Lindner

15
232
Reflexion, Brechung und Beugung
Verbindungslinie mit dem Empfänger, so ergeben sich Maxima und Minima der Lautstärke in Abtänden von jeweils 40 em. Mit welcher Frequenz chwingen die bei den Sender, wenn die Schallgechwindigkeit 340 mls beträgt?
Gleichartige Schwingungszustände (z. B. Minima) am Empfänger bedeuten, daß die Phasenwinkelunterschiede zwischen beiden Sendern ganzzahlige Vielfache von 2n ind. Die Verschiebungsstrecke
von 40 CIn entspricht daher gerade einer Wellenlänge. Mit Gleichung (13.5) folgt
cp
f =- =
A
340 In
0,40 m· s
= 850 Hz
15 Reflexion, Brechung und Beugung
Bei der bi heIigen Diskussion der Wellenausbreitung wurde stillschweigend immer vorausgesetzt, daB das von der Welle erfaBte Medium unbegrenzt und darüber hinaus homogen
war, d. h. an jeder Stelle die gleichen Eigenschaften besaß. Tatsächlich aber sind Grenzflächen und Inhomogenitäten typische Bestandteile realer Medien. Die in der Praxis auftretenden Phänomene bei der gestörten Ausbreitung von Wellen lassen sich in den meisten
Fällen einer der drei folgenden Gruppen zuordnen:
Bei der Reflexion werden Wellen an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien in das urprüngliche Gebiet zurückgeworfen.
Ist die Grenzfläche durchlässig, 0 breitet sich die ursprüngliche Welle mit veränderter
Amplitude und Ausbreitungsrichtung auch im Nachbarmedium aus. Diese Erscheinung der
Wellenablenkung wird Brechung genannt.
Bei der Beugung schließlich handelt es sich um Erscheinungen, die durch Hindemi se oder
Begrenzungen, z. B. in Form von Blenden, hervorgerufen werden. Typisch für die Beugung
j t da Eindringen von Wellen in den geometrischen Schattenraum der Begrenzungen, wie
er bei geradliniger Wellenausbreitung vorhanden wäre. Der allgemeine Beugungsfall ist
kompliziert, jedoch gibt es auch hier einige übersichtliche Fälle, die in der Praxis häufig
vorkommen.
15.1
Elementarwellen
Alle drei genannten Erscheinungen werden sowohl bei mechani chen als auch bei elektromagnetischen Wellen beobachtet. Ihre theoretische Behandlung greift auf ein Prinzip
zurück, da bereit vor fa t 300 Jahren von dem holländischen Physiker CHRISTJAAN
HUYGENS entdeckt und über hundert Jahre später von dem Franzosen AUGUST1N JEAN
FRESNEL mathemati ch begIÜndet wurde.
Jeder von einer WeUe getroffene Punkt ist Ausgangspunkt einer neuen EIe ..
mentarwelle. Die Umhüllende aller aus einer Wellenfront gleichzeitig entstehenden Elementarwellen ist wieder eine Wellenfront der vom ursprünglichen
Erregungszentrum ausgehenden Welle. (Huygenssches Prinzip)
15.1
Elementarwellen
233
Al Elementarwelle wird bei einem dreidimen ionalen Medium eine Kugelwelle bei einem zweidirnen ionalen Medium eine Krei welle ver tanden. Eine qualitative Begründung
die e Prinzip liefert ein Ver ueh mit einer ebenen Was erwelle, die ich auf eine Wand mit
einer kleinen Öffnung zubewegt. Die Öffnung wird zum Au gangspunkt einer Kreiswelle,
die ich mit der eiben Ge ehwindigkeit wie die Primärwelle in das angrenzende Medium
au breitet (Bild 15.1).
F
t
Bild l5.1: Entstehung einer Elementarwelle
Bild l5.2: Da HUYGENSsche Prinzip: E Elementarwellen, 0 WeUenzentrum, F Wellenfronten
Die Ent tehung der Elementarwelle wird ver tändlich wenn man berück ichtigt daß nur
ehr wenige benachbarte 0 zillatoren in der Öffnung die Kopplung zwi chen den beiden
Halbräumen her tellen. Die von der Primärwelle erregten 0 zillatoren chwingen prakti ch
ynchron und verhalten ieh wie ein künstlicher Erreger an die er Stelle. Wird die Wand mit
mehreren Öffnungen ver ehen, 0 wirkt jede einzelne von ihnen in gleicher Weise, wobei
dann chließlieh die Wellenfronten aller die er TochterweLlen zu einer neuen gemeinsamen
Wellenfront verschmelzen. Der Ver uch läßt ich an jeder beliebigen Stelle eines vorhandenen Wellenfelde au führen, was bedeutet, daß jeder beliebige, von einer Welle erreichte
Punkt de Medium al neue, elb tändige Wellenzentrum ange ehen werden kann (Bild
15.2).
Da HUYGE S che Prinzip "funktioniert" natürlich nur de halb, weil alle Elementarwellen
miteinander interferieren. FRESNEL erkannte die en Mechani mu und erweiterte so da.
Prinzip zu einer quantitativen Theorie der WeHenau breitung. Die Vervoll tändigung zum
HUYGE -FRES EL eh n Prinzip laut t daher:
Die Ausbreitung einer Welle vollzieht sich unter gegenseitiger Interferenz der
von den Wellenfronten ausgehenden Elementarwellen.
Bezogen auf die normale Wellenau breitung in homogenen Medien i t da HUYGENSFRESNEL che Prinzip nun nicht unbedingt eine Verbe. erung, da die Wellenfunktion die
Au breitung eine Schwingung zu tand bereit voll tändig be chreibt. Seine Bedeutung
wird aber bei der Anwendung auf die Fälle ichtbar, bei denen die Wellenau breitung getört i t.
15
234
15.2
Reflexion, Brechung und Beugung
Reflexion
Betrachten wir zunächst den Fall der Reflexion einer ebenen Welle an einer undurchdringlichen ebenen Grenzfläche (Bild 15.3).
l'
Bild 15.3: Reflexion paralleler Strahlen nach
dem HUYGENSSchen Prinzip
Die beiden Rand trablen J und 2 stellen die Begrenzung der ebenen Welle dar. Strahl J
erreicht die Grenzfläche in Punkt A zuerst und sendet eine Elementarwelle von wachsendem Radius aus. Wenn Strahl 2 die Fläche in D erreicht hat, muß infolge der gleichen
Au breitungsgeschwindigkeit der Radius der Elementarwelle AE gleich BD sein. Der in
der Mitte zwischen J und 2 laufende Strahl 3 erreicht die Fläche im Punkt C. Die hier entstehende Elementarwelle erreicht bis zum Eintreffen des Strahls 2 nur den halben Radius
CF = A E /2. Die neue Wellenfront ist nach dem HUYGENS chen Prinzip die Tangente
DE.
Nun i t zu sehen, daß die bei den Dreiecke AED und ABD rechtwinklig ind, da die Wellenfronten auf den zu ihnen gehörenden Strahlen senkrecht stehen. Außerdem haben sie
die gemeinsame Basi AD und die Seiten AE bzw. BD von gleicher Länge. Folglich ind
die e Dreiecke kongruent, so daß die Wellenfronten AB und D E mit der reflektierenden
Fläche den gleichen Winkel bilden.
Die Schenkel die er Winkel stehen aber paarweise senkrecht auf den Schenkeln von c und
cr, die zu beiden Seiten de in A errichteten Einfallslotes liegen. Damit ist c = Cr, und das
Reflexionsgesetz lautet:
Einfallender Strahl, Einfallslot und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene.
Der Reflexionswinkel ist gleich dem Einfallswinkel .
I t der Einfallswinkel 90°, d. h. bei senkrechtem Einfa1l, so wird die Welle in sich elbst
reflektiert. In diesem Fall kommt es zur Ausbildung einer stehenden Welle, wobei ein Au lenkung knoten, wegen der Undurchlässigkeit der Grenzfläche, direkt an der Reflexion teIle entsteht. Weitere Knoten bilden sich im Abstand von }.../2 von der Grenzfläche aus.
Bei der im Kapitel 14 als Beispiel genannten transversalen Seilwelle ent präche da dem
Fall, daß einer der beiden Erreger durch eine starre Wand ersetzt werden würde.
15.3
Brechung
Auf ähnliche Wei e wie bei der Reflexion von Wellen verläuft die Bewei führung beim Breclllmg gesetz. Allerding liefert hier da HUYGENS che Prinzip eine zusätzliche Aussage
über den Einfluß der beteiligten Medien. Wie im vorausgegangenen Beispiel treffe eine
15.3
Brechung
235
ebene Welle wieder chräg auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien, wobei die Welle
die mal nur zum Teil reflektiert werden, zum Teil in das angrenzende Medium eindringen
soll (Bild 15.4).
Bild 15.4: Brechung paralleler Strahlen
nach dem HUYGENSSchen Prinzip
Die Ausbreitung geschwindigkeiten in den beiden Medien seien Ci und C2. Wenn Strahl]
der Wellenfront AB die Trennfläche in A erreicht, hat der andere noch die Strecke B D = Q
a
zurückzulegen. Dazu wird die Zeit - benötigt. Währenddes en breitet ich von A eine
Cl
Elementarwelle au . Ihr Radius wächst in der Zeit ~ auf die Größe A E = r = C2a an.
Cl
Cl
Der in der Mitte zwischen ] und 2 laufende Strahl 3 erreicht die Grenzfläche im Punkt
C. Die hier entstehende Elementarwelle erreicht bis zum Eintreffen de Strahl 2 nur den
halben Radius r /2. Die neue Wellenfront im Medium M2 i t nach dem HUYGENS chen
Prinzip die Tangente an diese Halbkrei e.
Angenommen, e gilt C2 < Cl. Dann muß der Radius r der Elementarwelle kleiner sein als
Q. Das hat zur Folge, daß die im Medium M2 entstandene Wellenfront D E nicht parallel
zur ursprünglichen Wellenfront ABi t, sondern einen bestimmten Winkel mit ihr bildet.
Dadurch verlaufen auch die Wellenstrabien J I und 2 I im Medium M2 nicht als geradlinige
Fort etzung der Strahlen] und 2, sondern ertahren in der Grenzfläche einen Knick. Sie werden nach dem in A errichteten Einfallslot hin gebrochen. Für die auf B ild 15.4 angegebenen
Winkel 8} und 82 ergeben ich jetzt die Beziehungen sin 81
. a1 0 emerselt
.
. -a = -Cl und and erer elts
. -a
1st
r
C2
r
SNELLIUS 1620 formulierte
81
sm82
SIll
Brechungsgesetz
=
a
AD
und in 82
=
r
.
E
AD
sm
. von
. 81 . D arau f 0 1gt da bereIt
sm 82
(15.1)
Einfallender Strahl, Einfallslot und gebrochener Strahl liegen in einer Ebene.
Der Sinus des Brechungswinkels ist dem Sinus des Einfallswinkels proportional.
Zwar trifft das Brechung gesetz ebenso wie da Reflexion ge etz, für alle Wellen arten zu
bekannt i te aber haupt ächlich au der Optik. Bei Wa serwellen z. B. läßt ich die Bre-
236
15
Reflexion, Brechung und Beugung
chung beim Übergang von tiefem auf seichtes Wa ser beobachten, da im eichten Wa er
die Pha engeschwindigkeit kleiner wird.
Ein intere antes Phänomen tritt bei der Wellen ausbreitung auf, wenn die Phasenge chwindigkeit C2 größer i t als CI. In diesem Fall ist das Verhältnis ~n c immer kleiner al 1. Da
l
SillC2
der Brechung winkel maximal 90° erreichen kann, wird die Welle für alle Einfall winkel,
die größer als arc in
:..!.
sind, total reflektiert. Totalreflexion spielt vor allem in der Optik
C2
eine besondere Rolle (Lichtwellen/eiter).
15.4
Beugung
Bleibt schließlich noch die Beugung als typisches Wellenphänomen. Gerade hier erweist
ich da HUYGENS-FRESNEL-Prinzip als besonders hilfreich. Als einfachstes Beispiel sei
die Beugung am Doppelspalt behandelt, wobei eine ebene Anordnung gewählt wird, wie
ie auch mit Wasserwellen reali jert werden kann. Der Doppelspalt besteht dann aus zwei
gleichartigen Öffnungen in einer sonst undurchlässigen Barriere (Bild 15.5).
Max Min MaxMin Max
•
•
•
Bild 15.5: Interferenzen von Elementarwellen
an einem Doppelspalt
Die Größe der Öffnungen oll so bemessen sein, daß von ihnen nur jeweils kreisförmige
Elementarwellen ausgehen können. Auslöser dieser Elementarwellen sollen ebene Wellen
ein, die enkrecht auf die Grenzlinie treffen, wodurch die Gleichzeitigkeit oder Kohärenz der Ereignisse gewährleistet ist. Die Ausbreitung der beiden Elementarwellen führt
zu Interferenzen, wie ie bereits im Kapitel 14 beschrieben wurden. Faktisch entspricht
die Beugung am Doppelspalt dem Fall zweier synchron chwingender Sender. Die Orte
der Ver tärkung und Schwächung der beiden Teilwellen findet man wieder auf den dort
genannten Hyperbeln.
Welche Größe müs en die Spaltöffnungen haben, damit nur Elementarwellen austreten?
Eine Antwort darauf liefert ebenfalls der Doppelspaltversuch. Verringert man den Abstand
der beiden Spalte so nimmt auch die Anzahl der Wellentäler und -berge ab, bis schließlich
kein Interferenzmuster mehr erscheint. Die beiden Elementarwellen verhalten sich dann zuammen wie eine einzige. Unter dieser Voraussetzung spielt es auch keine Rolle mehr, ob
die bei den Spalte getrennt oder miteinander verbunden sind. Erreicht wird dieser Fall, wenn
der Gangunter chied zweier Strahlen kleiner als die halbe Wellenlänge wird, d. h. wenn
In - '21 < )../2 gilt. Der maximale Gangunterschied ist aber gerade durch den Spaltabtand gegeben wa bedeutet daß die Bedingung für die Erzeugung von Elementarwellen
lautet: die Spaltbreite muß kleiner als )../2 sein. Bei Lichtwellen liegt die Wellenlänge im
16.1
237
lJ.m-, bei Schallwellen im dm-Bereich. Ein Baßlautsprecher mit 20 cm Durchmesser verhält ich also wie eine punktformige Schallquelle, während eine entsprechende Lichtquell~
nur mikroskopi che Abme ungen haben darf.
Ist die Spaltbreite größer als A/ 2, 0 treten Gangunterschiede zwischen den einzelnen Elementarwellen auf, die nicht mehr ignoriert werden können. Je nach Geometrie der Spaltanordnung entstehen dabei unter chiedliche Interferenzmuster. Beispiele hierfür werden im
Kapitel 32 aufgeführt.
16 Schallwellen
Schall ist der Oberbegriff für mechanische Schwingungen und Wellen in elastisch deformierbaren Medien. Ist das Medium gasförmig, so spricht man von Luftschall, bei Flüssigkeiten von Flüssigkeitsschall und bei festen Körpern von Körperschall. Letzterer Fall Uffifaßt auch au gedehnte Strukturen wie Maschinenbauteile oder Konstruktionen. Den Raum,
der von Schallwellen erfaßt wird, nennt man, insbesondere bei Luftschall das Schallfeld.
In Flüssigkeiten und Gasen können sich Schallwellen nur longitudinal, in Festkörpern dagegen auch transversal zur Ausbreitungsrichtung ausbreiten. Bei der Körperschallausbreitung in Platten und Stäben sind auch Torsions- und Biegewellen möglich.
Eine weitere Klassifizierung von Schall erfolgt nach der Schwingungsjrequenz: Als infraschall bezeichnet man Schall mit Frequenzen zwischen 0 und 16 Hz. Hierzu gehören z. B. qebäudeschwingungen und Verkehrserschütterungen. Hörschallliegt im Bereich
zwischen 16 Hz und 20 kHz, wobei die obere Hörgrenze u. a. eine Frage des Lebensalters i 1. Beethoven wurde auf seine beginnende Taubheit dadurch aufmerksam, daß er eines
Tages da hohe Zwitschern der Fledermäuse nicht mehr hörte. Ultraschall i t die Region
oberhalb von 20 kHz bis etwa 1 GHz. Schall mit noch höheren Frequenzen nennt man
Hyperschall. Die Obergrenze für die Frequenzen mechani eher Schwingungen liegt in der
Nähe von 10THz. Bei so hohen Frequenzen schwingen einzelne Atome gegeneinander.
Das Teilgebiet der Physik, das sich mit der Erzeugung der Übertragung und dem Empfang
von Schall be chäftigt, ist die Akustik. Ursprünglich war sie auf den Bereich des menschlichen Hören begrenzt.
Zur Kennzeichnung von Schallwellen dienen zum einen die üblichen Größen, mit denen
Schwingungsvorgänge sowie die Au breitung von Wellen beschrieben werden. Darüber
hinaus werden aber in der Akustik zusätzliche Meßgrößen benötigt, um die Besonderheiten
von Schallwellen zu erlas en.
16.1
Schallausschlag, Schallschnelle
Die Auslenkung von Teilchen, auch als Schallausschlag bezeichnet pielt al Meßgröße eine geringe Rolle, da ie i. al1g. viel zu klein ist, um direkt nachgewie en werden zu
können. In Bild 16.1 ist al Bei piel die mit einem Mikroskop ichtbar gemachte Schwingung bewegung von Schwebeteilchen bei Luftschall wiedergegeben. Die hellen Striche
Optik
2S Wesen und Ausbreitung des Lichtes
25.1
Wesen des Lichtes
Die Auffassungen über das Wesen des Lichtes haben sich im Laufe der Zeit mehrfach verändert. In unmittelbarer Weise ist das Licht eine Sinnesempfindung und gehört damit in
den Bereich der Physiologie. Die Ursachen dieser Empfindung, d. h. die ihr entsprechenden physikalischen Vorgänge, werden ebenfalls als Licht bezeichnet. Sie gehören zu einer
Gruppe von physikalischen Erscheinungen, die nicht unbedingt sichtbar zu sein brauchen.
Licht gehört zu den elektromagnetischen Wellen, von denen der Mensch nur einen schmalen Bereich zwischen den Wellenlängen 380 nm und 780 nm wahrnimmt. Über die Lichtgeschwindigkeit (s. 25.2) c = AI ergeben sich daraus Frequenzen zwischen 384 THz und
789 THz. Das menschliche Auge nimmt also etwa eine Oktave des Spektrums der elektromagnetischen Wellen wahr (s. Bild 25.1). In den üblichen Bereich der physikalischen Optik
gehören außerdem die an den sichtbaren Bereich angrenzenden Gebiete des kurzwelligen
ultravioletten Lichtes und des langwelligen ultraroten (infraroten) Lichtes einbezogen.
Obwohl die meisten optischen Geräte in den genannten Wellenlängenbereichen arbeiten,
umfaßt Optik im weitesten Sinne Wellenlängen zwischen 100 nm und 1,00 rnm.
Wenn in der Physik die Optik als Lehre vom Licht in einem besonderen Abschnitt hervorgehoben wird, so geschieht dies im Hinblick auf deren Bedeutung für die menschliche
Kultur und die zahlreichen technischen Anwendungen.
Bei seinen Überlegungen über das Wesen des Lichtes wurde von NEWTON (1672) eine
Teilchentheorie (Korpuskulartheorie) entwickelt. Danach sendet eine Lichtquelle kleinste Lichtteilchen (Korpuskeln) aus, die sich mit sehr großer Geschwindigkeit geradlinig
ausbreiten. Sie gelangen direkt oder über Reflexionen ins Auge und lösen dort Sinne empfindungen aus. NEWTON konnte damit Reflexion und Brechung des Lichtes erklären.
Die Erscheinungen der Interferenz und der Beugung waren jedoch mit NEWTONS Auffassung vom Wesen des Lichtes nicht erklärbar. Sie konnten durch die Wellentheorie des
Lichtes (HUYGENS [1678] und später YOUNG [1803]) gedeutet werden. Die zuerst vertretene Meinung, Licht sei eine Longitudinalwelle in einem besondern Medium, einem das
Weltall erfüllenden "Äther", mußte mit der Entdeckung der Polarisation (MALUS [1808]
und FRESNEL [1815]) revidiert werden: Licht stellt eine Transversalwelle dar.
MAXWELL erkannte schließlich 1865, daß Licht eine elektromagnetische Transversal-
welle ist. Seine nach ihm benannten Gleichungen (s. 42.5) haben olche Wellen al Lösung,
wobei sich alle elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit (s. 25.2) au breiten. Alle damals bekannten Gesetze der Optik konnten daraus hergeleitet werden.
340
25
Wellenlänge
Frequenz
Art der Strahlung
We en und Ausbreitung des Lichtes
Anwendung
1()4
1()4
Langwellen
10S
m
1(P
1()6
N
c::
Mittelwellen
CI>
1CJ2
:;)
107
er
~
J:::
10'
Kurzwellen
(,)
1()8
~
CI>
J:::
100
Ultrakurzwellen
(,)
1()9
.~
c::
J:::
1(}'
(,)
10'0
~
1(}2
Mikrowellen
Fernsehen
Vielfachtelefonie
Radartechnik
Wärmestrahlung
Medizin
Infrarotspektroskopie
10"
~
Rundfunk
und
Telegrafie
1Q-3
10'2
1Q-4
10'3
1(}5
Infrarot
10'4
1(}6
10'5
sichtbares Ucht
1(}7
10'6
Ultraviolett
1()-8
Beleuchtung
LaserSpektroskopie
1017
1(}9
f
10'8
1(}10
1(}11
Röntgenstrahlung
Hz
J
10'9
1CJ2°
Gammastrahlung
Medizin,
Grobstrukturund
Feinstrukturanalysen
1(}12
Bild 25.1 a: Spektrum der elektromagnetischen Wellen (ungefähre Bereiche). Die Übergänge der Strahlenarten und der Anwendungsbeispiele sind fließend, sie überlappen sicb
mehr oder weniger.
Bis dahin war es noch nicht gelungen, den "Äther" nachzuweisen. Sehr genaue Experimente von MICHELSON (s. 31.4 und 48.1) zeigten, daß es den "Äther" nicht gibt. Die
elektromagnetischen Transversalwellen benötigen kein Trägermedium und breiten sich in
allen Richtungen unabhängig vom Bezugssystem mit der gleichen Geschwindigkeit aus.
EINSTEIN po tulierte 1905 daraus das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit,
welches ihn zur spezieUen Relativitätstheorie führte.
War man also gegen Ende des 19. Jahrhunderts von der Wellentheorie des Lichtes überzeugt, zeigten um die e Zeit einige Experimente Ergebni se, die mit Lichtwellen nicht
erklärt werden konnten. Bei Emission und Absorption von Strahlung also immer, wenn
Licht und stoffliche Materie wechselwirken versagte die Wellentheorie. PLANCK (1900)
und EINSTEIN (1905) konnten mit der Einführung der Lichtquantenhypothese auch die-
25.2
Ausbreitung des Lichtes
341
se Versuche erklären, womit Licht gewissermaßen wieder als Teilchenmodell aufgefaßt
wurde.
Somit gibt e zwei Lichttheorien, die, nebeneinander genutzt, die Erkenntnisse über das
Licht zu Beginn des 20. Jahrhunderts beschreiben konnten: Man spricht vom Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes, der erst in der Quantenelektrodynamik theoretisch einheitlich, aber nicht mehr anschaulich vorstellbar, be chrieben werden konnte.
Die als Licht im Sinne der Optik zu verstehende elektromagnetische Strahlung ent teht
durch sprunghafte Energieabgabe der Valenzelektronen in Atomen oder Molekülen sowie
bei Elektronenübergängen zwischen den Energiebändern von Festkörpern. Zuvor mußte
jedoch Energie zugeführt werden. Dies kann durch verschiedene Vorgänge geschehen, von
denen einige Beispiele folgen:
Temperaturstrahler sind Körper aller Aggregatzustände, bei denen die Energiezufuhr bei
relativ hohen Temperaturen als Wärmeenergie erfolgt. Alle festen und flüssigen glühenden
Körper sowie alle Flammengase senden daher sichtbares (und auch unsichtbares) Licht au
(Sonne, Fixsterne, Glühlampe, Schmelzen von Metallen und Gläsern, Kerzen- und Gasflammen).
Lumineszenz ist die Aussendung von Licht sowohl bei niedrigen als auch bei höheren
Temperaturen (s. 51.7). Sie unterscheidet sich von den Temperaturstrahlern durch den Anregungsmechnismus. Man unterscheidet
Elektrolumineszenz: Glimmlicht elektrisch angeregter Gase und fester Körper, also Umwandlung elektrischer Energie in Licht (Glimmlampe, Leucht tofflampen, Lichtemitterdioden), und
Chemolumineszenz: Die Anregung zur Lichtaussendung erfolgt hier durch chemische
Vorgänge in den betreffenden Stoffen (Leuchtkäfer, faulendes Holz, kalt leuchtender Phosphor).
Fluoreszenz: Körper leuchten unmittelbar nach Auftreffen anderer, energiereicherer Strahlung auf. Es handelt sich hier um Absorption von Strahlung energie und ofortige Abgabe
von Strahlung (Röntgenschirm, fluoreszierende Stoffe in Leuchtstofflampen).
Phosphoreszenz: Im Gegen atz zur Fluoreszenz wird hierbei die durch die auftreffende Strahlung absorbierte Strahlungsenergie nicht sofort abgegeben, sondern die Lichtau sendung erfolgt z. T. über einen längeren Zeitraum. Die auftreffende Strahlungsenergie
wird nach zwischenzeitlicher Speicherung al Lichtstrahlung au ge endet (Leuchtzifferblatt, Leuchtfarben).
25.2
Ausbreitung des Lichtes
Bei allen mit Licht angestellten Experimenten hat man es stets mit mehr oder weniger breiten Lichtbündeln zu tun. Oft kann die Breite eines solchen Bündel vernachlässigt und mit
Strahlen gerechnet werden. Diese sind aber keine physikali ehen Gebilde mehr, ondern
mathematische, enkrecht zu den Wellenfronten verlaufende Geraden, deren Verlauf ich
mit Zirkel und Lineal konstruieren läßt.
Soweit diese Verfahren durchführbar i t, pricht man von Strahlen- oder geometri eher
Optik.
25
342
I
Wesen und Au breitung des Lichtes
Ultrarot
( Infrarot)
1000
IR-A
(bis 1400)
nm
800
780
rot
700
650
orange
600
Fgelb geIbgrun
..
I-
..
500 I-grun hlauarun
blau
violett
400
300
UV-A
UV-B
200
UV-C
(bis 10)
585
575
530
515
485
Bereich des
sichtbaren Lichtes
425
380
315
280
Ultraviolett
Bild 25.1 b: Der Bereich des sichtbaren
Lichtes und die unmittelbar angrenzenden Strahlungen. Die Übergänge
der Farbempfindungen sind fließend.
Der Begriff der Lichtstrahlen stammt eigentlich aus der Tei1chentheorie. Hier wird der
zurückgelegte Weg der Korpuskeln durch einen geraden Strahl beschrieben. Jedoch wird
der Licht trahl auch in der Wellentheorie für die Ausbreitung der Wellenfronten genutzt.
Eine weitere Vereinfachung wird hinsichtlich der Lichtquellen getroffen, die man häufig als
punktförmig annimmt. In Wahrheit gibt es jedoch nur leuchtende Körper, die aus zahlloen lichtaussendenden Atomen bestehen. Die Oberfläche ausgedehnter leuchtender Körper
behandelt man dann so, als ob sie aus einzelnen leuchtenden Punkten bestünde:
Jeder Punkt eines leuchtenden Körpers sendet ein divergentes (auseinanderlaufendes) Strahlenbündel aus.
Strahlenbündel werden meistens durch Blenden begrenzt. Das Divergieren der Strahlen ist
aber auch dann vorhanden. Lediglich bei ebenen Wellen, die u. a. von Lasern ausge endet
werden verlaufen die Strahlen parallel.
Mit den Methoden der geometrischen Optik können eine Vielzahl optischer Probleme, so
z. B. die Bildentstehung an Spiegeln, Linsen und optischen Geräten, beschrieben werden.
Beim Mikroskop wird zusätzlich die Beugung des Lichtes benötigt, die nur mit der Wellentheorie be chrieben werden kann. Man erkennt daraus:
Die geometrische Optik oder Strahlenoptik läßt sich immer dann anwenden,
wenn die Gegenstände sehr viel größer sind als die Wellenlänge des Lichtes.
Die Geschwindigkeit, mit der sich das Licht im Vakuum ausbreitet, ist eine für die Phyik fundamentale Größe. Ihre erste Bestimmung und damit der Nachweis, daß Licht eine
endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit hat, gelang RÖMER (1692): E war eine astronomi che Methode, denn er bestimmte die Lichtgeschwindigkeit au der Verfinsterung dauer
de Jupitermonde Jo. Von den vielen später durchgeführten Meßmethoden wird hier nur
die his tori ch wichtige von FrzEAu (1849) geschildert.
26.1
343
Ebener Spiegel
S2
S1
IF=-=~=-~~--~--.
Bild 25.2: Zabnradver uch nach FIZEAU
Das Licht breitet sich bei diesem Ver uch in Luft aus.
Durch ein Zahnrad Z mit 720 Lücken wurde über den halbdurchlässigen Spiegel S Lein
Lichtstrahl nach dem 8
1
3
km entfernten Spiegel S2 ge andt und dort reflektiert (Bild 25.2).
Bei stillstehendem Rad ah FIZEAU da Licht durch dieselbe Lücke zurückkommen. Als
das Rad aber mit einer Drehfrequenz f = 12,5 s-1 rotierte trat völlige Verdunklung ein.
Der zurückkehrende Strahl fand einen Weg durch den folgenden Zahn versperrt, d. h., nach
2n
~~
einem Drehwinkel Da<p = - - rad bzw. nach der Zeit Dat = - hat da Licht den Weg
IMO
w
~s
= 2.8
I
3
km zurückgelegt. Die Lichtgeschwindigkeit i t al
Das
Dasw
2n f Da
C=-=--=--Daf
~~
Da~
c
=
0
2n . 12 5 -1·2·8 33 km
' 2n
'
--rad
1440
= 300000 km/
Heute ist bekannt, daß die Lichtge chwindigkeit im Vakuum die größte Ge chwindigkeit
ist, mit der sich Energie im Raum ausbreitet. Die Vakuurnlichtgeschwindigkeit wird heute
als Naturkonstante fehlerfrei aufgefaßt und dient zur Definition der Ba i einheit Meter.
I co = 2, 997 92458 . 10
8
m -1
i
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
(25.1 )
In anderen Medien ist die Lichtgeschwindigkeit geringer ( . Abschnitt 27.1).
26 Reßexion des Lichtes
26.1
Ebener Spiegel
Bereits in der allgemeinen Wellenlehre in 15.2 wurde das Reflexionsge etz abgeleitet:
Einfallender und reflektierter Strahl bilden mit dem Einfallslot gleiche Winkel.
Einfallender Strahl, Einfallslot und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene.
Seine bekannte te Anwendung i t der ebene Spiegel.
356
27
Brechung (Refraktion) de Lichtes
Hiernach kann man die Brechzahl einer durchsichtigen dünnen Platte be timmen. Man
stellt mit dem Mikroskop zuerst einen Punkt der Oberfläche und dann einen Punkt an der
Unterseite der Platte scharf ein. Die Differenz beider Ein teIlungen gibt die cheinbare
Dicke, während die wahre Dicke direkt gemessen werden kann.
27.2 Prisma
Au dem in Bild 27.7 gezeigten Strahlengang ist ersichtlich:
Ein auf die Seitenfläche des Prismas faUender Strahl wird von der brechenden
Kante K weg gebrochen. Der Winkel, unter dem sich die Seitenflächen der
brechenden Kante treffen, heißt brechender Winkel w.
Bild 27.7: Gesamtablenkwinkel
Bild 27.6: Brechung im Prisma. Die Eintrittsebene reflektiert etwas Licht.
Nach Bild 27.7 ist der Gesamtablenkwinkel <fJ zwischen ein- und ausfal1endem Strahl
= a + r (Außenwinkel und nichtanliegende Innenwinkel)
Mit w = ß + Y (desg1.), a = a - ß und r = e - Y wird
<fJ = a - ß + e - y und damit
<fJ
(27.8)
Gesamtablenkwinkel
1<fJ=a+e-wl
Es ergeben ich zwei Spezialfälle:
1. Der Gesamtablenkwinkel ist ein Minimum <fJmin, wenn der Strahl das Prisma symmetrisch durchsetzt.
.
Dann WIrd a
= e und ß = y
und daraus ß =
(j)
-
2
und a
=
<fJmin
+ .
(j)
2
Die Anwendung de Brechungsgesetzes liefert
.
ma
in ß
In
<fJmin
+w
2
----7':---
. w
sm2
=n
(27.9)
27.3
Totalreflexion
357
und darau die Möglichkeit, aus den leicht meßbaren Winkeln wund CPmin die Brechzahl
n zu bestimmen.
2. Das Prisma ist ein dünner Keil. Für den Ablenkwinkel cP gilt dann bei nahezu enkrechtem Lichteinfall
I cp ~ (n Beweis: Es wird a
27.3
l)w
~
Gesamtablenkung bei kleinem
brechendem Winkel
I
nß, e
~
ny , cp
~
n(ß
+ y)
- w und daraus
({J ~
(27.10)
w(n - 1).
Totalreflexion
Tritt ein Strahl aus einem dichteren Medium in ein dünneres über, so wird ein Teil des Lichtes nach innen zurückgeworfen. Nach Überschreiten eines bestimmten Grenzwinkels ßgr
gelangt kein Licht mehr ins dünnere Medium (Bild 27.8). Der Strahl wird dann vollständig
nach innen reflektiert. Man nennt dies Totalreflexion (Bild 27 .9).
4
Bild 27.9: Totalreflexion in einer mit Was er
gefül1 ten Wanne
Bild 27.8: Zur Entstehung der Totalreflexion
(ß > ßgr)
Beim Erreichen des Grenzwinkels hat der Austrittswinkel a seinen größtmöglichen Wert,
nämlich 90°, erreicht. Der austretende Strahl müßte in diesem Fall streifend an der Grenz.
sma
fläche entlanglaufen. Wegen sm a = 1 und - . - = nl 2 ist daher
sm ß
. ßgr = -1
SIn
1'l1 ,2
'
Grenzwinkelbeziehung der
Totalreflexion
(27.1 1)
Von dieser totalen Reflexion macht man bei opti chen Instrumenten Gebrauch, weil Le
vollkommener als bei metallbelegten Spiege1n ist (Bild 27.10).
Mit der Totalreflexion des Lichtes ist auch die Möglichkeit gegeben, Licht sich in einer
Glasfaser au breiten zu lassen. Man spricht hier von Lichtleitung und nennt die Glasfa em
Lichtwellenleiter . Obwohl die Faser nicht gerade i t, verläßt das Licht ie unter bestimmten Bedingungen nicht. Dies ist im Bild 27.11 vereinfacht dargestellt unter der Annahme,
27
358
Brechung (Refraktion) des Lichtes
1 .............-------+~
2---------~~~
2--.-------~~~
1 -_---------i~
a)
b)
Bild 27.11: Prinzip der Lichtübertragung in
einer Glasfaser
Bild 27.10: Totalreflexion
im rechtwinkligen Prisma:
a) Reflexionsprisma,
b) Umkehrprisma
Bild 27.12: Totalreflexion im Lichtlei ter
(zu Beispiel 3)
daß die Gla fa er kon tante Brechzahl hat und außerhalb Luft ist. Diese Annahme wurde
auch im folgenden Bei piel 3 gemacht (Bild 27.12).
Bei der Nutzung der Lichtleitung, wie z. B. zur Beleuchtung unzugänglicher Stellen in der
Technik und der Medizin, zur Materialbearbeitung mittels starker Laserimpulse oder auch
zur Nachrichtenübertragung, werden entweder Stufenindexfasern oder Gradientenfasern
genutzt.
Beide Arten von Gla fa em bestehen aus einer Kernfaser und aus einem Fasermantel. Sie
haben gemein am, daß die Kembrechzahl nK größer als die Mantelbrechzahl nM ist. Der
Unter chied be teht darin, daß bei der Stufenindexfaser nK über den gesamten Kernquerchnitt kon tant ist, während nK bei der Gradientenfaser von einem Maximum in der Kemmitte kontinuierlich bi zu Beginn des Mantels abnimmt und dort gleich nM ist. Dies ist in
den Bildern 27 .13b und 27 .14b prinzipiell dargestellt. Der Lichtstrahl bleibt durch Totalreflexion im Kern, wenn ein maximaler Eintrittswinkel Q:max nicht überschritten wird (s. Bild
27.13a und 27.14a).
Wegen de veränderlichen IlK bei der Gradientenfaser beschreibt der Lichtstrahl hier im
Kern einen Bogen.
Die Abmessungen von Kern und Mantel sind unterschiedlich. lYpische Werte liegen bei
dK = 100 j.Lm und dM = 150 j.Lffi. Die Brechzahlen unterscheiden sich meist sehr wenig
und liegen für nK bei 1,47 und nM bei 1,45, woraus sich ein maximaler Einfallswinkel von
etwa 14 0 ergibt.
Bei piele:
I. Begründen Sie die Totalreflexionen in den Prismen des Bildes 27. 10!
Die Brechzahl für Gla liegt zwi ehen 1,40 und 1,70. Damit erhält man aus sin ßgr = ljn für ßgr
Werte zwi ehen 36,0° und 41,8 0 • Der auf die Grenzfläche Glas - Luft auftreffende Strahl hat den
Einfalls winkel ß 45° > ßgr.
=
27.3
Totalreflexion
359
Mantel
Mantel
Kern
Kern
Luft
a)
Luft
a)
,
_---4--......-- n
......-
b)
K
= 1,47
nM
=1,45
Verlauf von nK
b)
1
1
1
1
1
1
_-4--+---L---+--+--"
1
:..
dK
.1,
1
x
1
n =1
1
-+--+---~----+-I
--+_
1
1
I..
Bild 27.13: a) Prinzip einer Stufenindexfaser,
b) Brechzahlverlauf
.!
n=1
x
Bild 27.14: a) Prinzip einer Gradientenfa. er,
b) Brechzahlverlauf
2. Wodurch entstehen Luftspiegelungen?
Über dem durch Sonnenein trahlung stark erhitzten Boden entsteht eine heiße Luft chicht, die gegenüber der darüberliegenden kälteren Schicht das opti ch dünnere Medium i t. omit können Lichttrahlen, von einem höher liegenden Gegenstand ausgehend, bei be timmten Beobachtungswinkeln
durch Totalreflexion ge piegelt werden.
3. Wie groß muß die Brechzahl der im Bild 27.12 dargestellten Gla fa er ein, damit das mit einem
Einfallswinkel abis 90° eintretende Licht an der Grenzfläche Glas - Luft total reflektiert wird und
nach beliebig vielen Reflexionen wieder austritt?
Nach Bild 27.12 und dem Brechung gesetz ist sina = n in(900 - ß).
Bei Totalreflexion muß sinß > sinßgr = Iln sein. Da inß = ..jr-"i-'-_-c-o--=-2-ß, folgt
sin ß =
K
1-
2
in a
2
n
= -1)n2
n
- sin
Für den größtmöglichen Einfallswinkel a
also n :::: .Ji = 1, 4 sein.
2
a:::: -1
n
2
2
oder n - sin a:::: I
= 90° ergibt
ich hieraus n 2 - 1 :::: 1 oder n 2 :::: 2; e muß
360
28 Zerlegung des Lichtes (Dispersion)
28.1
Dispersion
Die Zerlegung des weißen Lichtes (z. B. Sonnenlicht) in seine Spektralfarben durch ein
Prisma beruht auf der Dispersion. Oft wird die Zerlegung de Lichte elbst al Disper ion
bezeichnet, jedoch gibt es für diesen Begriff eine exakte Definition (s. Gleichung (28.1)).
L
weiß J
---I
BI
Bild 28.1: Dispersion: B Spaltblende, L Sammellinse, die
ohne Prisma auf dem Schirm S ein Bild de Spaltes entwirft
Fällt weißes Licht nach Bild 28.1 auf ein Prisma, wird es nicht nur gebrochen und dadurch
abgelenkt, sondern auf dem Schirm S erscheint ein Spektrum. Weißes Licht enthält somit
alle vom menschlichen Auge wahrnehmbaren Farben. Die ungefähren Farbbereiche und
die dazu gehörigen Wellenlängen des Lichtes ind ( . auch Bild 25.1 b):
rot
A in nm
orange
780 650
gelb
585
grün
570
blau
480
violett
430
380
Aus der Zerlegung des Lichtes schließt man, daß jede Lichtwellenlänge eine andere Brechzahl hat. Ursache für die Dispersion sind die unterschiedlichen Werte der Gruppengechwindigkeit C (Geschwindigkeit, mit der sich die Lichtwelle und damit die Energie ausbreitet) und der Phasengeschwindigkeit CPh (Geschwindigkeit, mit der sich ein Zustand
gleicher Schwingungsphase innerhalb der Welle bewegt). Beide sind nur dann gleich, wenn
CPh nicht von der Wellenlänge abhängt. In diesem Fall ist keine Dispersion vorhanden. In
der Regel ist CPh von A abhängig, d. h., bei den meisten praktischen Anwendungen ist die
Gruppengeschwindigkeit c kleiner als die Phasengeschwindigkeit CPh. Dies ist auch bei der
Lichtbrechung im Prisma der Fall. Rot mit der größten Wellenlänge wird am wenigsten,
Violett mit der kleinsten am stärksten gebrochen. Die en Fall nennt man normale Dispersion. Wenn c > CPh ist, spricht man von anomaler Dispersion. Ob normale oder anomale
Di per ion vorhanden ist, hängt vom Stoff ab.
Bei normaler Dispersion nimmt die Brechzahl mit zunehmender Wellenlänge
ab. (Lichtbrechung im Prisma)
Brechzahl und Wellenlänge sind aber nicht indirekt proportional, d. h., die Brechzahl eines
Stoffes gilt nur für die Wellenlänge, die dazu angegeben wird.
Die Dispersion wird als Differenz zweier zu verschiedenen Wellenlängen gehörenden
Brechzahlen definiert, ist also gewissermaßen ein Maß für die Breite eines Spektrum.
Gewöhnlich wird die mittlere Dispersion Omed angegeben, die auf die Fraunhoferschen
28.1
Di persion
361
Linien C und F (s. 28.2) bezogen wird. Sind nF und nc die Brechzahlen für die Wellenlängen 486,1 nm und 656,3 nrn, gilt
I
Dmed
= nF -
nc
I
Mittlere Dispersion
(28.1)
Als relative Dispersion Drei bezeichnet man den Quotienten
nF - nc
nD
(28.2)
Relative Dispersion
Drei = - - -
-1
Hierin ist nD die Brechzahl für die D-Linie mit Ä = 589, 3 nm.
Der reziproke Wert der relativen Dispersion wird als Abbesche Zahl Vo bezeichnet:
nD -1
VD=---
(28.3)
Abbesche Zahl
Brechzahlen, zugehörige Wellenlängen, mittlere Dispersion und
Abbesche Zahl einiger Stoffe
Stoff bei 20
oe
Brechzahl und zugehörige Wellenlänge
mittlere
Dispersion
AB B E
8med
VD
nC
no
nF
656,3 nm
589,3 nm
486,1 nm
Benzen
1,49633
1,50132
1,51338
0,01705
29,403
Propantriol
1,46719
1,46949
1,47490
0,00771
60,894
Quarzglas
1,45682
1,45886
1 46358
0,00676
67,879
Wasser
1,33115
1,33299
1,33712
0,00597
55,777
ehe Zahl
Bei optischen Gläsern liegen die Brechzahlen nc zwischen 1,51 und 1,74 (z. B. Kronglas
BK7 1,51661 und Flintglas SF3 1,73976), die mittlere Disper ion zwischen 0,01 und 04
owie die ABBEsche Zahl zwischen 65 und 20.
Bezieht man die Brechzahlen auf die Linien F' und C' mit den Wellenlängen 480,0 nm
und 643,8 nm, nennt man die Gleichung (28.1) Hauptdispersion DH = nc, - 1lF'. Die
ABBEsche Zahl für die Hauptdispersion wird mit Ve bezeichnet. DH und Ve werden meisten
für die Kennzeichnung optischer Gläser verwendet.
°
Bild 28.2: Aehromati ehe Pri ma
Während gewöhnliche Prismen das Licht zerlegen, oll das achromatische Pri ma (Bild
28.2) die Licht trahlen ablenken, jedoch keine oder eine möglich t geringe Zerlegung hervorrufen. Solche Prismen bestehen aus einer geeigneten Kombination von Krongla und
362
Flintglas mit unterschiedlichen Brechzahlen. Die brechenden Winkel der beiden Teilprismen sind so bemessen, daß die Farben Rot und Blau gleiche Ge amtablenkung haben, d. h.,
ie treten paral1el aus dem achromatischen Prisma aus. Man erkennt, daß eine strenge Farbkorrektur mit dieser Anordnung nicht möglich ist.
28.2 Spektren
In der Optik ver teht man allgemein unter einem Spektrum die Abhängigkeit der Strahlungsintensität des Lichtes von der Wellenlänge oder der Frequenz. Die Zerlegung des
Lichtes kann mcht nur durch Brechung in Prismen, sondern auch durch Beugung am Beugungsgitter (s. 32.2) erfolgen, wobei dann der Ablenkungswinkel CBeugungswinkel) der
Wellenlänge proportional ist. In beiden Fällen entstehen unterschiedliche Arten von Spektren, je nachdem, ob die Strahlung von Festkörpern, Flüssigkeiten, Molekülen oder Atomen
in der gasförmigen Phase ausgesendet wird.
Kontinuierliches Spektrum:
Hierbei handelt es sicb um ein Spektrum, welches aus einer lückenlosen Folge ineinander übergehender Farben besteht, also alle Wellenlängen enthält. Es entsteht bei allen festen und flüssigen Strahlern, die z. B. thermisch angeregt wurden. Diese Strahler (Sonne,
Fixsterne, Glühlampe, glühende Flüssigkeiten) senden ihre Strahlung als "weißes" Licbt
(polychromatisches Licht) aus, welches zerlegt ein kontinuierliches Spektrum ergibt.
Linienspektrum:
Das von leuchtenden Gasen oder Dämpfen, die aus Atomen oder Ionen bestehen, ausgehende Licht ergibt ein aus einzelnen Linien bestehendes Spektrum. Ein solches Emissionsspektrum wird daher Linienspektrum genannt. Jeder Linie entspricht eine Lichtwellenlänge. Die
Entstehung der Linienspektren ist aus dem Aufbau der Atomhülle zu verstehen (s. 51.3).
Jedes Atom endet entsprechend den Energiezuständen der Elektronen in der Atomhülle
andere Wellenlängen aus, was sich durch unterschiedliche Spektrallinien zeigt.
Jedes Element hat ein charakteristisches Linienspektrum.
So ist z. B. das Spektrum einer Na-Dampf-Flamme im sichtbaren Bereich nur eine Spektra1Iinie (Gelb, D-Linie genannt, ). = 589,3 nrn). Präzisionsmessungen wiesen diese Linie als Doppellinie aus, deren Wellenlängen eng benachbart sind CD] -Linie mit 589,0 nm
und D2-Linie mit 589,6 nm): Das Na-Liebt ist also praktisch monochromatisch (einfarbig)
und dient daher als Bezugswellenlänge zur Angabe von Brechzahlen. Monochromatisches
Licht anderer Wellenlängen kann mit anderen Lichtquellen erzeugt werden, wenn man das
Licht mittels Prisma oder Gitter zerlegt (Monochromator) und die gewünschte Wellenlänge
ausblendet. So kann z. B. aus dem Licht einer Hg-Dampf-Lampe im sichtbaren Bereich die
Wellenlänge 546,1 nrn (Grün) ausgewählt werden.
Kaliumverbindungen geben blaßrote Färbungen der Flamme. Das Kalium hat ein Linienspektrum mit fünf Linien, von denen vier im sichtbaren Bereich liegen. Die folgende Tabel1e gibt einige Beispiele an:
28.2
Spektren
363
Spektrallinien einiger chemischer Elemente
(Wellenlängen in nm in Luft von 15°C und 1013,25 hPa)
Helium
447,1480
324,754
471,3147
327,3965
492,1926
501 ,5678
521,8202
587 5623
667,8149
706,5197
Kalium
Kupfer
344,637
404,414
404,720
766,491
769,898
Calcium
315,888
317,934
Natrium
330234
330,294
Dl
D2
588,9965
Sauer toff
394,733
628,29
393,3670
396,8475
428 ,301
430,774
589,5932
686,72
760,82
Wasserstoff
397,007
434,046
486 132
656,2785
Bandenspektrum:
Werden durch Atome und Ionen Linienspektren mit wenigen Linien ausgesendet, so ent tehen durch Lichtemis ion energetisch angeregter Moleküle oft mehrere Linienanhäufungen,
die man als Bänder bezeichnet. Jede Band be teht aus zahlreichen Linien unterschiedlichen Abstandes.
Jedes Molekül erzeugt ein charakteristisches Bandenspektrum.
Die bisher genannten Spektren sind Emissionsspektren. Wegen der für jedes Element unterschiedlichen Linienspektren werden auf die er Grundlage Analyen durchgeführt. Die
dafür verwendeten Geräte heißen Spektrometer mit folgendem prinzipiellen Aufbau:
Die zu untersuchenden Proben werden elektrisch oder thermisch zur Lichtau sendung angeregt. Ihr Licht fällt durch einen feinen verstellbaren Spalt in den Kollimator (ein pezie1les Linsensystem), der die Lichtstrahlen parallel ausrichtet. Im Anschluß daran kommt
das parallele Lichtbündel auf den Monochromator (Prisma oder bei hochempfindlichen
Geräten ein Beugungsgitter) und trifft schließlich auf einen Schirm (äußer t empfindliche
Lichtdetektoren), auf dem die empfangenen Wellenlängen registriert und die Daten in der
Auswerteelektronik aufbereitet werden. Dadurch kann owohl qualitativ als auch quantitativ auf das betreffende Element geschlossen werden. Geräte, die speziell für die Untersuchung von Atomen verwendet werden, werden Atom-Emissions-Spektrometer (AES)
genannt.
Absorptionsspektrum:
Absorptionsspektren entstehen nicht durch Emission, sondern durch Absorption von Lichtwellenlängen. Gibt man beispielsweise in den Weg de weißen Lichtes in Bild 28.1 eine
durch Natrium gelb leuchtende Flamme, dann fehlt im Spektrum auf dem Schirm S die
364
gelbe a-Linie, und an ihrer Stelle i t eine dunkle Linie, eine Absorption linie. Auch andere Dämpfe erzeugen tets dort AbsorptionsHnien, wo sie ihre eigenen Emissionslinien
erzeugen würden.
Leuchtende Gase absorbieren die WeJJenlängen (Spektrallinien), die sie selbst
aussenden.
Durch Moleküle entstehen auf die gleiche Weise Absorptionsbanden.
Spektrometer, die Analysen von Absorption pektren vom.e hmen, werden Ab orption pektrometer genannt. Geräte, die peziell für die Analyse von Elementen vorgesehen sind
heißen tom..Absorptions ..Spektrometer (AAS). Bei den Atom-Absorption -Spektrometern werden die in der Gasphase befindlichen Atome oder Moleküle mit Licht bestimmter
Wellenlänge be trahl!. I t der Stoff vorhanden, der die e Wellenlänge absorbiert, ist die
Joten itat de ab orbierten Lichte im Vergleich zur einge trahlten Lichtintensität vor der
Probe der Tei1chenkonzentration in der Probe proportional.
Diepektroskopie ist ein wichtiges und unentbehrliche physikalisches Hilfsmittel der
analyti. ehen Chemie. So ist es heute möglich, Schadstoffspuren~ wie das Vorhandensein
von Schwermetallen im Trinkwasser oder in Nahrungsmitteln, in der Größenordnung von
1 pg (10- 12 g) nachzuwei en.
Spektro kopi ehe Unter uehungen wurden bereits vor fa t 200 Jahren durchgefillnt. So
wurden durch FRAU HOFER 1814 im kontinuierliehen Sonnenspektrum Ab orption linien
gefunden. die FRAUNHOF -R ehe Linien genannt werden.
Element
~~r tf~
"t:I
üJ:
&: ~
CI)
tl3
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O~
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0
c:
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(0CQ
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Wellen/linge
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e"')CO"cY)co'~0)0)0
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G'G
B
AA'
"'I'~
~
co <X>
""'lC)
Bezeichnung
\KHh
rio
G~
I :
I
I
:1
I
I
400
500
600
•
700
nm
800
Bild 28.3: Einige wichtige SpektraUinien im ichtbaren Bereich (zugehöriges Element, Wellenlänge
und Bezeichnung). Im Ab .rption spektrum der Sonne ind es FRAUNHOFER che Linien.
Auf Grund einiger FRAU OFER cher Linien wurde Helium zuerst auf der Sonne eotde' t. ehe man e auf der Erde nachwei en konnte. Heute werden pektro kopi ehe Unteruchungen nicht nur im ichtbaren, ndem auch im ultravioletten und im infraroten BeI ich durchgeführt. Prinzipi II werden S ktren auch für andere elektromagneti ehe Wellen
analy. ieTt die jedoch z. T. auf anderen phy ikah ehen Grundlag,e n ba ie~en.
29.1
Dünne Linsen
365
29 Sphärische Linsen
Bei den meisten optischen Geräten tritt Lichtbrechung an Linsen aus Gla auf, deren Oberflächen Teile von Kugelflächen sind. Dabei ist die Brechzahl der angrenzenden Medien
in der Regel kleiner als die des verwendeten optischen Glase. Kugelflächen sind relativ
einfach und mit großer Genauigkeit herzustellen. Durch Kombination mehrerer Lin en oft
unterschiedlicher Glassorte und Form können bei Abbildungen durch Linsen alle Anforderungen hinsichtlich der Bildgüte erfüllt werden.
29.1
Dünne Linsen
Die Gesetze der optische Abbildung (Linsenge etze) werden be onder einfach für dünne
Linsen. Bei diesen kann bei Berechnungen die Lin endicke d' vernachlä igt werden. Die
sphärischen Begrenzungsflächen der Lin en können erhaben (konvex), hohl (konkav) oder
auch eben (plan) sein.
Der Strahlengang eines parallelen Lichtbündels parallel zur opti chen Ach e ( . Bild 29.4)
i t in den Bildern 29.1 und 29.2 wiedergegeben. Es ergeben ich darau Sarnmellin n
(Konvexlinsen) - sie sind in der Mitte dicker als am Rand - und Zer trcuung lin en (Konkavlinsen) , die in der Mitte dünner ind (Bild 29.3).
Bild 29.1: Strahlengang paralleler Strahlen
durch eine Sammel1in e
Bi -
Plan - Konkav konvexlinse
Bi -
Plan - Konvex konkavlinse
Bild 29.2: Strahlengang paralleler trahlen
und virtueller Brennpunkt einer Zer. treuung linse
Bild 29.3: Lin enformen
366
29.1.1
29
Sphärische Lin en
Brennweite und Vorzeichenregeln
Mei t ist da bei der eits an dje Linse angrenzende Medium Luft. Die Brechzahl des Linsenmaterials gegenüber Luft wird wie gewöhnlich mit n bezeichnet. Andere Fälle, in denen
z. B. die Lin e auf einer oder aufbeiden Seiten an eine FJüs igkeit grenzt, werden nicht betrachtet.
Die Verbindungslinie der beiden Krümmungsmittelpunkte der beiden Linsenftäcben wird
optische Achse genannt. Die Schnittpunkte der optischen Ach e mit den Linsenflächen
heißen Scheitelpunkte.
s
s
s
s
F' M'
M
optische Achse
f
d'« r
Bild 29.4: Brennpunkte bei dünnen Linsen und Strahlenverlauf durch die Brennpunkte
Strahlen die parallel zur opti chen Ach e auf die Konvexlinse treffen, werden nahezu in
einem Punkt, dem Brennpunkt vereinigt. Andererseits verlaufen Strahlen, die vom BrefIßpunkt kommen. auf der anderen Seite der Lin e parallel weiter. Jeder Strahl, der durch die
Lin e geht, wird zweimal gebrochen. (st die Linsendicke d' im Vergleich zu den Radien
rl und r2 der Kugelflächen sehr klein kann ie vernachläs igt werden. Die beiden Scheitel fallen zu. ammen, und die Linse kann durch eine Ebene dargestellt werden, durch die
da icht nur einmal gebrochen wird (Bild 29.4). Damit ergeben sich bei dünnen Lin en
-wei ymmetri ch liegende Brennpunkte Fund F', deren Abstand vom Linsenmittelpunkt
betrag mäßig gleich ist.
Lichtemtritt
y
-----
y'(-) optische Achse
x
M
a (-)
a'(+)
Bild 29.5: Zu den Bezeichnungen und Vorzeichenregeln
orzeichen in Klammern)
Wie b iden phäri ehen Spiegeln werden ,auch bei den Lin en die in der Techni ehen
Optik übli hen Bezeichnungen und Fe tlegungen für die Vorzeichen angewendet. Dabei
29.1
Dünne Linsen
367
befindet sich der abzubildende Gegenstand auf der Lichteinfall eite (Bild 29.5) hier eine
punktförmige Lichtquelle).
Für die Berechnungen gilt:
Der Lichteinfall kommt von links.
Bezeichnung
Vorzeichenfestlegung
eintrittsseite
Radiu
der Linsenfiäche
Lichtau tritts ehe
positiv wenn der Mittelpunkt M' auf der
Uchtaustrift seite hegt
auf
der
positiv, wenn der Mittelpunkt M
Lichtauslrittsseite liegt
auf
f'
Brennweite auf der Bildseite der Linse
positiv. wenn der Brennpunkt F' auf der
Lichtaustrittsseite Hegt
f
Brennweite auf der Lichteintrittsseite
negativ, wenn der Brennpunkt F auf der
Lichteintrittsseite liegt
a
Gegenstandsweite (Dingweite)
negativ auf der Lichteintrittsseite
a'
Bildweite
positiv auf der Lichtaustrittsseite
y
Gegenstand größe (Dinggröße)
Bildgröße
positiv über der opti ehen Ach e
y'
In den jeweils en.tgegengesetzten Richtungen gilt das andere Vorzeichen! Bel Anwendung
dieser Vorzeichenregeln ergibt sich die Brennweite f' einer dünnen Linse au der Gleichung
~
= (n I'
1)
(~
- ~)
. rl r2 ·
Reziproker Wert der bildseitigen
Brennweite
(29.1
Die reziproke Brennweite wird auch als Brechwert (Brechkraft) der Linse bezeichnet und
erhält die Einheit Dioptrie (dpt) wobei 1 dpt = 1 m -1 i t.
I
D'
f'1
I
Brechwert der Linse
(29.2
Wie schon oben erwähnt, sind gegenstandsseitige Brennweite fund bildseitige Brennweite
f' betrags mäßig gleich. Nach den Festlegungen für die Vorzeichen i t
If
= -
f'
I
Brennweiten
(29.3)
Bei Berechnungen erhält fl au Gleichung (29.1 ) bei Konvexlin en ein p Itlve und bei
Konkavlinsen ein negatives Vorzeichen. Durch da negativ,e Vorzeichen der bild. eitigen
Brennweite bei Zer ,treuungslin en kommt zum Au druck, daß der Brennpunkt F' ein virtueller Brennpunkt ist.
Die auf der rechten Linsenseite verlaufenden Strahlen, die vor der Linse parallel zur ptiehen Ach e verlaufen, eheinen von diesem Punkt herzukommen (Bild 29.2). Die VOTleichen für die Radien und die bild eitige Brennweite der einzelnen Lin enarten ind im Bild
29.5 angegeben.
29
368
Sphärische Linsen
Beispiele:
1. Bestimmen Sie die Brennweite einer Bikonvexlinse mit betrag mäßig gleichen Krümrnungsradien von 50,0 cm und einer Plankonvexlin e mit dem Radius der Lichteintritts eite von 25 cm. Die
Brechzahl der Linse gegenüber Luft ist 1 61.
Mit n = 1, 61, q = +50,0 cm und r2 = -50,0 cm erhält man aus (29.1) für die Bikonvexlinse
-
]
/'
= (n - 1)
(-1- -1)
'1'2
= (1,61 - 1)
(1
50
cm
-
1)
-50 cm
= 0, 61
2
50 cm
= 2,44 m -1
Der Brechwert der Linse ist D' = 2,44 dpt, woraus sich als bildseitige Brennweite /' = 0,410 m
ergibt. Die gegenstandsseitige Brennweite ist nach (29.2) 1 = -1' = -0, 410 m. Entsprechend
ergibt ich mit rl = + 25 cm und r2 ~ -00 ebenfalls
1 = (1,61
-,
/
- 1)
(J)
+ =
0
25 cm
2,44 m -1 ,
D' = 2, 44 dpt,
1 = -0,410 m
2. Eine PlankonkavJin e hat auf der Lichteintrittsseite einen Radius mit dem Betrag 24,0 cm. Die
Brechzahl der Lin eist 1,51. Berechnen Sie den Brechwert und die Brennweite. Wie groß müBte der
Radiu die er Lin e ein, damit der Brechwert D' = -2, 50 dpt ist?
Aus (29.1) wird mit 1l
D'
= 1,51, TI = -24,0 cm und r2 --+
= ~ = Cl, 51
f
- 1) (
D' = -2, 13 dpt und
21
- 4cm
I' =
- 0)
00
= -0, 0213 cm- 1;
also
-0,471 m
Die negativen Vorzeichen bedeuten, daß die bildseitige Brennweite auf der Lichteinfa11sseite i t
(Bilder 29.2 und 29.4).
Ftir D' = -2 50 dpt, al 0 f' = -0,400 m, n = 1,51 und"2 ~ -00 wird nach (29.1)
'1 = I'(n - 1) = -0,400 m· 0,51; TI = -0,204 m.
29.1.2
Abbildungsgesetze
Wie bei den phärischen Spiegeln werden auch bei den Linsen zur Darstellung des Strahlengange bei der Bildkon truktion ausgezeichnete Strahlen verwendet (s. Bild 29.6):
Bild 29.6: Die drei ausgezeichneten Strahlen
bei der Sammellinse
(1) Parallelstrahlen werden zu Strahlen, die durch den Brennpunkt gehen (Brennstrahlen).
(2) Brennstrahlen werden zu Parallelstrahlen.
(3) Hauptstrahlen (Strahlen durch den Lin enmittelpunkt) werden nicht abgelenkt.
29.1
Dünne Linsen
369
Gerade bei dünnen Linsen kann die geringe Parallel ver chiebung des Haupstrahle vernachlässigt werden. Daraus ergibt sich auch für schräg einfallende Licht trahlen eine sehr
weit entfernten Gegenstandes:
Unendlich ferne Punkte werden in der Brennebene abgebildet.
Beweis: Da von einem unendlich fernen Punkt ausgehende Licht ist tet parallel. Aus dem , hräg
zur Achse laufenden Bündel werden Haupt- und Brennstrahl herau gegriffen. Ihr Schnittpunklliegt
in der durch den Brennpunkt F' gehenden Ebene weil die beiden chraffierten Dreiecke kongruent
sind (Bild 29.7).
Die geometrischen Bildkonstruktionen erfolgen analog denen des Hohlspiegel. Die in
26.2.2 gegebene Anleitung kann auf die Sammellinsen übertragen werden und macht Bild
29.8 verständlich.
y
Bild 29.7: Schräg einfallendes Lichtbündel
Bild 29.8: Bildkon truktion bei ver. chiedener
Entfernung de Gegenstande y
Für unterschiedliche Gegenstand weiten ergeben ich die Bilder mit der gleichen Numerierung. Ist der Gegenstand y auf der Lichteinfall eite vor dem Brennpunkt F, ent teht ein
reel1es ,umgekehrte Bild y' auf der Bild eite (Lichtau tritt eite) hinter dem bild eitigen
Brennpunkt P' in unterschiedlicher Größe. Befindet ich der Gegenstand zwi ehen Fund
der Linse, schneiden sich die von der Linse gebrochenen Strahlen nicht. Ein von der Bildeite in die Linse blickender Beobachter sieht hinter der Lin e auf der Gegen. tand eite ein
aufrechtes, vergrößertes, virtuelles Bild.
Bei der Konstruktion des von einer Zerstreuungslin e entworfenen Bilde i t zu beachten.
daß achsen parallele Strahlen so nach außen abgelenkt werden al ob ie vom virtuellen
Brennpunkt herkämen (Bild 29.9). Man findet daher die Richtung de abgelenkten trahles, indem man den Punkt, wo der Parallel trahl auf die Lin e trifft, mit dem virtuellen
Brennpunkt verbindet. Das Auge erblickt den Bildpunkt im Schnittpunkt der Verlängerung
des nach außen abgelenkten Strahle mit dem Haupt trahl. Da Bild i. t virtuell, aufrecht
und verkleinert.
Für eine Konvexlin e ergibt sich aus Bild 29.10 unter Beachtung der Vor~ei hell, daß auch
bei den Linsen der Quotient au Bildweite a' und Gegen tand, weite a gleich dem Quoti-
29
370
Sphärische Linsen
y(+)
y'(-)
a(-)
Bild 29.9: Virtuelles Bild einer Zerstreuungs1in e
a'(+)
Bild 29.10: Zur Herleitung der Abbildungsgleichung (in Klammern die Vorzeichen der
Größen)
enten au der Bildgröße y' und der Gegenstandsgröße y ist:
y'
y
a'
a
ß=-=-
(29.4)
Abbildungsmaßstab
Aus dem gleichen Bild liest man folgende Beziehungen ab:
Vor der Linse
Hinter der Linse
/ -
/'
a
-y'
y
+ (-y')
a'
y
y
+ (-y')
Addiert man diese beiden Gleichungen, erhält man /
a
+ /'
/ = -/'
I
D' =
-J, = ~ - ~ I
a'
1 und daraus mit (29.2)
(29.5)
Abbil dungsgl eichung
Beispiele:
J. Ein ] ,70 m großer Men eh wird durch eine Sammellinse mit 150 mm Brennweite abgebildet. Er
teht 5,00 m vor der Lin e. Wie groß sind sein auf einer Mattscheibe scharf sichtbares Bild und die
Bildweite?
Au (29.4) und (29.5) ergeben ich für die Bildweite a' bzw. für die Bildgröße y' die Gleichungen
j'a
a'
.
= a + f'
j'
und y'
= a + f' .
Em etzen ergibt a' =
150· (-5000)
mm = 155 mm und y'
-5000 + 150
=
1700 . 150
-5000 + 150
=
-52,6 mm.
Da Bild entsteht kurz hinter der bildseitigen Brennebene, ist reell, umgekehrt und kleiner als der
Gegen tand.
2. Vor einer SarnmeUin e mit der Brennweite l60 mm steht in 100 mm Entfernung ein 1,50 mrn
großer Gegen tand. Berechnen Sie Bildweite und Bildgröße und erläutern Sie das Bild.
Mit den Gleichungen im Bei piel 1 wird jetzt a' = -267 rum und y' = 4, 00 mm. Das Bild ent teht
v r dem gegen tand eitigen Brennpunkt, i t aufrecht, kleiner al y und virtuell. Die Linse wirkt als
Lupe.
29.2
Dicke Linsen
371
Zusammenfassung der Abbildungen an dünnen Linsen
(es werden die Beträge von f = f', a, a', )I, y' und ß in der folgenden Tabelle angegeben):
Betrag der
Gegenstandsweite
Betrag der
Bildweite
Betrag der
Bildgröße
Betrag des
Abbildung maßstabes
a
a'
y'
ß
a' = /
y'.......:;-O
ß.......:;-O
verkleinert,
umgekehrt, reell
a > 2/
2/ > a' > /
y' < Y
O<ß<l
verkleinert,
umgekehrt, reell
a =2/
a' =
=Y
ß=l
gleich groß,
umgekehrt reell
2/ > a > /
a' > 2/
y' > y
ß> 1
vergrößert,
umgekehrt, reell
a=!
a' . . . .:;-
y'.......:;-oo
ß -4 00
vergrößert,
umgekehrt, reell
a<!
a' > a
ß>I
vergrößert,
aufrecht, virtuell
O<ß<l
verkleinert,
aufre ht, virtuell
Bild art
Konvexlinse
a.......:;-
00
2/
00
y'
y' >
y
Konkavlinse
a an beliebiger
Stelle vor der
Linse
29.2
a'
<!
y' < y
Dicke Linsen
Für genauere optische Berechnungen muß die bei den bisherigen Betrachtungen emachlä sigte Linsendicke d' > 0 berücksichtigt werden. Dazu werden (Bilder 29.11 und 29.12)
zwei Hilfsebenen, die gegenstandsseitige Hauptebene H und die bildseitige Hauptebene
H', verwendet, weIche mit dem tatsächlichen Strahlengang durch die dicke Lin e nicht zu
tun haben (Bild 29.11).
Ist die Lage dieser Hauptebenen bekannt, kann man ähnlich wie bei dünnen Lin en die
Bildkon truktion durch nur eine einzige Brechung zweier au gezeichneter Strahlen an einer
der Hauptebenen vornehmen (Bild 29.13, Parallel trabl wird an H' Brenn trahl wird an H
gebrochen).
Die Berechnung der Lage der Hauptebenen auf die hier nicht eingegangen werden kann,
liefert für eine symmetrische Bikonvexlinse mit n = 1, 5 und Ir I > d' für den Ab tand
1
der beiden Hauptebenen h' = 3" d' und für eine dicke Plankonvexlin e mit 11 = 1, 5 und
Ir I > d' eine Hauptebene durch den Scheitel S und die andere davon um 11' = ~d' entfernt.
372
29
H
Sphärische Lin en
H'
f
f
Bild 29.11: Hauptebenen. Der von links einfallende Strahl
wird cheinbar nur einmal an H', der von rechts einfallende
an H gebrochen.
H
Bild 29.12 : Lage der Hauptebenen
für spezielle Linsen (n = 1, 5)
H'
y(+)
a(-)
Bild 29.13: Bildkonstruktion an
ejner dicken Linse (in Klammem die Vorzeichen der Größen)
a'(+)
Für die weiteren Berechnungen behalten die Gleichungen (29.2), (29.3), (29.4) und (29.5)
unter Beachtung der festgelegten Vorzeichen mit d' > 0 ihre Gültigkeit, wobei beachtet
werden muß, daß a a', fund f' von den Hauptebenen aus zu rechnen sind und für den
Brechwert D' die folgende Gleichung gilt:
,1
( 1
1)
D = - = (n - 1) - - fl
rl
r2
d' (n - 1)2
+-nrtr2
Brechwert einer
dicken Linse
(29.6)
29.3 Linsensysteme
In fa t allen opti chen Sy ternen werden zur Korrektur von Linsenfehlern (s. 29.4) Linseny terne einge etzt. Ein Sy tern au zwei dünnen Lin en, die nach Bild 29.14 im Abstand
e' > 0 angeordnet ind läßt ich theoretisch auf eine Linse mit den Hauptebenen Hund
H' und einem gemein amen Brennpunkt F' zurückführen. Die Beträge der Ab tände der
29.3
Linsensysteme
373
H'
H
Linse 1
Linse 2
....::...
h,
~-- F-...
F
~ i'....
........
F2
F,
~ I'.
F' I"'--.
'.
~
'" ~
(f2-e')(-)
SF(-)
~ ~ . . . . . F,'
F'
2
~
"'-..
(f, '-e')(+)
e'(+)
f(-)
SF'(+)
""
f(+)
fi-)
(2'(+)
-
,
Bild 29.14: Bezeichnungen und Lage der Hauptebenen eines Lin ensy tem au zwei dünnen Sammellinsen. Hinter den Größen ist in Klammem ihr Vorzeichen nach den Fe tlegungen in 29.1.1.
bei den Brennpunkte Fund F' von den einzelnen Linsen ind bei unter chiedlichen Einzelbrennweiten zwar ver chieden, die Beträge der beiden Brennweiten fund f' dagegen, die
von den zugehörigen Hauptebenen Hund H' aus gerechnet werden, ind gleich. Auch bei
Linsensystemen gilt (29.3) f = - f'. Die Ab tände s~ und SF von den jeweiligen Lin en
1
1
1
L2 und Ll erhält man durch Anwendung der Abbildungsgleichung (29.5) - = - + -.
a'
f' a
Faßt man nach Bild 29.14 die Wirkung von L2 so auf, daß ie F{ in F' abbildet, dann j tin
(29.S) a' = s~, a = f{ - e' und f' = f~ und damit
S F'
f~(f{
- e')
= ---"'-"---f{ + f~ - e'
Abstand des bildseitigen Brennpunktes
F des Linsensystems von Linse 2
- f;' + e'
Entsprechende Überlegungen liefern für die Lin e 1 mit a'
f' = - f( in (29.5)
Sp
=
f( (f~ - e')
--~~-----
- f{ - f~
+ e'
Aus Bild 24.14 sind Proportionen
(29.7) wird
,
f = f{
f{f~
+ f~ -
e'
Abstand des gegenstandsseitigen
Brennpunktes F des Linsen y tems
von Linse 1
h
_1
h2
f'
= --, und
Sp
h
_1
h2
=
f'
f
,I
1-
(29.7)
e'
und
(29. )
abzule en. Darau und mit
Brennweite des Linsensystems
(29.9)
374
bzw. mit (29.2)
e'
(29.10)
f{f~
D'
= D~ + D~ -
Brechwert des Linsensystems
e' D; D~
I
(29.11)
Besonders einfache Gleichungen entstehen, wenn sich die beiden Linsen beruhren oder
sehr eng beieinander stehen. Dann wird mit e' -+ 0
(29.12)
Berühren sich die Linsen eines Linsensystems oder stehen sehr eng beieinander,
ist die Brechkraft des Systems gleich der Summe der Brechkräfte der EinzeIlinsen.
Ist eine der beiden Linsen eine Zerstreuungslinse, so ist deren Brennweite
Gleichungen (29.7) bis (29.12) einzusetzen.
f'
< 0 in den
Handelt es sich um ein Linsensystem aus dicken Lin en, deren Hauptebenen Hl und H{
bzw. H2 und H~ sind, ist für e' der Abstand der beiden einander zugekehrten Hauptebenen
zu etzen (Bild 29.15).
Linse 1
Linse 2
H'
2
H/ Hf
Ft' F2
e'(+)
fz'(+)
f/(+)
Bild 29.15: Zur Anwendung der
Gleichungen (29.7) bis (29.12)
Bei allen folgenden Berechnungen gelten weiter die Gleichungen (29.4) (Abbildungsmaßtab) und (29.5) (Abbildungsgleichung). Bei ihren Anwendungen müssen wie bei dicken
Linsen die Gegenstandsweite a vom Brennpunkt F bis zur Hauptebene H und die Bildweite a' von F' bis H' gezählt werden (s. Beispiel 2 mit Bild 29.16) owie die festgelegten
Vorzeichenregeln beachtet werden.
Beispiele:
1. Eine Sammellinse LI mit der Brennweite f{ = 50, mm soll mit einer Zerstreuungslinse L2 so
kombiniert werden, daß sich die Linsen LI und L2 berühren und das Linsensystem die Brennweite
f' = 120 mm hat. Wie groß sind die Brennweite der Zerstreuungslinse sowie die Brechkräfte der
Einzellin en und des Linsen ystems?
°
Da e' = 0, D' = 8, 33 dpt und D~ = 20, 0 dpt, gilt für den Brechwert der Linse 2
D~ = D' - D~ = -11 , 7 dpt. Darau oder aus (29.9) ergibt sich f~ = - 85 7 mm.
375
2. Ein Lin en y~tem be tehl au 7wei dünnen Sammellin en LI und L2 mit e' = 90,0 mrn und
den bildseitigen Br nnw iten f[ = 180 rnrn und 12 = 210 mrn. Wie groß sind Brechwert und
Brennweite de Linsen 'Y tern . und wo befinden ich die Hauptebenen? Bildweite und Bildgröße
eine im Ab land 146 mm or der Lin e LI tehenden und 30,0 mm großen Gegenstande ind zu
be timmen. Der trahlengang i"t zu zeichnen.
H' H
L2
LI
y
..........
'~
~~
SF
I
f
'"
'"
~F' F,'
............
I
h'
I-
S/
f1'
e
F'
2
optische Achs e
~~
f'2
y'
r
""
r
a'
a
Bild 29.16: Strahlengang durch das Linsen y tem im Bei pie12
Mit (29.9) i t die Brennweite f' = 126 mrn und der Brechwert D' = 7,94 dpt. Aus (29.7) erhält
man s~ = 63,0 mm und au (29.8) S F = -72,0 rnm. Nach Bild 29.14 ergeben sich die Beträge
der Abstände der Hauptebene Hf on L2 (f' - ~) = 63,0 mm und der Hauptebene H zur Lin e
LI (f - S F) = 54, 0 mm. Damit iod die Hauptebenen voneinander h' = 27, 0 mm entfernt.
Mit a = -(146 mm + 54, 0 mm) = -200 mm wird die Bildweite a l aus der Abbildungsgleichung
a' = 341 mrn und die Bildgröße au dem Abbildungsmaß tab y' = -51, 1 mrn. Der Strahlengang
ist aus Bild 29.16 er ichtlich.
29.4 Linsenfehler
29.4.1 Chromatischer Fehler
Durch die Disper, ion ( . 28.1) ergeben ich für ver chiedene Lichtwellenlängen unterschiedliche Brennpunkte. Für violette Licht liegt daher der Brennpunkt näher an der Lin e
als für rote Licht. Diese Er cheinung heißt chromatische Aberration (Abweichung) (Bild
29.17).
Sie beeinträchtigt die Bildschälfe durch farbige und un charfe Ränder. Eine Korrektur
diese Fehlers i t innerhalb be timmter Grenzen durch geeignete Lin ensy terne möglich
(z. B. Zu ammenkitten einer Konvexlin e aus Krongla mit einer entsprechend geschliffenen Konkavlin e au Flintgla - . auch achromati ches Pri ma, Bild 28.2). Derartige
376
29
weiß
B Ud 29.17: Chromati cher Fehler
Lin en ysteme heißen Achromate. Sie korrigieren bi auf ein Re tspektrum mei t zwei
Farben und be ehigen gleichzeitig für diese auch die phäri che Aberration.
29.4.2 Sphärische Fehler
Alle Lin en werden aus techni ehen Gründen sphärisch ge chliffen. Es müssen daher eine
Reihe weiterer Abbildungsfehler in Kauf genommen werden. Von einem achsenparallel
auftreffenden Lichtbündel haben die ach ferneren Strahlen eine kürzere Brennweite als die
ach nahen (Bild 29.18).
1
2
2
1
Bild 29. 18: Sphärischer Fehler
Bild 29.19: Zur Erklärung der phäri ehen Aberration
Die Differenz der Brennweiten zwischen Zentral- und Rand trahlen nennt man sphärische
Aberration (Kugelfehler). Bei gut korrigierten Fernrohrobjektiven beträgt ie nur noch
~ 1/ 1000 der Brennweite.
Die tärkere Ablenkung der parallelen Rand trablen erklärt ich aus dem größeren Einfallswinkel a auf die phärische Lin enfiäche al bei Parallelstrahlen in derähe der opti ehen
Ach e . Bild 29.19). Durch Abblenden der Rand trahlen (Verwendung einer Lochblende) kann die phäri ehe Aberration (allerding auf Ko ten von Lichtverlu ten) recht gut
be eitigt werden.
Gute Korrekturen die e Fehlers ohne Lichtverluste ergeben wieder Kombinationen von
geeigneten Sammel- und Zer treuungslinsen mit angepaßten Brechzahlen. Solche Lin eny terne, die gleichzeitig auch den chromati chen Fehler korrigieren heißen Aplanate.
29.4.3
Astigmatismus und weitere Fehler
Bild 29.20 zeigt eine Lin e die im waagerechten Durchme er tärker gekrümmt i t al im
enkrechten. Ein in den waagerechten Durchmes er fallende Lichtband ergibt eine kürzere
377
29.4 Lin enfehler
Brennweite al da
nkre hte Bündel. Im Brennpunkte F; bzw. F~ de einen er cheint da
andere Band j w il al. trieh. Man nennt die e Er cheinung, die auch al weitverbreiteter
tigmatismus (mangelnde Punktfönnigkeit). DieFehler der Augenlin e bekannt i t
er A tigmati mu tritt aber auch an jeder Linse mit gleichmäßiger Krümmung auf, wenn
ie von einem chief zur Ach e einfallenden Lichtbündel getroffen wird: Astigmati mu
schiefer Bündel. Au dem Bündel werde ein dünne Lichtband a) herau gegriffen. Seine
Schnittfläche Bild 29.2] mit der Lin e hat eine tärkere KrüIlliuung al wenn die Line in Richtung der Ach e (b der von einem zu dem er ten rechtwinklig laufenden Band
(c) durch chnitten wird. Ein außerhalb der Ach e liegender unendlich ferner Punkt li fert
daher keinen Brennpunkt ndern zwei zueinander enkrecht tehende Striche in ve~ hiedener Entfernung.
Bild 29.20: A ti grn ati mu einer Linse mit
zwei ve chiedenen Krümmungen
Bild 29.21: A tigmati mu einer Linse bei
hief einfallendem Lichtbündel
Linsen y terne ohne die en Fehler heißen Anastigmate. Ebenfall auf die Kugelf rm d r
Lin en i t die Koma zurückzuführen. Ach feme Punkte er cheinen in radialer Richtung
verwischt. Aplanate und Anastigmate ind prakti ch frei von K ma.
Je nach Anordnung einer Blende or oder hinter der Lin e können auch ki en- od r tonnenförmige Verzeichnungen auftreten, die ich an der Abbildung ein Kreu 7 itt r Bil
29.22) fe t tellen la en.
a)
b)
c)
Bild 29.22: a) Abzubildende g radlinige Kreuzgitter b ki en- und c) t nnenffnnige erzei hnung
de geradlinigen Kreuzgitter
378
30
Optische In trumente
Schließlich hängt auch die Bildwölbungmit der phäri chen Linsenform zusammen. Hierbei werden die zentralen Teile des Bildes in größerer Entfernung von der Lin e schärfer
abgebildet als die randwärts liegenden Bildzonen (beim Anastigmat korrigiert).
AUe Linsenfehler lassen sich durch Zusammenwirken von mehreren Linsen
verschiedener Krümmung und verschiedener Glassorten sowie geeigneter Anordnung von Blenden so weit vermindern, daß sie für den geforderten Zweck
nicht mehr stören.
30 Optische Instrumente
30.1
Auge
30.1.1
ehweite und Sehwink,el
Al opti ches In trument läßt sich das Auge mit einer fotografischen Kamera vergleichen.
Die Abbildung ge chieht aber nicht allein durch die Augenlinse, sondern diese bildet zuammen mit den im Auge vorhandenen Flüssigkeiten ein optisches System, welches ein
reelle umgekehrte und verkleinerte Bild der Umgebung auf der Netzhaut entwirft. Da
die Bildweite wegen der festen Länge des Augapfels konstant ist, wird die Brenn weite der
Lin. e der jeweiligen Entfernung des Gegenstandes entsprechend verändert. Diesen Vorgang nennt man Akkommodation.
Wenn ein nonnalsichtiges Auge vorliegt, reicht die Akkomodation von dem im Unendlichen liegenden Fernpunkt bis zum etwa 8 cm vor dem Auge liegenden Nahpunkt. Bei
ruhendem Auge ist die Linse auf Unendlich eingestellt Die sogenannte deutliche Sehweite i t diejenige Entfernung, auf die das Auge ohne Ennüdung akkommodieren kann CZ. B.
beim Le en). Sie i t vom Lebensalter abhängig und in der Jugend kleiner als im Alter. Al
Mittelwert wird für die deutliche Sehweite 25 cm angenommen, die auch bei Berechnungen al Bezugswert vereinbart wird. Sie wjrd dann auch als Bezugssehweite aB bezeichnet,
und e gilt
I
aB
= 25 cm
I
Bezugssehweite (deutliche Sehweite)
Die Größe eines gegebenen Gegenstandes richtet ich nach dem Sehwinkel a den die den
Gegenstand) begrenzenden Strah]en zum hinteren Scheitel der Linse bilden (Bild 30.i).
y er cheint um 0 größer, je größer dieser Sehwinkel ist.
Bei Kurz ichtigkeit er cheint da· Bild vor der Netzhaut (Korrektur mit einer Zerstreuungs!in e al Brine oder Kontaktlinse möglich), bei Weitsichtigkeit hinter der Netzhaut (hier
erfolgt die Korrektur mit einer Sammellin e).
30.1
Auge
379
Netzhaut
Bild 30.1: Sehwinkel. Die bei den Gegenstände Yl und Y2 er cheinen gleich
groß. Das Auge ist nicht maß täblich
dargestellt, seine Länge i t etwa gleich
der Brennweite f' der Augenlin e.
a
30.1.2
Sehschärfe
Der kleinste Sehwinkel, den zwei getrennte Punkte mit dem Auge noch bilden müssen, um
getrennt wahrgenommen zu werden, beträgt 1 Winkelminute:
Der kleinste auflösende Sehwinkel ist U min = l' .
Weiter gelten folgende Richtwerte für den kleinsten wahrnehmbaren Winkelab tand zweier Punkte:
angestrengtes Sehen
aufmerksames und scharfes Sehen
bequemes Sehen
l'
2'
4'
Diese Grenze der optischen Leistungsfähigkeit des Auges ist einerseits in der Wellennatur des Lichtes begründet, stimmt aber andererseits mit dem Abstand d je zweier nichtbenachbarter Netzhautelemente (Stäbchen und Zapfen) überein (Bild 30.2). Liegen zwei Punkte enger beisammen, 0 fallcn
sie entweder in ein einziges Element b oder in zwei benachbarte c. Sie erregen die etzhaut 0, al
ob sie ein einziger Punkt wären.
d
b
c
Bild 30.2: Schemati che Dar tel1ung de
Aufiö ungsvermögens der Netzhaut
Empfindlicher i t das Auge gegenüber der Ver etzung zweier paralleler Striche 8, wodurch das Auflö ungsvermögen auf das 4- bis 6fache steigt (10" bis 15", wichtig für Nonienablesung). Noch feiner
ist die Symmetrieempfindlichkeit, mit der das Auge die Abweichung eine Teil tnche. von der Mittel teIlung zwischen zwei anderen Strichen fest teHen kann (erreichbare Winkelgenauigkeit einige
Winkelsekunden).
Beispiele:
1. Wie weit muß ein Men ch der Größe L,70 m vom Auge entfernt ein, wenn er genau 0 groß
erscheinen soll, wie ein in der Bezug sehweite befindliches Geld tück mit 21 0 mm Durclune ser?
CI
-Yl
-Y2
Nach Bild 30.1 ist tan - = -- = --. Darau ergibt sich
2
a
2a
Yl
1,70 m
Y2
21 mm
= aB - = -25 cm
2aB
= -20, 2 m.
30
380
Opti che Instrumente
2. Welchen Abstand 8 müs en zwei Teilstriche eines Nonius minde ten haben, damit sie bei aufmerksamer Betrachtung noch getrennt gesehen werden können?
Mit (1
= 2' = 0, 000582 rad und tan(1 =
_0_ wird 8 ~ 0,15 mm.
-aB
30.2 Kamera und Projektor
Bei der Kamera und dem Projektor geschieht die Abbildung durch ein Linsensystem (Objektiv) mit den Eigenschaften einer Sammellinse. Während bei der Kamera der Gegen tand
sehr weit entfernt von dem Objektiv ist (a » I) und ein reelles, umgekehrtes, verkleinertes Bild auf dem Film unmittelbar hinter dem Brennpunkt F ' entsteht (ähnlich wie beim
Auge), ist beim Projektor die Gegenstandsweite a nur wenig größer als I, womit in der
Bildweite a' » I' das reelle, umgekehrte, vergrößerte Bild auf dem Bildschirm erscheint.
Die Scharfeinstellung des Bildes erfolgt bei unveränderlicher Brennweite des Objektivs bei
der Kamera durch Verändern der Bildweite a ' und beim Projektor durch Ändern der Gegenstand weite a. Zoom-Objektive können zusätzlich die Brennweite in gewissen Grenzen
ändern.
Die Belichtung zeiten eines Films in der Kamera müssen der Blendenöffnung bei vorgegebenen Lichtverhältnissen angepaßt sein. Ist k die Blendenzahl und d der Blendendurchmesser, erhält man als relative Öffnung L für einen weit entfernten Gegenstand (a ~ 00)
L=~=~
k
I'
(30.1)
Relative Öffnung
Die größtmögliche relative Öffnung erhält man beim größtmöglichen Blendendurchmesser.
Man bezeichnet sie dann als Öffnungsverhältnis.
30.3 Lupe
Auch Lupen sind Sammellinsen oder Linsensyteme, die wie Sammellinsen wirken. Bei
Verwendung dieser Linsen als Lupe entstehen vergrößerte, virtuelle, aufrechte BUder dadurch, daß der Gegenstand zwischen dem gegenstandsseitigen Brennpunkt F und der Linse
steht. Befindet sich der Gegenstand in der Bezugssehweite aB, so erscheint er dem Auge
ohne Lupe unter dem Sehwinkel ao. Mit einer Lupe sieht der Betrachter das Bild des Gegenstandes unter dem Sehwinkel a. Da die Sehwinkel in der Regel sehr klein sind, kann
tan a = a (a in rad) gesetzt werden. Als Vergrößerung eines optischen Gerätes definiert
man den Quotienten aus dem Sehwinkel (Bildwinkel) mit optischem Instrument er und dem
Sehwinkel aa ohne Instrument:
r'=
tana = ~
tan aa
an
Vergrößerung eines optischen Gerätes
(30.2)
Bei der Lupe liegt die Vergrößerung nicht fest. Sie richtet sich danach, wie Gegenstand,
Lupe und Auge zueinander tehen. Gewöhnlich wird die Norrnalvergrößerung l L angegeben. Sie gilt, wenn ich der Gegenstand in F, das Auge in F' der Lupe befindet. Aus der
r
31
384
ergibt ich
Betrag der Vergrößerung
des Mikroskops
(30.6)
Beim prakti ehen Arbeiten mit dem Mikroskop ermittelt man die Vergrößerung aus den
vom Her teller auf den Linsensy ternen angegebenen Zahlen. Steht z. B. auf dem Objektiv
45/065, so ist die erste Zahl der Betrag des Abbildungsmaß tabe Iß'obj I = 45. Auf dem
Okular wird der Betrag der ormalvergrößerung direkt angegeben, d. h., es bedeutet 10x
daß Ir' MI = 10 ist. Darau wird der Betrag der Vergrößerung des Mikroskop nach (30.6)
Ir'okl = 45·10 = 450.
31 Interferenz des Lichtes
31.1 Voraussetzungen für Interferenzerscheinungen
In der geometri ehen Optik können in den meisten Fällen die Welleneigenschaften des
Lichte außer acht gela en werden. Nur in Einzelfällen, wenn hohe Anforderungen an
die Abbildung ge teIlt werden, benötigt man die Wellentheorie de Lichte ( .32.3). Diee muß jedoch bei den optischen Erscheinungen der Interferenz, der Beugung und der
Polarisation de Lichte zur Deutung genutzt werden.
Interferenz führt je nach der Art des Zu ammentreffens zweier Wellenzüge (Wellenpakete)
zu deren gegen eitiger Verstärkung oder Schwächung.
Da Zu tandekommen derartiger Versuche i t jedoch an gewi e Vorau etzungen geknüpft.
E müs en ich nämlich zwei Wellenzüge von gleicher Frequenz so überlagern, daß ihre
Schwingung pha en stet die gleich Differenz gegeneinander haben. Dies i t z. B. bei dem
auf Bild 14.2 dargestellten Versuch erfüllt, weiJ jede der bei den Wellen ein einziges, in sich
zu ammenhängendes Sy tern bildet. Man nennt e in diesem Fall kohärent.
Da das Licht eine strahlenden Körper aber von zahllo en Atomen zugleich erzeugt wird,
i tjede auch noch so feine Lichtbündel aus eben 0 vielen Einzelwellen zu ammengesetzt.
von denen jede eine andere Pha enJage hat. Somit tellt da Lichtbündel a1 Ganze keine
kohärente Welle dar.
Erfahrung gemäß i t bekannt daß bei künstlicher Beleuchtung eine Raume keine Interferenzen auftreten, da da Licht von zwei verschiedenen Stellen einer Lichtquelle bzw.
zweier ver chiedener Lichtquellen inkohärent i t.
Interferenzen mit gewöhnlichem Licht la en ich aber durch einen Kunstgriff herbeiführen, wenn da gegebene Bündel z. B. durch zweimalige Reflexion, in zwei Teile aujgespaltel wird, 0 daß nach der Wiedervereinigung beider eine gegen eitige Pha enver chiebung
ent teht, die nun sämtliche Teilwellen gleicherwei e betrifft. Die interferierenden Wellen
ind dann gleichen Ur prungs und können al kohärent betrachtet werden.
31.1
Vorau setzungen für Interferenzerscheinungen
385
Nur kohärente Lichtwellenzüge (Wellen, die gleichzeitig vom gleichen Punkt
ausgehen) können miteinander interferieren.
RL,
I \
I \
I
I
I
I
I
f1
I
\
\
\
/
0 :;;2t
\~I
\
I
I
I
\
\
I
I
\
/
L2
\
\
~
\
\
\
I
f
I
I
I
I
I
f
I
Bild 3] .1: Schemati ehe Dar teIlung
des FRESNELschen Spiegelversuchs
Beim Fresnelschen Spiegelversuch (Bild 31.1) wird das von L kommende Licht von zwei
Spiegeln reflektiert, die um einige Winkelminuten gegeneinander geneigt ind. Dadurch
entstehen die beiden virtuellen Bilder LI und L2 der Lichtquelle.
Von diesen gehen zwei kohärente Lichtbündel aus, die ich zum Teil überdecken und interferieren. Ob in einem Punkt Pein Interferenzmaximum oder ein Minimum entsteht,
hängt von der Differenz der Ab tände LI P - L 2P ab. Ein Maximum ent teht bej Überlagerung zweier Wellenberge bzw. -täler (auf dem Schirm entsteht bei PJ ein heller Streifen).
ein Minimum bei Überlagerung eines Wellenberges und eines Wellentale (bei P2 und P3
entstehen dunkle Streifen).
Die Wegdifferenz LI P - L2P wird Gangunterschied D..s genannt, so daß die Bedingungen
für maximale Verstärkung bzw. maximale Schwächung lauten:
I D..s = kA I
[ ßs
= (2k+ 1) ~ I
mit k = 0, 1, 2, ....
Interferenzmaxima
Interferenzminima
(31.1 )
Ordnung der Interferenz
Die Ordnung der Interferenz gibt in der Gleichung der Interferenzmaxima den Gangunterschied der interferierenden Wellenzüge in Vielfachen der Wellen länge an.
3J
3 6
Läuft das Licht der Quellen LI und L"!. auf dem eg zu P durch ledien mit unt chi dlicher Br hzahlll. i. t der Gangunter chied llich/ die geomelri Ize tegdifferenz, ondern
e muß die Differenz zweier opti eher lege n gebildet werden (. 1.2). Der Gangunter chied i t dann eine optische Wegdifferenz. D r Gangunter chied ß darf aber in der
Regel nicht größer al die mittlere Länge eine von einem tom au gehenden Wellenzuge Teil welle) ein. San t könnte im Punkt P der Wellenzug mit dem kürL:eren Weg chan
vorbeigelaufen ein. wenn der Wellenzug ankomm4 der den \~ eiteren Weg hatte. Die größtmögliche Differenz. die noch zu Interferenzen führt. w'rd ohäre zlän e genannt.
Für die KohärenzJänge !l.lc gilt
I 6,lc = ct1tc I
Kohärenzlänge
(31.2)
l t die Lichtge chwindigkeit und Ale die Kobärenzzeit, während der Wellenzüge mit
kon tanter Phasenlage von den Atomen an ge andt werden. Sind die thermi eh oder elektri eh angeregten Atome voneinander i. oliert und enden monoehr mati ehe Licht au
ergibt ich mit D..tc ~ 10-8 für die chärf ten Linien atomarer Sp ktren die Kohärenzlänge 3 m. Bei großer Atomdichte und hohen Temperaturen. wenn ein Körper weiße Licht
au . endet, wird die KohärenzJänge erheblich verkürzt und beträgt höch ten einige Zentimeter bi hinunter zu etwa 1,5 Jl.m. Die Kohärenzzeit i t bei mon hromati ehern Licht
umgekehrt proportional der Bandbreite (Linienbreite) 6/ der Fr quenz f der betreffenden Spektrallinie. Bei treng monoehromati. ehern Licht eine Laser wird z. B. bei einem
He- e-Laser mit 6/ ~ 150 kHz. die ent!)pri ht ein r K härenzzeit ß/c von etwa 6.6 m \
die Kohärenzlänge ~lc rund 2 km.
C
Trctz au reichender K härenzJänge kann ein Versuch zur Interferenz mißlingen, wenn die
Au dehnung der Lichtquel1e (im Bild 31.1 ist dies die Breite b des SpaHe S) nicht beachtet
wird. Die in einem beliebigen Punkt P ankommenden Strahlen rühr n nämlich nicht von
einem einzigen Punkt LI her, ondern z. B. auch vom anderen Eckpunkt
(Bild 31.2 .
b
I'"
L,
L; de
Spalte
pi
L'
1
Bild 3 J .2: Zur Interrerenzbedingung
I t der b tand LI L~ = bo groß. daß die Wegdifferenz LI P - L'I P = Ax gerade eine
halbe eH nlänge; /2 i t. 0 lö ehen ich die beiden trahlen LI P und L; P au . Für einen
kleinen Ab tand b gIlt ~x = )'/2 = b in 8 der 2b in Ö = A.
31.2
387
Interferenzen gleicher Neigung
Für die zwi chen L) und L I) liegenden Punkte ist der Wegunterschied nach P natürlich
kleiner al Ä/ 2. Alle auf Bild 31.1 hervorgehobenen Punkte haben dann in bezug auf die
Spiegelbilder LI und Lz keine eindeutig fe tliegenden PhasenJagen mehr, ondem die Wegdifferenzen haben alle möglichen, zwischen 0 und 1../2 liegenden Werte. Die erwarteten
Maxima und Minima werden um 0 verwaschener, je größer die Spaltbreite b bzw. der
Winkel 8 ind. ßx muß daher wesentlich kleiner al A/ 2 ein und e ergibt sich
I 2b sin 8 «Ä I
Interferenzbedingung bei ausgedehnten
Lichtquellen (Kohärenzbedingung)
(31.3)
Sie besagt:
Je größer der Durchmesser der Lichtquelle ist, desto kleiner muß der Wink.el
sein . den d,e r Beobachtnngsort mit d,e n Spiegelbildern bildet.
Beispiel:
Wie groß darf die Spaltbreite b de Spalte S im Spiegel ersuch Bild 31.1 bei Verwendung on
atriumlicht mit der Wellenlänge 589 nrn höch ten ein. wenn die heiden Spiegel von dem Winkel
1800 um 5,0' abweichen?
Mit & = 5 0' wird 8 = 2& = 10, 0'. Wegen dje er kleinen Winkel kann 8 auch für alle andere Punkte
A
de Interferenzfelde angenommen werden. ach (31.3) i tb « 2 in 8 ~ 0, 1 mrn. Bei Verwendung
eine breiteren Spalte muß & verkleinert werden.
31.2
Interferenzen gleicher Neigung
Viel einfacher a1 mit dem FRESNELschen Spiegel la sen ich Interferenzen an dünnen
planparallelen Schichten beobachten. Be onders leicht au führbar i t der folgende Ver uch.
Unmittelbar vor die Öffnung im Gehäuse einer Natrium- oder Queck ilberdamptlampe hält
man ein mehrere Zentimeter große. elwa 0.05 bi 0 1 mrn dünne GlimmerbJättchen, . 0
daß da reflektierte Licht auf eine Projektion wand fallen kann. Bei Ab chirmung der Lampe nach der Wand hin er cheint dort ein au gedehntes System konzentri eher heller und
dunkler Interferenzringe.
Auf Bild 31.3 i t der Verlauf eine engen Strahlenbündel angegeben. E wird owohl an
der Ober- al auch an der Unter eite de Glimmerblättchens reflektiert. Da die Schicht ehr
dünn i t liegen die virtuellen Spiegelbilder L I und L'2 dicht beieinander, so daß die Interferenzbedingung (31.3) bequem erfüllbar i t. Ruft der durch die Weödifferenz ent tebende
Pha enunter chied der Strahlen im Punkt P de Bild chirm eine Interferenz hervor, 0
muß da gleiche auch an allen Orten der Fall ein, die on der LichtqueUe gleich weit
entfernt sind. Daher ent tehen Krei ringe, von denen jeder durch einen be timmten Reflexion winkel y definiert ist. Man nennt diese Ringe auch Interferenzen gleicher eigung.
Die Interferenzbedingung für die Entstehung die er Ringe im reflektierten Licht einer
planparallelen dünnen Platte läßt ich nach Bild 31 A ermitteln. Die Platte wird beidseitig
von Luft begrenzt und hat die Brechzahl n .. Die geometrische Wegdift~erenz der interferierenden Strahlen J und 2 i t AB + Be - .A D die opti che (AB - BC)n - AD. Wegen
d
_.iny
AB = Be
AD = AC iny', AC
2dtany' und.
, = 11 owiederBezieco y
10 Y
hungen zwi. ehen den Winkelfunktionen erhält man für die opti he Weg trecke
=
.
=
31.4 Interferenzen gleicher Dicke
393
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Sp1
Bild 31.11: Prinzip des MICHELSO Interferometer
...............
......
Bild 31.12: Schleif puren im Interferenzmikro kop
Glas zurückgelegt haben. Sind die optischen Lichtwege zwischen P-Sp 1 und P-SP2 nicht
genau gleich ent teht ein Gangunter chied zwi ehen l' und 2'. I t dieser gleich 'A/ 2, 0
wird im Detektor Dein Interferenzminimum Au löschung) regi triert. Da nächste Minimum er cheint, wenn SP2 um d = A/2 bewegt wurde. Dazwi chen i tein In.telferen-maximum (maximale Helligkeit) vorhanden. Die MeBgenauigkeit erkennt man an folgendem
Beispiel: Unterscheidet man zwi cben Maximum und Minimum nur 10 unter chiedliche
Helligkeitssrufen, kann eine Verschiebung von SP2 um A/40 beobachtet werden.
Mit dem Interferenzmikroskop stellt man fein te Bearbeitungsfehler fe 1. Die dunklen,
auf Bild 31.12 von link nach rechts verlaufenden Linien sind Interferenz treifen die bei
vollkomm.e ner Oberfläche gen au geradlinig wären. Die senkrecht dazu gerichteten zackenförmigen Au lenkungen · ind Schleif puren.
Der Au lenkung um eine Streifenbreite entspricht eine Spurtiefe von A/ 2 de verwendeten
Lichtes.
32 Beugung des Lichtes
Wie alle anderen WeHen (s. 15. 1) wird auch da Licht von einer geraden Ausbreitung, richtung abgelenkt, wenn ein Strahlengang eitlich begrenzt i t. Beim Durchgang monochromati chen Lichte durch einen Spalt on etwa 3 mm Spaltbreite b » A ent lehl kein
charfe Spaltbild, sondern beid eitig mehrere Interferenz treifen. Di 'e werden bei Verringerung der Spaltbreite zwar immer breiter, jedoch lich chwächer, bi bei b ~ ).. keine
Streifen mehr zu ehen ind. Die genannten Interferenz treifen ind eine Folge der Beugung de Lichte
394
32
32.1
Beugung des Lichtes
Beugung am Spalt
Liegen Lichtquelle Q und Beobachtungsschirm S bei einem Beugung ver uch im Unendlichen, spricht man von FRAUNHOFERscher Beugung. Prakti ch kann dies mit einer Versuchsanordnung nach Bild 32.1 realisiert werden, wenn Q und S jeweil im Brennpunkt
einer Linse stehen.
S
&.---::::::-V
Qr-=:::::::::t:l===~W~::::::=::~
8,
8
8;
'1
s
Bild 32.1: FRAUNHOFERsche Beugung
am Spalt (Spaltbreits b stark übertrieben, Entfernung des Schirme S vom
Spalt Sp stark verkürzt gezeichnet)
Die Spaltbreite b muß zur Erlüllung der Interferenzbedingung (31.3) ehr klein ein. Monochromatisches Licht der Quelle Q wird durch die Lin e LI parallel gemacht und trifft durch
den Spalt der Breite d auf die Linse L2, die auf dem Schirm S ein Bild des Spaltes erzeugt.
Infolge Beugung ent tehen auf beiden Seiten des Spa]tbildes B dunkle und helle Interferenzstreifen (seitlich ver chobene Spaltbilder BI, B~, B2, B~ u w.).
Das in der Schirmmitte liegende Bild B des Spaltes wird als Maximum O. Ordnung bezeichnet. Ihm folgen beiderseits entsprechend den Spaltbildern BI und B; die Maxima
1. Ordnung. Weitere Maxima noch höherer Ordnung ind auf Bild 32.1 der Übersichtlichkeit halber nicht dargestellt. Die zwischen den Maxima liegenden dunklen Streifen werden
Interferenzminima genann t.
0,6
§
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I
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C\i
5
X - - -..
~
10
Bjld 32.2: Intensitätsverteilung bei
Beugung am Spalt)
Wie au Bild 32.2 hervorgeht, nimmt die Lichtinten ität 1 (a) mit zunehmender Ordnung
stark ab.
Die Helligkeit der Maxima nimmt mit der Ordnung stark ab.
32.1
395
Beugung am Spalt
b
2'
l'
2
b
1
Bild 32.4: Beugung am Spalt
Richtung L Nebenmaximum
Bild 32.3: Beugung am Spalt
Richtung 1. Minimum
Um die Lage dieser Maxima und Minima zu finden, i t in Bild 32.3 aus dem seitlich abgebeugten Licht ein Bündel herausgegriffen. Es ist unter dem Winkel a gegen die ursprüngliche Richtung geneigt. W ist eine Wellenfront dieses Bündel, in dem der Rand trahl J
gegenüber dem in der Bündelung laufenden Strahl]' einen Gangunter chied hat. Beträgt
dieser gerade eine halbe Wellenlänge so löschen ich beide Strahlen aus. Ebenso lö cht
sich Strahl 2 mit 2' aus. Alle Strahlen der unteren Bündelhälfte interferieren mit denen der
oberen so, daß sie sich auslöschen.
Für das k-te Interferenzminimum gilt somit:
I inak=±k~ I (k=1,2,3, ... )
Bedingung für
Interferenzminimum.
(32.1)
Wenn bei stärkerer Neigung des Bündel ein Gangunter chied von 3),,/2 erreicht wird, läßt
sich die vorige Betrachtung nur auf die unteren beiden Drittel de Bündel anwenden (Bild
32.4). Innerhalb des oberen Drittel findet keine Au löschung statt. Es entsteht auf dem
Schirm unter die em Winkel (wenn auch schwächer al im Maximum O. Ordnung) wieder
Helligkeit.
Damit ergibt sich die Bedingung für den Winkel ßk, unter dem da k-te Beugung pektrum
er cheint:
.
sm ßk
=±
(1)
+ 2 ).
k
b
(k
=
1, 2, 3, ...)
Bedingung für
Interferenzmaximum
(32. 2)
Die im Bild 32.2 dargestellte lntensitätsverfeilung der Spaltbeugung kann durch die Funk'1tb sin a
.
in 2 x .
tion I (a) = 1(0) 2 nut x =
mathematl ch be chrieben werden. Die Nullx
A
stellen die er Funktion ind die Minima. Da 1. Minimum T(a l ) = 0 erscheint für x = n
32
396
Beugung des Lichtes
A
in Überein timmung mit (32.1) mit k = 1 bei sinal = -; das zweite bei x = 2n, also mit
b
2),
k = 2 bei sin a2 = b u w. Solche Beugungserscheinungen treten auch bei einem dünnen
Draht auf. In der Mitte erscheint ein Maximum, welches sich aus der Gleichphasigkeit der
gebeugten Quellen am Rand ergibt (Bild 32.5)
9
Bild 32.6: Beugung am Gitter
Richtung 1. Nebenmaximum
Bild 32.5: Interferenzstreifen am
Schatten eines dünnen Drahtes
32.2 Beugungsgitter
Die Beugungsbilder werden bedeutend lichtstärker, wenn der Spalt durch ein Beugungsgitter er etzt wird. Jedem Einzelstrahl des z. B. in den ersten Spalt (Bild 32.6) eintretenden
Bündels entspricht ein entsprechend gleichliegender in einem anderen Spalt. Wenn der
Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches von A ist, tritt Verstärkung ein. Dies ist dann
zugleich für sämtliche paarweise zugeordneten Teilwellen dieser Bündel der Fall:
.
kA
smak = g
(k
= 0,
1,2, ... )
Bedingung für Interferenzmaximum beim Beugungsgitter
(32.3)
Bei bekannter Gitterkonstante g (Spaltabstand) kann aus (32.3) die Wellenlänge des Lichte be timmt werden. Daher werden in Spektralapparaten die Pri men eit geraumer Zeit
durch Beugungsgitter ersetzt. Beugungsgitter sind auch insofern günstiger als Prismen da
bei ihrer Verwendung wegen sin ak '" ). die Ablenkung proportional der Wellenlänge i t.
Langweiliges Licht wird stärker gebeugt als kurzweiliges.
Bei Verwendung von weißem Licht entstehen Beugungsspektren. Die lichtstärksten Spektren 1. Ordnung (k = 1) ent prechen den Maxima 1. Ordnung am Spalt. Die Spektren höherer Ordnung werden zunehmend lichtschwächer, breiter und überdecken sich schließlich
gegen eitig.
398
ach (32.4) i tAl ßÄ. = kN = 105 . ötig wäre Ä.I ßÄ. = 0, 5967 /589 ~ 0 6/600 = 103 ! Da Gitter
wäre ogar in der Lage. noch Wellenlängendifferenzen aufzulö en. die lOOmal kleiner ind.
32.3 Auflösungsvermögen optischer Instrumente
Von einem guten optj chen System wird erwartet daß von jedem Punkt de abzubildenden
Gegen tande genau ein Bildpunkt ent teht. Diese Forderung kann man jedoch weder durch
beliebige Erweiterung der Vergrößerung noch durch da be tkorrigierte Linsen y tern für
ehr kleine Gegen tände erfüllen weil da Licht anjeder Öffnung gebeugt wird.
Krei förmige Öffnungen mit dem Durchme ser d ergeben ganz analog zum einfachen Spalt
ein System von heUen und dunklen Beugung ringen.
Ein P-unkt eines Gegenstandes wird als ringronniges Beugungsscheibchen abgebildet.
Eine kompliziertere Berechnung liefert für die Lage de er ten dunklen Ringe (l.Interferenzminimum) den Winkelab tand in al
1, 22A/d.
=
Je kleiner die Öffnung, desto breiter die Beugungsringe.
Zwei benachbarte Punkte de Gegenstande ergeben daher bei kleinem Ab tand zwei ich
teilwei e überdeckende Ring y terne (Bild 32.7).
I t der Winkel a zu klein ver chmelzen die beiden zentralen hellen Maxima zu einem einzigen Fleck und werden aJ nur ein Punkt gedeutet. Erst wenn die Beugungsringe weiter
au einanderrücken und da 1. Minimum de einen in da Zentrum des anderen fällt, beginnen beiderseit zwei getrennte helle Flecke zu erscheinen (Bild 32.7).
Frontlinse
des Objektivs
PT
Bild 32.7: Beugungs cheiben zweier Bildpunkte
(. chemati ehe Dar teilung)
Bild 32.8: Zum Auflö ung vermögen de
Mikroskop
Die Grenze des Auflösung vermögens eines opti ehen Sy tems wird erreicht
wenn der bstand zweier Bildpunktmaxima gleich dem Radius des 1. Minimums des Beugungsscheibchens i t.