Jet d`Eau

Jet d'Eau - SystemPhysik
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Jet d'Eau
Aus SystemPhysik
Der Jet d'Eau (franz.= Wasserstrahl) ist ein bis zu 140 Meter hoher
Springbrunnen und das Wahrzeichen der Stadt Genf. Ursprünglich
war die Fontäne nur wenige Meter hoch und diente als
Überdruckventil für die 1885 erbaute Druckwasserleitung der
Genfer Juweliere, die damit ihre Maschinen betrieben. Durch die
Fontäne wurden unerwünschte Druckspitzen bei
Arbeitsunterbrechungen aufgefangen.
1891 beschloss die Stadt Genf, den Wasserdruck zu erhöhen und
die Fontäne zu beleuchten. Mit zwei Pumpaggregaten werden
seitdem 500 Liter Wasser pro Sekunde ausgestossen.
1. Mit welcher Geschwindigkeit strömt das Wasser durch die
Düse des Springbrunnens (der Luftwiderstand ist zu
vernachlässigen)?
2. Welchen Durchmesser weist die Düse auf?
Jet d'Eau in Genf
3. Wie viel Wasser enthält der Wasserstrahl (Minimalwert
abschätzen)?
4. Welche minimale Leistung müssen die beiden Pumpaggregate gemeinsam an das Wasser
abgeben?
Lösung
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22.02.2008
Lösung zu Jet d'Eau - SystemPhysik
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Lösung zu Jet d'Eau
Aus SystemPhysik
Die Ausströmgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Gesetzes von Bernoulli gerechnet werden, falls die
Wirkung der Luft vernachlässigt wird:
Daraus folgt die selbe Formel wie das Ausflussgesetz von Torricelli:
= 52.4 m/s (189 km/h).
1. Damit entspricht die Ausströmgeschwindigkeit der Geschwindigkeit eines Körpers im freien
Fall aus 140 m Höhe.
2. Der Querschnitt der Düse ist gleich
= 95.4 cm2, was einem
Durchmesser von 110 mm entspricht.
3. Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes verändert sich die Geschwindigkeit des Wassers
von 52.4 m/s beim Austritt über 0 bei maximaler Höhe bis zu -52.4 m/s beim Auftreffen auf
die Wasseroberfläche. Die Geschwindigkeit verändert sich dabei nach dem Gesetz des freien
Falls, d. h. sie nimmt mit der Beschleunigung a = -g ab. Für diese Bewegung braucht das
Wasser deshalb eine Zeit t = ∆v / a = 2 * (-52.4 m/s) / (-9.81 m/s2) = 10.7 s. Folglich befinden
sich mindestens 10.7 s * 0.5 m3/s = 5.35 t Wasser im Strahl. Weil das Wasser im Mittel
langsamer absinkt als aufsteigt, dürfte der wahre Wert etwa bei 7 bis 8 Tonnen liegen.
4. Die Pumpleistung entspricht mindestens der Stromstärke der vom Strahl beim Austritt
mitgeführten kinetischen Energie
= 686 kW.
Der wahre Wert liegt bei etwa 1000 kW.
Der Wasserstrahls muss, weil die Geschwindigkeit mit zunehmender Höhe kleiner wird, gemäss der
Kontinuitätsgleichung nach oben dicker werden. Vernachlässigt man wieder den Einfluss der
umgebenden Luft, gilt
wobei die Formel für die Geschwindigkeit vom Gesetz von Bernoulli geliefert wird
.
Würde diese Formel exakt zutreffen, müsste sich der Strahl beliebig ausweiten. Weil die
Energiebilanz nach Bernoulli die Quergeschwindigkeiten nicht berücksichtigt, darf man diese
Betrachtung aber nicht auf die Spitze treiben.
Aufgabe
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Lösung zu Jet d'Eau - SystemPhysik
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