Lucélia Valda de Matos Cardoso Odicleise Maués

Universidade do Estado do Pará
Núcleo Universitário Regional do Baixo Tocantins
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento do Curso de Matemática
Curso de Licenciatura Plena em Matemática
Lucélia Valda de Matos Cardoso
Odicleise Maués Quaresma
Buriti: relação entre seqüência de Fibonacci, razão
áurea e a geometria fractal
Moju
2012
Lucélia Valda de Matos Cardoso
Odicleise Maués Quaresma
Buriti: relação entre seqüência de Fibonacci, razão áurea e
a geometria fractal
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do Grau
de Licenciatura Plena em Matemática do
Núcleo Universitário Regional do Baixo
Tocantins, Universidade do Estado do Pará.
Orientador: Professor Esp. Everaldo Roberto
Monteiro dos Santos.
Moju
2012
Dados Internacionais de catalogação-na-publicação (CIP)
Biblioteca da Universidade do Estado do Pará, Moju – PA
Cardoso, Lucélia Valda de Matos
Buriti: relação entre seqüência de Fibonacci, razão áurea e a geometria fractal / Lucélia Valda de
Matos Cardoso; Odicleise Maués Quaresma, 2012.
47 f.
Orientador: Everaldo Roberto Monteiro dos Santos
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do
Pará / Moju, 2012.
1. Geometria não-euclidiana. 2. Geometria Fractal. 3. Seqüência de Fibonacci - Razão Áurea. I.
Quaresma, Odicleise Maués. II. Santos, Everaldo Roberto Monteiro dos, orient. III. Título.
CDD 21. ed. 516
Lucélia Valda de Matos Cardoso
Odicleise Maués Quaresma
Buriti: relação entre seqüência de Fibonacci, razão áurea e
a geometria fractal.
Trabalho
de
Conclusão
de
Curso
apresentado como requisito parcial para
obtenção do Grau de Licenciatura Plena em
Matemática
do
Núcleo
Universitário
Regional do Baixo Tocantins, Universidade
do Estado do Pará.
Data de aprovação:___ /___/_____.
Banca Examinadora
_________________________________ Orientador
Prof. Esp.: Everaldo Roberto Monteiro dos Santos
Universidade do Estado do Pará
_________________________________
Prof. Esp.: João Batista Tenório da Silva
Universidade do Estado do Pará
_________________________________
Prof. Esp.:Luiz Augusto Oliveira da Silva
Universidade do Estado do Pará
AGRADECIMENTOS
Agradeço, primeiramente, a Deus por sempre estar comigo me
acompanhando em toda a trajetória da minha vida, pelas oportunidades e pela força
nos momentos mais difíceis.
Agradeço aos meus pais Lúcio Serrão Cardoso e Deusa Maria de Matos
Cardoso, minha irmã Débora Cristina de Matos Cardoso e meu Irmão Lúcio Elton de
Matos Cardoso, pelo incentivo, carinho, atenção, apoio e dedicação oferecidos a
mim em todos os momentos.
Agradeço aos meus amigos que sempre acreditaram na minha
capacidade, aos meus professores, que contribuirão na minha formação, pois em
nenhum momento deixaram de semear o conhecimento adquirido por eles, e
principalmente, ao meu orientador, Everaldo Roberto, por me auxilia com dedicação,
competência e paciência.
Agradeço a minha colega e parceira de trabalho, Odicleise Maués
Quaresma, pelo incentivo e ajuda.
Enfim, agradeço a todas as pessoas, que contribuíram de uma forma ou
de outra para a realização deste trabalho.
Lucélia Valda de Matos Cardoso
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Jeová, pela vida, pelo conhecimento que tem me
proporcionado no decorrer deste trabalho.
Agradeço a minha família pelo apoio durante boa parte de minha
caminhada.
Agradeço ao Sérgio pelo amor incondicional, pela dedicação, pelos
ensinamentos e pelo apoio nos momentos importantes de minha vida.
Agradeço ao meu orientador, Everaldo, por ter acreditado e me instruído
neste trabalho para que fosse possível se realizar. Obrigada pela a orientação.
Agradeço a minha colega de trabalho, Lucélia, pela grande ajuda.
Tenho certeza de que não poderia ter percorrido este caminho sem a
orientação, o apoio e o amor de vocês.
Odicleise Maués Quaresma
A geometria fractal fará com que você veja as coisas
diferentes. É perigoso ler mais. Você arrisca perder
a visão infantil de nuvens, florestas, flores, galáxias,
folhas, penas, rochas, montanhas, torrentes de
água, tapete, tijolos e muito mais. Nunca mais você
interpretará estes objetos da mesma forma.
Michael Barnsley
Até onde as leis da matemática
se referem à realidade, não há certeza;
e até onde há certeza,
elas não se referem à realidade.
Albert Einstein
RESUMO
CARDOSO, Lucélia Valda de Matos; QUARESMA, Odicleise Maués. Buriti: relação
entre seqüência de Fibonacci, razão áurea e a geometria fractal. 2012. 47f.
Trabalho de Conclusão de Curso. Graduação em Licenciatura Plena em Matemática.
Universidade do Estado do Pará. Moju, 2012.
O presente trabalho faz uma abordagem a um tema pouco explorado no ensino
fundamental, médio e até mesmo nos cursos de graduação em Matemática: que é a
relação entre a matemática e a natureza. Para isso usaremos argumentos da
seqüência de Fibonacci, Razão Áurea e das geometrias, enfatizando conceitos
básicos da Geometria Euclidiana e não – Euclidiana, mostrando o surgimento de
outras geometrias como é o caso da geometria fractal, que descreve e modela às
formas encontradas na natureza, além de mostrar a beleza dos fractais. O nosso
trabalho utiliza estas idéias para identificar no buriti padrões matemáticos. Tais
padrões têm o objetivo de demonstrar que a matemática está presente neste fruto,
por meio da seqüência de Fibonacci, da Razão áurea e da geometria fractal
apresentando a relação existente entre estes temas e a natureza. Mostrando as
expressões que definem a Razão Áurea, e como essa construção ocorre na natureza
até chegar ao número áureo. Dessa forma, nossa pesquisa expôs a importância da
matemática em nossa vida, pois com a geometria, entendemos que o
desenvolvimento das plantas obedece a certas leis matemáticas como observado
nos galhos, talos das flores que se organizam de forma natural em espiral. Tais leis
que acreditamos estarem também presente no fruto do buriti, como iremos mostrar
no decorrer de nosso trabalho de conclusão de curso. De fato, não sabemos se a
natureza sabe contar, mas sem dúvida ela segue alguns padrões matemáticos.
Palavras-chave: Geometria fractal. Seqüência de Fibonacci. Razão Áurea. Buriti.
Educação matemática.
ABSTRACT
CARDOSO, Lucélia Valda de Matos; QUARESMA, Odicleise Maués. Buriti:
relationship between the Fibonacci sequence, golden ratio and fractal
geometry. 2012. 47f. Completion of Course Work. Undergraduate Full Degree in
Mathematics. State University of Pará. Moju, 2012.
This work presents an approach to a relatively unexplored subject in primary,
secondary and even in graduate courses in mathematics: What is the relationship
between mathematics and nature. For this we will use arguments of the Fibonacci
sequence, Golden Ratio and geometries, emphasizing basic concepts of Euclidean
and non - Euclidean, showing the emergence of other geometries such as fractal
geometry, which describes the forms and shapes found in nature, in addition to
showing the beauty of fractals. Our work uses these ideas to identify the buriti. Such
mathematical standards are intended to demonstrate that mathematics is present in
this fruit, through the Fibonacci sequence, golden ratio and the fractal geometry
showing the relationship between these issues and nature. Showing the expressions
that define the Golden Ratio, and how this construction occurs in nature to reach the
Golden Number. Thus, our research has exposed the importance of mathematics in
our lives, for the geometry, we believe that the development of certain plants obeys
mathematical laws as noted in the branches, stems, flowers that are organized in a
natural spiral. Such laws that we believe are also present in the fruit of the palm tree,
as we shall show the result of our completion of course work. In fact, we do not know
if nature know how to count, but surely it follows some mathematical patterns.
Key-words: fractal geometry. Fibonacci sequence. Golden Ratio. Buriti. Mathematics
Education.
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 Comparação entre geometria euclidiana, hiperbólica e elíptica no
conteúdo da Matemática .......................................................................................... 22
TABELA 2 Construção da seqüência de Fibonacci ...................................................28
TABELA 3 Razão entre dois números sucessivos de Fibonacci ...............................34
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 Johann Carl Friedrich Gauss ….…………………………………………… 16
FIGURA 2 János Bolyai ........................................................................................... 17
FIGURA 3 Nicolay Ivanovich Lobachevsky .............................................................. 18
FIGURA 4 Curvatura negativa.................................................................................. 19
FIGURA 5 Geometria Hiperbólica ............................................................................ 19
FIGURA 6 Georg Friedrich Riemann ....................................................................... 20
FIGURA 7 Geometria Elíptica .................................................................................. 21
FIGURA 8 Curvatura positiva ................................................................................... 21
FIGURA 9 Couve – flor ............................................................................................ 24
FIGURA 10 Conjunto de Cantor .............................................................................. 25
FIGURA 11 A curva de Koch ................................................................................... 26
FIGURA 12 A cesta de Sierpinski ........................................................................... 27
FIGURA 13 Sementes do girassol ........................................................................... 30
FIGURA 14 Grande Pirâmide de Khufu ................................................................... 31
FIGURA 15 Partenon ............................................................................................... 35
FIGURA 16 Construção do Retângulo Áureo .......................................................... 36
FIGURA 17 Retângulo Áureo ................................................................................... 36
FIGURA 18 Espiral logarítmica ................................................................................ 36
FIGURA 19 Tronco .................................................................................................. 38
FIGURA 20 Abacaxi ................................................................................................. 39
FIGURA 21 Sementes do girassol ........................................................................... 40
FIGURA 22 Buriti ..................................................................................................... 41
FIGURA 23 Buriti ..................................................................................................... 41
FIGURA 24 Espiral sentido horário ......................................................................... 42
FIGURA 25 Espiral sentido anti-horário ................................................................... 42
FIGURAS 26 Espirais horárias e anti-horárias.......................................................... 43
FIGURA 27 Sementes do girassol............................................................................ 43
FIGURA 28 Escamas do buriti ................................................................................. 43
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO...........................................................................................................12
1 GEOMETRIA EUCLIDIANA E GEOMETRIA NÃO- EUCLIDIANA........................14
1.1UM BREVE HISTÓRICO......................................................................................14
1.2UMA NOVA GEOMETRIA....................................................................................15
1.2.1 JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS.............................................................16
1.2.2 JÁNOS BOLYAI................................................................................................17
1.2.3 NICOLAY IVANOVICH LOBACHEVSKY.........................................................18
1.3 GEOMETRIA HIPERBÓLICA..............................................................................19
1.3.1 GEORG FRIEDRICH RIEMANN......................................................................20
1.4 GEOMETRIA ELIPTICA......................................................................................21
1.5 GEOMETRIA FRACTAL.....................................................................................23
1.5.1 CONJUNTO DE CANTOR...............................................................................25
1.5.2 CURVA DE KOCH...........................................................................................26
1.5.3 A CESTA DE SIERPINSKI..............................................................................27
2 SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI E RAZÃO ÁUREA...............................................28
2.1 SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI............................................................................28
2.2 RAZÃO ÁUREA..................................................................................................30
2.3 SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI E RAZÃO ÁUREA..............................................33
3 O BURITI: O ELO ENTRE MATEMÁTICA E A NATUREZA...............................38
CONSIDERAÇÃO FINAL........................................................................................45
REFERÊNCIAS.......................................................................................................47
12
INTRODUÇÃO
Neste trabalho, propomos um elo entre matemática e natureza por meio
de um fruto muito utilizado em nossa região, a Amazônia, este fruto é o Buriti1. Mas
para isso visamos mostrar um pouco sobre alguns padrões matemáticos existentes
na natureza entre estes a geometria fractal, a seqüência de Fibonacci, a razão áurea
e o número áureo para base do que queremos propor. Uns dos ensejos a escolha
dessa questão, além de ter muita atratividade, o fato de ser pouco notório e, poucos
saibam, são bastantes presentes na natureza. A fim de apresentar a importância e a
beleza da matemática na natureza, e encorajar o docente a apreciá-la, visto que não
é um assunto normalmente desenvolvido no âmbito dos Ensinos Fundamental,
Médio e Superior e, que durante nossa carreira acadêmica não os estudamos, nos
propusemos no decorrer de nosso trabalho seguir os seguintes passos para que
possamos apresentar nossa pesquisa bibliográfica de forma prazerosa para os
leitores, para que não pareça vago e impreciso para os conhecedores e
apaixonados pela matemática e sem sentido para aqueles que apenas só se
simpatizam com a matemática e que possam encontrar um motivo para melhor
conhecê-la.
Para uma analise precisa, teremos teóricos como Mlodinow (2005),
Coutinho (2001), Livio (2007) e Barbosa (2002), que ostentaram nossas definições,
breves históricos, conceitos e citações.
No primeiro capitulo veremos um breve histórico sobre geometria
euclidiana e não-euclidiana que apresentaremos a historia, resumida, alguns
matemáticos que questionavam a demonstração do quinto postulado de Euclides
examinado que, para o espaço plano os conceitos de Geometria Euclidiana
respondem de maneira satisfatória, contudo para os problemas que envolvem
espaços não planos alguns postulados não são validos. E por isso surge a
necessidade da criação de geometria não-euclidiana que melhor representam tais
espaços e o espaço que nos cerca.
1
Fruto cuja palmeira pertence à família das palmáceas tendo nome cientifico de Mauritia flexuosa e é
encontrado principalmente na área central do Brasil até o sul da planície amazônica. Seus frutos são
avermelhados, cobertos por uma escama de cor avermelhada e lustrosa. A polpa amarela cobre sua
semente oval que é bastante dura.
13
No segundo capitulo abordaremos o surgimento da seqüência de
Fibonacci e a razão áurea com um breve histórico e a relação existente entre si na
natureza nos levará ao segmento em média e extrema razão, expressões que define
a razão áurea, como chegar ao número áureo, o retângulo áureo e a espiral
logarítmica, ambos construídos em torno da razão áurea e ressaltando as diversas
formas que aparecem na natureza. As palavras de Lívio (2007) expressam bem o
que desejamos defender quando diz que:
A Razão Áurea veio se tornar a mais simples das frações contínuas (mas
também o “mais irracional” de todos os números irracionais) e, por outro
lado, o coração de um número infinito de fenômenos naturas complexos. De
certa forma, a Razão Áurea sempre aparece inesperadamente na
justaposição do simples e do complexo, na interseção da geometria
euclidiana com a geometria dos fractais (p.257-258).
No terceiro capitulo apresentaremos padrões matemáticos na natureza
por meio da geometria fractal, seqüência de Fibonacci e a Razão Áurea, já vistos no
primeiro e segundo capitulo, estes serão exemplificados no abacaxi, nas sementes
do girassol e em outros, que nos levará a uma investigação desses padrões
matemáticos num fruto muito conhecido de nossa região que é o buriti.
14
1 Geometria euclidiana e Geometria não – euclidiana
1.1 Um breve histórico
Por volta de 300 a.C. no litoral sul do mar Mediterrâneo, na Alexandria,
Euclides reuniu o conhecimento geométrico da época, em sua obra chamada
“Elementos”, nela, organizou e reuniu a geometria, estabelecendo suas definições,
termos primitivos, postulados, teoremas e axiomas.
A Geometria de Euclides, ou geometria euclidiana, é a que usamos no
nosso cotidiano e nas escolas. A geometria euclidiana é uma geometria plana,
devido ao fato dela ter sido concebida no espaço plano somente sobre superfície
plana.
Utilizando as noções de ponto, reta e plano, que Euclides enunciou os
cinco postulados, que serviram para alicerçar todo o conhecimento geométrico da
época. Os cinco postulados de Euclides são os seguintes:
I. Dado quaisquer dois pontos, pode ser traçada uma linha tendo estes
pontos como suas extremidades.
II. Qualquer linha pode ser prolongada indefinidamente em qualquer
direção.
III. Dado qualquer ponto, pode ser desenhado um circulo com qualquer raio,
com aquele ponto no centro.
IV. Todos os ângulos retos são iguais.
V. Dada uma linha que cruze duas linhas retas de modo que a soma dos
ângulos internos do mesmo lado seja menor do que dois ângulos retos,
então as duas linhas, quando prolongadas, acabarão por se encontrar
(naquele lado da linha) (MLODINOW, 2005, p.45-46).
Os quatros primeiros postulados foram bem aceitos e serviram de base
para a fundamentação da geometria plana, mas o quinto postulado, chamado de
postulado das paralelas não parece ser tão acessível como os demais e sofreu
várias críticas durante a história da matemática. Neste sentido, como o quinto
postulado não tinha consenso entre os matemáticos que hora aceitavam como um
postulado e hora tentavam demonstrá-lo utilizando os quatro anteriores e, contudo
não conseguiam até que surgiram novas conjecturas como veremos a seguir.
15
1.2 Uma nova Geometria
Segundo Mlodinow (2005), a primeira tentativa de demonstrar o postulado
das paralelas foi feita por Ptolomeu no século 2 d.C. Desde então, por vários séculos
muitos matemáticos buscavam uma demonstração para o quinto postulado, e essas
tentativas que
duraram cerca de dois mil anos não foram suficiente
para
demonstrá-lo.
A partir de questionamentos do quinto postulado de Euclides foi
estabelecida a base para a construção de uma nova geometria, visto que a
geometria euclidiana ou geometria plana não é totalmente satisfatória, pois esta
geometria não era suficiente para resolver situações que ocorressem em espaços
que não fossem planos.
Devido à necessidade de resolver situações geométricas que não eram
previstas na geometria de Euclides. O homem precisou desenvolver novas
geometrias denominadas de geometrias não-euclidianas, ou seja, geometrias que
por características próprias não obedecem algum dos postulados de Euclides.
Em nosso trabalho iremos abordar três dessas geometrias sendo que a
hiperbólica e a elíptica serão tratadas de forma superficial, devido ao fato delas
servirem de apresentação a Geometria Fractal, terá uma atenção especial, visto que
servira de base das investigações no capitulo 3.
Antes de abordamos algumas características da geometria não-euclidiana
falaremos, brevemente, sobre os teóricos que desenvolveram tais geometrias.
16
1.2.1 Johann Carl Friedrich Gauss
Figura 1: Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)2
Nasceu em Braunschweig (atualmente, Brunswick), na Alemanha, no dia
30 de abril de 1777. Gauss foi o maior matemático de sua época e o primeiro a
mencionar a nova geometria como não–euclidiana. Diferente de outros matemáticos,
Gauss não procurou encontrar uma forma mais aceitável do quinto postulado, Gauss
apenas se perguntou:
“É possível que o espaço seja de fato curvo?” (MLODINOW, 2005, p.118).
Dessa forma, questionou se era válido. Entre 1813 e 1816, como
professor na Universidade de Göttingen, Gauss fez o desenvolvimento de equações
que relacionavam as partes de um triângulo num espaço não - euclidiano, cuja
estrutura denominou de geometria hiperbólica. No entanto, Gauss sabia que a
Inquisição exercia grande pressão sobre aqueles que dominavam algum tipo de
conhecimento, principalmente, sobre aqueles que pregavam suas idéias contrárias a
da Igreja Católica. Desse modo, Gauss manteve sua obra em segredo.
_____________
2
Fonte: http://www.our-earth.net/Karl-Gauss-Astronomer.asp
17
Embora Gauss não tenha publicado suas descobertas, mas duas pessoas
que tinham contato direto com ele fizeram as publicações, quase que no mesmo
tempo. Sendo eles János Bolyai e Nicolay Ivanovich Lobachevsky.
1.2.2 János Bolyai
Figura 2: János Bolyai (1802- 1860)3
Um matemático húngaro, filho de um amigo de Gauss, Wolfgang Bolyai,
escreveu a seu pai que tinha descoberto um espaço não - euclidiano. Entre 1820 e
1823 desenvolveu um sistema completo de geometria não - euclidiana, seu trabalho
foi publicado em 1832 como um “apêndice”. Gauss, após ler o “apêndice”,
considerou Bolyai um gênio de primeira ordem, infelizmente, ele não publicou mais
de 24 páginas do “apêndice” ele deixou mais de 20000 mil páginas de manuscritos
matemáticos desenvolvidos por ele até a sua morte, em janeiro de 1860, aos 58
anos.
_______________
3
Fonte: http://www.sciencephoto.com/media/223836/enlarge
18
1.2.3 Nicolay Ivanovich Lobachevsky
Figura 3: Nicolay Ivanovich Lobachevsky (1792- 1856)4
Nasceu no dia 1 de dezembro de 1792 em Nizhny Novgorod, Rússia. Sua
família era muito pobre e aos sete anos de idade ocorreu o falecimento de seu pai,
então para fugir da pobreza sua mãe mudou - se para a cidade de Kazan, ali estava
mais perto de sua família. Em Kazan, sua mãe conseguiu colocá – lo no ginásio por
meio de bolsas escolares financiada pelo governo. Em 1829, Lobachevsky publicou
um artigo que marca o nascimento da geometria não – euclidiana intitulado “Sobre
os Princípios da Geometria”, durante sua produção Lobachevsky fica convencido de
que o quinto postulado de Euclides não pode ser provado com base nos quatros
primeiro postulados, achando-o tão contraditório que o chamou de “Geometria
imaginária” e por isso o chamaram - no de “Copérnico da Geometria”. Na verdade,
Lobachevsky, Bolyai e Gauss desenvolveram a nova geometria ao mesmo tempo,
mas foi Lobachevsky o primeiro a publicar suas descobertas. Infelizmente, o
reconhecimento pelo seu trabalho só veio após sua morte.
____________
4
Fonte: http://russiapedia.rt.com/prominent-russians/science-and-technology/nikolai-lobachevsky/
19
1.3 Geometria Hiperbólica
A geometria hiperbólica foi desenvolvida, principalmente, por Nicolay
Ivanovich Lobachevsky e quase que simultaneamente, por János Bolyai. Ao
contrário da geometria Euclidiana, a geometria hiperbólica é definida sobre uma
superfície de um hiperbolóide (semelhante a uma sela de cavalo), e é representada
por uma superfície com curvatura negativa.
Segundo Gauss uma das conseqüências “é que a soma dos ângulos
internos de triângulo é sempre menor do que 180º” que pode ser visualizado no
triângulo desenhado na figura abaixo, ao qual Gauss denominou de defeito angular.
E outro resultado, “é que triângulos semelhantes não existem” (MLODINOW, 2005,
p.127). A imagem abaixo mostra a geometria hiperbólica, nela podemos visualizar
que a soma dos ângulos internos de um triângulo nessa superfície é menor que
180º.
A+B+C < 180º
Figura 4: curvatura negativa5
A geometria hiperbólica é uma geometria não- euclidiana, logo o quinto
postulado de Euclides não é válido para esta geometria. Podemos citar como
exemplo dessa nova geometria, o postulado das paralelas para a geometria
hiperbólica que passa a ser enunciado da seguinte forma: “por um ponto P fora de
uma reta r passa mais de uma reta s paralela à reta r”, como mostra a figura abaixo:
E
as
duas
conseqüências
estão
relacionadas, pois o defeito angular varia
de acordo com o tamanho do triângulo.
Figura 5: Geometria Hiperbólica6
____________
5
Fonte:http://www.on.br/certificados/ens_dist_2008/site/conteudo/modulo5/5-geometria-nao-euclidia
6
Fonte: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1734-8.pdf
20
1.3.1 Georg Friedrich Riemann
Figura 6: Georg Friedrich Riemann (1826 - 1866)7
Georg Riemann nasceu em 1826, numa pequena vila de Breselenz. Em
1846, aos 19 anos, Riemann se matriculou na Universidade de Göttingen, onde
Gauss era professor. De inicio era aluno de Teologia, logo depois mudou para a
Matemática. Para conseguir uma vaga de professor assistente na Universidade que
estudava, Riemann tinha que apresenta uma palestra que serviria como teste.
Seguindo normas do departamento ele apresentou três tópicos para que fosse
escolhido o assunto da palestra, os dois primeiros tópicos tratavam sobre problemas
matemáticos da época enquanto que o terceiro abordava os fundamentos da
geometria, embora, estivesse menos preparado para o terceiro tópico, Gauss o
escolheu, pois gostaria de saber como um jovem matemático abordaria tema tão
complicado. Riemann apresentou sua palestra sobre fundamentos da geometria e
Gauss ficou surpreso pela sua abordagem, pois ela era bem diferente das
apresentadas por seus antecessores.
Dessa
forma,
Riemann
contribuiu
para
o
desenvolvimento
do
conhecimento geométrico ao unir um conjunto de teorias na Geometria não euclidiana que se originou dos seus estudos na superfície esférica, também
chamada de elíptica.
____________
7
Fonte:http://www.on.br/certificados/ens_dist_2008/site/conteudo/modulo5/5-geometria-naoeuclidiana/geometria-espaco-curvo.htmlfiura
21
1.4 Geometria Elíptica
Após a descoberta do espaço hiperbólico, outro tipo de espaço não –
euclidiano surgiu, foi então que Riemann criou a Geometria Elíptica, que também é
conhecida por Geometria Riemanniana.
O espaço elíptico é obtido ao negar o quinto postulado
de Euclides, ou seja, negar a existência das paralelas.
Figura 7: Geometria Elíptica8
.
Nesta geometria a soma dos ângulos internos é maior que 180º. A
geometria elíptica é representada através da superfície de uma esfera (ou elipsóide)
com curvatura positiva.
A+B+C > 180º
Figura 8: curvatura positiva9
Apresentamos um pouco do desenvolvimento histórico e epistemológico
das geometrias não euclidianas e uma propriedade dessas geometrias nos seus
respectivos triângulos esférico e hiperbólico.
____________
8
Fonte: http://www.seara.ufc.br/donafifi/hiperbolica/hiperbolica4.htm
Fonte:http://www.on.br/certificados/ens_dist_2008/site/conteudo/modulo5/5-geometria-naoeuclidiana/geometria-espaco-curvo.html
9
22
A partir da apresentação de uma propriedade das geometrias nãoeuclidianas, podemos utilizar outras propriedades pertencentes à geometria
euclidiana, hiperbólica e elíptica para construir uma tabela comparativa entre essas
três geometrias, como veremos abaixo:
Conteúdo
Matemático
Dada uma reta L
Geometria
Euclidiana
Uma reta e só
uma que
e um ponto P
passa
exterior a L,
existe (m)
por P e é
paralela a L.
Geometria não euclidiana
LOBACHEVSKIANA
RIEMANNIANA
Pelo menos duas
retas que passam
por P e é paralela a
L.
Não há reta que
passa por P e é
paralela a L.
As retas
São
Nunca são
paralelas
eqüidistantes
Eqüidistantes
Igual a 180º
Menor do que 180º
Maior que 180º
Independente
da
soma dos seus
ângulos
Proporcional ao
defeito da soma de
seus ângulos
Proporcional ao
excesso da soma
de seus ângulos.
Não existem
A soma das
medidas dos
ângulos internos
de um triângulo é
A área de um
triângulo é
Tabela1: Comparações entre geometria euclidiana, hiperbólica e elíptica no conteúdo da Matemática
Percebemos então que estas geometrias com características peculiares
surgiram pela negação de um dos cinco postulados de Euclides e que por meio
dessa negação foram construídos sistemas axiomáticos compostos de teoremas e
postulados que validam os objetos matemáticos concebidos em superfícies
irregulares. Portanto, partindo desse principio e observando o quadro acima
devemos ter cuidado em afirma que a soma dos ângulos internos de um triângulo
qualquer é sempre 180º para não reincidir em erros de ordem epistemológica. E sim,
afirmarmos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer no espaço
euclidiano é igual a 180º.
23
As geometrias não euclidianas não se restringem apenas as que utilizam
objetos matemáticos ideais, ou seja, objetos criados a partir da mente humana, na
verdade, existe outra geometria que representa as formas irregulares presentes na
natureza que é denominada de geometria fractal ou geometria da natureza.
1.5 Geometria Fractal
Segundo o dicionário Aurélio Buarque de Holanda Ferreira (2001, p. 331),
“fractal é a forma geométrica que pode ser subdividida indefinidamente em partes,
as quais, de certo modo, são cópias reduzidas do todo". Mas o termo “Fractal” foi
criado em 1975 por Benoit Mandelbrot, que significa no latim: quebrar, fração,
fragmentos irregulares. Surgindo, assim, o ramo da matemática que estuda as
propriedades e comportamentos dos fractais, conhecido por Geometria fractal, que
descreve muitas situações que não podem ser explicadas claramente pela
geometria euclidiana.
Mas o que significa Geometria fractal?
Segundo Janos (2008) Geometria Fractal “É uma linguagem matemática
que descreve, analisa e modela as formas encontradas na natureza” (p.2).
Nas últimas décadas do século XX, cientistas descobriram essa nova
forma de compreender o crescimento e complexidade da natureza. Nela
encontramos formas com um grau de complexidade maior, não sendo possível
descrevê-las por meio da geometria euclidiana, com a descoberta da geometria
fractal possibilitou descrever melhor os objetos que representam certos fenômenos,
formas, padrões e simetrias da natureza.
Um fractal apresenta as seguintes características básicas sendo elas:

A auto-semelhança consiste em cada pequena porção do fractal, no qual
poder ser vista como uma cópia fiel de todo o fractal só que numa escala
menor. E este fenômeno está muito mais presente na natureza. Na verdade,
poucas são as formas regulares existentes na natureza. Como exemplo,
temos a couve – flor, que ao tirar uma foto de uma couve – flor e de uma
24
pequena parte de seu todo e ampliar as duas fotos no mesmo tamanho. Se a
foto não tiver fundo, será quase que impossível dizer qual é a couve – flor
inteira e qual é o pedaço. Isso ocorre porque pequenos pedaços da couve-flor
são semelhantes ao todo, por isso, dizemos que a couve-flor é autosemelhante.
Figura 9: couve-flor10

A Dimensão dos fractais, ao contrário do que se sucede na geometria
euclidiana, não é uma quantidade inteira como nas dimensões de linha,
quadrado e cubo. Já nos fractais ela é uma dimensão fracionária, ou seja, um
fractal pode ter dimensão de 1, 58496 como é o caso da cesta de Sierpinski
ou 1, 26185 como é o caso da curva de Koch.
Outro aspecto interessante é que nos fractais matemáticos, as partes são
cópias exatas do todo, e nos fractais naturais as partes são apenas repetições do
todo.
Mandelbrot é conhecido como o pai da geometria fractal. Claro, que antes
dele, outros matemáticos como Georg Cantor (1845-1918), Helge Von Koch (18701924), Waclaw Sierpinski (1882-1969), como veremos a frente, desenvolveram
desenhos estranhos que desafiavam o ajuste as definições da geometria euclidiana,
por desafiarem a geometria euclidiana, até o momento, conhecida como absoluta.
Então foram chamados de “monstros matemáticos”.
____________
10
Fonte: http://www.mundodastribos.com/beneficios-da-couve-flor-para-a-saude.html
25
1.5.1 Conjunto de Cantor
Georg Cantor, matemático nascido na Rússia, dedicou muito de seus
estudos em pesquisas relativas à fundamentação da matemática, principalmente, a
parte conhecida como teoria dos conjuntos. E um dos seus trabalhos no qual é
construído um conjunto de Cantor, como exemplo, um dos “monstros matemáticos”.
Podemos dizer que o conjunto de Cantor é a peça fundamental no estudo
dos fractais, além de representar um modelo de imaginação abstrata na Matemática.
(I)
Considerando um segmento de reta, entre os valores de 0 a 1.
(II)
Começa por retirar o terço médio, resultando em dois segmentos de
extensão .
(III)
Logo, é retirado o terço médio destes dois segmentos, ficando quatro
segmentos com extensão de .
(IV)
O processo é repetido indefinidamente, com tendência para o infinito,
chegando a um ponto onde o resultado final é uma sucessão de pontos
mais conhecida como a “poeira de cantor”.
(I)
(II)
(III)
(IV)
Figura 10: Conjunto de Cantor11
____________
11
Fonte: http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/2139/fractais-uma-nova-viso-da-natureza
26
1.5.2 Curva de Koch
Helge Von Koch, matemático polonês, criou uma curva que hoje recebe seu
nome, a curva de Koch. Que é construída da seguinte forma:
(I) Desenhe um segmento de reta que é chamada de iniciador.
(II) Divida-o em três partes iguais e retire a parte do meio,
(III) Na parte do meio construa um triângulo eqüilátero do qual é retirado o
segmento de sua base.
(IV) O processo será repetido nos 4 segmentos restantes.
(V) Repita o processo indefinidamente.
(I)
(II)
(III)
(IV)
Figura 11: A curva de Koch12
____________
12
Fonte: http://www.itis-molinari.eu/studenti/progetti/Tesina_Mate/koch.html
27
1.5.3 A Cesta de Sierpinski
Waclaw Sierpinski, matemático polonês, criador da cesta de Sierpinski
que é construída da seguinte forma:
(I)
Inicia-se com um triângulo eqüilátero no plano
(II)
Depois se constrói outro triângulo, em conjunto com os vértices do
triângulo inicial, assim, passamos a ter quarto triângulos semelhantes, dos
quais eliminamos o triângulo central.
(III)
Repita o processo indefinidamente.
Figura 12: A Cesta de Sierpinski13
Percebem-se nestas figuras alguns modelos matemáticos como e o caso
da exponencial, que pode ser usada utilizando a idéia de potência, segundo Santos
(2010) outra característica peculiar observada principalmente na cesta de Sierpinski
é de que enquanto a área tende a zero, pelo fato de serem eliminados os triângulos
centrais o seu perímetro continua inalterado.
Neste capitulo abordamos um pouco da geometria euclidiana e não euclidiana, como é o caso da hiperbólica, elíptica e a fractal e a historia de alguns
matemáticos que contribuíram para o seu desenvolvimento epistemológico, contudo
a maior ênfase, devido à natureza de nosso trabalho, encontra-se na geometria
fractal, da qual apresentamos suas características e alguns modelos de fractais.
A geometria fractal representa uma tentativa brilhante de descrever as
formas e os objetos do mundo real. Quando olhamos à nossa volta, muito
poucas formas podem ser descritas em termos das figuras simples da
geometria euclidiana (p. 241).
E no próximo capitulo abordaremos a seqüência de Fibonacci e a Razão
áurea nos seus aspectos essenciais.
____________
13
Fonte: http://professorandrios.blogspot.com/2010_11_01_archive.html
28
2 Seqüência de Fibonacci e Razão Áurea
2.1 Seqüência de Fibonacci
Filho da boa natureza, assim, era conhecido o matemático mais talentoso
da Idade Média Leonardo de Pisa (Fibonacci) nascido na Itália por volta da década
de 1170. Fibonacci tornou-se famoso quando tinha aproximadamente 27 anos com a
publicação do seu primeiro e mais conhecido livro Liber Abaci (Livro ábaco),
contendo inúmeros temas como Aritmética e Álgebra elementar e uma abundante
coleção de problemas, e um desses problemas é o famoso clássico envolvendo
população de coelhos que deu a base para a Seqüência de Fibonacci, sobre a sua
vida e obra há inúmeras pesquisas como a de Lívio ao retratar a sua história:
Na época em que o livro apareceu, apenas alguns intelectuais europeus
privilegiados que se preocupavam em estudar as traduções das obras de alKhwārizmī e Abu Kamil conheciam os numerais indo-arábicos que usamos
hoje. Fibonacci, que por algum tempo viveu com seu pai, um funcionário de
comércio e alfândega, em Bugia (atualmente na Argélia) e mais tarde viajou
para outros países mediterrâneos (entre eles Grécia, Egito e Síria), teve
oportunidade de estudar e comparar diferentes sistemas numéricos e
métodos de operações aritméticas (LIVIO, 2007, p.111).
O problema que se encontra em seu livro: Um homem pôs um casal de
coelhos num lugar cercado por todos os lados por uma cerca. Quantos casais de
coelhos podem ser gerados a partir deste casal em um ano se, supostamente, todo
mês cada casal dá à luz um novo casal, que é fértil a partir do segundo mês?
Mês
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
1 Casal
1 Casal
2 Casais
3 Casais
5 Casais
8 Casais
13 Casais
21 Casais
34 Casais
55 Casais
89 Casais
144 Casais
Seqüência de
Fibonacci
0+1=1
1+1=2
2+1=3
3+2=5
5+3=8
8+5=13
13+8=21
21+13=34
34+21=55
55+34=89
89+55=144
...
Tabela 2: construção da seqüência de Fibonacci
29
O número de casais de coelhos em determinado mês, é a soma dos
casais de coelhos existentes nos dois meses anteriores a estes. E fácil constatar na
Tabela 2 que o número de casais de coelhos a cada mês é dado pela seqüência de
Fibonacci. A seqüência foi denominada Seqüência de Fibonacci pelo matemático
Edouard Lucas (1842-1891) no século XIX. Matematicamente, a expressão da
seqüência é
onde
representa o n-ésimo número na seqüência (por exemplo,
termo).
de
é o termo que precede
(para
), e
é o oitavo
vem depois
. Seqüências de números nas quais a relação entre termos sucessivos pode
ser expressa por uma fórmula matemática são conhecidas como recursivas. A
seqüência de Fibonacci foi à primeira dessas seqüências recursivas conhecida na
Europa.
Mas, a seqüência de Fibonacci está bem longe de ficar limitada a
reprodução de coelhos, a encontramos em uma variedade inacreditável de padrões,
fenômenos que aparentemente não tem relação. Suponha a seguinte pergunta: O
que o arranjo de pétalas numa rosa, as folhas das árvores, as sementes de um
girassol, abacaxis, a procriação de coelhos tem em comum? Tem em comum a
seqüência de Fibonacci é uma certa razão que parece surgir subitamente em vários
fenômenos da Natureza, assim, acentuando a curiosidade de esclarecer todo o
Universo com base na Matemática.
As propriedades do nosso universo, do tamanho dos átomos ao tamanho
das galáxias, são determinadas pelos valores de alguns números
conhecidos como constantes da natureza. Essas constantes incluem uma
medida da intensidade de todas as forças básicas – a gravitacional, a
eletromagnética e as duas forças nucleares (LIVIO, 2007, p.126).
Começou, relativamente, pouco tempo a dar-se estima aos números de
Fibonacci na natureza descobrindo que não aparecem por acaso, mas que é um
processo natural de crescimento de alguns frutos e plantas. Como por exemplo, as
sementes do girassol, estão organizadas no centro, sem intervalos, no formato mais
30
eficiente possível, compondo espirais logarítmicas (que explicaremos mais a frente)
que tanto curvam para a esquerda como para a direita.
Figura 13: sementes do girassol14
O que é impressionante que os números de espirais em cada direção são
quase sempre números da seqüência de Fibonacci. Mas isso não é tudo. A
seqüência de Fibonacci contém uma razão absolutamente notável.
2.2 Razão Áurea
Esta razão especifica às vezes é denominada “Razão Áurea” ou
“Proporção Divina” que nos leva ao um número que é chamado “Número Áureo” ou
“Número de ouro” (Fi) que é um valor numérico aproximadamente igual a 1,
618033989...
Existem alguns números especiais que são tão onipresentes que nunca
deixam de nos surpreender. O mais famoso deles é o número Pi ( ), que é
a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. Menos
conhecido que o Pi é um outro número, o Fi ( ), que, em muitos aspectos, é
ainda mais fascinante (...) A primeira definição clara do que mais tarde se
tornou conhecido como Razão Áurea foi dada por volta de 30 a.C. pelo
fundador da geometria como sistema dedutivo formalizado, Euclides de
Alexandria (LIVIO,2007, p.12-13).
Buscando a história da Razão Áurea, observam-se determinadas
discordâncias entre os pesquisadores do assunto, especificamente se os povos
egípcios, babilônios e outras civilizações remotas tinham conhecimento sobre essa
razão.
____________
14
Fonte: http://netinhoprofessor.blogspot.com/2011/04/numero-de-ouro.html
31
E uma dessas discordâncias se a Razão Áurea foi ou não usada na
construção da Grande Pirâmide de Khufu (LIVIO, 2007, p. 57-78). O cálculo da
altura da Grande Pirâmide de Khufu, atualmente, não chega a 1, 618033989... Mas,
acredita-se que este tenha sido o número de ouro, pois a altura diminuiu com o
decorrer dos séculos.
Figura14: Grande Pirâmide de Khufu15
Razão Áurea pode se iniciar por um segmento de reta em média e
extrema razão, que pode ser dividido de tal forma que resulte em um segmento
maior e outro menor. A Razão Áurea ocorre quando o segmento menor dividido pelo
maior é igual ao maior dividido pelo segmento todo. De uma forma mais simplificada
podemos observar utilizando o seguinte processo: Considere o segmento de reta
, colocando um ponto
, entre
e
(sendo que
modo que a razão do segmento menor
maior segmento
para o segmento todo
estará mais perto de
para o maior
.
_______________
15
Fonte: http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://4.bp.blogspot.com
), de
seja igual à razão do
32
Então, tem-se que
=
Se considerarmos
=
=
=
A razão entre x e y
Consideremos y = 1, temos:
Multiplicando ambos os lados por , obtém
Equivale a simples equação quadrática
33
Resolvendo a equação pela fórmula de Báskara, temos
Obtemos as soluções
e
Desconsiderando o
áureo Fi ( ),
devido o número ficar negativo. Encontramos o número de
Analisando um pouco mais, entenderemos uma fascinante relação
matemática entre a seqüência de Fibonacci com a Razão Áurea e o Número Áureo.
2.3 Seqüência de Fibonacci e a Razão Áurea
À medida que avançamos na seqüência de Fibonacci, a razão entre dois
números sucessivos de Fibonacci oscila em torno do Número Áureo. Dado a
seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,
1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025,... Como podemos
observar na tabela 3 a razão entre os números de Fibonacci nos aproxima do valor
de Fi, e alguns valores oscilam alternadamente maiores e menores que Fi.
34
Razão entre dois números sucessivos de Fibonacci
Tabela 3: razão entre dois números sucessivos de Fibonacci
35
E impressionante como a seqüência de Fibonacci esta intimamente
relacionada com a Razão Áurea. Esta razão é estimada por muitos como o símbolo
da consonância, do fato de que ela tem um jeito extraordinário de aparecer onde
menos se espera.
A definição da Razão Áurea surgiu inicialmente dos axiomas da geometria
euclidiana; a definição da seqüência de Fibonacci, dos axiomas da teoria
dos números. Já o fato de que a razão de sucessivos números de Fibonacci
convergem para a Razão Áurea nos foi imposta – os homens não tiveram
escolha nesse ponto (LIVIO, 2007, p.275).
O Número Áureo do mesmo modo estar associado com um retângulo que
sua razão entre o lado maior e o lado menor é o Fi que denomina “Retângulo Áureo”
que é considerado perfeito, pois é o retângulo mais aprazível a visão.
Figura 15: Partenon16
O Partenon, por exemplo, o templo representativo do Século de Péricles,
construído há centenas de anos pelos Gregos contém o Fi no retângulo que contém
a fachada, o que releva uma obra harmoniosa e bela.
Algumas das maiores mentes matemáticas de todos os tempos, de
Pitágoras e Euclides na Grécia antiga, passando pelo matemático italiano
da Idade Média Leonardo de Pisa (...), até figuras cientificas do presente,
como o físico de Oxford Roger Penrose, passaram horas sem fim
trabalhando com esta simples razão e suas propriedades. Mas a fascinação
pela Razão Áurea não se restringe aos matemáticos. Biólogos, artistas,
músicos, historiadores, arquitetos, psicólogos e até místicos têm examinado
e debatido as bases de sua ubiqüidade e seu apelo (LIVIO, 2007, p. 16).
_______________
16
Fonte: http://timidforever.blogspot.com/2010/04/partenon.html
36
Para se construir um Retângulo Áureo precisamos retirar um quadrado do
retângulo, assim, teríamos outro retângulo menor que também retiraríamos outro
quadrado e que também teríamos outro retângulo (Figura 16). Este processo pode
ser repetido de modo indefinido. Contudo teríamos um Retângulo Áureo como
mostra a figura 17 .
Figura 16: construção do Retângulo Áureo17
Com a união dos quadrados conseguiremos uma espiral logarítmica,
chamada também de Espiral de Fibonacci que podemos encontrar na natureza de
modo abrangente. Jacques Bernoulli (1654-1705) que associou o nome que vem do
principio que o raio da espiral aumenta entre os rolamentos conforme nos afastamos
do centro sem alterar sua forma, característica da auto-similaridade. E que foi
gravado em seu túmulo a forma e o lema que atribuiu a espiral – “Eadem mutato
resurgo” (embora mudado, ressurjo o mesmo).
Figura 17: Retângulo Áureo18
Figura 18: Espiral logarítmica19
De acordo com Livio (2007, p.138), parece que a natureza ama espirais
logarítmicas e que escolheu como seu “ornamento favorito”, revelando em todas as
escalas de tamanho uma beleza sem igual. O curioso é sabermos como as coisas
da natureza se formam dessa maneira.
____________
17
Fonte: construção do autor
18
Fonte: construção do autor
19
Fonte: construção do autor
37
Neste capitulo vimos um breve histórico da seqüência de Fibonacci e a
Razão Áurea que nos levaram ao Número Áureo, Retângulo Áureo e a espiral
logarítmica na natureza. Que leva-nos a perguntas como a de Livio (2007) que diz:
Será que a matemática existe mesmo independentemente dos indivíduos
que foram os descobridores/inventores dela e de seus princípios? Será que
o universo é matemático por sua própria natureza? Esta última pergunta
pode ser reformulada, usando-se um famoso aforismo do físico britânico sir
James Jean (1847-1946), como: Será que Deus é um matemático? (p. 21).
E no próximo capitulo teremos um elo matemático com a natureza por
meio da seqüência de Fibonacci, Razão Áurea e a geometria fractal, este nos
levaram a investigar padrões matemáticos no buriti.
38
3 O buriti: o elo entre matemática e a natureza
Depois de descobertos, a geometria fractal, os números de Fibonacci e a
razão áurea parecem surgir em toda parte na natureza. Alguns exemplos atraentes
são fornecidos pela botânica, como podemos observar nas palavras de Lívio (2007)
que diz:
As folhas ao longo do galho de uma planta ou os talos ao longo de um ramo
tendem a crescer em posições que otimizariam sua exposição ao sol, à
chuva e ao ar. À medida que um talo vertical cresce, ele produz folhas em
pontos com espaçamento bem regular. No entanto, as folhas não crescem
diretamente uma sobre a outra, pois isso iria impedir que as folhas de baixo
recebessem a umidade e a luz do sol de que elas necessitam. (...) O fato de
que as folhas seguem certos padrões foi observado pela primeira vez na
Antiguidade por Teofrasto (372 a.C. – 287 a.C.) em Investigação sobre
plantas. Ele comenta: “aquelas que têm folhas planas as têm em séries
regulares”. Plínio, o Velho (23-79 d.C), fez uma observação semelhante em
sua monumental História Natural, em que fala de “intervalos regulares” entre
folhas “arrumadas de forma circular em volta dos ramos”. O estudo da
filotaxia não foi muito além dessas observações iniciais e qualitativas até o
século XV, (...) A primeira pessoa a descobrir (intuitivamente) a relação
entre filotaxia e o número de Fibonacci foi o astrônomo Johannes Kepler (p.
129-130).
É interessante notar no exposto acima que a passagem de uma folha (ou talo)
para outra é caracterizada por padrão do tipo parafuso como na figura 19 notamos
que todos os espaços observados são razões da seqüência de Fibonacci e que
também apresentam certo grau de auto-semelhança, uma das características da
geometria fractal.
As árvores apresentam padrões semelhantes, o
tronco se divide em galhos, que se dividem em ramos, em
brotos, e sucessivamente.
Figura 19: tronco20
____________
20
Fonte: LIVIO, Mario, Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente. 2ª ed., Rio de
Janeiro, Record, 2007. p.130.
39
Segundo Livio (2007, p.129-131) esta característica é chamada de
“phyllotaxis” uma palavra grega que significa “arranjo de folhas” criada pelo suíço
naturalista Charles Bonnet (1720-1793) que pode ter descoberto os conjuntos de
linhas espirais que aparecem em algumas plantas e frutos, como as camadas de um
abacaxi. Os abacaxis fornecem uma admirável filotaxia baseada em Fibonacci,
devido à maioria ter cinco, oito, treze ou vinte e uma espirais.
Figura 20: Abacaxi21
Na figura acima, podemos ver uma de oito espirais paralelas subindo da
esquerda inferior para direita superior (seta vermelha), e outra espiral subindo da
direita inferior para esquerda superior (seta amarela). Isso resulta em um padrão
ideal de crescimento compacto que não desperdiça espaço e cria distintos padrões
em espiral e semelhança. Que também podemos encontrar no girassol, que já
mencionado no capitulo 2, mas que segundo Livio (2007):
A quantidade dessas espirais em geral depende do tamanho do girassol. O
mais comum é que existam 34 espirais em um sentido e 55 no outro, mais
girassóis com quocientes de números de espirais de 89/55, 144/89 e até de
233/144 (pelo menos; relato por um casal de Vermont à Scientific American
em 1951) foram visto. Todos esses valores são, obviamente, razões de
números de Fibonacci adjacentes (p. 133).
____________
21
Fonte: http://gnt.globo.com/receitas/E-epoca-de-abacaxi--aprenda-dicas-e-receitas.shtml
40
O girassol tem em média 34 espirais numa direção e 55 na outra, esses
números fazem parte da seqüência de Fibonacci e a proporção em que aumenta o
diâmetro das espirais encontramos a Razão Áurea, e também a auto-semelhança na
suas sementes e pétalas.
Figura 21: sementes do girassol22
E muitas flores com padrão de crescimento em espiral têm o número de
pétalas da seqüência de Fibonacci e auto-semelhança. E a outros exemplos que
envolvem a geometria fractal, seqüência de Fibonacci e a Razão Áurea.
A contagem e o arranjo de pétalas de algumas flores também apresentam
números de Fibonacci e ligação com a Razão Áurea. Muitas pessoas já se
valeram (pelo menos simbolicamente) em algum momento de suas vidas do
número de pétalas de margaridas para satisfazer sua curiosidade sobre a
seguinte pergunta: “Bem me quer, mal me quer?” A maioria das margaridasdo-campo tem treze, vinte e uma ou trinta e quatro pétalas, todos números
de Fibonacci. (...) O número de pétalas simplesmente reflete o número de
espirais de uma família (Livio, 2007, p. 133).
Nossa pesquisa propõe encontrar esses padrões matemáticos em um
fruto muito conhecido de nossa região que frutifica de outubro a março que sua
palmeira tem o nome científico Mauritia flexuosa de altura em torno de 20 a 30 m,
troncos até 50 cm de diâmetro com cachos de 2 a 3 m de comprimento e fruto
castanho-avermelhado, coberto por escamas, com polpa amarelada que é o Buriti,
também conhecido como miriti.
____________
22
Fonte: http://netinhoprofessor.blogspot.com/2011/04/numero-de-ouro.html
41
Buriti23 na língua indígena significa "a árvore
que emite líquidos" ou "a árvore da vida".
Considerada sagrada pelos índios por dela se
fazer
tudo
o
que
é
necessário
para
a
sobrevivência, a casa, os objetos e a alimentação.
Figura 22: Buriti
24
E bem aparente as espirais no buriti como podemos observar na figura
23. Quando olhamos para o buriti, notamos padrões espirais tanto no sentido horário
como no anti-horário, como nas sementes do girassol. De acordo com Lívio (2007,
p.140) “A espiral logarítmica e a Razão Áurea caminham de mãos dadas”. Leva-nos
a investigar que também podemos encontrar a Razão Áurea no Buriti. O padrão
espiral é evidente com que faz as escamas crescerem de modo a assegurar a mais
eficiente estrutura do fruto.
Figura 23: buriti
25
_______________
23
Fonte: walehu.vilabol.uol.com.br
24
Fonte: http://www.ispn.org.br/o-buriti-a-palmeira-de-mil-e-uma-utilidades/
25
Fonte:http://planetasustentavel.abril.com.br/album/50-anos-brasilia-exposicao-fabio-colombinibiodiversidade-588235.shtml?foto=4
42
Para uma melhor visualização colocamos a figura 23 em preto e branco e
passamos traçar espirais e encontramos a quantidade de 13 espirais no sentido
horário, como podemos observar na figura 24, e este número é da seqüência de
Fibonacci. E temos 15 espirais no sentido anti-horário, como mostra a figura 25.
Figura 24: espiral sentido horário26
Figura 25: espiral sentido anti-horário27
Observamos que à medida que o fruto amadurece a espiral é
acompanhada de um crescimento proporcional, de modo que a forma permanece
inalterada, assim, mantendo sua auto-semelhança, que é uma das características
fundamentais nos objetos da geometria fractal.
Agora para melhor entendimento vamos comparar a junção das espirais
encontradas no Buriti na figura 26, com um desenho da estrutura das sementes do
girassol na figura 27. Observamos que a característica de espirais e autosemelhança é a mesma.
____________
26
Fonte:http://planetasustentavel.abril.com.br/album/50-anos-brasilia-exposicao-fabio-colombinibiodiversidade-588235.shtml?foto=4. As espirais construção do autor.
27
Fonte:http://planetasustentavel.abril.com.br/album/50-anos-brasilia-exposicao-fabio-colombinibiodiversidade-588235.shtml?foto=4. As espirais construção do autor.
43
Figura 26: espirais horárias e anti-horárias28
Figura 27: Sementes do girassol29
Fica evidente, que as estruturas matemáticas presentes em ambos os
desenhos guardam as mesmas propriedades o que justificam nossas especulações,
de que o Buriti, na sua estrutura guarda elementos da seqüência de Fibonacci e o
numero de ouro, visto que ambas estão relacionadas.
Outra característica que o buriti apresenta e que pode ser relacionada
com a matemática, mais especificamente com a geometria fractal que tem como
uma das suas propriedades a auto-semelhança, ou seja, que uma das partes é
semelhante ao todo. Esta característica se encontra em suas escamas, as suas
escamas são semelhantes a dois triângulos encaixados. À medida que o buriti vai
amadurecendo as escamas vão ficando maiores e vão se selando com as escamas
menores, sempre seguindo a divisão dos triângulos e mantendo um padrão de autosemelhança. Veja a figura abaixo que ilustra bem a auto-semelhança.
Figura 28: escamas do buriti
30
44
É certo que precisamos analisar e investigar com muita profundidade estes
padrões e tomar cuidado para que não encontremos relações onde não existam,
mas nos propusemos abrir caminho para futuras investigações nesta intrigante
relação entre a seqüência de Fibonacci e a Razão Áurea no buriti.
Neste sentido, finalizamos este capitulo com as belas palavras de Livio
(2007) que representa muito bem as que queremos finalizar:
Espero que da próxima vez que comer um abacaxi, mandar uma rosa para
a pessoa amada ou admirar as pinturas de girassóis de Van Gogh, você se
lembre que o padrão de crescimento dessas plantas incorpora esse número
admirável que chamamos de Razão Áurea. Mas note que o crescimento da
planta também depende de outros fatores além do espaçamento ideal.
Conseqüentemente, as regras de filotaxia que descrevi não podem ser
vistas como algo que se aplica a todas as circunstâncias, como uma lei da
natureza. Em vista disso, nas palavras do famoso matemático canadense
Coxerte, elas são “apenas uma tendência fascinantemente predominante”
(p.136).
Neste capitulo percebemos como a seqüência de Fibonacci, a Razão
Áurea e a geometria fractal por meio da auto-semelhança, esta presente na
natureza, como nas arvores, no abacaxi, nas sementes do girassol, e nos levando a
investigar e provar que estes padrões estão presentes no buriti.
Sabemos das limitações desse trabalho, e das dificuldades de se fazer
pesquisa em um curto período de dois meses, contudo acreditamos e temos certeza
de que alcançamos nosso principal objetivo que era a partir de uma fruta originária
da Amazônia descobrir padrões matemáticos sofisticados como é o caso da espiral
logarítmica.
Fica o convite para que futuras pesquisas se aprofundem sobre este
tema podendo ir pelo caminho matemático investigando com outros objetos tais
padrões existentes no buriti ou ir pelo caminho pedagógico criando seqüências
didáticas para inserir no ensino tais descobertas intrigantes.
____________
28
Fonte:http://planetasustentavel.abril.com.br/album/50-anos-brasilia-exposicao-fabio-colombinibiodiversidade-588235.shtml?foto=4. As espirais construção do autor.
29
Fonte:http://montalvoeascinciasdonossotempo.blogspot.com/2010/09/sucessao-de-fibonacci-osnumeros-de.html
30
Fonte: http://olhares.uol.com.br/buriti-foto2520497.html
45
CONSIDERAÇÃO FINAL
A Geometria Euclidiana propõe o estudo para formas do mundo oriundas
do humano, como construção de casas, prédios, pontes etc.; enquanto que a
geometria fractal estuda padrões regulares que são organizados dentre uma
aparente irregularidade, tal característica muito freqüente na natureza.
Vivemos num universo, onde não encontramos apenas as formas
geométricas regulares, mas também, as formas irregulares que são complexas de
representar e medir. A Geometria Fractal através da auto - semelhança irá mostrar
como estes objetos matemáticos estão presentes no mundo real, assim, utilizamos o
fruto de buriti como objeto de pesquisa, portanto, essa nova geometria é de grande
importância para o estudo da matemática para que possamos compreender e
descrever os fatos que a geometria Euclidiana não satisfaz.
Partindo deste principio, a apresentação destas formas geométricas
presente no buriti, será representado pela seqüência de Fibonacci mostrando que
essa seqüência de números não ocorre por acaso, mas que é um processo natural
do crescimento de algumas plantas que nos levará a uma razão absolutamente
notável que se chama Razão Áurea, e esta razão oscila à medida que avançamos
na seqüência de Fibonacci, dessa forma, procuramos investigar como o
conhecimento matemático estar relacionado com o buriti, por meio da seguinte
característica: a auto – semelhança no fruto, pois à medida que o fruto se
desenvolve a espiral cresce de forma proporcional, assim, os triângulos antes
menores vão se desenvolvendo e se unindo aos outros triângulos menores. Fazendo
uma breve comparação com a espiral do girassol, observamos que a auto –
semelhança é a mesma, e que a relação da Seqüência de Fibonacci, Razão Áurea e
a Geometria Fractal estão presentes neste processo de investigação, dessa forma,
foi possível identificar conhecimentos matemáticos no buriti e que mais estudos são
indispensáveis nesta área, para que possamos abordar tal tema com mais exatidão
e mais adiante lançar propostas pedagógicas de ensino que possam ajudar no
ensino da matemática.
46
Portanto, com este trabalho de conclusão de curso pretendemos
incentivar os professores a explorarem a geometria fractal juntamente com a
Seqüência de Fibonacci e a Razão Áurea, para que os alunos passem a observar e
relacionar as diferentes formas existentes na natureza, como no buriti, o trabalho
desenvolvido tem por objetivo mostrar como a matemática está presente na
natureza de uma forma simples e atrativa.
47
REFERÊNCIAS
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal: para a sala de aula.
Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
BONETE, Izabel Passos. As geometrias não-euclidianas em cursos de licenciatura:
algumas
experiências.
Guarapuava/Campinas:
UNICENTRO/UNICAMP,
2000.
Dissertação de mestrado. Orientador: Dionísio Burak.
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
CARVALHO, Maria Cecília Costa e Silva. Padrões numéricos e seqüências. São
Paulo: Moderna, 1997.
COUTINHO, Lázaro. Convite às geometrias não-euclidianas. Rio de Janeiro:
Editora Interciência, 2001.
FERNANDES, Jaqueline Aparecida. Fractais, uma nova visão da Matemática.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação)-Centro Universitário de LavrasUnilavras, Lavras-Minas Gerais, 2007. Disponível em:
<http://200.189.113.123/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEM
ATICA/MonografiaFractais.pdf> Acesso em: 08 de agosto de 2011.
FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Miniaurélio Século XXI Escolar: O
minidicionário da língua portuguesa. 4. ed. rev. Ampliada. Rio de Janeiro: Nova
Fronteira, 2001. p. 331.
HUNTLEY. H. E. A Divina Proporção: um ensaio sobre a beleza na Matemática.
Editora da Universidade de Brasília, 1985.
JANOS, Michel. Geometria Fractal. Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 2008.
LIVIO, Mario. Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente. 2ª ed.,
Rio de Janeiro: Record, 2007.
MLODINOW, Leonard. A Janela de Euclides: a história das geometrias: das
linhas paralelas ao hiperespaço. São Paulo: Geração Editorial, 2008.
NUNES, Raquel Sofia Rabelo. Geometria Fractal e Aplicações. Trabalho de
Conclusão de Curso (Tese de mestrado) - Faculdade de Ciências da Universidade
do Porto, 2006. Disponível em:
<http://www.fc.up.pt/pessoas/jfalves/Teses/Raquel.pdf> Acesso em: 08 de agosto de
2011.
48
ROSOLEN, Laerte Francisco. Fractal na sala de aula: contribuição para o ensino de
uma nova geometria. Piracicaba (SP): UNIMEP, 1997. Dissertação de mestrado.
Orientador: Ivan Amaral Guerrini.
SANTOS, Everaldo R. M dos; SILVA, Jeane do S. C. da; ROSSY, Nayra da C..
Utilizando a Geometria Fractal na Introdução do conceito de potência para uma
turma do Projovem Urbano. X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010.
TATAGIBA, Fernando. Plantas do Cerrado. Disponível em:
<http://www.biologo.com.br/plantas/cerrado/buriti.html> Acesso em: 09 de dezembro
de 2011.
Portal São Francisco. Buriti, Fruto, Cerrado, Palmeira, O que é Mauritia flexuosa,
Características, Propriedades, Uso, Utilidade, Composição, Origem Buriti.
Disponível em: <http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/buriti/buriti-7.php>
Acesso em: 09 de dezembro de 2011.
Cultura, fauna e flora. Disponível em: <http://www.cdpara.pa.gov.br/miriti.php>
Acesso em: 09 de dezembro de 2011.
49
„
Universidade do Estado do Pará
Núcleo Universitário Regional do Baixo Tocantins
Centro de Ciências Sociais e Educação
Rodovia PA 150, Km 02, s/n
68450-000 Moju-PA
www.uepa.br