Schnittpunkte
Nimm an, du hättest zwei unterschiedliche Quadrate:
Bei der linken Abbildung haben sie keinen Punkt gemeinsam, bei der rechten besitzen sie
zwei gemeinsame Punkte, nämlich die Schnittpunkte der Seiten. Wie können die Quadrate
liegen, damit sie genau
a)
b)
c)
d)
e)
f)
einen Punkt
drei Punkte
vier Punkte
fünf Punkte
sechs Punkte
sieben Punkte
gemeinsam haben sollen? Fertige jeweils eine Zeichnung!
110
Mögliche Lösung:
a) Ein Punkt: sie berühren sich in einer Ecke
b) Drei Punkte: sie berühren sich in einer Ecke und schneiden sich zwei Mal
c) Vier Punkte: sie schneiden sich vier Mal
d) Fünf Punkte: vier Schnittpunkte und ein Berührpunkt
e) Sechs Punkte: sie schneiden sich sechs Mal
f) Sieben Punkte: sechs Schnittpunkte und ein Berührpunkt
Abbildung 30: Einzelknobelaufgabe 2 – Mathe-AG (BezRD Jan/Feb 2007, A3 Sek. I 5+6)
Mathe-AG
Der Mathe AG des Heinrich-Heine Gymnasiums gehörten anfangs 21 Schüler an und zwar
sowohl Jungen als auch Mädchen. Nachdem drei Mädchen hinzukamen, waren es doppelt
soviel Mädchen wie Jungen. Wie viele Jungen und Mädchen gehörten anfangs der Mathe AG
an?
Mögliche Lösung:
Setzt man M für Mädchen und J für Jungen folgt: M + J = 24. Laut Aufgabe gilt folgendes:
21 +3 =24. 24 : 3 = 8. 2 · 8 = 16. Der AG gehörten folglich anfangs 8 Jungen und 16 – 3 = 13
Mädchen an.
Abbildung 31: Einzelknobelaufgabe 3 – Diebstahl (Bardy 2007, S. 67)
Diebstahl
Aus dem Kühlschrank ist eine Tafel Schokolade verschwunden. Die Mutter stellt ihre vier
Kinder, von denen genau eines die Tafel Schokolade gegessen hat, zur Rede. Die äußern sich
so:
- Anna: „Bernd hat sie gegessen!“
- Bernd: „Carola war es!“
- Carola: „Ich war es nicht!“
- Dieter: „Ich war es auch nicht!“
Eine der Behauptungen stimmt, alle anderen Behauptungen sind falsch. Wer hat die Tafel
Schokolade gegessen? Wessen Behauptung ist wahr? Begründe deine Antwort.
111
Mögliche Lösung:
Durch verschiedene Annahmen hinsichtlich der Täterschaft und unter Vergleich der einzelnen
Aussagen ergibt sich Folgendes: Angenommen, Annas Behauptung wäre wahr, dann wären
auch Carolas und Dieters Behauptngen wahr. Folglich lügt Anna. Angenommen, Bernds Behauptung wäre wahr, dann wäre auch Dieters Behauptung war, somit lügt auch Bernd.
Angenommen, Carolas Behauptung wäre war, so wäre tatsächlich einzig Carolas Aussage
richtig und Dieter ergäbe sich als Täter, da seine Aussage „Ich war es auch nicht“ demzufolge
falsch wäre.
5.8 Sechster Unterrichtsversuch – Dritte Knobelstunde 5. Klasse Realschule
Dieser Unterrichtsversuch soll die Unterrichtssequenz zum Lösen unterschiedlicher Knobelaufgaben zu einem Ende bringen. Standen im ersten noch Gruppenbearbeitung, im zweiten
bereits Einzelbearbeitung, beides jedoch in einem eng begrenzen Bearbeitungszeitraum im
Vordergrund, hatten die Schüler nun die Möglichkeit, sich in Eigenregie sieben Tage lang mit
den am 09.07.07 verteilten Knobelaufgaben der Woche zu beschäftigen.
Tabelle 13: Stundenverlaufsplan sechster Unterrichtsversuch, 5, Klasse
Zeit
(min)
Artikulation
Medien
Sozialform
0
Einführung
Motivation
In einer kurzen Gruppendiskussion wird an
die Erlebnisse und Empfindungen der Kinder
beim Lösen der Gruppen- und Einzelknobelaufgaben angeknüpft. Die Schüler erzählen
eifrig und schnell kommen die zur Bearbeitung ausstehenden Knobelaufgaben der Woche zur Sprache. Die Studentin fragt, welche
Kinder welche Aufgabe aus welchem Grund
bearbeitet haben.
Stuhlkreis
10
Einzelinterviews Um detailiertere Informationen über die Bearbeitung zu bekommen, werden die Schüler
nun einzeln mit ihren Bearbeitungen in die
zum Filmen vorbereitet Tischgruppe gebeten.
Das Interview folgt dem unter 5.3.2 vorgestellten Muster.
Um die Wartezeit der nicht am Interview beteiligten Schüler sinnvoll zu nutzen, wird
diesen die Möglichkeit gegeben, sich in Stillarbeit mit diversen Hausaufgaben oder dem
Weiterlesen der aktuellen Deutschlektüre zu
112
Videokamera
Lösung der
Knobelaufgabe
der Woche seitens der Kinder
beschäftigen.
40
Ausklang
Die letzten Minuten der Unterrichtsstunde
werden dazu genutzt, die zurückliegenden
drei Stunden Revue passieren zu lassen. Eindrücke, Empfindungen, Wünsche und Anregungen sollen hierbei angesprochen werden.
Sitzkreis
5.8.2 Knobelaufgaben der Woche
Um die Fähigkeit jedes einzelnen Schülers beim Lösen von Knobelaufgaben ohne enges Zeitlimit zu überprüfen, sollen, wie in der Primarstufe, zwei Knobelaufgaben der Woche gestellt
werden. Nach sieben Tagen Bearbeitungszeit einer der zwei zur Auswahl stehenden Knobeleien sollen diese mit einzelnen, ausgewählten Schülern hinsichtlich Vorgehensweise, aufgetretene Probleme, Lösungsprozess und Reflexion durchgesprochen werden Dieses Einzelgespräch wird wiederum zur Dokumentation per Videokamera aufgezeichnet (siehe 4.2).
Die Knobelaufgabe der Woche 1 kann insbesondere durch die Strategie des Vorwärtsarbeitens
gelöst werden. Bei der Knobelaufgabe der Woche 2 sind v.a. Vorwärtsarbeiten und systematisches Probieren nahe liegend.
Knobelaufgabe der Woche 1
Abbildung 32: Knobelaufgabe der Woche 1 – Taschenrechner (vgl. BezRD Nov/Dez 2006, A2 Sek. I 5+6)
Taschenrechner
Lisas Taschenrechner ist defekt. Alle Tastenbelegungen der Ziffern sind vertauscht, nur die
Null funktioniert noch ordnungsgemäß, genau wie die Rechenoperatoren. Sie tippt verschiedene Aufgaben ein und erhält auf dem Display jeweils die rechts angegebenen Ergebnisse.
Kannst du herausfinden, welche Taste für welche Ziffer steht? Erkläre genau, wie du zu deinen Lösungen kommst!
113
Mögliche Lösung:
Durch systematisches Probieren und der Suche nach einem sinnvollen Ansatz ergeben sich
folgende Ziffernbeziehungen:
Taste 6 = 8
Taste 5 = 3
Taste 2 = 5
Taste 4 = 9
Taste 3 = 1
Taste 1 = 4
Taste 9 = 7
Taste 8 = 2
Taste 7 = 6
Knobelaufgabe der Woche 2
Abbildung 33: Knobelaufgabe der Woche 2 – Neue Lehrer (Schmitt 2004, S. 13)
Neue Lehrer
Nach den Sommerferien bekommt die Klasse 7c neue Lehrer: Die Herren Hübner, Groß und
Fuchs unterrichten die Fächer Mathematik, Deutsch, Englisch, Biologie, Kunst und Sport,
jeder der Kollegen genau zwei Fächer. Über ihre neuen Lehrer wissen die Schüler:
-
Der Mathelehrer und der Sportlehrer fahren zusammen zur Schule.
Herr Hübner, ein Referendar, ist der jüngste der drei Kollegen.
Herr Fuchs spielt regelmäßig mit dem Mathelehrer Tennis.
Der Englischlehrer ist jünger als Herr Groß, aber älter als der Biologielehrer.
Herr Fuchs hat vier Kinder.
Der Älteste ihrer Lehrer kommt zu Fuß zur Schule.
Welche Fächer unterrichten Herr Hübner, Herr Groß und Herr Fuchs? Erkläre genau, wie du
zu deinen Lösungen gelangst!
Mögliche Lösung:
Aus den gegebenen Informationen lässt sich Folgendes ableiten: Der Mathelehrer unterrichtet
nicht Sport. Herr Fuchs ist nicht der Mathelehrer. Herr Groß ist der Älteste der drei, ist weder
Englisch- noch Biologielehrer. Er kommt außerdem zu Fuß, ist also weder Mathe- noch
Sportlehrer. Demnach unterrichtet Herr Groß Deutsch und Kunst. Der jüngste, Herr Hübner,
ist Biologielehrer. Er unterrichtet, da weder Herr Fuchs noch Herr Groß Mathelehrer sind,
außerdem Mathematik. Herr Fuchs vertritt somit die übrigen Fächer Englisch und Sport. In
der Tabelle ist die Fächerverteilung mit einem möglichen Lösungsweg übersichtlich dargestellt, wobei die Zahlen in Klammern die Reihenfolge der Folgerungen angeben:
Tabelle 14: Lösungsmöglichkeit Knobelaufgabe der Woche 2 – Neue Lehrer (Schmitt 2004, S. 21)
Hübner
Groß
Fuchs
Mathe
+ (6)
-(4)
-(1)
Deutsch
+(5)
-
Englisch
-(3)
+(7)
114
Biologie
+(2)
-(4)
-
Sport
-(1)
+(7)
Kunst
+(5)
-
6 Ergebnisse der Unterrichtssequenzen
6.1 Unterrichtssequenz Grundschule
6.1.1 Ergebnisse des ersten Unterrichtsversuchs
Die Gruppenaufteilung verlief relativ problemlos, nur zwei der 25 Kinder waren nicht sofort
integriert, was durch Eingreifen meinerseits jedoch gelöst werden konnte. Insgesamt entstanden sieben Gruppen, drei Dreiergruppen und vier Vierergruppen, die sich aus den folgenden
Schülern zusammensetzte:
-
Gruppe 1: Cosima, Judith, Mirjam
Gruppe 2: Noel, Lukas H., Robin, Louis
Gruppe 3: Melina, Isabel, Lea, Veronica
Gruppe 4: Jordan, Lukas R., Jonas St.
Gruppe 5: Lara, Caroline, Sarah, Ricarda
Gruppe 6: Hannes, Kilian, Markus
Gruppe 7: Niclas, Wolfi, David, Jonas W.
Gespannt und mit dem Fünferpack Gruppenaufgaben ausgestattet, machten sich die Schüler
an die Arbeit. Welche Knobelaufgaben von den einzelnen Gruppen bearbeitet wurden, zeigt
folgende Tabelle 88 im Überblick:
Tabelle 15: Gruppenbearbeitung 4. Klasse
Gruppenaufgabe Gruppenaufgabe
1
2
Gruppe 1
Gruppe 2
Gruppe 3
Gruppe 4
Gruppe 5
Gruppe 6
Gruppe 7
Mandarinengarten
++ 89
−
++
+++
+
++
+++
Anfang gesucht
+++
+++
+++
+++
+
−
+++
Gruppenaufgabe
3
Gruppenaufgabe
4
Gruppenaufgabe
5
Flussüberquerung
+++
++
+
−
−
+++
−
Langeweile
Stein auf
Stein
+
++
+
+
+
+
−
+
++
−
+++
−
−
+
Exemplarisch sollen im Folgenden ausgewählte Bearbeitungen der Kinder vorgestellt werden.
Die Beschreibung des jeweiligen Lösungsprozesses ergibt sich sowohl aus meinen eigenen
Beobachtungen und Gesprächen der Kinder während der Erarbeitungsphase, als auch aus den
gewonnenen Informationen der Gruppeninterviews am Ende der Stunde. Dieses wurde, nicht
88
„ +++ “ bedeutet:
Aufgabe wurde vollständig und richtig bearbeitet
„ ++ “ bedeutet:
Aufgabe wurde vollständig aber fehlerhaft bearbeitet
„ + “ bedeutet:
Aufgabe wurde angefangen zu bearbeiten, aber vorzeitig abgebrochen
„ – “ bedeutet:
Aufgabe wurde nicht bearbeitet
89
Die blaue Hervorhebung soll hier und in den folgenden Tabellen auf die in dieser Arbeit vorgestellten Bearbeitungen verweisen.
115
wie vorab angedacht, in lediglich zwei Gruppen durchgeführt, sondern auf Grund der Bitte
der Schüler in allen sieben Gruppen. Die Diskussion der Ergebnisse sowie eine kritische Analyse der Unterrichtssequenz insgesamt erfolgt in Kapitel 7.
Gruppenaufgabe 1: Der Mandarinengarten
Die Aufgabe „Mandarinengarten“ wurde von sechs der sieben Gruppen bearbeitet, wobei
zwei davon zur richtigen Lösung gelangten, drei die Aufgabe zwar beendeten, aber fehlerhaft
bearbeiteten und eine vorzeitig abgebrochen hat.
Gruppe 1 begann mit der in Abbildung 34 ersichtlichen Skizze. Der Kreis bezeichnet die vollständige Anzahl an Mandarinen, die Hassan für seine Arbeit geschenkt bekam. Die jeweils
grün schraffierte Fläche bezeichnet den Anteil, den Hassan an die Wärter (W) am 1., 2. und 3.
Tor abgeben muss, nämlich genau „die Hälfte der Mandarinen und eine mehr“. Die Gruppe
verwendete die Strategie des Rückwärtsarbeitens:
Sie überlegte, wie viele Mandarinen Hassan vor Betreten des letzten Tores besessen haben
musste, um den Garten letzten Endes mit einer Mandarine zu verlassen. Sie addierten zu der
Übrigen die eine für den Wärter ( 1 + 1 = 2) und verdoppelten diese Anzahl: 2 · 2 = 4. Demnach besaß Hassan vor dem letzten Tor genau vier Mandarinen. Durch kurzes Rückrechnen
überzeugte sich die Gruppe von der Richtigkeit dieser Rechnung. Nun aber änderten die
Schüler ihre Berechnungsmethode, indem sie nicht mehr wie zuvor erst die eine Mandarine
für den mittleren Wärter addierten und dann mit zwei multiplizierten, sondern den Vorgang
genau umdrehten, d.h. erst die vier zu diesem Zeitpunkt übrigen Mandarinen mal zwei nahmen (4 · 2 = 8) und zu den acht die eine zusätzliche addierte (= 9). Nach dieser Reihenfolge
wurde auch am ersten Tor vorgegangen (9 + 9 ↔ 9 · 2 = 18, 18 + 1 = 19), weshalb die Gruppe
nicht zu dem eigentlich richtigen Ergebnis von 22 Mandarinen gelangte.
Erst bei Beobachtung dieser Schüler fiel mir die Schwierigkeit auf, dass den Kindern nicht
klar war, welche der Rechenoperationen „Multiplikation mit 2“ und „Addition mit 1“ zuerst
angewendet werden sollte. Hätte die Gruppe eine der beiden möglichen Reihenfolgen konsequent durchgezogen (erst Multiplikation, dann Addition oder erst Addition, dann Multiplikation), wäre die Aufgabe in meinen Augen mit den Ergebnissen 15 oder 22 Mandarinen korrekt
gelöst worden. Bei Vermischung jedoch, zu der es auch innerhalb der betrachteten Bearbeitung von Gruppe 1 kam, wurde die Bearbeitung zwar als vollendet, aber fehlerhaft beurteilt.
116
Abbildung 34: Bearbeitung Mandarinengarten Gruppe 1 (++)
Betrachtet man Abbildung 35 (Gruppe 7), so ist zwar der Gedankengang der Schüler hin zum
Ergebnis nicht ersichtlich, scheint aber nach dem richtigen Lösungsweg bearbeitet worden
sein, da die jeweilige Anzahl an Mandarinen an den Toren korrekt niedergeschrieben wurde.
Die Gruppe ging in ihrer Berechnung sogar weiter als eigentlich gefordert, indem sie die Berechnungsfolge nach oben hin fortsetzte. Man kann die Zahlen 46 und 94 so interpretieren,
dass Hassan nicht nur die geforderten drei Tore durchquerte, sondern sogar fünf Tore und an
jedem einzelnen von diesen „die Hälfte seiner Mandarinen und eine mehr“ abgegeben hat,
d.h. am 4. Tor 22 + 1 = 23, 23 · 2 = 46 und am 5. Tor 46 + 1 = 47, 47 · 2 = 94.
Abbildung 35: Bearbeitung Mandarinengarten Gruppe 7 (+++)
Auch Gruppe 5 versuchte sich an dieser Aufgabe, ging jedoch nicht wie die anderen mit Hilfe
der Strategie des Rückwärtsarbeitens vor, sondern experimentierte nach dem Prinzip des sys117
tematischen Probierens. Die Gruppe begann mit der willkürlich gewählten Voraussetzung,
Hassan hätte zu Beginn 30 Mandarinen geschenkt bekommen. Die Schüler teilten diese Anzahl durch zwei (30 : 2 = 15) und rechneten eine dazu: 15 + 1 = 16. Sie merkten dabei nicht,
dass durch die Addition dieser einen Mandarine nicht, wie beabsichtigt, der Wärter, sondern
Hassan eine Mandarine dazu bekam. Dieser Fehler setzte sich auch im folgenden Rechenschritt fort: 16 : 2 = 8, 8 + 1 = 9. An dieser Stelle waren die Kinder verunsichert und fragten
mich, ob die Mandarinen auch geteilt halbiert werden dürften, da 9 : 2 = 4,5 und 4,5 + 1 = 5,5.
Ich versuchte nun, die Gruppe auf ihren Denkfehler hinsichtlich der Addition + 1 auf Seiten
Hassans aufmerksam zu machen, merkte aber, dass die Schüler Verständnisprobleme hatten
und meine Argumentation schwer nachvollziehen konnten. Da sie zusätzlich feststellten, dass
Hassan mit 5,5 Mandarinen zum Schluss zu viel hatte, kamen sie auf die Idee, die Ausgangszahl von 30 herabzusetzen. Dieses systematische Probieren wäre sicherlich nach zunehmendem Einkreisen der richtigen Lösung zum Ziel gelangt, denn die Kinder erkannten zudem,
dass nur gerade Ausgangzahlen sinnvolle Lösungen abgeben würden, da diese durch zwei
geteilt eine ganze Zahl (Mandarine) ergeben würden. Hätten sie sich nur von der Idee abbringen lassen, die eine Mandarine zu subtrahieren anstatt zu addieren, da sie nach Vorgabe an
den Wärter abgegeben werden muss. Nach einigen erfolglosen Anläufen mit den Ausgangszahlen 12, 16 und 20 zerriss die Gruppe ihr Bearbeitungsblatt und widmete sich einer neuen
Aufgabe.
Aufgabe 2: Anfang gesucht
Die Aufgabe „Anfang gesucht“ war die beliebteste und unter den Gruppenknobelaufgaben
und wurde auch am besten gelöst. Sechs der sieben Gruppen machten sich an die Bearbeitung,
wobei fünf davon zu einer richtigen Lösung gelangten.
Alle Gruppen gingen ähnlich wie Gruppe 1 (Abbildung 36) vor. Sie begannen mit Berechnung des Buchstabens E, da E innerhalb der vorgegebenen fünf Gleichungen als einzige Unbekannte innerhalb ihres Ausdrucks auftritt Mit E = 8 eingesetzt in die Gleichung T = E · 7
erlangten die Schüler für T = 56. Mit E und T zusammen addiert errechnete sich M zu 64,
womit auch A = M : 2 = 32 als Ergebnis feststand. In einem letzten Schritt addierten die
Schüler die Buchstaben E, T, M und A, bekamen als Ergebnis 160, somit konnte als Lösung
der Gleichung 160 + H = 170 nur H = 10 in Frage kommen.
118
Abbildung 36: Bearbeitung Anfang gesucht Gruppe 1 (+++)
Betrachtet man Abbildung 37 so fällt auf, dass sich Gruppe 4 zunächst darin versuchte, den
einzelnen Buchstaben des Alphabets Zahlen zuzuordnen, um so eventuell das Wort M A T H
E entschlüsseln zu können. Schnell merkten sie jedoch, dass sie dieser Lösungsversuch nicht
weiter bringen würde, denn 13 ≠ 5 + 20, wenn man für M = 20, E = 5 und T = 20 annimmt.
Die Gruppe betrachtete die Aufgabe nochmals genauer und stellten fest, dass der Ansatzpunkt
119
die Gleichung E = 40 · 5 sein könnte, da in diesem nur ein unbekanntes Element, nämlich E,
enthalten ist. Nachdem diese entscheidende Hürde genommen wurde, hatte die Gruppe den
Dreh schnell raus. Schritt für Schritt setzten sie die für die einzelnen Buchstaben errechneten
Zahlen in die Ausdrücke ein und gelangte schließlich zum richtigen Ergebnis.
Auch Gruppe 7 wollte zunächst mit Entschlüsselung der Buchstaben durch Zuordnung ihrer
Position im Alphabet beginnen. Noch während zwei der Beteiligten die 26 Buchstaben notierten, kamen die anderen beiden darauf, dass der Buchstabe E durch Lösen der Gleichung sofort
berechenbar ist. Nach Überzeugungsarbeit der anderen Mitglieder, widmeten sie sich erfolgreich dem bereits dargestellten Lösungsweg.
Aufgabe 3: Flussüberquerung
Die Aufgabe „Flussüberquerung“ wurde von vier der sieben Gruppen bearbeitet, wobei zwei
davon das richtige Ergebnis fanden, eine Gruppe ihre Bearbeitung abbrach und eine zu einer
fehlerhaften Lösung gelangte.
Entscheidend für die Lösung dieser Aufgabe ist die Einsicht, dass auf Grund des Sich-NichtVertragens von Katze mit Vogel und Katze mit Hund, die Katze den Fluss als Erste überqueren muss, da einzig und allein Vogel mit Hund miteinander auskommen. Sehr schön und übersichtlich wurde die Aufgabe von Gruppe 1 gelöst (Abbildung 39). Die Schüler veranschaulichen die Situation mit einer Skizze und arbeiten sich systematisch voran, bis alle drei Tiere
das andere Flussufer erreicht haben. Nachdem die Fähre die Katze am anderen Ufer abgesetzt
hat (Fahrt 1), fährt sie leer zurück (Fahrt 2) und nimmt als nächstes den Hund an Bord (Fahrt
120
3, wobei in diesem Schritt auch der Vogel als Lösung denkbar wäre). Nachdem neben der
Katze nun auch der Hund am gegenüber liegenden Ufer angekommen ist, stellt die Gruppe
vollkommen richtig fest, dass die Katze nochmals das Ufer wechseln muss, da Hund mit Katze nicht miteinander auskommen würden (Fahrt 4). Drüben angekommen steigt die Katze aus,
der Vogel ein und die Fähre überquert ein fünftes Mal das Wasser. Da sich Vogel und Hund
nach Vorraussetzung gut vertragen, kann die Fähre leer zurück fahren (Fahrt 6) und in einer
letzten 7. Fahrt auch die Katze zu Vogel und Hund hinzu stoßen lassen.
Abbildung 39: Bearbeitung Flussüberquerung Gruppe 1 (+++)
Etwas kürzer, aber auch richtig erfasst und hübsch bildlich untermalt, fasst sich Gruppe 6:
121
Abbildung 40.: Bearbeitung Flussüberquerung Gruppe 6 (+++)
Die Bearbeitung von Gruppe 3 ähnelt der von Gruppe 1, ist auch sehr übersichtlich in einer
informativen Figur dargestellt, endet aber leider abrupt kurz vor Vollendung des Lösungspro-
zesses. Die Fähre überquert das Ufer fünfmal und hat es geschafft, Vogel und Hund auf das
gegenüberliegende Ufer zu bringen. Die leere Rückfahrt und das Überschiffen der Katze als
letzte Schritte wären hier noch zu ergänzen.
Abbildung 41: Bearbeitung Flussüberquerung Gruppe 3 (+)
Aufgabe 4: Langeweile
Die Aufgabe „Langeweile“ wurde von vier der sieben Gruppen bearbeitet, wobei eine zum
richtigen, eine zu einem fehlerhaften Ergebnis gelangte und zwei Gruppen vorzeitig abbrachen.
122
Besonders gut haben mir die Lösungsversuche von Gruppe 4 gefallen, wenn auch Abbildung
42 lediglich das Endergebnis zeigt. Da Gruppe 4 nur aus drei Schülern bestand, baten mich
die Schüler hinzu und vollzogen das Händeschütteln der geforderten vier Personen im Klassenzimmer nach. Zunächst begann Jordan, Lukas, Jonas St. und mir die Hand zu schütteln
(dreimal), danach wurde ich aufgefordert, Lukas und Jonas die Hand zu geben (zweimal).
Letzten Endes blieben nur noch Lukas und Jonas übrig, die sich noch nicht die Hände geschüttelt hatten (einmal). Ingesamt kam die Gruppe zu dem richtigen Ergebnis, dass sich 4
Menschen bei gegenseitiger Begrüßung 3 + 2 + 1 = 6 mal die Hand reichen.
Auch die zusätzliche Aufgabe, dass sich nun nicht mehr nur vier, sondern sechs Kinder die
Hand reichen, wurde von der Gruppe sehr kreativ gelöst. Diesmal stellten sechs verschiedene
Gegenstände aus dem Schulmäppchen (Stiftekappen, Radiergummi, Spitzer) die Personen
dar. Nacheinander wurde der Radierer zu den anderen fünf Gegenständen bewegt (fünfmal)
und dann bei Seite gelegt. Nun verfuhr der Spitzer nach eben diesem Prinzip (viermal) usw.,
so dass die Gruppe letztendlich auf 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (Hand-)Kontakte kam.
Abbildung 42: Bearbeitung Langeweile Gruppe 4 (+++)
Die Lösungsversuche von Gruppe 2 zeigt Abbildung 43. Die Schüler gingen in ihrer Berechnung beide Male nach demselben Prinzip vor, d.h. wenn sich vier Personen treffen, werden 4 ·
3 = 12 mal die Hände geschüttelt, wenn sich sechs Personen treffen, 6 · 5 = 30 mal. Nach Beendigung dieser Berechnung rief mich die Gruppe zu sich, um das Ergebnis zu präsentieren.
Ich war zunächst ziemlich verwundert. Natürlich wollte ich wissen, wie die sie zu diesem
Ergebnis gekommen war. Die Schüler erklärten mir, dass beispielsweise Anke anfangen
könnte, die drei anderen Kinder per Handschlag zu begrüßen (dreimal). Im Anschluss daran
würde Birgit den anderen drei die Hand reichen (dreimal) und ebenso Christian (dreimal) und
Dieter (dreimal). Dies ergäbe dann 4 · 3 = 12 Handschläge. Wenn nun nicht nur 4 Kinder aufeinander treffen, sondern sogar sechs, sähe das Bild folgendermaßen aus: Wieder könnte beispielsweise Anke beginnen, den anderen fünf Kindern die Hand zu schütteln (fünfmal). Ihre
beiden Schwestern Lara und Sandra würden es ihr nachtun (zweimal fünfmal) und ebenso
Birgit (fünfmal), Christian (fünfmal) und Dieter (fünfmal). Insgesamt würden somit 6 · 5 = 30
mal die Hände geschüttelt. Nach Vollendung der Erklärungsversuche schlug ich vor, ähnlich
123
wie Gruppe 4 eine Handschüttelprobe innerhalb der Gruppe zu vollziehen. Wir begannen mit
vier Personen. Noel begann, Robin, Louis und Lukas H. die Hand zu schütteln (dreimal). Im
Anschluss war Robin an der Reihe: Er reichte Louis, Lukas H. und schließlich, wenn auch
etwas verhalten, Noel die Hand. Fragend blickte ich Robin an und er stellte sofort fest, dass er
Noel eigentlich soeben schon die Hand gegeben hatte, dass der letzte Handschlag eigentlich
gar nicht mehr nötig gewesen wäre. Nachdem nun Louis am Zuge war, gab er lediglich Lukas
die Hand mit der Begründung, dass die anderen zwei schon begrüßt worden wären. Die Gruppe addierte die gewechselten Handschläge miteinander und berichtigten ihr Ergebnis von 12
Handschlägen auf sechs und merkten an, dass ihre ersten Ergebnisse und Schlussfolgerungen
doch nicht richtig sein konnten, da einige Kinder mehrfach gegenseitig die Hände schütteln
würden.
Abbildung 43: Bearbeitung Langeweile Gruppe 2 (++)
Aufgabe 5: Stein auf Stein
Aufgabe „Stein auf Stein“ wurde von sechs der sieben Gruppen bearbeitet, wobei lediglich
eine Gruppe zur richtigen Lösung gelangte, die anderen fünf vorzeitig abbrachen.
Alle sechs Gruppen kamen bei Teilaufgabe a) zum richtigen Ergebnis, indem sie die einzelnen Würfel abzählten (vgl. Abbildung 44), hatten jedoch größere Probleme bei Bearbeitung
der Teilaufgaben b) und c), was in fast allen Fällen zum vorzeitigen Abbruch der Aufgabe
führte.
Abbildung 44: Bearbeitung Stein auf Stein Gruppe 6 (+)
124
Lediglich Gruppe 2 versuchte sich längere Zeit darin, zumindest der Lösung der Teilaufgabe
b) und auf die Schliche zu kommen. Der Ansatz, wie diese von ihnen angegangen wurde, ist
durchaus zu würdigen. Die Schüler begannen zunächst unter Zuhilfenahme von Teilaufgabe
a), die Anzahl der gesamten Quadrate auszurechnen. Da die Kinder natürlich wissen, dass
jeder Würfel sechs Seiten hat, kamen sie zu den Ergebnissen 6 · 6 = 36, 6 · 8 = 48 und 6 · 16 =
96. Nun zählten sie die Seiten, an denen die Würfel zusammenstießen und zogen diese von
der Gesamtzahl der errechneten Quadrate ab. Da sie sich hierbei offensichtlich verzählten,
kamen die Kinder hier auf falsche Ergebnisse, nämlich 36 – 6 = 30 (anstelle 24), 48 – 7 = 41
(anstelle 30) und 96 – 8 = 88 (anstelle 50). Vermutlich wäre diese Aufgabe unter Zuhilfenahme veranschaulichenden Materials wie z. B. Spielwürfel besser bearbeitet worden. Auch
standen die Kinder hier etwas unter Zeitdruck, waren verunsichert und wechselten lieber die
Aufgabe, um noch andere Ergebnisse zu erlangen. Man sollte überlegen, diese Aufgabe zu
kürzen oder bei längerer Bearbeitungszeit einzusetzen.
Abbildung 45: Bearbeitung Stein auf Stein Gruppe 2 (++)
6.1.2 Ergebnisse des zweiten Unterrichtsversuchs
Zunächst möchte ich wieder einen Überblick geben, welche der Schüler sich mit welcher der
zwei zur Auswahl stehenden Aufgaben beschäftigt haben, bzw. inwiefern die Aufgabe erfolgreich gelöst werden konnte 90:
Tabelle 16: Problemaufgaben der Woche 4. Klasse
Caroline
Cosima
David
Hannes
Isabel
Jonas St.
Jonas W.
Jordan
Judith
Kilian
90
„+++“ bedeutet:
„++“ bedeutet:
„+“ bedeutet:
„-“ bedeutet:
Problem der Woche 1
Die Sportasse
+++
+++
++
+++
+
+++
++
Problem der Woche 2
Das 8-Liter-Problem
++
+++
++
++
++
++
++
125
Lara
Lea
Louis
Lukas H.
Lukas R.
Markus
Melina
Mirjam
Niclas
Noel
Ricarda
Robin
Sarah
Veronica
Wolfi
+++
+++
++
+++
+++
+++
++
++
+++
+
+++
-
+++
++
+++
+++
+++
++
++
Problemaufgabe der Woche 1: Die Sportasse
Die Knobelaufgabe „Sportasse“ wurde von 18 der 25 Schüler bearbeitet. Hiervon lösten elf
die Aufgabe vollständig und richtig, fünf zwar vollständig aber fehlerhaft und zwei begannen
mit der Bearbeitung, brachen jedoch vorzeitig ab.
Eine schöne, wenn auch nicht fehlerfreie Bearbeitung lieferte die Schülerin Mirjam
(Abbildung 46) ab. Sie kam auf die Idee, die gegebenen Informationen, sprich die sechs
Sportarten Fußball, Tennis, Schwimmen, Eishockey, Reiten und Tischtennis sowie die Namen
der sechs Kinder Sabrina, Moritz, Jens, Annette, Florian und Caroline in einer Tabelle anzulegen.
Systematisch begann die Schülerin, die gegebenen Informationen zu verarbeiten und in der
Tabelle festzuhalten. So schloss sie, dass aus der Aussage „Jens kann kein Tor schießen, aber
bei seinem Sport kommt ein Netz vor“, dass für Jens weder Fußball, noch Schwimmen oder
Reiten in Frage kommt. Mirjam markierte die nach diesem Ausschlussprinzip noch möglichen
Sportarten Tennis, Eishockey oder Tischtennis mit einem Kreuz in der Tabelle. Genau in dieser Bestimmung findet sich bereits ein erster Fehler, da auch innerhalb der Sportart Eishockey
auf ein Tor geschossen werden muss, diese somit aus der Liste der möglichen Sportarten auszuschließen ist. Mit der zweiten und der sechsten Aussage („Annette hat sieben Geschwister“
und „Jens´ bester Freund heißt Andreas“) konnte Mirjam nichts anfangen und strich sie deshalb folgerichtig vom Angabezettel. Aus „Sabrina spielt weder mit einem Ball noch mit einem Puck“ schloss die Schülerin, dass Sabrina entweder im Schwimmen oder im Reiten aktiv
sein muss. Für Moritz mit seiner Vorliebe für Minibälle, setzte das Kind ihre Markierungskreuze zu den Sportarten Tennis und Tischtennis, wobei an dieser Stelle zu überlegen ist, ob
nicht nur lediglich Tischtennis als vertretende Sportart für Minibälle anzusehen ist (eventuel126
ler 2. Fehler). Die Aussage „Annette hat es gerne feucht“ verwertete sie sofort, da die einzig
möglich „feuchte Sportart“ Schwimmen sein kann, womit die erste Lösung Annette =
Schwimmen fest stand. Mirjam färbt daraufhin die Markierung Annette + Schwimmen innerhalb der Tabelle blau und notierte zusätzlich unterhalb der Tabelle die erhaltene erste Lösung.
Abbildung 46: Bearbeitung Sportasse-Aufgabe Mirjam (++)
Da die Sportart Schwimmen nun vergeben war, folgerte die Schülerin, dass für Sabrina lediglich Reiten in Frage kommen kann (Lösung 2), was sich auch mit der letzen noch zur Verfügung stehenden Aussage „Reiten ist Mädchensache“ deckt. Da Fußball für keinen der Jungen
interessant zu sein scheint, muss Caroline genau in dieser Sportart aktiv sein (Lösung 3). Bei
näherer Betrachtung der Tabelle fiel Mirjam nun auf, dass auch Eishockey eindeutig zuzuordnen ist, da diese Sportart lediglich für Jens in Frage kommt (Lösung 4). Dieser Schluss ihrerseits ist auf den anfangs aufgetretenen Zuordnungsfehler zurückzuführen, an sich aber folge127
richtig. Da nun die beiden Sportarten Tennis und Tischtennis übrig bleiben und beide auf die
verbliebenen Kinder Jens und Moritz zutreffen, entscheidet sich die Mirjam dafür, Moritz
Tischtennis (Lösung 5) und Jens Tischtennis (Lösung 6) zuzuordnen, was hinsichtlich der
gewählten Interpretation, Tennisbälle seien Minibälle, durchaus legitim ist, da eine eindeutige
Lösung nicht abzusehen ist.
Etwas unsystematischer in der Bearbeitung, d.h. im schlichten Versuch und Irrtum ging die
Schülerin Cosima vor. Das Mädchen berichtete, dass sie die ganze Woche über mehrfach versuchte, die sechs Sportarten den sechs Kindern in Übereinstimmung der jeweiligen Aussagen
zuzuordnen. Die letzten zwei erfolglosen Lösungsexperimente und das erfolgreiche letzte sind
in Abbildung 47 zu begutachten:
Abbildung 47: Bearbeitung Sportasse-Aufgabe Cosima (+++)
Die Schülerin Isabel erstellte ähnlich wie Lea eine Tabelle, wenn auch in stark vereinfachter
Form. Sie notierte die Namen der sechs Kinder in sechs Spalten und ergänzte darunter die den
Lösungshinweisen entsprechenden möglichen Sportarten, denen die einzelnen Kinder nachgehen. So folgerte Isabel, dass für Sabrina Schwimmen und Reiten, für Moritz Tischtennis,
für Jens Tennis und Tischtennis, für Annette Schwimmen und Eishockey, für Florian Eishockey, Tennis oder Tischtennis und für Caroline Reiten und Fußball in Frage kommen können.
So folgerte die Schülerin, dass Moritz dem Tischtennis zuzuordnen ist, Jens demnach dem
Tennis, Florian, wiederum aus dem beiden vorigen Erkenntnissen, dem Eishockey, Annette
damit dem Schwimmen, Sabrina folglich dem Reiten und Caroline, als letzten Endes übrig
gebliebene der Sportart Fußball.
128
Abbildung 48: Bearbeitung Sportasse-Aufgabe Isabel (+++)
Auch die Schülerin Caroline nutzte eine eigens erstellte Tabelle (Abbildung 49) als Hilfsmittel, um ihre Bearbeitung übersichtlich gestalten zu können. Sie notierte die Namen der sechs
Kinder in die vordere, senkrechte Spalte und die möglichen Sportarten, die nicht möglichen
Sportarten und die letztlich richtige Sportart in die oberste, waagrechte Zeile. Aus dem Hinweis „Annette hat es gerne feucht“ folgert die Schülerin sofort, dass Annettes Sportart
Schwimmen (Annette – Schwimmen) sein muss, dies wird in der Tabelle notiert. Mit „Sabrina
spielt weder mit einem Ball noch mit einem Puck“ schließt Caroline, dass Sabrina entweder
Schwimmen oder Reiten muss. Da Schwimmen jedoch bereits für Annette vergeben ist, muss
Sabrinas Sportart Reiten sein (Sabrina – Reiten). Aus „Jens kann kein Tor schießen, aber bei
seinem Sport kommt ein Netz vor“ schließt das Mädchen, dass Jens entweder Tennis oder
Tischtennis betreibt. In Kombination mit „Moritz hat eine Vorliebe für Minibälle“ folgt, dass
Moritz als Sportart Tischtennis (Moritz – Tischtennis) und Jens somit Tennis (Jens – Tennis)
betreibt. Zu verteilen sind nun noch die Sportarten Fußball und Eishockey auf die Kinder Florian und Caroline. Da Florian schnelle Spiele liebt, sich aber beim Fußball langweilt, schließt
das Mädchen, dass Florians Sportart Eishockey (Florian – Eishockey) sein muss und deshalb
lediglich Fußball für Caroline (Caroline – Fußball) übrig bleibt. Diese und alle vorigen Erkenntnisse werden in der folgenden Tabelle veranschaulicht:
129
Abbildung 49: Bearbeitung Sportasse - Aufgabe Caroline (+++)
Der Schüler Markus stellt seine Lösung wie in Abbildung 50 ersichtlich dar. Er notiert am
linken Rand seines Blattes die Namen der sechs Kinder untereinander, ergänzt daneben nach
und nach die zugehörigen Sportarten und trennt auf der rechten Blattseite seine Überlegungen
hinsichtlich der richtigen Zuordnung nach Reihenfolge nummeriert ab. Aus der Reihe der
möglichen Sportarten markiert Markus jeweils die in blauer Farbe, die sich auf Grund der
Hinweise als richtig herausstellen.
Abbildung 50: Bearbeitung Sportasse-Aufgabe Markus (+++)
Problemaufgabe der Woche 2: Das 8-Liter-Problem
Die Knobelaufgabe „Das 8-Liter-Problem“ wurde von 14 der 25 Schüler bearbeitet. Alle 14
brachten die Aufgabe vollständig bis zum Ende, allerdings kamen lediglich fünf davon zu
einer fehlerfreien Lösung. Bei Betrachtung der Resultate und während der Gespräche mit den
130
Kindern viel mir auf, dass einige Kinder ein und den selben, jedoch nicht legitimen Lösungsweg nachgegangen sind:
Hannes (Abbildung 51), Judith, Noel (Abbildung 52)und Wolfi kamen allesamt zu der Überlegung, den großen 10-Liter-Eimer bis oben hin zu füllen, davon die Hälfte ins Aquarium zu
kippen und anschließend mit dem 3-Liter-Eimer zu 8-Liter Wasser zu ergänzen. Die Schüler
übersahen dabei, dass der Eimer ohne jegliche Höhenmarkierung dargeboten wird, man somit
auf diesem Wege zu keiner wirklichen, wie verlangt, genauen Lösung gelangen kann.
Abbildung 51: Bearbeitung 8-Liter-Problem Hannes (++)
Abbildung 52: Bearbeitung 8-Liter-Problem Noel (++)
Anders sahen die Lösungswege der folgenden Kinder aus. Lea beispielsweise begann mit der
Skizzierung der drei Behälter 3-Liter-Eimer, 10-Liter-Eimer, Aquarium und ergänzte als Was-
serquelle am linken Bildrand einen Wasserhahn.
131
Abbildung 53: Bearbeitung 8-Liter-Problem Lea (+++)
Aus diesem entnahm sie mit dem 3-Liter-Eimer dreimal drei Liter: 3 l in 10 l + 3 l = 6 l +3 l =
9 l. Anschließend kam sie auf die Idee, den 3-Liter-Eimer ein weiteres mal zu füllen und davon den einen, noch freien Liter im 10-Liter-Eimer zu füllen. Die restlichen zwei Liter werden ins Aquarium gegossen. Die letzten Rechenschritte versucht Lea erneut zu skizzieren. Sie
möchte aus dem vollen 10-Liter-Eimer zweimal je drei Liter in den 3-Liter-Eimer umfüllen
und diese jeweils im Aquarium ergänzen, was zu der letztendlich geforderten Füllmenge von
acht Litern im Aquarium führt.
Ein weiteres schönes Beispiel ist die Bearbeitung von Lukas R. Der Schüler begann zunächst,
wie viele seiner Klassenkameraden, den 10-Liter-Eimer per Zeichnung komplett zu füllen, um
anschließend die Hälfte des Wassers (5 Liter) und den vollen 3-Liter-Eimer zu einer Gesamtmenge von 8-Litern in das Aquarium zu schütten.
Lukas überlegte sich zudem eine Lösungsalternative: Er zeichnet das 8-Liter-Aquarium, den
10-Liter-Eimer und den 3-Liter-Eimer. Er überlegt sich, als Zwischenziel auf dem Weg hin zu
den 8-Litern zunächst 2-Liter zu erhalten, da er dann durch Hinzugabe von zweimal 3-LiterEimer-Füllungen zum Ziel gelangen würde. Der Schüler rechnet 3 · 3 l = 9 l, erhält durch
nochmaliges Auffüllen des 3-Liter-Eimers und Aufschütten in den 10-Liter-Eimer 2 l Rest
und formuliert dann folgende Antwort: Wir brauchen 2 · 3 l. Wir gießen vom 10 l zum 3 l
Eimer 2 Mal um und dann haben wir 3 l + 3 l + 2 l = 8 l im Aquarium.
132
Abbildung 54: Bearbeitung 8-Liter-Problem Lukas R. (+++)
Auch Niclas hat sich mit dem 8-Liter-Problem beschäftigt und ist dabei folgenden Lösungsweg beschritten: Auch Niclas skizziert zu Beginn die zur Verfügung stehenden Behältnisse,
links das Aquarium, in der Mitte den 10-Liter-Eimer, rechts den 3-Liter-Eimer.
Der Schüler beginnt, seine Gedankenschritte systematisch niederzuschreiben, wobei er die
jeweils gewählte Nummerierung in die Skizze überträgt.
133
Abbildung 55: Bearbeitung 8-Liter-Problem Niclas (+++)
In Rechenschritt eins füllt Niclas einmal den 3-Liter-Eimer in den 10-Liter-Eimer, was dazu
führt, dass in dem vormals leeren Behälter nun drei Liter enthalten sind (= 3). In einem zweiten und dritten Schritt füllt der Schüler noch einmal je drei Liter in den 10-Liter-Eimer, woraufhin sich in letzterem nun sechs bzw. neun Liter befinden (= 6, = 9). Im Anschluss kommt
das Kind auf die Idee, den wiederum gefüllten 3-Liter-Eimer so weit es geht in den 10-LiterEimer umzufüllen. Da noch genau ein Liter Freiraum im 10-Liter-Behälter ist, bleiben noch
zwei Liter im 3-Liter-Eimer übrig. In einem fünften Schritt gießt Niclas genau diese zwei erhaltenen Liter in das Aquarium (A.). In einem sechsten und letzten Rechenschritt wird der 3Liter-Eimer zweimal mit dem Wasser aus dem vollen 10-Liter-Eimer gefüllt und daraufhin
ins Aquarium geschüttet (= 8 l). Niclas vermerkt abschließend und vollkommen zur Recht,
dass im 10-Liter-Eimer nun noch vier Liter übrig bleiben.
Wie Niclas beginnt der Schüler David mit der Skizzierung der drei zur Verfügung stehenden
Behältnisse.
134
Abbildung 56: Bearbeitung 8-Liter-Problem David (+++)
In einem ersten Rechenschritt vollzieht der Schüler das dreimalige Vollfüllen des 3-Liter Eimers (3 · 3 l = 9l). In einer weiteren Skizze lassen sich die weiteren Denkschritte des Jungen
nachvollziehen: Zunächst wird mit dem wiederum gefüllten 3-Liter-Eimer der bis dahin neun
Liter fassende 10-Liter-Eimer randvoll gefüllt, mit dem Resultat, dass die im 3-Liter-Eimer
verbleibenden zwei Liter ins Aquarium geschüttet werden (verdeutlicht durch blauen Pfeil).
Im Anschluss werden, zwar ohne vorheriges Umschütten in den 3-Liter-Behälter, was zu einer exakten Lösung führen würde, zweimal drei Liter (= 6 l, schwarzer Pfeil) in das Aquarium
hinzu gegossen, was dort zur geforderten Wassermenge von genau acht Litern führt. Zusätzlich notiert David folgerichtig, dass im großen 10-Liter-Eimer nun noch vier Liter enthalten
sind.
6.1.3 Ergebnisse des dritten Unterrichtsversuchs
Um die zur Verfügung stehende Stunde bestmöglichst nutzen zu können, machten sich die
Kinder, jeweils mit einem Viererpack Knobelaufgaben ausgestattet, auf den Weg zu ihren
135
Sitzplätzen, um mit der Bearbeitung zu beginnen. Welcher Schüler welche Aufgabe bearbeitete, zeigt folgende Tabelle im Überblick 91:
Tabelle 17: Einzelbearbeitung 4. Klasse
Caroline
Cosima
David
Hannes
Isabel
Jonas St.
Jonas W.
Jordan
Judith
Kilian
Lara
Lea
Louis
Lukas H.
Lukas R.
Markus
Melina
Niclas
Noel
Ricarda
Robin
Veronica
Wolfi
Einzelaufgabe 1
Altersfrage
++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+
+++
++
+++
++
+
+++
Einzelaufgabe 2
Obst
+
+++
++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
++
+++
+
+++
+
++
+++
+++
Einzelaufgabe 3
Finde die Regel
+
+
++
+
++
++
++
+
++
++
++
++
++
+
+
+
++
++
++
Zusatzaufgabe
Sportabzeichen
+++
+
+
-
Einzelknobelaufgabe 1: Altersfrage
Die Aufgabe „Altersfrage“ wurde von 16 der anwesenden 23 Kinder bearbeitet, wobei 11
Kinder eine vollständige und fehlerfreie Lösung abgeben konnten, drei eine vollständige aber
fehlerhafte und zwei ihren Lösungsversuch vorzeitig abbrachen.
Lara begann ihren Lösungsversuch damit, sich zu überlegen, wie alt ein Kind in der Grundschule sein kann. Sie kam zu dem Entschluss, dass Marius entweder sechs, sieben, acht, neun
oder zehn Jahre alt sein muss. In einem ersten Schritt nahm sie an, dass Marius 6 Jahre alt ist.
Da seine Schwester fünf Jahre jünger ist, ist sie nun ein Jahr alt. In zwei Jahren wäre Marius
acht und seine Schwester drei. Da acht nicht doppelt zwei ist, kann Marius nicht sechs Jahre
91
„+++“ bedeutet:
„++“ bedeutet:
„+“ bedeutet:
„-“ bedeutet:
136
alt sein. Willkürlich wählte Lara in einem zweiten Schritt das Alter von Marius auf acht, und
kam mit folgender Argumentation (Abbildung 57) zum richtigen Ergebnis:
Abbildung 57: Bearbeitung Altersaufgabe Lara (+++)
Auch die Schülerin Cosima hat sich mit der Altersaufgabe beschäftigt. Ebenso wie Lara gelangte sie durch systematisches Probieren zu dem Schluss, dass einzig Marius mit dem Alter
von acht Jahren zur Erfüllung der Bedingung, dass er in zwei Jahren doppelt so alt wie seine
Schwester ist, führen kann. Eine kurze Rechnung zum Überprüfen der Vermutung sowie ein
Antwortsatz vervollständigen Cosimas Lösung.
Abbildung 58: Bearbeitung Altersaufgabe Cosima (+++)
Ähnliche Vorgehensweise ist auch bei den beiden Schülern Jonas W. (Abbildung 59) und
Lukas H. (Abbildung 60) festzustellen:
Abbildung 59: Bearbeitung Altersaufgabe Jonas W. (+++)
137
Abbildung 60: Bearbeitung Altersaufgabe Lukas H. (+++)
Einzelknobelaufgabe 2: Obst
Die Aufgabe „Obst“ wurde von 17 der 23 Kinder bearbeitet, wobei elf Kinder zu einem vollständigen und richtige Ergebnis kamen, drei eine fehlerbehaftete Lösung abgaben und drei
Kinder die Aufgabe zwar begannen, aber nicht beendeten.
Die Bearbeitung der Schülerin Lara zeigt eine besonders schöne und übersichtliche Lösungsmöglichkeit unter Zuhilfenahme einer Skizze.
Abbildung 61: Bearbeitung Obst Lara (+++)
Das Kind beginnt zunächst damit, vier Rechtecke als Symbol für vier Obstkisten zu zeichnen.
Mit Hilfe von Pfeilen macht Lara deutlich, dass sich in Kiste 2 drei Äpfel mehr befinden als
in Kiste 1, in Kiste 3 drei weniger als in Kiste 2 und in Kiste 4 drei weniger als in Kiste 3.
Außerdem schließt sie daraus, dass in Kiste 3 sechs Äpfel weniger sind als in Kiste 1 und in
Kiste 4 neun Äpfel weniger als in Kiste 1. Etwas unverständlich ist der unterhalb der Zeichnung stehende Satz, dass sich in der 1. Kiste 18 Äpfel weniger als in der letzten befinden
138
würden (Widerspruch zur Skizze), ich gehe jedoch davon aus, dass die Schülerin die Zahl 18
aus der Summe des Überschusses an Äpfeln im Vergleich zur Kiste 1 aus den Zahlen 3 + 6 +
9 = 18 errechnet hat. Anschließend zieht das Kind eben diesen Überschuss von 18 Äpfeln von
der Gesamtmenge ab (58 – 18 = 40) und dividiert nun die 40 Äpfel durch die Anzahl der vorhandenen Körbe (40 : 4 = 10), um nun in jeden der vier Kisten schon einmal 10 Äpfel verteilen zu können (Skizze). Abschließend nutzt Lara ihre anfangs erstellten Bedingungen, d.h. sie
verteilt auf Kiste 2 drei Äpfel mehr als in Kiste 1 (10 + 3 = 13), auf Kiste 3 drei Äpfel mehr
als in Kiste 2 (13 + 3 = 16) und auf Kiste 4 wiederum drei Äpfel mehr als in Kiste 3 (16 + 3 =
19). Eine letzte Kontrollrechnung 10 + 13 + 16 + 19 = 58 bestätigt das gefundene Ergebnis.
Veronicas Vorgehensweise ähnelt dem eben Vorgestellten der Schülerin Lara. Auch Veronica
ging das Problem mit Erstellung einer Skizze an. Ihre einzelnen Lösungsschritte lassen sich
sehr schön übersichtlich in Abbildung 62 erkennen:
Abbildung 62: Bearbeitung Obst-Aufgabe Veronica (+++)
Kilian ging das Problem ganz ohne Zuhilfenahme einer Zeichnung an. Er überlegte sich im
Kopf, dass der Überschuss in der zweiten, dritten und vierten Kiste gegenüber der ersten 18 (3
+ 6 + 9 = 18) beträgt, und zieht diese Zahl von der Gesamtzahl der vorhandenen Äpfel ab (58
– 18 = 40). Diese 40 Äpfel verteilt er gerecht auf alle 4 Kisten, wobei zusätzlich berücksichtigt wird, dass der zunächst subtrahierte Überschuss, den Angaben zufolge auf die zweite,
dritte und vierte Kiste hinzuverteilt wird.
Somit errechnet Kilian folgerichtig, dass sich die Zahl der Äpfel in der ersten Kiste auf 10, in
der zweiten auf 13, in der dritten auf 16 und in der vierten auf 19 Äpfel beläuft, was in der
Summe die Ausgangzahl von 58 Äpfeln ergibt.
139
Abbildung 63: Bearbeitung Obst-Aufgabe Kilian (+++)
Aus dem Gespräch mit Lea war zu entnehmen, dass die Schülerin zunächst alle 58 Äpfel
durch vier teilte, was auf das Ergebnis 14 Rest zwei führte. Dieses Ergebnis nutze sie als
Ausgangspunkt für systematisches Probieren. Da in der ersten Kiste die wenigsten Äpfel zu
finden sind, versuchte es Lea mit einer Ausgangszahl von zehn Äpfeln in Kiste eins. Nun addierte Lea zur jeweils nächsten Kiste jeweils drei Äpfel dazu und addierte die somit erhaltenen 10 + 13 + 16 + 19 Äpfel. Ihre erste Wahl von zehn Äpfeln in Kiste eins erwies sich als
wahrer Glücksgriff und führte sie direkt im ersten Anlauf zur richtigen Lösung.
Abbildung 64: Bearbeitung Obst-Aufgabe Lea (+++)
Einzelknobelaufgabe 3: Finde die Regel
Die Aufgabe „Finde die Regel“ wurde von 19 der 23 Kinder bearbeitet, wobei kein Schüler
die Aufgabe vollständig und richtig bearbeiten konnte. 12 Schüler gaben eine zwar vollständige, aber fehlerhafte Lösung ab, sieben brachen die Bearbeitung vorzeitig ab. Die Aufgabenteile a, und b, wurden von allen 19 Schülern richtig beantwortet, größere Probleme traten bei
140
den Aufgabenteilen c, und d, auf. Im Aufgabenteil e, wurden verschiedenartigste Ideen gefunden, die exemplarisch gezeigt werden sollen:
Der Schüler Jordan zeigte mir kurz nach Beginn der Bearbeitungszeit stolz seine eigens erfundene Zahlenfolge:
Jordan: 1
0
1
0
1
0
5
Da mich die letzte Ziffer (5) am Ende etwas irritierte, forderte ich den Schüler dazu auf, die
ersten fünf Glieder dieser Zahlenfolge seinem Nachbarn vorzulegen um zu testen, ob die Lösung auch für Außenstehende einsichtig wäre. Die Lösung des Sitznachbarn Lukas H. sah,
wie vermutet, so aus:
Lukas H.: 1
0
1
0
1
0
1
Jordan sah nun ein, dass die Ziffer 5 wenig nachvollziehbar sei, aber er wollte „etwas Besonderes“ an den Schluss der Zahlenfolge setzten, wobei er vergaß, seiner angewendeten Regel
+1/-1 treu zu bleiben.
Der Schüler Wolfi ist der Erfinder der mit orginellsten Zahlenfolge:
Wolfi: 20
136
156
292
448
748
1188 1929
Nachdem der Schüler diese Idee fertig gestellt hatte begab er sich sofort zu mir und forderte
mich stolz auf, sein Zahlenrätsel zu lösen und die angewendete Regel herauszufinden. Nach
kurzer Betrachtung stellte ich die Vermutung in den Raum, dass der Junge nach dem Prinzip:
„Addition zweier benachbarter Zahlen ergibt die dritte“ vorgegangen ist. Wolfi hatte an der
Bearbeitung von Zahlenfolgen und insbesondere in der Erfindung eigener Aufgaben derart
großen Gefallen gefunden, dass er weitere Zahlenfolgen erstellte und diese seinen Mitschülern und der Klassenlehrerin zum Knobeln vorlegte.
Ein weiteres kreatives Beispiel lieferte die Schülerin Judith ab:
Judith: 90
10
83
20
76
30
69
40
Judith ging, abweichend von allen ihren Mitschülern nicht von der Beziehung direkt benachbarter Zahlen aus, sondern entwarf eine Regeln, die sich immer auf die übernächst folgende
Zahl bezieht: -7/ +10
141
Weitere Lösungsversuche folgen nun im Überblick:
Cosima:
5
15
20
30
35
45
50
60 (Regel: +5/+10)
Lea:
1
2
3
4
5
6
7
8 (Regel: +1)
Niclas:
5
25
5
25
5
25
5
25 (Regel: +20/-20)
Ricarda:
3200 1600 800
400
200
100
50
25 (Regel: :2)
Lara:
7
13
17
22
28
35 (Regel: +1/+2/+3…)
8
10
Zusatzknobelaufgabe: Sportabzeichen
Die Aufgabe „Sportabzeichen“ ist aus den Überlegungen heraus entstanden, wie man Schüler
beschäftigen kann, die vor Ablauf der zur Verfügung stehenden Zeit die Bearbeitung der drei
verteilten Einzelknobelaufgaben beenden. Dieses Zusatzangebot wurde von drei Schülern
bearbeitet, wobei einer zur richtigen Lösung gelangte, die anderen beiden nicht zu einem Ende kamen, die Bearbeitung also vorzeitig abbrachen.
Die einzig erlangte, sogar richtige Lösung, der Schülerin Isabel soll nun vorgestellt werden
und gleichzeitig als mögliche Musterlösung (vgl. 5.5.2) dienen. Sie startete ihre Bearbeitung
mit der Erstellung einer Zeichnung. Sie trug die zu laufenden 100m in 5-Meter-Abständen auf
einem Zahlenstrahl an und versuchte, die jeweiligen Positionen von Hannes und Lutz entsprechend der zurückgelegten Entfernung zu kennzeichnen. Isabel überlegte sich Schritt für
Schritt vorwärtsarbeitend Folgendes:
Wenn Hannes 5 Meter zurückgelegt hat, ist Lutz erst bei 4 Metern.
Ist Hannes bei 10 Metern, ist Lutz bei 8 Metern.
…
Ist Hannes bei 95 Metern, ist Lutz bei 76
Isabel schloss daraus, dass Lutz in 16 Sekunden 80 Meter gelaufen ist. Ihm fehlen nun noch
20 Meter bis ins Ziel. Für 20 Meter braucht er ein Viertel der Zeit, die er für die 80 Meter
benötigte (16 : 4 = 4), somit benötigt Lutz für 100 Meter 16 + 4 = 20 Sekunden.
142
Abbildung 65: Bearbeitung Sportabzeichen Isabel (+++)
6.2 Unterrichtssequenz Realschule
6.2.1 Ergebnisse des vierten Unterrichtsversuchs
Nach der kurzen Motivation wurden die Schüler dazu aufgefordert, ihre Tische zu kleinen
Arbeitsecken aneinander zu stellen und sich dann in Dreier- bzw. Vierergruppen mit dem Lösen der Gruppenknobelaufgaben zu beschäftigen. Nach einigem Hin und Her kristallisierten
sich schließlich die folgenden Gruppen heraus:
Gruppe 1: Raphael, Markus V., Jannik, Michael R.
Gruppe 2: Michael H., Nico, Marcel
Gruppe 3: Florian, Sean, Maximilian, Markus S.
Gruppe 4: Annalena, Marie-Theres, Laura, Ruth
Gruppe 5: Alexandra, Selina, Lisa, Simon
Gruppe 6: Julian, Marvin, Gabriel
Gruppe 7: Fabio, Julien, Joschua, Markus L.
Gruppe 8: Franziska, Alischa, Scheyda, Markus K.
Neugierig machten sich die 30 Schüler an die Arbeit. Welche Knobelaufgaben von den einzelnen Gruppen bearbeitet wurden, zeigt folgende Tabelle 92 im Überblick:
Tabelle 18: Gruppenbearbeitung 5. Klasse
Gruppe 1
Gruppe 2
Gruppe 3
Gruppe 4
Gruppe 5
Gruppe 6
Gruppe 7
Gruppe 8
92
Gruppenaufgabe 1
Nachbarschaft
+++
+++
+++
+++
+++
+
+++
+++
„ +++ “ bedeutet:
„ ++ “ bedeutet:
„ + “ bedeutet:
„ – “ bedeutet:
Gruppenaufgabe 2
Zeustempel
++
+++
+++
++
++
-
Gruppenaufgabe 3
ZahlenSteckbrief
+++
+++
+
+++
+++
+++
+
Gruppenaufgabe 4
Würfel
+
+
+
+
+
+++
-
Gruppenaufgabe 5
geschwisterl.
Geteilt
++
+++
+++
+++
143
Exemplarisch sollen im Folgenden wiederum ausgewählte Bearbeitungen der Kinder vorgestellt werden. Die Beschreibung des jeweiligen Lösungsprozesses ergibt sich aus den abgegebenen Lösungsversuchen, meinen eigenen Beobachtungen sowie einzelnen Gesprächen während der Erarbeitungsphase.
Gruppenaufgabe 1: Nachbarschaft
Die Knobelaufgabe „Nachbarschaft“ wurde von allen acht Gruppen bearbeitet, wobei sieben
davon die Aufgabe vollständig und richtig bearbeiteten und nur eine nach mehreren Fehlversuchen vorzeitig aufgab.
Gruppe 3 befasste sich gleich zu Beginn mit der Nachbarschaftsaufgabe. Maximilian las die
Aufgabe vor, die anderen Jungen notierten sich gegebene Informationen: drei Häuser, drei
Personen: Lena, Florian, Martin und drei Farben: gelb, weiß, rot. Nach kurzer Diskussion
begannen die Schüler zunächst damit, drei Häuser nebeneinander zu skizzieren und ihnen beliebige eine der drei Farben zuzuordnen.
Abbildung 66: Bearbeitung Nachbarschaft Gruppe 3 (+++)
144
Nun gingen sie systematisch die Hinweise durch, mussten jedoch zweimal feststellen, dass
ihre willkürliche Annahme zu keiner korrekten Lösung führen kann. In ihrem dritten Versuch
gelangten die Schüler zu einer Lösung, die mit den gegebenen Hinweisen übereinstimmt.
Auch Gruppe 4 versuchte, der Nachbarschaftsfrage auf die Schliche zu kommen. Die Mädchen waren eine der wenigen die versuchten, ihre Gedanken ansatzweise in Worte zu fassen.
Auch hier wurde die Bearbeitung mit einer Skizze begonnen.
Die Schüler schlossen aus den Aussagen „Lena wohnt links von Florian“ und „Das weiße
Haus steht irgendwo links neben dem gelben Haus“, dass Lena im weißen Haus wohnen müsse, sich dieses an linker Position befände und das mittlere Haus gelb wäre. Sie berücksichtigten dabei nicht, dass mit der Bezeichnung „irgendwo links“ sowohl das nächstgelegene linke
Haus als auch das übernächste Haus gemeint sein könnte. Zusammen mit der Aussage „Das
rote Haus steht rechts von Martin“ schlossen die Schüler, dass Martin das mittlere Haus bewohnen müsse, somit für das rechte Haus nur die Farbe rot und Florian übrig blieben. Leider
mussten die Mädchen an dieser Stelle feststellen, dass ihre Überlegungen bisher korrekt wä145
ren, wenn nicht noch der letzte Hinweis „Florian wohnt rechts des roten Hauses“ gegeben
wäre, der es unmöglich macht, dass Florian selbst im roten Haus wohnt.
In einem neuen Versuch begannen die Kinder mit ihren Überlegungen von vorne. Wieder
wurde eine Skizze (4 Häuser) erstellt. Nun begannen die Schüler mit der Information „Das
rote Haus steht rechts von Martin“, woraus in der Skizze sowohl Martins Haus als auch das
rechts danebenliegende rote Haus identifiziert wurden. Mit „Florian wohnt rechts des roten
Hauses“ folgerten sie, dass nun neben Martins Haus ganz links, mittig das rote Haus und
rechts Florians Haus stehen müsse. Somit muss Lena im roten Haus wohnen. Mit dem Hinweis „Das weiße Haus steht irgendwo links neben dem gelben Haus“ vervollständigten die
Schüler ihre Skizze und versuchten, ihren Lösungsweg schriftlich darzustellen.
Die Bearbeitung von Gruppe 8 ähnelt der eben beschriebenen. Auch hier gelangten die Schüler zunächst zu einer fehlerhaften Lösung, schafften es jedoch in einem zweiten Anlauf, alle
Informationen zu einem korrekten Endergebnis zu vereinen. Unter Erstellung einer informativen Figur und der Formulierung eines kurzen Antwortsatzes gelangten die Kinder schließlich
zu folgendem Ergebnis:
Gruppe 6 ging im Unterschied zu Gruppe 4 oder 8 weniger an den Informationen orientiert
vor (vorwärtsarbeitend), sondern nach dem Versuch-Irrtums Prinzip. Mehrfach begannen die
Jungen, eine Skizze der drei Häuser zu entwerfen, wobei diese beliebig beschriftet wurden um
im Anschluss auf Tauglichkeit überprüft zu werden. Nach vier Fehlversuchen warf die Gruppe allerdings das Handtuch und widmete sich einer anderen Aufgabe.
146
Abbildung 69: Bearbeitung Nachbarschaft Gruppe 6 (+)
Stellvertretend für die restlichen vier Gruppen soll Abbildung 70 gelten. Sowohl Gruppe 5, als
auch Gruppe 1, 2 und 7 gelangten zu einem korrekten Ergebnis, konnten ihren Lösungsweg
auch erklären, formulierten jedoch keine genaue Beschreibung ihres Lösungsprozesses.
Gruppenknobelaufgabe 2: Zeustempel
Die Aufgabe „Zeustempel“ wurde von fünf der acht Gruppen bearbeitet, wobei zwei davon zu
einer korrekten und fehlerfreien Lösung gelangten und die anderen drei die Bearbeitung fehlerhaft beendeten.
147
Eine sehr gelungene und übersichtliche Lösung lieferte Gruppe 2. Die Gruppe stieg unter
Anwendung der Strategie des Rückwärtsarbeitens in die Problematik ein. Als Ausgangspunkt
nahmen die Schüler den Hinweis zur Hilfe, dass der alte Grieche nach Besuch der drei Tempel völlig mittellos war, also null Goldstücke besaß. Da er an jedem der drei Tempel acht
Goldstücke erhält und jeweils die Hälfte seines Besitzes den Göttern zum Dank opfert, folgern die Schüler, dass der Grieche am dritten Tempel mit vier Goldstücken ankam (0 + 8 = 8,
8 : 2 = 4). Mit Erhalt von wiederum acht Goldstücken am zweiten Tempel und der Spende der
Hälfte seines Hab und Guts, muss der Grieche am diesem sechs Goldstücke besessen haben (4
+ 8 = 12, 12 : 2 = 6). Analog kommen die Schüler zu dem Schluss, dass der Alte beim Betreten des ersten Tempels sieben Goldstücke besessen haben muss (6 + 8 = 14, 14 : 2 = 7).
Abbildung 71: Bearbeitung Zeustempel Gruppe 2 (+++)
148
Um die Frage zu beantworten, ab wann der Grieche reich werden würde überlegen sich die
Jungen folgerichtig, dass er auf jeden Fall mehr als 7 Goldstücke besitzen müsste, da mit dem
Guthaben von sieben nach Besuch der drei Tempel nichts mehr übrig bleiben würde. Die
Schüler stellen fest, dass mit acht Goldstücken weder ein Verlust, noch ein Gewinn herausspringen würde und dass der Grieche erst ab neun Goldstücken reich werden würde. Der Endbetrag würde inklusive Spende bei dem Ausgangskapital von neun Goldstücken 26 betragen.
Auch Gruppe 3 gelangte zu einer korrekten Lösung, allerdings lösten die Schüler die Aufgabe
nicht durch Rückwärtsarbeiten, sondern durch systematisches Probieren. Im Kopf gingen sie
verschiedene Möglichkeiten des Ausgangskapitals durch und stellten nach nur einem Fehlversuch (acht Goldstücke zu Anfang) fest, dass sich die anfängliche Zahl an Goldstücken auf
sieben belaufen muss, da so bei Verdopplung an allen drei Tempeln und der damit verbundenen Dankesspende von acht Goldstücken die Mittellosigkeit des Griechen folgt:
5. Tempel: 7 · 2 = 14, 14 – 8 = 6
6. Tempel: 6 · 2 = 12, 12 – 8 = 4
7. Tempel: 4 · 2 = 8, 8 – 8 = 0
Nach demselben Vorgehen fanden die Schüler heraus, dass der Grieche ab einem Startkapital
von neun Goldstücken „reich“ werden würde, weil sich damit seine finanzielle Situation im
Vergleich zu Beginn der Tempelbesuche verbessern würde.
Abbildung 72: Bearbeitung Zeustempel Gruppe 3 (+++)
Die Bearbeitungen der anderen Gruppen ähneln einander bezüglich ihrer Fehlerhaftigkeit
sehr. So lieferte beispielsweise Gruppe 6 folgende Bearbeitung (Abbildung 73). Die Schüler
lasen den Text offensichtlich sehr oberflächlich und schlossen aus den wenigen Informationen
149
die sie aufnahmen, ihre ganz eigenen Lösungsfortgang. So nahmen die Jungen fälschlicherweise vier statt drei Tempelstationen an, vergaßen die Verdopplung der Beträge an jedem
dieser Tempel und nahmen hingegen an, dass der Grieche an jedem der Tempel, nicht wie in
der Aufgabe beschrieben, 8 Goldstücke opferte, sondern jeweils von den Göttern bekam (4 · 8
= 32).
Abbildung 73: Bearbeitung Zeustempel Gruppe 6 (++)
Gruppenknobelaufgabe 3: Zahlen-Steckbrief
Die Aufgabe „Zahlen-Steckbrief“ wurde von sieben der acht Gruppen bearbeitet, wobei fünf
davon zu einer vollständigen und richtigen Lösung gelangten und zwei ihre Lösungsbemühungen vorzeitig abbrachen.
Gruppe 5 begann damit, sich durch Ausprobieren zu überlegen, für welche Zahlen zwischen
10 und 100 gilt: Die Einerziffer ist dreimal größer als die Zehnerziffer. Die Schüler kamen auf
drei Möglichkeiten: 13, 26 und 39. Als einzig mögliche Lösung identifizierten sie anschließende die Zahl 26, da diese bei Vertauschung der Ziffern (62) genau 36 größer ist als die
Ausgangszahl. Zu Papier brachten die Schüler folgende Rechnung:
Abbildung 74: Bearbeitung Zahlen-Steckbrief Gruppe 5 (+++)
Auch die anderen vier Gruppen, am Beispiel der Gruppen 1 (Abbildung 75), 7 (Abbildung 76)
und 6 (Abbildung 77) gelangten zum korrekten Endergebnis, zeigen jedoch lediglich einen
kurzen Rechenweg oder lediglich das Endergebnis auf, ohne ihre Gedankengänge näher zu
beschreiben.
150
Gruppenknobelaufgabe 4: Würfel
Die Aufgabe „Würfel“ wurde von sechs der acht Gruppen bearbeitet, wobei lediglich eine der
Gruppen eine vollständige und korrekte Lösung abgeben konnte. Die Schüler kamen alle
durch Zeichnen zu einer Lösung, da ihre Bemühungen jedoch meist recht unsystematisch verliefen, kamen sie, mit Ausnahme von Gruppe 7, nicht auf alle acht möglichen Würfelvierlingsabbildungen.
Gruppe 7 gelang es, alle acht möglichen Würfelvierlinge zu finden. Nur die Figuren 5 und 8
in Abbildung 78 gehen durch Drehung auseinander hervor. Die Gruppe begann ihre Lösung
zunächst damit, dass sich jeder der vier Mitglieder alleine überlegte, welche möglichen Vierlinge erstellt werden können. Die einzelnen Ideen wurden auf Schmierpapier skizziert und
anschließende in der Gruppe verglichen. Hierbei stellten die Schüler vollkommen korrekt fest,
dass einzelne Figuren durch Drehung oder Spiegelung auseinander hervorgehen und somit
151
keinen neuen Vierling darstellen. Schritt für Schritt fügten die Jungen unter reger Diskussion
ihre Überlegungen zusammen und kamen schließlich zu der folgenden Lösung:
Abbildung 78: Bearbeitung Würfel-Aufgabe Gruppe 7 (+++)
Alle anderen Bearbeitungen zeigen meist deutlich mehr als acht Lösungen. Bei näherer Betrachtung fällt jedoch auf, dass die einzelnen Gruppen, im Gegensatz zu Gruppe 7, nicht die
durch Spiegeln oder Drehen bereits gefundener Lösungen, die somit keinen Neuheitswert
haben, aus den Überlegungen zu isolieren.
So entdeckte Gruppe 6 acht mögliche Anordnungen, wobei lediglich vier Vierlinge unter Beachtung von Drehen und Spiegeln zu identifizieren sind:
Nr. 1 (= 5, = 6), Nr. 2, Nr. 3 und Nr. 7 (= Nr. 8).
Abbildung 79: Bearbeitung Würfel-Aufgabe Gruppe 6 (+)
Gruppe 4 entdeckte 15 mögliche Anordnungen, wobei auch in diesem Falle lediglich vier
Vierlinge unter Beachtung von Drehen und Spiegeln auszumachen sind:
Nr. 1, Nr. 2 (= 4, = 6, = 7, = 9, = 10, = 11, = 13, = 15), Nr. 3 und Nr. 5 (= 8, = 12, = 14).
152
19 mögliche Anordnungen wurden von Gruppe 2 skizziert, wobei wie in den vorhergehenden
Abbildungen dieselben vier Würfelvierlinge entdeckt wurden:
Nr. 1 (= 8), Nr. 2 ( =3, = 6, = 7, = 11, = 12, = 16, = 17, = 18, = 19), Nr. 4 (= 5, = 9, = 10, = 14,
= 15) und Nr. 13.
Gruppe 1 fand fünf der acht möglichen Würfelvierlinge. Auch traten bei diesen Schülern keinerlei Wiederholungen durch Spiegelung oder Drehung auf.
153
Gruppenknobelaufgabe 5: Geschwisterlich geteilt
Die Aufgabe „Geschwisterlich geteilt“ wurde von vier der acht Gruppen bearbeitet. Alle vier
Gruppen gelangten zu einer Lösung, wobei drei der vier korrekt waren.
Gruppe 8 ging durch systematisches Probieren an die Aufgabe heran. Willkürlich nahmen die
Schüler eine beliebige Anzahl an Geschwistern an und überprüften im Anschluss, ob bei Verteilung von je zwei Mandarinen pro Kind drei übrig bleiben sowie bei Verteilung von je drei
Mandarinen pro Kind zwei übrig bleiben. Die erste Wahl der Kinder fiel auf vier Geschwister,
sie stellten jedoch schnell fest, dass diese Annahme nicht stimmen kann, da 4 · 2 = 8, 8 + 3
übrige Mandarinen = 11 ist ungleich 4 · 3 = 12, 12 – 2 fehlende Mandarinen = 10. Zu einer
richtigen Lösung kam die Gruppe allerdings bereits mit ihrer nächsten Annahme, denn bei
fünf Geschwistern folgt: 5 · 2 = 10, 10 + 3 übrige Mandarinen = 13 ist gleich 5 · 3 = 15, 15 –
zwei fehlende Mandarinen = 13. Die Rechnung in Kurzform zeigt Abbildung 83:
Abbildung 83: Bearbeitung Geschwisterlich geteilt Gruppe 8 (+++)
Auch Gruppe 4 versuchte sich durch systematisches Probieren. Die erste willkürliche Annahme war die, dass die Mandarinen auf zwei Kinder verteilt werden. Dies würde bei Verteilung von zwei Mandarinen pro Kind und einem Rest von drei einer Gesamtzahl von sieben
154
Mandarinen entsprechen. Bei der Verteilung von drei Mandarinen je Kind müsste, um auf die
errechnete Gesamtzahl von sieben Mandarinen zu gelangen, eine Mandarine übrig bleiben,
was nicht mit der Information übereinstimmt, dass bei Verteilen von drei Mandarinen zwei
fehlen. Die Gruppe schließt deshalb die die Lösung von zwei Kindern aus.
In zwei weiteren Schritten versuchen die Schüler ihr Glück mit der Annahme, die Mandarinen
würden auf drei bzw. vier Kinder verteilt werden (Abbildung 84). Auch hier stellt die Gruppe
fest, dass eine Lösung entsprechend der Informationen nicht möglich ist.
Erst bei fünf Kindern lassen sich schließlich alle Daten miteinander vereinen. Mit einem
Antwortsatz „Laura hat vier Geschwister und es waren 13 Mandarinen“ wird die Bearbeitung
abgeschlossen.
155
Gruppe 5 begann die Bearbeitung mit der Erstellung einer informativen Figur. Willkürlich
wurden zunächst vier Personen skizziert, unter die jeweils zwei bzw. drei Mandarinen gezeichnet wurden. Rechts daneben wurde der Rest von drei Mandarinen bei Verteilung von je
zwei Mandarinen (1. Fall) vermerkt bzw. das Fehlen von zwei Mandarinen bei der Verteilung
von je drei Mandarinen (2. Fall). Abzählen des abgegebenen Obstes lieferte im ersten Fall elf,
im zweiten Fall zehn Mandarinen. Die Schüler schlossen daraus, dass die gewählte Ausgangszahl von vier Kindern nicht richtig sein konnte.
In einem nächsten Versuch skizzierten sie (Abbildung 85) fünf Kinder, darunter wiederum je
zwei bzw. drei Mandarinen und rechts daneben den Rest von drei im ersten Fall und das Fehlen von zwei im zweiten Fall. Erneutes Abzählen liefert die identische Anzahl von 13 Mandarinen in beiden Verteilungen und somit das gesuchte Ergebnis (vier Geschwister, d.h. fünf
Kinder und 13 Mandarinen im Beutel).
6.2.2 Ergebnisse des fünften Unterrichtsversuchs
Jeder einzelne Schüler machte sich jeweils mit einem Dreierpack Knobelaufgaben ausgestattet, auf den Weg zu seinem Sitzplatz, um der Lösung auf die Spur zu kommen. Welcher Schüler welche Aufgabe bearbeitete, zeigt folgende Tabelle im Überblick 93:
Tabelle 19: Einzelbearbeitung 5. Klasse
Alexandra
Alischa
Annalena
Fabio
Florian D.
Florian S.
93
Einzelaufgabe 1
Schnittpunkte
+
+++
+
„+++“ bedeutet:
„++“ bedeutet:
„+“ bedeutet:
„-“ bedeutet:
Einzelaufgabe 2
Mathe-AG
+++
++
++
+
+
Einzelaufgabe 3
Diebstahl
+
+
++
+
Zusatzaufgabe
Sportabzeichen
-
156
Franziska
Gabriel
Jannik
Joschua
Julian
Julien
Laura
Lisa
Marcel
Marie-Theres
Marvin
Markus K.
Markus L.
Markus S.
Markus V.
Maximilian
Michael H.
Michael R.
Nico
Raphael
Ruth
Scheyda
Sean
Selina
Simon
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+++
+++
+
+
+
-
+++
+++
+++
+++
+++
+
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+
+++
+++
+++
+++
+
+++
++
+
++
++
++
+
+++
+++
++
+
+++
+
+
+++
+
+
-
Einzelknobelaufgabe 1: Schnittpunkte
Die Aufgabe „Schnittpunkte“ wurde von 17 der 30 Schüler bearbeitet, wobei drei eine vollständige und richtige Lösung abgaben und 14 Schüler die Bearbeitung vorzeitig abbrachen.
Die Schülerin Marie-Theres hatte keine Probleme, die Lösung für einen Schnittpunkt der beiden vorgegebenen Quadrate zu finden. Sie skizzierte die Lösung und markierte die Schnittstelle.
Doch schon bei drei Schnittpunkten schien es ihr, als wäre die Aufgabe unlösbar, ebenso für
vier, fünf, sechs oder sogar sieben Schnittpunkte. Ich ermunterte sie dazu, sich zwei Quadrate
aus Papier auszuschneiden und durch geschickt gewähltes Übereinanderlegen zu möglichen
Lösungen zu gelangen. Tatsächlich fand Marie-Theres eine korrekte Lösung für drei und vier
Schnittpunkte (Abbildung 86).
157
Abbildung 86: Bearbeitung Schnittpunkte Marie-Theres (+)
Eine sehr eindrucksvolle Bearbeitung lieferte die Schülerin Laura ab. Sie verwendete die gesamte zur Verfügung stehende Zeit für ihre Lösungsbemühungen und schaffte es, nach Ablauf
der Bearbeitungszeit alle Lösungen und eine weitere, nicht verlangte, für acht Schnittpunkte
abzugeben. Laura skizzierte jeweils zwei Quadrate (Augenmaß) und markierte die Schnittpunkte mit grünen Kreisen. Sie kam zu folgenden Ergebnissen:
-
Ein Schnittpunkt: Die Quadrate berühren sich einmal.
-
Fünf Schnittpunkte: Die Quadrate berühren sich dreimal und schneiden sich zweimal.
-
Sechs Schnittpunkte: Die Quadrate schneiden sich sechsmal.
-
Drei Schnittpunkte: Die Quadrate berühren sich dreimal.
-
Vier Schnittpunkte: Die Quadrate berühren sich viermal.
-
Acht Schnittpunkte: Die Quadrate schneiden sich achtmal.
-
Sieben Schnittpunkt: Die Quadrate schneiden sich sechsmal und berühren sich einmal.
158
Abbildung 87: Bearbeitung Schnittpunkte Laura (+++)
Auch der Schüler Michael H. konnte alle geforderten Schnittpunkte entdecken, obwohl die
Quadrate in Größe und Form mehr oder weniger stark von der Vorlage abweichen.
Abbildung 88: Bearbeitung Schnittpunkte Michael H. (+++)
159
Die weiteren Bearbeitungen von Markus V. (Abbildung 89), Jannik (Abbildung 92), Julien
(Abbildung 90), Sean (Abbildung 91), Florian S. (Abbildung 95), Nico ( Abbildung 93) und
Franziska (Abbildung 94) sollen lediglich im Überblick dargestellt werden und einen Eindruck vermitteln, wie die Schüler mit dieser Aufgabe umgegangen sind. Markus V. gelangte
zu 3, 4, 6 und 7 Schnittpunkten.
Abbildung 89: Bearbeitung Schnittpunkte Markus V. (+)
Julien gelangte zu 1, 3 und 4 Schnittpunkten, Sean zu 1, 4 und 8 Schnittpunkten, Julien zu 3,
4, 6, 7 und 8 Schnittpunkten, Nico zu 4, 5 und 8 Schnittpunkten, Franziska zu 1, 4 und 8
Schnittpunkten und Florian S. zu 1, 4, 5, 6, 7 und 8 Schnittpunkten, die zum einen durch systematisches Probieren (Skizze) oder zum anderen durch Ausschneiden zweier Quadrate und
passendem Übereinanderlegen gefunden wurden.
Abbildung 90: Bearbeitung Schnittpunkte Julien (+)
Abbildung 91: Bearbeitung Schnittpunkte Sean (+)
160
Abbildung 92: Bearbeitung Schnittpunkt Jannik (+)
Abbildung 93: Bearbeitung Schnittpunkte Nico (+)
Abbildung 94: Bearbeitung Schnittpunkte Franziska (+)
161
Abbildung 95: Bearbeitung Schnittpunkte Florian S. (+)
Einzelknobelaufgabe 2: Mathe-AG
Die Aufgabe „Mathe-AG“ wurde von 21 der 30 Schüler bearbeitet. Hiervon bearbeiteten 16
Schüler die Aufgabe vollständig und fehlerfrei, zwei beendeten die Bearbeitung fehlerhaft
und vier brachen vorzeitig ab.
Der Schüler Julian addierte bei seinen Überlegungen zunächst die geschlechtlich unabhängige
Anzahl der vorhandenen Schüler mit den neu hinzukommenden: 21 + 3 = 24. Da innerhalb
der 24 Kinder doppelt so viele Mädchen wie Jungen vorzufinden sind, kommt Julian nach
kurzem Probieren auf die einzig mögliche Anzahl von acht Jungen und 16 Mädchen (8 + 16 =
24). Bevor die drei Mädchen in die Klasse hinzukamen, waren es folglich acht Jungen (unverändert) und 13 Mädchen (16 – 3 = 13). In einer kurzen Antwort formuliert Julian das Ergebnis
seiner Berechnung.
162
Abbildung 96: Bearbeitung Mathe-AG Julian (+++)
Auch der Schüler Jannik beschäftigte sich mit der Mathe-AG Knobelaufgabe. Sehr übersichtlich notiert er zunächst das Gegebene (21 Schüler + 3 neue Schüler = doppelt so viele Mädchen wie Jungen), das Gesuchte (Anzahl der Mädchen) und im Anschluss seinen Lösungsweg
mit Antwortsatz. Jannik dividiert die Gesamtzahl der jetzigen Schüler (24) durch drei, erhält
acht und schließt daraus, dass dies gerade die Anzahl der Jungen sein muss, der Rest (das
Doppelte = 16) die Anzahl der Mädchen. Nach Subtraktion der drei hinzu gekommenen Schülerinnen kommt Jannik auf die korrekte Ausgangszahl von 13 Mädchen (und acht Jungen).
Abbildung 97: Bearbeitung Mathe AG Jannik (+++)
Abbildung 98: Bearbeitung Mathe-AG Selina (+++)
Auch Markus V. hielt zunächst die gegebenen und gesuchten Informationen der Aufgabe auf
Papier fest (vgl. Abbildung 99). Als Lösungsschritt dividierte er zunächst fälschlicherweise
die Anfangszahl der Schüler durch drei (21 : 3 = 7), korrigierte sich jedoch von selbst als er
merkte, die drei neu hinzukommenden Mädchen unberücksichtigt gelassen zu haben. Folgerichtig dividierte er nun die 24 (21 + 3) Schüler durch drei und erhielt damit acht Jungen und
163
16 Mädchen, woraus er schloss, dass zu Beginn 13 Mädchen und 8 Jungen die Klasse besuchten.
Abbildung 99: Bearbeitung Mathe-AG Markus V. (+++)
Der Schüler Florian D. näherte sich der Lösung der Aufgabe durch systematisches Probieren.
Unter Anlage einer Tabelle (Mädchen – Jungen, mit 3 – ohne 3) versuchte er, unter Fixierung
der Anzahl der Jungen auf zunächst sieben, die dazu passende Anzahl an Mädchen herauszufinden.
Abbildung 100: Bearbeitung Mathe-AG Florian D. (+)
Da 24 – 7 = 17 bzw. 21 – 7 = 14, vermerkte Florian dies zunächst als Lösung. Leider musste
der Schüler hier feststellen, dass hierbei die Bedingung „doppelt so viele Mädchen wie Jungen“ unberücksichtigt bleibt. In einem neuen Anlauf gelang es ihm, die korrekte Anzahl von
164
16 Mädchen und acht Jungen zu ermitteln, wobei er vergaß, den letzten Rechenschritt ohne
die drei neu hinzugekommenen Schülerinnen anzufügen.
Einzelknobelaufgabe 3: Diebstahl
Die Aufgabe „Diebstahl“ wurde von 21 der 30 Schüler bearbeitet, wobei fünf eine vollständige, korrekte Lösung, sechs eine fehlerhafte Lösung abgaben und zehn die Bearbeitung vorzeitig abbrachen.
Der Schüler Markus ging bei seiner Bearbeitung folgendermaßen vor: Zunächst nahm er an,
dass Anna die Wahrheit sagen würde. Damit hätte Bernd die Schokolade gegessen und alle
anderen Kinder (Bernd, Dieter und Carola) würden lügen. Dies kann nicht sein, weil dann
auch Carola und Dieter die Schokolade gegessen hätten. Somit lügt Anna.
In einem zweiten Schritt nahm Markus an, Bernd würde die Wahrheit sagen. Somit hätte Carola die Schokolade gegessen und auch Carola und Dieter würden lügen. Auch dies kann nicht
sein, weil dann wiederum Carola und Dieter zugeben würden, die Schokolade gegessen zu
haben.
In einem dritten Schritt nahm Markus an, Carola würde die Wahrheit sagen. Somit würden
Anna, Bernd und Dieter lügen, d.h. Bernd wäre nicht der Täter (da Anna lügt) und auch Carola war es nicht (da Bernd lügt), folglich kann nur Dieter der Täter sein, was abschließend in
einem Antwortsatz zusammenfassend formuliert wird.
Abbildung 101: Bearbeitung Diebstahl Markus V. (+++)
Der Schüler Jannik befasste sich gleich zu Beginn mit der Knobelaufgabe Diebstahl. Er notierte zunächst die gegebenen und gesuchten Informationen. Nach dem Ausschlussprinzip
gelangte er schließlich zu der Erkenntnis, dass einzig Dieter der Dieb sein kann und somit nur
Carola die Wahrheit spricht.
165
Abbildung 102: Bearbeitung Diebstahl Jannik (+++)
Zusatzknobelaufgabe: Sportabzeichen
Die für schnelle Schüler gewählte Zusatzaufgabe „Sportabzeichen“ wurde lediglich von einem Schüler gefordert, der die Bearbeitung jedoch auf Grund von Zeitmangel nicht zu Ende
führen konnte.
6.6.3 Ergebnisse des sechsten Unterrichtsversuchs
Welcher Schüler welche Aufgabe bearbeitete, zeigt folgende Tabelle im Überblick 94:
Tabelle 20: Problemaufgaben der Woche
Alexandra
Alischa
Annalena
Fabio
Florian D.
Florian S.
Franziska
Gabriel
Jannik
Joschua
Julian
Julien
94
„+++“ bedeutet:
„++“ bedeutet:
„+“ bedeutet:
„-“ bedeutet:
Problem der Woche !
Taschenrechner
+++
+
+++
++
+++
++
+++
+++
-
Problem der Woche 2
Neue Lehrer
+++
+
+
++
166
Laura
Lisa
Marcel
Marie-Theres
Marvin
Markus K.
Markus L.
Markus S.
Markus V.
Maximilian
Michael H.
Michael R.
Nico
Raphael
Ruth
Scheyda
Sean
Selina
Simon
+++
+
+
+++
+++
-
+++
+++
++
+++
+++
+++
+
+++
+++
++
+++
+++
++
+++
Problemaufgabe der Woche 1: Taschenrechner
Die Aufgabe „Taschenrechner“ wurde von 13 der 31 Schüler bearbeitet, wobei acht zu einer
vollständigen und korrekten Lösung gelangten, zwei eine fehlerhafte Lösung abgaben und
drei die Bearbeitung vorzeitig abbrachen.
Der Schüler Sean kam bei Betrachtung der acht Taschenrechnerrechnungen schnell auf die
richtige Belegung der Taste 5, da als Summe zweier gleicher Ziffern lediglich 3 + 3 = 6 in
Frage kommen kann (Taste 5 = 3). In einem nächsten Schritt überlegte er sich, für welche
Ziffern die Tasten 1 und 2 in der Rechnung 1 + 2 = 9 stehen könnten. Da sich 9 als Summe
von 1 + 8, 2 + 7, 3 + 6 oder 4 + 5 darstellen lässt folgerte er, dass lediglich die Zahlen 4 bzw.
5 in Frage kämen, da die 3 bereits für Taste 5 festgelegt wurde und 1 + 8 bzw. 2 + 7 aufgrund
ihres Vorhandenseins auf den Tasten nicht in Frage kämen. (Seans Ausschluss war genau
genommen etwas zu voreilig. Der Junge berücksichtigte zwar vollkommen richtig, dass zwar
die Taste 1 wegen des Defektes nicht für die eins bzw. Taste 2 nicht für die zwei stehen kann,
sehr wohl jedoch die Taste 2 für die eins (somit Taste 1 für die 8) bzw. Taste 1 für die zwei
(somit Taste 2 für die sieben)).
Nun kam die Rechnung 8 + 3 = 3 an die Reihe, wobei Sean feststellte, dass sowohl die Taste
8 als auch die Taste 3 nur für die Ziffern eins und zwei in Frage kommen. Zusammen mit der
Rechnung 2 + 8 = 7 schloss der Schüler nun, dass Taste 8 für Ziffer zwei (Taste 8 = 2) und
Taste 2 für Ziffer fünf (Taste 2 = 5) stehen muss. Somit ergeben sich zusammen mit den vori-
167
gen Überlegungen für Taste 3 die Ziffer 1 (Taste 3 = 1) und für Taste 1 die Ziffer 4 (Taste 1 =
4).
Die letzten fehlenden Tastenbelegungen schließt der Junge folgerichtig aus bereits Bekanntem. So ergibt sich aus der Rechnung 7 + 1 = 10 mit Taste 1 als Ziffer 4 die Taste 7 zu Ziffer
6 (Taste 7 = 6), da 6 + 4 = 10. Aus Rechnung 3 + 6 = 9 ergibt sich mit Taste 3 als Ziffer 1 die
Taste 6 zu Ziffer acht (Taste 6 = 8), da 1 + 8 = 9. Aus Rechnung 6 + 4 = 17 schließt Sean unter Kenntnis von Taste 6 als Ziffer acht, dass für Taste 4 lediglich die Ziffer neun (8 + 9 = 17)
in Frage kommt (Taste 4 = 9). In einem letzten Rechenschritt ergibt sich aus der Rechnung 4
+ 9 = 16 mit bekannter Taste 4 als Ziffer neun, Taste 9 als Ziffer sieben (Taste 9 = 7), da 9 + 7
= 16.
Abbildung 103: Bearbeitung Taschenrechner Sean (+++)
Auch der Schüler Gabriel beschäftigte sich als Wochenaufgabe mit der Taschenrechnerknobelei. Wie in Abbildung 104 zu erkennen ist, kam auch Gabriel als erste Lösung schnell auf die
richtige Belegung der Taste 5 als Ziffer 3. Alle weiteren Lösungen ging der Junge durch Probieren an. Nach langwierigem Einsetzen gelangte der Schüler zur richtigen Lösung.
168
Abbildung 104: Bearbeitung Taschenrechner Gabriel (+++)
Der Schüler Joschua beschäftigte sich noch am selben Tag des Austeilens mit der Knobelaufgabe der Woche. Mit Erfolg gelangte er durch logisches Nachdenken zur richtigen Lösung,
die er mir bereits in der darauf folgenden Unterrichtsstunde, in der es um die Bearbeitung der
Einzelknobelaufgaben ging, vorlegte. Da er großen Spaß an der Bearbeitung hatte fragte ich
ihn, ob er eine weitere Taschenrechneraufgabe lösen wolle. Begeistert nahm Joschua die neue
Aufgabe entgegen und gab im 6. Unterrichtsversuch die Lösung beider Taschenrechnerknobeleien ab.
Reihe 1 in Abbildung 105 stellt die Lösung der allen dargebotenen Aufgabe dar, Reihe zwei
die der extra ausgegebenen, rechts davon abgebildeten Knobelaufgabe.
Zu den Ergebnissen von Reihe 1 kam Joschua wie folgt (wobei er die Ergebnisse abschließend in Reinschrift der Größe nachordnete): Ausgangspunkt seine Überlegungen war die letzte Rechnung 5 + 5 = 6 aus der er folgerte, dass Taste 5 für die Ziffer 3 stehen muss (Taste 5 =
3). Die nächsten beiden Rechnungen, die er näher ins Auge fasste, waren 6 + 4 = 17, in der
die Tasten 6 bzw. 4 nur für die Ziffern 8 bzw. 9 stehen können und 8 + 3 = 3, in der die Tasten 8 bzw. 3 nur für die Ziffern 1 bzw. 2 stehen können. Unter Zuhilfenahme der Rechnung 3
+ 6 = 9 folgerte der Schüler, dass Taste 6 zwingend für Ziffer acht (Taste 6 = 8) und Taste 3
für Ziffer eins (Taste 3 = 1) stehen muss. Weiter ergeben sich somit aus vorigen Überlegungen für Taste 4 die Ziffer neun (Taste 4 = 9) und für Taste 8 die Ziffer eins (Taste 8 = 2). Zur
Bestimmung der restlichen Tasten 1, 2, 7 und 9 werden die bereits herausgefundenen Tastenbelegungen in die Rechnungen eingesetzt. So erlangt Joschua aus der Rechnung 2 + 8 = 7 mit
bekannter Taste 8 die Taste 2 als Ziffer 5 (Taste 2 = 5) und damit aus Rechnung 1 + 2 = 9 die
Taste 1 als Ziffer 4 (Taste 1 = 4). Taste 7 ergibt sich aus der Rechnung 7 + 1 = 10 zu Ziffer 6
(Taste 7 = 6) und Taste 9 letzten Endes aus der Rechnung 4 + 9 = 16 mit bekannter Taste 4 als
Ziffer sieben (Taste 9 = 7).
169
Abbildung 105: Bearbeitung Taschenrechner Joschua (+++)
Zu den Ergebnissen von Reihe 2 kam Joschua auf dem folgenden Weg, der sich als eine Art
Ringschluss beschreiben lässt: Aus der Rechnung 1 – 6 = 7 folgerte der Schüler, dass Taste 1
lediglich für die Ziffern neun oder acht stehen kann, Taste 6 somit für die Ziffern zwei oder
eins. Verknüpft mit diesen Überlegungen, folgen für Taste 3 aus der Rechnung 1 – 3 = 2 die
Ziffern sieben bzw. sechs, für Taste 5 aus der Rechnung 3 + 5 = 15 die Ziffern neun bzw.
acht. Hieraus folgt aus Rechnung 5 + 7 = 12 für Taste 7 die mögliche Belegung der Ziffern
drei bzw. vier. Für Taste 8 kommen mit Rechnung 7 – 8 = 1 lediglich die Ziffern zwei bzw.
drei in Betracht, wonach für Taste 9 aus der Rechnung 9 + 8 = 8 lediglich die Ziffern fünf
oder sechs übrig bleiben. Aus der Rechnung 2 – 6 = 4 blieb nun zu folgern, dass Taste 2 für
die Ziffern 5 bzw. 6 stehen muss, woraus für Taste 4 schlussendlich die Ziffern eins oder zwei
in Frage kommen. Da Joschua nun für alle Tasten mögliche Kandidaten gesammelt hat, fasst
er diese in einer kurzen Übersicht zusammen.
Taste 1: acht oder neun
Taste 4: eins oder zwei
Taste 7: drei oder vier
Taste 2: fünf oder sechs
Taste 5: acht oder neun
Taste 8: zwei oder drei
Taste 3 sechs oder sieben
Taste 6: eins oder zwei
Taste 9: fünf oder sechs
Bei näherer Betrachtung fiel dem Schüler auf, dass Ziffer vier lediglich einmal, nämlich für
Taste 7 in Frage kommt, also legte er Taste 7 für Ziffer vier fest (Taste 7 = 4). Schritt für
170
Schritt ergänzte der Junge nun seine Überlegungen und kam zu einem vollkommen korrekten
und bemerkenswertem Ergebnis.
Eine letzte zu dieser Bearbeitung vorzustellende Lösungsidee soll die der Schülerin Alischa
sein. Das Mädchen investierte offensichtlich sehr viel Zeit in die Bearbeitung und tippte diese
zu guter Letzt sogar in den Computer ein.
Abbildung 106: Bearbeitung Taschenrechner Alischa (+++)
171
Sie ging sehr systematisch vor, notierte tabellenartig die einzelnen Tasten, daneben die möglichen Belegungsziffern eins bis neun, die nicht möglichen Belegungsziffern eins bis neun
sowie die letzten Endes richtige Tastenbelegung („dafür steht sie“). Darunter notierte sie die
jeweils betrachteten Rechnungen und dazu angestellten Überlegungen. Alischa kennzeichnete
abschließend auf ihrem Computerausdruck durch Umrandung bzw. Durchstreichen ihre Überlegungen in der aufgestellten Tabelle.
Problemaufgabe der Woche 2: Neue Lehrer
Die Aufgabe „Neue Lehrer“ wurde von 18 der 31 Schüler bearbeitet, wobei elf eine vollständige und korrekte Lösung abgaben, vier eine fehlerbehaftete und drei die Bearbeitung vorzeitig abbrachen.
Die Schülerin Marie-Theres löste die Aufgabe „durch logisches Nachdenken“ (vgl. Abbildung
107). Sie nummeriert die einzelnen Hinweise der Übersicht halber von H1 – H6.
Abbildung 107: Bearbeitung Neue Lehrer Marie-Theres (+++)
Da der Mathelehrer zusammen mit dem Sportlehrer zur Schule fährt (H1), kann die Kombination Mathematik – Sport nicht bestehen. Da Herr Fuchs mit dem Mathelehrer Tennis spielt
(H3), kann Herr Fuchs kein Mathe unterrichten. Aus „Der Englischlehrer ist jünger als Herr
Groß, aber älter als der Biologielehrer“ (H4) folgert die Schülerin zum einen, dass Herr Groß
172
weder Englisch noch Bio unterrichtet, zum anderen dass die Kombination Biologie – Englisch
nicht existiert. Mit „Herr Fuchs hat vier Kinder“ (H5) kann Marie-Theres nichts anfangen.
Hinsichtlich des Alters der Lehrer folgert die Schülerin folgendes: Der jüngste Lehrer ist Herr
Hübner (H2). Weder der Mathe- noch der Sportlehrer sind am ältesten, da sie (mit dem Auto)
zur Schule fahren (H1 und H6)). Der Biolehrer ist jünger als der Englischlehrer, wobei der
Englischlehrer wiederum jünger ist als Herr Groß (H4). Hieraus folgert das Mädchen, dass
Herr Groß der älteste der Lehrer sein muss, somit weder Sport noch Mathe unterrichtet, und
Herr Hübner nicht Englisch unterrichtet, woraus zum einen gefolgert werden kann, dass Herr
Groß die Fächer Kunst und Deutsch unterrichten muss (Groß – Kunst + Deutsch) und zum
anderen, dass nur Herr Fuchs der Englischlehrer sein kann (Fuchs – Englisch). Für Herrn
Fuchs bleibt als zweites Fach, da Biologie und Mathe ausgeschlossen wurden, nur Sport übrig
(Fuchs – Sport) und folglich für Herrn Hübner die verbleibenden Fächer Mathematik und Biologie (Hübner – Mathematik + Biologie).
Alexandra versuchte, ihre Überlegungen gut nachvollziehbar, wie in Abbildung 108
Abbildung 108: Bearbeitung Neue Lehrer Alexandra (+++) ersichtlich, festzuhalten.
Abbildung 108: Bearbeitung Neue Lehrer Alexandra (+++)
Schnell kam sie auf die Zuordnung „Der Englischlehrer ist Herr Fuchs“, da Englisch weder
von Herrn Groß, noch von dem ältesten (Herr Groß) bzw. jüngsten Lehrer (Herr Hübner) unterrichtet wird (Fuchs – Englisch). Hieraus folgert Alexandra, dass Herr Hübner, der Referendar, sowohl Biologie als auch Mathematik (Hübner – Biologie + Mathematik) unterrichtet.
173
Mathematik deshalb, da für dieses Fach weder Herr Fuchs, der mit Mathelehrer Tennis spielt
noch Herr Groß, der zu Fuß zur Schule kommt, also nicht fährt, in Frage kommen. Herr Groß
unterrichtet als ältester zwangsweise die Fächer Kunst und Deutsch (Groß – Kunst +
Deutsch), da Sport nicht von dem ältesten Lehrer unterrichtet wird. Dieses Fach bleibt somit
für Herrn Fuchs übrig (Fuchs – Sport).
Der Schüler Simon begann zunächst mit der Analyse des Alters der jeweiligen Lehrer. Er
kommt dabei zu dem Schluss, dass Herr Hübner der jüngste Lehrer ist, somit Bio unterrichtet
(Herr Hübner – Biologie), Herr Groß der älteste der Lehrer ist, der auf Grund des zur Schule
Laufens weder Mathe noch Sport unterrichtet und der mittelalte Herr Fuchs sein muss der
Englisch unterrichtet (Herr Fuchs – Englisch), aber kein Mathe, da er mit ebendiesem Lehrer
Tennis spielt.
Abbildung 109: Bearbeitung Neue Lehrer Simon (+++)
Herr Hübner muss folglich der Mathelehrer sein (Hübner – Mathe), da Herr Groß zu Fuß zur
Schule kommt, also nicht fährt, wie es der Mathelehrer tut. Da Herr Groß der älteste Lehrer ist
174
und Herr Fuchs regelmäßig Tennis spielt, schließt Simon, dass es auf Grund der Sportlichkeit
von Herrn Fuchs und des niedrigeren Alters wahrscheinlich ist, dass ebendieser Sport unterrichtet (Fuchs – Sport). Die restlichen zwei Fächer Deutsch und Kunst werden abschließend
dem einzig übrigen Lehrer Herr Groß zugeteilt.
Die Schülerin Ruth begann ebenso wie Simon mit der Überlegung, welcher der Lehrer der
jüngste, der mittlere bzw. der älteste ist. Sie kommt zu der Schlussfolgerung, dass Herr Hübner jünger ist als Herr Fuchs und Herr Fuchs jünger als Herr Groß. Das Mädchen erstellt nun,
das vorab analysierte Alter berücksichtigend, eine Tabelle mit allen Lehrern und allen Fächern, wobei Fächer, die den Hinweisen zufolge nicht in Frage kommen, weggestrichen werden.
Abbildung 110: Bearbeitung Neue Lehrer Ruth (+++)
Aus „Der Mathelehrer und der Sportlehrer fahren zusammen zur Schule“ folgert Ruth, dass
Herr Groß, „der zu Fuß zur Schule kommt“ weder Sport noch Mathe unterrichtet.
175
Aus „Herr Fuchs spielt regelmäßig mit dem Mathelehrer Tennis“ schließt die Schülerin, dass
Mathe auch nicht von Herrn Fuchs unterrichtet wird, somit nur noch Herr Hübner in Frage
kommt (Hübner – Mathematik).
Aus „Der Englischlehrer ist jünger als Herr Groß, aber älter als der Biolehrer“ leitet Ruth zum
einen ab, dass Herr Groß weder Englisch noch Bio unterrichtet, also zwingend Deutsch und
Kunst als einzig übrige Fächer unterrichten muss (Groß – Deutsch + Kunst) und zum anderen,
dass der Biolehrer der jüngste sein muss, also Herr Hübner Bio unterrichtet (Hübner – Biologie). Unter Betrachtung der erstellten Tabelle mit den weggestrichenen Elementen ergibt sich
für Herrn Fuchs die Fächerkombination Englisch und Sport (Fuchs – Englisch + Sport).
Die Schülerin Lisa beginnt schon beim ersten Lesen mit der Beschriftung der einzelnen Angaben (Angabe 1 bis Angabe 6):
Sie folgert, dass aus Angabe 2 Herr Hübner als jüngster Lehrer und aus Angabe 4 Herr Groß
als ältester und somit Herr Fuchs als mittlerer dargestellt werden. Schritt für Schritt leitet sich
Lisa nun aus den Angaben geeignete Informationen ab, um so der Lösung auf die Spur zu
kommen.
Aus den Angaben 1 und 6 schließt die Schülerin, dass Herr Groß weder Mathe noch Englisch
(gemeint ist wahrscheinlich Sport) unterrichtet, da Herr Groß als ältester zu Fuß zur Schule
kommt und nicht, wie der Mathe- bzw. Sportlehrer zur Schule fährt.
Aus Angabe 4 und der Altersbestimmung folgert Lisa, dass Herr Fuchs Englisch unterrichtet
(Fuchs – Englisch) und Herr Hübner der Biologielehrer sein muss (Hübner – Biologie).
Aus Angabe 3 leitet die Schülerin ab, dass Herr Fuchs nicht der Mathelehrer ist, woraus mit
Angabe 6, der Altersbestimmung, Angabe 1 und Angabe 3 gefolgert wird, dass Herr Hübner
Mathe unterrichten (Hübner – Mathematik).
Unter Betrachtung der Angabe 6, der Altersbestimmung und Angabe 1, schloss die Schülerin,
dass für das Fach Sport lediglich Herr Fuchs in Frage kommt (Fuchs – Sport). Die zwei
verbleibenden Fächer Deutsch und Kunst werden an den noch nichts unterrichtenden Herrn
Groß vergeben (Groß – Kunst + Deutsch).
176
Abbildung 111: Bearbeitung Neue Lehrer Lisa (+++)
Der Schüler Marvin versuchte die Bearbeitung mit Hilfe der Erstellung einer Tabelle anzugehen. Er schrieb die abgekürzten Namen der Lehrer Herr Hübner (HH), Herr Groß (HG) und
Herr Fuchs (HF), sowie 1. Fach und 2. Fach und Art des Schulweges in die Tabelle und er177
gänzte nach und nach unter Zuhilfenahme der gegebenen Informationen. Rechts neben die
Tabelle notierte er alle sechs Fächer im Überblick.
Schnell fand Marvin die Altersverteilung der einzelnen Lehrer heraus. Er kennzeichnete diese
mit einem Minus für den Jüngsten (HH), mit einem Kreis für den Mittleren (HF) und einem
Plus für den Ältesten (HG). Außerdem stellte er fest, dass Herr Groß, als Ältester, zu Fuß zur
Schule kommt, somit die anderen beiden „by car“ kommen müssen. Da Herr Groß dem Hinweis „Der Englischlehrer ist jünger als Herr Groß, aber älter als der Biologielehrer“ weder
Biologie noch Englisch unterrichtet und, da er zu Fuß zur Schule kommend nicht Mathematik
und Sport unterrichten kann, folgert Marvin, dass Herr Groß die verbleibenden Fächer
Deutsch und Kunst (Herr Groß – Deutsch + Kunst) unterrichten muss. Er notiert dies in der
Tabelle und streicht die Fächer aus der Übersichtsliste. Mit „Herr Hübner ist der jüngste der
drei Kollegen“ und dem zuvor verwendeten Hinweis folgert der Junge, dass der Biolehrer der
jüngste der drei ist, und somit Herr Hübner sein muss (Herr Hübner – Biologie). Marvin ergänzt, dass sein zweites Fach Mathematik sein muss (Herr Hübner – Mathematik), da Herr
Groß mit bereits beiden Fächern belegt ist und Herr Fuchs, da er mit dem ebendiesem Tennis
spielt, nicht Mathe unterrichten kann. Marvin verteilt logisch zwingend die übrigen Fächer
Englisch und Sport auf Herrn Fuchs (Herr Fuchs – Englisch + Sport) und vervollständigt seine angelegte Tabelle.
Abbildung 112: Bearbeitung Neue Lehrer Marvin (+++)
6.3 Schülerinterviews
Wie unter 5.3.2 beschrieben, wurden im Anschluss an die gehaltenen Unterrichtsstunden einige Schüler zu den jeweils bearbeiteten Knobelaufgaben befragt. Die Interviews lehnen sich
grundsätzlich an die Leitfadenfragen an, um ein grobes Rahmengerüst zu geben. An geeigneter Stelle nahm ich mir jedoch die Freiheit, Zwischenfragen einzufügen bzw. die ein oder an178
dere Leitfadenfrage zu überspringen oder zusammenzufassen. Um die Gespräche im Nachhinein besser rekonstruieren zu können, wurden diese mit Hilfe einer Videokamera aufgenommen.
Generell wurden die erlangten Interviews dazu verwendet, die Ausarbeitungen der Kinder
besser interpretieren zu können, da es mir nicht möglich war, die gesamte Klasse während der
Bearbeitung genau beobachten bzw. befragen zu können. Auch gaben sich aus den Gesprächen wertvolle Informationen, in welcher Reihenfolge Schüler die Aufgaben aus welchen
Gründen bearbeiteten, wo genau Schwierigkeiten auftraten und an welchen Stellen die Bearbeitungen abgebrochen wurden. In Einzelfällen bemühte ich mich im Rahmen des Interviews,
Unklarheiten seitens der Schüler zu beheben und ihnen zumindest im Nachhinein einen Tipp
in Richtung einer möglichen, korrekten Lösung zu geben. Ich erachte dies als äußerst sinnvoll, da die Kinder nicht mit einem großen Fragezeichen („Wie löst man denn die Aufgabe
nun?“) und unmotiviert das Klassenzimmer verlassen sollen.
Um einen Eindruck von dem Verlauf der Gespräche zu vermitteln, sollen im Folgenden exemplarisch zwei Schülerinterviews vorgestellt werden. Das erste Interview erfolgt mit dem
Schüler Louis (4. Klasse), das zweite mit dem Schüler Jannik (5. Klasse). Beide Gespräche
lehnen sich an den Leitfragenkatalog an, verlaufen aber, auf Grund der verschieden erfolgreichen Bearbeitung der beiden Kinder, völlig unterschiedlich ab. Louis hatte bei der Bearbeitung sehr große Probleme, zeigt sich jedoch im Verlauf des Interviews sehr willig, meine Lösungsanstöße zu verinnerlichen. Jannik hatte bereits während der Unterrichtsstunde große
Erfolge beim selbständigen Lösen erzielt und antwortet sehr selbstbewusst auf die ihm gestellten Fragen.
6.3.1 Interview I: Louis (4. Klasse) nach dem Dritten Unterrichtsversuch 95
Studentin
Louis
Studentin
Hallo Louis. Schön das du dich interviewen lässt. Sag mal, wie hat dir die Unterrichtsstunde heute mit mir gefallen?
(…) Naja, ich war nicht so gut. Mit der Gruppe hat es mir besser gefallen, die
haben mitgeholfen. Kommst du noch mal vorbei?
Nein, dass war heute schon die letzte Knobelstunde mit mir. (…) Hast du denn
bisher viel Knobelerfahrung?
95
Transkriptionsregeln: Das Transkript enthält die verbalen Äußerungen der Beteiligten und erwähnenswerte
nonverbale Aktivitäten [diese in eckigen Klammern und kursiv]. Folgende paralinguistische Zeichen wurden
verwendet: (..) – kurze Pause; (…) – längere Pause
179
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
Louis
Studentin
[überlegt] Wir machen das manchmal, aber immer nur eine Aufgabe. Oft steht
so eine Aufgabe auch im Wochenplan, aber die ist freiwillig. (…) In unserem
Mathebuch sind auch Knobelaufgaben, soll ich es mal herholen [springt auf]?
Nein danke Louis, setz dich wieder, die hab ich mir schon angesehen. Du hast
gesagt, dass du die Aufgaben heute nicht so gut konntest, welche hast du denn
bearbeitet?
Ich hab die mit dem Alter und die mit dem Obst gemacht. Am Ende auch die
mit den Zahlenreihen, aber die hab ich nicht so gut verstanden [kratzt sich am
Kopf].
Hast du mit der Alters-Aufgabe angefangen? Warum?
Ja, weil die lag ganz oben auf dem Stapel, den du uns ausgeteilt hast, und die
war ganz kurz. Die mit den Zahlenreihen war mir zu lange (..). Der Markus
[Sitznachbar] hat damit angefangen, aber ich nicht.
Wenn du die Aufgaben nach Schwierigkeitsgrad sortieren solltest, wie würde
das aussehen?
Hast du die Aufgaben hier? [nimmt Karteikarten entgegen, überlegt und legt
alle drei nebeneinander und schaut mich fragend an]
Was bedeutet das?
Dass ich alle gleich schwer fand.
Kannst du mir beschreiben, wie du die Alters-Aufgabe gelöst hast?
Darf ich meine Lösung nehmen? [betrachtet seine Bearbeitung, überlegt] Ich
versteh das eigentlich nicht. (…) Ich weiß halt, dass Marius eine Schwester hat
und die ist 5 Jahre jünger. Aber wie alt der Marius ist, steht da nicht! [liest
nach, schaut mich fragend an] Und dann steht da, dass er in zwei Jahren doppelt so alt ist wie seine Schwester, aber ich weiß ja immer noch nicht wie alt
Marius ist. [seufzt]
Steht da noch eine Information in der Aufgabe?
[überlegt, liest] Nein.
Ganz am Anfang, ließ mal laut vor.
Marius besucht die Grundschule. Seine [Studentin unterbricht]
Genau die Stelle meine ich: Marius besucht die Grundschule. Wie alt ist man
denn in der Grundschule?
Ich bin neun, aber andere sind auch noch acht oder schon zehn glaub ich. Oder
noch jünger als acht (…). Auch sechs oder sieben vielleicht.
Wenn du jetzt annimmst, dass Marius zum Beispiel genau wie du neun Jahre
alt ist, was weißt du dann?
[überlegt] Wenn Marius neun ist, ist Lara neun minus fünf ist vier Jahre alt
[schaut fragend].
Und wie schaut das mit dem Alter in zwei Jahren aus? Wie alt ist Marius dann?
Neun plus zwei ist elf. Marius ist dann elf und die Schwester ist dann sechs
[schaut fragend, rutscht unruhig auf dem Stuhl herum]. Ich weiß nicht weiter.
Jetzt wissen wir doch schon fast alles Louis. Du hast herausgefunden, dass
wenn Marius jetzt neun ist, seine Schwester vier ist und in zwei Jahren Marius
elf und Lara sechs ist. Ist Marius dann wirklich doppelt so alt wie Lara? So
steht es ja in der Aufgabe!
Nein, weil doch zwei Mal sechs zwölf ist und nicht elf! [lacht]
Sehr gut. Genau richtig erkannt. Was heißt das also?
[überlegt] Das Marius nicht mein Alter hat, Marius ist nicht neun, weil sonst
was mit der Aufgabe nicht stimmt. (…) Also ist Marius zum Beispiel acht?
Super Louis. Ich glaube du hast nun verstanden, wie du bei dieser Aufgabe
weiter kommst. Wenn du Zeit hast, kannst du dich, während ich die anderen
Schüler interviewe noch mal mit der Alters-Aufgabe befassen. Mach genauso
180
weiter wie wir das eben gemacht haben. Ich bin sicher, dass du jetzt auf die
richtige Lösung kommst, dir hat nur der entscheidende Ansatz gefehlt. Bei
Fragen kommst du noch mal zu mir, ok? Dank dir für das Interview. 96
6.3.2 Interview II: Jannik (5. Klasse) nach dem Fünften Unterrichtsversuch
Studentin
Jannik
Studentin
Jannik
Studentin
Jannik
Studentin
Jannik
Studentin
Jannik
Studentin
Jannik
Hallo Jannik. Toll, dass du dir die Zeit nimmst, dich von mir interviewen zu
lassen. Wie hat dir die Unterrichtsstunde gefallen?
(..) Gut, ja, (..), aber mit der Gruppe arbeiten hat mir noch besser gefallen
[lacht].
Hast du bisher schon viele Knobelaufgaben gelöst? Macht ihr so was in der
Schule öfter?
(…) Hmm. [überlegt] Die Knobelaufgaben von letzter Woche halt [überlegt,
stützt Kopf auf die Hände] und Sudokus, aber die löse ich daheim. Bringen Sie
uns auch Sudokus mit? Aber nicht zu einfache! [lacht]
Mal sehen. Interessieren würde es mich schon sehr, wie geschickt du Sudokus
lösen kannst. Aber nun zur heutigen Stunde: Welche Aufgaben hast du bearbeitet? Und warum gerade diese?
[stolz] Ich habe alle bearbeitet! Sogar die Sportabzeichen-Aufgabe für Turbos,
da bin ich aber nicht fertig geworden, da war die Zeit um. Mit der Schnittpunkt-Aufgabe habe ich angefangen, weil da konnte ich zeichnen, dass mag
ich. Ich hab fast alle Schnittpunkte gefunden [lacht stolz]. Danach hab ich die
Diebstahl-Aufgabe gelesen, dass mit der Schokolade hat mir nämlich gefallen.
Ich hab herausgefunden, dass Dieter der Dieb ist [steht auf, setzt sich wieder].
Die Mathe-AG-Aufgabe hab ich auch gelöst, die war einfach [grinst, rutscht
auf Stuhl].
Wenn du die Aufgaben nach Schwierigkeitsgrad sortieren solltest, wie würde
das aussehen?
[überlegt, nimmt Karteikarten zur Hilfe und legt diese der Reihe nach auf den
Tisch] Mathe-AG, Schnittpunkte (..), Diebstahl und dann Sportabzeichen.
Warum würdest du das gerade so einteilen?
Bei Mathe-AG hat mir der Name gefallen. Ich hab mir erst aufgeschrieben,
was ich weiß. Der Rest war dann einfach. (…) Und bei den Schnittpunkten hab
ich probiert wie die Quadrate zueinander liegen können. Das hat mir gefallen.
Und bei der Diebstahl-Aufgabe hab ich immer ein anderes Kind genommen,
das die Wahrheit sagt. Irgendwann war´s richtig [lacht] und ich hab´s noch mal
kontrolliert. [steht auf, setzt sich] Die anderen um mich rum hatten es falsch,
aber bei mir war´s richtig! Die Sportasse-Aufgabe war schwer, die Zeit war
aber eh gleich vorbei.
Kannst du beschreiben, wie du die Diebstahl-Aufgabe gelöst hast?
Also [überlegt, nimmt seine Aufzeichnungen zur Hand], erst dachte ich, Anna
sagt die Wahrheit. Dann lügen der Bernd, die Carola und der Dieter. Und
Bernd hat die Schokolade gegessen. Aber der Dieter und die Carola sagen dann
beide, dass sie die Schokolade gegessen haben, dass geht nicht (…). Also weiß
ich, dass Anna lügt und Bernd die Schokolade nicht gegessen hat. Dann habe
ich gedacht, dass Bernd die Wahrheit sagt und also die Carola die Schokolade
genommen hat und die Anna, der Dieter und die Carola lügen. [rutscht auf
Stuhl herum, kratzt sich am Kopf] Aber das geht auch nicht, weil dann wieder
96
Nachdem ich das letzte Interview beendet hatte, kam Louis tatsächlich mit der korrekten Lösung auf mich zu.
Er strahlte über das ganze Gesicht und war mit seinem Erfolg sichtlich zufrieden.
181
Studentin
Jannik
Studentin
Jannik
Studentin
Jannik
Studentin
Dieter und Carola sagen, dass sie die Schokolade genommen hätten. Also lügt
auch der Bernd. Ich wusste jetzt, dass Carola die Schokolade gegessen hat und
dass entweder der Dieter oder die Carola die Wahrheit sagen. (…) Weil die
Carola sagt, dass sie die Schokolade nicht gegessen hat, lügt sie. Und Dieter,
der übrig ist, sagt die Wahrheit, weil er war es nicht und die drei andren Kinder
lügen [grinst]. Ist doch alles richtig, stimmt´s? Carola hat die Schokolade genommen und Dieter lügt als einziger nicht.
Stimmt genau. Sehr gut Jannik. Toll. Hast du denn irgendwelche Hilfsmittel
benutzt?
Ich hab nur das Blatt gehabt und meine Stifte.
Ich meine damit eher, ob du zum Beispiel eine Zeichnung gemacht hast?
Nee.
Hast du deine Lösung irgendwie kontrolliert. Du hast vorhin davon gesprochen?
Ja, ich hab die Aufgabe noch mal gelesen und mit meiner Lösung überprüft, ob
das so stimmen kann. Es hat alles gestimmt [lacht]. Die anderen haben gesagt,
dass die Anna die Wahrheit sagt, aber das stimmt nicht, gell?
Nein. Du hast mit deiner Antwort vollkommen Recht. Danke für deine Hilfe.
7 Kritische Analyse und Diskussion
Rückblickend betrachtet sind alle sechs Unterrichtsstunden in ihrer Gesamtheit durchaus zufrieden stellend verlaufen. Besonders in der 4. Klasse Grundschule waren die Kinder schon
bei meinem ersten Betreten des Klassenzimmers Feuer und Flamme auf das was sie erwarten
würde. Auch konnten sie sich noch sehr genau an die vor einem Jahr von mir gehaltene Stunde rund um Knobelaufgaben (vgl. 4.1.1) erinnern. Die Gruppeneinteilung verlief nahezu reibungslos und die gemeinschaftliche Bearbeitung ging selbständig sowie ohne größere Hilfestellung meinerseits von statten.
Auch mit dem Verlauf der zweiten Unterrichtsstunde kann ich sehr zufrieden sein. Nach Begrüßung der Kinder im Sitzkreis fing die Klasse von sich aus damit an, von der Bearbeitung
ihrer Knobelaufgaben der Woche zu berichten. Die Kinder meinten, ich hätte sie bei der
Sportasse-Aufgabe „ganz schön reingelegt“, weil gar nicht alle der gegebenen Informationen
zu gebrauchen wären. Die 8-Liter-Aufgabe fanden einige Schüler „baby-einfach“ und ich
merkte schnell, dass es sich einige beim Lösen dieser Aufgabe etwas zu leicht gemacht hatten
(vgl. Abbildung 51, Abbildung 52).
Da ich anfänglich vorhatte, mit lediglich drei bis vier Kindern über die Bearbeitung der Wochenaufgaben zu sprechen, sich jedoch nahezu die gesamte Klasse zu ihren Lösungen äußern
wollte, wurde in Absprache mit der Lehrerin umdisponiert. Der zeitliche Rahmen wurde mit
182
der Zurverfügungstellung der folgenden Unterrichtsstunde erweitert und ermöglichte mir damit, alle am Interview interessierten Kinder zur Sprache kommen zu lassen.
Mit der dritten Unterrichtsstunde endete der gelungene Versuch, Grundschulkinder beim Lösen von Knobelaufgaben zu beobachten. Die Schüler wurden bereits im Sitzkreis von der
Lehrerin darauf aufmerksam gemacht, dass dies die vorerst letzte Knobelstunde sein würde,
worauf die Klasse lauthals protestierte. Die Schüler gaben sich trotzdem, oder vielleicht gerade deshalb, sehr viel Mühe, im Alleingang die gestellten Einzelknobelaufgaben zu bearbeiten.
Bezüglich des vierten Unterrichtsversuchs in der 5. Klasse Realschule lässt sich feststellen,
dass diese erste Unterrichtsstunde rund um das Thema Knobelaufgaben zwar gut, aber doch
nicht so rund und glatt wie in der Primarstufe gelaufen ist. Die Gründe sehe ich insbesondere
darin, dass die Schüler zum einen mit einem vollkommen neuen und ungewohnten Aufgabentyp konfrontiert waren und zum anderen gemeinsame Bearbeitungen innerhalb einer Kleingruppe nicht gewohnt sind. Trotz anfänglicher Schwierigkeiten und Überwindung erster Unsicherheiten seitens der Schüler, sind sehr schöne Endergebnisse zu dokumentieren.
Nachdem die Schüler nun erste Knobelerfahrung aufweisen konnten, gingen sie in der zweiten
Unterrichtsstunde freudig und viel motivierter an die Bearbeitung. Die Kinder fanden es je-
doch schade, die neu gemachte Erfahrung der Gruppenarbeit nicht wiederholen zu dürfen.
Einige saßen bereits bei meinem Betreten des Klassenzimmers in der neu erprobten Sitzordnung und mussten die Bänke, aufgrund der beabsichtigten Einzelbearbeitung, in die Normalkonstellation zurück stellen.
In der dritten und letzten Stunde stand die Besprechung der Ergebnisse der Knobelaufgaben
der Woche im Vordergrund. Wieder sollten nur drei bis vier Schüler detailliert zu ihrer Bearbeitung interviewt werden. Da jedoch 14 Schüler darauf drängten, ihre Lösungen zu präsentieren wurde die gesamte Stunde und weitere 15 Minuten der darauf folgenden dazu genutzt,
möglichst viele Kinder zu Wort kommen zu lassen. In dem abschließenden Gespräch teilten
die Schüler mit, dass sie zukünftig immer Knobelaufgaben und auch Sudokus zur Verfügung
gestellt haben möchten, weil „knobeln einfach Spaß macht“.
Vergleicht man nun die Ergebnisse der einzelnen Unterrichtsversuche Grundschule – Realschule miteinander, so kann man folgendes festhalten:
183
Tabelle 21: Vergleich Gruppenknobelaufgaben
4. Klasse
5. Klasse
Durchschnittliche
Anzahl insgesamt
bearbeiteten Aufgaben/Anzahl der
zu
wählenden
Aufgaben
Durchschnittliche
Anzahl der vollständig und richtig
bearbeiteten
Aufgaben (+++)
Durchschnittliche
Anzahl der vollständig, aber fehlerhaft bearbeiteten
Aufgaben (++)
Durchschnittliche
Anzahl der angefangenen,
aber
vorzeitig abgebrochenen Aufgaben
(+)
3,71/5
3,75/5
1,43
2,25
1,00
0,50
1,43
1,00
5 Aufgaben zur Auswahl
4. Klasse: 25 anwesende Schüler auf 7 Gruppen verteilt
5. Klasse 30 anwesende Schüler auf 8 Gruppen verteilt
Innerhalb der Gruppenaufgaben löste jeder Schüler im Schnitt 3,71 (4. Klasse) bzw. 3,75 (5.
Klasse) Aufgaben. Die Anzahl ist in beiden Klassenstufen nahezu identisch. Unterschiede
zeigen sich lediglich in der Qualität der Bearbeitungen: Während in der Realschule jeder
Schüler im Schnitt 2,25 Aufgaben vollständig und richtig (+++) löste, lag die Anzahl in der
Grundschule bei nur 1,43. Bezüglich vollständiger, jedoch fehlerbehafteter Lösungen bzw.
vorzeitig abgebrochenen Bearbeitungen liegen die Kinder der Grundschule mit 1,00 (++)
bzw. 1,43 (+) vor denen der Realschule mit 0,50 (++) bzw. 1,00 (+).
Tabelle 22: Vergleich Einzelknobelaufgaben
4. Klasse
5. Klasse
Durchschnittliche
Anzahl insgesamt
bearbeiteten Aufgaben/Anzahl der
zu
wählenden
Aufgaben
Durchschnittliche
bearbeiteten Aufgaben (+++)
Durchschnittliche
Anzahl der vollständig, aber fehlerhaft bearbeiteten Aufgaben (++)
Durchschnittliche
aber
(+)
2,2/3
1,9/3
0,96
0,77
0,61
0,26
0,56
0,81
4. Klasse: 23 anwesende Schüler
Innerhalb der Einzelknobelaufgaben löste jeder Schüler im Schnitt 2,2 (4. Klasse) bzw. 1,9 (5.
Klasse) Aufgaben, womit die Bearbeitungsbemühungen der Grundschüler die der Realschüler
übersteigt. Hinsichtlich der Qualität der Bearbeitungen ist festzustellen, dass jeder Schüler der
4. Klasse etwa 0,96 Aufgaben richtig und vollständig (+++) löste, Schüler der 5. Klasse hingegen nur 0,77. 0,61 Aufgaben wurden im Schnitt von jedem Grundschüler vollständig, aber
fehlerhaft (++) bearbeitete, bei den Realschülern liegt die Zahl mit 0,26 deutlich niedriger.
Die durchschnittliche Zahl der angefangenen, aber vorzeitig abgebrochenen Aufgaben (+)
184
beläuft sich bei den Kindern der Primarstufe auf 0,56 Aufgaben, bei denen der Sekundarstufe
auf 0,81.
Tabelle 23: Vergleich Knobelaufgaben der Woche
4. Klasse
5. Klasse
Durchschnittliche Anzahl der
insgesamt bearbeiteten Aufgaben/maximale
Anzahl
Durchschnittliche
bearbeiteten Aufgaben (+++)
Durchschnittliche
Anzahl der vollständig, aber fehlerhaft bearbeiteten
Aufgaben (++)
Durchschnittliche
aber
(+)
1,28/2
1,00/2
0,64
0,61
0,52
0,19
0,04
0,16
Innerhalb der Knobelaufgaben der Woche löste jeder der Schüler durchschnittlich 1,28 Aufgaben (4. Klasse) bzw. 1,00 Aufgaben (5. Klasse). Hier zeigt sich, dass sich alle Realschüler
an die Aufforderung, sich einer der zwei zur Auswahl stehenden Aufgaben zu widmen, gehalten haben, wohingegen sich einige Grundschüler freiwillig einer weiteren Knobelaufgabe
widmeten. Die Anzahl der durchschnittlich vollständig und richtig bearbeiteten Aufgaben
(+++) ist in beiden Klassenstufen nahezu identisch (0,64 Aufgaben innerhalb der 4. Jahrgangsstufe, 0,61 innerhalb der 5. Jahrgangsstufe). Deutliche Unterschiede zeigen sich hinsichtlich der durchschnittlich bearbeiteten Anzahl an vollständig, aber fehlerhaft bearbeiteten
Aufgaben bzw. der Anzahl der vorzeitig abgebrochenen Aufgaben: Im Schnitt bearbeitete
jeder Grundschüler 0,52 Aufgaben vollständig aber fehlerhaft (++) und brach 0,04 Aufgaben
vorzeitig ab, wohingegen die vergleichbaren Zahlen der Realschüler bei 0,19 (++) bzw. 0,16
(+) liegen.
Hinsichtlich der Verwendung heuristischer Hilfsmittel und Strategien kann festgestellt werden, dass sowohl Fünft- als auch Sechstklässler immer wieder, sei es intuitiv, durch Anregung
von Klassenkameraden oder auf Grund gemachter positiver Vorerfahrungen auf die Erstellung von Tabellen und informativen Figuren (Skizzen) zurückgegriffen haben. Die Zuhilfenahme des heuristischen Hilfsmittels Gleichung konnte nicht beobachtet werden.
Die Verwendung einer Tabelle oder Skizze war, bis auf wenige Ausnahmen - z. B. Abbildung
41, Abbildung 46 oder Abbildung 69 - ein Garant dafür, die Aufgabe übersichtlich und auf
elegantem Wege zu lösen (vgl. z. B: Abbildung 39, Abbildung 53, Abbildung 62, Abbildung
185
67, Abbildung 106). Welche heuristischen Strategien und Hilfsmittel im Einzelfall auszumachen sind, zeigt folgende Tabelle im Überblick:
Tabelle 24: Anzahl der verwendeten heuristischen Strategien und Hilfsmittel
Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten
systematisches
Probieren
Tabelle
informative
Figur/Skizze
73
31
3
2
37
88
6
3
26
29
4. Klasse
5. Klasse
Bearbeitetet Aufgaben Klasse 4 insgesamt: 113 (bei 25 Schülern)
Bearbeitete Aufgaben Klasse 5 insgesamt: 121 (bei 31 Schülern)
So zeigt sich, dass das heuristische Hilfsmittel Tabelle von doppelt so vielen Schülern der 4.
Klasse (6) im Vergleich zu denen der 5. Klasse (3) erstellt wurde. Hinsichtlich der Verwendung einer informativen Figur lässt sich mit 29 zu 26 ein leichter quantitativer Vorsprung auf
Seiten der Realschüler verzeichnen.
Betrachtet man die Verwendung heuristischer Strategien, so fällt auf, dass die Kinder der 4.
Klasse Grundschule in der Anwendung der Strategie Vorwärtsarbeiten (73 Mal) deutlich vor
den Fünftklässern (31 Mal) liegen, wohingegen die Mehrzahl der Realschüler durch systematisches Probieren (88 Mal) zum Ziel gelangte. Die Strategie Rückwärtsarbeiten wurde zwar
selten (Grundschule: drei Mal, Realschule: zwei Mal), aber dennoch in beiden Jahrgangsstufen angewandt.
Diese Unterschiede liegen meines Erachtens insbesondere in der Knobelerfahrung der Grundschüler, die trotz der geringeren Jahrgangsstufe bereits mit einer gewissen Souveränität und
einem gewissen Konzept an die Bearbeitung gingen.
Welche der gestellten Knobelaufgaben wie oft bearbeitet wurde und welche Rückschlüsse
sich daraus schließen lassen, zeigen folgende Tabellen und deren Auswertung:
Tabelle 25: Gruppenknobelaufgaben 4. Klasse
Name d. Knobelaufgabe
Mandarinengarten
Anfang gesucht
Flussüberquerung
Langeweile
Stein auf Stein
Anzahl an Bearbeitungen
6/7
6/7
4/7
4/7
6/7
186
nahe liegende Strategie(n)
Rückwärtsarbeiten, system. Probieren
Vorwärtsarbeiten, system. Probieren
Vorwärtsarbeiten
Vorwärtsarbeiten
Vorwärtsarbeiten
Tabelle 26: Gruppenknobelaufgaben 5. Klasse
Name d. Knobelaufgabe
Nachbarschaft
Zeustempel
Zahlensteckbrief
Würfel
Geschwisterlich geteilt
8/8
5/8
7/8
6/8
4/8
Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten
system. Probieren
kombiniertes
Vorwärts-RückwärtsArbeiten, system. Probieren
Vergleicht man Tabelle 25 und Tabelle 26 so fällt auf, dass alle Aufgaben in etwa gleich gerne bearbeitet und vor allem keine einzige gänzlich abgelehnt wurde. Besonders beliebt war
die Knobelei „Nachbarschaft“, an deren Lösung sich alle Gruppen versuchten. Erwähnenswert ist zudem, dass auch die als eher schwierig einzustufenden Aufgaben „Mandarinengarten“ bzw. „Zeustempel“, die insbesondere durch Rückwärtsarbeiten zu lösen sind, von über
der Hälfte der Gruppen bearbeitet wurden.
Betrachtet man zusätzlich Tabelle 27, Tabelle 28, Tabelle 29 und Tabelle 30 so fällt zudem
auf, dass keine eindeutige Präferenz hin zu bestimmten Aufgaben besteht. Bis auf die Zusatzaufgabe Sportabzeichen im Rahmen der Einzelknobelaufgaben, die lediglich als Beschäftigungsmöglichkeit für schnelle Schüler galt, wurden alle Knobeleien mehr oder weniger gleich
oft bearbeitet.
Aus den Schülerinterviews lässt sich allerdings folgern, dass es zwischen den einzelnen Kindern tatsächlich Vorlieben hin zu bestimmten Themen wie z. B. Sport (Sportasse-Aufgabe)
gibt, Mädchen v.a. zu bildlich untermalten Aufgaben tendieren und Jungen sich gerne Aufgaben aus dem Bereich Geometrie wählen.
Knobeleien mit längeren Textpassagen wirkten eher abschreckend und wurden von fast allen
Schülern zunächst beiseite gelegt. Besonders lange und gerne beschäftigten sich die Kinder
mit Zahlenspielereien wie „Anfang gesucht“, „Finde die Regel“ oder „Zahlensteckbrief“.
Tabelle 27: Einzelknobelaufgaben 4. Klasse
Name der Knobelaufgabe
Altersfrage
Obst
Finde die Regel
Sportabzeichen
16/23
17/23
19/23
3/23
187
system. Probieren
kombiniertes
Vorwärts-RückwärtsArbeiten, system. Probieren
Vorwärtsarbeiten
Vorwärtsarbeiten
Tabelle 28: Einzelknobelaufgaben 5. Klasse
Schnittpunkte
Mathe-AG
Diebstahl
Sportabzeichen
17/31
22/31
21/31
1/31
system. Probieren
system. Probieren
Vorwärtsarbeiten
Die Sportasse
8-Liter-Problem
18/25
14/25
kombiniertes
Vorwärts-RückwärtsArbeiten, Vorwärtsarbeiten
Taschenrechner
Neue Lehrer
13/31
18/31
Vorwärtsarbeiten
Hinsichtlich des Zeitrahmens, in welcher Knobelaufgaben zu lösen sind, lassen sich keine
genauen Aussagen machen. Einige Kinder hatten mehr Spaß daran, innerhalb der Unterrichtsstunde Problemaufgaben zu bearbeiten, andere bevorzugten die ausgedehnte und uneingeschränkte Bearbeitung zu Hause, wobei ich bei letzterem die Gefahr sehen, dass die Schüler
trotz der Bitte meinerseits, die Knobeleien nicht vollkommen eigenständig, sondern unter Mithilfe von Eltern und Geschwistern, bearbeiteten.
Hinsichtlich der Fähigkeit der einzelnen Schüler, alleine oder in einer Kleingruppe Knobelaufgaben zu bearbeiten kann man v.a. dank der Informationen aus den Interviews feststellen,
dass von nahezu allen Schülern die Gruppenarbeit bevorzugt wurde. Auch die Kinder der 5.
Klasse Realschule, die bis dahin kaum Erfahrungen im gemeinschaftlichen Arbeiten hatten,
lernten schnell die Vorzüge des sozialen Austausches untereinander kennen und schätzen.
Wirft man einen Blick auf die Fehler, die den Kindern bei der Bearbeitung unterlaufen sind
so muss ich leider feststellen, dass auf Grund des eng bemessenen Zeitrahmens nur in Einzelfällen, dann wenn möglich bereits während der Bearbeitung oder spätestens im Interview, auf
Hindernisse und Fragen eingegangen werden konnte.
Dies ist sicherlich zu bemängeln und es sollte in einem längerfristig geplanten Problemlöseunterricht mit Knobelaufgaben auf alle Fälle Ziel und Inhalt sein, dass die Schüler für ihre
Bearbeitungen eine persönlich abgestimmte Rückmeldung ihrer Arbeiten bekommen. Ganz
188
nach dem Motto: Fehler machen ist erlaubt, denn aus Fehlern lernt man. Aber man muss natürlich gesagt bekommen, wo genau etwas falsch gemacht wurde und wie eine Alternative
dazu aussehen könnte, um es zukünftig „besser“ zu machen.
Betrachtet man beispielsweise die Bearbeitung der Aufgabe „Mandarinengarten“ von Gruppe
1 (vgl. hierzu Abbildung 34: Bearbeitung Mandarinengarten Gruppe 1 (++)), so wurde bereits
festgestellt, dass die Kinder auf Grund der vermischten Hintereinanderausführung von Multiplikation und Addition zu einem falschen Ergebnis kamen. Es erscheint offensichtlich und
unverzichtbar, sich mit den Schülern zusammen zu setzten und die Problematik zu diskutieren
und verständlich zu machen. Da davon auszugehen ist, dass dieser Fehler kein Einzelfall sein
wird (vgl. z. B. Gruppe 5 - Mandarinengarten), wenn die Aufgabe tatsächlich von jedem Einzelnen bearbeitet werden würde, wäre auch an eine Besprechung im Rahmen einer Klassenkonferenz 97 zu denken.
Auch im Zuge der Einzelknobelaufgabe „Finde die Regel“ wäre sowohl an ein einzelnes, als
auch an ein Klassengespräch zu denken. Vielen Schülern war zwar bewusst, einen Zusammenhang zwischen zwei direkt aufeinander folgende Zahlen herzustellen. Wurden jedoch
beide Vorgänger in die Rechnung mit einbezogen, entzog sich die Logik der Einsicht der Lösenden. Da dieser Aufgabentyp ein wesentlicher Bestandteil von Intelligenz- oder auch Einstellungstests ist und auch noch in komplexeren Formen auftreten kann, sollten exemplarisch
vom Lehrer in Zusammenarbeit mit den Schülern derartige Aufgaben durchgesprochen werden.
Betrachtet man die Fehlbearbeitungen der Schüler fällt auf, dass die wenigsten nach einem
falschen bzw. umständlich zum Ziel führenden Lösungsansatz die Motivation aufgebracht
haben, sich ein weiteres Mal unter neuem Gesichtspunkt mit der Aufgabe zu befassen. Dies
liegt meines Erachtens, gestützt auf Interviewaussagen der Schüler, vor allem daran, dass andere Gruppen oder Kinder mit ihrer Bearbeitung bereits vorangeschritten waren und die betroffenen Schüler nicht noch weiter „abgehängt“ werden wollten. Anstatt Gefahr zu laufen,
erneut in eine Sackgasse zu steuern, wendeten sie sich meist einer neuen Knobelei zu.
Um dem entgegenzuwirken sollte man zu Anfang bewusst und klar verständlich hervorheben,
dass nicht die Anzahl der gelösten Aufgaben im Vordergrund steht, sondern die bewusste,
ausdauernde und möglichst erfolgreiche Beschäftigung mit einer Knobelei. Erst wenn diese
97
Die Kinder sind es gewöhnt, für besonders brisante Themen, die alle angehen, eine Klassenkonferenz, oft im
Sitzkreis, abzuhalten.
189
beendet und noch einmal rückblickend kontrolliert wurde (Kann das Ergebnis stimmen?),
kann und sollte die Aufmerksamkeit einer weiteren Aufgabe gewidmet werden.
In einigen Fällen war der vorzeitige Aufgabenabbruch mit dem Überlesen wichtiger Informationen (vgl. beispielsweise das Interview unter 6.3.1) zu begründen. Aber auch Zeitengpässe
gegen Ende der Bearbeitungsphase oder der „falsche“ Einstieg in die Aufgabe, ohne Anstrengungsbereitschaft, einen richtigen Ansatz zu finden, sind an dieser Stelle zu erwähnen.
Im Bereich geometrischer Knobeleien sollte man sich überlegen, eventuell Material anzubieten, um den Schülern handelnd die Möglichkeit zu geben, leichter zu einer Lösung zu gelangen. Ich denke hierbei v.a. an die Gruppenknobelaufgabe 5 „Stein auf Stein“ (4. Klasse
Grundschule), bei der sich sowohl in den Aufgabenteilen a, und b, insbesondere jedoch im
„schlecht“ bearbeiteten Teil c, aus Papier oder Holz gefertigte Würfel zur Anschauung angeboten hätten. Die Aufgabe wäre dann von ihrer doch recht Abstrakten Ebene auf ein für die
Kinder ansprechendes Niveau heruntergeholt worden.
Wirft man einen genauen Blick auf Tabelle 15 (Gruppe 5) und insbesondere auf Tabelle 17
(Hannes, Jonas St., Lukas R., Markus, Niclas) und Tabelle 19 (Alischa, Annalena, Franziska,
Julien, Lisa, Marvin, Maximilian, Nico, Raphael, Scheyda) im Rahmen der Einzelknobelaufgaben, so kann und muss man sich die Frage stellen, warum diese Kinder, v.a. im Vergleich
zu einigen Mitschülern, wenige, erfolglose oder teilweise gar keine (Lukas, R., Markus) Ergebnisse vorweisen konnten. Mit was haben sich die betroffenen Schüler während der Bearbeitungsphase beschäftigt, wenn nicht mit den Knobelaufgaben? Was sind die Auslöser, sich
aus dem Unterrichtsgeschehen auszuklinken? Wurden durch die mangelnde Anteilnahme vielleicht sogar andere Gruppen bzw. Schüler bei der Bearbeitung behindert? Und: Wie geht man
als Lehrkraft (Studentin) mit einer derartigen Situation um bzw. welche Konsequenzen müssen daraus gezogen werden?
Ich kann nicht auf alle dieser Fragen eine befriedigende Antwort geben. Ich kann im Nachhinein auch nicht bei jedem Schüler feststellen, warum die Beteiligung zu wünschen übrig ließ.
Fest steht, dass sich die einzelnen Kinder alle ruhig und unauffällig verhielten, somit nicht die
Klassenarbeit im Ganzen störten.
Lukas, R. und Markus aus der 4. Klasse sind mir insofern im Kopf geblieben, als dass ich
beide Kinder mehrfach schon in der Stunde angesprochen hatte, warum sie mit der Arbeit
190
noch nicht angefangen hätten. Zu Beginn bekam ich kleinere Ausflüchte wie „Ich finde mein
Mäppchen nicht.“, „Ich hab den Anderen geholfen!“, „Ich hab noch Hausaufgaben fertig gemacht.“ etc. zu hören. Gegen Ende protestierte Markus, die Aufgaben seien viel zu schwer
und Lukas R., die Aufgaben würden ihn nicht interessieren, ob ich nicht etwas „Spannenderes“ hätte mitbringen können. Als ich auf letzteres hin fragte, was ihn den eher ansprechen
würde, nannte er Sudokus und Themen wie Computer, Astronauten oder Filmstars.
Aus dem Interview mit der Schülerin Alischa lässt sich festhalten, dass das Mädchen Knobelaufgaben „uncool“ findet und sich deshalb nur mit einer Aufgabe beschäftigt hat.
Lisa und Franziska, zwei Banknachbarinnen, begründeten ihren fehlenden Arbeitseinsatz damit, dass ihnen nicht gut sei und sie erst einmal etwas frische Luft schnappen müssten. Die
beiden kamen nach gut der Hälfte der Bearbeitungszeit zurück ins Klassenzimmer und schafften es nicht, den Bearbeitungsvorsprung ihrer Mitschüler auszugleichen.
Natürlich machen derartige Vorkommnisse nachdenklich. Ich bin mir aber durchaus im Klaren, dass es nicht zu bewerkstelligen ist, die Interessen aller Beteiligter anzusprechen. Hinsichtlich des Schwierigkeitsgrades könnte man darüber nachdenken, zumindest eine Aufgabe
anzubieten, die vom Niveau deutlich niedriger einzuschätzen ist als die übrigen und so von
wirklich allen Kindern bearbeitet werden kann. Dies schafft ein Anfangserfolgserlebnis und
motiviert zu einer ausdauernden Weiterarbeit.
Auch gegen diverse Schülerausreden kann man oft nichts ausrichten, v.a. in meinem Fall, da
ich nur für wenige Unterrichtsstunden mit der Klasse arbeitete. Vielleicht darf man diesen
Punkt generell nicht unterschätzen: Gerade für die Kinder der 5. Klasse war ich unbekannt
und nicht in dem Maße Respektperson, wie ein alteingesessener, bekannter Lehrer. Auch
wenn die Zusammenarbeit insgesamt sehr zufrieden stellend war, muss man mit einzelnen
Ausnahmen, die sich aus dem Unterrichtsgeschehen ausklinken, „da ja sowieso keine Konsequenzen folgen“, rechnen.
Handelt es sich bei den erwähnten Schülern generell um „Problemkinder“, die genauer Beobachtung und Unterstützung bedürfen? Aufschluss hierüber kann man beispielsweise aus der
gesamten Betrachtung der jeweiligen Unterrichtssequenz erlangen.
191
Tabelle 31: Ergebnisse der „Problemkinder“ 4. Klasse neben den Einzelknobelaufgaben
Hannes
Jonas St.
Lukas R.
Markus
Niclas
Ergebnisse Problemaufgabe
der Woche
++/++
++
+++/+++
+++/+++
+++
Ergebnisse Gruppenknobelaufgabe
++/+++/+
+++/+++/+++/+
+++/+++/+++/+
++/+++/+
+++/+++/+
Tabelle 32: Ergebnisse der „Problemkinder“ 5. Klasse neben den Einzelknobelaufgaben
Alischa
Annalena
Franziska
Julien
Lisa
Marvin
Maximilian
Nico
Raphael
Scheyda
Ergebnisse Problemaufgabe
der Woche
+++
+
++
++
+++
+++
+++
+
+++
++
Ergebnisse Gruppenknobelaufgaben
+++/+/+++
+++/+++/+
+++/+/+++
+++/+++/+++/++
+++/+++/+++/++
+/+++/++/+
+++/+++/+/++
+++/+++/+/++
+++/++/+++/+
+++/+/+++
Betrachtet man Tabelle 31 und Tabelle 32 so fällt auf, dass sich keines der bei den Einzelaufgaben auffälligen Kinder auch in den anderen Unterrichtsversuchen sonderlich negativ gezeigt hätte. Vor allem Lukas R. und Markus, die im dritten Unterrichtsversuch keinerlei Ergebnisse vorweisen konnten, zeigten im Rahmen der Problemaufgabe der Woche mit jeweils
zwei vollkommen korrekten Bearbeitungen sehr gute Ergebnisse.
Zwar muss man zugestehen, dass die persönliche Einbringung der einzelnen Schüler innerhalb der Gruppenknobelaufgaben schwer zu beurteilen ist. Da die Errungenschaften insgesamt
jedoch sehr positiv ausgefallen sind gehe ich davon aus, dass jedes Kind einen gewissen Anteil an der Lösungsfindung geleistet und somit durchaus Interesse an der Arbeit mit Knobelaufgaben gezeigt hat.
Nachdem der Blick bisher nahezu ausschließlich auf auffällige Kinder im negativen Sinne
gerichtet wurde, soll nun die andere Seite beleuchtet werden. Im Rahmen der Einzelknobelaufgaben, die diesbezüglich die besten Einblicke zulassen, seien aus der 4. Klasse besonders
positiv die Schüler Isabel, Jordan, Kilian, Lara, Lea, Lukas H. und Wolfi herausgestellt. Analog sind aus der 5. Klasse Markus V. oder auch Jannik, Markus L. und Michael H. zu erwähnen. Alle Kinder lösten mindestens zwei der dargebotenen Knobeleien vollständig richtig und
zeigten auch in der dritten (teilweise vierten) Aufgabe weitere Anstrengungsbereitschaft.
192
Aus Gesprächen mit den Klassenlehrern ist festzuhalten, dass es sich bei allen erwähnten
Schülern um die Klassenstärksten handelt, die meist nicht nur im Fach Mathematik (sehr)
gute Leistungen zeigen.
Aus den Interviews mit einzelnen ist eine durchweg positive Einstellung zur Arbeit mit Knobelaufgaben zu verzeichnen. Einige wendeten ein, dass der Schwierigkeitsgrad etwas angehoben werden dürfte.
Ein besonderer, noch zu erwähnender Schüler ist Niclas (4. Klasse). Aus Gesprächen mit der
Klassenlehrerin 98 und auch aus meinen persönlichen Eindrücken im Rahmen des Praktikums
konnte ich feststellen, dass der Junge dem Klassendurchschnitt insbesondere im Fach Mathematik deutlich hinterher hängt. Oft verfolgte er lustlos und völlig überfordert das Unterrichtsgeschehen.
Innerhalb der von mir gehaltenen Unterrichtssequenz mit Knobelaufgaben taute Niclas richtiggehend auf. Besonders die Gruppenbearbeitung machte ihm besonders viel Spaß und er
engagierte sich mit großem Erfolg, Ausdauer und Einsatzfreude. Im nachfolgenden Interview
bestätigte er meine Eindrücke und ließ vernehmen, dass ihm so ein Mathematikunterricht
richtig Spaß machen würde.
Im Rahmen der Einzelknobelaufgaben konnte ich beobachten, wie der Schüler sichtlich bemüht aber zusehends demotivierter um einen Zugang zu den Aufgaben kämpfte. Die fehlende
Mithilfe der Gruppe sowie der für Niclas zu hohe Schwierigkeitsgrad führten letztlich zu der
auffällig negativen Beteiligung.
Mit der Knobelaufgabe der Woche überraschte mich Niclas mit einer sehr gut durchdachten,
korrekten und offensichtlich zeitintensiven Bearbeitung (vgl. Abbildung 55: Bearbeitung 8Liter-Problem Niclas (+++)).
Der Schüler ist ein Musterbeispiel davon, was man mit der Arbeit rund um die Thematik
Problemlösen – Knobelaufgaben erreichen kann und warum deren Einsatz lohnt.
Abschließend zu erwähnen ist sicherlich, dass die Auswertung der Bearbeitungen insofern
erschwert wurde, da die wenigsten Schüler ihre Gedankengänge für andere verständlich und
vollständig nachvollziehbar notierten. Oft war lediglich das Endergebnis zu finden. Erst im
98
Niclas ist der einzige Schüler der Klasse, der nach Beendigung der 4. Klasse die Hauptschule besuchen wird.
Drei der Kinder werden die Realschule, der Rest das Gymnasium besuchen. Allein aus diesen Informationen ist
das hohe Leistungsniveau der Klasse ersichtlich.
193
Schülerinterview bzw. in einem Gespräch zwischen Studentin und Schüler/Gruppe konnten
die Lösungsideen in ihrer Gesamtheit rekonstruiert werden.
Zunächst vermutete ich, dass ich die Schüler in der Aufgabenstellung nicht klar genug aufgefordert hatte, ihre Rechenschritte zu erklären. Als ich dies jedoch bewusst in den Unterrichtsversuchen der 5. Klasse vermerkte („Erkläre genau!“) und auch dann vielfach Erklärungen
fehlten, bemerkte ich, dass die Gründe hierfür an anderen Stellen, z. B. an teilweise mangelnder Formulierungs- bzw. Begründungsroutine, zu suchen sind.
8 Schlusswort
Blickt man abschließend auf die Ergebnisse dieser Ausarbeitung, so lässt sich feststellen, dass
die Arbeit mit Knobel- und Denksportaufgaben, gestützt auf den amtlichen Lehrplan, durchaus ihre Berechtigung im Rahmen eines problemlösenden Mathematikunterrichts haben.
Sinnvoll im regulären Unterricht eingesetzt, zeigt sich bereits in einer in diesem Rahmen gezwungenermaßen kurz gehaltenen Unterrichtssequenz, welch motivierendes Potential in dieser Art von Aufgaben steckt. So konnten auch Kinder mit mathematischen Defiziten und einer
eher pessimistischen Einstellung oder negativen Emotionen zum Fach Mathematik in den
Bann der abwechslungsreichen Knobeleien gezogen werden und so positive Aspekte des Faches erfahren.
Vorausschauend, nach den Etappen des Problemlösens geplant und über einen längeren Zeitraum regelmäßig eingesetzt, werden die Schüler zusehends vertrauter in der Bearbeitung und
entwickeln verschiedenste Möglichkeiten, Knobelaufgaben geschickt, rational, auf außergewöhnliche Weise oder elegant zu lösen, ja, vielleicht sogar eigene selbst zu erfinden. Zudem
lernen sie zusehends, bei ungeschickt oder falsch eingeschlagenen Wegen die Kraft und Motivation aufzubringen, einen neuen Anlauf zu starten. Von dieser Anstrengungsbereitschaft
und diesem Durchhaltevermögen werden vermutlich auch andere Fächer, der außerschulische
Bereich und schließlich das spätere Berufsleben profitieren.
Führt man sich nochmals die zu Beginn dieser Arbeit gestellten Leitfragen vor Augen (vgl.
Kapitel 1), so zeigen sich bereits bei jungen Schülern der 4. Klasse Grundschule bzw. 5. Klasse Realschule beachtliche Fähigkeiten, Knobelaufgaben ohne vorhergehende explizite Schulung an heuristischen Hilfsmitteln, Prinzipien, Strategien oder Etappen des Problemlösens zu
bearbeiten. Alleine ihre kindliche Intuition, die Zusammenarbeit mit Mitschülern, der gemeinsame Ideenaustausch, Versuch- und Irrtumverhalten oder in irgendeiner Form gemachte Vorerfahrungen geben Anregungen, einer möglichen Lösung Schritt für Schritt näher zu kommen.
194
Als äußerst wichtig erachte ich, die Schüler stets aus einer gewissen Anzahl von Aufgaben
selbständig wählen zu lassen, um so den unterschiedlichen inhaltlichen Interessen, Neigungen
und Fähigkeiten gerecht zu werden. Auch sollten den Schülern im Rahmen eines entdeckenden Unterrichts größtmögliche Freiräume für eigenständige Bearbeitung gestattet werden, in
der die Lehrkraft eher als Berater und Begleiter fungiert, die den äußeren Rahmen gestaltet.
Sicherlich ist die Arbeit mit Knobelaufgaben nur innerhalb bestimmter Grenzen möglich - zu
dicht gefüllt ist der tägliche Unterrichtsalltag. Trotz allem bin ich überzeugt davon, dass die
Errungenschaften fächerübergreifende Auswirkungen mit sich bringen, die sich bis ins Privatbzw. Alltagsleben übertragen. Angesprochen wurden bereits Anstrengungsbereitschaft und
Durchhaltevermögen, hinzuzufügen wären sicherlich noch Fähigkeiten zum sozialen Miteinander, ein gewisser Grad an Selbständigkeit, Kreativität, eigene Gedankengänge und Ideen zu
entwickeln oder Mut, Alltagsprobleme auf Grund positiv gemachter Erfahrungen 99 mutiger
gegenüber zu treten.
Schlussendlich kann der Einsatz von Knobel- und Denksportaufgaben als ein möglicher
Schritt auf dem Weg vom bloßen, derzeit sehr umstrittenen und kritisierten Wissensunterricht
(vgl. 2.2) hin zum Problemlöseunterricht nach japanischen Vorbild gesehen werden. Die
Schüler wenden nicht mehr nur stur erlernte Algorithmen an, was die Gefahr birgt, mit einem
gewissen Neuheitswert der Aufgabe nicht zurecht zu kommen, sondern lernen, Problemaufgaben angstfrei und erfolgreich auf unterschiedlichstem Wege anzugehen. Auch stehen sie
Aufgaben, die keine oder mehrere Lösungen liefern, offener gegenüber. Die Schlüsselqualifikation Problemlösen wird in ein ganz neues Licht gerückt.
Ich hoffe, dass diese Arbeit dazu ermutigen kann, Knobel- und Denksportaufgaben in den
eigenen Unterricht zu integrieren. Insbesondere die theoretischen Ausführungen zu den didaktischen Grundlagen des Problemlösens sowie der darin enthaltene Aufgabenkatalog soll zu
Beginn eine Hilfestellung sein, den Einstieg zu erleichtern und geeignete Anregungen an die
Hand zu geben. Bewusst wurde allerdings auf die Angabe von Lösungen verzichtet, um die
eigenen Lösungsbemühungen oder die der Schüler nicht von vornherein in eine bestimmte
Richtung zu lenken.
Alleine aus meinen sechs gehaltenen Unterrichtstunden waren die Reaktionen derart positiv
und die Kinder voller Spaß und Einsatzfreude, dass ein Versuch in diese Richtung zu arbeiten,
99
Heureka-Effekte
195
auf alle Fälle zu empfehlen wäre. Wie aus ALBERT EINSTEINs zu Beginn zitierten Ausspruch, dass Probleme nie mit derselben Denkweise zu lösen sind, durch die sie entstanden
sind folgt, kann man den Einsatz von Knobelaufgaben als einen möglichen, neuen Weg interpretieren, um der in Lehrplänen und Bildungsstandards geforderten und in (inter)nationalen
Studien bemängelten Fähigkeit zum Problemlösen, einen Schritt näher zu kommen.
196
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10 Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen in der Primarstufe ............................. 9
Abbildung 2: Allgemeine mathematische Kompetenz in der Sekundarstufe I .......................... 9
Abbildung 3: Klassifikation von Barrieretypen und Problemen nach den Dimensionen
„Bekanntheitsgrad der Mittel“ und „Klarheit der Zielkriterien“.............................................. 18
Abbildung 4: Ziele mathematischen Problemlösenlernens...................................................... 29
Abbildung 5: Informative Figur „Busplätze-Aufgabe“............................................................ 36
Abbildung 6: Übersicht über Problemlöseheuristiken ............................................................. 37
Abbildung 7: Schulbuch Knobelaufgaben ............................................................................... 48
Abbildung 8. Entdeckendes Lernen und Problemlösen ........................................................... 54
Abbildung 9: Angst und Mathematik....................................................................................... 57
Abbildung 10: Behandelte Knobelaufgaben ............................................................................ 88
Abbildung 11: Gruppenknobelaufgabe 1 - Der Mandarinengarten ......................................... 93
Abbildung 12: Gruppenknobelaufgabe 2 - Anfang gesucht..................................................... 93
Abbildung 13: Gruppenknobelaufgabe 3 – Flussüberquerung ................................................ 94
Abbildung 14: Gruppenknobelaufgabe 4 – Langeweile .......................................................... 95
Abbildung 15: Gruppenknobelaufgabe 5 - Stein auf Stein ...................................................... 96
Abbildung 16: Problemaufgabe der Woche 1 – Die Sportasse ................................................ 98
Abbildung 17: Problemaufgabe der Woche 2 – 8-Liter-Problem ............................................ 99
Abbildung 18: Einzelknobelaufgabe 1 – Altersfrage ............................................................. 101
Abbildung 19: Einzelaufgabe 2 – Obst .................................................................................. 101
Abbildung 20: Einzelknobelaufgabe 3 – Finde die Regel...................................................... 102
Abbildung 21: Zusatzknobelaufgabe – Sportabzeichen......................................................... 102
Abbildung 22: Gruppenknobelaufgabe 1 – Nachbarschaft .................................................... 106
Abbildung 23: Gruppenknobelaufgabe 2 – Zeustempel ........................................................ 106
Abbildung 24: Lösungsmöglichkeit Zeustempel ................................................................... 107
Abbildung 25: Gruppenknobelaufgabe 3 – Zahlen-Steckbrief .............................................. 107
Abbildung 26: Gruppenknobelaufgabe 4 – Würfel................................................................ 108
Abbildung 27: Lösungsmöglichkeit Würfelaufgabe .............................................................. 108
Abbildung 28: Gruppenknobelaufgabe 5 – Geschwisterlich geteilt ...................................... 108
203
Abbildung 29: Einzelknobelaufgabe 1 – Schnittpunkte......................................................... 110
Abbildung 30: Einzelknobelaufgabe 2 – Mathe-AG.............................................................. 111
Abbildung 31: Einzelknobelaufgabe 3 – Diebstahl................................................................ 111
Abbildung 32: Knobelaufgabe der Woche 1 – Taschenrechner ............................................ 113
Abbildung 33: Knobelaufgabe der Woche 2 – Neue Lehrer.................................................. 114
Abbildung 34: Bearbeitung Mandarinengarten Gruppe 1 (++).............................................. 117
Abbildung 35: Bearbeitung Mandarinengarten Gruppe 7 (+++) ........................................... 117
Abbildung 36: Bearbeitung Anfang gesucht Gruppe 1 (+++) ............................................... 119
Abbildung 39: Bearbeitung Flussüberquerung Gruppe 1 (+++) ............................................ 121
Abbildung 40.: Bearbeitung Flussüberquerung Gruppe 6 (+++) ........................................... 122
Abbildung 41: Bearbeitung Flussüberquerung Gruppe 3 (+)................................................. 122
Abbildung 42: Bearbeitung Langeweile Gruppe 4 (+++) ...................................................... 123
Abbildung 43: Bearbeitung Langeweile Gruppe 2 (++) ........................................................ 124
Abbildung 44: Bearbeitung Stein auf Stein Gruppe 6 (+)...................................................... 124
Abbildung 45: Bearbeitung Stein auf Stein Gruppe 2 (++) ................................................... 125
Abbildung 46: Bearbeitung Sportasse-Aufgabe Mirjam (++) ............................................... 127
Abbildung 47: Bearbeitung Sportasse-Aufgabe Cosima (+++) ............................................. 128
Abbildung 48: Bearbeitung Sportasse-Aufgabe Isabel (+++)................................................ 129
Abbildung 49: Bearbeitung Sportasse - Aufgabe Caroline (+++) ......................................... 130
Abbildung 50: Bearbeitung Sportasse-Aufgabe Markus (+++) ............................................. 130
Abbildung 51: Bearbeitung 8-Liter-Problem Hannes (++) .................................................... 131
Abbildung 52: Bearbeitung 8-Liter-Problem Noel (++) ........................................................ 131
Abbildung 53: Bearbeitung 8-Liter-Problem Lea (+++)........................................................ 132
Abbildung 54: Bearbeitung 8-Liter-Problem Lukas R. (+++) ............................................... 133
Abbildung 55: Bearbeitung 8-Liter-Problem Niclas (+++) ................................................... 134
Abbildung 56: Bearbeitung 8-Liter-Problem David (+++).................................................... 135
Abbildung 57: Bearbeitung Altersaufgabe Lara (+++) .......................................................... 137
Abbildung 58: Bearbeitung Altersaufgabe Cosima (+++) ..................................................... 137
Abbildung 59: Bearbeitung Altersaufgabe Jonas W. (+++)................................................... 137
Abbildung 60: Bearbeitung Altersaufgabe Lukas H. (+++)................................................... 138
Abbildung 61: Bearbeitung Obst Lara (+++)......................................................................... 138
Abbildung 62: Bearbeitung Obst-Aufgabe Veronica (+++) .................................................. 139
Abbildung 63: Bearbeitung Obst-Aufgabe Kilian (+++) ....................................................... 140
Abbildung 64: Bearbeitung Obst-Aufgabe Lea (+++) ........................................................... 140
Abbildung 65: Bearbeitung Sportabzeichen Isabel (+++) ..................................................... 143
Abbildung 66: Bearbeitung Nachbarschaft Gruppe 3 (+++).................................................. 144
Abbildung 69: Bearbeitung Nachbarschaft Gruppe 6 (+) ...................................................... 147
Abbildung 71: Bearbeitung Zeustempel Gruppe 2 (+++) ...................................................... 148
Abbildung 72: Bearbeitung Zeustempel Gruppe 3 (+++) ...................................................... 149
Abbildung 73: Bearbeitung Zeustempel Gruppe 6 (++) ........................................................ 150
Abbildung 74: Bearbeitung Zahlen-Steckbrief Gruppe 5 (+++)............................................ 150
Abbildung 78: Bearbeitung Würfel-Aufgabe Gruppe 7 (+++) .............................................. 152
Abbildung 79: Bearbeitung Würfel-Aufgabe Gruppe 6 (+)................................................... 152
204
Abbildung 83: Bearbeitung Geschwisterlich geteilt Gruppe 8 (+++).................................... 154
Abbildung 86: Bearbeitung Schnittpunkte Marie-Theres (+) ................................................ 158
Abbildung 87: Bearbeitung Schnittpunkte Laura (+++) ........................................................ 159
Abbildung 88: Bearbeitung Schnittpunkte Michael H. (+++) ............................................... 159
Abbildung 89: Bearbeitung Schnittpunkte Markus V. (+)..................................................... 160
Abbildung 90: Bearbeitung Schnittpunkte Julien (+) ............................................................ 160
Abbildung 91: Bearbeitung Schnittpunkte Sean (+) .............................................................. 160
Abbildung 92: Bearbeitung Schnittpunkt Jannik (+) ............................................................. 161
Abbildung 93: Bearbeitung Schnittpunkte Nico (+) .............................................................. 161
Abbildung 94: Bearbeitung Schnittpunkte Franziska (+) ...................................................... 161
Abbildung 95: Bearbeitung Schnittpunkte Florian S. (+) ...................................................... 162
Abbildung 96: Bearbeitung Mathe-AG Julian (+++)............................................................. 163
Abbildung 97: Bearbeitung Mathe AG Jannik (+++) ............................................................ 163
Abbildung 98: Bearbeitung Mathe-AG Selina (+++) ............................................................ 163
Abbildung 99: Bearbeitung Mathe-AG Markus V. (+++) ..................................................... 164
Abbildung 100: Bearbeitung Mathe-AG Florian D. (+) ........................................................ 164
Abbildung 101: Bearbeitung Diebstahl Markus V. (+++) ..................................................... 165
Abbildung 102: Bearbeitung Diebstahl Jannik (+++)............................................................ 166
Abbildung 103: Bearbeitung Taschenrechner Sean (+++)..................................................... 168
Abbildung 104: Bearbeitung Taschenrechner Gabriel (+++) ................................................ 169
Abbildung 105: Bearbeitung Taschenrechner Joschua (+++)................................................ 170
Abbildung 106: Bearbeitung Taschenrechner Alischa (+++) ................................................ 171
Abbildung 107: Bearbeitung Neue Lehrer Marie-Theres (+++)............................................ 172
Abbildung 108: Bearbeitung Neue Lehrer Alexandra (+++) ................................................. 173
Abbildung 109: Bearbeitung Neue Lehrer Simon (+++) ....................................................... 174
Abbildung 110: Bearbeitung Neue Lehrer Ruth (+++).......................................................... 175
Abbildung 111: Bearbeitung Neue Lehrer Lisa (+++)........................................................... 177
Abbildung 112: Bearbeitung Neue Lehrer Marvin (+++)...................................................... 178
Abbildung 113: Knobelaufgaben (1) bayerisches Schulbuch ................................................ 207
11 Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Übersicht der Problemlösetheorien ......................................................................... 21
Tabelle 2: Routine- vs. Problemaufgabe .................................................................................. 23
Tabelle 3: Tabelle zur „Busplätze-Aufgabe“ ........................................................................... 35
Tabelle 4: Wie sucht man die Lösung? .................................................................................... 45
Tabelle 5: Tabelle der Hilfen ................................................................................................... 52
Tabelle 6: Stundenverlaufsplan zum ersten Unterrichtsversuch, Klasse 4 .............................. 90
Tabelle 7: Lösungsmöglichkeit Gruppenknobelaufgabe 5 - Stein auf Stein............................ 96
Tabelle 8: Stundenverlaufsplan zweiter Unterrichtsversuch, 4. Klasse ................................... 97
Tabelle 9: Lösungsmöglichkeit Problemaufgabe der Woche 1 - Sportasse............................. 98
Tabelle 10: Stundenverlaufsplan dritter Unterrichtsversuch, 4. Klasse ................................... 99
Tabelle 11: Stundenverlaufsplan vierter Unterrichtsversuch, 5. Klasse ................................ 104
205
Tabelle 12: Stundenverlaufsplan fünfter Unterrichtsversuch, 5. Klasse ................................ 109
Tabelle 13: Stundenverlaufsplan sechster Unterrichtsversuch, 5, Klasse .............................. 112
Tabelle 14: Lösungsmöglichkeit Knobelaufgabe der Woche 2 – Neue Lehrer ..................... 114
Tabelle 15: Gruppenbearbeitung 4. Klasse ............................................................................ 115
Tabelle 16: Problemaufgaben der Woche 4. Klasse .............................................................. 125
Tabelle 17: Einzelbearbeitung 4. Klasse ................................................................................ 136
Tabelle 18: Gruppenbearbeitung 5. Klasse ............................................................................ 143
Tabelle 19: Einzelbearbeitung 5. Klasse ................................................................................ 156
Tabelle 20: Problemaufgaben der Woche .............................................................................. 166
Tabelle 21: Vergleich Gruppenknobelaufgaben .................................................................... 184
Tabelle 22: Vergleich Einzelknobelaufgaben ........................................................................ 184
Tabelle 23: Vergleich Knobelaufgaben der Woche ............................................................... 185
Tabelle 24: Anzahl der verwendeten heuristischen Strategien und Hilfsmittel ..................... 186
Tabelle 25: Gruppenknobelaufgaben 4. Klasse...................................................................... 186
Tabelle 26: Gruppenknobelaufgaben 5. Klasse...................................................................... 187
Tabelle 27: Einzelknobelaufgaben 4. Klasse ......................................................................... 187
Tabelle 28: Einzelknobelaufgaben 5. Klasse ......................................................................... 188
Tabelle 31: Ergebnisse der „Problemkinder“ 4. Klasse neben den Einzelknobelaufgaben ... 192
Tabelle 32: Ergebnisse der „Problemkinder“ 5. Klasse neben den Einzelknobelaufgaben ... 192
12 Anhang
Knacknüsse Klasse 4
206
Abbildung 113: Knobelaufgaben (1) bayerisches Schulbuch (Kolbinger et al. 2003, S. 31)
207
208
209
210
211
ERKLÄRUNG
Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit in allen Teilen
selbständig gefertigt und keine anderen als die in der Arbeit
angegebenen Hilfsmittel benutzt habe.
Gerbrunn, den 28.09.07
Unterschrift ___________________
212