A Numeraￃﾧￃﾣo em Moￃﾧambique

Transcrição

Paulus Gerdes
(organização e coordenação)
A Numeração em
Moçambique
Contribuição para uma reflexão sobre
cultura, língua e educação matemática
1
ISBN: 978-1-4357-2634-5
Copyright © 2008 by Centro de Pesquisa para Matemática, Cultura e
Educação
www.lulu.com
http://stores.lulu.com/pgerdes
2
Paulus Gerdes
A Numeração em
Moçambique
Contribuição para uma reflexão sobre
cultura, língua e educação matemática
2ª edição
2008
3
Ficha técnica
Título:
A Numeração em Moçambique : Contribuição para uma
reflexão sobre cultura, língua e educação matemática
Organização e coordenação: Paulus Gerdes
Autores: Paulus Gerdes, Abdulcarimo Ismael, Abílio Mapapá, Daniel
Soares, Evaristo Uaila, Jan Draisma, Marcos Cherinda
Revisão linguística do texto em Português: Ana Maria Branquinho
Primeira Edição (1993):
Projecto de Investigação ‘Etnomatemática’,
Universidade Pedagógica
Número de registo: 1040/FBM/93, Maputo, Moçambique
Edição internacional (2008):
Lulu.com, Morrisville, NC 27560, Estados Unidos da América, e
Londres, Reino Unido
Distribuição:
Vide: http://stores.lulu.com/pgerdes
ou procure ‘Paulus Gerdes’ na página www.lulu.com
Copyright © 2008 Centro de Pesquisa para Matemática, Cultura e
Educação
C.P. 915, Maputo, Moçambique
[email protected]
4
Conteúdo
página
1
Prefácio
7
Enquadramento
9
1.1 Sistemas africanos de numeração
[Paulus Gerdes & Marcos Cherinda,
1993]
1.2 Sobre a história da numeração falada
[Paulus Gerdes, 1980]
2
Fontes escritas sobre a numeração e a
contagem em Moçambique
2.1 Numerais na língua Makonde (1)
[M. Viegas Guerreiro, 1963]
2.2 A contagem entre os Makonde
[M. Viegas Guerreiro, 1966]
[E. Mpalume & M. Mandumbwe, 1991]
2.4 Numerais na língua Yao
[Miguel Viana, 1961]
2.5 A contagem entre os Yao
[Manuel Amaral, 1990]
2.6 Numerais na língua Nyanja
[Missionários da Companhia de Jesus,
1964]
2.7 Sentido numérico Cheua
[A.Rita-Ferreira, 1966]
2.8 Numerais na língua Nyungwe
[Victor Courtois, 1887]
2.9 Numerais em Makhuwa-Lóhmé, Cóti e
Árabe
[António Pires Prata, 1960]
2.10 Numerais na língua Sena
[J. Torrend, 1900]
2.11 Numerais na língua Shona (Ndau)
[D. Dale, 1968]
9
32
39
39
42
46
50
53
58
61
63
68
79
82
5
página
2.12 Numerais na língua Tshwa
[J.A.Persson, 1932]
2.13 Numerais na língua Chope
[Luís Feliciano dos Santos, 1941]
2.14 Numerais na língua Tonga e o ‘sentido
matemático’
[Henrique Junod, 1934]
2.15 Numerais na língua Changana
[Armando Ribeiro, 1965]
2.16 Numerais em Tsonga (Changana)
[Bento Sitoe, 1985]
2.17 Numerais na língua Ronga
[José Quintão, 1951]
2.18 Numerais na língua Swazi
[D. Ziervogel, 1952]
2.19 Numerais na língua Zulu
[Clement Doke, 1927]
3
Fontes orais sobre a numeração e a
contagem em Moçambique
3.1 Quadros da numeração falada nas línguas
bantu de Moçambique
3.2 Métodos populares de contagem em
Moçambique
[Abdulcarimo Ismael & Daniel Soares,
1993]
4
Tabelas e mapas comparativos relativos à
numeração falada em Moçambique
[Abílio Mapapá & Evaristo Uaila, 1993]
5
Numeração e educação
5.1 Numeração falada como recurso na
aprendizagem da Aritmética
[Jan Draisma, 1993] 5.2 Algumas reflexões para estimular o debate
e a investigação
6
85
90
97
101
104
109
113
116
119
119
134
141
155
155
176
Prefácio
Como se conta nas diversas línguas faladas em Moçambique?
Como se desenvolveram os sistemas de numeração? Quais são os
principais sistemas de numeração em África? Como fazem os falantes
das diversas línguas os seus cálculos mentais? Como se pode
melhorar o processo de ensino-aprendizagem da Aritmética nas
escolas moçambicanas?
Estas perguntas constituem algumas das questões colocadas no
livro A Numeração em Moçambique. Com este livro pretende-se
contribuir para uma reflexão sobre cultura, língua e educação
matemática básica.
No primeiro capítulo apresenta-se um enquadramento global,
com informações gerais sobre sistemas africanos de numeração e sobre
a história da numeração falada. No segundo capítulo reproduzem-se
fontes escritas sobre a numeração e a contagem referentes a diversas
línguas faladas em Moçambique, terminando cada secção com
algumas perguntas para estimular a reflexão. No terceiro capítulo
apresentam-se algumas fontes orais referentes à numeração e à
contagem em Moçambique; divulgam-se resultados de inquéritos
realizados no contexto do Projecto de Investigação Etnomatemática,
dizendo respeito à numeração falada e a outros métodos populares de
contagem. O quarto capítulo apresenta uma análise comparativa da
estrutura dos sistemas de numeração falada em Moçambique. No
último capítulo reflecte-se sobre numeração e educação; apresenta-se
uma análise da numeração falada como recurso na aprendizagem da
aritmética e algumas reflexões para estimular o debate e a
investigação.
7
O livro resulta de pesquisas e debates realizados no contexto do
Projecto de Investigação 'Etnomatemática' e do Projecto 'Licenciatura
em Educação Matemática para o Ensino Primário' (LEMEP). Os
nossos resultados são provisórios. Esperamos poder enriquecer a
análise e a reflexão com contribuições dos leitores.
Convidam-se os leitores a fornecerem novos dados relativos à
numeração falada, ao cálculo mental nas línguas bantu e aos métodos
populares de contagem, e a apresentarem reflexões e sugestões para
aprofundar o debate. Assim os leitores poderão contribuir para a
realização dum dos objectivos principais da investigação
etnomatemática: melhorar a qualidade da educação matemática,
incorporando-a melhor no contexto cultural. Por outras palavras,
pretende-se garantir que a educação matemática em Moçambique se
sintonize com as tradições africanas e com o meio ambiente sóciocultural.
Queira enviar as suas informações e reflexões para um dos
departamentos de Matemática da Universidade Pedagógica:
Departamento de Matemática, UP, C.P.2923, Maputo;
Departamento de Matemática, UP, C.P.2025, Beira.
15 de Agosto de 1993
8
Cap. 1: Enquadramento
Capítulo 1
Enquadramento
1.1 Sistemas africanos de numeração 1
Tal como os povos noutras regiões do Mundo, os povos de África
aprenderam durante a sua história que contar e calcular se tornam
muito difíceis, quando se utiliza, para cada quantidade, quer dizer para
cada número, uma palavra ou um símbolo completamente novo e
diferente. Se somente para os números de 1 a 100 se utilizassem
palavras completamente diferentes e não relacionadas, imagine quão
difícil seria memorizá-las na ordem correcta. Para além disto, seria
quase impossível executar cálculos com elas. Por isso tornou-se
necessário evitar, na indicação de números, demasiados símbolos ou
palavras não relacionadas. A fim de ter modos práticos e úteis de
contagem e para exprimir quantidades, e a fim de poder fazer os
cálculos eficazmente, tornou-se necessário inventar sistemas de
numeração bem estruturados.
Neste artigo dão-se apenas alguns exemplos das muitas centenas
de sistemas de numeração inventados na África ao Sul do Sahara.
Serão apresentados sistemas de numeração falados, e sistemas
simbólicos que utilizam partes do corpo ou objectos para contar ou
indicar números.
1.1.1 Numeração verbal
A maneira mais vulgar para evitar a invenção de palavras
1
Texto: Paulus Gerdes; Desenhos: Marcos Cherinda. Cf. Gerdes, P.
& Cherinda, M.: Contar en Africa, El Correo de la UNESCO, Paris,
Nov. 1993, 37-39.
9
A Numeração em Moçambique
completamente novas para indicar números quando se avança com a
contagem de quantidades maiores, foi a de compor numerais novos a
partir de numerais verbais existentes, apoiando-se nas relações
aritméticas entre os números envolvidos.
A formação de novos numerais verbais por adição e
multiplicação
Na língua Makhuwa falada no Norte de Moçambique diz-se
‘thanu na moza’, isto é ‘cinco mais um’ para exprimir ‘seis’. ‘Sete’ é
‘thanu na pili’, isto é ‘cinco mais dois’. Para exprimir ‘vinte’, diz-se
‘miloko mili’, isto é ‘dezenas duas’ ou ‘10x2’. ‘Trinta’ é ‘miloko
miraru’, isto é ‘dezenas três’. Uma vez que ‘thanu’ (5) e ‘nloko’ (10)
são dominantes na composição dos numerais verbais na língua
Makhuwa, eles são chamados as bases do sistema Makhuwa de
numeração. Nos dois primeiros exemplos, um e dois são adicionados
a cinco. Nos outros exemplos dez é multiplicado por dois e três,
respectivamente.
As bases mais comuns em África são 10, 5 e 20. Algumas
línguas como Nyungwe (Moçambique) utilizam apenas a base dez.
Outras tais como Balante (Guiné Bissau) usam 5 e 20 como bases. A
numeração na língua Bété da Costa do Marfim usa três bases: 5, 10 e
20 [Vide os quadros 1.1 e 1.2]. Por exemplo, 56 exprime-se por
‘golosso-ya-kogbo-gbeplo’, isto é ‘vinte vezes dois mais dez (e) cinco
(e) um’ (20x2 + 10 +5 +1). Os Bambara do Mali e da Guiné têm um
sistema decimal-vigesimal, isto é, dez e vinte constituem as bases
[Vide o quadro 1.3]. A palavra para vinte ‘mugan’ significa ‘uma
pessoa’; a palavra para quarenta, ‘debé’ significa ‘esteira’, referindo-se
a uma esteira em que homem e mulher dormem juntos e têm quarenta
dedos em conjunto.
10
Quadro 1.1
Exemplo dum texto elaborado na escrita Bété
(Fonte: Niangoran-Bouah, p. 203)
11
Quadro 1.2
Numeração na língua Bété (Costa do Marfim)
(Fonte: Tro, p. 64-65)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
30
34
40
50
56
60
70
80
90
100
12
numeral
estrutura
blo
sô
ta
mono
n’gboua
gbeplo
5+1
gbosso
5+2
gbota
5+3
kodablo
kogbo
kogbo-blo
10+1
kogbo-sô
10+2
kogbo-ta
10+3
kogbo-mono
10+4
kogbo-n’gbouo
10+5
kogbo-gbeplo
10+5+1
kogbo-gbosso
10+5+2
kogbo-gbota
10+5+3
kogbo-kodablo
goloblo
20x1
goloblo-ya-blo
20x1 + 1
goloblo-ya-sô
20x1 + 2
goloblo-ya-kogbo
20x1 + 10
goloblo-ya-kogbo-mono
20x1 + 10 + 4
golosso
20x2
golosso-ya-kogbo
20x2 + 10
golosso-ya-kogbo-gbeplo 20x2 +10 + 5+1
golota
20x3
golota-ya-kogbo
20x3 + 10
golomono
20x4
golomono-ya-kogbo
40x4 + 10
golo-n’gbouo
20x5
Quadro 1.3
Numeração na língua Bambara (Guiné, Mali)
(Fonte: Almeida, p. 404)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
80
90
numeral
kelén
fulá, flá
sabá
maani
duru, dulu
woro
wolomilá, wolonglá
seegi
konontó
tan
mugan, tan-fulá
mugan-ni-tan
debé
debé-ni-tan
kemé
kemé-ni-tan
estrutura
20, 10x2
20+10
40+10
80+10
Quadro 1.4
Numerais na língua Bulanda
(Fonte: Schmidl, p. 192)
6
7
8
9
10
11
12
numeral
gfad
gfad nign foda
gfad nign sibn
gfad nign habn
gfad nign tasila
gfad nign kif
gfad nign fad
estrutura
6
6+1
6+2
6+3
6+4
6+5
6+6
13
Os Bulanda (África ocidental) utilizam seis como base: sete
exprime-se por 6+1, oito por 6+2, etc. [Vide o quadro 1.4]. Os Adele
(Togo) contam ‘koro’ (6), ‘koroke’ (6+1=7), ‘nye’ (8) e ‘nyeki’
(8+1=9) (Schmidl, p. 192).
No seio dos Huku do Uganda as palavras para 13, 14, 15 podem
ser formadas adicionando a doze 1, 2 ou 3. Por exemplo, 13 exprimese por ‘bakumba igimo’, significando ‘doze mais um’. As alternativas
decimais 10+3, 10+4 e 10+5 eram também conhecidas (Schmidl, p.
177, 178).
Uma das vantagens de utilizar um número pequeno – como 5 –
como uma das bases dum sistema verbal de numeração, reside no facto
de que pode facilitar a execução oral ou mental de cálculos onde a
resposta ainda não tinha sido memorizada. Por exemplo, 7+8 seria
(5+2) mais (5+3). Como 2+3=5, acha-se a resposta 5+5+5, 10+5, ou 5
multiplicado por 3.
O princípio duplicativo
Um caso particular do uso da adição para compor numerais
verbais é a situação em que ambos os números são iguais ou diferem
em uma unidade. Por exemplo, entre os Mbai conta-se de 6 para 9 da
seguinte maneira: ‘mutu muta’ (3+3), ‘sa do muta’ (4+3), ‘soso’ (4+4),
e ‘sa dio mi’ (4+5). No seio dos Sango (Norte do Congo / Zaire), 7
exprime-se por ‘-na na-thatu’ (4+3), 8 como ‘mnana’ (4+4) e 9 como
‘-sano na-na’ (5+4) (Schmidl, p. 191, 172). Uma das razões possíveis
para optar pelo princípio duplicativo na composição de numerais entre
6 e 9 é que pode facilitar a execução oral ou mental das operações
aritméticas, em particular da duplicação. Por exemplo, para obter o
dobro de 7, deve-se adicionar, se a resposta ainda não está
memorizada, 4+3 e 4+3. Tendo em conta que 4+3+3 = 10, a resposta
fica 10+4. Aqui seria necessário sublinhar que existiam na África ao
Sul do Sahara fortes tradições de cálculo mental [Vide os quadros 1.5
e 1.6], e que multiplicação oral e mental frequentemente se baseavam
(e ainda às vezes se baseiam) em duplicação repetida [Vide o quadro
1.7].
14
Quadro 1.5
Thomas Fuller, escravo africano e prodígio em cálculo
(Fonte: Fauvel & Gerdes)
Quantos segundos há num ano e meio?
Quantos segundos viveu uma pessoa com setenta anos,
dezassete dias e doze horas de idade?
Suponha que um agricultor tem seis porcas e cada uma tem
seis porcas no primeiro ano e todos os anos aumentam na
mesma proporção, quantas terá o agricultor ao fim de oito
anos?
O leitor será capaz de determinar mentalmente as respostas e
estas questões? Sem papel e caneta? Sem usar um calculador
electrónico?
Thomas Fuller (1710-1790) foi um africano deportado como
escravo para a América em 1724. Com setenta e tal anos ele
ainda era capaz de resolver estes e outros problemas
mentalmente.
Por exemplo, ele sabia multiplicar
mentalmente dois números de nove algorismos, tais como
235643784 x 658251873.
Aprendeu a fazer cálculos mentais em criança, em África.
Thomas Fuller cresceu e foi educado dentro de uma forte
tradição de cálculo mental.
Quadro 1.6
Multiplicação por duplicação repetida
A duplicação é uma estratégia muita utilizada em África para
fazer a multiplicação mental ou oralmente. Um exemplo
ilustra o método.
6 x 13 = ?
Duas vezes treze é igual a vinte e seis. Quatro vezes treze é
duas vezes vinte e seis, isto é, cinquenta e dois. Por isso, seis
vezes treze é vinte e seis mais cinquenta e dois, isto é setenta e
oito:
6 x 13 = 78.
15
Quadro 1.7
A aprendizagem do processo de contar no seio de crianças
Chaga (Tanzania)
(Fonte: Raum, 1967, p.397, 268-269)
No seio dos Chaga pede-se às vezes às crianças pequenas
para contarem dez objectos colocados atrás das costas. Até
nove objectos devem responder de cada vez: ‘Este não é’;
mas para o décimo devem responder: ‘Este é’.
Um rapaz aprende a contar com os companheiros de
brincadeira mais velhos. Obrigam-no a dizer os numerais e
a deitar uma estaca no chão para cada número. Para
complicar as coisas, podem dizer-lhe para deitar no chão
para cada número, a quantidade correspondente de estacas.
Quando comete um erro, perguntam-lhe: ‘Queres ser
comido por um leão?’ ou dizem-lhe: ‘Desonraste-nos a
todos!’
Os Chaga conhecem também um jogo chamado tarumbeta.
Há quatro participantes e cada um traz uma taça com
feijões. Quarenta e cinco feijões são colocados em nove
filas, formando um triângulo. A fila da base tem nove
feijões e cada fila subsequente tem um feijão menos que a
anterior. Um rapaz é escolhido para ser o ‘chefe’, isto é,
16
árbitro. Senta-se ao lado do topo do triângulo. O lugar do
concorrente é na base, virado de costas para os feijões. Os
outros dois rapazes estão sentados nos outros lados do
triângulo e removem os feijões um por um, limpando fila
por fila indo da base para o topo. Após retirar cada feijão,
perguntam ao concorrente quantos feijões já foram
removidos.
Em concordância com as regras do jogo, o concorrente é
proibido de responder quando se remove o primeiro feijão
de uma fila. Quando é permitido responder, no entanto,
deve incluir no cálculo o passo omitido. A criança não
deve apenas visualizar o processo de remoção que decorre
atrás das suas costas, mas também recordar em que altura
não deve responder. O rapaz que não comete nenhum erro
ganha todos os feijões colocados no triângulo.
Quadro 1.8
Exemplos dos princípios subtractivo e aditivo na numeração Yoruba
(Fonte: Tro, p.182-184)
16
17
18
19
20
21
34
35
Numeral
eerin din logun
eeta din logun
eegi din logun
ookan din logun
ogun
ookan le logun
eerin le logban
aarun din logoji
estrutura
4 até 20
3 até 20
2 até 20
1 até 20
1+20
4+30
5 até 20x2
O chamado princípio subtractivo
Em várias línguas africanas utiliza-se também, além dos
princípios aditivo e multiplicativo, a subtracção na formação de
numerais verbais. Por exemplo, na língua Yoruba da Nigéria, 16
exprime-se por ‘eerin din logun’ significando ‘quatro até se chega a
vinte’ [Vide o quadro 1.8]. Um outro exemplo do uso do princípio
subtractivo pode ser encontrado entre os Luba-Hemba (Congo / Zaire).
17
Sete exprime-se por ‘habulwa mwanda’, isto é ‘faltando um até oito’,
e nove é ‘habulwa likumi’, isto é ‘faltando um até dez’ (Schmidl,
p.169).
Variações
O exemplo da Guiné Bissau mostra que sistemas de numeração
falados podem variar muito em regiões geográficas relativamente
pequenas [Vide o quadro 1.9].
Quadro 1.9
Numeração em línguas da Guiné Bissau
(Fontes: Almeida, 389-440; Béart, p.736)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
80
18
Felup
Manjaco
Balante
Bijagó
anor,
ainka
sigabá
sieidji
sibácri
utóc
utócianor
sieidjisieidji
sibácrisieidji
sibácrisibácri
utócsibácri
sibácriutóc
cum-ene
ana bau
ulólé,
pelólé
quetâbe
cuante
quebacre
canhan
pádge
oda, hoda
quilim
sime
caâme
tàilà
tchifo
tchifo com
oda
fulá
sabá
nane
lulo
horo
5+1
5+1
3+3
4+3
4+4
4+5
pádge
napelon
cuásse
6+
1
cuásse
napelon
8+
1
inhanabute
inhanabute
quetâbe
10
x2
tchifo com
sime
tchifo com
caâme
tchifo com
tàilà
5+2 horoguba
5+3
sai
5+4
conontò
tchifo mine
sàuál oda
5x2
20x
1
tam
muan
samenhane
tàilà
20x
4
5+4
tâ sabá
tã sai
10x3
10x8
Os Bijagó têm um sistema decimal puro; os Balante usam um
sistema quinário-vigesimal (5-20); os Manjaco têm um sistema
decimal, com excepção de numerais compostos como 6+1 para 7 e
8+1 para 9; e os Felup empregam um sistema decimal-vigesimal em
que o princípio duplicativo é usado em formas tais como 4+3 para 7 e
4+4 para 8.
Às vezes alguns numerais verbais são adjectivos, enquanto outros
são substantivos. Caso isto aconteça, podem aparecer estruturas para
os numerais verbais que não correspondem directamente a uma adição,
multiplicação ou subtracção. Por exemplo, na língua Tshwa
(Moçambique central) sessenta exprime-se por ‘thlanu wa makumi ni
ginwe’, isto é ‘cinco dezenas mais uma (dezena)’.
Expressões para números grandes
Nos contextos em que foi necessário ter palavras para números
relativamente grandes, aparecem frequentemente numerais verbais
completamente novos ou alguns que exprimem uma relação com a
base do sistema de numeração. Por exemplo, entre os Bangongo
(Congo / Zaire) diz-se ‘kama’ (100), ‘lobombo’ (1000), ‘njuku’
(10,000), ‘lukuli’ (100,000) e ‘losenene’ (1,000,000) (Torday & Joice,
p. 229). No seio dos Ziba (Tanzania) diz-se ‘tsikumi’ para 100,
‘lukumi’ para 1000, e ‘kukumi’ para dez mil. Os três termos
relacionam-se claramente com ‘kumi’ (10). Apenas os prefixos
mudam (Schmidl, p.182).
1.1.2 Numeração por gestos
Contagem por gestos é comum no seio de muitos povos
africanos. Os Yao (Malawi, Moçambique) representam 1, 2, 3 e 4
apontando com o polegar da mão direita 1, 2, 3 ou 4 dedos estendidos
da mão esquerda [Vide o quadro 1.10]. “Cinco” é indicado fazendo
um punho da mão esquerda. “Seis”, “sete”, “oito” e “nove” são
indicados juntando um, dois, três ou quatro dedos estendidos da mão
direita ao punho esquerdo. Para representar dez abrem-se ambas as
mãos, batendo uma na outra.
19
Quadro 1.10
A contagem por gestos no seio dos Yao
(Fonte: Amaral, p. 437).
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Os Makonde do Norte de Moçambique, no entanto, começam a
contagem pela mão direita com apoio do indicador da mão esquerda
[Vide o quadro 1.11]. Para representar “cinco” faz-se um punho com a
mão direita. De seis até nove, a representação é simétrica relativa a de
“um” até “quatro”, isto é, inverte-se o papel das mãos. Agora o
indicador da mão direita aponta os dedos da outra mão. Juntando dois
punhos representa-se dez.
O método de contagem por gestos adoptado pelos Shambaa
(Tanzania, Quénia) utiliza o princípio duplicativo [Vide o quadro
1.12]. Indicam “seis” estendendo os três dedos externos de cada mão;
“sete” ao mostrar quatro dedos na mão direita e três na mão esquerda,
e “oito” mostrando quatro em cada mão.
Para exprimir números maiores que dez, os Sotho (Lesotho)
empregam homens diferentes para indicar as centenas, dezenas e
unidades. Por exemplo, para representar 368, a primeira pessoa
levanta três dedos da mão esquerda representando três centenas, a
segunda levanta o polegar da mão direita para representar seis dezenas,
e a terceira levanta três dedos da mão direita para indicar oito unidades
[Vide o quadro 1.13]. De facto, aqui trata-se de um sistema posicional
porque depende da posição de cada pessoa, conforme indica unidades,
dezenas, centenas, milhares, etc.
Quadro 1.13
A representação de 368 na contagem por gestos dos Sotho
(Fonte: Raum, 1938, p. 20)
21
Quadro 1.11
A contagem por gestos no seio dos Makonde
(Fonte: Guerreiro, p. 14-15)
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Quadro 1.12
A contagem por gestos no seio dos Shambaa
(Fonte: Schmidl, p. 173)
1
2
3
4
5
6
8
7
9
23
A utilização de dedos e mãos para contar pode constituir uma
explicação possível para a escolha de cinco e dez para base de sistemas
de numeração verbal. O uso de bases pode ter sido estimulado
também por práticas de contagem acelerada. Por exemplo, cesteiros
Makonde contam a quantidade de tiras de planta no fundo dos cestos
‘likalala’ quatro por quatro, em vez de uma por uma [Vide o quadro
1.14].
Quadro 1.14
A contagem quatro por quatro na cestaria Makonde
4
4
4
4
4
1.1.3 Instrumentos auxiliares da contagem
Diversos instrumentos auxiliares da contagem eram usados na
África ao Sul do Sahara. Apresentamos alguns exemplos de
Moçambique.
Rapazes da população Chuabo utilizam a seguinte técnica de
contagem quando jogam futebol: as duas metades duma folha de
coqueiro, obtidas depois de lhe ter sido retirada a nervura central,
servem de instrumento de contagem para cada equipa; as metades
chamam-se ‘mulobuó’. Quando uma equipa marca um golo, faz-se
uma dobra no seu ‘mulobuó’ [Vide o quadro 1.15]. No fim do jogo
comparam-se os comprimentos dos dois ‘milobuó’, ou contam-se as
dobras para ver quem ganhou.
24
Quadro 1.15
Mulobuó com dobras
No seio dos Tswa utilizam-se árvores no registo das idades das
crianças. Depois do nascimento de uma criança faz-se um corte no
tronco de uma árvore. Em cada ano que passa, junta-se mais um corte
até a pessoa ter idade suficiente para contar por si próprio. Estacas
com cortes são usadas para controlar o número de animais dum
rebanho. Cada corte corresponde a um animal (Soares, p. 71-79).
Quadro 1.16
Fio com nós
No seio dos Makonde utilizavam-se fios com nós [Vide o quadro
1.16]. Suponha que um homem parte para uma viagem de onze dias.
Ele fazia onze nós num fio e dizia à sua esposa: “Este nó” (tocando o
primeiro) “é hoje, quando estou a partir; amanhã” (tocando o segundo
nó) “estarei a caminhar, e continuarei a caminhar no segundo e terceiro
dia, mas aqui” (pegando no quinto nó) “chegarei ao destino da viagem.
Lá ficarei durante o sexto dia, e no sétimo dia iniciarei o regresso.
Não esqueça, mulher, de desfazer cada dia um nó, e no décimo dia
deve cozinhar para mim, porque no décimo primeiro dia voltarei”
(Weule, p. 329). Mulheres grávidas costumavam fazer um nó num fio
cada lua cheia que passava, para saber a data aproximada em que iam
dar à luz (Dias & Dias, p. 133). Para registar a idade duma pessoa,
25
utilizam-se dois fios; faz-se um nó no primeiro fio a cada lua cheia que
passa; uma vez feitos doze nós, faz-se um nó num segundo fio para
marcar o primeiro ano, etc. (Soares, p. 4).
1.1.4 Outros sistemas de numeração visual
Existe uma variedade de sistemas de numeração em África que,
duma maneira ou outra, são ‘escritos’.
Os Bushongo orientais (Congo / Zaire) contam simultaneamente
três por três e dez por dez. Para cada grupo de três objectos marcam
na areia três traços curtos e paralelos, com três dedos duma mão:
Depois de ter completado de cada vez três grupos de três traços,
marca-se um traço maior para o objecto seguinte, indicando, deste
modo, que foram contados mais dez objectos (Torday, p. 229). Por
exemplo, o agrupamento seguinte representa 36 objectos:
O jogo ‘koti zigi’ é praticado pelos Gbundi e Mende na Libéria e
no oeste da Costa do Marfim. Os jogadores formam padrões
estandardizados de pedras no solo para representar números [Vide o
quadro 1.17]. Observa-se que 6 exprime-se por 3+3, 7 por 3+1+3, 8
por 4+4, 9 por 4+1+4, e 10 por 5+5 ou 4+2+4.
Os Fulani ou Fulbe, um povo semi-nómada do Niger e do Norte
da Nigéria, colocam estacas em frente das suas casas para indicar o
número de vacas ou cabritos que possuem. Uma centena de animais é
representada por duas estacas curtas colocadas no chão formando um
V. Duas estacas que se cruzam, X, simbolizam cinquenta animais.
Quatro estacas numa posição ‘vertical’, | | | |, representam quatro; duas
estacas numa posição ‘horizontal’ e três numa ‘vertical’, — — | | |,
indicam vinte e três animais [Vide o quadro 1.18].
26
Quadro 1.17
A representação de números no jogo “koti zigi”
(Fonte: Béart, p. 714)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Quadro 1.18
A representação de números no seio dos Fulbe
(Fonte: Ale)
1
10
50
100
27
Por exemplo, a configuração seguinte foi encontrada em frente da
casa dum proprietário
VVVVVVXII,
mostrando que possuía 652 vacas (Ale, p. 35-38).
Os povos Akan (Costa de Marfim, Ghana, Togo) usavam pesos
monetários, isto é, usavam estatuetas de pedra ou de metal, ou
simplesmente sementes vegetais como moedas. Estava combinado
que o peso de uma estatueta representava o valor monetário
correspondente a uma certa quantia de ouro em pó do mesmo peso. As
estatuetas representam animais, nós, cadeiras, sandálias, tambores, etc.
As estatuetas podem também ter diversas formas geométricas tais
como pirâmides, estrelas ou cubos. Em muitos pesos monetários
apresentam-se sinais gráficos que representam números [Vide quadro
1.19]. Embora se utilize apenas a base “dez” nas línguas faladas pelos
povos Akan, tais como Anyi, Baoulé, Aboure, Attie e Ebrie, a base
“cinco” encontra-se igualmente nos pesos monetários:
6=5+1=
5=
7=5+2=
8=5+3=
9=5+4=
e
9=5+4=
A estrutura simétrica de um dos símbolos para 11 e de um para 13
pode ser observada:
11 = 3 + 5 + 3 =
e 13 = 4 + 5 + 4 =
Duplicação pode ser observada na transição de
6=
para
12 = 6 + 6 =
28
Quadro 1.19
Exemplos de numerais em pesos monetários dos povos Akan
(Fontes: Niangoran-Bouah, p.253; Mveng, p. 33)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
29
É interessante notar que os Agni, um dos grupos populacionais
Akan, usaram uma série de unidades de pesos monetários com uma
estrutura binária: cada unidade nova é o dobro da unidade anterior
[Vide o quadro 1.20].
Quadro 1.20
Unidades dos pesos monetários dos Agni
(Fonte: Niangoran-Bouah, p. 267)
1 bazien
=
2 banzan
1 mêtêba
=
2 bazien
=
4 banzan
1 adjarikwa
=
2 mêtêba
=
8 banzan
1 smalé
=
2 adjarikwa
=
16 banzan
1 balé
=
2 smalé
=
32 banzan
1 araen
=
2 balé
=
64 banzan
1 bêna
=
2 araen
=
128 banzan
Referências
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Bishop, P. Damerow & P. Gerdes (org.), Mathematics, Education,
Society, UNESCO, Paris, 35-38.
Almeida, António de (1947), Sobre a matemática dos indígenas da
Guiné Portuguesa, Boletim Cultural da Guiné Portuguesa, Lisboa,
6, 389-440.
Amaral, Manuel Gama (1990), O povo Yao, subsídios para o estudo de
um povo do noroeste de Moçambique, Instituto de Investigação
Científica e Tropical, Lisboa.
Béart, Charles (1955), Jeux et jouets de l’ouest africain, IFAN, Dakar.
Dias, Jorge & Dias, Margot (1964), Os Macondes de Moçambique:
cultura material, Lisboa.
30
Fauvel, John & Gerdes, Paulus (1990), African slave and calculating
prodigy: Bicentenary of the Death of Thomas Fuller, Historia
Mathematica, New York, 17, 141-151.
___ (1992), Escravo africano e prodígio em cálculo: Bicentenário da
morte de Thomas Fuller, AMUCHMA, Revista sobre a História da
Matemática em África, Maputo, 1, 37-48.
Guerreiro, M. (1966), Os Macondes de Moçambique: sabedoria,
língua, literatura e jogos, Lisboa.
Mveng, R. (1980), L’art et l’artisanat africains, Editions Clé,
Yaoundé.
Niangoran-Bouah, G. (1984), The Akan world of gold weights, Les
Nouvelles Editions Africaines, Abidjan, Vol.1.
Raum, Otto (1938), Arithmetic in Africa, Evans Brothers, Londres.
___ (1967), Chaga childhood - a description of education in an east
African tribe, Oxford University Press, Londres.
Schmidl, Marianne (1915), Zahl und Zählen in Afrika, Mitteillungen
der Anthropologischen Gesellschaft, Viena, 35(3), 165-209.
Soares, Daniel (1992), Sobre métodos populares de contagem em
Moçambique, Relatório LEMEP, Universidade Pedagógica, Beira.
Torday, Emil & T. Joyce, T. (1911), Notes ethnographiques sur les
peuples communément appelés Bakuba, ainsi que les peuplades
apparentées - Les Bushongo, Annales du Musée du Congo Belge,
Ethnographie, Série III, Tome II, Fasc.I, Bruxelas.
Tro, Gueyes (1980), Étude de quelques systèmes de numération en
Côte d’Ivoire, (publicação do autor), Abidjan.
Weule, Karl (1970), Native life in East Africa (1909), Negro
Universities Press, Westport.
31
1.2 Sobre a história da numeração falada 2
O Homem soube sempre contar?
Pode-se pensar em ‘um’, ‘dois’, ‘três’...isto é tão fácil, o Homem
soube sempre contar! Mas no fim do século passado descobriu-se – a
que é que se chama ‘descobrir’? – no deserto de Kalahari uma etnia
que, na sua língua falada, apenas podia exprimir ‘um’, ‘dois’ e
‘vários’. Faltavam-lhe palavras para ‘quatro’, ‘cinco’, etc... Como é
possível? Uma explicação tribalista podia ser: “esta tribo é tão
estúpida mas...”. Porém, uma tal explicação não tem consistência,
uma vez confrontada com as línguas Bantu. Em muitas línguas Bantu,
os três primeiros numerais 3 são adjectivos, conjugados conforme a
classe do substantivo correspondente, enquanto que os numerais
seguintes são substantivos. Por exemplo, temos na língua Changana:
munhu munwe ‘pessoa uma’,
sinha hunwe
uma pessoa
‘árvore uma’,
uma árvore
vanhu vambiri ‘pessoas duas’, misinha mimbiri ‘árvores duas’,
duas pessoas
vanhu
vanharh
mas:
mune wa
vanhu
2
3
32
duas árvores
‘pessoas três’,
três pessoas
misinha
minharh
‘árvores três’,
três árvores
‘um quarteto
de pessoas’,
quatro pessoas
mune wa
misinha
‘um quarteto de
árvores’,
quatro árvores
Primeira parte do artigo Sobre a origem histórica do conceito de
número, da autoria de Paulus Gerdes, publicado em Ciência e
Tecnologia (Maputo, Vol.1, 1980, 53-57), reeditado como TLANU
mini-brochura nº 5 (Maputo, 1986) e reproduzido em BOLEMA
(Rio Claro, Brasil, Especial Nº 1, 1989, 35-50).
Um numeral (cardinal) falado é uma palavra para indicar um
número, ou seja, para indicar uma determinada quantidade.
Esta diferença linguística sugere uma origem diferente. Por
outras palavras, num passado remoto os antepassados dos actuais
povos Bantu só tinham igualmente numerais para ‘um’, ‘dois’, e ‘três’.
Ainda se pode tentar refugiar numa explicação racista, suspirando:
“...mas o Homem civilizado sempre soube contar”. Que orgulho tinha
o colonizador da sua pretendida civilização! No entanto, também esta
explicação se evapora como água perante o Sol da linguística. No
português, as palavras ‘um’ e ‘dois’ conhecem também uma forma
feminina, a saber ‘uma’ e ‘duas’, enquanto que os outros numerais não
a conhecem, e, ainda por cima, a palavra ‘três’ está relacionada com a
palavra francesa ‘très’, que significa ‘muito’ e com a palavra latina
‘trans’, que significa ‘para além’; quer isto dizer, que, de igual modo,
os antepassados dos povos europeus somente sabiam contar um pouco:
‘um’, ‘dois’, ‘muito’.
Primeiras fases nas sociedades de caçadores e recolectores
Vejamos agora como se foi desenvolvendo a noção de número.
Neste artigo limitamo-nos às primeiras fases do desenvolvimento do
conceito de número natural (1,2,3,4,...).
Para poder responder à nossa pergunta “como?”, apoiar-nos-emos
em resultados da Arqueologia, Linguística e Etnografia, ciências estas
que ainda são relativamente muito jovens. Por exemplo, em África, ao
sul do Sahara, tiveram lugar muito poucas investigações
arqueológicas. Por isso apenas podemos indicar algumas linhas gerais
de desenvolvimento do conceito de número.
As primeiras sociedades humanas foram as de caçadores e
recolectores, e abrangem um período de 500.000 a um milhão de anos.
Inicialmente os homens ainda não dispunham duma noção explícita de
número mas já aprendiam a tirar determinadas conclusões importantes
para a reprodução da sua vida, conclusões às quais, actualmente, se
chamam quantitativas.
Assim, por exemplo, foram aprendendo a estimar quantidades de
comida: para hoje já capturámos bastantes animais ou não; para hoje já
colhemos frutos suficientes ou não. Este processo de aprender a
estimar foi possível na base, por um lado, da constituição biológica do
Homem, e, por outro, da experiência acumulada ao comparar os
resultados do trabalho dum dia com os dos dias anteriores.
33
Exemplo hipotético
Dois grupos de caçadores vão em direcções diferentes, à
descoberta. Ambos encontram, por exemplo, algumas gazelas, e
voltam à tribo para buscar os outros. Mas como decidir em que
direcção é que se deve ir à caça? Comparando, um caçador exprime:
“Vi tantas gazelas como um pássaro tem asas”, enquanto que um outro
diz: “Vi tantas gazelas como a minha mão ‘conta’ dedos”.
Comparações
Este exemplo hipotético ilustra o seguinte: em resposta a
determinadas necessidades surgidas – tais como comunicar e tomar
decisões, em particular, no que se refere à reprodução da vida –
começou-se a comparar colecções de objectos, de tal modo que a
quantidade de uma colecção se tornava clara através da comparação
com a quantidade de uma outra colecção: “tantas gazelas como uma
ave tem asas”, “tantos cabritos como uma mão tem dedos”...4
Desta fase de desenvolvimento encontramos ainda vestígios em
muitas línguas actuais. Assim, os numerais correspondentes a ‘cinco’
em Zulu, Changana e Swahili, ‘hlanu’, ‘nthlanu’ e ‘tano’
respectivamente (duma origem comum), significavam, segundo alguns
autores 5, originalmente ‘mão’ ou ‘punho’, como também acontece,
por exemplo, no grego ou no russo. Na língua Banda da África
central, o numeral correspondente a ‘vinte’ significa, à letra, ‘homem
completo’, referindo-se ao total de vinte dedos de um homem. Um
exemplo interessante encontra-se na língua Mandingo falada no Mali.
A palavra para ‘nove’, a saber ‘kononto’, significa ‘aquele lá na
4
5
34
Ao comparar, deste modo, duas quantidades chama-se, na
matemática actual, pôr numa correspondência biunívoca os dois
conjuntos: a cada elemento do primeiro conjunto faz-se
corresponder, duma maneira biunívoca, um elemento do outro
(por exemplo, a cada asa corresponde uma gazela).
Vide Schmidl, M., Zahl und Zählen in Afrika, Mitteilungen der
anthropo-logischen Gesellschaft in Wien, Viena, 1915, Vol.45,
p.168
barriga’, dizendo respeito aos nove meses da duração duma gravidez.6
Adjectivos
Estes vestígios nas línguas actuais já indicam a transição de
comparações individualmente inventadas, e que possivelmente não são
imediatamente compreendidas por toda a gente, para comparações
mais correntes, geralmente aceites dentro de uma determinada cultura.
Foram desenvolvendo numerais como abreviatura de comparações
que eram claras para cada um. Estes primeiros numerais reflectem
uma propriedade dum conjunto de objectos e são, por isso, adjectivos,
que podem ser conjugados, como nos mostram os seguintes exemplos:
em português ‘dois carros’ mas ‘duas crianças’, conforme o género do
substantivo envolvido. Na língua Changana ‘sinha hunwe’ (uma
árvore), xiharhi xinwe’ (um animal), ‘munhu munwe’ (uma pessoa),
correspondente à classe do substantivo. Aqui vemos uma raíz comum
‘-nwe’ nos numerais para ‘um’. O aparecimento de uma raíz comum
para indicar quantidades iguais de objectos de classes diferentes pode
pertencer a uma fase posterior, como a língua dos índios norteamericanos Tsimshia nos mostra provavelmente: ‘t’epqat’, ‘goupal’,
‘gaopskan’, ‘g’alpeeltk’, e ‘gulbel’ são numerais diferentes, todos
indicando dois objectos, mas pertencentes a classes diferentes, tais
como de objectos achatados, redondos compridos, pessoas, canoas e
medidas, respectivamente.7
Substantivação
Pode-se observar um desenvolvimento na direcção duma
substantivação crescente dos numerais no sentido de que, cada vez
mais, para mais classes de objectos são utilizados os mesmos
numerais, como por exemplo, no Português, o numeral ‘três’ pode ser
usado para quaisquer objectos e não só para redondos ou achatados.
Em muitas sociedades constata-se um outro desenvolvimento paralelo
a esta substantivação. É o desenvolvimento para comparar com
determinadas colecções padrão, tais como dedos, cortes num pau, nós
num fio, pedrinhas (no Latim a palavra para pedrinhas é ‘calculi’, da
6
7
Vide Zaslavsky, C., Black african traditional mathematics, The
Mathematics Teacher, Reston (EUA), 1970, Nº 4, p.346
Vide Conant, L., The number concept, Nova Iorque, 1896, p.87
35
qual deriva a palavra portuguesa ‘cálculo’), riscos em pedras ou ossos,
etc. Perto de Ishango, no actual Zaire, foram encontrados vestígios de
tais riscos paralelos feitos entre 9000 e 6500 a.C. 8 Mais recentemente
foi encontrado numa cave nos Montes Libombo, na fronteira entre a
Suazilândia e a África do Sul, um osso em que foram feitos 29 riscos
paralelos e que data de, aproximadamente 35.000 a.C., constituindo
“um dos vestígios mais antigos da actividade matemática”. 9
É possível que noutras sociedades estas formas de comparar
precedessem e estimulassem essa substantivação dos numerais.
Resumo esquemático
Em resumo, podemos constatar que a noção de número (os
números naturais mais pequenos) e a possibilidade de falar sobre estas
quantidades, ou seja a introdução de numerais falados, foram nascendo
num processo de abstracção, cada vez mais, de determinadas
propriedades das colecções de objectos que o Homem das sociedades
de caçadores e recolectores encontrava, como resposta criadora aos
problemas que enfrentava na sua vida diária. A noção de número e a
utilização de numerais reflectem a experiência acumulada por
‘inumeráveis’ gerações.
Um processo semelhante de abstracção verifica-se na formação
de outros conceitos, por exemplo, na noção de ‘cor’. Em esquema: 10
8
9
10
36
Vide Zaslavsky, C., Africa Counts, Boston, 1973, p.19
Vide Bogoshi, J. e outros, The oldest mathematical artefact, The
Mathematical Gazette, Londres, nº 71, 1987, p.294
Compare Aleksandrov, A., A general view of mathematics,
Mathematics, its contents, methods and meaning, Nova Iorque,
1969, Vol.1, p.10
objecto considerado
como um todo
|
Comparar
tal como um corvo
|
|
tantos...como uma
ave tem asas
|
|
|
adjectivo
pedra negra
duas árvores
(propriedade de uma
colecção de objectos)
|
|
|
|
|
|
|
substantivo
negrura
dois
(propriedade
distinguida dos
objectos concretos)
|
|
|
|
cor
número natural
A propriedade que é comum a todos os conjuntos cujos
elementos podem ser postos numa correspondência biunívoca com as
asas de um pássaro, é o número indicado pelo numeral falado ‘dois’
ou pelo numeral escrito ‘2’ (dizendo-se, muitas vezes,
abreviadamente, o número ‘dois’).
37
Mapa 1
Distribuição geográfica de algumas línguas e dialectos
Zambia
Yao
akhuwa
M
ak
h u wa
e
Lohm
ti
Co
abo
huw
Lolo
un
gw
e
Ny
Mak
M
N
a Ch yanja
g
n D eu /
Se
Shona emaa
hi l
a
Sw
onde
Se C
na
Shona/
Ndau
Zimbabwe
Tshwa
Git o n g a
Africa do Sul
Tsonga
-Chang
ana
Oceano Indico
e
Chop
Ronga
Swazi
Suazilandia
38
Zulu
i
Mwani
Malawi
Nyanja
Yao
Tanzania
Cap. 2: Fontes escritas
Capítulo 2
Fontes escritas sobre a numeração e a contagem em
Moçambique
Fonte: M. Viegas Guerreiro, Rudimentos da Língua Maconde,
Instituto de Investigação Científica de Moçambique, Lourenço
Marques, 1963, p. 21-22
CARDINAIS:
um
dois
três
quatro
cinco
seis
sete
oito
nove
dez
onze
doze
treze
catorze
quinze
dezasseis
vinte
vinte e um
-mo
mbili, -vili
natu, -tatu
ncheche
mwanu
mwanu na -mo
mwanu na mbili, -vili
mwanu na natu, -tatu
mwanu na ncheche
kumi
kumi na -mo
kumi na mbili, -vili
kumi na natu, -tatu
kumi na ncheche
kumi na mwanu
kumi namwana na -mo, etc.
makumi mavili
makumi mavili na -mo, etc.
39
vinte seis
trinta
quarenta
cinquenta
sessenta
setenta
oitenta
noventa
cem
makumi mavili na mwanu na-mo, etc.
makumi matatu
makumi ncheche
makumi mwanu
makumi mwanu na limo
makumi mwanu na mavili
makumi mwanu na matatu
makumi mwanu na ncheche
makumi kumi ou
imia (imo)
Os cardinais -mo, -vili, -tatu tomam, na sua concordância, os
prefixos dos substantivos. Atente-se, porém, em que na 1ª e 2ª classes
o prefixo de -mo é u- : munu umo, mpini umo.
40
Mapa 2
Distribuição geográfica dos falantes da língua
Makonde
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
41
2.2 A contagem entre os Makonde
Fonte: M. Viegas Guerreiro, Os Macondes de Moçambique, Lisboa,
1966, Vol. 4, 14-17
1
Quando se pede a um maconde que conte, logo ele utiliza os
dedos das mãos. Com o indicador da mão esquerda e os outros
dedos recolhidos, baixa o mínimo da mão direita até à palma da
mão e em seguida o anelar, médio, indicador, indo o polegar
acomodar-se sob o indicador e ficando o punho fechado. E vai
dizendo:
1
2
3
4
5
7
imo
mbili
nnatu
ncheche
mwanu
É, depois, o indicador da mão direita que faz baixar do mesmo
modo cada um dos dedos da mão esquerda, e, contado o polegar,
bate com os punhos um no outro, pronunciando o número 10:
6
7
8
9
10
mwanu na imo
mwanu na mbili
mwanu na nnatu
mwanu na ncheche
kumi
10 Se quer prosseguir, torna a contar o mesmo modo até 10, e, ao
bater com os punhos um no outro, diz:
20 makumi mavili
12 E assim por diante até 100:
30
40
50
60
42
makumi matatu
makumi ncheche
makumi mwanu
70
80
90
100
makumi mwanu na matatu
makumi mwanu na ncheche
makumi kumi
13 Usa-se muito, em vez da expressão makumi kumi, o vocábulo
suaíli imia.
15 Note-se que, com seis palavras apenas, se conta até 100. Usa-se
um sistema quinário combinado com outro decimal:
mwanu na imo - cinco e um
mwanu na mbili - cinco e dois, etc.
19 Kumi (“dez”) tem o plural makumi, e mbili (“dois”), mavili.
“Vinte” diz-se makumi mavili (“dois dez”), e “trinta” makumi
matatu (“três dez”), sendo matatu o plural de nnatu; e assim por
diante.
23 Não se dizem números separados dos nomes dos objectos que se
contam. À pergunta de Vapitile vanembo dachi? (“Quantos
elefantes passaram?”), respondem com o punho fechado, por
exemplo: Vandipita vanembo mwanu (“Passaram cinco
elefantes”), e não “Passaram cinco”. Se tiverem de responder
“dez”, acompanharão as palavras do batimento de ambos os
punhos. E isto tanto de dia como de noite, ainda que os punhos
não se vejam. Somam-se aqui dois símbolos do concreto: nomes e
dedos.
32 A abstracção máxima de que são capazes, neste domínio, é a que
está contida na generalidade do vocábulo vinu (“coisas”):
Vinu dachi? - Quantas coisas?
Vinu mwanu
- Cinco coisas.
36 Não pude achar qualquer relação de sentido entre os nomes dos
números e pessoas ou coisas. Em lugar de mwanu (“cinco”),
empregam, às vezes, nkono umo (“uma mão”), mas é, segundo
afirmam, expressão recente e usada exclusivamente para copos de
cerveja: Ngupimila nkono umo [“Dá-me uma mão” (cinco copos
de cerveja)].
42 Não têm numeração escrita. O que fazem é riscos no chão para
representar as dezenas; o do número 10 fica mais comprido. O
43
processo é principalmente usando na marcação de pontos, nos
jogos.
46 Para contar números maiores costumam dar nós num cordel, de
dez em dez unidades. É assim que os presos contam os dias de
reclusão, afirma-se. Se trazem coisas para troca e as contaram
deste modo em casa, vão desatando os nós à medida que as
entregam.
51 Também juntam um a um, em grupos de dez, os objectos que
querem trocar (batata doce, bananas, papaias, laranjas, peixes). E,
se não estes, pedrinhas que os representem.
54 Em outro tempo contavam também pelos dedos dos pés. Acabados
os das mãos, descia o indicador da direita ao dedo grande do pé
direito e, passando pelos outros e para o outro pé, completavam a
segunda dezena fechando o número com as palavras:
20
kumi na ku madodo (dez e os dos pés)
59 Um homem vulgar sabe contar até 100 e muitas mulheres só até
10. Para além deste número hesitam e, sorrindo, com um sacudido
encolher do ombro esquerdo exclamam: Hi! Namanya! (“Não
sei”).
63 Algumas encontrei, porém, a contar com desembaraço como os
homens. Uma mulher de idade levou os números até 100,
acrescentando que aprendera isso no tempo em que ia vender
borracha aos Brancos.
67 A influência do quissuaíli é hoje, todavia, muito grande, e uma
parte dos homens usa-o para contar as centenas e os grandes
números.
70 É escusado dizer que foi o comércio com os Brancos e os
trabalhos remunerados que, principalmente, puseram os Macondes
na necessidade de ampliar a sua aritmética.
Comentários e questões para reflexão
1.
Vide linhas 19-20. O leitor concorda com a tradução de
“makumi mavili” por “dois dez”? Ou prefere “dez dois”,
“dezenas duas” ou outra?
2.
Na linha 23 o autor fala em “números”, onde devia empregar a
expressão “numerais”. Porquê?
3.
O leitor concorda ou não com a afirmação “Não tem numeração
escrita” (linha 42)?
4.
Na linha 46 seria mais vulgar dizer-se “contar quantidades” em
vez de “contar números”. Está errado dizer-se “contar números”?
5.
A língua Makonde utiliza as bases de “cinco” e “dez”. Compare
com o agrupamento de riscos, nós e pedrinhas (linhas 42-53).
6.
Conforme as linhas 59-66, os homens sabiam em geral contar
mais do que as mulheres. Quais podem ter sido as razões que
contribuíram para tal situação?
45
Fonte: Estêvão Jaime Mpalume & Marcos Agostinho Mandumbwe,
Nashilangola wa shitangodi sha Shimakonde, Guia da língua
Makonde, Núcleo da Associação dos Escritores Moçambicanos
de Cabo Delgado, 1991, p. 100-101, 103, 106
As palavras que indicam a quantidade determinada das pessoas,
coisas, animais e das acções e estados ou a sua ordem numa série
chamam-se numerais.
Numerais cardinais, exprimem o número das coisas, das pessoas
e dos animais.
Ex: Vila (0), imo (1), mbili (2), natu (3), nceshe (4), mwanu (5),
mwanu na imo (6), mwanu na mbili (7), mwanu na natu (8), mwanu na
nceshe (9), kumi (10) etc. Os numerais imo, mbili, natu, nceshe,
mwanu, kumi, imiya, élupu a sua enumeração é absoluta, e os restantes
resultam da combinação ou adição dos numerais mwanu, kumi, imiya
e elupu.
Ex: mwanu na imo (seis), mwanu na mbili (sete), mwanu na natu
(oito), mwanu na nceshe (nove), kumi na imo (onze), kumi na mbili
(doze), dimiya mbili (duzentos) dimiya natu (trezentos), dyélupu mbili
(dois mil), dyélupu natu (três mil), etc.
Todos os numerais concordam com os substantivos, segundo as
classes nominais e prefixo de dependência (genitivizado).
1 imo, umo, shimo, limo 2 mbili, vavili, vivili
3 natu, vatatu, vitatu
4 nceshe
5 mwanu
6 mwanu na imo
7 mwanu na mbili
8 mwanu na natu
9 mwanu na nceshe
10 kumi
11 kumi na imo
12 kumi na mbili
46
13
14
15
16
20
21
30
40
kumi na natu kumi na nceshe
kumi na mwanu
kumi na mwanu na imo
makumi mavili
makumi mavili na imo
makumi matatu
makumi nceshe
Sentido de adição, subtracção, multiplicação e divisão
Adição
Na língua makonde, a operação que serve para somar, juntar,
reunir, aumentar, adicionar, para saber a soma ou total, é kwanjedya.
Exemplo: mbili kwanjedya natu, pamo mwanu (dois mais três é igual a
cinco).
Subtracção
Para tirar, diminuir ou subtrair, para saber o resto ou a diferença,
para saber quanto sobra menos ou quanto falta é kupungula. Exemplo:
mwanu kupungula natu dijalila mbili (cinco menos três restam dois).
Multiplicação
A multiplicação indica-nos “vezes mais”. Em Shimákonde “vezes
mais” é mwanda (singular) e myanda (plural), ou imindi (singular) e
dimindi (plural).
Exemplos:
*
natu kwa mwanda umo, pamo natu (três vezes um é igual a três)
*
natu kwa myanda mivili, pamo mwanu imo (três vezes dois é
igual a seis)
*
natu kwa imindi imo, pamo natu (três vezes um é igual a três)
*
natu kwa dimindi mbili, pamo mwanu na imo (três vezes dois, é
igual a seis).
47
Divisão
Dividir é repartir, é distribuir. Em Shimákonde, dividir é kujava.
Exemplos:
*
nceshe kujavania kwa mbili ni mbili (quatro a dividir por dois dá
dois)
*
nceshe kujavania kwa imo ni nceshe (quatro a dividir por um dá
quatro).
48
Mapa 3
Yao
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
49
2.4 Numerais na língua Yao
Fonte: Miguel J. Viana, Dicionário de Português - Chi-Yao e Chi-Yao
- Português, Memória do Instituto de Investigação Científica de
Moçambique, Lourenço Marques, 1961, Vol. 3, 1-172, p. 16-17
A numeração chi-yao compõe-se basicamente de 1, 2, 3, 4, 5, 10
e 100. Os demais números formam-se combinando aqueles entre si.
Os números 1, 2 e 3 simples ou compostos, concordam com os
substantivos, conforme a classe a que pertencem, e formam-se,
portanto, fazendo-os preceder dos respectivos prefixos especificativos
ou relativos. Os números 4 e 5 são invariáveis. Os números 10 e 100
funcionam como substantivos da 5ª classe (likumi/ma, lichila/ma).
Numerais cardinais:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
50
-mo
-widi, -wili
tatu
mcheche
msano
msano na (ou bambu) -mo
msano na (ou bambu) -widi, etc.
msano na (ou bambu) tatu
msano na (ou bambu) mcheche
likumi
likumi kwisa (ou bambu) -mo
likumi kwisa (ou bambu) -widi ,etc.
likumi kwisa (ou bambu) tatu
likumi kwisa (ou bambu) mcheche
likumi kwisa (ou bambu) msano
likumi kwisa (ou bambu) msano na -mo
likumi kwisa (ou bambu) msano na -widi, etc.
likumi kwisa (ou bambu) msano na tatu
likumi kwisa (ou bambu) msano na mcheche
makumi gawidi
makumi gawidi kwisa (ou bambu) -mo
makumi gawidi kwisa (ou bambu) -widi, etc.
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
40
42
46
47
50
60
70
73
78
80
90
99
100
102
110
116
127
199
200
makumi gawidi kwisa (ou bambu) tatu
makumi gawidi kwisa (ou bambu) mcheche
makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano
makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano na -mo
makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano na -widi, etc.
makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano na tatu
makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano na mcheche
makumi gatatu
makumi gatatu kwisa gatatu kwisa (ou bambu) -mo
makumi gatatu kwisa (ou bambu) -widi, etc.
makumi gatatu kwisa (ou bambu) tatu
makumi gatatu kwisa (ou bambu) mcheche
makumi gatatu kwisa (ou bambu) msano
makumi gatatu kwisa ( (ou bambu) msano na -mo
makumi mcheche
makumi mcheche kwisa (ou bambu) -widi, etc.
makumi mcheche kwisa (ou bambu) msano na -mo
makumi mcheche kwisa (ou bambu) msano na -widi, etc.
makumi msano
makumi msano na limo
makumi msano na gawidi
makumi msano na gawidi kwisa (ou bambu) tatu
makumi msano na gawidi kwisa (ou bambu) msano na
tatu
makumi msano na gatatu
makumi msano na mcheche
makumi msano na mcheche kwisa (ou bambu) msano na
mcheche
lichila
lichila kwisa (ou bambu) -widi, etc.
lichila kwisa (ou bambu) likumi
lichila kwisa (ou bambu) likumi kwisa (ou bambu)
msano na mo
lichila kwisa (ou bambu) makumi gawidi kwisa (ou
bambu) msano na -widi, etc.
lichila kwisa (ou bambu) makumi msano na mcheche
machila gawidi
51
283 machila gawidi kwisa (ou bambu) makumi msano na
gatatu kwisa (ou bambu) tatu
1000 machila likume.
1965 machila likumi kwisa (ou bambu) msano na mcheche
kwisa (ou bambu) makumi msano na limo kwisa (ou
bambu) msano.
2000 machila makumi gawidi
Exemplos:
litete limo
lukosyo lumo
chipula chimo
maganga gatatu
isopo itatu
kajuni katatu
ndembo siwidi
wandu wawidi
ipewa iwidi
musogo makumi usano na
gawidi
nyuchi likumi siwidi
chiswi chimo na imbanga
makume gatatu kwisa msano
na iwidi
um caniço.
um clã.
uma faca.
três pedras
três anzóis.
três passarinhos.
dois elefantes.
dois homens.
dois chapéus.
setenta cães-do-mato
doze abelhas.
um leopardo e trinta e sete
milhafres.
1.
Concorda ou não com a utilização do termo “número” nas linhas
2 e 3? Porquê?
2.5 A contagem entre os Yao
Fonte: Manuel Gama Amaral, O povo Yao, subsídios para o estudo de
um povo do noroeste de Moçambique, Instituto de Investigação
Científica e Tropical, Lisboa, 1990, p.437-439
Na contagem usam os wayao apenas seis vocábulos diferentes: os
números de um a cinco e o número dez. Todos os demais resultam da
combinação dos primeiros cinco entre si ou com o número dez.
Contrariamente ao que é habitual a quem costuma contar pelos
dedos, que o faz, geralmente, com a mão esquerda aberta e com o
indicador da mão direita apontando os dedos a partir do mínimo que é
o “um”, até o polegar, que é o “cinco” e voltando ao mínimo como
(seis), seguindo até o polegar, que será o “dez”, os wayao fazem a
contagem dos primeiros cinco números fechando os dedos da mão
esquerda sobre o respectivo polegar.
Com o dedo polegar da mão direita levantam e estendem o dedo
mínimo da mão esquerda dizendo “cimo”, um (subentendendo “cala”,
dedo); repetem o gesto, em relação ao anelar, médio e indicador,
dizendo, respectivamente: “iwili”, “itatu”, “ncece” (subentendendo
“iyaka”, dedos). E chegando ao número cinco fecham, de novo, os
quatro dedos sobre o polegar, dizendo “nsano”, cinco.
A contagem de cinco a nove é feita da seguinte forma: a mão
esquerda mantém-se fechada sobre o polegar enquanto se vão
introduzindo os dedos da mão direita, um de cada vez e a partir do
mínimo até o indicador, debaixo dos dedos da mão esquerda, fechada,
e contando: “nsano nacimo”, seis, para o mínimo; “nsano naiwili”,
sete, para o anelar; “nsano naitatu”, oito, para o médio; “nsano
nancece”, nove, para o indicador. Contando o nove abrem ambas as
mãos e, batendo-as, dizem: “likumi”, dez.
De dez a quinze a contagem é feita de modo idêntico à de cinco a
dez, isto é, com a mão esquerda fechada sobre o polegar e sendo a
contagem feita com os dedos da mão direita que se vão introduzindo
debaixo dos dedos da mão esquerda fechada, pela seguinte forma:
introduz-se o mínimo e diz-se “likumi kwisa cimo” onze; para o anelar
diz-se “likumi kwisa iwili”, doze; para o médio diz-se “likumi kwisa
itatu”, treze. Chegado aqui não se introduz o polegar para contar
quinze, mas sim, retira-se a mão direita e, abrindo-a, voltada para
53
cima, faz-se um gesto para a frente, como quem vai depositar alguma
coisa e diz-se “likumi kwisa nsano”, quinze.
De quinze a dezanove segue-se o mesmo processo utilizado de
dez a catorze. Ao chegar a vinte, com a mão direita aberta, faz-se o
gesto de quem se vai apoderar de alguma coisa (neste caso a contagem
até quinze) seguindo-se um duplo batimento de mãos e pronunciando
“makumi gawili”, vinte. As dezenas seguintes são assinaladas por
três, quatro, etc., batimentos de mãos, seguidos da indicação da
terceira, quarta, etc., dezenas.
Likumi, dez, parece ter origem nas palavras “ligasa”, mão aberta,
e no verbo “kuwika”, juntar.
A seguir relaciono os numerais cardinais, em língua Ciyao, a
partir de um até mil:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
54
cimo
iwili
itatu
ncece
nsano
nsano nacimo
nsano nawili
nsano naitatu
nsano nancece
likumi
likumi kwisa cimo
likumi kwisa iwili
likumi kwisa itatu
likumi kwisa ncece
likumi kwisa nsano
likumi kwisa nsano nacimo
likumi kwisa nsano naiwili
likumi kwisa nsano naitatu
likumi kwisa nsano nancece
makumi gawili
makumi gawili kwisa cimo
makumi gawili kwisa iwili
makumi gawili kwisa itatu
24
25
26
27
28
29
30
31
40
41
50
51
60
61
70
71
80
81
90
91
100
101
200
201
300
301
400
500
600
700
800
900
1000
makumi gawili kwisa ncece
makumi gawili kwisa nsano
makumi gawili kwisa nsano nacimo
makumi gawili kwisa nsano naiwili
makumi gawili kwisa nsano naiwili
makumi gawili kwisa nsano nancece
makumi gatatu
makumi gatatu kwisa cimo, etc.
makumi ncece
makumi ncece kwisa cimo, etc.
makumi nsano
makumi nsano kwisa cimo, etc.
makumi nsano nalimo
makumi nsano nalimo kwisa cimo, etc.
makumi nsano nagawili
makumi nsano nagawili kwisa cimo, etc.
makumi nsano nagatatu
makumi nsano nagatatu kwisa cimo, etc.
makumi nsano nancece
makumi nsano nancece kwisa cimo, etc.
licila
licila kwisa cimo, etc.
macila gawili
macila gawili kwisa cimo, etc.
macila gatatu
macila gatatu kwisa cimo, etc.
macila ncece
macila nsano
macila nsano kwisa cimo
macila nsano kwisa gawili ou
macila nsano nagawili
macila nsano kwisa gatatu ou
macila nsano nagatatu
macila nsano nancece
macila likumi.
55
1.
2.
Observando a tabela de numeração em Yao fornecida pelo autor,
concorda ou não com a afirmação na primeira linha, segundo a
qual os Yao usam “apenas seis vocábulos diferentes”?
Analisando o texto, indique onde o autor emprega a palavra
“número” de forma errada.
Mapa 4
Nyanja
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
57
2.6 Numerais na língua Nyanja
Fonte: Missionários da Companhia de Jesus, Elementos da Gramática
Cinyanja, Junta de Investigações do Ultramar, Lisboa, 1964, p.
56-58
Os numerais concordam com as coisas numeradas, como
qualquer adjectivo em número e classe; e por isso apresentamos só o
radical precedido de +.
Numerais cardinais:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
16
20
21
60
61
75
100
200
1000
58
+modzi
+wiri
+tatu
+nai
+sanu
+sanu ndi + modzi
+sanu ndi +wiri
+sanu ndi +tatu
+sanu ndi +nai
khumi
khumi ndi +modzi
khumi ndi +wiri
khumi ndi +sanu ndi +modzi
makumi awiri
makumi awiri ndi +modzi
makumi asanu ndi limodzi
makumi asanu ndi limodzi ndi
+modzi
makumi asanu ndi awiri ndi +sanu
dzana ou makumi khumi
madzana awiri ou
makumi khumi kawiri
(duas vezes dez dezenas)
cikwi ou
madzana khumi (dez centenas)
Observação:
O cinyanja, muito pobre na numeração, chega só até cinco
(+sanu). Daí para diante vai somando; 6 (5+1), +sanu ndi +modzi, até
10 (dez ou dezena), khumi (da 6ª classe); 11 (10+1), khumi ndi +
modzi; 16 (10+5+1), khumi ndi +sanu ndi +modzi; 22 (2 dezenas +
2), makumi awiri ndi +wiri; 38 (3 dezenas +5+3), makumi atatu ndi
+sanu ndi +tatu; 69 (5 dezenas +1 dezena +5+4), makumi asanu ndi
limodzi ndi +sanu ndi +nai, ou makumi asanu ndi limodzi kudza
+sanu ndi +nai, ou ainda makumi asanu ndi limodzi, kudza mphambu
zisanu ndi zinai (5 dezenas + 1 dezena, vindo 5+4 unidades).
Como se pode verificar, quanto mais cresce o número mais
complicada é a contagem. Por isso, a partir de cinco passa-se a contar
em inglês ou português.
Os vocábulos kudza (do verbo kudza vir, sobreviver), e mphambu
(unidade) são imprescindíveis em frases que originariam confusão.
Exemplo:
87 pessoas (5 dezenas + 3 dezenas + 5 unidades + 2 unidades de
pessoas) seria: anthu makumi asanu ndi atatu, kudza mphambu zisanu
ndi ziwiri, ou anhtu makumi asanu ndi atatu, kudza anthu asanu ndi
awiri , e não simplesmente: anthu makumi asanu ndi atatu ndi asanu
ndi awiri, porque pela igualdade de características de concordância de
anthu (pessoas) e makumi (dezenas) tanto se poderia entender: 5
dezenas + 3 dezenas + 5 dezenas + 2 dezenas de pessoas (=150
pessoas), como 5 dezenas + 3 dezenas de pessoas +5+2 pessoas (=87
pessoas).
1.
2.
Comente a afirmação segundo a qual a língua Nyanja é “muito
pobre na numeração” (linha 6).
Considere o parágrafo das linhas 15-17.
O argumento
apresentado pelos autores é ou não suficiente e relevante para a
conclusão a que chegam?
59
Mapa 5
O Distrito de Macanga
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
60
2.7 Sentido numérico Cheua
Fonte: A.Rita-Ferreira, Os Cheuas da Macanga, in: Memórias de
Investigação Científica de Moçambique, Lourenço Marques,
1966, Vol. 8, p. 259
1
Os Cheuas manifestam acentuada limitação do sentido matemático
e geométrico, limitação que se não deve atribuir a defeito
intelectual mas unicamente à carência de incentivos. À medida
que, sob o impulso da civilização, vão desenvolvendo as suas
necessidades económicas, desenvolvem também a arte de contar.
Sintomática desta evolução é a adopção do sistema decenal
oriundo de Tete e, mais modernamente, dos numerais portugueses.
8
O jogo das pedras conhecido por tsolo demonstra que o sentido
numérico não é tão deficiente como parece.
Podem contar-se sete numerais:
1
2
3
4
5
10
100
-modzi
-wiri
-tatu
-nai
-sanu
-khumi
-dzana.
11 O sistema é pois quinário. Qualquer outro número deve ser feito
com combinações destas sete palavras. Por exemplo, para
designar 8 dir-se-á sanu ndi tatu, para designar-se 21 dir-se-á
makumi awiri ndi modzi. Esta crescente complicação da frase à
medida que aumenta a quantidade, levou, como dissemos, à
adopção dos numerais portugueses e ingleses.
17 Na contagem de dinheiro usam os Cheuas da Macanga as
expressões: kobiri (corrupção de cobre), para designar a moeda de
$50, e drama, para indicar a moeda de 5$00. A importância de
2$50 será referida por kobiri asanu, e a de 50$00 por drama
khumi. Os trabalhadores migratórios regressados dos territórios
estrangeiros vizinhos introduziram o hábito de designar o dinheiro
segundo termos britânicos, dado que entre o nosso sistema e o
61
esterlino existia certa correlação. Assim, a moeda de $50 passou a
ser conhecida por peny, a de 1$00 por two pence, a de 2$50 por
six pence, a de 5$00 por shirini (corrupção de “shilling”), e,
enfim, a nota de 100$00 por bondo (corrupção de “pound”). Hoje
mesmo, apesar dos esforços das autoridades, esta terminologia
continua em voga, provocando compreensíveis confusões
derivadas da desvalorização da libra.
1.
2.
3.
4.
5.
Concorda ou não com a afirmação sobre a “acentuada limitação
do sentido matemático” e a explicação da mesma dada pelo autor
(linhas 1-7)?
Considera ou não contar uma arte (linha 5)? Porquê?
Segundo o Dicionário da Língua Portuguesa (Porto Editora, 6ª
edição), ‘decenal’ significa “que dura dez anos; que se realiza de
dez em dez anos”. Acha o termo o mais adequado para ser
utilizado na linha 6?
O sistema de numeração cheua é classificado de quinário pelo
autor. Concorda ou não com esta classificação? Porquê?
Concorda ou não com a explicação dada pelo autor para a
adopção de numerais portugueses e ingleses (linha 15 e seg.)?
2.8 Numerais na língua Nyungwe
Fonte: Victor J. Courtois, Elementos de Grammática Tetense (1887),
1890, p.39
Numerais Cardinais.
São aqueles que indicam o número. Tomam o prefixo dos nomes que
determinam.
0 paribe, ou papezi
1 posi;
e
bodzi, modzi,
adjectivo indefinido
2 piri
3 tatu
4 nai
5 xanu
6 tant’atu
7 chinomue
8 sere
9 f’emba
10 k’umi
11 k’umi na ibodzi
12 k’umi na ziwiri
13 k’umi na zitatu
14 k’umi na zinai
20 mak’umi mawiri
21 mak’umi mawiri na ibodzi
22 mak’umi mawiri na ziwiri
23 mak’umi mawiri na zitatu
30 mak’umi matatu
31 mak’umi matatu na ibodzi
40 mak’umi manai
50 mak’umi maxanu
60 mak’umi matant’atu
70 mak’umi manomue
80 mak’umi masere
90 mak’umi maf’emba
quando
63
100
101
110
120
200
300
500
900
1000
2000
3000
10000
dzana
dzana na ibodzi
dzana na k’umi
dzana na mak’umawiri
madzana mawiri
madzana matatu
madzana maxanu
madzana maf’emba
churu
bzuru bziwiri
bzuru bzitatu
bzuru k’umi, etc.
Observação:
A contabilidade do preto é simples e limitadíssima. Procede
sempre por dezenas, e por cada uma dá um nó numa corda, ou um
golpe num pau, ou, ainda, junta umas pedrinhas. É pelas dezenas que
faz suas contas.
Os adjectivos numerais cardinais concordam com o substantivo
que determinam, tomando o prefixo que lhe pertence.
Exemplos:
wana wanomue, sete crianças; akazi atatu, três mulheres; p’aza
ribodzi, uma enxada; mp’ete zixanu, cinco anéis; bzisu bzisere, oito
facas; want’ u k’umi, dez pessoas; miti miwiri, duas árvores; ntsomba
zinai, quatro peixes; mauta mak’umi mawiri, vinte arcos; mbarame
zitant’atu, seis aves; miadiya mif’emba, nove canhôas; achikunda
k’umi na anai, quatorze soldados.
1.
Comente a observação segundo a qual a “contabilidade do preto é
simples e limitadíssima” (linha 1). Contabilidade? Simples?
Limitadíssima?
Mapa 6
Nyungwe
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
65
Mapa 7
Makhuwa-Lóhmé
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
66
Mapa 8
Cóti
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
67
2.9 Numerais em Makhuwa-Lóhmé, Cóti e Árabe
Fonte: António Pires Prata, Gramática da Língua Macua e seus
Dialêctos, Cucujães, 1960, p. 118-145
1
Os povos macuas têm os seus números próprios, mais ou menos
comuns aos bantus.
Os do litoral, mais influenciados pelos árabes, adoptaram ou pelo
menos conhecem outras numerações.
5
Os povos de Angoche conhecem a numeração macua, mas
ordinariamente adoptam a numeração recebida dos árabes ou outra
mais propriamente sua, também usada em suaíli.
A fim de as poder conhecer e comparar, damos abaixo essas três
numerações.
10 Os numerais cardinais são, pois, os seguintes (vide p. 70 - 75).
Como se vê, os numerais simples em macua são apenas oito: mosa, pili, tharu (-raru), -sheshe, -thanu, -muloko, mía e álufu.
Mmosa admite o plural amosa que representa então um verdadeiro
indefinido: uns ,umas, e quando repetido amosa...amosa...”uns ...
outros...”; “umas ... outras...”.
16 Mmosa pode receber os sufixos -ru e -tu (ou -thu), tomando as
formas de mmosaru e mmosatu, tendo então o sentido de um só,
único.
Amosa pode ser um plural respeitoso.
Ex.: Kohona athyana amosa, vi uma mulher.
20 Todos os outros são compostos destes.
Mulokó ou mlokó é um substantivo com significado de grupo,
fileira, linha, etc., (aqui tem o de dezena ou grupo de dez) e por
isso faz o plural Milokó na formação dos números além de 19.
Emía tem o plural imía, mas geralmente emprega-se a forma
invariável mía.
26 Nalgumas regiões do Distrito de Quelimane e do de Cabo
Delgado em vez de muloko, para significar dez, usam khumi
68
(invariável, como na língua cóti) ou kumi, podendo esta palavra,
como substantivo que é, fazer o plural makumi ou makhumi.
30 Em Lómuè também em vez de mia emprega-se nsana, recebido
das línguas do sul, por meio do chuabo ou chissena.
Masama, plural de nsana, e makhumi (ou makumi) têm as
concordâncias da classe ma.
Àlufu ou alfu ou elfu é invariável. Tanto mia como àlufu têm as
concordâncias da classe E-l.
36 Notemos que a contagem acima das primeiras dezenas e das
centenas só teoricamente tem um valor, pois habitualmente, por
ser ela muito complicada, é substituída pela contagem portuguesa
ou pelo árabe onde são conhecidas.
Junto à fronteira da Niassalândia [Malawi] também por alguns é
conhecida e empregada a contagem inglesa.
42 Os números expressos no quadro servem para a contagem
absoluta ou seja para a contagem sem substantivos ou só com
substantivos da classe E e S.
Juntos dos substantivos tomam, para a concordância, os prefixos
nominais como se pode ver pelo quadro seguinte:
Quadro dos numerais cardinais em concordância com as classes
CLASSE UM
DOIS
TRÊS
QUATRO
A
Mmosa
Áili
Araru
Asheshe
Ma
Nimosa
Maíli
Mararu
Masheshe
Mi
Mmosa
Mili
Miraru
Misheshe
O
Mmosa
Mili
Miraru
Misheshe
I
Emosa
Pili
Tharu
Misheshe
S
Emosa
Pili
Tharu
Misheshe
O
Omosa
Opili
Otharu
Osheshe
Mu
Mmosa
Mopili
Motharu
Mosheshe
Va
Vamosa Vaíli
Vararu
Vasheshe
69
CLASSE CINCO
SEIS
SETE
A
Athanu
Athanu na mmosa
Athanu n'aíli
Ma
Mathanu Mathanu na mimosa
Mathanu na maíli
Mi
Mithanu
Mithanu na Mmosa
Mithanu na mili
O
Mithanu
Mithanu na Mmosa
Mithanu na mili
I
Thanu
Thanu na mosa
Thanu na pili
S
Thanu
Thanu na mosa
Thanu na pili
O
Othanu
Othanu n'omosa
Othanu n' opili
Mu
Mothanu Mothanu na mmosa
Mothanu na mopili
Va
Vathanu
Vathanu na váili
Vathanu na vamosa
47 Observações a este quadro:
1. Em vez de -mosa usam-se também as seguintes formas: -moza (no
litoral, nas regiões de A. Enes [Angoche], Mogincual,
Moçambique [Ilha], Mossoril, etc.) -modha (dialecto nampamela,
A. Enes e Moma); -moha, -mohi e -mosi (dialectos lóhmé e
chirima); moka, motca e motci, (meto e macua do Distrito de
Cabo Delgado); moja (dialecto chaca).
2. Áili e máili (tonalidade alta na última sílaba) ouvem-se muitas
vezes pronunciar eli e meli (por contracção de ai) e mais
raramente também áili e máyili.
3. Em vez de aili, maili, mili e pili usam-se no litoral do distrito de
Moçambique as formas nasaladas: enli, menli, minli e pinli.
4. Em vez de sheshe também usam-se as formas isheshe (chirima),
tceshe, (meto e macua do Distrito de Cabo Delgado, etc.) keshe e
kese (Sangage, etc.) e sese (Nampamela).
5. Em Nampula, Meconta, etc., usam-se as formas aili ou ayili e
maili ou mayili que nos parecem mais correctas.
6. Em vez de tharu ou itharu também há quem pronuncie taru,
tcaru, tcharu e tjaru, assim como também quem diga ithanu,
tchanu, tcanu e tjanu, em vez de thanu.
67 Para a composição de números usam-se das copulativas ni e na,
cujo significado é “e” ou “com”.
Ni é de língua macua e na provém de língua estranha.
Na sobreposição dos números digitos 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 30 e 40
emprega-se na ou ni, podendo-se dizer thanu na mosa ou thanu ni
mosa (6), prevalecendo na no litoral e ni no interior, depois de 10.
73 Na sobreposição dos números a números superiores a 50 usa-se de
na para a junção de dezenas e centenas; e ni para os números
digitos, mosa, pili, tharu, sheshe e thanu ou thanu na ...
Ex.: Miloko mithanu na mili ni thanu na sheshe - 79.
Com os nomes das classes A e O os numerais têm as
concordâncias e formas especiais:
Nakhuwo miraru, três plantas de milho.
Ovilo miraru ola ori va, estes três cogumelos que estão aqui.
1.
2.
3.
4.
Comente a utilização do termo “número” nas linhas 1, 67, 70, 73
e 75.
Porque será que uma palavra com o significado de grupo, fileira,
linha, etc. (vide linhas 21-22) pode ter ficado um numeral?
Concorda com a explicação dada pelo autor nas linhas 36-39 para
o facto de a numeração makhuwa ser frequentemente substituída
pela numeração em Português ou em Árabe?
Observe bem o quadro de numeração entre dez mil e um milhão.
Compare as três línguas.
71
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
72
MACUA
CÒTI
ÁRABE
Mosa
Pili (ili)
Tharu (raru)
Sheshe
Thanu
Thanu na mosa ou
mmosa
Thanu na pili
Thanu na tharu
Thanu na sheshe
Mulokó ou mlokó
ou nlokó
Mulokó na (ou ni)
mosa
Mulokó na (ou ni)
pili
Mulokó na (ou ni)
tharu
Mulokó na (ou ni)
sheshe
Mulokó na (ou ni)
thanu
Mulokó na (ou ni)
thanu na mosa
Mulokó na (ou ni)
thanu na pili
Mulokó na (ou ni)
thanu na tharu
Mulokó na (ou ni)
thanu na sheshe
Milokó mili
Miloko mili na (ou
ni) mosa
Miloko mili na (ou
ni) pili
Moti
Piri
Thathu
Nne
Thanu
Sithá
Wahiti
Tineni, tinini
Thalata
Àruba, arba
Hámusa
Sithá
Sabá
Nane
Tísya (Kentha)
Khumi
Khumi na mote
Sabá
Thamania
Tísya
Ashara, anshara,
eshara
Wahitanshara
Khumi na piri
Tinentashara
Khumi na thathu
Thalatashara
Khumi na nne
Arubatashara
Khumi na thanu
Hams(i)tashara
Khumi na sithá
Sitashara
Khumi na sába
Sabatashara
Khumi na nane
Thamaniatashara
Khumi na tísya
Tisyatashara
khumi piri
Ashirini ou eshirini
khumi piri na
Wahiti w'eshirini
mote
khumi piri na piri Tineni w'eshirini
MACUA
23 Miloko mili na (ou
ni) tharu
ni) sheshe
ni) thanu
ni) thanu na mosa
ni) thanu na pili
ni) thanu na tharu
ni)thanu na sheshe
30 Miloko miraru
40 Miloko misheshe
50 Miloko mithanu
51 Miloko mithanu ni
mosa
pili
tharu
sheshe
thanu
thanu na sheshe
60 Miloko mithanu na
mosa ou miloko
nithanu ni mloko
mosa
mosa ni mosa
mosa ni pili
CÒTI
ÁRABE
khumi piri na
Thalata w'eshirini
thathu
khumi piri na nne Àruba w'eshirini
khumi piri na
thanu
khumi piri na
sítha
khumi piri na
saba
khumi piri na
nane
khumi piri na
tísya
khumi thathu
khumi nne
khumi thanu
khumi thanu na
mote
khumi thanu na
piri
khumi thanu na
thathu
khumi thanu na
nne
khumi thanu na
thanu
khumi thanu na
tísya
khumi sítha
khumi sítha na
mote
khumi sítha na
piri
Hamsa w'eshirini
Sithá w'eshirini
Sabá w'eshirini
Thamanía
w'eshirini
Tísya w'eshirini
Thalathini
Arubaíni
Ham(u)sini
Wahiti wa hamsini
Tineni wa hamsini
Thalata wa hamsini
Àruba wa hamsini
Hamsa wa hamsini
Tísya wa hamsini
Sithini
Wahiti wa sithini
Tineni wa sithini
73
MACUA
mosa ni thanu na
sheshe
mili
mili na (ou ni)
mosa
mili na (ou ni) pili
mili na (ou ni)
tharu
mili na (ou ni)
sheshe
mili na (ou ni)
thanu
mili na (ou ni)
thanu na tharu
miraru
misheshe
misheshe na thanu
na pili
100 Miloko muloko ou
Milokosene mloko
ou Emia ou mía
101 Miloko muloko na
(ou ni) mosa ou
Emia ou mía na
mosa
CÒTI
ÁRABE
khumi sítha na
tísya
Tísya wa sithini
Sabíni
Sabíni ou sabaíni
Sabíni na mote
Wahiti wa sabini
Sabíni na piri
Tineni wa sabini
Sabíni na thathu
Thalata wa sabini
Sabíni na nne
Àruba wa sabini
Sabíni na thanu
Hamsa wa sabini
Sabíni na nane
Thamanía wa sabini
Thamanini
Thamanini
Tuswini ou tiswini Tisini
Tuswini na sába
Sabá wa tisini
Mía
Mia
Mía na mote
Mia na wahiti
MACUA
(ou ni) pili ou
Emia ou mía na
pili
(ou ni) tharu ou
Emia ou mía na
tharu
(ou ni) sheshe ou
Emia ou mía na
tsheshe
(ou ni)thanu ou
Emia ou mía na
thanu
(ou ni) thanu na
pili
(ou ni) muloko ou
Emia ou mía na
muloko
(ou ni) muloko
mili ou Emia ou
mía na muloko
mili
(ou ni) muloko
miraru ou Emia
ou mía na muloko
miraru
CÒTI
ÁRABE
Mía na piri
Mia na tineni
Mía na thathu
Mia na thalata
Mía na nne
Mia n'áruba
Mía na thanu
Mia na hamsa
Mía na sába
Mia na sabá
Mía na khumi
Mia n'ashara
Mía na khumi piri Mia n'eshirini
Mía na khumi
thathu
Mia na thalathini
75
MACUA
(ou ni) muloko
misheshe ou Emia
ou mía na muloko
misheshe
(ou ni) muloko
mithanu ou Emia
ou mía na muloko
mithanu
(ou ni) muloko
mithanu na mmosa
(ou ni) muloko
mithanu na mili
(ou ni) muloko
mithanu na miraru
(ou ni) muloko
mithanu na
misheshe
200 Miloko muloko
mili ou milokosene
muloko mili
300 Miloko muloko
miraru ou
milokosene
muloko miraru
400 Miloko muloko
misheshe ou
milokosene
muloko misheshe
CÒTI
ÁRABE
Mía na khumi nne Mia n'arubaini
Mía na khumi
thanu
Mia na hamsini
Mía na khumi
sithá
Mia na sithini
Mía na sabíni
Mia na sabini
Mía na thamanini Mia na thamanini
Mía na tuswini
Mia na tisini
Mía piri
Mitini
Mía thathu
Thalata mia
Mía nne
Áruba mia
MACUA
500 Miloko muloko
mithanu ou
milokosene
muloko mithanu
600 Miloko muloko
mithanu na mosa
700 Miloko muloko
mithanu na mili
800 Miloko muloko
mithanu na miraru
900 Miloko muloko
mithanu na
misheshe
1000 Miloko muloko
miloko ou álufu ou
álfu ou elfu ou
Imia muloko ou
mia muloko
2000 Álifu pili
3000 Álufu tharu
4000 Álufu sheshe
5000 Álufu thanu
10. Laki ou lakhi
000
100.
000
1.000
.000
CÒTI
ÁRABE
Mía thanu
Hamsa mia
Mía sithá
Sithá mia
Mía sabá
Sabá mia
Mía nane
Thamania mia
Mía tísya
Tísya mia
Àlufu
Alfu ou elfu
Àlufu piri
Àlufu thathu
Àlufu nne
Àlufu thanu
Àlufu khumi
Alfeini ou elfeini
Thalata alfu
Árabu alfu
Hamsa alfu
Asharatalafu
Lakhi
Miatalafu
Lakhi khumi
Ashara laki
77
Mapa 9
Sena
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
2.10 Numerais na língua Sena
Fonte: J. Torrend, Gramática do Chisena - A grammar of the
language of the lower Zambezi, Missão de Chipanga,
Chipanga, 1900, p. 81-83
Os numerais cardinais
um
dois
três
quatro
cinco
seis
sete
oito
nove
-bodzi
-wiri
-tatu
-nai
-xanu
-tant’atu
-nomeu
-sere
-femba
com os três seguintes
quantos?
o mesmo identicamente
muitos
-ngasil
-bidzibodzi
-zinji
são adjectivos.
Nota-se que k’umi, dez, pl. makumi; dz-ana, cem, pl. ma-dz-ana; e
chikui, mil só se empregam como substantivos.
Os números cardinais de um a nove têm também formas de
substantivos. Tratados como tais os seguintes pertencem à classe MUA:
um
dois
três
cinco
seis
oito
nove
posi
piri
tatu
xanu
tant’atu
sere
femba
79
À classe CHI pertencem
quatro
sete
80
chi-na
chi-nomue
Mapa 10
Shona (Ndau)
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
81
2.11 Numerais na língua Shona (Ndau)
Fonte: D. Dale, S.J., Shona Companion, Mambo Press, Zimbabwe,
[1968], 1986, p. 230-231
Numerais Cardinais:
Um dólar:
Dois dólares:
Três dólares:
Quatro dólares:
Cinco dólares:
Seis dólares:
Sete dólares:
Oito dólares:
Nove dólares:
Dez dólares:
Onze anos:
Doze anos:
Treze anos:
Catorze
anos:
Quinze
anos:
Dezasseis
anos:
Dezassete
anos:
Dezoito
anos:
Dezanove
anos:
Vinte
anos:
22 dias:
30 dias:
33 dias:
40 dias:
44 dias:
50 dias:
55 dias:
60 dias:
66 dias:
70 dias:
77 dias:
82
dhora rimwe chete
madhora maviri
madhora matatu
madhora mana
madhora mashanu
madhora matanhatu
madhora manomwe
madhora masere
madhora mapfumbamwe
madhora gumi
makore gumi nerimwe chete
makore gumi namaviri
makore gumi namatatu
makore gumi namana
makore gumi namashanu
makore gumi namatanhatu
makore gumi namanomwe
makore gumi namasere
makore gumi namapfumbamwe
makore makumi maviri/
makumi maviri amakore
mazuva makumi maviri ana maviri
mazuva makumi matatu
mazuva makumi matatu ana matatu
mazuva makumi mana
mazuva makumi mana ana mana
mazuva makumi mashanu
mazuva makumi mashanu ana mashanu
mazuva makumi matanhatu
mazuva makumi matanhatu ana matanhatu
mazuva makumi manomwe
mazuva makumi manomwe ana manomwe
100 soldados:
1000 soldados:
masoja zana/ zana ramasoja
masoja chiuru/ chiuru chamasoja
Uma cabeça de gado:
Duas cabeças de gado:
Três cabeças de gado:
Quatro cabeças de gado:
Cinco cabeças de gado:
Seis cabeças de gado:
Sete cabeças de gado:
Oito cabeças de gado:
Nove cabeças de gado:
Dez cabeças de gado:
Onze
Doze
Treze
Catorze
Quinze
Dezasseis
Dezassete
Dezoito
Dezanove
Vinte
mombe imwe chete
mombe mbiri
mombe nhatu
mombe ina
mombe shanu
mombe nhanhatu
mombe nomwe
mombe sere/ tsere
mombe pfumbamwe
mombe gumi/ gumi repondo
milhas:
milhas:
milhas:
milhas:
milhas:
milhas:
milhas:
milhas:
milhas:
milhas:
22 casas:
30 casas:
33 casas
40 casas:
44 casas:
50 casas:
55 casas:
60 casas:
maira gumi neimwe chete
maira gumi nembiri
maira gumi nenhatu
maira gumi neina
maira gumi neshanu
maira gumi nenhanhatu
maira gumi nenomwe
maira gumi nesere/ tsere
maira gumi nepfumbamwe
maira makumi maviri/
makumi maviri amamaira
dzimba makumi maviri ane mbiri
dzimba makumi matatu
dzimba makumi matatu ane nhatu
dzimba makumi mana
dzimba makumi mana ane ina
dzimba makumi mashanu
dzimba makumi mashanu ane shanu
dzimba makumi matanhatu
100 bois:
200 bois:
1000 bois:
2000 bois:
mombe zana/ zana remombe
mombe mazana maviri/ mazana maviri emombe
mombe churu/ churu chemombe
mombe zviuru zviviri.
83
Mapa 11
Tshwa
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
84
2.12 Numerais na língua Tshwa
Fonte: J. A. Persson, Outlines of Tshwa Grammar (with practical
exercises), Inhambane Mission Press, 1932, p.52-54
Os vaTshwa contam aos cinco, quer dizer, têm palavras separadas
para os números até cinco, depois começam de novo: cinco mais um,
cinco mais dois, etc., até dez; em seguida dez mais um, dez mais dois,
etc., até quinze, que é dez mais cinco; a seguir, dez mais cinco mais
um, etc. até vinte, que é duas dezenas. Ao contar deste modo utilizam
apenas sete palavras, das quais três são adjectivos e quatro
substantivos.
Numerais cardinais
Os três primeiros números são adjectivos que utilizam o prefixo
do substantivo que qualificam. São -nwe, um; -mbiri, dois; -nharu,
três.
classe
1
2
3
4
5
6
um
dois
munwe
munwe
ginwe
xinwe
yinwe
linwe
vambiri
mimbiri
mambiri
zimbiri
timbiri
timbiri
três
vanharu
minharu
manharu
zinharu
tinharu
tinharu
No plural da segunda classe utiliza-se frequentemente o prefixo
pronominal em vez do prefixo substantivo, isto é yimbiri, yinharu.
Os substantivos contidos nas classes 7 e 8 são substantivos
colectivos, abstractos ou verbais, e, em regra, não são usados
juntamente com numerais.
Como a tabela ilustra os adjectivos numéricos, tal como os outros
adjectivos, concordam com os substantivos que qualificam; por
exemplo:
85
khumba ginwe
vafana vambiri
timbuti tinharu
um porco
dois rapazes
três cabras
Mune, quatro, e ntlhanu, cinco, são substantivos da 2ª classe.
Khume, dez, e zana, cem, são substantivos da 3ª classe, cujos plurais
são formados pelo prefixo ma. São diferentes dos adjectivos no
sentido de que são colocados antes do substantivo a que se referem.
Com um adjectivo diz-se vanhu va ntamo, pessoas fortes; com os
substantivos numéricos inverte-se a ordem, e diz-se, mune wa vanhu,
quatro de pessoas; khume ga mahaxi, dez de cavalos; ntlhanu wa
tipondo, cinco libras.
Vinte e trinta exprimem-se por duas dezenas e três dezenas,
respectivamente. Makume mambiri, vinte; makume manharu, trinta.
Uma vez que quatro e cinco são substantivos que precedem os
substantivos por eles qualificados, quarenta e cinquenta são formados
da seguinte maneira: Mune wa makume, ntlhanu wa makume. Sessenta
aparece do seguinte modo: Ntlhanu wa makume ni khume ginwe, cinco
dezenas e um dez.
Em todos os números abaixo de cem, as dezenas são colocadas
antes das unidades:
khume ni ginwe
khume ni mambiri
khume ni ntlhanu
khume ni ntlhanu ni ginwe
makume mambiri ni ginwe
dez e um
dez e dois
dez e cinco
dez e cinco e um
duas dezenas e um
O facto de que existem apenas sete palavras para exprimir todos
os números é, inicialmente, desconcernante por causa das repetições
constantes, em particular com números grandes. Os exemplos
seguintes indicam diferentes maneiras de formar números. Deve
notar-se que enquanto mune, ntlhanu, khume e zana usam as partículas
possessivas das suas respectivas classes, as três primeiras unidades
tomam o prefixo do substantivo qualificado.
86
ntlhanu wa vanhu ni vanharu
ntlhanu wa tiyivu ni tiyivu
tinharu
ntlhanu ni manharu a matiko
ntlhanu wa zibya ni mune
khume ga tisimu ni tisimu timbiri
khume ni ntlhanu wa zihari ni
zihari zimbiri
khume ga vanhu ni ntlhanu ni
mune
makume mambiri ya mabhuku ni
mambiri
makume manharu ya timyana ni
ntlhanu ni yinwe
zana ga miti ni khume ni yinharu
oito pessoas
oito ovelhas
oito países
nove pratos
doze canções
dezassete animais
dezanove pessoas
vinte e dois livros
trinta e seis cães
cento e treze aldeias
Estes exemplos mostram que os números adjectivos sempre
seguem os substantivos que qualificam; esta regra, contudo, não se
aplica em expressões como as seguintes:
a mambiri ya mabhuku lawo
zinharu za zibya za mina
dois daqueles livros
três dos meus pratos
De mesmo modo encontramos com números maiores que o
substantivo é colocado no primeiro lugar para evitar uma repetição
demasiado frequente:
A tihomu ta ntlhanu wa makume ni makume mambiri ni tinharu,
73 vacas;
Vanhu va ntlhanu wa makume ni mune wa makume ni ntlhanu ni
mune, 99 pessoas.
Nota:
Sendo este sistema de numeração tão incómodo, está a ser
substituído por números portugueses, exceptuando quando se utilizam
numerais abaixo de dez ou quantidades capazes de se exprimirem em
dezenas ou centenas exactas.
87
Nza lava quarenta e cinco wa timetro ta malikani, quero 45
metros de pano branco.
Va lo tshovela vinte e três wa tisakwa ta zipfhaki, eles colheram
23 sacos de milho.
A hi yimneleleni a lisimu la oitenta e oito, cantemos hino nº 88.
1.
88
Comente a nota final.
Mapa 12
Chope
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
89
2.13 Numerais na língua Chope
Fonte: Luís Feliciano dos Santos, Gramática da Língua Chope,
Imprensa Nacional de Moçambique, Lourenço Marques, 1941,
p. 95 - 100
Os numerais cardinais:
1.
São estes os nomes dos números que designam a quantidade dos
objectos.
Em Chope os números cardinais são simples e compostos.
Os numerais cardinais simples são: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000.
Todos os restantes são compostos dos simples.
2.
Os nomes dos numerais cardinais simples são os seguintes:
-muè, um; -mbiri, dois; -raru, três; mune, quatro; ntchanu, cinco;
digume, (pl. makume), dez; dzana (pl. madzana), cem; dikhulu
(pl. makulu), mil.
3.
O numeral -muè-, um, apresenta uma forma especial, diferente
da dos restantes numerais, e aparentada à pronome indefinido
correspondente a “mesmo”, como veremos adiante.
Constrói-se esta forma atendendo a -mué- a característica
nominal do substantivo em referência (na 1ª classe o i ou mprefixo nominal evoluído) e pospondo-lhe a reduplicação
relativa da respectiva partícula possessiva. Na 1ª, 2ª, e 3ª classe
em vez do uo, diz-se io por eufonia. As formas atributivas e
predicativas do -mué- são, de resto, idênticas às dos adjectivos
simples primitivos, como -nene, -dotho, etc.
4.
Quadro sinóptico da forma atributiva do numeral 1 (um):
1ª classe - Inthu (uà) muèio ou mmuèio, um homem.
2ª classe - Nhóka (uà) umuèio, uma cobra.
3ª classe - Uluate (uà) umuèio, uma doença.
4ª classe - Dirole (dà) dimuèdo, um vitelo.
5ª classe - Litiho (là) limuèlo, um dedo.
6ª classe - Tchilonda (tchà) tchimuètcho, uma ferida.
7ª classe - Nhari (ià) imuèio, um búfalo.
90
8ª classe - Kuranda (kà) kumuèio, uma vontade.
5.
Os numerais -mbidi, 2 (dois) e -raru, 3 (três), em razão de a sua
concordância com os substantivos ser, como a de -muè-, idêntico
à dos adjectivos qualificativos primitivos, devem ser
considerados também como adjectivos primitivos.
6.
Quadro sinóptico da concordância atributiva de -mbidi e -raru:
-mbidi, 2 (dois), -raru, 3 (três)
1ª classe
2ª classe
3ª classe
4ª classe
5ª classe
6ª classe
7ª classe
8ª classe
Vathu (rà) vambidi,
2 homens
Mindonga (iá) imbidi,
duas árvores
Malaho (à) mambidi,
2 arcos
Marole (à) mabidi,
2 vitelos
Titiho (tà) timbidi, 2
dedos
Silonda (sà) simbidi,
duas feridas
Timbua (tà) timbidi, 2
cãis
Kuranda (kà) kumbidi,
duas vontades
Vathu (và) vararu,
3 homens
Mindonga (ià) iraru,
três árvores
Malho (à) mararu,
3 arcos
Marole (à) mararu,
3 vitelos
Titiho (tà) tiraru, 3 dedos
Silonda (sà) siraru,
três feridas
Timbua (tà) tiraru, 3 cãis
Kuranda (kà) kuraru,
três vontades
NB. - Cumpre notar, todavia, que na linguagem corrente a
partícula possessiva, indicada entre parêntesis, já desapareceu
quase por completo da forma atributiva, o que não sucede com
os adjectivos qualificativos primitivos.
Os numerais -muè-,-mbidi- e -raru são sempre propostos aos
substantivos que determinam.
7.
Os numerais mune, 4 (quatro) e ntchanu, 5 (cinco) funcionam
como substantivos do singular da 2ª classe nominal (mu-mi). Ao
contrário dos precedentes, estes dois numerais tanto podem
anteceder como ser propostos aos substantivos que determinam.
Exemplos:
Mune uà timbuva, ou : timbuva tà mune, quatro cães.
91
Intchanu uà silonda, ou : silonda sà ntchanu, cinco
feridas.
É, todavia, preferível a primeira forma.
Observações:
1.
Mune, que, em outras línguas bântu, em chi-chambala, é
simplesmente ne, e em chi-nhungue de Tete é nai, e segue
nessas línguas as regras de concordância dos adjectivos, em
chope, pelo contrário, deve-se considerar como um
substantivo, em virtude da concordância restritiva com os
substantivos.
2.
De ntchanu vale o que dissemos acêrca do prefixo nominal
do singular da 1ª e 2ª classe. O i inicial, que por vezes se
ouve, é a forma evoluída de mu com subsequente nasalação
e reforçamento do fonema primitivo ch, que assim se
transformou no fonema ntch.
O i inicial é quase impossível, quando o sujeito da oração
começa por ntchanu. Quando ntchanu é posposto ao
substantivo, desaparece por completo o i inicial, elidindo-se
com a vogal da partícula possessiva que o liga ao
substantivo.
(Vejam-se os exemplos supra).
Quando, finamente, ntchanu é nome predicativo, o i inicial
tem som pleno e de tonalidade alta. Exemplo:
Sirumo sà Dibandza dò-basa intchanu, os mandamentos da
Santa Igreja são cinco.
3.
Não é de aceitar a observação de H. Ph. Junod em Eléments
de Grammaire tchopi, p.26, de que o gitonga e o chilengue
conservaram “a velha forma da língua, inteiramente
diferente das outras línguas bântu”, para exprimir o numeral
5 (cinco), que em gitonga, segundo este autor, é libandi, e
em chilengue lihandi.
A forma lihandi, a meu ver, longe de ser “a velha forma da
língua”, outra coisa não é senão a corruptela do termo
saxónico die Hand (em alemão) ou the hand (em inglês),
que significa a mão, e é, portanto, um neologismo (bárbaro)
92
de importação estrangeira, para designar os cinco dedos da
mão.
A forma chope, ntchanu, é, sem dúvida possível, a
primitiva forma bântu, tendo apenas sofrido as alterações
fonéticas peculiares desta língua. E a razão óbvia é que esta
forma chope se encontra, com pequenas variantes, na quase
totalidade das línguas bântu, desde o chi-chambala, falado
nas faladas do Kilimandjaro ao quimbundo e umbundo de
Angola, e desde o chinhungue de Tete ao chironga de
Lourenço Marques, ou desde o nhakiusa do norte do
Niassa ao zulu e sotho do Transvaal.
4.
8.
A pronuncia de ntchanu difere um pouco entre o sul e o
centro e norte da região chope. No sul tem som dentolateral (achanganado): ntchanu: no centro e norte, as
mulheres, sobretudo, conservaram o som fricativo: ntchanu.
Os numerais digume (pl. makume), 10 (dez); didzana (pl.
madzana), 100 (cem): dikhulu (pl. makhulu), 1000 (mil), seguem
as regras de concordância de substantivos pertencentes à 4ª
classe nominal.
Como os numerais mune e ntchanu, tanto podem preceder como
seguir o substantivo que determinam, sendo todavia, preferível a
primeira forma. Exemplos:
Digume dà vanhapue, ou vanhapue và digume, dez
pessoas.
Didzana dà mindonga ià didzana, cem árvores.
Dikhulu dà malembe ou malembe à dikhulu, mil anos.
9.
Números compostos. - Os restantes números formam-se dos
precedentes, da seguinte forma:
De 6 a 9, acrescentando a ntchanu (5) a preposição ni
(com) e -muè-, mbidi, -raru, mune, para designar
respectivamente: 6, 7, 8, 9, mas com as particularidades
seguintes:
a) - A -muè- devem acrescentar-se os “prefixos e sufixos”
acima indicamos, correspondentes às oito classes
nominais. Exemplos:
93
Intchanu uà silonda ni tchimuètcho, ou silonda sà
ntchanu ni tchimuètcho, seis feridas.
Intchanu uà timbua ni imuèi, ou timbua tà ntchanu ni
imuèio, seis cãis.
b) - A -mbidi e a -raru deve antepor-se a característica
nominal da classe a que pertence o substantivo que
determinam. Exemplos:
Intchanu uà miti ni imbidi (f. dial. ni mimbidi), ou
miti ià ntchanu ni imbidi (ou mimbidi), sete aldeias.
Intchanu uà titiho ni tiraru, ou titiho tà ntchanu ni
tiraru, oito dedos.
c) - A mune apenas se antepõe a preposição ou conjunção
ni (com ou e). Exemplo:
Intchanu uà malembe ni mune, ou malembe à
ntchanu ni mune, 9 anos.
NB. - Como se depreende da exposição feita e dos
exemplos citados, na classe das unidades de 1 a 3 os
substantivos precedem esses numerais.
Nas unidades 4 e 5 os substantivos tanto podem preceder
como seguir os numerais, sendo preferível a primeira
forma.
Na classe das unidades de 6 a 9 os substantivos tanto
podem preceder como ser intercalados entre ntchanu e muè-, -mbidi, -raru, ou mune. Preferível é esta segunda
forma.
Se o número representa qualquer dezena, centena ou
milhar, seu excesso de unidades, o substantivo coloca-se
ou no princípio ou no fim. Exemplos:
Makume mambidi à mindonga, ou mindonga ià
makume mambidi, 20 árvores.
Madzana manbidi à seketa, ou siketa sà madzana
manbidi, 200 ananases.
Madzana mararu à timbua, ou timbua tá madzana
mararu, 300 cãis, etc.
94
Se o número representa qualquer centena com excesso de
dezenas, ou qualquer milhar com excesso de centenas ou
dezenas, o substantivo colocar-se-á no fim, concordando
com o último numeral-substantivo. Exemplo:
Didzana ni makume mambidi à mipama, 120
bofetadas.
Finalmente, se o número contém além disso unidades,
estas indicam-se depois do substantivos, que se coloca a
seguir à classe das dezenas.
1.
2.
Comente a utilização dos termos “número” e “numeral” nos
pontos 1, 2 e 9.
O que é que o leitor acha da argumentação apresentada na
observação 3, referente ao numeral “lihandi” na língua Tonga?
95
Mapa 13
Tsonga (Changana)
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
96
2.14 Numerais na língua Tonga e o ‘sentido matemático’
Fonte: Henrique A. Junod, Usos e costumes dos Bantos (1934),
Lourenço Marques, 1974, Vol.2, p.151, 152, 153-154, 576-577
1
Comparados aos milhares de advérbios descritivos, os nomes
numerais fazem triste figura na gramática tonga. Os Tongas
possuem apenas sete: n’uè, um; bíri, dois; raro, três (são tratados
como adjectivos); múnè, quatro; nthlano, cinco; qhúmè, dez;
dzana, cem (estes últimos são substantivos). Todos os números
têm de ser expressos por meio destas sete palavras.
É
extremamente complicado. “Novecentos e oitenta e sete” tem de
ser dito assim: cinco centos, e quatro centos, e cinco dez, e três
dez, e cinco, e dois. Este sistema de numeração é nitidamente
decimal e está em relação directa com os dez dedos da mão: a
prova é que os indígenas, ao contarem, empregam geralmente os
dedos. Começam com o mínimo da mão esquerda, um; depois, o
mínimo e o anelar, dois; este dois e o máximo, três; estes três e o
indicador, quatro; este quatro e o polegar, cinco; depois juntam os
dedos da mão direita, começando pelo polegar: cinco mais um,
cinco mais dois, cinco mais três, cinco mais quatro. Dez obtém-se
batendo as duas mãos uma contra a outra. Note-se que cinco, a
mão esquerda, com o polegar separado dos outros quatro dedos,
imita o algarismo romano V, e dez, as duas mãos juntas com os
dedos cruzados, faz um X, o sinal romano para dez! Isto prova
que o nosso sistema de números, de que a justo título somos tão
orgulhosos, nasceu provavelmente da mesma maneira que na
maior parte das tribos bantas!
24 Por outro lado, deve-se dizer que, se o sistema de numeração não
atingiu maior desenvolvimento, a razão está em que os Tongas não
têm necessidade disso e, por consequência, não se esforçam para
exprimir grandes números. Apressam-se a dizer que um número é
tjandjabalhaii (Djonga) ou lhulabacônti (Ronga), isto é, “aquele
que ultrapassa a capacidade do calculador”.
30 Quanto a contar homens, era formalmente proibido, outrora. Se
alguém, vendo uma grande reunião de gente na praça pública,
desejava conhecer o número de presentes, diziam-lhe: “Quê? Tu
estás a contar-nos? Quem desejas tu ver desaparecer?” (Chana uá
hi nconta, u tá hi pumba ná?).
97
35 Onde é necessário dar provas de certo sentido aritmético ou, pelo
menos, de mostrar que se sabe somar, é quando se trata de fazer a
conta do lobolo, quando este é pago em enxadas. As dezenas são
empilhadas separadamente, com muito cuidado. Toda a família
assiste interessadamente à operação – mas não se poderia chamar
a isto uma proeza na ordem matemática.
41 Assim, as ocasiões que se apresentam aos primitivos para usarem
da faculdade de contar são, no conjunto, muito raras e não
devemos admirar-nos de que essa faculdade não se tenha
desenvolvido. Pretender que ela falta inteiramente, seria erróneo.
Posso apresentar várias provas de que ela existe e se manifesta,
por vezes, de maneira interessante. Primeira, no jogo nhenguélinhenguéli-múnè. Os jogadores colocam no chão um certo número
de caroços, dois a dois; um volta as costas ao outro e este,
designando o primeiro par, diz: Nhenguéli-nhenguéli-múnè? isto é: “Quantos caroços estão ali?” O que está de costas voltadas
responde: “Tira um e põe-no ali” – e indica o lugar que entende.
Faz-se o mesmo com o segundo par e assim sucessivamente, de
modo que alguns montes ficam com mais caroços que outros.
Quando um monte ficar completamente disperso, o que está a
adivinhar deve dizer: Macua ntsiquitane – o que significa “Aí não
há mais”. O inquiridor passa, então, rapidamente, de monte em
monte e o adivinhador deve dizer quantos caroços estão em cada
monte. Este jogo exige grande esforço de memória.
59 Segunda prova: Chinangana. Chinangana é um homem que vivia
nos Spelonken, perto da Missão de Elim, um puro indígena que
não sabia ler nem escrever e nunca tinha ido à escola. Ora, este
tonga criou uma cronologia que vem do ano de 1838 a 1905. Sabe
o que aconteceu em cada ano, desde 1959, e chegou, por si
mesmo, à concepção duma era. A sua era começa com a
emigração das tribos tongas para o Transvaal, em fuga perante
Manicusse, quando de regresso deste chefe angóni da Mussapa ou
do país de Gaza. Os Ncunas, Mavundjas, Psungos e outros clãs
dos Lhábis foram obrigados a refugiar-se nos Spelonken. Aqui
começa a era de Chinangana. Vários dos anos que se seguiram
têm um nome especial. Tive a sorte de interrogar Chinangana em
1905 e pude tomar nota, a ditado dele, dos pormenores da sua
cronologia. Depois de ter enumerado todos esses anos, ele conclui
clamando triunfalmente: “Todos estes anos depois do regresso de
98
Manicusse fazem cinco centos, e três centos, e quatro meses!”.
Eis um caso muito curioso de historiografia indígena. Creio-o
único em toda a tribo tonga.... Como possuía aptidão notável para
esta espécie de cálculo, Chinangana desenvolveu o seu dom
natural. Tornou-se célebre e era consultado por todos que
desejavam conhecer a idade que tinham ou a data de qualquer
acontecimento.
Aritmética e educação (p.576, 577)
Desenvolver as capacidades naturais, os dons duma raça, deve ser o
fim de todo o sistema de educação. Mas é necessário, também, que ele
se esforce por remediar as suas deficiências e precisamente por o
sentido matemático ser tão rudimentar na maior parte dos indígenas é
que nas escolas se impõe um ensino desenvolvido da aritmética. O
método geralmente seguido é o da numeração europeia. É, a meu ver,
um plano racional, vista a complicação do sistema indígena; nenhum
trabalho de aritmética que exija precisão rigorosa seria possível com o
emprego dos nomes numerais indígenas. O perigo que se encontra no
ensino deste ramo de estudo, como noutros, é a tendência que os
alunos têm a contentarem-se com um trabalho puramente mecânico,
em que o raciocínio não desempenha papel.
1.
2.
3.
4.
5.
Concorda ou não com o argumento apresentado pelo autor para
justificar a sua caracterização da numeração Tonga: “triste
figura” (linha 2). Se se aplicasse o mesmo argumento, qual seria a
avaliação do sistema de numeração binária? Concordaria com
esta avaliação?
Nas linhas 6-7 o autor fala em “extremamente complicado”.
Complicado para quem? Para quê?
Como se pode classificar a numeração Tonga? Decimal? (cf.
linha 10)
Comente a utilização da expressão “sistema de números” na linha
21.
O leitor acha que se pode considerar um sistema de numeração
falada mais “desenvolvido” ou menos “desenvolvido” do que um
outro? Porquê? (cf. linhas 24-25, 44)
99
6.
7.
8.
100
Uma tradução mais à letra (linhas 33-34) seria “Ora tu contas a
nós; vais nos diminuir?”. Será que se trata de um tabu précolonial ou terá surgido no tempo colonial?
Acha que se pode falar em termos de um “sentido aritmético”?
Comente o parágrafo sobre “Aritmética e educação”.
2.15 Numerais na língua Changana
Fonte: Armando Ribeiro, Gramática Changana (Tsonga), Editorial
“Evangelizar”, Caniçado, 1965, p. 165-167, 175
Os numerais cardinais são os que exprimem o número das coisas,
das pessoas e dos animais.
Em changana há apenas oito palavras diferentes para exprimir todos
os numerais. São eles:
...ñwe
...mbirhi
...nharu
mune
nthlanu
tchume
dzana
khulo
ou
...rharu
um, uma
dois, duas
três
quatro
cinco
dez
cem
mil
Estas palavras diferem quanto à natureza gramatical e, portanto,
também quanto à concordância, isto é, quanto ao modo de ligação
entre si e com palavras a que se referem.
a)
Os três primeiros são adjectivos e por isso antepõe-se-lhes
sempre o prefixo nominal da classe do substantivo a que se
referem:
* ...ñwe leva o prefixo do singular;
* ...mbirhi e ...nharu ou rharu o prefixo do plural, e vão
sempre depois do substantivo. Os prefixos sofrem as
costumadas transformações:
munhu muñwe
vanhu vambirhi
nsinya wuñwe
minsinya yinharu
homu yiñwe
tihomu timbirhi
litiho liñwe
uma pessoa
duas pessoas
uma árvore
três árvores
um boi
dois bois
um dedo
101
tintiho tinharu
lembe liñwe
malembe manharu
wurimba bziñwe
marimba mambirhi
chicomu chiñwe
bsikomu bsimbirhi
kuhanya kuñwe
b)
três dedos
um ano
três anos
uma armadilha
duas armadilhas
uma enxada
duas enxadas
uma vida
Os restantes numerais são substantivos e têm portanto a sua
classe própria:
* mune e nthlanu pertencem à classe mu-mi e não têm plural.
Mune conserva o prefixo na sua forma regular mu, pois o
radical simples é ne. Nthlanu muda o prefixo mu em n.
* tchume, dzana e khulo pertencem à classe ri-ma e fazem no
plural: matchume, madzana e makhulo. No singular
desapareceu o prefixo nominal. Sendo substantivos, nunca
fazem a concordância por meio de prefixos nominais, mas
ligam-se por meio das partículas restritivas das respectivas
classes:
* mune e nthlanu pela partícula wa da classe mu-mi;
* tchume, dzana e khulo, pelas partículas ra e ya,
respectivamente singular e plural da classe ri-ma a
que pertencem.
Exemplos:
mune wa bsikomu
nthlanu wa vavanuna
tchume ra vavasati
dzana la tihomu
matchume mambirhi ya vafana
madzana mambirhi ya timbuti
khulo ra tinyempfu
makhulo manharu ya vanhu
quatro enxadas
cinco homens
dez mulheres
cem bois
vinte rapazes
duzentas cabras
mil ovelhas
três mil pessoas
Observações (p.175):
Como acabamos de ver, o modo de contar em changana é muito
deficiente e extremamente complicado:
*
deficiente, pois apenas tem oito termos diferentes para expressar
todos os números;
*
complicado, pois, para dizer por exemplo, 288 flores, que nós
exprimimos com seis palavras, emprega o changana 15:
madzana mambirhi ya bsiluva ni nthlanu wa matchume ni
matchume manharu ni nthlanu ni bsinharhu.
Pode-se no entanto com reflexão chegar a exprimir todos os números,
mesmo os mais elevados.
Hoje o indígena reconheceu a simplicidade e facilidade do nosso
sistema e emprega correctamente os nossos números na sua contagem,
geralmente ligados pela restritiva wa:
oitenta wa timbuti
noventa e sete wa tihomu
vinte cinco wa malembe.
1.
2.
Comente as observações do autor sobre o modo de contar em
Changana.
No último parágrafo, onde o autor fala em “nosso sistema”, fica
bem patente que ele escreve para um público português. Termos
como “simples” e “complexo” podem ter um significado
objectivo? Ou dependem sempre do contexto?
103
2.16 Numerais em Tsonga (Changana)
Fonte: Bento Sitoe, Morfologia dos nominais dependentes II: O
sistema qualificativo em Tsonga, Cadernos Tsonga, nº 8,
Faculdade de Letras, Universidade Eduardo Mondlane,
Maputo, 1985, p.7-10 (revista pelo autor em 1993)
Em Tsonga há apenas oito termos para exprimir todos os
numerais (por combinações e adições destes oito), que são:
-n’we “um”; -mbirhi “dois”; -nharhu “três”; mune “quatro”;
ntlhanu”cinco”;khume “dez”; dzana “cem”; gidi ou khulu “mil”.
-n’we, -mbirhi e -nharhu comportam-se morfologicamente como
adjectivos e por isso recebem o prefixo nominal de concordância do
nome a que se referem:
munhu mun’we vanhu vanbirhi/vanhrarhu
øhuku yim’we tihuku timbihri/tinharhu xifambu xin’we svifambu svimbihri/svinharhu uma pessoa
duas/três pessoas
uma galinha
duas/três galinhas
um sapato
dois/três sapatos
Mune, ntlhanu, khume, dzana, gidi e khulu são nomes. Ligam-se aos
nomes que quantificam com o emprego do extra prefixo de
dependência da classe a que estes numerais pertencem e adicionam-se
por meio da conjunção ni ou na.
Mune e ntlhanu pertencem ao género mu-mi (classes 3 e 4):
Mune wa malembe
quatro anos
Ntlhanu wa timbuti
cinco cabritos
Eka makume mambirhi kuna em vinte quantos ‘cincos’
mintlhanu yingani?
há?
Khume, dzana, gidi e khulu são do género ri-ma (classes 5 e 6):
Khume ra masaka
Madzana mambirhi ya tibuku
Gidi ra vanhu
104
dez sacos
duzentos livros
mil pessoas
Makhulu ya svisiwana milhares de pobres
Exemplos do sistema de contagem, com um nome do género yi-ti
(classes 9 e 10), buku (livro):
1 livro
2 livros
3 livros
4 livros
5 livros
6 livros
7 livros
8 livros
9 livros
10 livros
11 livros
12 livros
15 livros
16 livros
20 livros
21 livros
30 livros
60 livros
61 livros
70 livros
99 livros
100 livros
101 livros
106 livros
199 livros
200 livros
213 livros
buku yin’we
tibuku timbirhi
tibuku tinharu
mune wa tibuku
ntlhanu wa tibuku
ntlhanu wa tibuku ni yin’we
(cinco livros e um)
ntlhanu wa tibuku ni timbirhi
ntlhanu wa tibuku ni tinharhu
ntlhanu wa tibuku na mune
khume ra tibukhu
khume ra tibuku ni yin’we (dez livros e um)
khume ra tibuku na timbirhi
khume ra tibuku ni ntlhanu
khume ra tibuku ni ntlhanu ni yin’we
(dez livros e cinco e um)
makume mambirhi ya tibuku
makume mambirhi ya tibuku ni yin’we
makume manharhu ya tibuku
ntlhanu wa makume ni (kume) rin’we ya tibuku
ntlhanu wa makume ni rin’we rin’we ya tibuku ni
yin’we
ntlhanu wa makume ni (makume) mambirhi ya
tibuku
ntlhanu wa makume ni mune ya tibuku ni ntlhanu
ni yin’we
dzana ra tibuku
dzana ra tibuku ni yin’we
dzana ra tibuku ni ntlhanu ni yin’we
dzana ra tibuku ni ntlhanu ni mune wa makume ni
ntlhanu ni mune
madzana mambirhi ya tibuku
madzana mambirhi ya tibuku ni khume ni tinharhu
105
345 livros madzana manharhu ya tibuku ni mune wa makume
ni ntlhanu
900 livros ntlhanu wa madzana ni mune (wa madzana) ya
tibuku
999 livros ntlhanu wa madzana ni mune ya tibuku ntlhanu wa
makume ni mune ni ntlhanu ni mune
1000 livros gidi ra tibuku (ou khulu ra tibuku)
1100 livros gidi ra tibuku ni dzana
1111 livros gidi ra tibuku ni dzana ni khume ni yin’we
1985 livros gidi ra tibuku ni ntlhanu wa madzana ni mune ni
ntlhanu wa makume ni manharhu na ntlhanu
100000 livros dzana ra magidi ra tibuku
1000000 gidi ra magidi ya tibuku livros
Além desta forma de composição dos numerais em que eles
antecedem o nome, pode-se usar a forma em que o nome antecede o
numeral e, neste caso, o extra prefixo de dependência é o do nome
quantificado:
Tibuku ta mune/ Mune wa tibuku quatro livros
Svifambu sva ntlhanu wa makume ni sessenta sapatos
rin’we/
Ntlhanu wa makume ni (kume) rin’we ya
svifambu Esta combinação dos oito termos para expressar todos os
numerais é analítica. O “Tsonga Terminology and Ortography nº 3”
regista um outro sistema de contagem em changana que é sintético e
tem a vantagem de que os numerais entre 5 e 10 também são expressos
pelo seu próprio termo, nomeadamente, tsevu “seis”, nkombo “sete”,
nhungu “oito” e kaye “nove”. São nomes do género mu-va (classes 1 e
2). Neste sistema de contagem, há ligeiras diferenças no modo como
os termos são combinados na composição dos numerais, como se pode
observar nos exemplos que se seguem:
6 livros: tibuku ta tsevu 7 livros: tibuku ta nkombo
8.livros: tibuku ta nhungu
9 livros: tibuku ta kaye
10 livros: tibuku ta khume
11 livros: tibuku ta Khumen’we
12 livros: tibuku ta khumembirhi
15 livros: tibuku ta khumentlhanu
16 livros: tibuku ta khumetsevu
20 livros: tibuku ta khummbirhi/makumembirhi
21 livros: tibuku ta khumbirhin’we/makumenbirhin’we
30 livros: tibuku ta khunharhu/makumenharhu
90 livros: tibuku ta Khukaye/makhumekaye
100 livros: tibuku ta dzana
101 livros: tibuku ta dzanariwe
113 livros: tibuku ta dzana khumenharhu
500 livros: tibuku ta dzantlhanu/madzanantlhanu
1000 livros: tibuku ta gidi
1111 livros: tibuku ta gidi dzana khumen’we
100 000 livros: tibuku ta dzagidi/ magididzana
107
Mapa 14
Ronga
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
2.17 Numerais na língua Ronga
Fonte: José L. Quintão, Gramática de Xironga (Landim), Agência
Geral das Colónias, Lisboa, 1951, p. 73-75
Em xironga, só temos os numerais de 1 a 5: ñwe, birji, rjarju,
mune, nthanu; temos, além destes, uma dezena: khume, e uma centena:
dzana.
Com estes numerais formam-se todos os outros números. Ñwe,
birji e rjarju, são adjectivos pertecentes à 2ª série. Mune, nthanu, são
substantivos pertencentes à classe mu-mi. Kume (pl. makume, sem
aspiração), dzana, são substantivos pertecentes à classe dji-ma.
Exemplo com um nome da 3ª cl. (yi-ti): huku, galinha.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
(huku) yiñwe
(tihuku) tibirji
(tihuku) tirjarju
mune wa (tihuku)
nthanu wa...
nthanu wa ... na yiñwe
nthanu wa ... na tibirji
nthanu wa ... na tirjarju
nthanu na mune wa (tihuku)
khume dja (tihuku)
khume dja ... na yiñwe
khume dja ... na tibirji
khume dja ... na tirjarju
khume na mune wa (tihuku)
khume na nthanu wa (tihuku)
khume na ntlhanu wa ... na yiñwe
khume na ntlhanu wa ... na tibirji
khume na ntlhanu wa... na tirjarju
klhume na ntlhanu na mune wa (tihuku)
makume mabirji ya (tihuku)
makume mabirji ya ... na yiñwe.
makume mabirji ya ... na tibirji
makume mabirji ya ... na tirjarju
109
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
99
100
101
120
150
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
makume mabirji na mune wa (tihuku)
makume mabirji na nthanu wa (tihuku)
makume mabirji na nthanu wa ... na yiñwe
makume mabirji na nthanu wa ... na tibirji
makume mabirji na nthanu wa ... na tirjarju
makume mabirji na nthanu na mune wa (tihuku)
makume marjarju ya (tihuku)
mune wa makume ya (tihuku)
mthanu wa makume ya (tihuku)
nthanu wa makume na khume djiñwe dja ...
nthunu wa makume na makume mabirji ya ...
nthanu wa makume na makume marjarju ya ...
nthanu wa makume na mune wa makume ya ...
nthanu wa makume na mune wa makume na nthanu na
mune wa
dzana dja tihuku
dzana dja (tihuku) na yiñwe
dzana na makume mabirji ya ...
dzana na nthanu wa makume ya ...
madzana mabirji ya ...
madzana marjarju ya ...
mune wa madzana ya ...
nthanu a madzana ya ...
nthanu wa madzana na dzana djiñwe dja ...
nthanu wa madzana na madzana mabirji ya ...
nthanu wa madzana na maryarju wa madzana ya ...
nthanu wa madzana na mune wa madzana ya ...
khume dja madzana ya..., etc.
Quando os números são substantivos pode fazer-se a construção de
duas maneiras:
nthanu wa tihomu ou tihomu ta nthanu - 5 bois
khume dja bsilembe ou bsilembe bsa khume - 10 chapéus
nthanu wa tihomu na tihomu tibirji - 7 bois, ou
tihomu ta nthanu na tibirji - 7 bois
Contudo o primeiro processo é mais seguido.
Nota:
A gente nova diz bidji em vez de birji, parecendo que birji seja um
som de transição.
rjarju, também muita gente a substitui por nharju.
111
Mapa 15
Swazi
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
112
2.18 Numerais na língua Swazi
Fonte: D. Ziervogel, Grammar of Swazi, Witwatersrand University
Press, Johannesburgo, 1952, p.53-54
O adjectivo “enumerativo”
a.
Os adjectivos pertencentes ao primeiro grupo do adjectivo
“enumerativo” são os numerais de 2 a 5 juntamente com -ngaki.
Têm as mesmas concordâncias que os adjectivos “predicativos”
e não diferem deles na forma, mas somente no significado e no
tom. O significado transmitido por estes adjectivos é também
“atributivo” sem, no entanto, transmitir uma proposição relativa.
Compare:
tinkomo timbili
tinkomo timbili
tinkomo letimbili
utsenge tintsatfu tinkabi
ngibite bangaki bafana?
b.
duas vacas
as vacas são duas
vacas que são duas; duas vacas
ele comprou três vacas
quantos rapazes devo chamar?
As raízes enumerativas adjectivais -nye (um), -ni? (de que
género?) e -phi? (que?, quais?) diferem das raízes acima
mencionadas nos aspectos seguintes:
i.
têm concordâncias diferentes para as classes 9 e 10;
ii.
têm uma forma copulativa especial.
Estas três raízes assumem as formas seguintes com as suas
concordâncias:
classe
1
2
3
4
5
6
7
munye
banye
munye
minye
linye
manye
sinye
muni
bani
muni
mini
lini
mani
sini
muphi
baphi
muphi
miphi
liphi
maphi
siphi
113
8
9
10
11
14
15
17
tinye
(y)inye
tinye
lunye
bunye
kunye
kunye
tini
(y)nii
tini
luni
buni
kuni
kuni
tiphi
(y)iphi
tiphi
luphi
buphi
kuphi
kuphi
Compare: munye umfana (um rapaz), munye umfana (o rapaz é um),
mas:
umfana lomunye (mais um rapaz)
luhlobo luni? (que tipo?, que género?)
muphi umfana? (qual rapaz?)
Mapa 16
Zulu
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
115
2.19 Numerais na língua Zulu
Fonte: Clement Doke, Textbook of Zulu grammar, Longmans
Southern Africa (1927), Johannesburgo, 1968, p. 325-327
1
-nye. O numeral para “um” é usado duma maneira bastante
única. Associado com ele em formação concordial há apenas
três outras raízes Zulu, -phi? (quais?), -ni? (que?) e -mbe (um
diferente).
classe
1
2
3
4
classe
5
6
7
8
umuntu munye
umuthi munye
i:hashi linye
isilo sinye
inkabi inye
uthi lunye
ubuso bunye
ukudla kunye
Os numerais adjectivais (usados com concordâncias adjectivais):
2
3
4
5
ababili
abathathu
abane
abahlanu
emibili
emithathu
emine
emihlanu
-bili
-thathu
-ne
-hlanu
amabili
amathathu
amane
amahlanu
ezimbili
ezinthathu
ezine
ezinhlanu
obubili
obuthathu
obune
obuhlanu
okubili
okuthathu
okune
okuhlanu
Para exprimir o numeral “cinco”, utiliza-se também frequentemente a
construção relativa com o substantivo isihlanu. Assim: abantu
abayisihlanu., etc.
Os numerais relativos (a raiz do substantivo é conjugada para ficar um
copulativo, e o resultante é usado com as concordâncias relativas):
6
isithupha (lit. o polegar)
abantu abayisithupha (seis pessoas)
imithi eyisithupha (seis árvores)
amahashi ayisithupha (seis cavalos)
izinto eziyisithumpha (seis objectos)
ubuso obuyisithumpha (seis caras)
ukudla okuyisithumpha (seis refeições)
7
isikhombisa (lit. o indicador)
abantu abayisikhombisa (sete pessoas)
imithi eyisikhombisa (sete árvores)
izinto eziyisikhombisa (sete objectos)
8
isishiyagalombili (lit. o deixar de dois dedos)
abantu abayisishiyagalombili (oito pessoas)
amahashi ayisishiyagalombili (oito cavalos)
9
isishiyagalolunye (lit. o deixar de um dedo)
ukukhanya okuyisishiyagalolunye (nove luzes)
10
i:shumi (um grupo de dez)
abantu abali:shumi ou abantu abayi:shumi ou abantu
abayilishumi (dez pessoas)
amahashi ayi:shumi (dez cavalos)
izinto ezili:shumi (dez objectos)
Em algumas zonas utiliza-se isibhozo para 8, e i:thoba para 9.
Numerais compostos:
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
i:shumi nanye
i:shumi nambili
i:shumi nantathu
i:shumi nane
i:shumi nanhlanu ou i:shumi nesihlanu
i:shumi nesithupha
i:shumi nesikhombisa
i:shumi nesishiyagalombili
i:shumi nesishiyagalolunye
amashumi amabili
amashumi amabili nanye
amashumi amabili nambili
117
26
29
30
40
50
60
70
80
90
99
100
458
amashumi amabili nesithupha
amashumi amabili nesishiyagalolunye
amashumi amathathu
amashumi amane
amashumi amahlanu ou amashumi ayisihlanu
amashumi ayisithupha
amashumi ayisikhombisa
amashumi ayisishiyagalombili
amashumi ayisishiyagalolunye
amashumi ayisishiyagalolunye nesishiyagalolunye
i:khulu
amakhule amane namashumi ayisihlanu
nesishiyagalombili
1000 inkulungwane
Exemplos:
abantu abali i:shumi nanye (onze pessoas)
izinkomo ezingamashumi amabili (20 vacas)
amakhosi aamashumi (ou angamashumi) amabili (20 chefes)
amabutho ayi:khulu (100 soldados)
imithi eyinkulungwane (mil árvores)
amabutho ayizinkulungwane eziyisikhombisa namakhulu
ayisithupha namashumi ayisishiyagalolunye nane (7694
soldados)
Cap. 3: Fontes orais
Capítulo 3
Fontes orais sobre a numeração e a contagem em
Moçambique
3.1 Quadros da numeração falada nas línguas bantu de
Moçambique
119
Swahili
120
Makonde
Yao
1 moja
mo
mo
2 mbili
bili, vili
widi, wili
3 tatu
natu, tatu
tatu
4 nne
ncheche
mcheche
5 tanu
nwanu
msano
6 sita
mwanu na mo
msano na mo
7 saba
mwanu na bili
msano na widi
8 nane
mwanu na natu
msano na tatu
9 tisa
mwanu na
ncheche
msano na
mcheche
10 kumi
kumi
kumi
11 kumi na
moja
kumi na mo
kumi kwisa mo
12 kumi na
mbili
kumi na bili
kumi kwisa widi
13 kumi na tatu kumi na natu
kumi kwisa tatu
14 kumi na nne
kumi kwisa
mcheche
kumi na ncheche
15 kumi na tanu kumi na mwanu
kumi kwisa
msano
16 kumi na sita
kumi na mwanu
na mo
kumi kwisa
msano na mo
17 kumi na
saba
kumi na mwanu
na bili
kumi kwisa
msano na widi
18 kumi na
nane
kumi na mwanu
na natu
kumi kwisa
msano na tatu
19 kumi na tisa
kumi na mwanu
na ncheche
kumi kwisa
msano na
mcheche
Swahili
Makonde
Yao
20 ishirini
makumi mabili
makumi mawidi
30 salasini
makumi manatu
makumi matatu
40 arbaini
makumi ncheche
makumi
mcheche
50 amsini
makumi mwanu
makumi msanu
60 sitini
makumi mwanu
na mo
makumi msano
na mo
70 sabini
makumi mwanu
na mabili
makumi msano
na widi
80 samanini
makumi mwanu
na manatu
makumi msano
na tatu
90 tisaini
makumi mwanu
na mcheche
makumi msano
na mcheche
100 mia
imiya
lichila
200 mia mbili
dimia mbili
machila mawidi
yelupo
machila makumi
1000 elfu
121
Makhuwa /
Lóhmé
Cóti
1 m’moja
mosa
móti
2 mbire
pili
piri
3 natu
tharu, raru
tathú
4 n’né
sheshe
nne
5 n’tano
thanu
thánu
6 sita
thanu na mosa
sithá
7 saba
thanu na pili
sabá
8 nane
thanu na tharu
nane
9 khénta
thanu na sheshe
tísya
10 kume
mulockó
khumi
11 kume na
m’moja
mulockó na mosa khumi na móti
12 kume na
mbire
mulockó na pili
13 kume na
natu
mulockó na tharu khumi na tathú
14 kume na
n’né
mulockó na
sheshe
khumi na nne
15 kume na
n’tano
mulockó na
thanu
khumi na thánu
Mwani
khumi na piri
16 kume na sita mulockó na
thanu na mosa
khumi na sithá
17 kume na
saba
mulockó na
thanu na pili
khumi na sabá
18 kume na
nane
mulockó na
thanu na tharu
khumi na nane
19 kume na
khénta
mulockó na
thanu na sheshe
khumi na tísya
Mwani
Makhuwa /
Lóhmé
Cóti
20 shirini
milockó mili
eshirini
30 talatini
milockó miraru
talathini
40 arubaine
milockó misheshe arubaini
50 amusine
milockó mithanu
hamusini
60 sitine
milockó mithanu
na mosa
sithini
70 sabine
milockó mithanu
na mili
sabini
80 tamanine
milockó mithanu
na miraru
thamanini
90 tusuine
milockó mithanu
na misheshe
tuswini
100 mia
emia
mia
200 mia mbire
emia pili
mia piri
álufu, emia
mulockó
álufu
1000 álufu
123
Lolo
Chuwabo
1 modzi
moy
modha
2 wiri
m’bily
bili
3 tatu
taru
tharu
4 nai
nay
nai
5 sanu
tanu
tanu
6 sanu ndi modzi
tanu na moy
tanu na modha
7 sanu ndi wiri
tanu na m’bily
tanu na bili
8 sanu ndi tatu
tanu na taru
tanu na tharu
9 sanu ndi nai
tanu na nay
tanu na nai
10 khumi
kumi
kumi
11 khumi ndi modzi
kumi na moy
kumi na modha
12 khumi ndi wiri
kumi na m’bily
kumi na bili
13 khumi ndi tatu
kumi na taru
kumi na tharu
14 khumi ndi nai
kumi na nay
kumi na nai
15 khumi ndi sanu
kumi na tanu
kumi na tanu
16 khumi ndi sanu
ndi modzi
kumi na tanu na
moy
kumi na tanu na
modha
17 khumi ndi sanu
ndi wiri
kumi na tanu na
m’bily
kumi na tanu na
bili
18 khumi ndi sanu
ndi tatu
kumi na tanu na
taru
kumi na tanu na
tharu
19 khumi ndi sanu
ndi nai
kumi na tanu na
nay
kumi na tanu na
nai
124
Nyanja
Nyanja
Lolo
Chuwabo
20 makhumi awiri
makumely
makumi meli
30 makhumi atatu
makumi mataru
makumi matharu
40 makhumi anai
makumi manay
makumi manai
50 makhumi asanu
makumi matanu
makumi matanu
60 makhumi asanu
ndi modzi
makumi matanu
na moy
makumi matanu
na modha
70 makhumi asanu
ndi wiri
makumi matanu
na mely
makumi matanu
na meli
80 makhumi asanu
ndi tatu
makumi matanu
na mataru
makumi matanu
na matharu
90 makhumi asanu
ndi nai
makumi matanu
na manay
makumi matanu
na manai
100 dzana
zana
zana
200 madzana awiri
makumely
makumi meli
makumi mataru
makumi matharu
1000 cikwi, madzana
khumi
125
Nyungwe
Sena
1 posi
posi
posi
2 piri
piri
piri
3 tatu
tatu
tatu
4 nai
nai
nai
5 xanu
xanu
xanu
6 tanthatu
tandhatu
thandatu
7 nomwe
cinomwe
xinomwe
8 sere
sere
sere
9 pfemba
pfemba
femba
10 khumi
khumi
khumi
11 khumi na posi
khumi na posi
khumi na posi
12 khumi na piri
khumi na piri
khumi na piri
13 khumi na tatu
khumi na tatu
khumi na tatu
14 khumi na nai
khumi na nai
khumi na nai
15 khumi na xanu
khumi na xanu
khumi na xanu
16 khumi na
tanthatu
khumi na
tandhatu
khumi na
thandatu
17 khumi na nomwe
khumi na
cinomwe
khumi na
xinomwe
18 khumi na sere
khumi na sere
khumi na sere
Dema
19 khumi na pfemba khumi na pfemba khumi na femba
126
Dema
Nyungwe
Sena
20 makhumi mawiri makhumi mawiri
makhumimawiri
30 makhumi matatu
makhumi matatu
makhumi matatu
40 makhumi manai
makhumi manai
makhumi manai
50 makhumi maxanu makhumi maxanu makhumi
maxanu
60 makhumi
matanthatu
makhumi
matandhatu
makhumi
matant’atu
70 makhumi
manomwe
makhumi
manomwe
makhumi
manomwe
80 makhumi masere
makhumi masere
makhumi masere
90 makhumi
mapfemba
makhumi
mapfemba
makhumi
mafembamwe
100 dzana
dzana
dzana
200 dzana mairi
madzana mawiri
madzana mawiri
culu
cikwi
1000 culu
127
Shona / Ndau
Tshwa
1 mo
posi, possa
nwe
2 wiri
piri
mbiri
3 tatu
tatu
nharu
4 nai
cina
mune
5 sanu
shanu
ntchanu
6 sanu na mo
tandhatu
ntchanu ni nwe
7 sanu na wiri
nomwe
ntchanu ni mbiri
8 sanu na tatu
sere
ntchanu ni nharu
9 sanu na nai
pfemba,
pfumbamwe
ntchanu ni mune
10 kumi
gumi
khume
11 kumi na mo
gumi na posi
khume ni nwe
12 kumi na wiri
gumi na piri
khume ni mbiri
13 kumi na tatu
gumi na tatu
khume ni nharu
14 kumi na nai
gumi na cina
khume ni mune
15 kumi na sanu
gumi na cina
khume ni
ntchanu
16 kumi na sanu na
mo
gumi na tandhatu khume ni
ntchanu ni nwe
17 kumi na sanu na
wiri
gumi na nomwe
khume ni
ntchanu ni mbiri
18 kumi na sanu na
tatu
gumi na sere
khume ni
ntchanu ni nharu
19 kumi na sanu na
nai
gumi na pfemba
khume ni
ntchanu ni mune
128
Senga
Senga
Shona / Ndau
Tshwa
20 makumi awiri
magumi mairi
makhume
mambiri
30 makumi atatu
magumi matatu
makhume
manharu
40 makumi anai
magumi mana
mune wa
makhume
50 makumi asanu
magumi mashanu tlhanu wa
makhume
60 makumi asanu na magumi
imo
matanthatu
tlhanu wa
makhume ni nwe
awiri
manomwe
tlhanu wa
makhume ni
mambiri
80 makumi asanu na magumi masere
atatu
tlhanu wa
makhume ni
manharu
anai
mapfemba
tlhanu wa
makhume ni
mune
100 makumi-kumi
zana
dzana
200 makumi kumi
awiri
mazana mairi
madzana
mambiri
cihuru
khume ga
madzana
1000 makumikumikumi
129
Tsonga / Changana
Gitonga
1 n’we
mwe
2 mbirhi
mbili
3 nharu
tharu
4 mune
na
5 ntlhanu
libhandre
6 ntlhanu ni n’we
libhandre na mwe
7 ntlhanu ni mbirhi
libhandre na mbili
8 ntlhanu ni nharu
libhandre na tharu
9 ntlhanu ni mune
libhandre na na na
10 khume
khumy
11 khume ni n’we
khumy na mwe
12 khume ni mbirhi
khumy na mbili
13 khume ni nharu
khumy na tharu
14 khume ni mune
khumy na na
15 khume ni ntlhanu
khumy na libhandre
16 khume ni ntlhanu ni
n’we
khumy na libhandre
na mwe
mbirhi
khumy na libhandre
na mbili
nharu
khumy na libhandre
na tharu
mune
khumy na libhandre
na ne
Tsonga / Changana
Gitonga
20 makume mambirhi
makhumy mavili
30 makume manharhu
makhumy mararu
40 mune wa makume
makhumy mana
50 ntlhanu wa makume
libhandre makhumy
60 ntlhanu wa makume
ni n’we
libhandre na mwe
makhumy
70 tlhanu wa makume ni
mambirhi
libhandre na mavili
makhumy
manharhu
libhandre na mararu
makhumy
mune
libhandre na mana
makhumy
100 dzana
dzana
200 madzana mambirhi
madzana mavili
1000 khulu
likhumi madzana
131
Chope
Ronga
1 mué
-ñwe
2 mbiri
birji
3 raru
rjarju
4 mune
mune
5 ntchanu
nthanu
6 ntchanu ni mué
nthanu ni -ñwe
7 ntchanu ni mbiri
nthanu ni birji
8 ntchanu ni raru
nthanu ni rjarju
9 ntchanu ni mune
nthanu ni mune
10 gume
khume
11 gume ni mué
khume ni -ñwe
12 gume ni mbiri
khume ni birji
13 gume ni raru
khume ni rjarju
14 gume ni mune
khume ni mune
15 gume ni ntchanu
khume ni nthanu
16 gume ni ntchanu ni
mué
khume ni nthanu ni ñwe
mbiri
khume ni nthanu ni
birji
raru
khume ni nthanu ni
rjarju
mune
khume ni nthanu ni
mune
Chope
Ronga
20 makume mambidi
makume mabirji
30 makume mararu
makume marjarju
40 mune uà makume
mune wa makume
50 ntchanu uà makume
thanu wa makume
thanu wa makume na
khume
thanu wa makume na
makume mabirji
thanu wa makume na
makume marjarju
thanu wa makume na
mune wa makume
100 dzana
dzana
200 madzana mabidi
madzana mabirji
1000 khulu
khume dja madzana
133
3.2 Métodos populares de contagem em Moçambique 1
Introdução
No contexto do Projecto de Investigação ‘Etnomatemática’ e
enquadrado no capítulo sobre os “Sistemas de numeração e práticas de
contagem” na disciplina de “Matemática na História” leccionada pelo
Professor Paulus Gerdes e com a assistência dos docentes Maurício
Nhancolo (falecido), Daniel Soares, Abdulcarimo Ismael e Marcos
Cherinda, nos cursos de Licenciatura em Ensino da Matemática e
Física, e no curso de Licenciatura em Educação Matemática do Ensino
Primário na Universidade Pedagógica, em Maputo, e na sua Delegação
na Beira respectivamente, realizou-se um inquérito sobre “métodos
populares de contagem em Moçambique” no seio dos estudantes dos
cursos atrás referidos (anos 1989-1992). Idêntico inquérito foi
realizado em 1992 no Instituto Médio Pedagógico em Nampula.
Em seguida apresentam-se algumas das informações recolhidas
nos referidos inquéritos.
A contagem por nós
A contagem por nós pode ser encontrada em várias províncias de
Moçambique e é utilizada em diversos contextos, dos quais se
destacam a contagem dos meses do ano, duração de grandes caçadas,
idade de pessoas e tempo de gravidez, nas Províncias de Cabo Delgado
e Nampula; a contagem de animais domésticos, tais como bois,
cabritos e galinhas, e de animais de caça nas Províncias de Maputo e
Nampula.
Na Província de Cabo Delgado, malundu (língua makonde) é um
método de contagem através de nós. A própria palavra malundu, cujo
singular é vilundo, significa nó(s). Este método é usado para indicar
os meses do ano, a idade de crianças e o tempo de duração de longas
caçadas.
Elaborado por Abdulcarimo Ismael e Daniel Soares na base de um
inquérito realizado no seio de estudantes da Universidade
Pedagógica.
1
Milundu é usado também para contar os meses de gravidez duma
mulher; assim se consegue determinar o período do parto, que é depois
de 9 meses. Vilundu é também usado para controlar a duração de
construção duma casa, a duração do desenvolvimento duma criança até
se sentar, andar, etc.
Para grandes caçadas que normalmente duravam mais do que
uma semana, as pessoas daquela região do país levavam uma peça de
capulana ou corda de aproximadamente um metro. Para cada dia que
passava era feito um nó naquela peça, de tal forma que no fim de
caçada se contavam o número de nós e se sabia quanto tempo tinha
levada a caçada. Nalgumas regiões de Cabo Delgado onde se nota
uma certa influência da religião Islâmica, o método malundu é usado
na contagem de meses do calendário Islâmico. Para se saber quando é
o mês de jejum, ou seja o mês de Ramadan, toma-se como referência o
período anterior de jejum. Quando a lua nova aparece, imediatamente
depois do mês de jejum, é feito um nó; nos meses seguintes são feitos
nós de cada vez, até se terem 11 nós; o 12º nó corresponde então ao
novo mês de jejum. Malundu é também usado para controlar a idade
duma criança. Assim, se uma criança nasce no 5º mês do calendário
Islâmico, só se faz um vilundo passados 12 meses lunares, ou seja
quando aparece o 5º mês seguinte.
Nluthó ou Nlutché (língua makhuwa-lomwé), que também
significa “nó”, é um método de contagem em nós utilizado na
Província de Nampula, fundamentalmente para contar animais
domésticos e também nalguns casos para a contagem do tempo. Neste
caso concreto conta-se o tempo que vai da data da morte duma pessoa
até 40 dias, altura em que se deve fazer a cerimónia do defunto
denominada “Arybaini” (em língua árabe), segundo a religião
Islâmica. Após o falecimento vão-se fazendo nós numa corda para
cada dia que passa, o que permite saber-se exactamente o dia da
cerimónia do defunto.
No caso de contagem de animais domésticos os nós são feitos
numa corda; na corda são atados tantos nós quantas cabeças de gado
existem no curral. Quando, de manhã cedo o gado vai ao pasto, é
contado à medida que sai do curral através dos nós, e ao anoitecer,
depois do pasto, o gado é novamente contado à medida que vai
entrando no curral. Deste modo pode-se fazer um controle exacto do
gado. De realçar que este método é também usado para a contagem e
135
controle de quantidades de outro tipo de animais domésticos tais como
cabritos, galinhas, patos, etc.
Há factos que nos levam a crer que este método de contagem era
utilizado em vários outros contextos. Em Nampula era utilizado por
trabalhadores assalariados para a contagem dos dias de trabalho, o que
lhes permitia depois comparar com o salário que recebiam e saber se o
salário era real ou não.
Fundzu ou mafundzu (língua ronga), é uma forma de contar por
nós, vulgarmente utilizada na província de Maputo para contar animais
que uma família possui. Para cada cabeça de gado que certa família
possuísse, esta fazia um nó numa corda de sisal; o número de nós
correspondia ao número de cabeças de gado. Se nascessem mais
animais, eram feitos mais nós na corda; se morressem, por doença, ou
se fossem abatidas para o consumo, ou se fossem vendidas tantas
cabeças, era desatado um número correspondente de nós. No caso
duma família que possuísse mais do que uma espécie de animais
domésticos, existia uma corda para cada espécie.
A contagem por pedrinhas
A contagem por pedrinhas pode ser encontrada em várias partes
de Moçambique, em particular nas Províncias de Gaza e Tete.
Xiguama xa xibala (língua changana), refere-se a um cesto que
contém pedrinhas. Trata-se de um método de contagem utilizado na
província de Gaza para controlar a quantidade de animais no curral. O
pastor dirige-se diariamente ao curral com o seu xiguama xa xibala
para controlar o número de cabeças de gado; ele tira um por um os
animais do curral, ao mesmo tempo que vai tirando pedrinhas, também
uma por uma, do cesto, colocando-as em fila no chão. Se resta alguma
pedrinha no saco significa que está a faltar algum animal que pode terse perdido ou ter ido para outro curral. O pastor pode sempre saber
quantos animais há no curral. No caso em que se nota que existem
mais animais do que as pedrinhas pode-se concluir que houve
reprodução ou há lá animais de outros currais.
Mwala ou Myala (língua senga), que significa pedra, é uma
forma de contagem geralmente utilizada para a contagem de animais
domésticos, tais como galinhas, cabritos, patos, etc. Este método é
136
utilizado na Província de Tete. Todas as manhãs é feito o controle por
alguém, um rapaz ou uma menina, que seja um membro da família.
Ele(a) dirige-se ao estábulo ou curral onde se encontram os animais, na
altura em que estes saem para o pasto; com um número de pedrinhas
ele(a) vai pondo um pedrinha no chão ou passando-a duma mão para
outra, à medida que os animais vão saindo. No fim ele(a) leva as
pedrinhas correspondentes ao número de animais que foram ao pasto.
Ao anoitecer, quando os animais se dirigem ao estábulo ou curral, é
repetido o processo com as pedrinhas levadas naquela manhã. Assim
que se nota que restam algumas pedrinhas, isto significa que estão a
faltar alguns animais e assim ele(a) vai logo procurá-los. Se ele(a) se
apercebe que há mais animais do que pedrinhas, vai imediatamente
verificar se há de facto mais animais, se houve reprodução, ou se
algum vizinho teria perdido alguns dos seus animais.
A contagem por tracinhos
A contagem por tracinhos é encontrada em diferentes contextos
nas Províncias de Zambézia, Gaza, Inhambane e Nampula.
Mulobuó , plural milobuó (língua chuabo), que significa “parte
duma folha de palmeira”, é um método de contagem utilizado por
camadas jovens na Província da Zambézia para a contagem dos golos
de cada equipa, num jogo de futebol. Deste modo consegue-se saber
qual é a equipa vencedora.
Toma-se uma folha de palmeira e divide-se em duas partes iguais,
correspondente a cada equipa em campo; cada uma destas partes
chama-se mulobuó. Cada mulobuó fica na posse do capitão de cada
uma das equipas. À medida que o jogo vai decorrendo, por cada golo
que é marcado é feito um tracinho no mulobuó na presença do capitão
da outra equipa para se evitarem irregularidades. No fim do jogo as
equipas encontram-se para comparar os milobuó (plural) e a equipa
que tiver mais tracinhos no Mulobuó ganha o jogo. Acontece que às
vezes não há tempo para se contarem os tracinhos. Nestes casos
apenas se compara o comprimento da parte dos Milobuó que contém
os tracinhos e a equipa que tiver maior comprimento ganha o jogo.
Swivati (língua changana) é uma forma de contagem geralmente
usada para a contagem da quantidade de dinheiro ou de animais paga
como lobolo. Este método é frequente na Província de Gaza e consiste
137
no seguinte: para cada animal, que pode ser boi, cabrito, galinha ou
pato, ou para cada nota de 100 meticais (ou escudos antigamente), é
feita uma marca, um tracinho no tronco da árvore mais próxima da
casa, de preferência a mais alta e de longa vida. Cada grupo de
marcas, cada grupo de swivati, o que corresponde a cada lobolo, pode
depois ser sempre consultado.
Na Província de Inhambane utilizavam-se tracinhos para indicar
as idades das pessoas, na contagem do número de animais num curral,
do número de animais mortos na caça, etc.
Depois do nascimento duma criança as pessoas geralmente
dirigem-se a uma árvore grande e antiga e lá fazem um risco no tronco
desta com um golpe de catana ou faca; o golpe representa então essa
ocorrência. Em cada ano seguinte é feito um risco diferente, e assim
sucessivamente até a criança atingir a maturidade, ou seja, no contexto
cultural considerado, quando a criança atinge o momento em que pode
velar pela sua própria vida; no caso de rapaz, quando trabalha, e no
caso da rapariga, quando se casa.
A contagem de animais por este método é feita da mesma
maneira do que para a idade de pessoas, isto é, para cada animal
existente é feito um risco no tronco duma árvore ou num ramo de
tronco. O número de riscos ou tracinhos no tronco ou ramo de árvore
corresponde assim ao número de animais existentes no curral.
O ramo contendo os tracinhos ou riscos que indicam a quantidade
dos animais é depois entregue ao chefe da família para controlar os
animais. No caso de se verificar uma reprodução é levado o ramo e são
feitos nele tantos riscos quantos animais nasceram. No entanto no caso
de morte ou abate de algum animal do curral, o nosso inquérito não
conseguiu apurar qual era o procedimento para efeitos de controle. De
realçar que para cada espécie de animais existe um ramo ou tronco
diferente para evitar confusões.
Na caça é levado sempre um pau e nele é marcado um risco para
cada animal que é apanhado.
Walaca ou Walakela (língua makhuwa) é uma forma geralmente
usada para contar o número de pontos de cada equipa num jogo de
cartas denominado Nthezó. Este método é usado em algumas regiões
da Província de Nampula.
138
O jogo de cartas Nthezó é um dos mais populares divertimentos
em regiões da Província de Nampula tais como Memba e Ilha de
Moçambique. Antes do início de cada jogo é feito, numa folha de
papel, um desenho para cada equipa. Este desenho consiste em três
tracinhos com mais ou menos a mesma medida que se intersectam no
meio, formando assim, mais ou menos, diagonais dum hexágono. No
fim de cada série do jogo a equipa vencedora, que é a que tiver mais
pontos, coloca uma bolinha numa das extremidades das linhas; no fim
de tantas voltas a equipa que tiver ganho mais voltas é declarada
equipa vencedora do jogo. No entanto, em certas ocasiões não contam
tanto, as voltas que são realizadas, mais sim o número de partidas
ganhas. Assim, no caso de terem sido realizados muitos jogos,
compara-se o número de círculos, isto é, grupos de seis pontos ganhos
e quem tiver mais círculos é automaticamente vencedor. Se se
verificar que as equipas têm o mesmo número de círculos de seis
pontos, são contados os pontos restantes e ganha a equipe que tiver
mais pontos restantes.
Mbara, que significa “parte do cacho de cocos” numa palmeira
que se parece com a casca de feijão verde, é também usado para contar
o número de palmeiras escaladas num certo período de tempo durante
a colheita de cocos na Província de Inhambane.
Antes do início da colheita os trabalhadores preparam um Mbara.
À medida que vão escalando as palmeiras de onde colhem os cocos
eles vão pegando no Mbara e fazendo marcas com ajuda duma faca ou
catana; a marca é feita não como um simples risco, mas sim na
margem do Mbara, de tal forma que no fim se pareça com dentes dum
animal. No fim de cada jornada de trabalho, o número de golpes no
Mbara corresponde ao número de palmeiras escaladas.
Okwenhenha (língua makhuwa) é um meio de contar por riscos
feitos no chão, na areia, utilizado na Província de Nampula, para
contar o número de tiras de palhas evitando-se assim enganos na
feitura de cestos, permitindo que o cesto apresente uma forma bonita.
Os riscos são agrupados desta feita em 4, perfazendo 2 subgrupos de
dois a dois, todos formando por sua vez dois grupos de riscos paralelos
cruzados.
139
Contagem por pauzinhos
Miri (língua makhuwa-lóhmwé) é um método de contagem
utilizado em algumas regiões da Província de Nampula para contar
galinhas quando entram para a capoeira, como forma de verificar se
estão ou não completas. Arranja-se um número determinado de
pauzinhos correspondentes ao número de galinhas existentes na
capoeira; depois, ao entardecer, pegam-se estes pauzinhos e vai-se
controlando a entrada das galinhas para a capoeira; por cada galinha
que entra vai-se retirando para outro lado um pauzinho. Deste modo
consegue-se saber se todas as galinhas voltaram ou não para a
capoeira.
Considerações finais
Os métodos de contagem que aqui apresentamos foram-nos
facultados por estudantes dos cursos atrás referidos, através de
inquéritos escritos. É natural que ao analisar determinados aspectos
surjam algumas questões por esclarecer, que os próprios estudantes
não podem fazer. A maior parte dos estudantes afirmaram terem
aprendido estes métodos com os seus avós ou bisavós ou terem visto
estes a utilizá-los; logicamente pode-lhes ter escapado algum aspecto
importante do método.
Existem dúvidas, por exemplo, sobre em que medida são ainda
são utilizados hoje em dia.
Convidam-se os leitores a contribuírem ou a recolherem mais
informações sobre métodos populares de contagem em Moçambique.
Queira enviar as suas informações para um dos Departamentos de
Matemática da Universidade Pedagógica:
Departamento de Matemática, UP, C.P. 2923, Maputo;
Departamento de Matemática, UP, C.P. 2025, Beira.
140
Cap. 4: Tabelas e mapas
Capítulo 4
Tabelas e mapas comparativos relativos à numeração
falada em Moçambique 1
Situada na região oriental da África Austral, com 786380 km2 de
área terrestre, banhada inteiramente a Leste pelo Oceano Índico, com
um comprimento de costa de 2515 km, a população de República de
Moçambique é maioritariamente de língua materna bantu. Dados do
Recenseamento Geral da População de 1980 indicam que mais de 90%
da população moçambicana tem línguas maternas bantu.
Com base em textos publicados e inquéritos realizados no seio de
estudantes da Universidade Pedagógica elaboraram-se algumas tabelas
e mapas que ilustram as semelhanças e as diferenças entre os sistemas
verbais de numeração nas línguas bantu faladas em Moçambique.
A Tabela 4.1 apresenta uma listagem dos numerais simples (a
partir dos quais se formam os restantes) de “um” até “cem”. É de
notar a existência de dois grupos de sistemas de numeração: um de
uma única base “dez”, e outro de base “dez” com base auxiliar
“cinco”. A distribuição geográfica destes grupos apresenta-se no
Mapa 4.6.
Na Tabela 4.2 compara-se a estrutura dos numerais. A notação 5
+ P refere-se a “cinco mais uma parcela”, em que a parcela pode ser
um, dois, três, ou quatro. As notações 10 x f, 10 x F e F x 10 indicam
uma multiplicação à direita ou à esquerda de “dez” por um factor de
multiplicação.
1
Elaborado por Abílio Mapapá e Evaristo Uaila na base de um
inquérito realizado no seio de estudantes da Universidade
Pedagógica.
141
O Mapa 4.1 indica as regiões do país em que os numerais para
“um” têm a mesma raíz. É de notar que tanto os numerais para “dois”
como os para “três” têm em todo o país a mesma raíz.
“quatro” têm a mesma raíz.
“cinco” têm a mesma raíz.
“dez” têm a mesma raíz.
“cem” têm a mesma raíz.
142
Tabela 4.1
Numerais simples nas línguas bantu de Moçambique
Makonde
Yao
Makhuwa
Lolo
Chuwabo
Nyanja /Cheua
Senga
Tshwa
Tsonga /
Changana
Gitonga
Chope
Ronga
Swahili
Còti
Nyungwe
Sena
Shona / Ndau
Zulu
1
2
3
-mo
-mo
-mosa
-moy
-modha
-modzi
-mo
-nwe
-n’we
-bili, -vili
-widi, -wili
-pili, -ili
-m’bily
-bili
-wiri
-wiri
-mbiri
--mbirhi
-natu, -tatu
-tatu
-tharu, -raru
-taru
-tharu
-tatu
-tatu
-nharu
-nharu
-mwe
-mué
-ñwe
-moja
-moti
-posi, -bodzi, modzi
-bodzi
-posi, -possa
-nye
-mbili
-mbiri
-birji
-mbili
-piri
-piri
-tharu
-raru
-rjarju
-tatu
-thathu
-tatu
-wiri
-piri
-bili
-tatu
-tatu
-thathu
143
Tabela 4.1
(continuação)
4
5
Makonde
Yao
Makhuwa
Lolo
Chuwabo
Nyanja /Cheua
Senga
Tshwa
Tsonga /
Changana 2
Gitonga
Chope
Ronga
Swahili
Còti
Nyungwe
Sena
Shona / Ndau
-ncheche
-mcheche
-sheshe
-nay
-nai
-nai
-nai
mune
mune
-nwanu
-msano
-thanu
-tanu
-tanu
-sanu
-sanu
ntchanu
ntlhanu
-na
mune
mune
-nne
-nne
-nai
-nai
-na
libhandre
ntchanu
nthanu
-tanu
-thanu
-xanu
-xanu
-shanu
Zulu
-ne
-hlanu
2
6
sita
-sithá
-tant’atu
-tant’atu
-tanthatu,
-tandhatu
-isithupha
Existe outra variante da língua Changana, que se usa na África do
Sul, onde se tem os seguintes numerais simples: (6) tsevu, (7)
nkombo, (8) nhungu, e (9) kaye.
Tabela 4.1
(continuação)
Makonde
Yao
Makhuwa
Lolo
Chuwabo
Nyanja /Cheua
Senga
Tshwa
Tsonga /
Changana
Gitonga
Chope
Ronga
Swahili
Còti
Nyungwe
Sena
Shona / Ndau
Zulu
7
8
9
saba
-sabá
-chinomwe
-nomeu
-nomwe
nane
-nane
-sere
-sere
-sere
tisa
-tísya
-f’emba
-f’emba
-pfemba, pfumba
-isikhombisa -isisshiyagalombili
-isishiyagalolunye
145
Tabela 4.1
(conclusão)
Makonde
Yao
Makhuwa
Lolo
Chuwabo
Nyanja /Cheua
Senga 3
Tshwa
Tsonga /
Changana
Gitonga
Chope
Ronga
Swahili
Còti
Nyungwe
Sena
Shona / Ndau
Zulu
3
10
100
kumi
kumi
mulockó
kumi
kumi
khumi
kumi
khume
khume
imiya
lichila, licila
emia, mia
zana
zana
dzana
khumy
gume
khume
kumi
khumi
k’umi
k’umi
gumi
i:shumi
dzana
dzana
dzana
mia
mia
dzana
dz-ana
zana
i:khulu
dzana
dzana
Na língua Senga, o numeral para “cem” tem a forma de 10 x 10,
dizendo-se makumi-kumi.
146
Tabela 4.2
Estrutura dos numerais nas línguas bantu de Moçambique
Numerais
6, 7, 8,
9
Swahili
Còti
Base
Nyungwe
10
Sena
Shona /
Ndau
Zulu
Makonde
Yao
Makhuwa
Base
Lolo
10
Chuwabo
com
Nyanja /
base
Cheua
auxiliar
Senga
5
Tshwa
Tsonga /
Changana
Gitonga
Chope
Ronga
20, 30 40, 50
Forma
simples
5+P
60,
70, 80
90
10xF
10xF
10xF
Fx10
10x5 + 10xf
5x10
+
10xf
5x10+4x10
ou
(5+4) x10
5x10+4x10
147
Tanzania
-mo
-mo
Malawi
-modzi
Zambia
-mosa
-mo
-bodzi
-moy
-m
ot
i
-modzi
-posi
-bodzi
Zimbabwe
Africa do Sul
-posi
-possa
-n’we
-nwe
-mue
Suazilandia
-nwe
-nye
148
Oceano Indico
-moja
Mapa 4.1
Distribuição geográfica dos numerais para “um”
Mapa 4.2
Distribuição geográfica dos numerais para “quatro”
-nne
Tanzania
-nsheshe
-msheshe
Malawi
-nai
Zambia
-sheshe
-n
ne
-nai
-nai
Zimbabwe
-na
Oceano Indico
e
mun
-na
mu
ne
Africa do Sul
Suazilandia
-ne
149
Mapa 4.3
Distribuição geográfica dos numerais para “cinco”
u
Tanzania
Malawi
Zambia
u
an
-nw
-msano
n
ha
-t
-sanu
-sanu
-thanu
-shanu
Zimbabwe
Suazilandia
150
ntch
anu
Africa do Sul
ntlhanu
-shanu
nthanu
-hlanu
Oceano Indico
libhandre
Mapa 4.4
Distribuição geográfica dos numerais para “dez”
Tanzania
kumi
kumi
Malawi
Zambia
mulocko’
kumi
khumi
k’umi
k’umi
Zimbabwe
ku
m
i
khumi
gumi
Oceano Indico
khume
Africa do Sul
Suazilandia
k’humy
gume
khume
i:shumi
151
lichila
licila
imiya
dzana
Malawi
Tanzania
m
ia
Mapa 4.5
Distribuição geográfica dos numerais para “cem”
Zambia
emia
mia
dzana
dzana
zana
dz-ana
Zimbabwe
dza
Africa do Sul
na
zana
Suazilandia
i:khulu
152
Oceano Indico
Mapa 4.6
Distribuição geográfica dos sistemas de numeração
Tanzania
Malawi
Zambia
Zimbabwe
Oceano Indico
Africa do Sul
Suazilandia
Base "10"
Base "10" com base auxiliar "5"
153
154
Cap. 5: Numeração e educação
Capítulo 5
Numeração e educação
5.1 Numeração falada como recurso na aprendizagem da
aritmética 1
Em 1992 os estudantes do curso de Licenciatura em Educação
Matemática do Ensino Primário (LEMEP)2 realizaram uma série de
entrevistas com professores primários sobre o processo de ensino e
aprendizagem da adição e subtracção nas primeiras classes da escola
primária.
Numa das entrevistas surgiu o seguinte diálogo entre um
professor da 4ª classe e um grupo de estudantes da LEMEP:
Perg.:
1
2
Bem, o Senhor Professor já falou das dificuldades; agora
em que exercícios acha que os alunos têm mais facilidade
de aprendizagem?
Autor: Jan Draisma.
A LEMEP funciona na Delegação da Beira da Universidade
Pedagógica e visa formar um grupo de especialistas do ensino da
Matemática para o nível primário. Pensa-se que os futuros
graduados deste curso poderão ser docentes de Matemática e
Didáctica de Matemática nos vários cursos de formação de
professores primários. Todos os estudantes da LEMEP são
professores primários experientes (dos 1º e/ou 2º grau) e uma parte
dos estudantes tem também experiência como instrutores de
(Didáctica de) Matemática nos Centros de Formação de
Professores Primários.
155
Resp.: “Por exemplo, exercícios do tipo (escrevendo) 300+500.
Aqui os alunos têm facilidade porque já adicionam três
mais cinco; 1000+5000 (escreveu), têm também
facilidade. Mas para 1000+500 (escreveu), por exemplo,
é um pouco difícil. O aluno é capaz de escrever:
1000
+ 500
Só quando o número de zeros for igual é que há
facilidade.”
Perg.:
O que é que o Sr. Professor faz quando os alunos
cometem este tipo de erros, ou seja colocar algarismos
de outros números na posição não correcta?
Resp.: “Faço a tabela de posição; ei-la:
1000
100
10
1
1
0
0
0
5
0
0
5
0
0
1
E até podem resolver na mesma tabela.”
Apresentou a solução do problema, mil mais quinhentos
na mesma tabela.
Perg.:
Mas mil mais quinhentos, os alunos não podem dizer
logo mil e quinhentos?
A resposta não se fez esperar:
“Não, só se fosse a multiplicação é que seria mais fácil
para eles.”
Como é que se explica que o professor entrevistado ache que
1000 + 500 é um exercício difícil, enquanto que o entrevistador, que
também é um professor primário, pensa que os alunos podem dizer de
imediato o resultado? E porque é que o professor entrevistado pensa
que multiplicar mil por quinhentos é mais fácil do que adicionar estes
números?
156
A diferença de pensamento entre os dois professores é que o
primeiro, quando se fala de mil mais quinhentos, imagina
automaticamente os numerais escritos, e vê que os alunos se podem
enganar, se não alinharem correctamente os algarismos; enquanto que
o segundo professor se limita a ouvir os numerais falados, concluindo
que a tarefa é muito fácil: mil mais quinhentos é igual a mil e
quinhentos. Usando os numerais falados, a “operação” limita-se à
substituição da palavra “mais” pela palavra mais simples “e”,
enquanto que as parcelas continuam inalteradas.
O professor entrevistado pensa que a multiplicação mil vezes
quinhentos é mais fácil porque, neste caso, a colocação dos numerais
escritos não é importante: basta acrescentar três zeros ao numeral
escrito 500; para isto não é necessário alinhar os factores algarismo
por algarismo.
Como é que seria a operação 1000 x 500, se fosse feita por
palavras? Teríamos mil vezes quinhentos é igual a quinhentos mil. A
“operação” consiste na troca da ordem dos factores e na eliminação da
palavra vezes. Qual é a operação mais simples, aquela que é feita com
os numerais escritos ou a que é feita com os numerais falados?
Este simples exemplo mostra que a maneira de resolver um
problema aritmético depende do tipo de símbolos usados: quando se
usam os símbolos escritos, compostos por algarismos, fazendo o
cálculo algarismo por algarismo, é necessário respeitar certas regras de
colocar os símbolos e de operar com eles. Mas quando se usam
símbolos falados — palavras — o cálculo torna-se muito diferente.
No presente texto vamos comparar com mais pormenor a aritmética
escrita com a aritmética falada, e veremos que o uso de numerais
falados pode constituir um recurso importante para as crianças
passarem a dominar com mais facilidade os exercícios básicos da
adição e da subtracção.
A importância dos exercícios básicos da adição e subtracção
Uma das tarefas principais das aulas de Matemática nas 1ª e 2ª
classes é que os alunos passem a dominar os exercícios básicos da
adição e subtracção. Chamamos exercícios básicos da adição e da
subtracção, as somas de dois números dígitos (como 2+3 = 5 e
157
7+9 = 16) e as diferenças correspondentes (à soma 7+9 = 16
correspondem os exercícios básicos da subtracção 16 - 7 = 9 e 16 9 = 7). Há autores que preferem falar de factos básicos em vez de
exercícios básicos. As expressões exercícios básicos ou problemas
básicos parecem mais correctas para a criança que ainda não
memorizou os resultados. Para esta criança, 7 + 9 = ? é um problema a
ser resolvido. Mas a partir do momento que os resultados estiverem
memorizados, deixam de ser exercícios ou problemas e passam a ser
factos numéricos básicos.
Porque é que se fala de exercícios (ou factos) básicos? O
conhecimento destes factos constitui a base para o cálculo com
números maiores: para calcular a soma de 3596 e 17283, muitas
pessoas irão colocar os números na seguinte posição:
3 596
+ 17 283
para em seguir calcular algarismo por algarismo. Este cálculo só é
eficiente se a pessoa souber de cor que 6 + 3 = 9, 9 + 8 = 17, etc., isto
é, se a pessoa tiver memorizado os factos básicos da adição. Exemplos
semelhantes poderão ser dados sobre a subtracção, multiplicação e
divisão. Um problema real que se verifica nas escolas primárias, é que
a partir da 3ª classe os alunos aprendem os procedimentos escritos das
quatro operações elementares, isto é, os procedimentos em que se
calcula algarismo por algarismo, com os numerais escritos, sem que
tenham memorizado todos os factos básicos. Por exemplo, entre os 29
alunos das 3ª e 4ª classes entrevistados por estudantes da LEMEP em
Novembro de 1992, 6 alunos tiveram que recorrer aos dedos para
determinar 7+9, durante o cálculo de 47 + 29. Kilborn 1991 (p. 30)
apresenta dados referentes a 99 alunos da 3ª classe, de escolas das
cidades de Maputo e Nampula, que mostram que mais de metade dos
alunos entrevistados recorre a métodos de contagem, em geral
apoiados pelos dedos, para determinar os resultados de 2+11, 3+9 e
8+27.
Como o domínio dos exercícios básicos é essencial para o
desenvolvimento das capacidades matemáticas e, por outro lado, como
a realidade nas escolas mostra que alunos e professores têm
158
dificuldades em conseguir este domínio, temos dado muita atenção ao
tema nas aulas e trabalhos práticos da LEMEP.
Como é que adultos e crianças calculam na realidade?
Para possuirmos alguns dados reais, os estudantes da LEMEP
prepararam e aplicaram, em fins de 1991, uma entrevista contendo
problemas simples de adição e de subtracção, cobrindo as exigências
do programa da 1ª classe e parcialmente as exigências da 2ª classe.
Todos os problemas eram apresentados oralmente. As pessoas
entrevistadas ficavam completamente livres quanto ao método de
resolução.
Foram entrevistados três grupos de pessoas:
A.
B.
C.
Quinze mulheres analfabetas (estudantes do curso de educação
bilingue nos bairros de Estoril e Munhava Matope da cidade da
Beira, isto é, um curso de alfabetização em língua Sena em que
os participantes, numa segunda fase, aprendem também a língua
portuguesa)
Catorze crianças em idade escolar (de 7 a 12 anos) que não
frequentam a escola
Treze alunos das 1ª e 2ª classes de algumas escolas da Beira.
Um dos resultados mais importantes das entrevistas foi ter-se
verificado que todas as mulheres entrevistadas resolviam com
facilidade e segurança todos os problemas colocados, calculando com
os numerais falados da língua Sena. Não precisavam dos numerais
escritos. Leiam-se os seguintes exemplos:
159
Em Sena
Tradução-1
Makumi
mathandatu Sessenta e dois
kuburusa
pixanu, menos cinco, quanto
pinakala pingasi?
é?
Makumi
mathandatu Em sessenta tiramos
tinaburusa
pixanu; cinco; fica cinquenta
pinakala
makumi e cinco.
maxanu na pixanu.
Tinaika piwiri pinakala Juntamos dois e fica
makumi maxanu na cinquenta e sete.
pinomwe
Em Sena
Tradução -1
Tradução-2
62 - 5
= ?
60 - 5
= 55
55 + 2
= 57
Tradução-2
Makumi mathandatu na Sessenta e quatro 64 + 80 = ?
pinai thimizira makumi mais oitenta, quanto
masere,
pinakala é?
pingasi?
Pamakumi mathandatu De sessenta e quatro 64 - 20 = 44
na
pinai
tinaburusa tiramos vinte para
makumi piwiri mbatiika pôr no oitenta e
80 + 20 =100
pamakumi
masere obter cem.
mbapikala zana.
Zana tinaika makumi
manai na pinai piosene
mbapikala
zana
na
makumi manai na pinai.
Ao cem juntamos 100 + 44 =144
quarenta e quatro
para obter cento e
quarenta e quatro.
Foi através destas entrevistas que os estudantes da LEMEP
tomaram consciência de que é possível fazer cálculos sem conhecer e
sem utilizar os numerais escritos.
Um outro resultado foi que não havia diferenças significativas
entre os métodos usados pelos alunos da 1ª e 2ª classe e as crianças da
mesma idade que não frequentam a escola: todas estas crianças
160
usavam, em geral, métodos de contagem apoiados pelos dedos das
mãos (e, às vezes, pelos dedos dos pés). Apenas duas das crianças do
grupo B e uma criança do grupo C usavam métodos de cálculo mental
sem precisar de fazer contagens.
Na LEMEP analisámos estes resultados. Perguntámos aos
estudantes: “Como é que se explica que as mulheres analfabetas
calculem tão bem, sem nunca terem frequentado a escola e até sem
saberem como se escrevem os números?” Os estudantes disseram:
“Os adultos têm que enfrentar muitos problemas na sua vida, que não
podem ficar sem solução; eles são forçados a encontrar soluções”.
Esta parece uma explicação clara, embora seja interessante investigar
na prática como isto funciona: aprender Matemática na medida em que
se procuram soluções para problemas da vida real.
Depois perguntámos aos estudantes: “Como se explica que não
haja diferenças entre as habilidades aritméticas dos alunos e das
crianças que não frequentam a escola?” Esta foi uma pergunta
embaraçosa para os estudantes que são professores primários
experientes, porque a resposta parecia ser: “Não há diferença, por isso
é melhor fechar as escolas. As crianças hão-de aprender a aritmética à
medida que a vida os obrigar a resolver problemas reais.”
Finalmente perguntámos aos estudantes: “Como se deve
interpretar o facto de os alunos do fim da 1ª classe e do fim da 2ª
classe aplicarem poucas vezes os métodos de cálculo oral/mental
sugeridos nos livros escolares actuais?”
Fizemos esta pergunta porque os cadernos de exercícios das 1ª e
2ª classes e os respectivos manuais do professor, introduzidos com o
Sistema Nacional de Educação a partir de 1983, sugerem que todas as
somas e diferenças no limite 100 possam ser determinadas através de
cálculo oral, feito com os numerais falados e acompanhado pela
escrita. A ideia dos autores destes materiais era que o cálculo oral
poderia ser interiorizado e tornar-se cálculo mental.
Alguns estudantes da LEMEP indicaram como causas do fraco
cálculo oral/mental observado nas escolas, alguns problemas dos
próprios alunos, dos livros escolares actuais e do facto de a língua
usada na escola ser uma língua segunda para muitos alunos e até para
os professores. Contudo, a maioria dos estudantes apontou como
causa principal a qualidade do trabalho feito por muitos professores
primários, dizendo:
161
“Os próprios professores têm dificuldades: não aprenderam a
fazer cálculo mental. Eles só conhecem bem o cálculo escrito;
estão habituados ao cálculo escrito; por isso não dão importância
ao cálculo mental.”
“Os professores não explicam correctamente o método (de
cálculo mental), porque não entendem que aquilo que está escrito
nos manuais é para ser feito oralmente; assim, explicam o cálculo
mental como se fosse uma forma de cálculo escrito.”
Esta respostas dos estudantes da LEMEP foram consideradas
como hipóteses de explicação, que careciam de confirmação através de
estudos adicionais.
Como se faz cálculo oral?
Assim, começámos a estudar com mais atenção as entrevistas
feitas em língua Sena e os métodos de cálculo usados pelas mulheres
analfabetas. Pedimos também aos estudantes para resolverem os
mesmos problemas usando os sistemas de numeração falada das suas
próprias línguas. Na turma da LEMEP estão representadas cerca de 18
línguas; algumas destas línguas deverão ser consideradas como
variantes ou dialectos de uma mesma língua principal.
Quanto ao cálculo oral/mental feito com base nos numerais
falados/pensados, foi feito primeiro um levantamento dos sistemas de
numeração contidos nas várias línguas moçambicanas.
Concluímos que:
a)
O cálculo oral e mental feito nas línguas moçambicanas com
numeração em base “dez” é muito semelhante ao cálculo feito
nas línguas portuguesa e inglesa, embora existam também
algumas diferenças.
b)
O cálculo oral/mental feito nas línguas que usam uma base
auxiliar “cinco” para além da base “dez” é bastante diferente. O
cálculo feito nestas línguas oferece possibilidades específicas
que os professores primários deviam conhecer para as poderem
aproveitar.
162
Exemplo 1:
Como se calcula oralmente vinte mais quarenta?
Um exemplo que pode dar uma ideia quanto às particularidades
do cálculo com base em numerais falados (e não com base em
numerais escritos) e as semelhanças e diferenças que existem entre as
línguas, é o cálculo 20 + 40 = ?
Para calcular oralmente 20 + 40, diz-se:
vinte mais quarenta é igual a sessenta (em língua Portuguesa)
makhumi mawiri na makhumi manai ndi makhumi matanthatu
(em língua Dema)
makhume mabidri kupatra mune wa makhume, thlanu wa
makhume na dzinwe (em língua Ronga; kupatra =
adicionar, mais)
Comparando a maneira como os numerais para 20, 40 e 60 são
formados, observamos o seguinte:
Em língua Portuguesa:
Os numerais vinte, quarenta e sessenta são simples; dentro do
sistema de numeração são palavras novas. Estes numerais são o
resultado de uma simplificação de expressões mais antigas que
significavam dois dezes, quatro dezes e seis dezes. Nas palavras
quarenta e sessenta ainda é possível reconhecer as palavras quatro e
seis respectivamente.
Os numerais vinte, quarenta e sessenta têm uma forma
invariável: não conhecem uma forma para o plural, nem para
masculino /feminino.
Em língua Dema:
Os numerais para 20, 40 e 60 são expressões compostas por duas
palavras:
20 — makhumi mawiri (= dezes dois = 10 x 2)
40 — makhumi manai (= dezes quatro = 10 x 4)
60 — makhumi matanthatu (= dezes seis = 10 x 6)
163
Nestas expressões, a palavra makhumi é o plural do substantivo
khumi; vê-se que se trata do plural pelo prefixo ma-. As palavras
mawiri, manai e matanthatu são adjectivos que devem apresentar o
prefixo ma-, correspondente à palavra makhumi a que se referem. Este
tipo de combinação de palavras tem um significado multiplicativo:
makhumi manai significa dezes quatro ou seja, 10 x 4 (respeitando a
ordem usada em Dema).
Assim, os numerais em Dema são compostos e, como tal, mais
longos do que em língua portuguesa. Contudo, eles são compostos por
numerais conhecidos, enquanto em língua portuguesa se trata de
expressões novas. Em língua Dema, todos os múltiplos de 10, a partir
de 20 até 90, são formados da mesma forma.
Tanto em Dema como em Português, o sistema de numeração
tem a base “dez”; isto é, os números 1, 2, 3, ..., 10 são representados
por expressões simples, diferentes.
Em língua Ronga:
O sistema de numeração em Ronga tem a base “dez” e a base
auxiliar “cinco”. Isto significa que os numerais para 6, 7, 8 e 9 são
compostos (têm a forma 5 + n), o que tem consequências para a
formação do numeral para 60.
20 — makhume mabidri (= dezes dois = 10 x 2)
40 — mune wa makhume (= um quarteto de dezes = 4 x 10)
60 — tlhanu wa makhume na dzinwe (= um quinteto de dezes
e um = 5 x 10 + 1)
Vemos que a expressão para vinte é formada da mesma maneira
como em Dema. Até as palavras para dez e dezes são praticamente
iguais:
Ronga: khume, makhume
Dema: khumi, makhumi
O numeral para quarenta já é diferente: mune wa makhume
significa um quarteto de dezes. Traduz-se mune por quarteto, para
chamar a atenção para o facto de mune ser um substantivo e para
mostrar que a partícula wa significa de em Português.
No numeral para sessenta, aplica-se o facto que em Ronga o
numeral para 6 é composto: tlhanu wa makhume na dzinwe, o que
significa: um quinteto de dezes e um. A palavra tlhanu é um
substantivo, tal como mune; assim, tlhanu wa makhume significa
164
“cinquenta”. Na dzinwe significa “e um”, onde fica subentendido que
se trata de “um dez.” Ouve-se que se trata de um dez, porque dzinwe é
um adjectivo com o prefixo correspondente à classe nominal do
substantivo khume. Pode dizer-se de forma mais explícita: tlhanu wa
makhume na khume dzinwe (= 5 x 10 + 10 x 1).
Assim, o número 60 representa-se em português por uma palavra
única (de 3 sílabas), em Dema por uma expressão de duas palavras
(com um total de 6 sílabas) e em Ronga por uma expressão composta
por cinco palavras, das quais três numerais simples (num total de 9
sílabas).
Comparando apenas as línguas Dema e Ronga, vemos que em
Dema os numerais para 20, 40 e 60 são formados da mesma maneira,
enquanto que em Ronga os três numerais são formados de três
maneiras diferentes.
Comparando os cálculos, observamos o seguinte:
As diferenças na formação dos numerais nas três línguas têm
consequências para os cálculos necessários para se obter o resultado.
O cálculo mais simples é feito na língua Dema:
makhumi mawiri na makhumi manai ndi makhumi matanthatu
Trata-se de um cálculo feito com dezenas (makhumi). Traduzido para
Português temos:
2 dezenas mais 4 dezenas são 6 dezenas.
O cálculo necessário é o exercício básico 2 + 4 = 6.
Ou, como um estudante da LEMEP observou: “É como se fosse 2
laranjas mais 4 laranjas são 6 laranjas.”
Em Ronga o cálculo é semelhante, porque também aqui todo o
cálculo é referente a dezenas:
makhume mabidri kupatra mune wa makhume, thlanu wa
makhume na dzinwe
Traduzido para Português temos:
2 dezenas mais 4 dezenas são 5 dezenas e 1.
O cálculo envolvido é o exercício básico 2 + 4 = 5+1, um exercício
básico típico das línguas com numeração em base “dez” e base auxiliar
“cinco”.
Em língua portuguesa o cálculo oral é mais complicado:
165
Como é que vinte mais quarenta pode resultar em sessenta? Trata-se
de três numerais muito diferentes.
O cálculo mais provável que as pessoas fazem é transformar os
numerais de modo a permitir o cálculo:
vinte significa dois vezes dez; quarenta significa quatro vezes
dez.
Por isso, vinte mais quarenta é igual a dois vezes dez mais quatro
vezes dez, o que dá seis vezes dez.
Em linguagem simbólica:
20 = 2x10; 40 = 4x10;
por isso, 20 + 40 = 2x10 + 4x10 = 6x10
Assim, a segunda parte do cálculo coincide com o cálculo feito em
Dema. Mas para se poder fazer o cálculo desta maneira, é necessário
interpretar vinte como dois vezes dez, e quarenta como quatro vezes
dez. Por isso, o cálculo de 20 + 40 em língua portuguesa é mais
complexo do que em Dema. Na prática, muitas pessoas acabam por
memorizar, em língua portuguesa, as somas dos múltiplos de dez, no
limite 100. Assim, pode parecer que as pessoas calculam mas
depressa em Português do que em Dema, porque são capazes de dizer
imediatamente o resultado. Mas esta maior rapidez é resultado de um
esforço maior: primeiro o esforço maior de calcular a soma, no período
em que ainda não se conhece de cor o resultado; depois o esforço de
memorizar os resultados deste tipo de somas.
Em Dema o cálculo limita-se à aplicação do exercício básico 2 +
4 = 6 em combinação com a propriedade distributiva, não havendo
qualquer necessidade de memorizar algo mais do que os exercícios
básicos.
Em Ronga o cálculo limita-se também ao uso de um facto básico
2 + 4 = 5 + 1 e a aplicação da propriedade distributiva; apenas o
exercício básico em Ronga é diferente do exercício básico em Dema
ou Português.
Alguns estudantes da LEMEP explicaram o cálculo oral vinte
mais quarenta é igual a sessenta da seguinte maneira:
“Basta adicionar 2 + 4 = 6 e depois acrescentar um zero.”
Esta forma de pensar é um exemplo típico de cálculo por uma
pessoa que está habituada a usar os numerais escritos: para efectuar o
cálculo recorre, na mente, à representação escrita dos números, pelo
166
que deixa de ser um cálculo estritamente oral, e só é possível para
quem conhece a representação escrita dos números. Mesmo neste caso,
trata-se de um caminho de cálculo mais longo do que o cálculo oral
feito em Dema:
1. traduzir, mentalmente, a palavra vinte para o símbolo 20;
2. traduzir a palavra quarenta para o símbolo 40;
3. isolar no símbolo 20 o símbolo 2 e no símbolo 40 isolar o
símbolo 4;
4. adicionar 2 + 4 = 6 (aplicação de um exercício básico);
5. acrescentar ao símbolo 6 o símbolo 0, ou seja, interpretar o
símbolo 6 como representando 6 dezenas;
6. traduzir o símbolo 60 para a língua portuguesa: sessenta.
Portanto, também com este método é necessário, primeiro,
transformar os numerais dados oralmente para uma forma diferente (a
forma escrita); depois efectuar o cálculo com os símbolos escritos;
finalmente, traduzir o símbolo 60 para a língua portuguesa.
Nos exemplos dados nas línguas Dema e Ronga, opera-se
directamente com os numerais orais dados.
As diferenças entre o cálculo feito em Português e o cálculo feito
em Dema são consequência do facto de os numerais vinte, quarenta e
sessenta serem palavras novas, que têm a vantagem de serem curtas,
mas que exigem uma interpretação em termo dos numerais já
conhecidos: vinte significa dois vezes dez, etc., o que prolonga os
cálculos, até estes serem memorizados (e automatizados).
Exemplo 2:
Como se calcula 8 + 5?
Em Português diz-se: oito mais cinco é igual a treze.
O resultado treze é uma nova palavra, sem nenhuma relação com
as palavras oito e cinco. Por isso, quando uma criança ainda não
conhece de cor o resultado, deve fazer algo para o obter. Uma
possibilidade é usar uma contagem pelos dedos, dizendo nove, dez,
onze, doze, treze. A contagem começa pelo sucessor de oito, e, à
medida que se conta, levanta-se um dedo por cada numeral falado, até
167
ter completado cinco dedos.
O último numeral pronunciado
corresponderá à soma de oito e cinco.
Nos livros escolares actuais para a 1ª classe sugere-se o seguinte
cálculo oral:
oito mais dois, dez; dez mais três, treze.
Esta forma de calcular, usada também com frequência pelas
mulheres entrevistadas em língua Sena, pressupõe que a pessoa:
a)
saiba de cor quanto falta para completar dez a partir de
oito;
b)
saiba que adicionar cinco é o mesmo que adicionar
sucessivamente dois e três.
Contudo, numa língua que usa a base auxiliar “cinco”, para além
da base “dez”, há uma outra possibilidade para calcular a soma de oito
e cinco, usando os próprios numerais.
Por exemplo, o problema Oito mais cinco, quanto é?, formulado em
Chuwabo é:
Tanu na tharu, na tanu, dhinkala ñgasi?
Estas expressões permitem o seguinte cálculo:
Tanu na tanu, dhinkala kumi; na tharu, dhinkala kumi na tharu.
(Cinco mais cinco, igual a dez; mais três, igual a dez-e-três.)
Desta maneira, o problema 8 + 5 = ?, que durante uma certa fase
pode ser difícil para as crianças, é resolvido de uma forma natural,
usando o facto básico simples 5 + 5 = 10; e o que parece ser o segundo
passo (dez mais três, igual a treze), não é nenhum passo em Chuwabo:
kumi na tharu dhinkala kumi na tharu,
porque o nome para treze, em Chuwabo, tal como na maioria das
línguas moçambicanas, é simplesmente dez-e-três.
Um cálculo semelhante pode ser feito em todas as línguas que
usam a combinação das bases “cinco” e “dez”.
Todos os exercícios básicos da adição, cuja soma ultrapassa dez,
podem ser resolvidos desta maneira:
168
6
+
tanu na modha
5+1
na
+
7
=
?
tanu na mbili dhinkala
5+2
=
kumi na tharu
(5+5) + (1+2)
Um caso um pouco mais difícil é o cálculo de sete mais nove:
7
+
tanu na mbili na
5+2
+
9
tanu na nai
5+4
=
dhinkala
?
kumi na tanu na
=
modha
(5+5) + (5+1)
Neste último caso, para além de juntar os dois cincos, foi usado
um exercício básico típico das línguas com numeração em base cinco:
mbili na nai dhinkala tanu na modha (2+4 = 5+1).
As implicações educacionais dos últimos exemplos merecem
especialmente atenção. Muitos alunos da escola primária têm
dificuldade em encontrar as somas de dois números dígitos, quando
esta ultrapassa dez. Como já foi referido, é frequente ver crianças a
fazerem contagens de dedos para determinar somas do tipo 7 + 9,
mesmo na 3ª, 4ª ou até na 5ª classe. Mas muitos destas crianças
conhecem os numerais falados da sua língua materna. De uma forma
geral, as línguas faladas ao Norte do Rio Zambeze e as línguas faladas
ao Sul do Rio Save usam a base auxiliar “cinco”, para além da base
“dez”. Estamos convencidos de que muitas crianças poderiam aplicar
com naturalidade os cálculos usando os numerais da sua língua
materna; isto pode ser feito, mesmo se as aulas se realizam em língua
portuguesa. Não há nenhuma razão para limitar as crianças aos meios
didácticos tradicionais: dedos, pauzinhos, pedrinhas ou tracinhos.
Todos os conhecimentos das crianças devem ser aproveitados de uma
maneira racional, para conseguir que estas passem a dominar os
exercícios básicos da adição.
Pode parecer que as línguas que usam a base auxiliar “cinco”
oferecem mais possibilidades de cálculo do que as línguas que usam
apenas a base “dez”. Contudo há uma forma de se fazer os cálculos
aproveitando a base “cinco”, mesmo quando se usam numerais falados
da base “dez”: através de gestos com as duas mãos.
169
Por exemplo, a soma seis mais sete pode ser calculado da
seguinte maneira:
1.
2.
3.
representa o número seis levantando uma vez um punho fechado
(cinco) seguido pelo levantamento de um dedo;
representa o número sete, levantando o outro punho fechado,
seguido pelo levantamento de dois dedos;
a soma dos dois números obtém-se lembrando-se dos dois
punhos levantados (5 + 5 = 10), aos quais se juntam os três
dedos levantados.
Este cálculo gestual pode ser mais rápido do que a contagem
pelos dedos que muitas crianças praticam: começando pelo sucessor de
sete, dizendo oito, nove, dez, onze, doze, treze. Por cada numeral
pronunciado levanta-se um dedo; quando a criança tiver 6 dedos
levantados, terá chegado ao resultado e o último numeral pronunciado
será o resultado.
Qual a língua a ser usada nas aulas de Matemática da escola
primária?
Recentemente tivemos a oportunidade de participar em
seminários organizados pela NOTMO (Organização de Matemática do
Transvaal do Norte) na República da África do Sul. Os seminários, de
um dia cada um, tiveram lugar nas zonas de Kwandebele, Lebowa,
Venda e Gazankulu e neles participaram professores de Matemática
sul-africanos dos níveis primário e secundário e ainda formadores de
professores primários.
Tivemos a oportunidade de discutir
especificamente as seguintes questões:
a)
b)
Qual (quais) devia(m) ser a(s) língua(s) de instrução nas
nossas escolas primárias: uma língua oficial, como a língua
portuguesa em Moçambique e a língua inglesa na África
do Sul, ou uma língua local?
Qual devia ser a língua de instrução nas aulas de
Matemática?
No dia 1 de Abril de 1993 tivemos uma discussão muito
interessante com um grupo de mais de 150 professores em Gazankulu,
uma zona da África do Sul onde se fala a língua Tsonga, que é a
mesma língua que a língua Changana, falada no Sul de Moçambique.
70
Até recentemente, todo o ensino primário em Gazankulu era feito em
Tsonga, incluindo a Matemática, de acordo com o sistema de ensino
estabelecido para a população negra dentro da política do Apartheid.
Nós já conhecíamos alguns dos livros de Matemática escritos em
Tsonga, que na altura eram usados em Gazankulu. Quais foram as
opiniões que os professores de Gazankulu nos apresentaram?
*
Alguns disseram que era melhor usar desde o início a língua
Inglesa, como língua de instrução nas aulas de Matemática,
porque, em geral, as crianças já conhecem os numerais falados
em Inglês quando começam a frequentar a escola primária. Por
isso, não é necessário usar os numerais falados em Tsonga. Esta
foi também a opinião de alguns professores que tiveram
experiência concreta de usar a língua Tsonga nas aulas de
Matemática.
*
Outros disseram que, nas primeiras classes da escola primária,
devia ser usada a língua materna para todas as disciplinas,
porque esta é o único meio de comunicação possível. Seria um
erro pensar que se pudesse comunicar bem na sala de aula
quando se usa uma língua que é nova para os alunos.
*
Um dos participantes disse que todo o ensino devia ser feito em
língua materna, incluindo a Matemática, para permitir que as
crianças pudessem comunicar com os seus avós. Em particular,
as crianças deviam ser capazes de falar com os avós, na sua
língua materna, sobre todas as actividades escolares, incluindo a
Matemática.
*
Finalmente houve o comentário interessante de um dos
participantes, que nos disse que tinha estado a ensinar a
Aritmética em Tsonga usando o sistema de numeração oficial em
Tsonga, que é um sistema simplificado de base “dez” apenas,
introduzido em Gazankulu para “servir objectivos educacionais”
(Ouwehand 1965, p. 62); mas que em casa continuava a usar os
numerais falados originais/tradicionais de base “cinco”:
171
Changana (Moçambique)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xin’we
swimbirhi
swinharhu
mune
ntlhanu
ntlhanu ni xin’we
ntlhanu ni swimbirhi
ntlhanu ni swinharhu
ntlhanu ni mune
khume
khume ni xin’we
khume ni swimbirhi
khume ni swinharhu
khume ni mune
khume ni ntlhanu
khume ni ntlhanu ni xin’we
khume ni ntlhanu ni swimbirhi
khume ni ntlhanu ni swinharhu
khume ni ntlhanu ni mune
makume mambirhi
23
makume mambirhi ni
swinharhu
Tsonga (“simplificado”,
Gazankulu)
xin’we
swimbirhi
swinharhu
mune
ntlhanu
tsevu
nkombo
nhungu
kaye
khume
khume ni xin’we
khumembirhi
khumenharhu
khumemune
khumentlhanu
khumetsevu
khumenkombo
khumenhungu
khumekaye
khumbirhi or
makumembirhi
khumbirhinharhu
Estas foram as opiniões que nos foram apresentadas
directamente. Contudo, tivemos ainda uma experiência complementar
interessante: durante uma actividade matemática, dirigida pelo
professor americano Arthur Powell, os participantes, organizados em
pequenos grupos, tiveram que fazer alguns cálculos sobre uma
sucessão numérica do tipo “Conway”. Tratava-se de cálculos
elementares, principalmente com números naturais, inteiros e fracções.
Observámos que em alguns grupos as discussões eram feitas em
Tsonga, mas nos cálculos eram usados os numerais em Inglês. Em
outros grupos toda a discussão era feita em Tsonga, com excepção do
cálculo com fracções, para as quais eram usados os nomes em Inglês.
Para nós era uma prova muito concreta, de que a Matemática
elementar pode ser feita em Tsonga (Changana). Mas sabíamos
também que os nossos estudantes da UP em Beira não seriam capazes
de fazer este tipo de discussão matemática nas suas línguas maternas:
quase todos os seus conhecimentos e experiência matemática
dependem do uso da língua portuguesa.
Propostas para uma reflexão
1.
É importante estimular que as crianças utilizem as mãos, não só
para contagens, mas também para fazer cálculos: os gestos
usados por muitas pessoas para representar os números
correspondem directamente aos numerais de base combinada
“cinco”/”dez”, como existem em Chuwabo, Changana e várias
outras línguas moçambicanas. Mesmo quando se usam numerais
falados de base “dez”, como em Dema, Ndau, Inglês, etc., o uso
de gestos com as duas mãos dá acesso a algumas das vantagens
dos sistemas de numeração de base “cinco”/”dez”, e pode ajudar
as crianças para encontrar facilmente as somas do tipo oito mais
cinco igual a treze.
2.
É importante encorajar as crianças a utilizarem os conhecimentos
que têm nas várias línguas que conhecem, mesmo quando se
trata de outras línguas sem ser a língua de ensino.
3.
Em particular, mesmo quando a língua de ensino for a língua
portuguesa, muitas crianças costumam ter contacto com várias
outras línguas, especialmente nas zonas urbanas.
Os
conhecimentos contidos nestas línguas podem ser aproveitados
para as crianças efectuarem cálculos matemáticos importantes
para o seu desenvolvimento intelectual.
4.
A ideia de simplificar os sistemas de numeração falada das
línguas moçambicanas é compreensível para os números grandes
(maiores que cinquenta ou cem), por causa do comprimento das
expressões, em particular nas línguas que usam a base auxiliar
“cinco”. Contudo, parece-nos que o uso de numerais falados de
base “cinco” pode constituir um recurso importante durante as
173
primeiras fases da aprendizagem dos exercícios básicos da
adição e subtracção e na descoberta dos primeiros métodos de
cálculo oral e mental. Como os alunos terão à sua disposição os
numerais escritos de base “dez”, para o cálculo com números
maiores, uma possível simplificação de um sistema de
numeração falada devia tomar em conta as possibilidades das
primeiras fases da aprendizagem da Aritmética. Pôr de parte os
numerais falados de base cinco, para os números seis, sete, oito e
nove, pode ser um erro pedagógico na primeira fase da
aprendizagem de Matemática.
Referências e sugestões de leitura
[entre parênteses rectos: tradução de alguns dos títulos]
Draisma, J.; Soares, M. C. e outros, 1983: Eu vou à escola Matemática, 1ª classe , Vol. 1 e 2, Instituto Nacional do
Desenvolvimento da Educação (INDE), Maputo
Draisma, J.; Soares, M. C. e outros, 1983: Eu gosto de Matemática Matemática 2ª classe - Cadernos de Exercícios, Vol. 1 e 2,
INDE, Maputo
Fletcher, C.: Tinhlayo le’tintshwa ta ka Juta - Ntangha 3, 4, Juta &
Company, Cape Town - África do Sul (traduzido para Tsonga
por R. Mabale — Livro escolar de Aritmética, em língua
Tsonga, para as classes 3 e 4)
Gleimius, E.; Stals, T. N.; Marivate, C. T. D.: Tinhlayo ta tsakisa Ntangha 2, Varia Books, Alberton - África do Sul
INDE, 1982: Livro do Professor, 1ª classe — Vamos Aprender,
Volumes 1 - 6, INDE, Maputo
INDE, 1983: Livro do Professor, 2ª classe — Vamos Ler e Escrever,
Volumes 1 - 5, INDE, Maputo
Veloso, M. T.; Draisma, J., 1992: Bukhu ya kupfundzisa makonta.
Malongero a cisena [Livro de Matemática em língua Sena],
edição experimental para o Projecto de educação biligue de
mulheres, Volumes 1 e 2, INDE, Maputo
Hatano, G., 1982: ‘Learning to add and subtract: a Japanese
perspective’ [Aprendendo a adicionar e a subtrair: uma
perspectiva japonesa], in Carpenter, T. P.; Moser, J. M.;
Romberg, T. A. (org.), Addition and subtraction: a cognitive
perspective, Lawrence Erlbaum, Hillsdale, New Jersey (O autor
explica a importância da base auxiliar cinco no cálculo mental,
174
apesar de a língua japonesa possuir um sistema de numeração
decimal. Uma tradução em Português deste texto pode ser obtido
do Departamento de Matemática da UP - Beira.)
Kilborn, W., 1991: Avaliação de livros escolares em Moçambique —
Matemática, Classes 1-3, Instituto Nacional do Desenvolvimento
da Educação, Maputo
Ouwehand, M., 1962: Everyday Tsonga, Sasavona Publishers,
Braamfontein
Treffers, A.; De Moor, E., 1990: Proeve van een nationaal programma
voor her reken-wiskunde onderwijs op de basisschool. Deel 2:
Basisvaardigheden en cijferen [Proposta de um programa
nacional para o ensino da aritmética-matemática na escola
básica. 2ª parte: habilidades básicas e cálculo escrito], Zwijsen,
Tilburg - Países Baixos (em Holandês. Os autores defendem a
importância do uso da base auxiliar cinco, para além do cálculo
mental, apesar de a língua Holandesa possuir apenas numerais
em base dez.)
Zepp, R., 1990: Language and Mathematics Education [Língua e
Educação Matemática], API Press, Hong Kong
175
5.2 Algumas reflexões para estimular o debate e a
investigação
A História da Matemática mostra que, por diversas vezes, a
escolha da linguagem, de expressões e símbolos, tem sido
extremamente importante para poder conceber e compreender novas
ideias e relações. Uma escolha feliz pode facilitar o pensamento e o
raciocínio.
Uma escolha feliz pode facilitar o ensino e a
aprendizagem. Uma escolha bem reflectida pode democratizar o
acesso ao conhecimento científico da Humanidade: mais pessoas em
condições de o alcançar.
A importância da numeração falada para a aprendizagem foi
frisada na secção anterior. Nesta secção apresentaremos algumas
reflexões relativas à numeração falada em Moçambique, fruto do
debate no seio da nossa equipa de educadores matemáticos integrados
no Projecto de Investigação ‘Etnomatemática’.
Uma tendência no desenvolvimento da numeração nas línguas
bantu de Moçambique
As línguas não são estáticas. As línguas estão em movimento.
Tanto ao nível das sociedades e de grupos humanos menores, como ao
nível de indivíduos, inventam-se novas palavras e novas construções.
Relativamente à numeração nas línguas bantu de Moçambique,
nota-se uma tendência para contrair numerais; alguns exemplos
clarificarão este fenómeno da contracção. Na língua Makonde foi
introduzida uma forma curta, resultado de contracção, para se referir
ao numeral ‘seis’: mwanaimo em vez da forma em extenso mwanu na
imo.
Na língua Nyungwe encontra-se a forma contraída
makhumaxanu (cinquenta) ao lado da versão original makhumi
maxanu. Na tabela 5.1 apresentam-se alguns exemplos fornecidos
pelos estudantes da LEMEP. 3 O processo de encurtar numerais
compostos não está parado, e pode ser continuado. Por exemplo, o
referido numeral makhumaxanu pode ser encurtado para khumaxanu,
se lhe retirarmos o prefixo do plural. No entanto a ‘simplificação’ ou
‘abreviação’ deve evitar obviamente que se crie confusão com outros
3
Licenciatura em Educação Matemática para o Ensino Primário
(Delegação da Universidade Pedagógica na Cidade da Beira).
176
numerais. A forma reduzida khumaxanu deve ser diferente da forma
reduzida para khumi na cixanu (quinze).
Tabela 5.1
(1ª parte)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
60
70
80
90
100
MAKONDE
por extenso
imo
mbili
natu
nceshe
mwanu
mwanu na imo
mwanu na mbili
mwanu na natu
mwanu na nceshe
kumi (likumi limo)
kumi na imo
kumi na mbili
kumi na natu
kumi na nceshe
kumi na mwanu
kumi na mwanu na imo
kumi na mwanu na mbili
kumi na mwanu na natu
kumi na mwanu na nceshe
makumi mavili
makumi matatu
makumi nceshe
makumi mwanu
makumi mwanu na
matatu
makumi mwanu na nceshe
imia imo;
makumi kumi
MAKONDE
com contracções
imo
mbili
natu
nceshe
mwanu
mwanaimo
mwanambili
mwananatu
mwananceshe
kumi (likumi limo)
kumnaimo
kumnambili
kumnanatu
kumnanceshe
kumnamwanu
kumnamwanaimo
kumnamwanambili
kumnamwananatu
kumnamwananceshe
makumavili
makumatatu
makunceshe
makumwanu
makumwanalimo
makumwanamavili
makumwanamatatu
makumwananceshe
imia imo;
makumi kumi
177
Tabela 5.1
(2ª parte)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
60
70
80
90
100
CHUWABO
por extenso
CHUWABO
com contracções
modha
bili
tharu
nai
tanu
tanu na modha
tanu na bili
tanu na tharu
tanu na nai
kumi
kumi na modha
kumi na bili
kumi na tharu
kumi na nai
kumi na tanu
kumi na tanu na modha
kumi na tanu na bili
kumi na tanu na tharu
kumi na tanu na nai
makumi meli
makumi mararu
makumi manai
makumi matanu
makumi matanu na
nimodha
makumi matanu na meli
makumi matanu na
mararu
makumi matanu na manai
zana
modha
bili
tharu
nai
tanu
tanamodha
tanabili
tanatharu
tananai
kumi
kumi na modha
kumi na bili
kumi na tharu
kumi na nai
kumi na tanu
kumi na tanamodha
kumi na tanabili
kumi na tanatharu
kumi na tananai
makumeli
makumararu
makumanai
makumatanu
makumatananimodha
makumatanameli
makumatanamararu
makumatanamanai
zana
Tabela 5.1
(3ª parte)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
60
70
80
90
100
MAKHUWA (METTO)
por extenso
MAKHUWA (Ilha de
Moçambique, Mossuril)
com contracções
emoza
pili
tharu
cece
thanu
thanu na moza
thanu na pili
thanu na tharu
thanuna cece
nloko
nloko namosa
nloko napili
nloko natharu
nloko naxexe
nloko nathanu
nloko nathanu namosa
nloko nathanu napili
nloko nathanu natharu
nloko nathanu naxexe
miloko mili
miloko miraru
miloko micece
miloko mitanu
miloko mitanunamosa
miloko mitanunapili
miloko mitanunatharu
miloko mitanunatsheshe
emiya
emoza
pili
tharu
xexe
thanu
than’namoza
than’napili
than’natharu
than’naxexe
nloko
nloko nimosa
nloko nipili
nloko nitharu
nloko nixexe
nloko nithanu
nloko nithan’namosa
nloko nithan’napili
nloko nithan’natharu
nloko nithan’naxexe
miloko mili
miloko miraru
miloko mixexe
miloko mitanu
miloko mithan’namosa
miloko mithan’napili
miloko mithan’natharu
miloko mithan’natsheshe
emiya
179
Tabela 5.1
(4ª parte)
NYUNGWE
por extenso
1 posi
2 piri
3 tatu
4 nai
5 xanu
6 tandhatu
7 cinomwe
8 sere
9 pfemba
10 khumi
11 khumi na cim’bodzi
12 khumi na ciwiri
13 khumi na citatu
14 khumi na cinai
15 khumi na cixanu
16 khumi na citandhatu
17 khumi na cinomwe
18 khumi na cisere
19 khumi na cipfemba
20 makhumi mawiri
30 makhumi matatu
40 makhumi manai
50 makhumi maxanu
60 makhumi matandhatu
70 makhumi manomwe
80 makhumi masere
90 makhumi mapfemba
100 dzana
NYUNGWE
com contracções
posi
piri
tatu
nai
xanu
tandhatu
cinomwe
sere
pfemba
khumi
khumi na cim’bodzi
khumi na ciwiri
khumi na citatu
khumi na cinai
khumi na cixanu
khumi na citandhatu
khumi na cinomwe
khumi na cisere
khumi na cipfemba
makhumawiri
makhumatatu
makhumanai
makhumaxanu
makhumatandhatu
makhumanomwe
makhumasere
makhumapfemba
dzana
A língua materna e o ensino
Não há dúvida de que quando uma mesma língua é bem
dominada, tanto pelos alunos como pelo professor, é preferível realizar
nessa língua o processo do ensino-aprendizagem, em particular o da
numeração e da execução mental e escrita de operações aritméticas.
Este processo pode ser facilitado quando se aproveita a tendência
da contracção e abreviação na formulação dos numerais. Pode ser
facilitado quando se toma em conta o fenómeno histórico da gradual
substantivação dos numerais (vide capítulo 2), quer dizer, pode ser
facilitado se todos os numerais se tornarem substantivos.
Propomos que se faça um levantamento de todas as formas de
contracção, abreviação e substantivação utilizadas nas línguas.
Apresentamos como sugestão que, para cada língua do país, se elabore
um sistema de numeração falada que explore ao máximo as tendências
de contracção, abreviação e substantivação, sem se esquecer de
respeitar as características da referida língua (por exemplo, relativas às
combinações de sons admitidas) e sem se afastar demasiadamente os
numerais das formas hoje em dia dominantes.
A base auxiliar ‘cinco’ e a língua portuguesa
A existência da base auxiliar “cinco” facilita a aprendizagem das
adições e subtracções até 20, como vimos no capítulo anterior, e como
também é sugerido pela experiência secular dos povos da Ásia (por
exemplo, China e Japão) e da Europa, recentemente reforçada por
resultados de investigação realizada na Europa com línguas que não
utiliza(ra)m a base “cinco” como base auxiliar.
Tomando em conta estes resultados, pode-se pensar, para fins
educativos - no caso das línguas faladas em Moçambique que não
utilizam a base “cinco” - na introdução de ‘numerais explicativos’ que
utilizam a base “cinco”.
O exemplo da língua portuguesa pode clarificar a ideia. Em vez
de dizer ‘seis’ pode-se usar a forma explicativa ‘cinco e um’. Na
tabela 5.2 apresentam-se duas fases de explicitação relativas à língua
portuguesa. Uma vez dominados os ‘factos aritméticos básicos’
sugere-se, para o caso da língua portuguesa, uma segunda fase
explicativa, em que se usa um sistema de numeração decimal puro,
181
cuja estrutura se aproxima mais da estrutura da numeração nas línguas
bantu de Moçambique que utilizam apenas a base ‘dez’. A segunda
fase explicativa sugerida está em concordância com a estrutura do
sistema de numeração escrita posicional-decimal, quer dizer, a ordem
dos termos corresponde à notação escrita decimal-posicional. Nesta
proposta utiliza-se “dezes” como plural de “dez” em analogia com a
formação do plural de palavras como rapaz, cartaz, nariz, vez, etc.
Tabela 5.2
6
7
8
9
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
30
40
50
60
70
80
90
182
numeração
língua
portuguesa
seis
sete
oito
nove
onze
doze
treze
catorze
quinze
dezasseis
dezassete
dezoito
dezanove
vinte
vinte e um
trinta
quarenta
cinquenta
sessenta
setenta
oitenta
noventa
na 1ª fase explicativa
cinco e um
cinco e dois
cinco e três
cinco e quatro
dez e um
dez e dois
dez e três
dez e quatro
dez e cinco
dez e cinco e um
dez e cinco e dois
dez e cinco e três
dez e cinco e quatro
dois dezes
2ª
explicativa
fase
seis
sete
oito
nove
dez e um
dez e dois
dez e três
dez e quatro
dez e cinco
dez e seis
dez e sete
dez e oito
dez e nove
dois dezes
dois dezes e um
três dezes
quatro dezes
cinco dezes
seis dezes
sete dezes
oito dezes
nove dezes
Importância da numeração falada
Hoje em dia muitos professores primários em Moçambique
pensam que a Aritmética é feita apenas com numerais escritos.
Parece-nos extremamente importante que tanto professores primários
como o cidadão em geral se convençam de que a numeração falada em
qualquer língua constitui uma fonte riquíssima de ideias matemáticas
(de cálculo). É necessário pois explorar ao máximo as possibilidades
que as línguas maternas oferecem.
Uma variante nacional?
Sem nos esquecermos da importância das línguas faladas, podese pensar - no futuro? - em introduzir um sistema novo de numeração,
inspirado nas línguas bantu faladas em Moçambique, por exemplo,
como o apresentado na Tabela 5.3.
Trata-se de uma proposta dum sistema nacional, no sentido de
utilizar raízes de todas as línguas bantu faladas em Moçambique, do
Rovuma até ao Maputo. Na selecção dos numerais tomou-se em conta
as vantagens de palavras e de sílabas curtas. Evitaram-se os prefixos
do plural. Por exemplo, propõe-se “ilikumi” para “vinte” e não “ilimakumi”. Entre os múltiplos de potências de dez coloca-se um
tracinho horizontal, correspondente a uma pequena pausa na fala,
omitindo a ligação “e”, quer dizer, omitindo a copulativa “ni” ou “na”.
Por exemplo, “kumi-mó” em vez de “kumi ni mó”.
Para além das características indicadas observam-se as seguintes:
*
todos os numerais propostos são substantivos;
*
omissão do prefixo do plural;
*
de 6 a 9 e de 16 a 19 há duas formas: um numeral composto
para a fase explicativa de aprendizagem e um numeral
simples para a segunda fase;
*
de 20 para cima utiliza-se apenas a base “dez”;
*
a ordem dos termos corresponde à notação escrita decimalposicional;
*
ao utilizar o princípio multiplicativo termina-se pela potência
de dez, quer dizer, por exemplo ilizana (dois centos) em vez
de zanaíli (centos dois).
183
Tabela 5.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
30
40
50
60
67
70
80
90
100
200
300
400
184
1ª variante
(forma explicativa)
mó
ili
tatu
né
sanu
sanumó
sanuíli
sanutatu
sanuné
kumi
kumi-mó
kumi-ili
kumi-tatu
kumi-né
kumi-sanu
kumi-sanumó
kumi-sanuíli
kumi-sanutatu
kumi-sanune
ilikumi
2ª variante
mó
ili
tatu
né
sanu
tanta
nomwe
sere
femba
kumi
kumi-mó
kumi-ili
kumi-tatu
kumi-né
kumi-sanu
kumi-tanta
kumi-nomwe
kumi-sere
kumi-femba
ilikumi
ilikumi-mó
tatukumi
nékumi
sanukumi
tantakumi
tantakumi-nomwe
nomwekumi
serekumi
fembakumi
zana
ilizana
tatuzana
nezana
500
583
600
700
800
900
1000
sanuzana
sanuzana-serekumitatu
tantazana
nomwezana
serezana
fembazana
kulu
Contribuições e reacções
Convidam-se os leitores a reagirem e contribuírem para enriquecer as
reflexões apresentadas. Experimente. Participe no debate!
Contribua para melhorar a qualidade do ensino em Moçambique!
185

A Numeraￃﾧￃﾣo em Moￃﾧambique

Transcrição

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