Aplicações da Teoria de Pertubação em Cosmologia

Aplicações da teoria de perturbação em
cosmologia
Ribamar Rondon de Rezende dos Reis
19 de Agosto de 2003
2
Resumo
Foi sugerido que, removendo o termo de gradiente de pressão na equação de continuidade,
é possı́vel obter, com uma formulação semi-clássica, a mesma expressão para o modo crescente do contraste de densidade que a obtida em um tratamento completamente relativı́stico.
Neste contexto, nós re-investigamos a evolução de perturbações em um universo Newtoniano com pressão, mas consideramos um cenário geral no qual o parâmetro da equação de
estado é dependente do tempo e as perturbações não são necessariamente adiabáticas. Nós
verificamos que, neste caso, a modificação sugerida da equação de continuidade não mais
leva à equivalência entre as descrições newtoniana e relativı́stica. Em seguida, tratamos
da abordagem relativı́stica para um fluido multi-componente e mostramos que perturbações
de entropia podem eliminar oscilações e instabilidades no espectro de potência da matéria,
que surgem devido à velocidade do som não nula de um fluido de Chaplygin generalizado.
Mostramos que assim é possı́vel obter acordo com observações de estruturas de grande escala.
i
ii
RESUMO
Abstract
It has been argued that, by removing a pressure gradient term in the continuity equation, it is possible to obtain, with a semi-classical formulation, the same expression for the
density contrast growing mode, as obtained in a full relativistic treatment. In this context,
we re-investigate the evolution of perturbations in an expanding Newtonian universe with
pressure, but we consider a general scenario in which the equation of state parameter is
time-dependent and the perturbations are not necessarily adiabatic. We verify that, in this
case, the suggested modification of the continuity equation does not provide an equivalence
between the relativistic and the Newtonian descriptions. After that, we use the relativistic
approach to a multi-component fluid and show that entropy perturbations can eliminate oscillations and instabilities in the mass power spectrum, which appear due the non-vanishing
sound speed of a generalized Chaplygin gas. We show that it is possible obtain agreement
with large-scale structure observations.
iii
iv
ABSTRACT
Agradecimentos
À minha mãe, fonte inesgotável de apoio e inspiração. A meus irmãos e irmãs, pela força
e pelo exemplo. A Marcos Freaza pela ajuda. A Clóvis Wotzasek, Anı́bal Ramalho e outros
tantos, brilhantes e decisivos para minha formação. A Sérgio E. Jorás, Maurı́cio O. Calvão
e Martin Makler pelas discussões extremamente úteis. A Ioav Waga, hábil incentivador e
meu competente guia pelo vasto mundo da cosmologia.
v
vi
AGRADECIMENTOS
Lista de Figuras
6.1
Espectros de potência de Chaplygin, no caso adiabático, para α = −10−4 ,
−10−5 ,0, 10−5 e 10−4 (de cima para baixo), h = 0.7, Ωb0 = 0.04 e Ā escolhido
de forma que todos os modelos tenham Γef f = 0.18. Os dados são do espectro
de potência do “2dF galaxy redshift survey” como compilados em [47]. . . .
6.2
42
Espectros de potência de bárions, no caso adiabático, para α = −10−4 , −10−5
,0, 10−5 e 10−4 (de cima para baixo), h = 0.7, Ωb0 = 0.04 e Ā escolhido de
forma que todos os modelos tenham Γef f = 0.18. Os dados são do espectro
de potência do “2dF galaxy redshift survey” como compilados em [47]. . . .
6.3
43
Espectros de potência de Chaplygin (bárions), no caso não adiabático, para
α = −0.6, −0.3, 0, 0.3, 0.6 e 1, h = 0.7, Ωb0 = 0.04 e Ā escolhido de forma que
todos os modelos tenham Γef f = 0.18. Os dados são do espectro de potência
do “2dF galaxy redshift survey” como compilados em [47]. . . . . . . . . . .
6.4
44
Espectros de potência de Chaplygin (bárions), no caso não adiabático, para
α = −0.6, −0.3, 0, 0.3, 0.6 e 1, (de baixo para cima), h = 0.7, Ωb0 = 0.04
e Ā = 0.7. Os dados são do espectro de potência do “2dF galaxy redshift
survey” como compilados em [47].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
45
viii
LISTA DE FIGURAS
Conteúdo
Resumo
i
Abstract
iii
Agradecimentos
v
1 Introdução
3
2 Cosmologia newtoniana
7
2.1
Formulação tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Formulação de Newton-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Perturbações cosmológicas relativı́sticas
15
3.1
Formulação invariante de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
Métodos dependentes de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4 Perturbações em um fluido multi-componente
25
5 Perturbações newtonianas com pressão
33
6 Perturbações de entropia e fluido de Chaplygin
37
7 Conclusão
47
A Expansão harmônica
49
1
2
CONTEÚDO
B O comprimento de Jeans
53
C O espectro de potência da matéria
55
Capı́tulo 1
Introdução
A hipótese mais aceita atualmente é que as estruturas de grande escala observadas hoje,
como galáxias e aglomerados, foram formadas a partir de flutuações de densidade cujas
amplitudes foram muito pequenas no universo primordial [1, 2, 3]. O desenvolvimento de
teorias de perturbação cosmológicas se presta a verificar as propriedades das flutuações de
densidade primordiais necessárias para explicar as estruturas observadas hoje e esclarecer a
origem e comportamento evolucionário de tais flutuações. Nossa proposta é verificar evolução
de perturbações em cosmologia newtoniana, e verificar a equivalência de seus resultados com
os da teoria relativı́stica.
Cosmologia newtoniana é a aplicação da teoria da gravitação de Newton para o universo
como um todo [4, 5]. Esta teoria surgiu em 1934, quando McCrea e Milne [6], generalizando
um estudo anterior de Milne [7], mostraram como um tratamento Newtoniano resulta nas
equações relativı́sticas corretas para a evolução do universo, quando a pressão é desprezı́vel.
Mais tarde, McCrea [8] modificou suas equações básicas para incluir a pressão, usando dois
conceitos da relatividade: a conversibilidade de massa e energia, expressa pelo fator c2 e
a possibilidade de distinção entre massa gravitacional e inercial [9]. Em 1965, Harrison
[10] obteve o mesmo resultado sem recorrer a quaisquer conceitos da relatividade geral.
Interpretação, validade e limitações da cosmologia newtoniana têm sido discutidas por vários
3
4
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
autores [11]. Mais tarde, surgiu uma tentativa de se dar um tratamento mais formal a
cosmologia newtoniana, de forma bastante análoga a teoria da relatividade geral, conhecida
como teoria de Newton-Cartan [12]. Neste trabalho seguiremos a abordagem clássica, no
entanto, por questão de completeza, discutiremos um pouco da teoria de Newton-Cartan.
As equações básicas da cosmologia newtoniana são as equações de Euler, Poisson e da
continuidade,
Ã
Ã
∂ρ
∂t
∂~u
∂t
!
~ r )~u = −∇
~ r φ − (ρ + P )−1 ∇
~ r P,
+ (~u · ∇
(1.1)
r
∇2r φ = 4πG(ρ + 3P ),
!
~ r · (ρ + P )~u = 0,
+∇
(1.2)
(1.3)
r
onde ρ, P , ~u e φ são, respectivamente, densidade, pressão, velocidade e potencial gravitacional do fluido cósmico, e estamos considerando c = 1.
O sistema de equações acima leva às equações relativı́sticas corretas para a evolução
cósmica, se a curvatura espacial é nula, K = 0. Todavia, se estudarmos perturbações neste
contexto, os resultados não concordam com a abordagem relativı́stica [13]. A equivalência
só é obtida para P = 0.
Para contornar este problema, na referência [14] foi proposta uma modificação da equação
de continuidade, da forma
Ã
∂ρ
∂t
!
~ r · (ρ~u) + P ∇
~ r · ~u = 0.
+∇
(1.4)
r
Entretanto, para chegar à equivalência eles restringiram sua análise a perturbações adiabáticas e, além disso, consideraram a equação de estado constante tempo.
Nosso objetivo é re-analisar este problema sem estas restrições. As recentes evidências
observacionais para aceleração na expansão cósmica [15, 16] tornam importante investigar
a evolução de perturbações em um universo com um componente exótico descrito por uma
5
equação de estado dependente do tempo.
Em seguida, investigamos perturbações relativı́sticas de entropia em modelos de quartessência com fluido de Chaplygin. O atual modelo padrão da cosmologia estabelece que a
evolução do universo é dirigida por dois componentes, matéria escura sem pressão e energia
escura com pressão negativa. Apesar do acordo com a maioria dos dados observacionais
disponı́veis atualmente, nós ainda não sabemos exatamente a natureza destes componentes
que hoje constituem mais do 90% de todo o conteúdo de matéria e energia do universo. Tal
indeterminação motivou a exploração da possibilidade de matéria escura e energia escura serem diferentes aspectos de uma mesma substância. Este componente é usualmente conhecido
por matéria escura unificadora (UDM) ou quartessência [17]. Dois candidatos para este tipo
de componente, que têm atraı́do bastante atenção ultimamente, são o fluido de Chaplygin
[18, 19, 20, 21] e o campo taquiônico [22, 23, 24].
Mostrou-se que o modelo de quartessência de Chaplygin não recebe vı́nculos fortes de
testes cosmológicos tipo SneIa, lentes gravitacionais, idade do universo, etc., que envolvem
apenas a métrica de fundo [25, 17, 26, 27, 28, 29]. Por outro lado, testes que dependem
da evolução de perturbações restringem tanto o espaço de parâmetros de Chaplygin, que
apenas modelos cujo comportamento é próximo do limite ΛCDM são permitidos [30, 31, 32,
33]. Entretanto, nas análises feitas até agora, supunha-se que as perturbações de pressão
intrı́nsecas eram adiabáticas. Nosso objetivo é mostrar que se considerarmos perturbações de
entropia intrı́nsecas, a evolução das perturbações pode mudar dramaticamente. Uma escala
crı́tica finita no componente de Chaplygin desaparece e, como consequência, instabilidades
e oscilações neste fluido são fortemente reduzidas. Em particular nós mostramos que uma
futura análise de valores negativos do parâmetro α da equação de estado de Chaplygin,
pch = −
deve ser considerada.
A
,
ραch
(1.5)
6
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Este trabalho está organizado como segue: no capı́tulo 2, apresentaremos os concei-
tos básicos da cosmologia newtoniana; no capı́tulo 3, apresentaremos o formalismo invariante de calibre para perturbações cosmológicas relativı́sticas e discutiremos algumas escolhas possı́veis de calibre; no capı́tulo 4 apresentaremos o estudo de perturbações em fluidos
multi-componentes; no capı́tulo 5, analisaremos o problema de perturbações lineares em cosmologia newtoniana, considerando perturbações gerais em um fluido com pressão e com a
equação de estado dependente do tempo e compararemos os resultados obtidos com os da
abordagem relativı́stica do capı́tulo 3; no capı́tulo 6 obteremos as equações de evolução das
perturbações, no calibre sı́ncrono, para um universo composto por bárions e fluido de Chaplygin generalizado e apresentaremos os resultados para o espectro de potência da matéria no
caso adiabático e no caso não adiabático; no capı́tulo 7 exporemos nossas conclusões, e nos
apêndices discutiremos conceitos importantes utilizados no trabalho, a saber os princı́pios
da expansão das perturbações em funções harmônicas, o comprimento de Jeans e o conceito
de espectro de potência da matéria.
Capı́tulo 2
Cosmologia newtoniana
2.1
Formulação tradicional
Como mencionamos anteriormente, as equações básicas da cosmologia newtoniana são:
Ã
Ã
∂ρ
∂t
∂~u
∂t
!
~ r )~u = −∇
~ r φ − (ρ + P )−1 ∇
~ r P,
+ (~u · ∇
∇2r φ = 4πG(ρ + 3P ),
!
(2.1)
r
~ r · (ρ + P )~u = 0,
+∇
(2.2)
(2.3)
r
onde ρ, P , ~u e φ são, respectivamente, densidade, pressão, velocidade e potencial gravitacional do fluido cósmico, e estamos considerando c = 1.
Se impusermos que o universo seja homogêneo e isotrópico, poderemos considerar que
as quantidades que descrevem o fluido cósmico sejam apenas funções do tempo (ρ = ρ(t),
P = P (t)). Além disso, podemos introduzir coordenadas comóveis e determinar as relações
entre os operadores diferenciais definidos em cada sistema de coordenadas:
~r ≡ a~x,
(2.4)
ȧ
~u = ~r,
a
(2.5)
7
8
CAPÍTULO 2. COSMOLOGIA NEWTONIANA
Ã
∂
∂t
~ x = a∇
~ r,
∇
Ã
!
=
x
∂
∂t
(2.6)
!
ȧ
~ x ),
+ (~x · ∇
a
r
(2.7)
onde a = a(t) é o fator de escala.
Usando as expressões acima, podemos reescrever o sistema (2.1)-(2.3) como
ä
4πG
= −
(ρ + 3P ),
a
3
ȧ
ρ̇ = −3 (ρ + P ),
a
(2.8)
(2.9)
que são as equações obtidas pela relatividade geral, quando usamos a métrica de RobertsonWalker e um tensor energia-momento conservado de fluido perfeito.
Integrando a equação (2.8) e usando a equação (2.9) obtemos a equação de Friedmann
µ ¶2
ȧ
a
onde
=
·
8πG
K
ρ + 2,
3
a
8πG 2
K=
ρa − ȧ2
3
(2.10)
¸
.
(2.11)
t=t0
A equação de Friedmann também pode ser obtida diretamente a partir da conservação
de energia, usando as expressões usuais para as energias cinética e potencial em teoria newtoniana,
1 2 4π
mṙ −
Gρr2 m = U = constante.
2
3
(2.12)
Usando novamente coordenadas comóveis, obtemos
µ ¶2
ȧ
a
onde K = −2U/(mx2 ).
=
8πG
K
ρ − 2,
3
a
(2.13)
2.1. FORMULAÇÃO TRADICIONAL
9
Podemos observar que, na equação (2.13), se a constante K, que esta ligada a energia
total do universo, for positiva a(t) aumenta de a(t) = 0 a um tempo finito no passado até
um valor máximo e então se contrai até a(t) = 0 em um tempo finito no futuro; se K = 0
então a(t) se comporta exatamente como no universo de Friedmann com poeira e curvatura
espacial nula (a(t) ∝ t2/3 ); se K for negativa, então a(t) se comporta como no universo
aberto de Friedmann: a(t) ∝ t quando t → ∞.
As resultados obtidos até agora nos permitem obter o fator de escala como função do
tempo. No entanto, em cosmologia é preciso analisar a propagação da luz para podermos
extrair informações de observações. Em cosmologia newtoniana a “equação do fóton” que
descreve a propagação dos raios de luz que se afastam ou se aproximam de um observador é
dada respectivamente por [34],
dr
ȧ
= r ± c,
dt
a
(2.14)
onde c é a velocidade da luz. Esta equação é proposta com o objetivo de reproduzir o
resultado relativı́stico. Integrando essa equação obtemos
Z t2
r(t2 ) r(t1 )
dt
−
= ±c
.
a(t2 ) a(t1 )
t1 a(t)
(2.15)
Vamos considerar agora a propagação de um raio de luz partindo de uma fonte situada em
r(t) em direção a um observador em r = 0. Se esse raio de luz é emitido pela fonte no tempo
t1 e captado pelo observador no tempo t2 , como r(t2 ) = 0 e o raio de luz está se aproximando,
a equação (2.15) para o movimento desse fóton torna-se,
Z t2
r(t1 )
dt
=c
.
a(t1 )
t1 a(t)
(2.16)
Pela definição de coordenadas comóveis sabemos que r(t1 )/a(t1 ) é constante. Assim, se uma
galáxia emite um fóton no tempo t1 e ele é captado por um observador no tempo t2 , a
emissão no tempo t1 + ∆t1 será captada no tempo t2 + ∆t2 . Portanto, como o lado esquerdo
10
CAPÍTULO 2. COSMOLOGIA NEWTONIANA
da equação (2.16) não muda, podemos escrever que
Z t2
dt
t1
a(t)
=
Z t2 +∆t2
dt
t1 +∆t1
a(t)
,
(2.17)
expressão que pode ser reescrita como
Z t1 +∆t1
dt
t1
a(t)
=
Z t2 +∆t2
dt
t2
a(t)
.
(2.18)
Essa equação pode ser integrada se supusermos que a função a(t) não muda apreciavelmente
em um tempo ∆t. Assim, assumindo a(t + ∆t) ≈ a(t), a integração da equação (2.18) é
imediata e fornece o resultado
∆t2
a(t2 )
=
.
∆t1
a(t1 )
(2.19)
Se ∆t1 representar o perı́odo da emissão da onda pela galáxia, e ∆t2 for o perı́odo da captação
dessa onda, então a variação é justamente o efeito Doppler
ν1
λ2
=
≡ 1 + z,
ν2
λ1
(2.20)
e, portanto,
1+z =
a(t2 )
.
a(t1 )
(2.21)
Assim, em um Universo em expansão temos que a(t2 ) > a(t1 ) e, portanto, z > 0. Esse
resultado implica que essa cosmologia interpreta o observado desvio para o vermelho das
galáxias como um efeito decorrente da expansão do Universo.
É importante salientar que a única justificativa para o uso neste contexto da equação
(2.14) é de que o resultado final é o mesmo que o obtido via considerações relativı́sticas, desse
modo permitindo uma interpretação cosmológica para o observado desvio para o vermelho
das galáxias.
2.2. FORMULAÇÃO DE NEWTON-CARTAN
2.2
11
Formulação de Newton-Cartan
A formulação tradicional de cosmologia newtoniana tem alguns problemas, entre os quais
a dificuldade de se definir uma energia por unidade de massa U/m em um universo newtoniano com densidade uniforme. Para contornar estes problemas surgiu a idéia de usar a
reformulação da teoria da gravitação de Newton em linguagem geométrica introduzida por
Cartan [35]. Apesar de não usarmos esta abordagem neste trabalho, reservamos esta seção
para apresentá-la de forma sucinta. Nesta seção seguiremos a referência [36].
A reformulação de Cartan da teoria da gravitação de Newton começa pela equação de
movimento newtoniana para uma partı́cula de massa arbitrária em um campo gravitacional
gerado por um potencial Φ,
d2~x
~
= −∇Φ,
dt2
(2.22)
d2 xi
∂Φ
+
= 0.
dt2
∂xi
(2.23)
que pode ser escrita como
O relógio Newtoniano, carregado por partı́culas teste, mede algum múltiplo linear λ =
at + b do tempo Newtoniano t. Assim, podemos escrever a equação de movimento como o
seguinte sistema:
d2 t
= 0,
dλ2
Ã
!2
d2 xi
∂Φ dt
+ i
= 0.
2
dλ
∂x dλ
(2.24)
(2.25)
Se as equações (2.24) e (2.25) forem comparadas com as equações geodésicas
β
γ
d2 xα
α dx dx
+
Γ
= 0,
βγ
dλ2
dλ dλ
(2.26)
12
CAPÍTULO 2. COSMOLOGIA NEWTONIANA
então os coeficientes de conexão devem ser
Γi00 =
∂Φ
,
∂xi
(2.27)
com todos os outros Γαβγ sendo zero.
Se os coeficientes (2.27) forem inseridos na fórmula padrão para o tensor de Riemann,
obtemos
i
i
R0j0
= −R00j
=
∂ 2Φ
,
∂xi ∂xj
(2.28)
α
sendo zero.
com todos os outros Rµβν
α
i
O único componente não-nulo do tensor de Ricci é R00 ≡ R0α0
= R0i0
= ∇2 Φ e, portanto,
a equação de Poisson para o potencial gravitacional se torna a equação de Cartan [35],
R00 = 4πGρ.
(2.29)
Com a expressão (2.28) para a curvatura, a equação para o desvio geodésico,
µ
ν
D 2 nα
α dx
β dx
+
R
n
= 0,
µβν
dλ2
dλ
dλ
(2.30)
se torna
d2 n0
= 0,
dt2
(2.31)
d2 ni
i
nj = 0.
+ R0j0
dt2
(2.32)
Podemos escolher um geodésica fiducial passando pela origem das coordenadas no espaço
Euclideano R3 , coberto por uma rede de coordenadas comóveis, tal que a posição de qualquer
geodésica em congruência com uma posição de coordenada comóvel x = (x1 , x2 , x3 ) seja
i
= (1/3)R00 .
n(t) = a(t)x. Depois de algumas considerações [36], concluı́mos que R0i0
2.2. FORMULAÇÃO DE NEWTON-CARTAN
13
Combinando isto com a equação de Cartan (2.29), obtemos que para o desvio entre quaisquer
duas geodésicas na congruência x = constante, a equação (2.32) pode ser escrita como
d2 a
4πG
=
−
ρa.
dt2
3
(2.33)
A equação (2.33) pode ser integrada, se usarmos o resultado que, num fluido sem pressão,
a densidade se comporta como ρ(t) = ρ0 a30 /a3 (t), dando
·
1
a2
Ã
da
dt
!2
=
8πG
ρ(t) −
3
a20
8πGρ
3
−
³
a2 (t)
1 da
a dt
´2 ¸
0
,
(2.34)
que é a equação de Friedmann com

Ã
1 da
8πGρ
K≡
−
3
a dt
!2 
 .
(2.35)
0
Tanto a constante K quanto a equação (2.34) são invariantes sobre a mudança de escala
a(t) → ca(t), onde c é uma constante arbitrária. Esta é a mesma invariança que aparece
na equação de Friedmann da relatividade geral para o caso de curvatura espacial nula. No
entanto, a equação (2.34) é mais geral no sentido de que a invariância está presente mesmo
para K 6= 0. Em Relatividade geral, se ρ 6= 0 e K = 0, então da/dt nunca pode ser zero; se
está se expandindo em qualquer instante de tempo, então deve se expandir para todo instante
futuro a partir de uma singularidade inicial em um tempo finito no passado, a menos que
se lance mão de algum tipo de energia escura. Vemos que nessa abordagem, novamente,
se K for negativa , a(t) aumenta de a(t) = 0 a um tempo finito no passado até um valor
máximo, e então se contrai até a(t) = 0 em um tempo finito no futuro; se K = 0 então a(t) se
comporta exatamente como no universo de Friedmann com poeira e curvatura espacial nula
(a(t) ∝ t2/3 ); se K for positiva, então a(t) se comporta qualitativamente como no universo
aberto de Friedmann: a(t) ∝ t quando t → ∞. É importante salientar que nessa abordagem
14
CAPÍTULO 2. COSMOLOGIA NEWTONIANA
K não pode mais ser relacionada com a energia total do universo.
A equação (2.34) tem uma solução estática, da/dt = 0 quando K = 0, que deve ser
descartada pois não é permitida pela equação de desvio geodésico (2.33). Esta solução surge
devido ao fato de termos derivado a equação (2.34) multiplicando (2.33) por da/dt.
Capı́tulo 3
Perturbações cosmológicas
relativı́sticas
Para tratar de perturbações cosmológicas em relatividade geral é preciso lidar com o problema da liberdade de calibre. Ao discutir perturbações estamos lidando com dois espaçostempos, o espaço-tempo fı́sico perturbado e o espaço-tempo fictı́cio homogêneo, que aqui
supomos descrito pela métrica de Robertson-Walker
·
¸
1
ds = dt − a (t)
dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ) .
1 − Kr2
2
2
2
(3.1)
Uma correspondência um-a-um entre pontos no espaço-tempo fı́sico e no “background” define uma escolha de calibre. Uma mudança em tal correspondência, mantendo fixas as
coordenadas, é chamada de transformação de calibre [2].
Uma perturbação em alguma quantidade é definida como a diferença entre o seu valor
em um ponto do espaço-tempo fı́sico e o valor no ponto correspondente no “background”.
Uma transformação de calibre muda o ponto no “background” correspondente a um dado
ponto no espaço-tempo fı́sico, portanto mesmo se a quantidade é escalar sob transformações
de coordenadas, o valor de sua perturbação não será invariante sob transformações de calibre
se a quantidade for não-nula e dependente de posição no “background”.
Podemos considerar uma transformação de calibre como um mapeamento caracterizado
15
16
CAPÍTULO 3. PERTURBAÇÕES COSMOLÓGICAS RELATIVÍSTICAS
por quatro aspectos [3]:
1. Definimos uma famı́lia de linhas de mundo no “background” e uma famı́lia correspondente no espaço-tempo fı́sico. Isto determina as linhas de mundo em cada espaço-tempo
ao longo das quais nós compararemos a evolução de flutuações de densidade, por exemplo.
2. Definimos uma correspondência especı́fica entre linhas de mundo individuais em cada
espaço-tempo. Isto especifica como devemos comparar observações devido a cada observador. No caso do “background” ser do tipo Friedmann-Lemaı̂tre-Robertson-Walker
esta escolha é irrelevante por causa da homogeneidade espacial destes modelos.
3. Definimos famı́lias correspondentes de hipersuperfı́cies tipo espaço nos dois espaçostempos. Uma escolha simples são hipersuperfı́cies de tempo constante.
4. Definimos uma correspondência entre hipersuperfı́cies particulares em cada famı́lia, e
atribuı́mos valores de tempo particulares para cada evento no espaço-tempo fı́sico.
Para ilustrar a importância do calibre podemos tomar como exemplo a perturbação da
densidade de energia. Como a densidade de energia é função do tempo no “background”,
o valor da perturbação de densidade é alterado por qualquer transformação de calibre que
mude a correspondência entre hipersuperfı́cies de homogeneidade no espaço-tempo fı́sico
e no “background”. Quando o comprimento de onda da perturbação é muito menor que
o horizonte de partı́culas (tempos tardios na evolução do universo), as hipersuperfı́cies de
homogeneidade são bem distintas e a mudança na perturbação entre escolhas de calibre é
desprezı́vel. Entretanto, em tempos primordiais, diferentes calibres dão resultados bastante
diferentes para a dependência temporal da perturbação de densidade. Uma forma de contornar o problema do calibre é definir quantidades invariantes sob transformações de calibre.
3.1. FORMULAÇÃO INVARIANTE DE CALIBRE
3.1
17
Formulação invariante de calibre
Para fazer teoria de perturbação cosmológica devemos introduzir perturbações nas equações
básicas da gravitação, as equações de Einstein. Seguindo o trabalho de Kodama & Sasaki
[1], nós vamos introduzir perturbações lineares da métrica e do tensor energia-momento
g̃00 = −a2 [1 + 2AY ],
(3.2)
g̃0j = −a2 BYj ,
(3.3)
g̃ij = a2 [γij + 2HL Y γij + 2HT Yij ],
(3.4)
T̃ 00 = −ρ[1 + δY ],
(3.5)
T̃ 0j = (ρ + P )(v − B)Yj ,
(3.6)
T̃ j0 = −(ρ + P )vY j ,
(3.7)
T̃ ij = P [δ i j + πL δ i j + πT Y ij ],
(3.8)
onde Y são funções harmônicas escalares que satisfazem a equação (∆ + k 2 )Y = 0 e Yi e Yij
quantidades vetoriais e tensoriais construı́das a partir delas conforme descrito no apêndice
A; A, B, HL e HT são perturbações na função lapso, no vetor deslocamento e nas partes
isotrópica e anisotrópica da métrica, respectivamente; e δ, v, πL e πT são perturbações
relativas na densidade de energia, na velocidade e nas pressões isotrópica e anisotrópica.
Neste trabalho vamos nos restringir apenas a perturbações escalares.
As quantidades que representam as perturbações, conforme escritas acima, não são invariantes de calibre. Desenvolver uma teoria em termos destas quantidades apresenta a
desvantagem de que seus resultados serão dependentes do calibre escolhido. Uma escolha
mais geral é introduzir quantidades invariantes de calibre a partir das anteriores. Desta
maneira, os resultados podem ser expressos facilmente em qualquer escolha particular de
18
CAPÍTULO 3. PERTURBAÇÕES COSMOLÓGICAS RELATIVÍSTICAS
calibre. Podemos construir vários invariantes, entre eles
Ã
!
a0
(B − k −1 HT0 ) + k −1 (B 0 − k −1 HT00 ),
Ψ = A+k
a
à !
0
HT
−1 a
Φ = HL +
+k
(B − k −1 HT0 ),
3
a
−1
Π = πT ,
Γ = πL −
V
(3.9)
(3.10)
(3.11)
c2s
δ
δ = (c2ef f − c2s ) ,
w
w
= v − k −1 HT0 ,
Ã
∆ = δ + 3(1 + w)
(3.12)
(3.13)
!
a0
k −1 (v − B),
a
(3.14)
onde c2ef f ≡ δP/δρ e c2s ≡ Ṗ /ρ̇.
Essas quantidades são as mais usadas em virtude de sua fácil interpretação. Ψ pode ser
interpretado como um potencial gravitacional, pois, na ausência de curvatura e de pressão
anisotrópica, obedece a uma equação que tem a mesma forma da equação de Poisson newtoniana, como veremos adiante; Γ representa uma amplitude de perturbação de entropia,
pois é nulo para perturbações adiabáticas c2ef f = c2s ; Φ pode ser interpretado como curvatura
perturbada.
Neste capı́tulo, vamos manter a notação de [1], em particular a variável temporal usada
é o tempo conforme (dη = dt/a).
Agora, podemos introduzir essas perturbações nas equações de Einstein
δGµν = 8πGδT µν .
(3.15)
Usando (3.2)-(3.8) e as definições (3.9)-(3.14) nós obtemos o seguinte sistema [1]
µ
¶
a0
c2s
w
2
3K
w
V + V = k
∆+
kΓ + kΨ − k
1− 2
Π,
a
1+w
1+w
3
k
1+w
µ
¶
µ
¶
a0
3K
3K a0
∆0 − 3w ∆ = − 1 − 2 (1 + w)kV − 2 1 − 2
wΠ.
a
k
k
a
0
(3.16)
(3.17)
3.2. MÉTODOS DEPENDENTES DE CALIBRE
19
Podemos obter um equivalente relativı́stico da Eq. de Poisson tomando a parte sem traço
da equação (3.15),
1
(∆ − 3K)(ΨY ) = 4πGρ∆Y + 12πG∆−1 s ∇i s ∇j (P ΠY ij ).
a2
(3.18)
onde o operador s ∇i denota diferenciação covariante com respeito à métrica do espaço de
fundo. Esta equação tem a mesma forma da equação de Poisson newtoniana se tomarmos
a curvatura K e a perturbação de pressão anisotrópica Π iguais a zero. Este fato reforça a
interpretação de Ψ como um potencial gravitacional generalizado.
Uma equação de segunda ordem para ∆ é obtida eliminando V das equações (3.16) e
(3.17),
h
i a0
∆00 − 3(2w − c2s ) − 1
a
∆0


¸ Ã 0 !2
·
2
2
a
3w − 1
3
1
k − 3K 2 
+
+3  w2 − 4w − + 3c2s
K+
cs ∆ = I,
2
2
a
2
onde
3
µ
(3.19)
¶
3K a0 0
wΓ
2
k
a


à !2
µ
¶
2
0
k
−
3K
a
3K
2
2
2

+ w(3w + 2)K +
cs 1 − 2 2Π.
+ {3(w + cs ) − 2w}
a
3
k
I = −(k 2 − 3K)wΓ − 2 1 −
(3.20)
Podemos ver da equação (3.19) que a perturbação de entropia e a perturbação de pressão
anisotrópica agem como fontes para a perturbações de densidades. Em geral, a presença de
Γ e Π é uma consequência de alguma estrutura intrı́nseca da matéria, particularmente da
natureza multi-componente da matéria.
3.2
Métodos dependentes de calibre
Em aplicações práticas da teoria de perturbação é necessário fixar o calibre para especificar condições iniciais ou para interpretar resultados obtidos e compará-los com dados
20
CAPÍTULO 3. PERTURBAÇÕES COSMOLÓGICAS RELATIVÍSTICAS
observacionais.
Não existe nenhum calibre no qual as equações de evolução das perturbações se tornem
mais simples do que as equações invariantes. Portanto, é mais simples trabalhar no formalismo invariante para analisar a evolução temporal das perturbações. Basta apenas expressar
as variáveis fundamentais usadas nos vários métodos dependentes de calibre em termos das
quantidades invariantes de calibre.
Para especificar um calibre devemos impor duas relações sobre as variáveis dependentes
de calibre: uma para fixar a coordenada temporal e outra para as coordenadas espaciais.
A condição de calibre para a coordenada temporal, a escolha do “fatiamento” temporal do
espaço-tempo perturbado, é dada impondo um vı́nculo sobre uma das variáveis dependentes
de calibre cuja mudança sob uma transformação de calibre
η̄ = η + T Y,
(3.21)
x̄i = xi + LY i ,
(3.22)
é expressa apenas em termos de T . A e v − B são exemplos tı́picos de tais variáveis. Essas
variáveis se transformam como
a0
T,
a
(3.23)
v̄ − B̄ = (v − B) − kT.
(3.24)
Ā = A − T 0 −
O modo mais simples para especificar o “fatiamento” temporal é impor que uma destas
variáveis se anule. Para cada “fatiamento” temporal, a maneira padrão de eliminar a liberdade de calibre das coordenadas espaciais é impor que uma quantidade cuja transformação
de calibre envolve apenas L se anule. Exemplos de tais quantidades são B, v, HL e HT .
Dessa forma, podemos definir várias condições de calibre, entre as quais:
1. “Fatiamento” de tempo próprio: A = 0
3.2. MÉTODOS DEPENDENTES DE CALIBRE
21
A condição A = 0 implica que a distância de tempo próprio entre duas hipersuperfı́cies
vizinhas ao longo do vetor normal coincide com a distância de tempo de coordenada
que define estas hipersuperfı́cies. Esta condição não especifica completamente o “fatiamento” temporal e leva a uma liberdade de calibre parametrizada por uma constante
arbitrária α.
T = αa−1 .
(3.25)
Como consequência, um modo não fı́sico chamado modo de calibre aparece no contraste
de densidade δ, e é dado por
c(1 + w)
a0 1
,
aa
(3.26)
onde c é uma constante arbitrária.
(a) Calibre sı́ncrono: A = B = 0
Dentre as condições de calibre pertencentes ao “fatiamento” de tempo próprio,
esta é a mais comum.
Aqui as coordenadas espaciais são especificadas pela
condição de que linhas de coordenadas espaciais constantes são ortogonais a hipersuperfı́cies de tempo constante. A condição B = 0 também não elimina completamente a liberdade de calibre nas coordenadas espaciais, levando a uma liberdade
dada por
Z
L = −kα
dη
+β
a
(3.27)
onde α é a mesma constante de (3.25) e β é uma constante arbitrária independente.
No calibre sı́ncrono as variáveis hL , HT , δ, v, Γ e Π são normalmente adotadas
como variáveis fundamentais onde
hL ≡ 6HL .
(3.28)
22
CAPÍTULO 3. PERTURBAÇÕES COSMOLÓGICAS RELATIVÍSTICAS
Neste calibre temos que a variável Ψ pode ser expressa como [1]
Ã
!
a0
1
Ψ = − 2 HT00 + HT0 .
k
a
(3.29)
Com isso temos que as equações de evolução das perturbações ficam
·
µ
¶
¸
a0
c2
w
2
3K
v 0 + (1 − 3c2s ) v = k s δ + k
Γ−
1− 2 Π ,
a
1+w
1+w
3
k
¶
µ
0
0
a
a
1
δ 0 + 3(c2s − w) δ = −(1 + w) kv + h0L − 3w Γ,
a
2
a
0
a
h00L + h0L = −(1 + 3c2s )8πGρa2 δ − 24πGP a2 Γ.
a
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(b) Calibre de tempo próprio comóvel: A = v = 0
Esta condição restringe a liberdade de calibre residual a
L = β,
(3.33)
onde β é uma constante arbitrária.
2. “Fatiamento” de velocidade ortogonal: v = B
A quantidade v − B representa o desvio da velocidade da matéria do vetor normal
a hipersuperfı́cies de tempo constante. A condição v = B elimina completamente a
liberdade de calibre associada com o “fatiamento” temporal. Em especial temos
δ=∆
(3.34)
Portanto, a equação fundamental neste calibre é a própria Eq. (3.19). A pode ser
expressado como
µ
A=−
1
2
3K
(c2s ∆ + wΓ) +
1− 2
1+w
3
k
¶
w
Π.
1+w
(3.35)
3.2. MÉTODOS DEPENDENTES DE CALIBRE
23
(a) Calibre comóvel de tempo ortogonal: v = B = 0
A liberdade de calibre residual neste calibre também é expressa pela Eq. (3.33).
Em particular temos
HT0 = −kV.
(3.36)
(b) Calibre de velocidade ortogonal isotrópico: v = B, HT = 0
Neste calibre não há liberdade de calibre residual. Além disso, uma vez que agora
v coincide com V , o formalismo neste calibre é o mais próximo do formalismo
invariante. Em particular temos
HL = Φ −
1 a0
V.
ka
(3.37)
Estes são os calibres envolvidos neste trabalho. Para uma discussão mais detalhada destes
e de outros calibres veja [1].
24
CAPÍTULO 3. PERTURBAÇÕES COSMOLÓGICAS RELATIVÍSTICAS
Capı́tulo 4
Perturbações em um fluido
multi-componente
Para descrever melhor as observações nós, em geral, optamos por algum modelo com mais
de um componente como matéria bariônica, radiação, matéria escura e energia escura. Para
tratar de perturbações em tais sistemas é necessário extender o formalismo examinado até
agora, o que é o objetivo deste capı́tulo. Nós ainda continuaremos utilizando o formalismo
invariante de calibre de [1] e, além disso, obteremos as equações válidas para o calibre
sı́ncrono que serão utilizadas posteriormente em um exemplo de aplicação de modelos multicomponentes. Existem, entretanto, alguns erros em [1], em relação a este assunto, e por isso
utilizaremos também a referência [37], que corrige esses erros e, para escrever as equações
dependentes de calibre, a referência [38].
No caso de um universo com vários componentes, as equações de Einstein têm a mesma
estrutura e não é necessária a introdução de nenhuma nova variável métrica. Assim, as
equações obtidas no capı́tulo 3 ainda serão válidas se considerarmos as variáveis de matéria
como sendo referentes à mistura como um todo. Resta-nos, portanto, definir variáveis invariantes para cada componente e determinar as equações de evolução satisfeitas por tais
variáveis a partir das variáveis totais e suas equações.
Em um sistema multi-componente, o tensor energia-momento de cada componente T̃(i)µ ν
não precisa ser conservado independentemente, pelo contrário, em geral sua divergência tem
25
26
CAPÍTULO 4. PERTURBAÇÕES EM UM FLUIDO MULTI-COMPONENTE
um termo de fonte
T̃(i)µ ν;µ = Q̃(i)ν .
(4.1)
Os termos de fonte devem obedecer a um vı́nculo que vem da conservação do tensor energiamomento total,
T̃ νµ;ν =
X
T̃(i)ν
µ;ν
= 0,
(4.2)
i
ou, mais especificamente,
X
Q̃(i)µ = 0.
(4.3)
i
Aqui supomos que o tensor energia-momento não perturbado de cada componente tem a
forma
T(i)µν = (ρi + Pi )uµ uν + Pi δµν ,
(4.4)
(uµ ) = (a−1 , 0).
(4.5)
onde
Assim, o termo de fonte não perturbado é escrito como
(Q(i)µ ) = (−aQi , 0),
(4.6)
e as equações de movimento para a componente i não perturbada se reduzem a
ȧ
ρ̇i = −3 hi + Qi
a
ȧ
= −3 (1 − qi )hi ,
a
(4.7)
onde o ponto denota derivada com respeito ao tempo próprio, e
(4.8)
hi ≡ ρi + Pi ,
µ
(4.9)
¶
ȧ
qi ≡ Qi / 3 hi .
a
(4.10)
27
As quantidades totais não perturbadas são dadas por
X
ρ =
ρi ,
(4.11)
Pi ,
(4.12)
hi ,
(4.13)
i
X
P =
i
X
h =
i
além do vı́nculo
X
Qi = 0.
(4.14)
i
Supondo que a quadrivelocidade e a densidade de energia das componentes são definidas
como, respectivamente, o auto-vetor tipo tempo unitário e o auto-valor correspondente de
T̃(i)µ ν , temos que o tensor energia momento perturbado é expresso como
T̃(i)0
0
= −ρ(i) (1 + δ(i) Y ),
(4.15)
T̃(i)0
j
= (ρ(i) + P(i) )(v(i) − B)Yj ,
(4.16)
T̃(i)j
0
= −(ρ(i) + P(i) )v(i) Y j ,
(4.17)
T̃(i)i
j
= P(i) (δ i j + πL(i) δ i j + πT (i) Y ij ).
(4.18)
Somando as Eqs. (4.15)-(4.18) sobre i e comparando com as equações para o tensor
energia-momento total (3.5)-(3.8) podemos obter relações entre perturbações dos componentes e da matéria total, tais como
X
ρδ =
ρi δi ,
(4.19)
hi vi ,
(4.20)
Pi πLi ,
(4.21)
Pi πT i .
(4.22)
i
hv =
X
i
P πL =
X
i
P πT =
X
i
28
CAPÍTULO 4. PERTURBAÇÕES EM UM FLUIDO MULTI-COMPONENTE
Podemos decompor o termo de fonte Q̃(i)µ em
Q̃(i)µ = Q̃(i) ũµ + f˜(i)µ ,
(4.23)
onde f˜(i)µ é ortogonal a velocidade média ũµ ,
ũµ f˜(i)µ = 0.
(4.24)
As quantidades Q̃(i) e f˜(i)µ representam, respectivamente, a taxa de tranferência de energia
e de momento no referencial do centro de massa. Uma vez que ũi e f˜(i)j são quantidades de
primeira ordem nas perturbações, vemos que a partir de (4.24)
f˜(i)0 = 0.
(4.25)
Podemos escrever Q̃(i) e f˜(i)j como
Q̃(i) = Qi (1 + εi )Y,
(4.26)
f˜(i)j = (a0 /a)hi fi Yj ,
(4.27)
onde εi e fi são funções apenas do tempo. Com isso, podemos escrever os termos de fonte
como
Q̃(i)0 = −aQi [1 + (A + εi )Y ],
(4.28)
Q̃(i)j = a[Qi (v − B) + (ȧ/a)hi fi ]Yj .
(4.29)
O vı́nculo (4.3) pode ser expresso como
X
i
Qi εi = 0,
(4.30)
29
X
hi fi = 0.
(4.31)
i
Novamente podemos construir quantidades invariantes a partir de δi , vi , πLi e πT i , tais
como
Vi ≡ vi − k −1 HT0 ,
(4.32)
∆i ≡ δi + 3(1 + wi )(a0 /a)(1 − qi )k −1 (vi − B),
(4.33)
Γi ≡ πLi −
c2si
δi ,
(4.34)
Π i ≡ πT i ,
(4.35)
wi
onde
Pi
,
ρi
Ṗi
c2si ≡ .
ρ̇i
wi ≡
(4.36)
(4.37)
As Eqs. (4.19)-(4.22) levam às relações
ρ∆ =
X
ρi ∆i +
i
aX
Qi Vi ,
k i
hV =
X
(4.38)
hi Vi ,
(4.39)
P Γ = P Γint + P Γrel ,
(4.40)
i
X
PΠ =
Pi Πi ,
(4.41)
i
onde
P Γint ≡
P Γrel ≡
X
i
X
Pi Γi ,
(4.42)
(c2si − c2s )δρi ,
(4.43)
i
30
CAPÍTULO 4. PERTURBAÇÕES EM UM FLUIDO MULTI-COMPONENTE
c2s =
X c2si ρ0i
i
ρ0
.
(4.44)
Podemos ainda definir invariantes de calibre para as taxas de tranferência de energia e
momento como
Q0i
(v − B),
Eci ≡ εi −
kQi
(4.45)
Fci ≡ fi .
(4.46)
Essas quantidades estão definidas no referencial do centro de massa. Podemos definir novas
quantidades no referencial de repouso da componente i como
Q0i
(Vi − V ),
kQi
(4.47)
Fi = Fci − 3qi (Vi − V ).
(4.48)
Ei = Eci −
As equações de evolução para ∆i e Vi devem ser obtidas a partir da parte perturbada, em
primeira ordem, da equação de movimento para cada componente (4.1). Após uma simples,
mas trabalhosa, sequência de cálculos obtemos o sistema [37]
a0
a2
∆0i − 3 wi ∆i = 12πGh(1 + wi ) (V − Vi )
a
k
#
µ
¶"
0
0
3K
a
a
− 1− 2
(1 + wi )kVi + 2 (1 − qi )wi Πi − 3 qi (wi Γi + c2si ∆i )
k
a
a
a0
Fi
+3 (1 + wi )qi Ei + 3(1 − qi )(1 + wi )
a
k
Ã
Vi0
Ã
a0
a
!2
,
(4.49)
!
wi
a0
c2si
∆i +
Γi
+ Vi = kΨ + k
a
1 + wi
1 + wi
µ
¶
2
3K
a0
kwi
− 1− 2
Πi + Fi .
3
k
1 + wi
a
(4.50)
31
Usando as definições dos invariantes (4.32), (4.33) e (4.45)-(4.48), podemos obter equações
dependentes de calibre [38]
a0
a0
a0
δi0 + 3 (c2si − wi )δi + 3 wi Γi = −(1 + wi )(kvi + 3HL0 ) + 3 (1 + wi )qi (A + εi ), (4.51)
a
a
a
0
a
kwi
vi0 − B 0 + (1 − c2si ) (vi − B) − kA −
Γi
a
1 + wi
¶
µ
2
kwi
a0
kc2si
3K
δi +
Πi = [3qi (v − B) + fi ]. (4.52)
−
1− 2
1 + wi
3
k
1 + wi
a
Com isso podemos determinar as equações de evolução em qualquer calibre. Em particular,
escolhemos o calibre sı́ncrono, para o qual temos
a0
a0
1
a0
δi0 + 3 (c2si − wi )δi = −3 wi Γi − (1 + wi )(kvi + h0L ) + 3 (1 + wi )qi εi , (4.53)
a
a
2
a
µ
¶
0
2
kwi
a
kwi
kcsi
2
3K
a0
vi0 + (1 − c2si ) vi =
Γi +
δi −
1− 2
Πi + [3qi v + fi ], (4.54)
a
1 + wi
1 + wi
3
k
1 + wi
a
onde introduzimos a quantidade hL ≡ 6HL [1]. Naturalmente estas equações devem ser
complementadas por uma equação para a perturbação métrica vinda das equações de Einstein
perturbadas. Esta equação é a (3.18), que no calibre sı́ncrono pode ser escrita como (3.32),
onde as variáveis de matéria se referem ao fluido total,
"
h00L
#
X
X
X
a0
+ h0L = −(1 + 3c2s )8πGa2
ρi δi − 24πGa2
Pi Γi + (c2si − c2s )δρi ,
a
i
i
i
(4.55)
que pode ser reescrita como
h00L +
X
X
a0 0
hL = − (1 + 3c2si )8πGa2 ρi δi − 24πGa2
Pi Γi .
a
i
i
(4.56)
32
CAPÍTULO 4. PERTURBAÇÕES EM UM FLUIDO MULTI-COMPONENTE
Capı́tulo 5
Perturbações newtonianas com
pressão
Como vimos no capı́tulo 2, o sistema de equações (2.1)-(2.3) leva às equações relativı́sticas
corretas para a evolução do universo. No entanto, se considerarmos perturbações lineares
neste sistema, os resultados não concordam com a abordagem relativı́stica [13]. A equivalência é obtida apenas para P = 0.
Para resolver este problema, foi proposta em [14] uma modificação da equação de continuidade da forma
Ã
∂ρ
∂t
!
~ r · (ρ~u) + P ∇
~ r · ~u = 0.
+∇
(5.1)
r
Para verificar a validade da modificação proposta, em um contexto mais geral [39], devemos recomeçar a análise, sem quaisquer restrições, a partir do sistema
Ã
Ã
∂ρ
∂t
!
∂~u
∂t
!
~ r )~u = −∇
~ r φ − (ρ + P )−1 ∇
~ r P,
+ (~u · ∇
(5.2)
r
∇2r φ = 4πG(ρ + 3P ),
~ r · (ρ~u) + P ∇
~ r · ~u = 0.
+∇
(5.3)
(5.4)
r
Como usual em teoria de perturbação, nós supomos pequenas perturbações em torno da
33
34
CAPÍTULO 5. PERTURBAÇÕES NEWTONIANAS COM PRESSÃO
solução homogênea na forma
ρ = ρ0 + δρ,
P = P0 + δP,
φ = φ0 + ϕ,
(5.5)
~u = ~u0 + ~v .
Nós usamos o subscrito “0” para denotar quantidades do background. Substituindo (5.5)
na equação de Euler (5.2) e mantendo apenas termos de primeira ordem nas perturbações,
nós obtemos
Ã
∂~v
∂t
!
~ r )~v + (~v · ∇
~ r )~u0 = −∇
~ r ϕ − (ρ0 + P0 )−1 ∇
~ r (δP ).
+ (~u0 · ∇
(5.6)
r
Fazendo o mesmo com as equações de continuidade e de Poisson, nós temos
∇2 ϕ = 4πG(δρ + 3δP ),
Ã
∂δρ
∂t
(5.7)
!
~ r · ~v + ∇
~ r · (δρ~u0 ) + δP ∇
~ r · ~u0 = 0.
+ (ρ0 + P0 )∇
(5.8)
r
Por conveniência, fazemos uma mudança para coordenadas comóveis,
~r = a~x,
Ã
(5.9)
∇x = a∇r ,
∂
∂t
!
Ã
=
x
∂
∂t
!
ȧ
+ (~x · ∇x ),
a
r
(5.10)
(5.11)
onde o ponto denota derivada temporal.
Usando (5.10) e (5.11) nas equações (5.6)-(5.8) e, introduzindo o contraste de densidade
35
δ≡
δρ
,
ρ0
obtemos o seguinte sistema
ȧ
1~
1
1
~
~v˙ + ~v = − ∇ϕ
−
∇(δP
),
a
a
a ρ0 + P0
∇2 ϕ = 4πGa2 (δρ + 3δP ),
(5.13)
ρ0 + P 0 ~
ȧ
ȧ
ρ0 δ̇ − 3 (ρ0 + P0 )δ = −
∇ · ~v − 3 (δρ + δP ).
a
a
a
Nós podemos definir as quantidades w =
P0
,
ρ0
e c2ef f =
δP
.
δρ
(5.12)
(5.14)
A quantidade c2ef f é o que dá
a escala crı́tica para estabilização das perturbações no caso geral [40].
Agora, nós podemos reescrever as equações acima como
c2
1~
1 ~
ȧ
+ ef f
∇(δ) = 0,
~v˙ + ~v + ∇ϕ
a
a
a 1+w
(5.15)
∇2 ϕ − 4πGa2 ρ0 δ(1 + 3c2ef f ) = 0,
(5.16)
ȧ
1+w~
δ̇ + 3 (c2ef f − w)δ +
∇ · ~v = 0,
a
a
(5.17)
onde nós consideramos cef f = cef f (t).
Diferenciando a equação (5.17), tomando a divergência da equação (5.15) e usando a
equação (5.16), nós obtemos a equação de evolução para o contraste de densidade
½
¾
ẇ
δ̈ + δ̇
+ 2H + δ{3 aä (c2ef f − w)+
− w) −
1+w
2 2
2˙
3H (cef f − w) + 3H((cef f ) − ẇ) − 4πG(1 + 3c2ef f )(1 + w)ρ0 −
3H(c2ef f
3H ẇ
c2ef f − w
∇2 δ
} − c2ef f 2 = 0,
1+w
a
(5.18)
onde H = ȧ/a.
Usando as seguintes equações, válidas para o background:
4πG
ä
=−
ρ0 (1 + 3w),
a
3
µ ¶2
8πG
ȧ
2
H =
=
ρ0 ,
a
3
(5.19)
(5.20)
36
CAPÍTULO 5. PERTURBAÇÕES NEWTONIANAS COM PRESSÃO
ẇ
= −3H(c2s − w),
1+w
(5.21)
nós podemos reescrever (5.18) como
h
i
δ̈ − 3(2w − c2s − c2ef f ) − 2 H δ̇ +


·
¸
2˙
c
3
1
3H 2  w2 − 4w − + 3c2s + 3c2ef f (3c2s − 6w − 1) + ef f  δ =
2
2
H
c2ef f 2
∇ δ.
a2
(5.22)
Para comparar (3.19) com a equação correspondente para o contraste de densidade (5.22),
nós precisamos usar a equação (3.12) e reexpressar a (3.19) como
h
¨ − 3(2w −
∆
c2s )
i ȧ
−2
a
˙ +3
∆
"·
3 2
1
w − 4w − + 3c2s
2
2
¸ µ ¶2 #
ȧ
a
∆=−
k2 2
c ∆,
a2 ef f
(5.23)
onde, agora, as derivadas são tomadas com respeito ao tempo t, lembrando que estamos
considerando K = 0 e Π = 0.
Comparando (5.23) com (5.22), usando as propriedades das funções harmônicas Y [1], e
considerando que, se K = 0, o operador ∆ ≡ γ ij s ∇i s ∇j é equivalente a ∇2 , fica claro que
há apenas um caso, além de poeira c2ef f = c2s = w = 0, onde estas equações são equivalentes.
2
Isto ocorre quando c2ef f = 0, o que implica em uma perturbação de entropia Γ = − cws δ. Para
uma discussão dos limites Newtonianos de perturbações cosmológicas relativı́sticas no caso
de perturbações adiabáticas, mas com w = w(t), veja [41].
Capı́tulo 6
Perturbações de entropia e fluido de
Chaplygin
As equações que governam a evolução das perturbações em fluido multi-componente, no
regime linear, no calibre sı́ncrono, são
Ã
!
a0
h0
a0
+
− wi ) δi = −(1 + wi ) kvi + L − 3wi Γi ,
a
2
a
0
2
a
csi
wi
vi0 + (1 − 3c2si ) vi =
kδi +
kΓi ,
a
1 + wi
1 + wi
X
X
a0
h00L + h0L = − (1 + 3c2si )8πGρi a2 δi − 24πGa2
Pi Γi ,
a
i
i
δi0
3(c2si
(6.1)
(6.2)
(6.3)
onde nós tomamos tanto a curvatura espacial quanto a perturbação de pressão anisotrópica
iguais a zero e as derivadas são tomadas com respeito ao tempo conforme. As equações (6.1)
e (6.2) são válidas para cada componente. Nós supomos que o tensor energia-momento de
cada componente seja conservado: T(i) νµ;ν = 0.
Nós estamos considerando apenas dois componentes no universo: bárions e um fluido de
Chaplygin generalizado [42]. A conservação do tensor energia-momento de cada componente
37
38
CAPÍTULO 6. PERTURBAÇÕES DE ENTROPIA E FLUIDO DE CHAPLYGIN
resulta em
a0
ρ0b = −3 ρb ,
a
(6.4)
a0
ρ0ch = −3 (1 + wch )ρch .
a
(6.5)
O fluido de Chaplygin homogêneo obedece à equação de estado pch = −A/ραch . Portanto,
nós temos
ρb = ρb0 a−3 ,
h
i
ρch = ρch0 (1 − Ā)a−3(α+1) + Ā
Ā ≡
1
α+1
,
(6.6)
(6.7)
A
,
ρα+1
ch0
onde o subscrito “0” denota quantidades hoje e nós escolhemos o fator de escala hoje igual
a um. Com Eq.(6.7) nós obtemos a equação de estado e a velocidade do som para o fluido
de Chaplygin como
wch (a) = −
Āa3(α+1)
,
(1 − Ā) + Āa3(α+1)
(6.8)
e
c2sch = −α wch (a).
(6.9)
É uma boa aproximação tomar c2sb = 0 e nós também vamos supor que para bárions
Γb = 0. Quando o componente de Chaplygin é considerado, as oscilações e instabilidades no
espectro de potência da matéria para Chaplygin (e, apesar de mais fraco, também no espectro
dos bárions), no caso adiabático, têm sua origem em um valor não nulo do primeiro termo
do lado direito da Eq. (6.2) [30]. Entretanto, isto pode não ser verdade se perturbações de
entropia estão presentes [39, 43, 44].Neste caso, a velocidade do som efetiva e a velocidade
do som adiabática não são iguais [40]. De fato, para sermos mais precisos, uma vez que
a velocidade do som dos bárions e do componente de Chaplygin são diferentes, mesmo no
39
caso que estamos chamando de adiabático existe uma perturbação de entropia relativa [38].
Agora nós impomos que o lado direito da Eq. (6.2) se anule, de tal forma que a velocidade
do som efetiva do fluido de Chaplygin seja zero. Esta escolha é equivalente a supor, como
condição inicial, que δpch = 0. É imediato mostrar que δpch = 0 implica em dδpch /dt = 0,
tal que a condição é preservada [45]. Da definição de Γ temos
δp = pΓ + c2s ρδ
naturalmente
˙ = ṗΓ + pΓ̇ + c˙2 ρδ + c2 ρ̇δ + c2 ρδ̇
δp
s
s
s
se usarmos Γ = αδ, c2s = −αw, ρ̇ = −3 aȧ ρ(1 + w) e também
ρ̇
ẇ = −3H(c2s − w)(1 + w) ⇒ ẇ = −w (1 + α)
ρ
˙ = 0. Com esta escolha nós podemos determinar a perturbação de entropia
temos que δp
para o fluido de Chaplygin Γch como
Γch = −
c2sch
δch = αδch .
wch
(6.10)
Agora nós podemos reescrever as equações (6.1)-(6.3) como
Ã
!
dδch
δch
kvch 1 dhL
− 3wch (a)
= −(1 + wch (a))
+
,
da
a
ȧa
2 da
(6.11)
dvch
vch
+ (1 + 3αwch (a))
= 0,
da
a
(6.12)
Ã
!
dδb
kvb 1 dhL
=−
+
,
da
ȧa
2 da
(6.13)
dvb vb
+
= 0,
da
a
(6.14)
40
CAPÍTULO 6. PERTURBAÇÕES DE ENTROPIA E FLUIDO DE CHAPLYGIN
e
µ
2
ä
d2 hL
+
+
da2
a ȧ2
¶


"
#
α+1 
(1 − Ā)
dhL
3H02  Ωb0 δb
=− 2
+
Ω
δ
+
Ā
,
ch0
ch

da
ȧ  a3
a3(α+1)
1
(6.15)
onde ȧ e ä são dadas por

Ω
ȧ = H0 
ä = −
H02

Ω
2 
b0
a2
b0
a
"
+ Ωch0
(1 − Ā)
Āa2(α+1) + α+1
a
"
+ Ωch0 (1 + 3wch (a)) Āaα+1 +
#
1
α+1
1
2

# 1 
(1 − Ā) α+1 

a2(α+1)
,
(6.16)
.
(6.17)
Pela Eq. (6.14) nós podemos ver que vb decai rapidamente e, para simplificar os cálculos,
nós escolhemos vb = 0. Com isto, o sistema de equações (6.11)-(6.15) pode ser reduzido a
!
Ã
e
µ
dδch
δch
kvch dδb
− 3wc h(a)
= −(1 + wch (a))
−
,
da
a
ȧa
da
(6.18)
dvch
vch
+ (1 + 3αwch (a))
= 0,
da
a
(6.19)
d2 δb
2
ä
+
+
da2
a ȧ2
¶


"
#
α+1 
dδb
3H02  Ωb0 δb
(1 − Ā)
=
+
(1
−
Ω
)δ
+
Ā
,
b0 ch

da
2ȧ2  a3
a3(α+1)
1
(6.20)
onde nós usamos que Ωb0 + Ωch0 = 1.
Em nossos cálculos, nós evoluı́mos as equações (6.18), (6.19) e (6.20) de z = 500 até
z = 0 para obter o espectro de potência. Em z = 500 o fluido de Chaplygin se comporta
como CDM e, para levar isto em conta, nós supomos um espectro primordial invariante de
escala e usamos a função de transferência BBKS [46], com o seguinte parâmetro de forma
efetivo [48, 49]1
Ã
1/(1+α)
Γef f = (Ωb0 +(1−Ωb0 )(1−A)
1
√
!
2h Ωb0
)h exp −Ωb0 −
. (6.21)
Ωb0 + (1 − Ωb0 )(1 − A)1/(1+α)
Note que o parâmetro de forma não tem relação com a perturbação de entropia, apesar da notação dúbia
normalmente usada.
41
Quanto à perturbação de velocidade do fluido de Chaplygin, sabemos que, em tempos primordiais, wch ∼ 0 e, observando a equação (6.19), podemos usar o mesmo argumento que
utilizamos para desprezar vb e escolher vch = 0, que é uma solução estável de (6.19).
Na Figura 6.1 apresentamos o espectro de potência de Chaplygin, no caso adiabático, para
α = −10−4 , −10−5 , 0, 10−5 e 10−4 (de cima para baixo), h = 0.7, Ωb0 = 0.04 e escolhemos
Ā de forma que todos os modelos tenham Γef f = 0.18. A normalização do espectro de
potência está fixada arbitrariamente em k = 0.01 h Mpc−1 . Os dados são do espectro de
potência do “2dF galaxy redshift survey” como compilados em [47]. Na figura 6.2 mostramos
o espectro de potência dos bárions, para os mesmos parâmetros. Está claro que para bárions
as oscilações e instabilidades (que ocorrem para α < 0) são bastante reduzidas [49].
Na figura 6.3 nós mostramos o espectro de potência para o fluido de Chaplygin no caso
Γch = α δch (δpch = 0). Nós consideramos α = −0.6, −0.3, 0, 0.3, 0.6 and 1, h = 0.7, Ωb0 =
0.04 e, novamente, Ā tal que todos os modelos tenham Γef f = 0.18. A degenerescência é clara
e, como afirmamos anteriormente, em escalas lineares, as oscilações e instabilidades estão
ausentes. Note que modelos com α < 0 podem agora estar em acordo com observações. Nós
não mostramos o espectro de potência de bárions porque não é significativamente diferente
do da figura 6.3. Na figura 6.4 nós mostramos o espectro de potência para o componente
de Chaplygin, no caso não adiabático, para os mesmos valores de α, h e Ωb0 , como acima,
mas agora nós fixamos o parâmetro Ā = 0.7, tal que Γef f é diferente para cada modelo.
A degenerescência agora foi quebrada. Novamente o espectro de potência de bárions é
essencialmente o mesmo.
42
CAPÍTULO 6. PERTURBAÇÕES DE ENTROPIA E FLUIDO DE CHAPLYGIN
P(k()h-1 Mpc)3
100000.
1000
10
0.1
0.01 0.02
0.05 0.1 0.2
k(h Mpc-1 )
0.5
1
Figura 6.1: Espectros de potência de Chaplygin, no caso adiabático, para α = −10−4 , −10−5
,0, 10−5 e 10−4 (de cima para baixo), h = 0.7, Ωb0 = 0.04 e Ā escolhido de forma que todos os
modelos tenham Γef f = 0.18. Os dados são do espectro de potência do “2dF galaxy redshift
survey” como compilados em [47].
43
P(k)(h-1 Mpc)3
100000.
1000
10
0.1
0.01 0.02
0.05 0.1 0.2
k(h Mpc-1 )
0.5
1
Figura 6.2: Espectros de potência de bárions, no caso adiabático, para α = −10−4 , −10−5 ,0,
10−5 e 10−4 (de cima para baixo), h = 0.7, Ωb0 = 0.04 e Ā escolhido de forma que todos os
modelos tenham Γef f = 0.18. Os dados são do espectro de potência do “2dF galaxy redshift
survey” como compilados em [47].
44
CAPÍTULO 6. PERTURBAÇÕES DE ENTROPIA E FLUIDO DE CHAPLYGIN
P(k)(h-1 Mpc)3
100000.
1000
10
0.1
0.01 0.02
0.05 0.1 0.2
k(h Mpc-1 )
0.5
1
Figura 6.3: Espectros de potência de Chaplygin (bárions), no caso não adiabático, para
α = −0.6, −0.3, 0, 0.3, 0.6 e 1, h = 0.7, Ωb0 = 0.04 e Ā escolhido de forma que todos os
modelos tenham Γef f = 0.18. Os dados são do espectro de potência do “2dF galaxy redshift
survey” como compilados em [47].
45
P(k)(h-1 Mpc)3
100000.
1000
10
0.1
0.01 0.02
0.05 0.1 0.2
k(h Mpc-1 )
0.5
1
Figura 6.4: Espectros de potência de Chaplygin (bárions), no caso não adiabático, para
α = −0.6, −0.3, 0, 0.3, 0.6 e 1, (de baixo para cima), h = 0.7, Ωb0 = 0.04 e Ā = 0.7. Os dados
são do espectro de potência do “2dF galaxy redshift survey” como compilados em [47].
46
CAPÍTULO 6. PERTURBAÇÕES DE ENTROPIA E FLUIDO DE CHAPLYGIN
Capı́tulo 7
Conclusão
Nós mostramos que a modificação na equação de continuidade, sugerida em [14] para
obter equivalência entre as abordagens newtoniana e relativı́stica, somente funciona em um
caso bastante especial, onde consideramos perturbações de entropia tais que c2ef f = 0. Na
referência [14] obtém-se equivalência no caso c2ef f = c2s = w, às custas de se impor a condição
de calibre comóvel, v = 0, sobre a equação para o contraste de densidade no calibre sı́ncrono.
Segundo [41], tal procedimento leva a uma inconsistência, pois estabelece um vı́nculo entre
as perturbações de densidade e de pressão, cuja consequência, na ausência das últimas, é
obter-se δ = 0. Neste trabalho mostramos que não é preciso fazer tais escolhas de calibre se
permitirmos a existência de perturbações de entropia. Neste caso obtemos equivalência com
o resultado relativı́stico obtido a partir do formalismo invariante de calibre de [1].
No modelo cosmológico padrão (ΛCDM, QCDM), dois misteriosos componentes, matéria
escura e energia escura, são propostos para explicar dois fenômenos diferentes: aglomeração
da matéria e aceleração cósmica. A despeito do sucesso do modelo padrão, até agora não
foi provado que matéria escura e energia escura são de fato substâncias diferentes. Uma
primeira tentativa foi feita em [30]. Em [33] foi mostrado que observações de CMB vinculam
fortemente o espaço de parâmetros de modelos de quartessência de Chaplygin, deixando
pouco espaço para modelos qualitativamente diferentes de ΛCDM. Todos esses modelos se
47
48
CAPÍTULO 7. CONCLUSÃO
baseiam na hipótese que não há perturbações de entropia intrı́nsecas no componente de Chaplygin. Neste trabalho nós mostramos que se Γch = αδch ou, equivalentemente, δpch = 0
como condição inicial, as oscilações e instabilidades no espectro de potência da matéria,
presentes no caso adiabático, desaparecem e, como consequência, o espaço de parâmetros
permitido é aumentado (além disso, agora α < 0 deve ser incluı́do na análise). Nós acreditamos que o jogo não acabou nem está perto de terminar para esses modelos, e talvez esteja
apenas começando. É interessante notar que para o modelo considerado no capı́tulo 6, vale
a condição c2ef f = 0, e portanto poderı́amos ter feito nossa análise usando a abordagem do
capı́tulo 5.
Apêndice A
Expansão harmônica
Neste apêndice seguiremos o trabalho e a notação de Kodama & Sasaki [1]. Quantidades
escalares podem ser expandidas por um conjunto completo de funções harmônicas Y (x)
satisfazendo à equação
(∆ + k 2 )Y = 0,
(A.1)
onde −k 2 representa um auto-valor do operador de Laplace-Beltrami ∆ ≡ γ ij s ∇i s ∇j .
O autovalor k 2 toma valores contı́nuos maiores ou iguais a (n − 2)2 | K | para K ≤ 0 e
l(l + n + 1)K, (l = 0, 1, 2, ...) para K > 0. Aqui omite-se os ı́ndices para distinguir diferentes
auto-funções, pois a forma explı́cita das funções não é usada no desenvolvimento da teoria e
não há acoplamento entre modos. Componentes escalares de vetores são expandidos por
Yi ≡ −k −1 Y|i , onde |i =s ∇i ,
(A.2)
enquanto que componentes escalares de tensores são expandidos por
1
1
Yij ≡ k −2 (Y|ij − γij ∆Y ) = (k −2 Y|ij + γij Y )
3
3
(A.3)
e por γij Y , onde γij é a métrica do espaço de curvatura constante, com assinatura (+, +, +).
49
50
APÊNDICE A. EXPANSÃO HARMÔNICA
Da mesma maneira, vetores sem divergência são expandidos por um conjunto completo
(1)
de funções harmônicas Yi
especificadas por
(1)
(∆ + k 2 )Yi
Y
(1)i
|i
= 0;
(A.4)
= 0.
(A.5)
(1)
Componentes vetoriais de tensores são expandidos por Yij , definido por
(1)
(1)
(1)
Yij ≡ −(2k)−1 (Yi|j + Yj|i ).
(A.6)
Finalmente, componentes tensoriais, sem divergência e sem traço de tensores simétricos de
(2)
segunda ordem, são expandidos por um conjunto completo de funções harmônicas Yij ,
especificadas por
(2)
(∆ + k 2 )Yij = 0;
(2)i
Yi
(2)|j
Yij
(A.7)
,
(A.8)
= 0.
(A.9)
As funções harmônicas escalares Y obedecem às seguintes propriedades:
|i
Yi
= kY,
(A.10)
∆Yj = −[k 2 − (n − 1)K]Yj ,
µ
1
Yi|j = −k Yij − γij Y ,
3
Yii = 0,
Yij
Yim
|j
|m
|j
2 −1 2
k (k − 3K)Yi ,
3
µ
¶
2
1
2
=
(3K − k ) Yij − γij Y ,
3
3
=
∆Yij = −(k 2 − 6K)Yij ,
(A.11)
¶
(A.12)
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
51
µ
Yij|m − Yim|j
¶
k
3K
=
1 − 2 (γim Yj − γij Ym ).
3
k
(1)
Para uma descrição das propriedades das funções Yi
(2)
e Yij , veja [1].
(A.17)
52
APÊNDICE A. EXPANSÃO HARMÔNICA
Apêndice B
O comprimento de Jeans
James Jeans mostrou, no inı́cio do século XX, que se considerarmos pequenas flutuações
de densidade δρ e velocidade δ~v em um fluido em média homogêneo e isotrópico, essas
perturbações podem evoluir com o tempo. Jeans considerou o caso estático.
Jeans mostrou que existe uma escala de comprimento tı́pica, conhecida como comprimento de Jeans λJ , tal que se a escala associada a perturbação λ for λ > λJ ela colapsa,
caso contrário (λ < λJ ) ela oscilará como uma onda sonora.
Considere uma inomogeneidade esférica δρ de raio λ e massa M em um meio homogêneo
de densidade ρ. O contraste de densidade aumenta se a aceleração gravitacional for maior
que a força de pressão,
GM
Gρλ3
pλ2
'
> 3.
λ2
λ2
ρλ
(B.1)
Se considerarmos a velocidade do som c2s = p/ρ, para fluidos com equação de estado constante, temos
λ>
cs
.
(Gρ)1/2
(B.2)
Podemos chegar ao mesmo resultado a partir de outro argumento [50]. Se a distribuição de
pressão da matéria puder se reajustar rápido o suficiente, então a pressão evitará o colapso
53
54
APÊNDICE B. O COMPRIMENTO DE JEANS
gravitacional do contraste de densidade. A condição para isto é
{escala de tempo para reajuste da pressão} < {escala de tempo para o colapso gravitacional}.
(B.3)
Com isso temos
tp '
comprimento de onda
λ
1
= tempo de queda livre ' tg .
= <
velocidade de dispersão
v
(Gρ)1/2
(B.4)
Dessa maneira, podemos definir um comprimento de onda crı́tico para estabilização das
perturbações, o comprimento de Jeans
λJ ≡
v
.
(Gρ)1/2
(B.5)
Note que o último argumento é mais geral que o primeiro pois envolve a velocidade v 2 =
c2ef f = δp/δρ.
Quando tratamos de perturbações no espaço de momento podemos usar o número de
onda equivalente,
√
kJ =
4πGρ
.
v
(B.6)
Apêndice C
O espectro de potência da matéria
Nós podemos caracterizar as propriedades estatı́sticas do contraste de densidade δ(~x, t),
em qualquer instante, por uma hierarquia infinita de funções de correlação,
hδ(~x)δ(~x0 )i, dois pontos,
(C.1)
hδ(~x)δ(~x0 )δ(~x00 )i, três pontos,
(C.2)
hδ(~x)δ(~x0 )δ(~x00 )δ(~x000 )i, quatro pontos,
(C.3)
e assim por diante. Os parênteses em ângulo representam média sobre um ensemble de
universos com perturbações estatisticamente equivalentes. Em geral, considera-se a hipótese
que médias sobre o ensemble são equivalentes à média sobre um volume grande V em uma
dada realização do ensemble. A função de correlação de dois pontos (C.1) é usualmente
denotada por ξ e homogeneidade e isotropia demandam que a média sobre o ensemble da
função de correlação de dois pontos é uma função somente da distância |~x − ~x0 | e do tempo
t. A transformada de ξ no espaço de momento é o espectro de potência P (k) que está
relacionado a transformada do contraste de densidade δk (t) por
P (k) = h|δk |2 i.
55
(C.4)
56
APÊNDICE C. O ESPECTRO DE POTÊNCIA DA MATÉRIA
É frequentemente suposto que as flutuações de densidade no universo primordial seguiam
uma lei de potência
P (k) ∝ k n ,
(C.5)
onde o ı́ndice n é um parâmetro livre, a ser determinado a partir de observações hoje. O
caso n = 0 descreve ruı́do branco, enquanto n = 1 descreve flutuações invariantes de escala.
Outra forma de se obter o espectro de potência é através da função de tranferência, que
é definida, no calibre sı́ncrono ou comóvel [51] como
T (k) ≡
δ(k, z = 0) δ(0, z = ∞)
.
δ(k, z = ∞) δ(0, z = 0)
(C.6)
A função de transferência relaciona os valores da perturbação de densidade em diferentes
instantes da seguinte maneira
δ(k, 0) ∝ T (k)δ(k, z),
(C.7)
para perturbações adiabáticas. Por construção T (k) → 1 quando k → 0. O espectro de
potência h|δk |2 i é proporcional ao quadrado da função de transferência multiplicado pelo
espectro primordial
P (k) ∝ T 2 (k)k n
(C.8)
Bibliografia
[1] H. Kodama e M. Sasaki, Prog. Theor. Phys. Suppl. 78, 1 (1984).
[2] J. M. Bardeen, Phys. Rev. D22, 1882 (1980).
[3] G. F. R. Ellis e M. Bruni, Phys. Rev. D40, 1804 (1989).
[4] E. L. Schücking, Texas Q. 10, 270 (1967).
[5] D. Layzer, Astron. J. 59, 170 (1954).
[6] W. H. McCrea e E. A. Milne, Quarterly J. Math. 5, 73 (1934)(republicado em Gen.
Relativ. Gravit. 32, 1949, 2000).
[7] E. A. Milne, Quarterly J. Math. 5, 64 (1934)(republicado em Gen. Relativ. Gravit. 32,
1939, 2000).
[8] W. H. McCrea, Proc. R. Soc. London A 206, 562 (1951).
[9] E. T. Whittaker, Proc. R. Soc. London A 149, 384 (1935).
[10] E. R. Harrison, Ann. Phys. (N.Y.) 35, 437 (1965).
[11] W. H. McCrea, Nature (London), 175, 466 (1955); H. Bondi, Cosmology (2nd ed.,
Cambridge University Press, Cambridge, 1960); P. T. Landsberg e A. D. Evans Mathematical Cosmology (Clarendon Press, Oxford, 1977); C. Callan, R. H. Dicke e P. J. E.
Peebles, Am. J. Phys. 33, 105 (1965); E. R. Harrison, Rev. Mod. Phys. 39, 863 (1967);
57
58
BIBLIOGRAFIA
E. R. Harrison, Cosmology: The Science of the Universe (2nd ed., Cambridge University
Press, Cambridge, 2000).
[12] C. Rueden e N. Straumann, Helv. Phys. Acta 70, 318 (1997).
[13] R. K. Sachs e A. M. Wolfe, Astrophys. J. 147, 73 (1967).
[14] J. A. S. Lima, V. Zanchin e R. Brandenberger, Mon. Not. R. Astron. Soc. 291, L1(1997).
[15] A. G. Riess et al, Astronom. J. 116, 1009 (1998).
[16] S. Perlmutter et al, Astrophys. J. 517, 565 (1999).
[17] M. Makler, S. Q. de Oliveira e I. Waga, Phys. Lett. B555, 1 (2003).
[18] A. Y. Kamenshchik, U. Moschella e V. Pasquier, Phys. Lett. B511, 265 (2001), grqc/0103004.
[19] M. Makler, Dinâmica Gravitacional de Formação de Estruturas no Universo, Tese de
Doutorado, Centro Brasileiro de Pesquisas Fı́sicas (2001).
[20] N. Bilic, G. B. Tupper e R. D. Viollier, Phys. Lett. B535, 17 (2002), astro-ph/0122325.
[21] M.C. Bento, O. Bertolami e A. A. Sen, Phys. Rev. D66, 043507 (2002), gr-qc/0202064.
[22] A. Sen, J. High Energy Phys. 04, 48 (2002).
[23] G. W. Gibbons, Phys. Lett. B537, 1 (2002).
[24] T. Padmanabhan e T. R. Choudhury, Phys. Rev. D66, 081301 (2002).
[25] J. C. Fabris, S. V. B. Gonçalves e P. E. de Souza, astro-ph/0207430.
[26] P. P. Avelino et al., Phys. Rev. D67, 023511 (2003).
[27] R. Colistete Jr, J. C. Fabris e S. V. B. Gonçalves, P. E. de Souza, astro-ph/0303338.
BIBLIOGRAFIA
59
[28] A. Dev, J. S. Alcaniz e D. Jain, Phys. Rev. D67, 023515 (2003).
[29] P. T. Silva e O. Bertolami, astro-ph/0303353.
[30] H. B. Sandvik, M. Tegmark, M. Zaldarriaga e I. Waga, astro-ph/0212114.
[31] D. Carturan e F. Finelli, astro-ph/0211626.
[32] R. Bean e O. Dore, astro-ph/0301308.
[33] L. Amendola, F. Finelli, C. Burigana e D. Carturan, astro-ph/0304325.
[34] Marcelo B. Ribeiro, Boletim da Soc. Astronômica Brasileira, vol. 14, no 2, 34 (1994).
[35] Élie Cartan, Ann. École Norm. Supérieure. 40, 325 (1923); Élie Cartan, Ann. École
Norm. Supérieure. 41, 1 (1924).
[36] Frank J. Tipler, Mon. Not. R. Astron. Soc. 282, 206 (1996).
[37] T. Hamazaki e H. Kodama, Prog. Theor. Phys. 96, 1123 (1996), gr-qc/9609036.
[38] K. A. Malik, PhD Thesis, University of Portsmouth, UK (2001), astro-ph/0101563.
[39] R. R. R. Reis, Phys. Rev. D67, 087301 (2003).
[40] W. Hu, Astrophys. J. 506, 485 (1998).
[41] Jai-chan Hwang e Hyerim Noh, astro-ph/9701137.
[42] R. R. R. Reis, I. Waga, M. O. Calvão e S. E. Jorás, aceito para publicação em Phys.
Rev. D, astro-ph/0306004.
[43] A. B. Balakin, D. Pavon, D. J. Schwarz, W. Zimdahl, a aparecer em New Journal of
Physics, astro-ph/0302150.
[44] U. Alam, V. Sahni, T. D. Saini, A. A. Starobinsky, astro-ph/0303009.
60
BIBLIOGRAFIA
[45] L. R. Abramo, F. Finelli, Phys. Rev. D 64, 083513 (2001). Agradecemos Raul Abramo
por nos chamar atenção a este importante ponto.
[46] J. M. Bardeen, J. R. Bond, N. Kaiser e A. S. Szalay, Astrophys. J. 304, 15 (1986).
[47] M. Tegmark, A. J. S. Hamilton e Y. Xu, Mon. Not. R. Astron. Soc. 335, 887 (2002).
[48] N. Sugiyama, Astrophys. J. Supp. 100, 281 (1995).
[49] L. M. G. Beça, P. P. Avelino, J. P. M. de Carvalho e C. J. A. P. Martins, astroph/0303564.
[50] T. Padmanabhan, Structure formation in the universe, 1a ed., Cambridge University
Press, Cambridge, 1993.
[51] D. J. Einsenstein e W. Hu, astro-ph/9709112.