Lista de Exercícios 3 - Exercício 11 resolvido

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO NÚMERO 11 DA LISTA 3 DE EXERCÍCIOS SOBRE ENSAIOS DE
COMPRESSÃO, CISALHAMENTO, DOBRAMENTO, FLEXÃO E TORÇÃO
11. Um corpo de prova com 680 mm de comprimento e seção transversal circular foi submetido a um ensaio
de flexão, apresentando uma flexa máxima de 2,41 mm sob uma tensão de flexão igual a 1.740,312 psi.
Sabendo que o momento fletor e o módulo de elasticidade do corpo de prova apresentaram,
respectivamente, valores de 760 kNmm e 20.186,12 kgf/mm2, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
O momento de inércia do corpo de prova.
O comprimento entre a linha neutra e a superfície do corpo de prova.
O módulo de resistência da seção transversal do corpo de prova.
O momento fletor do corpo de prova.
A tensão de flexão do corpo de prova.
O módulo de elasticidade do corpo de prova.
O diâmetro do corpo de prova.
O comprimento do corpo de prova.
A flexa máxima do corpo de prova.
A intensidade da carga aplicada ao corpo de prova.
Resolvendo:
Os dados informados no enunciado do exercício são:
•
•
•
•
•
•
a)
Corpo de prova: com seção transversal circular (portanto: J = πD 4 / 64 e c = R = D/2)
L = 680 mm
fmáx = 2,41 mm
TF = 1.740,312 psi
Mf = 760 kNmm
E = 20.186,12 kgf/mm2
O momento de inércia do corpo de prova.
Não é possível determinar o momento de inércia (J) do corpo de prova através do seu diâmetro
(D) porque o mesmo não é conhecido. Também, não há maneira de obter o seu diâmetro (D),
uma vez que o comprimento entre a linha neutra e a superfície do corpo de prova (c) também
não é conhecido. Além disso, não é possível obter o comprimento entre a linha neutra e a
superfície do corpo de prova (c) porque o mesmo está relacionado com o módulo de resistência
da seção transversal do corpo de prova (W) o qual, por sua vez, depende do momento de inércia
do corpo de prova (segundo a relação W = J/c), embora o módulo de resistência da seção
transversal do corpo de prova (W) possa ser encontrado (segundo a equação TF = Mf/W) . Assim
sendo, outro caminho de resolução deve ser considerado.
Após uma breve análise dos dados fornecidos na questão (e das equações relativas ao ensaio de
flexão fornecidas em aula e também na apostila), verifica-se que o caminho para obter o
momento de inércia (J) é, sem dúvidas, através da equação que relaciona o módulo de
elasticidade (E), a carga (força) aplicada durante o ensaio (F), o comprimento do corpo de prova
(L), a flexa máxima (fmáx) e o momento de inércia (J). Isto é (após um pouco de álgebra),
3
E=
F⋅ L
F ⋅ L3
48 ⋅ f máx ⋅ J ⋅ E = F ⋅ L3 J =
48
⋅
f máx ⋅ E
48 ⋅ f máx ⋅ J
1
Neste caso, a única incógnita é a carga (F) aplicada. A mesma pode ser obtida através do
momento fletor (Mf) e do comprimento do corpo de prova (L), por meio da relação Mf = F⋅L/4.
No entanto, é usual, neste campo de estudo, que a carga seja expressa em newtons (N) e a tensão
de flexão e o módulo de elasticidade em newtons por milímetro quadrado (N/mm2), ou
megapascals (MPa), o que não é o caso neste exercício. Assim, de acordo com as relações de
conversão fornecidas na página 15 da apostila (onde: 1.422,27 psi = 9,807 MPa = 9,807 N/mm2;
onde: 1 kgf/mm2 = 9,807 MPa = 9,807 N/mm2), e lembrando que quilo = k = ×1.000, determinase que
1.422,27 psi
1.740,312 psi
9,807 MPa
x
(1.422,27 psi) ⋅ x = (1.740,312 psi) ⋅ (9,807 MPa)
x=
(1.740,312 psi) ⋅ (9,807 MPa) 17.067,24 psi ⋅ MPa
=
= 12 MPa = 12 N/mm 2
1.422,27 psi
1.422,27 psi
1 kgf/mm2
20.186,12 kgf/mm2
9,807 MPa
x
(1 kgf/mm 2 ) ⋅ x = ( 20.186,12 kgf/mm 2 ) ⋅ (9,807 MPa)
x=
(20.186,12 kgf/mm 2 ) ⋅ (9,807 MPa) 197.965,28 kgf/mm 2 ⋅ MPa
=
= 197.965,28 MPa
1 kgf/mm 2
1 kgf/mm 2
= 197.965,28 N/mm 2
Mf = 760 kNmm = 760 ×1.000 Nmm = 760.000 Nmm
Logo:
TF = 1.740,312 psi = 12 MPa = 12 N/mm2
Mf = 760 kNmm = 760.000 Nmm
E = 20.186,12 kgf/mm2 = 197.965,28 MPa = 197.965,28 N/mm2
Assim, então (após um pouco de álgebra), vem que
Mf =
F⋅L
4
4 ⋅ Mf = F ⋅ L
4 ⋅ Mf
=F
L
de onde determina-se que
F=
4 ⋅ M f ( 4) ⋅ (760.000 Nmm ) 3.040.000 Nmm
=
=
= 4.470,5882 N
L
680 mm
680 mm
de modo que, finalmente,
2
F ⋅ L3
( 4.470,5882 N ) ⋅ (680 mm ) 3
=
=
48 ⋅ f máx ⋅ E (48) ⋅ ( 2,41 mm ) ⋅ (197.965,28 N/mm 2 )
J=
b)
=
( 4.470,5882 N ) ⋅ (3,14432 × 108 mm 3 )
22.900.623 Nmm/mm 2
=
1,40569 × 1012 Nmm 3
= 61.382,434 mm 4
22.900.623 N/mm
O comprimento entre a linha neutra e a superfície do corpo de prova.
O comprimento entre a linha neutra e a superfície do corpo de prova (c) é igual ao raio da seção
transversal do corpo de prova que, por sua vez, corresponde à metade do diâmetro (D) da seção
transversal, de forma que c = R = D/2. Uma vez que o momento de inércia (J) já foi obtido, o
diâmetro (D) da seção transversal pode ser determinado (após um pouco de álgebra) por
J=
π ⋅ D4
64
64 ⋅ J = π ⋅ D 4
64 ⋅ J
π
= D4
Levando-se em conta a propriedade algébrica que diz que
D=
4
64 ⋅ J
π
m
(x) = (x )
1
4
64 ⋅ J
π
n
 
4
 64 ⋅ J 
 64 ⋅ J   4   (64) ⋅ ( 61.382,434 mm ) 
= 
=
 =


3,14
 π 
 π 


1
4
 n
 
m
=D
, tem-se então que
0 ,25
= (1.251.106,9 mm 4 ) 0 ,25
= 33,444415 mm
de modo que
c=R=
c)
D 33,444415 mm
=
= 16,722208 mm
2
2
O módulo de resistência da seção transversal do corpo de prova.
Conforme mencionado anteriormente,
W=
d)
J 61.382,434 mm 4
=
= 3.670,7135 mm 3
c
16,722208 mm
O momento fletor do corpo de prova.
Conforme dado na questão,
Mf = 760 kNmm = 760.000 Nmm
e)
A tensão de flexão do corpo de prova.
Conforme dado na questão,
3
TF = 1.740,312 psi = 12 MPa = 12 N/mm2
f)
O módulo de elasticidade do corpo de prova.
Conforme dado na questão,
E = 20.186,12 kgf/mm2 = 197.965,28 MPa = 197.965,28 N/mm2
g)
O diâmetro do corpo de prova.
Conforme determinado anteriormente,
D = 33,44 mm
h)
O comprimento do corpo de prova.
Conforme dado na questão,
L = 680 mm
i)
A flexa máxima do corpo de prova.
Conforme dado na questão,
fmáx = 2,41 mm
j)
A intensidade da carga aplicada ao corpo de prova.
Conforme determinado anteriormente,
F = 4.470,5882 N
4