Origens da Física Quântica I

Origens da Física Quântica I
3 de julho de 2011
1
Introdução
O Fim do seculo 18 e inicio do seculo 19 representam uma era de ouro da Física. É criada
a Física Estatística e o eletromagnetismo e estes, por sua vez, motivaram o descobrimento de
novos fenômenos que antes desses dias foram inimagináveis, um exemplo disso é o surgimento da
teoria da Relatividade de Voig-Lorentz-Lamor-Poincare e Einsteins motivada pela inexistência
de um meio de propagação das OEM. O outro exemplo é a teoria quântica que resultou da
falha da teoria de Maxwell em explicar a radiação de corpo negro. Está última teoria é a base
de nosso estilo de vida moderno, computadores, televisores, etc, o se funcionamento pode ser
entendido utilizando uma teoria que já tem 100 frutíferos anos de existência, a teoria quântica.
2
A Radiação do corpo negro
No final do seculo 19 uma das observações
que se mantinha sem explicação era a radiação
da luz emitida por objetos quentes. Objetos
com temperatura superior a 1000 K brilham
com luz própria numa cor vermelho escura
(incandescente), acima dessa temperatura a
cor passa para vermelho claro ou mesmo para
branco. Disso se vê que a frequência que predomina está relacionada com a temperatura
do corpo.
A capacidade de um corpo radiar está
relacionada com a sua capacidade absorver
radiação. Isto é esperado já que em equilíbrio térmico com o ambiente o corpo abFigura 1: Espectro eletromagnético
sorve e emite energia na mesma taxa. Assim, para entender o problema da radiação é útil pensar em um corpo ideal que absorve todas as frequências incidentes neles, esse corpo foi chamado de corpo negro.
A análise da radiação do corpo negro tem
a vantagem de poder ter um objeto de estudo
que independe das caraterística do material,
isto é, um corpo negro feito do chumbo é igual
que um feito de ferro ou ouro, todos se comportam da mesma forma (O espetro de emissão é uma caraterística do material ). Experimentalmente podemos aproximar um corpo
negro como um objeto maciço com uma cavidade interna e um pequeno furinho por onde pode
Figura 2: Corpo negro ideal.
1
Figura 3: Curvas de distribuições de intensidade espetral para o caso da radiação de um corpo
negro. 6000 K é aproximadamente a temperatura na superfície do Sol, observe que o pico da
curva coincide com a região visível.
entrar e sair radiação, assim a probabilidade de que um raio que entrou consiga sair é pequena.
Qualquer feixe de radiação que entre nele fica se refletindo internamente, dessa forma ele pode
absorver toda a radiação que chega. As paredes da cavidade ficam então emitindo e absorvendo
radiação constantemente e é na propriedade dessa radiação que estamos interessados.
Experimentalmente se observa (olhando para o furinho) que o corpo negro radia mais quando
está quente do que quando está frio. O espectro típico de radiação de um corpo negro é mostrado
na figura 3. Assim, as pequisas se voltaram a tentar encontrar a equação (modelo) que descreve
perfeitamente a curva intensidade I(λ) de radiação do corpo negro ou a curva relacionada com
a densidade espectral u(λ)
Ic
u=
4
onde c é a velocidade da luz.
2.1
Ley de Wein
Em 1884 Boltzmann calculou teoricamente a
equação para a energia emitida por unidade
de área e unidade de tempo do corpo negro.
Em seu calculo Boltzmann considerou uma
cavidade cilíndrica com paredes refletoras, e
um pistão móvel, cheia de radiação térmica
(OEM). Devido a que as OEM exercem pressão de radiação, Boltzmann pudo considerar
Figura 4: Comparação da Lei de Wein com re- este sistema como sendo um sistema termodinâmica e o tratou como uma máquina de Carsultados a 1500 K.
not. A partir disso encontrou a relação entre
o trabalho efetuado pela pressão de radiação
e a temperatura e disto pudo calcular a intensidade I
I = σT 4
onde σ = 5, 67 × 10−12 W · cm−2 · K −4 . Essa mesmo resultado também foi derivado por Stefan
por isso a equação anterior se conhece como lei de Stefan e Boltzmann.
2
No processo de expansão ou compressão dessa cavidade (do ciclo de Carnot) o comprimento
de onda de qualquer componente da radiação mudará como consequência do efeito Doppler ao
se refletir no pistão móvel. Ao considerar detalhadamente este fato, Wien (1893) foi capas de
mostrar que a posição do máximo da função de intensidade é tal que
λmax T = 2, 898 × 10−3 m · K
(1)
Este resultado é conhecido como lei de deslocamento de Wein e era um resultado empírico já
conhecido na sua época. Na dedução da sua lei de deslocamento, Wein chegou a um resultado
mais geral
f (λT )
u(λ) =
λ5
onde f (λT ) é uma função em λ e T . Supondo que a radiação do corpo negro se comporta de
alguma forma como um gás que satisfaz a distribuição de velocidades de Maxwell e Boltzmann y
admitindo que cada molécula emite OEM cujos comprimentos de onda e intensidade dependem
apenas da velocidade v das partículas, Wein postula uma forma para sua função f (λT ) de
forma a obter que
B
e− λT
u(λ, T ) = A 5
λ
onde B = 1, 44 cm · K, A = 0, 5 × 10−21 J · cm. Esse resultado, conhecido como lei de Wein, foi
obtido posteriormente por Planck de forma mais rigorosa.
Da figura 4 observamos que a lei de Wein ajusta os dados com perfeição próximo do máximo
de u contudo para comprimento de ondas na região do infravermelho a lei de Wien apresenta
resultado pouco satisfatórios·
2.2
Catástrofe ultravioleta - A equação de Rayleigh e Jeans
A fim de tentar entender a forma da curva
mostrada na figura 3, Raeyleigh e Jean no final do século 18 consideraram que a temperatura no interior da cavidade do corpo negro como T e as paredes dessa cavidade como
sendo refletores perfeitos, dessa forma podemos considerar que toda a parede da cavidade é constituída por pequenos osciladores
que vibram devido à temperatura T . A oscilação destes osciladores gera OEM estacionarias
com nós nas paredes da cavidade. Assim, RaFigura 5: Resultado de Raeyleight-Jean.
eyleigh e Jean calcularam o número de OEM
contidas no intervalo λ e λ+dλ e disso a energia promédio a qual depende da temperatura da cavidade. O produto do número de ondas no
intervalo λ e λ + dλ vezes a energia contida nesse intervalo divido pelo volume da cavidade é
igual à densidade de energia por comprimento de onda a uma dada temperatura. Utilizando
um resultado prévio obtido por Maxwell eles foram capasses de calcular a distribuição espectral
da densidade de energia
kT
(2)
uRJ (λ) = 4
λ
Como se pode observa na figura 5, o resultado de Rayleigh e Jean coincidem perfeitamente com
os resultados experimentais para comprimentos de onda grande, isto é λ → ∞, mas a medida
que o comprimento de onda diminui a densidade espectral de energia aumenta, ou seja
lim uRJ (λ) = ∞
λ→0
ou, equivalentemente,
3
lim uRJ (ν) = ∞
ν→0
Figura 6: A previsão de Planck para a densidade de energia comparada aos resultados experimentais, de Wien e de Rayleigh para J. . uma temperatura T = 1595 K
o que implicaria que a densidade de energia dentro da cavidade iria para o infinito
ˆ ∞
uRJ (λ)dλ = ∞
0
A este resultado lhe foi dado o nome de catástrofe ultravioleta (ultravioleta porque diminuir o
comprimento de onda implica em aumentar a frequência e ultravioleta é o limite superior de
frequência do espectro visível, assim como infravermelho é o inferior)
2.3
A teoria de Planck
Acredito que ha história do desenvolvimento da formula de Planck para o problema do corpo
negro seja uma das mas interessantes da qual já tive conhecimento. Dessa forma, antes de
falarmos sobre a grande descoberta de Planck (Einstein?) devemos conhecer um pouco sobre
com ele chegou a esse resultado.
A área de pesquisa de Max Planck foi a termodinâmica e nesse campo trabalho ativamente
no que diz respeito ao estudo da entropia. Dada sua forte base em termodinâmica, Planck
tenta justificar a irreversivilidade dos fenômenos radioativo nas equações de Maxwell, porém
as críticas de Boltzmann o levam de encontro ao esclarecimento da radiação do corpo negro.
Dessa forma, na analise do problema do corpo negro o Planck logra obter uma expressão
equivalente à de Wien mas com um novo resultado que relaciona a entropia do sistema com
a energia. Devido a resultados experimentais controversos com a teoria de Wien, o Planck
reanalise seu resultado e obtém uma nova expressão para a entropia. Como o limite de validade
de cada um de seus resultados era restrito a uma região do espectro ele decidiu combinar eles e
obter uma terceira equação que lhe era conveniente para cada uns dos limites. A partir dessa
ideia, Planck publica a nova forma funcional da densidade espectral que estava em total acordo
com os resultados experimentais
u(λ, T ) =
8πhc
λ5 exp
1
hc
T
kλ
−1
A expressão anterior é uma expressão empírica desenvolvida por Planck que se adequava
de forma perfeita aos dados experimentais, como se mostra na figura 6. Esta última afirmação motivo que Planck se dedicar em corpo e alma a procurar uma demostração partindo de
principio fundamentais da equação anterior. Durante 8 semanas, Planck analisa o problema
desde uma abordagem estatística, a influencia de Boltzmann foi clara nessa decisão já que utiliza a definição deste para a entropia S = k log W , a entropia está relacionada com o grau de
4
liberdades acessíveis ao sistema em estudo. A fim de determinar a probabilidade W , conta o
número de maneiras de distribuir a energia num conjunto de osciladores (geradores das OEM).
Inspirando-se na técnica de Boltzmann introduz a hipótese que E, a energia total dos osciladores, se encontrava dividida em “elementos de energia” finitos ε. E afirma: “A energia E
é composta por um número bem definido de partes iguais e recorremos à constante da natureza h = 6, 55 × 10−27 erg · s. Esta constante multiplicada pela frequência comum f dos
osciladores permite obter o elemento de energia ε em erg e dividindo-se E por ε obtemos o
número P de elementos de energia que devem ser distribuídos pelos N osciladores. Se este
quociente assim calculado não for inteiro, toma-se P por um inteiro da vizinhança”, ou seja
E = N h. Devemos apontar que essa afirmação de Planck está relacionada com o método de
calculo que ele utilizou e não com o fato de ele considerar como relevante essa discretização da
energia. Na verdade foi Einstien quem pela primeira vez viu o verdadeiro valor dessa hipóteses:
1. Os osciladores de frequencia f só podem
ter valores de energia discreta dados por
En = nhf
n = 1, 2, 3, . . .
em que n é um inteiro positivo. Se diz
que a energia está quantizada. A os
estados discretos de energia se lhes coFigura 7: Estados de energia permitidos “senhece como estados quanticos.
gundo Planck”.
2. Os osciladores não radiam continuamente como o faz uma carga acelerada, sinão pulando de um estado de energia En a
outro. Em essa circunstancias a energia radiada será igual à energia perdida pelo oscilados ao mudar de um estado estcionario para outro, isto é, a energia radiada em uma
transição de um estado n2 hf para um estado de energia mais baixa n1 hf , será
∆E = (n2 − n1 ) hf
5
(a) Quando a radiação que ilumina é de alta frequência, são
retirados elétrons da superficie
(b) Ainda com luz no meio do
espectro visível é possível observar fotoelétrons mas seu número
é reduzido
(c) Mas, luz de baixa frequência
não retira elétrons, nem mesmo
aumentando a intensidade
Figura 8: Efeito fotoelétrico.
3
Efeito Fotoelétrico
Quando Hertz (1887) realizou seu primeiros
experimentos para determinar a existência
das ondas eletromagnéticas de Maxwell observou que as centelhas no seu receptor de OEM
apareciam com maior facilidade se a superfície
da esfera era iluminada com luz ultravioleta.
Estudos sistemáticos sobre essa observação de
Hertz foram realizados por W. Hallwachs, P.
Lenard e R. Milikan. A esse fenômeno se lhe
deu o nome de efeito fotoelétrico, os elétrons
resultante deste efeito são conhecidos como
fotoelétrons.
Figura 9: Efeito da intensidade na fotocorrente
Como se mostra nas figuras 8 o experimento realizado por eles consistia utilizar luz
monocromática para iluminar uma eletrodo metálico que provocava o desprendimento de elétrons dessa superfície, dependendo de alguns fatores que a continuação analisaremos. As principais observações de Lenard (1902) foram as seguintes
1. Mesmo colocando uma diferencia de potencial tal que o eletrodo iluminado estivesse a
um potencial maior que o eletrodo de destino era observada corrente elétrica no circuito,
isto é, elétrons chegam ao eletrodo de destino. Esse resultado indica que os elétrons são
expelidos do fotocátodo com energia cinética diferente de zero.
2. A forma da curva (figura 9) diz que nem todos os elétrons tem a mesma energia cinética inicial, mas se observa que existe uma energia máxima para os elétrons dado pelo
potencial de corte V0 de forma que
Kmax = eVs
1 2
mv = eV0
2
Essa energia máxima imediatamente foi associada com os elétrons superficiais que escapam
e a forma da curva foi atribuída a elétrons que são removidos de profundidades diferentes
no eletrodo.
3. O potencial de corte independe da intensidade da luz que incidia no eletrodo. A intensidade só influencia a fotocorrente resultante, isto é, a quantidade de elétrons que eram
retirados.
6
Figura 10: Efeito da frequência na fotocorrente.
4. Não há retardos na emissão dos fotoelétrons, ou seja, o elétrons é emitido quase que no
mesmo instante que a luz incide nele (Em 1928, Lawrence e Beans estimaram um limíte
superior de 10−9 s )
5. Milikan, em 1916, observou que o potencial de corte é diretamente proporcional à frequência da luz.
3.1
Explicação clássica para o efeito fotoelétrico
É obvio que os elétrons eram ejetados da superfície metálica devido à interação da matéria com
as OEM, de forma que resulta natural utilizar a teoria de Maxwell-Lorentz para descrever o
processo de fotoemissão.
• Podemos esperar que os elétrons dentro do átomo, na presença das OEM, oscilem com uma
amplitude que é proporcional à amplitude da OEM. Como para um oscilado harmônico
a energia vai com o quadrado da amplitude, então devemos esperar que a energia dos
elétrons seja proporcional ao quadrado da amplitude de vibração da OEM, isto é
K ∝ E02
onde E0 é a amplitude do campo elétrico da OEM .
• Da teoria de Maxwell sabemos que a intensidade da OEM e diretamente proporcional ao
quadrado do campo,
1
E2
I=
2cµ0
de forma que, a energia cinética dos elétrons deveria ser, segundo a teoria clássica, proporcional à intensidade da OEM,
K∝I
Diferentemente do observado por Lenard. Um outro problema era o relacionada ao tempo
necessário para a fotoemissão, segundo a teoria clássica deve demorar um certo tempo antes de
se dar a fotoemissão. A fim de ter uma estimativa vamos supor
• que a energia dos fotoelétrons é de E = Kmax = eV = (1, 6 × 10−19 C) (1V ) = 10−19 J.
7
Figura 11: Potencial de corte V0 em função da frequência f para um alvo de sódio.
• A fonte que será utilizada é tal que:
– tem uma potencia de P o = 1W ,
– A fonte está afastada 1 m da amostra metálica
– A fonte emite com simetria esférica, dessa forma a energia
• dessa forma a energia por unidade de área e de tempo dada pela fonte é P o/4πr2 w
10−1 Jm−2 s−1
• O raio do átomo é ra ∼ 10−10 m e sua seção transversal é da ordem de ra2 ∼ 10−20 m.
• A quantidade de energia absorvida pelo átomo é de (10−1 Jm−2 s−1 ) (10−20 m) = 10−21 Js−1
• Para absorver E = 10−19 J, é necessário que o átomo fique exposta por 10−19 J/10−21 Js−1 ∼
102 s,
tempo muito maior que o limite superior estabelecido por Lawrence e Beans. Assim é evidente
que a teoria clássica não explica o efeito fotoelétrico.
3.2
Teoria quântica de Einstein para o efeito fotoelétrico
A explicação ao problema do efeito fotoelétrico foi dada por A. Einstein em 1905. Ele baseio
seu razonamento no resultado satisfatório de Planck, quem considerou que a energia emitida
pelos osciladores da paredes do corpo negro deveria ser quantizada a fim de obter as curvas de
intensidade experimentalmente observadas. Com isso em mente Einstein argumentou
• A luz é emitida da mesma forma como é feita pelos osciladores da cavidade do corpo negro,
em pacotes localizados de radiação com energia dada pela relação de Planck, E = hf
• Os pacotes de radiação não se dispersam quando se deslocam da fonte de luz até o eletrodo,
assim eles se movem de forma localizada, similarmente a como se desloca uma partícula.
• Cada pacote de radiação que atinge a superfície do eletrodo deposita toda sua energia hf
num único elétron da superfície.
8
Figura 12: (a)Visão clássica da luz (b) Visão quântica da luz.
Dessa forma Einstein propõe um caráter de partícula à luz, atualmente chamamos a esses
pacotes de radiação de fótons. Como foi dito a energia de cada fóton está dada por
E = hf
onde h é a constante de Planck,
h = 6, 626 × 10−34 J · s
e f é a frequência da OEM.
Como, é necessário dar energia ao elétron para tirar ele do átomo, Φ, a proposta de Einstein
permite escrever que a energia cinética máxima que um elétron pode atingir estará dada por
Kmax = hf − Φ
o que, também, pode se escrever como
eV = hf − Φ
a energia necessária para tirar um elétron da superfície, Φ, é denominada de função trabalho e é uma caraterística do material. Em 1916 R. Milikan logou fazer medidas precisas da
dependência da energia cinética (medida via a diferencia de potencial V ) como função da luz
irradiada sobre a superfície metálica e obteve a curva que é apresentada na figura 11 que é
ajustada perfeitamente pela equação proposta por Einstein.
Para finalizar gostaria de chamar a atenção de que o próprio Planck não aceito a teoria
quântica de Einstein do efeito fotoelétrico como deixo explicito quando escreveu uma carta à
academia prussiana de ciências solicitando a admissão de Einstein: “Resumindo, podemos dizer
que não há praticamente um entre os grandes problemas nos quais a física moderna é tão rica,
Figura 13: Raios X
9
ao qual Einstein não tenha dado uma contribuição importante. O fato dele não ter alguma vezes
alcançado os objetivos nas suas especulações, como, por exemplo, na sua hipótese dos quantas
de luz (fótons), pois não é possível se introduzir fundamentalmente novas ideias, mesmo nas
ciências mais exatas, sem ocasionalmente se correr o um risco”. Mas, logo da confirmação
experimental, por parte de Milikan, Einstien recebe em 1921 o premio nobel de Física pela sua
teoria quântica.
4
O momento dos fótons
É interessante ressaltar que, ainda que Einstein trata a luz com todas as caraterísticas de
partículas ele não faz isso explicitamente sino
até 1906 quando trata do momento associado
as fótons. Nesse trabalho de 1906, Einstein
conclui que os quantas de luz de energia E se
movem em linha reta (diferente das ondas esféricas) e portam momento com direção e sentido definido pela direção do seu movimento e
com módulo dado por E/c ou hf /c (note que
este resultado está em acordo com a teoria de
Maxwell). Contudo, é interessante que EinsFigura 14: Planos cristalinos utilizados para tein não explorou até as ultimas consequêndispersar raios X
cias o fato da luz ter um momento associado.
Esse tratamento foi realizado por P. Debey e A. Compton em 1923, um independente do outro,
a fim de explicar a dispersão de raios X.
4.1
Raios X
Os raios X foram descobertos acidentalmente por W. Roentenger em 1895. Eles são OEM de
pequeno comprimento de onda λ ∼ 10−9 . São produzidos como resultado de se frear (desacelerar) abruptamente elétrons como resultado de uma colisão contra uma superfície, a este tipo
de radiação também se lhe conhece como radiação de freado ou Bremsstrahlung. Devido a sua
alta energia, ele não interagem com os músculos mas sim com o cálcio dos ossos, por isso são
amplamente utilizado em medicina.
Devido a seu curtíssimo comprimento de onda Roentenger não logrou observar efeitos de
interferência, mas em 1912 W. Bragg utilizou como grade de difração os planos atômicos de
uma amostra cristalina. Como foi anteriormente mostrado, os máximos de difração podem ser
Figura 15: Espectrometro de Bragg. Espectro de raios X para o um alvo de molibdeno. Observe
que os picos o eixo está em pm ou seja, 10−3 nm
10
Figura 16: Diagrama esquemático de um aparto para fazer dispersão Compton
obtidos a partir da equação
nλ = 2d sin θ
n = 1, 2, 3 . . .
onde n é a ordem do máximo, λé o comprimento de onda e θ é o ângulo do máximo de
intensidade medido desde o plano. A equação anterior é conhecida como lei de Bragg.
Na figura 15 é apresentado um diagrama esquemático de um espectrômetro de Bragg e a
curva obtida quando o material alvo é o molibdeno. Os espectros de raios X se caraterizam
por
1. Terem uma serie de linhas estreitas conhecidas como espectro caraterístico
2. Possuir uma espectro continuo chamado de espectro de Bremsstrahlung.
3. O espectro contínuo apresenta um comprimento de onde de corte, λmin
Das três caraterísticas apresentadas somente a II podia ser explicada pela lei de Maxwell.
Para o caso da III se obteve experimentalmente que esse comprimento de onda de corte estava
relacionado com a tensão V aplicado no tubo de raios X pela equação
λmin =
1, 24 × 103 nm
V
chamada de regra de Duane-Hunt. Quando Einstein ficou sabendo desse resultado soube que a
origem desse efeito estava em um efeito fotoelétrico inverso, isto é, o comprimento de onda de
corte corresponde a um fóton com a energia máxima dos elétrons, já que a função trabalho Φ
pode ser desprezada em comparação à energia cinética dos elétrons.
eV
λmin
≈ hfmin
hc
=
λmin
hc
=
eV
= 1, 24 × 10−6 m/V
Para entender o porque temos o espetro caraterístico vai depende da formulação de um modelo
mais elaborado que foi desenvolvido um tempo após o descobrimento dessa linhas.
11
Figura 17: Dispersão dos raios X por um elétron.
4.2
Efeito Compton
Muitos estudos foram realizados com a radiação X, dos vários resultados obtido foi observado
que a radiação X que resulta da dispersão com um alvo tinha menos poder de penetração
que a radiação que originalmente incidia no alvo. Isso motiva a A. Compton estudar esse tipo
de radiação. Disso, ele percebeu que essa radiação espalhada não podia ser completamente
explicada pela teoria clássica: A teoria clássica prevê que quando o elétron é atingido pela
radiação ele é acelerado na direção de propagação da OEM e isto causa a oscilação forçada do
elétron e a reradiação com uma frequência f 0 ≤ f (a possível diferencia entre frequências tem
origem no doble efeito Doppler ver Quantum Theory de David Bohm, pg 34 - Dover). Também
era esperada uma dependência com o tempo de exposição e com a intensidade da radiação.
Quando Compton realiza seu experimentos não observou nada do que era esperado segundo
a teoria clássica. A radiação espalhada independia da intensidade e do tempo de exposição,
simplesmente dependendo do ângulo de dispersão. Na figura 16 podemos observar o resultado
obtido por Compton para o caso em que a amostra utilizada era grafite. Se observa que, para
todos os ângulos observados, a radiação espalhada uma componente de onda que é igual à de a
radiação incidente λ e outra componente λ0 que depende do ângulo de espalhamento (ver figura
Figura 18: Espectro Compton para quatro ângulos de espalhamento
12
Figura 19: Ideia simples de Compton utilizada na análise do espalhamento de fótons por elétrons
18). Compton observou que ∆λ > 0 o que implica que ∆f < 0, isto é f 0 diminui se o ângulo de
espalhamento diminui.
Baseado na observação anterior, Compton percebeu que, segundo a teoria de Planck, a
energia do fóton devia diminuir com o ângulo (E 0 = hf 0 ) e a dependência de E 0 com θ era
qualitativamente semelhante à observada entre uma partícula que tinha sido dispersada por
outra. Assim Compton tem a ideia simples, porém brilhante, de tratar o problema como sendo
uma colisão de duas partículas. Assim, aplicando a conservação do momento linear á colisão
da figura 19
p = p0 cos θ + pe cos φ componente x
p0 sin θ = pe sin φ
componente y
elevando ao quadrado estas expressões obtemos
2
(p − p0 cos θ) = p2e cos2 φ
2
(p0 ) sin2 θ = p2e sin2 φ
Somando, encontramos
p2 + p02 − 2p p0 cos θ = p2e
(3)
A conservação da energia relativista impõe que
E + (E0 )e = E 0 + K + (E0 )e
E − E 0 = Ke
onde E e E 0 são as energia do fóton antes e depois da colisão, respetivamente, e estão dadas por
E 2 = c2 p2 + Eo2
onde E0 é a energia de repouso que é nula para o caso dos fótons, de forma que
E = cp
hf
p =
c
h
=
λ
13
(4)
(esse resultado já tinha sido obtido por Einstein), assim, continuando
E − E 0 = Ke
c (p − p0 ) = Ke
(5)
como, a forma mais geral de se escrever a energia cinética de uma partícula é a través de sua
expressão quântica
Ee = Ke + (Eo )e
e
Ee2
[Ke + (Eo )e ]2
Ke2 + 2Ke (E0 )e + (E0 )2e
Ee2
+ 2Ke me
c2
= c2 p2e + (Eo )2e
= c2 p2e + (Eo )2e
= c2 p2e + (Eo )2e
= p2e
usando as equações 3 e 5
2
(p − p0 ) + 2me c (p − p0 )
p2 + p02 − 2p p0 + 2me c (p − p0 )
me c (p − p0 )
p − p0
p p0
1
1
−
p0 p
= p2 + p02 − 2p p0 cos θ
= p2 + p02 − 2p p0 cos θ
= p p0 (1 − cos θ)
1
=
(1 − cos θ)
me c
1
=
(1 − cos θ)
me c
usando a equação 4, temos
λ0 − λ =
1
(1 − cos θ)
me c
ou
∆λ = λc (1 − cos θ)
onde
(6)
1
= 0, 02426 × 10−10 m
me c
é o comprimento de onda Compton. Essa equação é a equação de Compton e prediz um
aumento no comprimento de onda da radiação espalhada somente com o ângulo de espalhamento
e independência em relação ao comprimento de onda inicialmente utilizado. Em 1925 e 1927
foram realizadas medidas que confirmaram os resultados dessa equação.
λc =
14