ix_epem_cc_parte ii

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P o
de pesquisa que investiga a
organização curricular no ensino médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação
Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-072)
Eixo-temático 2: Currículo
DESAFIOS DE UM GRUPO DE PESQUISA QUE INVESTIGA A ORGANIZAÇÃO
CURRICULAR NO ENSINO MÉDIO
Célia Maria Carolino PIRES - PUC-SP ([email protected])
Armando Traldi JÚNIOR -PUC-SP ([email protected])
Resumo: Este artigo tem a finalidade de apresentar os primeiros resultados do
desenvolvimento de um projeto de pesquisa que coordenamos no âmbito do Programa de
Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, da Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo, denominado “Construção de trajetórias hipotéticas de aprendizagem e
implementação de inovações curriculares em Matemática no Ensino Médio”. Trata-se de um
conjunto de pesquisas de mestrado e doutorado que se orientam por algumas referências
teóricas comuns e que têm como motivação a necessidade de desenvolver propostas de apoio
à inovação curricular na área de Matemática, considerando alguns princípios apresentados nas
Diretrizes e Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio. O objetivo das dissertações de
mestrado desse grupo é o de construir, discutir e avaliar diferentes expectativas de
aprendizagem do ensino médio, trajetórias hipotéticas de aprendizagem (THA), que consistem
de objetivos para a aprendizagem dos estudantes, de tarefas matemáticas que serão usadas
para promover a aprendizagem dos estudantes e do levantamento de hipóteses sobre o
processo de aprendizagem dos estudantes, segundo Simon (1995). Desse modo, pretende
contribuir para o conhecimento sobre as aprendizagens dos alunos do Ensino Médio em
tarefas que envolvem resolução de problemas, investigação, uso de tecnologias, abordagens
interdisciplinares e aplicações de conceitos e procedimentos matemáticos a situações do
cotidiano e em outras áreas de conhecimento. O objetivo das teses de doutorado é o de
elaborar fundamentos teóricos sobre diferentes aspectos dos currículos de matemática tais
como: caracterização histórica dos currículos de Matemática, eleição de critérios de avaliação
de currículos, polarização entre aplicações práticas e especulações teóricas, contextualização e
interdisciplinaridade. O Projeto insere-se numa das linhas de pesquisa do Programa de
Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, da Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo, qual seja, “Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores”
Palavras-chave: Matemática, Currículo, Trajetória-Hipotética de Aprendizagem.
Introdução
O grupo é composto por pesquisadores com experiência docente no ensino médio e que
também acumulam dúvidas e questionamentos sobre que Matemática ensinar e de que modo
de pesquisa que investiga a 2
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ensinar, nesta etapa final da educação básica e que pretendem investigar. Doze alunos são
mestrandos e seis são doutorandos. As reuniões ocorrem uma vez por semana e é conduzida
pelos professores orientadores da pesquisa. Nas reuniões são debatidos textos de
fundamentação teórica, de fundamentação sobre metodologia e apresentados os projetos de
pesquisa e a produção de cada integrante do grupo.
Um dos primeiros estudos coletivos realizados pelo grupo foi o relativo a documentos
curriculares oficiais mais recentes produzidos pelo MEC. Com relação às orientações
curriculares para essa etapa da escolaridade, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino
Médio (PCNEM) de Matemática o grupo destacou que há um direcionamento no sentido de
que alunos percebam as aplicações da Matemática em variadas situações. De acordo com esse
documento, no Ensino Médio, quando nas ciências torna-se essencial uma construção abstrata
mais elaborada, os instrumentos matemáticos são especialmente importantes. Mas não é só
nesse sentido que a Matemática é fundamental. Possivelmente, não existe nenhuma atividade
da vida contemporânea, da música à informática, do comércio à meteorologia, da medicina à
cartografia, das engenharias às comunicações, em que a Matemática não compareça de
maneira insubstituível para codificar, ordenar, quantificar e interpretar compassos, taxas,
dosagens, coordenadas, tensões, freqüências e quantas outras variáveis houver. A Matemática
como ciência, com seus processos de construção e validação de conceitos e argumentações e
os procedimentos de generalizar, relacionar e concluir que lhe são característicos, permite
estabelecer relações e interpretar fenômenos e informações. As formas de pensar dessa ciência
possibilitam ir além da descrição da realidade e da elaboração de modelos.
Outro ponto enfatizado no documento é o de que o papel da Matemática no Ensino
Médio não é apenas formativo (que ajuda a estruturar o raciocínio dedutivo) ou instrumental
(ferramenta que auxilia em todas as atividades humanas), mas que também que ela deve ser
vista como ciência, com suas características estruturais específicas. Há destaque ainda sobre a
importância do aluno perceber que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais
e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que
servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. Cabe ainda apresentar ao
aluno o conhecimento matemático de modo a que ele possa buscar novas informações e
instrumentos necessários para que seja possível continuar aprendendo.
Outro ponto discutido no grupo é o fato de os PCNEM enfatizarem como critério
essencial para a escolha do conteúdo a ser ensinado o potencial de permitir conexões entre
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diferentes temas matemáticos, entre temas matemáticos e de outras áreas do conhecimento e
entre temas matemáticos e transversais. O critério central é o da contextualização e da
interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um tema em permitir conexões entre diversos
conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático, ou, ainda, a
relevância cultural do tema, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da
Matemática, como à sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência.
Além dos documentos oficiais, o grupo também analisou alguns autores Doll (1997) e
como Bishop (1991). Doll (1997) destaca que ainda predomina a linguagem de “máquina e
produtividade”: montamos tarefas, mantemos turmas alinhadas e produzimos resultados e
propõe pensar no currículo, não em termos de conteúdo ou materiais (uma pista a ser corrida)
mas em termos de processo – um processo de desenvolvimento, diálogo, investigação e
transformação e ressalta que essa perspectiva é coerente com a de muitos outros autores,
fazendo referência a Pinar (1975), que propunha o uso da forma infinitiva do currículo,
currere, para enfatizar a pessoa e o processo de “correr” pela pista, a experiência que o
indivíduo vivencia ao aprender, ao transformar e ao ser transformado.
Doll (1997) afirma que, desde a escola básica até a universidade, os currículos baseiamse no modelo de desempenho estabelecido e que os desvios em relação ao modelo são
considerados “irracionais”. Ele explica que o conceito de uma ordem abstraída, uniforme, que
pode ser medida – por mais fictícia que seja – desempenhou um papel importante no
paradigma que ele denomina “moderno”. Esse conceito, principal, gerou outros conceitos,
todos eles importantes para as estruturas que foram construídas para interpretar o currículo
como uma série de tarefas ou materiais a serem dominados. Três destes conceitos são o
seqüenciamento linear, as relações de causa e efeito, a negação da mudança qualitativa ao
longo do tempo.
Para Doll (1997), o currículo composto de unidades arranjadas numa ordem linear, não
facilita vê-lo como um processo transformativo, um processo composto por interações
complexas e espontâneas. Em função dessas constatações ele questiona: “O que serviria como
critérios para um currículo destinado a promover uma visão pós-moderna? Que critérios
poderíamos usar para avaliar a qualidade de um currículo gerado, não pré-definido,
indeterminado, mas limitado e constituído por uma rede sempre crescente de universalidades
locais?” E oferece sua contribuição propondo, inicialmente, que o currículo seja considerado
como uma integração mista e multivariada de experiências ricas e de final aberto, como um
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mosaico complexo que sempre muda o seu centro de atração. E sugere quatro “termos” que
podem servir a um currículo com o que ele denomina de visão “pós–moderna”: riqueza,
recursão, rigor, relações. Esses componentes estão analisados no texto “Formulações basilares
e reflexões sobre a inserção da matemática no currículo visando a superação do binômio
máquina e produtividade” (PIRES, 2004).
Novas idéias e proposições sobre currículos, como as que Doll (1997) apresenta,
puderam ser também analisadas pelo grupo em trabalhos de Bishop. Fazendo referência à
expressão “Enculturação Matemática”, ele aponta a necessidade de que os currículos de
Matemática incluam um enfoque que ele denomina cultural e que caracteriza a partir de cinco
princípios básicos.
Para Bishop, um currículo deve inserir o aluno na cultura Matemática, de forma mais
ampla possível, o que ele denomina “princípio da representatividade”. Outro princípio é o de
que um currículo deve enfatizar a Matemática como explicação, pois ela como fenômeno
cultural pode ser uma rica fonte de explicações e esta característica deve ser incorporada nos
currículos. A esse princípio ele denomina “princípio do poder explicativo”. De certo modo a
conjunção desses dois princípios tem similaridade com o que Doll (1997) enuncia como
“riqueza”.
Para Bishop, um currículo deve objetivar o nível formal da cultura Matemática
mostrando as conexões com o nível informal e oferecendo introdução ao nível técnico princípio do formalismo – similar ao que Doll (1997) chama de rigor.
Bishop não faz referência explícita à idéia de recursão nem a de relações, apresentadas
por Doll (1997). Por outro lado, destaca outros dois princípios essenciais: o de que um
currículo deve ser acessível a todos os alunos, ou seja, que os conteúdos curriculares não
podem estar fora das capacidades intelectuais dos alunos, identificado como “princípio da
acessibilidade” e também que um currículo deve ter concepção relativamente ampla e
elementar, ao mesmo tempo, ao invés de ser limitado e detalhista em sua concepção.
Além de apresentar esses princípios gerais, esse autor descreve os três componentes
desse enfoque curricular: o componente simbólico, o componente social e o componente
cultural.
Com base nesses estudos preliminares, os integrantes do grupo de pesquisa passaram a
realizar um levantamento bibliográfico buscando identificar pesquisas sobre questões
curriculares na área de educação matemática e concluíram que o tema ainda não tem uma
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tradição de pesquisa na comunidade de educadores matemáticos brasileiros. As discussões
concentraram-se no problema da centralização versus descentralização das decisões sobre
currículos e da necessidade e/ou adequação da existência de currículos prescritivos em
especial no âmbito nacional.
Nas discussões em nosso grupo observamos que, na área de Educação Matemática,
parte bastante significativa das pesquisas que foram desenvolvidas ao longo das últimas
décadas situam-se no campo da Didática da Matemática e se inscrevem no campo de
influência das abordagens construtivistas colocando o foco na construção de conhecimentos
matemáticos pelos estudantes.
Porém, os resultados dessas pesquisas não têm influência direta na elaboração ou resignificação de propostas de ensino compatíveis com o que indicam as pesquisas a respeito
das formas de aprendizagem.
Também em nossas reflexões no grupo de pesquisa observamos que é bastante
freqüente a explicitação de um certo desconforto na discussão sobre currículo entendido como
planificação de uma trajetória a ser realizada por alunos, seja ao longo da educação básica ou
do ensino superior, desconforto causado por uma idéia bastante comum de que numa
perspectiva construtivista esse percurso deve ser ditado por interesses dos alunos e sem
definições prévias de conteúdos.
No processo de elaboração do projeto de pesquisa mencionado os textos disparadores
das discussões foram o do pesquisador Martin A. Simon, da Pensylvania State University, de
1995 e o de Pedro Gómez e José Luis Lupiáñez, de 2007, em que é apresentada a noção de
trajetória hipotética de aprendizagem (THA), como parte do modelo de Ciclo de Ensino de
Matemática, proposto por Simon. Esses textos foram traduzidos pelo grupo e desempenharam
papel importante para as nossas discussões e reflexões, levando à produção do artigo
“Perspectivas construtivistas e organizações curriculares: um encontro com as formulações de
Martin Simon”, Pires (2008) e as idéias centrais nele discutidas são sintetizadas a seguir.
Perspectivas construtivistas e organizações curriculares.
Para Simon (1995), o construtivismo epistemológico tem sido fonte de pesquisas no
ensino da Matemática e tem oferecido uma base para recentes esforços de uma reforma na
Educação Matemática. No entanto, considera que embora o construtivismo tenha
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potencialidade para sustentar mudanças no ensino da Matemática, é necessário formular
modelos de ensino baseados no construtivismo.
Em seu artigo, Simon discute a tensão criativa entre a meta dos professores para o
ensino e o compromisso de ser sensível ao pensamento matemático dos seus alunos. Simon
inclui em suas reflexões alguns outros temas, a saber: as atividades de ensino sendo
estruturadas
e
implementas
tendo
como
ponto
central
a
consideração
do
pensamento/entendimento dos alunos; o planejamento do ensino sendo gerado a partir de uma
trajetória hipotética de aprendizagem dos alunos; a formação continuada dos professores
apoiada em reflexões sobre trajetórias hipotéticas de aprendizagem de seus alunos, num
processo de permanente elaboração.
Simon destaca que a perspectiva construtivista no ensino tem sido foco para muitos dos
estudos empíricos e referenciais teóricos na Educação Matemática e que, como resultado, tem
contribuído para inovações nas reformas do ensino da Matemática, como é o caso, nos
Estados Unidos, das proposições do NCTM - Conselho Nacional de Professores de
Matemática.
Para ele, embora o construtivismo tenha apresentado aos professores de Matemática
caminhos proveitosos para o entendimento de como se processam as aprendizagens, a tarefa
da reconstrução de uma “Pedagogia da Matemática” baseada na visão construtivista de ensino
é um desafio considerável, em que a comunidade de Educação Matemática tem apenas
começado a trabalhar. Na opinião de Simon, o construtivismo pode contribuir com
importantes caminhos para o ensino da Matemática em sala de aula, embora não estipule um
modelo particular.
Ao referir-se à “Pedagogia da Matemática”, Simon explica que o termo “Pedagogia’,
tem a intenção de significar todas as contribuições para a educação matemática na sala de
aula. Dessa maneira, Simon inclui não apenas um trabalho multifacetado do professor, mas
também o currículo a ser construído e o desenvolvimento de materiais de ensino. O foco
específico de seu trabalho está na tomada de decisão a respeito de conteúdos matemáticos e
nas tarefas de ensino da Matemática em sala de aula.
Dentre as questões discutidas no grupo que foram estimuladas pela leitura dos textos,
destacam-se: a) como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a
planificação do ensino? b) como as pesquisas na área de Educação Matemática que trazem
resultados importantes sobre a aprendizagem podem contribuir para a organização de um
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ensino que potencialize boas situações de ensino? c) que atuação pode ter um professor de
Matemática no que se refere às atividades de planejamento do ensino, de forma compatível
com uma perspectiva construtivista de aprendizagem?
A geração de uma trajetória hipotética de aprendizagem.
Em seu texto, Simon (1995) destaca que a geração de uma THA prioriza buscar as
formas pelas quais o professor desenvolve seu planejamento em atividades de sala de aula,
mas também identificar como o professor interage com as observações dos alunos,
coletivamente, constituindo uma experiência e construindo novos conhecimentos. Esta
experiência pela essência da sua construção social é diferente das primeiras antecipações dos
professores. Simultaneamente ocorre uma construção social de atividades em sala de aula e a
modificação das idéias e conhecimento do professor, que ele vai construir em função do que
está acontecendo ou do que aconteceu na sala de aula. A avaliação do pensamento do aluno
(com constantes idas no modelo de ensino apresentado) pode trazer muitas adaptações a
respeito de qualquer conhecimento do professor, possibilitando uma nova ou modificada
trajetória hipotética de aprendizagem.
Simon destaca a relação entre os vários domínios do conhecimento do professor, a
trajetória hipotética de aprendizagem, e as interações com os alunos (figura 1). O
conhecimento matemático do professor contribui para a identificação de um objetivo de
ensino.
Estes domínios de conhecimento, a meta de ensino e o conhecimento da
representação das atividades matemáticas para o professor, seu conhecimento sobre a
aprendizagem individual do aluno bem como a concepção de aprendizagem e ensino (ambos
em geral dentro da Matemática) contribuem para o desenvolvimento de atividades de
aprendizagem e processos de aprendizagens hipotéticas.
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Conhecimento de
Matemática do
professor
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sobre o conhecimento
dos estudantes
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ìæéêâíç èé ãêéëæççéê
sobre aprendizagem e
ensino
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atividades
matemáticas e
representações do
professor
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íãêæòèâóíôæõ èé
ãêéëæççéê
öéòïæñâõæòåé èé
professor da
aprendizagem dos
alunos de um conteúdo
particular
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ãêéëæççéê çéøêæ é
ãêéñæççé èæ
íãêæòèâóíôæõ
úùíûâíüýé èé
conhecimento
dos estudantes
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ÿ
ÿ ajetória hipotética de aprendizagem e interações com
os alunos.
Simon ressalta que a modificação da trajetória hipotética de aprendizagem não é alguma
coisa que somente ocorre durante o planejamento entre aulas. O professor está constantemente
comprometido em ajustar a trajetória de aprendizagem que “hipotetizou”, para melhor refletir
seu aumento de conhecimento. Ele está constantemente percebendo a extensão das
modificações e transformações que podem ser construídas por algum ou todos os
componentes da trajetória hipotética de aprendizagem: o método, as atividades e o
processamento hipotético da aprendizagem.
Estruturação das pesquisas do grupo
Nesse contexto de discussão e delineamento de problemas de pesquisa, algumas
decisões foram tomadas.
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A primeira foi a de que as dissertações de mestrado (anexo 1) se dedicariam a construir,
discutir e avaliar para diferentes expectativas de aprendizagem do ensino médio e a
necessidade de definição das etapas de desenvolvimento do Projeto:
Fase I: Planejamento do Projeto e definição dos subgrupos de pesquisa,
com realização de reuniões com os pós-graduandos envolvidos.
Prosseguimento dos estudos coletivos sobre referências teóricas que
fundamentam o projeto, nas reuniões semanais do grupo de pesquisa.
Estudos individuais sobre teses, dissertações e artigos referentes ao tema de
cada subgrupo. Elaboração das atividades que constituem a THA de cada
subgrupo. Estudos por subgrupo, do pesquisador com os três professores do
ensino médio que vão participar da pesquisa. Fechamento das propostas de
THA pelos subgrupos de pesquisa, com acordos entre pesquisador e
professores. Elaboração, pelo pesquisador, de instrumentos para
observação e coleta de dados durante a realização das propostas em sala de
aula pelos professores do ensino médio.
Fase 2: Desenvolvimento das propostas de trabalho em sala de aula, sendo
reservado um período de até dois meses para cada pesquisador. Reunião
geral com todos os subgrupos para avaliação do andamento do projeto.
Realização de seminários para apresentação da produção e leitura crítica
dos trabalhos.. Debates, por subgrupo, do pesquisador com os três
professores do ensino médio, sobre os resultados do trabalho realizado nas
salas de aula e indicações de possíveis mudanças nas THA.
Fase 3: Escrita do material das dissertações para qualificação Elaboração
de artigos. Escrita do material das dissertações para defesa.
Ao final do primeiro semestre de 2008, a maior parte dos mestrandos concluiu a fase 1
do projeto.
A segunda decisão foi a de que os doutorandos (anexo 1) que integram o grupo de
pesquisa ficariam responsáveis por investigar e elaborar fundamentos teóricos sobre
diferentes aspectos dos currículos de matemática tais como: caracterização histórica dos
currículos de Matemática, eleição de critérios de avaliação de currículos, polarização entre
aplicações práticas e especulações teóricas, contextualização e interdisciplinaridade.
Na experiência do grupo, desenvolvida até o momento, há uma avaliação bastante
positiva em relação ao desenvolvimento do projeto na perspectiva de um grupos colaborativo.
A proposta de grupo colaborativo divulgado por Boavida e Ponte (2002) defende a idéia
de que a colaboração constitui uma estratégia fundamental para lidar com problemas que se
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afiguram demasiado pesados para serem enfrentados individualmente e ressalta que, para a
investigação sobre a prática, a colaboração oferece importantes vantagens, como por exemplo:
juntando diversas pessoas com experiências, competências e perspectivas
diversificadas, reúnem-se mais recursos para concretizar, com êxito, um
dado trabalho, havendo, deste modo, um acréscimo de segurança para
promover mudanças e iniciar inovações;
juntando diversas pessoas que se empenham num objetivo comum, reúnemse, só por si, mais energias do que as que possuem uma única pessoa,
fortalecendo-se, assim, a determinação em agir;
juntando diversas pessoas que interagem, dialogam e refletem em conjunto,
criam-se sinergias que possibilitam uma capacidade de reflexão acrescida e
um aumento das possibilidades de aprendizagem mútua, permitindo, assim,
ir muito mais longe e criando melhores condições para enfrentar, com êxito,
as incertezas e obstáculos que surgem.
Essas vantagens apontadas no contexto da formação de professores por Boavida e
Ponte, também puderam ser observadas na constituição e funcionamento de um grupo de
pesquisadores e o trabalho colaborativo tem ajudado os pesquisadores na reflexão sobre como
podem se dar as aprendizagens dos alunos do Ensino Médio em tarefas que envolvem
resolução de problemas, investigação, uso de tecnologias, abordagens interdisciplinares e
aplicações de conceitos e procedimentos matemáticos a situações do cotidiano e em outras
áreas de conhecimento.
Considerações finais
No artigo “Perspectivas construtivistas e organizações curriculares: um encontro com as
formulações de Martin Simon” (PIRES, 2008) esboçamos algumas conclusões preliminares
sobre o trabalho do grupo de estudo, a saber:
Com relação às questões de como compatibilizar perspectivas construtivistas de
aprendizagem com a planificação do ensino e de como as contribuições das pesquisas na área
de Educação Matemática, que trazem resultados importantes sobre a aprendizagem podem
contribuir para a organização de um ensino que potencialize boas situações de aprendizagem
dos alunos, o grupo encontrou no trabalho de Simon elementos importantes:
Primeiramente, sua posição de afirmar que as visões construtivistas da aprendizagem
têm dado sustentação a fundamentos teóricos na pesquisa no campo da Educação Matemática
KLMNOQ RS TS RS U VWXLYMQ ZS [S \U]^_à] bU cd efcgo de pesquisa que investiga a 11
e que poder dar pistas importantes para que os professores possam compreender e antecipar a
forma de construção de conhecimentos matemáticos de seus alunos.
Mas o grupo considera particularmente importante o alerta de Simon no sentido de que
o construtivismo também aponta um desafio para a Educação Matemática, qual seja o de
desenvolver modelos de ensino em que a construção de conhecimentos seja tomada como
perspectiva teórica.
Mas adverte também que a Educação Matemática não produzirá métodos com idéias
fixas ou plataformas para as ações docentes e as estruturas metodológicas deverão sempre
suportar transformações experimentais. Para ele, o Ciclo de Ensino Matemático retrata uma
visão das resoluções construídas pelo professor, a respeito do conteúdo e das tarefas,
modeladas pelo encontro de uma perspectiva do construtivismo social com o desafio das aulas
de Matemática. Nesse Ciclo, são particularmente importantes, algumas premissas:
a)
O pensamento/entendimento dos estudantes é especialmente
considerado e tem o lugar central na formatação e implementação de
instruções. O pensamento/entendimento é um processo contínuo do
conjunto de dados e hipóteses construídas.
b)
O conhecimento do professor envolve-se simultaneamente com
o crescimento do conhecimento do aluno. Como os alunos estão
aprendendo Matemática, o professor está aprendendo sobre
Matemática, aprendendo, ensinando, a respeito do pensamento
matemático dos seus alunos.
c)
O planejamento das instruções é parecido com a inclusão, a
criação de uma trajetória hipotética de aprendizagem. Esta visão
reconhece e valida o método de ensino do professor e a importância
de hipóteses sobre o processamento da aprendizagem dos alunos
(idéias nas quais eu espero ter demonstrado que não estão em conflito
com o construtivismo).
d)
A transformação continuada do conhecimento do professor cria
mudanças contínuas na sua própria trajetória hipotética de
aprendizagem.
A leitura dos textos motivou a ampliação das discussões sobre a atuação do professor de
Matemática no que se refere às atividades de planejamento do ensino e que leve em conta que
o aluno desempenha papel central na construção de suas aprendizagens.
A esse respeito, Simon destaca que indicações para o professor sobre a importância da
interação de pequenos grupos e a manipulação de materiais, por exemplo, podem ser
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instrumentos valiosos nas mãos dos professores de Matemática. No entanto, estes
instrumentos não são suficientes para permitir que os professores sejam arquitetos da
produção de situações de aprendizagens que resultem num crescimento conceitual de seus
alunos. Professores novatos, por exemplo, muitas vezes questionam o conhecimento de seus
alunos, consciente ou inconscientemente, esperando que no mínimo um aluno esteja
habilitado a explicar sua idéia para os outros. E perguntam o que devem fazer com um grupo
de alunos, para que construam conceitos matemáticos.
Essas situações são bastante comuns em termos de Brasil e tempos atuais. Nos cursos de
formação inicial a chamada “Prática de Ensino” e mesmo as atividades de estágio, de modo
geral, estão bastante defasadas no que se refere a estudos sobre os elementos que possibilitem
ao futuro professor a construção de trajetórias hipotéticas de aprendizagem, tanto em termos
teóricos como em termos práticos.
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ANEXO
Autor
Alexandra Garrote Angiolin
Américo Augusto Barbosa
Ana Lucia Viveiros de Freitas
Antonio Celso Tonnetti
Denílson Gonçalves Pereira
José Manoel Vitolo
Márcia Aparecida N. Mesquita
Maria de Fátima Aleixo de Luna
Patrick Oliveira de Lima
Vivaldo de Souza Bartolomeu
A ser indicado
A ser indicado
Arlete Aparecida O. de Almeida
Denise Franco C. Ribeiro
Harysson Júnio Lessa Gonçalves
Marcia Maioli
Marcio Antonio da Silva
Maryneusa Cordeiro Otone e Silva
Tema
Funções Exponenciais
Funções Trigonométricas
Isometria – Geometria Plana
Estatística
Geometria Analítica
Funções Polinomial do 1º Grau
Funções Polinomial do 2º Grau
Geometria
Função Logarítmica
Números Reais
Combinatória e Probabilidade
Polinômios
Da polarização entre aplicações e Especulações
Teóricas nos Currículos de Matemática do Ensino
Médio, as possibilidades de articulação.
Trajetória histórica dos livros didáticos de geometria
editados para os primeiros cursos do ensino médio
brasileiro.
Interdisciplinaridade no currículo do ensino médio
Contextualização no currículo do ensino médio
Currículos de Matemática no Ensino Médio:
estabelecendo critérios para escolha e organização de
conteúdos.
Uma abordagem Histórica de sua organização para
explicar o seu processo de disciplinarização e
constituição do seu currículo.
Nível
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caso sobre práticas e materiais didáticos em Araribá - SP. Anais do IX Encontro
Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.111. (ISBN 978-85-98092-07-02)
Eixo-temático 4: Formação de Professores
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA INDÍGENA: UM ESTUDO DE CASO SOBRE
PRÁTICAS E MATERIAIS DIDÁTICOS EM ARARIBÁ – SP
Jeruza Karla Garcia GIATTI – USC ([email protected]Ö
Ivete Maria BARALDI – UNESP (ivete.baraldi@ fc.unesp.brÖ
Resumo: O processo educacional indígena deve ser conduzido por um professor índio,
de sua comunidade, com formação específica para o exercício do magistério, seja por
meio de programas específicos ou nas escolas responsáveis pelos cursos de magistério;
ou, em último caso, o não-índio participará dos programas de formação de professores
indígenas e buscará familiarizar-se com a cultura e língua materna do grupo, para que
desempenhe o seu papel respeitando a comunidade da qual pertencerá. A educação
escolar indígena deve ser específica para cada comunidade e etnia, com metodologias
diversificadas, propiciando o conhecimento de outras culturas e tradições e valorizando
o ensino bilíngüe. Na Reserva Indígena de Araribá – SP, como em tantas outras, os
professores índios estão em formação e atuando em suas comunidades e, na medida do
possível, adequando suas práticas para as necessidades de seus alunos, fazendo com que
o ensino e aprendizagem de matemática ocorram de maneira contextualizada e
significativa. Por meio de um projeto de iniciação científica – PIBIC/USC, abordando a
etnia Terena, numa das aldeias da Reserva, foi efetuada uma pesquisa que tinha como
principal objetivo colaborar na organização e no registro de diferentes práticas e
abordagens empregadas nas aulas de matemática das séries iniciais do ensino
fundamental. No desenvolvimento desta pesquisa, também foi efetuado um estudo sobre
os diferentes aspectos que complementam a sistematização da Educação Escolar
Matemática Indígena, tais como: a legalidade do currículo, as diversidades e os desafios
encontrados pelos professores das regiões do Brasil ao pretenderem ofertar uma
educação adaptada aos costumes e tradições de cada etnia em particular. Nesta
oportunidade, mostraremos, mediante a pesquisa realizada, o que foi possível verificar
sobre as práticas efetivadas em Educação Matemática (Indígena) em Araribá.
Palavras-chave: Educação Matemática Indígena, Práticas Educativas Indígenas, Ensino
e Aprendizagem de Matemática.
Financiamento: PIBIC / CNPq
Introdução
O direito de uma educação escolar indígena foi uma conquista dos índios para que
×ØÙÚÚØÛ J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de 2
caso sobre práticas e materiais didáticos em Araribá – SP. Anais do IX Encontro
Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 111. (ISBN 978-85-98092-07-2)
pudessem coordenar e serem professores em suas próprias comunidades. O uso de
materiais didáticos das escolas regulares é freqüente nas indígenas, trabalhando-se
conteúdos, muitas vezes, descontextualizados da realidade desta população, exigindo
adaptações aos elementos de cada etnia, o que nem sempre é possível e que muito
dificulta o trabalho docente.
Em estudo anterior – GIATTI (2006) pode-se perceber que a educação escolar
indígena, na Reserva Indígena de Araribá, sofre de carências: materiais, de infraestrutura e de formação docente. Em razão da experiência anterior, em GIATTI (2007)
focamos nossos estudos nas práticas educativas indígenas e na confecção de recursos
didáticos, da etnia Terena, no que diz respeito ao ensino e a aprendizagem de
Matemática.
No desenvolvimento do trabalho em questão, notamos que há tanto a necessidade
de serem revistas, atualizadas e efetivadas práticas pedagógicas diferenciadas, como a
da confecção de registros escritos e iconográficos de materiais utilizados no processo de
ensino e de aprendizagem de matemática indígena. Nossa intenção, então, foi a de
registrar, descritivamente, as atividades, com elementos culturais desta etnia, que são
desenvolvidas com a finalidade de proporcionar o ensino e a aprendizagem de
conteúdos matemáticos.
A Reserva Indígena Araribá possui quatro aldeias, compostas pelas etnias Terena
e Guarani, sendo que duas delas possuem prédios escolares próprios e estruturados; as
outras duas desenvolvem seus trabalhos em lugares improvisados e de qualidade
estrutural inferior, que dificultam o bom andamento e desenvolvimento da Educação
Indígena. As escolas são estaduais e possuem professores indígenas, com formação em
Magistério, em nível médio, e outros que, atualmente, freqüentam o Magistério Superior
Indígena (MISI) na Universidade de São Paulo – USP – São Paulo.
No biênio 2006-2007, realizamos uma pesquisa, em nível de iniciação científica
(PIBIC/USC), na Escola da Aldeia Ekeruvá, de etnia Terena. Por meio de observação,
de descrição e da participação em sala de aulas de matemática, correspondente às séries
iniciais do ensino fundamental, foi efetuado o registro de práticas de uma educação
matemática indígena. Todo esse processo foi realizado de maneira coletiva, envolvendo
as pesquisadoras e os professores indígenas. Não inserimos práticas ou materiais, mas
por meio destes registros, colaboramos com a organização e com a socialização dos
ÜÝÞßßÝà J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de 3
conhecimentos adquiridos pelos professores indígenas.
Nesta oportunidade, mostramos parte desta pesquisa efetuada. Apresentamos o
estudo efetuado, no desenvolvimento da pesquisa, sobre como está se delineando a
educação matemática em terras indígenas e traçamos algumas considerações sobre o
que pudemos verificar sobre as práticas docentes nas aulas de matemática, ao focar
nosso olhar nos registros efetuados e nas observações da sala de aula.
Alguns Traços da Educação Indígena Brasileira
Sabemos que a educação ocorre sem o indivíduo freqüentar alguma comunidade
escolar, sendo a família a primeira construtora de “uma educação”. Desse modo, a
escola não deve ser vista como o único lugar de aprendizado.
A Sociedade Indígena expressa os saberes e as ações passadas por meio da
oralidade, fundamentando sua educação, ou seja, a tradição é o que delineia o modo de
ser, agir e pensar indígena, assim como, há uma hierarquia de gerações. No entanto, nas
últimas décadas, os povos indígenas reconheceram seus direitos concedidos pela
Constituição Federal Brasileira, como também, na Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional (BRASIL, 1996).
O ensino fundamental regular será ministrado em língua portuguesa,
assegurada às comunidades indígenas a utilização de suas línguas
maternas e processos próprios de aprendizagem. (BRASIL, LEI DE
DIRETRIZES E BASES, SEÇÃO III, ART.32, § 3º, 1996).
Por meio dessa legalidade, são garantidos aos mesmos a manutenção de suas
línguas e culturas, assim como uma educação escolar que respeite os seus modos
próprios de transmissão de conhecimento, seus objetivos e currículos diferenciados,
respeitando cada comunidade específica.
De acordo com o RCNEI – Referencial Curricular para as Escolas Indígenas
(BRASIL, 1998), cada escola deve construir o seu próprio referencial e avaliá-lo, bem
como elaborar um planejamento adequado para o que nela pretende-se realizar. Para que
o professor desenvolva seu trabalho nas escolas indígenas, esse tem que fazer escolhas e
tomar decisões que exigem ações de planejamento, registro e avaliação, como por
exemplo, escolher o assunto a ser trabalhado, decidir qual a disposição dos alunos nas
atividades (individual – grupal), delimitar o tempo para o assunto, idealizar o ambiente
áâãääâå J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de 4
a ser utilizado na aula (aldeia – sala de aula), estabelecer de que maneira o aluno será
avaliado.
Essas decisões acabam desencadeando um currículo próprio, ou seja, delineiam a
direção e a experiência a serem vivenciadas pelos professores e alunos de uma
comunidade, estando abertos às mudanças e às adaptações necessárias para a prática
educativa na comunidade.
Uma total compreensão da evolução dos mecanismos do sistema de
informação, tanto na história da humanidade quanto na revolução das
crianças, parece ser decisiva se quisermos entrar no relacionamento
entre educação e currículo. A educação tem a estratégia-chave no
currículo. Adotemos um conceito de currículo que considera os
componentes tradicionais – objetivos, conteúdos e métodos – de forma
integrada. É impossível considerar cada um separadamente e,
provavelmente, a principal razão das falhas identificadas na chamada
“matemática moderna” tem suas raízes na quebra dos componentes do
currículo em domínios independentes de pesquisa. (D’AMBROSIO,
2002, p. 33–34)
Segundo Monte (2001), para o desenvolvimento de currículos diferenciados, para
o ensino fundamental, deve-se buscar a regulamentação da aquisição e o uso das línguas
maternas como língua veicular e conteúdo de ensino no processo de aprendizagem na
aldeia, como também, nos cursos de formação de professores indígenas.
O currículo deve refletir o que está acontecendo na sociedade. A
dinâmica curricular sempre pergunta “onde” e “quando” o currículo
tem lugar, e o problema-chave na dinâmica curricular é relacionar o
momento social, o tempo e o lugar, na forma de objetivos, conteúdos e
métodos de forma integrada. (D’AMBROSIO, 2002, p. 34)
Ao refletirmos sobre as diferentes culturas das raças ou etnias, verificamos que
muitas lacunas ainda existem. A cultura de cada povo expressa os seus paradigmas, seus
costumes, valores, seus comportamentos e conhecimentos, seja pela tradição oral escrita
ou a que melhor se identificar. Então, o currículo não deve ser visto, apenas, como um
meio para transmitir conhecimentos e cultura, mas sim, como uma reflexão da
sociedade e suas transformações.
É recente, no Brasil, a discussão em torno do que seja a educação diferenciada, no
entanto, conclui-se, apenas, que essa não deve ter um modelo único em razão das
diversas comunidades indígenas e suas especificidades.
Ainda, não podemos deixar de salientar as particularidades matemáticas
æçèééçê J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de 5
produzidas pela grande hegemonia de povos e culturas que compõem o nosso planeta.
As diferentes etnias elaboram procedimentos diferenciados para: ordenar, classificar,
medir e quantificar à sua realidade e os seus elementos culturais, tais como:
ornamentação geométrica de cestos, tecidos, cerâmica e pintura corporal.
De acordo com Giatti (2006), uma das razões para estudar matemática na Escola
Indígena se deve ao contato de diferentes povos e suas sociedades, como também, para
um melhor entendimento do mundo do não-índio e para a conquista de sua autonomia.
Conforme o RCNEI – Referencial Curricular para as Escolas Indígenas (BRASIL,
1998), a matemática torna-se significativa à medida que contribui para entender o
espaço próximo e o mais amplo, como também, para o desenvolvimento de capacidades
relacionadas ao raciocínio e á abstração. Saber matemática vem sendo um requisito para
o desenvolvimento de atividades administrativas, de proteção ambiental e territorial, de
atenção à saúde e outras, nos postos ou terras indígenas.
‘A matemática não é uma matéria nova, mas ela já é muito velha, já
vem há muito tempo sendo usada pelos homens que existem e já
existiram também. O que acontece é que ninguém conhecia o que era.
Mas depois, quando foi descoberta, aí que foi colocado o nome de
matemática. Antigamente, por mais analfabeta que fosse, a pessoa já
usava matemática sem saber. Porque já fazia tudo calculado: à
distância, o tamanho etc. E assim já estava funcionando a
matemática’. Parecer do professor Jaime Llullu Manchineri AC.
(BRASIL, 1998, p. 159)
O estudo da Matemática, também, estabelece relações com as outras áreas do
currículo escolar, como por exemplo, justificando a posse de territórios indígenas em
laudos antropológicos, entender e compreender mapas, decretos e portarias que
demarcam ou delimitam as áreas indígenas, trajetória de populações em determinada
região, data ou período.
O RCNEI – Referencial Curricular para as Escolas Indígenas (BRASIL, 1998)
evidencia a importância de mostrar aos alunos que a matemática é desenvolvida por
culturas e momentos históricos diferentes e, que é possível manipulá-las conforme o
contexto, valorizando e enriquecendo o processo de construção de conhecimentos
próprios da educação especifica e diferenciada que os povos indígenas têm direito.
Então eu gostaria que a matemática, para nós, indígenas, fosse como
nós queremos: para aprender a usar os meios de transportes, como
devemos transportar, medir quanto a gente gasta em um trabalho,
ëìíîîìï J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de 6
quanto a gente vai precisar para um certo tipo de trabalho e até para
desenvolver a nossa própria comunidade. Amilson de Souza, professor
Sateré – Mawé, AM. (BRASIL, 1998, p. 162)
Podemos encontrar alguns textos sobre matemática indígena, os quais oferecem
uma documentação sobre diferentes conhecimentos e práticas educacionais. Abaixo
apresentamos uma síntese da matemática escolar indígena e suas diversidades nos
estados brasileiros.
Ferreira (2002), realizou um estudo etnográfico de atividades matemáticas dos
Kaiabi, Suyá e Juruna do Parque do Xingu, Mato Grosso, mostrando a aritmética
desenvolvida de acordo com as especificidades daqueles. As estratégias de raciocínio
matemático surgem da articulação das diferentes visões de mundo, ou seja, diferentes
culturas e indivíduos dos vários contextos, procedem de maneiras diferentes em suas
lógicas, na abstração de quantidades, números, formas e geometria, medidas e outros.
Lea (2002), conviveu com o grupo mbengôkre do Brasil central. Verificou que
este grupo faz desenhos geométricos no corpo como vestimenta.
Já Green (2002), pesquisou as terminologias numéricas, durante anos, da língua
palikur. Encontrou uma enorme variedade de sistemas numéricos e diferenças nas bases
dos numerais como: flexão, precisão, terminologia e raciocínio utilizado. Todas as
maneiras de calcular e contar observadas são racionais e lógicas, apresentam sistemas
sensatos e adequados às necessidades do grupo.
De acordo com o RCNEI – Referencial Curricular Nacional para as Escolas
Indígenas (BRASIL, 1998), “a ausência de pesquisas sobre os saberes matemáticos nas
escolas fez com que o processo de ensino-aprendizagem dos povos indígenas fosse
prejudicado. Restou a impressão, falsa, de que ‘matemática não é coisa para índio’”.
Percebemos que os diferentes povos necessitam de uma educação específica e
diferenciada para dar prosseguimento ao seu processo de ensino e aprendizagem. No
entanto, reconhecemos que, as etnias, buscam adaptar e contextualizar os
conhecimentos para apresentar aos seus alunos uma matemática significativa para seu
cotidiano. Dessa maneira, verificamos que há possibilidades de produzir conhecimento
matemático indígena.
De acordo com o RCNEI (BRASIL, 1998), a produção de materiais didáticopedagógicos pode ser resultado das ações de registro e reflexão das atividades
desenvolvidas. Uma das professoras que contribuiu com elaboração deste documento
ðñòóóñô J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de 7
diz em seu relato “o que nós precisamos é de professores para nos preparar: o meu
interesse é esse: professor que possa nos ajudar a preparar, a ensinar a gente, para nos
explicar como é o ensino (...)”. Não podendo deixar de considerar que os cursos de
formação de professores contribuem para a sistematização e o intercâmbio de
conhecimentos das diferentes culturas. O mesmo referencial teórico trata a etnografia
como uma ferramenta acessível para o trabalho de observação e reflexão sobre a prática
em sala de aula.
Giatti (2006) salientou em sua pesquisa, conforme depoimento dos professores
indígenas de Araribá, que há carência de livros e materiais didáticos para o uso em sala
de aula. Os professores fazem adaptações nos recursos didáticos disponíveis e que,
muitas vezes, não condizem com o que se espera de uma educação escolar indígena e
com a realidade da comunidade. Os professores, ainda, relataram a necessidade e o
desejo de que seja confeccionado um material próprio para as etnias desta comunidade.
Segundo Grupioni (2004), ampliou-se o número de indivíduos que escrevem
sobre índios e as tentativas de produções de materiais de divulgação, mas os
conhecimentos produzidos não tem causado o devido impacto necessário, pois os
grupos indígenas continuam sendo desconhecidos, discriminados, estereotipados e
generalizados.
(...) ainda não logrou ultrapassar os muros da academia e o círculo
restrito dos especialistas. Nas escolas a questão das sociedades
indígenas, freqüentemente ignorada nos programas curriculares, tem
sido sistematicamente mal trabalhada. Dentro da sala de aula, os
professores revelam-se mal informados sobre o assunto e os livros
didáticos, com poucas exceções, são deficientes no tratamento da
diversidade étnica e cultural existente no Brasil (...). As organizações
não-governamentais, que têm elaborado campanhas de apoio aos
índios e produzido material informativo sobre eles, têm atingido uma
parcela muito reduzida da sociedade. (GRUPIONI, 1992 apud
GRUPIONI, 2004, p. 482).
Percebemos que, no Brasil, a desinformação e discriminação são enfrentadas pelas
sociedades indígenas. Muitas pessoas não compreendem que os índios são de uma
cultura, em uma nação que dispõe de muitas outras. Por meio das diferentes formas que
são apresentadas as atitudes e as idéias numa determinada sociedade, as pessoas acabam
adquirindo modos diferenciados para enxergar os outros.
Então, diante desses aspectos levantados, consideramos fundamental contribuir
õö÷øøöù J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de 8
com o registro descritivo e a divulgação das práticas didáticas de uma educação
indígena realizada em Araribá.
Algumas Considerações sobre a Educação Matemática Indígena em Araribá
Segundo Monte (2001), um currículo escolar indígena deve englobar a base
universal do conhecimento escolar e os conjuntos de conhecimentos indígenas
fundamentados na tradição e na memória coletiva de determinada etnia. Assim, a
diversidade lingüística e cultural selecionada passa a pertencer ao currículo escolar e a
expressar e construir diferentes tipos de identidades.
Com a matemática, como disciplina escolar, não deve ser diferente. A constituição
de um currículo para tal disciplina tem que atender os anseios delineados anteriormente.
Devemos considerar que todas as culturas produzem diferentes conhecimentos que
fomentam as reflexões sobre a Educação Matemática e também a Indígena. A
diversidade cultural e a produção de conhecimentos que existem em uma sala devem ser
consideradas em aula. Scandiuzzi (2004), nos alerta:
É necessário entender a produção matemática da maioria dos
brasileiros e não submetê-la à aceitação da matemática importada,
imposta, transplantada e transposta pelos invasores, que só uma classe
privilegiada detém. Essa matemática importada é muito importante,
mas as outras podem contribuir com o respeito das outras pessoas que
produzem a matemática diferenciada e que ocupam outros espaços
que não o específico do grupo social dos matemáticos. Essas outras
formas de construir as ticas de matema podem contribuir para uma
compreensão mais por inteiro e, quem sabe, reconstruir o ser humano
tão esquartejado por disciplinas cada vez mais específicas. A
linguagem entre estas subdivisões pode contribuir para o nãorelacionamento entre a sociedade dos humanos.
É preciso construir-se a matemática pelos brasileiros. Construir-se a
matemática dos indígenas brasileiros. Relacioná-las e introduzir estas
produções dentro da história da matemática construída.
(SCANDIUZZI, 2004, p.195 - 196).
O RCNEI – Referencial Curricular Nacional para as Escolas Indígenas (BRASIL,
1998), salienta que a matemática torna-se significativa para quem a estuda à medida que
ela contribui para entender o mundo local e também o mais amplo. Ainda, muitas
lideranças indígenas, professores e alunos o saber matemático é fundamental para a
compreensão da realidade e está articulado às atividades cotidianas de cada sociedade
indígena e sua autonomia na sociedade dos “brancos”.
úûüýýûþ J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de 9
Giatti (2006), ressalta que na Reserva Indígena de Araribá está sendo processado a
construção de um currículo contextualizado por meio de adaptações dos materiais e
recursos didático-pedagógicos disponíveis aos docentes indígenas que tentam
desenvolver uma proposta educativa envolvendo situações familiares a cada etnia como
forma de contextualizar conceitos. Dessa maneira, em Giatti (2007), nossa intenção
inicial era a de colaborarmos na confecção de materiais que registrassem o que era
construído para o ensino e aprendizagem de matemática. Mesmo de maneira incipiente,
esse registro foi efetivado.
Destacamos que o material organizado foi desenvolvido mediante os pressupostos
apontados pelos professores, não havendo interferência das pesquisadoras no que se
refere ao contexto a ser trabalhado.
Como salientado na introdução deste trabalho, um dos nossos intuitos é o de
esboçar algumas considerações sobre nossas percepções sobre as práticas nas aulas de
matemática da escola indígena em foco. Dessa maneira, mediante os registros e as
observações efetuadas, podemos discorrer o que se segue.
Educação Escolar Indígena: as sociedades indígenas dispõem de processos
particulares para transmitir seus conhecimentos indígenas (tradições, costumes e
valores) e princípios educacionais compatíveis aos saberes da escola regular e da etnia;
que devem contribuir com o resgate e valorização da linguagem, da cultura e tradições,
como também, atender os anseios, interesses e necessidades particulares de cada
comunidade, de maneira a respeitar as diretrizes delineadas pela Constituição Federal de
1988 e pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 9394/96);
Formação de Professores Indígenas de Araribá: os docentes indígenas
receberam a formação, básica e emergencial, exigida por Lei para que pudessem
lecionar nas escolas das Aldeias. No entanto, percebemos que esta formação encontra-se
prejudicada e insuficiente, necessitando de um processo de reflexão, aprimoramento,
contextualização e compromisso com os conhecimentos adquiridos e mediados, fazendo
com que os desafios sejam vistos como possibilidades para trilhar e qualificar os novos
caminhos.
Educação Matemática Indígena: o estudo da matemática deve ser
condizente à realidade, como também, proporcionar a valorização e o enriquecimento
do processo de construção de conhecimentos próprios da educação específica e
ÿG
G J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de
diferenciada que os povos indígenas têm direito. Porém, muitas comunidades indígenas
consideram essencial o estudo da matemática para viabilizar o contato entre os povos.
No entanto, percebemos que, em Araribá, muitas são as dificuldades para se efetivar
uma educação matemática contextualizada e de qualidade.
Currículo Escolar Indígena: de modo geral, tem como objetivo delinear,
organizar e oferecer subsídios para a (re)elaboração e implementação de uma educação
escolar que atenda os anseios particulares de cada comunidade e, também, a formação
de profissionais da educação capazes de sustentar, apoiar e viabilizar os interesses
próprios de cada etnia, de acordo com as necessidades e adaptações que forem surgindo.
Na escola focada, presenciamos o esforço da construção de um currículo específico. No
entanto, toda a carência detectada neste trabalho e apontada pelos próprios professores,
faz com que essa construção seja adiada constantemente.
Produção de Recursos: reconhecemos que é possível concretizá-la, por
meio dos registros das atividades realizadas em sala de aula. Atualmente, na Aldeia
Ekeruvá, os professores utilizam-se de livros didáticos das escolas regulares, utilizandose de adaptações de materiais didático- pedagógicos e de elementos de sua etnia. Com a
ajuda de trabalhos como este nosso, talvez, os professores indígenas daquela localidade
consigam tornar realidade a produção de materiais próprios de sua etnia.
É importante ressaltar que um dos desafios da educação é o de apoiar e
proporcionar
sustentabilidade
às
práticas
educacionais
diferenciadas.
Ainda,
consideramos a necessidade da (re)elaboração de parâmetros para a formação do
professor indígena de forma que esta formação ocorra de maneira local e
contextualizada, bem como, que as políticas públicas educacionais referentes a
educação indígena, do Estado de São Paulo, sejam revistas e avaliadas.
Acreditamos que a pesquisa realizada contribuirá com a Educação Matemática no
que se refere às práticas educativas, bem como, para a Educação Indígena e para seus
futuros expansores e colaboradores.
Referências
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Lei de Diretrizes e Bases da
Educação/LDB: Lei 9.394/96. Brasília, DF, 1996.
10
J. K. G. e BARALDI, I. M. Educação Matemática Indígena: um estudo de
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Referencial
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FERREIRA, M. K. L. Idéias matemáticas de povos culturalmente distintos. São
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GIATTI, J. K. G. Educação Matemática Indígena em Araribá: um estudo de caso
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11
S
Anais do IX Encontro Paulista
de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12.
(ISBN 978-85-98092-07-2)
ENSINO DA GEOMETRIA X MOTIVAÇÃO
Márcia Pinto SIMIONE – Universidade Paulista ([email protected])
Resumo: Após o estudo sobre a trajetória do ensino da Geometria no Brasil, foi
observado, durante longo período, um possível abandono do assunto nas salas de aula.
Nas literaturas e no meu estágio, percebi, também, que o “professor” exerce grande
influência sobre este “Abandono”. Por isso, tendo em vista, atualmente, o desinteresse e
a defasagem no ensino e aprendizado da Geometria, considerei bastante pertinente focar
esta investigação na prática do professor ao ensinar Geometria e na motivação do aluno
em aprendê-la. A pesquisa em questão revela elementos do trabalho docente frente a tal
problemática. Sua relevância está, justamente, em ressaltar as maneiras como a
Geometria é “discutida”, por professores e alunos, em sala de aula. Investigou-se, então,
neste trabalho, a prática dos professores, ao ensinar Geometria e, também, a motivação
dos alunos em aprendê-la, já que a motivação tem grande importância no processo
ensino-aprendizagem. A pesquisa de campo foi realizada por meio de questionário e
entrevista com seis professores de Matemática, do Ensino Fundamental, de uma escola
pública do Estado de São Paulo, onde, por meio da investigação, tais sujeitos
ressaltaram elementos das suas práticas cotidianas que tornam os alunos motivados e/ou
desmotivados em aprender Geometria.
Palavras-chave: Geometria, Motivação, Prática Docente.
Introdução
Como estagiária em uma escola particular, pude atuar, em aulas de reforço, com
alunos do 5º ano do ensino fundamental ao 2º ano do ensino médio, onde tentei fazer
aulas bem estimulantes e motivadoras. Mas, mesmo assim, não obtive o resultado
pretendido. Diante de tal fato, surgiu o interesse em levantar a trajetória do ensino da
Geometria, desde as décadas anteriores, para, somente então, entender e/ou justificar os
motivos pelos quais os alunos não se sentem atraídos pela Geometria.
Segundo Perez (1991) e Pavanello (1993), o abandono do ensino da Geometria é
um fenômeno mundial, confirmado no Brasil através de vários trabalhos de
pesquisadores brasileiros.
Diversas causas contribuem para a caótica situação do ensino da Geometria.
Pavanello (1989), em sua dissertação de mestrado relata uma breve visão histórica,
! "#$% !& '& $(*+(, -. /.,0.12+3 4 !,1+5367,& Anais do IX Encontro Paulista
(ISBN 978-85-98092-07-2)
mostrando a trajetória do ensino da Geometria no Brasil. Em seu relato histórico a
autora constatou, em 1931, que a maioria da população ainda não tinha acesso à
educação. Os conteúdos de matemática eram ensinados por professores diferentes. A
partir deste ano, iniciou-se a “Reforma Francisco Campos” unificando as matemáticas.
A
reforma
“Gustavo
Capanema”,
em
1942,
dá
ênfase
ao
ensino
profissionalizante, em especial ao industrial. A Geometria é abordada intuitivamente nas
séries iniciais e dedutivamente nas séries finais. Em 1951, Simões Filho ajusta as
disciplinas às diferenciações regionais.
O Movimento da Matemática Moderna (1960), que apresentava a Geometria de
forma axiomatizada, fez com que a maioria dos professores se distanciasse do estudo
por não dominarem, suficientemente, tal conteúdo.
Já, a Lei 5692/71. Lei de Diretrizes e Bases do Ensino de 1º e 2º graus permitia
que cada professor montasse o seu próprio programa de acordo com as necessidades da
clientela, levando os professores a trabalhar somente a Aritmética e as Noções de
Conjunto.
As explicações dos matemáticos sobre os motivos que teriam levado à
desenfatização do ensino da Geometria (basicamente a Euclidiana)
nos diferentes graus de ensino, concentram-se em torno de questões
geralmente relacionadas com rigor, visualização e o que poderia
chamar-se
de
subordinação
da
Geometria
à
álgebra.
(PAVANELLO,1989 p. 11)
Segundo Lorenzato (1995), são inúmeras causas que tornam o ensino da
Geometria esquecido pelos professores, dentre as quais, uma dela está atuando forte e
diretamente em sala de aula, ou seja, muitos professores não detêm os conhecimentos
geométricos necessários para realização de suas práticas pedagógicas.
Por meio da preocupação relacionada ao ensino da Geometria, pesquisadores em
todo o mundo têm concedido destaque ao tema "o quê" ensinar em Geometria e "como”
fazê-lo, “como motivar os alunos”, como “fazê-los compreender a Geometria”.
Piletti (2003) afirma que sem motivação não há aprendizagem. Pode ocorrer
aprendizagem sem professor, sem livro, sem escola e sem uma porção de recursos.
“Mas, mesmo que existam todos esses recursos favoráveis, se não houver motivação
não haverá aprendizagem.”
Embora a motivação tenha sua importância para aprendizagem, nem sempre
recebe a devida atenção do professor. É fácil preparar uma apostila, um roteiro de aula,
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transmitir a matéria, cobrar nas provas, dar notas, como geralmente se faz nas escolas,
mas tentar motivar os alunos para que se interessem pela matéria, com a finalidade de
estudarem de forma independente e criativa, é tarefa muito mais difícil. Se isso
acontecer, obviamente, os resultados serão gratificantes tanto para o professor como
para os alunos, pois todos se sentirão realizados (PILETTI, 2003).
Infelizmente falta estímulo ao professor, talvez por sua má formação, falta de
tempo ou mesmo recursos. Afinal, percebe-se que os professores não pesquisam, não se
atualizam, não se motivam, procuram o caminho mais fácil e prático para desenvolver o
ensino.
Conforme afirma Lorenzato (1995), é preciso romper esse círculo de ignorância
geométrica, mesmo porque já foi o tempo de “Ler, Escrever e Contar”. Segundo o
pesquisador, ao lado de novas pesquisas, o ensino da Geometria merece, ainda um novo
currículo e novos livros didáticos além de novos “professores”.
No terceiro milênio, há grande aceleração em relação aos fatos e o tempo.
Convivemos com evoluções tecnológicas diárias, levando muitas vezes a um
crescimento desordenado, surgindo divisões sociais e novas culturas. Os professores,
como educadores, precisam adaptar o ensino a essas diferentes culturas.
Segundo Perez (1995), a Matemática única, certamente deve ser ensinada de
maneiras diferentes, dependendo dos alunos e do contexto em que vivem. Afinal de
contas: O que os alunos de diferentes níveis sociais buscam na escola? E o que elas
oferecem?
De acordo com Ponte (1992), os professores de Matemática são os responsáveis
pela organização das experiências de aprendizagem dos alunos. Deste modo podem
influenciar em suas concepções a respeito da Matemática. Como vêem eles próprios a
Matemática e o modo como se aprende Matemática? Qual a relação entre as suas
concepções e as dos seus alunos? Que sentido faz falar de concepções, distinguindo-as
de outros elementos do conhecimento, como por exemplo, das crenças? Qual a relação
entre as concepções e as práticas? Qual a distância das concepções, ou seja, como é que
estas se formam e como é que mudam? Qual o papel que nestas mudanças podem ter os
processos de formação?”
Diante do “pano de fundo” deste trabalho, apresentado até o momento, vale
ressaltar, agora, os objetivos e as justificativas desta investigação.
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(ISBN 978-85-98092-07-2)
Objetivo e Justificativa
A proposta deste trabalho, inicialmente, era investigar a necessidade do resgate na
qualidade de ensino da Geometria através de aulas motivadoras. Após um estudo sobre
a trajetória do ensino da Geometria no Brasil, foi observado, durante um longo período,
o seu possível abandono nas salas de aula.
Nas literaturas e no meu estágio percebi que o ”professor” exerce grande
influencia sobre este “Abandono”. Por isso, tendo em vista, atualmente, o desinteresse e
a defasagem no ensino e aprendizado da Geometria, considerei bastante pertinente focar
este trabalho neste aspecto, ou seja, na prática do professor, ao ensinar Geometria e, na
resposta do aluno, ao aprendê-la.
Portanto, o objetivo da pesquisa em questão é investigar a prática dos professores
de Matemática ao ensinar Geometria para alunos do Ensino Fundamental e, com isso,
revelar elementos das suas práticas que tornam os alunos motivados e/ou desmotivados
em aprendê-la.
Sua relevância está, justamente, em ressaltar as maneiras como a Geometria é
“discutida”, por professores e alunos, em sala de aula. Pois, pretende-se, com os
resultados desta pesquisa, contribuir para a ampliação das discussões, nos meios
acadêmicos e de formação de professores, sobre a importância do ensino da Geometria,
levando em consideração a motivação e a aprendizagem do aluno.
Hipótese
Diante da problemática que envolve a pesquisa e, também, do objetivo ressaltado
acima, pretende-se, nesta investigação, discutir a seguinte questão: Como ocorre a
prática docente no ensino da Geometria e quais os elementos dessa prática que
tornam os alunos motivados e/ou desmotivados em aprendê-la?
A pesquisa em questão agrega a hipótese de que, ainda existe certa resistência, por
parte dos professores, no ensino da Geometria e, além disso, o ensino, quando existe,
ocorre de maneira “primária” e “nada desafiadora”, tornando os alunos desmotivados e
sem interesse sobre o assunto.
Método
A pesquisa em questão, portanto, pretende, agora, revelar elementos do trabalho
docente frente a tal problemática. Sua relevância está, justamente, em ressaltar as
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maneiras como a Geometria é “discutida”, por professores e alunos, em sala de aula.
Observaremos, então, a prática dos professores, ao ensinar Geometria e, também, a
motivação dos alunos ao aprendê-la, já que a motivação tem grande importância no
processo ensino-aprendizagem, embora nem sempre se receba a devida atenção do
professor.
Para isso, optei por uma abordagem descritiva e, principalmente, qualitativa de
pesquisa, pois este último tipo de abordagem permite a exploração dos conhecimentos
das pessoas e também de suas representações, crenças, valores, opiniões, sentimentos,
esperanças, desejos, projetos entre outros aspectos.
A pesquisa de campo foi realizada com seis professores do Ensino Fundamental
de uma escola pública do Estado de São Paulo, na cidade de Jundiaí. Tal investigação
empírica teve respaldos teóricos para, no final do trabalho, apresentar resultados
pertinentes à pesquisa em questão. Segue, abaixo, o perfil dos professores participantes
desta pesquisa:
PROFESSORES
IDADE
FORMAÇÃO
Guilherme
21 a 30 anos
Gustavo
21 a 30 anos
Mariana
21 a 30 anos
Marisa
31 anos ou +
Marta
31 anos ou +
Mônica
31 anos ou +
Licenciatura em
Matemática
Mestre em
Educação
Matemática
Estudante de
licenciatura
Licenciatura em
Matemática
Estudante em
licenciatura
Mestre em
Educação
Matemática
TEMPO DE
SERVIÇO
2 a 5 anos
6 a 10 anos
1 ano ou 1 ano ou 1 ano
11 a 15 anos
A coleta dos dados foi feita por meio de um questionário de caracterização
(Anexo I) e um roteiro de entrevista (Anexo II), que tinham, por sinal, o objetivo de
investigar a prática dos professores de Matemática, ao ensinar Geometria para alunos do
Ensino Fundamental. Por meio dessa investigação, ressaltaram-se elementos de tal
prática que tornam os alunos motivados e/ou desmotivados na aprendizagem da
Geometria.
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Vale ressaltar, neste momento, algumas perguntas que fizeram parte do
questionário preenchido pelos professores e que, de certa forma, foram questões
auxiliadoras para aprofundar esta investigação. As perguntas do questionário,
selecionadas para investigação, foram: Na sua escola , o ensino de Geometria é feito
com a preocupação de obedecer ao planejamento? ; Quem determina os conteúdos
Matemáticos e a metodologia de ensino utilizada na sua escola? ; Ao ensinar
Geometria, você estimula, nos alunos, perguntas e discussões durante a aula? ; Como
você vê o desempenho dos seus alunos em Geometria? ; Você trabalha com Resolução
de Problemas ao ensinar Geometria? ; Você conhece algum parâmetro e/ou proposta
curricular com relação ao ensino da Geometria?
É preciso informar, também, que um outro item do questionário de extrema
importância é uma tabela onde os professores apresentavam os recursos e/ou materiais
utilizados (ou não) por eles em suas aulas.
O próximo e principal instrumento utilizado para facilitar a busca de informações
foi a entrevista que, por sua vez, consiste num instrumento de investigação que tem
como objetivo, neste caso, proporcionar um maior aprofundamento nos conhecimentos,
práticas, saberes, sentimentos, didáticas e expectativas dos professores frente ao ensino
da Geometria.
Conforme afirmam Lüdke e André (1986), mais do que outros instrumentos de
pesquisa que, em geral, estabelecem uma relação hierárquica entre o pesquisador e o
pesquisado, na entrevista, a relação que se cria é de interação, havendo uma atmosfera
de influência recíproca entre quem pergunta e quem responde. Além disso, as autoras
afirmam que a entrevista permite correções, esclarecimentos e adaptações que a tornam
eficaz na obtenção de informações desejadas.
Os conhecimentos, práticas, saberes, sentimentos e didáticas dos professores, ou
seja, os dados recolhidos por meio do questionário e, principalmente, através da
entrevista, ressaltam, de certo modo, elementos da prática dos professores, com relação
ao ensino da Geometria, que torna o aluno motivado e/ou desmotivado em aprendê-la.
Segue, abaixo, as questões que serviram de orientação para a entrevista: 1. Para você, o
que significa a Geometria? 2. Como você se sente ensinando Geometria? 3. O que você
faz em suas aulas para que seus alunos gostem de Geometria? 4. Qual o conteúdo de
Geometria que você sente dificuldade para explicar? Por quê? 5. Você trabalha com
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(ISBN 978-85-98092-07-2)
“RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS” ao ensinar Geometria? 6. Você se sente um
professor motivado? E seus alunos?
Enfim, os dados recolhidos por meio dos dois principais instrumentos de busca
desta investigação (questionário e entrevista) serão analisados e fundamentados,
teoricamente, a fim de garantir, através das análises das informações, considerações
finais sobre como os professores de Matemática ensinam a Geometria, ressaltando
elementos das suas práticas que tornam ou não os alunos motivados em aprendê-la.
Discussão
Inicialmente, vale retomar as idéias centrais da pesquisa em questão, ou seja, é
importante ressaltar, neste momento, que tal investigação, com foco na prática docente,
tem o objetivo de investigar a prática dos professores ao ensinar Geometria e, com isso,
revelar elementos das suas práticas que tornam os alunos motivados e/ou desmotivados
em aprendê-la.
Diante do objetivo ressaltado acima, pretende-se, nesta investigação, discutir as
seguintes questões: Como ocorre a prática docente no ensino da Geometria e quais os
elementos dessa prática que tornam os alunos motivados e/ou desmotivados em
aprendê-la.
A pesquisa em questão agrega a hipótese de que, ainda existe certa resistência, por
parte dos professores, no ensino da Geometria e, além disso, o ensino, quando existe,
ocorre de maneira “primária” e “nada desafiadora”, tornando os alunos desmotivados e
sem interesse sobre o assunto.
Conforme a pesquisa constatou, por meio de seus referenciais teóricos, os
professores, historicamente, não estão preparados para ensinar a Geometria. No entanto,
observou-se, através dos depoimentos de alguns professores que os mais graduados e os
recém formados ou estagiários, por iniciativa própria, buscam aprofundar seus
conhecimentos e investigam materiais didáticos para tornar suas aulas mais motivadoras
e muitas vezes inovadoras.
Ao perguntar aos professores sobre o que é Geometria, nota-se uma grande
admiração, por parte deles, deste “ramo” da Matemática.
Para o professor Guilherme, a Geometria é o conceito mais primitivo da
Matemática. Já, para a professora Marta é uma coisa fantástica, pois se trabalha a
visualização utilizando o “concreto”. As professoras Mariana e Mônica, relacionam a
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(ISBN 978-85-98092-07-2)
Geometria com a natureza e o nosso dia a dia, como uma abordagem para motivação
dos alunos. O professor Gustavo vai além disso, ou seja, ele entende a Geometria como
um conhecimento prático e aplicável, mas, também, extremamente abstrato que possui
um conjunto de fatores que influenciam no desenvolvimento das habilidades dos alunos.
Para a professora Marisa, a Geometria está presente nas formas e ângulos.
Percebe-se, portanto, pelos depoimentos acima, a valorização da Geometria, por
parte dos professores, numa visão ampla e futura, adotando tal parte da Matemática
como uma ferramenta de ensino para o lúdico, abstrato, concreto que amplia a
capacidade de percepção e raciocínio do aluno. Tais considerações, dos professores,
corroboram com Lorenzato (1995) ao afirmar que é preciso romper esse círculo de
ignorância geométrica, mesmo porque já foi a época do tempo de, somente, “Ler,
Escrever e Contar”.”
Ao abordar o sentimento dos professores no ensino da Geometria, observa-se,
com algumas exceções, certa frustração, por parte dos professores. Pois, em seus
comentários, confidenciam a falta de conhecimento na área devido à má formação que
possuem, não só acadêmica, mas principalmente, na formação básica onde, muitas
vezes, nem se quer ouviam falar em Geometria.
Perez (1991) e Pavanello (1993) confirmam as considerações do parágrafo acima
ao afirmar que o abandono do ensino da Geometria é um fenômeno mundial,
confirmado no Brasil através de vários trabalhos de pesquisadores brasileiros.
Mas, mesmo diante desta realidade, a professora Marta se sente uma pessoa
privilegiada em poder mostrar, aos seus alunos, o que eles não enxergavam antes. Além
disso, a professora vê, com satisfação, a descoberta de seus alunos, através de suas aulas
motivadoras. Já, a professora Mariana, apesar de ser iniciante em sua carreira docente,
se sente uma boa educadora e, além disso, gosta de ensinar Geometria, enquanto
percebe que outros professores deixam para o final. A professora Marisa, por sua vez,
comenta que os alunos têm muita dificuldade em avançar na aprendizagem dos
conceitos de Geometria. Segundo ela, a falta de acompanhamento contínuo, por parte
dos professores, dá a impressão que deixa o ensino e aprendizagem da Geometria
“empacada” sempre no mesmo ponto.
Lorenzato (1995) faz algumas considerações relacionadas à problemática do
ensino e aprendizagem da Geometria que, por sinal, foram ressaltadas pelos professores
sujeitos desta investigação. Segundo ele, muitos professores não detêm os
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conhecimentos geométricos necessários para realização de suas práticas pedagógicas,
pelo fato da má formação e/ou a estafante jornada de trabalho a que estão submetidos.
Como é de conhecimento do leitor, a pesquisa se refere, também, à motivação dos
alunos e, portanto, levanta o questionamento, aos professores, sobre a prática docente
relacionada à motivação dos alunos na aprendizagem da Geometria. Reforçando,
teoricamente, tal idéia, pode-se citar Piletti (2003) ao dizer que sem motivação não há
aprendizagem. Segundo o autor, pode ocorrer aprendizagem sem professor, sem livro,
sem escola e sem uma porção de recursos. Mas, mesmo que existam todos esses
recursos favoráveis, se não houver motivação não haverá aprendizagem.
Observa-se, nesta linha de investigação, que, quase, todos os professores
procuram trabalhar com o concreto, aulas expositivas, visualização. O professor
Gustavo, por exemplo, gosta de ressaltar a história da matemática por meio da resolução
de problemas da antiguidade comparando com os problemas atuais. O professor
Guilherme, por sua vez, ressalta a importância do Lúdico para a motivação dos alunos.
A professora Mariana trabalha com dobraduras e desenhos, conseguindo, dessa maneira,
grandes resultados. Já, a professora Mônica procura relacionar os conceitos trabalhados
com a prática, utilizando materiais paradidáticos, recortes e materiais concretos.
Alguns professores confidenciam várias de suas dificuldades ao ensinar
Geometria. Por exemplo, para a professora Marta, uma dificuldade é explicar a idéia e
os nomes dos polígonos. Já, a professora Marisa revela as suas dificuldades no
entendimento Lógico do Teorema de Pitágoras. A professora Mariana, por sua vez,
encontra dificuldades ao ensinar circunferências e esferas pelo mesmo motivo do
professor Guilherme que, como lamentou, não aprendeu muitas coisas das quais precisa
ensinar atualmente.
Percebe-se, também, nesta investigação, que todos os professores, participantes da
pesquisa, utilizam, para ensinar Geometria, a resolução de problemas. Apesar disso,
observa-se certa distorção, por parte de alguns professores, no entendimento desta
prática de ensino.
Entende-se, nesta investigação, que a resolução de problemas é uma ótima
ferramenta para gerar motivação, por parte dos alunos e, além disso, para desenvolver
certas habilidades e competências. E, como afirma Ponte (1992), os professores de
Matemática são os responsáveis pela organização das experiências de aprendizagem dos
alunos. Deste modo podem influenciar em suas concepções a respeito da Matemática.
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Ao abordar, com os professores sujeitos da pesquisa, sobre a motivação que
apresentam ao ensinar Geometria, percebe-se que, uns mais, outros menos, porém todos
os docentes se sentem motivados, de alguma maneira, no trabalho que realizam.
Além disso, percebe-se que a maioria dos professores, participantes da
investigação, conduz o seu trabalho de forma a motivar o aluno na aprendizagem da
Geometria. Apesar disso, Piletti (2003) afirma que embora a motivação tenha sua
importância para aprendizagem, nem sempre recebe a devida atenção do professor.
Segundo o pesquisador, é fácil preparar uma apostila, um roteiro de aula, transmitir a
matéria, cobrar nas provas, dar notas, como geralmente se faz nas escolas, mas tentar
motivar os alunos para que se interessem pela matéria, com a finalidade de estudarem
de forma independente e criativa, é tarefa muito mais difícil. Se isso acontecer,
obviamente, os resultados serão gratificantes tanto para o professor como para os
alunos, pois todos sentirão realizados.
Do ponto de vista da Psicologia, muitas dessas questões sobre motivos e
motivação têm profundo interesse para o estudo sistemático do comportamento humano.
Por exemplo, a corrente – o hedonismo psicológico (BRANDT, 1959 apud FREITAS,
2002) – que considera que todas as ações do homem são motivadas pelo prazer, pela
ausência de dor. O motivo pelo qual destacamos essa corrente é por acreditar que essa
concepção de motivação está fortemente arraigada na estratégia atual da mídia, cujo
papel na formação dos indivíduos na sociedade contemporânea não pode absolutamente
ser negligenciado.
Após tais discussões sobre os dados recolhidos nesta investigação, apresentam-se,
a seguir, algumas considerações finais para a pesquisa em questão.
Conclusões
Esta pesquisa, durante todo o seu percurso, teve o objetivo de investigar a prática
dos professores ao ensinar Geometria e, com isso, revelar elementos das suas práticas
que tornam os alunos motivados e/ou desmotivados em aprendê-la. Diante de tal
objetivo, pretendeu-se, nesta investigação, responder as seguintes questões: como
ocorre a prática docente no ensino da Geometria e quais os elementos dessa prática
que tornam os alunos motivados e/ou desmotivados em aprendê-la?
Por hipótese, a pesquisa em questão afirmou, ao lançar a questão acima, que
ainda existe certa resistência, por parte dos professores, no ensino da Geometria e, além
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Anais do IX Encontro Paulista 11
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disso, o ensino, quando existe, ocorre de maneira “primária” e “nada desafiadora”,
tornando os alunos desmotivados e sem interesse sobre o assunto.
Tal hipótese, descrita acima, em partes, se mostrou verdadeira. Porém, esta
investigação revela que, apesar do ensino da Geometria, muitas vezes, ser “primário” e
“pouco desafiador”, justificável pela própria má formação de alguns professores, a
Geometria está sendo bastante ensinada e discutida, por professores e alunos, nas salas
de aula e, até, na medida do possível, o trabalho docente, diferenciado, está despertando,
nos alunos, a motivação em aprendê-la.
Observou-se, pelos comentários e análise dos depoimentos dos professores, uma
prática de ensino, com relação à Geometria, utilizando estratégias e materiais
diferenciados para garantir a motivação dos alunos e facilitar a aprendizagem. No
entanto, nota-se, por meio do depoimento de vários professores, uma prática de ensino
pouco desafiadora e com significados simplificados que, por sinal, pode gerar certa
desmotivação, por parte dos alunos. Além disso, observa-se, também, a utilização
escassa das tecnologias para ensinar Geometria.
Percebe-se, também, certa insegurança, por parte de vários professores, ao
comentar das suas dificuldades no ensino da Geometria. Pelo que parece, vários
docentes, participantes da pesquisa, se esforçam para ensinar o conteúdo Geométrico,
mas apresentam vários dilemas com relação aos saberes da Geometria. Tais dilemas e
dificuldades são frutos da má formação destes professores que, por sinal, refletem na
qualidade das suas aulas e, com certeza, na falta de motivação por parte dos alunos.
Referências
FREITAS, M. C. S. Da motivação e de sua relevância no processo de aprendizagem
escolar. Monografia (Pedagogia em Orientação Educacional). Universidade Iguaçu,
Faculdade de Educação e Letras, UNIG, 2002. (Orientadora: Ana Valéria de
Figueiredo).
LORENZATO, S. Por que ensinar geometria? In: Educação Matemática em Revista.
nº 4, 1ºsem.1995, p. 3-12.
PAVANELLO, R. M. O Abandono do Ensino da Geometria no Brasil: Causas e
Conseqüências. In: Zetekité, nº 1, 1993.
Anais do IX Encontro Paulista 12
(ISBN 978-85-98092-07-2)
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PAVANELLO, R. M. O Abandono do Ensino de Geometria: uma visão histórica.
1989. Dissertação (Mestrado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade
Estadual de Campinas, Campinas, 1989.
PEREZ, G. Pressupostos e Reflexões Teóricas e Metodológicas da Pesquisa
Participante no Ensino da Geometria para as Camadas Populares (1º e 2º graus).
1991. Tese (Doutorado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade Estadual
de Campinas, Campinas, 1991.
PEREZ, G. A Realidade sobre o Ensino de Geometria no 1º e 2º Graus no Estado de
São Paulo. In: Educação Matemática em revista, nº4, 1º sem.1995, p.54-64.
PILETTI, N. Psicologia Educacional. São Paulo: Editora Ática, 2003.
PONTE, J. P. Concepções dos professores de Matemática e Processos de Formação. In:
Educação Matemática. 1992, p. 185-239. (Coleção Temas de Investigação)
M)*+, -. /. 0. 1 M-23456), -. *. )7897: ;1 <:=>7?9@8 1 3@AB18C DE@ @F:G;@H1E
investigativa com auxílio da calculadora. Anais do IX Encontro Paulista de Educação
Eixo-temático 7: Resolução de Problemas e Investigação Matemática
ENSINO DE POTÊNCIAS E RAÍZES: UMA ABORGAGEM INVESTIGATIVA
COM AUXÍLIO DA CALCULADORA
Antônio José Fernandes de MELO – PUC/SP ([email protected]
Ana Lúcia MANRIQUE – PUC/SP ([email protected]
Resumo: Este trabalho tem o objetivo de buscar inserir a tecnologia, por meio da
calculadora, na busca de observar a dinâmica da sala de aula, desenvolvendo aulas
investigativas, procurando abordar as dificuldades encontradas pelo professor e pelo aluno
no desenvolvimento dessas atividades. Temos também como objetivo que este trabalho
proporcione uma fonte de pesquisa para tais temas, fazendo das atividades aqui propostas
um recurso de ensino para a inserção da calculadora nas salas de aula, assim como uma
opção aos professores que desejam uma nova prática de ensino e mudanças no processo de
ensino e aprendizagem. A tecnologia de informação cada vez mais se faz presente em
nosso meio, mas muitas vezes em nossas escolas são deixadas de lado, então buscamos
com a calculadora proporcionar um ensino dinâmico e investigativo, levando ao professor
e aos alunos alterações de postura em sala de aula, propiciando elaboração de conjecturas
por sua própria reflexão. A partir dessas considerações e de nossa prática docente, surgiu a
idéia de construir situações de aprendizagem que fossem significativas, envolvendo cálculo
exato e aproximado de potências e raízes, com a utilização da calculadora. Desenvolvemos
quatro atividades propostas dentro de uma sala de aula do ensino médio da rede pública de
ensino de uma cidade do interior do Estado de São Paulo, demonstrando ser possível o
desenvolvimento desse tipo de trabalho por professores, possibilitando uma abordagem
investigativa com o auxílio de tecnologias da informação. Ao desenvolvermos os
conteúdos com novos recursos tecnológicos, percebemos que as atividades propostas não
necessitam meramente desenvolver os conteúdos utilizando os novos recursos, mas sim
buscar propiciar aos alunos situações que realmente se traduzam em maior entendimento
dos conteúdos trabalhados. Situações essas nas quais buscarão entender o significado das
respostas que a máquina de calcular está lhe propiciando.
Palavras-chave: Calculadora, Aulas Investigativas, Potências e Raízes, Ensino Médio.
Financiamento: Secretaria Estadual de Ensino de São Paulo
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Introdução
Nosso estudo envolve um experimento de ensino de um conteúdo da Matemática
para o Ensino Médio, utilizando a calculadora. Inicialmente, faremos algumas
considerações sobre como entendemos o potencial desse artefato tecnológico na atividade
matemática.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2002, p. 111) dizem que:
Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e
relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de
competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida
que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o
para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens
específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias,
tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua
formação.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, devemos propor atividades
que venham a desenvolver habilidades em nossos alunos, buscando alternativas que visem
desenvolver novas idéias de transformação da realidade escolar, buscando adaptar-se a esse
novo mundo. Alternativas que podem vir a inserir as novas tecnologias, mais
especificamente a utilização de calculadoras na diminuição dos cálculos, na construção de
conhecimentos, no desenvolvimento de raciocínios e na exploração de conteúdos.
O próprio PCN (BRASIL, 2002, p. 116) nos estimula a fazer uso de novos
instrumentos para dinamizar e incrementar as aulas:
Identificar e fazer uso de diferentes formas e instrumentos apropriados
para efetuar medidas ou cálculos; por exemplo, discriminar o melhor
instrumento para medir, comparar ou calcular comprimentos e distâncias
ângulos, volumes ocupados por líquidos, em dada situação especifica.
Usar adequadamente réguas, esquadros, transferidores, compassos,
calculadoras e outros instrumentos ou aparelhos.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais podemos entender que a calculadora pode ser
um agente motivador em sala de aula, contribuindo para a investigação e a realização de
tarefas exploratórias.
Entretanto, a tecnologia, assim como outros artefatos pedagógicos que buscam
desenvolver o raciocínio do aluno, não são tão usualmente utilizados pelos professores,
apesar de proporcionarem um novo ambiente em sala de aula, motivando os alunos, sua
participação nas aulas, melhorando todo o processo de ensino e aprendizagem.
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Consideramos que a calculadora é um instrumento de uso popular, assim como
outros aparelhos eletrônicos. Basta observar, por exemplo, que ela está ao alcance dos
jovens, por meio do telefone celular, podendo com seu auxílio propiciar novas formas de
trabalhar.
De acordo com D’Ambrósio (1993, p. 20):
Hoje, todo mundo deveria estar utilizando a calculadora, uma ferramenta
importantíssima. Ao contrário do que muitos professores dizem, a
calculadora não embota o raciocínio do aluno – todas as pesquisas feitas
sobre aprendizagem demonstram isso.
Percebemos que D’ Ambrósio já em 1993 manifestava sua preocupação com a
utilização da calculadora como uma ferramenta a ser utilizada em nossa educação, e com
Fedalto (2006, p. 26) mais recentemente, podemos verificar que não utilizá-la não mais se
justifica devido ao seu preço.
Por outro lado, as calculadoras evoluíram na sua capacidade operacional.
As calculadoras denominadas científicas operam com números em
notação científica, na forma fracionária, operam em outras bases como a
binária, o octal e a hexadecimal, operam com funções trigonométricas e
suas inversas, fazem cálculos estatísticos, etc. e o seu preço chega a ser
compatível com os recursos das escolas e alunos de um modo geral.
Assim, com o passar dos anos e com a crescente evolução das tecnologias na
sociedade e sua utilização nas diversas áreas sociais, estas devem também ser aproveitadas
nas escolas, que buscam estar em constante atualização e inserção nesta realidade.
Nesse contexto, um de nossos desafios como professores de Matemática é permitir
que a calculadora seja mais um instrumento que auxilie a construção de conhecimentos
matemáticos, oportunizando ao aluno o desenvolvimento do seu raciocínio. Além disso, ao
fazer uso da máquina, o aluno pode ter domínio cada vez maior de suas funções, tirando
máximo proveito desse recurso tecnológico em situações extra-escolares.
Com o uso da calculadora, o tempo gasto na realização de cálculos pode ser utilizado
pelo aluno para concentrar sua atenção no desenvolvimento de estratégias de resolução e
na aquisição de conhecimentos, desvinculando-o de cálculos repetitivos e extensos.
Também podemos perceber que o ensino de conteúdos matemáticos tem
empobrecido ao longo dos últimos anos, como afirma Segurado (2002, p. 57):
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A pouca atenção dada na sala de aula à interpretação e validação de
resultados, à conjectura e prova, à discussão e argumentação contribui
para criar nos alunos uma visão empobrecida do modo de trabalhar e
aprender nesta disciplina. A atividade investigativa, apelando a estas
capacidades de ordem superior, proporciona aos alunos o contato com
uma parte essencial da Matemática.
De acordo com a autora, ainda valoriza-se muito a memorização, o treino como
resolução de exercícios, e por isso buscar desenvolver por meio de aulas investigativas,
atividades que visem a construção de conhecimentos, com a utilização da calculadora, com
a intenção de observar as implicações do processo de ensino e aprendizagem são
alternativas para a melhoria da educação.
A utilização de recursos que venham a desafiar nossos alunos pode ser um meio de
aprofundarmos seus conhecimentos, assim como proporcionar um diferenciado significado
diferente dos conteúdos trabalhados.
Ao desenvolvermos os conteúdos com novos recursos tecnológicos, temos de ter em
mente que as atividades propostas não devem meramente desenvolver os conteúdos
utilizando os novos recursos, mas sim buscar propiciar aos alunos situações que realmente
se traduzam em maior entendimento dos conteúdos trabalhados. Situações essas nas quais
buscarão entender o significado das respostas que a máquina de calcular está lhe
propiciando.
Buscamos com a inserção das tecnologias, que os estudantes se sintam envolvidos no
processo de ensino e aprendizagem, motivados com desafios que se propõem no desenrolar
das atividades propostas. O professor necessita ficar atento a essas novidades e incorporálas a sua rotina fazendo as mudanças pertinentes na sua sala de aula.
De acordo com Dallazen e Scheffer (2003, p. 5):
As tecnologias combinam com uma aula cooperativa, investigativa,
informativa e crítica, levando o professor a participar e auxiliar na
aprendizagem, atuando como um facilitador de aprendizagem. De um
modo geral, percebe-se a importância que é atribuída às tecnologias no
ensino de Matemática, ficando claro também a necessidade de introduzilas cada vez mais na sala de aula.
Por conseqüência de uma proposta de alteração da rotina escolar envolvendo
atividades a serem desenvolvidas em uma aula com o uso de novas tecnologias, o professor
deverá ter claro as idéias e objetivos que busca desenvolver com essas atividades,
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lembrando que o trabalho com novas tecnologias almeja um sentido maior para nossa
educação, buscando melhor estruturar o raciocínio dos alunos.
Segundo Mocrosky (1997, p. 20):
o pelo peso
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Acreditamos que com o desenvolvimento de atividades investigativas, possamos dar
alguma contribuição para a melhoria do ensino de Matemática, diminuindo os cálculos e a
memorização de fórmulas ambos realizados pelos alunos, mais precisamente como forma
de contribuir para uma melhor compreensão dos conteúdos matemáticos.
Acreditamos também que a calculadora seja uma das possibilidades que pode nos
apoiar para o desenvolvimento de conteúdos matemáticos em sala de aula, assim como
afirma Rocha (2002b, p. 3):
não é razoável esperar que os alunos usem e compreendam os gráficos
instintivamente, apenas porque dispõem duma calculadora. Torna-se
assim fundamental dar atenção, entre outros aspectos, à forma como esta
é utilizada.
De acordo com a autora, pressupõe-se que o papel do professor sofre alterações,
deixando muitas vezes de ser o detentor de todo conhecimento, atendo-se inicialmente ao
processo de construção e elaboração das atividades de forma a propiciar aos alunos uma
maior compreensão do que é Matemática, assim como dar efetiva atenção durante a
resolução das atividades elaboradas.
Essa idéia é corroborada por Skovsmose (2000), que diz que se mover em direção ao
cenário da investigação pode contribuir para o enfraquecimento da autoridade da sala de
aula tradicional de matemática e engajar os alunos ativamente em seus processos de
aprendizagem.
Como afirma Segurado (2002, p. 58):
Se pretende que a aula se centre realmente na atividade dos alunos, há
que privilegiar o desenvolvimento de atitudes questionadoras, a
observação e análise de situações, a formulação de conjecturas, a procura
de explicações e de argumentação, onde a criatividade e o
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desenvolvimento de idéias próprias têm um papel muito importante. É
fundamental a forma que assume a interação professor – aluno e aluno –
professor.
O desenvolvimento de atividades investigativas com a calculadora abordada como
uma possibilidade da ampliação de conhecimento, sugere aulas em que o mediador está
sujeito a imprevistos, e tal fato pode gerar certo desconforto aos professores, que
normalmente preferem trabalhar como em outrora estavam acostumados.
Como afirmam Borba e Penteado (2005) e Skovsmose (2000), devemos ter em mente
que sofremos alterações no modo de gerir as aulas durante o processo de desenvolvimento
das atividades, tanto quanto ao papel do professor, como às reações dos alunos frente a
essas atividades e do tratamento dado pelo professor às dificuldades encontradas no ato de
seu desenvolvimento, saindo da chamada “zona de conforto”, lugar que o professor está
acostumado a trabalhar. O desafio é enfrentá-la.
Ainda segundo esses autores, devemos promover uma reorganização completa e nos
afastarmos das zonas de conforto e de previsibilidade, lugares estes que não precisamos
estar muito atentos a nossas ações e intervenções, não realizando com freqüência
avaliações das conseqüências das ações realizadas.
De acordo com Skovsmose (2000), podemos propor uma abordagem investigativa
contrapondo a aula tradicional a qual na maioria das vezes tem seu formato dividido em
duas partes: primeiro o professor apresenta algumas idéias e técnicas matemáticas e,
depois, os alunos trabalham com exercícios selecionados.
A partir dessas considerações e de nossa prática docente, surgiu a idéia de construir
situações de aprendizagem significativa, envolvendo cálculo exato e aproximado de
potências e raízes, com a utilização da calculadora. Percebemos por nossa prática que
muitas vezes potências e raízes são apresentadas pela explanação do professor, tornando-se
muitas vezes desinteressantes suas aprendizagens. Notamos também que a motivação pela
busca do conhecimento leva o aluno a investigar, explorar e produzir seu próprio
conhecimento.
Ao procurar descobrir em nossa escola o que os alunos pensavam sobre a
aprendizagem de potências e raízes, envolvendo cálculos com números exatos e
aproximados, percebemos que não valorizavam a sua aprendizagem, e somente o número
inteiro tinha algum significado.
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Procedimentos Metodológicos
Para a aplicação das atividades, escolhemos uma segunda série do Ensino Médio do
período diurno do ano letivo de 2007 de uma escola estadual, situada na periferia da cidade
de Conchal, São Paulo.
Durante o desenvolvimento das atividades, com a finalidade de refletirmos sobre o
papel do professor, da calculadora e dos alunos, filmamos sua resolução, sendo que havia
um acompanhante realizando observações, assim como gravamos as conversas de três
duplas. Elaboramos quatro atividades que nesse trabalho são tratadas com os números 1, 2,
3 e 4. Pensamos que uma abordagem investigativa, diferenciada, com situações
envolvendo números difíceis de serem manipulados, utilizando então, a calculadora,
propiciaria uma análise mais efetiva do efeito da tecnologia no processo de ensino e
aprendizagem, considerando ainda que os conteúdos abordados fossem do conhecimento
dos alunos.
Nossa proposta foi trabalhar com todos os alunos da sala, para que todos tivessem
acesso às situações de ensino e também para analisarmos como eles se dispõem frente a
uma situação nova de aprendizagem que pensamos estar bem elaborada.
As atividades foram desenvolvidas na própria sala de aula da referida escola, na qual
estudavam os alunos. Trabalharam em duplas, pois entendemos que isso favoreceria o
trabalho coletivo e o conhecimento descoberto compartilhado entre seus membros.
As duplas foram escolhidas por afinidade dos alunos, mas nem sempre se manteve a
mesma formação inicial, ocorrendo alterações dos membros no decorrer das atividades,
provocando uma dinâmica na troca de informações entre as duplas. Participaram das
atividades em média vinte alunos, com um total de dez duplas.
As atividades foram respondidas pelos alunos em duas sessões de duas horas e meia
cada uma delas, sendo que na primeira sessão os alunos responderam as atividades um,
dois e três; e na segunda responderam a atividade quatro.
Todos os alunos presentes às aulas responderam as atividades em duplas munidos de
uma calculadora científica da marca Casio FX -82 MS, sendo este material adquirido e
fornecido pelo professor, uma vez que a escola não possui recursos para tal material.
Cada dupla tinha acesso a uma única calculadora, para estimular a discussão das
atividades e, juntos, concluíssem suas respostas, portanto todos os alunos presentes
passaram por todos os momentos de resolução das atividades.
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Para o desenvolvimento das atividades foi fornecido uma cópia das atividades para
cada dupla, sendo que no primeiro dia de aplicação foram distribuídas as atividades um,
dois e três simultaneamente, e no segundo dia somente a atividade quatro, por
considerarmos mais trabalhosa.
Ao longo do desenvolvimento das atividades foram recolhidos todos os documentos
produzidos pelos alunos, para posterior análise, assim como a maior parte dos registros,
contendo observações e impressões do trabalho desenvolvido, foi realizada imediatamente
após as aulas.
Durante os momentos em que os alunos se encontravam a realizar as atividades,
procuramos não conduzir demasiadamente suas discussões, assumindo um papel de
orientador e moderador do processo, observando o mais próximo possível o trabalho
realizado nas duplas.
Em nossa investigação utilizamos uma metodologia qualitativa baseada, sobretudo,
na observação de situações de aula, abordando em nossa análise episódios relativos às
fases iniciais, no momento que apresentamos a atividade à turma; à de desenvolvimento da
investigação, em que os alunos trabalharam em pequenos grupos; e à de discussão final ou
institucionalização. Apresentaremos apenas a análise do eixo atitude investigativa.
Resultados
Normalmente supõe-se que a utilização das calculadoras aliviaria os cálculos a serem
realizados com esse recurso e os alunos buscariam refletir sobre as atividades, podendo
assim dar prioridade ao raciocínio e a elaboração de conjecturas sobre as atividades
propostas, o que não ocorreu inicialmente, mesmo após todo incentivo do professor.
Percebemos o imediatismo em muitos de nossos alunos em relação ao manuseio da
calculadora, uma vez que não tinham a atitude de tentar buscar ou simplesmente testar
algum cálculo para verificação de resultados, sendo o professor requisitado a todo instante
para solucionar essas dificuldades, tendo de contornar essas situações mediando com
perguntas que favoreciam a reflexão e a elaboração de conjecturas.
Notamos como havíamos previsto a falta de hábito por parte dos alunos de testarem
na calculadora suas observações para verificarem conjecturas, tendo de, a todo instante,
incentivar a utilização da calculadora neste sentido.
PQRST UVWVXV Y PUZ[\]^QT UVRV Q_à_b cY dbef_gah` Y [hijY`k lmh hnbochpYm 9
Verificamos essa falta de atitude investigativa em nossas observações e contatos com
os alunos, escutando comentários de dúvidas de contas simples como a raiz de zero, e em
várias vezes nosso aluno não teve a atitude de testar na calculadora sobre suas mãos para
verificar o resultado, buscando no professor a validação de suas conjecturas. O mesmo
ocorria em relação à raiz do número 1, necessitando incentivar a utilização da calculadora
para verificação do resultado.
A dificuldade dos alunos em manipular valores com a utilização da calculadora,
também deixa claro que apesar de terem conhecimento de tal conteúdo, não conseguem
desenvolver, não tendo condições de mesmo com a calculadora tentar buscar um método
de resolução para lembrar das operações com radicais.
Pudemos perceber em algumas duplas de alunos um início da investigação, no qual
puderam verificar com sua análise relações entre as colunas da tabela, que pode induzir o
entendimento de operação inversa entre raízes e potências.
A falta de atitude de nossos alunos pode ser inerente a um estudo mecanizado, na
qual o professor é o detentor do saber, controlando a sala de aula e ministrando aulas de
forma tradicional, pode ser por isso que nossos alunos não estariam apresentando o espírito
investigador como esperávamos. Como a mecanização ao estudar determinados conteúdos
não desenvolve estruturas de raciocínio, abre lacunas que posteriormente ao serem
requisitados para utilizar determinados conteúdos passam a não se lembrar.
A noção de operação inversa dificultou o preenchimento da tabela, uma vez que não
atentaram as relações entre as colunas, talvez possa ter ocorrido por falta da experiência do
desenvolvimento de atividade desse tipo, como nosso observador nos declarou: “Os alunos
não analisam os resultados obtidos na tabela, não conseguem observar as regularidades”,
notamos mais uma vez a falta de um aluno reflexivo e atuante em seu aprendizado.
Quanto ao arredondamento das respostas obtidas, notamos que os alunos não tinham
qualquer tipo de regularidade inicialmente, como nas atividades 1 e 2. Com o
desenvolvimento das atividades, verificamos que os alunos passaram a adotar regras de
arredondamento, pelo menos com igualdade de casas após a vírgula, para que em
confronto com atividades de outrem pudessem ser efetivamente realizadas com mais
confiabilidade.
Na atividade 4 seria necessário aos alunos realizarem certos arredondamentos, em
função da quantidade de casas decimais em determinadas situações para facilitar
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posteriormente efetuar as devidas comparações. Percebemos que alguns alunos realizavam
arredondamentos diversos, uma vez que nessa atividade não delimitamos a quantidade de
casas após a vírgula, assim a quantidade de casas decimais após a vírgula, poderia variar
em cada lacuna da tabela.
Nessa atividade, houve alguns casos em que os alunos precisaram de ajuda do
professor para realizar as comparações entre as colunas da tabela, sendo que no momento
de efetuar os cálculos não tinham arredondado os valores com a mesma quantidade de
casas após a vírgula. Portanto, não conseguindo chegar à conclusão de igualdade ou
desigualdade entre as colunas, por exemplo observar que o valor de
valor de
a
a + b é diferente do
b , necessitando orientá-los com perguntas, promovendo maior discussão
entre as duplas.
Como afirma Feltes (2007, p. 13):
Quando o professor destaca ou questiona o educando para que aponte
onde está o erro na solução, muitos estudantes não sabem analisá-lo e
nem todos conseguem destacá-lo, mostrando que não conseguem refletir
sobre sua aprendizagem. Aqui transparecem seus problemas iniciais de
alfabetização matemática, pois apresentam dificuldade de dialogar sobre
um determinado conteúdo, em que poderiam aparecer as dúvidas, as
perguntas e as justificativas sobre as soluções encontradas. Essa forma de
questionar o aluno, de fazê-lo refletir sobre sua maneira de resolver as
questões não está acontecendo em nossas salas de aula, o que acarreta
diversas dúvidas na aprendizagem de conteúdos e possíveis novos erros
matemáticos.
Muitas vezes foi sugerido aos alunos para descobrirem o erro cometido com o
arredondamento, realizando novamente os cálculos de verificação dos resultados obtidos,
para adequação dos valores. Nesse momento, os alunos repetiam os cálculos e rapidamente
atentavam as suas resoluções erradas, buscando o conhecimento e as regularidades
esperadas da atividade.
Quanto às respostas das questões escritas, percebemos que houve um avanço em suas
respostas se compararmos a primeira com a segunda atividade, dado o fato de semelhança
entre as questões. As atividades 1 e 2, de potência e índice 2 e 3, respectivamente, tinham o
intuito de gerar uma discussão, mas ninguém em momento algum, sequer verbalizou ou
perguntou se as regularidades percebidas para o índice 2 ou 3 valiam para as demais raízes
e índices, como havíamos previsto. Nesse caso, ao analisar nossas atividades propostas
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penso que poderíamos propor ao final da atividade 2 uma questão de discussão a respeito
dessa reflexão, para iniciar a atividade 3.
A discussão proposta na atividade 3 entre os grupos para comparação de resultados
das potências e raízes de índices pares e ímpares, possibilitou a construção de
conhecimento e verificação de regularidades, assim como a discussão entre os membros do
grupo proporcionando a reflexão sobre o conteúdo. Mostrou-se muito produtivo o
resultado, visto que nenhum grupo errou a tabela e as respostas relacionadas com a mesma.
Notamos também nas três atividades iniciais um avanço dos alunos quanto às
respostas dadas no desempenho geral de desenvolvimento das atividades, acertando mais
questões do que nas atividades anteriores. Verificamos que na atividade 3, os alunos
tiveram uma quantidade muito pequena de erros cometidos se comparados aos das
atividades 1 e 2.
Verificamos também na atividade 3 somente em 3 duplas contendo pequenos erros
na resolução da tabela dos 10 desenvolvidos pelos alunos. Dessas 3 atividades com erros,
encontramos 2 erros verificados na quantidade de casas decimais; 2 erros de representação
e 2 erros nos cálculos com a calculadora, o que podemos considerar comum dado à falta de
experiência de nossos alunos neste tipo de atividade.
Esses erros podem ser oriundos pela falta de atenção dos alunos nos dois casos
iniciais, mas no terceiro pode ser resultado da falta de compreensão da utilização da
calculadora na resolução de cálculos com raízes enésimas, e como já foi dito
anteriormente, nossos alunos não haviam tido qualquer contato com a calculadora,
necessitando de maior tempo de contato para familiarização, necessitando ter um pouco
mais de autonomia para conseguir refletir sobre as atividades, podendo desenvolver uma
melhor atitude investigativa.
Rico (1995) apud Feltes (2007, p. 74) nos diz que:
o aparecimento de erros nas produções dos alunos acontecem por várias
causas, entre elas, as concepções inadequadas sobre os aspectos
fundamentais da Matemática, resultados de utilização de procedimentos
imperfeitos que, às vezes, não podemos reconhecer ou exemplos de
métodos e estratégias inventadas, não formais mais originais, para
solução de alguns problemas propostos.
Em relação aos erros encontrados não podemos afirmar o motivo que o levou a
ocorrer, mas podemos supor que faz parte de conhecimentos inventados sem um
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fundamento aparente, mas com certo grau de dinamismo na confecção de respostas
inadequadas. Essas respostas inadequadas em atividades investigativas podem transformála em estudo no momento da discussão dos resultados contribuindo para a melhora da
atitude investigativa.
Podemos supor que os erros encontrados em atividades possam ser traduzidos como
o indício da ausência de autonomia ou atitude investigativa, e as respostas inadequadas ou
incompletas como o surgimento da prática reflexiva em um aluno, como por exemplo,
verificamos em um diálogo com um aluno a presença de determinado conhecimento, mas
este não conseguiu traduzir para o papel suas conjecturas.
Percebemos também que os alunos notaram a diferença entre números inteiros,
decimais exatos e aproximados, conceitos básicos não trabalhados em sala de aula, que
muitas vezes podem fazer diferença em determinada atividade de aplicação. Notamos tal
fato pela fala da aluna Joana: “Professor esse número vezes ele mesmo dá o resultado
certinho. Mas esse aqui que arredondei, às vezes não dá o valor inicial”. Também podemos
notar que essas conjecturas foram percebidas em falas dos alunos, muito parecidas como a
da aluna Paula: “Professor esse número aproveita quantas casas após a vírgula? Ele não é
exato! E aqui? Esse número aproveita tudo!”
Também notamos a verificação de um grupo em relação a raiz de índice par que
dizia: “Não tem raiz quarta de um número negativo, pois é um número par de
multiplicações”.
Em relação a raiz de índice ímpar observamos comentários do tipo: “A raiz ímpar,
vai ter sempre raiz, porque sempre existe um número multiplicado por ele mesmo, em
números ímpares de fatores, dá um número negativo”.
Percebemos que alguns alunos chegaram à conclusão que gostaríamos que a
maioria tivesse alcançado, percebendo a existência de raízes de índices ímpares para
qualquer valor, e a não existência de raízes de índices pares para números negativos.
Notamos já na atividade 3 uma postura mais reflexiva na elaboração de conjecturas, fatores
principais da atitude investigativa que buscamos em nosso trabalho.
No início da atividade 4, os alunos sentiram dificuldade de trabalhar com as
expressões algébricas da tabela. Tinham dificuldades em entender a finalidade daquela
atividade com tantas contas, mas com o passar do tempo e ao responder as questões
discursivas passaram a compreender seu objetivo.
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Ao final desta atividade, para realizar as comparações, os alunos tiveram ainda um
pouco de dificuldade em trabalhar com expressões algébricas e comparar colunas ou até
mesmos buscarem resposta sozinhos sem a ajuda do professor, uma vez que não estavam
acostumados a desenvolver suas próprias conjecturas, tão pouco organizarem dados para
verificar regularidades e analisar possíveis semelhanças ou diferenças entre as colunas.
Ao concluírem as relações entre as colunas da atividade 4, ficaram receosos quanto à
forma de representar a resposta, precisando argumentar e incentivar a lerem novamente os
enunciados, fazendo nova inferência de suas observações em relação a forma de
representação.
De acordo com Hoch e Dreyfus (2004) apud Feltes (2007, p. 57):
referem-se ao “sentido da estrutura”, mencionando uma habilidade de
reconhecer uma expressão ou sentença algébrica como uma estrutura
previamente encontrada. Os alunos desta pesquisa parecem ter, portanto
essa habilidade, porém seu problema está localizado nas dificuldades com
as propriedades da potenciação e radiciação.
Assim como no estudo citado acima, nossa pesquisa demonstrou entre os alunos
maior envolvimento quando nossa pesquisa apresentou expressões algébricas para
trabalhar, mas mesmo assim apresentaram dificuldades na resolução de compreensão do
significado de potências e raízes.
De acordo com Marquis (2001) apud Feltes (2007, p. 61):
ao apontar erros comuns em Álgebra, propõe um tipo de exercício que
consiste em apresentar aos alunos uma lista de afirmativas falsas,
baseadas em erros que costuma encontrar em provas, e solicitar aos
estudantes que corrijam as afirmativas, de forma a discuti-las
posteriormente.
De acordo com o autor, com as dificuldades e erros encontrados nas atividades e
discussões ao final da atividade podemos buscar solucionar por meio de outras atividades
que venham ao encontro dos objetivos de sanar as dificuldades apontadas, melhorando a
postura investigativa de nossos alunos, promovendo a discussão e reflexão das conjecturas
elaboradas pelos alunos, validadas ou não pelo professor.
Podemos tentar solucionar algumas dificuldades encontradas apresentando uma lista
de exercícios extras, e no momento da discussão das respostas encontradas reforçarmos
uma possível retomada desse conteúdo.
õö÷øù úûüûýû þ õúÿM öù úû÷û ö þ
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M investigativa com auxílio da calculadora. Anais do IX Encontro Paulista de Educação
Em torno de 80% dos alunos tentou buscar um método alternativo, como a
construção de uma tabela para validar as sentenças das operações com radicais,
propiciando certo contentamento, uma vez que o fator primordial de nossas discussões era
promover a investigação por parte de nossos alunos, que neste caso eram iniciantes neste
tipo de atividade. Podemos verificar pela porcentagem de busca de algum método de
exemplificação de raciocínio, que com um pouco de perseverança podemos conseguir
melhorar a elaboração de conjecturas.
Para conclusão da atividade 4, os alunos demonstraram certa criatividade ao elaborar
uma nova tabela semelhante a apresentada pelo professor para sua resolução, aplicando
diferentes índices de raízes para visualizar se as operações verificadas na tabela inicial
valiam para outros.
Ao final das atividades tivemos alunos que verbalizaram que não sabiam das regras
de operações de radicais, e que a calculadora ajudou a descobrir essas regras quando
calculava e realizava as comparações, nesse caso percebemos uma melhora na reflexão e
elaboração de conjecturas levando os alunos a pensarem matematicamente.
Podemos dizer apesar do pouco tempo de aplicação das atividades propostas, que
sentimos certa melhora na atitude investigativa nos alunos presentes na sala de aula.
Verificamos muitas experimentações na parte final de nosso trabalho por parte dos alunos
ao responderem as atividades finais.
A atitude investigativa que esperávamos observar em nossos alunos demorou a
aparecer, mas ao olharmos para as respostas devolvidas pelos alunos vemos numa ordem
crescente uma melhora na diminuição da quantidade de erros como na qualidade das
respostas. Também percebemos por contato com alunos, na questão de busca de resultados,
uma sensível diminuição na busca pelo professor para a validação de resultados à medida
que as atividades iam sendo desenvolvidas, aumentando a autonomia nos alunos, tornandoos mais conscientes no desenvolvimento das atividades.
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SKOVSMOSE, O. Cenários para Investigação. Revista Bolema, nº14, 2000, p. 66-91.
16
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através de jogos no 7º ano
do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:
IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–12. (ISBN 978-85-98092-07-2)
ENSINO DE PRÉ-ÁLGEBRA ATRAVÉS DE JOGOS NO 7º ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Carolina Innocente RODRIGUES – UFSCAR ([email protected]
Maria do Carmo de SOUSA – UFSCAR ([email protected]
Resumo: Esta pesquisa que está em desenvolvimento, desde o primeiro semestre de
2008, tem como objetivo desenvolver a pré-álgebra sob a metodologia de jogos em sala
de aula no 7º ano do Ensino Fundamental de uma escola particular de São Carlos/SP. As
atividades de ensino foram realizadas durante o Estágio Supervisionado de Matemática
na Educação Básica 3, disciplina oferecida pelo Departamento de Metodologia de
Ensino – UFSCar. Tal metodologia foi escolhida por ter a característica de introduzir os
alunos num ambiente lúdico, conseguindo unir a brincadeira com os conteúdos que
foram ou serão aprendidos em sala de aula. Foram desenvolvidos dois jogos, elaborados
e adaptados com o auxílio do professor da turma. Tivemos a intenção de trabalhar
conteúdos de pré-álgebra (generalização e verificação de padrões, seqüências,
introdução do conceito de variável em diversas formas, valores numéricos e linguagem
matemática). A pesquisa é qualitativa, uma vez que dela faz parte a obtenção de dados
descritivos mediante contato direto e interativo do pesquisador com a situação objeto de
estudo, segundo Neves (1993). Evidenciaremos as falas e observações feitas pelos
alunos durante o processo de ensino e aprendizagem dos jogos, além das conclusões
acerca desta primeira parte da pesquisa, com término previsto para o fim do segundo
semestre de 2008. Podemos antecipar em sua totalidade que foi constatado um maior
comprometimento dos alunos em sala de aula quando começaram a aprender álgebra a
partir de jogos.
Palavras-Chave: Ensino, Pré-álgebra, Metodologia, Jogos.
Introdução
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais - os PCNs (1998), para um bom
ensino de álgebra, deve-se saber qual seu papel no currículo, além de refletir como os
alunos (crianças e adolescentes) constroem o conhecimento matemático, principalmente
quanto à variedade de representações. Assim, entendemos que é pedagogicamente mais
correto propor situações propiciem aos alunos a construir noções algébricas pela
observação de regularidades do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas
enfatizando as manipulações com expressões e equações de uma forma meramente
C. I. e SOUSA, M. C. Ensino de pré-álgebra através de jogos no 7º ano 2
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mecânica. Os Parâmetros Curriculares Nacionais partem do seguinte pressuposto: para
que o estudante possa entender a álgebra simbólica faz-se necessário que os professores
considerem, nas séries iniciais, a “pré-álgebra” (COXFORD; SHULTE, 1995 apud
MOURA; SOUSA, 2004).
Segundo Post, Behr e Lesh (1995), muitas vezes define-se a álgebra como a
aritmética generalizada. Os alunos devem perceber as conexões entre as equações
abstratas da álgebra e o mundo real da aritmética. Assim, a introdução à álgebra (préálgebra) deve se basear na noção de que as variáveis podem ser manipuladas de uma
maneira que corresponde exatamente a muitos aspectos do mundo real. Contudo,
sabemos que os alunos quando apresentados à pré-álgebra e posteriormente à álgebra,
propriamente dita, enfrentam diversas dificuldades sobre o conceito de variável,
generalização da aritmética, definição de padrões, além de dificuldades provenientes de
uma Alfabetização Matemática deficiente de conceitos e aplicações.
Percebi, nestes estágios, por exemplo, que os alunos fazem perguntas do tipo:
“Porque ‘-2’ com ‘-2’ é igual a ‘-4’ e ‘-2’ vezes ‘-2’ é igual a ‘4’?” ou “Nessa equação,
3x + 4 = 2x – 8, eu faço como,
3x2x = -8-4
3x2x = -8-4
3x2x = 12
ou
3x2x = -4
5x = 12
ou
5x = -4
mostrando que não sabem operações com números negativos e principalmente a lógica
na resolução de equações do 1º grau.
Outro fato que deve ser ressaltado é que hoje o ensino de álgebra ocorre com a
valorização da mecanização do raciocínio, mostrando que os alunos sabem calcular
algoritmos, mas não entendem e nem constroem o pensamento matemático. É
justamente neste momento que a teoria de jogos pode auxiliar ou ainda motivar os
alunos no processo de aprender os conceitos algébricos.
As atividades de ensino propostas aos alunos, neste estudo, têm por maior
objetivo auxiliar nas dificuldades relacionadas acima, pois priorizavam as conexões
internas do conceito de álgebra: fluência, variável e campo de variação presentes na
álgebra não simbólica e simbólica.

A definição de uma metodologia de trabalho com jogos na sala de aula somente
começa a ser possível de ser discutida com os avanços no campo da Psicologia, onde o
indivíduo passa a ser o dinamizador do seu próprio processo de aprendizagem e não
mais um mero assimilador de conhecimentos transmitidos. Daí, os educadores
necessitam conhecer determinados componentes internos dos seus alunos para
orientarem a aprendizagem deles, de maneira significativa. (GRANDO, 2000).
As crianças brincam, jogam desde sua infância, quando chegam à fase escolar, na
Educação Infantil, por exemplo, são incentivadas a aprender brincando, porém no
Ensino Fundamental são proibidas de brincar e no Médio, as brincadeiras só são aceitas
após aprovação no Vestibular. É neste sentido que a metodologia de jogos vem para
desmistificar tais conceitos, atitudes de professores e instituições escolares. Como nosso
foco, nesta pesquisa é o Ensino Fundamental, pergunto: Por que os alunos podem
brincar no recreio, em casa, na rua e etc., mas não em sala de aula?
Quando o jogo é trazido para o ensino e há intervenção do professor é
denominado por jogo pedagógico e, segundo Moura (1992), o jogo pedagógico como
aquele adotado intencionalmente de modo a permitir tanto o desenvolvimento de um
conceito matemático novo como a aplicação de outro já dominado pela criança. A
intenção parte do professor, sendo estabelecida segundo seu plano de ensino que esteja
vinculado a um projeto pedagógico da escola, como um todo. O objetivo do jogo é
definido pelo educador através de sua proposta de desencadeamento da atividade de
jogo, que pode ser o de construir um novo conceito ou aplicar um já desenvolvido.
Assim sendo, um mesmo jogo pode ser utilizado, num determinado contexto, como
construtor de conceitos e, num outro contexto, como aplicador ou fixador de conceitos.
Cabe ao professor determinar o objetivo de sua ação, pela escolha e determinação do
momento apropriado para o jogo. Para Vygotsky (apud MOURA in GRANDO, 2000, p.
20) a imaginação exerce um papel fundamental para o desenvolvimento da criança,
ampliando sua capacidade humana de projetar suas experiências e de poder conceber o
relato e as experiências dos outros. E esta é outra característica do jogo, pois se trata de
uma atividade lúdica. Vygotsky também aponta que a imaginação não se opõe ao real,
no sentido de que o irreal ou real imaginado, tem suas raízes na realidade, nas
experiências vivenciadas pelo homem. E a matemática depende da abstração (situação
imaginária) dos conceitos pelos alunos.

Quando o assunto é a importância da intervenção do professor no jogo, para que
este não perca o objetivo pedagógico, entendemos que o professor deixa de ser um
“transmissor” de conhecimento e passa a adotar uma postura de mediador da ação do
aluno durante o jogo, tendo a possibilidade de resgatar os conceitos matemáticos que
estão sendo desenvolvidos neste jogo. Muitas vezes os educadores utilizam jogos em
sala de aula, mas sem entender como os jogos devem ser trabalhados com os alunos,
tanto durante a execução do jogo quanto ao término da dinâmica. Então para tais
problemas, a intervenção do professor assume extrema importância para que as
atividades não tenham fim nelas mesmas – “o jogo pelo jogo”. Assim, Souza (1996)
descreve “na intervenção, o procedimento adotado interfere no processo, com o objetivo
de compreendê-lo, explicitá-lo ou corrigí-lo.” (SOUZA, 1996 apud GRANDO, 2000, p.
3).
Para esta metodologia, a de jogos, que ocorre nas salas de aula, a avaliação ocorre
de maneira diferente, o professor ou educador com esta ferramenta, pode melhor
compreender o raciocínio do aluno e “obter referências necessárias para o pleno
desenvolvimento de sua ação pedagógica” (GRANDO, 2000, p. 5).
Sobre os jogos, os PCNs reconhecem sua importância como recurso pedagógico,
pois favorece a criatividade e a elaboração de estratégia para a resolução dos problemas
que o jogo traz e “propiciam a simulação de situações-problema que exigem soluções
vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações” (BRASIL, 1998, p. 47).
Neste trabalho, os jogos adotados são de regras que é capaz de levar os alunos a
desenvolverem formulações sobre regularidades, padrões, registrar quais estratégias são
vencedoras e analisar as possibilidades de aplicação destas estratégias, produzindo o
conhecimento através da lógica.
Numa concepção piagetiana, o jogo de regras relaciona a imaginação no jogo para
a conceitualização. Em relação ao papel social e moral que o jogo atribui, os jogos de
regras fazem com que as crianças abandonem o egocentrismo e o “interesse passa a ser
social, havendo necessidade de controle mútuo e de regulamentação. A regra, neste tipo
de jogo, supõe necessariamente relações sociais ou interindividuais, pois, no jogo de
regras existe a obrigação do cumprimento das regras, impostas pelo grupo, sendo que a
violação de tais regras representa o fim do jogo social.” (PIAGET, 1998, apud KAMII,
1991).

O uso de jogos em sala de aula implica numa mudança significativa nos processo
de ensino e aprendizagem que permite alterar o modelo tradicional do ensino. Quando
bem planejado e orientado, o trabalho com jogos pode auxiliar o desenvolvimento de
habilidades como observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições,
reflexão, tomada de decisão, argumentação e organização, as quais estão estreitamente
relacionadas ao assim chamado raciocínio lógico. (SMOLE; DINIZ; MILANI, 2007).
Os objetivos do uso de jogos em sala de aula têm cunho cognitivo, afetivo, social
e moral, (GRANDO, 1995, p. 101-104). Vejamos alguns dos objetivos cognitivos e
afetivos explicitados em nossas atividades de ensino.
Objetivos cognitivos
Levar os alunos à construção do pensamento matemático (elementos, definições e
procedimentos de raciocínio) de acordo com o desenvolvimento do jogo, suas regras e
jogadas (tomada de decisões). Com a dinâmica do jogo, estabelecem-se relações
estruturadas pelo jogo, assim o aluno pode vivenciar cada momento e compreender com
mais facilidade estruturas matemáticas;
Elaborar estratégias diversas e julgá-las, dentre as possibilidades qual é a mais
vantajosa para ganhar o jogo;
Desenvolver a memória e cálculo mental;
Elaborar e compreender a linguagem matemática e sua estrutura lógica;
Objetivos afetivos
Motivar os alunos a agirem com autonomia, tais atitudes são positivas quanto à
aprendizagem, já que o jogo é uma atividade lúdica acompanhada de motivação –
relação de auto-confiança;
Todos os alunos têm as mesmas condições, ou seja, todos são jogadores e
participantes deste jogo, neste momento as desigualdades presentes de maneira
constante em sala de aula (ensino tradicional proporciona tal situação) são diminuídas
durante o jogo;
Grando (1995), define ainda uma relação para o jogo e o conhecimento
matemático que pode-se adquirir:
Jogar
“Fazer Matemática”
Aprender Matemática
¡¢
Assim como no ensino tradicional, a linguagem Matemática é forte no ensino
através de jogos, pois no momento que os alunos jogam, discutem estratégias e
desenvolvem de forma evolutiva a Linguagem Matemática que muitas vezes é
deficitária na Educação Básica.
Vygotsky (1987) considera a “palavra” como parte importante para a formação de
conceitos pelo indivíduo durante o processo de aprendizagem, assim aponta que o
desenvolvimento de conceitos científicos pressupõe o desenvolvimento de muitas outras
funções intelectuais que também surgem da palavra: atenção, memória lógica,
abstração, capacidade de comparar e de diferenciar.
Nos jogos desenvolvidos pôde-se perceber uma mudança de alguns alunos ao
discutirem suas jogadas através da língua materna e após algumas jogadas utilizavam a
Linguagem Matemática.
Para o desenvolvimento dos jogos, nesta pesquisa, alguns fatores foram
considerados: dificuldades dos alunos observadas em aulas anteriores, as dificuldades
dos professores em ensinar conteúdos da pré-álgebra de forma significativa e os
objetivos de ensino desta pesquisa (generalização e verificação de padrões, seqüências,
introdução do conceito de variável em diversas formas, valores numéricos e linguagem
matemática).
Jogo 1: Quarteto Super-trunfo
O primeiro jogo, chamado de Quarteto Super-trunfo, cuja formação do nome deuse pelo fato de mesclar regras e características de jogos tradicionais de cartas como o
Super-trunfo e o Quarteto.
Os alunos deverão ser divididos em grupos de três ou quatro jogadores.
Todas as cartas são distribuídas aos jogadores igualmente. O primeiro jogador
começa pedindo uma carta de quaisquer um dos outros três jogadores, a fim de compor
uma família completa, ou seja, cartas do mesmo tipo, por exemplo: ‘família’ dos
triângulos, letras, números naturais, números negativos, múltiplos e etc. Se o jogador
escolhido tiver a carta, este é obrigado a entregá-lá. Enquanto o primeiro jogador
continuar recebendo as cartas que pediu, ele pode continuar. Se ele não receber a carta
que pediu, a pessoa que tiver respondido “não tenho a carta” passa a jogar. O jogador
que formar mais ‘famílias’ é o ganhador.
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Foi aplicado no início de abril de 2008 e desenvolvido especialmente para esta
pesquisa de acordo com as necessidades dos alunos do 7º Ano do Ensino Fundamental
de um colégio da cidade de São Carlos e o registro desta atividade foi feito com auxílio
de um gravador de voz.
Consideramos as dificuldades apresentadas pelos alunos em compreender que a
variável pode assumir valores numéricos ou simplesmente continuar sendo
representadas por letras ou símbolos, além da dificuldade encontrada pelo professor em
apresentar este conteúdo de modo significativo sem que envolva a mecanização do
pensamento ou que o mesmo seja visto apenas quando é introduzido o conceito de
equações. E então, podemos relacionar alguns objetivos desta pesquisa: generalização e
percepção de padrões e seqüências. Para confecção dos jogos utilizamos o papelão
como material reciclável. Porém antes de confeccionar o jogo é preciso esboçar suas
regras. Como o objetivo era que os alunos juntassem ‘famílias’ do tipo: números
naturais, fracionários, negativos, dobros, metades e etc., foram montadas várias
formações de famílias, por exemplo: uma família poderia ser de números fracionários e
ao mesmo tempo ser da ‘família’ da metade, a fim de dinamizar o jogo. Além disso, a
característica principal do jogo Quarteto Super-trunfo foi: o jogador vendo as cartas que
têm e precisa, deve pedir ao outro jogador perguntando, por exemplo: “você tem uma
carta com número negativo?” e o jogador deve responder se tem ou não, se tiver deveria
entregá-la, caso contrário este deveria tomar a frente da rodada. Assim algumas
alterações e adaptações foram feitas conforme a preparação do jogo sempre com o
intuito de aprimorar os conhecimentos a serem adquiridos pelos alunos.
A avaliação no jogo deve ocorrer para que este não assuma um papel meramente
figurativo, assim esta verificou as estratégias que os alunos usaram e as dificuldades
encontradas para formar as ‘famílias’, como compreenderam e discutiram estratégias,
cabendo ao professor assumir papel de mediador, já que pode através de diálogos com
os alunos corrigir conceitos que estão sendo formados, a exemplo da fala de uma aluna:
“olha, professora, eu tenho estas cartas aqui (‘m’ e ‘4m’), mas como que eu vou achar o
‘2m’ e o ‘3m’ se falta só uma carta para completar esta ‘família’? Segundo os PCNs,
podemos classificar esta avaliação como formativa.
Sobre o desenvolvimento do jogo, podemos considerar a experiência positiva,
pelos seguintes fatores:
¬®¬¯°±²³´
Nas primeiras rodadas, os alunos estavam se adaptando ao jogo e às regras;
Alguns não haviam entendido como formar as ‘famílias’, mas os colegas do grupo
ajudaram a entender (um dos objetivos afetivos foi alcançado);
O professor da turma jogou junto com os alunos, mostrando a importância e
relevância da relação professor-aluno na metodologia de jogos;
Através dos diálogos entre os alunos podemos verificar as dificuldades e o
professor como mediador pôde acompanhar e sanar dúvidas sobre conceitos de
conjuntos numéricos, seqüências conhecidas, como números primos, provenientes de
uma Alfabetização Matemática deficitária;
Para visualizar melhor as dificuldades encontradas pelos alunos, transcrevi
algumas falas interessantes:
“Sobraram estas, o que a gente faz?”
Carta 1: +2-2
Carta 2: +1-1
Carta 3: 0
Neste caso, o mediador precisou mostrar ao aluno que estas operações têm como
resultado final igual a zero (quando o mediador perguntou qual é o resultado da
operação descrita na carta um, o aluno disse: - “Pera aí, agora eu já sei, dá tudo zero!”),
portanto poderia ser uma ‘família’ de zero, representada por operações e o número em
si. Neste caso o aluno sentiu o sucesso de poder relacionar as cartas que tinha em mãos
com a pergunta feita pelo professor-mediador.
“O 1 é uma fração 1/1, então posso fazer a família das frações, né?”
Carta 1: 1
Carta 2: ½
Carta 3: 34/34
Esta pergunta surpreendeu o professor da turma, pois no conteúdo anterior
aprendido sobre expressões, os alunos não calculavam o m.m.c quando tinha o número
um, o resultado era sempre zero.
µ¶·µ¸¹º»¼½
Contudo, durante o jogo esta relação ocorreu, portanto vejo que os alunos haviam
compreendido que 1 podia ser representado por uma fração do tipo 1/1, mas a
dificuldade estava relacionada com uma fala muito recorrente entre os professores, “se
embaixo não tem NADA, é porque é o UM e o um A GENTE NÃO PRECISA
CALCULAR”.
Ora se o um não é nada, porque então tenho que considerá-lo no cálculo do
m.m.c? E nada é igual a zero, já que aprendemos sempre a relacionar o zero com o
nada. O raciocínio dos alunos era lógico e fazia sentido neste contexto.
Depois desta análise, o professor percebeu que o erro no cálculo do m.m.c estava
em sua Linguagem Matemática e disse que ia se policiar mais para não cometer erros
deste tipo.
Uma confissão deve ser feita - antes da aplicação deste jogo, havia a insegurança,
de minha parte, em relação à participação dos alunos, mas após a entrega das cartas e as
primeiras jogadas, ficou claro que o sentimento dos alunos foi de sucesso e felicidade,
uma vez que começaram a compreender conceitos de pré-álgebra.
Em relação à generalização, a maioria dos alunos, conseguiu formar até novas
famílias (seqüências), questionando e fiscalizando o jogo do outro.
Através do desempenho dos alunos, verificamos que os objetivos desta atividade
foram atingidos. O pensamento lógico-matemático (ANTUNES, 2002) foi “ativado” e
os conteúdos aprendidos anteriormente foram revistos com sucesso.
Jogo 2: Contato do 1º grau
O segundo jogo, intitulado Contato do 1º grau foi aplicado no fim de abril de
2008.
Os alunos deverão ser divididos em duplas, cada dupla deve ter um tabuleiro, 20
fichas e dois marcadores (feijão).
Decide-se quem começa e os jogadores escolhem um dos campos A ou B. As
cartas são embaralhadas e colocadas sobre a mesa com as faces que contêm as equações
voltadas para baixo.
No início do jogo, os marcadores ficam na posição de saída, A ou B, conforme o
campo do jogador. Cada jogador, na sua vez, retira uma carta do monte, resolve a
equação e coloca o seu marcador, no seu campo, sobre o número que corresponde à raiz
(solução) da equação.
¾¿À¾ÁÂÃÄÅÆ
Cada jogador poderá avançar o seu marcador uma casa em qualquer um das
quatro direções indicadas pelas linhas que unem os números.
O jogador passa a vez de jogar quando, depois de ter retirado consecutivamente
duas cartas do monte, não conseguir movimentar o seu marcador. Vence o jogo o
jogador que posicionar primeiro o seu marcador na chegada depois de ter, pelo menos
uma vez, posicionado o seu marcador em qualquer posição do campo adversário.
E seu registro foi auxiliado por uma câmera, sendo que todas as filmagens foram
autorizadas previamente pelo diretor do colégio. (VEJA PLANO DE AULA 2).
Através de algumas falas e/ou atitudes dos alunos, faremos uma breve análise.
“Ó, nesta equação: 4 =
2x, eu passo o ‘2x’
para lá e o ‘4’ para cá
e depois resolvo?”
“Eu passo o ‘+ 15’
para lá e ele fica
negativo?” (equação:
3x + 15 = 0)
“Eu
não
consigo
resolver,
professora
você me ajuda?”
Na primeira fala, a dificuldade é em estabelecer os membros, pois em sala de aula
o professor afirmou que à esquerda do sinal de igualdade é o primeiro membro e nele só
devem estar os números acompanhados de letras e à direita da igualdade os números
sem as letras é o segundo membro. Daí a dúvida do aluno em definir quem é o primeiro
ou segundo membros (“para lá e para cá”). Já na segunda fala o aluno ainda não havia
compreendido a lógica de equilíbrio que envolve as equações, como num sistema de
balanças de dois pratos, daí quando transferiu o ‘+15’ para o segundo membro sem
“trocar” o sinal, percebeu que havia algo errado, daí quando perguntou quis apenas
confirmar a sua suspeita de resolução. E nesta última, este aluno foi quem demonstrou
maior dificuldade em relação ao conteúdo, e até então não tinha se incomodado com
isto, para jogar com seus colegas, precisava saber resolver, daí sentiu a necessidade de
saber (questão social), neste momento o professor-mediador jogou com o aluno e
através de suas jogadas e cálculo o aluno pôde observar e assimilar como resolver. Após
algumas jogadas este aluno compreendeu definitivamente com resolver as equações.
ÇÈÉÇÊËÌÍÎÏ
Considerações Finais
Podemos então, concluir que das teorias estudadas, como por exemplo a de
metodologia de jogos e sua importância, fica claro a importância que a metodologia de
jogos tem no Ensino, já que o aluno assume o papel de construtor do conhecimento, a
avaliação acontece de acordo com o desenvolvimento do raciocínio do aluno, a
ludicidade cria um ambiente agradável para o aprendizado e as relações morais e sociais
tornam-se ativas de modo natural.
Durante as atividades aplicadas esperávamos que os estudantes nos mostrassem
que realmente os podem expressar generalidades, construir e manipular expressões.
Entendemos que nossa pesquisa sobre o ensino através de jogos tem grande valia
em sala de aula e pode auxiliar os estudantes nos aspectos cognitivo, social e de
formação (aluno e professor), auxiliando-nos a compreender os processos de ensinar
“para que” e “para quem” e aprender “o que” e “para que”.
O sucesso em relação a essa construção de conhecimento e saberes ocorreu
respeitando características da teoria de jogos como metodologia - objetivos cognitivos e
afetivos, relações sociais, autonomia por parte do aluno, o aprendizado de maneira
divertida, o papel do professor passa a ser de mediador e não de transmissor de
conteúdos e estes foram apreendidos e compreendidos não pelo treinamento pela
mecanização e sim pela mobilidade e flexibilidade do raciocínio lógico.
Por fim, esperamos que esta alternativa de ensinar a Matemática, apresentada
nesta pesquisa, a Pré-Álgebra através de jogos seja utilizada com mais freqüência pelos
professores para que possa continuar com o ensino de Matemática e especificamente, no
que diz respeito aos conteúdos algébricos.
Referências
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Petrópolis, RJ: Vozes. 2002.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
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COXFORD, ARTHUR F. et al (Org.). As idéias da álgebra. Tradução: DOMINGUES,
Hygino H. São Paulo: Atual, 1995.
ÐÑÒÐÓÔÕÖ×Ø
CUNHA, Nylse Helena Silva. Brincando, aprendendo e desenvolvendo o
pensamento matemático. Petrópolis, RJ: Vozes. 2005.
GRANDO, REGINA CÉLIA. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala
de aula. Tese (Doutorado em Educação). 2000. Faculdade de Educação, Universidade
Estadual de Campinas, Campinas/SP.
GRANDO, Regina Célia. O jogo e suas possibilidades metodológicas no processo
ensino-aprendizagem da Matemática. Tese (Doutorado em Educação). 1995.
Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas/SP.
KAMII, Constance; DEVRIES, Rheta. Jogos em grupo na educação infantil:
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Paulo: Trajetória Cultural, 1991.
MOURA, Anna Regina Lanner de; SOUSA, Maria do Carmo de. O ensino de álgebra
vivenciado por professores do Ensino Fundamental: a particularidade e a singularidade
dos olhares In: Anais do VII Encontro Paulista de Educação Matemática. São Paulo:
USP, v. 1, 2004, p. 146-147.
NEVES, José Luis. Cadernos de pesquisa em Administração. v. 1, nº 3. São Paulo,
1996.
SMOLE, Kátia S.; DINIZ, Maria I.; MILANI, Estela. Cadernos do Mathema: jogos de
matemática de 6º a 9º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007.
ÙÚÛÜÝÛÞßà Ûá âá ã âßäÞÛåæÝà ßá Úá Ýçèéêëì íîïïëðîñòr
Supervisionado: análise de
propostas em cursos de Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de
Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 97885-98092-07-2)
ESTÁGIO CURRICULAR SUPERVISIONADO: ANÁLISE DE PROPOSTAS EM
CURSOS DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Iracema de Miranda OLIVEIRA – PUC/SP ([email protected]ó
Ana Lúcia MANRIQUE – PUC/SP ([email protected]ó
Resumo: Entendemos que o estágio representa um dos pilares fundamentais na formação
docente, além disso, sabemos também que devido às exigências decorrentes das atuais
Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de professores, os cursos de
Licenciatura estão reestruturando o Estágio Curricular Supervisionado (ECS). Diante
disso, decidimos aprofundar nossos estudos nessa temática. Assim, pretendemos investigar
“Como estão sendo concebidas e desenvolvidas as atividades de ECS nos cursos de
Licenciatura em Matemática, frente à atual configuração, de modo a minimizar o abismo
existente entre a teoria e a prática. Tem-se como objetivo analisar a proposta de ECS de
duas Instituições de Ensino Superior (IES) Privadas, destacando os desafios, limites e
possibilidades no processo de implantação. Desta forma, pretendemos verificar a maneira
como as regulamentações provindas dos documentos oficiais, no tocante à nova carga
horária do ECS, estão sendo implementadas uma vez que as instituições têm liberdade para
operacionalizar e cumprir os dispositivos legais. Trata-se de uma pesquisa qualitativa,
utilizando-se como procedimentos: análise do Projeto Pedagógico e ementa do ECS;
análise dos discursos dos coordenadores dos cursos e professores de Estágio; cruzamento
das informações obtidas à luz da própria legislação e da literatura do campo da formação
de professores. Este trabalho encontra-se em fase intermediária de desenvolvimento. No
entanto, os dados produzidos até o momento contêm indicadores de que: há uma crescente
preocupação por parte dos professores com relação à formação pedagógica dos futuros
professores; o Projeto Pedagógico das IES traz uma clara preocupação em se adequar às
atuais Diretrizes Curriculares Nacionais de formação de professores, bem como promover
ações que possam atender à superação da dicotomia teoria e prática. Porém, no relato dos
professores e coordenadores, notou-se uma tendência em salientar que existem problemas
e/ou dificuldades em realizar o que está proposto para o ECS no referido projeto.
Palavras-chave: Formação de Professores, Licenciatura em Matemática, Legislação
Educacional, Estágio Curricular Supervisionado.
Financiamento: CAPES/FAPESP
O
r
Supervisionado: análise de 2
ôõö÷øöùúû öü ýü þ ýúÿùö
øû úü õü ø
Introdução
Neste trabalho apresentamos alguns itens da pesquisa em andamento referente à
nossa dissertação de mestrado que tem como título preliminar “Estágio Curricular
Supervisionado: análise de propostas em cursos de Licenciatura em Matemática”. A
motivação para o desenvolvimento dessa pesquisa decorre do engajamento ao grupo de
pesquisa cadastrado no CNPq “Professor de Matemática: formação, profissão, saberes e
trabalho docente”, vinculado ao Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática da PUC-SP, sob liderança das professoras Laurizete Ferragut Passos e Ana
Lúcia Manrique. Esse grupo de pesquisa tem entre seus objetivos estudar a formação do
professor de Matemática, com ênfase nas pesquisas sobre sua prática e as relações
professor - aluno - saber matemático.
Ao longo das últimas décadas o problema da educação brasileira deixou de ser a falta
de vagas e passou a consistir na má qualidade do ensino. Devido à expansão das redes de
ensino, a preocupação passou a incidir sobre o baixo desempenho dos alunos revelados por
meio das avaliações promovidas por órgãos públicos oficiais nacionais, como o SAEB e o
ENEM, e internacionais, como o PISA.
Com isso, a atuação dos docentes passou a ser observada e avaliada pela sociedade, a
qual aponta a má formação docente como principal motivo pela baixa qualidade
educacional e pelos altos índices de evasão e repetência escolar no país.
Os cursos de formação inicial de professores, de uma maneira geral, têm sido alvo de
diversas críticas, e as Licenciaturas em Matemática não estão imunes a elas. Fato é que a
Matemática é a disciplina freqüentemente mencionada quando se trata dos resultados
insatisfatórios apresentados pelos estudantes brasileiros nas avaliações de aprendizagem
escolar.
Estas críticas constituem-se uma das grandes preocupações presentes nos debates no
âmbito educacional. Recentemente a Sociedade Brasileira de Educação Matemática –
SBEM divulgou uma lista elencando os principais problemas enfrentados nos cursos de
Licenciatura em Matemática, dentre eles destacam-se:
A predominância da visão de Matemática como disciplina neutra,
objetiva, abstrata, a-histórica e universal, sem relação com os entornos
sócio-culturais em que ela é produzida, praticada e significada.
A não incorporação nos cursos, das discussões e dos dados de pesquisa
da área da Educação Matemática; uma Prática de Ensino e um Estágio
!"##$"%&r
Supervisionado, oferecidos geralmente na parte final dos cursos,
realizados mediante práticas burocratizadas e pouco reflexivas que
dissociam teoria e prática, trazendo pouca eficácia para a formação
profissional dos alunos.
O isolamento entre escolas de formação e o distanciamento entre as
instituições de formação de professores e os sistemas de ensino da
educação básica.
A desarticulação quase que total entre os conhecimentos matemáticos e
os conhecimentos pedagógicos e entre teoria e prática.
O tratamento dos conteúdos pedagógicos descontextualizados e
desprovidos de significados para os futuros professores de Matemática,
não conseguindo, assim, conquistar os alunos para sua importância.
(2003, p. 5-6)
Tais problemas podem ser atribuídos ao modelo de formação conhecido como “3+1”
que privilegia uso de técnicas e teorias científicas na realização da atividade profissional e
que é fundamentada na “racionalidade técnica”.
Muitas das questões apontadas pelo diagnóstico da SBEM são comuns também em
praticamente todos os cursos de Licenciatura, assim também foram questões em pauta nas
discussões do Conselho Nacional de Educação (CNE), quando da elaboração das Diretrizes
Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica.
É a partir do panorama exposto acima que a sociedade avalia o trabalho dos docentes
e os responsabilizam pelo fracasso assistido na educação brasileira.
Nesse sentido, faz-se necessário pensar na prática pedagógica dos professores
considerando o cerne dessa questão: a formação inicial que esses professores recebem nas
instituições destinadas a esse fim. Isso requer repensar o processo formativo do
profissional docente a partir das novas atribuições, reconhecendo o Estágio Curricular
Supervisionado como componente essencial na formação dos futuros professores devido à
sua contribuição na formação prática dos docentes, bem como a relevância na formação do
professor crítico-reflexivo. Segundo Schön (2000), os professores, a partir da reflexão
sobre sua prática, desenvolvem diferentes formas de pensar, de compreender, de agir e de
lidar com os problemas ocorridos durante a mesma.
A SBEM (2003) ressalta que, em função das diferentes características do
conhecimento do professor, as atividades de Estágio Supervisionado desempenham papel
central nos cursos de formação docente, evidenciando que, por essa razão, ao invés de
constituírem espaços isolados, fechados em si mesmos, devem impregnar toda a formação,
em que os licenciandos vão colocando em uso os conhecimentos teóricos que aprendem, ao
'()*+),-. )/ 0/ 1 0-2,)34+. -/ (/ +56789: ;<==9><?@r
mesmo tempo em que possam mobilizar outros, de diferentes naturezas e oriundos de
diferentes fontes, nos diferentes tempos e espaços curriculares.
No momento atual, este componente curricular nos cursos de Licenciatura, de
graduação plena, de formação de professores da Escola Básica passa por profundas
modificações. Uma delas diz respeito à carga horária, que devido a Resolução do Conselho
Nacional de Educação CNE/CP nº. 02 de 19 de fevereiro de 2002, passou de 300 horas
para 400 horas, iniciando a partir da segunda metade do curso.
Entendendo que o Estágio Supervisionado representa um dos pilares fundamentais na
formação inicial dos docentes e acreditando que este pode gerar profundas reflexões aos
futuros professores, decidimos aprofundar nossos estudos nessa temática. Além disso,
sabe-se que devido às novas exigências decorrentes das atuais Diretrizes Curriculares
Nacionais para a formação de professores, os cursos de Licenciatura estão repensando e
reestruturando o Estágio Curricular Supervisionado. Com base nessas informações,
definimos nossa questão de pesquisa:
Como estão sendo concebidas e desenvolvidas as atividades de Estágio Curricular
Supervisionado em cursos de Licenciatura em Matemática, frente à atual configuração, de
modo a minimizar o abismo existente entre teoria e prática?
Desta forma, o objetivo central neste trabalho é analisar a proposta de Estágio
Curricular Supervisionado de duas Instituições de Ensino Superior (IES) Privadas,
destacando os desafios, limites e possibilidades no processo de sua implantação. Assim,
pretendemos verificar a maneira como as regulamentações provindas dos documentos
oficiais, no tocante ao Estágio Curricular Supervisionado, estão sendo implementadas uma
vez que as instituições têm liberdade para operacionalizar e cumprir os dispositivos legais.
Aportes Metodológicos
Trata-se de uma pesquisa de abordagem qualitativa em consonância com a visão de
Ludke e André (1986), que se constituirá por meio de diálogos entre documentos oficiais,
literatura referente à formação de professores e conteúdo de depoimentos de sujeitos
envolvidos nos processos analisados. Utilizamos a entrevista de natureza semi-estruturada
como método de coleta de dados.
No tocante aos processos de constituição dos cursos de licenciatura e, mais
especificamente, de Licenciatura em Matemática no Brasil, recorreremos à análise de
ABCDECFGH CI JI K JGLFCMNEH GI BI EPQRSTU VWXXTYWZ[r
documentos oficiais e à literatura para traçar uma visão panorâmica, porém contextualizada
historicamente destes processos. Além disso, analisamos o documento publicado pela
Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), no Fórum de Nacional de
Licenciatura em Matemática, realizado nos dias 23 e 24 de agosto de 2002, na Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo.
No que concerne às dimensões da formação de professores, recorreremos à literatura
nacional e internacional, principalmente, buscando identificar a partir de convergências nas
análises desta literatura, quais seriam as dimensões apresentadas atualmente como
norteadoras nos processos de formação docente.
Para o estudo dos cursos de Licenciatura em Matemática analisados, utilizamos: as
ementas de Estágio Supervisionado e os Projetos Pedagógicos das IES para análise do
conteúdo destas ementas e identificação dos referenciais teóricos adotados, posto que são
considerados fontes primárias para análise da formação inicial dos professores; o discursos
dos professores coordenadores de estágio e dos coordenadores dos cursos, para tentar
apreender aspectos importantes da constituição do curso; bem como referenciais teóricos
da área de formação de professores.
O lugar do Estágio Curricular Supervisionado na formação docente
O estágio tem por finalidade integrar os acadêmicos ao mundo do trabalho,
aperfeiçoando a qualificação profissional por meio de sua efetivação. Assim, os estágios
funcionam, dentre outras coisas, como um elo entre as instituições de ensino e o seu futuro
campo de trabalho, no caso específico da formação de professores, a Escola Básica.
Nos termos legais o Estágio Curricular Supervisionado é concebido como:
o tempo de aprendizagem que, através de um período de permanência,
alguém se demora em algum lugar ou ofício para aprender a prática do
mesmo e depois poder exercer uma profissão ou ofício. Assim o estágio
curricular supervisionado supõe uma relação pedagógica entre alguém
que já é um profissional reconhecido em um ambiente institucional de
trabalho e um aluno estagiário. Por isso é que este momento se chama
estágio curricular supervisionado. (CNE/CP 28/2001, p. 10)
Nessa dinâmica, o estagiário convive simultaneamente como mestre, com a
responsabilidade de ensinar, e como aluno, com a oportunidade de aprendizagem da
docência, essa é a chamada simetria invertida que os documentos oficiais se referem.
\]^_`^abc ^d ed f ebga^hi`c bd ]d `jklmno pqrrnsqtur
II - a coerência entre a formação oferecida e a prática esperada do futuro
professor, tendo em vista:
a) a simetria invertida, onde o preparo do professor, por ocorrer em lugar
similar àquele em que vai atuar, demanda consistência entre o que faz na
formação e o que dele se espera. (CNE/CP 01/2002, p. 2)
Os futuros professores assumem uma postura de aprendizes, devendo ser dada a eles
a oportunidade de uma reflexão contextualizada e o espaço para que eles expressem o que
sabem, pensam e fazem.
No momento da realização do estágio o professor em formação poderá interagir com
toda a complexidade inerente do cotidiano escolar, promovendo, em diversos aspectos,
uma percepção social do seu futuro campo de trabalho, uma vez que é nesse cotidiano que
os maiores desafios e as maiores dificuldades da profissão são revelados. “Um dos
primeiros impactos é o susto diante da real condição das escolas e as contradições entre o
escrito e o vivido, o dito pelos discursos oficiais e o que realmente acontece.” (PIMENTA;
LIMA, 2008, p. 103)
Em síntese, significa uma espécie de aproximação da realidade na qual o licenciando
atuará e espera-se, com isso, que o aluno tenha a opção de incorporar atitudes práticas e
adquirir uma visão crítica de sua área de atuação profissional. A esse respeito Pimenta e
Lima (2008) ressaltam:
A aproximação à realidade só tem sentido quando tem conotação de
envolvimento, de intencionalidade, pois, a maioria dos estágios
burocratizados, carregados de fichas de observação, é míope, o que
aponta para a necessidade de um aprofundamento conceitual do estágio e
das atividades que nele se realizam. É preciso que os professores
orientadores de estágio procedam, no coletivo, junto a seus pares e
alunos, a essa aproximação da realidade, para analisá-la e questioná-la
criticamente, à luz de teorias. (p. 45)
Outro aspecto do currículo, imprescindível na formação do futuro docente, é a
oportunidade de estabelecer os nexos entre os conhecimentos teóricos adquiridos durante o
processo de formação acadêmica e a realidade na qual o ensino ocorre, consolidando a
relação teoria-prática num processo onde ambas se articulam e se complementam. Nesse
sentido, Piconez (1991, p. 22) destaca que:
O espaço do estágio é o eixo que pode articular a integração teoria-prática
entre os conteúdos da Parte Diversificada e o Núcleo Comum do curso de
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formação de professores e o reconhecimento da realidade da sala de aula
da escola pública.
E é exatamente no momento da realização do estágio que esse futuro profissional
toma o campo de atuação como objeto de estudo, de investigação, de análise e de
interpretação crítica à luz dos conhecimentos teóricos adquiridos no decorrer do curso.
Sobre a inter-relação universidade e escola, Tardif (2002, p. 295) afirma que:
Ao transitar da universidade para a escola e desta para a universidade, os
estagiários podem tecer uma rede de relações, conhecimentos e
aprendizagens, não com o objetivo de copiar, de criticar apenas os
modelos, mas no sentido de compreender a realidade para ultrapassá-la.
Aprender com os professores de profissão como é o ensino, como é
ensinar, é o desafio a ser aprendido/ensinado no decorrer dos cursos de
formação e no estágio.
É neste momento de inserção no campo da prática profissional que os saberes da
ação
docente
são
confrontados,
constituídos,
mobilizados,
ressignificados
e
contextualizados. O estágio curricular constitui-se, portanto, em uma oportunidade para
que o professor em formação aprimore as habilidades específicas da sua formação
construindo novos saberes necessários à ação docente.
Conforme Tardif (2002), o saber docente é um saber plural e heterogêneo, posto que
é constituído por uma amálgama de saberes profissionais, disciplinares, curriculares e
experienciais. Esses saberes são oriundos de diferentes fontes e constantemente
mobilizados nas interações diárias em sala de aula, adquirindo significados em função do
contexto em que se realiza a ação docente.
Para Tardif (2002), os professores adquirem os saberes experienciais no decorrer de
seu trabalho cotidiano e no conhecimento do seu meio, ou seja, os saberes práticos que vão
se constituindo as margens do processo instrucional. Segundo ele, tais saberes nascem da
experiência e são validados por ela. Nesse sentido o ato de ensinar está diretamente ligado
com o ato de produzir conhecimentos.
Tendo em vista que é no contexto da sala de aula, da escola, que a práxis acontece, o
Estágio Supervisionado concebido como prática refletida configura-se como um espaço
privilegiado que possibilita ao acadêmico, a partir do contato com a experiência de
profissionais de sua área, bem como a aproximação da realidade vivenciada no cotidiano
escolar, materializar a práxis docente. Pimenta e Lima (2008, p. 35) afirmam que:
¡¢£ ¤¥¦¦¢§¥¨©r
Muitas vezes nossos alunos aprendem conosco nos observando, imitando,
mas também elaborando seu próprio modo de ser a partir da análise
crítica do nosso modo de ser. Nesse processo escolhem, separam aquilo
que consideram adequado, acrescentam novos modos, adaptando-se aos
contextos nos quais se encontram. Para isso, lançam mão de suas
experiências e dos saberes que adquirem.
Dessa forma, o estágio transforma-se em um instrumento de contribuição para a
formação do perfil profissional do futuro professor. Conforme Pimenta e Lima (2008), a
consolidação das opções e intenções da profissão é possibilitada por meio do
desenvolvimento da atividade prática de formação, sendo o estágio, por excelência, um
lugar de reflexão sobre a construção, legitimação e fortalecimento da identidade
anteriormente construída ao longo de sua trajetória como profissional do magistério.
Para a SBEM (2003), o objetivo do Estágio Curricular Supervisionado nos cursos de
Licenciatura em Matemática, em especial, é, a partir da observação e regência em salas de
aula de Matemática do Ensino Fundamental e Médio, possibilitar ao professor em
formação a articulação entre estudos teóricos e os saberes práticos promovendo uma
análise reflexiva da prática, o que requer a compreensão de estágio como investigação das
práticas pedagógicas que se efetiva na escola.
Concebendo o estágio como campo de conhecimento que se produz na interação
entre cursos de formação e campo social no qual se desenvolvem as práticas educativas, a
observação da prática do professor em serviço representa uma rica fonte de elementos da
realidade para subsidiar a discussão e reflexão entre formandos e formadores, garantindo a
produção de conhecimento para o campo educacional.
A SBEM (2003) entende que um dos objetivos dos Cursos de Licenciatura em
Matemática consiste justamente em desenvolver no profissional em formação uma atitude
investigativa frente à ação docente. Tal postura requer a elaboração de procedimentos de
pesquisa que permitam ao futuro docente analisar a prática de outros professores, explicitar
os fundamentos teóricos que orientam as suas intervenções nas situações de ensino e de
aprendizagem e sistematizar a investigação realizada por meio da construção de registros
organizados a partir de uma metodologia previamente estruturada. A esse respeito Freire
(1996, p. 43) entende que o importante é que
o aprendiz do educador assuma que o indispensável pensar certo não é
um presente dos deuses nem se acha nos guias de professores que
iluminados intelectuais escrevem desde o centro do poder, mas, pelo
ª«¬®¬¯°± ¬² ³² ´ ³°µ¯¬¶·®± °² «² ®¸¹º»¼½ ¾¿ÀÀ¼Á¿ÂÃr
contrário, o pensar certo que supere o ingênuo tem que ser produzido pelo
próprio aprendiz em comunhão com o professor formador.
Nesse sentido, Pimenta e Lima (2008) identificam o emprego da pesquisa no estágio
como estratégia ou método de formação docente. Segundo as autoras, a pesquisa no estágio
se traduz na mobilização de pesquisas que possibilitam a ampliação e análise dos contextos
onde os estágios acontecem, bem como na tradução da possibilidade de os professores em
formação desenvolverem postura e habilidades de pesquisador a partir das atividades de
estágio, por meio da elaboração de projetos que lhes permitam, simultaneamente,
compreender e problematizar as situações que observam.
Entendendo a pesquisa como produtora de conhecimento científico, bem como
articuladora de saberes, as atividades de estágio e de pesquisa sobre o cotidiano escolar
desenvolvidas nos cursos de formação de professores possibilitam a produção do
conhecimento teórico-prático necessário para qualificar os cursos de licenciatura e as
práticas docentes nas escolas. Pimenta e Lima (2008, p. 51) salientam que:
O estágio abre possibilidade para os professores orientadores proporem a
mobilização de pesquisas para ampliar a compreensão das situações
vivenciadas e observadas nas escolas, nos sistemas de ensino e nas
demais situações ou estimularem, a partir dessa vivência, a elaboração de
projetos de pesquisa a ser desenvolvido concomitantemente ou após o
período de estágio.
Desta forma, o estágio articulado à pesquisa sobre o cotidiano das atividades
pedagógicas
realizadas
em
ambiente
escolar
mostra
sua
fertilidade
para
o
desenvolvimento, nos futuros docentes, de uma postura investigativa de trabalho. Postura
essa esperada deles enquanto profissionais formados.
Considerações Provisórias
Este trabalho se encontra em fase intermediária de desenvolvimento, no entanto, os
dados produzidos até o momento contêm indicadores de que existe uma forte preocupação
por parte das IES em adequar seu projeto pedagógico às atuais Diretrizes Curriculares
Nacionais de formação de professores. Porém, no relato dos professores e coordenadores,
notou-se uma tendência em salientar que existem problemas e/ou dificuldades em realizar
o que está proposto para o estágio curricular supervisionado no projeto pedagógico desses
cursos.
ÄÅÆÇÈÆÉÊË ÆÌ ÍÌ Î ÍÊÏÉÆÐÑÈË ÊÌ ÅÌ ÈÒÓÔÕÖ× ØÙÚÚÖÛÙÜÝr
Analisando o Projeto Pedagógico dos cursos foi possível identificar uma evolução
nas propostas de reestruturação de estágio, posto que traz uma clara preocupação em
promover ações que possam atender à superação da dicotomia teoria e prática “A proposta
do Estágio Supervisionado está diretamente relacionada com a articulação entre a teoria e a
prática, priorizando o processo de reflexão e ação contínua em busca da construção do
conhecimento e da práxis pedagógica” (PROJETO PEDAGÓGICO IES-A, 2007, p. 20).
Também encontramos relatos que reforçam a articulação entre essas duas dimensões.
a minha proposta é que eles se desenvolvam, então eu discuto os
procedimentos de resolução de problemas, ou eu discuto a Teoria das
Situações com eles, faço as discussões do que tem nos parâmetros, quais
são as propostas presentes nos parâmetros e peço que eles estruturem as
aulas a partir destas discussões, e eles elaborem aulas para apresentar em
sala de aula para. (P 1)
Com relação às recomendações das Diretrizes a respeito da prática permeando todas
as disciplinas do curso, podemos observar no discurso do coordenador C1 sua visão acerca
desse aspecto:
eu acredito que todos os momentos da disciplina tem que está relacionado
com a prática e isso que eu acho que não está bom no curso (...) o que
acontece, vamos supor, a disciplina que tem 60 horas ela deveria ter 60
horas mais 10 horas de prática, mas não tem, é só as 60 horas da
disciplina.
Percebemos que, embora o Projeto Pedagógico atenda ao que está previsto na
legislação vigente, a característica estrutural do estágio apresenta-se da mesma forma
desde sua introdução nos cursos de formação de professores, na década de 30, realizado
mediante atividades de observação, participação e regência de aulas. Além disso,
verificamos por meio do discurso do coordenador C1 uma incompatibilidade entre o
currículo prescrito e o realizado.
de acordo com que as diretrizes recomendam que são as 400 horas
obrigatoriamente serem distribuídas a partir da segunda metade do curso,
então o que nós fizemos pegamos 150 , 150 e 100 horas. O estágio fica
aquilo que sempre foi na vida não temos o professor específico para
orientar o estágio e dar conta disto.
Pela própria definição de o estágio ser supervisionado infere-se que existe uma
supervisão na realização dessa prática curricular. Mas, normalmente, o que se vê como
Þßàáâàãäå àæ çæ è çäéãàêëâå äæ ßæ âìíîïðñ òóôôðõóö÷r
supervisão limita-se a reuniões em horário normal de aula. As atividades de estágio
supervisionado acontecem em escolas de educação básica, no entanto sua supervisão nesse
espaço acaba sendo inviabilizada, uma vez que não há previsão de horas/aula específicas
para os professores efetivarem as atividades de supervisão na escola campo de estágio.
Geralmente o estágio é realizado de forma burocrática, na qual apenas os papéis são
supervisionados, intensificando o fato de serem corretamente preenchidos, como
encontramos na fala de um dos coordenadores:
Temos um professor que é orientador que recolhe estágio de todo mundo
e temos um coordenador que não é da Matemática que coordena estágio
da faculdade. Então esse professor que orienta estágio para todo mundo
orienta mais o quê: orienta mais a parte burocrática da coisa como: qual a
ficha que tem que preencher o que pode não pode rasura não rasura, etc.,
mas não tem o momento de discussão a respeito do estágio isto
infelizmente não tem, é uma crítica que não só o nosso curso como a
grande maioria das instituições particulares recebe, por que enquanto o
governo não colocar que é obrigado estar ali, ter um professor cuidando
de dez alunos, vinte alunos no máximo e ganhando para isso nem uma
faculdade vai por (C1).
Notamos em relatos que existe uma crescente preocupação por parte dos professores
de Matemática com relação aos saberes e a formação pedagógica dos futuros professores.
Não tem que saber só Prática ou tem que saber só conteúdo da Educação,
não, ele tem que ter um sólido conhecimento de Matemática, ele tem que
estar atualizado com as teorias da Educação Matemática, tem que estar
sintonizado com as metodologias de ensino, tem que participar de
congressos na área de Educação Matemática. (P2)
Ao que parece, existe um consenso entre os coordenadores e professores
entrevistados ao alegarem que a pobreza cultural da clientela, a distribuição da carga
horária das disciplinas, bem como o calendário reduzido e a estrutura semestral do curso
têm dificultado o fornecimento de uma formação desejável para os futuros professores.
Então o que nós temos aqui, um curso de 3 anos, semestral, ou seja, os
alunos pagam 12 e levam 6, por que um curso semestral, realmente,
verdadeiramente, você dá 3 meses de aula no primeiro semestre, ai eles
entram em prova, exame, sub, 2ª época, tudo o que eles tem direito e mais
um pouco, ai eles voltam em agosto com clima de inicio de ano, né? para
tudo começar outra vez, com alguns novos professores e novas
disciplinas e tal, de novo você perde um mês de aula, bom então este é
um fator terrível, outro fator, a nossa clientela é de uma pobreza cultural
enorme, nós temos gente muito boa, gente muito interessada, mais
øùúûüúýþÿ úO
O þýúüÿ þO ùO ü
r Supervisionado: análise de
culturalmente pobre, com uma formação precária quando eles estão
chegando agora, ou são pessoas que pararam de estudar a muito tempo,
fizeram supletivo. (P1)
Bom o aluno daqui é um aluno que tem muito pouco em termos de
conhecimento específico da Matemática, muito pouco em termos de
cultura de uma forma geral, não sabe escrever direito, não sabe se
comunicar direito tem assim muitos problemas de conhecimentos
específicos de aprendizagem e muito pouco tempo para estudar, então
isso daí acaba impossibilitando que ele se desenvolva e torne realmente
um professor nesse período de três anos. Ele acaba tendo uma visão do
que é ser um professor de matemática, e ele sai daqui com essa visão.
(P2)
Conforme a declaração desse coordenador, percebemos que a falta de uma política de
valorização do magistério dificulta o acompanhamento e a avaliação do Estágio.
Notamos também relatos que demonstram a existência de uma crescente
preocupação por parte dos professores de Matemática com relação aos saberes e a
formação pedagógica dos futuros professores.
eu estava comentando com ela da minha intenção, da gente mandar uma
cartinha para o professor (...) e que ele poderia dizer que assunto ele
gostaria que o aluno desenvolvesse na aula dele, então o aluno traria para
cá, elaboraria, eu faria revisão, discussão com ele para aplicar, e então o
professor daria um retorno deste trabalho.(P1)
Referências
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28/2001. Diário Oficial da União de 18/1/2002, Seção 1, p. 31. Disponível em:
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BýþúùO ü
O ü
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1. 18 de fev. de 2002. Diário Oficial da União, Brasília, 9 de abril de 2002. Seção 1, p. 31.
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13
J4546789: ;< =< >?@ACDEGHC ICHKACL IEMKINMPQCL<
Anais do IX Encontro
Eixo-temático 8: Tecnologias de Informação e Comunicação
EXPLORANDO MODELOS MATEMÁTICOS
R
Sueli Liberatti JAVARONI – FC/UNESP, Bauru ([email protected]
Resumo: Este artigo tem por objetivo apresentar resultados e discussões acerca da
proposta de introdução ao ensino de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) por meio
da abordagem qualitativa de modelos matemáticos auxiliada pelas Tecnologias de
Informação e Comunicação (TIC). Os dados analisados foram obtidos em um curso de
introdução à EDO ministrado para alunos do curso de Matemática. Três duplas e um
trio de alunos desenvolveram as atividades propostas e toda a discussão ao investigar os
modelos matemáticos foi registrada através do software Camtasia que captura as ações
realizadas no computador, as imagens e as falas dos alunos, gerando vídeos-clipes. Os
alunos investigaram alguns modelos matemáticos além de atividades exploratórias de
equações diferenciais ordinárias em geral, utilizando-se do software geométrico Winplot
e do algébrico Maple, além de planilha de cálculo Excel. A ênfase da abordagem
qualitativa dos modelos matemáticos consiste na análise e interpretação dos campos de
direções das equações diferenciais ordinárias e sua importância no estudo e
interpretação de suas soluções. Por acreditar que a produção dos alunos, ao estudarem
conceitos matemáticos, em particular conceitos de equações diferenciais ordinárias, se
dá mediada pelas mídias informáticas, analisou-se as discussões e os encaminhamentos
que os alunos elaboraram nas atividades propostas, exploradas com os softwares,
constituindo-se assim em uma pesquisa qualitativa. Propõe-se como uma possibilidade
ao ensino de EDO, a inserção da abordagem qualitativa, por meio do conceito dos
campos de direções explorado com softwares geométricos, algébricos e planilha
eletrônica, juntamente com a abordagem algébrica, com o objetivo de propiciar ao aluno
uma aprendizagem significativa acerca dos modelos matemáticos e suas soluções.
Palavras-chave: Ensino de EDO, Abordagens Geométrica e Algébrica, Visualização,
Conhecimento.
Introdução
Um modelo matemático de um fenômeno ou de uma situação é um conjunto de
símbolos e relações matemáticas que o representam. Assim, Modelagem Matemática
pode ser definida como o processo dinâmico utilizado para a elaboração e validação de
modelos matemáticos e tem como um dos seus objetivos principais a possibilidade de
previsão de tendências acerca do fenômeno estudado (BASSANEZI, 2002).
Vários dos princípios, ou leis, que descrevem o comportamento do mundo físico
são proporções, ou relações, envolvendo a taxa segundo a qual determinados fenômenos
acontecem. Ao modelar esses fenômenos freqüentemente se obtêm equações que
STUTVWXY, S. L. Explorando Modelos Matemáticos. Anais do IX Encontro Paulista
(ISBN 978-85-98092-07-2).
envolvem as variações das quantidades (variáveis) presentes e consideradas essenciais
na situação analisada. Assim, as leis que descrevem tal fenômeno podem ser
representadas por equações de variações. Quando essas variações são instantâneas e o
fenômeno se desenvolve continuamente, as equações são denominadas equações
diferenciais.
Machado (1988, p. 153) afirma que:
De maneira geral, uma equação diferencial é uma pergunta do tipo:
“Qual a função cuja derivada satisfaz a seguinte relação”? Ou seja,
uma equação diferencial é uma equação (no sentido de igualdade
envolvendo uma incógnita) onde a incógnita é uma função, sendo que
as informações disponíveis para a determinação da função
desconhecida envolvem sua derivada.
Quando determinamos a solução de uma dada equação, procuramos identificar um
ou mais valores reais que satisfaçam essa equação. Porém, quando queremos “resolver”
uma EDO estamos “construindo” uma função que venha a satisfazer essa equação
diferencial.
A disciplina de EDO nem sempre consta na grade curricular, como matéria
obrigatória, nos cursos de Licenciatura em Matemática e, em geral, quando ela compõe
o quadro de disciplinas do curso, é tratada com um enfoque quase que estritamente
algébrico, levando os alunos a se preocuparem exclusivamente com os métodos de
busca de soluções, esquecendo do objetivo maior que seria entender o processo que
gerou determinada equação diferencial, bem como interpretar suas soluções com relação
ao fenômeno que ela descreve. Como afirma Hubbard (apud HABRE, 2000), “mesmo
quando as soluções podem ser escritas de uma forma elementar, a procura por fórmulas
freqüentemente oculta a questão central: como as soluções se comportam?”.
Kallaher (1999) afirma que nas últimas décadas têm ocorrido, muito
provavelmente por conta do desenvolvimento tecnológico, tendências de propostas de
mudanças para o ensino de EDO. Segundo ele, seu ensino poderia ser tomado de um
ponto de vista qualitativo, ou seja, analisar e investigar as equações diferenciais
ordinárias com uma abordagem geométrica, enfatizando o desenvolvimento dos
processos que as geraram, além da procura pelos métodos de resolução das soluções
analíticas. Antes do advento das TIC, mais especificamente do computador, a
abordagem geométrica seria menos atrativa devido às dificuldades de exploração e
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Z[\[]^_`, S. L. Explorando Modelos Matemáticos. Anais do IX Encontro Paulista
(ISBN 978-85-98092-07-2).
visualização, fato que hoje se torna favorável com os recursos disponíveis nos softwares
algébricos e/ou geométricos.
Diante desses fatos, acredito que o processo de formulação dos modelos e a
interpretação das soluções ou do comportamento das soluções são tão importantes
quanto às técnicas de resolução das equações diferenciais ordinárias e que este aspecto
deve ser trabalhado para que os alunos desenvolvam capacidades de análise e
interpretação.
1.
A DISCIPLINA DE EDO
Em cursos como Biologia, Física, Ecologia e Engenharias, o conteúdo de EDO
pode ser ministrado como seqüência do tópico “métodos de integração”, ou ainda pode
ser ministrado em uma disciplina específica de equações diferenciais. De maneira geral,
o ensino desta disciplina, nos cursos de graduação, se dá através da apresentação dos
vários métodos de resolução de tipos de equações diferenciais integráveis, com a
aplicação de listas de exercícios, as quais podem ser resolvidas pelos métodos
apresentados, tornando-o assim um ensino instrumental (MORENO; AZCÁRATE
GIMÉNEZ, 2003).
Segundo Moreno e Azcárate Gimenez (2003), pouco se tem trabalhado com o
ensino de modelagem e de aplicações. E, que esse fato se deve, basicamente por dois
motivos principais. O primeiro deles está na dificuldade conceitual da modelagem e a
necessidade de conhecimentos matemáticos, dos quais os alunos não possuem, fato esse
que, em muitas situações, leva os professores a se acomodarem com o ensino mecânico
e instrumental de métodos de resolução de equações diferenciais. O segundo motivo,
segundo os pesquisadores, consiste na concepção pessoal do professor a respeito da
Matemática Aplicada e sua posição no âmbito da Matemática. Alguns professores
estabelecem uma clara linha divisória entre a matemática pura – “matemática de
verdade”, tradicional e “de toda vida” (grifo do autor) e os conteúdos e técnicas próprias
da matemática aplicada, dando primazia à matemática pura em relação à matemática
aplicada.
Assim, nessa abordagem que privilegia os aspectos algébricos, a ênfase da
disciplina consiste na determinação da solução analítica, o que, em muitas vezes,
3
abcbdefg, S. L. Explorando Modelos Matemáticos. Anais do IX Encontro Paulista
(ISBN 978-85-98092-07-2).
minimiza o processo de modelagem matemática, bem como a interpretação e o
comportamento da solução do modelo analisado.
Em vista disso, pode-se agregar ao ensino de EDO a abordagem qualitativa, isto é,
inferir sobre o comportamento das soluções de uma equação diferencial ordinária, por
meio das interpretações geométricas destas, obtidas através dos campos de direções,
sem, necessariamente, determiná-las.
Perspectivas Teóricas
AS TIC fazem parte de nossas vidas, de nossa história e de nossa constituição.
Borba e Villarreal (2005) afirmam que nós, seres humanos, não pensamos sozinhos,
pois nosso desenvolvimento cognitivo, de certa forma, é condicionado pelas mídias ou
tecnologias da inteligência (oralidade, escrita e informática). Assim, a inteligência ou
cognição são frutos dessa coletividade, não apenas como uma justaposição ou um
agrupamento entre humanos e técnicas, mas sim como uma interação entre humanos e
as tecnologias da inteligência. O nosso funcionamento intelectual é induzido pelas
diferentes línguas e linguagens, sistemas lógicos e de signos que vieram se
desenvolvendo com as comunidades que nos precederam. Estas comunidades são, de
certo modo, partícipes de nosso pensamento. Elas “pensam em nós” e nós fazemos parte
deste universo complexo produzido por elas e, ao mesmo tempo, contribuímos para a
continuidade de seu desenvolvimento.
As técnicas de comunicação ilustraram a divisão das culturas em cada tempo,
classificadas como: oralidade primária e a escrita. Uma das principais diferenças entre
os indivíduos da cultura oral e da cultura escrita é que os primeiros caracterizam-se pela
memória viva através de relatos, da narrativa, de mitos; enquanto que o outro grupo
objetivava a memória através dos escritos. Na oralidade primária, a memória social era
transmitida pelas histórias dos mais velhos aos mais novos e pelos mitos. Com o
advento da imprensa foi aberto um espaço para uma série de descobertas, instaurando
um novo modelo cognitivo. Textos e números puderam ser comparados e compilados
levando à chamada explosão do saber da época da Renascença.
A técnica aparece novamente como agente de transformação através da
informática, presente em diversos setores da atividade humana e causando impactos na
organização social. O computador permite a velocidade na comunicação, a simulação
(através da mostração visual) e a não linearidade do texto (hipertexto).
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hijiklmn, S. L. Explorando Modelos Matemáticos. Anais do IX Encontro Paulista
(ISBN 978-85-98092-07-2).
Na era da escrita, o livro e a teoria permaneciam no horizonte do conhecimento.
Por trás da prática crítica, havia ainda uma estabilidade e unicidade entre a teoria e a
explicação correta. Hoje, as teorias, com suas verdades e com a atividade crítica, cedem
lugar aos modelos, com suas normas de eficiência e o julgamento de pertinência que
preside sua avaliação. Estes modelos não se encontram escritos no papel, mas sim
rodando em um computador, continuamente corrigidos e aperfeiçoados ao longo das
simulações. Este modelo, denominado por Lévy (1993), de modelo digital, em geral,
não é lido ou interpretado como um texto, mas sim explorado de forma interativa.
Sobre este aspecto podemos pensar nas planilhas eletrônicas como instrumentos
de simulação contábil e orçamentária nos escritórios, programas de projeto auxiliado
por computador (CAD) como instrumentos de simulação na engenharia e programas de
auxílio à tomada de decisão de um empresário na simulação de efeitos de escolhas no
meio financeiro.
No caso específico da Educação Matemática, podemos citar softwares de
construções gráficas, destacados por Lourenço (2002), tais como Slogow, Geometricks,
Geometer Sketchpad e o Cabri Géomètre, como simuladores para o ensino de
Geometria. Estes programas, entre outros, podem ser considerados como simuladores de
capacidades cognitivas humanas como a visão, a audição e o raciocínio.
Podemos dizer que a escrita estende as capacidades da memória, por esta razão ela
pode ser considerada como uma tecnologia intelectual (Lévy, 1993). Já a simulação e
visualização propiciada pela informática, além de estender a memória de trabalho,
funcionam como um módulo externo e suplementar para a faculdade de imaginar.
Procedimentos Metodológicos
Um curso de Extensão Universitária foi oferecido aos alunos do Curso de
Matemática do Instituto de Geociências e Ciências Exatas (IGCE), UNESP, campus de
Rio Claro. Este curso teve por objetivo estudar os modelos de crescimento populacional
de
Malthus,
de
crescimento
populacional
de
Verhulst,
e
da
lei
aquecimento/resfriamento, através da abordagem qualitativa das equações diferenciais
ordinárias (JAVARONI, 2007).
Para a exploração desses modelos, atividades foram propostas utilizando os
softwares Winplot, Maple, um applet e a planilha de cálculo Excel, além de lápis e
papel. Muitas vezes, em uma mesma atividade, os alunos foram levados a utilizar as
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opqprstu, S. L. Explorando Modelos Matemáticos. Anais do IX Encontro Paulista
(ISBN 978-85-98092-07-2).
várias mídias, coordená-las no sentido de analisar o que encontraram em cada uma das
situações e confrontá-las.
Com relação aos procedimentos de registros dos dados, foi utilizado, durante as
aulas do curso, o software Camtasia (desenvolvido e comercializado pela empresa
TechSmith), o qual possibilita a captura das imagens da tela do computador, das
imagens dos alunos trabalhando no computador, via webcam, bem como suas falas nas
discussões das atividades.
Os vários softwares foram integrados no desenvolvimento das atividades
efetuadas pelos alunos participantes. O processo de visualização foi um dos aspectos
importantes na análise qualitativa dos modelos matemáticos clássicos e das equações
diferenciais ordinárias analisadas. Este processo é bastante privilegiado no ambiente de
investigação propiciado pela inserção das mídias informáticas induzindo às discussões
sobre as soluções entre os participantes do grupo.
Um dos temas que surgiu, na análise dos dados, é o que se refere à supremacia do
aspecto algébrico ao geométrico observado nas discussões de algumas das duplas de
alunos em determinado episódio. Tal fato pode ter origem em experiências relacionadas
com a mídia “lápis e papel” e com o formalismo do tratamento matemático,
freqüentemente empregados nos processos de ensino e aprendizagem da Matemática, de
forma geral, em toda a graduação. Outra característica presente em alguns dos episódios
analisados é a elaboração de conjecturas realizadas pelos alunos nas discussões das
atividades. No decorrer da discussão, por vezes suas conjecturas são refutadas, outras
vezes são confirmadas. E, em muitas situações das discussões das atividades os alunos
foram levados a utilizar, em uma mesma atividade, “lápis e papel”, a planilha eletrônica
e os softwares Winplot e Maple para explicar o que estavam observando ou para
confrontar suas expectativas.
Uma característica presente em vários momentos dos episódios analisados é a não
linearidade de raciocínio dos alunos na resolução das atividades propostas. Em vários
momentos, uma determinada questão da atividade faz com que os alunos estabeleçam
relações com outros conceitos que não fazem, necessariamente, parte do assunto ali
colocado. A noção de rede de significados se apresenta apropriada para analisar esse
fato.
Desta forma, os temas que emergiram podem assim serem resumidos: processo de
visualização em atividades investigativas auxiliadas pelas mídias informáticas;
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vwxwyz{|, S. L. Explorando Modelos Matemáticos. Anais do IX Encontro Paulista
(ISBN 978-85-98092-07-2).
abordagens geométrica e algébrica com as mídias informáticas; conhecimento como
rede de significados, os quais são apresentados na seqüência.
Processo de Visualização
Arcavi (2003) afirma que a visão é um sentido central em nosso ser biológico e
sociocultural e nossa mais importante fonte de informação sobre o mundo.
Vivemos em um mundo onde a informação é, principalmente, transmitida através
de invólucros visuais e as tecnologias incentivam essa comunicação essencialmente
visual. Conseqüentemente, como seres biológicos e socioculturais, somos incentivados
e instigados a observar não somente o que está em nosso campo de visão, mas também
somos capazes de inferir sobre o que não somos capazes de “ver”, ou seja, a
visualização oferece um método de ver o despercebido.
Desta forma, a visualização pode ser caracterizada como um objeto, uma imagem,
e também como um processo, uma atividade (Bishop, 1989, p.7). A visualização no
ensino da matemática tem sido considerada como uma componente chave do raciocínio
na resolução de problemas e não somente relacionada às finalidades ilustrativas.
Assim, de acordo com Arcavi (2003):
Visualização é a habilidade, o processo e o produto de criação,
interpretação e o uso da reflexão sobre retratos, imagens, diagramas,
em nossas mentes ou no papel ou com ferramentas tecnológicas, com
a finalidade de descrever e comunicar a informação, de pensar sobre e
de desenvolver idéias previamente desconhecidas e avançar no
entendimento.
A elaboração de gráficos no tratamento de dados torna-se interessante na medida
em que ao analisá-los podemos observar características gerais e particulares desses
dados. Podemos afirmar, então, que a elaboração de gráficos, para investigar os dados,
tem a finalidade de instigar a “revelação” de características importantes destes.
A importância da visualização pode ser também analisada com relação aos
aspectos simbólicos. Pesquisadores da área de Matemática afirmam que “vêem” através
das formas simbólicas, independentemente da sua complexidade. Para outros e,
certamente para os estudantes de matemática, a visualização pode ter um papel
poderoso, complementar em três aspectos: visualização como (a) suporte e ilustração de
resultados essencialmente simbólicos, (b) um caminho possível de resolver conflitos
entre soluções simbólicas e intuições e (c) como uma maneira de ajudar a conectar com
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}~~, S. L. Explorando Modelos Matemáticos. Anais do IX Encontro Paulista
(ISBN 978-85-98092-07-2).
e recuperar os conceitos básicos, os quais podem ser facilmente encaminhados por
soluções formais, (ARCAVI, 2003).
Abordagem Algébrica e Geométrica
Borba e Villarreal (2005) afirmam que existe uma tendência de reconhecimento
da relevância da visualização no processo de aprendizagem matemática na comunidade
dos educadores matemáticos. Porém, a abordagem visual não alcança o grau de
importância que assume a abordagem algébrica nos processos de aprendizagem
matemática. Ainda, segundo Eisenberg e Dreyfus (1989) citados em Villarreal (1999),
apesar da importância da visualização ser enfatizada, esta é pouco praticada no currículo
de Matemática. Segundo esses autores, alunos talentosos e pesquisadores matemáticos
rejeitam “ver” os conceitos, abordá-los visualmente.
Este fato estaria relacionado com o modo que a Matemática é difundida pelos
professores e pesquisadores, geralmente, na forma oral e escrita. Esse processo de
difusão da matemática leva ao condicionamento do pensamento matemático que é
desenvolvido.
Nós somos ensinados a desconfiar de provas que fazem uso crucial dos
diagramas, dos gráficos e de outras formas de representação não lingüísticas e,
passamos esse desprezo para os estudantes. Entretanto, formas visuais de representação
podem ser elementos legítimos de provas matemáticas, (ARCAVI, 2003).
Os matemáticos são cientes do valor de diagramas e outros recursos visuais tanto
para o ensino quanto para pesquisa de descobertas matemáticas. Mas apesar da
importância óbvia das imagens visuais em atividades cognitivas humanas, a
representação visual permanece como um “cidadão de segunda classe” na teoria e na
prática de matemática, (BORBA; VILLARREAL, 2005; ARCAVI, 2003).
Observamos que dois tipos de abordagens surgiram no decorrer do
desenvolvimento das atividades. Por vezes os alunos, em determinadas situações,
buscavam resolver a atividade proposta explorando as representações gráficas. Em
outras situações, os alunos buscavam explorar as expressões analíticas para resolver o
que estava proposto. São estilos de abordagem com características próprias que
coexistem.
No caso de tendência à abordagem algébrica, o computador é pouco utilizado e as
contas, em geral, são efetuadas “à mão” ou mentalmente. Já no caso da visual, o
8
, S. L. Explorando Modelos Matemáticos. Anais do IX Encontro Paulista
(ISBN 978-85-98092-07-2).
computador é utilizado, em geral, para realizar os cálculos e para validar ou refutar
conjecturas.
Apesar das características separadas, não implica que as abordagens sejam
disjuntas ou exclusivas nas atividades matemáticas. Uma mesma pessoa pode utilizar a
abordagem algébrica ou a visual dependendo do problema e da mídia com a qual está
interagindo. Representações visuais e algébricas são complementares nos processos de
aprendizagem matemática (BORBA; VILLARREAL, 2005).
Borba (1995) argumenta que a mídia “lápis e papel”, que é a mais tradicional no
meio matemático, favorece a abordagem algébrica de questões matemáticas. No
entanto, a mídia informática por sua vez, privilegia abordagens em que a visualização
tem um papel fundamental.
Segundo Moreno e Azcárate Gimenez (2003), a concepção dos professores acerca
da Matemática e, em particular de equações diferenciais, é bastante formalista o que
leva a acreditar que existe uma supremacia da manipulação algébrica em relação aos
tratamentos gráfico e numérico, considerando como um princípio inquestionável da
aprendizagem significativa. E essa crença, por vezes, é passada para os alunos que
também acreditam que a abordagem algébrica é mais confiável.
Um motivo que talvez também contribua para a relevância do algébrico é que,
tradicionalmente, resolver tem sempre o significado de encontrar um valor para o
desconhecido e, em equações diferenciais, o desconhecido são funções. Portanto,
resolver uma EDO requer encontrar uma expressão para uma função desconhecida.
Porém, na proposta adotada no curso de extensão, encontrar soluções de uma EDO
significava em muitos casos, esboçar gráficos das soluções e analisá-los escrevendo
sobre seu crescimento, decrescimento, razão da variação, e seu comportamento ao longo
do tempo.
Habre (2000) pesquisou junto a alunos de um curso de EDO a abordagem
geométrica para determinar o comportamento da equação. A maioria dos alunos não
obteve sucesso nas atividades, pois não se lembravam dos métodos de resolução e,
muitos deles rejeitaram a abordagem geométrica por acreditarem no poder da
representação simbólica da função solução.
Existem alunos que pensam que ao resolver algebricamente uma EDO conseguem
obter todas as informações sobre ela. Isto reflete um erro conceitual comum sobre
funções. Para esses alunos, a definição analítica de uma função é suficiente para
9
(ISBN 978-85-98092-07-2).
conhecer tudo sobre ela e, acreditam que uma função é uma fórmula ou uma equação,
sem qualquer referência à sua representação geométrica. Habre (2003) afirma que “um
grande volume da matemática (ensino básico e universidade) é ensinado
simbolicamente, criando uma crença entre os alunos que uma abordagem gráfica não é
tão exata quanto uma simbólica”.
Devido ao maior acesso às calculadoras gráficas e computadores, o uso de
representações múltiplas tem sido extensivamente discutido, na comunidade de
educadores matemáticos. Pesquisadores têm enfatizado a importância de uma
abordagem desse tipo, uma vez que facilita a coordenação dos estudantes das
representações matemáticas estabelecidas, como tabelas, gráficos cartesianos e
expressões algébricas (BORBA e VILLARREAL, 2005, BORBA e CONFREY, 1996)
Durante o desenvolvimento das atividades propostas no curso, um aspecto
reincidente foi a utilização, pelos alunos, de várias mídias ao mesmo tempo, aspecto
que, por diversas vezes, os auxiliou na busca de validar ou refutar suas conjecturas.
Conhecimento como Rede de Significados
A imagem do conhecimento como rede tem sido reforçada pela presença crescente
das TIC no cotidiano. Segundo Machado (1995), o conhecimento era concebido como
algo passível de acumulação, ou ainda, como algo que vai sendo preenchido como um
reservatório, preexistente no ser humano, talvez inicialmente vazio. Hoje em dia, apesar
desta concepção não ser a mais aceita e defendida pela comunidade dos educadores,
expressões como apropriação ou aquisição do conhecimento ainda são utilizadas. Tais
expressões indicam a idéia do conhecimento como algo que se adquire ou que se toma
posse.
Outra maneira de se conceber o conhecimento é por meio da idéia de cadeia
cartesiana. Os elos dessa cadeia deveriam ser construídos linearmente na direção dos
conceitos mais simples para os mais elaborados. Machado (1995) afirma que essa
situação ainda se reflete nos argumentos que sustentam as retenções nos anos escolares,
bem como a idéia de pré-requisito nos cursos de graduação.
Ramal (2002) afirma que, ao invés da concepção de uma visão estruturada para se
representar o conhecimento, o saber, ou a própria sociedade, tem-se a concepção de
descentramento, que ela define como sendo uma infinidade de pontos assincrônicos que
não estão acabados, mas sim em contínua produção e/ou reprodução e negociação de
10
(ISBN 978-85-98092-07-2).
sentidos e informações, gerando assim novos discursos, em uma troca sem regras préfixadas e em constante construção.
A idéia de construção vem sendo uma palavra-chave na discussão de como se gera
o conhecimento. E, em particular, quando analisamos como se dá o ensino de equações
diferenciais, o que encontramos, de maneira geral, são receituários para a busca de
soluções algébricas com a aplicação de listas de exercícios, os quais podem ser
resolvidos pelos métodos estudados. As aplicações são deixadas no segundo plano, o
que leva os alunos a acreditarem somente na importância da busca da solução
propriamente dita, sem a preocupação com o significado desta com relação ao modelo
analisado.
Essa noção de, a partir de um determinado problema, buscar relações com
conteúdos já estudados é o que Machado (1995) apresenta como o conhecimento em
rede. Na concepção de rede de conhecimento, o autor afirma que a compreensão não
pode ser simplesmente fruto da transmissão de informações, mas deve, sim, ser fruto da
apreensão do significado do objeto do conhecimento. Essa rede é constituída por nós,
que representam conceitos. As linhas que partem deles, ligando-os a outros nós, são as
múltiplas relações que se estabelecem proporcionando a compreensão dos mesmos.
A aprendizagem deve ocorrer de forma dinâmica, significativa favorecendo o
aparecimento de um número cada vez maior de conexões (relações). Respeitar as
diferenças individuais, levar em consideração os aspectos afetivos, cognitivos e os
valores de cada um, devem ser atitudes do professor. O papel que este assume é o de
timoneiro, navegando com o aluno pela rede, estabelecendo mapas de relevância e
tecendo significados.
É importante salientar a função das metáforas na rede, elas ajudam a ir de um nó a
outro, ou seja: para aprender um conceito novo, precisamos do velho. Aquilo que dentro
de nós já está perfeitamente compreendido nos leva à apreensão daquilo que é visto pela
primeira vez.
Na pesquisa realizada, analisou-se um coletivo integrado pelos estudantes, a
autora, os softwares Excel, Maple e Winplot, o software Camtasia, “lápis e papel” e as
atividades para o estudo de alguns modelos matemáticos. Esse coletivo constituiu uma
situação particular.
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(ISBN 978-85-98092-07-2).
Então, considerando essa situação em particular, observa-se como a produção
matemática dos alunos se constitui em uma rede de significados que vai sendo tecida
por meio de um processo de pensamento caracterizado por conjecturas e expectativas
que vão sendo elaboradas, contestadas ou comprovadas em função dos dispositivos
materiais e tecnológicos disponíveis. As questões matemáticas, relacionadas ao estudo
de EDO, foram abordadas por meio das atividades propostas. Apesar dessa proposta de
curso enfatizar o estudo do desenvolvimento e os aspectos qualitativos do modelo
matemático observa-se que a abordagem algébrica está bastante presente no fazer dos
alunos e que por diversas vezes, as duas abordagens foram utilizadas, de modo
combinado, pelos alunos.
Embora o foco da pesquisa não tenha sido o estudo das concepções dos alunos
relacionadas ao conceito de derivada, elas fazem parte dos tópicos analisados, pois foi a
partir dessas concepções que muitas atividades foram desenvolvidas, já que o conceito
de campos de direções envolve o significado de derivada. Uma das dificuldades que o
estudo mostra, com relação à proposta de ensino de EDO, por meio da abordagem
qualitativa dos modelos, encontra-se nas concepções dos alunos sobre o conceito de
derivada.
Outro ponto importante que deve ser observado é o papel que o computador
assumiu no desenvolvimento das atividades. Em determinadas situações, ele pode
desempenhar um papel de facilitador das contas, em outras, ele surge como um
ampliador da memória dos alunos e, em outras situações, ainda, ele possibilita a
reorganização do pensamento dos alunos.
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®¯°±²³´
N. A; LEPRE, R. M.; ZULIANI, S. R. Q. A; GOMES, A. S. C. R;
PAGANINI, I. L. e CUNHA, L. F. A. F. Formação continuada de professores que
ensinam Ciências e Matemática na perspectiva da Psicologia do Desenvolvimento
Humano. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.
Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 8. (ISBN 978-85-98092-07-2)
FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES QUE ENSINAM CIÊNCIAS
E MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DA PSICOLOGIA DO
DESENVOLVIMENTO HUMANO
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Dr. Nelson Antônio PIROLA – UNESP, Bauru ([email protected]
Dra. Rita Melissa LEPRE – UNESP, Bauru ([email protected]
Dra. Silvia Regina Quijadas Aro ZULIANI – UNESP, Bauru ([email protected]
Ana Silvia Carvalho Ribeiro GOMES – UNESP, Bauru ([email protected]
Ivo Leonardo PAGANINI – UNESP, Bauru ([email protected]
Luís Fernando Affonso Fernandes da CUNHA – UNESP, Bauru
([email protected]
Resumo: A formação continuada de professores que ensinam ciências e matemática é o
foco central do trabalho que ora se apresenta. O projeto desenvolvido é vinculado ao
Núcleo de Ensino da Unesp – Bauru e tem como objetivo central a formação continuada
de professores de 1a. a 4a. séries de uma Escola Estadual de Educação Básica da cidade
de Bauru (SP), pautado nas teorias psicogenéticas acerca do desenvolvimento e da
aprendizagem humana. Para tanto, são realizados encontros quinzenais com a equipe de
professores, coordenadora pedagógica, diretora da escola e equipe extensionista, nos
quais são tratados temas de interesse e relevância para o grupo nas áreas de Psicologia,
Ciências e Matemática, levando em consideração a interdisciplinaridade como base para
um trabalho de formação continuada de qualidade.
Palavras-chave: Ciências,
Interdisciplinaridade.
Formação
Continuada,
Matemática,
Psicologia,
Financiamento: PROGRAD (Núcleo de Ensino)
Introdução e Justificativa
As pesquisas e projetos relacionados à educação continuada de professores têm
aumentado nos últimos anos sendo que a maioria deles é impulsionada pelo
desempenho insatisfatório dos alunos nas avaliações governamentais, como SARESP
(Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo), SAEB
(Sistema de Avaliação da Educação Básica) e Prova Brasil. A literatura especializada,
na área de Educação Matemática e de ensino de Ciências, em consonância com os
resultados dessas avaliações, mostra que uma das grandes dificuldades que os alunos da
¶·¸¹º»¼
N. A; LEPRE, R. M.; ZULIANI, S. R. Q. A; GOMES, A. S. C. R; 2
Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-7. (ISBN 978-85-98092-07-2)
escola básica encontram em Matemática e em Ciências - área de Química e Física dizem respeito aos processos de resolução de problemas que envolvem alguns
obstáculos, tais como: a obtenção da informação matemática a partir do enunciado do
problema, a escolha de estratégias de resolução, a interpretação do resultado, o uso
correto de conceitos e princípios, entre outras. Esses obstáculos têm sido objetos de
estudos e pesquisas na área do desenvolvimento e da aprendizagem no âmbito da
Psicologia Escolar e da Educação. Pesquisas sobre formação de professores mostram
que tais dificuldades também são encontradas por professores que ensinam Matemática
e Ciências e que procuram desenvolver um ensino de resolução de problemas alicerçado
em regras prontas não possibilitando aos alunos o desenvolvimento de sua criatividade
na busca de novos caminhos e estratégias para chegar à resposta de um determinado
problema. Várias pesquisas na área da Psicologia da Educação têm mostrado a
importância do trabalho dos aspectos conceituais, de procedimentos e atitudinais em
programas de educação continuada com o objetivo de proporcionar ao professor
reflexões, a partir de sua prática docente, sobre os processos cognitivos e afetivos
envolvidos na atividade de solução de problemas matemáticos e científicos.
O projeto “Formação continuada de professores que ensinam ciências e
matemática na perspectiva da Psicologia do desenvolvimento humano” é vinculado ao
Núcleo de Ensino da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, campus
Bauru. Este trabalho conta com a participação de docentes e discentes de diferentes
cursos da Faculdade de Ciências. Os docentes são lotados no Departamento de
Educação, e realizam suas pesquisas nas áreas da Psicologia do Desenvolvimento
Humano, Matemática e Ciências, e atuam como supervisores dos extensionistas do
projeto em questão. Este quadro configura o caráter de interdisciplinaridade do projeto,
no qual o desenvolvimento humano, sob a luz de diferentes reflexões e abordagens, atua
como fio condutor para a pesquisa e levantamento de dados acerca do ensino de
Ciências e Matemática.
Sendo assim, busca-se compreender a realidade concreta da instituição, a fim de
maximizar a veiculação e o aproveitamento, por parte dos participantes do projeto. A
demanda surgiu no bojo da necessidade de aprimoramento que educadores da rede
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pública apresentam, aliado à possibilidade de parcerias entre a universidade pública e o
ensino básico, no âmbito das comunidades em que a Unesp se encontra.
O projeto é realizado junto à Escola Estadual de Educação Básica Joaquim de
Michieli, localizada no município de Bauru. Tal escola foi selecionada mediante
comunicação estabelecida entre a coordenação do projeto e a direção de diferentes
instituições da região, processo no qual outras escolas demonstraram interesse em “abrir
as portas” para possíveis atividades de extensão realizada pelos estagiários e
supervisores. Tal fato tem suscitado a possibilidade de ampliar a participação em
projetos semelhantes no ano de 2009, o que viabilizaria a formação continuada de
professores de um maior número de escolas, bem como a participação de mais
graduandos neste tipo de atividade de extensão, fundamental para a comunidade e para
a formação profissional.
O projeto justifica-se por sua relevância social e cientifico - acadêmica buscando
desenvolver ações na escola e coletando dados de pesquisa, envolvendo alunos de
diferentes licenciaturas, professores universitários e equipe pedagógica da escola
participante. A justificativa para ensinar ciências e matemática é, entre outros, procurar
viabilizar a partir delas a transformação social, por meio do processo de ensino e
aprendizagem.
O objetivo central do presente projeto é a formação continuada dos professores de
1a a 4a séries da escola citada, pautado nas teorias psicogenéticas acerca do
desenvolvimento e da aprendizagem humana, com ênfase na teoria sócio-histórica de
Vigotski e na Epistemologia Genética de Piaget. Ao longo do desenvolvimento do
projeto, no ano de 2008, pretende-se discutir com professores, coordenadores
pedagógicos e direção da escola sobre a importância da educação continuada na
formação do docente que leciona ciências e matemática nas séries iniciais do ensino
fundamental, de modo que se possibilite um processo de ensino-aprendizagem de
qualidade, voltando-se para teorias do desenvolvimento e da aprendizagem, para assim
favorecer a formação de conceitos, princípios, problematizações, reflexões e ações de
problemas envolvendo os temas referidos; incluindo neste quadro os fatores afetivos e a
relação professor-aluno.
ÄÅÆÇÈÉÊ
Em função da faixa etária dos alunos, ressalta-se o caráter alfabetizador que
envolve a realidade docente dos participantes em questão. Nessa linha, o projeto
objetiva, também, analisar o desempenho dos alunos em Ciências e Matemática nas
provas do Saresp (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São
Paulo), do SAEB (Sistema de Avaliação da Educação Básica) e da Prova Brasil, sob a
ótica das teorias do desenvolvimento e da aprendizagem.
O direito constitucional das crianças brasileiras de uma Educação de qualidade,
aliado ao direito dos educadores, garantido pela LDB9394/96 em seu artigo 61, incisos I
e II, de receberem formação continuada, inclusive, mediante a capacitação em serviço,
impelem o desenvolvimento do presente projeto e reforçam o nosso compromisso com a
tríade que sustenta a Universidade Pública Brasileira: o ensino, a pesquisa e a extensão.
Objetivos
O projeto tem como objetivo proporcionar aos professores e coordenadores
pedagógicos da escola pública, educação continuada em ciências e matemática,
enfocando as teorias psicogenéticas, com ênfase na teoria sócio-histórica de Vygotsky e
na Epistemologia Genética de Piaget. Busca a construção de uma prática reflexiva e o
conhecimento crítico dos conteúdos pertinentes a uma ação docente de qualidade nos
anos iniciais do Ensino Fundamental.
O trabalho desenvolvido com os professores pretende, ainda, possibilitar um
espaço de trocas para a construção de uma consciência profissional crítica que vise a
transformação social e a formação de pessoas reflexivas e autônomas.
Os objetivos propostos visam possibilitar as seguintes análises e ações:
a) quais os saberes docentes a respeito da educação continuada e quais as relações
que os professores estabelecem entre as teorias do desenvolvimento humano e da
aprendizagem e o contexto de sala de aula – processos de resolução de problemas,
relação professor-aluno, construção de conceitos, análise dos erros cometidos pelos
alunos em situações-problema envolvendo conteúdos de Ciências e Matemática;
b) possíveis mudanças nestes saberes docentes sobre alfabetização científica e
matemática a partir do estudos e oficinas realizadas sobre os temas e
ËÌÍÎÏÐÑ
c) contribuição efetiva para a formação continuada de professores que trabalhem
com essas disciplinas.
Metodologia
O presente trabalho tem como base metodológica a pesquisa-ação-críticocolaborativa, segundo o modelo proposto por Pimenta (2005) e consiste na discussão de
temas pertinentes ao ensino de Ciências e Matemática, temas estes escolhidos pelas
próprias educadoras e auxiliares, de acordo com a demanda de sala de aula.
Segundo Thiollent (1994), a pesquisa-ação tem duplo objetivo: um prático, que
envolve a resolução de problemas e um de conhecimento, que envolve a tomada de
consciência sobre determinadas situações que seriam de difícil acesso por meio de
outros procedimentos.
Ainda segundo esse autor, os aspectos metodológicos que
caracterizam a pesquisa-ação são os seguintes: a) a situação investigada envolve uma
ampla interação entre os agentes envolvidos (no caso, membros da comunidade escolar,
estagiários e alunos); b) tal interação permite a definição dos problemas a serem
investigados e as ações concretas a serem tomadas; c) os objetivos da pesquisa são
definidos pela situação social e pelos problemas encontrados a partir dessa situação; d)
resolver ou esclarecer o problema é o objetivo maior da pesquisa-ação; e) durante o
processo deve haver o acompanhamento das decisões e ações dos atores da situação e f)
a pesquisa não se limita a uma ação, mas envolve a tomada de consciência dos agentes
envolvidos.
Para o trabalho em grupo, utilizamos os pressupostos de Bleger (1980) sobre
Grupos Operativos compactuando com o conceito de grupo enquanto um conjunto de
pessoas com um objetivo comum e que procura trabalhar como equipe, reconhecendo o
fator humano como o “instrumento de todos os instrumentos”.
São realizados encontros quinzenais com a equipe de professores, coordenadora
pedagógica, diretora da escola e equipe extensionista, nos quais são tratados temas de
interesse e relevância para o grupo, nas áreas de Psicologia, Ciências e Matemática.
Para o segundo semestre estão programados e planejados dez encontros, sendo que
continuarão a ocorrer nas instalações da referida escola. Além disso, estão também
previstas três oficinas a serem realizadas nas instalações do Departamento de Educação
ÒÓÔÕÖ×Ø
da Unesp Bauru, abrangendo temas de Matemática, Ciências e Psicologia, sempre
voltados para a educação continuada.
Resultados Parciais e Discussão dos Dados
Tendo em vista as contribuições que as pesquisas na área da Psicologia da
Educação proporcionam à formação continuada de professores que ensinam Matemática
e Ciências, a presente pesquisa, de caráter descritivo, teve como principal objetivo
investigar quais as concepções de professoras entrevistadas sobre a formação
continuada e o que elas priorizavam neste processo. Foram participantes 23 professoras
do primeiro ciclo do ensino fundamental que responderam a um questionário que
privilegiava as questões propostas nos objetivos acima citados. A análise dos dados
mostrou que a concepção de formação continuada destes sujeitos limita-se a obtenção
de subsídios para a aplicação de atividades de ensino além de proporcionar a
oportunidade de formação contínua. Em nenhuma das respostas as professoras referemse à necessidade de conhecimento dos processos de desenvolvimento e aprendizagem
dos alunos, como base para elaboração de atividades de ensino de Ciências e
Matemática mais adequadas aos estágios de desenvolvimento dos alunos. Parece-nos
que estas professoras não têm conhecimento de suas próprias estratégias de
aprendizagem e, portanto, não as relacionam com a preparação de atividades de ensino.
Na continuidade do projeto procurar-se-á, através da proposição de estratégias
diferenciadas, construir junto com estes sujeitos concepções fundamentadas
teoricamente a fim de buscar coletivamente a proposta mais adequada de formação para
o grupo.
Até o presente momento foram realizados quatro encontros com os professores
participantes e os resultados parciais do projeto, desenvolvido desde fevereiro de 2008,
são avaliados como positivos pela equipe extensionista e pelos demais envolvidos.
Por fim, concordamos com Nóvoa (1995) que “os professores têm de assumiremse como produtores de sua profissão” (p. 28), para que possam se aperfeiçoar
profissionalmente e transformar o contexto no qual intervêm.
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Referências
BLEGER, J. Grupos operativos no ensino. In: Temas de Psicologia: entrevista e
grupos. São Paulo: Martins Fontes, 1980.
BOCK, A. M. B.; FURTADO, O; TEIXEIRA, M. L. T. A Psicologia do
Desenvolvimento (Cap 6). In: Psicologias: Uma introdução ao estudo de psicologia. 10ª
ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
DE VRIES, Retha; ZAN, Betty. Estabelecendo regras e tomando decisões. In: A ética
na educação infantil: o ambiente sócio - moral na escola. Porto Alegre: Artes Médicas,
1988.
LA TAILLE, Y. Limites: três dimensões educacionais. São Paulo: Ática, 1998.
LA TAILLE, Y.; OLIVEIRA, M. K.; DANTAS, H. Piaget, Vygotsky, Wallon: teorias
psicogenéticas em discussão. São Paulo: Summus, 1992.
NÓVOA, A Os professores e sua formação. 2.ed. Lisboa: Dom Quixote, 1995.
PIAGET, J. Seis Estudos de Psicologia. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1997.
PIAGET, J. O Juízo Moral na Criança. São Paulo: Summus, 1994.
PIMENTA, S. G. Pesquisa-ação crítico-colaborativa: construindo seu significado a
partir de experiências com a formação docente. Revista Educação e Pesquisa. São
Paulo, v. 31, n.3, set/dez 2005, p. 521-539.
SERRÃO, M. e BALEEIRO, M. C. Aprendendo a ser e a conviver. 2.ed. São Paulo:
FTD, 1999.
àáâãäåæçèé áê ëê ì ãëíçâáîèé âê ïê ðê ñê òóôõö÷øó Continuada online em
Geometria para professores dos anos iniciais: princípios norteadores. Anais do IX
Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,
2008, pp. 1- 15. (ISBN 978-85-98092-07-2)
FORMAÇÃO CONTINUADA ONLINE EM GEOMETRIA PARA
PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS: PRINCÍPIOS NORTEADORES
Evandro Antonio BERTOLUCI – Faculdades Integradas de Jaú
([email protected]
Regina Maria Simões Puccinelli TANCREDI – UFSCAR/Mackenzie
([email protected]
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Resumo: Este trabalho versa sobre os princípios que nortearam o processo de
planejamento, construção e implementação de atividades formativas na modalidade de
educação online, desenvolvidas sob a forma de dois Minicursos, dos quais participaram
professores em exercício nos anos iniciais do ensino fundamental. Os Minicursos
tiveram como base a Geometria, mais especificamente alguns dos conteúdos
geométricos propostos para esse nível de escolaridade. Ambos tiveram como objetivo
geral favorecer a apropriação, por parte das professoras-alunas participantes, de
conhecimentos específicos e metodológicos sobre polígonos. Eles fizeram parte da
pesquisa de doutorado do primeiro autor, que teve um caráter de pesquisa-intervenção,
por ter sido ele responsável pelo planejamento e pela condução dos trabalhos
formativos. Tratou-se de uma pesquisa de natureza qualitativa que adotou a metodologia
construtivo-colaborativa de pesquisa e de formação continuada de professores. Essa
metodologia possibilita, entre outras coisas, estudar processos individuais e coletivos de
aprendizagem e desenvolvimento profissional de professores e priorizar a reflexão sobre
a prática docente e a ampliação da base de conhecimento para o ensino. O referencial
teórico voltou-se para a aprendizagem e desenvolvimento de professores, base de
conhecimento para o ensino de Geometria e as possibilidades formativas da Educação a
Distância (EAD). Os Minicursos foram desenvolvidos totalmente a distância, via
Internet, com a utilização do ambiente virtual de aprendizagem WebCT. Priorizamos,
neste texto, descrever e analisar o processo de planejamento dos Minicursos e a
construção das atividades geométricas implementadas. A análise desse processo pode
oferecer subsídios para outras propostas formativas que utilizem ambientes virtuais de
aprendizagem e conteúdos geométricos similares ou não aos que foram objeto de estudo
nos Minicursos.
Palavras-chave: Formação Continuada de Professores, Educação Online, Ensino de
Geometria, Anos Iniciais do Ensino Fundamental
úûüýþÿB û ý üû ü Continuada online em 2
2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Introdução
As rápidas e variadas transformações que estão ocorrendo na estrutura econômica,
social, política e cultural das sociedades contemporâneas, que caracterizam a Sociedade
do Conhecimento, evidenciam a necessidade de os indivíduos possuírem uma educação
que os habilite para o exercício pleno da cidadania e reforçam a importância de
aprendizagens ao longo da vida.
Nesse contexto, os processos educacionais, em especial aqueles desenvolvidos
pela escola, precisam ser revistos porque o modelo mais usual de ensino, baseado na
transmissão de informações pelo professor, já não é mais suficiente para a formação
integral dos estudantes. A tendência atual é a valorização de processos de construção de
conhecimentos pelos aprendizes e professores, por meio de atividades desenvolvidas em
ambientes colaborativos, físicos e/ou virtuais.
Para alcançar esse patamar educativo, entretanto, é preciso considerar que os
professores são a mola mestra das mudanças, ou seja, o trabalho docente é fundamental.
Para uma atuação adequada tendo em vista as exigências da sociedade contemporânea,
diferentes aspectos devem ser colocados em evidência pelas instâncias formadoras de
professores, tanto em programas de formação inicial como nos de formação continuada.
Considerando o desenvolvimento da informática, o crescente acesso dos
professores à Internet, a importância e a necessidade de formação continuada desses
profissionais da educação, a formação a distância via Internet se configura como um
caminho importante e promissor, ainda mais quando se concebe que a aprendizagem da
docência ocorre ao longo da vida e que os cursos de formação inicial de professores,
incluindo os de Matemática, não conseguem dotar os egressos de todos os
conhecimentos, habilidades e atitudes necessárias para a atuação.
Este trabalho se insere nesse espaço de formação contínua de professores que
ensinam Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental. Ele apresenta os
princípios que nortearam o processo de planejamento, construção e implementação de
atividades formativas desenvolvidas em dois mini-cursos, oferecidos na modalidade
online, que abordaram conteúdos geométricos propostos para esse nível de escolaridade.
Os mini-cursos foram desenvolvidos como uma seção do Portal dos Professores
da UFSCar (www.portaldosprofessores.ufscar.br)
avaliação fizeram parte da tese de doutorado do primeiro autor, orientado pela segunda
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Continuada online em 3
2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
autora. Tiveram como objetivo geral favorecer a apropriação, por parte de professores
dos anos iniciais, de conhecimentos específicos e metodológicos sobre polígonos.
Em função do foco dado ao texto serão nele apresentadas e discutidas referências
teóricas relacionadas ao ensino da Geometria na educação básica, à formação
continuada de professores e à educação a distância via Internet. A partir da problemática
discutida, apresentamos e analisamos os principais aspectos do processo de
planejamento e construção das atividades geométricas desenvolvidas durante a
implementação dos mini-cursos.
O ensino de Geometria e a Formação de Professores que Atuam na Educação
Básica
O ensino da Matemática no Brasil, em particular da Geometria, vem trazendo
preocupações aos educadores matemáticos e mesmo à população de modo geral. Entre
os fatores que contribuem para essa situação, os Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática destacam a inadequada formação dos professores (BRASIL, 1998).
Estudos voltados para a área da Geometria (PAVANELLO, 1993; LORENZATO,
1995; FONSECA et al., 2002; NACARATO; PASSOS, 2003; CRESCENTI, 2005)
identificaram sérios problemas relacionados ao seu ensino ou à sua pouca presença nos
currículos e nas práticas escolares e ao precário domínio de conhecimentos geométricos
por parte dos professores.
Para que haja um ensino adequado de Geometria, os professores deveriam possuir
uma sólida base de conhecimento geométrico (conhecimento do conteúdo específico) e
dispor de estratégias de ensino adequadas (conhecimento pedagógico do conteúdo),
acessando e transformando em ação os diferentes tipos de conhecimentos nas situações
complexas de ensino-aprendizagem que ocorrem em sala de aula (SHULMAN, 1986,
1987).
Entretanto, algumas pesquisas apontam que muitos professores dos anos iniciais,
por de vários motivos, não estão preparados para uma atuação eficaz com Matemática,
em particular Geometria. Um estudo realizado por Pavanello (2004) apontou que:
As dificuldades de professores no reconhecimento de figuras
geométricas planas, de seus elementos e propriedades, e, portanto, em
atividades de classificação, indicam que o trabalho pedagógico
realizado com eles nas diferentes instâncias de sua formação não lhes
456789:;<= 5> ?> @ 7?A;65C<= 6> D> E> F> GHIJKLMH
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permitiu elaborar devidamente seus conceitos sobre as figuras
geométricas planas. O estudo sugere ainda que as dificuldades dos
professores em relação ao tema possivelmente devem estar se
refletindo na concepção das crianças, uma vez elas limitam suas
possibilidades de abordagem do tema com seus alunos e,
consequentemente, a aprendizagem destes. Assim, parece possível
afirmar que muitas das dificuldades das crianças em relação ao tema
estudado podem estar relacionadas à atuação didática do professor,
que se limita a “cobrar” dos alunos somente o nome das figuras, sem
se preocupar com o reconhecimento de suas propriedades e
componentes, atividade esta que é importante do ponto de vista da
matemática. Parece, também, não haver uma preocupação em
trabalhar as relações entre as figuras, o que não auxilia o aluno a
progredir de um nível para outro, superior, da compreensão de
conceitos (PAVANELLO, 2004, p. 135).
Fonseca et al. (2002) analisam a formação dos professores e dão indicações de
como poderiam ser as propostas voltadas para a superação desse problema:
Se faltam aos professores conhecimentos em relação aos conteúdos da
Geometria que se lhes propõe que ensinem, cremos que esse estado
não poderá ser modificado pela via da realização de cursos de caráter
prescritivo, sejam de cunho teórico expositivo, sejam calcados na
mera execução de atividades propostas pelos formadores. Nossa
experiência com os professores tem mostrado, ao contrário, a
necessidade de um trabalho mobilizador de todos os tipos de
conhecimentos e práticas dos docentes para que a tarefa de formação
seja mais adequada (FONSECA et al., 2002, p. 118-119).
Tendo em vista o panorama ligeiramente esboçado, fica clara a necessidade de
analisar atentamente a formação docente e investir no estabelecimento de sua base de
conhecimentos para o ensino.
Para que um professor realize um trabalho adequado no que se refere ao ensino de
Geometria nos anos iniciais da educação básica, é imprescindível que sua base de
conhecimentos inclua, entre outros aspectos: o conhecimento da história da evolução
dos conceitos geométricos no decorrer dos séculos, bem como os principais obstáculos
nele envolvidos; a capacidade de transformação do conhecimento geométrico
formalizado em um conhecimento passível de ser ensinado/compreendido pelos alunos;
a compreensão de que o processo de transformação do saber científico em saber escolar
é influenciado por fatores sociais e culturais, que os saberes escolares são construídos de
forma contextualizada, com aproximações provisórias, necessárias à formação
conceitual plena (BRASIL, 2000).
NOPQRSTUVW OX YX Z QY[UPO\VW PX ]X ^X _X `abcdefa
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Considerando as referências teóricas citadas anteriormente e o interesse em
favorecer a atuação de professores que ensinam Geometria nos anos iniciais do ensino
fundamental, discutiremos, a seguir, as possibilidades e limites da EAD como
importante modalidade formativa.
A Educação a Distância e a Formação Continuada de Professores: possibilidades e
limitações
Entre os autores que têm mostrado que a Educação a Distância se apresenta como
alternativa viável/plausível para a formação continuada de professores encontra-se
Pedrosa (2003), que defende a EAD como um modelo pedagógico alternativo cujo
objetivo é oferecer o acesso à informação aos que desejam aprender. Desde que bem
direcionada e com o apoio dos meios adequados, a EAD pode contribuir para vencer as
barreiras do acesso à educação, podendo viabilizar os princípios e fins da educação
permanente dos professores.
Nessa mesma linha de raciocínio, Fagundes et al. (2004) consideram que no caso
específico do Brasil e de outros países da América Latina, com suas dimensões
territoriais, distribuição desigual de renda e população e reformas educacionais em
curso, a formação em serviço a distância pode vir a ser uma estratégia importante - no
que se refere à relação custo/benefício - para alcançar os resultados desejados em
relação à formação de professores.
Na formação continuada de professores que ensinam Matemática também se tem
lançado mão dos recursos da educação a distância. Borba e Penteado (2003), analisando
o curso de extensão a distância “Tendências em Educação Matemática”, mostraram,
entre outras coisas, que ocorreram indícios de diálogos multidirecionais e simultâneos
entre os participantes; além disso, os resultados evidenciaram a possibilidade de debates
sobre diversos temas ao mesmo tempo e o levantamento de novos temas e questões
durante as interações síncronas. Também foram percebidos os interesses dos grupos e
subgrupos, via sala de bate-papo, guiando diversas relações síncronas.
O projeto de formação continuada de professores, denominado “Construindo
Sempre Matemática”, realizado pelo Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da PUCSP no qual participaram seis mil professores da rede estadual paulista de educação
básica é outra experiência que utilizou recursos de educação a distância no formato
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semipresencial. Os principais resultados obtidos com esse projeto sugeriram a existência
de reflexões sobre a própria prática por parte dos professores-alunos; essas reflexões
foram evoluindo qualitativamente e favoreceram a identificação e interpretação, pelos
professores-alunos, das manifestações dos alunos em relação às atividades, de questões
relacionadas às aprendizagens e à proposição de outras ações que utilizassem uma
metodologia similar (ALMEIDA, 2003).
O estudo de Morgado (2003), no qual analisou, entre outras coisas, o processo de
formação a distância de um grupo de professores do ensino fundamental e médio para o
uso pedagógico de planilhas eletrônicas de cálculo, apresentou os seguintes resultados:
os participantes adquiriram conhecimentos matemáticos, computacionais e pedagógicos
durante o curso; o curso foi avaliado pelos professores como mais difícil que o esperado
e exigiu mais tempo do que o previsto; as interações ocorridas entre alunos e
coordenadora, e com os materiais elaborados, contribuíram para a aquisição de novos
conhecimentos; a participação ativa dos professores no curso foi influenciada pela
experiência em informática e pela utilização de equipamentos adequados, tanto nas
escolas como em suas casas; a falta de tempo dos professores e as mudanças ocorridas
em suas vidas profissionais influenciaram a permanência e participação nas atividades
do curso.
Por essas referências percebe-se que a utilização da EAD nos processos de
formação continuada de professores – da área específica de Matemática e também de
outras - pode se constituir em uma opção metodológica importante e com resultados
significativos. Entretanto, os resultados alcançados com o uso dessa modalidade de
ensino estão ligados aos diversos paradigmas educacionais e modelos formativos
adotados. Considerar as características das diferentes tecnologias utilizadas, o tipo de
mediação pedagógica que pode ser estabelecida com essas tecnologias, os papéis de
alunos e professores, entre outros aspectos, também é essencial para o sucesso da
formação desejada.
A formação continuada de professores na modalidade a distância pode utilizar
diferentes meios ou recursos tecnológicos, entre os quais destacamos as redes
telemáticas e os ambientes virtuais de aprendizagem. Devido às possibilidades de
interatividade em tempo real o uso dessas tecnologias potencializa o sucesso desse
modelo formativo. No entanto, o planejamento e a implementação de ações formativas a

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distância que utilizem tecnologias interativas e audiovisuais ainda representa um desafio
para os formadores.
Apesar das possibilidades oferecidas pela EAD para a formação continuada de
professores, Alonso e Alegretti (2003) alertam sobre as limitações e dificuldades que
podem surgir em propostas de formação de professores em ambientes virtuais. As
autoras apresentam as condições que consideram indispensáveis para o oferecimento de
uma educação à distância de qualidade voltada para a formação de professores:
Disponibilidade de recursos técnicos em perfeitas condições de
utilização.
Existência de um plano detalhado de execução, concebido
coletivamente pelos coordenadores e formadores, embora flexível.
Disponibilidade de material de apoio no próprio ambiente de
formação.
Motivação efetiva dos participantes inscritos no curso por estarem
convencidos de sua importância e adequação às suas necessidades.
Disciplina pessoal e autodeterminação.
Desejo de superação dos próprios limites e de autonomia.
Desenvolvimento de habilidades básicas necessárias para acessar o
programa e navegar sobre ele de forma competente para realizar as
atividades propostas (ALONSO; ALEGRETTI, 2003, p. 173).
Levando em consideração os resultados desses estudos, optamos por desenvolver
uma proposta formativa online sobre Geometria voltada para professores em exercício
nos anos iniciais do ensino fundamental. Apresentamos, a seguir, o processo de
planejamento e construção das atividades formativas implementadas junto às
professoras que participaram dos dois mini-cursos, objetos de estudo na pesquisa.
O Planejamento dos mini-cursos e a construção das atividades formativas
As ações relacionadas ao planejamento e construção das atividades dos minicursos consideraram os seguintes aspectos: a importância de se ensinar Geometria nos
anos iniciais do ensino fundamental; o conhecimento da realidade problemática em que
se encontra o ensino de Geometria na escola básica; a necessidade de se oferecer
formação continuada a professores que atuam nos anos iniciais do ensino fundamental,
considerando a área de Geometria; a possibilidade de formação continuada de
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2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
professores utilizando recursos telemáticos, mais precisamente, o ambiente virtual de
aprendizagem WebCT.
O planejamento considerou ainda, entre outros aspectos, a possibilidade de
alterações durante o processo de implementação. Essa flexibilidade foi importante para
realizar
mudanças
decorrentes
de
necessidades
indicadas
pelas
professoras
participantes, o que exigiu que o plano inicial fosse alterado com relação aos conteúdos
planejados para serem desenvolvidos.
Explicando melhor, em princípio pretendia-se desenvolver apenas um mini-curso,
incluindo todo o conteúdo de polígonos. O tempo que as professoras demandavam para
realizar as atividades exigiu uma priorização dos tópicos, o que caracterizou o minicurso 1. As participantes do primeiro mini-curso que manifestaram interesse em dar
continuidade à sua formação participaram do mini-curso 2, que abrangeu os conteúdos
não desenvolvidos na primeira fase.
O mini-curso 1 teve início em 14/03/05 e contou com 29 (vinte e nove)
professoras-alunas matriculadas. O gerenciamento eletrônico do mini-curso 1, realizado
através das ferramentas disponibilizadas pelo WebCT, possibilitou detectar, logo no
início, que das vinte e nove professoras-alunas matriculadas, duas nunca haviam
acessado o ambiente virtual e uma outra o acessou apenas no primeiro dia, sem interagir
com ninguém e tampouco realizar alguma atividade. Essas três professoras foram
consideradas desistentes e tiveram a matrícula cancelada. Portanto, para o cálculo das
estatísticas e análise dos índices, considera-se que 26 (vinte e seis) professoras-alunas
iniciaram efetivamente o mini-curso 1.
Os dados relativos às desistências do mini-curso 1 mostraram que dentre as 26
professoras-alunas que o iniciaram, 21 conseguiram concluí-lo. O mini-curso 2, que se
caracterizou como a continuação do mini-curso 1, e abordou tópicos que estavam
previstos para serem oferecidos no primeiro, teve início, portanto, com as 21
professoras-alunas que integralizaram o primeiro mini-curso. Dentre as 21 professorasalunas que iniciaram o mini-curso 2, 13 conseguiram concluí-lo.
Após as mudanças efetuadas em percurso, o mini-curso 1 abordou conteúdos
relacionados às figuras planas, conceito e classificação de polígonos, perímetro,
congruência e semelhança. Cinco atividades geométricas foram desenvolvidas entre os
meses de março a julho de 2005.
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2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
O mini-curso 2 foi realizado entre julho e dezembro de 2005, incluindo sete
atividades que abordaram mais detalhadamente "Triângulos" e "Quadriláteros". A
íntegra de todas as atividades construídas pode ser encontrada em Bertoluci (2007).
A seleção dos conteúdos trabalhados nos mini-cursos considerou principalmente
as recomendações expressas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) da área de
Matemática. Os conteúdos dos mini-cursos foram organizados de tal forma que
abrangessem os principais tópicos que poderiam ser ensinados nas quatro primeiras
séries do Ensino Fundamental, dentro do bloco de conteúdo “Espaço e Forma” do
referido documento. Também foram considerados livros didáticos, paradidáticos e
propostas de atividades matemáticas de órgãos oficiais. Evidentemente, além do
trabalho conceitual, os mini-cursos consideraram que “a seleção de conteúdos a serem
trabalhados pode se dar numa perspectiva mais ampla, ao procurar identificar não só os
conceitos, mas também os procedimentos e as atitudes a serem trabalhados em classe, o
que trará certamente um enriquecimento ao processo de ensino e aprendizagem”
(BRASIL, 2000, p. 54).
Outro aspecto importante levado em consideração durante o planejamento dos
mini-cursos foi o fato de que as professoras-alunas deles participantes poderiam estar
lecionando em quaisquer séries do ensino fundamental, na época, de 1a a 4a séries.
Assim, os conteúdos propostos pelas atividades geométricas construídas deveriam
abordar tópicos que poderiam ser estudados e posteriormente implementados por elas
em diferentes anos do ensino fundamental.
A idéia principal que norteou a elaboração das atividades foi a de que as
professoras-alunas aprenderiam e/ou aprofundariam a compreensão dos conteúdos
geométricos ao longo dos mini-cursos. Com maior segurança elas implementariam junto
a seus alunos as atividades propostas, integralmente ou com adaptações, ou construiriam
novas atividades em função de suas necessidades práticas de atuação profissional. Todas
as atividades propostas apresentaram objetivos específicos de aprendizagem e os
conceitos geométricos foram abordados em diferentes atividades. As participantes
poderiam construir gradualmente os conceitos, inclusive com a retomada de conceitos
vistos em atividades anteriores.
Uma das características que diferenciaram os mini-cursos de outros cursos em
massa, oferecidos a um grande número de pessoas espalhadas em diferentes regiões
ËÌÍÎÏÐÑÒÓÔ ÌÕ ÖÕ × ÎÖØÒÍÌÙÓÔ ÍÕ ÚÕ ÛÕ ÜÕ ÝÞßàáâãÞ
2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
geográficas, foi a metodologia utilizada. Pretendia-se um acompanhamento pessoal de
cada uma das participantes, de modo que suas dúvidas e inseguranças pudessem ser
superadas com o apoio permanente do professor. Além disso, pretendia-se que as
professoras usassem em suas classes as atividades de que participavam e fizessem
relatos circunscritos ao professor. Desta forma trabalhou-se com um número
relativamente pequeno de pessoas: 26 professoras no mini-curso 1 e 21 no mini-curso 2.
As
atividades
propostas
às
professoras-alunas
não
foram
corrigidas
automaticamente pelo ambiente virtual e não puderam ser realizadas de forma
mecânica, com o preenchimento eletrônico de alguns campos e o envio ao professorpesquisador. Houve cuidado com a construção significativa e ativa de conhecimentos de
conteúdos específicos e pedagógicos do conteúdo geométrico das participantes. Os
resultados alcançados com a adoção dessa metodologia evidenciaram importantes
ganhos de aprendizagens – conceituais e pedagógicas/didáticas do conteúdo geométrico.
A metodologia de trabalho utilizou interações síncronas e assíncronas entre todos
os participantes. Tanto o professor-pesquisador como as professoras-alunas tiveram
inúmeras oportunidades para o estabelecimento de contatos virtuais pelo ambiente de
aprendizagem WebCT. Mesmo estando espalhados fisicamente em diferentes regiões
geográficas do Estado de São Paulo, os participantes dos mini-cursos deveriam
estabelecer uma comunicação intensa; essa comunicação foi intencionalmente planejada
e estimulada durante as intervenções pedagógicas para favorecer a troca de experiências
e a socialização dos conhecimentos adquiridos. As ferramentas de comunicação do
ambiente WebCT contribuíram bastante para a realização das interações planejadas.
As atividades/tarefas propostas nos mini-cursos, além de abordarem os conteúdos
geométricos que deveriam ser ensinados nas séries iniciais do Ensino Fundamental,
tiveram um direcionamento para a aplicação nas práticas pedagógicas das professorasalunas participantes. As atividades geométricas construídas e propostas nos mini-cursos
às participantes poderiam (e foram) ser utilizadas em suas atividades docentes regulares;
inicialmente as professoras-alunas deveriam resolver as atividades, encaminhar ao
professor-pesquisador para a correção, discutir aspectos conceituais e pedagógicos
relacionados a cada uma delas utilizando as ferramentas do WebCT e, em seguida,
implementar junto aos seus alunos as atividades em sua íntegra ou adaptá-las em função
do contexto de atuação.
äåæçèéêëìí åî ïî ð çïñëæåòìí æî óî ôî õî ö÷øùúûü÷
2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Os resultados das implementações das atividades deveriam ser amplamente
discutidos e divulgados em diferentes momentos dos mini-cursos. A hipótese aceita e
considerada na adoção dessa metodologia leva em conta que as professoras-alunas
poderiam ficar mais seguras e confiantes no processo de ensino de Geometria se antes
tivessem a oportunidade de realizar as atividades, discuti-las e contar com o suporte
permanente do professor-pesquisador nos momentos em que aparecessem os problemas
ou as dificuldades.
Uma característica considerada fundamental no planejamento dos mini-cursos foi
a necessidade de o professor-pesquisador “estar junto virtual" (VALENTE, 2003) e de
modo contínuo durante todo o processo de formação à distância. Esse “estar junto
virtual” deveria ser uma variável primordial durante as intervenções pedagógicas para
que a presença virtual do professor-pesquisador fosse sentida pelas participantes; como
conseqüência do “estar junto virtual”, todas as dúvidas, dificuldades, desabafos, críticas,
elogios e/ou necessidades apresentadas pelas professoras-alunas poderiam ser
prontamente ouvidas pelo formador e processadas de maneira adequada.
Em termos gerais, o processo de configuração e implementação dos mini-cursos
se mostrou adequado para a formação continuada das professoras-alunas na área da
Geometria. Os mini-cursos possibilitaram: a ampliação de conhecimentos específicos e
pedagógicos de conteúdos geométricos das professoras-alunas participantes; o
desenvolvimento de atividades com conteúdos propostos para o currículo da escola
básica; o direcionamento para a aplicação das atividades nas práticas pedagógicas da
professoras-alunas; reflexões conceituais e metodológicas sobre os conteúdos estudados
mediadas pelo professor-pesquisador.
As atividades geométricas dos mini-cursos possibilitaram explorar a observação
de figuras geométricas, experimentações, busca de propriedades comuns de classes de
figuras, dobraduras, recortes, colagem, entre outros aspectos. A diversificação de
atividades resultou em aprendizagens de conteúdos específicos de Geometria e
possibilitou a ampliação dos conhecimentos relacionados à transformação desses
conteúdos específicos em conteúdos ensináveis, ou seja, as professoras-alunas
ýþÿB þ Bÿþ
ÿ Continuada online em 12
2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
conheceram de forma mais aprofundada a Matemática Científica e utilizaram esse
conhecimento para desenvolver a Matemática Escolar (MOREIRA; DAVID, 2005).
A opção pela abordagem pedagógica do "estar junto virtual" (VALENTE, 2003)
contribuiu para o esclarecimento de dúvidas apresentadas durante o percurso, para a
superação de suas dificuldades (de conteúdos geométricos, pedagógicos e de
Informática), para o estabelecimento de reflexões, críticas e sugestões. Os resultados
observados indicaram que essa característica favoreceu significativamente o
desenvolvimento adequado das intervenções, tendo reflexos, inclusive, na permanência
e desempenho satisfatórios das participantes.
O desenvolvimento dos mini-cursos, nos moldes apresentados neste trabalho,
contribuiu de forma significativa para a ampliação da base de conhecimento das
professoras-alunas que deles participaram. Entretanto, quando se pretende ampliar o uso
da Educação a Distância no processo de formação continuada de professores, é
importante destacar alguns aspectos que precisam ser considerados pelas políticas
públicas e pelas instituições formadoras.
Se a concepção pedagógica que orienta o processo formativo a distância prioriza a
construção de conhecimentos de forma ativa, com interações virtuais constantes,
intercâmbio de experiências e conhecimentos, acompanhamentos minuciosos pelos
formadores, entre outras coisas, deve-se pensar em uma rede de pessoas, com diferentes
atribuições e competências. Os formadores devem atender a um número adequado de
participantes por turma tendo em vista o alcance dos objetivos e a qualidade desejada.
Considerando que muitos professores não dispõem de equipamentos de
informática, conexão de alta velocidade com a Internet, entre outros recursos, é
importante que seja viabilizada para uso uma rede de pólos ou núcleos com infraestrutura de apoio adequada para o desenvolvimento de todas as ações formativas.
A questão do tempo necessário à participação em atividades de formação
continuada
a
distância
pelos
professores
precisa
ser
revista
pelos
responsáveis/formuladores das políticas públicas e de cursos via Internet. Participar
adequadamente de cursos a distância com características similares às apresentadas neste
trabalho demanda um tempo relativamente alto. A falta de tempo dos professores para a
realização das atividades exerce influência na permanência nos cursos e na qualidade
dos resultados obtidos. Uma alternativa viável seria incluir na carga horária semanal de
! "# $ % & '()*+,-(
2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)
trabalho dos professores um tempo para a realização das ações formativas a distância.
Para isso seria necessário reduzir o tempo de trabalho em sala de aula, uma vez que
ampliar a jornada de trabalho é de todo inconveniente, por já ser excessiva.
Os resultados obtidos com a realização da pesquisa-intervenção mostraram
claramente que a Educação a Distância via Internet pode contribuir de forma
significativa para o processo de formação continuada de professores que ensinam
Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. É possível desenvolver cursos de
formação continuada de professores em ambientes virtuais de aprendizagem que atinjam
elevados níveis qualitativos, como os apresentados neste trabalho. Realizada com
seriedade, competência, infra-estrutura adequada, entre outros aspectos, a Educação a
Distância pode gerar resultados muitas vezes superiores aos de muitas experiências
presenciais de formação continuada de professores.
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Eixo-temático 8: Tecnologias de Informação e Comunicação
GENERALIZAÇÃO DE PADRÕES E TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E
COMUNICAÇÃO: REFLEXÕES ENTRE PÓS-GRADUANDOS EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Gerson Pastre de OLIVEIRA - PUC/SP ([email protected]
Resumo:A generalização de padrões é, segundo alguns autores, essencial para o ensino
de álgebra, o que torna as estratégias ligadas ao seu entendimento e uso extremamente
relevantes na formação e no trabalho do professor de matemática, uma vez que pode lhe
proporcionar meios para criar transposições valiosas do saber a ser ensinado aos seus
alunos. Na busca de padrões algebricamente úteis, as tecnologias de informação e
comunicação (TICs) podem ter um papel decisivo, desde que utilizadas de forma crítica
e reflexiva, e no âmbito de uma estratégia didático-pedagógica que a enxergue como
mediadora de um processo de busca por generalizações e/ou formalizações no âmbito da
álgebra. Este artigo relata uma investigação sobre estes temas, generalização de padrões
e TICs, realizada com alunos do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática da PUC/SP, tendo como base o trabalho de Zazkis e Liljedahl e com o
emprego de uma interface informatizada. As reflexões dos pós-graduandos são trazidas
ao longo do texto, subsidiando uma análise que leva em conta as dificuldades de
aprendizagem em álgebra e as possibilidades das TICs na transposição didática das
formalizações matemáticas.
Palavras-chave: Generalização de Padrões, Ensino de Álgebra, Tecnologias de
Informação e Comunicação.
Generalização de padrões e TICs
Que há de tão importante no tema ‘generalização de padrões’ no contexto da
álgebra? Para alguns autores, como Mason (1996), a expressão de generalidades está na
base do conhecimento algébrico, bem como representa um importante caminho para sua
consolidação. Além disso, existe a visão de que uma abordagem baseada em padrões é
mais adequada para introduzir o conceito de variáveis do que as equações, nas quais
aparecem como incógnitas (ENGLISH; WARREN apud ZAZKIS; LILJEDAHL, 2002,
efghigjkl mn on mpqprstuvswxy zp {szr|p} p ~pqytyias
de informação e 2
2008, pp.1-12. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
p. 382). Todavia, existem dificuldades, entre as quais a da percepção, por parte dos
estudantes, daquilo que Lee chama de “padrão algebricamente útil”, o que leva os
mesmos a permanecerem, segundo o autor, presos as suas percepções iniciais, nem
sempre válidas do ponto de vista algébrico (apud ZAZKIS; LILJEDAHL, 2002, p. 382).
As tecnologias de informação e comunicação (TICs) podem aparecer ligadas às
tarefas que tenham a generalização de padrões como base no ensino de álgebra. Claro
que não se pode pretender a inserção de quaisquer tecnologias em espaços de ensinoaprendizagem sem a crítica do uso, ela mesma permeando um projeto pedagógico e uma
estratégia que contemplem a participação de alunos e professores como figuras
principais do processo, a partir da proposta de que o foco deve ser posto nas pessoas, de
modo a promover nas mesmas novas possibilidades de interação, de aprendizado
compartilhado e colaborativo, com vistas à ampliação da autonomia (OLIVEIRA,
2007).
As ferramentas computacionais, utilizadas como auxiliares do processo de ensinoaprendizagem – portanto devidamente encaixadas na estratégia pedagógica do curso –
rendem largas oportunidades para a construção crítica do conhecimento. Não realizam o
papel do professor, não ensinam, não resolvem todos os problemas das diversas
dimensões da escola, mas podem oportunizar, no contexto da sala de aula e para além
dele, a dinâmica da experimentação (KENSKI, 2001). Além disso,
[Quando do] uso das chamadas tecnologias de informática na
educação, cresce, ainda mais, a relevância da intervenção docente. O
professor deve assumir o fundamental papel de crítico dos usos
possíveis da tecnologia, selecionando, com conhecimento de causa,
aquelas que possam contribuir efetivamente para o tipo de
aprendizado desejado para seus alunos (OLIVEIRA, 2002).
As tecnologias podem permitir a ampliação do aspecto experimental da
matemática, o que permitiria desenvolver, entre os alunos, um impulso investigativo
característico da atuação dos matemáticos (PONTE; CANAVARRO, 1997). Para
D´Ambrosio (1999) “a tecnologia, entendida como a convergência do saber [ciência] e
do fazer [técnica], e a matemática são intrínsecas à busca solidária de sobreviver e de
transcender. A geração do conhecimento matemático não pode, portanto, ser dissociada
da tecnologia disponível”.
ias
de informação e 3
2008, pp.1-12. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
O entendimento do impacto da tecnologia sobre a sociedade atual é essencial para
o aprendizado de matemática e sua aplicação em situações cotidianas. Este é o
entendimento do Ministério da Educação, no que diz respeito, por exemplo, ao ensino
médio:
Não se pode negar o impacto provocado pela tecnologia de
informação e comunicação na configuração da sociedade atual. Por
um lado, tem-se a inserção dessa tecnologia no dia-a-dia da sociedade,
a exigir indivíduos com capacitação para bem usá-la; por outro lado,
tem-se nessa mesma tecnologia um recurso que pode subsidiar o
processo de aprendizagem da Matemática. É importante contemplar
uma formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a Matemática
como ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia como
ferramenta para entender a Matemática (BRASIL, 2006, p. 87).
A relação entre tecnologias e generalização de padrões em álgebra não ocorre sem
intencionalidade, ou seja, a composição do uso de TICs neste âmbito deve ocorrer
através de uma estratégia que preveja o trabalho do professor em tarefas de
transposição, nas quais as TICs podem ter importante papel.
Este artigo relata uma investigação realizada tendo como participantes alunos de
mestrado acadêmico ligados ao Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática da PUC/SP, mais especificamente cursando a disciplina Estudos
Complementares no primeiro semestre de 2008. Um dos temas dos encontros semanais
era, justamente, a generalização de padrões, o que permitiu uma abordagem prática
envolvendo TICs, como é descrito a seguir.
A proposição de uma tarefa e sua re-significação no contexto da pós-graduação
Em seu artigo, Zazkis e Liljedahl (2002, p. 383) comentam uma tarefa relacionada
à generalização de padrões, proposta a um grupo de 36 professores estagiários do ensino
básico. Os professores foram convidados a analisar uma matriz numérica com a
seguinte configuração:
¡¢£¤ ¥¦ §¦ ¥¨©¨ª«¬®«¯°± ²¨ ³«²ª´¨µ ¨ ¶¨·©±¬±¸ias
de informação e 4
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Figura 1 – Matriz numérica apresentada aos estagiários (ZAZKIS; LILJEDAHL, 2002, p. 383)
Em seguida, em relação à matriz mencionada, foram propostos alguns
questionamentos, destinados a provocar, entre os participantes do estudo, a busca de
estratégias ligadas à generalização de padrões (Idem, Ibidem):
Como você pode continuar este padrão? (ou: Como você pode
estender este arranjo, preservando alguma regularidade?);
Suponha que você continue [o arranjo], indefinidamente. Existem
números os quais você saberia ‘com certeza’ onde colocar? Como
você decidiria?
Você pode prever onde o número 50 estaria? 150? E o 86? 87? 187?
392? 7386? 546?
Em geral, dado um número qualquer, como se poderia prever onde o
mesmo apareceria neste padrão? Explique a estratégia que você
propõe.
Em duas semanas, os participantes da pesquisa deveriam apresentar relatos
detalhados sobre seus progressos, com ênfase nas estratégias e recursos matemáticos
adotados, no lugar da simples apresentação de uma solução final. Os autores
acrescentam que
nenhum formalismo
algébrico
foi
requisitado
ou
mesmo
predeterminado quando da transmissão da atividade aos sujeitos.
Na transposição para o contexto da pós-graduação, porém, os mestrandos já
haviam lido o texto, portanto, tinham a expectativa de que, no âmbito da discussão
teórica sobre pensamento e notação algébricos, o reuso da tarefa original trouxesse a
pretensão de construir uma notação capaz de expressar questões relativas à posição de
um número natural qualquer na matriz e/ou à continuidade do arranjo com alguma
regularidade.
Sendo assim, antes de utilizar recursos de informática, os mestrandos foram
reunidos em grupos e convidados a discutir as propostas existentes no texto e de
¹º»¼½»¾¿À ÁÂ ÃÂ ÁÄÅÄÆÇÈÉÊÇËÌÍ ÎÄ ÏÇÎÆÐÄÑ Ä ÒÄÓÅÍÈÍÔias
de informação e 5
2008, pp.1-12. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
estender ou completar as mesmas, se julgassem necessário, bem como sugerir outras
estratégias relativas à generalização de padrões e a uma representação algébrica que
refletisse o pensamento algébrico envolvido. O foco da discussão não era relacionado às
alternativas para encontrar as notações algébricas equivalentes, mas as possibilidades
ligadas à educação matemática. Alguns elementos direcionadores desta discussão
foram:
A matriz pode ser continuada de diversas formas, preservando algum tipo de
regularidade. Entretanto, no ponto de vista dos autores, algumas extensões são
percebidas como mais ‘naturais’ do que outras (Ibidem, p. 384);
A matriz numérica utilizada pode ser vista como uma combinação de diversas
características generalizadoras existentes na literatura de referência – padrões lineares,
numéricos, repetitivos e visuais (Idem, Ibidem);
Figura 2 – A matriz da tarefa como padrão visual (ZAZKIS, LILJEDAHL, 2002, p. 384)
Entre as diversas alternativas discutidas, surgiram comentários relativos às
dificuldades de expressão algébrica que os professores envolvidos na pesquisa
encontraram, ainda que os mesmos fossem capazes de entender o problema
algebricamente, propondo alguns algoritmos que podiam conduzir a uma resposta
relativa à posição dos números na matriz. Os pós-graduandos afirmaram que estas
dificuldades são recorrentes entre os professores de matemática em formação, e mesmo
entre aqueles que já militam na docência há algum tempo. Estas dificuldades são ainda
maiores no que diz respeito ao trabalho do professor com seus alunos, pois os mesmos,
segundo os mestrandos, carecem de idéias e de formação para realizar a transposição
didática entre a resolução formal do problema e as estratégias de ensino-aprendizagem
eventualmente envolvidas.
ÕÖ×ØÙ×ÚÛÜ ÝÞ ßÞ Ýàáàâãäåæãçèé êà ëãêâìàí à îàïáéäéðias
de informação e 6
2008, pp.1-12. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
Este ponto de vista, aliás, é corroborado por Machado (2008, p. 8) e Resende
(2007, p. 223), que entendem que conteúdos e as práticas existentes nas licenciaturas –
portanto, na base da formação do professor de matemática – têm tido uma abordagem
de caráter acadêmico, sem o uso de transposições didáticas e de tratamentos
pedagógicos adequados ao professor em formação. Esta afirmação é feita pelos autores,
originariamente, em relação à Teoria dos Números, mas pode ser estendida ao contexto
deste trabalho. Com relação a esta afirmação, Fey, Doerr et al (2007, p. 30) discutem
que pesquisas devem ser conduzidas nesta área, com intuito de analisar as conexões
entre os cursos de formação em álgebra (para os professores) e os currículos de
matemática adotados nas escolas, de modo a entender como os conceitos algébricos
podem auxiliar os professores a desenvolver problemas mais interessantes, fornecendo
melhores explicações aos estudantes. Estas afirmações indicam a atualidade e a
necessidade de que os professores possam ter, no âmbito de seus processos de
formação, noções relativas à transposição didática desde certo saber a ensinar até o
objeto de ensino em si, de moda a, nesta trajetória, superar a exclusividade da
abordagem meramente axiomática no ensino (CHEVALLARD, 1991, p. 39; PAIS,
2008, p. 40).
Assim, passou-se a considerar a possibilidade da utilização de TICs como
mediadoras, e a pertinência das mesmas no caso específico. A discussão, neste ponto de
vista, partiu do princípio de que as tecnologias não representavam soluções para os
problemas levantados, pela sua mera inserção, mas possibilitariam um ambiente de
interações que poderia representar, para alunos e professores, uma interface importante
na comunicação do saber a ser ensinado e nas trajetórias desde a formulação do
problema até as propostas para seu entendimento e resolução (OLIVEIRA, 2007,
passim).
Além disso, seria importante entender o sentido que o uso de um programa
computacional possibilitaria edificar para o conceito matemático em questão, bem como
a relação entre o modelo envolvido na construção da proposta informatizada e a
interpretação dos resultados, e, também, a possibilidade de participação do professor no
processo de aprendizagem do aluno neste contexto informatizado, do ponto de vista da
gestão das situações de aprendizagem que surgem. Estas questões, em particular, são
ñòóôõóö÷ø ùú ûú ùüýüþÿ ÿ
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ias de informação e 7
2008, pp.1-12. (ISBN 978-85-98092-07- 2)
O levantadas
por
Balacheff
como
fundamentais
O
à
transposição
informática
(BALACHEFF, 1998).
Propostas e transposições
O entendimento do problema e a conseqüente generalização proposta por Zazkis
e
Liljedahl (2002, p. 385-386) passa pela identificação de um ciclo de repetição
produzido na aplicação de uma mesma transformação sobre cada elemento da matriz, o
que ocorre quando se toma o resto da divisão de cada número por 8.
Figura 3 – Elementos da matriz e seus restos na divisão por 8 (ZAZKIS; LILJEDAHL, 2002, p.
385)
Segundo os autores, considerando as linhas numeradas sequencialmente a partir
de 1, e as colunas variando de A a E, da esquerda para a direita, a posição de um certo
número natural na matriz, em linha e coluna, seria dada pela formalização dos seguintes
padrões:
Coluna (n) = { A, se R(n,8)=1; B, se R(n,8)=2 ou 0; C, se R(n,8)=3 ou 7; D, se
R(n,8)=4 ou 6; E, se R(n,8) = 5 }
Onde n = número natural
R(n,8) = resto de divisão de n por 8
Quadro 1 – Formalização para colunas na matriz
Linha (n) =
{ 2 x Q(n,8), se R(n,8) = 0; 2 x Q(n,8)+1, se R(n,8) = 1,2,3,4;
2 x Q(n,8)+2, se R(n,8) = 5,6,7 }
Onde n = número natural
R(n,8) = resto de divisão de n por 8
Q(n,8) = quociente da divisão de n por 8
Quadro 2 – Formalização para linhas na matriz
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!
"!#$
%& '
A transposição aqui descrita utilizou o software Microsoft Excel em duas frentes
distintas: possibilitar a construção de uma matriz, através da qual se pode visualizar
todos os elementos, considerando as linhas de 1 a 65536, e de um conjunto de funções
do programa que permitem exibir, dado um elemento, sua posição na matriz, em linha e
coluna. Adicionalmente, fez-se, também, o inverso: dados linha e coluna, mostrar qual o
número natural correspondente.
Figura 4 – Trecho da matriz construída no Microsoft Excel
A fórmula envolvida na construção da matriz é bastante simples: basta somar um
ao valor da posição anterior. Por exemplo, a fórmula da posição D8 é =E8 + 1, enquanto
que a de C11 é =B11 + 1. Uma vez construída a fórmula a partir do segundo conjunto
de 8 elementos (de A3 até E4), basta replicar as fórmulas até o final da planilha.
Q()*+, - . /0)12(1)*,+)3 *4 5,6789, :) ;)<+7=> 2,:6truída
no Microsoft Excel
Para construir a “calculadora” da posição na matriz, outras funções do aplicativo
estão envolvidas. Considerando que n está na célula N12, o resto da divisão está na
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célula N14, que o quociente da divisão de n por 8 está em N13 e que a tabela contendo
o mapeamento das colunas de acordo com o resto da divisão por 8 está entre as células
A7 e B14, as fórmulas são as seguintes:
Cálculo do resto da divisão por 8:
= MOD(N12 / 8)
Cálculo do quociente da divisão por 8:
=ARREDONDAR.PARA.BAIXO(N12/8;0)
Coluna (ver Quadro 1):
=PROCV(N14;$A$7:$B$14;2;FALSO)
Linha (ver Quadro 2):
=SE(N14=0;2*N13;SE(E(N14>=1;N14<=4);2*N13+1;2*N13+2))
Figura 5 – Matriz usada pela função PROCV do Microsoft Excel, correspondente às colunas
Uma vez construídas as fórmulas mencionadas, basta ao usuário colocar o número
natural desejado na célula N12 para que as posições sejam exibidas nas células
correspondentes à linha e coluna. Entre os pós-graduandos, diversas manipulações da
interface foram feitas, sendo que cada um foi convidado a registrar suas impressões
sobre o uso do software e a transposição realizada, levando em consideração uma
possível generalização de padrões em situações semelhantes, em sala de aula e no
contexto da formação de professores de matemática.
Análise dos resultados preliminares e algumas conclusões provisórias
Entre as impressões surgidas no debate, grande parte dos integrantes do grupo
concordou que a transposição para o contexto de TIC pode facilitar a atividade de
generalização de padrões por parte do professor, na medida em que, ao buscar uma
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lógica que atenda à construção solicitada em um problema determinado, o professor
engendra fórmulas computacionais e/ou configura ferramentas do programa que geram
uma formalização, a partir do qual é possível criar uma formalização algébrica em
forma de notação. O desafio permanece, de acordo com as asserções dos mestrandos,
em criar a ambiência para que os benefícios auferidos pelos professores possam gerar
outras possibilidades de transposição, de forma que as abordagens sejam adequadas aos
alunos. Uma possibilidade neste sentido pode ocorrer na elaboração de interfaces mais
amigáveis, as quais, ao serem manipuladas, evidenciassem as relações entre as
transformações existentes, por exemplo, ao acrescentar novos números em uma matriz
como a indicada no problema analisado neste artigo.
Além disso, as reflexões dos mestrandos sobre a tensão entre pensamento
algébrico e notação algébrica indicam, justamente, a percepção de que a transposição
(seja didática, seja informática) e a comunicação desempenham papéis fundamentais
para a construção do conhecimento algébrico.
Ao trabalharmos a situação exposta no artigo em sala de aula,
podemos experimentar algumas das dificuldades descritas pelos
autores. Inicialmente, é possível estabelecer as relações necessárias à
identificação do padrão. Os passos seguintes, porém, tornam-se mais
exigentes em termos de mobilização: criar notações e estabelecer as
relações entre os símbolos. É dessa comunicação que o texto analisado
também trata, quando considera a generalização de padrões um
terreno fértil para suscitar a tensão entre o que se pensa e o que se
expressa, sugerindo formas de administrá-la e utilizá-la com fins
educacionais (Reflexão de Aluno 1)
A tensão entre o pensamento algébrico e a notação algébrica proposta
por Zazkis e Liljedahl (2002) está exatamente na transposição sobre o
que a pessoa já possui (sua percepção de padrão) e a utilização das
relações matemáticas necessárias sobre os dados coletados nos
padrões, de forma a encontrar uma formalização algebricamente útil
ou aplicável para a sociedade (Reflexão de Aluno 2)
A investigação aqui relatada revelou, também, indícios sobre a importância da
apropriação de interfaces tecnológicas por parte dos professores, corroborando as visões
de Oliveira (2007) e Borba e Penteado (2003) sobre o tema. Evidentemente, o uso das
TICs não é o meio exclusivo pelo qual os professores podem trabalhar sua compreensão
sobre o saber a ensinar, do ponto de vista da expressão do pensamento algébrico através
de notações e generalizações típicos do ensino de matemática, nem mesmo se pode
afirmar que somente através das TICs se possa compor os objetos de ensino, através de
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transposições adequadas, quando se pretende formalizar e generalizar. Outros recursos e
estratégias podem apresentar a mesma eficiência (trabalhos em grupo, exposições,
dinâmicas). E justamente aí, talvez, se encontre as mais interessantes possibilidades,
quando do uso conjunto de diferentes abordagens, pois o foco deve ser posto na
estratégia, no trabalho didático, e não nas tecnologias em si. Para isto, entretanto, o
professor deve pensar em (e receber condições objetivas para) apropriar-se de forma
crítica e reflexiva das interfaces que lhe permitam selecionar as ferramentas mais
adequadas, tanto para seu trabalho docente, como para a construção dos próprios
conhecimentos.
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E. Grupo de estudos e desenvolvimento profissional de professores que ensinam
Matemática: algumas reflexões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação
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GRUPO DE ESTUDOS E DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL DE
PROFESSORES QUE ENSINAM MATEMÁTICA: ALGUMAS REFLEXÕES
Edda CURI - UNICSUL ([email protected]»
Resumo: Esta comunicação pretende analisar o desenvolvimento profissional de cerca
de 20 professores que pertencem a um grupo de estudos que se reúne aos sábados, a
cada quinze dias na UNICSUL, com objetivo de discutir a prática pedagógica em
Matemática. O grupo vem se reunindo desde meados de 2006 e é composto por cerca de
15 professoras generalistas, as que atuam nos anos iniciais do ensino fundamental e 6
professores licenciados em Matemática, os especialistas, alunos do Programa de
Mestrado da Universidade e que se interessavam em estudar a formação de professores
generalistas. Alguns dados vêm sendo analisados por três Mestrandos, outros vêm sendo
usados em artigos científicos e alguns relatos de experiência foram apresentados no II
SHIAM. Para produzir essa comunicação, busquei subsídios nos depoimentos dos
participantes do grupo de estudos gravados em fita cassete, nos registros e textos
escritos pelos participantes e que compõem o portfólio de formação, nas memórias dos
encontros registradas em diário de bordo dos professores especialistas. Percebe-se que o
grupo passou por uma fase inicial de consolidação de uma identidade, depois sentiu a
necessidade de discutir o currículo praticado nas aulas de Matemática. Dessas
discussões foram emergindo as necessidades formativas em relação a temas
matemáticos. A finalidade desta comunicação é refletir sobre o processo de
desenvolvimento profissional que este grupo de estudos permitiu. A análise da
formação mostra evolução em alguns aspectos do desenvolvimento profissional como o
crescimento pessoal, o surgimento de uma identidade profissional e socialização dos
trabalhos com reflexões. Revela ainda que a evolução na escrita foi menor do que a
evolução da reflexão em narrativas orais. Outro resultado significativo é a constatação
de que a parceria entre a universidade e professores do ensino fundamental é um
caminho viável para uma mudança significativa no ensino de Matemática em todos os
níveis.
Palavras-chave: Ensino de Matemática, Grupo de Estudos, Desenvolvimento
Profissional.
Introdução
Na minha pesquisa de doutorado, analisei a formação Matemática proposta por
um desses Projetos de formação, o denominado PEC-Universitário. Em 2002, esse
Projeto envolvia cerca de 7000 professores da rede estadual de ensino.
E. Grupo de estudos e desenvolvimento profissional de professores que ensinam 2
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Uma das grandes críticas aos Projetos de formação que envolvem um grande
número de professores é que esse tipo de formação é abrangente, despersonalizada e
despersonificada. Autores como Garcia (1999) enfatizam a importância de focar a
formação para as necessidades dos sujeitos, o que praticamente é impossível de fazer
quando a formação abrange muitos professores de locais diferentes, que atuam em
contextos diferentes também.
No entanto, moramos num país de “grandes números” e o Estado de São Paulo
tem cerca de 7000 escolas do ensino fundamental, o que inviabiliza praticamente “uma
formação ä conta gotas”.
Após a defesa de meu doutorado passei a atuar num Programa de Pós Graduação
de uma instituição da rede privada do Estado de São Paulo e lidero um grupo de
pesquisa que investiga diversos aspectos da formação de professores. Dentro de minhas
horas destinadas a projetos de extensão, propus a criação de um grupo de estudos
formado por professores dos anos iniciais e professores especialistas, que eram alunos
do Programa de Mestrado e que se interessavam em estudar a formação de professores
generalistas.
Esse grupo funciona desde meados de 2006 e foi criando características próprias.
Era a primeira vez que eu experimentava esse tipo de processo de formação de
professores, explorando as necessidades dos professores e construindo com eles uma
nova prática. O que me proponho é refletir sobre esse processo.
Objetivo
Nessa comunicação científica, o objetivo é analisar o processo de constituição e
desenvolvimento profissional de um grupo de estudos formado por professores
generalistas e professores especialistas que tomam por base suas necessidades no
tocante ao ensino e aprendizagem de Matemática.
A análise dessa formação pode dar pistas à criação de outros grupos de estudos
formados por professores que ousem nas suas características, desmistificando os
processos de formação via curso formatado, com propostas de conteúdos de formação
fixos, sem levar em conta as necessidades dos professores.
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Constituição do Grupo de Estudos
O grupo é formado por cerca de 15 professoras que atuam nos anos iniciais do
ensino fundamental na cidade de São Paulo, os chamados professores generalistas e
cerca de 6 alunos do Programa de Mestrado que atuam como professores de Matemática
nos últimos anos do ensino fundamental, os chamados
professores especialistas.
Embora vindos de comunidades diferentes e com interesses diversificados, esses
professores tinham em comum a prática pedagógica em Matemática.
Este grupo se reúne, a cada quinze dias, desde meados do ano do ano de 2006 e
vem se consolidando como um grupo de estudos que busca analisar sua prática
pedagógica, em função do processo de reflexão/ação que a formação permite e ampliar
seus conhecimentos para a prática.
O grupo discute o ensino de Matemática nos anos fundamentais do ensino
fundamental, reflete sobre pesquisas destinadas ao ensino de Matemática, analisa suas
reflexões, participa de discussões, reorganizando suas práticas. As professoras
generalistas, além das reflexões realizadas nos encontros dos grupos, elaboram tarefas
para seus alunos resolverem, desenvolvem essas tarefas, fazem uma análise do processo
e dos resultados e discutem essa análise e aspectos da prática no encontro subjacente
ampliando as reflexões.
Esse tipo de formação assemelha-se ao conceito de desenvolvimento profissional
desenvolvido por Garcia (1999) e por Ponte (1998). Para esses autores, o conceito de
desenvolvimento tem uma conotação de evolução, de continuidade, o que supera a
tradicional justaposição entre formação inicial e aperfeiçoamento de professores.
Procedimentos de pesquisa
Para produzir essa comunicação, busquei subsídios nos depoimentos dos
participantes do grupo de estudos gravados em fita cassete, nos registros e textos
escritos pelos participantes e que compõem o portfólio de formação, nas memórias dos
encontros registradas em diário de bordo dos professores.
Os professores generalistas constroem o portfólio de formação em que colocam
suas reflexões, suas angustias, suas dúvidas, as atividades desenvolvidas na formação,
as que eles desenvolvem com seus próprios alunos e relatórios que fazem sobre o
desenvolvimento das atividades com seus alunos. Esses portfólios são construídos ao
ÆÇÈÉÊ
longo dos encontros e sua análise posterior revela o processo de formação e de reflexão
dos professores.
Os professores especialistas escrevem seus diários de bordo com as observações
da formação e suas reflexões.
Parte desses dados vêm sendo analisados por três Mestrandos que estudam
respectivamente o ensino de geometria nos anos iniciais, o ensino das operações adição
e subtração nos anos iniciais, o uso do computador pelos professores dos anos iniciais.
Outros dados vêm sendo usados em artigos científicos. Algumas professoras
generalistas apresentaram relatos de experiência no II SHIAM.
Para esta comunicação não se pretende centrar na discussão de um conteúdo
matemático destacado pelos professores generalistas como necessidade de formação e
sim no processo de desenvolvimento profissional que este grupo de estudos permitiu.
A concepção de desenvolvimento profissional, segundo autores como Ponte
(1998) está ligada a um movimento de dentro para fora, no qual o professor ou futuro
professor se desenvolve enquanto pessoa e profissional. Outros autores como Imbernón
(1994) e Hargreaves (1998) entendem desenvolvimento profissional como processo que
envolve aspectos formais e informais, mediante os quais o professor torna-se sujeito de
sua aprendizagem, num processo dinâmico que envolve conhecimentos, reflexões,
atitudes, promovendo a individualidade do professor.
Primeira fase
É possível caracterizar uma primeira fase do grupo no decorrer dos encontros
realizados no segundo semestre do ano de 2006. Nessa fase, os dois tipos de
profissionais pouco interagiam, principalmente em relação às discussões que envolviam
a prática.
Percebeu-se uma etapa de busca de conhecimento mútuo em que cada participante
descrevia suas motivações para participação do grupo de estudos, sua prática como
professor para ensinar Matemática, seus pensamentos a respeito do “ser professor”. A
troca de experiências e reflexões sobre o ensino de Matemática nas escolas públicas
também era freqüente nos encontros da primeira fase.
Fiorentini et al (1999) chamam nossa atenção para um tipo de saber especial dos
professores denominado por vários autores como saber experiencial. Para esses autores,
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os saberes experienciais são saberes práticos, geralmente não sistematizados e muitas
vezes não socializados. Para Fiorentini et al, o saber experiencial está relacionado com
outro tipo de saber que Gautier e Tardif (2002) denominam de saber da tradição
pedagógica. Os saberes da tradição pedagógica são descritos pelos autores como os que
compreendem prescrições, tradições, regulamentações, normas que passam de geração
para geração de professores.
Tanto os denominados saberes experienciais como os saberes pedagógicos estão
muito presentes na prática dos professores. Nos Projetos de formação continuada esses
saberes afloram mais freqüentemente do que na formação inicial.
Os professores generalistas se colocavam com mais freqüência e naturalidade,
comentavam sua prática, os problemas que tiveram com sua formação, as deficiências
para ensinar Matemática. Mostravam pouco conhecimento de orientações curriculares
recentes e declaravam que tinham dificuldades com a Matemática, não tinham
participado de cursos de formação continuada de Matemática nos últimos anos, porque
eles não eram oferecidos aos professores.
Os professores especialistas falavam bem menos, não se posicionavam em relação
à própria prática e nem interviam nas discussões do grupo. Participavam muito mais
como observadores, procurando anotar as discussões e observar as falas dos professores
generalistas.
No entanto, havia uma busca de integração entre os participantes do grupo. É a
etapa que pode ser chamada de “formação do grupo”, em que há certa confusão e
incerteza, a criação de familiaridade e o inicio do estabelecimento da identidade do
grupo.
Nas conversas durante os encontros, os professores manifestavam crenças
bastante comuns em relação à Matemática e ao seu ensino.
Algumas podem ser consideradas como sendo do tipo biológico-genético. Os
professores afirmavam que a Matemática é algo para quem tem dom, para quem é
“geneticamente” dotado de certas qualidades hereditárias.
Você sabe que na minha sala, os meninos acertam mais os exercícios
de Matemática do que as meninas? (PG1)
Na minha sala tem uma aluna que me ajuda muito, também, pudera, o
pai dela é professor de Matemática... (PG2)
ÐÑÒÓÔ
Outras podem ser consideradas como do tipo sociológico, é preciso ter um capital
cultural para atingir o universo matemático.
Na minha sala, os alunos que nasceram no nordeste têm mais
dificuldade para aprender Matemática. (PE1)
Essa não era uma característica desse grupo de estudos. Esse tipo de crença,
algumas experiências negativas e alguns traumas são referências freqüentes nos
depoimentos de professores generalistas e certamente, coincidem com os depoimentos
informais de uma grande maioria de pessoas que cursaram o ensino fundamental.
(CURI, 2005).
Embora constituam temas polêmicos e que merecem ser investigados com mais
profundidade, essas crenças, muitas vezes, acabam se transformando em atitudes
preconceituosas e imobilizadoras.
Assim, uma das discussões iniciais do grupo de estudos foi sobre a afirmação: “A
Matemática é para todos”. Os professores concluíram que era importante construir na
escola básica, com ou sem dom, com ou sem capital cultural, uma mentalidade que
todos os alunos têm o direito de ter acesso e apropriar-se de conhecimentos
matemáticos.
Ainda nos primeiros encontros, os professores fizeram algumas cenas animadas
para retratar um episódio de sala de aula, em que os “atores” vivenciarão papéis de
alunos e de professores no ambiente da aula de Matemática e discutir 4 temas: a)
ensinar Matemática era (ou é ) assim...; b) aprender Matemática era (ou é) assim... ; c)
ensinar Matemática deve ser assim...; d) aprender Matemática deve ser assim...
Essa atividade foi um marco para a interação entre os participantes. No
desenvolvimento dessa atividade houve uma troca de idéias e de significados em que
várias realidades e percepções foram exploradas e desenvolvidas, envolvendo todo o
grupo na produção de conhecimento.
Segunda fase
Os encontros realizados no primeiro semestre de 2007 podem ser considerados
como encontros de discussões sobre o currículo de Matemática nos anos iniciais.
Cabe destacar primeiramente as mudanças ocorridas no grupo de estudos. Nem
todos os professores retornaram ao grupo e outros iniciaram sua participação. No
ÕÖ×ØÙ
entanto, já existia uma identidade formada e os participantes mais antigos acolheram os
novos participantes e logo não se percebia mais a distinção novos/antigos.
O grupo percebia que precisava evoluir e que só a troca de experiência e as
discussões realizadas no semestre anterior não davam conta de suas expectativas.
Assim, sentiam necessidade de leituras e manifestaram esse desejo.
Há algum texto que nos ajude a discutir o ensino de Matemática?
(PG4)
A partir dessa manifestação foram colocados na pasta do grupo de estudos alguns
textos sobre as finalidades da Matemática no ensino fundamental, sobre as
características da Matemática e textos de documentos curriculares.
Passaram a discutir os textos lidos. Mas não era uma discussão teórica, pois, além
das leituras, os professores generalistas analisaram o planejamento de suas escolas no
tocante ao ensino de Matemática.
Essa análise, tendo em vista o que haviam lido e discutido sobre o ensino de
Matemática levou-os à percepção de que o currículo praticado era bastante pobre e sem
significado para seus alunos.
Para realizar a análise os professores foram divididos em grupos que atuavam nas
mesmas séries. Essa estratégia permitiu uma grande discussão dos participantes que
ouviam os argumentos dos colegas, colocavam suas idéias, narravam suas experiências.
Os professores especialistas tomavam ciência do que era planejado pelos professores
generalistas para ser ensinado nos anos iniciais do ensino fundamental. Essa integração
foi muito positiva principalmente para os professores especialistas que não tinham idéia
do que e de como a Matemática era ensinada nos anos iniciais. Os professores
especialistas passaram a ter outra idéia da prática pedagógica dos professores
generalistas.
No entanto, a constatação de que era preciso ampliar o currículo de Matemática
dos anos iniciais, incorporando principalmente temas como geometria e tratamento de
informação não era suficiente. O grande desafio nesse período era incorporar novos
temas ao currículo e na prática de sala de aula.
As reflexões do grupo de estudos caminhavam nessa direção, mas o desafio era
imenso. Algumas tentativas foram feitas. Num dos encontros, os professores reunidos
em grupos que atuavam nas mesmas séries discutiram pequenas tarefas envolvendo
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conteúdos de geometria ou do tratamento da informação, com base nos livros didáticos
que usavam com seus alunos. Ao final do encontro, selecionaram uma tarefa para ser
realizada com seus alunos.
No encontro seguinte, nos relatos dos professores percebeu-se uma insegurança
muito grande no desenvolvimento da tarefa. Além disso, poucos professores tinham
desenvolvido a atividade. Alguns comentavam que não deram chance de seus alunos
perguntarem por medo de não saber a resposta.
Quando trabalhei com as pirâmides e os prismas, fiz tudo bem rápido
para não dar chance das crianças perguntarem. Tinha medo de não
saber responder... Eram muitas informações: faces, vértices, arestas...
Nem eu conhecia direito esses nomes... achava que lado era face... e
agora isso tudo... (PG3)
Foram percebidos avanços nas reflexões e nas tentativas dos professores
generalistas de incorporar novos conteúdos em suas aulas, mas, apesar de discussões
pontuais em que os professores especialistas tentavam aprofundar conteúdos
matemáticos, a evolução era muito pequena.
Além disso, percebia-se que as reflexões orais tinham mais profundidade do que
os textos registrados nos portfólios dos professores. As análises do que seus alunos
faziam também eram mais profundas quando feitas oralmente em narrativas muito
interessantes, do que em registros escritos.
As oitenta horas destinadas aos encontros do primeiro semestre de 2007 estavam
terminando e o grupo solicitava que no segundo semestre queria que todas as horas
destinadas aos encontros seriam destinadas ao ensino de geometria.
Esse fato mostra que o próprio grupo de professores generalistas detectou uma
deficiência na sua formação inicial.
A deficiência na formação inicial para ensinar Matemática não é um fato isolado
desse grupo de professores. No geral, as disciplinas relativas à Matemática e seu ensino
que constam das grades curriculares dos cursos de Pedagogia têm uma carga horária
bastante reduzida. Trabalhos de pesquisa (CURI, 2004; MELLO, 2008) revelam que a
carga horária dessas disciplinas na maioria dos cursos de Pedagogia é de 36 ou de 72
horas. Destacam ainda que as bibliografias utilizadas nesses cursos são, no geral,
generalistas e não incluem textos com pesquisas atuais de educadores matemáticos
sobre o ensino e a aprendizagem de Matemática.
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Terceira fase
Como combinado no segundo semestre de 2007, os encontros seriam destinados
ao ensino e aprendizagem de geometria. Como um dos professores especialistas tinha a
intenção de desenvolver sua dissertação de mestrado com esse tema, ele assumiu a
coordenação do grupo de estudos nessa fase.
Nas primeiras discussões as professoras generalistas comentavam “se ou o que
haviam aprendido e como haviam aprendido geometria”. Os relatos eram bastante
semelhantes a outras pesquisas já apresentadas que mostram que há uma geração de
professores que pouco aprendeu geometria em sua formação.
As discussões continuavam agora a respeito “do que e de como” ensinavam
geometria a seus alunos. Percebeu-se que poucas professoras ensinavam e as que
ensinavam faziam de forma intuitiva, muitas vezes sem saber mesmo que estavam
ensinando geometria.
Esses fatos levaram a um enfoque um pouco diferente nessa etapa, pois as
professoras generalistas não tinham idéia do que queriam discutir em relação à
geometria. Então, com base no livro Espaço e Forma: a construção de noções
geométricas pelas crianças de 7 a 10 anos, o Mestrando organizou a formação, centrada
em discussões sobre conteúdos de geometria com as professoras, análise de atividades
desenvolvidas por outros professores com seus alunos, produção de atividades pelos
professores para serem desenvolvidas em sala de aula, desenvolvimento das atividades
planejadas e reflexão sobre a prática no ensino de geometria. Os dados analisados com
profundidade farão parte da dissertação de Mestrado do professor especialista Manoel
dos Santos. No segundo semestre de 2008, o professor especialista se propõe a assistir
algumas aulas das professoras generalistas para analisar o ensino de geometria.
Quarta fase
A quarta fase dos encontros foi realizada no primeiro semestre de 2008. Novas
mudanças aconteceram no grupo. A saída de três professoras generalistas deu-se pelo
fato delas terem sido incorporadas, após processo seletivo, no Programa de Mestrado da
UNICSUL. Novas professoras generalistas foram incorporadas ao grupo e houve
mudanças na participação dos professores especialistas, mas o número de participantes
do grupo não difere muito ano a ano.
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Nesse semestre, a demanda do grupo foi discutir as operações com números
naturais. Havia muita angústia nas colocações das professoras principalmente com
relação ao ensino da subtração e da divisão.
Como havia intenção de uma professora especialista discutir os significados das
operações adição e subtração por meio de resolução de problemas, ela assumiu a
coordenação do grupo nas discussões com esse tema.
Os dados completos desse período estão sendo analisados pela professora
especialista em sua dissertação de mestrado.
No entanto, nas conversas e depoimentos, as professoras generalistas revelavam
que trabalhavam muito mais os algoritmos, desvinculados de problemas, com comandas
curtas, tipo “arme e efetue”. Também comentavam que as crianças tinham muita
dificuldade para identificar a operação que resolvia o problema e eram muito
dependente delas.
Uma colocação de uma das professoras deu margem a muita reflexão. Ela
comentava que
...não queria que seus alunos tivessem os mesmos traumas que ela teve
em relação à Matemática e à resolução de problemas, então evitava de
trabalhar problemas com seus alunos. (PG4)
Esse comentário logo teve eco de muitas professoras generalistas que também
tinham esse sentimento.
Esses comentários corroboram outras pesquisas que mostram que as professoras
generalistas, muitas vezes, por não terem uma boa relação com a Matemática, têm como
objetivo maior que seus alunos gostem dessa área do conhecimento e acabam reduzindo
o ensino de Matemática a poucos conteúdos que elas consideram que os alunos têm
condições de aprender sem traumas, o que pode ser chamado como “sintoma de
evitação” (CURI, 2005).
Não comentarei neste artigo os encontros no laboratório para o uso do
computador.
Um dos pontos importantes de salientar neste artigo é que no final do semestre,
quando foram discutidas as demandas para o segundo semestre de 2008, as professoras
generalistas solicitaram que se retomasse o trabalho com geometria, pois não se sentiam
seguras para com esse tema.
éêëìí
O ano passado fiz várias tarefas de geometria preparadas aqui no
grupo de estudos com meus alunos, mas nem sempre me sentia à
vontade. Nas tarefas que envolviam noções de movimentação e
localização espacial me senti mais segura, mas nas tarefas que
envolviam noções de figuras tridimensionais e bidimensionais, não
tenho coragem de repeti-las sem apoio do grupo. Que tal retomarmos
os estudos sobre esse tema? (PG5)
Logo as professoras concordaram com a colega e decidiu-se retomar o trabalho
com geometria no segundo semestre de 2008, o que leva a corroborar pesquisas
anteriores que mostram que os professores generalistas não desenvolvem com seus
alunos conteúdos matemáticos que não têm segurança, (CURI, 2005).
Pequenas conclusões sobre um trabalho em andamento
A pesquisa mostra que o grupo vem se consolidando, que não se trata mais de um
determinado número de pessoas que freqüentam um lugar de formação aos sábados,
passou a ser mais do que “a soma das partes” se tornando uma entidade em si mesmo.
Os passaram a caminhar lado a lado desenvolvendo uma identidade
compartilhada, um destino comum. Isto era possível perceber nas colocações dos
professores, quando se colocavam:
nós estamos discutindo o ensino de Matemática, nós estamos
participando de uma formação, nós compartilhamos nossas
experiências...
Os assuntos tratados durante os encontros eram de interesse comum dos
professores generalistas e especialistas, mas sempre definidos pelos generalistas que
apresentavam suas demandas com argumentos. As diferenças de “status” entre os
participantes não eram levadas em consideração. No entanto, foi possível observar que
os professores generalistas se colocavam mais, passavam a assumir com mais
freqüência a liderança no grupo e tinham um envolvimento emocional muito grande
com o grupo.
Este é um ponto que merece reflexão, pois esperava-se que os professores
especialistas, até por serem alunos de um Programa de Mestrado, assumissem com mais
freqüência a liderança do grupo. Esse fato só ocorreu quando eles iam desenvolver sua
dissertação de mestrado sobre um tema que seria discutido no grupo de estudos e
assumiam a coordenação do grupo.
îïðñò
Entre os resultados obtidos no percurso do grupo destacam-se a participação
voluntária e o desejo de aprender dos participantes, o resgate do papel do conteúdo e de
sua didática na formação de professores, a dinâmica e organização do grupo como um
espaço de formação com diálogos abertos, trocas de experiências sem hierarquia e, sem
sombra de dúvidas a ampliação dos conhecimentos matemáticos, didáticos e
curriculares de todos os participantes do grupo.
Durante o percurso do grupo percebeu-se um caminho para o desenvolvimento
profissional dos professores participantes que cresceram individualmente, em termos de
capacidades, personalidades, integração com os colegas e com a escola em que
lecionavam. Observou-se ainda um crescimento como profissional, resultante de um
processo em que se sentiram valorizados como professores, cientes de suas
responsabilidades e tarefas e confiantes nos seus conhecimentos para ensinar
Matemática, trazendo à tona sua identidade profissional. Também percebeu-se que as
aprendizagens dos professores com relação ao ensino de Matemática eram socializadas
em todos os encontros com entusiasmo. Os relatos das tarefas realizadas, dos entraves e
sucessos tornaram o grupo mais coeso. O imbricamento desses três processos de
desenvolvimento: pessoal, identidade profissional e socialização profissional levam ao
conceito de desenvolvimento profissional defendido por Mizukami (1996).
Um ponto frágil do grupo é a pequena evolução na escrita de relatórios que ainda
são mais gerais e apontam menos profundidade nas reflexões do que as narrativas orais.
Este é um ponto que será discutido e focalizado com mais cuidado no próximo
semestre. Outro resultado importante é a constatação de que a parceria entre a
universidade e professores do ensino fundamental é um caminho viável para uma
mudança significativa no ensino de Matemática em todos os níveis. Ao contrário de
pesquisas que defendem a constituição de grupos formados apenas por professores, essa
parceria tem dado oportunidade de professores e pesquisadores reverem suas práticas e
saberes e aprenderem uns com os outros, trazendo benefícios para todos e para o
desenvolvimento da Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental.
Essas considerações corroboram outras pesquisas brasileiras que investigam
formação com professores e sobre grupo de professores. Passos et al apontam a
importância da investigação sobre a prática associada à reflexão compartilhada para o
desenvolvimento profissional do professor. Como essas pesquisadoras a reflexão que se
óôõö÷
faz é sobre o tempo para que os participantes de um grupo constituído se sintam parte
integrante dele. Além disso, as mudanças de alguns participantes às vezes
desestabilizam o grupo e é necessário um novo tempo para que esse grupo se constitua
novamente.
Referências
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ensinar Matemática e de crenças e atitudes que interferem na constituição desses
conhecimentos. Tese (Doutorado em Educação Matemática), 278 p., PUC/SP, 2004.
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TARDIF, M. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes, 2002.
S
SS S L, K. P. e CARLOS, R. C.
Influências tácitas no ensino aprendizagem de Matemática: uma nova abordagem às
avaliações. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:
SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Eixo-temático 1: Avaliação
INFLUÊNCIAS TÁCITAS NO ENSINO APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA:
UMA NOVA ABORDAGEM ÀS AVALIAÇÕES
Barbara Cristina Moreira SICARDI - Universidade Metodista de São Paulo
([email protected])
Everton PERUGINI - Universidade Metodista de São Paulo
([email protected])
F ! "#$ % $&!! ' (! ! *( Paulo
([email protected])
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([email protected])
R(+( /2( /.R13 % $&!! ' (! ! *( ,4(
([email protected])
R42(5 Este trabalho relata uma pesquisa realizada para retratar os conhecimentos
tácitos no ensino aprendizagem avaliação, mais especificamente na avaliação, por perceber
através da nossa pesquisa que os PCN´s levam muito em conta o que é tácito para o ensino
aprendizagem, mas não propõem muito quando se trata de avaliação. A base teórica deste
artigo se apóia em grandes pesquisadores como Dewey e Polayni. Estes influenciaram
grandes mudanças no ensino propostas nos PCN’s e naturalmente houve um relaxamento
quanto às exigências nas avaliações, o que não avançou os meios de avaliar o
conhecimento tácito do aluno, por isso esse trabalho tem o intuito de analisar as atuais
formas de avaliações e estudar uma nova postura e forma de avaliar os alunos,
considerando as principais influências tácitas que os alunos trazem consigo. Para obter os
dados da pesquisa foi entrevistado um total de 20 professores e 60 alunos de escolas . Os
casos analisados mostram que, os alunos estudados não conseguem explicitar um
conhecimento tácito e as atuais avaliações são majoritariamente explícitas.
Palavras-chave: Influência, Conhecimento, Tácito, Avaliação.
As pesquisas em Educação Matemática auxiliam os profissionais do ensino a ter uma
visão crítica e uma postura investigativa do ensino, visando sua intervenção nessa
realidade, contribuindo com novas propostas que a educação tanto carece e principalmente
permitindo aos professores um melhor posicionamento diante dos desafios apresentados
pelas novas propostas e constatações encontradas nessas pesquisas. A pesquisa científica
ainda é uma maneira de difundir o conhecimento, pois através de suas publicações é
6789:;7< =? 8? @A BC:DE7G7< C?A HC6D6< I? 6?A @987CL, K. P. e CARLOS, R. C. 2
possível perceber alguns avanços e preocupações que também contribuem para a melhoria
da educação.
Tratando de Educação Matemática, as pesquisas atuam em diferentes áreas e
processos do conhecimento, mas de um modo geral podemos perceber grandes blocos que
tratam da formação docente, metodologia de ensino, obstáculos epistemológicos, relação
professor-aluno, relação do aluno com a matemática, projetos diferenciados para educação
básica, tais como educação de jovens e adultos, novas tendências na educação, entre
outros. Infelizmente a produção de pesquisa no Brasil caminha a passos lentos e nessa área
não é diferente. Quando se fala em educação temos um agravante, pois percebemos que
mesmo com várias produções realizadas, elas são pouco consideradas pelos professores do
ensino básico, seja por déficit na formação docente ou pela descrença dos mesmos em
relação às políticas públicas para educação.
Portanto, este trabalho é realizado por constatarmos uma considerável linha de
pesquisa tratando dos conhecimentos tácitos e influências ocultas no ensino aprendizagem,
o que não ocorre quando se trata das influências tácitas na avaliação. Ao analisarmos as
pesquisas realizadas notamos que elas geraram bons resultados, porém pouco expressivos,
pois os atuais PCN consideram mais o que é tácito para o ensino aprendizagem
demonstraremos na pesquisa
como
não apresentando, entretanto, propostas quanto à avaliação,
ou, pelo menos, não as deixando evidentes. Isso pôde ser constatado na prática, quando
atuamos como estagiários nas escolas e nada verificamos que se relacionasse com esse
novo aspecto nas avaliações. O que se nota é simplesmente um grau de relaxamento quanto
às exigências nas avaliações, e sabemos que isso não avança em nada para avaliar um
conhecimento tácito do aluno. Apenas para ilustrar o que estamos dizendo e facilitar o
entendimento desta pesquisa, estamos falando sobre o que os PCN propõem ao estudante,
como por exemplo, “...identificar os conhecimentos matemáticos como meios para
compreender e transformar o mundo à sua volta...”, e não fornecerem meios para avaliar se
esses estudantes realmente alcançaram tal objetivo. Se as propostas dos PCN para o ensino
não estão sendo bem trabalhadas é outra questão, mas assim como existe o ideal a ser
aprendido deve existir o meio, ainda que só ideal, de avaliar corretamente o aprendizado,
pelo menos para constatar se os objetivos foram ou não atingidos. Além disso, esta
pesquisa será uma ótima oportunidade para retomarmos essas questões que não são tão
atuais e que precisa do devido aprofundamento para se legitimarem cada vez mais e se
JLMNOPLQ TU MU VW XYOZ[L\LQ YUW ]YJZJQ Û JUW VNMLYL, K. P. e CARLOS, R. C. 3
tornarem mais conhecidas para os futuros professores e os que já atuam nas redes de
ensino.
Nesta pesquisa trataremos de questões que envolvem as avaliações matemáticas
dentro das novas propostas de ensino oriundas de pesquisas realizadas anteriormente, pois
existem diversas influências tácitas que permeiam o ensino aprendizagem. Na tentativa de
buscar respostas para estas questões, realizamos esta pesquisa no intuito de analisar e
estudar uma nova postura e forma de avaliar os alunos para considerarmos as principais
influências tácitas que eles trazem consigo. Trataremos como conhecimento tácito: o que é
espontâneo, intuitivo, experimental, conhecimento do cotidiano, aquilo que parece ser
natural, as dimensões ocultas que permeiam as interações entre as pessoas,.São
conhecimentos implícitos adquiridos no decorrer da vida, nas relações com a família,
sociedade, escola etc., e que geram atitudes, não sendo, porém, totalmente explicitados.
Atualmente podemos observar um grande esforço por parte de vários matemáticos e
educadores em pesquisar componentes distintos que compõem o ensino aprendizagem
dessa disciplina, como por exemplo: o cognitivo, o social, o de crenças e valores, os
aspectos emocionais, familiares, de diferentes naturezas entre outros, sendo alguns mais
passiveis de explicitação do que outros. Esta tendência é um reflexo de movimentos e
mudanças pelos quais tem passado a epistemologia matemática.
A partir do relato de pesquisas de Frade (2001), Menduni (2006), Arruda, Soares e
Morretti (2002) podemos constatar que diversos pesquisadores e educadores têm buscado
respostas para as questões acima, destacando-se entre outros Dewey, Polanyi, Brousseu,
Schön, Shoenfeld e Ernest. Há também riquíssimas construções das pesquisas em
Psicologia e em Educação Matemática, onde se destaca o grupo de pesquisa da Unicamp.
Para Ernest, o conhecimento matemático explícito é aquele que pode ser adquirido
pela linguagem proposicional ou por demonstrações, como por exemplo, o Teorema de
Pitágoras. O conhecimento tácito é aquele adquirido por meio da ação ou da experiência,
não podendo ser totalmente explicitado pela linguagem proposicional. Para ele, o
conhecimento matemático inclui uma dimensão concreta e tácita, composta de
conhecimentos de casos, de problemas, situações, cálculos, provas, aplicações, dentre
outras. É adquirido pela experiência de trabalho com matemática e é construído muito mais
tacitamente do que através do conhecimento explícito.
_àbcdè fg ag hi jkclm`nè kgi ok_l_e pg _gi hba`kL, K. P. e CARLOS, R. C. 4
Segundo Polanyi (1983 apud FRADE, 2001), o fato de um conhecimento tácito não
poder ser completamente explicitado, não significa que o mesmo não possa ser
comunicado. Sobre o que seja pensar matematicamente Shoenfeld (1992 apud FRADE,
2001) descreve que nos passa uma idéia importante, e possui tudo sobre um ponto de vista
matemático, mas este é também um tipo de conhecimento fundamentalmente tácito e,
portanto como diz Polanyi (1983 apud FRADE, 2001) “sabe-se mais sobre ele do que se
consegue falar sobre ele”.
Ernest ainda afirma, a partir dos PCN de matemática nacionais e internacionais, que
há uma preponderância dos componentes de natureza principalmente tácita em tais
apresentações curriculares, conforme exposto no quadro 1, anexo 3.
Além das influências já mencionadas, ainda existem outras de caráter social e
familiar descritas conforme a ecologia do desenvolvimento humano exposta por Urie
Bronfenbrenner (1996), que são o microsistema: lar, escola, bairro e local de trabalho; o
mesossistema: o entrecruzamento de vários microssistemas, que envolve a pessoa
(telefone, jornal, etc.); o exossistema: sistema educacional, agências governamentais,
sistema de trânsito, meios de comunicação em massa, indústria e comércio; o
macrossistema: crenças e ideologias dominantes, diferenças de classes: étnicas e culturais
e o cronossistema: influências de mudanças normativas ou não-normativas ou constância
na pessoa e no ambiente.
Após analisarmos todos estes fatores conseguimos identificar algumas das
influências (sociais, culturais, emocionais etc.), componentes tácitos do ensino
aprendizagem de matemática e ainda a constatação de que a maior parte do currículo
matemático previsto no PCN é de caráter tácito. Assim, o objetivo desta pesquisa é
investigar a relação das atuais formas de avaliação no ensino básico com os conhecimentos
ditos tácitos. Deseja-se conhecer como são de fato as avaliações no ensino básico, quais as
formas e métodos, como os alunos reagem em uma avaliação explícita (prova), perante
saberes de ordem tácita e buscar novas maneiras de avaliar procurando principalmente
entender as influências que estão presentes no ensino aprendizagem de matemática.
Percurso da Pesquisa
Foram entrevistados vinte professores de escolas privadas e públicas que atuam nos
níveis de ensino Fundamental II e Médio, sendo cinco professores de cada nível e grupo
qrstuvrw xy sy z{ |}u~rrw }y{ }q~qw y qy{ ztsr}L, K. P. e CARLOS, R. C. 5
escolar. A mesma seleção em grupos vale para os alunos pesquisados, mas para este estudo
foram analisados 15 alunos de cada grupo. A pesquisa foi realizada em escolas da grande
São Paulo.
A fim de delinear nosso foco de pesquisa foram formuladas questões sobre as formas
de avaliação praticada pelos professores, ver anexo 1:
As questões eram respondidas imediatamente. Após cada entrevista foram feitas
anotações de falas dos professores e pensamentos implícitos dos mesmos.
Para os alunos desses professores foi aplicado um teste envolvendo problemas de
ordem tácita de acordo com nossa pesquisa bibliográfica, ver anexo 2.
Os três problemas aplicados são abertos, não necessariamente precisavam ser
resolvidos com conhecimentos escolares. O primeiro problema foi uma questão adaptada
do ENEM/1998 e os outros dois foram retirados do artigo de Medeiros (2001). Escolhemos
esses três problemas por expressarem caráter evidentemente tácito, os quais poderiam ser
facilmente resolvidos, mas não explicitados segundo nossa pesquisa e teste piloto. O aluno
poderia resolver todas as questões ou escolher apenas uma, e após a resposta, se ele não
tivesse apresentado uma justificativa escrita seria pedido que a fizesse e, em caso de não
conseguir, ainda assim foi solicitada uma justificativa oral.
Nos testes foram também registrados relatos de fatos particulares e pertinentes à
pesquisa. Além do teste também se fez necessário perguntar aos alunos como são suas
avaliações de matemática, o que fazem para ganhar notas. Esta pergunta foi feita oralmente
a fim de fazer uma contextualização com o discurso e/ou respostas obtidos dos professores,
Inicialmente não tínhamos como pressuposto indagar os alunos sobre esta última questão,
mas fez-se necessário durante o percurso da pesquisa para melhor elucidar os dados.
Pelas questões apresentadas aos professores podemos analisar se suas avaliações
levam em consideração os conhecimentos tácitos construídos pelo aluno, cujo critério de
análise foi identificar nas respostas aos questionários, expressões que estabelecessem
relações entre as avaliações e os conhecimentos ditos tácitos, de acordo com os PCN. Para
a análise das questões classificamos as respostas em:
Expressões de caráter tácito nas práticas avaliativas.
Expressões de caráter tácito, descritas como ideal para avaliação.
Quais as formas mais preponderantes de avaliação mencionadas.
Relação entre as práticas avaliativas e a utilização dos PCN.
L, K. P. e CARLOS, R. C. 6
Os resultados dos questionários mostram que a maioria dos professores não utiliza
expressões que nos remetem à percepção do conhecimento tácito. Para exemplificar essa
maioria temos a resposta de uma professora do Ensino Fundamental público: “Procuro, ao
final de cada tópico explicado e após exercícios, realizar atividades em sala de aula. Utilizo
também os vistos no caderno e prova ao final do bimestre.” Uma singela minoria dos
professores expressa respostas que nos remetem a este conhecimento, como um professor
que, quando indagado sobre suas formas de avaliação, descreve que atua conforme a
seqüência a seguir: “1º Avaliação contínua (exercícios, caderno, participação, assiduidade
e tarefas); 2º Prova bimestral; e 3º Trabalhos e projetos“. Nota-se que ao relatar avaliação
contínua, esse professor revela os instrumentos utilizados, mencionando projetos que,
apesar de apenas citados, nos remetem à idéia de algo interativo que faça pensar, onde
aparece o desenvolvimento e não apenas o resultado.
Quanto às expressões de caráter tácito,
descritas como ideal para avaliação
,
encontramos mais repostas positivas do que na análise anterior. Mais professores relataram
as expressões estudadas e isso nos mostra que nem todos professores que conhecem ou
sabem da existência dos conhecimentos tácitos levam em conta esses saberes na hora de
avaliar. Assim como as formas de práticas avaliativas, o ideal de avaliação está muito
longe de avaliar o que é tácito dos estudantes, porém obtivemos alguns depoimentos que
mostram indícios de que chegaremos a uma avaliação do que é tácito nos alunos. Isso pode
ser observado na reposta de uma professora do ensino médio particular sobre quais seriam
as melhores formas de avaliação: “Avaliação individual, respeitando o tempo do aluno e as
suas necessidades específicas e que leva o professor a refletir sobre sua prática”. Mesmo se
tratando de ideal e não da prática realizada, ainda sim poucos professores demonstram
sucesso na avaliação de saberes implícitos do aluno. Na segunda questão constatou-se a
grande repetição de formas explícitas de avaliação.
Quanto às formas mais preponderantes de avaliação, encontramos nas respostas uma
regularidade de formas e composição das avaliações; praticamente em todos os
depoimentos verificamos que as formas são provas escritas, sejam elas em dupla com ou
sem consulta, atividades em sala de aula com resolução de exercícios e participação na
aula. As avaliações são compostas geralmente por questões do tipo “determine” de forma
dissertativa ou optativa com justificativa; apenas um professor disse usar projetos para
avaliação e uma professora disse usar problemas. Ao investigar sobre os projetos que o
¡¢£¤ ¡ ¥¡¢ ¦ ¡L, K. P. e CARLOS, R. C. 7
professor mencionou, verificamos que se trata de um projeto interdisciplinar que a escola
realiza uma vez por bimestre; quanto aos problemas, verificamos que de fato uma
professora os utiliza e permite que os alunos os proponham; outros professores também
disseram usar problemas, mas na verdade trata-se daquelas questões contextualizadas que
os alunos acabam fazendo em exaustão e eventualmente aparece uma na prova ou nas
atividades. Consideramos problema algo novo a ser resolvido e, nesse sentido, não
verificou nada nos relatos.
Um fato importante é que independentemente das formas variadas das avaliações
foi constatado que em todos os casos estudados os professores aplicavam pelo menos uma
avaliação escrita por bimestre.
Quanto à relação entre as práticas avaliativas e a utilização dos PCN constatamos
uma regularidade apenas para os professores da rede particular; apesar de em sua
totalidade dizerem levar em conta os PCN, observamos que a prática das avaliações está
muito distante de avaliar os conhecimentos de caráter tácito, segundo conversas informais
com os professores investigados. Isso pode estar relacionado com o fato de escolas
particulares imporem um determinado tipo de avaliação, de acordo com seu sistema de
ensino, principalmente em se tratando de ensino médio, onde de um modo geral as escolas
particulares têm seu ensino e avaliação voltados para o vestibular. Ainda sobre a rede
particular verificamos que as sugestões e o discurso são muito favoráveis ao que se espera
para uma melhor avaliação dos objetivos estabelecidos nos PCN e que de acordo com as
pesquisas, inclusive a de Ernest (1998, 1999, apud FRADE, 2006), estas são tácitas, porém
na prática o que se vê na rede particular de ensino são avaliações evidentemente explícitas.
Foi no ensino público que encontramos pequenos indícios (em algumas expressões)
nos relatos sobre as avaliações, que nos auxiliam a constatar que há uma tentativa de
avaliar o tácito, mesmo que esta aconteça de forma não intencional. Percebemos, ainda,
que não houve uma relação com os PCN, já que pouquíssimos professores deste grupo
dissestes usar os PCN. O sistema de ensino da rede pública não visa vestibular e as normas
são muito mais flexíveis aos professores que agem com mais autonomia. Desse modo,
apesar das grandes dificuldades, os educadores conseguem variar mais na hora de avaliar e
na ânsia de fazer o melhor nas aulas dentro das possibilidades, acabam valorizando mais as
experiências do estudante desprezando um pouco as formas explícitas de avaliar.
§¨©ª«¬¨ ®¯ ©¯ °± ²³«´µ¨¶¨ ³¯± ·³§´§ ¸¯ §¯± °ª©¨³L, K. P. e CARLOS, R. C. 8
Para entender melhor a relação entre as práticas avaliativas e a utilização dos PCN,
analisamos as falas dos professores sobre as avaliações e fizemos uma comparação com o
que os PCN propõem. Neste quesito avaliativo, vimos que ele propõe uma nova postura
com práticas inovadoras, mas essas propostas não são claras e se contradizem o que pode
justificar a dificuldade na adequação da avaliação dos novos saberes, por parte dos
docentes.
Na avaliação matemática os PCN (1997) propõem que:
....Inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução
de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre
outros. Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos para
registrar observações sobre os alunos.
Um exemplo são as fichas para o mapeamento do desenvolvimento de
atitudes, que incluem questões como:
Procura resolver problemas por seus próprios meios? Faz perguntas? Usa
estratégias criativas ou apenas as convencionais? Justifica as respostas
obtidas? Comunica suas respostas com clareza? Participa dos trabalhos
em grupo? Ajuda os outros na resolução de problemas? Contesta pontos
que não compreende ou com os quais não concorda?
Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles
provas, trabalhos, posturas em sala constituem indícios de competências e
como tais devem ser considerados... (p. 41).
Em todo texto dos PCN sobre as avaliações de matemática percebemos
características evidentes de uma boa avaliação tácita; fica nítida a influência da larga
pesquisa nesse campo de conhecimento e as contribuições dos pesquisadores já citados. A
proposta retrata aluno como indivíduo, chega a dar sugestões de perguntas para saber se a
aprendizagem de um aluno está se desenvolvendo ou não, o texto é muito rico nos detalhes
de investigação que uma avaliação tácita deve conter. Mas como instrumento oficial de
avaliação apenas sugeriu provas e trabalhos, e é quanto a isso que nossa pesquisa se fez
necessária e, ao que parece, está aí à contradição dos PCN. As idéias de mapeamento e
registro de desempenho de alunos, segundo a realidade e estágio de pensamento de cada
um são ótimas, mas como registrar um resultado de um conhecimento implícito e particular
de um aluno a partir de uma prova ou trabalho que essencialmente é uma forma explícita
de demonstrar um aprendizado? Ao longo desta pesquisa perceber-se-á através de diversos
pesquisadores e nossa contribuição, que um conhecimento tácito pode ser percebido, pode
ser até comunicado, mas não pode ser explicitado. Uma forma explícita de avaliação é
¹º»¼½¾º¿ ÀÁ »Á ÂÃ ÄÅ½ÆÇºÈº¿ ÅÁÃ ÉÅ¹Æ¹¿ ÊÁ ¹ÁÃ Â¼»ºÅL, K. P. e CARLOS, R. C. 9
insuficiente para entender os pensamentos particulares dos alunos. Retomaremos essa
questão em breve na análise dos resultados dos estudantes.
Nos testes com os alunos, nossa análise para validar a questão se pautou em
identificar se quando os mesmos conseguiam solucionar algum problema também
conseguiam explicitá-lo no papel de forma inteligível e compreensível (entendemos que
uma resposta não convincente nem sempre é validada no momento da correção), pois nas
formas de avaliações pesquisadas os estudantes precisavam dissertar sobre os exercícios e
demonstrar como chegaram aos resultados. Ainda nesta análise vamos relatar brevemente
como os alunos colaboraram para a contextualização das respostas dos professores.
Como já foi dito, as mesmas questões foram respondidas pelos diferentes níveis de
alunos e os resultados obedeceram certa regularidade entre os níveis. A primeira questão
(balança para pesagem de açúcar) foi a menos respondida e teve respostas mais
diferenciada; a segunda questão foi a de maior aceitação dos alunos e a única que dois
alunos conseguiram explicitar perfeitamente seguindo os hábitos escolares; a terceira
questão (balança de figuras geométricas) a maioria dos investigados tentou responder.
Analisando a pesquisa como um todo, com raríssimas exceções, poucos
conseguiram explicitar suas respostas no papel, apesar de a maioria das questões
respondidas apresentarem soluções corretas. Para se ter uma idéia apenas 4 dos 60 casos
estudados tinha respostas explícitas. Porém poderiam ser consideradas erradas,
dependendo do contexto escolar do aluno , ficando evidente à criatividade e o quanto os
alunos são diferentes e individuais nas respostas.
Estudamos as questões separadamente para expressar detalhadamente as repostas dos
alunos. Apesar de adesão à primeira questão ter sido mínima, foram fornecidos vários
casos importantes a serem estudados. Vamos ilustrar e analisar alguns. A solução mais
comum e escolar (inclusive feita por nós) seria dividir os 24kg em dois pratos obtendo 2
quantidades de 12kg e depois repetindo o processo, ou seja, dividindo um dos 12kg em
dois pratos, chega-se a mais 2 quantidades de 6kg, feito isso basta juntar a quantidade de
12kg pesada inicialmente e uma das quantidades de 6 kg para conseguir a solução do
problema formando um pacote de 18 kg. Se fosse para explicitar totalmente a questão o
procedimento poderia ser usar o conceito de equação para mostrar que o problema tem
solução.
ËÌÍÎÏÐÌÑ ÒÓ ÍÓ ÔÕ Ö×ÏØÙÌÚÌÑ ×ÓÕ Û×ËØËÑ ÜÓ ËÓÕ ÔÎÍÌ×L, K. P. e CARLOS, R. C. 10
Agora vejamos uma das soluções dos alunos que apesar de certas não ficam
totalmente explicitas.
Nota-se que não se entende muito bem a resposta do aluno. A resposta final que ele
apresenta,
“3 sacos de 24 kg é igual à 4 sacos de 18 kg” , é incompleta pois ele não
garante como chegou aos 18kg, já que com apenas uma pesagem é possível saber que a
soma de 4 sacos resultam em 72kg, assim como 3 sacos de 24kg (ao que parece o aluno
usou M.M.C). No entanto, quando foi interrogado, explicou perfeitamente com palavras o
processo que não está explícito no papel e sobre os 4 sacos de 18 kg disse “... claro que dá,
você não diz quantas vezes posso usar a balança, então eu posso usar quantas vezes eu
quiser e depois de saber que 4 sacos têm 72kg, fico pesando um com outro até ver quando
eles se equilibram...”. Outros alunos apresentaram respostas diferentes, mas com as
mesmas dificuldades.
Na segunda questão, a solução mais comum seria resolver o problema através de
tentativas. O processo poderia ser realizado até mesmo mentalmente e depois apenas ser
justificado no papel. Na tentativa de solucionar o problema pode ser atribuído um valor
para o primeiro dia, somando-se duas cenouras a cada dia posterior até chegar ao número
de cenouras do quinto dia, feito isso basta somar os valores e constatar se chegou ao
número total de cenouras que é 40 (quarenta).
1º dia = 4, 2º dia = 4 + 2, 3º dia = 6 + 2, 4º dia = 8 + 2, 5º dia = 10 + 2.
O modo explícito para resolver essa questão, foi exatamente o que dois alunos
usaram uma equação de primeiro grau simples.
Constatamos que esses alunos usaram o modo formal na qual estão mais
acostumados na escola, conseguiram estabelecer uma relação entre o conhecimento escolar
e a prática, apresentando respostas explícitas para o problema, porém foram apenas esses 2
casos da nossa pesquisa de 60 entrevistados que conseguiram explicitar realmente uma
ÝÞßàáâÞã äå ßå æç èéáêëÞìÞã éåç íéÝêÝã îå Ýåç æàßÞéL, K. P. e CARLOS, R. C. 11
solução de forma escolar para um problema tácito, não sabemos se por coincidência,
ambos estudam em escolas particulares.
Vejam abaixo uma das soluções desses alunos:
A maioria dos alunos resolveu o problema por tentativas, chegando à resposta
correta, porém em todos os casos de tentativa isto ficou implícito, precisando de nossas
interpretações e conversas para conseguir entender como chegaram às respostas. De um
modo geral as tentativas não foram mostradas no teste e todos já apresentaram a resposta
correta, mas notamos algumas estratégias bem interessantes como o exemplo abaixo:
Percebemos que esse aluno calculou a média e obteve o número 8, que corresponde
ao número de cenouras do terceiro dia, o aluno somou 2 para chegar ao quarto e esse mais
dois para chegar ao quinto, subtraiu 2 do valor médio para descobrir o segundo dia e 2
deste para obter o primeiro. Isso foi percebido graças a conversas e a uma explicação oral
ïðñòóôðõ ö÷ ñ÷ øù úûóüýðþðõ û÷ù ÿûïüïõ S÷ ï÷ù øòñðûL, K. P. e CARLOS, R. C. 12
do estudante. Assim, mais uma vez ficaria a critério do professor considerar a questão
como correta, já que o aluno não explicitou em nada sua solução.
A terceira questão que nos pareceu fácil de ser resolvida, foi a menos explicitada
pelos alunos, que praticamente apresentavam apenas a resposta final sem justificativas;
talvez esse tenha sido o mais tácito dos problemas. A forma comum de resolver esse
problema seria estabelecer as relações entre as figuras em cada balança, justificando cada
passagem após saber qual a relação dos triângulos com quadrados e círculos, a fim de se
obter o resultado final. Também é possível resolver esse problema da maneira tradicional
escolar usando o conceito de equações para se chegar a resposta 5 triângulos.
Para essa questão a maioria dos alunos não justificou em nada suas respostas, no
máximo escreviam 2 quadrados = triângulo, triângulo = círculo e apresentavam a resposta;
em alguns casos destacavam as figuras e já forneciam a resposta.
A seguir, um exemplo típico de resposta a essa questão.
Diante desses fatos conseguimos reconhecer a importância da atuação diferenciada
dos professores para que possam avaliar os alunos de uma forma mais adequada.
Dewey (1933) apresenta uma das primeiras e mais significativas iniciativas a favor
do ensino como atividade prática com seu famoso princípio pedagógico de aprender
mediante a ação
“Learning by Doing”
e sua não menos influente proposta de formar
um professor reflexivo que combine as capacidades de busca e investigação com as
atitudes de abertura mental, responsabilidade e honestidade.
L, K. P. e CARLOS, R. C. 13
Essa perspectiva deweyana deveria ser adotada na educação das crianças e dos
adolescentes no que diz respeito à formação profissional, incluída também a formação dos
professores.
Existe hoje uma série de avanços para que os profissionais do ensino possam
“enxergar” estas naturezas distintas do conhecimento, e que estão diretamente ligadas às
abordagens etnográficas que têm explorado a dimensão menos visível da escola e da sala
de aula, ou seja, explora o que não é notado, aquilo que parece tão natural e familiar, e que
não é examinado pelos participantes e nem problematizado.
Essas abordagens levam os professores e profissionais a avaliarem também o
“currículo oculto” dos alunos que fornecem ou minimizam a aprendizagem, os estigmas
criados durante a sua vida escolar e social, a apatia e a desatenção.
Ao realizarmos uma análise dos fatos discorridos até aqui, ou seja, analisando as
inúmeras influências no ensino aprendizagem em matemática, muitas destas tácitas de
acordo com diversos pesquisadores como Polanyi, Dewey, Ernest, Bronfrenbrenmer entre
outros, levando em consideração a crença estabelecida entre os matemáticos e educadores
matemáticos, de que matemática aprende-se resolvendo exercícios ou problemas e
observando o modelo de Ernest, que revela que a maioria das propostas curriculares
nacionais para o ensino de matemática é de caráter tácito, nos ajuda a resignificar estas
crenças e nos leva a refletir a respeito das atuais formas de avaliações.
Ao observarmos as pesquisas realizadas com os professores e alunos, conseguimos
identificar que há uma grande incidência das formas explícitas de avaliação (avaliação
escrita) e que a maioria dos professores não tem a intenção de avaliar o conhecimento
tácito dos alunos (ficou perceptível em suas expressões, a falta de uma abordagem tácita
nas avaliações). Também foi possível perceber que a tentativa de avaliar o tácito (mesmo
não intencional), acontece mais entre os professores da rede pública de ensino.
Ficou evidente que há uma contradição nos PCN, pois estes dizem que os professores
devem avaliar os alunos de formas diferentes, mas sugere como meios para isso as provas e
trabalhos, que essencialmente avaliam os conhecimentos explícitos.
Foi constatado que a maioria dos alunos não consegue justificar suas respostas
quando se deparam com uma questão de caráter tácito, ou seja, os alunos não conseguem
! " # L, K. P. e CARLOS, R. C. 14
comunicar seus pensamentos tácitos apenas com meios explícitos. Assim, como diz
Polanyi (1983, apud Frade, 2001), “Sabe-se mais sobre ele do que se consegue falar sobre
ele”. Portanto ficou nítida a distância entre o que os PCN propõem para o ensino e o que
propõe para avaliação como mencionamos na introdução deste estudo.
Para que os profissionais do ensino possam atuar de maneira diferenciada levando
em conta as influências tácitas no ensino, os professores poderiam atuar segundo as
proposições de alguns pesquisadores como Dewey (1933 apud GOMES, 1997) que trata
das primeiras contribuições significativas na qual recomenda que eles sejam profissionais
investigativos e reflexivos, e também Schön (1987 apud GARRIDO, 2005) que foi um dos
pesquisadores que mais difundiu essa idéia.
Segundo as propostas deweyanas, os professores devem atuar de acordo com as
abordagens etnográficas que estão diretamente ligadas a estas propostas, pois sugere que os
professores encarem a atividade docente como de caráter constantemente desafiador,
ambíguo e contraditório nas interações dentro e fora da sala de aula, percebendo que o ser
humano age de acordo com o seu interesse, valores, percepções e perspectivas. Com isso a
avaliação do professor passa a ser de pesquisa–ação, para que ele possa estimular os alunos
na sala de aula que a cada dia traz uma realidade multifacetada, exigindo domínio do
conhecimento da disciplina, sensibilidade, inúmeras tomadas de decisão para reequilibrar
as interações manifestas e ocultas que ocorrem.
Entendemos que além de atuar como pesquisador da própria prática, outra
necessidade presente na forma de analisar os alunos é buscar métodos de romper e/ou
resignificar o contrato didático fazendo com que os alunos possam atuar ativamente na
elaboração dos conceitos matemáticos a serem avaliados. Apesar de não identificarmos
formas e métodos de avaliação para conhecimento tácito, acreditamos que modos
alternativos de avaliação como projetos e resoluções de problemas aliados a uma análise
personalizada das ações dos alunos podem expressar seus conhecimentos tácitos.
Fica então, para continuação desta pesquisa, investigar por que os professores
enfatizam tanto os conhecimentos explícitos na avaliação e quais seriam as possíveis e
melhores formas de avaliar um conhecimento tácito.
$%&'()%* +, &, -. /0(12%3%* 0,. 40$1$* 5, $,. -'&%0L, K. P. e CARLOS, R. C. 15
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HIJKLMIN OP JP QR TULVWIXIN UPR YUHVHN ZP HPR QKJIUL, K. P. e CARLOS, R. C. 16
MENDUNI, Roberta D’Angela: A Influência dos Aspectos Emocionais na Avaliação em
Matemática. In: Anais da 29ª Reunião Anual de Associação Nacional de Pós–
Graduação e Pesquisa em Educação (ANPED). Caxambu, MG, 2006. Disponível em:
<http://www.anped.org.br/reunioes/29ra/29portal.htm[P K\]^^_ ]à b c] ^]d]èf_N ghhiP
jklmnokp qr lr st uvnwxkykp vrt zvjwjp {r jrt smlkvL, K. P. e CARLOS, R. C. 17
ANEXOS
Anexo 1
Questões para os professores:
Uma questão principal.
I. Quais as formas e como são compostas as avaliações no cotidiano escolar do
ensino básico?
E três auxiliares.
II. Tendo em vista as novas propostas para o ensino de matemática (dispostas nos
PCN), qual a opinião dos professores para as melhores formas de avaliação?
III. O que os professores acham dos seus métodos de avaliar os alunos?
IV. Os professores levam em conta os PCN?
|}~} ~ }} || | ~}L, K. P. e CARLOS, R. C. 18
Anexo 2
1 – Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam
empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível para
pesagem é uma balança de dois pratos, parecido com uma gangorra de
parquinho.
~ ¡¢ £ ¤r?
2
Um coelho comeu quarenta cenouras em um período de cinco dias. Em cada dia o coelho
comeu duas cenouras a mais que no dia anterior. Quantas cenouras ele comeu em cada dia?
3
Quantos triângulos devem ser colocados na última balança para que ela fique
equilibrada?
¥¦§¨©ª¦« ¬ § ®¯ °±©²³¦´¦« ±¯ µ±¥²¥« ¶ ¥¯ ®¨§¦±L, K. P. e CARLOS, R. C. 19
Anexo 3
ÓÔ ÕÖ×ØÙÚÛÚÜÝÞ ßà ÜßØá×ÜÚâ×ØÙßà âÝÙ×âãÙÚÜßà Üßâß
meios para compreender e transformar o mundo à sua
volta e perceber o caráter de jogo intelectual,
característico da Matemática, como aspecto que
estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de
investigação e o desenvolvimento da capacidade para
resolver problemas.
¼ÄÊ ¼Ì¸
½ ËÊ
É ¾ ÆÅ
Á ½Ê Ä ¹Ì
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¹½Ê
Ä
tratégias
½ ÄÁ
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»º ÁÀ Å
¸¹· ¸¾¿
icas,
Problemas e
Questões PE
Orientações curriculares
Afirmações
e
Proposições
- PE
Provas e
Raciocínios PE
Quadro 1 – Classificação das orientações curriculares dos Parâmetros Curriculares Nacionais para os
Terceiro e
Quarto Ciclos do Ensino Fundamental, segundo os componentes do conhecimento matemático
propostos por Ernest
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Ð½ Á
ÌÁ
ÏÎ
½Ã
ä
½ ÆÅ
¼¸Ì ÄÃ
ÊÍ ½Ï
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ä
åÔ æÝç×Þ ßèà×ÞéÝêë×à àÚàÙ×âãÙÚÜÝà Ö× Ýàì×ÜÙßà
quantitativos e qualitativos da realidade,
estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o
conhecimento matemático (aritmético, geométrico,
métrico, algébrico, estatístico, combinatório,
probabilístico).
X
ä
relevantes, para interpretá-las e avaliá-las
criticamente.
X
ä
ä
íÔ î×ï×ÜÚßØÝÞð ßÞñÝØÚçÝÞ × ìÞßÖòçÚÞ ÚØÛßÞâÝêë×à
óÔ ô×àßïé×Þ àÚÙòÝêë×àõìÞßèï×âÝð àÝè×ØÖß éÝïÚÖÝÞ
estratégias e resultados, desenvolvendo formas de
raciocínio e processos, como intuição, indução,
dedução, analogia, estimativa e utilizando conceitos
e procedimentos matemáticos, bem como
instrumentos tecnológicos disponíveis.
X
X
ä
ä
X
X
ä
ä
ä
ä
ä
ä
öÔ ÷ßâòØÚÜÝÞõà× âÝÙ×âÝÙÚÜÝâ×ØÙ×ð ßò à×øÝð
descrever, representar e apresentar resultados com
precisão e argumentar sobre suas conjecturas,
fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo
relações entre ela e diferentes representações
matemáticas.
ùÔ úàÙÝè×ï×Ü×Þ ÜßØ×ûë×à ×ØÙÞ× Ù×âÝà âÝÙ×âãÙÚÜßà Ö×
diferentes campos e entre esses temas e
conhecimentos de outras áreas curriculares.
üÔ î×ØÙÚÞõà× à×ñòÞß ÖÝ ìÞýìÞÚÝ ÜÝìÝÜÚÖÝÖ× Ö× ÜßØàÙÞòir
conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
ä
þÔ ÕØÙ×ÞÝñÚÞ Üßâ à×òà ìÝÞ×à Ö× ÛßÞâÝ Üßßì×ÞÝÙÚéÝð
trabalhando coletivamente na busca de soluções para
problemas propostos, identificando aspectos
consensuais ou não na discussão de um assunto,
respeitando o modo de pensar dos colegas e
aprendendo com eles.
ä
ä
ä
ÿL
ficos de barras: análise de uma
seqüência de atividades com futuros professores. Anais do IX Encontro Paulista de
INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS DE BARRAS: ANÁLISE DE UMA
SEQÜÊNCIA DE ATIVIDADES COM FUTUROS PROFESSORES
)
)
Maria Patrícia Freitas de LEMOS - PUC/SP ([email protected]
Aida Carvalho VITA - PUC/ SP ([email protected]
Resumo: Este estudo exploratório investigou o nível de compreensão gráfica de vinte e oito
alunos do Curso de Pedagogia, futuros professores de 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental.
Estes alunos são oriundos de duas universidades, sendo uma pública e outra privada,
localizadas na Cidade de Recife. Analisamos o conhecimento dos alunos e buscamos
refletir sobre elementos que possam contribuir para uma formação didática e conceitual em
interpretação de gráficos de barras. Neste sentido, elaboramos uma seqüência de três
atividades sobre gráficos em diagramas, mais especificamente os de barras horizontais, em
colunas verticais e em colunas agrupadas. Estas atividades foram fundamentadas e
adaptadas do livro didático Matemática com Sarquis e do trabalho de pesquisa de
Guimarães (2002). As análises das atividades sinalizaram que os alunos (futuros
professores) não apresentam grandes dificuldades nas questões que exigem uma simples
leitura dos dados, demonstrando assim, segundo a classificação de Curcio (1989), domínio
do nível de “Leitura dos dados”. Em relação ao nível de “Leitura entre os dados”, os alunos
apresentaram muitas dificuldades em realizar essas leituras. Por exemplo, quando tiveram
que fazer leituras de escalas ou, quando, o valor destas escalas correspondeu a números não
explícitos. Quanto ao nível de “Leitura além dos dados”, todos os alunos demonstraram
falta de domínio de uma leitura, na qual os dados não se apresentam explícitos. O que foi
observado nas atividades que envolveram questões variacionais, pois eles ao invés de
realizarem uma análise global do gráfico, fizeram apenas uma análise de pontos isolados.
Assim, a partir desses procedimentos, inferimos que os alunos não apresentaram
dificuldades em relação ao domínio de “leitura dos dados”, no entanto, demonstraram
pouco domínio de “Leitura entre os dados” e, nenhum em relação ao nível de “leitura além
dos dados.
Palavras-chave: Interpretação de Gráficos; Formação de Professores; Letramento.
Financiamento: Bolsistas CAPES.
! "#$% % & #'(!*+*!(,-./ 0! 1*2ficos de barras: análise de uma
Introdução
Atualmente, a sociedade tem atribuído grande importância às informações
transmitidas pelos meios de comunicação, as quais na maioria das vezes vêm expressas por
recursos estatísticos como listas, tabelas e gráficos de vários tipos. Particularmente, a mídia
utiliza esses recursos para ilustrar seus argumentos jornalísticos.
Alguns estudos têm apontado que a compreensão desses instrumentos estatísticos não
depende apenas de conhecimentos formais, mas, também, podem ser influenciadas por
fatores, tais, como as próprias expectativas dos sujeitos, como verificaram Carraher,
Schiliemann e Nemirovsky (1995) e Meira (1998).
Outros afirmam que, a interpretação de gráficos exige um conhecimento do sistema
gráfico e, portanto, sua dificuldade é devida ao fato do sistema de representação não ser tão
trivial, envolvendo regras que não são, tão facilmente, apropriadas pelos estudantes
(GOLDENBERG, 1988; CLEMENT, 1985; GOMES FERREIRA, 1997).
Há ainda, pesquisas, nas quais, os estudantes usualmente interpretam gráficos, tendo
por referência o seu formato, como sendo uma figura estática de feitio pictórico
(GOLDENBERG, 1988; CLEMENT, 1985). Em outras, os estudantes interpretam um
gráfico de forma pontual, na qual o gráfico serve, apenas, como um instrumento para
localizar pontos (MONK, 1992, apud MAGINA; GITIRANA; MARANHÃO, 1997). O
grupo de pesquisadores (CARRAHER; SCHILIEMANN; NEMIROVSKY, 1995) afirmam
que, os adultos não escolarizados utilizam referências do seu dia-a-dia para darem sentido
às informações contidas no gráfico.
Por outro lado os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (1997) vêm defendendo o
trabalho com este conteúdo desde as séries iniciais do Ensino Fundamental, de maneira
que, o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar e
interpretar dados.
No interior dessa discussão, a escola tem sido solicitada a colaborar com o ensino do
tratamento da informação em sala de aula, bem como na formação de futuros professores.
Neste sentido, buscando contribuir tanto com as pesquisas existentes, quanto atender às
sugestões dos PCN, investigamos os níveis de compreensão e interpretação gráfica de
alunos de Pedagogia, futuros professores do Ensino Fundamental de 1ª a 4ª série, a partir da
2
345678 59 :9 ;9 < =>?@8 @9 A9 >BC<DED<CFGHI J< KDMficos de barras: análise de uma
análise das respostas dos alunos, numa seqüência de atividades contendo gráficos de barra e
tomando como referencial os níveis propostos por Curcio (1989).
A Formação de Professores
Segundo Nóvoa (1995), a formação deve estimular uma perspectiva crítico-reflexiva
que proporcione aos professores os meios de construírem um pensamento autônomo. No
nosso entendimento, não se trata de mobilizar a experiência apenas numa dimensão
pedagógica, mas, também, num quadro conceptual de produção de saberes.
Numa pesquisa realizada por Monteiro e Selva (2001) sobre interpretação de gráficos
por professores, estes autores observaram que é preciso levar em consideração nesta
formação as dificuldades apresentada pelos professores na compreensão de eixos e escalas,
quando estes professores discutiram os processos de interpretação de gráficos, como
aspecto importante para subsidiar a elaboração de situações de formação de professores, as
quais contemplem o Tratamento da Informação.
Uma outra questão importante aponta Hancock (1991), que os professores têm pouca
experiência e familiaridade com o conteúdo estatístico para explorá-lo com seus alunos.
Entendemos que uma formação pode iniciar com um diagnóstico dos níveis de
compreensão do grupo, com o qual se está trabalhando. Nesse sentido, buscando ampliar o
nosso referencial teórico na direção de uma formação na leitura gráfica apresentamos, de
forma mais detalhada, os níveis de compreensão gráfica (CURCIO, 1989).
Níveis de Compreensão Gráfica
Curcio (1989) propõe três níveis distintos de compreensão da leitura gráfica, “Leitura
dos dados”, “Leitura entre os dados” e “Leitura além dos dados”.
O primeiro nível de compreensão, denominada pelo autor de “Leitura dos dados”,
requer uma leitura literal dos gráficos, não existindo interpretação. Aqui o leitor
simplesmente aponta os fatos explicitamente atestados no gráfico.
O segundo nível, “Leitura entre os dados”, inclui a interpretação e integração do
dado, podendo exigir uma inferência baseada no dado apresentado no gráfico. Demanda
uma habilidade de comparar quantidades e o uso de outros conceitos matemáticos e
3
NOPQRS PT UT VT W XYZ[S [T \T Y]^W_`_Wâbcd eW f_gficos de barras: análise de uma
habilidades (operações fundamentais) permitindo ao leitor combinar e integrar dados e
identificar as relações matemáticas expressas no gráfico. Este nível, segundo Pearson and
Johnson (1978, p. 161) apud Curcio (Ibid.) requer “ao menos um degrau de inferência
lógica ou pragmática, necessário para passar da questão à resposta e ambos, questão e
resposta, são derivadas do texto”.
E por fim, o último nível de compreensão, “Leitura além dos dados”, que requer do
leitor uma predição ou inferência a partir dos dados, extraindo os esquemas existentes para
informação que não é nem explicita nem implicitamente apresentada no gráfico. Essa
inferência muitas vezes é feita com base em um banco de dados na cabeça do leitor e não
no gráfico.
Para investigar os níveis de compreensão dos futuros professores propomos
atividades contendo gráficos em diagramas.
Os Gráficos em Diagramas
Segundo Toledo (1985), os gráficos podem ser classificados, de acordo com a forma,
em diagramas, cartogramas e estereogramas. Os digramas são os gráficos mais usados na
representação de séries estatísticas e se apresentam, através de uma grande variedade de
tipos gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. Os cartogramas são ilustrações
relativas a cartas geográficas, largamente difundidas em Geografia, História e Demografia e
os Estereogramas são aqueles dispostos em três dimensões, ou seja, representam volumes.
Os gráficos em diagramas podem ser classificados em Gráficos de barras horizontais,
em colunas verticais, em colunas agrupadas, em colunas compostas, em barras bidirecionais
e Gráficos de percentagem complementares. Os gráficos de barras têm por finalidade
comparar grandezas por meio de retângulos de igual largura e alturas proporcionais às
respectivas grandezas (TOLEDO, 1985).
Na construção de gráfico em barras horizontais, segundo o autor, devem ser
observados se as barras só diferem em comprimento, e não em largura, a qual é arbitrária;
que elas devem vir separadas, umas das outras, pelo mesmo espaço, que devem ser
desenhadas observando-se sua ordem de grandeza, para facilitar a leitura e a análise
comparativa dos valores. Normalmente, a ordem é decrescente, onde a barra superior
4
hijklm jn on pn q rstum un vn swxqyzyqx{|}~ q yficos de barras: análise de uma
representa o maior valor e por fim no gráfico, construído para mostrar grandezas absolutas
deverá ter uma linha zero, claramente definida, e uma escala de quantidades ininterruptas;
caso contrário, a leitura e a interpretação dos gráficos poderão ficar distorcidas.
Os gráficos em colunas verticais desempenham a mesma finalidade que os gráficos
em barras horizontais, sendo, entretanto, preferível o uso desses últimos quando as legendas
a serem inscritas sob os retângulos forem breves (TOLEDO, 1985). E, por fim os gráficos
com barras ou colunas agrupadas são utilizados para apresentação de dados que
representam dois ou mais fenômenos os quais é necessário estudar de forma simultânea.
As atividades propostas, neste estudo, envolvem os três primeiros tipos de gráficos
em diagramas. A nossa escolha pelos gráficos de barras e colunas deveu-se pela preferência
dos livros didáticos, de modo geral, e dos meios de comunicação, como revistas e jornais,
entre outros (LIMA, 1998).
Procedimento metodológico
Partindo das discussões e considerando o nosso objetivo nesse trabalho, aplicamos
uma seqüência de interpretação de gráficos de barra, com 28 alunos do Curso de Pedagogia.
A seqüência constou de três atividades com oito questões cada uma, totalizando vinte e
quatro questões. As atividades 1 e 3 foram adaptadas do livro didático Matemática com o
Sarquis v. 3, p. 162 e a atividade 2 da pesquisa de Guimarães, 2002.
A atividade 1 contém gráfico de barra horizontal com dado nominal de uma pesquisa
sobre o lazer favorito de algumas pessoas (Figura 1). As questões relativas a esta atividade
envolveram a interpretação de gráficos de barras, com variável nominal e conceitos como a
soma total de valores; localização de pontos extremos (máximo); quantificação de variação;
localização do fator de freqüência de uma categoria; localização de uma categoria a partir
do valor da freqüência e localização de variação (estabilidade).
5
ficos de barras: análise de uma
¡ ¢£ ¢ ¤¡¥¢¦ §¡¨¦¡£
Lazer favorito
Ie ao shopping
Jogar video game
Ouvir música
Ler
Ver televisão
Praticar esportes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Quantidade de pessoas
Figura 1. Gráfico de barras sobre atividades de lazer favorito.
Fonte: Adaptado do livro Matemática com o Sarquis, v. 3, 2003, p. 35.
A atividade 2, em gráfico de barra vertical, apresenta dado ordinal de um
levantamento de consertos de carro em uma oficina mecânica no decorrer de 10 meses
(Figura 2). Nessa atividade apresentamos questões que envolvem a interpretação de
gráficos de barras com variável ordinal, bem como a localização de ponto extremo
(máximo); localização de intervalos de variação (decrescimento); localização intervalo de
maior variação (crescimento); localização de ponto extremo (mínimo); extrapolação do
gráfico; localização de variação (estabilidade); composição de grupo (união); localização
do valor da freqüência de uma categoria; localização de uma categoria a partir do valor da
freqüência.
Números de caixas
100
80
ª « ¬« ® ¯°
ª « ±²
60
40
20
©
Jan
Fev
M ar
A br
M ai
Ju n
Jul
Figura 2. Gráfico de barras sobre consertos de carro por semestre.
Fonte: Adaptado da pesquisa de Guimarães, 2002.
6
³´µ¶·¸ µ¹ º¹ »¹ ¼ ½¾¿À¸ À¹ Á¹ ¾ÂÃ¼ÄÅÄ¼ÃÆÇÈÉ Ê¼ ËÄÌficos de barras: análise de uma
A atividade 3, em gráfico de barras agrupadas, apresenta dados múltiplos (nominal e
ordinal) de um levantamento de vendas de caixas de dois tipos de pirulitos de uma loja no
decorrer de 7 meses (Figura 3). Essa atividade envolveu a interpretação de gráficos de
barras, com variáveis nominal e ordinal e a relação de múltiplos descritores. Exploramos
ainda, os conceitos de quantificar variação (crescimento); localização de valor referente a
dobro; soma total de valores; soma total de valores; localização de ponto extremo
(mínimo); localização de uma categoria a partir do valor da freqüência; localização de
ponto extremo (máximo); localização de intervalos de variação (decréscimo); localização
de variação (estabilidade) e localização do fator de freqüência de uma categoria.
Quantidade de carros
100
80
60
40
20
Í
J an
Fe v
M ar
Ab r
1 º s e m e s tr e
M ai
J un
ÎÏÐÏÐ
J ul
Ag o
Set
O ut
2 º S e m e s t re
Figura 3. Gráfico de barras agrupadas sobre vendas de pirulitos.
Fonte: Adaptado do livro Matemática com o Sarquis, v. 3, 2003, p. 162.
Análise do Nível de Compreensão e Interpretação dos Alunos
Apresentamos aqui, alguns resultados que nos permitem inferir quais os níveis de
compreensão desse grupo de alunos. Ao analisarmos as respostas identificamos maior
número de acertos, por exemplo, na atividade 1 e 3, quando as questões envolviam
localização de ponto extremo de máximo ou mínimo, sendo o dado nominal ou com
variáveis múltiplas. Na atividade 1, somente um aluno não respondeu corretamente a
questão: “qual foi a atividade de lazer mais votada?”. E na atividade 3, cinco pessoas
erraram as questões “em que mês a produção de pirulito foi menor?” e “em que mês a
produção de pirulito de café foi maior?”.
7
ÑÒÓÔÕÖ Ó× Ø× Ù× Ú ÛÜÝÞÖ Þ× ß× ÜàáÚâãâÚáäåæç èÚ éâêficos de barras: análise de uma
O grande número de acertos nestas questões, com gráfico de barras horizontais,
parece sinalizar um nível de compreensão e interpretação gráfica relativo ao que Curcio
(1989) denominou de “leitura dos dados”. Assim, podemos inferir que, esses alunos não
apresentam dificuldades para a localização de pontos de máximo e mínimo a partir de uma
leitura literal dos gráficos.
Chamou-nos atenção, a dificuldade que os alunos apresentaram em responder as
questões referentes à interpretação de gráfico com variável nominal, as quais explorava os
conteúdos de soma total de valores e quantificação de variação, respectivamente na
atividade 1 e 3. Na atividade 1, questão “Qual foi a atividade mais votada?” e na atividade
3, questão “Nos 7 meses, quantas caixas de pirulito de caramelo foram vendidas?”, os
alunos deveriam responder efetuando a soma de todas as categorias, no entanto deram
como resposta a categoria que apresentou maior valor. Essa dificuldade pode estar
relacionada à falta de familiaridade com a leitura de escalas. Assim, pelas respostas, os
alunos não demonstram dominar o nível de compreensão gráfica “Leitura entre os dados”.
A maior dificuldade observada centrou-se nas questões que exploravam localização
de menor variação (maior decrescimento), maior variação (maior crescimento) e variação
(estabilidade) visto que todos os alunos erraram todas as questões, nas três atividades, que
envolviam esses conceitos. Por exemplo, na atividade 2, nas questões “Em que períodos
(entre quais meses) a oficina mecânica diminuiu a quantidade de consertos de carros?”, “De
que mês a que mês a oficina mecânica obteve maior aumento na quantidade de consertos de
carros?” e “Entre quais meses não mudou a quantidade de consertos de carro na oficina
mecânica?” os alunos sobre os decréscimos, considerou como resposta, como sendo aquele
que, obteve a maior diminuição de conserto de carros, o mês seguinte ao mês representado
pela maior barra. Esse procedimento demonstra que eles não analisaram o gráfico como um
todo, para localizarem o período em que a oficina teve a maior queda na quantidade de
consertos visto que eles responderam apenas um dos períodos, e não os dois períodos
apresentados pelo gráfico, em que ocorreu a estabilidade na quantidade de consertos de
carros.
Nas questões de localização de maior variação (crescimento), quando perguntados
sobre “qual o semestre que a oficina mecânica consertou maior numero de carros?”,
8
ëìíîïð íñ òñ óñ ô õö÷øð øñ ùñ öúûôüýüôûþÿL ô üficos de barras: análise de uma
observamos que todos os sujeitos consideraram o mês representado pela maior barra como
o mês em que a oficina aumentou o número de consertos de carros. Outros sujeitos parecem
não compreender a expressão “entre quais meses” e cometeram o mesmo erro
exemplificado anteriormente, ou seja, deram como resposta os meses que se encontravam
entre o período de estabilidade.
Esses procedimentos, também, parecem sinalizar a falta de domínio dos alunos
quanto à “leitura entre os dados”, pois, segundo Curcio (1989), neste nível os sujeitos
“apresentam um degrau de inferência lógica ou pragmática necessário para passar da
questão à resposta” o que não condiz com as interpretações feitas pelos alunos.
Maior dificuldade ainda, os alunos apresentaram, para responder a atividade 2,
questões do tipo: “Qual a quantidade de carros que você acha que a oficina mecânica vai
consertar em novembro? E por quê?” e “Qual foi o pior mês de consertos de carros?”. O
gráfico contém dados referentes aos consertos de carros do mês de janeiro a outubro.
Quanto à localização de uma categoria a partir do valor da freqüência, os erros
ocorreram porque os sujeitos não analisaram todo o gráfico; apenas observaram
parcialmente, respondendo os meses de maio e de junho como os que obtiveram o número
de 40 consertos, não percebendo, entretanto, que o mês de outubro também teve a mesma
quantidade. Assim, essas respostas, demonstram que os alunos não parecem dominar o
nível “Leitura além dos dados”, pois, segundo Curcio (1989), este domínio requer do leitor
uma predição ou inferência a partir dos dados.
Considerações
Os alunos apresentaram muita familiaridade com questões que exigiam uma simples
leitura dos dados, demonstrando assim, dominar a “Leitura dos dados”. No entanto, quando
as atividades envolveram questões variacionais, os alunos demonstraram a falta de uma
análise global do gráfico, atendo-se apenas a pontos isolados.
Nesse sentido, eles
demonstraram dificuldade em realizar leitura de escalas, quando o valor solicitado
correspondeu a números não explícitos nela. Vale salientar que esta mesma dificuldade foi
observada por Guimarães (2002) em suas investigações sobre gráficos de barras. Assim,
9
ficos de barras: análise de uma 10
inferimos que os alunos apresentaram pouco domínio no nível de “Leitura entre os dados”
e, nenhum ao nível de “Leitura além dos dados”.
Por fim, ponderamos que, os níveis propostos por Curcio nos permitiram um primeiro
diagnóstico sobre os conhecimentos dos alunos de Pedagogia. Esse diagnóstico nos
apresenta elementos que podem contribuir para a formação didática e conceitual em
interpretação de gráficos de barras.
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MBCDEFGHGBIBFJEMK MN ON MPQRSTPUSVPVW W WTXSTY PRQZcola: um olhar para a
formação de professores de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação
Eixo-temático 5: História e Filosofia
MARGINALIDADE E ENSINO AGRÍCOLA: UM OLHAR PARA A
FORMAÇÃO DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Maria Ednéia MARTINS-SALANDIM – UNESP ([email protected][
Resumo: Neste artigo buscamos discutir a formação de professores de matemática a
partir de seu locus de atuação: as escolas agrícolas, temática que abordamos em nossa
pesquisa de mestrado (cf. MARTINS-SALANDIM, 2007). Utilizando como recurso
metodológico a História Oral, realizamos entrevistas com professores de Matemática
que atuaram nas cinco mais antigas escolas agrícolas do Estado de São Paulo, nas
décadas de 1950 e 1960. A partir das narrativas desses professores e de um referencial
teórico específico sobre o rural brasileiro e o ensino técnico, tentamos constituir uma
história da formação em Matemática desses professores, suas formas de atuação,
especificidades dessas escolas e inserção do discurso desses professores na história da
Educação Matemática Brasileira, assumindo a marginalização como principal eixo para
as análises. Julgamos pertinente tratarmos a questão da marginalidade sob dois pontos
de vista – o interno e o externo –, pois percebemos que o próprio sistema de ensino
agrícola no Brasil, em seu histórico de constituição, esteve vinculado a aspectos
marginais – e este é o aspecto que chamamos “externo” – e, ao compreendermos sobre
as práticas realizadas pelos professores e alunos em suas escolas, em suas salas de aula,
em relação a outros conteúdos, outros professores e outras instituições de ensino,
pudemos perceber os mecanismos de exclusão a que foram submetidas algumas práticas
e como os atores deste cenário atuaram para reverter ou conviver com essa exclusão – e
este é o aspecto que chamamos “interno”. Neste artigo daremos ênfase ao modo como o
eixo de análise se mostrou em nossa pesquisa e ao modo como percebemos a formação
de professores, a partir deste olhar.
Palavras chave: Marginalidade, Educação Matemática, Formação de Professores,
História Oral, Ensino Técnico Agrícola.
Introdução
Em nossa pesquisa de mestrado (cf. MARTINS-SALANDIM, 2007), base para a
elaboração deste artigo, utilizamos a metodologia de pesquisa História Oral. Realizamos
entrevistas com oito professores (e outros profissionais) que atuaram nas mais antigas
\]^_àbcb]d]ae`\f \g hg \ijklminloiop p pmqlmr ikjscola: um olhar para a 2
formação de professores de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de
Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN
978-85-98092-07-2)
escolas agrícolas paulistas, ainda em funcionamento, localizadas nos municípios de
Espírito Santo do Pinhal, São Manuel, Presidente Prudente, Jacareí e Jaboticabal. Ainda
que nossa intenção, neste artigo, não seja discutir sobre a História Oral, vale ressaltar
que, mesmo que esta metodologia de pesquisa não se aplique apenas ao estudo de temas
marginais, ela tem se mostrado significativa para abordá-los. Os professores depoentes
em nossa pesquisa atuaram em escolas agrícolas do interior do Estado de São Paulo,
como diretores e professores de matemática. Seus depoimentos são importantes
contribuições para a escrita de uma parte da História da Educação Matemática
Brasileira. Pesquisas
que tratam de temas “periféricos”, além de contribuir para
inserção de tais temas na pauta acadêmica, possibilitam outras leituras sobre a formação
de professores no país e sobre o papel desempenhado pelos centros e pelas vizinhanças
na formação desses profissionais.
Em relação às escolas agrícolas e o ensino ali ministrado, poucas são as pesquisas
realizadas, o que também percebemos em relação às escolas rurais (cf. Martins, 2003).
Outros autores apontam essa negligência da investigação acadêmica quanto à educação
no interior do estado, seja em relação ao ensino técnico ou rural, em estudos recentes ou
não, o que mostra a permanência de um descaso ou desinteresse já detectado por
pesquisadores em décadas bem anteriores.
Na área da Educação Matemática, pesquisadores vêm buscando investigar a
formação de professores no Brasil numa perspectiva histórica, privilegiando aspectos
ainda pouco explorados. Segundo Garnica (2005),
[Há] necessidade de um descentramento nos estudos históricos sobre a
formação de professores e, especificamente, a formação de
professores de matemática. Considera-se que, quando tratado do ponto
de vista historicamente hegemônico, o tema tende a centrar-se nas
Faculdades de Filosofia, desconsiderando outras trajetórias como, por
exemplo, aquelas dos professores atuantes em cidades distantes de
grandes centros. (p.123)
Este nosso texto é uma tentativa de dar continuidade a este diálogo já iniciado. O
tema “ensino agrícola” é percebido como marginalizado pela História da Educação e
como marginais são percebidos seus atores que, no cenário composto pelo interior do
estado de São Paulo (já ele, sob certo aspecto marginal, pois interior), atuaram na
periferia dos espaços produtivos urbanos considerados mais nobres. Marginalidade de
tuvwxyz{zu|uy}xt~ t t cola: um olhar para a 3
978-85-98092-07-2)
várias faces, portanto: não só aquela do ensino técnico, destinado historicamente aos
menos favorecidos; mas no caso particular, o ensino técnico voltado às questões do
campo, um espaço que, devido ao processo de urbanização e industrialização, foi
relegado a um segundo plano em relação às funções e experiências urbanas.
Indícios de marginalização
Nossa percepção da escola e do ensino agrícola como “marginais” surgiu, na
trajetória de nossa pesquisa, devido à proximidade entre essa modalidade de ensino e a
delinqüência, detectada na narrativa de alguns de nossos depoentes.
A marginalidade mostra-se como o eixo a partir do qual decidimos transitar por
entre os depoimentos para esboçar um cenário das Escolas Técnicas Agrícolas e as
práticas de ensino e aprendizagem que nelas vigoravam. Um cenário composto a partir
de nossas compreensões. É a marginalidade o único eixo possível? Certamente não. Este
tema é UM dentre os eixos que nos podem auxiliar. Outros leitores, com outras
experiências, outras leituras... outras perspectivas, poderão encontrar, a partir do mesmo
conjunto de depoimentos, outro fio condutor para que o movimento de análise ocorra,
para que um cenário se descortine. Essa é, como temos defendido, a particularidade
desse momento a que chamamos “análise”.
Essa opção quanto à condução da pesquisa implicou lançar olhar para períodos
anteriores à década de 1950 que poderiam dar indicativos de uma realidade marginal
das escolas agrícolas em outros momentos. Também buscamos perceber indícios de
uma marginalidade ainda sentida (ou por nós percebida) para além de 1970 – momento
em que o ensino técnico perdeu algumas características de marginalidade, posto que
esta modalidade de ensino se equiparou, pelo menos no que diz respeito à grade
curricular, ao sistema da escolarização “regular”, por força da 1ª Lei de Diretrizes e
Bases. Esse é um exemplo do como a própria marginalidade e os sentimentos e ações a
ela vinculados vão sendo alterados, como já alertou Schmitt (2001).
Para este autor, as profissões e os locais de residência passam a ser consideradas
marginais ou perdem tal caracterização ao longo do tempo. A concepção de
marginalidade, o rótulo de marginal, portanto, é algo dinâmico, não estático. O marginal
não o é por si só, mas por aquilo que faz: ou se é marginal e por isso ocupará tais
¡¢ £cola: um olhar para a 4
978-85-98092-07-2)
profissões ou ocupa tais profissões e, como conseqüência, passa a ser visto como
marginal.
Essas considerações nos alertam de que ser percebido como marginal não
significa ocupar uma posição de passividade e aceitação (o mesmo podendo ocorrer
com os excluídos): nos depoimentos dos professores do ensino agrícola, por exemplo,
são narradas ações e mesmo lutas visando a alterações em seus espaços de trabalho. A
idéia central é que a marginalização não é um “algo” fixo, estável, perene: é
dinamicamente manifestada em perspectivas, ora dilui-se, ora – agregando – mostra-se
mais intensamente em um ou outro aspecto.
Tal dinâmica, em relação às profissões rurais, mostrou-se de forma explícita em
nosso trabalho, pois algumas características de marginalidade se perderam com o
processo de industrialização e a necessidade da preparação de mão-de-obra técnica
especializada para atender às novas demandas de trabalho. Tais necessidades
contribuíram para uma fase de valorização do ensino técnico a partir da década de 1970.
Nesse sentido, nessa década, ainda que permaneçam algumas de suas facetas, essa
marginalidade parece desaparecer ou tende a ocultar-se.
A marginalidade não é estática e nem é única sua forma de explicitação: algo pode
ser percebido como marginal sob alguns parâmetros e não o ser segundo outros. A
marginalidade, portanto, estará nos olhos de quem vê e que, assim vendo, estabelece –
por estar na posição de poder estabelecer – quem é ou não marginal sob os aspectos que
impõe como princípios para julgar – ou estudar – os processos de marginalização e seus
resultados.
Em nosso trabalho percebemos a relevância de abordamos essa questão da
marginalidade tanto sob um ponto de vista externo à escola agrícola – legislações,
relações com outras escolas, com os órgãos administrativos – por nós percebidos não
necessariamente a partir dos depoimentos; quanto de um ponto de vista interno –
relações profissionais, falta de material e apoio pedagógico, a formação do professor de
matemática em várias instâncias, o modo como nossos depoentes vivenciaram esta
escola, experienciando ou não essa característica de marginalidade do ensino agrícola.
Ao contrário daquela do ponto de vista externo – por nós chamado à cena –, a
¤¥¦§¨©ª«ª¥¬¥©¨¤® ¤¯ °¯ ¤±²³´µ±¶´·±·¸ ¸ ¸µ¹´µº ±³²»cola: um olhar para a 5
978-85-98092-07-2)
marginalidade do ponto de vista interno pode ser percebida claramente nos depoimentos
que coletamos.
Cabe ressaltar, entretanto, que uma das perspectivas dessa marginalidade – a
saber, aquela considerada do ponto de vista interno, isto é, das relações que se
estabeleciam dentro das escolas, no espaço próprio, restrito, da instituição de ensino –
talvez não tivesse se mostrado de forma tão evidente – ou nem mesmo fosse pertinente
– se, ao invés de partirmos do professor de Matemática, tivéssemos optado por focar as
práticas e vivências de outros profissionais que também nessa modalidade de formação
desenvolviam suas funções – os agrônomos, por exemplo. Isso apenas reforça que,
outras questões, outros pesquisadores ou outros depoentes poderiam trazer à tona outras
marginalidades ou permitir a elaboração de compreensão a partir de outros fios
condutores.
Certamente os pontos de vista externo e interno interagem a todo o momento, e
talvez por isso essa nossa dissociação possa parecer, em princípio, artificial. Julgamos,
entretanto, que essa é uma estratégia interessante e adequada para traçar um panorama
de tal modo que a marginalidade possa ser realçada em sua posição que concebemos
como central quando estudando a Escolas Técnicas Agrícolas e sua proximidade com as
questões relacionadas ao meio camponês. Assim, optamos por tratar, inicialmente, do
modo como a cultura rural se desenvolveu e como tem sido percebida pela sociedade
que, na atualidade – bem ao contrário do que ocorria em tempos não tão remotos –, é
predominantemente urbana. Explicitamos também nossa percepção de como a vida
urbana foi se estabelecendo e se afirmando como modelo no Brasil, interferindo
inclusive no desenvolvimento da cultura rural. Como conseqüência dessa supremacia do
urbano sobre o rural, percebemos os papéis desempenhados pela escola no
direcionamento para profissões urbanas (cf. MARTINS, 2003) e os maiores
investimentos nos agrupamentos urbanos, justificados inclusive pelas facilidades de
implantação de instituições escolares, que demandavam custos menores devido à
própria concentração populacional. Posteriormente, focamos o ensino técnico de modo
geral, suas relações com o atendimento a menores carentes e o modo como isso
contribuiu para que essa modalidade de formação fosse concebida e tratada como
marginal tanto pelas legislações educacionais quanto pela sociedade como um todo.
¼½¾¿ÀÁÂÃÂ½Ä½ÁÅÀ¼Æ ¼Ç ÈÇ ¼ÉÊËÌÍÉÎÌÏÉÏÐ Ð ÐÍÑÌÍÒ ÉËÊÓcola: um olhar para a 6
978-85-98092-07-2)
Abordamos, ainda, a valorização deste tipo específico de ensino a partir da década de
1970 – período expressivo para a constituição de um cenário em que êxodo rural e as
idéias de um “Brasil Grande” colocam-se flagrantemente em cena – pela necessidade
desencadeada com o desenvolvimento industrial e, conseqüentemente, urbano.
Construídos esses argumentos focamos o ensino técnico agrícola e o modo como o
percebemos marginal em relação ao sistema de ensino em geral, sendo esta
marginalidade distinta daquela de outras modalidades de ensino técnico, como o
industrial e o comercial, por suas relações com as atividades rurais. Nesse sentido, uma
dupla marginalidade: por ser ensino técnico e por destinar-se à formação de técnicos
para funções agrícolas.
Desse modo, explicitarmos os caminhos que nos levaram a articular essa
modalidade de ensino e a prática de seus atores às marcas de marginalidade ao
elaborarmos um breve histórico da constituição do ensino técnico brasileiro. Sua
passagem de ensino desvalorizado – por sua origem com tendência ao assistencialismo
social – a um sistema visto como participante ativo quando se sentiu mais fortemente a
necessidade de formação especializada de mão de obra para a indústria. Em relação às
atividades rurais – essencialmente vinculadas ao ensino agrícola, compondo como que
seu objetivo último –, encontramos também indícios de marginalização do homem rural,
por exemplo, que por certo tempo foi caracterizado como o que se exclui, pois
buscavam adquirir sua própria terra em regiões mais afastadas das grandes fazendas e
cidades, fincando-se mais além das periferias do mundo urbano. Essa marca de
marginalidade criou-se em resposta aos interesses dessa elite rural, num momento em
que a sociedade brasileira passava por uma transição de mão de obra escrava para livre,
mas tornou-se forte e continuou a ser reproduzida devido aos processos urbanização e
toda uma mentalidade a eles associada.
O preconceito por nós percebido e que contribui para a marginalização do ensino
agrícola, refere-se mais propriamente às atividades rurais desempenhadas por aqueles
que, além de desempenhá-las, residem em zonas rurais. Com a evolução industrial, o
trabalho torna-se cada vez mais técnico e especializado, e a civilização (em geral, “as
cidades”) passa a ser tecnológica. A cidade não é vista apenas como aglomeração
populacional, mas como oficina de civilização e, ao mesmo tempo, como lugar do
ÔÕÖ×ØÙÚÛÚÕÜÕÙÝØÔÞ Ôß àß Ôáâãäåáæäçáçè è èåéäåê áãâëcola: um olhar para a 7
978-85-98092-07-2)
homem civilizado. Essa nova civilização é urbana não apenas pelo fato das cidades
estarem em suas origens, mas porque as cidades se multiplicam e concentram
populações em grandes agregados, dos quais irradiam idéias e práticas consideradas
civilizadas. No período considerado em nossa pesquisa, as décadas de 1950 e 1960, as
relações culturais e econômicas rurais e urbanas já estavam bastante mais entrelaçadas,
embora os valores rurais tenham sido mais influenciados pelos urbanos (das cidades) do
que os urbanos pelos rurais, como já nos alertou Candido (2003).
Com o processo industrial desencadeou-se uma maior busca por atividades
urbanas e, conseqüentemente, a necessidade de maior qualificação profissional, o que
contribuiu para maiores investimentos nestas instituições de ensino. Com isso, o ensino
técnico vai perdendo suas características de marginalidade, pela importância das
atividades relativas à indústria, o que aponta, mais uma vez, para a inversão ideológica
(CUNHA, 2005) – se um trabalho não é definido como desprezível socialmente, ele não
será objeto de rejeição – ou, como apregoou Bertaux (1979): estamos imersos numa
ordem social na qual a identidade social é conferida pela profissão que se exerce.
Detecta-se, pois, que a valorização do ensino técnico recai mais sobre sua modalidade
industrial do que sobre outras modalidades. Em relação às profissões rurais ou a práticas
a elas vinculadas continuam acentuadas as marcas de preconceito e a conseqüente
marginalidade, pelo menos no que se diz respeito às áreas de formação técnica, o que –
entretanto – não se generaliza, para o que temos como exemplo primário o caso dos
agrônomos com formação em nível superior.
O preconceito quanto ao ensino profissional de modo em geral deu-se por sua
vinculação ao atendimento de órfãos e desvalidos, funcionando, muitas vezes, mais
como uma instituição de abrigo e reeducação do que de ensino. No entanto, a
desvalorização dos trabalhos manuais não é recente e nem somente um fenômeno
brasileiro. Em alguns períodos, certas modalidades foram mais valorizadas – em geral
por algum interesse econômico ou moral – e, em outras fases, fica mais fortemente
estampado o preconceito.
Essa trajetória de (re)constituição histórica, que elaboramos com a intenção de
conhecer as faces da marginalização que nos serve como tema central, voltou-se então,
ao ensino técnico em geral, de modo a argumentarmos sobre os preconceitos
ìíîïðñòóòíôíñõðìö ì÷ ø÷ ìùúûüýùþüÿùÿM M Mý üý ùûúcola: um olhar para a 8
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decorrentes dessa modalidade de ensino, na esteira dos momentos e situações até aqui
elencados, chegando à época em que a escola agrícola foi tida como central num projeto
de regeneração de órfãos e delinqüentes. Curiosamente, as cercanias do espaço rural que
sempre foram tidas como alvo de projetos de regeneração passam, em determinado
momento, a ser executoras de projetos dessa mesma natureza...
Para compreender melhor o modo como foram sendo efetivadas formas de pensar
o ensino agrícola, procuramos constituir um esboço de ações que fizeram parte desse
cenário, ainda que não abordando especificamente práticas relativas à matemática ou à
matemática escolar. Pensamos isso como necessário, dado que foi nesse cenário que
atuaram nossos depoentes; nele é que estão engastadas as práticas de alunos e
professores da escola agrícola e é para ele que foi pensada toda uma estrutura
educacional própria que aqui é nosso tema.
A partir de um breve histórico a respeito da estruturação do ensino agrícola
brasileiro em épocas anteriores a por nós focada, o modo como pensamos a
marginalização nesse cenário foi se tornando mais claro: percebemos a vinculação da
formação escolar agrícola à intenção de docilizar ex-escravos, mantendo-os escravos
ainda que legalmente livres; a vinculação dessa formação às tentativas de dar assistência
a órfãos, desvalidos e, mais modernamente, a menores infratores, agregando a
ressocialização às intenções assistenciais; e percebemos tanto as tentativas de organizar
o ensino agrícola de modo a dar-lhe certa especificidade quanto as diferentes visões
administrativas a partir das quais foi gerenciado. Esses são, segundo pensamos,
ingredientes potentes para advogarmos pela marginalidade dessa modalidade de
formação frente às formações “regulares”, mais usuais no modelo escolar brasileiro.
Da noção de marginalidade proposta por Schmitt (2001) resgatamos também sua
característica de provisoriedade, de transitoriedade, que parece bastante adequada para
explicar alguns desses mecanismos vivenciados pelo ensino técnico agrícola,
particularmente as diversas subordinações pelas quais esta modalidade de ensino
passou. Ele esteve por muito tempo sob o comando de órgãos da Secretária da
Agricultura, passando para a Secretaria da Educação, vinculado à Diretoria de Ensino
Agrícola – órgão específico para tratar essa modalidade de ensino posteriormente
extinta. Também esteve vinculado à Secretaria de Ciência e Tecnologia. Mais tarde, o
cola:
um olhar para a 9
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ensino agrícola, como muitos outros cursos técnicos, tornou-se parte do CEETEPS. Na
compreensão do senhor Cid Haroldo, depoente em nossa pesquisa, percebemos o que
chamaríamos, aqui, de uma marca dessa cadeia de marginalizações:
/.../ porque na Secretaria da Agricultura nós éramos o primo pobre,
relegados ao segundo plano: primeiro eram os agrônomos, depois os
veterinários... o ensino agrícola era lá no fim. Quando passamos para a
Secretaria da Educação nós éramos o patinho feio [risos]. Tinha 10
mil alunos na cidade e 300 alunos lá, então davam uma atenção
relativa. Queríamos passar para o Centro Estadual de Educação
Tecnológica Paula Souza porque era um apêndice da faculdade, um
auxiliar da faculdade. Para nós seria muito bom, mas não conseguimos
na época. Vieram conseguir agora, 20 anos depois que saí de lá. Foi
uma boa mudança, acho que foi uma boa mudança...
Percebemos também que a marginalidade do rural em relação ao urbano tem
raízes fincadas em momento anterior ao processo de industrialização, ainda que para o
campo tenham contribuído, de algum modo, alguns aspectos próprios dos espaços
urbanos, como a idéia da civilização, as facilidades relativas ao acesso ao ensino, as
benfeitorias próprias das cidades (como eletricidade, cultura, educação, novos postos de
trabalho), e também algumas conquistas referentes aos direitos trabalhistas, adquiridos
primeiramente para as profissões urbanas e posteriormente estendidas os trabalhadores
rurais (o Estatuto do Trabalhador Rural foi promulgado em 1963 com o intuito de
expandir os direitos trabalhistas já conquistados por trabalhadores urbanos).
Ainda que o ensino agrícola seja compreendido como um ramo do ensino técnico,
e que toda essa categoria de ensino tenha carregado por muito tempo o estigma de
inferioridade em relação a outras modalidades e níveis, a marginalidade que o
acompanhou comporta outros agravantes, relativos à cultura caipira e ao próprio
desenvolvimento da industrialização brasileira.
Notamos ainda que as propostas de ensino agrícola estiveram vinculadas ao desejo
de promoção do desenvolvimento e modernização exigidos pela industrialização
brasileira, seja pela utilização da matéria-prima da agricultura em seus processos, seja
para a abastecimento dos agrupamentos urbanos ou para escoamento dos equipamentos
e maquinários produzidos pela indústria para utilização em espaços rurais.
Uma das finalidades da escola agrícola, diferentemente do que indicavam as
propostas relativas às escolas rurais (cf. MARTINS, 2003), era a manutenção, no
!"!# $% & '& ()*+,(-+.(./ / /,0+,1 (*)2cola:
um olhar para a 10
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campo, de profissionais tecnicamente mais preparados. Para alguns, devido aos
benefícios de que a escola agrícola dispunha (como as refeições e o sistema de
internato), essa modalidade de ensino técnico era um modo de dar continuidade aos
estudos. Para outros, era uma chance de seguir a carreira agrícola, ainda que numa
posição diferenciada em relação à do trabalhador rural, que não tinha formação técnica
(segundo este viés, a possibilidade de estudo era, então, um modo de se sustentar a
permanência do homem na zona rural permitindo-lhe, ao mesmo tempo, certa ascensão).
Para outros, ainda, era mera parte da pena julgada adequada pelo sistema de
recuperação de menores delinqüentes.
Ainda que o objetivo principal das escolas agrícolas fosse o de formar um
profissional para exercer atividades relativas à agricultura e à pecuária, sua
caracterização vai também se alterando. Uma das alterações mais significativas está
ligada às transformações da zona rural em relação à modernização das técnicas de
produção e à revolução dos valores culturais. Para aproximar as distâncias,
minimizando o abismo entre o urbano e o rural, essas tão distintas formas de
manifestação sócio-culturais, o ensino agrícola (tanto quanto todo o ensino técnico) vai
buscar aproximar-se do ensino regular. Essa aproximação se faz na forma da
regulamentação de uma “equivalência na formação”, operacionalizada principalmente
pela adaptação das grades curriculares. Não se deve esquecer, também, que a referência
para muitos professores que lecionavam nessas instituições era a sua própria formação
no ensino regular.
Pudemos perceber também finalidades distintas em alguns dos esforços e
iniciativas para que o ensino agrícola fosse organizado institucionalmente: atender às
necessidades de modernização das técnicas de produção, principalmente em relação aos
produtos de exportação; e dar assistência a menores órfãos ou delinqüentes (chegando
mesmo a adaptar alguns orfanatos para que neles se ensinassem noções de agricultura).
O panorama histórico que constituímos possibilitou detectar que as escolas
agrícolas, assim como o ensino técnico em geral, nasceram com um estigma de
marginalidade por sua propensão ao atendimento dos menos favorecidos. O que também
nos pareceu ressaltado à luz dessas considerações foi a diversidade cultural com a qual o
professor de matemática viu-se face-a-face nessas instituições, vivenciando experiências
3456789:94;48<73= 3> ?> 3@ABCD@ECF@FG G GDHCDI @BAJcola:
um olhar para a 11
978-85-98092-07-2)
que envolviam fatores muito diversos daqueles por eles tratados em suas próprias salas
de aula.
No entanto, as marcas de marginalidade sentidas e enfrentadas por professores,
particularmente os de Matemática, que atuavam no interior dessas escolas nas décadas
de 1950 e 1960, tornam essa temática ainda mais complexa em nossa pesquisa. A este
enfoque específico é que nos deteremos a seguir.
Sob o ponto de vista que chamamos interno, nos foi possível auscultar o “interior”
da Escola Agrícola a partir dos depoimentos que coletamos dos professores.
Ressaltamos, entretanto, que nossa percepção de aspectos de marginalização nem
sempre implicam (ou implicaram ou são implicados por) situações de inércia e
submissão, sendo diversas as “subversões” desenvolvidas nas escolas agrícolas visando
a reverter ou a conviver com esse (e nesse) cenário por nós caracterizado como
marginal.
A partir do nosso eixo de análise buscamos explicitar como compreendemos
alguns elementos dos depoimentos coletados para esta pesquisa. Os depoentes falaram
das motivações para iniciarem, permanecerem e se desvincularem das escolas agrícolas.
Em relação à formação, relataram tanto a formação básica, realizada no Normal ou no
Científico, quanto àquela desenvolvida em cursos complementares ou da Licenciatura.
É também em relação à formação que percebemos alguns vieses da atuação desses
professores, o modo como lidavam com os docentes das áreas técnicas, com a direção e
com os recursos (in)disponíveis. Do período em que permaneceram nas escolas
agrícolas, os depoentes nos falaram de suas práticas em relação aos conteúdos de
Matemática a serem ensinados, do significado da disciplina nos cursos agropecuários,
da estrutura da escola e dos alunos que freqüentavam esses estabelecimentos de ensino,
cujo objetivo se confundia entre o assistencialismo e preparação de mão-de-obra
especializada para atividades agropecuárias.
Tomando como lentes os depoimentos dos professores, outras marcas de
marginalidade puderam ser percebidas. Particularmente, as percebemos em relação ao
papel da disciplina Matemática e de seus professores quando se insistia numa
comparação entre a formação dos técnicos agrícolas e os programas das escolas urbanas
de ensino regular. Essa foi uma marginalidade um tanto quanto transitória, uma vez que
KLNOPQRSRLTLQUPKV KW XW KYZ[\]Y^\_Y_` ` `]a\]b Y[Zccola:
um olhar para a 12
978-85-98092-07-2)
a determinação da equivalência entre os sistemas de ensino, ao mesmo tempo em que
retirou a especificidade dessas formações, promoveu a equiparação dos conteúdos
escolares relativos à Matemática. Mas para reverter um cenário em que as escolas
técnicas agrícolas eram vistas como estando num segundo plano em relação ao ensino
regular, alguns dos professores das escolas agrícolas participavam, conscientemente ou
não, de uma luta para divulgar as vantagens e potencialidades dessa modalidade de
ensino, não apenas em relação à formação técnica, mas também em relação à formação
em geral: uma das estratégias empregadas era a divulgação de bons resultados obtidos
por alunos dessas escolas em competições “matemáticas”. Por outro lado, mesmo dentro
das escolas agrícolas, todo um universo de exclusões, aproximações e apropriações
pode ser detectado, dado que – até por força dos mecanismos de legislação e controle
implantados – imperavam as determinações das disciplinas técnicas, sendo a
Matemática uma coadjuvante cujos professores precisariam alinhar-se aos professores
de formação técnica.
Pudemos ainda perceber, nos depoimentos dos professores, vestígios de que essa
resistência à marginalização da escola agrícola ainda se mantém. Isso ocorre quando
destacam alunos que, tendo sido formados em Escolas Agrícolas, foram e são
reconhecidos nas profissões que escolheram, ligadas ou não à agricultura. O sucesso e
reconhecimento obtido por esses profissionais foram apontados como uma
comprovação de que a formação desenvolvida em escolas agrícolas não era aquém à do
ensino regular.
Constituído esse cenário, buscamos olhar para qual foi formação necessária ou por
qual formação passaram os professores de Matemática que nele atuaram. A formação
inicial mostrou-se muito similar a de outros professores que atuaram no sistema de
ensino regular, basicamente a do curso Normal e Científico, complementada com cursos
em serviço – uma formação lacunar, sem especificidades, pouco atrelada à prática e ao
que era divulgado como sendo as necessidades da formação do técnico agrícola.
A diferença na formação do professor que lecionou Matemática nas escolas
agrícolas deveu-se, basicamente, a sua formação na prática, principalmente para aqueles
que se depararam com a necessidade de adequação ou aplicação dos conteúdos
matemáticos às necessidades da área técnica. Nesse sentido, esses professores fogem a
defghijkjeleimhdn do po dqrstuqvtwqwx x xuytuz qsr{cola:
um olhar para a 13
978-85-98092-07-2)
uma tendência dentre os professores em início de carreira – a de reproduzir práticas de
seus antigos professores. E essa é uma das faces da marginalidade: ao mesmo tempo em
que o isolamento é forçado, surgem as possibilidades e os exercícios de superação. Se
por um lado não contavam, nessas escolas, com apoio externo para sua organização
pedagógica, tal situação era revertida em autonomia e construção de um modo próprio,
ou pelo menos diferenciado, de se tornar professor de Matemática.
Reflexões
Temos clareza de que a percepção desses aspectos de marginalidade foi muito
mais da pesquisadora que dos depoentes. O que nos levou então a optar por caracterizar
esse panorama pelo viés da marginalidade se, para os nossos depoentes, esse olhar não
foi explicitamente sugerido e se a marginalidade não foi tematizada?
Um primeiro indicativo para responder a essa pergunta talvez seja que, para nós, a
escola agrícola era um objeto de pesquisa, para o qual olhamos com outros interesses,
munidos de leituras diversas e indícios vários. Os mecanismos de poder, a força da
urgência, as estratégias de controle, o peso do cotidiano – tanto para nós, pesquisadores,
quanto para nossos depoentes – exigem ação. Nós optamos por óculos que nos
permitiram ver o cenário a partir da marginalização; nossos depoentes certamente, além
do que nos indicaram com seus depoimentos, poderiam sugerir outros óculos e outros
vieses de leitura.
Um outro encaminhamento possível é o de que esse nosso trabalho é – ou
pretende ser – uma contribuição para a superação de alguns aspectos da marginalização
do ensino agrícola que ele mesmo aponta, uma vez que esse tema ganha, com nosso
trabalho, a possibilidade de freqüentar as fileiras acadêmicas, vindo a integrar, como
tema, o debate dito científico. No entanto, há, ainda e sempre, muita coisa por
compreender.
Referências
BERTAUX, D. Destinos pessoais e estrutura de classe: para uma crítica da
antroponomia política. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1979.
|}~}}| | | cola:
um olhar para a 14
978-85-98092-07-2)
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São Paulo: Martins Fontes, 2001, p. 260-289.
¡ ¡¢¡£¢¤¥ ¦¥§¨ ©¢¢ística:
uma abordagem com
o ensino médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX
EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–12. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Eixo-temático 3: Etnomatemática e Modelagem
MODELAGEM MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA: UMA
ABORDAGEM COM O ENSINO MÉDIO.
Mirian M. ANDRADE – UNESP, Rio Claro ([email protected]ª
Resumo: Este trabalho é parte de uma pesquisa de mestrado, cujo objetivo consiste em
“Propor o estudo de Estatística por meio da Modelagem Matemática no contexto do
ensino médio e assim investigar e discutir que implicações tal estratégia pedagógica
e/ou ambiente de aprendizagem pode oferecer para a aprendizagem da Estatística” e a
questão que direciona a investigação é “Quais as implicações do uso da Modelagem
Matemática para o ensino e a aprendizagem de Estatística no ensino médio?”. O
trabalho versa sobre uma investigação com alunos do ensino médio noturno de uma
escola da rede pública de ensino do interior do estado de São Paulo, na qual a
pesquisadora acadêmica também era a professora da turma. A metodologia é de cunho
qualitativo e para a obtenção dos dados que posteriormente serão analisados sob a lente
da pesquisadora, utilizaram-se algumas técnicas, a saber: observação seguida de
registros (notas de campo); entrevistas semi-estruturadas e análise das atividades
produzidas pelos alunos durante o trabalho. Abordamos os fundamentos teóricos da
Educação Estatística e suas relações com os parâmetros curriculares do ensino médio.
Apontamos a concepção de Modelagem Matemática adotada nessa investigação:
abordagem sócio-crítica, devido suas ligações diretas com o objetivo dessa investigação.
A corrente sócio-crítica da Modelagem Matemática abarca que as situações devem
propiciar a análise da natureza dos modelos matemáticos e seu papel na sociedade. Por
fim, apresentamos, em decorrência de um primeiro olhar para os dados coletados, uma
das categorias verificadas: impressões sobre o processo. Dessa forma, apresentamos
alguns dados e esboçamos uma análise preliminar desta categoria.
Palavras-chave: Educação Matemática, Educação Estatística, Modelagem Matemática.
Financiamento: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Primeiras palavras
Neste artigo apresentaremos parte de uma investigação de mestrado que se
encontra em desenvolvimento.
O objetivo da pesquisa se configura como “Propor o estudo de Estatística por
meio da Modelagem Matemática no contexto do ensino médio e assim investigar e
discutir que implicações tal estratégia pedagógica e/ou ambiente de aprendizagem pode
uma abordagem 2
com o ensino médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX
EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2).
«¬®«¯° ±² ±² ±³´µ¶·¸µ¹ ±·ºµ¹»º¼½· µ ¯´¾½·¿À³ ¯Áº·tística:
oferecer para a aprendizagem da Estatística”. Também é nosso objetivo, em acordo com
as leis que regem e educação básica nacional, favorecer e valorizar o desenvolvimento,
no estudante, de aspectos de criticidade, a consciência da importância de sua
participação na sociedade, e capacidade de associar “conteúdo escolar” com o dia-a-dia.
Dessa forma, a questão norteadora do trabalho consiste em “Quais as implicações
do uso da Modelagem Matemática para o ensino e a aprendizagem de Estatística no
ensino médio?”.
A investigação é de caráter qualitativo e a coleta de dados se concretizou com
alunos do ensino médio noturno de uma escola da rede pública de ensino do interior do
estado de São Paulo, no segundo semestre letivo de 2007, na qual a pesquisadora
acadêmica também era a professora da turma.
Segundo Perez (2004, p. 251), “o processo de ensino-aprendizagem envolvendo o
aluno, o professor e o saber matemático é visto como um dos principais projetos de
investigação em Educação Matemática.”.
Educação Estatística e seus fundamentos teóricos
A Educação Estatística teve sua origem devido a crescente preocupação com o
ensino e a aprendizagem da Estatística, dando ênfase ao abandono da memorização de
fórmulas para se focalizar nas vinculações entre o mundo e a Estatística.
Campos (2007) assegura que, nessa linha de investigação, apesar do objeto de
estudo ser a Estatística, o foco é a Educação e daí se origina a conjugação Educação
Estatística.
Duarte (2004) discorre sobre a importância da inclusão da Estatística no currículo
escolar, apresentando a relevância, para os estudantes, de possuírem e desenvolverem
sua formação nesse contexto. Assim, a autora parafraseia as idéias de Pereira - Mendoza
e Swift (1989), que durante mais de uma década investigaram sobre a importância de
inserir Estatística no âmbito escolar, culminando no apontamento de três razões para
esse fato, a saber: utilidade, estudos posteriores e estética.
Quanto à "utilidade", afirmam que "todos os indivíduos precisam de
alguns conhecimentos sobre estatística e probabilidades, para
funcionarem na nossa sociedade" (p. 17); no que diz respeito aos
"estudos posteriores" os autores preconizam que "também para tratar
situações com que se podem confrontar posteriormente, quer no
campo da matemática, quer noutros campos científicos, os alunos
precisam de ter conhecimentos na área da estatística e das
uma abordagem 3
ÂÃÄÅÂÄÆÇ ÈÉ ÈÉ ÈÊËÌÍÎÏÌÐ ÈÎÑÌÐÒÑÓÔÎ Ì ÆËÕÔÎÖ×Ê ÆØÑÎtística:
probabilidades" (p. 17); no campo da "estética" os autores pensam que
"[a] atracção estética proporciona, quer uma apreciação do poder das
técnicas, quer um conhecimento da responsabilidade da aplicação
dessas técnicas" (p. 17). (DUARTE, 2004, p. 12)
Ainda neste contexto Wodewotzki e Jacobini (2004), afirmam que a Educação
Estatística trata-se de “[...] um processo que favorece a contextualização das
informações e oferece oportunidades relevantes para reflexões e para críticas, sobretudo
quando se trata de informações de ordem social” (p. 233).
Segundo Duarte (2004) “o tema da educação estatística começou a ser abordado,
ainda que de uma forma esporádica, nos encontros anuais da American Statistical
Association” –ASA (www.amstat.orgÙÚ
ÛÕÌ ØÌ ÔÊÜÝÓÏÕÞÎ ÔÊÐÊ ÕÐÎ ÓÜØÑÓÑÕÓÖ×Ê
científica e educacional, cujos objetivos são promover e desenvolver os aspectos ligados
à área da Educação Estatística. Com o aumento das preocupações e interesses em torno
de tal tema, houve, em 1948, a criação, pelo International Statistical Institute (ISI), do
Comite
para
a
Educação
que
em
1991
passou
a
denominar-se
IASE
(www.stat.auckland.ac.nz/~iaseÙÉ
Outro importantíssimo espaço para a comunidade de educadores estatísticos é o
ICOTS –Conferência Internacional sobre o Ensino de Estatística. Essa conferência se
configura como um dos principais encontros de educadores em busca de discussão em
relação ao tema Educação Estatística, objetivo maior de sua concepção. Foi criada pelo
ISI, em Sheffield, UK, 1982, acontece com periodicidade de quatro anos, em diferentes
partes do mundo. O último ICOTS, o sétimo, foi realizado no Brasil, na cidade de
Salvador – BA, de 2 a 7 de julho de 2006. A oitava International Conference on
Teaching Statistics, ICOTS 8, ocorrerá na cidade de Ljubljana, Slovênia de 11 a 16 de
julho de 2010.
Educação Estatística e Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio
A antiga Lei nº 5692/71 assegurava que o 2º grau se caracterizava por duas
funções básicas: preparar o aluno para o prosseguimento dos estudos (ensino superior,
por exemplo) e habilitar para exercício de uma profissão técnica. Essa lei foi substituída
pela Lei nº 9394/96 que reestrutura o 2º grau, passando esse a se denominar “Ensino
Médio”.
A nova lei estabelece que o Ensino Médio deve
uma abordagem 4
ßàáâßáãä åæ åæ åçèéêëìéí åëîéíïîðñë é ãèòñëóôç ãõîëtística:
assegurar a todos os cidadãos a oportunidade de consolidar e
aprofundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental;
aprimorar o educando como pessoa humana; possibilitar o
prosseguimento de estudos; garantir a preparação básica para o
trabalho e a cidadania; dotar o educando dos instrumentos que o
permitam “continuar aprendendo”, tendo em vista o desenvolvimento
da compreensão dos “fundamentos científicos e tecnológicos dos
processos produtivos” (Art.35, incisos I a IV). (LDB, 1996 apud SÃO
PAULO, 2004, p. 10)
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional explicita o Ensino Médio como
a “etapa final da educação básica” (Art. 21), sendo a Educação Básica composta pela
educação infantil, ensino fundamental e ensino médio (Art. 36).
Assim, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM)
estabelecem uma base comum organizada em três áreas curriculares, sendo elas:
Linguagens e Códigos, Ciências Humanas e Ciências da Natureza e Matemática. Essa
última área citada é composta pelas disciplinas de Biologia, Física, Química e
Matemática.
Cada uma dessas áreas, bem como suas disciplinas afins, é constituída por seus
temas estruturais. Como o objetivo, nesse trabalho, é o ensino e a aprendizagem de
Matemática, mais especificamente de conceitos de estatística no ensino médio, nos
prenderemos apenas a discussão dos temas estruturais de Matemática.
Os três eixos norteadores do conteúdo de Matemática previsto para o Ensino
Médio são: Álgebra: números e funções; Geometria e medidas; Análise de dados.
Álgebra: números e funções está organizado em duas unidades temáticas, a saber:
variação de grandezas e trigonometria, e o eixo Geometria e medidas se estrutura por
quatro unidades temáticas, sendo geometrias plana, espacial, métrica e analítica. Em
relação ao eixo Análise de dados, que se refere ao foco desta investigação, pode ser
organizado em três unidades temáticas: Estatística, Contagem e Probabilidade.
Novamente articulando a discussão com o objetivo da pesquisa apresentamos
como se compõe a unidade temática Estatística
Estatística: descrição de dados; representações gráficas; análise de
dados: médias, moda e mediana, variância e desvio padrão.
• Identificar formas adequadas para descrever e representar dados
numéricos e informações de natureza social, econômica, política,
científico-tecnológica ou abstrata.
uma abordagem 5
ö÷øùöøúû üý üý üþÿA
A
üA
A
úÿ
þ útística:
• Ler e interpretar dados e informações de caráter estatístico
apresentados em diferentes linguagens e representações, na mídia ou
em outros textos e meios de comunicação.
• Obter médias e avaliar desvios de conjuntos de dados ou
informações de diferentes naturezas.
• Compreender e emitir juízos sobre informações estatísticas de
natureza social, econômica, política ou científica apresentadas em
textos, notícias, propagandas, censos, pesquisas e outros meios.
(PCNEM apud SÃO PAULO, 2004, p. 127)
Para desenvolvimento de trabalhos direcionados ao estudo (referindo-se ao
processo de ensino e aprendizagem) de conceitos de Estatística, pesquisadores vêm
relacionando tais trabalhos, entre outros, com a Modelagem Matemática, a Tecnologia e
a Educação a Distância, nos quais estimulam as interpretações ao invés de
predominarem os cálculos.
O Programa de Pós Graduação em Educação Matemática (PGEM) na UNESP Rio Claro-SP, um dos mais importantes programas brasileiros nessa área, “abriga” um
dos grupos de estudos em Educação Estatística, o GPEE (Grupo de Pesquisa em
Educação Estatística), coordenado pela Profa. Dra. Maria Lúcia L. Wodewotzki, que,
atualmente, orienta pesquisas de mestrado e doutorado nessa área. Esse grupo de estudo
tem como principais linhas de pesquisa o trabalho com Modelagem Matemática,
trabalhos com investigação e a reflexão na sala de aula, tendo o apoio de tecnologia
informática e ênfase no desenvolvimento do pensamento estatístico.
Modelagem Matemática nessa investigação: um olhar
Nessa investigação fizemos uso da Modelagem, vista por nós, nesse trabalho,
como uma estratégia pedagógica e ambiente de aprendizagem.
A expressão ambiente de aprendizagem é oriunda de Skovsmose (2000) quando
se refere às condições em que estudantes desenvolvem determinadas atividades, os
quais diferenciam por aqueles ambientes que se enquadram na idéia do paradigma do
exercício e aqueles que favorecem uma abordagem de investigação.
Ao ambiente que favorece a investigação, Skovsmose (Ibidem) denomina de
cenários de investigação, assim propõe um ambiente “no qual os alunos são convidados
a se envolverem em processos de exploração e investigação justificada”
tística: uma abordagem 6
! "
(SKOVSMOSE, 2000, p. 1). “Chamo de cenário para investigação um ambiente que
pode dar suporte a um trabalho de investigação”. (SKOVSMOSE, 2000, p. 4).
Nesse contexto tentamos esboçar qual a nossa concepção de Modelagem.
Contudo, Biembengut e Hein (2007, p. 35), afirmam que “A Modelagem Matemática
não possui um estatuto definido.” Nessa direção, Barbosa (2007, p. 162) afirma que “A
definição de um conceito de Modelagem, entretanto, não dá conta de gerar
compreensões sobre a prática dos alunos nesse ambiente de aprendizagem”. Contudo é
preciso ter clareza sobre o que estamos chamando de Modelagem.
Diante das diversas concepções apresentadas pela literatura referente e das
ressalvas em relação à definir Modelagem, nos remetemos a delinear as características
de Modelagem dessa pesquisa.
Dessa forma, a concepção de Modelagem Matemática adotada nesse trabalho é a
abordagem sócio-crítica, devido suas ligações diretas com o objetivo dessa investigação.
A corrente sócio-crítica da Modelagem Matemática abarca que as situações
devem propiciar a análise da natureza dos modelos matemáticos e seu papel na
sociedade. Essa linha foi proposta por Barbosa (2003, 2006) como uma terceira
perspectiva para denotar trabalhos de modelagem em educação matemática, tomando
como base as duas correntes propostas por Kaiser-Messmer (1991) para os trabalhos de
Modelagem Matemática no cenário internacional, a saber: pragmática e a científicahumanista. A perspectiva sócio-crítica da Modelagem enfatiza o conhecimento
reflexivo.
A expressão sócio-crítica está vinculada à idéia defendida por SKOVSMOSE
(2001) nomeada de Educação Matemática Crítica. Essa perspectiva enunciada por
Barbosa exprime “um esforço de teorizar as implicações dos estudos críticos sobre o
papel da matemática na sociedade, no desenvolvimento do ambiente de Modelagem
Matemática” (BARBOSA; SANTOS, 2007, p. 2). Dessa forma, corroboramos com
Jacobini (2007) quando afirma que
a Educação Crítica insere-se e se desenvolve num contexto
caracterizado, de um lado, por discussões relacionadas com formas de
dominação (econômicas e culturais), com problemas sociais, com
críticas e com relações democráticas que objetivam transformações
nas estruturas sociais, políticas, econômicas e éticas da sociedade; de
outro, por construções de ambientes democráticos nas salas de aula
que garantam o diálogo entre os participantes do processo de ensino e
de aprendizagem, igualdade entre eles, constantes questionamentos e
#$%&#%'( )* )* )+,-./0-1 )/2-13245/ - ',65/78+ '92/
indagações, reflexões e reações às contradições. (JACOBINI, 2007, p.
125)
A perspectiva sócio-crítica está ligada a debates da matemática na sociedade, a
discussão sobre suas aplicações, bem como no auxílio ao indivíduo para enfrentar
situações de viés matemático em seu cotidiano. As atividades desenvolvidas nesse
âmago buscam abranger o conhecimento matemático, de Modelagem e o reflexivo,
tendo por objetivo indagar e questionar situações reais por meio da matemática
evidenciando o caráter cultural e social da Matemática.
Uma característica relevante da Modelagem nessa investigação é a constituição de
um trabalho de Modelagem Matemática sem a criação de um modelo.
Quando nos referimos à Modelagem, a priori, nos remetemos à idéia da criação de
um modelo. A primeira impressão que temos, geralmente, é que para o desenvolvimento
de um trabalho com Modelagem há a necessidade de criar-se o modelo e isso está
intimamente ligada à etimologia da palavra modelagem.
Contudo, nem sempre esse processo ocorre. Dessa forma, podemos afirmar que
existem diversos casos de modelagem, entre eles, por exemplo, aqueles em que há a
criação de um modelo e aqueles em que aproveita-se um modelo pronto para o estudo
da situação interesse. Esse último caso, geralmente é utilizado quando há necessidade de
cumprir um currículo programático e/ou quando os estudantes envolvidos não possuem
um conhecimento matemático prévio, ou mesmo maturidade, suficiente para o
desenvolvimento de um modelo e/ou aplicações.
Orey e Rosa (2007, p. 155) asseguram que “a escolha do tipo de abordagem a ser
utilizado pelo professor dependerá dos conteúdos envolvidos, do nível de maturidade
dos alunos e também da experiência do professor com a utilização do processo de
modelagem em sala de aula”.
Nesse contexto, Barbosa (2001, p. 36), atesta que “[...] o importante (quando a
Modelagem é aplicada na sala de aula) não é a construção do modelo em si, mas o
processo de indagação e investigação, que pode, ou não envolver a formulação de um
modelo matemático propriamente dito”.
Nessa direção está o objetivo deste trabalho, que visa investigar o processo da
utilização da modelagem na sala de aula e, por conseguinte suas implicações, e não
propriamente a constituição de um modelo.
:;<=:<>? @B @B @CDEFGHEI @GJEIKJLMG E >DNMGOPC >QJG
Biembengut (2004, p. 30) se refere à modelagem sem a criação de um modelo
apoiando a necessidade de cumprimento do currículo programático escolar e coloca que,
“De acordo com o conteúdo programático a ser desenvolvido, elabora-se um modelo
matemático ou toma-se um modelo pronto de alguma área do conhecimento e adapta-o
para o ensino”.
Caldeira (2007, p. 83) referindo-se a um trabalho de etnomodelagem desenvolvido
com alunos de uma escola de zona rural afirma que
não necessariamente se faz presente um modelo do objeto no final do
processo, pois o objetivo principal não é chegar ao modelo, o que
importa é o processo que professor e estudante percorrem para
alcançar uma situação de tomada de decisão ou compreensão do
objeto estudado [...].
Uma experiência de Educação Estatística por meio da Modelagem Matemática
O trabalho foi realizado com os alunos da terceira série do ensino médio, cuja
turma era composta por 23 estudantes, período noturno, da Escola Estadual Ary Leite
Pereira situada na cidade de Limeira, interior do estado de São Paulo. A pesquisa
desenvolveu-se durante as aulas de matemática (4 horas aulas semanais), onde a
pesquisadora também era docente da turma.
Caracterizamos, então, parte da viabilidade da investigação proposta, visto que
esse trabalho incorpora o processo de ensino e aprendizagem, no qual estão envolvidos
o professor e o aluno.
Para a obtenção dos dados que posteriormente serão analisados sob a lente da
pesquisadora, utilizaram-se algumas técnicas, a saber: observação seguida de registros
(notas de campo); entrevistas semi-estruturadas e análise das atividades produzidas
pelos alunos durante o trabalho.
Alves-Mazzotti (2004, p. 163) atesta que “As pesquisas qualitativas são
caracteristicamente multimetodológicas, isto é, usam uma grande variedade de
procedimentos e instrumentos de coleta de dados.”. Essa autora afirma que a entrevista,
a análise de documentos e a observação são os instrumentos mais utilizados, mas que
podem ser complementados por outras técnicas.
As etapas para a efetivação do trabalho com os alunos foram as seguintes:
proposta da Modelagem Matemática, divisão em grupos, escolha do tema “Alcoolismo
RSTURTVW XY XY XZ[\]^_\` Xâ\`bacd^ \ V[ed^fgZ Vha^
e Adolescência”,
i^`c]c^jck^fgZ
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pesquisa
quantitativa feita pelos alunos (164 entrevistados), estudo da estatística indicada para
essa série do ensino médio.
Os alunos fizeram a pesquisa quantitativa, com as variáveis desejadas, e a partir
desses dados ocorreu o estudo do conteúdo de Estatística indicado para essa série do
ensino médio, que de acordo com os Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (apud
SÃO PAULO, 2004) são: descrição de dados; representações gráficas; análise de dados:
média, moda e mediana, variância e desvio padrão.
Os dados: uma análise preliminar
Enveredamo-nos pelas observações feitas, pela pesquisadora e professora da
turma, durante a realização do trabalho em sala de aula, olhamos, minuciosamente, para
as atividades produzidas pelos alunos nesse período, e, para completar os dados de
análise, ouvimos as vozes dos participantes que se fizeram por meio de entrevistas no
final do trabalho.
Nesse passeio pelos dados, bem como na articulação dos mesmos, trazemos à tona
categorias consideradas, por nós, relevantes na tentativa de tecer delineamentos
condizentes à pergunta diretriz dessa investigação assim como ao seu objetivo.
Os olhares para as atividades dos alunos e as observações realizadas consistem em
buscar vestígios que possam auxiliar nas considerações relativas ao objetivo do trabalho
e à questão norteadora da pesquisa. Considerar as vozes dos participantes, focando as
entrevistas de alguns alunos após o encerramento do projeto, busca identificar, na fala
desses, indícios que culminam no estabelecimento de implicações da
Modelagem Matemática para o processo de ensino e aprendizagem da Estatística
no ensino médio.
Nesse trabalho enfatizaremos o primeiro olhar para uma categoria verificada, a
saber: Impressões sobre o processo.
Apoiamos-nos em Barbosa (2003) que, baseado nas idéias de Blum, aponta cinco
principais razões para a inclusão da Modelagem na sala de aula, a saber: Motivação,
Facilitação da aprendizagem, Preparação para utilizar matemática em diferentes áreas,
Desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e Compreensão do papel
sociocultural da matemática.
opqroqst uv uv uwxyz{|y} u{~y}~{ y sx{w s~{
Dessa forma, trazemos alguns dados que culminam na justificativa dessa
categoria, bem como na análise que faremos desta. Os nomes dos alunos são fictícios.
Renato: Eu achei bem interessante, acho que o aluno fica bem mais
preso, fazendo atividade diversificada assim, tendo que fazer pesquisa
e as outras coisas, achei bem interessante [...]
Gabriela: Do jeito que o trabalho foi elaborado, eu acho assim que a
gente conseguiu aprender mais do que na sala de aula, a gente pegar e
copiar...é copiar, foi mais elaborado, a gente conseguiu interagir mais
dentro do trabalho, a gente se sentiu mais dentro do trabalho [...]
Gabriela: [...] eu me senti, assim, bem realizada por causa que... foi
um trabalho que a gente...foi esforço nosso né. Não foi um
trabalho...ah vc vai e baixa da internet e pronto, não... porque a gente
teve pesquisa, teve bastante...o grupo, não só o nosso grupo, mas
vários grupos se reunia e falava “ah!... A gente debatemos algumas
coisas com você, essas coisas né, eu gostei, foi um trabalho bastante
produtivo, não só pra mim, mas acredito que para todos os grupos e eu
gostei, foi um trabalho bem...produtivo.
Foi ótimo trabalhar com meus amigos de sala, foi um trabalho muito
produtivo, uma aula diferente que deu certo, a professora foi muito
criativa em passar esse trabalho para a gente, gostei muito. (Extraído
de atividade feita pela aluna Alice)
Dinâmica 10!! (Extraído de atividade feita pelo aluno Cláudio).
Gostei muito, devemos fazer mais vezes!!! (Extraído de atividade feita
pelo aluno Eduardo).
Este artigo é fruto das leituras e estudos realizados durante esse período do
mestrado que ainda encontra-se em desenvolvimento. Apontamos, nesse texto, parte do
referencial teórico da pesquisa e um breve olhar sobre os dados. Assim, optamos por
apresentar uma das categorias que selecionamos e os dados que culminaram nessa.
Acreditamos, a priori, que a Modelagem oferece aspectos relevantes positivos e
dificuldades quando aplicada na sala de aula.

Referências
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¾¿ÀÁÂÃ ÄÅ ÂÅ ÆÇÈÈÇÉÊËÇÌ Í ÎÊÌÉÏÈÊÇ ¿ÈÇÐÑ ÒÓÌÌÊÔÊÐÊÕ
Eixo-temático 5: História e Filosofia
NARRATIVAS E HISTÓRIA ORAL: POSSIBILIDADES EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
Ms. Luzia Aparecida de SOUZA- UNESP, Rio Claro ([email protected]Ö
Resumo: Este texto delineia algumas considerações acerca do trabalho com história
oral que tem sido realizado em Educação Matemática, de forma mais específica no
Grupo de História Oral e Educação Matemática – GHOEM. Buscando apontar a
narrativa como uma possibilidade para estudos nesta área, optou-se por delinear
algumas características do movimento nas Ciências Sociais que levou à consideração da
oralidade como fonte legítima para a sociologia e, posteriormente, para a história.
Optou-se ainda por focar algumas discussões que constituem uma articulação teórica
específica (em educação e em história) para a história oral na Educação Matemática.
Essas discussões focam noções centrais à historiografia como objetividade, verdade,
memória, esquecimento e documentos, articulando o que ajudará a compor o que
chamaremos de metodologia de pesquisa. Optou-se, neste artigo, por delinear alguns
dos procedimentos que ajudam a constituir essa metodologia e que têm sido essenciais
para a construção de narrativas de professores, alunos, diretores e outros membros da
comunidade escolar no presente ou no que alguns autores chamam de passado recente.
As considerações a serem apresentadas no texto aqui proposto estão relacionadas a uma
investigação de mestrado que teve por objetivo delinear as concepções e interesses que
fundamentam a opção de pesquisadores em Educação Matemática pela história oral.
Esta investigação foi realizada a partir de estudos acerca de publicações e entrevistas
com dez pesquisadores do grupo de pesquisa em questão. Este texto constitui-se como
um pequeno esboço das questões discutidas com esses pesquisadores e visa apontar
algumas possibilidades para trabalhos em História da Educação Matemática, ou mesmo
História da Educação.
Palavras-chave: Narrativa, História Oral, Educação Matemática.
Financiamento: CNPq.
Introdução
O GHOEM (Grupo de História Oral e Educação Matemática) é um grupo
interinstitucional que trabalha com história oral na perspectiva de metodologia de
pesquisa em sete estados brasileiros e foi o foco do trabalho a ser apresentado por se
des em Educação Matemática. 2
SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-9. (ISBN. 978-85-98092-07-2)
×ØÙÚÛÜ ÝÞÛÞ ßàááàâãäàå æ çãåâèáãà éáàêë ìéååãíãêãîà
dedicar, entre outros temas mais específicos, a uma regulação metodológica contínua,
permanente.
Pensar em metodologia de pesquisa é considerar uma articulação coerente entre
pressupostos teóricos e procedimentos de investigação. Essa articulação se altera,
obviamente, ao alterarmos os campos e teorias a serem articulados, o que torna
impossível atribuir filiação a este processo. Dessa forma, metodologias não seriam
reproduzidas por várias áreas, mas criativamente apropriadas, de forma a alterar, com
suas peculiaridades, a articulação inicial.
No trabalho realizado pelo GHOEM na Educação Matemática, essa articulação
envolve uma concepção de História específica (ligada ao movimento historiográfico da
Escola dos Annales e, mais recentemente, da Nova História), um diálogo com a
pesquisa qualitativa, fontes orais e estudos acerca de teorias ligadas à narrativa em
Educação.
Algumas questões sobre História
Por um longo tempo, a perspectiva positivista guiou as práticas em História em
busca de objetividade, de anulação do historiador para a revelação da pura verdade
histórica. O necessário distanciamento entre pesquisador e suas fontes restringiu, em
certo sentido, os tipos de documentos a serem considerados neste processo. As fontes
escritas assumiram um papel essencial, visto que esse distanciamento passou a ser
entendido como temporal. Estudar documentos que foram produzidos num passado não
tão recente constituía-se como um meio de garantir a distância, o afastamento, a
neutralidade.
Preocupações com a ampliação de fontes a serem consideradas, preocupações com
o olhar que se tem sobre as coisas, entre outras, levaram ao reconhecimento expresso na
fala de Rebérioux em entrevista para D’Aléssio (1998): a busca por causas é sempre
insuficiente e são as preocupações do presente que fundamentam o estudo do passado.
A idéia de que é no presente que encontramos os indícios e vestígios responsáveis
pelo fomento de todo e qualquer estudo é fundamental para compreender a
impossibilidade de um movimento de distanciamento, neutralidade. O ponto de partida
em qualquer pesquisa, segundo Bloch (2001) é o que conhecemos bem ou mal,
partiríamos daí em busca do mais obscuro.
S
ùø ýýûûûødes em Educação Matemática. 3
ïðñòóô õöóö ÷øùùøúûüøý þ ÿûýú ùûø
É importante ressaltar que o pesquisador não se apresenta “desarmado” perante
esses indícios e pistas. Para Bloch:
Em nossa inevitável subordinação em relação ao passado, ficamos
[portanto] pelo menos livres no sentido de que, condenados sempre a
conhecê-lo exclusivamente por meio de [seus] vestígios, conseguimos
todavia saber sobre ele muito mais do que ele julgara sensato nos dar a
conhecer. [É, pensando bem, uma grande revanche da inteligência
sobre o dado.]. (BLOCH, 2001, p. 78)
Dessa forma, a idéia de mostrar as coisas tal qual aconteceram apresenta-se
demasiado complicada. O exercício de questionar os documentos na pesquisa e a
variedade de direções para este exercício pode levar o pesquisador a gamas distintas de
informações.
As próprias transformações na historiografia são inseridas neste debate por
Vovelle (1995 apud D’ALESSIO, 1998, p. 97): “[...] mais que pela dinâmica própria de
extensão das curiosidades e dos “territórios” do historiador, pode ser legítimo explicar
essas transformações [...] pelo fato evidente de que todo historiador expressa,
conscientemente ou não, as interrogações de seu tempo”.
A necessidade de ampliação de fontes históricas caminha junto com essas
preocupações.
Os documentos escritos, considerados por muito tempo como supremos,
freqüentemente não relatavam o que era usual, focando o incomum, como casamentos
desfeitos, igrejas mal comportadas, etc. Tratava-se de vidas, movimentos, punições pela
ótica da Igreja, do Reinado...
O movimento da História Nova (LE GOFF, 2001), inspirado na Escola dos
Annales, aponta para a busca, em certa época, por uma ampliação de fontes e pelo
reconhecimento da impossibilidade de neutralidade na pesquisa histórica.
Da verdade histórica
As dificuldades encontradas na consideração de outras fontes para a história
estiveram, muitas vezes, ligadas à noção de verdade. As fontes orais, por exemplo,
foram consideradas por muito tempo como não confiáveis. Quanto a esta confiabilidade
e veracidade, Bloch faz um alerta: “nem todos os relatos são verídicos e os vestígios
materiais, [eles] também, podem ser falsificados” (p. 89). Já Le Goff afirma que, no
limite, todo documento é falso. Nenhum documento constitui-se como a verdade, mas
como uma representação de algo, assim como a leitura que se faz desse documento
(oral, pictográfico ou escrito). Cada olhar constrói uma versão histórica.
A triagem entre o verdadeiro e o falso seguida por alguns pesquisadores deve,
portanto, ser cautelosa. Bloch (2001) pede para que por trás de uma aparente impostura
se busque o homem.
Dessa forma, a noção de verdade pode ser pluralizada. Passam a existir “verdades
para um sujeito” e a busca por semelhanças entre fontes para constatar sua validade
perde um pouco o sentido. Essa busca por semelhanças ajuda a compor o método crítico
proposto por Bloch, mas o próprio autor questiona-se acerca do lugar reservado à
descoberta neste seu método. Se considerarmos que a descoberta caminha junto à
surpresa e à dessemelhança, pensar em uma ciência que buscasse o parecido, o próximo
seria optar por uma prática não proveitosa, nas palavras de Bloch, não divertida.
Dessa forma, para além da busca pelo verdadeiro ou falso, a prática em história
dedicar-se-ia à constituição de versões e ao terreno que as tornou uma “verdade”,
singular ou coletiva.
Do esquecimento
Com a ampliação de fontes históricas, a oralidade é reconhecida e passa a exercer
suas potencialidades no estudo de história de gente comum, de uma passado mais
recente, de práticas, entendimentos, significados.
Memória, história e a diferença entre esses conceitos passam a compor o discurso
de alguns historiadores. Para alguns desses estudiosos as memórias podem ser
confrontadas, evocadas, mas não constituem (sozinhas ou em grupo) a história. Esta
consistiria na escolha e construção de algo, o que só se tornaria possível a partir da
lembrança.
Esta, por sua vez, não é o único fator relevante neste debate. Mitre (2003)
argumenta pela importância, neste processo, do esquecimento. Para Mitre a evolução do
conhecimento não é dependente somente da capacidade de preencher vazios, mas
também de habilidade para criá-los.
Este autor aproxima-se da história de Funes el memorioso, contada por Jorge Luis
Borges para discutir o esquecimento. O protagonista desta história, após um golpe
acidental na cabeça, perde a capacidade de esquecer e de fazer abstrações. As
reproduções feitas por Ireneo (protagonista) seriam tão fiéis e detalhadas que levaria um
!"# $%"% &'((')*+', - .*,)/(*' 0('12 30,,*4*1*5'des em Educação Matemática. 5
dia para relatar o acontecido no período de um dia. Segundo Mitre, “empanturrado de
informações, o Memorioso acaba sendo incapaz de contar uma simples história, o que
exigiria reconhecer nos fatos algum tipo de estrutura, sentido ou direção – um desafio
insuportável para semelhante prodígio”(p.15).
Dessa forma, o esquecimento não seria uma falha da memória ou mesmo motivo
para crítica quanto à realização de entrevistas com professores de anos (décadas)
passados, mas uma necessidade fundamental para a organização de informações, para a
busca da ordem de idéias, para a comunicação de uma narrativa.
Narrativas e método na perspectiva do GHOEM
Considerando o trabalho com história oral e narrativa, alguns autores apontam a
influência das idéias de Wilhelm Dilthey (1833-1911) como determinantes de uma nova
postura nas Ciências Sociais e, posteriormente na História. Dilthey nega a pesquisa
como atividade neutra e objetiva e que deveria seguir os métodos das ciências naturais.
Dessa forma, defende como necessário o desenvolvimento de um método próprio às
ciências sociais considerando a existência de diferenças fundamentais entre os focos de
estudo dessas áreas.
Segundo Goldenberg (2003),
Estes cientistas buscam compreender os valores, crenças, motivações
e sentimentos humanos, compreensão que só pode ocorrer se a ação é
colocada dentro de um contexto de significado. [...]
Esta discussão filosófica mais geral, que diferencia as ciências sociais
das demais ciências, contextualiza o surgimento e o desenvolvimento
das técnicas e métodos qualitativos de pesquisa social. (p. 19)
Essa nova perspectiva das Ciências Sociais a manteve de fora das instituições de
ensino e das pesquisas controladas pela História tradicional, o que levou a uma luta
entre profissionais dessas áreas. Os cientistas sociais questionavam os historiadores
esperando que estes revissem seu método de abordagem humana.
Com essa mudança de perspectiva, novos registros eram incorporados às fontes
comumente utilizadas como cartas pessoais, diários, entre outros.
Neste sentido, contribuições significativas são atribuídas à Escola de Chicago
devido à efetivação dessa ampliação de fontes, à exploração documental e ao trabalho
de campo sistemático.
6789:; <=:= >?@@?ABC?D E FBDAG@B? H@?IJ KHDDBLBIBM?des em Educação Matemática. 6
De acordo com Bogdan e Biklen (1994) a Escola de Chicago era formada por um
grupo de sociólogos com funções docentes e discentes no departamento de Sociologia
da Universidade de Chicago que contribuiu para o desenvolvimento do método hoje
chamado “qualitativo”.
Entre os estudos de caso utilizados, surgem as histórias de vida como forma
legítima de produção de conhecimento.
O falar de si, segundo Goldenberg (2003), coloca-se como um meio de perceber a
universalidade por meio da especificidade de uma vida individual e, assim, emerge o
método biográfico.
Vários autores alertam para o cuidado que deve ter o pesquisador ao trabalhar com
biografias, histórias de vida e autobiografias. Este cuidado passaria pelo fato de que, da
mesma forma que outros documentos, eles não revelam a totalidade da vida de um
indivíduo, mas uma versão selecionada que pode, inclusive, deixar de lado coisas que
para ele seriam desagradáveis, traumáticas.
A história narrada por uma pessoa é, certamente, a versão que ela quer dar a
conhecer ao seu interlocutor e a percepção disto, como vimos antes, gerou e sustentou
por muito tempo um discurso sobre a ilegitimidade das fontes orais perante as fontes
escritas.
O estudo de narrativas tem acenado para várias possibilidades no entendimento de
práticas docentes e cotidiano escolar, no sentido de que trabalha com a visão que o outro
cria de si ao narrar-se e/ou à sua prática.
Bolívar (2002) volta-se à questão da narrativa afirmando que para compreender
algo humano, pessoal ou coletivo, é necessário contar uma história. Para este autor, a
investigação biográfica narrativa se tem constituído como uma perspectiva específica de
investigação educacional e não em uma metodologia.
O GHOEM, por sua vez, trabalha com a produção de narrativas a partir de
situações de entrevista. Entre os procedimentos ligados à história oral estão os cuidados
éticos e de edição que envolvem gravação, transcrição (registro, por meio da escrita, da
entrevista), textualização (“limpeza do texto”, constituição de uma narrativa que, na
visão do entrevistador, poderia ser dita pelo seu depoente) e cartas de cessão (que os
entrevistados devem assinar para sua utilização na pesquisa).
A construção dessa narrativa é feita a partir da textualização por meio de
negociações entre entrevistador e entrevistado. A primeira versão dessa textualização é
NOPQRT UVRV WXYYXZ[\X] ^ _[]Z`Y[X aYXbc da]][e[b[fXdes em Educação Matemática. 7
produzida pelo entrevistador a partir da gravação e constitui-se como um encadeamento
de idéias que diz o que, segundo o entrevistador, o entrevistado quis dizer. Este último,
por sua vez, ao receber este texto identifica-se ou não com aquele encadeamento e
pontuação (que dá o tom do que foi dito), tendo ampla liberdade para fazer inserções e
retiradas de trechos. A carta de cessão para uso da narrativa produzida somente é
assinada após a construção deste texto que o entrevistado permite dar a publicar.
O trabalho com história oral, na visão defendida pelo GHOEM, requer um
primeiro cuidado - intencional - de produção de fontes, ou seja, uma pesquisa que se
vale desta metodologia tem como interesse imediato criar documentos históricos, a
partir da oralidade, a serem disponibilizados a pesquisadores de diversas áreas de
investigação.
Na linha História da Educação Matemática, explorada pelo GHOEM, a criação e
estudo das narrativas de docentes, alunos, diretores, entre outros membros da
comunidade escolar, têm permitido uma releitura dos documentos encontrados em
arquivos escolares e o esboço de uma versão sobre a dinâmica escolar de uma certa
época.
Rosinete Gaertner (pesquisadora vinculada ao GHOEM), uma das entrevistadas
nesta pesquisa, afirma que a construção de narrativas a partir da oralidade traz à tona
informações não encontradas em documentos escritos, permitindo a construção de uma
outra história.
Há uma história que está na memória das pessoas, que não está
registrada nos documentos. Agora, por exemplo, estou começando um
projeto de pesquisa com alunos de graduação, de iniciação científica.
Em Santa Catarina, quando ocorre a nacionalização do ensino em
1938 nas escolas alemãs e os seus professores demitidos, o governo
cria um curso chamado Curso Complementar que tinha por objetivo
formar professores em dois anos para substituir os demitidos. Só que,
praticamente, não tem nada registrado desse curso. Fui pesquisar em
documentos (gosto de olhar os registros escritos), afinal de contas o
que era isso? O que você encontra? Portarias de autorização do curso
e, nas escolas, têm as grades curriculares que citam as disciplinas e
mais nada. O que era o curso, como ele funcionava, que profissional
ele formava? Nada há. Então, pretendo pesquisar junto às pessoas que
fizeram esse curso e que se tornaram professores das escolas rurais
porque, basicamente, o curso formava professores de escolas rurais
em dois anos. (SOUZA, 2006, p. 234. Entrevista concedida em 16 de
janeiro de 2005)
ghijkl mnkn opqqprstpu v wsurxqsp yqpz{ |yuus}szs~pdes em Educação Matemática. 8
Gilda Lúcia Delgado de Souza (pesquisadora vinculada ao GHOEM), entrevistada
nesta pesquisa, afirma que os pesquisadores carecem de escrever uma história da
Educação Matemática que se processa ao longo do tempo, envolvendo a formação de
professores, diferentes tipos de escolas, práticas de sala de aula que precisam ser
contadas. “Penso que a pesquisa em História Oral e Educação Matemática tem por
tarefa dar visibilidade a essas possibilidades esquecidas, numa luta para tirar do silêncio
um passado que a historiografia ainda não conta”. (SOUZA, 2006, p. 201. Entrevista
concedida em 10 de novembro de 2004).
Considerando a importância das fontes orais e as potencialidades da construção de
narrativas a partir da oralidade, o trabalho em História da Educação Matemática
realizado por pesquisadores do GHOEM tem sido realizado em duas frentes: a que
aborda os temas próprios da Educação Matemática (como ensino, aprendizagem,
formação de professores de matemática, matemática escolar, livros didáticos, entre
outros) e a que aborda a perspectiva fundante (esboçada no início deste texto) desta
metodologia que é a constituição de novas fontes (orais, imagéticas e escritas) para
estudos nesta e em outras áreas.
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Telles. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 2001.
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latinoamericano. Belo Horizonte: Editora da UFMG, 2003.
SOUZA, L. A. de. História oral e Educação Matemática: um estudo, um grupo, uma
compreensão a partir de várias versões. 314p. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual
Paulista, Rio Claro, 2006.
¡ ¢ £¤ ¥¦§¨¢¥©ª¢§«¦ ¬¢¦ª«rico apresentado por
alunos do Ensino Médio: uma análise das relações subordinadas e supra-ordenadas
envolvendo os conceitos de polígono e poliedro. Anais do IX Encontro Paulista de
978-85-98092-07-2)
O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO APRESENTADO POR ALUNOS DO
ENSINO MÉDIO: UMA ANÁLISE DAS RELAÇÕES SUBORDINADAS E
SUPRA-ORDENADAS ENVOLVENDO OS CONCEITOS DE POLÍGONO E
POLIEDRO1
Ms. Marcelo Carlos de PROENÇA- Colégio São Francisco
([email protected]®
Dr. Nelson Antonio Pirola – FC – UNESP, Bauru ([email protected]®
Resumo: Este estudo faz parte da área de pesquisa denominada Psicologia da Educação
Matemática, cujo aporte teórico é baseado nos trabalhos da Psicologia Cognitiva e
busca entender como as pessoas interpretam e compreendem a matemática, a fim de
propiciar melhorias no processo de ensino e aprendizagem dessa disciplina. O objetivo
do presente trabalho é apresentar a investigação realizada sobre o conhecimento de 253
alunos do ensino médio de uma escola pública da cidade de Bauru/SP sobre a
identificação de relações subordinadas e supra-ordenadas entre exemplos de polígono e
de poliedro. A base teórica do estudo foi o modelo de aprendizagem e desenvolvimento
de conceitos elaborado por Klausmeier e Goodwin (1977). Foi aplicado um teste de
relações subordinadas e supra-ordenadas contendo 30 afirmações lógicas. Os dados
foram quantificados e analisados mediante dois testes estatísticos: qui-quadrado ( 2),
que verificou a existência de diferenças significativas nas porcentagens de acertos por
afirmação, e análise de variância (ANOVA) (teste F), que verificou essa mesma
existência nas médias por série. Os resultados mostraram a existência de diferenças
significativas em seis afirmações, sendo uma delas todo quadrado é losango (p =
0,003), a qual correspondeu a que apresentou a porcentagem mais baixa de acerto, um
índice de 40,7%. A média geral de 5,64 (de zero a dez) refletiu o baixo desempenho dos
participantes, sendo que a nota média obtida pela primeira série diferiu
significativamente da nota média obtida pela terceira série (p = 0,024). Pelo
desempenho apresentado, observou-se que os participantes tiveram dificuldades para
identificar corretamente as afirmações e uma das causas pode ser a falta de
conhecimento sobre os atributos definidores comuns que relacionavam as figuras
analisadas.
Palavras-chave: Geometria, Formação de Conceitos, Polígonos e Poliedros.
Financiamento: Parcial da CAPES
¯°±²³´µ¶ ·¸¹¸ º ¯»°±¼µ¶ ³¸ µ¸ ± ½¾¿Àº½ÁÂº¿Ã¾ Äº¾ÂÅÃrico apresentado por 2
978-85-98092-07-2)
Introdução
Uma das grandes preocupações de pesquisadores interessados no ensino de
matemática é sobre a melhoria do ensino de geometria. Tal preocupação é sustentada,
entre outras, pela pesquisa de Pavanello (1993), a qual mostrou que esse ensino estava
em um estado de abandono na educação básica. Uma situação que contribuiu para isso
era a presença da geometria nos últimos capítulos dos livros didáticos, sendo que os
professores de matemática se detinham muito mais a outros assuntos como a álgebra e,
ao final do período letivo escolar, acabavam tendo pouco tempo para abordar esse
conteúdo.
Atualmente, pode-se perceber que a utilização de softwares de geometria, a
presença do conteúdo geométrico no início ou no meio dos capítulos de alguns livros
didáticos, os livros paradidáticos e o uso de materiais como geoplanos, mosaicos etc.
têm se caracterizado como avanços na melhoria do ensino de geometria. No entanto,
apesar dessas contribuições, pesquisas como as de Pirola (1995, 2000), Passos (2000),
Viana (2000), Pavanello e Franco (2007) e Proença e Pirola (2006, 2007a) mostraram
que tanto alunos como professores têm dificuldades em relação aos conceitos
geométricos.
Os resultados do SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do
Estado de São Paulo) realizado em 2007 mostraram que os alunos da educação básica
não tiveram um bom desempenho em tarefas de geometria que exigiam competências e
habilidades próprias desse conteúdo como, por exemplo, a composição e decomposição
de figuras para resolver uma atividade de equivalência.
O baixo desempenho dos alunos pode ser decorrente do tipo de ensino que
recebem em sala de aula. Muitos professores exercem uma prática de ensino baseada na
memorização de fórmulas e na realização de cálculos (PAIS, 2002). Ao apresentar, por
exemplo, o triângulo eqüilátero, preocupam-se muito mais em utilizá-lo para introduzir
e validar fórmulas do que trabalhar com a questão conceitual. Assim, acabam não
discutindo que se trata de uma figura plana, fechada, formada por segmentos de reta,
etc., características importantes que fazem com seja diferenciada e mesmo relacionada a
outras figuras.
ÆÇÈÉÊËÌÍ ÎÏÐÏ Ñ ÆÒÇÈÓÌÍ ÊÏ ÌÏ È ÔÕÖ×ÑÔØÙÑÖÚÕ ÛÑÕÙÜÚrico apresentado por 3
978-85-98092-07-2)
Na pesquisa de Passos (2000), professores do ensino fundamental conseguiram
nomear corretamente um quadrado quando ele estava apoiado no plano por um de seus
lados, mas tiveram dificuldades para realizar a mesma tarefa quando a figura foi
rotacionada, ficando apoiada no plano por um de seus vértices, sendo denominada por
eles de losango. Nesse caso, percebe-se que os professores tinham pouco conhecimento
sobre esse conceito e da característica que o diferencia de losango. Se o professor não
dominar o conteúdo que vai ensinar, além de outros conhecimentos para o ensino, pode
prejudicar a aprendizagem dos alunos.
Ferreira e Correia (2007) mostraram que alunos do ensino médio acharam que se
mudasse a posição da folha que estava desenhado um triângulo, ele não seria a mesma
figura. Essa uma situação que evidencia que esses alunos não levaram em consideração
as características da figura que foi apresentada para poder identificá-la. Proença e Pirola
(2007b) investigaram o conhecimento de alunos do ensino fundamental e médio sobre
os atributos definidores de polígonos e de poliedros e mostraram que eles apresentaram
um baixo desempenho para tal tarefa.
De acordo com a situação exposta sobre o ensino e aprendizagem da geometria, o
objetivo do trabalho é apresentar os resultados sobre o conhecimento de alunos do
ensino médio através do desempenho obtido na identificação de relações subordinadas e
supra-ordenadas envolvendo polígonos e poliedros.
O modelo de aprendizagem e desenvolvimento de conceitos
Klausmeier e Goodwin (1977) desenvolveram estudos na área da psicologia
cognitiva sobre formação conceitual e elaboraram um modelo de aprendizagem e
desenvolvimento de conceitos. Tal modelo define conceito como a “informação
ordenada sobre as propriedades de uma ou mais coisas – objetos, eventos ou processos –
que torna qualquer coisa ou classe de coisas capaz de ser diferenciada de ou relacionada
com outras coisas ou classes de coisas”.
O termo “conceito” é usado para designar tanto os construtos mentais de
indivíduos como também as entidades públicas identificáveis que compreendam parte
do conteúdo das várias disciplinas. Os conceitos como construtos mentais se formam de
acordo com as experiências de aprendizagem e padrões maturacionais únicos de cada
ÝÞßàáâãä åæçæ è ÝéÞßêãä áæ ãæ ß ëìíîèëïðèíñì òèìðóñrico apresentado por 4
978-85-98092-07-2)
indivíduo. Conceitos como entidades públicas são definidos como informação
organizada que corresponde aos significados de palavras os quais estão colocados em
dicionários, enciclopédias e outros livros.
De acordo com o modelo, as pessoas aprendem e desenvolvem seus conceitos
segundo quatro níveis cognitivos – concreto, identidade, classificatório e formal – nessa
seqüência. Cada nível apresenta operações mentais necessárias para essa formação.
Nível concreto: prestar atenção a um objeto, discriminá-lo de outros objetos,
representá-lo como uma imagem ou traço e manter a representação (lembrar).
Nível de identidade: envolve tanto discriminar várias formas de outros objetos,
como também generalizar as formas equivalentes.
Nível classificatório: generalizar que dois ou mais exemplos são equivalentes e
pertencem à mesma classe de coisas.
Nível formal: discriminar atributos da classe; adquirir e lembrar os nomes de
atributos; identificar exemplos e não-exemplos; apresentar uma definição de acordo
com os atributos definidores.
Segundos os autores, uma estratégia para formação conceitual nesses níveis
cognitivos é o uso de exemplos e não-exemplos e a identificação de atributos
definidores. O uso do primeiro possibilita a redução, ou mesmo evita, os erros
ocasionados da supergeneralização, subgeneralização e má concepção do indivíduo
sobre um conceito. O segundo, corresponde às características que definem um conceito
e o torna particular.
Em relação ao ensino, há certa tendência por parte dos professores em ensinar
conceitos somente através de exemplos, omitindo-se os não exemplos. Quando isso
acontece os alunos podem formar conceitos de forma equivocada. Por exemplo, quando
se ensina o conceito de polígonos é de fundamental importância que haja um trabalho
com as figuras planas e não-planas para que os estudantes não supergeneralizem que
uma pirâmide é um triângulo e vice-versa.
No caso dos atributos definidores, Klausmeier e Goodwin (1977) salientam que
eles são importantes e são utilizados para definir um conceito. Por exemplo, alguns
atributos definidores de polígonos são: segmentos de reta, figura simples, figura fechada
e figura plana. Alguns atributos definidores de poliedros são: figura não-plana
ôõö÷øùúû üýþý ÿ ôPõö úû øý úý ö ÿÿ ÿrico apresentado por 5
978-85-98092-07-2)
(espacial), vértices, arestas e faces. Isso é importante, pois pode-se diferenciar, por
exemplo, um polígono de figuras que não são polígonos como o círculo.
Um outro aspecto importante para a aprendizagem e desenvolvimento de
conceitos salientado por Klausmeier e Goodwin (1977) diz respeito à generalidade do
conceito, ou seja, é importante que no ensino os conceitos sejam ensinados não
desvinculados uns dos outros, mas sejam relacionados através de uma taxonomia. Essa
relação é estabelecida mediante a presença de atributos definidores comuns. Por
exemplo, ao ensinar o conceito de polígonos, o professor deverá relacioná-los às classes
dos triângulos, quadriláteros, pentágonos etc., de tal forma que o estudante compreenda,
através da taxonomia, relações tais como: que um quadrado é um retângulo, que um
losango é um paralelogramo etc. O mesmo poderá ser feito com os poliedros. Por
exemplo: que um cubo é um prisma. Para a identificação desse tipo de relação é
necessário que o aluno conheça os exemplos e os atributos definidores de cada um dos
conceitos relacionados na taxonomia.
O modelo de Klausmeier e Goodwin (1977) mostra que quando uma pessoa forma
um conceito nos níveis classificatório e formal ela pode utilizá-lo, entre outras
situações, para estabelecer relações em uma taxonomia, as quais denominaram de
subordinadas e supra-ordenadas. Estas seriam o uso e a extensão que poderiam ser
feitos para desenvolver a aprendizagem. As relações supra-ordenadas são aquelas que
partem de conceitos específicos para os gerais (exemplo: quadrado – paralelogramo –
quadrilátero – polígono) e as relações subordinadas são aquelas que partem de conceitos
gerais para os específicos (por exemplo: poliedro – prisma – cubo). A percepção dessas
relações é importante, pois mostra as conexões entre os atributos definidores de cada
conceito bem como propicia o desenvolvimento da discriminação de conjuntos de
exemplos e não-exemplos. A figura abaixo exemplifica uma taxonomia em que essas
relações podem ser analisadas.
rico apresentado por 6
978-85-98092-07-2)
!"#$%"&"'
T()*&%+#"'
I'1'23#3'
Quadriláteros
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Paralelogramo
Escaleno
E45)#603("
Outros
R30*&%+#"
L"',&%"
O+0("'
I'1'23#3'
O+0("'
R30*&%+#"
Q+,7(,7"
Figura 1 - Um tipo de estrutura e relações dos polígonos.
A Figura 1 mostra um tipo de relação que se pode estabelecer entre os exemplos
da classe polígonos. Na classe dos triângulos a relação foi dada por meio dos lados, mas
poderia ter sido feita através dos ângulos, destacando aqueles que podem ser retângulos,
acutângulos e obtusângulos. Já na classe dos quadriláteros as relações se estabelecem
por meio de lados e ângulos, mas poderiam ser feitas através daqueles exemplos que
seriam convexos e côncavos, classes estas que podem também ser utilizadas para
pentágonos, hexágonos etc.
Metodologia
Participantes: Participaram da pesquisa 253 alunos do ensino médio de uma
escola pública do município de Bauru/SP, os quais freqüentavam o período diurno.
Instrumentos utilizados na coleta de dados: Um dos testes utilizados na
pesquisa de mestrado que foi desenvolvida é o teste de relações subordinadas e supraordenadas, o qual este trabalho se preza a apresentar os resultados. O objetivo desse
teste foi o de analisar os conhecimentos dos alunos em 30 afirmações lógicas que
relacionavam exemplos de polígonos e exemplos de poliedros.
Procedimentos: Esse teste foi aplicado em três turmas de cada um das séries do
ensino médio no período de uma semana. Após a coleta, os dados foram quantificados e
foi feita uma análise estatística. Utilizaram-se duas técnicas, o teste qui-quadrado ( 2)
89:;<=>? @ABA C 8D9:F>? <A >A : GHJKCGMNCJSH UCHNVSrico apresentado por 7
978-85-98092-07-2)
para analisar o desempenho dos participantes em cada uma das afirmações, tanto por
série, quanto por gênero, para comparar se a porcentagem de acerto entre as séries (ou
entre os gêneros) poderia ser considerada igual e, o teste de análise de variância
(ANOVA) para verificar se havia diferenças entre as médias (em uma escala de zero a
dez), com um modelo fatorial completo de dois fatores (2-way), série e gênero (3x2),
por meio do teste F e, quando este detectou diferenças significativas entre as médias foi
utilizado o teste de comparações múltiplas de Tukey. Para processar os dados foi
utilizado o programa estatístico Statistical Package for Social Science - SPSS
(NORUSIS, 1993) e o nível de significância foi de 5% (! = 0,05). Os p-valores menores
que 0,05 indicam a existência de diferenças significativas entre as porcentagens de
respostas corretas por séries ou nas médias das notas no teste.
Resultados
Análise por afirmação
A Tabela 1 mostra o desempenho dos participantes no teste de relações
subordinadas e supra-ordenadas em cada uma das 30 afirmações, bem como teste quiquadrado ( 2) que analisa a significância estatística. As afirmações que estão destacadas
em cinza correspondem as que apresentaram diferenças significativas entre as
porcentagens de acertos das séries, ou seja, tiveram seus p-valores menores que 0,05. A
taxa média geral de acerto foi de 56,4%, sendo que apenas seis questões apresentaram
taxa de acerto superior a 70%.
Tabela 1 - Desempenho dos participantes no teste por questão e série.
hifY`^jkX
1.
Todo polígono formado por quatro segmentos de
reta é um quadrilátero.
lm
WXYZ[\]^_[` a[ ^Z[Y]X
nm
om
p[Y^q
b[c][ defgdeâYâX
r
sgt^qXY
2
(2)
79,6
82,4
83,7
81,8
0,544
0,762
medem 360º não são quadriláteros.
68,8
52,7
60,5
61,3
4,544
0,103
ou bXaX deâYâX y qXc^\_Xu
u bXaX qXc^\_X y Y[]x\_eqXu
{u [ X sXqv_X\X y iXY`âX sXY ]Yc x\_eqXc
olzn
|zn
{|z}
~lz|
o~zn
|}z|
z~
||z
llz}n}
nz|}|
zo
,261
76,3
77,0
79,1
77,5
0,202
0,904
41,9
54,1
50,0
48,2
2,589
0,274
nu bXaX sXqv_X\X Zew^ cX`^ aXc x\_eqXc f\][Y\Xc
internos então ele é um triângulo.
|u bXaX sXqv_X\X de[ y deâYâX ]^`y` y
retângulo.
978-85-98092-07-2)
7.
Todo polígono que apresenta exatamente cinco
segmentos de reta é pentágono.
81,7
82,4
77,9
80,6
0,633
0,729
¡¢£ ¡¤¥¦§¨©ª «¨¢ ¬ª «¨®¤©¯¡¢¤ª
µ ¡¢£ «¨®¤©¯¡¢¤ª «¨¢ ¦¬ª ¬ª
°±²³
´2,2
62,8
58,9
2,345
0,310
45,2
54,1
58,1
52,2
3,164
0,206
¶· ¸ ©ª ¦§ª ¹ ¨£ º¤©¢©ª§¤£ª
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·²··¶
»°²°
´·²
´·²°
°¶²¼
¶¼²»
·²··¶
68,8
82,4
75,6
75,1
4,101
0,129
36,6
28,4
40,7
35,6
2,696
0,260
49,5
58,1
41,9
49,4
4,201
0,122
»µ²
»´²°
°±²»
¼»²¶
4,722
0,094
74,2
59,5
66,3
67,2
4,108
0,128
39,8
41,9
51,2
44,3
2,584
0,275
¼´²±
°»²
»²³
°´²
°µ²°
°²¶
´²´
´³²¼
°¶²±
°´²µ
´·²¶
¼²´
µ²¶¶
»²502
´²°¼´
·²·¶·
0,174
55,9
43,2
46,5
49,0
2,973
0,226
47,3
33,8
47,7
43,5
4,002
0,135
48,4
40,5
47,7
45,8
1,197
0,550
43,0
36,5
33,7
37,9
1,732
0,421
¼¼²¶
´°²6
¼·²°
»9,5
41,5
0,421
0,810
62,2
64,0
64,0
0,211
0,900
50,5
55,4
65,1
56,9
3,970
0,137
68,8
70,3
76,7
71,9
1,535
0,464
»²³
50,0
43,0
43,5
2,149
0,342
paralelogramos.
por segmentos de reta
¶¼ ¾ª®ª ª ¡¤¥¦§¨©ª ¢«Ç©¯¡¢¤ª ¬ª ¡¤¥¦§¨©ª isósceles.
¶° ¡¢£ ¡¤¥¦§¨©ª ¤¢¡¥¦§¨©ª «¨¢ ¬ª ¡¤¥¦§¨©ªs
eqüiláteros.
¶´ È©§¨£ º¤ £ ¹ º¤©¢©¢ºÄº¢®ª
¶³ ¾ª® º¤¥£®¢ «¨¢ ¡¢£ ¢¡£¢¦¡¢ «¨¡¤ª ÅÃ¢ laterais triangulares é uma pirâmide
quadrangular.
¶ ½¢ ¨£ ºª©¢®¤ª º¤¢ ¢¦¡ ®¨ ÅÃ¢ ¿É ¢ Á
paralelas e congruentes e faces laterais
formadas por paralelogramos, então é um
prisma.
¶µ ¸ Ã¨Éª ¢ ª Ê¤ £ ®¢ É ¢ º¢¦¡§ª¦© ¦¬ª ¬ª
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triangular.
±» ½¢ ¨£ º¤ £ ¤¢§¨©¤ ºª ¨ ÅÃ¢ ©¡¢¤ retangulares então ele é um paralelepípedo.
±¼ ¾ª® º¤¥£®¢ ®¢ É ¢ ¡¤¦§¨©¤ ¹ ¨£ ¡¢¡¤¢®¤ª.
±° ¾ª®ª ºª©¢®¤ª Åª¤£®ª ºª¤ «¨¡¤ª ÅÃ¢ quadradas é denominado cubo.
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pelo tipo de polígono que forma a sua base.
±µ Ê¤ £ ¢ Ê¤¥£®¢ ¬ª ºª©¢®¤ª «¨¢ ºª ¨¢£
faces, vértices e arestas.
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·²·»
Ë ÌÍÎÏÐÎ ÑÒ ÐÓÐÍ ËÒÐÍ ÐÔÎÐÕÖÍ ÍÒÓÎÐÎÐ a marca do 80,0%, essas
foram a afirmação 1 Todo polígono formado por quatro segmentos de reta é um
×ØÙÚÛÜÝÞ ßàáà â ×ãØÙäÝÞ Ûà Ýà Ù åæçèâåéêâçëæ ìâæêíërico apresentado por 9
978-85-98092-07-2)
quadrilátero com 81,1% e a afirmação 7 Todo polígono que apresenta exatamente
cinco segmentos de reta é pentágono, com 80,6%. Em treze afirmações, pode-se
observar que o desempenho ficou abaixo de 50%. Duas delas forma inferiores a 40%, a
afirmação 14 Todos os triângulos eqüiláteros são triângulos isósceles com 35,6% e a
afirmação 25 Todo poliedro formado por quatro faces quadradas é denominado cubo,
com apenas 37,9%.
Além disso, a Tabela 1 mostra que em apenas seis afirmações (3, 10, 11, 12, 19 e
21) foram encontradas diferenças significativas por série, sendo que não se observa
nenhum padrão de superioridade de uma série sobre outra, conforme ilustra a Figura 2.
100
ïð
90
ñò
óò
Porcentagem de acerto
80
70
60
50
40
30
20
10
î
3
10
11
12
19
21
Figura 2 - Desempenho nas afirmações que apresentaram diferenças significativas.
Pode-se observar que na afirmação 3 Todo quadrado é um losango os
participantes da primeira e terceira séries tiveram um desempenho baixo, pois foram
poucos que identificaram que se tratava de uma afirmação verdadeira. Já os
participantes da segunda série apresentaram um desempenho superior.
Na afirmação 21 Todo cubo é um paralelepípedo, a segunda série também teve
desempenho superior em relação às outras, pois identificaram que era verdadeira. Essa
mesma afirmação foi investigada por Viana (2000) numa atividade envolvendo
afirmações sobre classes de inclusão e mostrou o baixo desempenho dos participantes.
Além da análise por série, foi feita também por gênero. No desempenho por
gênero foi encontrada diferença significativa em quatro afirmações, sendo três
ôõö÷øùúû üýþý ÿ ôPõö úû øý úý ö ÿÿ ÿrico apresentado por 10
978-85-98092-07-2)
favoráveis às mulheres: a afirmação 1, em que as mulheres conseguiram um
desempenho de 86,5% em relação aos 75,8% dos homens (
2
(1) =
6,094; p = 0,014); na
afirmação 2, em que as mulheres conseguiram um desempenho de 66,0% em relação
aos 54,7% dos homens (
2
(1) =
3,886; p = 0,049) e na afirmação 20 em que as mulheres
conseguiram um desempenho de 67,3%, superior aos 49,5% dos homens (
2
(1) =
8,483;
p = 0,003). Já na afirmação 21 essa tendência se reverteu a favor dos homens (60,0%),
sendo superior as mulheres (42,3%), conforme resultado do teste qui-quadrado (
2
(1) =
6,483; p = 0,011).
Análise geral
A Tabela 2 mostra o desempenho dos participantes no teste, por série e gênero,
através das médias obtidas em uma escala de zero a dez. O resultado da ANOVA
mostra que existe diferença por série (F(2,247) = 3,785; p = 0,024) na média total de
cada uma das séries. Já em relação ao gênero, não existe diferença significativa
(F(1,247) = 0,000; p = 0,995).
Tabela 2 - Desempenho dos participantes no teste por série e gênero.
S
N
M
M
N
F
M
D
1ª
35
5,59
2ª
26
3ª
T
N
T
M
D
D
1,02
58
5,24
1,26
93
5,37 a
1,18
5,41
1,05
48
5,82
1,07
74
5,68 ab
1,08
36
5,93
1,28
50
5,87
1,08
86
5,89 b
1,16
9
5
11
15
5!
11"
!52
5
11
(*) Médias com letras iguais não diferem segundo o teste de comparações múltiplas de Tukey.
Como no modelo fatorial não foi encontrada diferenças por gênero, foi aplicado o
teste F para analisar as diferenças por série, o qual apontou a existência de diferença
significativa. Assim, foi utilizado o teste de comparações múltiplas de Tukey para
verificar entre quais pares de séries havia essa diferença e o mesmo assinalou que o
desempenho da 3ª série difere do da 1ª série, mas o desempenho da 2ª série mantém
interseção com essas duas séries, conforme ilustra a Figura 32.
#$%&'()* +,-, . #/$%0)* ', ), % 3467.38:.6;4 <.4:=;rico apresentado por 11
978-85-98092-07-2)
Figura 3 - Desempenho geral dos participantes no teste por série e gênero.
10
9
8
7
6
5
4
Nota (0 a 10)
3
G@ABCE
2
Masculino
1
0
N=
35
58
1ª série
26
48
2ª série
36
>?
Feminino
3ª série
H4 I46;4 J. K8L;O .L;O;QL;834* O J8R.U.6VO .6;U. O 1ª e a 3ª séries foi significativa,
no entanto, observa-se que essa diferença superou somente meio ponto de uma escala de
zero a dez, isto é, o ganho a cada série é pequeno. Pode-se observar que somente as
mulheres da segunda série tiveram uma média superior (5,82) as dos homens (5,41) para
cada série, embora as diferenças por gênero não foram estatisticamente significativas.
Discussão dos resultados e considerações finais
O objetivo do presente trabalho foi apresentar o desempenho de alunos do ensino
médio sobre atividades que envolveram relações subordinadas e supra-ordenadas dos
exemplos de polígono e de poliedro. A análise feita permitiu ter uma idéia do
conhecimento desses participantes para estabelecer tais relações. A partir dos
resultados, pode-se inferir que o baixo desempenho parece ter dependido da falta de
conhecimento dos atributos definidores e dos exemplos e não-exemplos dos conceitos
investigados.
Os resultados por afirmação mostraram que as porcentagens de acertos gerais
indicaram somente 6 afirmações com índice de acertos acima de 70%, o que evidenciou
uma dificuldade dos alunos em perceber a existência ou não dos atributos comuns. Nas
afirmações que apresentaram diferenças significativas, pôde-se verificar que os
WXYZ[\]^ _à` b WcXYd]^ [` ]` Y efghbeijbgkf lbfjmkrico apresentado por 12
978-85-98092-07-2)
participantes da pesquisa tinham pouco conhecimento para identificar que um quadrado
é um losango, que um losango é um paralelogramo e que um cubo é um
paralelepípedo, pois as porcentagens de acertos gerais foram 40,7%, 59,3% e 48,6%,
respectivamente. Isso indica que eles poderiam não ter o conhecimento do atributo
definidor comum que garantia a veracidade de cada uma dessas afirmações ou então não
conseguiram perceber tal relação.
Na análise geral do teste ficou evidente que não houve um bom desempenho dos
participantes devido à nota média baixa de 5,64 (DP = 1,16). Como a percepção de uma
relação subordinada ou supra-ordenada depende da formação dos conceitos ao nível
classificatório ou formal, conforme destacaram Klausmeier e Goodwin (1977), pode-se
inferir que o baixo desempenho no teste é resultado do pouco conhecimento dos
participantes da pesquisa sobre os atributos definidores e os exemplos e não-exemplos
de polígonos e poliedros.
Em relação à análise por série, verificou-se que o desempenho da terceira série (M
= 5,89) no teste foi maior do que a da primeira série (M = 5,37), devido à diferença
significativa encontrada (p = 0,024). Isso nos leva a inferir que alunos que estão na
terceira série necessariamente apresentaram um conhecimento superior aos alunos da
primeira série, entretanto não há uma diferença grande no valor das duas médias, pois
ela é ligeiramente maior que meio ponto numa escala de zero a dez. Nem sempre os
alunos que estão em séries mais adiantadas têm desempenhos melhores do que os das
séries anteriores. Pirola (1995) mostrou que na definição dos conceitos de triângulo e
paralelogramo os alunos da sétima série apresentaram um desempenho superior e
significativo (p < 0,05) em relação às outras séries investigadas, sendo que a sexta série
foi melhor que a oitava, que por sua vez foi melhor que a quinta.
A Proposta Curricular de Matemática (SÃO PAULO, 1997) foi elaborada tendo
em vista a formação do conhecimento em espiral que possibilita ao professor retomar os
conteúdos ensinados na série anterior para posteriormente aprofundar os conteúdos mais
complexos. Nesse sentido, no caso da presente pesquisa, era esperado que alunos da
terceira série tivessem adquirido maior conhecimento de polígonos e poliedros e
apresentassem melhores desempenhos que os alunos que estão na primeira série, uma
nopqrstu vwxw y nzop{tu rw tw p |}~y|y~} y}rico apresentado por 13
978-85-98092-07-2)
vez que tiveram maior contato com abordagens mais formais da aprendizagem em
geometria.
Contudo, o desempenho apresentado pelos participantes indica que precisam
receber um ensino que propicie a investigação das características que determinam uma
relação entre conceitos, tanto de subordinação (do geral para o específico) como de
supra-ordenação (do específico para o geral). De acordo com Coll (2001), essa situação
pode ser favorecida pela elaboração de atividades “a partir dos conceitos mais gerais e
inclusivos até chegar aos mais específicos, passando pelos conceitos intermediários” (p.
97). Para o autor, esta estrutura hierárquica poderia promover a diferenciação entre os
conceitos como ressaltar as relações de semelhança, subordinação, supra-ordenação etc.
Segundo o que foi apresentado no início do estudo, sobre as dificuldades que há
muito tempo estão presentes no campo da geometria, acredita-se que um trabalho em
sala de sala de aula que leve em consideração atividades sobre exemplos e nãoexemplos e que permitam analisar os atributos definidores de polígonos e poliedros
pode favorecer a formação conceitual dos alunos. A partir desse trabalho, os alunos
poderão fazer o uso dos conceitos para estabelecer relações mais complexas como as
investigadas neste estudo.
Acredita-se que muitos dos resultados insatisfatórios do desempenho dos alunos
da educação básica em matemática e, especificamente, em geometria, são provenientes
da formação dos professores dessa área. Tanto a formação inicial como a formação
continuada não tem dado conta de formar um professor de matemática que realize uma
prática de ensino fora dos moldes tradicionais, que estão sempre voltados apenas para a
transmissão de conteúdos aos alunos. É necessário que haja uma discussão maior e mais
aprofundada sobre os diversos recursos didáticos que podem ser utilizados para o
ensino, como um envolvimento com teorias que embasem o conhecimento e que
permitam repensar as práticas e construir e desenvolver atividades que garantam uma
aprendizagem com significados pelos alunos. Isso seria uma das condições que poderia
reverter o quadro sobre o que as pesquisas têm mostrado sobre o ensino a aprendizagem
da geometria.
978-85-98092-07-2)
Notas
1
Este trabalho é parte da pesquisa de mestrado defendida em 2008 pelo primeiro autor sob orientação do
segundo.
2
Conhecido como diagrama da caixa ou boxplot. É formado por uma caixa limitada pelos percentis 25 e
75 e possui um traço interno que representa a mediana. A caixa contém 50% dos dados, 25% ficam
abaixo e 25% acima da caixa. As linhas externas representam os valores máximo e mínimo, a menos que
existam valores outliers e extremos. Um valor é chamado de outlier quando se afasta da borda da caixa
uma vez e meia seu comprimento e é representado por uma circunferência, quando se afasta três vezes
esse comprimento é chamado de valor extremo, representado por um asterisco. Nesses casos, traça-se
uma linha no último valor que não é outlier.
Referências
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currículo escolar. 5. ed. Tradução de Cláudia Schilling. São Paulo: Ática, 2001.
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¡¢£ ¤¥¦¥ § ¨©¢£ ¥ ¢¥ ª«¬§ª®¯§¬°« ±§«¯²°rico apresentado por 15
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Psicologia Educacional). Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas,
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(Mestrado em Educação Matemática). Faculdade de Educação, Universidade Estadual
de Campinas, Campinas.
½¾¿ÀÁÂ ÃÄ ÅÄ ½ÄÆ ÇÁÈÉÊÅ½Â ÇÄ ÇÄÆ Á¿ËÈÁÌÂ ÁÄ ÍÄÆ À¾¿LARREAL, D. M. O. e
LOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática,
Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX
EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
O CUBO SOMA COMO UMA FERRAMENTA NA APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA
Jonatas Estevan Soares da SILVA – UNESP / FEIS
([email protected]Î
Meire de Melo MARQUES – UNESP / FEIS ([email protected]Î
Alessandra Bonato ALTRAN – FEIS / UNESP ([email protected]Î
Dalva Maria de Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP ([email protected]Î
Mara Lúcia Martins LOPES – FEIS / UNESP ([email protected]Î
Resumo: A atividade lúdica é, essencialmente, um grande laboratório no qual ocorrem
experiências inteligentes e reflexivas que propiciam a aquisição de conhecimento. A
participação em jogos permite a conquista cognitiva, emocional, moral e social para o
estudante, que poderão agir como produtores de seu conhecimento, tomando decisões e
resolvendo problemas, o que se torna um estímulo para o desenvolvimento da competência
matemática e da formação de verdadeiros cidadãos. O desinteresse e o desenvolvimento
caótico de grande parte dos alunos na disciplina de matemática é fator altamente
preocupante, principalmente, para uma sociedade em que a política educacional tem como
principal objetivo a educação para todos, em outras palavras, a educação é um direito de
todos. Assim, na tentativa de buscar métodos alternativos para proporcionar um ensino de
qualidade surge à proposta de utilização de materiais lúdicos em sala de aula, mais
especificamente, jogos matemáticos. Tal proposta foi desenvolvida pelo Grupo de Estudos
sobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do curso de Licenciatura em Matemática,
da UNESP de Ilha Solteira ao longo dos dois últimos anos. A utilização dos jogos como
ferramenta auxiliar para o ensino de matemática é a principal atividade desenvolvida pelo
grupo onde são abordados vários jogos no qual a meta principal é fazer com que os alunos
aprendam matemática “brincando”. Neste trabalho será dado enfoque ao jogo Cubo Soma
que é um jogo muito versátil, podendo ser abordado em vários níveis, dependendo do
objetivo a ser alcançado. O Cubo Soma propicia, também, o desenvolvendo do raciocínio
lógico matemático de maneira interessante, aguçando a curiosidade e a busca pelo
aprendizado. Portanto, este trabalho tem como objetivo a apresentação da proposta da
utilização dos jogos matemático, mais especificamente o jogo Cubo Soma, abordando sua
notação histórica, conceitos fundamentais, métodos de resolução e os resultados obtidos nas
apresentações realizadas.
Palavras–chave: Jogos Matemáticos, Cubo Soma, Atividade Lúdica, Modificação no
Ensino.
ÏÐÑÒÓÔ ÕÖ ×Ö ÏÖØ ÙÓÚÛÜ×ÏÔ ÙÖ ÙÖØÔ ÓÑÝÚÓÞÔ ÓÖ ßÖØ ÒÐLLARREAL, D. M. O. e
Introdução
Incentivados pela necessidade de modificar a forma de como são ministrados os
conteúdos em sala de aula, foi proposta a formação do Grupo de Estudos sobre Jogos
Matemáticos (UNESP/FEIS), cuja finalidade é divulgar a metodologia do uso de jogos no
ensino de Matemática, ou seja, apresentar uma alternativa à postura tradicional do professor
no ensino de Matemática, através da utilização de jogos.
O trabalho com jogos matemáticos vem sendo desenvolvido ao longo desses dois
últimos anos, sendo que, primeiramente foi realizado um estudo aprofundado do jogo Cubo
Soma, tais como:
Notação histórica;
Definições e regras que levam à resolução do jogo;
Fundamentação matemática;
Abordagem pedagógica;
Contribuição ao ensino.
Após ser realizado este estudo foi possível levar o jogo para a prática dentro da sala
de aula com alunos do ensino fundamental.
Assim, no trabalho que segue será realizada a apresentação do jogo Cubo Soma
ilustrado pela Figura 1, como ferramenta complementar ao ensino de matemática, bem
como o relato das experiências vividas envolvendo alunos e professores.
Origem do Cubo Soma
Criado em 1936 pelo poeta dinamarquês Piet Hein, muito conhecido no mundo dos
jogos e quebra-cabeças (é de sua autoria o jogo Hex), o jogo Cubo Soma pode ser
comparado a um quebra-cabeça.
A idéia de montar este quebra-cabeça surgiu quando Piet, engenheiro com grandes
conhecimentos em Física, assistia uma palestra do físico alemão Werner Heisenberg, sobre
Mecânica Quântica, quando este descrevia um espaço dividido em células cúbicas. Com
base nestes princípios Hein começou a desenhar alguns sólidos formados por módulos
cúbicos unidos face a face.
àáâãäå æç èç àçé êäëìíèàå êç êçéå äâîëäïå äç ðçé ãáLLARREAL, D. M. O. e
Pela ordem, ele foi construindo todos os sólidos diferentes que se podiam formar
com, sucessivamente, um, dois, três e quatro módulos. Depois, percebeu que eles podiam
ser divididos em dois grupos - os côncavos e os convexos.
Eliminando-se estes últimos, o conjunto ficava com os sete elementos mostrados.
Apenas a peça número 1 tem três módulos, todas as demais têm quatro. Elas são diferentes
entre si, embora as de número 5 e 6 sejam imagens espelhadas uma da outra. Enquanto
Heisenberg falava, Piet teve uma intuição. Talvez inconscientemente inspirado no famoso
Tangran, quebra-cabeça em que sete figuras planas formam um quadrado pressentiu que as
sete peças recém-desenhadas podiam unir-se para gerar um cubo.
Depois de algumas rabiscadas, o criativo dinamarquês foi vendo suas suspeitas se
acentuarem. Entusiasmado com a perspectiva da descoberta, Piet esperou o término da
palestra e correu para casa para construir um modelo. Surpreso, verificou que sua hipótese
confirmou-se plenamente.
Convém esclarecer que o quebra-cabeça foi batizado com o nome de Soma Cube
(Cubo Soma), e como tal patenteado e comercializado em várias partes do mundo,
tornando-se bastante popular nos países escandinavos.
Definição do Cubo Soma
O Cubo Soma consiste em um conjunto de oito peças tridimensionais, formadas pela
união de pequenos cubos, combinadas de forma a criar um cubo maior. A essas peças
formadas pela união dos cubos, de forma irregular, dá-se o nome de policubo.
Formar essas peças não é uma tarefa muitos simples, como se pressupõe a primeira
vista. Apesar de existirem 240 soluções distintas para o arranjo das peças no Cubo, sem
contar as simetrias, espelhamentos e rotações de peças que elevam o número total de
soluções para mais de um milhão, muitas vezes acaba-se com uma peça na mão que não
encaixa.
Na Figura 2, é possível verificar que o as peças do Cubo Soma, os policubos são
divididos em seis tetracubos (peças formadas pela união de quatro cubos) e um tricubo
(peça formada pela união de três cubos), a sexta peça é a imagem especular da quinta peça
ñòóôõö ÷ø ùø ñøú ûõüýþùñö ûø ûøúö õóÿüõSö õø øú ôòLLARREAL, D. M. O. e
na Figura 3, daí o motivo de algumas abordagens apresentarem somente sete peças para o
Cubo Soma.
Como Montar o Cubo Soma
A montagem do Cubo Soma parece ser algo bem complicado, porém, o objetivo
principal é montar um cubo 3x3x3 sendo que a única exigência para tanto é a utilização de
todas as peças (policubos), ou seja, para montar o Cubo Soma é necessário utilizar todos os
tetracubos irregulares e o tricubo irregular (Figura 3). Uma forma de resolução do Cubo
Soma pode ser vista através da Figura 4.
Depois do cubo, que é um dos problemas mais fáceis, pode-se tentar montar a
poltrona e o sofá (Figura 5). Ao longo dos anos, muitos entusiastas têm criado centenas de
arranjos como esses, reproduzindo esquematicamente uma variedade de objetos e animais.
Assim, a grande virtude do Cubo Soma é de não se restringir à solução inicial. Assim como
no Tangram, em que além de se formar um quadrado com as peças também podem ser
formadas uma infinidade de figuras, com o conjunto tridimensional do Cubo Soma podem
ser criados verdadeiras esculturas, ainda mais quando se combinam mais de um jogo de
peças. Em um livreto que acompanhava o jogo produzido pela Parker Brothers, da década
de 50, apareciam inúmeras formas para serem montadas.
Portanto, conforme o aprendiz for ganhando desenvoltura com o Cubo, mais se
sentirá tentado a incluir nesse acervo algumas criações próprias.
A respeito do que já foi feito, há coleções com mais de 2000 montagens
(http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM)ö
ø
A Figura 6 mostra algumas dessas montagens.
Com a prática, desenvolve-se certa habilidade para saber o lugar que certas peças
ocupam, ou que não podem ocupar, numa determinada figura. Com isso, abandona-se o
processo da simples tentativa e erro e o tempo de solução diminui.
Contribuições Pedagógicas
O Cubo Soma pode ser utilizado com alunos de várias séries. Sua abordagem
dependerá dos objetivos a serem alcançados. Por exemplo, no jardim de infância, os alunos
LLARREAL,
D. M. O. e
já podem, brincando, se habituarem a manipular as peças, observá-las, contar os cubos,
evidenciar a simetria, encontrar nomes para cada forma, tentar encaixamentos com algumas
peças etc. Mais tarde, eles podem tentar reconstruir o cubo, ou pelo menos terminá-lo, ou
imitar algumas formas.
Alunos maiores podem treinar também para reconstruir o cubo, desenhá-lo, construir
cubos imagens um do outro em tal simetria ou rotação indicada. Para qualquer nível, este
quebra-cabeça contribui o desenvolvimento da representação espacial e da percepção de
orientação no espaço tridimensional.
Desenvolvimento da Atividade
O jogo Cubo Soma foi parte integrante de todas as atividades realizadas pelo grupo
nestes dois últimos anos. A primeira atividade se deu através da Oficina “Atividades
Matemáticas envolvendo Jogos”, na VI Semana da Matemática (2007), evento do próprio
Campus da UNESP de Ilha Solteira, cujo público alvo era alunos dos cursos de licenciatura
e professores da rede de ensino (Figura 7).
Logo em seguida foi realizada outra apresentação no evento “Venha nos Conhecer”
(2007), também do Campus, com caráter apenas expositivo, conta com a visitação das
escolas da cidade e região (Figura 8).
Em seguida o Cubo Soma foi abordado em sala de aula e tal apresentação ocorreu na
“Escola Municipal de Educação Infantil e Ensino Fundamental Prof. Nelson Duarte
Rocha”, na cidade de Selvíria - MS, mediante o convite da coordenadora pedagógica da
escola. O jogo foi apresentado em apenas duas séries, quarto e sexto anos devido o curto
intervalo de tempo para atividade, porém, o grupo está convidado a retornar à escola para
permitir a outras séries o contato com o jogo (Figura 9).
A próxima atividade, ainda em 2007, foi uma apresentação, nos moldes do Venha nos
Conhecer, ou seja, caráter apenas expositivo, no colégio “Anglo” da cidade de Ilha Solteira.
Esse evento contou com a participação de alunos, pais e funcionários da própria escola
(Figura 10).
Já a última atividade a apresentação no “Venha nos Conhecer” deste ano (2008),
ocorrendo do mesmo modo que no ano anterior.
!"#$% &' (' '* +$,-.( % +' +'*% $"/,$0% $' 1'* #!LLARREAL,
D. M. O. e
Formação dos Professores
Segundo Vieira e Carneiro este crescente interesse por estudos sobre o lúdico foi
presenciado a partir da metade do século XX e tem testemunhado sua importância como
meio de expressão, fator de desenvolvimento e atividade intrinsecamente motivada e
prazerosa.
A proposta de introduzir a metodologia do lúdico visa contribuir para diminuir o
fracasso escolar e o desinteresse pela matemática e formar profissionais que tenham uma
postura reflexiva diante de sua prática docente.
Os jogos lúdicos não têm o propósito de suprimir o método de ensino tradicional, mas
sim de modificá-lo e torná-lo mais presente à compreensão dos alunos. É comprovado que
duas metodologias aplicadas juntas tendem a funcionar melhor do que uma sozinha. Neste
sentido, os jogos matemáticos são maneiras alternativas da abstração de conhecimento que
tendem a consolidar a teoria proposta pelo ensino tradicional.
Os professores desde já não têm apenas a função de ensinar, mas sim a
responsabilidade de verificar se o conteúdo a ser absorvido realmente foi assimilado por
parte dos alunos. O interessante é que dessa forma o professor se torna, neste contexto, um
educador, no qual a preocupação não seria apenas passar a matéria, mas sim verificar o
grau de aceitação desta no dia a dia dos alunos.
Portanto, os professores devem ser profissionais adeptos às mudanças educacionais e
conscientes da importância do seu trabalho na formação dos alunos, desenvolvendo a
capacidade de criar algo novo e interessante, ministrando os conteúdos de matemática de
maneira com que os alunos possam fazer uma conexão plausível com o cotidiano e essa
postura deve ser desenvolvida para diferentes faixas etárias.
O jogo Cubo Soma vem a ser uma ferramenta interessante de auxílio ao professor, já
que este jogo pode explorar uma enorme variedade de situações. O aluno pode ser
envolvido inicialmente na construção do jogo, que não é algo muito difícil de ser feito, e
estimula o aluno na utilização de material reciclado e até sucata na confecção.
Durante o processo de construção o professor pode estimular as formas geométricas
envolvidas durante o processo. Após o jogo ser finalizado ele está apto a ser usado na
234567 89 :9 29; <6=>?:27 <9 <9;7 64@=6A7 69 B9; 53LLARREAL,
D. M. O. e
íntegra pelo professor. Este jogo é de fácil acesso, portanto, basta o professor lembrar que
um dia foi criança e utilizar sua criatividade.
O trabalho com jogos é uma ótima alternativa educacional desde que, utilizada de
forma consciente e bem estruturada, levando em consideração a análise prévia de cada
jogo, visando o estímulo à conquista cognitiva, emocional, moral e social do indivíduo.
Os jogos matemáticos também têm o objetivo de fazer com que os alunos atuam
como produtor do seu próprio conhecimento, tomando decisões e resolvendo problemas,
estimulando, assim, o desenvolvimento da competência matemática e a formação de
verdadeiros cidadãos.
Com as apresentações realizadas foi possível observar o grande interesse, por parte
dos alunos, em aprender matemática de uma maneira divertida. Assim, o trabalho com
jogos dentro da sala de aula é de uma facilidade imensa e provoca grande satisfação tanto
no aprendiz, como no docente.
A vantagem de trabalhar com o Cubo Soma é a possibilidade de abordá-lo sem
restrições de idade e série, sem tornar o aprendizado cansativo, despertando o interesse dos
alunos em montar o Cubo Soma novamente, porém de maneira diferente.
Portanto, a utilização do jogo Cubo Soma é de suma importância, pois, pelo caráter
desafiador proporciona uma idéia de divisão de espaço, noções de figuras geométricas
visão tridimensional. Assim o aluno irá montar o Cubo Soma com idéia de diversão, mas na
verdade estará adquirindo vários benefícios produzidos pelo jogo.
Referências
SILVA, F.; KODAMA, H. M. Y. Jogos no Ensino da Matemática. In: II Bienal da
Sociedade Brasileira de Matemática, UFBA, 2004.
CDEFGH IJ KJ CJL MGNOPKCH MJ MJLH GEQNGRH GJ TJL FDLLARREAL,
D. M. O. e
SERRENTINO, R. H.; MOLINA, H. Arquitectura Modular Basada en la Teoría de
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Caracas/Venezuela, 2002, p. 264-267.
GUZMÁN, M. Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática. Studia
Paedagogica. Revista de Ciencias de la Educación, vol. 21, 1989, p 19-26.
VALLE, L. H. R.; BOMBANATTO, Q.; MALUF, M. I. Temas Interdisciplinares na
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ZORZAL, E. R.; BUCCIOLI, A. A. B.; KIRNER, C. Usando Realidade Aumentada no
Desenvolvimento de Quebra-cabeças Educacionais. In: Anais do VII Symposium on
Virtual Reality (SVR2006). Porto Alegre: Sociedade Brasileira de Computação (SBC),
2006, p. 221-232.
SANTOS, G. S. A. Utilização de jogos no ensino matemático: os objetivos, os valores e
as mudanças do ensino da matemática. São Paulo: Centro Universitário Metropolitano de
São Paulo (UNIMESP), 2006, p. 1-5.
UVWXYZ [\ ]\ U\^ _Yàb]UZ _\ _\^Z Ycd`YeZ Y\ f\^ XVLLARREAL,
D. M. O. e
ANEXO
Figura 1 - Cubo Soma.
Figura 2 - Policubos (peças que compõem do Cubo Soma).
Figura 3 - Tetracubos e Tricubo irregular, respectivamente.
Figura 4 - Uma solução para o Cubo Soma.
ghijkl mn on gnp qkrstogl qn qnpl kiurkvl kn wnp jhLLARREAL,
D. M. O. e
Figura 5 - Poltrona e sofá, figuras formadas com os policubos.
Figura 6 - Algumas das cerca de 2000 figuras montadas com o Cubo Soma.
Figura 7 - Oficina realizada na Semana da Matemática 2007.
xyz{|} ~ x |x} } |z|} | {yLLARREAL,
D. M. O. e
Figura 8 - Venha nos Conhecer 2007.
Figura 9 - Visita a escola “Prof. Nelson Duarte Rocha” (Selvíria - MS).
Figura 10 - Visita ao Colégio Anglo (Ilha Solteira - SP).
e GUIMARÃES, S.
D. O desempenho dos alunos do ensino fundamental em problemas de combinatória e
os problemas trabalhados pelo professor na escola. Anais do IX Encontro Paulista
de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru. SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17
(ISBN 978-85-98092-07-2)
O DESEMPENHO DOS ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL EM
PROBLEMAS DE COMBINATÓRIA E OS PROBLEMAS TRABALHADOS
PELO PROFESSOR NA ESCOLA
Leny R. M. TEIXEIRA – UCDB ([email protected]
Edileni G. de CAMPOS - UCDB([email protected]
Mônica VASCONCELLOS – UFMS/CAPES
([email protected]
Sheila Denize GUIMARÃES – UFMS/FUNDECT
([email protected]
Resumo: Neste trabalho consta a análise dos dados de uma pesquisa que teve por
objetivos: a) fazer um levantamento da freqüência e dos tipos de problemas de
estrutura multiplicativa, presentes nos materiais didáticos utilizados em duas escolas
públicas de Campo Grande-MS; b) realizar uma análise comparativa entre os
problemas que envolvem combinatória trabalhados nas respectivas escolas e o
desempenho dos alunos do 6º e 9º anos do Ensino Fundamental. A pesquisa foi
realizada em duas etapas. Na primeira, 40 alunos do 6º e 9º anos das duas escolas
mencionadas participaram da aplicação individual de uma prova, composta por oito
problemas. Os alunos foram organizados em quatro grupos, sendo cada um formado
por 10 sujeitos: Escola A (6º ano); Escola A (9º ano); Escola B (6º ano); Escola B (9º
ano). Na segunda etapa, analisamos os materiais didáticos de Matemática utilizados
pelos sujeitos que estudam nessas mesmas escolas. A observação dos cadernos dos
alunos, pode-se perceber que tanto, no 6º como no 9º ano, o professor apresentou uma
introdução formal dos conceitos matemáticos, iniciando com uma explicação ou
situação resolvida, seguida de exercícios-padrão para o aluno resolver. A ênfase foi
dada nos exercícios de memorização e repetição. Quanto ao número de acertos dos
problemas resolvidos pelos alunos, a escola A apresentou uma pequena diferença em
relação à escola B. Em ambas as escolas os alunos obtiveram melhor desempenho nos
problemas que apresentaram valores baixos e duas variáveis. Os piores resultados
foram nos problemas que continham valores altos e eram formados por três variáveis.
Palavras-chave: Desempenho dos Alunos, Problemas de Combinatória, Ensino
Fundamental, Material Didático.
Financiamento: FUNDECT/MS
¡¢ £¤ ¤ ¥¤¦ §¡¥¨©ª¢ ¤ «¤¦ ¬¡ª§©§££©ª¢ ¥¤ e GUIMARÃES, S.
de Educação Matemática: IX EPEM.Bauru.SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17 (ISBN
978-85-98092-07-2)
Introdução
A solução de problemas deve ser compreendida como um meio e um critério
para a aquisição dos conceitos matemáticos. Um meio, porque a análise dos
problemas, das soluções e dos erros é pedagogicamente essencial para fazer as crianças
compreenderem que relações são importantes e como podem ser tratadas; um critério,
porque o fracasso na transformação e na composição de relações se traduz em lacunas
e falta de conhecimento (VERGNAUD, 1991). Nesta perspectiva, a Resolução de
Problemas deve ser entendida como uma estratégia de ensino em sala de aula, não
apenas para ensinar “como” resolver problemas, mas também como um caminho que
possibilita a geração de novos conhecimentos matemáticos. Há que considerar ainda
que tal estratégia se aplica conforme os diferentes conteúdos. No caso desta pesquisa a
resolução de problemas terá como foco o raciocínio multiplicativo, mais
particularmente, no que diz respeito ao cálculo de combinatória.
Por outro lado, a prática de ensino que utiliza a resolução de problemas é
desenvolvida pelos professores, tendo como base, na maioria das vezes, a utilização do
livro didático, como principal recurso para a prática docente, constituindo-se a única
referência do professor, tanto do ponto de vista teórico, quanto metodológico. Desse
modo, o livro didático possui influência direta em seu planejamento didático (textos,
exemplos e atividades) e na seqüência dos conteúdos, que passam a ser elaborados
exclusivamente, tendo como referência sugestões apresentadas por esse material. Na
realidade, a maneira pela qual as aulas são organizadas e programadas, acaba sendo
amparada no livro didático.
Em relação à adoção do livro didático de Matemática, Belfort e Mandarino
(2004) apontam dois fatores que, possivelmente influenciem as escolhas realizadas
pelos professores de matemática: a formação do professor e o tempo de experiência.
No geral, os professores de matemática com pouco tempo de magistério possuem
pouca experiência, podendo tornar-se inseguros quanto aos seus conhecimentos.
Assim, buscam adotar livros didáticos que não os coloquem em situações que testem
seus conhecimentos e suas práticas, dando preferência aqueles, nos quais os conteúdos
são apresentados de forma simplificada, com ênfase em procedimentos e não em
conceitos. Por outro lado, os professores de maior experiência mostram em suas
2
®¯°±¯°²³´ µ¶ ²¶ ·¶¸ ¹³·º»¼´ ¯¶ ½¶¸ ¾³¼¹»¿¹¯µµ»¼´ ·¶ e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
escolhas do livro didático, a necessidade de mudar motivados por experiências
insatisfatórias em relação ao adotado anteriormente, ou seja, buscam na estrutura do
livro a ser adotado, algo diferente do anterior.
Considerando a importância da resolução de problemas na aprendizagem da
matemática e o livro didático como principal recurso didático utilizado pelo professor,
nos propusemos a indagar: Que tipos de problemas multiplicativos são apresentados
aos alunos? Com que freqüência eles são usados? Quais as dificuldades que os alunos
apresentam ao resolver problemas multiplicativos?
O presente artigo relata os resultados da pesquisa que teve como objetivos: a)
fazer um levantamento, via material didático dos tipos e freqüência dos problemas
multiplicativos propostos por Vergnaud (1991) utilizados em duas escolas públicas de
Campo Grande-MS; b) realizar uma análise comparativa dos problemas trabalhados
nas respectivas escolas com o desempenho dos alunos do 6º e 9º ano do Ensino
Fundamental em problemas envolvendo combinatória.
Campo Conceitual Multiplicativo
Para Vergnaud (1991), o campo conceitual das estruturas multiplicativas, refere-
se ao conjunto das situações que demandam multiplicações e divisões de diferentes
tipos ou a combinação dessas operações.
Para Vergnaud (1991), a complexidade e diversidade em relação ao domínio das
relações multiplicativas podem ser ilustradas através da resolução de um conjunto de
problemas complexos que podem ser identificados a partir de três categorias distintas
próprias das estruturas multiplicativas: isomorfismo de medidas, produto de medidas e
proporção múltipla.
•
Isomorfismo de medidas se caracteriza por envolver uma relação quaternária, isto
é, uma proporção simples entre dois espaços de medida. Os esquemas utilizados para
resolver estes problemas envolvem diferentes níveis de dificuldades: multiplicação,
regra de três ou divisão. Entretanto, todos podem ser representados por esquemas
análogos, onde uma quantidade é procurada. Por exemplo: “Tenho 3 pacotes de
iogurtes. Existem 4 iogurtes em cada pacote. Quantos iogurtes tenho?” (VERGNAUD,
1991, p. 197)
3
ÀÁÂÃÁÂÄÅÆ ÇÈ ÄÈ ÉÈÊ ËÅÉÌÍÎÆ ÁÈ ÏÈÊ ÐÅÎËÍÑËÁÇÇÍÎÆ ÉÈ e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
•
Produto de medidas: que envolve uma relação ternária entre três quantidades, isto
é, a composição de dois espaços de medidas em relação a uma terceira medida, tanto
no plano numérico como no plano dimensional. Vergnaud (1991), comenta que esta
estrutura cartesiana de duas medidas para encontrar uma terceira medida pode ser
observada em problemas que envolvem volume, área e combinatória.
•
Proporção múltipla: envolve a relação entre três medidas onde uma terceira
medida é proporcionalmente independente das outras medidas de espaço. Por exemplo:
“A produção de leite de uma fazenda é (sob certas condições) proporcional ao número
de vacas e o número de dias do período considerado” (VERGNAUD, 1983, p. 138).
Segundo Nunes e Bryant (1997) o uso do princípio multiplicativo é bastante
complexo e envolve domínio de várias relações que ultrapassam a simples
identificação da multiplicação como adição de parcelas iguais. De acordo com os
autores, a criança deve aprender a entender um conjunto inteiramente novo de sentidos
de número e um novo conjunto de invariáveis todas as quais estão relacionadas à
multiplicação e à divisão. Diferentemente da adição e subtração, as situações de
raciocínio multiplicativo não envolvem ações de unir e separar e destacam, por
exemplo, a correspondência um para muitos como situação multiplicativa. Este tipo de
correspondência torna-se básico para um novo conceito: o de proporção que se refere a
situações em que se deve manter constante a diferença entre dois conjuntos.
Os autores (Ibidem, p. 143-144) assinalam que o esquema de correspondência
um para muitos é o fator invariável da situação, diferenciando-se substancialmente do
tipo de invariável presente no raciocínio aditivo e acrescentam:
...ações efetuadas para manter uma proporção invariável não são
unir/separar, mas replicação (...) e seu inverso. Replicação não é
como unir, em que qualquer quantidade pode ser acrescentada a um
conjunto. Replicação envolve somar a cada conjunto a unidade
correspondente para o conjunto de modo que a correspondência
invariável um para muitos seja mantida. Por exemplo, na relação
“um carro tem quatro rodas”, a unidade a ser considerada no
conjunto de carros é uma, enquanto a unidade no conjunto de rodas é
uma unidade composta de quatro rodas. O inverso de replicar é
remover unidades correspondentes de cada conjunto. Se removemos
um carro devemos remover quatro rodas, a fim de manter a
proporção 1: 4 entre carros e rodas.
4
ÒÓÔÕÓÔÖ×Ø ÙÚ ÖÚ ÛÚÜ Ý×ÛÞßàØ ÓÚ áÚÜ â×àÝßãÝÓÙÙßàØ ÛÚ e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
Em síntese, as situações de correspondência um para muitos envolvem o
desenvolvimento de dois novos sentidos de número: o da proporção, e o do fator
escalar, que se refere ao número de replicações aplicadas a ambos os conjuntos
mantendo a proporção constante. Cabe destacar que nenhum destes sentidos se
relaciona ao tamanho do conjunto, ou seja, a proporção e o fator escalar permanecem
constantes mesmo quando o tamanho varia (NUNES; BRYANT, 1997). Portanto, o
raciocínio multiplicativo é bastante complexo e requer processos cognitivos abstratos,
os quais o professor precisa conhecer a fim de trabalhar diferentes tipos de situações
que possibilitariam melhores condições aos alunos para a construção de conceitos
matemáticos relativos às estruturas multiplicativas.
Metodologia
A pesquisa foi realizada em duas etapas. Na primeira1, 40 alunos do 6º e 9º ano
de duas escolas públicas de Campo Grande-MS participaram da aplicação individual
de uma prova, contendo oito problemas de estrutura multiplicativa relativos à
combinatória (Anexo 1), elaborados com base na Teoria dos Campos Conceituais,
proposta por Vergnaud (1991). Os alunos compuseram quatro grupos: Escola A (6º
ano) – 10 alunos; Escola A (9º ano) – 10 alunos; Escola B (6º ano) – 10 alunos; Escola
B (9º ano) – 10 alunos.
Na segunda etapa, foram analisados os materiais didáticos de Matemática
utilizados nas duas escolas envolvidas na primeira etapa, com o objetivo de identificar
que tipos de problemas de estrutura multiplicativa estariam presentes nos respectivos
materiais. A análise dos materiais didáticos foi realizada a partir de diferentes fontes
de dados. Na escola A foram analisados os cadernos dos alunos, tendo em vista que o
professor não usava o livro didático, embora tivesse sido adotado pela escola. Na
escola B foi feito um levantamento dos tipos de problemas multiplicativos presentes
no livro didático “Praticando Matemática” (ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS,
Maria José, 2002) do 6º e 9º ano. Por último, foram analisados os cadernos dos alunos
da mesma escola para verificar se os mesmos tinham sido trabalhados em sala de aula.
Os cadernos selecionados eram de alunos avaliados pelos professores como “bons
alunos”, ou seja, que tiravam boas notas e eram assíduos às aulas.
5
äåæçåæèéê ëì èì íìî ïéíðñòê åì óìî ôéòïñõïåëëñòê íì e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
Análise e Discussão dos Resultados
Os dados apresentados a seguir são relativos às duas etapas. Em primeiro lugar
descreveremos o levantamento dos problemas trabalhados nos livros e cadernos das
duas escolas.
Ao observarmos os cadernos dos alunos da escola A, foi possível perceber que,
tanto no 6º quanto no 9º ano, o professor apresentava uma introdução formal dos
conceitos matemáticos, iniciando com uma explicação ou situação resolvida, seguida
de exercícios-padrão para o aluno resolver. Verificamos que foi trabalhado um número
muito reduzido de problemas multiplicativos como pode ser observado na tabela 1, a
seguir. A ênfase foi dada nos exercícios de memorização e repetição.
A tabela 1 apresenta os tipos de problemas multiplicativos presentes nos
cadernos dos alunos da escola A.
Tabela 1- Tipos de Problemas Multiplicativos presentes nos cadernos dos alunos da escola A.
Problemas do
livro
6º ano
Problemas do
caderno
6º ano
Problemas
do livro
9º ano
Problemas
do caderno
9º ano
•Multiplicação
Simples
-
2
-
1
•
Divisão
(partição)
-
1
-
-
• Divisão (quotas)
-
-
-
-
• Proporção
-
3
-
8
9
• Combinatória
-
1
-
-
• Área
-
-
-
69
• Volume
-
1
4
-
1
70
79
Problemas trabalhados
Categorias de
Vergnaud
Isomorfismo de
Medidas
Subcategorias
subtotal
Produto de
Medidas
subtotal
Total
Como podemos observar na Tabela 1, foram propostos aos alunos do 9º ano 79
problemas. Destes, 70 referiam-se ao produto de medidas, sendo que, 69 problemas
envolviam área e apenas 1 de volume. Em relação aos 9 problemas restantes, oito
estavam relacionados ao isomorfismo de medidas, sendo 8 de proporção e um de
6
ö÷øù÷øúûü ýþ úþ ÿþT ûÿü ÷þ þT û ÷ýýü ÿþ e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
multiplicação simples. Verificamos também que os alunos não resolveram nenhum
problema relacionado à combinatória. No entanto, houve um número elevado de
problemas envolvendo área, ( muitos dos quais envolvendo equação do segundo grau)
e um número relativamente baixo de problemas relacionados aos outros tipos de
problemas multiplicativos.
As demais atividades presentes nos cadernos foram classificadas como
exercícios, pois envolviam apenas aplicações de propriedades e algoritmos, como por
exemplo, calcular o valor de expressões numéricas, aplicar as propriedades das
potências e dos radicais, operar com radicais (adição, subtração, multiplicação e
divisão).
Em relação ao 6º ano, identificamos que foram trabalhados apenas quatro
problemas, dos quais, três envolviam isomorfismo de medidas, pois se referiam à
multiplicação e divisão, e apenas 1 envolvia produto de medidas (combinatória).
Percebemos que a ênfase foi dada nos exercícios que exigiam a aplicação de
algoritmos e propriedades, como por exemplo, calcular o valor de expressões
numéricas, aplicar as propriedades das potências, calcular a raiz quadrada de um
número, encontrar os divisores de um número, achar o mínimo múltiplo comum
(MMC), operar com frações e decimais (adição, subtração, multiplicação e divisão).
Comparando-se as duas turmas, percebemos que no 9º ano foram trabalhadas um
número maior de problemas que no 6º ano, embora tenha sido apresentado aos alunos
uma maior quantidade de problemas envolvendo área (Produto de Medidas).
Diante dos resultados encontrados, podemos dizer que o número de problemas
apresentados nas duas séries foi muito baixo, considerando a quantidade de aulas
previstas no calendário letivo.
Na escola B, o levantamento foi feito nos livros didáticos e nos cadernos dos
alunos.Em geral, as atividades propostas nos livros estão relacionadas às situações que
envolvem desafios, tratamento da informação – gráficos, tabelas e situações do
cotidiano.
Observamos que os conteúdos são introduzidos por uma situação
motivadora, seguida de sistematização e de atividades de aplicação e aprofundamento.
Tais situações são apresentadas por meio de textos, de situações resolvidas ou, mais
raramente de situações-problema para o aluno resolver. Há vários exemplos em que
7
e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
são comparadas diferentes estratégias de resolução de problemas, embora o estímulo a
essa prática seja pouco freqüente nas atividades. Entre estas, destacam-se as que
favorecem o desenvolvimento das competências complexas, tais como observar,
explorar, estabelecer relações e generalizar. Outro ponto positivo são as atividades que
envolvem cálculo mental, bem como o uso da calculadora e o de materiais concretos
variados e de desenhos.
Quanto à distribuição dos problemas multiplicativos, verificamos que o livro
didático do 6º ano apresenta uma introdução formal aos conceitos de multiplicação e
divisão, com uma unidade específica para abordar esses conceitos, na qual se
concentra a maior parte dos problemas multiplicativos deste material. Cabe destacar,
que a unidade referida apresenta, por um lado, uma introdução aos conceitos, iniciando
com uma explicação ou situação resolvida, seguida de exercícios de algoritmos ou
problemas-padrão para o aluno resolver. Por outro lado, existe uma separação entre
multiplicação e divisão, aparecendo primeiro os problemas de multiplicação e em
seguida os de divisão. Ao final da unidade é proposto exercícios de revisão,
envolvendo as duas operações e alguns desafios.
Em relação ao livro didático do 9º ano, observamos que não há um tópico
específico para os problemas multiplicativos, porém os mesmos estavam presentes em
todas as unidades. Quanto aos tipos de problemas multiplicativos, observamos que os
mais explorados foram os relacionados à área.
A tabela 2 mostra os tipos de problemas multiplicativos encontrados nos livros e
nos cadernos dos alunos da escola B.
8
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9
978-85-98092-07-2)
Tabela 2-Referente aos problemas multiplicativo presentes nos livros e nos cadernos dos alunos da escola B.
Problemas
do livro
6º ano
Problemas do
caderno
6º ano
Problemas
do livro
9º ano
Problemas do
caderno
9º ano
•
Multiplicação
simples
41
8
36
2
• Divisão (partição)
7
2
-
-
• Divisão (quotas)
11
2
-
-
• Proporção
21
80
1
13
19
55
2
• Combinatória
22
4
52
3
• Área
23
-
129
5
• Volume
26
71
151
4
17
20
201
256
8
10
Problemas trabalhados
Categorias de
Vergnaud
Isomorfismo de
Medidas
Subcategorias
subtotal
Produto de
Medidas
subtotal
Total
Em relação à análise dos livros didáticos utilizados nas duas séries, verificamos
que houve um número bastante expressivo de problemas, envolvendo o campo
conceitual multiplicativo. No 9º ano identificamos 256 problemas e no sexto ano 151
problemas, como mostra a tabela 2.
Dos 256 problemas encontrados no 9º ano, 201 estavam relacionados ao tipo
produto de medidas, pois envolviam área, volume e combinatória e 55 eram do tipo
isomorfismo de medidas, ou seja, estavam relacionadas à multiplicação simples e à
proporção. Cabe ressaltar que não foi identificado nenhum problema de divisão
(quotas e partição). Sendo assim, no 9º ano houve um alto índice de problemas
relacionados à área (129) e uma quantidade razoável de problemas envolvendo
combinatória (52) e multiplicação simples (36). Entretanto, houve um número menor
de situações-problema relacionadas a volume (20) e proporção (19).
No 6º ano, verificamos 151 problemas multiplicativos. Destes, 80 se
relacionavam ao isomorfismo de medidas e 71 a produto de medidas. Como se pode
observar na tabela 2, a maior quantidade de problemas envolvia multiplicação (41). Já
os problemas relacionados à área (26), volume (23), combinatória (22) e proporção
+,-.,-/01 23 /3 435 6047891 ,3 :35 ;0968<6,22891 43 e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
(21) compareceram de forma equilibrada. Quanto aos 18 problemas de divisão,
observamos que 11 referiam-se à divisão por quotas e 7 à divisão partitiva.
Os dados apresentados a seguir são referentes aos cadernos dos alunos do 6ª e 9º
ano da escola B.
A análise nos permitiu identificar que no 9º ano os alunos resolveram apenas 10
problemas, sendo cinco de área, três de combinatória e dois de multiplicação simples.
Em relação ao 6º ano, foram propostos aos alunos 17 problemas, sendo oito de
multiplicação, quatro de combinatória, quatro de divisão (2 de quotas e 2 de partição) e
apenas um de proporção. Considerando que foram analisados os cadernos de alunos
que tiravam boas notas e não faltavam às aulas, é possível afirmar que apesar da
grande quantidade de problemas multiplicativos presentes nos livros didáticos, os
mesmos foram pouco trabalhados em sala de aula.
A análise dos cadernos dos alunos do 9º ano ainda nos possibilitou observar que,
ao introduzir um conteúdo matemático, o professor sempre iniciava apresentando aos
alunos os exercícios que apareciam resolvidos no livro didático. Não foi possível
identificar outros exemplos ou formas diferentes de resolução. Pode-se inferir que essa
prática de ensino não prepara os alunos para enfrentarem, mesmo as situações
matemáticas mais simples surgidas em diferentes contextos.
A segunda etapa da análise é referente ao desempenho dos alunos na resolução
de problemas envolvendo combinatória, tendo em vista a comparação com os
problemas trabalhados nas escolas.
A tabela 3 mostra a freqüência de acertos dos alunos na resolução dos problemas
de combinatória.
Tabela 3- Freqüência de Acertos nos Problemas de Combinatória
Acertos
Escola A
Escola B
Problemas
6º ano 9ºano
Total
6ºano
9ºano
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4
Problema 5
Problema 6
Problema 7
Problema 8
F
1
1
3
4
2
3
%
10
10
30
40
20
30
F
1
1
6
3
1
2
1
%
10
10
60
30
10
20
10
F
2
2
7
7
1
4
4
%
20
20
70
70
10
40
40
F
2
3
1
-
%
20
30
10
-
F
1
1
7
2
3
3
%
10
10
70
20
30
30
Total
F
%
1
10
1
10
9
90
5
50
4
40
3
30
10
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978-85-98092-07-2)
Podemos verificar na tabela 3, que de modo geral na escola A não houve grande
diferença entre os alunos das duas séries, pois no 9º ano, em conjunto, os alunos
acertaram 15 problemas, e no 6º ano o índice foi de 14 problemas. No entanto, se
compararmos o desempenho dos alunos em cada problema, podemos notar que o
melhor desempenho do 9º ano foi no problema 3, enquanto no 6º ano foi no problema
4.
Na escola B foi possível observar que os alunos do 9º acertaram 17 problemas,
sendo que o melhor desempenho também foi no problema 3 como aconteceu no 9º ano
da escola A. Por outro lado, os alunos do 6º ano tiveram apenas 6 acertos nos 8
problemas.
Quanto ao número de acertos entre as duas escolas, notamos que a escola A
apresentou um pequeno aumento (29) comparado à escola B (23). Em ambas as
escolas os alunos obtiveram melhor desempenho nos problemas 3 e 4, isto é, nos
problemas que apresentavam valores baixos e duas variáveis. Os piores resultados
foram nos problemas 5 e 6, provavelmente pelo fato de que esses problemas
continham valores altos e trabalhavam com três variáveis. Verificamos que no
problema 5 apenas 1 aluno (escola A) acertou o problema, enquanto no problema 6
nenhum aluno obteve êxito.
A tabela 4 mostra a freqüência dos problemas de combinatória trabalhados nas
escolas A e B e o desempenho dos alunos na prova.
Tabela 4-Freqüência dos problemas de combinatória trabalhados nas escolas A e B e o
desempenho dos alunos na prova
Séries
Livro
Escola A
Caderno
6º ano
-
1
9º ano
Total
n por série = 10
Acertos
Livro
14
15
29
22
52
74
Escola B
Caderno
4
3
7
Acertos
6
17
23
1
total máximo de acertos por problema = 10 ; por série = 80; por escola = 160
n por escola = 20
Em relação à escola A que não adotou livro didático, verificamos que durante o
ano letivo foi apresentado aos alunos do 6º ano apenas 1 problema de combinatória,
como mostra a tabela 4. No 9º ano nenhum problema desse tipo foi apresentado aos
alunos. Apesar de o professor destas turmas afirmar que não utilizava o livro adotado
11
OPQRPQSUV WX SX YXZ [UY\]^V PX _XZ Ù^[]a[PWW]^V YX e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
pela escola, porque gostava de diversificar as atividades, notamos que na prática isso
não ocorreu, porque no caderno do 6º ano encontramos apenas 4 problemas, sendo 3
de Isomorfismo de Medidas (2 de multiplicação simples e 1 de divisão por partição) e
1 de Produto de Medidas (combinatória).
No 9º ano observamos que o professor priorizou os problemas de Produto de
Medidas, pois dos 79 problemas presentes nos cadernos dos alunos, 69 estavam
relacionados á área e 1 envolvia volume.Os outros nove restantes eram do tipo
Isomorfismo de Medidas, sendo 8 de proporção e 1 de multiplicação simples.
Quanto ao desempenho das turmas, notamos que o 9º ano obteve um acerto a
mais que o 6º ano. Portanto, os anos de escolaridade parecem não ter influenciado no
desempenho desses alunos em relação aos problemas de combinatória. Embora a
pesquisa não tenha verificado os problemas trabalhados no 7º e 8º anos, podemos
concluir que, de qualquer maneira os problemas de combinatória não foram
trabalhados ou se foram não contribuíram para melhorar o desempenho dos alunos
nesse tipo de tarefa.
Em relação à escola B, que adotou o livro didático, identificamos 22 problemas
de combinatória no livro do 6º ano e 52 problemas no livro do 9º ano. Contudo, foram
propostos aos alunos apenas 7 problemas. No 6º ano os alunos resolveram 4 problemas
e no 9º ano três problemas.
Em relação ao número de acertos, observamos que os alunos do 9º ano
obtiveram 17 acertos, enquanto os alunos do 6º ano apenas 6.
Diferentemente da
escola A, os alunos com mais escolaridade apresentaram melhor desempenho.
Ao compararmos o desempenho dos alunos em ambas as escolas, notamos que a
diferença do número de acertos entre as duas escolas foi pequena, visto que, na escola
A os alunos tiveram 29 acertos em todos os problemas, enquanto na escola B o índice
foi de 23 acertos. Frente a esse resultado não podemos dizer que o desempenho dos
alunos se deveu a um trabalho realizado pela escola.
Em síntese, o fato de os professores de ambas as escolas não oferecerem
diferentes situações relativas ao campo conceitual das estruturas multiplicativas, não
facultou aos alunos a possibilidade de ampliar e dominar os conceitos que fazem parte
12
bcdecdfgh ij fj kjl mgknoph cj qjl rgpmosmciioph kj e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
desse campo conceitual, aumentando assim o seu repertório, o que permitiria obter
êxito na resolução dos problemas de combinatória.
Diante dos resultados encontrados, pudemos perceber que alguns fatores podem
ter influenciado o desempenho dos alunos na resolução de problemas, envolvendo
combinatória: a) valores baixos e altos para as variáveis; b) número de variáveis (duas
ou três) presentes no enunciado do problema; c) a quantidade de problemas propostos
aos alunos envolvendo combinatória; d) a complexidade que envolve o raciocínio
multiplicativo.
Em relação aos valores (baixos e altos) e às variáveis (duas ou três) verificamos
que estes aspectos influenciaram no desempenho dos alunos, considerando que nas
duas escolas os alunos obtiveram mais acertos nos problemas 3 e 4, que continham
valores baixos e duas variáveis. Por outro lado, o menor desempenho foi encontrado
nos problemas 5 e 6 que apresentavam valores altos e três variáveis.
Quanto aos problemas apresentados aos alunos na sala de aula, verificamos que
praticamente os problemas de combinatória não foram trabalhados, levando-se em
conta a quantidade de aulas de matemática num ano letivo: observamos que na escola
A, os alunos do 6º ano resolveram 1 problema e os alunos do 9º ano nenhum; na escola
B, resolveram 7 problemas, sendo que 4 foram apresentados aos alunos do 6º ano e os
demais aos alunos do 9º ano.
Soares e Moro (2006) afirmam que os problemas de combinatória são muito
pouco freqüentes na matemática da escola básica brasileira. Segundo as autoras,
identificar e descrever as estratégias de solução desses problemas pelos alunos é um
caminho para estimular sua presença nas propostas dos professores. E no terreno da
aprendizagem escolar da matemática é interessante conhecer a progressão do
raciocínio por combinatória do aluno da escola elementar que, provavelmente, venha a
ser revelada e/ou estimulada pela solução de tal gênero de problemas.
Nesta pesquisa foi possível verificar que, embora as escolas (A e B) tenham
utilizado materiais didáticos diferentes, ambas priorizaram a transmissão de
informações, considerando que houve grande quantidade de exercícios de aplicação de
propriedades e treino de algoritmos. Em outras palavras, os problemas propostos aos
13
tuvwuvxyz {| x| }|~ y}z u| |~ yu{{z }| e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
alunos, apresentaram como características: podiam ser resolvidos pela aplicação direta
de um ou mais algoritmos; a tarefa básica na sua resolução era a de identificar que
operações, ou equações seriam apropriadas para a sua solução; os problemas eram
apresentados por meio de frases ou parágrafos curtos e vinham sempre após o
desenvolvimento de determinado conteúdo; todos os dados necessários para sua
solução apareciam explicitamente no texto do problema; a solução sempre existia e era
única.
É importante ressaltar que os exercícios mais técnicos, do tipo: “calcule”,
“resolva” etc., possuem sua importância, pois eles cumprem a função do aprendizado
de técnicas e propriedades, mas de forma alguma são suficientes para que o aluno
desenvolva o pensar em matemática nem tão pouco os prepara para que possam
continuar aprendendo ou ainda para que tenham ferramentas efetivas para intervenção
no mundo à sua volta (SMOLE; DINIZ, 2000).
É um grande erro pedagógico, de acordo com Vergnaud (1991), considerar que o
ensino consiste necessariamente de uma parte de exercícios repetitivos para a
aquisição, por simples condicionamento de procedimentos preestabelecidos. Segundo
o autor, a criança somente constrói um conceito, se o compreende, é capaz de explicálo e consegue dar conta das relações que este mantém com os outros conceitos do
campo conceitual, relativos aos problemas aos quais se aplicam. Na realidade não
houve um trabalho efetivo nem em quantidade nem em qualidade com os problemas de
combinatória. Podemos dizer que o desempenho dos alunos na prova se deveu aos seus
conhecimentos básicos anteriores com os quais tentavam de forma intuitiva e usando
cálculo mental resolver os problemas propostos. Este dado parece procedente porque
os maiores acertos se deram nos problemas cujas variáveis apresentavam valores
baixos, portanto calculáveis de modo mais concreto.
Pelo que pudemos observar, a ação do professor como mediador no uso do livro
didático é fundamental. A ação do professor, mesmo quando o material trazido pelo
livro didático era mais abrangente e diversificado, como foi o caso da Escola B,
funcionou como uma mediação no sentido de simplificar e, portanto empobrecer o
contato dos alunos com a diversidade de significado da multiplicação. No caso da
Escola A, não foi diferente, se considerarmos que o professor selecionou o que
14
e GUIMARÃES, S.
978-85-98092-07-2)
trabalhar com os alunos e como vimos, também de uma maneira restrita. Tais dados
nos mostram o quanto é importante a formação do professor e o seu preparo para a
utilização do material pedagógico. Como diz Nacarato (2004, p. 17) “A prática de
ensino de Matemática sempre foi marcada pelo mecanicismo e pela repetição. Até
recentemente tínhamos como crença de que o que orientava o professor para a sua
prática de sala de aula, era o livro didático. Atualmente, temos dúvida quanto a isso”.
De fato, atualmente, após o PNLD ( Programa Nacional do Livro Didático)
avaliação dos livros didáticos produziu modificações significativas nesse material, na
medida em que incorporou pressupostos trabalhados nas pesquisas sobre ensino e
aprendizagem de Matemática. No entanto, tais mudanças não parecem ter sido
incorporadas pelos professores, fato que pode ser ilustrado como os resultados da
pesquisa aqui relatada. Consideramos que qualquer mudança no direcionamento do
ensino da Matemática passa, necessariamente, pelo domínio conceitual do professor,
mas não se limita a esse aspecto, sendo de significativa importância, mudanças na sua
postura pedagógica. Cabe ao professor refletir sobre como ensinar os conteúdos
selecionados, bem como, conhecer como ocorre o processo de aprendizagem nas
crianças e adolescentes.
Notas
1
Os dados da primeira etapa, relativos ao desempenho dos alunos nos problemas de combinatória foram
levantados pelos mesmos autores. Esta pesquisa faz parte do projeto “Problemas multiplicativos,
envolvendo combinatória: estratégias de resolução empregadas por alunos do Ensino Fundamental”,
financiada pela Fundect/MS. O dados aqui trabalhados constam do Relatório Final da Pesquisa de junho
de 2008.
Referências
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares
Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998.
DINIZ, Maria Ignez. Resolução de problemas e comunicação. In: SMOLE, Kátia C.
S.; DINIZ, Maria Ignez (Org.). Ler escrever e resolver problemas: habilidades
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15
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16
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978-85-98092-07-2)
ANEXO 1
Problema 1: Vi em uma revista que uma artista de televisão tem 86 pares de sapatos e 54
tipos de meias. Quantas vezes ela pode sair sem repetir a combinação de sapatos
e meias?
Problema 2: Tatiana vai a uma festa a fantasia usando peruca e óculos. Em uma loja ela
encontrou 42 tipos de perucas e 26 tipos de óculos. De quantas maneiras ela
pode se arrumar usando um óculos e uma peruca de cada vez?
Problema 3: Uma loja vende bolsas de dois tamanhos (pequenas e grandes) em quatro cores
diferentes (preta, marrom, azul e branca). Maria quer comprar uma bolsa nesta
loja. Quantos tipos diferentes de bolsa ela pode escolher?
Problema 4: Vou dar uma festa e servirei sanduíches. Para fazer os sanduíches comprei dois
tipos de queijos e quatro tipos de pães. Quantos sanduíches diferentes posso
servir com um tipo de pão e um tipo de queijo?
Problema 5: Uma sapataria tem 45 pares diferentes de sapatos, 36 tipos de bolsa e 24 tipos de
cinto. Cristiane quer comprar um sapato, uma bolsa e um cinto. Quantos
conjuntos diferentes de bolsa, sapato e cinto ela pode escolher nesta loja?
Problema 6: Valéria tem 32 colares, 92 pulseiras e 65 anéis. De quantas maneiras diferentes
ela pode se arrumar, usando apenas um colar, uma pulseira e um anel de cada
vez?
Problema 7: Em uma sorveteria por quilo existem 6 sabores de sorvete, 3 coberturas e dois
tipos de casquinhas. De quantas maneiras diferentes você pode se servir,
sabendo que todos os sorvetes são acompanhados de casquinha e cobertura?
Problema 8: Na festa de aniversário de Lúcio, cada criança vai receber um saquinho de
lembrança. Para fazer os saquinhos, a mãe de Lúcio comprou dois sabores de
pirulito, 3 sabores de chiclete e 2 sabores de bombons. Quantos tipos diferentes
de saquinhos ela pode fazer com um sabor de pirulito, um sabor de chiclete e um
sabor de bombom?
17
¼½¾¿ÀÁ ÂÃ ÄÃ Å ÆÇÈÉÇÊÂÀÁ ËÃ ÌÃ À ÍÅÎÅÏÐÑÒÐÓÔÅÏÕÑ ÍÖ Matemacia: episódios de
um projeto intitulado planejamento urbano. Anais do IX Encontro Paulista de
Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-13. (ISBN
978-85-98092-07-02)
Eixo-temático 3: Etnomatemática e Modelagem
O DESENVOLVIMENTO DA MATEMACIA: EPISÓDIOS DE UM
PROJETO INTITULADO PLANEJAMENTO URBANO
Denival Biotto FILHO – UNESP ([email protected]×
Miriam Godoy PENTEADO – UNESP ([email protected]×
Resumo: O objetivo deste artigo é defender que a proposta de trabalho com projetos
favorece a dimensão sociopolítica da matemacia. O trabalho com projetos é uma
proposta pedagógica que envolve o estudo de um tema através de atividades
investigativas. A matemacia é entendida como um conhecimento matemático que
contempla duas dimensões: uma técnica e outra sociopolítica. A dimensão técnica da
matemacia envolve a habilidade de lidar com noções matemáticas, como reproduzir
teoremas, demonstrações, dominar e construir algoritmos, conteúdos e raciocínios
matemáticos. A dimensão sociopolítica da matemacia envolve aplicar tais noções em
diferentes contextos e refletir sobre suas aplicações, avaliando o uso que se faz da
matemática na sociedade. Para o desenvolvimento da dimensão sociopolítica da
matemacia, é importante possibilitar um ambiente que proporcione aos alunos a
oportunidade de discutir e refletir sobre o papel da Matemática na sociedade.
Certamente, existem diferentes formas de viabilizar isso em ambientes educacionais e
optamos aqui pelo trabalho com projetos A discussão aqui apresentada é baseada numa
pesquisa com um grupo de jovens que participaram de um projeto intitulado
Planejamento Urbano, desenvolvido fora do contexto escolar. O grupo de orientadores
do projeto foi formado por pesquisadores em educação matemática e pesquisadores da
área de geografia que são especialistas em administração urbana. As atividades
desenvolvidas com o grupo de jovens envolveram explorar o tema planejamento urbano
através de jogos simuladores de tabuleiro e eletrônico, bem como investigar situações
problemáticas na cidade em que residiam. Este artigo traz uma síntese e alguns
episódios desse projeto, procurando apontar o desenvolvimento da dimensão
sociopolítica da matemacia.
Palavras-chave: Matemacia, Trabalho com Projetos, Educação Matemática Crítica.
Introdução
Skovsmose (2001) discute a idéia de que a educação matemática deve se
preocupar com o desenvolvimento da matemacia que é, segundo o autor, um
conhecimento matemático que contempla duas dimensões: uma técnica e outra
sociopolítica. A dimensão técnica da matemacia envolve a habilidade de lidar com
ØÙÚÛÜÝ Þß àß á âãäåãæÞÜÝ çß èß Ü éáêáëìíîìïðáëñí éò Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
noções matemáticas, como reproduzir teoremas, demonstrações, dominar e construir
algoritmos, conteúdos e raciocínios matemáticos. A dimensão sociopolítica da
matemacia envolve aplicar tais noções em diferentes contextos e refletir sobre suas
aplicações, avaliando o uso que se faz da Matemática na sociedade.
Para o desenvolvimento da dimensão sociopolítica da matemacia, é importante
possibilitar um ambiente que proporcione aos alunos a oportunidade de discutir e
refletir sobre o papel da Matemática na sociedade. Como é possível viabilizar isso em
ambientes educacionais? Que metodologia utilizar? Certamente, existem diferentes
formas de fazer isso e optamos aqui pelo trabalho com projetos.
O trabalho com projetos é uma proposta pedagógica que envolve o estudo de um
tema através de atividades investigativas. Machado (2004) considera a etimologia da
palavra projeto, e explica que ela é derivada do latim projectus, que significa a ação de
se lançar para frente ou de se estender; contém a idéia de um jato lançado para frente.
Assim, a palavra designa igualmente tanto aquilo que é proposto realizar quanto o que
será feito para atingir tal meta. Dessa forma, projeto está etimologicamente associado à
idéia de planejamento de ações para se investigar um tema ou uma situação problema.
O objetivo deste artigo é defender que a proposta de trabalho com projetos
favorece a dimensão sociopolítica da matemacia. A discussão aqui apresentada é
baseada numa pesquisa com um grupo de jovens que participaram de um projeto
intitulado Planejamento Urbano, desenvolvido fora do contexto escolar. O grupo de
orientadores do projeto foi formado por pesquisadores em educação matemática e
pesquisadores da área de geografia que são especialistas em administração urbana. As
atividades desenvolvidas com o grupo de jovens envolveram explorar o tema
planejamento urbano através de jogos simuladores de tabuleiro e eletrônico, bem como
investigar situações problemáticas na cidade em que residiam. No que segue, trazemos
uma síntese e alguns episódios desse projeto, procurando apontar o desenvolvimento da
dimensão sociopolítica da matemacia.
Planejamento e desenvolvimento de um projeto
Para investigarmos o pretendido, foi preciso constituir uma situação que
envolvesse a proposta de trabalho com projetos. Decidimos que os participantes seriam
jovens com o interesse de desenvolver uma atividade educacional sobre um
2
óôõö÷ø ùú ûú ü ýþÿFþ ù÷ø ú ú ÷ üü
ü Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
determinado assunto. O trabalho individual seria realizado em suas casas e o trabalho
em conjunto em um local a ser combinado.
Para a escolha do tema a ser trabalhado, fomos inspirados pela pesquisa de
Mendes (2006), que discute as possibilidades pedagógicas do software Simcity4 [Jogo
para computador lançado em 2003 pela editora americana de jogos eletrônicos
Electronic Arts (EA Games) e desenvolvido pela empresa criadora de jogos de
computador Máxis] que é um jogo eletrônico que simula uma cidade em que o jogador
desempenha o papel de prefeito. Após a decisão pela utilização do jogo como parte do
projeto, entramos em contato com uma especialista, docente em nossa universidade que
junto com três alunas havia desenvolvido recentemente um jogo de tabuleiro que tratava
de questões relacionadas ao tema planejamento urbano. Decidimos explorar também
esse jogo durante o desenvolvimento do projeto e montamos uma parceria com suas
autoras. Essa parceria permaneceu até o fim do trabalho, re-configurando e
enriquecendo todo o planejamento de atividades que tínhamos em mente. Após isso,
iniciamos o processo de estender o convite a alguns amigos para participar de um
estudo investigativo sobre o tema Planejamento Urbano. No total, doze jovens, com
idade entre 13 e 26 anos, aceitaram o convite.
O projeto desenvolvido teve duas fases: uma de exploração do tema através de
jogos e outra de investigação de situações problemáticas na cidade de Rio Claro, local
de residência de todos os participantes. A fase de exploração do tema envolveu o jogo
de tabuleiro desenvolvido pelas parceiras da Geografia e o simulador virtual Simcity4.
O jogo de tabuleiro foi trabalhado em um encontro com toda a equipe e possibilitou aos
participantes explorar o tema Planejamento Urbano no papel de cidadãos, discutir a
importância de exercer a cidadania por meio das leis, e conhecer a função de certos
órgãos administrativos, como o fórum, a prefeitura e outros. Durante um período de
quatro semanas, os participantes jogaram em duplas o Simcity4, explorando o tema
numa outra posição, pois, para jogar, tiveram que assumir o papel de prefeito e isto
ofereceu uma visão mais geral do planejamento e da administração de uma cidade.
Depois dessa fase de exploração do tema, houve uma fase de pesquisa dos
participantes, com duração de 15 semanas, que envolveu uma investigação de temas
relacionados ao planejamento urbano de Rio Claro. Um grupo decidiu pesquisar os
índices de criminalidade na cidade, e seus dados foram coletados com base nas notícias
3
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978-85-98092-07-02)
de um site jornalístico municipal. Outro grupo preferiu pesquisar o assunto Inclusão
digital e realizou entrevistas com moradores de um bairro de periferia da cidade a fim
de entenderem as possibilidades de acesso a computadores e Internet daquela
população. Um terceiro grupo pesquisou a distribuição da água na cidade, e com base
em informações fornecidas pelo Departamento Autônomo de Água e Esgoto de Rio
Claro (DAAE) e em uma monografia realizada por uma estudante da Unesp
(BARRANCOS, 2005), eles identificaram as fontes de captação de água na cidade, a
quantidade de água coletada, bem como problemas envolvendo a perda de água devido
a canos quebrados na rede e hidrômetros velhos.
O desenvolvimento da dimensão sociopolítica da matemacia
Primeiramente, queremos apontar que o projeto pôde ampliar a compreensão que
os participantes tinham sobre o planejamento urbano de uma cidade. A exploração do
tema através do jogo de tabuleiro os ajudou não apenas a conhecer alguns direitos
relacionados à educação, mas também a compreender que há várias maneiras de
recorrer aos seus direitos, como pode ser observado no seguinte episódio:
Sara (participante): Tem casos em que a gente não sabe a quem recorrer. A gente pensa que só
tem o abaixo assinado, mas há vários meios de recorrermos. Não precisa ser só coisas
relacionadas à prefeitura, mas coisas relacionadas diretamente à justiça. Muita gente não recorre
aos seus direitos porque pensa assim: “Ah! Eu tenho que pagar um advogado, tem que fazer isso
e aquilo”. Às vezes não! Por isso, que a gente deu aquela solução no jogo, de falar com o
promotor de justiça. Há outros lugares que a gente pode recorrer. E isso eu não sabia! É um
conhecimento que a gente leva. E é bom que todo mundo saiba disso.
Rosane (orientadora): O Estado é obrigado a fornecer advogado gratuito para quem precisa. A
gente fala: “Ah, eu não vou abrir uma ação porque não tenho dinheiro para pagar advogado”.
Você pode entrar com o pedido de um advogado.
Sara: Mais uma coisa que eu não sabia.
Rosane: Vocês acham que esse tipo de trabalho é importante?
Deryk (participante): Sim, para o povo conhecer seus direitos. Conhecer o que pode fazer. O
povo fala: “Nós somos oprimidos”, mas eles não conhecem seus direitos.
Letícia (Participante): Todo mundo já ouviu falar de direito do consumidor e outros direitos.
Mas ninguém sabe quais são.
[...]
Carolina (participante): Tem muitas pessoas que acham que as coisas não têm solução. Mas as
coisas têm solução sim.
Sara: Não que tudo seja resolvido.
4
()*+,- ./ 0/ 1 234536.,- 7/ 8/ , 91:1;<=><?@1;A= 9B Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
Tânia (orientadora): Por isso que a gente quis fazer esse debate, para ver como é complexo.
Por exemplo, essa proposta que vocês fizeram no jogo é uma tentativa. Algumas vezes dá certo,
outras vezes não. Porque há muitos interesses envolvidos, principalmente quando envolve
dinheiro.
[...]
Marília (participante): O mais interessante que eu achei no jogo foi isso: a variedade de
escolhas que você tinha. No nosso caso, nós escolhemos várias opções, se não der certo isso a
gente faz isso, e assim por diante.
Assim, os participantes também puderam conhecer meios de recorrer aos seus
direitos e criar planos de ações para resolver problemas sociais de uma comunidade.
Isso deve ser valorizado, pois conforme Machado (2004) afirma, uma das principais
funções da educação é preparar o estudante para exercer uma participação ativa na
sociedade, visando não apenas aos seus interesses pessoais, mas também aos interesses
da comunidade em que se insere.
Pode-se também observar no episódio acima que os planos para se recorrer aos
direitos foram apontados como “tentativas”, pois existem outros interesses envolvidos
que nem sempre contemplam a necessidade da população. Assim, pudemos observar
que os participantes compreenderam que nem sempre a necessidade vai ser o fator
principal que configurará as decisões tomadas em uma cidade. A pesquisa sobre a
distribuição de água foi uma grande evidência disso quando foram discutidas as razões
políticas para haver muitos hidrômetros antigos na cidade, bem como para não
concertarem os canos quebrados na rede, uma obra que não teria visibilidade.
Rafaela (participante): O hidrômetro deve ser trocado de 5 em 5 anos. Só que há casas aqui
em Rio Claro em que os hidrômetros não são trocados há 25 anos. Então, imagine o quanto não
está sendo perdido por causa disso! A perda total no município é de 57%. Sendo que no Brasil é
de 37%. Rio Claro perde bem mais que o Brasil.
[...]
Sara (participante): Eu perguntei no DAAE, porque não trocam os hidrômetros de 5 em 5
anos. Ela falou: “Porque não há interesse político nisso. Se os governos duram 4 anos, porque
eles vão correr querer trocar os hidrômetros? Eles vão correr atrás de outras coisas, gastar
dinheiro com outras coisas. Não com isso”.
[...]
Silvana (orientadora): A maior perda é dos encanamentos. Já foi comprovado. Porque as redes
são antigas. Mas o que acontece. Quando você vai fazer um conserto, você rompe a rua. Você
causa transtorno. E aí todo mundo reclama. Porque as pessoas não percebem que essas coisas
ficam velhas lá embaixo. Você interrompe o trânsito, custa caro. Mas tem que fazer. Essas obras
não aparecem porque ficam enterradas. É muito difícil. Por isso é importante que as pessoas se
interessem por trabalhos dessa natureza.
5
CDEGHI JK LK M NOPQORJHI SK TK H UMVMWXYZX[\MW]Y U^ Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
Sara e Silvana apontaram a falta de interesse político em amenizar o problema de
água por trocar os hidrômetros velhos e consertar o encanamento da cidade. Sendo
assim, um aspecto importante dessa pesquisa foi que os participantes puderam tomar
consciência de que nem sempre o governo vai atuar dentro do que é necessário, mas há
outros elementos que vão configurar a ordem das operações, há outras coisas em jogo.
Isso está em consonância com Skovsmose (2008), que defende as propostas
educacionais que proporcionam um ambiente em que os indivíduos possam interpretar
criticamente a situação social e política.
A exploração do Simcity4 também ampliou a compreensão que tinham sobre o
planejamento urbano de sua cidade, levando os participantes a tomar consciência da
complexidade dos problemas explorados. Um exemplo é a fala de Rafaela ao apresentar
a cidade construída no simulador virtual:
Rafaela (participante): Visto que estávamos devendo, resolvemos tirar um pouco do salário de
bombeiros, policiais. Só que aí eles entraram em greve. E não deu muito certo. Eu não quero ser
prefeito não! A gente não tem idéia! Às vezes a gente critica um prefeito, mas eles entram lá
com dívidas de outros, com problemas de outros. Eles tentam concertar e fazem mais
problemas.
[...]
Carolina (participante): Estávamos sem dinheiro e tiramos dinheiro da educação.
Rafaela: A saúde estava ruim. Visto que estávamos falindo, tiramos verbas das ambulâncias. E
assim elas não cobriam a cidade.
[...]
Rosane (orientadora): Mas é verdade, quando falta dinheiro a primeira coisa que pensam em
tirar verbas é da educação, saúde, coisas básicas.
Silvana (orientadora): É porque os resultados não aparecem de imediato. Vão aparecer um
pouco mais para frente: no outro governo ou daqui a alguns meses. O investimento com a saúde
deve ser constante.
Rafaela percebeu os problemas envolvidos em administrar uma cidade e disse que
não tinha idéia disso. Similarmente, podemos perceber uma mudança no modo de
pensar da participante Sara, influenciada pela exploração do Simcity4. A seguir, trago
suas respostas a duas perguntas feitas no questionário de familiarização do primeiro
encontro:
Questionário do primeiro encontro: Você sabe qual o trabalho do prefeito e dos vereadores?
Sara: Não sei qual é o trabalho dos vereadores e do prefeito. Mas sei que ganham muito e
trabalham pouco.
6
_àbcd ef gf h ijkljmecd nf of c phqhrstusvwhrxt py Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
Questionário do primeiro encontro: Você sabe se a população em geral pode participar das
decisões de um governo, e como?
Sara: A população até pode participar de algumas decisões. Mas isso não é permitido, pois ao
contrário do que dizem, quem manda não é o povo.
Estas respostas foram dadas antes de Sara ter explorado o Simcity4. Agora,
contrastemos isso com o relatório da cidade que construiu:
Relatório do Simcity4: Qual a maior dificuldade que encontraram ao administrar uma cidade?
Resposta: A maior dificuldade que encontramos foi equilibrar o orçamento e deixá-lo sempre
positivo.
[...]
Relatório do Simcity4: Depois de ter jogado o Simcity4, o que vocês aprenderam sobre o
funcionamento de uma cidade que antes não sabiam?
Resposta: Que o gasto para a manutenção (educação, saúde, segurança e outros) é muito
grande. Mesmo não sendo corruptos.
Assim, antes de ter jogado o jogo, Sara aponta que a grande corrupção ocasiona o
mau planejamento urbano da cidade. No entanto, após o jogo, ela indica que mesmo que
os políticos sejam bem intencionados, ou “mesmo não sendo corruptos”, é muito difícil
para eles resolverem os problemas do município. Dessa forma, a simulação trouxe uma
percepção da complexidade que é administrar uma cidade. Esta fala de Sara também
mostra que o Simcity4 proporcionou discussões sobre aspectos referentes à realidade,
até mesmo identificando as questões envolvidas em certas situações problemáticas.
As pesquisas realizadas também possibilitaram que os participantes pudessem
tomar consciência da cidade em que vivem. Nesse sentido, destacamos a pesquisa sobre
a criminalidade e trazemos a seguinte discussão após a investigação realizada pelo
grupo:
Letícia (participante): Tem um crime que um menino de oito anos de idade foi pego roubando!
Tem outra em que um garoto de 14 anos roubou um rádio em uma venda em que o dono era
cego. Um morador viu isso, ficou com raiva e espancou o menino. Alguns moradores vieram e
“lincharam” o menino.
Deryk (participante): Alguns agrediam, roubavam, e antes de irem embora chutavam e
pisavam as vítimas.
Letícia: Foi até triste de pesquisar, porque a gente fica sabendo dessas coisas.
[...]
7
z{|}~ ~ ~ Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
Rosane (orientadora): O que a pesquisa mudou no pensamento de vocês quanto à cidade?
Letícia: Eu fiquei com medo.
Deryk: Que é normal ser assaltado.
Assim, através da pesquisa realizada, os participantes puderam tomar consciência
da violência da cidade em que viviam, e também de que muitos dos que cometiam esses
crimes eram crianças. É bom lembrar que, no questionário de familiarização do primeiro
encontro, dois integrantes desse grupo descreveram a cidade como sendo tranqüila. Mas
eles terminam o trabalho falando que sentiam medo. Deryk, que tinha sido assaltado
recentemente, passou a dizer que “é normal ser assaltado”. Letícia disse que “foi até
triste de pesquisar”, tamanha é a violência dos casos pesquisados. Assim, é como que se
a pesquisa tivesse revelado uma realidade que não conheciam. Isso está em consonância
com Jacobini e Wodewotzki (2006), pois estes autores defendem que atividades
desenvolvidas no contexto da educação matemática crítica contribuem para o processo
de crescimento político dos participantes, o que envolve formar um indivíduo
conhecedor dos problemas que afligem a sociedade.
Em vários momentos os alunos puderam discutir sobre o uso da matemática nas
situações exploradas. Em certas ocasiões, esse uso foi apontado no sentido de
compreender melhor o assunto, como pode ser observado no episódio a seguir:
Lucas (participante): Havia muito gasto com água e energia e não precisava.
Miriam (orientadora): Por quê? Tinha gente deixando o chuveiro aberto?
Guilherme (participante): Só usávamos 32% da capacidade que tínhamos para a distribuição
da água.
Lucas: Mostra o gráfico do uso da água para verem.
Guilherme: Aqui é a capacidade e aqui é a demanda.
Letícia: Nossa!
Guilherme: Já fizemos o planejamento da água errado, colocamos capacidade a mais. Com a
energia foi a mesma coisa, vejam o gráfico.
Miriam: Tem como mudar essa situação da água e da energia?
Lucas: Tem. É só diminuir os gastos com a água.
Denival (orientador): Eles só perceberam esses gastos depois que jogaram. Porque eles só
viram esses gráficos na hora de escrever o relatório.
8
¡¢ £ ¤ ¥ ¦§¨©ª«©¬¨®ª ¦¯ Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
Durante quase todo o jogo de Guilherme e Lucas, a receita da cidade foi menor do
que a despesa. No entanto, eles descobriram muitos gastos desnecessários ao utilizarem
as ferramentas gráficos e visualizador de dados para escrever o relatório após a
simulação. A transcrição acima mostra um exemplo de gastos desnecessários que
tiveram com água e energia. No caso da água, eles utilizavam apenas 32% da
capacidade do sistema de distribuição de água da cidade. Mas ao analisar os dados, eles
puderam compreender a dificuldade que tiveram em equilibrar o orçamento.
Os participantes apontaram a importância da matemática para uma melhor
compreensão da situação em foco, auxiliando o processo de tomada de decisão e
elaboração de planos de ação. Um exemplo marcante nesse sentido pode ser observado
no seguinte episódio:
Deryk: Esse mapa tem alguns crimes espalhados, mas tem uns mais focalizados. Como a
Matemática ajudaria? Por exemplo, tome dez bairros. Veja a proporção de crimes em cada um.
Vamos supor que haja cinco policiais em cada bairro. Mas um bairro tem mais crime do que o
outro. Teria que fazer alguns cálculos para ver a porcentagem de crimes nos bairros. Depois,
calcular a proporção de policiais. Vamos supor: esse aqui tem cinco policiais e nenhum crime.
Esse outro tem cinco policiais e muitos crimes. Então, vou deixar dois policiais aqui (bairro sem
crimes) e oito naquele (bairro com crimes), até balancear. Depois que os crimes estiverem mais
espalhados, daí sim vamos pensar em arrumar o sistema. Agora sim vamos querer resolver.
Primeiro tem que pensar na proporção de crime. Mas é claro que eles nunca vão tirar policiais
da cidade jardim (bairro nobre) para colocar no centro ou outro bairro. Mas é isso que eu acho
que seria uma solução.
Deryk indica aqui que a matemática poderia ser utilizada na distribuição de
policiais nos bairros da cidade, ou seja, para fundamentar os cálculos da quantidade
necessária de vigilância em cada região de acordo com os índices de criminalidade que
ela apresentava. Assim, o seu uso é apontado aqui para o planejamento de ações.
Outro aspecto importante da Matemática que foi discutido no projeto é a
importância de se interpretar dados numéricos. Paulo, um integrante do grupo que
pesquisou o tema Inclusão Digital, organizou os dados provenientes das entrevistas com
moradores de um bairro de periferia em planilhas do Microsoft Excel. No entanto, ele
teve dificuldades em interpretar os dados numéricos que obtinha. Por exemplo, diante
da informação: 53% dos entrevistados tinham acesso à informática, Paulo não
conseguia concluir se as pessoas da região têm bom acesso à informática ou não. Por
outro lado, Marília, outra integrante do grupo, fazia essas interpretações com facilidade,
estando convicta de que 53% não era um número aceitável, e que mais pessoas
9
°±²³´µ ¶· ¸· ¹ º»¼½»¾¶´µ ¿· À· ´ Á¹Â¹ÃÄÅÆÄÇÈ¹ÃÉÅ ÁÊ Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
deveriam ter acesso à inclusão digital. Durante a apresentação desta pesquisa no último
encontro de toda a equipe, Paulo fala sobre sua dificuldade:
Paulo: Elas [outras integrantes] fizeram a pesquisa [entrevistas]. Eu não pude ir. Mas eu achei
que levantar as informações não foi tão difícil. Porque tem as fichas com as perguntas. Você
pergunta para pessoa, coloca o ‘x’. Você levanta as informações. O que eu achei complicado foi
cruzar as informações e procurar interpretar essas informações. Eu fiquei de construir as tabelas,
mas a Marília soube interpretar melhor do que eu, ela soube ver melhor as coisas, dar
significado às informações.
Marília: Por isso que precisa dos números, para saber a quantidade de pessoas, das escolas...
[...]
Paulo: Na verdade nós temos muitas informações, mas a gente não as cruzou.
Paulo percebeu a importância de se interpretar dados numéricos e identificou sua
própria dificuldade em fazer isso. Por outro lado, a pesquisa desenvolvida pelo grupo
motivou Paulo a se esforçar em tentar interpretar esse tipo de informação. A seguir,
apresentamos um exemplo disso:
Paulo: 53 % dos entrevistados têm acesso à informática. Destes, apenas 28 pessoas possuem
acesso em casa. Isso é pouco. Agora, se somarmos o número de pessoas que têm acesso à
informática, mas que não possuem computador em casa, 25 pessoas, com o número de pessoas
que não possuem acesso, 47 pessoas, teremos um total de 72 pessoas que não têm computador
em casa. Isso é muito. O que isso significa? Significa que deveriam existir maiores
possibilidades de acesso para as pessoas que não possuem computadores em casa. E é
interessante notar que, de acordo com os dados da pesquisa, ninguém tem acesso público a
Internet. Com base nas informações que vimos nesta apresentação, quais locais públicos
poderiam ser usados para que a população pudesse ter maiores possibilidades de acesso à
informática? Baseados em nossa pesquisa: as próprias escolas.
Natasha (Participante): É falta de interesse das instituições, porque as pessoas querem usar.
Paulo: E falta de informação também. Veja aqui a escola do bairro. Foi feita esta pergunta:
“Tem acesso a computador na escola?”. Olha as respostas: “Sim”, “Sim”, “Não”, “Não”, “Sim”.
Então parece que algumas pessoas sabem que tem computador na escola e outras parecem não
saber. É também uma falta de informação dentro da própria escola.
Utilizando dados numéricos, Paulo argumentou que a maioria das pessoas que não
têm computadores em casa, também não tem acesso à informática. Assim, concluiu que
deveriam existir maiores possibilidades de acesso digital às pessoas que não possuem
computadores. Ele também olhou os dados e identificou que muitos dos alunos nem
sabem da existência de uma sala de informática nas escolas. Assim, apesar de Paulo
inicialmente sentir dificuldades para interpretar os dados numéricos, a pesquisa o
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ËÌÍÎÏÐ ÑÒ ÓÒ Ô ÕÖ×ØÖÙÑÏÐ ÚÒ ÛÒ Ï ÜÔÝÔÞßàáßâãÔÞäà Üå Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
motivou a fazer isso a fim de criar argumentações para suas conclusões. Podemos então
afirmar que a atividade desenvolvida realmente o ajudou a desenvolver-se no que diz
respeito a interpretar informações numéricas.
Avaliação escrita do projeto: Diante dos projetos desenvolvidos em grupo, como você avalia a
importância dos conteúdos de Geografia e Matemática no seu cotidiano? Dê exemplos
Paulo:
Conteúdo de Geografia: Ajudou-me a ter uma visão geral e estrutural de política, que era algo
que eu apenas ouvia falar. Tais informações têm me ajudado nas minhas rotinas de trabalho.
Conteúdo de Matemática: Ajudou a me desenvolver em algo que tenho dificuldade: a análise de
informações. Levantar dados é uma coisa, interpretá-los é algo bem diferente.
Assim, o projeto Planejamento Urbano ajudou Paulo a se desenvolver em algo
que tinha dificuldade: fazer uma interpretação de informações numéricas.
Pudemos observar acima que o projeto Planejamento Urbano proporcionou muitas
possibilidades para o desenvolvimento da dimensão sociopolítica da matemacia.
Destacamos aqui discussões e reflexões sociais e políticas que proporcionaram aos
participantes: ampliar a compreensão sobre o planejamento urbano de uma cidade,
tomar consciência da complexidade dos problemas explorados e do tipo de cidade em
que vivem, entender que nem sempre a necessidade vai ser o fator principal que
configurará as decisões tomadas em uma cidade. Também pudemos observar que os
participantes entenderam a importância de se interpretar dados numéricos e apontaram a
matemática como um auxílio para a compreensão de uma situação, para o poder de
argumentação, para a tomada de decisão e planejamento de ação.
Durante o desenvolvimento do projeto Planejamento Urbano, nós fomentamos
mais a dimensão sociopolítica da matemacia do que sua dimensão técnica. Não
acreditamos que uma seja mais importante que outra, mas fizemos isso pela
preocupação com o fato de que tradicionalmente o ensino dá atenção exclusiva à
dimensão técnica. Segundo Perez (2004), a insatisfação com a atual realidade escolar e
com esse tipo de abordagem restrita tem levado muitos pesquisadores a pensar em
novos ambientes para uma nova educação. A visão que este autor defende é a
extrapolação das fronteiras dos conteúdos para que os alunos possam relacionar
11
æçèéêë ìí îí ï ðñòóñôìêë õí öí ê ÷ïøïùúûüúýþïùÿû ÷F Matemacia: episódios de
978-85-98092-07-02)
Matemática e sociedade. Semelhantemente, Rossini (2004) aponta que a escola deve
mudar para se adaptar às transformações do nosso mundo. Para ele, isso envolve
proporcionar aos alunos a oportunidade de interagir com a sociedade de forma crítica.
Dessa forma, as mudanças necessárias na organização escolar devem envolver a
configuração de um ambiente que considere também a dimensão sociopolítica do
conhecimento matemático.. Defendemos fortemente que o trabalho com projetos
favorece essa proposta. Uma discussão detalhada de trabalho com projetos e do projeto
Planejamento Urbano pode ser encontrada em Cattai (2007) e Biotto Filho (2008).
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cidades de Rio Claro e Santa Gertrudes/SP. Trabalho de Conclusão de Curso
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Matemacia: episódios de 13
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P ! "#$%#& '()*+,%-& ". /%$$",0'12"$ 34" 40ilizaram tecnologias. Anais do IX
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Eixo-temático 8: Tecnologias de Informação e Comunicação.
O ENSINO ALGÉBRICO EM DISSERTAÇÕES QUE UTILIZARAM
TECNOLOGIAS
Gláucia PINTO – PUC-SP ([email protected]
Resumo: Inspirado por Katz (2007), este texto analisa algumas dissertações do
Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) que envolvem o Ensino Algébrico e
utilizam tecnologias para impulsioná-lo ou para o desenvolvimento da pesquisa. O
objetivo desta análise é verificar se as pesquisas que utilizaram algum software
computacional para estimular o ensino de Álgebra apontaram efetivamente quais
vantagens e desvantagens que o uso deste(s) instrumento(s) tecnológico(s) trouxe(ram)
para a aprendizagem. Foi feita uma filtragem a partir dos resumos, palavras-chaves e
títulos das dissertações do mestrado acadêmico e profissional desta instituição para
selecionar pesquisas que utilizaram alguma tecnologia e trataram de Álgebra. Nesta
seleção, as seguintes pesquisas se adequaram ao perfil descrito: Santos (2007), Daniel
(2007) e França (2007). Em seguida, esta comunicação traz os principais objetivos das
dissertações e a finalidade da utilização de tecnologias, abordando como essa estratégia
influenciou os resultados apontados nos trabalhos. É feita então uma abordagem
relacional entre as dissertações e a aprendizagem algébrica segundo o artigo de Blanton
(2007) para finalmente estabelecer relações entre estas dissertações e a impulsão do uso
de tecnologia no ensino algébrico. Ao final, conclui-se se as dissertações que utilizaram
tecnologia no desenvolvimento da pesquisa ou para impulsionar a aprendizagem
algébrica mostraram se o uso da tecnologia contribuiu para o ensino de álgebra e se a
não utilização desta modificaria o resultado. Será dada uma ênfase às pesquisas que
tinham por objetivo acelerar a aprendizagem através do uso de tecnologia, verificando
se estas pontuaram efetivamente os prejuízos e os lucros que tal recurso trouxe para a
aprendizagem dos alunos.
Palavras-chave: Ensino Algébrico, Tecnologias, Dissertações, PUC-SP.
Financiamento: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.
Introdução
Segundo Katz (2007):
Pesquisas têm mostrado que calculadoras gráficas e sistemas
algébricos de computador podem acentuar a aprendizagem e fornecer
6789:; <= : >?@A?B CDEGHIAJB >K LA@@>IMCNO>@ QR> RMilizaram tecnologias. Anais do IX 2
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
práticas úteis. Devemos compilar evidências do que realmente
acontece quando esses instrumentos são utilizados, incluindo o que os
estudantes aprendem com essa tecnologia, o que eles não aprendem
sem ela e o que eles não aprendem quando usam a tecnologia e
aprendem sem seu uso. (p. 3, tradução minha)
À luz da citação acima, pretende-se averiguar se dissertações que envolviam o
Ensino
Algébrico
e
utilizaram
tecnologias
para
impulsioná-lo
ou
para
o
desenvolvimento da pesquisa mostram quão eficaz é o uso de softwares para acelerar ou
colaborar com o processo de aprendizagem ao qual se referiam.
Romberg (1992) explica que uma análise de conteúdo é usada para investigar
questões orientadas no presente quando artefatos atuais podem ser examinados. Além
disso, ele afirma que:
[...] os métodos específicos discutidos na literatura de pesquisa devem
incluir a maneira na qual a informação é colhida, a forma na qual isso
é agregado e analisado ou, às vezes, como isso é relatado. (tradução
Machado, Junho)
Assim, para a concretização do objetivo deste trabalho, foi feito um levantamento
das dissertações do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) que usaram alguma tecnologia
para a realização destas.
Primeiramente foram verificados os resumos, palavras-chaves e títulos das
dissertações do mestrado acadêmico e profissional da citada instituição disponibilizadas
nos endereços http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/trabalhos_defendidos_prof.html >
http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacoes_defendidas_acad.html CMG B C?B L>
2007, considerando quais delas apresentavam tal perfil.
O próximo passo foi detectar se a dissertação também tratava de conteúdos
algébricos. Para tal foi verificado, nestes trabalhos já considerados, se nas palavraschaves a palavra álgebra estava presente.
Terminada esta filtragem, havia três dissertações que se enquadraram nos prérequisitos supracitados: Santos (2007), Daniel (2007) e França (2007).
Deste modo, analisar-se-á nos próximos tópicos deste texto se as pesquisas que
tinham por finalidade impulsionar a aprendizagem algébrica por meio do uso de
instrumentos tecnológicos indicaram efetivamente as vantagens e desvantagens que este
ensino trouxe para o aprendiz.
STUVWX YZ W [\]^\_ àbcde^f_ [g h^]][ei`jk[] lm[ miilizaram tecnologias. Anais do IX 3
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Objetivos das Dissertações e a tecnologia utilizada
A dissertação de Santos (2007) tinha por objetivo analisar quantitativa e
qualitativamente se os processos de argumentação e prova foram contemplados com os
1998 alunos que responderam ao questionário de Álgebra do projeto AProvaME
(Argumentação e Prova na Matemática Escolar) da PUC-SP.
O projeto tinha por meta levantar um mapa sobre as concepções de argumentação
e prova dos alunos matriculados na 8a série do Ensino Fundamental e primeiro ano de
Ensino Médio, na faixa de 14 a 16 anos, no Estado de São Paulo; também formar
grupos colaborativos compostos por pesquisadores e professores para elaboração de
situações de aprendizagem, visando a envolver alunos em processos de construção de
conjecturas e provas em contextos integrando ambientes informatizados; e avaliar estas
situações de aprendizagem em termos da compreensão dos alunos sobre a natureza e
funções da prova em Matemática.
Além disso, foram entrevistados alguns professores para obter informações sobre
o uso de argumentações e provas para o Ensino de Álgebra.
Realizou-se então uma análise multidimensional com os dados coletados tendo o
auxílio do software C.H.I.C. (Classificação Hierárquica, Implicativa e Coesitiva).
Este software tem como função fornecer um índice de qualidade de associação e
representar uma estruturação das variáveis. Os resultados são dados a partir de um
conjunto de informações, onde sujeitos e variáveis são interligados, assim como regras
de associação e representação de estruturas das variáveis.
Saddo Ag Almouloud desenvolveu a primeira versão do software C. H. I. C. em
sua tese de doutorado. Hoje o software encontra-se na sexta versão, trabalhada por
Raphael Conturier.
Segundo Almouloud (2005), essas análises permitem
[...] sintetizar e estruturar os dados multidimensionais a fim de
identificar as variáveis estatísticas (e/ou didáticas), os fatores em jogo,
suas relações, sua hierarquia, etc. (ALMOULOUD apud COUTINHO)
A partir do uso do C.H.I.C. foi possível fazer uma análise qualitativa dos
resultados coletados, estabelecendo relações entre as variáveis identificadas nas
respostas dos alunos ao questionário do projeto AProvaME. Essas relações entre o
sujeito e as categorias das respostas permitiram a atribuição de padrões de desempenho
aos sujeitos.
nopqrs tu r vwxywz {|}~yz v yxxv{vx v ilizaram tecnologias. Anais do IX 4
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Usou-se também o Microsoft Excel® para montar tabelas que avaliavam
quantitativamente como os alunos tinham se saído nas respostas das pesquisas.
Todas essas análises possibilitaram concluir que a criação de argumentação e
prova pelos alunos é falha, pois muitos deles sequer viram qualquer tipo de
argumentação ou prova em sua vida estudantil, além de verificar que tanto quantitativa
como qualitativamente os processos de argumentação e prova não foram contemplados
no ensino e aprendizagem destes alunos, assim como as entrevistas mostraram que os
professores utilizam muito pouco tal recurso para o ensino.
Daniel (2007) realizou uma pesquisa de predominância qualitativa com o
objetivo de identificar os erros e analisar os procedimentos e estratégias que oito alunos
da 8a (oitava) série do Ensino Fundamental de uma escola estadual do interior do Estado
de São Paulo utilizam para resolver equações algébricas de 1o (primeiro) grau. Esse
estudo procurou apontar caminhos para novas abordagens sobre o ensino e
aprendizagem de tal tema.
Usou-se exclusivamente o software Aplusix como ferramenta para o auxílio do
desenvolvimento das atividades.
Esse software foi desenvolvido por pesquisadores da equipe didaTIC, do
laboratório Leibniz, em Grenoble, na França, com o objetivo de explorar o ensino e
aprendizagem de Álgebra.
Investigou-se a contribuição que essa tecnologia pode trazer para que os alunos
possam superar dificuldades com relação ao ensino e aprendizagem de conteúdos
algébricos.
Primeiramente foi realizado um pré-teste com os alunos para identificar os
principais erros cometidos por eles nas resoluções de problemas desse contexto.
Em seguida, foi proposta a eles uma seqüência de atividades que com o auxílio do
Aplusix minimizasse esses erros, além de possibilitar aos aprendizes reverem conceitos
e também um aprofundamento em técnicas de resolução de equações de 1o grau.
O pré-teste, a seqüência de atividades e o pós-teste que os estudantes realizaram
envolviam exercícios de equações algébricas do primeiro grau.
Todas as resoluções dos alunos foram feitas no Aplusix, onde a ferramenta vídeocassete possibilitou que elas fossem analisadas em cada fase.
¡ ¢£ £ilizaram tecnologias. Anais do IX 5
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Essa ferramenta grava todas as ações que o sujeito realizou com o mouse ou
teclado durante a resolução do exercício, mostrando inclusive o tempo gasto para tal e
as resoluções apagadas e refeitas.
Assim, a utilização do recurso foi de grande importância nas análises, pois
contribuiu para identificar os erros, mesmo aqueles que os alunos apagaram e
corrigiram, possibilitando assim uma escolha adequada de equações para as etapas
seguintes.
Comparando os resultados do pré-teste e do pós-teste, foi possível verificar
avanços importantes, tais como a aplicação correta da propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição e ao mínimo múltiplo comum, a adição de números
relativos, a troca de sinal quando um termo é "transferido" de um membro para outro da
igualdade da equação, entre outros (Ibidem, p. 07). Contudo, os conceitos de
equivalência e operação inversa foram as principais causas de erros, segundo estas
análises, e os que mais persistiam no pós-teste.
O software mostrava também aos alunos uma equivalência ou não entre etapas
sucessivas da equação, a qual possibilitava a eles estarem constantemente questionando
sobre seus erros e estratégias de resolução e conseqüentemente os corrigindo mais vezes
do que normalmente ocorre no ambiente tradicional.
Na dissertação de França (2007) o objetivo foi investigar em que medida um
tratamento geométrico e a articulação entre registros de representação (algébrico,
gráfico e geométrico), auxiliados pelo ambiente Cabri-Géomètre, influenciam nas
concepções de estudantes que já cursaram a disciplina de Álgebra Linear. Logo, esse
trabalho tratou de questões relativas à aprendizagem de conceitos de Álgebra Linear no
Ensino Superior.
Os alunos articulavam diferentes registros de representação, em particular o
figural e o gráfico, os quais foram proporcionados pelo ambiente de Geometria
Dinâmica utilizado e que envolviam o design de atividades sobre os conceitos de
coordenadas de vetores, dependência linear e transformação linear no plano.
Participaram do experimento 18 alunos de uma turma de terceiro ano de Licenciatura
em Matemática de uma universidade particular da cidade de São Paulo.
Assim, o ambiente de Geometria Dinâmica proporcionou efeitos positivos nas
estratégias de resolução dos estudantes de Álgebra Linear. Isto se deu devido ao uso das
diferentes ferramentas do Cabri-Géomètre e de seu aspecto dinâmico em que os
¤¥¦§¨© ª« ¨ ¬®¯° ±²³´µ¶¯·° ¬¸ ¹¯®®¬¶º±»¼¬® ½¾¬ ¾ºilizaram tecnologias. Anais do IX 6
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
estudantes podiam testar e validar suas hipóteses, fornecendo assim meios de validação
experimental de teoremas-em-ação, ou seja, elaboração de conjecturas e estratégias de
resolução das atividades.
Essa dissertação foi fundamentada nos Registros de Representação Semiótica de
Duval (1993, 1995, 2000, 2005) e na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud
(1990, 1997, 1998). Segundo França (2007, p. 21-23), a teoria de Vergnaud tem por
objetivo principal discutir o comportamento cognitivo do indivíduo em situações de
aprendizagem. Já os teoremas-em-ação são as relações matemáticas consideradas pelo
sujeito, mesmo que inconscientemente, quando este escolhe uma operação ou uma
seqüência delas para resolver um problema. Ou seja, o sujeito, segundo a autora, utilizaos de forma intuitiva e estes, muitas vezes, têm validade local, não universal.
Por isso, o desenvolvimento das atividades nesse ambiente proporcionou o
trabalho com diferentes registros na tela, oferecendo uma melhor articulação entre os
registros. Além disso, também levou os aprendizes a explicitar e a rediscutir as noções
envolvidas a partir dos diferentes aspectos evocados nas representações.
Portanto, os estudantes em foco foram submetidos a um ambiente diferenciado de
aprendizagem, no caso, o Cabri-Géomètre, onde as análises dos resultados identificaram
evoluções dos sujeitos na compreensão dos conceitos, bem como um domínio mais
amplo das representações gráficas, algébricas e geométricas. Essas atividades no
ambiente de Geometria Dinâmica também ajudaram os aprendizes a realizar conversões
do registro algébrico para o geométrico e gráfico e, de forma análoga, no sentido
inverso. Essa aprendizagem colaborou para que os alunos fossem confrontados com
falsos invariantes, os quais eles possuíam; por exemplo (Ibidem, p. 81), o de acreditar
que as coordenadas de um vetor se comportam como as de um ponto. Assim, com as
atividades propostas, os educandos foram obrigados a se questionar sobre tais
pensamentos e a explicitar algumas noções de geometria que traziam evidências que
invalidavam as crenças errôneas.
Relações entre as dissertações e a aprendizagem da álgebra
Os seguintes trechos do artigo de Blanton (2007) esclarecem o seguinte a respeito
do ensino de Álgebra:
¿ÀÁÂÃÄ ÅÆ Ã ÇÈÉÊÈË ÌÍÎÏÐÑÊÒË ÇÓ ÔÊÉÉÇÑÕÌÖ×ÇÉ ØÙÇ ÙÕilizaram tecnologias. Anais do IX 7
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
[...] Álgebra inicial é o modo de pensar que traz significado,
aprofundamento e coerência para o entendimento matemático pela
investigação mais profunda em conceitos ensinados e que existe a
oportunidade de generalizar relacionamentos e propriedades em
Matemática. (p. 07, tradução minha)
[...] O propósito da Álgebra inicial não é desenvolver habilidades
isoladas ou procedimentos (ora numéricos ou algébricos), mas
explorar situações matemáticas que estabeleçam o conhecimento de
habilidades e procedimentos aos alunos, onde requeiram uma ativa
reflexão e envolvam a construção de argumentos e justificativas e
explanação das idéias. (p. 08, tradução minha)
Nesse artigo supracitado, Álgebra inicial se refere ao ensino de Álgebra destinada
aos alunos que estão matriculados no correspondente ao Ensino Fundamental do Brasil.
Santos (2007) corrobora com a afirmação dos trechos acima diversas vezes em
sua dissertação. Uma delas é, por exemplo, quando diz (ibidem, p. 123) que os
professores devem se preocupar em fazer com que seus alunos criem processos
dedutivos, indutivos e cognitivos para poderem compreender a Matemática na sua
essência. Conseqüentemente, a argumentação e prova no ensino de Álgebra são
essenciais para que o aprendiz desenvolva tais características.
A seguir, tem-se outro trecho de Blanton (2007), onde são apresentadas
abordagens educacionais que devem estar contidas no ensino em pauta e qual a
importância destas abordagens para o estudante:
Através do raciocínio algébrico, as crianças também aprendem a
observar, simbolizar e justificar propriedades dos números e
operações, incluindo axiomas importantes como as propriedades
associativa e comutativa da adição sobre a multiplicação e a
propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, que são
fundamentais para o curso de Álgebra formal no segundo grau. (p. 08,
tradução minha)
A conjectura fundamental da Álgebra inicial é quando as crianças têm
estas experiências nas séries iniciais, por períodos sustentados, elas
desenvolvem um alicerce mais profundo e cujas experiências são
focadas em procedimentos calculatórios. Como resultado, a Álgebra
inicial desenvolve nos alunos uma melhor preparação para o curso de
Álgebra formal no segundo grau. (p. 08, tradução minha)
As seqüências de atividades propostas aos alunos na dissertação de Daniel (2007)
contemplavam os temas abordados acima, além de também enfatizarem a relevância do
ensino de equações algébricas do primeiro grau.
ÚÛÜÝÞß àá Þ âãäåãæ çèéêëìåíæ âî ïåääâìðçñòâä óôâ ôðilizaram tecnologias. Anais do IX 8
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Abaixo citado tem-se um exemplo de como as seqüências de atividades foram
desenvolvidas após o pré-teste dessa pesquisa, a qual detectou as principais dificuldades
dos alunos nas resoluções de equações algébricas:
Etapa1: essa aula foi realizada no dia 8 de abril de 2006 e continha
equações da forma ax = b e ax + b = c com os coeficientes inteiros.
(Ibidem, p. 89)
Assim, nas resoluções dessas atividades podemos encontrar tópicos mencionados
por Blanton (2007) que estão presentes no trabalho de Daniel (2007), tais como os
axiomas das propriedades associativa e comutativa da adição sobre a multiplicação e a
propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.
A dissertação de França (2007) trata de uma parte do ensino de Álgebra na
graduação; no caso, Álgebra Linear. Nesse caso, o conteúdo estudado foi matrizes,
espaços vetoriais e transformações lineares.
Contudo, a autora aponta diversas dificuldades que existem no ensino dessa
disciplina na graduação. Uma das por ela ressaltada é os obstáculos do formalismo e da
abordagem abstrata empregados na disciplina, criticando a formação dos alunos,
considerada limitada, em vetores e Geometria (ibidem, p. 5). Por isso a autora optou por
utilizar de Geometria Dinâmica para auxiliar na construção de conhecimentos desse
assunto.
Podemos portanto perceber a preocupação dos autores com a aprendizagem
algébrica. Foram detectadas nas pesquisas diversas dificuldades que podem
comprometer tal ensino. Além disso, elas apresentaram como principal objetivo
investigar metodologias para o auxílio da aprendizagem a fim de que o aluno acentuasse
seu desempenho em construir conhecimentos algébricos.
Relações entre a aprendizagem algébrica e as influências dos softwares utilizados
nas dissertações
Na dissertação de Santos (2007), os principais objetivos eram levantar um mapa
das concepções sobre argumentação e prova de alunos e formular recomendações
relacionadas com esta metodologia no currículo de Matemática escolar.
Por este motivo, a utilização de softwares nesse trabalho não forneceu material
para sustentar a afirmação de que tal procedimento impulsiona a aprendizagem
algébrica. Nesse caso a tecnologia apenas ajudou o pesquisador a concluir os resultados.
õö÷øùú ûü ù ýþÿPþ P ý Pÿÿý
ýÿ ý ilizaram tecnologias. Anais do IX 9
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Contudo, o autor diz (Ibidem p. 22) que o computador pode tornar a aula do professor
mais atrativa e compreensível.
Entretanto, na dissertação de Daniel (2007) os alunos realizaram todas as
atividades somente com o Aplusix. Portanto toda a evolução de aprendizagem deles
deve-se às características educacionais do software e às situações de aprendizagem
escolhidas.
Segundo o autor, ele teve grande satisfação ao usar o recurso tecnológico, pois
percebeu que os alunos estavam mais motivados e sentiram-se mais seguros em resolver
os exercícios de equações de primeiro grau.
Contudo, ele atribui a conquista dos resultados positivos a outros fatores também:
quantidade reduzida de alunos, disposição dos aprendizes em fazer um trabalho
extraclasse, a seqüência de atividades propostas, a mudança de postura do professor
perante os alunos.
Da mesma forma, a dissertação de França (2007) apresentou uma experiência
positiva com relação a uma abordagem não convencional - no caso, o uso de uma
tecnologia - para o ensino de Álgebra.
Nesse caso a autora faz diversas comparações do Cabri-Géomètre com o ambiente
lápis e papel, deixando o software sempre em vantagem com relação à aprendizagem
tradicional. Segundo ela, por exemplo, um ambiente de Geometria Dinâmica faz com
que até mesmo as tarefas mais simples, como a determinação das coordenadas de um
vetor, sejam ainda mais simples e rápidas.
Na primeira dissertação citada, o uso do software C.H.I.C. foi essencial para o
autor concluir seu trabalho. Contudo não fornece indícios de que o uso de tecnologias
no ensino promove a aprendizagem algébrica de forma mais eficiente.
Na segunda dissertação o autor aponta dados que indicam progressos dos alunos
após o ensino de Álgebra com o uso do software. Contudo ele menciona que tal avanço
não ocorreu somente por causa do uso da tecnologia.
Além disso, sua pesquisa não traz elementos que mostram o que ocorreria se a
mesma fosse realizada sem a tecnologia. Porém, ao dizer que os alunos estavam mais
motivados e mais seguros, o autor compara tais estudantes, afirmando que nessa nova
abordagem o comportamento dos aprendizes mudou positivamente.
!" # $!%&' () )%ilizaram tecnologias. Anais do IX 10
2008, pp. 1–11. (ISBN 978-85-98092-07-2)
Assim também, a última dissertação aponta vantagens que o ambiente de
Geometria Dinâmica possibilita, principalmente no que diz respeito ao levantamento de
conjecturas e a elaboração de estratégias na resolução de atividades relacionadas com a
aprendizagem algébrica por parte dos alunos.
No entanto, nenhuma das pesquisas de Daniel (2007) e França (2007) fez
comparações de alunos que tiveram um ensino algébrico com o uso de tecnologias com
alunos que foram instruídos por um ensino tradicional. Assim, apesar de essas
dissertações trazerem evidências de que os usos de tecnologias acentuam o ensino de
Álgebra, não mostraram efetivamente o que os estudantes deixam de aprender quando
elas não são usadas.
Dessa forma, ainda ficam a dever dissertações que pontuem quais os prejuízos e
os lucros em se usar tecnologias para impulsionar o ensino algébrico.
Conforme Borba (2001):
[...] Esses estudos teóricos podem servir de orientação para que o
computador não seja utilizado somente como um instrumento para
melhorar o resultado em um dado teste nacional, regional ou local. É
preciso que a chegada de uma mídia qualitativamente diferente, como
a informática, contribua para modificar as práticas do ensino
tradicional vigentes.
Portanto, pudemos neste trabalho ter conhecimento de diversos obstáculos quanto
ao ensino algébrico, conforme as dissertações analisadas nos mostraram, assim como
também elas apontaram meios para superá-los, sendo que as duas últimas estão
relacionadas com o uso de tecnologias.
Porém, faz-se necessário um olhar mais cuidadoso com relação às pesquisas que
incentivam o uso de tecnologias, pois o objetivo de educadores é que estas
metodologias ajudem a melhorar a prática do ensino, contribuindo no processo de
construção de conhecimento como um todo e não de maneira direcionada e pontual.
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O ESTÁGIO SUPERVISIONADO EM MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA
NA A FORMAÇÃO DE EDUCADORES
Ms. Liliane Pires VALVERDE –UEFS, BA ([email protected]`
Resumo: A presente investigação teve como objetivo buscar compreensões sobre como
alunos de um curso Normal “experienciam” o Estágio Supervisionado em Matemática,
suas tensões e anseios. Na tentativa de uma melhor compreensão de como o Estágio
vem se desenvolvendo, espero ter trazido contribuições para a formação desses
professores formados pelo Curso Normal que é o antigo curso de Magistério. Os alunos
saem desse curso habilitados para ensinar várias disciplinas na Educação Infantil ou em
qualquer das quatro primeiras séries do Ensino Fundamental, inclusive a Matemática.
Muitas vezes, entretanto, eles se sentem “despreparados” para tal função e podem
possuir particular dificuldade com essa disciplina. A escola atualmente não requer
somente professores que sejam capacitados do ponto de vista do saber científico, a
preocupação agora não está voltada somente para o domínio dos conteúdos, mas exige
que estes professores, além de dominar os conteúdos, sejam capazes de criar mediações
entre o conhecimento formal e o conjunto de significados que o aluno tem e adquire a
partir de suas experiências no decorrer da sua vida. Uma pesquisa qualitativa, na qual
foram entrevistadas alunas do curso durante cinco meses em que estava ocorrendo o
Estágio Supervisionado. O estudo indicou que as estagiárias consideraram a experiência
relevante, entretanto permeada por tensões. Reconhecem que a sua formação não lhes
ofereceu os subsídios necessários para atuar em sala de aula. Isso foi observado em
alguns momentos do Estágio nas aulas das estagiárias que, por vezes, assumiam uma
abordagem tradicional, entretanto com tentativas de mudanças nem sempre positivas. O
estudo revelou, também, a dificuldade conceitual das estagiárias para trabalhar em
alguns conteúdos matemáticos, quando procuraram outras maneiras de abordá-los.
Palavras-chave: Curso Normal, Formação de Professores, Estágio Supervisionado.
Financiamento: UEFS – Universidade Estadual de Feira de Santana
Em 2004, comecei a ministrar aulas de Matemática em uma escola para futuros
professores, no 4º ano do Curso Normal, nível médio, antigo Curso de Magistério.
Convivendo com estes alunos-professores que estão se formando para dar aulas na
Educação Infantil e nas quatro primeiras séries do Ensino Fundamental, passei a
abcadefdg ch ih j klmnopq lrsktuplpqvwxq ky zwmkynmica: uma experiência na 2
partilhar de suas questões e anseios referentes à sua formação e futura profissão o que
fez surgir em mim o desejo por investigar como vem se desenvolvendo a formação
desses professores e compreender melhor o que permeia esta formação.
O desejo por investigar a formação desses professores era muito presente, pois eu
fazia parte e era responsável também por esse processo e, queria de alguma forma,
contribuir e passar a me dedicar ao assunto. Observava que a maioria desses alunos
sentia insegurança para enfrentar a realidade do ambiente escolar com toda a
complexidade e desafios que lhe é inerente. Em particular, notei que eles mantinham
uma relação um pouco desconfortável com o ensino de Matemática, disciplina a qual eu
ministrava, e isto me causava uma grande inquietação.
Um dos momentos marcantes em que estas inquietações encontram-se bem
presentes é no Estágio Supervisionado, momento no qual se deparam com as demandas
práticas de organizar e ministrar aulas. Passei, então, a refletir sobre o Estágio
Supervisionado em Matemática na tentativa de estudar como estes alunos-professores
viam a ‘experiência’ (no sentido de BONDÍA, 2000) que passavam naquele momento.
Diante disso pretendia investigar: Como alunos de um Curso Normal “experienciam” o
Estágio Supervisionado em Matemática? Neste sentido, investiguei qual o significado
que esta experiência tem para estes alunos, quais as tensões e anseios que surgiram
neste momento da sua formação.
Pimenta (1997, p. 21) entende o estágio curricular como “as atividades que os
alunos deverão realizar durante o seu curso de formação, junto ao campo futuro de
trabalho”. Formalmente, é o primeiro momento em que o aluno entra em contato com o
seu ambiente de trabalho, e talvez seja por isso que, por vezes, é considerado como uma
parte prática do curso localizado em um pólo separado das disciplinas. Fazenda (1991,
p. 22) define o estágio como “um processo de apreensão da realidade concreta que se dá
através de observação e experiências, no desenvolvimento de uma atitude
interdisciplinar”, enfatizando que a leitura da realidade exige “saber observar,
descrever, registrar, interpretar e problematizar e, conseqüentemente, propor alternativas
de intervenção”.
Fazenda (1991), ao elaborar uma proposta para o estágio a ser desenvolvido nos
CEFAMs, em São Paulo, enfatiza a necessidade de vincular teoria à prática de forma
que a teoria seja uma conseqüência da prática reflexiva. A autora afirma que “(...) o
estágio vem sendo órfão da prática e da teoria” (ANDRÉ; FAZENDA, 1991, p. 20).
{|}{~~ } ica: uma experiência na 3
Complementando a idéia acima que a autora Passos (1999), fala da busca de uma
concepção diferente sobre a formação de professores, onde o valor da prática seja
destacado como elemento de análise e reflexão do professor, onde os saberes da ação
docente são produzidos e ressignificados pela reflexão.
Por sua vez, Santos (2003), fala de uma concepção fragmentada da formação do
professor:
A concepção fragmentada da formação – em que a sala de aula é o
espaço para teoria e o campo profissional é o espaço para a prática – é
uma das responsáveis pela efetiva desarticulação desses elementos,
contribuindo para que a preocupação principal na realização do
estágio curricular se concentre nos aspectos burocráticos. (p. 3)
A autora, em sua pesquisa que tinha como objetivo reconstruir o significado do
Estágio enquanto elemento articulador entre teoria e prática, através de falas registradas
dos discentes e dos professores, constatou que a realização do Estágio, para os alunos,
caracterizava-se por uma ação árdua, angustiante e, às vezes, insignificante, uma vez
que as preocupações centrais, manifestadas por eles, centravam-se no cumprimento da
carga horária exigida. Entretanto, conclui que é possível construir uma proposta de
Estágio Supervisionado significativa, e que contribua para o exercício de pensar a
prática numa perspectiva de transformação.
Fávero (2002), na tentativa de superar a visão fragmentada da formação propõe a
construção de uma concepção dialética, em que a teoria e prática sejam considerados
como um núcleo articulador no processo de formação de professores, trabalhando com
esses dois elementos de maneira integrada, indissociável e complementar. A teoria não
se apresenta como um conjunto de normas, sendo formulada e trabalhada a partir da
realidade concreta, da realidade da sala de aula. A prática será o ponto de partida e de
chegada. A autora discute ainda sobre como fazer para que os Cursos tenham uma
prática criativa e inovadora e não uma prática repetitiva e conservadora, esvaziada de
teoria.
A construção desta práxis pedagógica deve ser algo prioritário nos cursos de
formação de professores. O Estágio Supervisionado não é o pólo prático isolado do
Curso Normal, mas uma aproximação à prática, de forma que “um curso não é a prática
docente, mas é a teoria sobre a prática docente e será tão mais formador à medida que
¡¢£¤¥ ¦§¨©¤ ¤¥ª«¬¥ ®«¡¢¡ica: uma experiência na 4
as disciplinas todas tiverem como ponto de partida a realidade escolar brasileira”
(PIMENTA; GONÇALVES, 1992, p. 129, grifo do autor).
O Estágio deve ser desenvolvido possibilitando uma real articulação entre o que
os alunos vêem nas diversas disciplinas, e os elementos da prática pedagógica
vivenciados por eles no Estágio. Articulação no sentido de tornar as aulas espaço de
construção, de troca de experiências, reflexão partilhada, aprofundamento, a partir dos
referenciais teóricos vividos por eles no Estágio. Assim, pode-se pensar a prática sob
uma perspectiva transformadora, o que é tão necessária aos atuais e futuros professores.
García (1998) afirma que pesquisas sobre os estágios de ensino têm mostrado que
os professores, quando entram no curso de formação inicial, já trazem alguns
conhecimentos, que, na maioria das vezes, permanecem sem alteração durante toda a
sua formação inicial e acompanham os professores na sua prática de ensino, e que a
imagem que os professores em formação possuem de si mesmos como professores tem
muito a ver com sua própria imagem como aluno. Os estagiários desenvolvem suas
visões em relação aos alunos a partir de suas próprias experiências como estudantes,
supondo, por exemplo, que seus alunos possuem os mesmos estilos de aprendizagem,
aptidões, interesses e problemas que ele próprio.
Assim, professores em formação formal possuem conhecimentos anteriores que os
acompanham ao longo da sua formação. Esta formação formal exerce uma importante
influência, mesmo que de forma secundária, sobre a prática do professor e esta, porém,
é bastante influenciada pelas experiências que ocorreram durante toda sua vida.
Para o aluno estagiário, ir para a prática profissional com seus valores e saberes
adquiridos durante sua vida, representa algo arriscado que ele não conhece muito bem
ainda: como fazer uma viagem pelo caminho de ser professor. Segundo Bondía (2000),
é durante esta viagem que acontece a experiência formativa.
Na formação não é definido antecipadamente nenhum resultado. O autor
considera o processo de formação como uma aventura, uma viagem em que não se sabe
o que poderá acontecer, nem se vai acontecer, levando o sujeito para dentro de si
mesmo, como um olhar para si mesmo, um espelho.
Considerando o professor como sujeito de sua formação e tendo suas experiências
profissionais como um fator condicionante para seus novos fazeres, e que esta formação
além de ser contínua e única, acontece ao longo da vida, caracterizo a formação do
professor como processual e permanente.
¯°±¯²³´²µ ±¶ ·¶ ¸ ¹º»¼½¾¿ ºÀÁ¹ÂÃ¾º¾¿ÄÅÆ¿ ¹Ç ÈÅ»¹Ç¼»ica: uma experiência na 5
Bondía (2000) tem uma forma particular de tratar o sentido de formação do
professor a partir do conceito experiência. Afirma que a idéia clássica de formação tem
duas faces: “formar significa, de um lado, dar forma e desenvolver um conjunto de
disposições preexistentes, por outro lado, levar o homem até a conformidade em relação
a um modelo ideal do que é ser humano que foi fixado e assegurado de antemão” (p.
12). Ao discutir esta afirmação o autor contrapõe-se aos modelos que prédeterminam
comportamentos estandardizados, sugerindo pensar a formação sem ter uma idéia
prescritiva de seu desenvolvimento nem um modelo normativo de sua realização.
O autor explora o caráter formativo da experiência considerando-a como “o que
nos passa, o que nos acontece, o que nos toca, não o que simplesmente passa, acontece
ou toca (BONDÍA, 2002, p. 21). A experiência vai constituindo um corpo de
conhecimentos que leva o sujeito a encontrar conexões com “o futuro que está aberto e
o passado que está vigente” (BONDÍA, 2000, p. 137). Neste sentido, o Estágio
Supervisionado pode ser visto como uma experiência marcante para os futuros
professores, um momento único e especial em que o professor em formação passa pela
experiência da ação docente constituindo os saberes da profissão.
Participaram da presente pesquisa seis alunas estagiárias, que relataram durante
quatro meses em que estava ocorrendo no Estágio, através das entrevistas semiestruturadas, como elas “experiênciavam” este momento.
A seguir apresento parte dos dados coletados obtidos através das entrevistas
realizadas com seis alunas do curso Normal durante quatro meses em que estava
ocorrendo o Estágio Supervisionado. Junto a isso, é feita a discussão destes através de
categorias, que emergiram das falas das participantes sobre suas experiências no Estágio
Supervisionado em Matemática. As categorias foram: Relação da estagiária com a
professora Supervisora; Gestão de sala de aula que na minha pesquisa foi subdividida
em três sub-categorias: Planejamento, Método e Relação da Professora Estagiária com
os alunos; e Relação da estagiária com a professora Regente. Aqui vou discutir somente
a categoria Gestão de as de aula: Método. Utilizei pseudônimos para nomear as
estagiárias com o objetivo de preservar as suas identidades, sendo que o primeiro
número que acompanha o pseudônimo é o número da entrevista e o segundo o número
da pergunta. Estes dados se encontram detalhadas na pesquisa completa.
ÉÊËÉÌÍÎÌÏ ËÐ ÑÐ Ò ÓÔÕÖ×ØÙ ÔÚÛÓÜÝØÔØÙÞßàÙ Óá âßÕÓáÖÕica: uma experiência na 6
Gestão de Sala de Aula
No Estágio, as estagiárias assumem uma responsabilidade muito grande ao
receber uma classe que, a partir daquele momento, elas vão coordenar. Algumas
consideram este período como o mais importante vivenciado no Curso Normal.
Entretanto, é rodeado de tensões, medos, inseguranças, conflitos, desafios e até
frustrações por se depararem com algo desconhecido, com uma realidade que até então
conheciam na teoria.
O início é especificamente um dos momentos mais complicados, mais tensos, que
as alunas atravessam, até se adaptarem com a transição de alunas para professoras.
Além de tensões, relativas ao controle da turma, à motivação dos alunos, ao
encontro com uma realidade desconhecida, como abordar os conteúdos, e outras,
relatadas pelas alunas estagiárias ao enfrentar a sala de aula, elas ainda enfrentam
algumas dificuldades com relação à estruturação do Estágio, considerando-o cansativo,
burocrático afirmando não gostarem de ter que cumprir os planos diários e que o tempo
era curto para fazer tudo.
Dando seqüência a este momento inicial em que as alunas assumem o papel de
professoras, nesta secção, apresento alguns aspectos que têm como referência a sala de
aula desde a preparação das aulas, ou seja, o planejamento, qual a metodologia usada
pelas alunas estagiárias até qual o relacionamento que elas têm com seus alunos.
Abordo aqui somente sobre a metodologia desenvolvida pelas alunas.
Método
Neste tópico, trago os procedimentos e as ações pedagógicas produzidas e
desenvolvidas pelas estagiárias no seu trabalho em sala de aula e como os implementam
em suas práticas, denominadas aqui de método.
Nas falas sobre a primeira atividade desenvolvida pelas estagiárias com seus
alunos aparece uma certa influência da professora Regente em relação ao que elas
deveriam fazer naquele primeiro momento. Os trechos abaixo ilustram:
Nós estamos com a terceira série e a primeira aula foi de revisão das
quatro operações, pois a professora deles disse que eles tinham muita
dificuldade com as quatro operações, mas a maior dificuldade é a
multiplicação, ainda não revisei divisão. Fiz primeiro um teste de
sondagem, antes da explicação, coloquei umas contas no quadro para
ver até onde eles chegavam, onde eles tinham mais dificuldade.
ãäåãæçèæé åê ëê ì íîïðñòó îôõíö÷òîòóøùúó íû üùïíûðïica: uma experiência na 7
Depois da sondagem, expliquei o assunto e passei problemas no
quadro para eles resolverem (Ariane, E11).
Comecei revisando as quatro operações, pois a professora deles disse
que eles eram muito fracos nas contas (Silvia, E11).
As falas das duas estagiárias denotam que este primeiro momento de suas aulas
foi marcado pela influência da professora Regente, a qual afirmou que seus alunos
tinham dificuldades com as quatro operações. Apesar disso, elas tomaram como ponto
de partida procedimentos diferentes. A estagiária Ariane fez, primeiro, antes da sua
explicação, um teste de sondagem na tentativa de verificar como ela iria começar a
desenvolver o conteúdo, em que situação os alunos se encontravam, para depois iniciar
a sua explicação. Já Silvia, mostrando confiança total nas informações cedidas pela
Regente, começou abordando as quatro operações como foi sugerido.
O desenvolvimento das aulas das estagiárias centrava-se quase que totalmente na
explicação das quatro operações, o que certamente não é problema algum, mas pareceme que, em algumas destas aulas, a abordagem do conteúdo acontecia de forma
tradicional:
Passei problemas envolvendo multiplicação, passei para estudarem
tabuada em casa, fiz sabatina com as perguntas (Ariane, E12).
Faço exercícios mimeografados para classe e para casa. Não passo
questões de marcar, somente cálculos mesmo, arme e efetue, tirar a
prova real, expressões numéricas com parênteses, colchetes e chaves
só com adição e subtração, alguns problemas, poucos, mas tem (Carla,
E22).
Com as quatro operações, nós tomamos tabuada, resolvemos alguns
problemas, mandamos armar, efetuar e tirar a prova das contas
(Eliene, E31).
Observa-se pelas falas das estagiárias a presença, em alguns momentos, de
práticas como tomar tabuada, fazer sabatina, atividades como armar, efetuar e tirar a
prova das operações, atividades que envolvem somente algoritmos, o que reflete a
aplicação de um modelo ainda conservador, baseado na memorização de fórmulas e
algoritmos, tratando o aluno como um mero receptor de informações, sem uma
discussão ou questionamento dos conteúdos matemáticos, o que confere à disciplina um
caráter mais tarefeiro.
ýþÿýV V ÿ ica: uma experiência na 8
A estagiária Maria relata uma abordagem dos conteúdos matemáticos um pouco
diferente, utilizando, para tal, dinâmicas ou jogos, como afirma no trecho abaixo:
Nas aulas, eu fazia sempre atividades do livro deles e dinâmicas ou
jogos eu fazia mais com as quatro operações porque eles tinham ainda
muita dificuldade, então sorteava os números para ele armar e efetuar,
contas de divisão e multiplicação (Maria, E41).
Aqui, observa-se uma tentativa da estagiária de inovação, de tratar os conteúdos
de forma menos tradicional.
As alunas estagiárias afirmam que, durante suas aulas de Matemática, faziam,
com seus alunos, exercícios no caderno e no quadro negro, mas também, por vezes,
usavam dinâmicas, jogos e brincadeiras, como uma forma de estimular o aprendizado
ou mesmo sair um pouco da abordagem tradicional do conteúdo, como afirmam abaixo:
Eu faço o seguinte: passo exercícios avaliativos, participação no
quadro, faço também dinâmicas (Ariane, E22).
Passo exercício no caderno escrito, exercício de fixação tanto para a
classe quanto para casa. Às vezes, faço uma brincadeira para estimular
como por exemplo bingo, nós tiramos duas bolinhas, então fazemos
uma operação com os dois valores e eles marcam o resultado na
cartela, só isso (Carla, E12).
De acordo com o assunto, para que o aluno se interesse mais pela aula,
nós procuramos usar vários métodos, recursos, se for contas de
dividir, por exemplo, a gente leva algumas frutas para dividir, e vamos
perguntando a eles, usei a brincadeira de quebra-cabeça, o jogo do
mico, onde eles juntam no baralho a operação e o resultado e então
vão baixando até bater (Eliene, E31).
Entretanto, a estagiária Ivone afirma que faz jogos com seus alunos, mas acha que
eles aprendem mais com exercícios escritos e, por isso, prefere passar exercícios
escritos no caderno:
Eu já fiz jogos com eles, mas eu trabalho mais com exercícios. Com
jogos também aprendem, mas acho que eles aprendem mais com
exercício mesmo. Faço exercícios no quadro e para casa, no outro dia
corrigimos. Já fizemos dinâmicas também com eles, coloquei umas
perguntas dentro da caixa e vai se passando a caixa com as perguntas
até a música parar, em quem parar tem que responder a pergunta
(Ivone, E12).
!"#$%& !'( )*%!%&+,-& . /," .#"ica:
uma experiência na 9
Já a estagiária Ariane afirma fazer dinâmicas, mas não muitas para não “viciar” os
alunos:
As atividades que eu faço para deixar a aula um pouco mais
interessante eu aplico uma dinâmica, não sempre, de vez em quando,
porque senão vicia eles (Ariane, E32).
Carla e Eliene afirmam não fazerem muitas dinâmicas, jogos ou brincadeiras,
devido ao comportamento dos alunos e elas não saberem lidar com esta situação:
Passo muitos exercícios no quadro para eles copiarem, só assim eles
ficam um pouco quietos, não faço muitas brincadeiras, porque eles são
muito danados (Carla, E32).
...os alunos eram muito agitados, então a gente começava a passar
contas e mais contas, que era o que a regente mandava, quando eles
estavam assim muito danados sem prestar atenção, aí a gente
começava a passar contas, eles melhoravam. No mês de outubro, nós
fizemos uma brincadeira para eles, um bingo, tinha em cima da mesa
os presentes e aqueles alunos mais agitados pegaram os presentes
antes de começar o bingo, abriram, jogaram para cima, na hora do
lanche fizeram uma bagunça enorme, eu pensei até em desistir do
Estágio... (Eliene, E41).
Carla e Eliene, por não conseguirem lidar com a situação de aplicar dinâmicas ou
brincadeiras, algumas vezes, usavam a estratégia de passar muitos exercícios escritos
para os alunos, geralmente “contas” para responderem a algo que foi sugerido pela
própria professora Regente.
Então, observamos que, apesar das estagiárias apresentarem por vezes uma
abordagem tradicional do conteúdo matemático e utilizarem algumas práticas
conservadoras em sala de aula, buscavam, através dos meios que tinham disponíveis,
práticas inovadoras, mesmo que, em alguns momentos, não soubessem lidar com tal
situação, mas apresentaram a tentativa de utilizar métodos menos tradicionais.
A estagiária Ariane desenvolveu uma estratégia própria para que suas aulas
continuassem participativas, com utilização de dinâmicas, jogos ou brincadeiras,
mantendo assim o controle da classe:
Na minha aula, eu faço bem participativa, eu coloco eles para irem ao
quadro, os mais inquietos, coloco eles como monitores fazendo o meu
papel no quadro, como um ajudante, isso envolve, e os outros ficam
mais concentrados e participativos. Eles são muito inquietos, tem que
ter muita estratégia porque, se deixar, eles fazem uma bagunça,
012034536 27 87 9 :;<=>?@ ;AB:CD?;?@EFG@ :H IF<:H=<ica:
ninguém faz nada, tem que fazer alguma coisa que interesse a eles, se
ficar aquela aula só escrita, eles não prestam atenção, acaba ficando
monótona (Ariane, 22.1).
A aluna Maria afirma que, nas aulas de Matemática, não fazia dinâmicas porque
os alunos não sabiam se comportar e queriam sempre receber algum prêmio por
participar da dinâmica:
nas aulas de Matemática, não fazíamos dinâmicas porque eles não
sabem se comportar, não queriam participar de nada, só por participar,
sempre tinha que ter algum prêmio, um brinquedo, um pirulito ou dar
ponto, então evitávamos de fazer dinâmicas (Maria, E41).
Reconhece que não é preparada para fazer dinâmicas, brincadeiras ou jogos com
seus alunos:
E nós também somos vazias em termos de dinâmicas, nós nem temos
dinâmicas para passar os assuntos para eles. Tem coisas que a gente
passa para os meninos, mas foi o colega que deu, ensinou, na Escola
mesmo os professores não orientam, com brincadeiras, dinâmicas,
coisas diferentes (Maria, E12)
E a aluna Silvia afirma que sempre suas aulas eram acompanhadas de dinâmicas e
que não tinha nenhum problema com o controle da classe durante suas aulas:
Toda aula era um exercício no caderno e uma dinâmica” “Em relação
ao domínio de classe, não tive nenhuma dificuldade, eu conseguia
controlar... (Silvia, E32, E41).
As atividades desenvolvidas pelas alunas estagiárias, como brincadeiras,
dinâmicas ou jogos, geralmente eram acompanhadas por uma idéia de recompensar o
aluno que se destacasse:
quem acertasse ganhava um pirulito e quem errasse pagava uma
prenda” “...por exemplo, eu dava três números para eles resolverem a
divisão eles tinham que me ouvir, se concentrar e tentar fazer e em
determinado momento, uns cinco minutos, eu falava stop, os que
conseguiram dividir os três ou os que chegavam perto eu dava um
pirulito, e aqueles que não conseguiam ficavam e então dei cinco
rodadas para eles fazerem e alguns tentaram e não conseguiram,
também ganharam um pirulito e aqueles que nem sequer se
esforçaram não ganharam para poder ver se eles se estimulavam e se
concentravam mais para fazer os exercícios (Ariane, E 12, E22).
JKLJMNOMP LQ RQ S TUWXYZ[ U\]T^_ZUZ[àb[ Tc daWTcXWica:
quem responde primeiro aí ganha um pirulito, eles são mais
interessados quando tem alguma coisa para lucrar, mas, quando é aula
normal é uma conversa, um bate-papo não ligam, mas quando tem
alguma coisa para ganhar, num instante eles se interessam (Maria,
E21).
Estas brincadeiras, dinâmicas ou aulas diferentes exigem, algumas vezes, material
disponível para desenvolver o trabalho e as alunas, durante as entrevistas, se mostraram
insatisfeitas com os poucos recursos disponíveis nas escolas em que estagiavam.
É bem presente nas suas falas o uso de cartazes para dar suas aulas:
Durante o Estágio, eu usei bastantes cartazes bem coloridos para
chamar a atenção deles, algumas vezes fazíamos dinâmicas usando
eles próprios ou exemplos, porque brincando com o assunto ou vendo
nos cartazes, ficava mais fácil para ele memorizar o assunto,...
(Ariane, E41).
Na sala eu uso cartaz, na escola tem vídeo mas ainda não usei,
bolas com perguntas dentro, dinâmicas, jogos também” “Mas
dou mais aulas no quadro por causa deles mesmo (Carla, E21).
A centralização de cartazes utilizados como recurso pode refletir diversos
aspectos, como a falta de opção das alunas estagiárias em relação à metodologia para
trabalhar os conteúdos de Matemática ou talvez um objeto utilizado para elas se
sentirem mais seguras em relação ao assunto. Ou talvez o Curso Normal, no caso nas
disciplinas de Metodologias, não lhes deram subsídios necessários para diversificar e
implementar suas aulas.
Entretanto, a estagiária Ivone afirma nunca ter usado cartazes nas suas aulas de
Matemática:
Para as aulas de Matemática, eu nunca utilizei cartaz. Eu fiz um bingo,
coloco um prêmio e eles vão tirando os números e marcando porque
ali eles vão aprendendo os números naturais que alguns tem
dificuldade. Na área de Matemática, eu não vejo muito como utilizar
recursos, eu sei que existem, mas eu não utilizo muito na área de
Matemática, eu acho mais fácil em Português, a gente coloca um texto
no cartaz para eles lerem e fazerem a interpretação do texto, por
exemplo (Ivone, E2,1).
Inicialmente, a metodologia usada pelas estagiárias foi bastante influenciada pela
professora Regente, além de ela também ter influenciado em alguns momentos no
decorrer do Estágio Supervisionado. As estagiárias, nas suas falas, relataram práticas
tradicionais, mas também a presença de uma vontade por inovar, apesar de refletirem
efgehijhk gl ml n opqrstu pvwoxytptuz{|u o} ~{qo}rqica:
sobre seu despreparo em termos de métodos. Foi muito freqüente a utilização de
cartazes em suas aulas, algumas vezes por falta de outras opções de recursos que não
eram oferecidos pelas escolas, ou para lhes darem mais segurança na abordagem dos
conteúdos ou até mesmo como um espelho que reflete como estão sendo formadas estas
alunas e como são inseridas no Estágio Supervisionado.
As discussões tecidas aqui remetem-nos a repensar os processos de formação
destes professores habilitados à Educação Infantil e às séries iniciais do Ensino
Fundamental, o que nos leva a refletir sobre as mudanças necessárias nos cursos que
formam estes professores de forma a dar subsídios para os formadores de professores. A
formação do professor deve ser associada à sua prática docente, orientada para a
pesquisa em sala de aula.
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Caldas, 2003. Disponível em: http://www.anped.org.br. Acesso em: abril, 2004.
¡¢£¢¤ ¥¦§ ¢ §¢ §¢ ¥ ¨©ª« ¨¬®¨¯« ¬° Matemática e a Formação
para a cidadania: mitos ou desafio? Anais do IX Encontro Paulista de Educação
Eixo-temático 1: Avaliação
O LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA E A FORMAÇÃO PARA A
CIDADANIA: MITO OU DESAFIO?
Fabiana Cezário de ALMEIDA – FC-UNESP, Bauru ([email protected]±
Mara Sueli Simão MORAE S – FC-UNESP, Bauru ([email protected]±
Resumo: O presente artigo buscou discutir o quanto o livro didático de Matemática,
enquanto um material instrucional presente quase que efetivamente nas salas de aula,
abordam ou deveriam abordar, além dos conteúdos clássicos que essa disciplina requer,
questões de caráter social, político e cultural, que possibilitem a formação para a
cidadania. Este trabalho foi baseado na dissertação de mestrado intitulada: “Os Livros
Didáticos de Matemática para o Ensino Fundamental e os Temas Transversais:
realidade ou utopia?”, que analisou os livros didáticos de Matemática para o 3º e 4º
ciclos em relação a abordagem dos Temas Transversais/Político-Sociais, como e quanto
abordam estes temas, através do estudo e análise dos conteúdos referentes ao bloco de
Grandezas e Medidas. Foram utilizadas nessa análise cinco coleções de livros didáticos
de Matemática para o 3º e 4º ciclos, coleções essas avaliadas e recomendadas pelo MEC
e que estão sendo utilizadas em salas de aula de matemática. Nesse artigo serão
discutidas as questões: O que as literaturas discutem sobre o que é o Livro didático?
Qual sua função e lugar em sala de aula? Como foi a avaliação dos livros didáticos de
Matemática efetuada pelo MEC para o PNLD de 2005? e O que foi analisado em
relação a formação para a cidadania nas coleções de forma geral? Para estas discussões,
foram esclarecidos o papel da escola, da educação e da Matemática na formação dos
indivíduos, como também a importância do livro didático de Matemática, sua
vinculação com questões sociais, políticas e culturais e a importância da avaliação
desses materiais para a melhora da qualidade e “garantia” de preocuparem-se com a
formação para a cidadania.
Palavras-Chave: Livro Didático, Matemática, Cidadania.
Financiamento: CAPES
Introdução
A educação escolar é responsável pela transmissão e assimilação do conhecimento
sistematizado historicamente acumulado, é na escola e com educação escolar que os
indivíduos se apropriarão dos conhecimentos científicos, através da assimilação dos
conteúdos pedagógicos, políticos e sociais.