lista 17 - relações métricas

NOME:
CURSO:
MATEMÁTICA
DATA:
/
/2013
LISTA 17 – RELAÇÕES MÉTRICAS
1. (Uerj 2013) Um modelo de macaco, ferramenta
5. (G1 - ifsp 2013) Um instrumento musical é formado
utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura
por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as quais
composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN
estão fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas
e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de
está perpendicular às cordas. O comprimento da maior
modo que o comprimento da base MN possa ser alterado
corda é de 50 cm, e o da menor é de 30 cm. Sabendo que a
pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:
haste não perpendicular às cordas possui 25 cm de
Considere as seguintes
comprimento da primeira à última corda, se todas as
medidas:
cordas são equidistantes, a distância entre duas cordas
seguidas, em centímetros, é
AM  AN  BM  BN  4 dm;
a) 1.
MN  x dm; AB  y dm.
b) 1,5.
O valor, em decímetros, de
c) 2.
y em função de x
d) 2,5.
corresponde a:
e) 3.
a) 16 – 4x2
b) 64 – x2
6. (Ufsc 2013) Em um centro de eventos na cidade de
16 – 4x 2
64 – 2x 2
Madri, encontra-se um mural de Joan Miró (1893-1983)
c)
d)
2
2
confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está
colocado no alto da parede frontal externa do prédio e tem
2. (Pucrj 2013) Uma bicicleta saiu de um ponto que
60m de comprimento por 10m de altura. A borda inferior
estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros
do mural está 8m acima do nível do olho de uma pessoa.
na direção norte e parou. Assim, a distância entre a
A que distância da parede deve ficar essa pessoa para ter a
bicicleta e o hidrante passou a ser:
melhor visão do mural, no sentido de que o ângulo vertical
a) 8 metros
b) 10 metros
c) 12 metros
que subtende o mural, a partir de seu olho, seja o maior
d) 14 metros
e) 16 metros
possível? O matemático Regiomontanus (1436-1476)
propôs um problema semelhante em 1471 e o problema foi
resolvido da seguinte maneira:
3. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um
feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três
vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ.
Na figura abaixo, considere que o comprimento do
segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o
polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência
e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto
da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo
feixe luminoso no trajeto PFGHQ?
a) 12 cm.
b) 15 cm.
c) 16 cm.
d) 18 cm.
4. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no
primeiro lance e seis, no segundo lance de escada.
Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de
comprimento (profundidade), a
ˆ mede:
tangente do ângulo CAD
9
a)
10
14
b)
15
29
c)
30
d) 1
Imagine uma circunferência passando pelo olho O do
observador e por dois pontos P e Q, verticalmente
dispostos nas bordas superior e inferior do mural. O
ângulo α será máximo quando esta circunferência for
tangente à linha do nível do olho, que é perpendicular à
parede onde se encontra o mural, como mostra a figura.
Com estas informações, calcule a que distância OC da
parede deve ficar o observador para ter a melhor visão do
mural de Joan.
7. (Espm 2012) A figura mostra um quadrado, dois
círculos claros de raios R e dois círculos escuros de raios
r, tangentes entre si e aos lados do quadrado.
A razão entre R e r é igual a:
a) 2
3
b)
3
2
d) 2
c)
5
2
e)
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8. (Unesp 2012) No futebol, um dos gols mais bonitos e
raros de se ver é o chamado gol olímpico, marcado
como resultado da cobrança direta de um escanteio.
4º) Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante.
Suponha que neste tipo de gol:
1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de
circunferência no plano do gramado;
2. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e
o ponto do campo em que a bola entra no gol seja 40 m;
3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola
à linha de fundo do campo seja 1m.
Determine o raio da circunferência (R), em metros, do
arco descrito pela trajetória da bola, com uma casa
decimal de aproximação.
9. (Pucrj 2012) Seja ABC um triângulo retângulo em B.
Seja AD a bissetriz de CÂB. Sabemos que AB mede 1 e
1
que BD mede . Quanto mede o cateto BC ?
2
a) 1
b) 2
3
c)
2
4
d)
3
e)
2
10. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Brincando de dobraduras,
Renan usou uma folha retangular de dimensões 30 cm
por 21cm e dobrou conforme o procedimento abaixo
descrito.
1º) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M
2º) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto
E
Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a
medida do segmento MR, em centímetros, é igual a
a) 6
b) 6 2
c) 9
d) 9 2
11. (Ita 2006)
Seja E um ponto externo a uma
circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa
circunferência nos pontos B e A, e, C e D,
respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta
o segmento ED no ponto G.
Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF
vale
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12. (Enem 2005) Quatro estações distribuidoras de
energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um
quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma
estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das
estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C
e D. A nova estação deve ser localizada
a) no centro do quadrado.
b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando
por seu ponto médio, a 15km dessa estrada.
c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando
por seu ponto médio, a 25km dessa estrada.
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB,
oposto a essa base.
e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
3º) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D
para F e G, respectivamente.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
Considere a figura.
ΔHPQ  ΔFQP(L.A.A o )  HP  FQ  K e PF  HQ
ΔBHG  ΔAFG(L.A.A o )  AG  BG 
Seja H o ponto de interseção dos segmentos AB e MN.
Como AMN e MBN são triângulos isósceles congruentes,
y
x
segue que AMBN é losango. Logo, AH  e HN  .
2
2
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
AHN, obtemos
2
2
2
2
2
y
x
AH  HN  AN        42
2
2
2
5
3
No ΔGBH : GH2  22     GH 
2
2
No Δ HPQ: HQ2  42  32  HQ  5
Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no
trajeto PFGHQ é
Resposta da questão 4:
[B]
 y  64  x 2 dm.
Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano
horizontal, temos
Resposta da questão 2:
[B]
Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a
bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte de A.
Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante,
segue que a distância pedida corresponde à hipotenusa do
triângulo retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo
Teorema de Pitágoras, vem
2
3
6 K
ΔAGF~ΔQPF  2 
K 4
3
K
PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm.
 y 2  64  x 2
2
3
e HG = GF
2
2
AB  8  30  240cm,
BC  6  30  180cm
e
CD  (8  6)  20  280cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
ABC, encontramos
2
BC  AC  AB  BC  82  62
2
2
2
2
AC  AB  BC  AC  2402  1802
 BC  100
 AC  300cm.
 BC  10 m.
Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem
Resposta da questão 3:
[B]
tgCAD 
CD
AC

280 14

.
300 15
Resposta da questão 5:
[E]
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Resposta da questão 8:
252 = 202 + (5x)2
625 = 400 + 25x2
25x2 = 225
x2 = 9
x=3
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado,
temos:
Resposta da questão 6:
12.
Utilizando uma relação métrica na circunferência, aquela
relação entre secante e tangente, temos:
CO2 = 8.18
CO = 12
R2 = (R – 1)2 + 202
R2 = R2 – 2  R + 01 + 400
2  R = 401
R = 200,5 m.
Resposta da questão 9:
[D]
Resposta da questão 7:
[C]
Pelo Teorema da Bissetriz Interna, temos que
1
BD CD
CD
2

 
1 AC
AB AC
 AC  2  CD.
Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras, vem
2
2
2
2

1
AC  BC  AB  (2  CD)2   CD    12
2

2
5
 3  CD  CD   0
4
5
 CD  u.c.
6
Observando a figura, podemos escrever que
Portanto,
R  r 2  R2   2R  r 2
BC  BD  CD
1 5
 
2 6
4
 u.c.
3
R2  2.R.r  r 2  R2  4R2  4Rr  r 2
4R2  6.R r  0
R  0(não convém) ou
R 3

r
2
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Resposta da questão 10:
[D]
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ˆ  45 .
O Δ MEN é isósceles, logo ENM
ˆ  ENM
ˆ  45 (ângulos correspondentes) e MQ =
QRM
QR = 15 – 6 = 9.
Logo, o segmento MR2 = 92 + 92  MR  9  2.
Resposta da questão 11:
[D]
Resposta da questão 12:
[C]
Considere a figura abaixo, em que P é o ponto
onde deverá ser construída a estação.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
APH, obtemos
x 2  202  (40  x)2  x 2  400  1600  80x  x 2
 80x  2000
 x  25km.
Por conseguinte, a nova estação deverá ser construída na
perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu
ponto médio, a 25km dessa estrada.
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