Fatoração Algébrica Casos Simples de Fatoração

Fatoração Algébrica
Casos Simples de Fatoração Algébrica
Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em
um produto de fatores primos. Assim,
tem-se:
3
30 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3
2
Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores.
2
2
2
2
2
2 3
2
Assim, por exemplo : a - b = (a+b) (a - b) ; a + 2ab + b = (a + b) ; 12a b - 18ab =
2
6ab (2ab - 3)
O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto algébrico
denominamos fatoração algébrica, ou
simplesmente, fatoração.
No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los, classificandoos, para uma melhor compreensão.
Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação
2
3
Consideremos o polinômio 6ax - 4ax + 2ax, que pode ser escrito como :
(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos os
termos do polinômio. 2ax é o fator
comum e deverá ser colocado em evidência. Assim :
2
3
2
6ax - 4ax + 2ax = (2ax) (3x - 2x + 1)
2 4
3 2
4 3
Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m p - 14m p + 21m p
2 2
Colocando o fator comum 7m p em evidência, teremos :
2 4
3 2
4 3
2 2
2
2
7m p - 14m p + 21m p = 7m p ( p - 2m + 3m p)
3
2
Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m (a - b) + 8m ( a - b)
2
Colocando o fator comum 2m (a - b) em evidência, teremos :
3
2
2
2
2m (a - b) + 8m ( a - b ) = [2m (a - b)] ( m + 4) = 2m (a - b)( m + 4)
Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado Perfeito
Já aprendemos em produtos notáveis que :
2
2
2
2
2
(a + b) = a + 2ab + b e (a - b) = a - 2ab + b
2
2
2
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a ± 2ab + b em sua forma
2
fatorada (a ± b) .
E para tal precisamos compreender que um trinômio será quadrado perfeito quando
possuir dois de seus três termos quadrados
e o terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos
quadrados.
2
2
Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m + 12mn + 9n
2
4
4
O polinômio possui dois termos quadrados 4m e 9n , e cujas raízes quadradas são,
2
respectivamente, 2m e 3n . O dobro do
2
produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 12mn .
2
2
4
E dessa forma o polinômio 4m + 12mn + 9n é um trinômio quadrado perfeito e pode,
portanto ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo quadrado é
2
3n e o sinal que os une será o sinal do
2
terceiro termo + 12mn . Dessa forma, teremos :
2
2
4
2 2
4m + 12mn + 9n = ( 2m + 3n )
4
2 3
6
Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x + 36x y + 25y
4
6
O polinômio possui dois termos quadrados 16x e 25y , e cujas raízes quadradas são,
2
3
respectivamente, 4x e 5y . O dobro do
2 3
2 3
produto entre essas raízes é igual a 40x y que é diferente do terceiro termo 36x y .
4
2 3
6
E dessa forma o polinômio 16x + 36x y + 25y não é um trinômio quadrado perfeito e
não pode, portanto, ser fatorado, pelo
menos como um trinômio quadrado perfeito.
Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 - 132p
6n
+ 121p
12n
12n
O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p , e cujas raízes quadradas são,
6n
respectivamente, 6 e 11 . O dobro do
6n
produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p .
E dessa forma o polinômio 36 - 132p
portanto, ser fatorado.
6n
+ 121p
12n
é um trinômio quadrado perfeito e pode,
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo quadrado é
6n
11p e o sinal que os une será o sinal do
6n
terceiro termo - 132p , Dessa forma, teremos :
36 - 132p
6n
+ 121p
12n
6n 2
= ( 6 - 11p )
Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois Quadrados
Já aprendemos em produtos notáveis que :
2
2
(a + b) (a - b) = a - b
2
2
O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a - b em sua forma
fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos
extrair as raízes quadradas de ambos os termos e montarmos com essas raízes a sua
soma multiplicada por sua diferença.
2
8
Exemplo 06) Fatore o binômio 64x - 25y
2
8
O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x e 25y , e cujas raízes quadradas são,
4
respectivamente, 8x e 5y .
4
4
Montando a soma (8x + 5y ) e a diferença (8x - 5y ) e as multiplicando, teremos nossa
fatoração concluída. Assim :
2
8
4
4
64x - 25y = (8x + 5y ) (8x - 5y )
6
Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k
6
O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k , e cujas raízes quadradas são,
3
respectivamente, 9 e 0,7k .
3
3
Montando a soma (9 + 0,7k ) e a diferença (9 - 0,7k ) e as multiplicando, teremos nossa
fatoração concluída. Assim :
6
3
3
81 - 0,49k = (9 + 0,7k ) (9 - 0,7k )
Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.
Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração, que acabamos
de aprender:
49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5 ) = 12 x 2 = 24 ( deu, é claro, o mesmo resultado )
Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de Stevin
Já aprendemos em produtos notáveis que :
2
2
(a + b) (a + c) = a + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a + Sa + P, onde S é a
soma dos termos não comuns e P o
seu produto.
2
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a + Sa + P em sua forma
fatorada (a + b) (a + c).
E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois
número cuja soma seja S e cujo produto
seja P. e verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum.
Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a
eles.
2
Exemplo 08) Fatore o trinômio k + 8k + 15
2
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k , teremos k. Vamos descobrir agora dois
números que somados sejam iguais a
8 e multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: 3 + 5 = 8 e 3 x 5 =
15. Percebemos, também, que a soma
2
8 aparece multiplicada pela raiz quadrada k de k .
2
Assim : k + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5)
4
2
Exemplo 09) Fatore o trinômio m - 6m + 8
4
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m , teremos m2. Vamos descobrir agora
dois números que somados sejam iguais
a - 6 e multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4 , já que: - 2 + - 4 =
- 6 e (- 2) x (- 4) = + 8. Percebemos,
2
4
também, que a soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m de m .
4
2
2
2
Assim : m - 6m + 8 = (m - 2) (m - 4)
6
3
Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y + 20y - 21
6
3
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y , teremos 5y . Vamos descobrir agora
dois números que somados sejam iguais
3
3
a + 4, lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y : 5y = 4 e
multiplicados sejam iguais a - 21.
Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e
como já vimos, que a soma + 4 aparece
6
multiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y .
6
3
3
(- 3) x (+ 7) = - 21. Percebemos,
3
Assim : 25y + 20y - 21 = (5y + 7) (5y - 3)
8
4
2
Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p - 8p a - 5a
8
4
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p , teremos 2p . Vamos descobrir agora
dois números que somados sejam iguais
4
a - 4a, lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p = 4a
2
e multiplicados sejam iguais a - 5a .
2
Esses números serão - 5a e + 1a , já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a .
Percebemos, como já vimos, que a soma + 4a
4
8
aparece multiplicada pela raiz quadrada 2p de 4p .
8
4
2
4
4
Assim : 4p - 8p a - 5a = (2p + a) (2p - 5a)
Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos
3
3
Um binômio soma da forma x + y pode ser fatorado em um produto da forma:
3
3
2
2
x + y = (x + y) ( x - xy + y )
A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um
dos fatores será a soma das raízes cúbicas
dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o
quadrado do primeiro menos o produto entre
o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando
entenderemos esse caso fatoração.
6
Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p + 125
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
6
2
A raiz cúbica de 8p é 2p e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro
2
fator (2p + 5)
2
4
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p é 4p ; o produto
2
2
entre 2p e 5 é 10p e o quadrado do
2
segundo é 5 = 25. E dessa forma, teremos:
6
2
4
2
8p + 125 = (2p + 5) ( 4p - 10p + 25)
3 9
Exemplo 13) Fatore 27x y + 64z
6
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
3 9
3
6
3
A raiz cúbica de 27x y é 3xy e a raiz cúbica de 64z é 4z .
3
2
Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy + 4z )
3
2 6
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy é 9x y ; o produto
3
2
3 2
entre 3xy e 4z é 12xy z e o quadrado
2 2
4
do segundo é (4z ) = 16z .
3 9
6
3
2
2 6
3 2
4
E dessa forma, teremos: 27x y + 64z = (3xy + 4z ) (9x y - 12xy z + 16z )
Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois Cubos
3
3
Um binômio diferença da forma x - y pode ser fatorado em um produto da forma:
3
3
2
2
x - y = (x - y)( x + xy + y )
A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que
um dos fatores será a diferença das
raízes cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que
será o quadrado do primeiro
mais o produto entre o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do
segundo. Só praticando, entenderemos
esse caso fatoração.
Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3 - 125m6
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
6
2
A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m é 5m . Assim já temos o nosso
2
primeiro fator (6p - 5m )
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto
entre 6p e 5m2 é 30pm2 e o quadrado
2 2
4
do segundo é (5m ) = 25m .
3
6
2
2
2
4
E dessa forma, teremos: 216p - 125m = (6p - 5m ) ( 36p + 30pm + 25m )
Sétimo Caso de Fatoração : Agrupamento
Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que
evidenciado faz aparecer um termo comum à
fatoração dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor
esse caso de fatoração.
Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração.
Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª resolução )
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos,
nos dois últimos termos, o fator comum
b em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em
evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)
Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª resolução )
Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto
termo.
ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bd
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos,
nos dois últimos termos, o fator comum
d em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)
E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)
Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos,
nos dois últimos termos, o fator comum
- 3b em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).
E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b)
2
2
2
2
Exemplo 18) Fatore 3a x - 2b + 2a - 3b x
2
2
2
2
Reagrupando o polinômio, teremos : 3a x - 3b x + 2a - 2b
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e
colocarmos, nos dois últimos termos, o fator
comum 2 em evidência, teremos :
2
2
2
2
2
2
2
2
3a x - 3b x + 2a - 2b = 3x(a - b ) - 2(a - b )
2
2
E colocando o novo fator comum (a - b ) em evidência, teremos :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3a x - 3b x + 2a - 2b = 3x(a - b ) - 2(a - b ) = (a - b ) (3x - 2)
2
2
E como o fator (a - b ) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :
3a x - 3b x + 2a - 2b = 3x(a - b ) - 2(a - b ) = (a - b ) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)
Com isso, apresentamos os mais importantes casos de fatoração. Alguns exercícios
resolvidos e um pouco mais complexos,
nos ajudarão no entendimento desse assunto da Álgebra, que é um dos que mais
dificuldades apresenta aos alunos.