Aproximação Quadrática

1
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
3.2.1 - Aproximação quadrática para funções de uma variável
3.2.2 - Aproximação quadrática para funções de duas variáveis
Continuando o que começamos no capı́tulo passado, vamos agora aproximar uma função com duas ou mais
variáveis por uma expressão quadrática. Isto tornará possı́vel efetuar um estudo da concavidade local de uma
determinada função e também de classificar eventuais pontos ótimos desta.
3.2.1 - Aproximação quadrática para funções de uma variável
É comum que a aproximação linear de uma função não seja completamente adequada, mesmo se considerarmos somente valores próximos ao ponto que se quer aproximar. Além disso, ela não oferece dados sobre a
concavidade local da função, por exemplo. Essas informações podem ser conseguidas fazendo uma aproximação
quadrática, que foi vista para funções de uma variável no curso de Cálculo 1. Faremos, agora, uma pequena
revisão do que já foi visto para funções de uma variável.
Vamos aproximar localmente uma função por uma parábola em um ponto x0 do domı́nio dessa função.
Dada uma parábola y(x) = ax2 + bx + c, essa curva deve ser igual à função em x = x0 :
y(x0 ) = f (x0 ) ⇔ ax20 + bx0 + c = f (x0 ) .
Além disso, devemos ter
y ′ (x0 ) = f ′ (x0 ) ⇔ 2ax0 + b = f ′ (x0 ) .
Por último, devemos ter
y ′′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) ⇔ 2a = f ′′ (x0 ) ⇔ a =
f ′′ (x0 )
.
2
Com isto, podemos calcular
f ′′ (x0 )
· x0 ⇔ b = f ′ (x0 ) − f ′′ (x0 )x0 ,
2
f ′′ (x0 ) 2 ′
x0 − f (x0 ) − f ′′ (x0 )x0 x0 ⇔
ax20 + bx0 + c = f (x0 ) ⇔ c = f (x0 ) −
2
f ′′ (x0 ) 2
1
⇔ c = f (x0 ) −
x0 − f ′ (x0 )x0 + f ′′ (x0 )x20 ⇔ c = f (x0 ) − f ′ (x0 )x0 + f ′′ (x0 )x20 .
2
2
2ax0 + b = f ′ (x0 ) ⇔ b = f ′ (x0 ) − 2ax0 ⇔ b = f ′ (x0 ) − 2 ·
Substituindo esses coeficente na parábola (calma, que a fórmula final acaba por ficar simples), temos
1
1
y(x) = f ′′ (x0 )x2 + f ′ (x0 ) − f ′′ (x0 )x0 x + f (x0 ) − f ′ (x0 )x0 + f ′′ (x0 )x20 ⇔
2
2
1
⇔ y(x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + f ′′ (x0 )(x20 − 2x0 x + x20 ) ⇔
2
1
⇔ y(x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + f ′′ (x0 )(x − x0 )2 .
2
Esta é a equação da parábola que melhor ajusta uma determinada função f (x) na proximidade de x = x0 . Note
que a fórmula só é válida se a função puder ser derivada em x = x0 duas vezes. Vamos testá-la em exemplo.
2
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
Exemplo 1: aproxime a função f (x) = x3 − 6x2 + 10x − 2 por uma parábola próximo ao ponto x0 = 3.
Solução: calculamos primeiro as derivadas primeira e segunda da função:
f ′ (x) = 3x2 − 12x + 10 ,
f ′′ (x) = 6x − 12 .
Temos, então,
y
f (3) = 27 − 6 · 9 + 10 · 3 − 2 = 27 − 54 + 30 − 2 = 1 ,
3
f ′ (3) = 3 · 9 − 12 · 3 + 10 = 27 − 36 + 10 = 1 ,
f ′′ (3) = 6 · 3 − 12 = 18 − 12 = 6 .
2
Agora, usamos essas derivadas na fórmula para a aproximação
quadrática:
y(x)
b
1
1
= f (3) + f ′ (3)(x − 3) + f ′′ (3)(x − 3)2
2
= 1 + 1 · (x − 3) + 3 · (x2 − 6x + 9) =
= 1 + x − 3 + 3x2 − 18x + 27 = 3x2 − 17x + 25 .
x
0
1
2
3
Os gráficos da função e da parábola ajustada são feitos na figura acima e ao lado.
Qual é a concavidade da função do exemplo 1? A verdade é que ela não tem uma, mas duas concavidades
possı́veis, dependendo do ponto da função que estamos levando em conta. De modo geral, a concavidade de
uma função em um determinado ponto é igual à concavidade de sua aproximação quadrática. O exemplo 2
mostra mais duas aproximações quadráticas da mesma função do exemplo 1.
Exemplo 2: aproxime a função f (x) = x3 − 6x2 + 10x − 2 por uma parábola próximo aos pontos x0 = 1 e
x0 = 2.
Solução: as derivadas primeira e segunda da função são dadas por f ′ (x) = 3x2 − 12x + 10 e f ′′ (x) = 6x − 12.
Para x0 = 1, temos f (1) = 1 − 6 + 10 − 2 = 3, f ′ (1) = 3 − 12 + 10 = 1 e f ′′ (1) = 6 − 12 = −6. Substituindo na
equação para a aproximação quadrática, ficamos com
y
=
=
1
f (1) + f ′ (1)(x − 1) + f ′′ (1)(x − 1)2 = 3 + 1(x − 1) − 3(x − 1)2 = 3 + x − 1 − 3(x2 − 2x + 1) =
2
3 + x − 1 − 3x2 + 6x − 3 = −3x2 + 7x − 1 .
Esta é uma parábola de concavidade voltada para baixo, como mostra a primeira figura a seguir, de modo que a
função é côncava nesse ponto.
y
y
b
3
3
2
2
1
1
0
x
1
2
3
b
0
x
1
2
3
Para x0 = 2, temos
f (2) = 8 − 6 · 4 + 10 · 2 − 2 = 8 − 24 + 20 − 2 = 2 , f ′ (2) = 3 · 4 − 12 · 2 + 10 = 12 − 24 + 10 = −2 ,
f ′′ (2) = 6 · 2 − 12 = 12 − 12 = 0 .
Usando a fórmula para a aproximação quadrática, temos
1
y = f (2) + f ′ (2)(x − 2) + f ′′ (2)(x − 2)2 = 2 − 2(x − 2) + 0(x − 2)2 = 2 − 2x + 4 = 6 − 2x .
2
Note que esta não é a equação de uma parábola, mas de uma reta. Isto é porque x0 = 2 corresponde a um
ponto de inflexão, que é onde a função muda de concavidade. Por isso, a função nesse ponto não é nem côncava
nem convexa.
3
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
3.2.2 - Aproximação quadrática para funções de duas variáveis
O equivalente a uma parábola no caso tridimensional é um parabóide, cuja equação geral é dada por
z = a + bx + cy + dx2 + ey 2 + f xy ,
onde a, b, c, d, e, f são coeficientes. Há três tipos de parabolóides, cujas formas dependem dos coeficientes da
equação geral deles. A primeira figura é um parabolóide circular, que é um caso particular de um parabolóide
elı́ptico (segunda figura). A terceira figura corresponde a um parabolóide hiperbólico.
z
z
z
x
y
x
z = x2 + y 2
y
y
x
z=
x2
4
+ y2
z = x2 − y 2
Podemos usar uma parabolóide para aproximar algumas funções em determinados pontos dessas. Isto é
feito no exemplo a seguir.
Exemplo 1: aproxime a função f (x, y) = cos x cos y por um parabolóide em (x, y) = (0, 0).
Solução: um parabolóide, como acabamos de ver, tem uma equação dada por z = a + bx + cy + dx2 + ey 2 + f xy.
Para que ele seja uma boa aproximação de f (x, y) no ponto dado, é preciso que ele assuma o mesmo valor da função
nesse ponto, ou seja, z(0, 0) = f (0, 0) ⇔ a + b · 0 + c · 0 + d · 0 + e · 0 + f · 0 = cos 0 cos 0 ⇔ a = 1 .
Também é necessário que as derivadas primeiras do parabolóide e da função sejam iguais nesse ponto. Calculando
as derivadas do plano e da função, temos
zx = b + 2dx + f y , zy = c + 2ey + f x ; fx = − sen x cos y , fy = − cos x sen y .
Com isto, devemos ter
zx (0, 0) = fx (0, 0) ⇔ b = − sen 0 cos 0 ⇔ b = 0 , zy (0, 0) = fy (0, 0) ⇔ c = − cos 0 sen 0 ⇔ c = 0 .
Além dessas condições, é necessário que, localmente, o parabolóide e a função tenham a mesma concavidade.
Isto pode ser conseguido se ambas as funções tiverem as mesmas derivadas segundas nesse ponto. As derivadas
segundas de ambas as funções são calculadas a seguir: zxx = 2d , zxy = f , zyx = f , zyy = 2e,
fxx = − cos x cos y , fxy = sen x sen y , fxy = sen x sen y , fyy = − cos x cos y .
z
Igualando as derivadas segundas em (0, 0), temos
zxx (0, 0) = fxx (0, 0) ⇔ 2d = − cos 0 cos 0 ⇔
4.0
⇔ 2d = −1 ⇔ d = −0, 5 ,
3.0
b
-1
.0
1.
0
zyy (0, 0) = fyy (0, 0) ⇔ 2e = − cos 0 cos 0 ⇔
2.
0
⇔ 2e = −1 ⇔ e = −0, 5 .
3.
0
x
4.
0
Tendo determinado todos os coeficientes, o parabolóide
que melhor aproxima f (x, y) no ponto (x, y) = (0, 0) é
dado por
z = 1 − 0, 5x2 − 0, 5y 2 .
-2
.0
⇔ f =0 ,
-3
.0
2.0
-4.
0 -3
.0 1.
2.0
-1. 0
0
-4
.0
zxy (0, 0) = fxy (0, 0) ⇔ f = sen 0 sen 0 ⇔
-1.
0
-2.
0
-3.
0
1.0
2.0
3.0
4.0
y
O gráfico da função (em vermelho), com o gráfico do parabolóide sobreposto a ele (em azul), estão feitos na figura
acima.
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
4
No caso geral, podemos aproximar uma função f (x, y) na proximidade de um ponto (x0 , y0 ) por meio de
um parabolóide z = a + bx + cy + dx2 + ey 2 + f xy primeiro se a função e o parabolóide forem iguais nesse
mesmo ponto, isto é,
a + bx0 + cy0 + dx22 + ey02 + f x0 y0 = f (x0 , y0 ) .
Além disso, as derivadas primeiras de ambas as funções têm que ser as mesmas nesse ponto:
zx (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) ⇔ b + 2dx0 + f y0 = fx (x0 , y0 ) ,
zy (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) ⇔ c + 2ey0 + f x0 = fy (x0 , y0 ) .
Agora, devemos igualar também as derivadas segundas de ambas as funções no ponto desejado:
1
zxx (x0 , y0 ) = fxx (x0 , y0 ) ⇔ 2d = fxx (x0 , y0 ) ⇔ d = fxx (x0 , y0 ) ,
2
zxy (x0 , y0 ) = fxy (x0 , y0 ) ⇔ f = fxy (x0 , y0 ) ,
zyx (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) ⇔ f = fyx (x0 , y0 ) ,
1
zyy (x0 , y0 ) = fyy (x0 , y0 ) ⇔ 2e = fyy (x0 , y0 ) ⇔ e = fyy (x0 , y0 ) .
2
Note que, das equações, temos que ter necessariamente fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ), pois ambos os valores são
iguais ao coeficiente f do parabolóide. Portanto, nenhuma função que não obedeça o teorema de Clairaut
(fxy = fyx ) nesse ponto pode ser aproximada localmente por um parabolóide.
Utilizando agora os coeficientes encontrados, podemos determinar os coeficientes restantes:
b + 2dx0 + f y0 = fx (x0 , y0 ) ⇔ b = fx (x0 , y0 ) − fxx (x0 , y0 )x0 − fxy (x0 , y0 )y0 ,
c + 2ey0 + f x0 = fy (x0 , y0 ) ⇔ c = fy (x0 , y0 ) − fyy (x0 , y0 )y0 − fxy (x0 , y0 )x0 ,
a + bx0 + cy0 + dx20 + ey02 + f x0 y0 = f (x0 , y0 ) ⇔
⇔ a = f (x0 , y0 ) − [fx (x0 , y0 ) − fxx (x0 , y0 )x0 − fxy (x0 , y0 )y0 ] x0 −
− [fy (x0 , y0 ) − fyy (x0 , y0 )y0 − fxy (x0 , y0 )x0 ] y0 −
1
1
− fxx (x0 , y0 )x20 − fyy (x0 , y0 )y02 − fxy (x0 , y0 )x0 y0 ⇔
2
2
1
1
⇔ a = f (x0 , y0 ) − fx (x0 , y0 )x0 − fy (x0 , y0 )y0 + fxx (x0 , y0 )x20 + fyy (x0 , y0 )y02 +
2
2
+fxy (x0 , y0 )(x0 + y0 − x0 y0 ) .
Substituindo esses coeficientes na equação do parabolóide, temos
1
1
z = f (x0 , y0 ) − fx (x0 , y0 )x0 − fy (x0 , y0 )y0 + fxx (x0 , y0 )x20 + fyy (x0 , y0 )y02 +
2
2
+fxy (x0 , y0 )(x0 + y0 − x0 y0 ) + [fx (x0 , y0 ) − fxx (x0 , y0 )x0 − fxy (x0 , y0 )y0 ] x +
1
1
+ [fy (x0 , y0 ) − fyy (x0 , y0 )y0 − fxy (x0 , y0 )x0 ] y + fxx (x0 , y0 )x2 + fyy (x0 , y0 )y 2 + fxy (x0 , y0 )xy .
2
2
Colocando as derivadas no ponto em evidência, ficamos com
1
z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) + fxx (x0 , y0 )(x20 − 2x0 x + x2 ) +
2
1
+ fyy (x0 , y0 )(y02 − 2y0 y + y 2 ) + fxy (x0 , y0 )(x0 + y0 − x0 y0 − y0 x − x0 y + xy) =
2
1
z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) + fxx (x0 , y0 )(x0 − x)2 +
2
1
+ fyy (x0 , y0 )(y0 − y)2 + fxy (x0 , y0 )(x0 − x)(y0 − y) ,
2
5
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
de modo que temos
1
z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) + fxx (x0 , y0 )(x − x0 )2 +
2
1
+ fyy (x0 , y0 )(y − y0 )2 + fxy (x0 , y0 )(x − x0 )(y − y0 ) .
2
Esta é a equação do parabolóide que melhor se ajusta a uma função f (x, y) em um ponto (x0 , y0 ).
Exemplo 2: aproxime a função f (x, y) = 4 e−x
2 −y 2
por um parabolóide em (x, y) = (0, 0).
Solução: vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função:
fx = 4 e−x
2
−y 2
fxx = 4 e−x
2
· (−2x) = −8x e−x
−y 2
fyy = 4 e
−y 2
, fy = 4 e−x
· (−2x) · (−2x) + 4 e−x
fxy = fyx = 4 e−x
−x2 −y 2
2
2
−y 2
2
−y 2
· (−2y) · (−2y) + 4 e
2
Para (x, y) = (0, 0), o termo exponencial fica e−0
−y 2
2
2
−y 2
,
2
2
2
2
· (−2) = 4 4y 2 − 2 e−x −y = 8 2y 2 − 1 e−x −y .
−02
= e0 = 1. Temos, também,
z
f (0, 0) = 4 , fx (0, 0) = 0 , fy (0, 0) = 0 ,
fxx = −8 , fxy (0, 0) = 0 , fyy (0, 0) = −8 .
4.0
Usando para o parabolóide a equação que acabamos
de deduzir, temos
z
2
· (−2y) = −8y e−x −y ,
2
2
2
2
· (−2) = 4 4x2 − 2 e−x −y = 8 2x2 − 1 e−x −y ,
· (−2y) · (−2x) = 16xy e−x
−x2 −y 2
2
3.0
= f (0, 0) + fx (0, 0)(x − 0) + fy (0, 0)(y − 0) +
1
1
+ fxx (0, 0)(x − 0)2 + fyy (0, 0)(y − 0)2 +
2
2
+fxy (x − 0)(y − 0) =
= 4 + 0x + 0y − 4x2 − 4y 2 + 0xy =
2.0
b
1.0
-1
.0
-1.
0
1.
0
1.0
2.0
2.
0
= 4 − 4x2 − 4y 2 .
-2
.0
-2.
0
-3
.0
-3.
0
y
x
O gráfico da função, com o gráfico do parabolóide
sobreposto a ele, estão feitos na figura ao lado.
Exemplo 3: aproxime a função f (x, y) = e−x
2 −y 2 −2x−y
por um parabolóide em (x, y) = (0, 0).
Solução: primeiro, calculamos as derivadas de primeira e de segunda ordem da função dada:
fx = e−x
fy = e−x
2
2
−y 2 −2x−y
2
−y −2x−y
z
· (−2x − 2) ,
· (−2y − 1) ,
−x2 −y 2 −2x−y
fxx = e
(−2x − 2)2 + e−x
2
2
= (−2x − 2)2 − 2 e−x −y −2x−y ,
fxy = fyx = e
−x2 −y 2 −2x−y
−y 2 −2x−y
4.0
(−2) =
3.0
(−2x − 2)(−2y − 1) ,
2
−y 2 −2x−y
(−2) =
2.0
=
=
b
-1.
0
1.0
-2
.0
z
1
1
1 − 2x − y + · 2x2 − y 2 + 2xy =
2
2
1 − 2x − y + x2 − 0, 5y 2 + 2xy .
1.
0
Usando para a equação para a aproximação quadrática,
temos
-2.
0
-3
.0
-3.
0
-1
.0
fyy = e
(−2y − 1)2 + e−x
2
2
= (−2y − 1)2 − 2 e−x −y −2x−y .
-4
.0
−x2 −y 2 −2x−y
2
1.0
x
O gráfico da função, com o gráfico do parabolóide sobreposto a ele, estão feitos na figura acima.
y
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
6
Pudemos ver que, no exemplo 2, a função dada é melhor ajustada por uma parabolóide circular no ponto
desejado e que, no exemplo 3, a melhor aproximação é um parabolóide hiperbólico. Como podemos saber qual
é a forma de cada parabolóide será visto no Módulo 2 deste curso.
Resumo
• Aproximação quadrática: o parabolóide ou parabolóide elı́ptico que melhor aproxima uma função
f (x, y) em (x0 , y0 ) é dado por
1
z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) + fxx (x0 , y0 )(x − x0 )2 +
2
1
+ fyy (x0 , y0 )(y − y0 )2 + fxy (x0 , y0 )(x − x0 )(y − y0 ) .
2
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
7
Exercı́cios - Capı́tulo 3.2
Nı́vel 1
Aproximação quadrática
Exemplo 1: faça a aproximação quadrática da função f (x, y) = ln(xy 2 ) em (x, y) = (1, 1).
Solução: as derivadas de primeira e de segunda ordens da função são dadas por
2
1
= x−1 , fy = = 2y −1 ,
x
y
1
2
= −x−2 = − 2 , fxy = fyx = 0 , fyy = −2y −2 = − 2 .
x
y
fx =
fxx
A aproximação quadrática é feita pela equação
z
=
1
1
f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) + fxx (x0 , y0 )(x − x0 )2 + fyy (x0 , y0 ) +
2
2
+fxy (x0 , y0 )(x − x0 )(y − y0 ) .
Para (x, y) = (1, 1), temos
f (1, 1) = ln(1) = 0 , fx (1, 1) =
fyy (1, 1) = −
1
2
1
= 1 , fy (1, 1) = = 2 , fxx (1, 1) = − 2 = −1 ,
1
1
1
2
= −2 , fxy (1, 1) = 0 .
12
Portanto,
z
= 0 + 1 · (x − 1) + 2 · (y − 1) +
1
1
· (−1)(x − 1)2 + · (−2)(y − 1)2 + 0 · (x − 1)(y − 1) =
2
2
1
= x − 1 + 2y − 2 − (x2 − 2x + 1) − (y 2 − 2y + 1) = −3 + x + 2y − 0, 5x2 + x − 0, 5 − y 2 + 2y − 1 =
2
= −4, 5 + 2x + 4y − 0, 5x2 − y 2 .
E1) Calcule as aproximações quadráticas das seguintes funções, nos pontos determinados:
a) f (x, y) = x3 y em (x, y) = (1, −1), b) f (x, y) = x2 + y 2 − 3x + y em (x, y) = (0, 0),
c) f (x, y) = 4 − 3x2 − 2y 2 em (x, y) = (1, 1), d) f (x, y) = 2x + cos y em (x, y) = (1, 0),
p
e) f (x, y) = 2x + cos y em (x, y) = (0, 0), f) f (x, y) = x2 − 3y 2 em (x, y) = (2, 1),
g) f (x, y) = e−x
2 −y 2
em (x, y) = (0, 0), h) f (x, y, z) = x2 + 2y 2 − 3z 2 em (x, y, z) = 1.
Nı́vel 2
E1) Calcule a aproximação linear e a aproximação quadrática para a função f (x, y) = xy 2 − 2xy no ponto
(1, 1, −1) e utilize essas duas aproximações para calcular o valor aproximado de f (1, 1 , 0, 9), comparando os
resultados com o valor real da função nesse ponto.
E2) Calcule a aproximação quadrática para a função de Cobb-Douglas P (K, L) = K 0,4 L0,6 em torno do ponto
(1, 1, 1).
8
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
E3) Dada a função de Cobb-Douglas P (K, L) = K 0,4 L0,6 e sua aproximação quadrática em torno do ponto
(1, 1, 1), onde K, L e P são medidos em milhões de reais, calcule, usando essa aproximação quadrática, o efeito
aproximado na produção decorrente de um aumento de 0, 1 milhão no capital investido e de 0, 2 milhão no
trabalho. Compare esse resultado ao aumento real da produção, utilizando a função de produção original.
E4) Calcule a aproximação quadrática para a função de Cobb-Douglas P (K, L) = AK α L1−α em torno de um
ponto (K0 , L0 , P (K0 , L0 )).
E5) Calcule as aproximações quadráticas das funções a seguir no ponto (1, 0).
p
+ xy) .
a) f (x, y) = x2 + y 2 + ln(1 − xy). b) f (x, y) = cos 1 − x2 − y 2 + ln(1
p
1
c) f (x, y) = ln 1 − x2 + x − y 2 . d) f (x, y) = ln 1 − x2 +
.
x − y2
Nı́vel 3
E1) Todo executivo que viaja para paı́ses frios como o Canadá tem que se preocupar com a chamada sensação
térmica causada pelo vento, mais conhecida pelo nome em inglês “wind-chill factor”. Esse fator considera a
sensação que uma pessoa exposta ao vento tem da temperatura em sua pele. Quanto maior a velocidade do
vento, mais frio a pessoa sentirá.
A tabela a seguir mostra a sensação térmica (em o C) da temperatura W sentida como função da temperatura
T (em o C) medida em um termômetro e da velocidade v (em km/h) do vento.
T \v
−10
−15
−20
−25
20
−18
−24
−30
−37
30
−20
−26
−33
−39
40
−21
−27
−34
−41
50
−22
−29
−35
−42
60
−23
−30
−36
−43
70
−23
−30
−37
−44
Fonte: James Stewart, Calculus, 5th Edition.
Calcule a aproximação quadrática para a função W (T, v) para o ponto (−20, 50, −35) e use-a para calcular
a sensação térmica aproximada para uma temperatura real de −17o C a uma velocidade do vento de 55 km/h.
E2) A diferencial df de uma função de duas variáveis f (x, y) é definida como sendo a variação dada por
∆z = z(x + ∆x, y + ∆y) − z(x, y) do plano tangente à superfı́cie da função f (x, y) em um determinado ponto
(x, y). Esta é uma aproximação da variação ∆f = f (x+∆x, y+∆y) da própria função. Use o mesmo argumento
¯ que seja a variação da aproximação quadrática de uma função f em
para definir e calcular uma diferencial df
um ponto (x, y).
E3) Considere a função f (x, y) = xy 2 .
¯ desta função.
a) Escreva a diferencial df e a diferencial df
¯ dessa mesma função para
b) Calcule uma expressão para a variação ∆f , a diferencial df e a diferencial df
(x, y) = (1, 2).
¯
c) Utilize as expressões calculadas no item b para calcular a variação ∆f , a diferencial df e a diferencial df
dessa função quando x varia de ∆x = dx = 0, 1 e y varia de ∆y = dy = 0, 2 a partir de x = 1 e y = 1. Compare
os resultados obtidos.
d) A diferencial de segunda ordem de uma função f (x, y) é definida como d2 f = fxx (dx)2 +2fxy dxdy +fyy (dy)2 .
1
Calcule a diferencial df para a função dada e depois calcule df + df para (x, y) = (1, 1), dx = 0, 1 e dy = 0, 2,
2
comparando esse resultado com a variação real da função para esses mesmos parâmetros.
E4) Uma lata cilı́ndrica de raio externo r e altura externa h é toda feita do mesmo material. A espessura da
chapa retangular utilizada para fazer os lados da lata é ∆r e a espessura das chapas circulares utilizadas para
fazer a tampa e a base da lata é ∆h.
a) Calcule uma expressão para o volume V do material utilizado na confecção dessa lata.
9
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
b) Escreva uma expressão aproximada para o volume V̄ do material utilizado na lata que seja quadrática em
∆r e em ∆h.
c) Utilize as expressões deduzidas nos itens a e b para calcular o volume verdadeiro e aproximado do material
utilizado na lata quando r = 4 cm, h = 10 cm, ∆r = 0, 05 cm e ∆h = 0, 1 cm.
p
E5) Faça a aproximação linear e a aproximação
quadrática
de
f
(x,
y,
z)
=
xy 2 − z em (2, −1, 1) e use esses
p
2
resultados para aproximar a expressão (2, 02)(−0, 99) − (1, 01). Verifique se essas aproximações são válidas
e calcule o valor verdadeiro da expressão.
Respostas
Nı́vel 1
E1) a) z = −3 + 6x − 2y − 3x2 + 3xy, b) z = −3x + y + x2 + y 2 , c) z = 4 − 3x2 − 2y 2 , d) z = 0, 5 + 2x + y − 0, 5y 2 ,
e) z = 1 + 2x − 0, 5y 2 , f) z = 1 + 2x − 5y − 1, 5x2 − 5y 2 + 6xy, g) z = 1 − x2 − y 2 , h) z = x2 + 2y 2 − 3z 2 .
Nı́vel 2
E1) A aproximação linear fica z1 = −x e a aproximação quadrática fica z2 = 1 − x − 2y + y 2 . Temos, também,
z1 (1, 1 , 0, 9) = −1, 1 e z2 (1, 1 , 0, 9) = −1, 09, que podem ser comparadas a f (1, 1 , 0, 9) = −1, 089. O resultado oobtido
com a aproximação quadrática é ligeiramente melhor que aquele obtido com a aproximação linear.
E2) z = 0, 4K + 0, 6L − 0, 12K 2 + 0, 24KL − 0, 12L2.
E3) ∆P ≈ 0, 1588 (obtido com a aproximação quadrática) e ∆P = (1, 1)0,4 (1, 1)0,6 − 1 ≈ 0, 1589 (resultado obtido
utilizando a função original). A concordância é excelente.
α−2 1−α
1
L0 (K − K0 )2 +
E4) z = AK0α L1−α
+ αAK0α−1 L1−α
(K − K0 ) + (1 − α)AK0α L−α
0
0
0 (L − L0 ) + 2 α(α − 1)AK0
+α(1 − α)AK0α−1 L0−α (K − K0 )(L − L0 ) + 12 (1 − α)(−α)AK0α L−α−1
(L − L0 )2 .
0
1
1
1
E5) a) z = x − y + xy + y 2 . b) z = −1 + 4x − 2y − 2x2 + 2xy − y 2 .
2
8
2
3
9
d) z = − + 6x − x2 + y 2 .
2
2
3
9
1
c) z = − + 3x − x2 − y 2 .
4
4
2
Nı́vel 3
E1) W (T, v) ≈ −35 + 1, 2(T + 20) − 0, 1(v − 50) + 0, 02(T + 20)2 + 0, 12(T + 20)(v − 50) e W (−17, 55) ≈ −29, 92 (em
graus Celsius). Dica: a derivada segunda pode ser vista como a taxa de variação de duas taxas de variação.
¯ = (fx + xfxx + yfxy )dx + (fy + xfxy + yfyy )dy + 1 fxx (dx)2 + fxy dx dy + 1 fyy (dy)2 .
E2) df
2
2
2
2
2
2
2
E3) a) ∆f = y ∆x+2xy∆y +x(∆y) +2y∆x∆y +∆x(∆y) , df = y dx+2xydy e d f = 3y 2 dx+3xydy +2ydxdy +x(dy)2 .
b) ∆f = ∆x + 2∆y + (∆y)2 + ∆x∆y + ∆x(∆y)2 , df = dx + 2dy e d2 f = 3dx + 3dy + 2dx dy + (dy)2 .
¯ = 0, 98. O valor da diferencial está bem próximo do valor da variação real da função.
c) ∆f = 0, 564, df = 0, 5 e df
Já o valor da diferencial alternativa está bastante longe do valor real da variação real da função.
1
d) d2 f = 4dx dy + 2(dy)2 e df + d2 f = 0, 5 + 0, 08 = 0, 58, o que aproxima um pouco melhor o valor real da variação
2
da função.
E4) a) V = πr2 (h − 2∆h) − π(r − ∆r)2 (h − 2∆h) + 2πr2 ∆h = 2πrh∆r + 2πr2 ∆h − πh(∆r)2 − 4πr∆r∆h + 2π(∆r)2 ∆h.
b) V̄ = 2πrh∆r + 2πr2 ∆h. c) V = 7, 0955π ≈ 22, 2912 e V̄ = 7, 095π ≈ 22, 2896.
1
3 1
E5) A aproximação linear fica z = − + x − 2y − z e a aproximação quadrática fica
2 2
2
7
1 2
1
1
3 1
2
z = − x − y − z − x − xy + xz − y − yz − z 2 .
8 4
4
8
4
8
p
(2, 02)(−0, 99)2 − (1, 01) ≈ 0, 895. De acordo com a aproximação
De acordo compa aproximação linear, temos
quadrática, temos
(2, 02)(−0, 99)2 − (1, 01) ≈ 0, 9845875. O valor verdadeiro da expressão é
p
√
(2, 02)(−0, 99)2 − (1, 01) = 969802 ≈ 0, 9848 .
Cálculo 2 - Capı́tulo 3.2 - Aproximação quadrática
Portanto, há uma boa concordância entre os resultados aproximados e o valor real da expressão.
10