transportes, afectação e optimização de redes

Vol.
MARIANA MARQUES DOS SANTOS BELMAR DA COSTA é licenciada em Gestão de Empresas pela
Universidade Católica Portuguesa e detém um MBA pelo INSEAD (Fontainebleau), tendo também frequentado o mesmo programa em Kellogg – Northwestern University, em Chicago. De 1989 a 2006, afecta ao
Departamento de Métodos Quantitativos, foi docente universitária no ISCTE. A par das actividades
académicas, desenvolveu uma carreira empresarial ligada a diversas áreas e funções. Começando por
colaborar com uma instituição financeira internacional na área de gestão de carteiras de títulos, ingressou
depois numa equipa de capital de risco, onde foi analista de projectos, noutra instituição financeira nacional.
Foi também consultora em Madrid, numa empresa multinacional, estando associada a diversos projectos
entre os quais o lançamento da sucursal portuguesa. Assumiu de seguida uma sucessão de pelouros
internacionais, dentro de um grupo de empresas na área da construção e engenharia civil, nomeadamente
em Moçambique e na Alemanha, gerindo projectos em diversas áreas como a alimentar ou a produção e
distribuição de materiais de construção. Finalmente, iniciou um projecto empresarial próprio na área do
comércio internacional de medicamentos, ao qual se dedica actualmente.
Com aplicabilidade muito variada na vida real, os temas abordados neste
livro dão ao leitor uma oportunidade para diversificar os seus conhecimentos de Investigação Operacional. À semelhança dos volumes anteriores,
procura-se abordar os vários temas de uma forma simples e pratica,
permitindo assim uma apreensão mais fácil dos mesmos. Para complementar a explicação teórica, além dos exemplos ilustrativos, são também
apresentados e resolvidos vários exercícios que permitirão um estudo
mais completo e eficaz.
Vol. 1 – Programação Linear
Vol. 2 – Exercícios de Programação Linear
Vol. 3 – Transportes, Afectação e Optimização em redes
VOL.
3
INVESTIGAÇÃO
OPERACIONAL
TRANSPORTES,
AFECTAÇÃO
E OPTIMIZAÇÃO
DE REDES
9 789726 188162
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
ISBN 978-972-618-816-2
223
TRANSPORTES, AFECTAÇÃO
E OPTIMIZAÇÃO DE REDES
ANA LÍBANO MONTEIRO é licenciada em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, com especialização no ramo da Estatística e Investigação Operacional, fez um estágio
profissionalizante na Quimigal sob o tema da Gestão de Stocks, e possui um mestrado em Investigação
Operacional, com tese na área do Lotsizing and Scheduling. Foi até 2007 docente universitária no ISCTE,
leccionando as disciplinas de Matemática, Estatística e Investigação Operacional nas licenciaturas de
Gestão de Empresas e Gestão e Engenharia Industrial. Actualmente dirige uma Instituição Particular de
Solidariedade Social.
3
INVESTIGAÇÃO
OPERACIONAL
MANUELA MAGALHÃES HILL licenciou-se em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências de Lisboa,
frequentou o curso de pós-graduação em Matemática Aplicada à Investigação Operacional da Fundação
Calouste Gulbenkian e, em 1987, doutorou-se em Economia (Universidade de Keele, R. U.). Actualmente é
Professora Catedrática no Departamento de Métodos Quantitativos do ISCTE onde coordena o mestrado em
Prospecção e Análise de Dados e lecciona nas licenciaturas e mestrados em Gestão de Empresas e
Economia. Tem coordenado e participado em vários projectos de investigação na especialização de métodos
estatísticos e econométricos aplicados às Ciências Sociais. De 1972 a 1988 acumulou as funções docentes
com as de técnica no Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação.
Manuela Magalhães Hill
Mariana Marques dos Santos
Ana Líbano Monteiro
EDIÇÕES SÍLABO
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
Vol. 1 – Programação Linear
Vol. 2 – Exercícios de Programação Linear
Vol. 3 – Transportes, Afectação e Optimização em redes
INVESTIGAÇÃO
OPERACIONAL
Transportes, Afectação
e Optimização em redes
Manuela Magalhães Hill
Mariana Marques dos Santos
Ana Líbano Monteiro
2ª Edição
Revista e Corrigida
EDIÇÕES SÍLABO
É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer
meio ou forma, nomeadamente FOTOCÓPIA, esta obra. As transgressões
serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor.
FICHA TÉCNICA
Título: Investigação Operacional – Vol. 3 – Transportes, Afectação e Optimização em Redes
Autoras: Manuela Magalhães Hill, Mariana Marques dos Santos, Ana Líbano Monteiro
@ Edições Sílabo, Lda.
Capa: Pedro Mota
1ª Edição – Lisboa, Setembro de 2008.
2ª Edição – Lisboa, Setembro de 2015.
Impressão e acabamentos: Europress, Lda.
Depósito legal: 297699/09
ISBN: 978-972-618-816-2
EDIÇÕES SÍLABO, LDA
R. Cidade de Manchester, 2
1170-100 LISBOA
Telf.: 218130345
Fax: 218166719
e-mail: [email protected]
www.silabo.pt
ÍNDICE
PREFÁCIO
9
Capítulo 1
O problema de transportes
1. Introdução
13
2. Formulação de um problema de transportes
15
15
16
21
2.1. A formulação genérica
2.2. Arranjos da formulação genérica
2.3. Considerações importantes
3. A resolução de problemas de transportes
3.1. Introdução
3.2. Determinação de uma base inicial admissível
3.3. Teste de optimalidade
3.4. Melhoria da solução intermédia
4. Caso prático de problemas de transportes
24
24
25
34
41
4.4. Resolução do problema
47
47
48
50
51
4.5. Interpretação da solução óptima e do quadro final
de resolução do problema de transportes
66
4.1. O problema
4.2. Formulação
4.3. Problema dual
5. Casos especiais em problemas de transportes
5.1. Soluções degeneradas
5.2. Soluções múltiplas
6. Análise de sensibilidade em problemas de transportes
6.1. alterações nos coeficientes da função objectivo
6.2. Alterações nas restrições
69
70
73
77
78
83
7. Problema de transexpedição
91
8. Exercício final de transportes
101
101
102
106
8.1. O problema
8.2. Formulação do problema
8.3. Resolução do problema
Capítulo 2
Exercícios sobre transportes
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
125
185
Capítulo 3
O problema de afectação
1. Introdução
197
2. Formulação de um problema de afectação
199
199
204
205
2.1. A formulação genérica
2.2. Arranjos da formulação genérica
2.3. Considerações importantes
3. A resolução de problemas de afectação
3.1. introdução
3.2. O método Húngaro
4 Casos práticos de problemas de afectação
4.1. Um caso de solução múltipla
4.2. Um caso de afectações proibidas
4.3. Um caso de maximização
4.4. Um caso de valores negativos e fraccionários
4.5. Um caso de afectação generalizada
5. Análise de sensibilidade em problemas de afectação
208
208
209
220
220
225
229
234
236
242
Capítulo 4
Exercícios sobre afectação
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
251
270
Capítulo 5
Optimização em redes
1. Introdução
275
2. Alguns conceitos da teoria dos grafos
277
277
285
2.1. Definição de grafo
2.2. A noção de rede
3. Árvore geradora (ou de suporte) de custo mínimo
3.1. Algoritmo de Kruskal
3.2. Algoritmo de Prim
3.3. Algumas considerações finais
4. O problema do caminho mais curto
4.1. Algoritmo de Dijkstra
4.2. Algoritmo de Ford
4.3. Algoritmo de Floyd
5. O problema do fluxo máximo
5.1. Corte de uma rede
5.2. Algoritmo de Ford-Fulkerson
5.3. Casos especiais do problema do fluxo máximo
6. O problema do fluxo de custo mínimo
286
291
294
299
300
304
319
319
320
323
325
334
6.1. Algoritmo de Busacker-Gowen
335
337
6.2. Formulação de outros problemas
como problemas de fluxo de custo mínimo
342
Capítulo 6
Exercícios sobre optimização em redes
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
418
ANEXO DOS ALGORITMOS
421
BIBLIOGRAFIA
431
PREFÁCIO
Com a publicação deste terceiro volume de Investigação Operacional,
damos por concluída a nossa intenção de apresentação de uma visão prática
de um conjunto de técnicas de optimização não abordadas nos dois volumes
anteriores – transportes, afectação e optimização em redes as quais, ao
longo dos anos, têm obtido um crescente reconhecimento por parte dos
especialistas.
Embora parecendo problemas de aplicação restrita na vida real, cada um
deles tem a versatilidade de ser adaptável a situações diferentes das descritas. Por essa razão, encontram-se dentro do conjunto de problemas mais
conhecidos em Investigação Operacional e, como tal, alvo da nossa atenção.
Esta obra mantém subjacente a mesma filosofia das obras anteriores.
Deste modo foi dado especial ênfase à formulação de problemas, à interpretação económica da solução óptima e à análise subsequente à obtenção
dessa solução, aspecto este normalmente não abordado em problemas de
transporte e de afectação.
Na perspectiva de que este livro tenha grande valor prático, foi destinado,
para cada um dos temas, um capítulo só com exercícios resolvidos e propostos para ajudar o leitor na melhor apreensão dos temas.
Gostaríamos de deixar uma palavra de agradecimento às colegas da
equipa de Investigação Operacional do ISCTE pelo apoio e inspiração que
nos deram. Contudo, quaisquer erros que o leitor possa encontrar são inteiramente da nossa responsabilidade.
As autoras
1
O problema
de transportes
O PROBLEMA DE TRANSPORTES
INTRODUÇÃO
O problema de transportes é um dos casos particulares de programação
linear que, pela sua importância e frequência de utilização, se impõe ser
estudado de forma aprofundada. Para além disso, mesmo podendo recorrer
ao algoritmo do Simplex, foi desenvolvido um algoritmo específico para a
resolução de problemas deste tipo, que vem facilitar sobremaneira a procura
da solução óptima.
●
A situação
Sempre que nos encontramos perante um produto homogéneo, oferecido
por um conjunto de centros de oferta ou origens e procurado por um outro
conjunto de centros de procura ou destinos, estamos perante um problema
de transportes, desde que:
➩ se pretenda transportar o produto mencionado, dos centros de oferta
para os centros de procura;
➩ seja nosso objectivo encontrar a forma mais barata ou mais rápida de o
fazer.
Por forma a melhor visualizar o tipo de problema que queremos apresentar neste capítulo, vejamos o seguinte exemplo:
Uma sociedade que detém 4 padarias pretende distribuir o pão que fabrica
diariamente por 6 pastelarias também por si exploradas. As 4 padarias têm
capacidade para produzir diariamente 300, 400, 400 e 500 pães respectivamente. Por outro lado, o consumo de pão nas pastelarias estima-se em 250,
360, 280, 200, 250 e 200 por dia, em cada uma, respectivamente. Os custos de
transporte por unidade, de cada uma das padarias para cada uma das pastelarias, são os constantes do quadro que se segue:
13
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
Padarias
Pastelarias
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Oferta total
O1
3
2
5
1
1
3
300
O2
2
2
4
3
2
5
400
O3
5
4
2
4
5
1
400
O4
3
4
3
4
3
2
500
Procura total
250
360
280
200
250
200
Este é um problema típico de transportes, em que se pretende determinar
qual a melhor forma de distribuir pão, desde os quatro pontos de oferta (as
padarias) até aos seis centros de procura (as pastelarias). O objectivo que
assiste à procura do melhor plano de distribuição será a minimização dos
custos de transporte. As limitações do problema dizem respeito, quer à
máxima quantidade de pão que cada padaria consegue oferecer quer ao
consumo mínimo de cada pastelaria.
Antes de passarmos à formulação do problema podemos representá-lo num
diagrama simples, designado por rede (Figura 1.1), colocando as padarias numa
coluna (à esquerda) e as pastelarias noutra coluna (à direita) e ligá-las com setas,
colocando junto de cada seta o custo unitário de transporte que lhe está associado. Os valores dentro dos quadrados da esquerda correspondem à capacidade
de oferta associada a cada centro de oferta (padaria) e os valores dentro dos
quadrados da direita correspondem à estimativa de procura associada a cada
centro de procura (pastelarias).
FIGURA 1.1. REPRESENTAÇÃO EM REDE DO PROBLEMA DAS PADARIAS
O1 300
O2 400
O3 400
O4 500
14
3
2
5
1
1
3
2
2
4
3
2
5
5
4
2
4
5
1
3
4
3
4
3
2
250
P1
360
P2
280
P3
200
P4
250
P5
200
P6
O PROBLEMA DE TRANSPORTES
FORMULAÇÃO DE UM PROBLEMA
DE TRANSPORTES
2. 1. A FORMULAÇÃO GENÉRICA
Considerando que:
• c ij0 é o custo de transporte de uma unidade de produto, desde a origem i
até ao destino j
• si é a quantidade de produto disponível para ser expedida de cada cen-
tro de oferta i
• dj é a quantidade de produto requerida ou procurada por cada centro de
procura j
Tem-se que xij será a quantidade de produto a transportar de cada centro
de oferta i para cada centro de procura j ao custo unitário de c ij0 .
A formulação genérica a que chegamos com estas definições, será então
a seguinte:
Min CTT (Custo Total de Transporte) =
=
0
0
c11
x11 + c12
x12
0
+ c13
x13
+ ... + c10n x1n
+ c 021 x21 + c 022 x22
+ c 023 x23
+ ... + c 02n x2n
(...)
0
0
0
0
+ cm
1 xm 1 + cm 2 xm 2 + cm 3 xm 3 + ... + cmn xmn
s.a.
x11 + x12
+ x13
+ ... + x1n
x21 + x22
+ x23
+ ... + x2n
(...)
xm 1 + xm 2 + xm 3 + ... + xmn
£ s1 ü
£ s2 ï
ï
ý limitações de oferta
ï
£ sm ïþ
15
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
x1n + x2n + x3n + ... + xmn
³ d1 ü
ï
³ d2 ï
ý limitações de procura
ï
ï
³ dn þ
x11, x12, x13, ..., x1n
³ 0 ü
x21, x22, x23, ..., x2n
(...)
³ 0 ï
ý restrições de não negatividade
xm1, xm2, xm3, ..., xmn
³ 0 ï
þ
x11 + x21 + x31 + ... + xm1
x12 + x22 + x32 + ... + xm2
(...)
ï
ï
ou, simplificadamente:
Min CTT =
m
n
å å
i =1 j =1
n
s.a.
å
j =1
m
å
i =1
cij0 xij
xij £ si
i = 1, ..., m
xij ³ d j
j = 1, ..., n
xij ³ 0
i = 1, ..., m
j = 1, ..., n
Repare-se que os coeficientes técnicos das restrições (aij0 ) são todos
iguais a um.
2. 2. ARRANJOS DA FORMULAÇÃO GENÉRICA
A formulação que acabámos de expor é, no entanto, imperfeita pois o
problema só terá solução se a quantidade total de procura não exceder a
quantidade total de oferta, ou seja, se
n
n
i =1
j =1
å si ³ å dj .
Na vida real, facilmente compreendemos que a solução passará por efectuar os transportes possíveis, deixando um ou mais centros de oferta com
quantidades por escoar.
16
O PROBLEMA DE TRANSPORTES
Não obstante tal constatação, é possível introduzir pequenas alterações
que venham garantir a admissibilidade de qualquer problema com as características descritas inicialmente.
Pensemos então nas quantidades totais transportadas. Se o total de produtos a oferecer for superior ao total de produtos procurados, então a quantidade total a transportar será apenas o limite de produtos procurados, ficando
alguns produtos em stock, na origem. Se, por outro lado, o total de produtos
a oferecer for inferior ao total de produtos procurados, então a quantidade
total a transportar será apenas o limite de produtos oferecidos, ficando
alguma procura por satisfazer.
Ora, o algoritmo que vamos apresentar para a resolução de um problema
de transportes pressupõe que o total dos produtos a oferecer (disponibilidades) iguale o total de produtos procurados (necessidades).
Sendo assim, podemos exigir, de forma implícita, na construção do
modelo de formulação, que a oferta total iguale a procura total. Para isso, há
que criar um destino fictício sempre que a oferta total seja superior à procura total ou uma origem fictícia sempre que a procura total seja superior à
oferta total. Os custos de transporte das unidades que saem da origem fictícia ou que entram no destino fictício serão nulos. As quantidades transportadas nestes «caminhos fictícios» corresponderão precisamente à oferta que
fica por utilizar ou à procura que fica por satisfazer, respectivamente.
Em conclusão, garantindo que a oferta total iguale a procura total através da
criação dos «postos fictícios», podemos reformular o problema de transportes
com todas as restrições sob a forma de igualdade, uma vez que se assume
que toda a quantidade oferecida terá um destino e que toda a quantidade
procurada será satisfeita. Diz-se então que o problema está equilibrado.
Vejamos como fica a formulação genérica do problema de transportes,
após a realização das transformações inerentes às questões apresentadas,
considerando incluído em m ou n o posto fictício introduzido:
Min CTT (Custo Total de Transporte) =
=
0
c11
x11
0
+ c12
x12
0
+ c13
x13
+ ... + c10n x1n
+ c 021 x21
+ c 022 x22
+ c 023 x23
+ ... + c 02n x2n
(...)
0
0
0
0
+ cm
1 xm 1 + cm 2 xm 2 + cm 3 xm 3 + ... + cmn xmn
17
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
s.a.
x11 + x12
+ x13
+ ... + x1n
= s1
x21 + x22
+ x23
+ ... + x2n
= s2
xm 1 + xm 2 + xm 3 + ... + xmn
= sm
(...)
x11 + x21
+ x31
+ ... + xm1 = d1
x12 + x22
+ x32
+ ... + xm2
= d2
+ x3n
+ ... + xmn
= dn
(...)
x1n + x2n
x11, x12, x13, ..., x1n
³ 0
x21, x22, x23, ..., x2n
³ 0
(...)
xm1, xm2, xm3, ..., xmn
Em que s1 + s2 + ... + sm =
³ 0
d1 + d2 + ... + dn
ou, simplificadamente:
Min CTT =
m
n
å å
i =1 j =1
n
s.a.
å
j =1
m
å
i =1
cij0 xij
xij = si
i = 1, ..., m
xij = d j
j = 1, ..., n
xij ³ 0
m
Em que
å
i =1
si =
i = 1, ..., m
j = 1, ..., n
n
å
j =1
dj
i = 1, ..., m
Resta-nos reafirmar que, desde que a oferta total seja igual à procura
total, o problema de transportes tem sempre uma solução óptima finita.
18
O PROBLEMA DE TRANSPORTES
Para o exemplo que introduzimos inicialmente, podemos construir, então, a
seguinte formulação que deverá ser posteriormente equilibrada:
Min CTT (Custo Total de Transporte) =
=
3 x11 + 2 x12 + 5 x13 + 1 x14 + 1 x15 + 3 x16
+ 2 x21 + 2 x22 + 4 x23 + 3 x24 + 2 x25 + 5 x26
+ 5 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 4 x34 + 5 x35 + 1 x36
+ 3 x41 + 4 x42 + 3 x43 + 4 x44 + 3 x45 + 2 x46
s.a.
x11 + x12 + x13 + ... + x16 £ 300 ü
ï
x21 + x22 + x23 + ... + x26 £ 400 ï
ý limitações de oferta
x31 + x32 + x33 + ... + x36 £ 400 ï
x41 + x42 + x43 + ... + x46 £ 500 ïþ
x16 + x26 + x36 + x46
³ 250 ü
ï
³ 360 ï
³ 280 ïï
ý limitações de procura
³ 200 ï
³ 250 ï
ï
³ 200 ïþ
x11, x12, x13, …
..., x16
³ 0
x21, x22, x23, …
..., x26
³ 0
x31, x32, x33, …
..., x36
³ 0
x41, x42, x43, …
..., x46
³ 0
x11 + x21 + x31 + x41
x12 + x22 + x32 + x42
x13 + x23 + x33 + x43
x14 + x24 + x34 + x44
x15 + x25 + x35 + x45
ü
ï
ï
ý restrições de não negatividade
ï
ï
þ
Como a oferta total das padarias corresponde a 1600 pães enquanto as
seis pastelarias procuram apenas 1540 pães, devemos criar uma pastelaria
fictícia, que consuma os 60 pães excedentários e cujos custos de transporte
desde as quatro padarias sejam zero. Garantida a igualdade entre a oferta
total e a procura total, temos todas as restrições sob a forma de igualdade.
Vejamos, a formulação específica a que devemos chegar:
19
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
Min CTT (Custo Total de Transporte) =
=
3 x11 + 2 x12 + 5 x13 + 1 x14 + 1 x15 + 3 x16 + 0 x17
+ 2 x21 + 2 x22 + 4 x23 + 3 x24 + 2 x25 + 5 x26 + 0 x27
+ 5 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 4 x34 + 5 x35 + 1 x36 + 0 x37
+ 3 x41 + 4 x42 + 3 x43 + 4 x44 + 3 x45 + 2 x46 + 0 x47
s.a.
x11 + x12 + x13 + ... + x17 = 300 ü
ï
x21 + x22 + x23 + ... + x27 = 400 ï
ý limitações de oferta
x31 + x32 + x33 + ... + x37 = 400 ï
x41 + x42 + x43 + ... + x47 = 500 ïþ
= 250 ü
ï
= 360 ï
= 280 ï
ï
= 200 ïý limitações de procura
= 250 ï
ï
= 200 ï
ï
= 60 ïþ
x11 + x21 + x31 + x41
x12 + x22 + x32 + x42
x13 + x23 + x33 + x43
x14 + x24 + x34 + x44
x15 + x25 + x35 + x45
x16 + x26 + x36 + x46
x17 + x27 + x37 + x47
x11, x12, x13, …
..., x17
³
0
x21, x22, x23, …
..., x27
³
0
x31, x32, x33, …
..., x37
³
0
x41, x42, x43, …
..., x47
³
0
ü
ï
ï
ý restrições de não negatividade
ï
ï
þ
Considerando esta formulação, já no seu formato arranjado ou equilibrado,
a quantidade de pães que será afecta à sétima pastelaria — a fictícia — corresponderá, na solução final, a pão em excesso que na realidade nunca chegará a ser distribuído.
20
O PROBLEMA DE TRANSPORTES
2. 3. CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES
●
O problema inteiro de transportes
Se num problema de transportes, todas as origens e destinos apresentarem quantidades inteiras de oferta e procura, respectivamente, então as quantidades a transportar de uns para outros serão inteiras, na solução óptima do
problema. Esta informação torna-se deveras importante quando nos deparamos com situações em que se pretende transportar produtos indivisíveis.
Assim, contrariamente ao que acontecia com o algoritmo do Simplex, o modelo
de transportes apresentado contempla casos de programação inteira que,
desta forma, não exigem algoritmos especiais de resolução.
●
Os caminhos impossíveis ou interditos
Se num dado problema de transportes há caminhos, desde uma certa origem i até um certo destino j, que não podem ser considerados, então devemos criar um custo unitário, c ij0 = M, associado a esse caminho «ij», tão
elevado quanto possível (por exemplo, M = 1 000 000). Desta forma, estamos
a «orientar» o algoritmo de resolução do problema para que, qualquer solução que inclua esse caminho, fique fortemente penalizada. Com efeito, qualquer unidade transportada da origem i para o destino j, viria aumentar os
custos totais de transporte em M u.m., o que nos garante a exclusão desse
caminho no conjunto de itinerários que uma solução óptima viesse a propôr.
Se num problema de transportes, a função objectivo se traduzir em
0
Min CTT = c11
x11 +
0
M x12 + c13
x13 + ... + c10n x1n
+ c 021 x21 + c 022 x22 + c 023 x23 + ... + c 02n x2n
podemos concluir que o “caminho 1-2” não poderá ser utilizado para o transporte em causa.
●
Os caminhos fictícios
Ao contrário dos caminhos impossíveis, os caminhos fictícios de um pro-
blema de transportes apresentam um custo c ij0 = 0 correspondente a uma
penalização nula nos custos totais de transporte por cada unidade transportada por esse caminho. Na realidade, as quantidades afectas a esse caminho
21
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
não chegam a ser transportadas, ficando — em excesso — nos centros de
oferta reais, ou — em falta — nos centros de procura reais, conforme o caso.
Daí que a solução óptima inclua, com certeza, as unidades afectas a esse
caminho (sendo até as primeiras a serem consideradas), não vindo contudo
a penalizar essa solução.
Se num problema de transportes, a função objectivo se traduzir em
0
0
Min CTT = c11
x11 + c12
x12 + 0 x13
+ c 021 x21 + c 022 x22 + 0 x23
então existe um centro de procura (j = 3) fictício que absorverá a quantidade
de produto oferecida em excesso.
Se num problema de transportes, a função objectivo se traduzir em
0
0
Min CTT = c11
x11 + c12
x12
+ c 021 x21 + c 022 x22
+ 0 x31 +
0 x32
então existe um centro de oferta (i = 3) fictício que expedirá a quantidade procurada em excesso.
●
O número de variáveis básicas de um problema de transportes
Se num problema normal de programação linear, o número de variáveis
básicas corresponde ao número de restrições, num problema de transportes
existe menos uma variável positiva, em cada solução. Ou seja, o número de
variáveis básicas em cada solução corresponde ao número de restrições de
oferta mais o número de restrições de procura menos uma.
Repare-se que, sendo o total de oferta igual ao total de procura e, portanto, as restrições sob a forma de igualdade, uma dessas restrições é
redundante. Isto porque conhecendo, por exemplo, as quantidades de todos
os centros de oferta e as de todos os centros de procura excepto um, este
centro acaba por ter um valor conhecido. Em termos matemáticos, esta verdade traduz-se pela existência de uma restrição que é uma combinação
linear de todas as outras (soma das restrições de tipo contrário a ela e subtracção das restrições do mesmo tipo que ela).
22
O PROBLEMA DE TRANSPORTES
Em conclusão, podemos afirmar que em qualquer problema de programação linear, incluindo os problemas de transportes, o número de variáveis
básicas corresponde exactamente ao número de restrições não redundantes
do problema.
Concretamente, no problema de transportes, temos:
Número de variáveis básicas = m + n – 1
●
As variáveis duais de um problema de transportes
Tal como em qualquer problema de programação linear, num problema de
transportes existe uma variável dual associada a cada restrição primal do
problema. Assim, existem m variáveis duais ui associadas às restrições de
oferta e n variáveis duais vj associadas às restrições de procura. Uma vez
que se impõe que a oferta total iguale a procura total, já concluímos que uma
das restrições primais é com certeza redundante. Consequentemente, a
variável dual a ela associada será sempre igual a zero.
Relembrando a interpretação das variáveis duais, a afirmação anterior faz
todo o sentido. É que, quando uma restrição nada acrescenta, ou em nada
contribui para limitar a situação apresentada, poder-se-á dizer que «o valor
ou preço sombra» a ela associado será nulo. Em termos práticos, queremos
dizer que «esse centro de oferta» ou «esse centro de procura» poderia oferecer mais uma unidade do que o seu limite máximo ou procurar menos uma
unidade do que o seu limite mínimo, que em nada alteraria os custos totais
da solução óptima. Ou seja, poderíamos «relaxar» alternativamente o limite
desse centro de oferta ou desse centro de procura, que o custo de transporte
associado não seria alterado na solução óptima.
Na verdade, o impacto na função objectivo do aumento de uma unidade
desse «centro de oferta» (restrição do tipo £) ou da diminuição de uma unidade desse «centro de procura» (restrição do tipo ³) é nulo. Isto é verdade,
porque estamos a falar de uma restrição (que pode ser qualquer uma delas)
que traduz uma combinação linear das restantes restrições. Em conclusão,
em qualquer problema de transportes, existe pelo menos uma variável dual
nula associada a uma restrição redundante.
23
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
Vejamos o seguinte problema de transportes:
0
0
Min CTT = c11
x11 + c12
x12
+ c 021 x21 + c 022 x22
s.a.
x11 + x12 = s1
x21 + x22 = s 2
x11 + x21 = d1
(u1)
x12 + x22 = d 2
(v 2 )
(u2 )
(v1)
Neste caso, desde que:
s1 + s2 = d1 + d 2
temos a certeza que uma das variáveis duais u1, u2, v1 ou v2 é igual a zero.
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE TRANSPORTES
3. 1. INTRODUÇÃO
A resolução de problemas de transportes pode ser feita usando o algoritmo do Simplex. Se os valores da oferta e de procura são inteiros, o método
do Simplex dá sempre uma solução inteira em cada iteração. Há no entanto
um método mais Simplex de resolução do problema, relacionado com o algoritmo do Simplex e com a dualidade apresentados no Volume 1. Este método
é conhecido por algoritmo dos transportes e processa-se em três fases
sucessivas, em que as duas últimas se repetem até que se atinja a solução
óptima:
24
Vol.
MARIANA MARQUES DOS SANTOS BELMAR DA COSTA é licenciada em Gestão de Empresas pela
Universidade Católica Portuguesa e detém um MBA pelo INSEAD (Fontainebleau), tendo também frequentado o mesmo programa em Kellogg – Northwestern University, em Chicago. De 1989 a 2006, afecta ao
Departamento de Métodos Quantitativos, foi docente universitária no ISCTE. A par das actividades
académicas, desenvolveu uma carreira empresarial ligada a diversas áreas e funções. Começando por
colaborar com uma instituição financeira internacional na área de gestão de carteiras de títulos, ingressou
depois numa equipa de capital de risco, onde foi analista de projectos, noutra instituição financeira nacional.
Foi também consultora em Madrid, numa empresa multinacional, estando associada a diversos projectos
entre os quais o lançamento da sucursal portuguesa. Assumiu de seguida uma sucessão de pelouros
internacionais, dentro de um grupo de empresas na área da construção e engenharia civil, nomeadamente
em Moçambique e na Alemanha, gerindo projectos em diversas áreas como a alimentar ou a produção e
distribuição de materiais de construção. Finalmente, iniciou um projecto empresarial próprio na área do
comércio internacional de medicamentos, ao qual se dedica actualmente.
Com aplicabilidade muito variada na vida real, os temas abordados neste
livro dão ao leitor uma oportunidade para diversificar os seus conhecimentos de Investigação Operacional. À semelhança dos volumes anteriores,
procura-se abordar os vários temas de uma forma simples e pratica,
permitindo assim uma apreensão mais fácil dos mesmos. Para complementar a explicação teórica, além dos exemplos ilustrativos, são também
apresentados e resolvidos vários exercícios que permitirão um estudo
mais completo e eficaz.
Vol. 1 – Programação Linear
Vol. 2 – Exercícios de Programação Linear
Vol. 3 – Transportes, Afectação e Optimização em redes
VOL.
3
INVESTIGAÇÃO
OPERACIONAL
TRANSPORTES,
AFECTAÇÃO
E OPTIMIZAÇÃO
DE REDES
9 789726 188162
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
ISBN 978-972-618-816-2
223
TRANSPORTES, AFECTAÇÃO
E OPTIMIZAÇÃO DE REDES
ANA LÍBANO MONTEIRO é licenciada em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, com especialização no ramo da Estatística e Investigação Operacional, fez um estágio
profissionalizante na Quimigal sob o tema da Gestão de Stocks, e possui um mestrado em Investigação
Operacional, com tese na área do Lotsizing and Scheduling. Foi até 2007 docente universitária no ISCTE,
leccionando as disciplinas de Matemática, Estatística e Investigação Operacional nas licenciaturas de
Gestão de Empresas e Gestão e Engenharia Industrial. Actualmente dirige uma Instituição Particular de
Solidariedade Social.
3
INVESTIGAÇÃO
OPERACIONAL
MANUELA MAGALHÃES HILL licenciou-se em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências de Lisboa,
frequentou o curso de pós-graduação em Matemática Aplicada à Investigação Operacional da Fundação
Calouste Gulbenkian e, em 1987, doutorou-se em Economia (Universidade de Keele, R. U.). Actualmente é
Professora Catedrática no Departamento de Métodos Quantitativos do ISCTE onde coordena o mestrado em
Prospecção e Análise de Dados e lecciona nas licenciaturas e mestrados em Gestão de Empresas e
Economia. Tem coordenado e participado em vários projectos de investigação na especialização de métodos
estatísticos e econométricos aplicados às Ciências Sociais. De 1972 a 1988 acumulou as funções docentes
com as de técnica no Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação.
Manuela Magalhães Hill
Mariana Marques dos Santos
Ana Líbano Monteiro
EDIÇÕES SÍLABO