Sistemas Unitários: Análise Dimensional e Similaridades

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Física Industrial-FBT415
Sistemas Unitários: Análise Dimensional e Similaridades
1.
Magnitude e sistemas unitários
O valor de qualquer magnitude física é expressa como o produto de dois fatores: o
valor da unidade e o número de unidades. As propriedades físicas de um sistema estão
relacionadas com uma série de leis mecânicas e físicas. Algumas magnitudes podem ser
consideradas fundamentais e outras derivadas. Magnitudes fundamentais variam de um sistema
para outro.
Geralmente, tempo e comprimento são tidos como fundamentais. O sistema de
unidades necessita uma terceira magnitude fundamental, que pode ser a massa ou força. Aqueles
sistemas que apresentam a massa como a terceira magnitude fundamental são conhecidos como
sistemas de unidade absoluta, enquanto aqueles que tem a força como unidade fundamental são
chamados sistemas de unidade técnicos. Existem também sistemas unitários usados na
engenharia que consideram comprimento, tempo, massa, e força como magnitudes fundamentais.
1.1. Sistemas de Unidade Absoluto
Existem três sistemas de unidade absoluto: o C.G.S. (CGS), o Giorgi (MKS), e o
inglês (FPS). De todos estes, as magnitudes fundamentais são comprimento, massa, e tempo. As
diferentes unidades destes três sistemas são apresentados na Tabela 1. Nestes sistemas, força é
uma unidade derivada das três unidades fundamentais. As unidades de força e energia são
detalhadas na Tabela 2.
Quando as magnitudes de calor são usadas, é conveniente definir a unidade de
temperatura. Para os sistemas CGS e MKS, a unidade de temperatura é definida em graus
centígrados (oC), enquanto que para o sistema Inglês é definido em graus Fahrenheit (oF).
Unidades de calor são definidos independentemente do sistema de unidades.
Tabela 1.
Sistema de Unidade Absoluto
Magnitude
Comprimento (L)
Massa (M)
Tempo (T)
c.g.s.
CGS
1 centímetro (cm)
1grama (g)
1 segundo (s)
Tabela 2.
Unidades Derivadas do Sistema Absoluto
Magnitude
c.g.s.
(CGS)
Sistema
Giorgi
MKS
1 metro (m)
1 kilograma (kg)
1 segundo (s)
English
FPS
1 pé (ft)
1 libra (lb)
1 segundo (s)
Sistema
Giorgi
(MKS)
English
(FPS)
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Força
Energia
1 dina
1 erg
Tabela 3.
Unidades Derivadas do Sistema Absoluto
Magnitude
Comprimento (L)
Força (F)
Tempo (T)
Temperatura (θ)
1 Newton (N)
1 Joule (J)
1 poundal
1 libras por pé
Sistema
Métrico
1 metro (m)
1 quilograma força (kg ou kgf)
1 segundo (s)
1 grau centígrado (oC)
Inglês
1 pé (ft)
1 libra força (lbf)
1 segundo (s)
1 grau Fahrenheit (oC)
1.2 Sistemas de Unidades Técnicos
Entre os mais usados sistemas técnicos estão o métrico e o Inglês. Em ambos, as
magnitudes fundamentais são comprimento, força, e tempo. Com relação à temperatura, o
unidade do sistema métrico é o grau centígrado, e no sistema Inglês é o Fahrenheit. A Tabela 3
mostra as unidades fundamentais dos sistemas métrico e Inglês.
1.3 Sistemas de Unidades de Engenharia
Até agora, somente sistemas que consideram apenas três magnitudes como
fundamentais foram descritos. Entretanto, em sistemas de engenharia, quatro magnitudes são
consideradas básicas: comprimento, tempo, massa, e força. A Tabela 4 apresenta as diferentes
unidades para os sistemas de engenharia métrico e Inglês.
Tabela 4.
Unidades do Sistema usado em Engenharia
Magnitude
Comprimento (L)
Massa (M)
Força (F)
Tempo (T)
Temperatura (θ)
Métrico
1 metro (m)
1 quilograma (kg)
1 quilograma força (kp ou kgf)
1 segundo (s)
1 grau centígrado (oC)
Sistema
Inglês
1 pé (ft)
1 libra (lb)
1 libra força (lbf)
1 segundo (s)
1 grau Fahrenheit (oC)
Quando se define massa e força como fundamentais, uma incongruência pode
aparecer, visto que estas magnitudes estão relacionadas com princípios de dinâmica básica. Para
se evitar esta incompatibilidade, uma correção ou fator de proporcionalidade (gc) deve ser
inserido. A equação deste princípio poderia ser:
gc x Força = Massa x Aceleração
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Observe que gc tem unidades de massa (aceleração/força). O valor deste fator de
correção em sistemas de engenharia é:
Sistema Métrico: gc = 9,81
(quilograma)(metros)
= 9,81 kg . m
(quilograma força)(segundos)2
kg . s2
Sistema Inglês: gc = 32,17
(lbmassa)(pés) = 32,17 lb . ft
(lbforça) (segundos)2
lbf . s2
1.4 Sistema internacional de unidades (SI)
Foi muito conveniente se unificar o uso dos sistemas de unidades quando os países
Anglo-Saxãos incorporaram o sistema métrico decimal. Com este propósito, o MKS foi adotado
como o sistema internacional e denominado como SI. Embora a obrigatoriedade do sistema seja
reconhecida, outros sistemas ainda são utilizados, entretanto, atualmente muitos jornais de
engenharia e livros são editados somente em SI, tornando este sistema o mais recomendável. A
Tabela 5 Apresenta as unidades fundamentais deste sistema com algumas unidades
suplementares e derivadas.
Tabela 5.
Magnitude
Comprimento
Massa
Tempo
Força
Energia
Potência
Pressão
Freqüência
Unidade
metro
quilograma
segundo
Newton
Joule
Watt
Pascal
Hertz
Abreviação
m
kg
s
N
J
W
Pa
Hz
Dimensão
L
M
T
MLT2
ML2T-2
ML2T-3
ML-1T-2
T-1
Às vezes a magnitude de uma determinada unidade é tão grande para se indicar os
múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais. Geralmente é aconselhável usar estes
múltiplos e submúltiplos na potência de 103. A seguir (Tabela 6) está a lista dos múltiplos e
submúltiplos mais freqüentemente utilizados, assim como seu respectivo nome e símbolo.
Tabela 6.
Prefixo
Fator de multiplicação
Símbolo SI
tera
1012
T
9
giga
10
G
mega
106
M
quilo
103
k
hecto
102
h
1
deca
10
da
deci
10-1
d
centi
10-2
c
-3
mili
10
m
micro
10-6
µ
4
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nano
pico
femto
atto
10-9
10-12
10-15
10-18
n
p
f
a
É interessante que, em muitos problemas, a concentração é expressa por unidades
molares. A unidade molar freqüentemente utilizada é o mole, definida como a quantidade de
substância na qual a massa em gramas é numericamente igual ao seu peso molecular.
1.5 Unidades Térmicas
Calor é uma forma de energia; deste modo, a dimensão de ambos é ML2T-2.
Entretanto, em alguns sistemas a temperatura é tida como uma dimensão. Nestes casos, a energia
do calor pode ser expressa como proporcional ao produto da massa com a temperatura. A
constante de proporcionalidade é o calor específico, que depende do material e varia de um para
outro. A quantidade de calor é definida como uma função do material, com água como uma
referência e o calor específico é a unidade.
Calor = Massa x Calor específico x Temperatura
A unidade de calor específico depende do sistema de unidades a ser adotado. Assim:
Sistema Métrico:
Caloria: calor necessário para aumentar a temperatura de um grama de água
de 14,5 a 15,5oC
Sistema Inglês:
Btu (British thermal unit): quantidade de calor necessária para se elevar a
temperatura de uma libra de água um grau Fahrenheit ( de 60 para 61oF)
Chu (Centigrade heat unit or pound calorie): quantidade de calor necessária
para se elevar a temperatura de uma libra de água um grau centígrado
Sistema Internacional
Caloria: visto que calor é uma forma de energia, sua unidade é o Joule. A
caloria pode ser definida como uma função do Joule: 1 caloria = 4,185
Joules
Visto que calor e trabalho são duas formas de energia, é necessário definir um fator
que as relaciona. Por esta razão, o equivalente mecânico de calor (Q) é definido como:
Q x energia de calor = Energia Mecânica
Assim:
Q = Energia Mecânica = MLT-2L = L2T-2 θ -1
Energia de calor
Mθ
1.6 Conversão de Unidades
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A conversão de unidades de um sistema para outro é feita facilmente se as
quantidades são expressas como uma função das unidades fundamentais de massa, comprimento,
tempo e temperatura. A conversão de fatores são usados para converter diferentes unidades. O
fator de conversão é o número de unidades de um certo sistema contido em uma unidade de
magnitude correspondente em outro sistema. Os fatores de conversão mais comuns para as
diferentes magnitudes são apresentados na Tabela 7.
Ao se converter unidades, é necessário distinguir os casos nos quais somente os
valores numéricos são convertidos daqueles em que a fórmula pode ser convertida. Quando é
necessário converter valores numéricos de uma unidade para outra, as equivalências entre elas, o
fator de conversão é usado diretamente.
Tabela 7.
Fatores de conversão
Massa:
1 lb
Comprimento:
1 polegada
1 pé
1 milha
Superfície:
1 polegada quadrada
1 pé quadrado
Volume e Capacidade:
1 pé cúbico
1 galão (imperial)
1 galão (EUA)
1 barril
Tempo:
1 min
1h
1 dia
Diferença de
temperatura:
1oC = 1K
Força:
1 poundal (pdl)
1 lbf
1 dina
Pressão:
1 atmosfera técnica (at)
0,1536 kg
(1/32,2) slug
2,54 cm
0,3048 m
1609 m
645,2 mm2
0,09290 m2
0,02832 m3
4,546 l
3,786 l
159,241 l
60 s
3600 s
86.400 s
1,8 oF
0,138 N
4,44 N
4,44 x 105 dina
32,2 pdl
10-5 N
1kgf / cm2
14,22 psi
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1 bar
1 mmHg (tor)
1 psi (lb/in2)
Energia, calor e
potência:
1 kilocaloria (kcal)
1 erg
1 Btu
1 Chu
1 cavalo vapor (CV)
1 cavalo vapor (HP)
1 quilowatt (kW)
1 quilowatt hora (kW.h)
1 atm. litro
Viscosidade:
1 poise (P)
1 libra/(ft.h)
1 stoke (St)
Vazão:
1 lb/h
1ton/h
1 lb/ (ft2.h)
Magnitudes térmicas:
1 Btu / (h.ft2)
1 Btu / (h.ft2 oF)
1 Btu / lb
1 Btu / (lb.oF)
100 kPa
133 Pa
13,59kgf / cm2
703 kgf / m2
4.185 J
426,7 kgfm
10-7 J
1055 J
0,454 kcal
1,8 Btu
0,736 kW
75 kgm / s
0,746 kW
33.000 ft lb / min
76,04kgm / s
1000 J / s
1,359 CV
3,6 x 106 J
860kcal
0,0242 kcal
10,333 kgm
0,1 Pa . s
0,414m Pa . s
10-4 m2 / s
0,126 g / s
0,282 kg / s
1,356 g / s . m2
3,155 W / m2
5,678 W / (m2K)
2,326 kJ / kg
4,187kJ / (kg . K)
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1 Btu / (h.ft. oF)
1,731 W / (m.K)
Nos casos de conversão de unidades de uma fórmula, a constante que aparece na
fórmula geralmente tem dimensões. Para aplicar a fórmula nas diferentes unidades daquelas que
foram dadas, somente a constante das fórmulas deverão ser convertidas. Nos casos em que a
constante é adimensional, a fórmula pode ser diretamente aplicada usando qualquer sistema de
unidades.