Symmetrie und Spiegelungen

Symmetrie und
Spiegelungen
Bericht einer Lernwerkstatt-Sequenz
Franziska Frey
Lernwerkstatt der
Birger-Forell-Grundschule
Koblenzer Straße 22
10715 Berlin
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
3
2. Symmetrische Figuren im Alltag
3
2.1. Die Symmetrie der Natur
3
2.1.1. Gesicht und Körper des Menschen
3
2.1.2. Hexagonal- und Spiralsymmetrie
4
2.2. Raummodelle und Architekt
4
2.2.1. Symmetrien der regelmäßigen Polyeder
4
2.3. Ornamente und Muster
4
2.4. Schrift
5
2.5. Symmetrie und Gleichgewicht
5
2.6. Antisymmetrie: Tag und Nacht oder Yin und Yang
5
2.7. (Anti-)Symmetrie und Spiegelung in der Psychologie
5
3. Symmetrie - ein geometrischer Begriff
6
3.1. Symmetrien im Zweidimensionalen
6
3.1.1. Achsen- oder Spiegelsymmetrie
6
3.1.2. Verschiebesymmetrie
6
3.1.3. Dreh- oder Punktsymmetrie
6
3.2. Symmetrien im Dreidimensionalen
7
3.2.1. Ebenensymmetrie
7
3.2.2. Rotationssymmetrie
7
3.2.3. Kugelsymmetrie
7
3.3. Kombination von Symmetrien
7
4. Symmetrie und Spiegelungen im Rahmenlehrplan Grundschule
8
4.1. Rahmenlehrplan Mathematik
8
4.2. Rahmenlehrplan Sachunterricht
9
4.3. Rahmenlehrplan Naturwissenschaften
9
5. Zusammenfassung
10
6. Literatur | Links | Bildnachweis
11
Anhang: Stationen in der Lernwerkstatt
Arbeitsauftrag 1-13
2 1. Einleitung
Während der Lernwerkstatt-Sequenz Symmetrie und Spiegelungen, die in der Lernwerkstatt der Birger-Forell-Schule im Schuljahr 2013/14 durchgeführt wird, werden den
Schülerinnen und Schülern an Stationen verschiedene Materialien und Gegenstände
zur Verfügung gestellt, mithilfe derer sie verschiedene Phänomene der Symmetrie
beobachten und erforschen können.
Im Bericht werden unterschiedliche Symmetrieformen und -erscheinungen erläutert.
Anschließend wird der Stellenwert des Themas in den Rahmenlehrplänen Mathematik
und Sachunterricht der Berliner Grundschulen aufgezeigt. Zusammenfassend wird
vorgestellt, wie die Lernwerkstatt-Sequenz von verschiedenen Lern- und Altersgruppen
genutzt wird. Die Arbeitsaufträge und Stationen, die in der Lernwerkstatt zur Verfügung
stehen, werden als Anhang aufgelistet.
2. Symmetrische Figuren im Alltag
Wir sind täglich von symmetrischen Zeichen, Figuren
und Körpern umgeben. Viele Pflanzen und Tiere,
Menschen technische Geräte und Fahrzeuge, auch
Gebäude und Verzierungen wirken achsensymmetrisch.
Wir nehmen Formen als ebenmäßig und harmonisch
wahr, auch ohne uns deren symmetrische Erscheinung
bewusst zu machen.
2.1. Die Symmetrie der Natur
Das Prinzip der Symmetrie durchzieht die ganze Natur.
Viele höhere Lebewesen sind mehr oder weniger
annähernd spiegel- oder rotationssymmetrisch aufgebaut.
So scheint die sprichwörtliche Schönheit der Natur im
wesentlichen auf der Proportionalität der Symmetrie zu
beruhen.
2.1.1. Gesicht und Körper des Menschen
Auch der Mensch verfügt über eine vertikale
Symmetrieebene, die anatomische Sagittalebene.
Der Aufbau und die Verteilung der inneren Organe
muss allerdings nicht spiegelsymmetrisch sein. Auch
weisen die scheinbar zueinander symmetrischen
Körperteile mehr oder weniger große Unterschiede
auf in Lage-, Form- und in ihrer Größe.
3 2.1.2. Hexagonal- und Spiralsymmetrie
Einige
der
schönsten
Beispiele
für
Drehung
und
Spiegelung in der Natur bietet die unendliche Vielfalt der
Schneekristalle. Jeder Schneekristall ist ein Unikat,
jedoch allen gemeinsam ist die sechszählige Drehachse.
Die Symmetrie der Schnee-flocken folgt der hexagonalen
Anordnung der Wasser-moleküle im Eiskristall.
Auch Helices und Spiralen basieren auf dem Prinzip der
Wiederholung. Innerhalb einer Spirale verändern sich
Drehung und Verschiebung allmählich und regelmäßig.
Das Prinzip der Drehung bei konstanter Verschiebung
lässt sich bei Wendeltreppen gut erkennen.
2.2. Raummodelle und Architektur
Bilaterale Symmetrie lässt sich bei Gebäuden aller Art
finden. An den Fassaden historischer Gebäude sind
häufig drehsymmetrische Motive zu entdecken. Die
Kuppeln vieler bedeutsamer Bauwerke sind zugleich
spiegel- und drehsymmetrisch. Zwei- bis sechszählige
Symmetrien können die Grundrisse alter Festungen
besitzen. Interessante Architekturbeispiele weisen auch
acht- und mehrzählig symmetrische Grundrisse auf. Bei
Rundbauten kann man Rotationssymmetrien beobachten.
2.2.1. Symmetrien der regelmäßiger Körper Die
regelmäßigen
entdeckten
Polyeder,
halbregelmäßigen
die
von
Polyeder,
Archimedes
die
Stern-
polyeder, die Prismen und Antiprismen weisen alle
Drehachsen und Spiegelebenen auf. 2.3. Ornamente und Muster
Bei Friesen und Randverzierungen werden Muster erzeugt durch Translation von
Motiven. Durch die unendliche Wiederholung des gleichen Motivs wird Periodizität
erzeugt. Die durch Verschiebung, Spiegelung und Drehung erzeugten Wiederholungseffekte kann man auch als repetitive Symmetrie beschreiben.
4 2.4. Schrift und Zeichen
Unter Spiegelschrift versteht man eine Schrift, die erst bei
einer Betrachtung durch einen Spiegel in herkömmlicher
Weise lesbar ist. Auch Palindrome können Spiegelwörter
sein, z.B.: AHA, AUA, MIT TIM, OHO, OTTO,
TAT, TOT, TUT, UHU.
Viele Verkehrszeichen weisen Drehund/oder Spiegelachsen auf.
2.5. Symmetrie und Gleichgewicht
Die meisten Fahrzeuge sind links-rechts-symmetrisch
aufgebaut, da die bilateral symmetrisch ausbalancierte
Konstruktion
der
Beweglichkeit
dient.
Raketen,
die
senkrecht von der Erdoberfläche starten, besitzen eine
zylindrische Symmetrie.
2.6. Antisymmetrie: Tag und Nacht oder Yin und Yang
Im Allgemeinen bezeichnet Antisymmetrie nicht das
Fehlen von Symmetrie oder Ebenmäßigkeit, sondern eine
besondere Art der Symmetrie. Bei vorhandener Spiegelung
oder Translation der Formen können deren Kontraste oder
Farben wechseln. Auch bei der Antidrehsymmetrie können
Positiv- und Negativformen als auch Kontraste wechselseitig auftreten.
2.7. (Anti-)Symmetrie und Spiegelung in der Psychologie
Das Bild des Narziss spiegelt den Gefühlszustand der Selbstverliebtheit wider. Durch Spiegelung - empathische Äußerungen fühlt sich das Gegenüber emotional nicht allein gelassen.
Die Unterscheidung wird auch in der Psychologie angewendet: in
einer symmetrischen Spiegelung werden Form und Inhalt identisch
gespiegelt: ein weißer Schwan spiegelt sich weiß im Wasser. In
einer antisymmetrischen Spiegelung wird die Form identisch
gespiegelt, während ihr Inhalt in das Gegenteil verkehrt wird.
5 3. Symmetrie - ein geometrischer Begriff
Der geometrische Begriff Symmetrie beschreibt die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch Bewegungen (spiegeln, verschieben, drehen, kippen) auf sich
selbst abgebildet werden kann. Verschiedene geometrische Objekte zusammen
betrachtet, werden ebenfalls als zueinander symmetrisch bezeichnet, wenn sie eine
symmetrische Figur bilden.
Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es folgende unterschiedliche
Symmetrien:
3.1. Symmetrien im Zweidimensionalen
Im
Zweidimensionalen
unterscheidet
man
zwischen
Punkt- und Achsensymmetrie, außerdem treten Radialund Translationssymmetrien durch Drehen, Spiegeln und
Verschieben auf.
3.1.1. Achsen- oder Spiegelsymmetrie
Achsensymmetrie
und
Spiegelsymmetrie
sind
bei
zweidimensionalen Figuren gleichbedeutende Begriffe.
Eine geometrische Figur ist dann achsensymmetrisch,
wenn sie durch Achsenspiegelung an einer Symmetrieachse auf sich selbst abgebildet werden kann.
3.1.2. Verschiebesymmetrie
Wenn eine Figur durch Verschieben mit sich selbst zur
Deckung gebracht werden kann, so heißt das Verschiebesymmetrie.
3.1.3. Punkt- oder Drehsymmetrie
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch die
Spiegelung bzw. Drehung an einem Symmetriepunkt auf
sich selbst abgebildet wird.
6 3.2. Symmetrien im Dreidimensionalen
Der Achsensymmetrie im Zweidimensionalen entspricht
die Ebenensymmetrie im Dreidimensionalen. Daneben
gibt es die Punkt- oder Rotationssymmetrie und die
Kugelsymmetrie im Raum sowie die Translationssymmetrien.
3.2.1. Ebenen- oder Spiegelsymmetrie
Die Symmetrie zu einer Symmetrieebene wird in dreidimensionalen
Räumen auch als Spiegelsymmetrie
bezeichnet.
3.2.2. Rotationssymmetrie
Dreidimensionale
Darstellungen
werden
als
rotationssymmetrisch bezeichnet, wenn eine Drehung
um eine Achse (Symmetrieachse) um jeden beliebigen
Winkel die geometrische Konstruktion auf sich selbst
abbildet.
Die
Rotationssymmetrie
wird
auch
als
Zylinder-
symmetrie bezeichnet. Dreidimensionale Objekte mit
dieser
Eigenschaft
werden
auch
Rotationskörper
genannt.
3.2.3. Kugelsymmetrie
Die Kugelsymmetrie
wird auch als Radialsymmetrie
bezeichnet.
ist
Sie
ein
Spezialfall
der
Rotationssymmetrie bei einer möglichen Spiegelung um
jede beliebige Achse durch denselben Mittelpunkt.
3.3. Kombination von Symmetrien
Verschiedene Symmetrieoperationen lassen sich
kombinieren,
z.B. Drehung, Drehspiegelung,
Verschiebung, Gleitspiegelung, Schraubung.
7 4. Symmetrie und Spiegelungen im Rahmenlehrplan der Grundschule
Wer die Prinzipien von Spiegelung, Drehung und Verschiebung verstehen gelernt hat,
wird
Ähnlichkeiten
und
Regelmäßigkeiten
auch
in
anderen
mathematischen
Zusammenhängen erkennen. So durchzieht das Thema Symmetrie und Spiegelungen
die betreffenden Rahmenlehrpläne der Grundschule alle Jahrgangsstufen.
Im Rahmenlehrplan Mathematik der Jahrgangsstufe 1-6 finden sich innerhalb des
Themenfeldes Form und Veränderung in allen Jahrgangsstufen Anforderungen und
Inhalte in denen das Gebiet Symmetrie und Spieglungen eine wesentliche Rolle spielt.
Im Rahmenlehrplan Sachunterricht der Jahrgangsstufe 3/4 werden Spiegelungen als
Naturphänomen genauer erschlossen.
Im Rahmenlehrplan Naturwissenschaften der Jahrgangsstufe 5/6 werden physikalische
Phänomene
mit
den
geometrischen
Gesetzmäßigkeiten
der
Symmetrie
in
Zusammenhang gebracht, wenn die Lichtbrechung und Spiegelung, die Entstehung
von Schneeflocken und Kristallen näher beobachtet wird.
4.1. Rahmenlehrplan Mathematik
Themenfeld: Form und Veränderung
Die Schülerinnen und Schüler erkennen und beschreiben Gesetzmäßigkeiten in
geometrischen Mustern, setzen diese fort und entwickeln eigene Muster. (S.20)
Die Schülerinnen und Schüler entdecken Abbildungen in ihrer Umwelt und erkennen
ihre Eigenschaften. Ausgehend von achsensymmetrischen Figuren werden die
Kenntnisse zur Abbildungsgeometrie zunehmend angereichert und vertieft.
Kongruenzabbildungen, wie Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen,
werden von den Schülerinnen und Schülern dargestellt, beschrieben und
miteinander in Beziehung gesetzt. Sie erzeugen ebene und räumliche Figuren auf
der Basis ihrer Kenntnisse. (S.28)
Anforderungen
Inhalte
Form und Veränderung / Jahrgangsstufen 1/2 (S.32)
- identische und spiegelsymmetrische
Spiegelung, Spiegelachse, deckungsgleich;
Bilder erkennen, benennen,
Symmetrieachse;
vervollständigen und darstellen
ist symmetrisch zu Form, Größe;
- Beziehung zwischen Original und Bild
Lage zur Spiegelachse von Original und Bild;
bei Spiegelungen benennen
Spiegelbilder, Klecksbilder, Faltschnitte;
Muster, Ornamente;
Figuren mit keiner, einer oder mehreren
Symmetrieachse(n);
8 Form und Veränderung / Jahrgangsstufen 3/4 (S.35)
- verschobene und gedrehte Figuren
Bild, Original, Symmetrie;
erkennen, benennen, vervollständigen
Verschiebung, Drehung;
und herstellen
drehsymmetrische Figuren;
schubsymmetrische Muster und Bordüren;
Form und Veränderung / Jahrgangsstufen 5/6 (S.39)
- Symmetrien in ebenen Figuren und
Konstruktion von Spiegelungen,
Körpern identifizieren
Verschiebungen und Drehungen;
- Figuren auf Kongruenz untersuchen und Nacheinanderausführung von
vergleichen
Abbildungen;
Kongruenz;
4.2. Rahmenlehrplan Sachunterricht
Anforderungen
Inhalte
Naturphänomene erschließen / Jahrgangsstufen 3/4 (S.41)
- Original und Spiegelbild vergleichen
Spiegelungen
Spiegelschrift, Kaleidoskop
- optische Täuschungen wahrnehmen
Farbkreisel
und beschreiben
Wechselbilder, Abbildungen
4.3. Rahmenlehrplan Naturwissenschaften
Anforderungen
Inhalte
Welt des Großen - Welt des Kleinen / Jahrgangsstufen 5/6 (S.32)
- Beobachtungen zu Lichtphänomenen
lineare Ausbreitung des Lichtes,
beschreiben:
Schattenwurf,
Spiegelung
- Experimente zur Lichtreflexion planen,
Lichtreflexion und -absorption,
durchführen und protokollieren :
Reflexion am ebenen Spiegel,
Reflexionsgesetz,
Spiegelbild
Modelle und Modellbildung / Jahrgangsstufen 5/6 (S.37)
- einfache naturwissenschaftliche
Blumen im Schnee,
Phänomene beobachten und
Entstehung von Kristallen
beschreiben:
Lichtspiegelungen
9 5. Zusammenfassung
Die derzeitige Sequenz Symmetrie und Spiegelungen steht
den Schülerinnen und Schülern der Birger-Forell-Grundschule
zu
unterschiedlichen
Zeiten
als
Unterrichtsprojekt-
und
Lernwerkstattangebot zur Verfügung.
Im Vormittagsbereich bearbeiten sie die im Rahmen eines
Projektes vorbereiteten Stationen, die im Anhang des Berichts
durch die Arbeitsaufträge näher vorgestellt werden. Als
abschließenden Höhepunkt der Stationsarbeit werden die
Kinder in Partnerarbeit ein von ihnen ausgewähltes Phänomen
oder einen Versuch vor der Klasse präsentieren und näher
erläutern.
Im
Nachmittagsbereich
können
sie
im
Rahmen
eines
entsprechenden Kurses oder einer AG die Materialien und
Aufgabenstellungen selbstständig wählen, um zu beobachten,
zu gestalten und zu forschen. Hier geht es weniger um
Vollständigkeit in der Vermittlung der verschiedenen Aspekte
des
Themas,
als
mehr
um
Individualität
und
Selbst-
bestimmung im Lernprozess der Kinder.
Die
Lernwerkstattsequenz
TransKiGs-Transfer
umliegenden
Kitas
Grundschulkindern
(Berlin)
wird
auch
genutzt.
experimentieren
einer
im
Rahmen
von
Kindergruppen
der
gemeinsam
jahrgangsübergreifenden
mit
Lern-
gruppe (1.-3.Jg.).
Die Lernwerkstattsequenz Symmetrie und Spiegelungen wird im Laufe des Schuljahres
durch Materialien und Angebote ergänzt und erweitert, die von Lehrerinnen und
Erzieherinnen der Schule oder von Kindern in der Lernwerkstatt erarbeitet werden.
10 6. Literatur:
- Istvan Hargittai und Magdolna Hargittai: Symmetrie. Eine neue Art, die Welt zu sehen.
Rowohlt 1998
- David Wade: Macht der Symmetrie
Artemis & Winkler 2011
- Symmetrien entdecken - Vom Handeln zum Vorstellen
in: Mathematik differenziert, Westermann 3/2013
- Kathrin Richter und Claudia Schneider: Symmetrien spielerisch erkunden
in: Mathematik lehren, Friedrich-Verlag Heft 161/2010
- Symmetrien: Parkettierungen
in: Grundschule Mathematik, Friedrich-Verlag Heft Nr. 22/2009
- Katrin Wemmer: Stationentraining Symmetrie
Persen-Verlag 2013
- Roland Bauer: Symmetrie: Lernen an Stationen in der Grundschule / 2.-4. Schuljahr
Cornelsen Scriptor 2009
- Rahmenlehrplan Mathematik Grundschule
- Rahmenlehrplan Sachunterricht Grundschule
- Rahmenlehrplan Naturwissenschaften Grundschule
Links:
http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_(Geometrie)
http://sinus-sh.lernnetz.de/sinusag/materialien/mathematik/themenkisten/
http://www.tk.de/tk/wissen/zahlen-und-zeichen/symmetrie-10004228/538314
http://www.br.de/grips/faecher/grips-mathe/25-symmetrie-flugwerft102.html
Bildnachweis:
Seite 1: http://www.tydecks.info/online/Bilder/Penrose34.gif
Seite 3: http://www.oly-forum.com/gallery/view/gloriette-mit-wasserspiegelung
Seite
Seite
Seite
Seite
http://a400.idata.over-blog.com/2/27/36/38/Ausmalbilder-Tiere/schmetterling-7.jpg
http://www.kunstforschung.de/Symmetrie_09.html
4: http://www.oberstufeninformatik.de/info11/turtle/Kochkurve.html
http://www.origamiweb.de/models/shell3-b.jpg
http://www.balance-nbg.de/showpage.php?SiteID=12&edet=199
http://stubber.math-inf.uni-greifswald.de/mathematik+kunst/polyeder.html
http://de.wikipedia.org/wiki/Fries
5: http://666kb.com/i/b6p1dmm55901l4yvc.gif
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Airplane_model_fausek_n_v.jpg
http://www.diecircuskiste.de/cgi-bin/his-webshop.pl?f=NR&c=260047&t=temartic
http://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/kuhlenschmidt/
http://artinspired.pbworks.com/w/page/13819678/Positive and Negative Space
http://www.wikipaintings.org/en/m-c-escher/circle-limit-i
http://german.postersguide.com/dayandnightescherposters95847.html
http://aarau-shiatsu.ch/glossar/ki-chi-qi/
http://www.iposs.de/957/der-narziss-rucksichtslos-und-gierig/
6: http://de.wikipedia.org/wiki/Achsensymmetrie
http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_%28Geometrie%29
http://german.postersguide.com/dayandnightescherposters95847.html
http://mathe-insel.de/theorie/voderberg/
7: http://www.mathematische-basteleien.de/archimedes.htm
http://www.mathematische-basteleien.de/hyperboloid.htm
http://www.mathematische-basteleien.de/torus.htm
http://mathe-insel.de/theorie/voderberg/
http://www.math-inf.uni-greifswald.de/mathe/index.php/geschichte-und-kultur/167
http://www.livenet.ch/sites/default/files/media/2675-Pusteblume.jpg
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