Troncos de Pirâmide e de Cone

Troncos de Pirâmide e de Cone
Tronco da Pirâmide
Tronca do Cone
Troncos de Pirâmide e de Cone
Existem objetos presentes
em nosso mundo que,
embora não tenham o
formato de cones ou
pirâmides, estão
relacionados a esses de
uma maneira especial.
São chamados troncos de
cones ou troncos de
pirâmides.
Tronco de Pirâmide
Uma pirâmide quadrangular regular de
aresta da base igual a 15 cm foi seccionada
por um plano paralelo à base distante 21 cm
desta, determine um quadrado cujo lado
mede 10cm.
Tronco de Pirâmide
Com base na ilustração acima, determine o volume
do sólido limitado pela base da pirâmide e pelo
plano paralelo a essa base.
Resposta
Utilizando-se de uma semelhança entre triângulos,
podemos obter a medida da altura da pirâmide.
h ab
H − 21 10
H − 21 2
=
→
= →
= →
H aB
H
15
H
3
→ 3(H − 21) = 2 H → 3H − 63 = 2 H →
→ 3H − 2 H = 63 → H = 63cm
Tronco de Pirâmide
O volume pode ser obtido
pela diferença entre os
volumes de duas pirâmides
de mesmo vértice: a
pirâmide inicial (maior) e a
pirâmide de mesmo vértice
está contida no plano que
intersectou a pirâmide inicial
(maior).
A altura da pirâmide menor
é igual a 63cm – 21cm= 42
cm
O volume da pirâmide menor é dado por :
1
1
V = . AB .h = .10 2.42 = 1400cm3
3
3
O volume da pirâmide maior é dado por :
1
1
V = . AB .h = .152.63 = 4725cm3
3
3
O volume do sólido limitado pelas
duas pirâmides, V , é dado por :
t
Vt = V − v = 4725cm3 − 1400cm3 = 3325cm3
Vt = 3325cm
3
Tronco de Pirâmide
Considere uma pirâmide cuja a
base é um polígono qualquer de
área AB e altura H.
Quando seccionada por um plano
paralelo à base,determina-se uma
pirâmide de altura H cujo polígono
da base tem área Ab.
Quando uma pirâmide é
seccionada por um plano paralelo à
base, o sólido que contém sua
base é denominado tronco de
pirâmide.
Como estudamos na atividade
anterior, o volume do tronco pode
ser obtido pela diferença entre os
volumes de duas pirâmides.
Tronco de Pirâmide
De uma maneira geral, entretanto, para
medir o volume de um tronco, podemos
calculá-la diretamente por meio da fórmula:
Vtronco
ht
= . AB + Ab + AB Ab
3
[
]
Tronco de Pirâmide
Para você fazer – p. 32
Utilizando a fórmula correspondente ao volume de
um tronco, calcule o volume de um tronco de
pirâmide quadrangular regular cuja altura mede 21
cm e cujos lados das bases medem 10 cm e 15 cm.
ht
. AB + Ab + AB Ab
3
21
= . 225 + 100 + 225.100
3
21
= . 325 + 22500
3
= 7[325 + 150]
Vtronco =
Vtronco
Vtronco
Vtronco
[
[
[
]
]
3
] V
tronco = 3325cm
Resolução de Atividades
Página 33
Tronco de Cone
Considere um cone de raio
da base R e altura H.
Quando esse cone é
seccionado por um plano
paralelo à base, determinase outro cone de raio da
base r e altura h.
Da mesma forma que a
pirâmide, se um cone é
seccionado por um plano
paralelo à base, o sólido
que contém sua base é
denominado tronco de cone.
Tronco de Cone
Para obter uma expressão que permita medir o
volume de um tronco de cone, basta considerarmos
a diferença entre os volumes do cone maior e
menor.
Assim, desenvolvendo essa ideia, obtemos a
seguinte fórmula:
Vtronco =
π .h t
3
[
2
2
. R + r + R.r
]
Tronco de Cone
Para você fazer – p. 33
Os raios das bases de um tronco de cone
reto medem 10 cm e 4 cm, e a geratriz mede
10cm. Calcule o volume desse tronco.
Assim, o volume do tronco é igual a :
4cm
h
10 cm
4cm 6cm
Observe a figura;
Vtronco =
Vtronco
π .h t
[
]
[
]
3
π .8 2 2
=
. 10 + 4 + 10.4
3
No triângulo retângulo, temos que :
10 2 = 6 2 + h2 = 8cm
. R 2 + r 2 + R.r
Vtronco = 416cm3
Resolução de Atividades
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