MATLAB Signal Processing Toolbox Inhaltsverzeichnis

Transcrição

MATLAB Signal Processing Toolbox
Inhaltsverzeichnis
0
1
2
Signal Processing Toolbox
Was ist Digitale Signalverarbeitung?
Inhalt
3
4
6
7
8
Aufbereitung der Messdaten
Interpolation
Approximation
Interpolation und Approximation
Anpassung der Abtastrate
11
12
Analyse im Zeitbereich
Korrelationsfunktionen
16
17
18
23
25
27
32
Analyse im Frequenzbereich
Spektralanalyse
Diskrete Fouriertransformation DFT
Leakage–Effekt
Fensterfunktionenn
Leistungsdichtespektren
Spektralanalyse – zeitvariable Signale
33
34
35
40
44
45
46
48
51
Extraktion von Signalanteilen
Digitale Filter
FIR–Filter
IIR–Filter
Digitale Filter – Beliebiger Frequenzgang
Digitale Filter – Vergleich
Analoge Filter
Digitale Filter – Herleitung
sptool
Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik
Simulation mit Matlab/Simulink
MATLAB
Signal Processing Toolbox
Was ist Digitale Signalverarbeitung?
Verarbeitung zeitdiskret abgetasteter Signale mit
• Methoden zur Aufbereitung von Messdaten
• Analysen im Zeitbereich
• Analysen im Frequenzbereich
• Methoden zur Extraktion von Signalanteilen
1
Inhalt
Schwerpunkte der heutigen Vorlesung:
• Interpolation, Approximation und Abtastung
• Korrelationsfunktionen
• Spektralanalyse
• Filter −→ Digital und Analog
2
Aufbereitung der Messdaten
Interpolation
Approximation
Änderung der Abtastrate
3
Interpolation
Anwendung
• Funktionswertberechnung zwischen Abtastpunkten
• Grafische Darstellung einer abgetasteten Kurve
Verfahren
• linear
• kubisch
• Splines
4
Interpolation
Matlab–Befehle
• Interpolation (methode = linear, cubic, spline):
interp1 (x_koord, y_werte, x_auswertung, ’methode’)
• Mehrdimensionale Interpolation:
interp2, interp3, interpn
• Zweidimensionale Interpolation unsortierter Daten:
griddata (x_koord, y_koord, z_werte, ...
x_auswertung, y_auswertung, ’methode’)
5
Approximation
Anwendung
• Generieren von Kennlinien aus verrauschten Daten
• Beschreibung von Messdaten durch Ausgleichspolynom
Matlab–Befehle
• polynom
= polyfit (x_koord, y_werte, ordnung)
• y_auswertung = polyval (polynom, x_auswertung)
6
Interpolation und Approximation
Vergleich interp1 mit Basic Fitting Tool
• ’spline’, ’cubic’ −→ spline interp., shape-preserving
• polyfit
−→ linear, cubic etc.
7
Anwendung
• Messdaten liegen mit abweichender Abtastfrequenz vor
• Kompatibilität zwischen unterschiedlichen
Aufzeichnungsstandards (z.B. Digital-Audio)
• Einfache (verlustbehaftete) Datenkompression
8
Matlab–Befehle
Ohne Filterung:
• downsample (x, faktor) −→ Zwischenwerte entfallen
• upsample (x, faktor)
−→ Auffüllen mit 0
Mit Filterung:
• decimate (x, faktor [, ordnung, ’fir’])
• interp (x, faktor)
• resample (x, zaehler, nenner)
9
Original x
y = downsample (x, 4)
z = upsample (y, 4)
5
5
5
0
0
0
−5
−5
−5
0
20
40
0
Original x
5
10
y = decimate (x, 4, 8, ’fir’)
5
5
0
0
0
0
20
40
−5
0
5
20
40
z = interp (y, 4)
5
−5
0
10
−5
0
20
40
10
Analyse im Zeitbereich
Autokorrelation
Kreuzkorrelation
11
Aufgabenstellung
Korrelationsfunktion = Maß für Ähnlichkeit
• zweier Signale −→ Kreuzkorrelation
• eines Signals mit sich selbst −→ Autokorrelation
Anwendung
• Erkennung und Ausblendung von Echos
• Laufzeitmessung zur Ortung einer Signalquelle
• Unterscheidung verschieden codierter Sender
12
Autokorrelation
N
1 X
φxx(k) =
xn+k · xn
N n=1
Berechnung in Matlab:
cxx = xcorr (x, ’options’)
x:
Signalvektor der Länge N
cxx: Ergebnisvektor der Länge 2N − 1
’options’ = ’none’ −→ Standard, ohne Skalierung 1/N
= ’biased’ −→ Skalierung wie in Formel
= ’coeff ’ −→ Skalierung, so dass φxx(0) = 1
13
Kreuzkorrelation
N
1 X
φxy (k) =
xn+k · yn
N n=1
Berechnung in Matlab:
cxy = xcorr (x, y, ’options’)
x, y: Signalvektoren, Länge jeweils ≤ N ,
bei Bedarf wird der kürzere Vektor mit 0 aufgefüllt
cxy: Ergebnisvektor der Länge 2N − 1
14
Signallaufzeit von 4 verschieden codierten Sendern
mittels Kreuzkorrelation:
Kreuzkorrelation
0.4
S1, 100ms
S2, 200 ms
S3, 150ms
S4, 400 ms
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Laufzeit [s]
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
15
Analyse im Frequenzbereich
Amplitudenspektren
Leistungsdichtespektren (PSD)
Fensterfunktionen
Averaging
16
Spektralanalyse
Aufgabenstellung
Bestimmung der Frequenzanteile in einem Signal
=
ˆ Korrelation mit Frequenzen Fk
Anwendung
• Bestimmung der Übertragungsfunktion
• Bestimmung des Rauschabstands (SNR)
• Anlagenüberwachung (frühzeitige Fehlererkennung)
17
Kontinuierliche FT:
X(jω) =
Z ∞
−∞
x(t) exp (−jωt) dt
Zeitdiskret (N Messwerte, Ts Abtastzeit):
Xd(jωk ) =
NX
−1
=
NX
−1
n=0
x(nTs) exp (−jωk nTs)
x(nT
s) cos(ω
s) j sin(ω
k nTs)} − x(nT
k nTs)}
|
{z
|
{z
n=0
Realteil
Imaginärteil
18
• Nur für diskrete Frequenzen definiert:
ωk = k∆ω = 2π k∆F
• Frequenzauflösung = 1 / Messdauer:
∆F = 1/(N Ts)
• Maximal messbare Frequenz = 1/2 Abtastfrequenz:
Fmax = Fs/2 = 1/(2Ts)
• Fourierkoeffizienten sind eindeutig und
(konjugiert komplex) spiegelbildlich um N/2 bzw. Fs/2
19
Reelle Fourierreihe:
x(t) = a0 +
K
X
k=1
(ak cos(kωk t) + bk sin(kωk t))
Reelle Fourierkoeffizienten:
2
Re {Xd(k)}
ak =
N
2
bk = −
Im {Xd(k)}
N
1
a0 =
Re {Xd(0)}
N
k = 1 . . . N/2
k = 1 . . . N/2
k=0
20
Matlab–Befehl
• X = fft (x)
• x: Signalvektor der Länge N
• X: Frequenzgang der Länge N
(komplex, symmetrisch)
• Achtung: Formel a0, a1, a2 . . . entspricht
Matlab–Indizes
1, 2, 3 . . . !
21
Signal
Spektrum
15
10
DFT
Ideal
Hamming
9
10
8
7
5
6
0
5
4
−5
3
2
−10
1
−15
0
0.1
0.2
0.3
Zeit [s]
0.4
0.5
0
0
10
20
30
Frequenz [Hz]
40
50
22
Leakage–Effekt
Zeitbereich
Frequenzbereich (Prinzip)
8 Hz
1
|sinc|
k⋅∆F
1
0.5
0
0.5
−0.5
−1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
2
Zeitbereich
4
6
8
10 12 14 16 18 20
Frequenzbereich (Prinzip)
11 Hz
1
|sinc|
k⋅∆F
1
0.5
0
0.5
−0.5
−1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
23
Leakage–Effekt
• Messzeitfenster ◦—• Spaltfunktion
• Im allgemeinen Fall (F 6= k ∆F ) wird Spaltfunktion
nicht in Nullstellen (k ∆F ) abgetastet −→ Leakage
• Verbesserung durch Gewichtung der Messwerte mit
Fensterfunktionen:
– Vorteil: niedrigere
Nebenzipfel“
”
−→ verringertes Leakage
– Nachteil: breiterer
Hauptzipfel“
”
−→ schlechtere Frequenztrennung
24
Fensterfunktionen
Matlab–Befehle
• Ohne Fensterung: Rechteck rectwin(n), alt: boxcar(n)
• Fenster in Reihenfolge zunehmender Glättung ↓
triang(n)
hamming(n)
hann(n)
blackman(n)
Dreieck
Hamming
Hann
Blackman
1
Dreieck
Hamming
Hann
Blackman
0.5
0
0
5
10
15
20
• Matlab–Aufruf: X = fft (hamming(length(x)) .* x)
• Matlab–Tool:
wintool
25
Fensterfunktionen
26
Autoleistungsdichtespektrum
1
2
Φxx(k∆F ) =
|X
(2π
k∆F
)|
d
N 2 ∆F
mit
∆F = Fs/N = 1/(N Ts)
Amplitudenspektrum ←→ Leistungs(dichte)spektrum
Amplitude A ∼ U
Leistung P ∼ U 2
DF T / N
|DF T / N |2 / ∆F
Einheit dB
Einheit dB/Hz, W/Hz
20 dB =
ˆ 10 · U
20 dB =
ˆ (10 · U )2 = 100 · P
27
Matlab-Befehle (1)
psd
−→ veraltet
periodogram −→ sehr anfällig für Rauschen
pwelch
−→ mit Fensterung: reduziertes Leakage
−→ ohne Fensterung: quantitative Analyse
• Averaging (DFT stückweise, Mittelung)
• überlappende Sequenzen (geringer Datenverlust)
28
Matlab-Befehle (2)
[Pxx, Fxx] = pwelch (x, fenster, Nover, Nfft, Fs)
plot (Fxx, 10 * log10 (Pxx))
x:
fenster:
Nover:
Nfft:
Fs:
Signalvektor der Länge N
Länge für Hamming (Standard), sonst Vektor
Überlappung, Standard = Nfft/2
Länge einer Sequenz ≤ N
Abtastfrequenz
Pxx:
Fxx:
Autoleistungsdichtespektrum (Schätzwert)
Zugehöriger Frequenzvektor
29
Spektrum mit "pwelch"
20
Spektrum
Ideal
Rauschen
Leistungsdichte [dB/Hz]
15
10
5
0
−5
−10
0
5
10
15
20
25
30
Frequenz [Hz]
35
40
45
50
30
Skalierung bei pwelch (x, rectwin(Nfft), [], Nfft, Fs)
Signalanteil
Zeitbereich
Gleichanteil
x=C
←→ Frequenzbereich
X(0) = C 2 /∆F
Sinus / Cosinus x = A · sin (. . .)
X(f ) = A2/ 2 /∆F
Rauschen
X
x normalverteilt
= σ 2 / (Fs/2)
Beispiel für ∆F = Fs/Nfft = 100 Hz/250 = 0.4 Hz:
x = 2 + ...
+ 8 * sin (2*pi*8*t) ...
+ 5 * randn (1, n)
10 =
ˆ 10 dB/Hz
80 =
ˆ 19 dB/Hz
0.5 =
ˆ − 3 dB/Hz
31
Spektralanalyse – zeitvariable Signale
x = 5 + 8
* sin (2*pi*(8+t).*t) + t .* cos (2*pi*33*t);
[S, F, T, P] = spectrogram (x, 64, [], 64, Fs);
pcolor (T, F, 10*log10(P))
Spektraler Verlauf mit spectrogram
50
Frequenz [Hz]
40
30
20
10
0
5
10
15
20
Zeit [s]
32
Extraktion von Signalanteilen
Digitale FIR- und IIR-Filter
Analoge Filter
Herleitung Digitaler Filter
sptool
33
Digitale Filter
Aufgabenstellung
• Verstärkung des Nutzsignals
• Unterdrückung von Störsignalanteilen
Allgemeine Gleichung (Matlab-Indizes!)
b1 + b2 z −1 + . . . + bn+1 z −n
y(z)
B(z)
H(z) =
=
=
x(z)
A(z)
a1 + a2 z −1 + . . . + am+1 z −m
a1 yk = b1 xk + b2 xk−1 + . . . + bn+1 xk−n
− a2 yk−1 − . . . − am+1 yk−m
34
FIR–Filter
• Der Ausgangswert wird ausschließlich aus
Eingangswerten xk . . . xk−m berechnet:
y(z)
H(z) =
= B(z) = b1 + b2 z −1 + . . . + bn+1 z −n
x(z)
yk = b1 xk + b2 xk−1 + . . . + bn+1 xk−n
• FIR–Filter sind nicht–rekursiv und stets stabil.
• Die Impulsantwort besitzt eine endliche Länge
(Finite Impulse Response).
35
FIR–Filter
Matlab–Befehle
• Filterentwurf: B = fir1 (ordnung, Fg)
B:
Filterkoeffizienten, optimiert auf idealen Tiefpass
Fg: Grenzfrequenz normiert auf Fs/2 = Fmax
• Übertragungsfunktion: [H, F] = freqz (B, 1, N, Fs)
N:
Anzahl der Datenpunkte für Ausgabe
H:
Übertragungsfunktion
F:
zugehöriger Frequenzvektor
36
FIR–Filter
• Endliche Zahl an Koeffizienten ◦—• Spaltfunktion
• Überlagerte Fensterfunktion reduziert Welligkeit
Filter−Koeffizienten
Filter−Übertragungsfunktion
1.2
0.3
Ideal
FIR
FIR + Hamming
1
0.8
0.2
0.6
0.1
0.4
0.2
0
0
−0.1
−20
−10
0
10
Nummer der Koeffizienten
20
−0.2
0
10
20
30
Frequenz [Hz]
40
50
37
FIR–Filter
Matlab–Befehle
• Tiefpass, Durchlassbereich < 0.4 · Fmax
fir1 (20, 0.4)
• Hochpass, Durchlassbereich > 0.4 · Fmax
fir1 (20, 0.4, ’high’)
• Bandpass, Durchlassbereich 0.2 ... 0.4 · Fmax
fir1 (20, [0.2 0.4])
• Bandsperre, Sperrbereich 0.2 ... 0.4 · Fmax
fir1 (20, [0.2 0.4], ’stop’)
38
FIR–Filter
• Filterung (kausal): x_fir = filter (B, 1, x)
• Filterung (doppelt): x_fir = filtfilt (B, 1, x)
(ohne Phasenverschiebung, nur off-line möglich)
Diskrete Filterung mit FIR 20. Ordnung
30
ungefiltert
FIR filter
FIR filtfilt
20
10
0
−10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Zeit [s]
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
39
IIR–Filter
• Der Ausgangswert wird aus Eingangswerten und
vergangenen Ausgangswerten berechnet.
a1 yk = b1 xk + b2 xk−1 + . . . + bn+1 xk−n
− a2 yk−1 − . . . − am+1 yk−m
• IIR–Filter sind rekursiv (d.h. a2 . . . am+1 6= 0)
und kann auch instabil sein.
• Die Impulsantwort besitzt eine unendliche Länge
(Infinite Impulse Response).
40
IIR–Filter
Matlab–Befehle (Filter-Typen)
• Butterworth-TP, Fg: Grenzfrequenz normiert
[B, A] = butter (ordnung, Fg [, typ])
• Tschebyscheff, Rp: Welligkeit im Durchlassbereich [dB]
[B, A] = cheby1 (ordnung, Rp, Fg)
• Tschebyscheff, Rs: Dämpfung im Sperrbereich [dB]
[B, A] = cheby2 (ordnung, Rs, Fg)
• Elliptisch (Cauer)
[B, A] = ellip (ordnung, Rp, Rs, Fg)
41
IIR–Filter
Matlab–Befehle (Rückgabewerte)
• Zähler– und Nennerpolynom
[B, A]
= butter (ordnung, Fg)
• Nullstellen, Pole und Verstärkung
[Z, P, K]
= butter (ordnung, Fg)
• Zustandsdarstellung
[A, B, C, D] = butter (ordnung, Fg)
42
IIR–Filter
• Filterung (kausal):
x_iir = filter (B, A, x)
• Filterung (doppelt):
x_iir = filtfilt (B, A, x)
• Übertragungsfunktion: [H, F] = freqz (B, A, N, Fs)
Diskrete Filterung mit IIR 4. Ordnung
30
ungefiltert
IIR filter
IIR filtfilt
20
10
0
−10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Zeit [s]
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
43
Digitale Filter – Beliebiger Frequenzgang
Matlab–Befehle
• FIR: fir2 (ordnung, frequenzen, amplituden)
• IIR: yulewalk (ordnung, frequenzen, amplituden)
FIR−Filterdesign mit fir2 20. Ordnung
IIR−Filterdesign mit yulewalk 4. Ordnung
1.2
1.2
Sollverlauf
fir2
1
0.8
Amplitude
Amplitude
1
0.6
0.4
0.2
0
Sollverlauf
yulewalk
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10
20
30
Frequenz [Hz]
40
50
0
0
10
20
30
Frequenz [Hz]
40
50
44
Digitale Filter – Vergleich
FIR-Filter
←→
IIR-Filter
immer stabil
klassische Filtertypen
numerisch unkritisch
geringe Ordnung
Gruppenlaufzeit konstant
geringer Rechenaufwand
Hinweise
• Fg immer auf halbe Abtastfrequenz Fs/2 normiert.
• Grenzfrequenz Fg entspricht meist nicht −3dB.
• −→ Auslegung immer anhand Frequenzgang prüfen!
45
Analoge Filter
Anwendung
• Verwendung in quasikontinuierlichen Simulationen
• Grenzfrequenz wg in [rad/s]
Matlab–Befehle
[B, A] = besself (ordnung, wg)
[B, A] = butter
(ordnung, wg, ’s’)
[B, A] = cheby1
(ordnung, Rp, wg, ’s’)
[B, A] = cheby2
(ordnung, Rs, wg, ’s’)
[B, A] = ellip
(ordnung, Rp, Rs, wg, ’s’)
46
Analoge Filter
Frequenzgang plotten
[B, A] = butter (4, 1, ’s’);
% Butterworth-TP, analog
[H, W] = freqs (B, A);
% Frequenzgang berechnen
loglog (W, abs (H));
% Frequenzgang ausgeben
Amplitude [dB]
Bessel
Butterworth
Tschebyscheff Typ 1
Elliptisch (Cauer)
0
0
0
0
−20
−20
−20
−20
−40
−40
−40
−40
0.1
1
10
Frequenz normiert
0.1
1
10
Frequenz normiert
0.1
1
10
Frequenz normiert
0.1
1
10
Frequenz normiert
47
Berechnung
• Auslegung IIR-Filter als analoge Filter
• Umrechnung mit der Bilinearen Transformation:
z−1
s = 2 Fs ·
z+1
• Abbildung periodisch und verzerrt:
– Abbildung Frequenz 0 −→ 0,
Fs, ...
– Abbildung Frequenz ∞ −→ Fs/2, 3Fs/2, ...
48
Periodizität
• Aliasing für Frequenzen > Fs/2
• −→ Immer analogen Tiefpass vorschalten!
Amplitude [dB]
Periodischer Frequenzgang digitaler Filter
0
−20
−40
−60
−80
analog
digital
Fg
Fs/2
10
20
30
40
Frequenz [Hz]
50
100
200
49
Verzerrung
• Frequenz Fg wird auf kleinere Frequenz abgebildet.
• −→ Pre-Warping vor Bilinearer Transformation!
• Bei IIR-Filterfunktionen bereits berücksichtigt.
Amplitude [dB]
Pre−Warping bei digitalen Filtern
0
analog
digital (bilinear)
analog (Pre−Warping)
digital (Pre−Warping)
Fg
−10
−20
−30
15
20
25
Frequenz [Hz]
30
35
40
45
50
50
sptool – Signal Browser & Spectrum Viewer
51
sptool – Filter Design and Analysis Tool
52

MATLAB Signal Processing Toolbox Inhaltsverzeichnis

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