Análise CombinatóriaXX

Análise Combinatória
Parte I
1. (Ufmg 2013) Permutando-se os algarismos do número
123456, formam-se números de seis algarismos.
Supondo-se que todos os números formados com esses seis
algarismos tenham sido colocados numa lista em ordem
crescente,
a) DETERMINE quantos números possui essa lista.
b) DETERMINE a posição do primeiro número que começa
com o algarismo 4.
c) DETERMINE a posição do primeiro número que termina
com o algarismo 2.
2. (Cefet MG 2013) Um grupo de amigos, ao planejar suas
férias coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem
conhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no
interior do país. O critério estabelecido foi de alternar as
férias, em cada ano, ora em cidades litorâneas, ora, em
interioranas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será
visitada uma cidade diferente por ano. Desse modo, a
quantidade de maneiras possíveis para atender a esse
critério é
a) 2.3.11.
2
b) 2 .3.11.
2
c) 2.3 .11.
8 4 2
d) 2 .3 .5 .
9 4 2
e) 2 .3 .5 .
Com base nas informações acima, o número de maneiras
possíveis de Eddie se deslocar de A até B, sem passar pelo
ponto C, é igual a
a) 192
b) 60
c) 15
d) 252
4. (Ufu 2011) Uma fábrica de tintas necessita contratar
uma equipe para desenvolver e produzir um novo tipo de
produto. A equipe deve ser formada por 4 químicos, 1
engenheiro ambiental e 2 engenheiros de produção. Se no
processo final de seleção compareceram 6 químicos, 3
engenheiros ambientais e 4 engenheiros de produção, o
número de maneiras que a equipe poderá ser formada é
igual a (nos itens abaixo, x denota multiplicação numérica):
a) 6! ⋅ 3
b) 6! ⋅ 18
3
8
3
d) 6! ⋅
4
c) 6! ⋅
5. (Ufla 2008) Um problema clássico em combinatória é
calcular o número de maneiras de se colocar bolas iguais
em caixas diferentes. Calcule o número de maneiras de se
colocar 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes, sem que
nenhuma caixa fique vazia.
Sugestão:
3. (Ufu 2012) Um projeto piloto desenvolvido em um curso
de Engenharia Mecânica prevê a construção do robô
“Eddie”, cujos movimentos estão limitados apenas a andar
para frente (F) e para a direita (D). Suponha que Eddie está
na posição A e deseja-se que ele se desloque até chegar à
posição B, valendo-se dos movimentos que lhe são
permitidos. Admita que cada movimento feito por Eddie o
leve a uma posição consecutiva, conforme ilustra um
esquema a seguir, em que foram realizados 10 movimentos
(as posições possíveis estão marcadas por pontos e o
percurso executado de A até B, é representado pela
sequência ordenada de movimentos D F D D F F D F F D).
Cada possibilidade das duas barras na figura determina
uma distribuição das bolas nas caixas. No desenho, caixa 1
com duas bolas, caixa 2 com três bolas e caixa 3 com duas
bolas.
6. (Pucmg 2007) A figura representa os possíveis percursos
realizados por um robô, programado para andar em frente
seguindo os lados de hexágonos. Assim, partindo de A, o
robô tem três opções distintas de caminho; e, na sequência,
como não pode voltar, só pode escolher dois caminhos.
Supondo que esse robô parta de A, assinale a probabilidade
de o mesmo se encontrar em B, depois de percorrer
exatamente três lados de hexágonos.
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e) rega as plantas do jardim de sua casa.
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na
mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá-las
em uma ordem diferente.
Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar
essas cinco atividades, EM ORDEM DIFERENTE, é
a) 24
b) 60
c) 72
d) 120
1
6
1
b)
4
1
c)
3
1
d)
2
a)
10. (Ufmg 1998) Observe o diagrama.
7. (Ufu 2006) Para gerar sua senha de acesso, o usuário de
uma biblioteca deve selecionar cinco algarismos de 0 a 9,
permitindo-se repetições e importando a ordem, em que
eles foram escolhidos. Por questões de segurança, senhas
que não tenham nenhum algarismo repetido são
consideradas inválidas. Por exemplo, as senhas 09391 e
90391 são válidas e diferentes, enquanto que a senha
90381 é inválida. O número total de senhas válidas que
podem ser geradas é igual a
a) 69.760.
b) 30.240.
c) 50.000.
d) 19.760.
O número de ligações distintas entre X e Z é
a) 39
b) 41
c) 35
d) 45
8. (Ufmg 2004) Num grupo constituído de 15 pessoas,
cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas
vermelhas e cinco vestem camisas verdes.
Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que
as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que
as seguintes mantenham a sequência de cores dada pelas
três primeiras.
Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer
tal fila?
3
a) 3(5!)
3
b) (5!)
3
c) (5!) (3!)
d) 15!/(3!5!)
9. (Ufmg 2001) Um aposentado realiza diariamente, de
segunda a sexta-feira, estas cinco atividades:
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola;
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;
c) passeia com o cachorro da família;
d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola;
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11. (Ufmg 1997) O número de múltiplos de 10,
compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os
algarismos distintos, é:
a) 250
b) 321
c) 504
d) 576
Parte II
1. (Epcar (Afa) 2013) Num acampamento militar, serão
instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10
soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal
maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II
e 3 na barraca III.
Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO
deve ficar na barraca III, então o número de maneiras
distintas de distribuí-los é igual a
a) 560
b) 1120
c) 1680
d) 2240
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2. (Ita 2013) Quantos tetraedros regulares de mesma
dimensão podemos distinguir usando 4 cores distintas para
pintar todas as suas faces? Cada face só pode ser pintada
com uma única cor.
3. (Fuvest 2013) Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um
popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e
ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca
jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois
de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá
conquistado um território se e somente se as duas
condições seguintes forem satisfeitas:
1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o
maior valor obtido por Xantipa;
2) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior
que o menor valor obtido por Xantipa.
a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade
de Sócrates conquistar o território em jogo?
b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade
de Sócrates conquistar o território em jogo?
4. (Fgv 2012) O compositor A é réu em um processo de
plágio. Ele criou uma melodia para um jingle de TV que
consiste em uma sequência de 4 notas em ordem idêntica a
uma melodia registrada anteriormente pelo compositor B.
O compositor A declara que não conhecia o trabalho do
compositor B e que as semelhanças entre as músicas foram
fruto do acaso. Para decidir sobre a plausibilidade desta
explicação, um juiz solicitou o cálculo da probabilidade de
que a melodia do compositor A tenha a mesma sequência
de notas da melodia do compositor B por acaso,
considerando que existem sete notas musicais e que cada
nota é decidida aleatoriamente e de forma independente
pelo compositor. Se a probabilidade for menor que 0,1%, o
juiz considerará não ser plausível que tenha ocorrido por
acaso, condenando o réu; em caso contrário, o compositor
A será considerado inocente.
a) Qual é a probabilidade de que o compositor A tenha
criado por acaso a melodia com a mesma sequência de 4
notas da melodia do compositor B? Com base no critério
apresentado acima, o juiz considerará o compositor A
inocente ou culpado?
b) Cada uma das sete notas musicais (Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá,
Si) pode ter ou não uma alteração cromática (sustenido
ou bemol). Assim, cada nota pode aparecer em três
diferentes formas, por exemplo, Dó, Dó sustenido ou Dó
bemol. Qual é o número mínimo de notas (com
alteração cromática) que uma melodia deve ter para que
se possa configurar plágio, de acordo com o critério do
juiz (probabilidade de coincidência por acaso menor que
0,1%, considerando que cada nota e alteração cromática
é escolhida aleatoriamente e independentemente pelo
compositor)?
c) Considere que o juiz estabeleceu um novo critério –
condenará o réu, se a probabilidade de que as melodias
tenham os trechos observados em comum por acaso for
menor que a probabilidade de ganhar em um jogo de
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loteria em que o apostador escolhe 7 números entre 20
possíveis, e se torna ganhador se estes números
incluírem os 3 números sorteados. Qual é a
probabilidade de que o apostador ganhe na loteria
nessas condições?
5. (Mackenzie 2012) No restaurante italiano Ingiusto, os
garçons colocam os pedidos dos clientes à cozinha uns
sobre os outros de modo que eles formam uma pilha de
pedidos. Cada novo pedido que chega é colocado no topo
da pilha. O pessoal da cozinha, quando se vê livre para
pegar um novo pedido, pega sempre o pedido que está no
topo da pilha.
Em determinado dia, durante a primeira hora de
funcionamento do restaurante, foram feitos e atendidos
quatro pedidos de clientes. Suponha que eles tenham sido
numerados e que foram colocados na pilha, na ordem 1, 2,
3, 4.
Das sequências a seguir, aquela que pode representar a
ordem em que esses pedidos foram pegos pelo pessoal da
cozinha é
a) 1, 3, 2, 4
b) 2, 4, 1, 3
c) 4, 2, 1, 3
d) 3, 4, 1, 2
e) 4, 1, 2, 3
6. (Fuvest 2011) Para a prova de um concurso vestibular,
foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de
Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova
poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas
14 questões.
a) Quantas versões distintas da prova poderão ser
produzidas?
b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as
versões classe A da prova como sendo aquelas que
seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são
de Português, a última deve ser uma questão de
Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática
não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas
versões classe A distintas da prova poderão ser
produzidas?
c) Dado que um candidato vai receber uma prova que
começa com 7 questões de Português, qual é a
probabilidade de que ele receba uma versão classe A?
7. (Fuvest 2010) Seja n um numero inteiro, n ≥ 0.
a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas
podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas
podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
c) Considere, agora, um número natural k tal que 0 ≤ k ≤ n.
Supondo que cada uma das distribuições do item b)
tenha a mesma chance de ocorrer, determine a
probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro
receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k.
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Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as
distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam
bola alguma.
8. (Enem 2009) A população brasileira sabe, pelo menos
intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis
dezenas da mega sena não é zero, mas é quase.
Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa
loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em
valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis
dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60},
custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$
126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas
cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela
dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa
pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não
tenham cinco números em comum, do que uma única
aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de
acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é,
aproximadamente,
1
vez menor.
2
1
b) 2 vezes menor.
2
a) 1
c) 4 vezes menor.
d) 9 vezes menor.
e) 14 vezes menor.
Parte III
1. (Ufjf 2012) Uma empresa escolherá um chefe para cada
uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve ser
escolhido entre os funcionários das respectivas repartições
e não devem ser ambos do mesmo sexo.
Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das
repartições A e B.
FUNCIONÁRIOS
Mulheres
Homens
REPARTIÇÕES
A
B
4
7
6
3
De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos?
a) 12.
b) 24.
c) 42.
d) 54.
e) 72.
2. (Ufjf 2011) Para uma viagem, seis amigos alugaram três
motocicletas distintas, com capacidade para duas pessoas
cada. Sabe-se que apenas quatro desses amigos são
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habilitados para pilotar motocicletas e que não haverá
troca de posições ao longo do percurso. De quantas
maneiras distintas esses amigos podem se dispor nas
motocicletas para realizar a viagem?
a) 24
b) 72
c) 120
d) 144
e) 720
3. (Ufjf 2007) Uma empresa fornece a seus funcionários um
cartão de acesso ao seu escritório e uma senha, que é um
número com 4 algarismos, escolhidos dentre os elementos
do conjunto {1, 2, 3, 4}. Não são admitidas senhas em que
um mesmo algarismo apareça 3 vezes ou mais. Qual é o
número máximo de senhas desse tipo que poderão ser
oferecidas pela empresa?
a) 204.
b) 208.
c) 240.
d) 252.
e) 256.
4. (Ufjf 2006) Um jornalista foi designado para cobrir uma
reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da
reunião, descobriu que havia terminado. Ao perguntar ao
porteiro o número de ministros presentes, ele disse: "Ao
saírem, todos os ministros se cumprimentaram
mutuamente, num total de 15 apertos de mão".
Com base nessa informação, qual foi o número de ministros
presentes ao encontro?
5. (Ufjf 2006) Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em
seu estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos indicaram
que o número de maneiras possíveis de escolher pelo
menos 3 cobaias é:
a) 10.
b) 16.
c) 50.
d) 120.
e) 60.
6. (Ufjf 2003) Um programa de TV organizou um concurso
e, na sua fase final, promoveu o confronto entre os
finalistas, de modo que cada um deles se confrontava com
cada um dos outros uma única vez. Se foram gravados 28
confrontos, é correto afirmar que o número de finalistas
foi:
a) 2.
b) 4.
c) 7.
d) 8.
e) 14.
7. (Ufjf 2002) Uma liga esportiva elaborou um campeonato
de futebol que será disputado em dois turnos. Em cada
turno, cada clube jogará exatamente uma partida contra
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cada um dos outros participantes. Sabendo que o total de
partidas será de 306, o número de clubes que participarão
par
do campeonato é igual a:
a) 34.
b) 18.
c) 17.
d) 12.
e) 9.
Parte IV
1. (Uerj 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito
módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em
código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores
diferentes − vermelha, amarela e verde. Observe a figura:
Considere as seguintes informações:
— cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por
vez;
— qualquer mensagem é configurada pelo acendimento
simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e
uma amarela, permanecendo dois módulos com as três
lâmpadas apagadas;
o diferentes quando pelo menos uma
— duas mensagens são
das posições dessas cores acesas é diferente.
Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema
pode emitir.
2. (Uerj 2013) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um
baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas
ca
de
mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.
Denomina-se
se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo
valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um
exemplo de quadra:
O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse
baralho
lho que contêm uma quadra é igual a:
a) 624
b) 676
c) 715
d) 720
3. (Uerj 2012) Todas as n capitais de um país estão
interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o
seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais.
Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a
construção de mais 21 estradas pavimentadas para que
todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o
mesmo critério.
Determine o número n de capitais, que existiam
inicialmente nesse país.
4. (Uerj 2012) A tabela abaixo apresenta os critérios
adotados por dois países para a formação de placas de
automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados
quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do
alfabeto romano.
País
Descrição
X
3 letras e 3 algarismos,
em qualquer ordem
Y
um bloco de 3 letras, em
qualquer ordem,
à esquerda de outro
bloco de 4 algarismos,
também em qualquer
ordem
Exemplo de placa
Considere o número máximo de placas distintas que podem
ser confeccionadas no país X
n
igual a n e no país Y igual a p. A
razão corresponde a:
p
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
QUEST
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Na tabela abaixo, estão indicados os preços do rodízio de
pizzas de um restaurante.
DIAS DA SEMANA
segunda-feira, terçafeira,
quarta-feira e quintafeira
sexta-feira,
sábado e domingo
VALOR UNITÁRIO DO RODÍZIO
(R$)
18,50
22,00
5. (Uerj 2012) Considere um cliente que escolheu
aleatoriamente dois dias de uma mesma semana para
comer pizzas nesse sistema de rodízio, pagando também
um rodízio em cada dia.
Calcule a probabilidade de que o valor total gasto pelo
cliente nesses dois dias seja o mínimo possível.
6. (Uerj 2011) Uma fábrica produz sucos com os seguintes
sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa com
12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor.
Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a
probabilidade de que ambas contenham suco com o
mesmo sabor equivale a:
a) 9,1%
b) 18,2%
c) 27,3%
d) 36,4%
Parte V
1. (Fuvest 2014) Deseja-se formar uma comissão composta
por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo
às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação
terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas
regiões administrativas mais populosas terá dois membros
e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro.
a) Quantas unidades da Federação tem cada região?
b) Chame de N o número de comissões diferentes que
podem ser formadas (duas comissões são consideradas
iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma
expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua
decomposição em fatores primos.
c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão
que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete
senadores ao acaso. Verifique que P < 1/ 50.
Segundo a Constituição da República Federativa do
Brasil – 1988, cada unidade da Federação é
representada por três senadores.
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2. (Unesp 2013) Quantos são os números naturais que
podem ser decompostos em um produto de quatro fatores
primos, positivos e distintos, considerando que os quatro
sejam menores que 30?
3. (Fuvest 2013) Vinte times de futebol disputam a Série A
do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada
time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários.
A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são
paulistas é
a) menor que 7%.
b) maior que 7%, mas menor que 10%.
c) maior que 10%, mas menor que 13%.
d) maior que 13%, mas menor que 16%.
e) maior que 16%.
4. (Fuvest 2013) Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um
popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e
ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca
jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois
de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá
conquistado um território se e somente se as duas
condições seguintes forem satisfeitas:
1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o
maior valor obtido por Xantipa;
2) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior
que o menor valor obtido por Xantipa.
a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade
de Sócrates conquistar o território em jogo?
b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade
de Sócrates conquistar o território em jogo?
5. (Unicamp 2013) Para acomodar a crescente quantidade
de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com
três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro
letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado
abaixo.
ABC 1234
ABCD 123
Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9.
O aumento obtido com essa modificação em relação ao
número máximo de placas em vigor seria
a) inferior ao dobro.
b) superior ao dobro e inferior ao triplo.
c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
d) mais que o quádruplo.
6. (Enem 2013) Um artesão de joias tem a sua disposição
pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga
metálica, a partir de um molde no formato de um losango
não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que
dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores
diferentes.
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A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos
vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas
pelas pedras.
3 5 , calcule a probabilidade de uma menina vencer o
torneio.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias
diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
a) 6
b) 12
c) 18
d) 24
e) 36
7. (Unicamp 2012) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada
é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do
grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5
moças para a organização das olimpíadas do colégio. De
quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão?
a) 6720.
b) 100800.
c) 806400.
d) 1120.
8. (Unifesp 2012) Numa classe há x meninas e y meninos,
com x, y ≥ 4. Se duas meninas se retirarem da classe, o
número de meninos na classe ficará igual ao dobro do
número de meninas.
a) Dê a expressão do número de meninos na classe em
função do número de meninas e, sabendo que não há
mais que 14 meninas na classe, determine quantos
meninos, no máximo, pode haver na classe.
b) A direção do colégio deseja formar duas comissões entre
os alunos da classe, uma com exatamente 3 meninas e
outra com exatamente 2 meninos. Sabendo-se que,
nessa classe, o número de comissões que podem ser
formadas com 3 meninas é igual ao número de
comissões que podem ser formadas com dois meninos,
determine o número de alunos da classe.
9. (Fuvest 2012) a) Dez meninas e seis meninos
participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas
maneiras distintas essas 16 crianças podem ser
separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4
jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados
apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos?
b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá
os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os
vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que
a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é
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