Mathematik für Informatiker 1

Prof. Dr. Bernhard Steffen
Dipl.Inf. Malte Isberner – Dr. Oliver Rüthing – Dipl.Inf. Melanie Schmidt – Dr. Hubert Wagner
Übungen zur Vorlesung
Mathematik für Informatiker 1
Wintersemester 2013/14
Übungsblatt 0
Die Lösungshinweise dienen primär der internen Kommunikation der Lösungen zu den Übungsaufgaben. Sie sind geeignet, das Vorgehen zur Lösung zu illustrieren und die zur Lösung erforderlichen Ideen und Denkanstöße zu vermitteln.
Bitte beachten Sie jedoch, dass es sich hierbei nicht um Musterlösungen handelt in dem Sinne,
dass sie eine mustergültige Verschriftlichung des jeweiligen Lösungsweges darstellen. Insbesondere
sind aus Platzgründen einige der Lösungswege nur abgekürzt dargestellt. Daraus leitet sich jedoch
nicht ab, dass ein entsprechendes Vorgehen in der Klausur automatisch zur vollen Punktzahl
führt!
Aufgabe 0.1 Logisches Schließen
1. (Frei nach Raymond Smullyan, The Riddle of Scheherazade, San Diego – New York – London
1997)
Abu, Ibn und Hasib stehen vor Gericht. Es ist bekannt, dass nur einer von ihnen schuldig ist.
Abu behauptet unschuldig zu sein. Ibn bestätigt, dass Abu unschuldig ist. Hasib schließlich
behauptet, dass er selbst schuldig ist. Im Verlauf des Gerichtsverfahrens stellt sich heraus,
dass der Schuldige gelogen hat.
Wer ist der Schuldige?
Lösung: Wir zeigen, dass Abu der Schuldige ist.
Hasib kann nicht schuldig sein. Wäre er schuldig, so hätte er die Wahrheit gesagt. Bekannt
ist aber, dass der Schuldige gelogen hat.
Wäre Abu unschuldig, so müsste Ibn schuldig sein, da einer der Dreien schuldig ist. Als
Schuldiger hätte aber Ibn gelogen, so dass seine Aussage, dass Abu unschuldig ist, falsch ist.
Folglich wäre Abu doch schuldig im Widerspruch zur Annahme, dass Abu unschuldig ist. Da
einer der Dreien schuldig sein muss, bleibt nur noch die Möglichkeit, dass Abu schuldig ist.
2. Auf dem Landgut von Lord Harrington ist ein Mord geschehen. 4 Personen, der Butler, der
Gärtner, die Köchin und der Lord selbst, meldeten sich als Zeugen des Mordfalls bei Inspector
Craig von Scotland Yard. Nach der Vernehmung der Zeugen kam Inspector Craig zu folgenden
Schlussfolgerungen:
• Sagt der Butler die Wahrheit, dann auch die Köchin.
• Die Köchin und der Gärtner können nicht beide die Wahrheit sagen.
• Der Gärtner und der Lord lügen nicht beide.
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• Wenn Lord Harrington die Wahrheit sagt, dann lügt die Köchin.
Bei welchen Zeugen kann Inspector Craig sicher sein, dass sie lügen? Bei welchen kann er
sicher sein, dass sie die Wahrheit sagen?
Lösung:
Der Butler und die Köchin lügen. Inspector Craig kann aber weder der Aussage des Lords
noch der des Gärtners vertrauen, da er nur weiß, dass nicht beide lügen.
Begründung:
Würde der Butler die Wahrheit sagen, dann auch die Köchin. Dann müsste der Gärtner
lügen, da die Köchin und der Gärtner nicht beide die Wahrheit sagen. Da aber der Gärtner
und der Lord nicht beide lügen, müsste also der Lord die Wahrheit sagen, so dass folgt, dass
die Köchin lügt. Damit erhält man den Widerspruch, dass die Köchin die Wahrheit sagt und
lügt. Folglich kann der Butler nicht die Wahrheit sagen. Da wir im Falle, dass die Köchin
die Wahrheit sagt, den oben genannten Widerspruch hergeleitet haben, kann also auch die
Köchin nicht die Wahrheit gesagt haben.
3. (Noch einmal frei nach Raymond Smullyan, Spottdrosseln und Metavögel, Wolfgang Krüger
Verlag 1986)
Inspektor Craig von Scotland Yard wurde zu der Insel der Ritter und Schurken geschickt.
Jeder Einwohner der Insel war entweder ein Ritter oder ein Schurke, wobei Ritter nur wahre
Aussagen machen, Schurken hingegen nur falsche.
Eines Tages traf Craig einen Soziologen, der gerade die Insel besuchte. Dieser berichtete ihm:
„Ich habe alle Bewohner der Insel befragt und folgende merkwürdige Beobachtung gemacht:
Zu jedem Bewohner X gibt es mindestens einen Bewohner Y , der behauptet, dass X und Y
Schurken sind“.
Kann man dem Bericht des Soziologen glauben?
Lösung: Nein! Angenommen, der Bericht würde stimmen. Ein solcher Bewohner Y kann
kein Ritter sein, da dieser die Wahrheit sagt. Also ist Y ein Schurke. Dann darf aber X kein
Schurke sein, da sonst Y die Wahrheit gesagt hätte. Also ist jeder Bewohner X der Insel
ein Ritter. Wir erhalten einen Widerspruch: jeder Bewohner ist ein Ritter, es gibt jedoch
mindestens einen Schurken.
Aufgabe 0.2 Logisches Folgern in der Mathematik
Zeigen Sie die folgende Behauptung:
Für alle reellen Zahlen x gilt:
falls 0 ≤ x ≤ 2, dann ist − x3 + 4 · x + 1 > 0.
Lösung:
Es ist −x3 + 4 · x + 1 = x · (4 − x2 ) + 1. Aus 0 ≤ x ≤ 2 folgt x ≥ 0 und 4 − x2 ≥ 0, damit also
x · (4 − x) ≥ 0 und folglich x · (4 − x2 ) + 1 > 0.
Aufgabe 0.3 Lights out
Diese Aufgabe kann mit Methoden der Linearen Algebra einfach und elegant gelöst werden. Insofern
dient diese Aufgabe nur dazu, Appetit auf das Thema „Lineare Algebra“ der Vorlesung zu machen.
In einem Spielfeld sind 9 Schalter in Form eines 3 × 3-Gitters angeordnet. Durch Drücken eines
Schalters kann dieser ein- bzw. ausgeschaltet werden, wobei nach jedem Drücken der Zustand wechselt. Im eingeschalteten Zustand leuchtet der Schalter gelb auf, im ausgeschalteten Zustand ist der
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Schalter schwarz. Durch das Drücken eines Schalters wechselt aber nicht nur der gedrückte Schalter
seinen Zustand, sondern auch alle direkt angrenzenden Schalter, das sind diejenigen Schalter, die
oben, unten, links oder rechts am gedrückten Schalter anliegen.
Gegeben sei nun die folgende Ausgangssituation:
1.
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3
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2
3
Finden Sie eine Reihenfolge, mit der Schalter zu drücken sind, so dass am Ende kein Schalter
mehr aufleuchtet.
Lösung: Die folgenden Gitter sollten zur Darstellung der Lösung ausreichen. Heben Sie in den
Gittern jeweils den Schalter, der den Übergang zum nachfolgenden Gitter bewirkt, optisch
hervor.
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Lösung:
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