Atividades Exploratórias com o Geogebra para a construção do

Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Mestrado Profissional em Educação Matemática
ATIVIDADES EXPLORATÓRIAS COM O GEOGEBRA
PARA A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE INTEGRAL
DE RIEMANN NO ENSINO DE ANÁLISE REAL
Autor: Prof. Ms. João Lucas de Oliveira
Orientador: Prof. Dr. Frederico da Silva Reis
Ouro Preto
2016
Ao Professor de Análise Real em cursos de
Licenciatura ou Bacharelado em Matemática
Caro(a) colega Professor(a) de Análise Real,
Este material contém uma sugestão de atividades exploratórias utilizando o
software GeoGebra para o ensino do conceito de Integral de Riemann em disciplinas de
Análise Real.
Ele se constitui num Produto Educacional gerado a partir de nossa Dissertação
do Mestrado Profissional em Educação Matemática, dentro do programa de
Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto,
intitulada “A utilização de softwares dinâmicos no ensino de Análise Real: um estudo
sobre a construção do conceito de Integral de Riemann”, sob a orientação do Prof. Dr.
Frederico da Silva Reis.
As atividades exploratórias aqui apresentadas foram aplicadas e avaliadas por 4
(quatro) Professores de Cálculo Diferencial e Integral e Análise Real, todos eles
Doutores ou Doutorandos em Matemática ou Educação Matemática, com ampla
experiência docente em Universidades Federais de Minas Gerais.
Nosso objetivo aqui é oferecer a você, Professor de Análise Real I e/ou Análise
Real II, um material que apresenta atividades de exploração e conjecturação
relacionadas aos conceitos que alicerçam a Integral de Riemann, tais como Somas
Inferiores, Somas Superiores, Integral Inferior, Integral Superior e Função Integrável a
Riemann. Tais atividades utilizam as Tecnologias da Informação e Comunicação em
Educação Matemática – TICEM como uma possibilidade metodológica para a formação
complementar de Licenciandos e Bacharelandos em Matemática, a partir da construção
dos conceitos trabalhados tradicionalmente na sala de aula.
Inicialmente, apresentamos uma breve discussão sobre o papel da visualização
proporcionada pelos softwares na cognição. A seguir, apresentamos 4 (quatro)
atividades exploratórias relacionadas ao conceito de Integral de Riemann que podem ser
implementadas utilizando o GeoGebra ou outros softwares gráficos.
Esperamos que esse produto possa contribuir para sua prática pedagógica de
Análise Real e para motivar a utilização das TICEM no Ensino Superior de Matemática.
Prof. Ms. João Lucas de Oliveira
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Gráficos da integral...........................................................................................5
Figura 2: Conjuntos numéricos.........................................................................................8
Figura 3: Somas Superiores e Inferiores com duas casas decimais para a Função
Quadrática........................................................................................................................11
Figura 4: Somas Superiores e Inferiores com três casas decimais para a Função
Quadrática........................................................................................................................11
Figura 5: Somas Superiores e Inferiores com duas casas decimais para a Função
Cúbica..............................................................................................................................14
Figura 6: Somas Superiores e Inferiores com três casas decimais para a Função
Cúbica..............................................................................................................................14
Figura 7: Somas Superiores e Inferiores com duas casas decimais para a Função
Escada..............................................................................................................................17
Figura 8: Somas Superiores e Inferiores com três casas decimais para a Função
Escada..............................................................................................................................17
Figura 9: Somas Superiores e Inferiores com duas casas decimais para a Função de
Dirichlet...........................................................................................................................20
Figura 10: Somas Superiores e Inferiores com três casas decimais para a Função de
Dirichlet...........................................................................................................................20
SUMÁRIO
1. A visualização proporcionada pelos softwares e sua relação com os aspectos
cognitivos.......................................................................................................................4
2. Apresentando as Atividades Exploratórias com o uso do GeoGebra ................9
2.1. Atividade 1: Integral Inferior e Superior da “Função Quadrática”......9
2.1.1. Algumas figuras relacionadas à Atividade 1...........................11
2.2. Atividade 2: Integral Inferior e Superior da “Função Cúbica”.............12
2.2.1. Algumas figuras relacionadas à Atividade 2...........................14
2.3. Atividade 3: Integral Inferior e Superior da “Função Escada” ...........15
2.3.1. Algumas figuras relacionadas à Atividade 3...........................17
2.4. Atividade 4: Integral Inferior e Superior da “Função de Dirichlet”.....18
2.4.1. Algumas figuras relacionadas à Atividade 4...........................20
3. Algumas considerações para Professores de Análise Real ..................................21
Referências / Bibliografia Recomendada ................................................................... 24
4
1. A visualização proporcionada pelos softwares e sua relação com os
aspectos cognitivos
Em ambientes computacionais, no que diz respeito à utilização de softwares de
maneira exploratória, Borba e Villareal (2005) acreditam em um rápido feedback
proporcionado pelas mídias em seus aspectos visuais. Os autores ressaltam a
importância desses processos no condicionamento do pensamento matemático dos
estudantes. Essa abordagem visual é caracterizada na Educação Matemática,
principalmente pelos seguintes fatos:
- Visualização constitui um meio de acesso alternativo ao
conhecimento matemático;
- A compreensão de conceitos matemáticos, requer múltiplas
representações, e representações visuais podem transformar o
entendimento deles;
- Visualização é parte da atividade matemática e uma maneira
de resolver problemas. (BORBA e VILLAREAL, 2005, p.96)
Assim, acreditamos que a utilização do computador em atividades de exploração
com as tecnologias (sob o aspecto experimental), visualização e feedbacks, pode
contribuir para a constituição de um ambiente propício ao aparecimento de insights. A
partir disso, Tall (2000) enfatiza que ambientes educacionais devem incentivar
experimentações que podem lançar luz sobre um dado fenômeno e, assim, indica os
potencias das máquinas para o desenvolvimento cognitivo dos sujeitos, pois elas:
[...] podem executar quaisquer algoritmos de forma rápida e
eficiente, além de exibir o resultado final com uma gama de
representações. Por exemplo, os resultados podem ser
representados visualmente e manipulados fisicamente.
Utilizando um mouse é possível ao estudante construir relações
corporificadas que fazem parte de uma estrutura conceitual mais
rica e ampla. (TALL, 2000, p. 10, tradução nossa)
De acordo com Zimmerman e Cunningham (1991), o raciocínio visual auxilia a
aprendizagem e a descoberta matemática. Esse processo de obtenção de imagens pode
ser obtido de forma mental, com lápis e papel ou com a tecnologia.
Diante dessa perspectiva, em relação aos aspectos cognitivos e visuais, Guzman
(2002) investigou como as características intuitivas advindas da visualização
contribuíram para um melhor ensino, aprendizagem e compreensão de conceitos da
5
Matemática, em particular, da Análise Matemática. Diante disso, relacionou-se a
capacidade cognitiva e sintética dos especialistas em determinado campo de pesquisa
possuírem uma variedade de imagens visuais, com a habilidade na manipulação,
percepção de conceitos e produção de significados. Assim, o autor argumentou a
necessidade de profissionais da área de Análise, em seu ensino e uma futura inserção
dos jovens na profissão, utilizando-se não apenas do rigor matemático presente nas
estruturas abstratas da teoria, mas sim e mais interessantemente, o aguçamento desses
jovens a respeito das estratégias um dia aprendidas pelos especialistas.
Ele defendeu que a visualização matemática é um processo natural e que sua
utilização adequada, podendo ser evocada com ou sem o auxílio do computador,
propicia um melhor entendimento e manipulação de certas estruturas matemáticas. Com
isso, os diferentes tipos de visualizações encontrados foram classificados em:
Isomórfica, Homeomórfica, Analógica e Diagramática. Em particular, o autor afirma
que “uma grande parte das nossas visualizações em Análise Matemática é do tipo
isomórfica” (GUZMAN, 2002, p.4). Com isso, essa visualização propicia a
possibilidade de uma “exata” correspondência entre os objetos e suas respectivas
representações, propiciando uma formalização da Matemática. Como exemplos, ele
apresentou a visualização dos números reais sobre o eixo do reais e o “Young’s
Theorem”, o qual segue: Seja y = f (x) uma função real definida em [0, ∞) de modo que
f(0) = 0, f(x) é positiva para cada x positivo, f é contínua e estritamente crescente no
intervalo [0, ∞) e f(x) tende ao infinito quando x tende ao infinito. Considere g(x) a
função inversa de f(x), para cada x no intervalo [0, ∞). Então, se a e b são números
positivos, têm-se
, onde segundo o pesquisador, uma
prova formal desse resultado, pode ser obtida ao se inspecionar a figura 1 a seguir.
Figura 1: Gráficos da integral
. Fonte: Guzman (2002)
Por fim, ele apresentou alguns exemplos visuais e suas potencialidades na
construção de conceitos e resultados na Análise Matemática. Dentre os assuntos
6
abordados nesses exemplos, encontram-se: Teorema de Dini, continuidade e limite de
uma função em um ponto, função uniformemente contínua, funções contrativas e ponto
fixos, etc.
Tall (1993) investigou como os computadores podem auxiliar as pessoas a
compreenderem tópicos avançados de Matemática, em especial, no ensino de Cálculo e
Análise. As ideias exploradas nesse trabalho advêm de uma aplicação com estudantes
de Análise Real, cujo propósito seria tornar-se professores. A motivação da pesquisa
germinou diante da dificuldade encontrada por estudantes em Análise. Com isso, foram
convidados alguns discentes do ano anterior e, após certo período de instruções da teoria
formal na disciplina, foi solicitada a eles a escrita da definição formal do limite de uma
sequência. Porém, nenhum dos estudantes foi capaz de fazer isso. Assim, a ideia central
do curso passou pela importância da abordagem visual, além do incentivo de técnicas de
discussões para a construção de conceitos. Diante desse contexto, Tall (1993, p. 17)
afirmou que a “discussão sobre a Matemática era raro e, às vezes, havia a sensação de
alienação do assunto, como se isso pertencesse a um universo diferente”.
Para o pesquisador, o ensino de conceitos avançados em Matemática, envolve
uma responsabilidade que, por sua vez, perpassa por dois aspectos: o conhecimento das
definições formais e as complexas imagens mentais desenvolvidas por cada indivíduo
para dar suporte aos conceitos. Em alguns casos, os professores podem utilizar-se de
exemplos motivadores para introduzirem determinados conceitos mas, quando isso é
feito de maneira inapropriada, pode-se gerar analogias incorretas com o conceito. Como
exemplos, Tall (1993, p. 1) apresenta o caso de uma sequência, ressaltando que elas são
“geralmente apresentadas por fórmulas que têm a propriedade de que a sequência ‘fica
cada vez mais perto’ do limite”, o que pode levar muitos estudantes a acreditarem que o
valor limite nunca será igual ao valor da sequência. Em outro exemplo, ele adverte para
as definições de funções contínuas que, se utilizadas de maneiras inapropriadas, podem
levar a considerações equivocadas e de difícil entendimento na construção da teoria
formal.
Em relação ao uso efetivo dos computadores como ferramentas úteis ao
desenvolvimento de aspecto cognitivo sobre tópicos avançados em Matemática, Tall
(1993) afirma que a utilização adequada da máquina propicia ao sujeito a possibilidade
de desenvolvimento de sua imaginação e auxilia no processo de habilidade da teoria
formal. Entretanto, visto a finitude (inclusive a plotagem de números racionais) das
representações por parte dos computadores, esses podem apresentar imagens restritivas
e não representativas o suficiente para a construção de determinado conceito
7
matemático. Com isso, o pesquisador buscou um algoritmo capaz de diferenciar os
números racionais dos irracionais, visto a finitude da maioria dos softwares em plotar
gráficos “lisos” e/ou de apenas uma sentença. Coadunando com Tall (1993) em relação
à finitude de alguns softwares de aprendizagem matemática e suas diversas
representações computacionais para o ensino, Giraldo, Carvalho e Tall (2002, p. 3)
afirmam que “muitas das limitações das representações computacionais para os
conceitos matemáticos são decorrentes da estrutura finita dos algoritmos empregados”.
Para esse caso, Tall (1993) considerou a função:
=
,
1− ,
∈
−
.
Quanto à exploração visual do gráfico dessa função com a distinção dos
números racionais e irracionais, o pesquisador baseou-se no que os gregos da
antiguidade faziam, ao utilizarem um algoritmo para calcular a aproximação decimal de
qualquer número real. Esse método é conhecido por frações contínuas. Essa distinção
baseia-se no fato de que todo número racional possui uma representação em fração
contínua finita, ao contrário dos números irracionais que possuem uma representação
infinita. Com isso, o comportamento da função é “diferente para x racional (onde a
sequência termina por igualar a x) e x irracional (onde os denominadores crescem
ilimitadamente)” (TALL, 2000, p.17). Essa distinção no computador ocorreu pela
definição de uma espécie de dois conjuntos numéricos disjuntos: (e,K)-racionais –
“pseudo-racionais” e (e,K)-irracionais - “pseudo-irracionais”.
Em alguns casos, utilizou-se da plotagem aleatória dos pontos para esboço do
gráfico da função correspondente, conforme figura 2 a seguir:
8
Figura 2: Conjuntos numéricos
Fonte: Tall (1993)
A partir da criação desse programa (ou atividade), observou-se um melhor
entendimento por parte dos estudantes em relação a alguns conceitos da Análise, como
por exemplo, aqueles relacionados a áreas sob gráficos (TALL 1993, 2000). Assim:
Quando a plotagem aleatória estava sendo usada, outro estudante
sugeriu que os pontos aleatórios eram mais prováveis de serem
irracionais, e assim os valores da função nos números racionais são
menos importantes quando métodos aleatórios foram utilizados para
calcular a área pela função em questão. (TALL, 1993, p.17, tradução
nossa)
Para o pesquisador, essas discussões geraram a possibilidade dos estudantes
adquirirem insights visuais e verbalizações sobre uma possível transição da Integral de
Riemann para a Integral de Lebesgue, além de tornarem-se muito mais ricas e
significativas do que quando apresentadas em cursos de Análise tradicionais anteriores.
(TALL 1993, 2000).
9
2. Apresentando as Atividades Exploratórias com o uso do GeoGebra
2.1.ATIVIDADE 1: Integral Inferior e Superior da “Função Quadrática”
Objetivos: Obter as Somas Inferiores e Superiores da função, a partir dos gráficos
construídos no GeoGebra; Intuir os valores da Integral Inferior e Integral Superior;
Concluir se a função é integrável.
Sequência Didática:
1) Construa o gráfico da função no GeoGebra: f(x) = Se [–1 <= x <= 1, x^2+1]
2) Caso necessário, ajuste a área de visualização do gráfico para o intervalo [−1,1]
3) Defina as constantes: a = –1 e b = 1 (extremidades da partição)
4) Crie um seletor k = [1,10] com incremento 1
5) Defina a constante: n = 2^k (número de retângulos)
6) Defina a constante: ∆ =
(base dos retângulos)
7) Defina as Somas Inferiores: Sinf = SomaDeRiemannInferior[f, a, b, n]
8) Defina as Somas Superiores: Ssup = SomaDeRiemannSuperior[f, a, b, n]
9) Na Janela de Álgebra, verifique as Somas Inferiores e as Somas Superiores
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sinf
Ssup
10) Repita o procedimento fazendo o arredondamento para 3 casas decimais
10
10
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sinf
Ssup
Questões para Debate:
- O que você observa em relação aos valores obtidos com 2 e 3 casas decimais e tente
inferir sobre o que aconteceria se o arredondamento fosse feito com 10 casas decimais?
- Quais seriam, intuitivamente, os valores da Integral Inferior e da Integral Superior?
!
=
"#$
=
- Compare com o valor exato de
&
&
%
1 =
- O que podemos concluir com base na definição de função integrável?
11
2.1.1.Algumas figuras relacionadas à Atividade 1
Figura 3: Somas Superiores e Inferiores com duas casas decimais para a Função
Quadrática
Fonte: Dados de pesquisa (2015) – Dupla UFJF
Figura 4: Somas Superiores e Inferiores com três casas decimais para a Função
Quadrática
Fonte: Dados de pesquisa (2015) – Dupla UFOP
12
2.2.ATIVIDADE 2: Integral Inferior e Superior da “Função Cúbica”
Objetivos: Obter as Somas Inferiores e Superiores da função, a partir dos gráficos
construídos no GeoGebra; Intuir os valores da Integral Inferior e Integral Superior;
Concluir se a função é integrável.
Sequência Didática:
1) Construa o gráfico da função no GeoGebra: f(x) = Se [–1 <= x <= 1, x^3]
2) Caso necessário, ajuste a área de visualização do gráfico para o intervalo [−1,1]
3) Defina as constantes: a = –1 e b = 1 (extremidades da partição)
4) Crie um seletor k = [1,10] com incremento 1
5) Defina a constante: n = 2^k (número de retângulos)
6) Defina a constante: ∆ =
(base dos retângulos)
7) Defina as Somas Inferiores: Sinf = SomaDeRiemannInferior[f, a, b, n]
8) Defina as Somas Superiores: Ssup = SomaDeRiemannSuperior[f, a, b, n]
9) Na Janela de Álgebra, verifique as Somas Inferiores e as Somas Superiores
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sinf
Ssup
10) Repita o procedimento fazendo o arredondamento para 3 casas decimais
10
13
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sinf
Ssup
Questões para Debate:
- O que você observa em relação aos valores obtidos com 2 e 3 casas decimais e tente
inferir sobre o que aconteceria se o arredondamento fosse feito com 5 casas decimais?
- Quais seriam, intuitivamente, os valores da Integral Inferior e da Integral Superior?
!
=
"#$
=
- Compare com o valor exato de
&
&
'
=
- O que podemos concluir com base na definição de função integrável?
14
2.2.1.Algumas figuras relacionadas à Atividade 2
Figura 5: Somas Superiores e Inferiores com duas casas decimais para a Função Cúbica
Fonte: Dados de pesquisa (2015) – Dupla UFJF
Figura 6: Somas Superiores e Inferiores com três casas decimais para a Função Cúbica
Fonte: Dados de pesquisa (2015) – Dupla UFOP
15
ATIVIDADE 3: Integral Inferior e Superior da “Função Escada”
Objetivos: Obter as Somas Inferiores e Superiores da função, a partir dos gráficos
construídos no GeoGebra; Intuir os valores da Integral Inferior e Integral Superior;
Concluir se a função é integrável.
Sequência Didática:
1) Construa o gráfico da função no GeoGebra: f(x) = Se[2<=x<=4,2,Se[4<x<=6,4]]
2) Caso necessário, ajuste a área de visualização do gráfico para o intervalo [2,6]
3) Defina as constantes: a = 2 e b = 6 (extremidades da partição)
4) Crie um seletor k = [1,10] com incremento 1
5) Defina a constante: n = 2^k (número de retângulos)
6) Defina a constante: ∆ =
(base dos retângulos)
7) Defina as Somas Inferiores: Sinf = SomaDeRiemannInferior[f, a, b, n]
8) Defina as Somas Superiores: Ssup = SomaDeRiemannSuperior[f, a, b, n]
9) Na Janela de Álgebra, verifique as Somas Inferiores e as Somas Superiores
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sinf
Ssup
10) Repita o procedimento fazendo o arredondamento para 3 casas decimais
10
16
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sinf
Ssup
* Compare com o Exemplo 4 (págs. 309 e 310) de Lima (2009).
Questões para Debate:
- Quais seriam, intuitivamente, os valores da Integral Inferior e da Integral Superior?
!
=
"#$
=
- O valor que f assume no ponto x = 4 afeta os valores das Integrais? Justifique!
- Compare com o valor exato de
*
%
=
- O que podemos concluir com base na definição de função integrável?
17
2.3.1.Algumas figuras relacionadas à Atividade 3
Figura 7: Somas Superiores e Inferiores com duas casas decimais para a Função Escada
Fonte: Dados de pesquisa (2015) – Dupla UFOP
Figura 8: Somas Superiores e Inferiores com três casas decimais para a Função Escada
Fonte: Dados de pesquisa (2015) – Dupla UFOP
18
ATIVIDADE 4: Integral Inferior e Superior da “Função de Dirichlet”
Objetivos: Obter as Somas Inferiores e Superiores da função, a partir dos gráficos
construídos no GeoGebra; Intuir os valores da Integral Inferior e Integral Superior;
Concluir se a função é integrável.
Sequência Didática:
1) Construa o gráfico da função no GeoGebra: f(x) = floor(x 1024) - 2floor(x 512)
2) Caso necessário, ajuste a área de visualização do gráfico para o intervalo [0,2]
3) Defina as constantes: a = 0 e b = 2 (extremidades da partição)
4) Crie um seletor k = [1,10] com incremento 1
5) Defina a constante: n = 2^k (número de retângulos)
6) Defina a constante: ∆ =
(base dos retângulos)
7) Defina as Somas Inferiores: Sinf = SomaDeRiemannInferior[f, a, b, n]
8) Defina as Somas Superiores: Ssup = SomaDeRiemannSuperior[f, a, b, n]
9) Na Janela de Álgebra, verifique as Somas Inferiores e as Somas Superiores
k
Sinf
Ssup
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
19
10) Repita o procedimento fazendo o arredondamento para 3 casas decimais
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sinf
Ssup
* Compare com o Exemplo 1 (pág. 307) de Lima (2009).
Questões para Debate:
- Quais seriam, intuitivamente, os valores da Integral Inferior e da Integral Superior?
!
=
"#$
=
- Relacione os valores com a questão da densidade dos racionais e irracionais nos reais!
- O que podemos concluir com base na definição de função integrável?
20
2.4.1.Algumas figuras relacionadas à Atividade 4
Figura 9: Somas Superiores e Inferiores com duas casas decimais para a Função de
Dirichlet
Fonte: Dados de pesquisa (2015) – Dupla UFOP
Figura 10: Somas Superiores e Inferiores com três casas decimais para a Função de
Dirichlet
Fonte: Dados de pesquisa (2015) – Dupla UFJF
21
3. Algumas considerações para Professores de Análise Real
A partir de nossa pesquisa (OLIVEIRA, 2016) e das atividades exploratórias
aqui apresentadas, que foram aplicadas e avaliadas por 4 (quatro) Professores de
Cálculo Diferencial e Integral e Análise Real, tecemos algumas considerações que
gostaríamos de compartilhar com Professores de Cálculo e de Análise Real.
3.1. As relações entre Rigor e Intuição
Nossa pesquisa apontou para uma contribuição dos aspectos intuitivos na
construção de alguns conceitos oriundos das explorações das atividades, abrindo-se
assim, algumas possibilidades de serem trabalhados rigorosamente conceitos
subjacentes à Integral no ensino de Análise. Logo, conceitos trabalhados anteriormente
no Cálculo podem ser retomados em Análise, visando a construção rigorosa do conceito
de Integral de Riemann. Além disso, pode-se explorar alguns conceitos como a não
integrabilidade a Riemann que abre espaço para se motivar o conceito de Integral de
Lebesgue.
Outro ponto a ser destacado foram as observações e experimentações, pelos
quais os participantes puderam conjecturar os valores de somas superiores e inferiores,
relacionando-os sob o ponto de uma verdade passível a demonstração de um teorema e,
em um caso, à conclusão lógica por definição.
Assim, acreditamos que o bom uso da inserção do trabalho com a intuição no
ensino e aprendizagem de conceitos de Análise, favorece um afloramento de suas
categorias, principalmente a intuição visual, em questões a serem submetidas a provas
formais. Além disso, um aprofundamento de teorias torna-se possível, relacionando-se o
rigor em função das ideias intuitivas visuais e conceituais geradas nesse contexto.
3.2. Os processos do Pensamento Matemático Avançado
Nossa pesquisa relacionou-se aos processos de ensino e aprendizagem de
Cálculo e de Análise, mais especificadamente na abstração / construção do conceito de
Integral na Análise, em consonância com o desenvolvimento teórico apresentado por
Lima (2009).
22
Destacaram-se também a possibilidade do entrelaçamento dos processos de
intuição e rigor (REIS, 2001, 2009) na via de mão dupla entre o Cálculo e a Análise,
inseridos e interrelacionados na ótica de algumas ideias defendidas por Dreyfus (1991)
dentro do Pensamento Matemático Avançado.
Especificamente, defendemos o uso das intuições, separadamente ou em
conjunto, nos diversos processos do ensino e aprendizagem de Cálculo e de Análise,
oportunizando
uma
interrelação
com
os
aspectos
rigorosos
desenvolvidos,
especialmente na prática do professor de Matemática. Isso coaduna com Dreyfus (1991,
p. 40) ao destacar as possíveis relações entre os principais processos com os de: intuir,
definir, provar, visualizar, descobrir, entre outros. Defendemos também que,
independentemente da formação do aluno, seja ela de Bacharelado ou Licenciatura em
Matemática, o entendimento dos conteúdos deve se sobrepor, em grau de importância,
ao conhecimento técnico simplista.
Dessa maneira, concordamos com Dreyfus (1991) que os processos de abstração
e representação são complementares, sendo que o processo de abstração é construído, a
partir do isolamento de certas estruturas do objeto / conceito, observando-se suas
propriedades e relações de tópicos em comum, sintetizando os diferentes conceitos que
oportunizam a abstração. Segundo Dreyfus (1991) essas abstrações de conceitos
ocorrem devido a momentos pedagógicos nos quais ocorre uma discussão entre
professor e aluno, em estágios da construção desses conceitos.
3.3. As contribuições e limitações do software GeoGebra
Esta categoria de análise apontou para a possiblidade do uso efetivo de
softwares, mesmo com suas limitações, na construção de conceitos relacionados à
Integral de Riemann. Além disso, oportunizou-se um avanço da teoria, de acordo com o
que constatamos na implementação das atividades exploratórias.
Essas atividades, vistas na forma de applets no GeoGebra, caracterizaram-se
como organizadores genéricos eficientes no aparecimento de discussões matemáticas
acerca do conceito requerido de Integral (TALL, 1986, 2000). Nesse caso, é importante
ressaltar que tais contribuições, se trabalhadas de forma inequívoca, podem propiciar o
aparecimento de imagens favoráveis à construção de conceitos. Entretanto, o uso do
software apresentou uma limitação de finitude que pode levar à formação de intuições
errôneas. Assim, lembramos a importância do trabalho com representações diversas de
23
um conceito em outras mídias, inclusive lápis, papel, livro, dentre outras que podem
contribuir para a construção desse conceito.
Outros pontos a serem destacados foram os significados gerados pelas imagens e
quadros em nossa pesquisa. As ideias intuitivas possibilitaram a refutação da ideia única
de Integral como área, dada a negatividade do valor das somas em algumas atividades.
Ainda nesse viés, acreditamos que a visualização do conceito de somas superiores e
inferiores, trabalhados de maneira acumulativa, pode possibilitar a inserção do rigor já
no Cálculo, como forma de suavizar uma futura transição para a Análise.
Portanto, defendemos o bom uso de softwares como uma opção pedagógica ao
professor de Análise e também de Cálculo. Destacamos que, independente da formação
profissional do estudante de Matemática, o ponto chave é a compreensão das ideias
inseridas na construção de conceitos, em particular, nos conceitos subjacentes ao de
Integral. Para isso, faz-se necessário uma discussão, intermediada por diferentes mídias,
sobressaindo a que for mais conveniente no contexto.
24
Referências / Bibliografia Recomendada
ALDON, G. Une Voiture à la Dérive. Perpes – IREM, nº 21, Lyon, 1995.
ALVES, F. R. V. Exploração de noções topológicas na transição do Cálculo para
a Análise Real com o GeoGebra. Revista do Instituto Geogebra Internacional
de São Paulo, São Paulo, v. 1, p. 165-179, 2012.
ALVES, F. R. V.; BORGES NETO, H. Interpretação Geométrica de definições e
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