Martin Hofmann: "Ausblicke zu rekursiven Datenstrukturen"

Ausblicke zu Rekursiven Datenstrukturen
Martin Hofmann
Ludwig-Maximilians-Universität München
TdI’09, 03.07.09
mh (lmumun)
Ausblicke zu Rekursiven Datenstrukturen
TdI
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Inhalt
Ein Mini-Computeralgebra-System
I
I
I
I
I
Syntaxbäume
Polynome als Listen
Rekursive Auswertung von Syntaxbäumen
Rekursive Implementierung von Algorithmen für Polynome
Einsatz von Parsergenerator und Hauptprogramm
Ausblick auf Ray-Tracing
I
I
I
Technik zur Erzeugung von Bildern aus Szenebeschreibungen
Zusätzliche Verwendung rekursiver Datenstrukturen
Ray-Tracing selbst ist bereits rekursiv.
Schlussbetrachtung
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Computeralgebra
mhofmann@garda:~/work/lehrer09$ maple
|\^/|
Maple 9.5 (IBM INTEL LINUX)
._|\|
|/|_. Copyright (c) Maplesoft, a division of Waterloo Maple
\ MAPLE / All rights reserved. Maple is a trademark of
<____ ____> Waterloo Maple Inc.
|
Type ? for help.
> expand((X^2+2*X+1)*(X^2+3*X-1));
4
3
2
X + 5 X + 6 X + X - 1
> quo(X^2+2*X+1,X+1,X);
X + 1
>
0
> gcd(X^2+2*X+1,X^2-1);
X + 1
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Computeralgebra
> sum(i^2+2*i+1,i=0..n);
3
2
(n + 1)
(n + 1)
-------- + -------- + n/6 + 1/6
3
2
> sum(binomial(n,i),i=0..n);
n
2
> sum(binomial(n+i,i)*binomial(n,i),i=0..n);
LegendreP(n, 3)
> sum(binomial(n+i,i),i=0..n);
binomial(2 n + 1, n + 1)
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In diesem Vortrag
mhofmann@garda:~/work/lehrer09/alg$ ./main
MHs Polynomalgebrasystem vom 02.07.09
> expand((X^2+2*X)*(X^3-X-1)*(X^2+1));
X^7+2*X^6-X^4-3*X^3-3*X^2-2*X
> poldiv(X^7+2*X^6-X^4-3*X^3-3*X^2-2*X+1,X^3-X-1);
Quotient = X^4+2*X^3+X^2+2*X
Rest = 1
> gcd(X^7+2*X^6-X^4-3*X^3-3*X^2-2*X,(X^2+1)*(X^3-4*X^2+5));
X^2+1
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Syntaxbäume
*
+
^
X
2
1
*
−
+
^
X 2
1
−
*
2
^
X
X
X 3
(X^2+2*X)*(X^3-X-1)*(X^2+1)
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Syntaxbäume in OCAML
type operator = Plus | Minus | Times | Hat
type expression =
Var |
Int of int |
UMinus of expression |
Binop of operator * expression * expression
Unser Ausdruck entspricht:
Binop(Times,
Binop(Times,
Binop(Plus,Binop(Hat,Var,Int 2),Binop (Times,Int 2,Var)),
Binop(Minus,Binop(Minus,Binop(Hat,Var,Int 3),Var),Int 1)),
Binop(Plus,Binop(Hat,Var,Int 2),Int 1))
Im Rechner natürlich wieder als verzeigerter Baum repräsentiert,
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Schrittweise Konstruktion
# let fac1 =
Binop(Plus,Binop(Hat,Var,Int(2)),Binop(Times,Int(2),Var));;
val fac1 : expression =
Binop(Plus,Binop(Hat,Var,Int 2),Binop(Times,Int 2,Var))
# let fac2 =
Binop(Minus,Binop(Minus,Binop(Hat,Var,Int 3),Var),Int 1);;
val fac2 : expression = ...
# let fac3 =
Binop(Plus,Binop(Hat,Var,Int(2)),Int(1));;
val fac3 : expression = ...
# let tree = Binop(Times,Binop(Times,fac1,fac2),fac3);;
val tree = ...
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Polynome
Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten repräsentieren wir als Listen ihrer
Koeffizienten beginnend mit der niedrigsten Potenz.
Z.B.: X 2 + 3X + 5 wird zu [5;3;1]
Z.B.: −7X 5 + 4X 2 − 8X − 3 wird zu [-3;-8;4;0;0;-7]
Nachteile:
nicht ganz eindeutig wg. führende Nullen.
Typ int list deutet nicht eindeutig auf “Polynom” hin.
Alternativen:
Koeffizientenlisten andersrum
Listen von Monomen (Paar Koeff. Exponent),
Grad, Leitkoeffizient etc. als Attribute mitführen.
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Addition von Polynomen
Durch Rekursion über die Listenrepräsentation:
let rec poly_add p1 p2 = match (p1,p2) with
(p,[]) -> p
|
([],p) -> p
|
(a1::rest1,a2::rest2) -> a1+a2 :: poly_add rest1 rest2
Z.B.: poly_add [4;5;6] [10;11;12;13] =
14::poly_add [5;6] [11;12;13] =
14::16::poly_add [6] [12;13] = 14::16::18::poly_add [] [13]
= 14::16::18::[13] = [14;16;18;13]
Nicht vergessen: :: ist “cons”, [] ist die leere Liste.
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Normalisieren von Polynomen
Nullen am Ende eines Polynoms (als Liste) sollen entfernt werden.
let remove_leading_zeros p =
let rec strip l = match l with
[] -> [] | h::t -> if h=0 then strip t else l in
List.rev (strip (List.rev p))
Die lokale Hilfsfunktion strip entfernt Nullen von vorne.
Die Bibliotheksfunktion List.rev dreht eine Liste um.
Den gewünschten Effekt erhalten wir durch Hintereinanderschalten von
List.rev, dann strip, dann wieder List.rev
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Einfache Multiplikationen
Mit X multiplizieren:
let times_X p = 0::p
Mit X n multiplizieren:
let rec times_Xn p n =
if n=0 then p else times_Xn (times_X p) (n-1)
Z.B.: times_Xn [1;5;9] 2 = times_Xn (times_X [1;5;9]) 1 =
times_Xn [0;1;5;9] 1 = times_Xn (times_X [0;1;5;9]) 0 =
times_Xn [0;0;1;5;9] 0 = [0;0;1;5;9]
Mit Skalar multiplizieren:
let poly_scalar a p = List.map (fun b -> a * b) p
Die Bibliotheksfunktion List.map wendet eine Funktion auf alle Einträge
einer Liste an: List.map (fun x -> x*x) [1;2;3;4] = [1;4;9;16]
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Multiplikation von Polynomen
let rec poly_mult p1 p2 = match p1 with
[] -> []
|
a1::rest1 -> poly_add (poly_scalar a1 p2)
(times_X (poly_mult rest1 p2))
Ist p1 die leere Liste, also Null, dann ist das Ergebnis auch Null
Ist p1 von der Form a1::rest1, also p1 = a1 + X · rest1 , so ist
p1 · p2 = a1 · p1 + X · (rest1 · p2 ).
Beispiel: poly_mult [1;2;1] [1;3;1] = [1; 5; 8; 5; 1]
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Auswerten von Syntaxbäumen
let rec expand expr = match expr with
Var -> [0;1]
|
Int i -> [i]
|
UMinus expr -> poly_scalar (-1) (expand expr)
|
Binop(op,expr1,expr2) ->
let p1 = expand expr1 in
let p2 = expand expr2 in
(match op with
Plus -> poly_add p1 p2
| Times -> poly_mult p1 p2
| Minus -> poly_add p1 (poly_scalar (-1) p2)
| Hat -> if not(posint p2) then
raise (Error "Nur natuerliche Exponenten")
else ntimes (poly_mult p1) (toint p2) [1])
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Hilfsfunktionen und Erläuterungen zu Hat
Testen, ob ein Polynom positiver Integer ist:
let posint p = match (remove_leading_zeros p) with
[] -> true
| [n] -> n >= 0
| _ -> false
Eine Funktion n-Mal auf einen Wert anwenden, also f (n) (x) berechnen:
let rec
ntimes f n x = if n = 0 then x
else ntimes f (n-1) (f x)
Ein Polynom p ∈ Z nach int konvertieren.
let toint p = match (remove_leading_zeros p) with
[] -> 0
| [n] -> n
| _ -> raise (Error "toint")
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Exceptions
Mit
exception Error of string
haben wir eine Exception Error deklariert. Man kann sie mit raise
“werfen” und mit try with fangen.
Man kann ihr einen string-Wert mitgeben.
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Eingabe
Lexikalische Analyse: Eingabestring in Tokenstream konvertieren.
Stream = Funktion, die bei jedem Aufruf das jeweils nächste Token
zurückgibt. Token = Lexikalische Einheit (Schlüsselwörter, Klammern,
Komma, Zahlen, . . . )
Syntaxanalyse: Tokenstream in Syntaxbaum konvertieren.
Wir reichern unsere Syntax noch um Kommandos an. Es gibt zunächst nur
ein Kommando; expand, welches als Argument einen Ausdruck hat.
type command = Expand of expression
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Ocamlyacc Grammatik 1. Teil
%{open Syntax%}
%token <int> INT
%token PLUS MINUS TIMES DIV
%token LPAREN RPAREN SEMI COMMA
%token EXPAND
%token VAR HAT
%left PLUS MINUS
/* lowest precedence */
%left TIMES DIV
/* medium precedence */
%nonassoc UMINUS
/* one to highest precedence */
%right HAT
/* highest precedence */
%start main
/* the entry point */
%type <Syntax.command> main
%%
Hier sind die Tokens definiert, die Präzedenz und Bindungskraft von
Operatoren, das Startsymbol und sein Typ (command)
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Ocamlyacc Grammatik 2. Teil
main:
EXPAND LPAREN expr RPAREN
;
expr:
INT
{
| LPAREN expr RPAREN
{
| expr PLUS expr
{
| expr MINUS expr
{
| expr TIMES expr
{
| expr HAT expr
{
| VAR
{
| MINUS expr %prec UMINUS {
;
SEMI
{ Expand($3) }
Int $1 }
$2 }
Binop(Plus,$1,$3) }
Binop(Minus,$1,$3) }
Binop(Times,$1,$3) }
Binop(Hat,$1,$3) }
Var }
UMinus $2 }
Produktionen einer kontextfreien Grammatik.
In den geschw. Klammern steht jeweils die “semantische Aktion”, also was
als Wert zurückgegeben wird.
Mit $1, $2, etc. kann man auf die Werte der Komponenten zurückgreifen.
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Lexer-Definition
{
open Parser exception Eof exception Bad_Token
}
rule token = parse
[’ ’ ’\n’ ’\t’]
{ token lexbuf }
(* skip blanks *)
| [’0’-’9’]+ as lxm { INT(int_of_string lxm) }
| ’+’
{ PLUS }
| ’-’
{ MINUS }
| ’*’
{ TIMES }
| ’^’
{ HAT }
| ’(’
{ LPAREN } | ’)’
{ RPAREN }
| ’X’
{ VAR
}
| ’;’
{ SEMI }
| ’,’
{ COMMA }
| "expand"
{ EXPAND } | "poldiv"
{ POLDIV }
| "gcd"
{ GCD }
| eof
{ raise Eof }
| _
{ raise Bad_Token }
Die Werkzeuge Ocamlyacc und Ocamllex erzeugen aus diesen
Spezifikationen automatisch Ocaml-Code, der übersetzt und dann
verwendet werden kann:
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Read-Eval-Print-Schleife
let _ = print_string "MHs Polynomalgebrasystem vom 02.07.09\n"
try (
let lexbuf = Lexing.from_channel stdin in
while true do print_string "> ";flush stdout;
try let com = Parser.main Lexer.token lexbuf in
run_command com;
print_newline(); flush stdout
with Error err -> print_string ("Fehler: "^err^"\n")
done
) with Lexer.Eof -> exit 0
while true do e done wertet e immer wieder aus.
Dasselbe wie
let rec loop f = f();loop f in loop (fun _ -> e)
^ konkateniert Strings
Das Ganze mehr oder weniger aus dem Ocaml-Referenzmanual
kopiert.
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Drucken von Polynomen
let string_of_poly p =
let p = remove_leading_zeros p in
let deg = degree p in
if deg = -1 then "0" else (
let q = List.rev p in
let (_,_,str) = List.fold_left (fun (needsign,exponent,str) coeff
(true,exponent-1,(str ^ if coeff = 0 then "" else
((if needsign && coeff > 0 then "+" else "") ^
(if coeff = 1 && exponent > 0 then "" else
if coeff = -1 && exponent > 0 then "-" else string_of_int coef
(if coeff != 1 && coeff != -1 &&
exponent > 0 then "*" else "") ^
(if exponent > 0 then "X" else "") ^
(if exponent > 1 then "^" ^ string_of_int
exponent else ""))))) (false,deg,"") q
in str)
Im Prinzip trivial, aber erstaunlich zeitaufwendig zu programmieren.
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Abarbeiten von Kommandos
let run_command com = match com with
Expand exp -> print_string(string_of_poly (expand exp))
Wir führen jetzt noch weitere Kommandos ein:
type command = Expand of expression
| Poldiv of expression*expression
| Gcd of expression * expression
nebst entsprechenden Grammatik- und Lexer-Regeln.
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Polynomdivision
let rec poly_div p1 p2 =
let deg1 =degree p1 in
let deg2 =degree p2 in
let lc1 = lcoeff p1 in
let lc2 = lcoeff p2 in
if isnull p2 then raise (Error "Division durch Null") else
if deg1 < deg2 then (poly_of_int 0,p1) else
if lc1 mod lc2 != 0 then
raise (Error "Rationale Zahl nicht unterstuetzt") else
if deg1 < deg2 then (poly_of_int 0,p1) else
let quotmon = times_Xn (poly_of_int (lc1/lc2)) (deg1-deg2) in
let diff = poly_add p1
(poly_scalar (-1) (poly_mult quotmon p2)) in
let (quot,rem) = poly_div diff p2 in
(poly_add quotmon quot,rem)
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Hilfsfunktionen & Idee
let degree p =
let p = remove_leading_zeros p in
List.length p - 1
let lcoeff p =
let p = remove_leading_zeros p in
match List.rev p with [] -> 0 | h::t -> h
let isnull p =
let p = remove_leading_zeros p in p=[]
let poly_of_int a = if a = 0 then [] else [a]
Falls deg(p1 ) < deg(p2 ) so ist Quotient 0 und Rest p2 .
Falls deg(p1 ) ≥ deg(p2 ) so bilde diff = p1 − X deg(p1 )−deg(p2 ) p2 und
dividiere diff rekursiv durch p2 . Zum Quotienten wird X deg(p1 )−deg(p2 )
addiert; Rest ist derselbe.
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Euklidischer Algorithmus für ggT
let rec int_gcd x y =
if abs x < abs y then int_gcd y x else
if y = 0 then x else
int_gcd y (x mod y)
ggT(24, 32) = ggT(32, 24) = ggT(24, 8) = ggT(8, 0) = 8.
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Euklidischer Algorithmus für Polynome (Erste Version)
let rec int_gcd x y =
if abs x < abs y then int_gcd y x else
if y = 0 then x else
int_gcd y (x mod y)
let rec poly_gcd p1 p2 =
let lc2 = lcoeff p2 in
let deg1 =degree p1 in
let deg2 =degree p2 in
if deg1 < deg2 then poly_gcd p2 p1 else
if isnull p2 then p1 else
let (quot,rem) = poly_div p1 p2 in
poly_gcd p2 rem
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Problem mit der ersten Version
let rec poly_gcd p1 p2 =
let lc2 = lcoeff p2 in
let deg1 =degree p1 in
let deg2 =degree p2 in
if deg1 < deg2 then poly_gcd p2 p1 else
if isnull p2 then p1 else
let (quot,rem) = poly_div p1 p2 in
poly_gcd p2 rem
Problem: “Rationale Zahl nicht unterstuetzt”
Beispiel: ggT(X 2 − X + 1, X + 1) = ggT(X + 1, −2X + 1) = Exception
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Abhilfe
Multipliziere p1 mit lcoeff(p2 )deg(p1 )−deg(p2 )+1 .
Dividiere aber vorher p2 durch ggT seiner Koeffizienten, z.B.:
−2X 2 − 4X + 6
−X 2 − 2X + 3
Dieser ggT heißt Inhalt (engl.: content) von p2 .
ggT von Polynomen ist ohnehin nur bis auf ganzz. Vielfache bestimmt.
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Endgültige Lösung
let rec poly_gcd p1 p2 =
let p2 = remove_content p2 in
let lc2 = lcoeff p2 in
let deg1 =degree p1 in
let deg2 =degree p2 in
if deg1 < deg2 then poly_gcd p2 p1 else
if isnull p2 then p1 else
let p1 = poly_scalar
(int_pot lc2 (deg1-deg2+1)) p1 in
let (quot,rem) = poly_div p1 p2 in
poly_gcd p2 rem
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Zusammenfassung Polynomalgebra
Syntax von Ausdrücken intern als Bäume, dadurch rekursive
Auswertung sehr einfach.
Umwandlung von konkreter Syntax in Bäume mit Parsergenerator
(Ocamlyacc & Ocamllex).
Polynome als Werte von Ausdrücken. Repräsentiert als Listen.
Rekursion über Listen und Hilfsfunktionen wie List.map erlauben
kompakte Definition der Funktionen auf Polynomen.
Read-Eval-Print-Loop zur wiederholten Abarbeitung von Befehlen.
GgT-Berechnung durch Beschränkung auf ganze Zahlen etwas
aufwendig. Alternative: floats oder rationale Arithmetik.
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Ausblick auf Raytracing
ICFP Programming Contest 2000:
Erstelle in 72Std ein Programm, welches Befehle einer
Szenebeschreibungssprache einliest und eine entsprechende Bilddatei
erzeugt.
Sprache und Lösungsstrategie war in einem sehr gut lesbaren und
hochinteressanten 20S. Dokument dargestellt.
http://de.wikipedia.org/wiki/ICFP
http://www.cs.cornell.edu/icfp/
http://www.cs.cornell.edu/icfp/task.pdf
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Eines der Testbilder
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Auszug aus der Szenebeschreibung
{ /v /u /face
white 1.0 0.0 1.0
} sphere
0.10 uscale
/ball
{ /v /u /face
black 1.0 0.0
} cylinder
0.25 uscale
/hole
[...]
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1.0
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Forts.
field
hole
0.0 -0.25 2.0 translate
difference
sky union
post 0.0 0.0 2.0 translate
union
ball -0.3 0.1 1.75 translate
union
flag
0.45 1.8 2.0 translate
union
0.0 -1.0 0.0 translate
/scene
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Forts.
1.0 -1.0 1.0 point %% position
0.4 0.4 0.4 point
%% intensity
light
/sun
0.6 0.6 0.6 point %% Ambient
[ sun ] %% Lights
scene
2 %% Depth
90.0 %% fov
320 %% width (pixels)
200 %% height (pixels)
"golf.ppm" %% filename
render
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Funktionsweise
Für jeden Pixel einen gedachten Strahl in der entsprechenden
Richtung in die Szene schicken.
Trifft der Strahl ein Objekt, in Reflektionsrichtung rekursiv
weiterverfolgen.
Schattenstrahlen in Richtung der Lichtquellen schicken. Falls
verdeckt, kein Beitrag der Lichtquelle.
Farbe und Intensität des ursprünglichen Pixels aus den Farben und
Intensitäten der (rekursiven) Hilfsstrahlen berechnen.
Rekursionstiefe beschränkt auf z.B. 2-4.
Objekte in Bounding-Boxen packen und diese in Bäume zu
organisieren hilft bei der schnellen Ermittlung von Verdeckungen.
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Ein weiteres Testbild
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Zusammenfassung
Computeralgebra und Raytracing als Anwendungen rekursiver
Datenstrukturen
Syntaxbäume, Verdeckungshierarchien, Objektlisten,
Koeffizientenlisten
Rekursive Kontrollstruktur bei Auswertung, Raytracing und bei
Polynomalgorithmen.
Verwendung einer funktionalen Sprache, hier OCAML, erlaubt relativ
schnelles Prototyping, bei gleichzeitig hoher Leistung. Ist für
Problemstellungen der Form
Eingabe → Parser → Syntaxbaum → Verarbeiten → Ausgabe
hervorragend geeignet. Dokumentation & Download
http://caml.inria.fr/ocaml/.
Wir verwenden Ocaml zur Implementierung von
I
I
Ressourcenanalysen (Eingabe=Programm,
Ausgabe=Ressourceninformation),
Entscheidungsverfahren (Eingabe=logische Formeln,
Ausgabe=Beweis/Modell)
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