Matemática

Matemática
Aluno
Caderno de Atividades
Pedagógicas de
Aprendizagem
Autorregulada – 03
8° Ano | 3° Bimestre
Disciplina
Curso
Bimestre
Ano
Matemática
Ensino Fundamental
3°
8°
Habilidades Associadas
1. Identificar expressões algébricas e calcular o valor numérico de expressões algébricas.
2. Efetuar operações algébricas entre monômios e binômios.
3. Utilizar expressões algébricas para representar o perímetro e a área de figuras geométricas.
4. Resolver problemas de cálculo de perímetros e áreas de figuras geométricas utilizando operações com
polinômios.
5. Compreender o conceito de volume de um sólido.
6. Resolver problemas de cálculo de volumes de figuras geométricas utilizando as operações com
polinômios.
Apresentação
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar
suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma
autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções
para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades
roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é
efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam,
também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o
a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior
domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para
o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as
ferramentas da autorregulação.
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se
para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o
aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.
A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede
estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim
de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às
suas aulas.
Estamos à disposição através do e-mail [email protected] para quaisquer
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.
Secretaria de Estado de Educação
2
Caro aluno,
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas
habilidades e competências do 3° Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática do 8°
ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o
período de um mês.
A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma
autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas
de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no
percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e
independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do
conhecimento do século XXI.
Neste caderno de atividades, vamos estudar as expressões algébricas e os
volumes. Dentro desse assunto vamos abordar os monômios e os polinômios. No
campo geométrico, vamos aprender a calcular alguns volumes e relacioná-los com os
polinômios.
Este documento apresenta 6 (seis) aulas. As aulas são compostas por uma
explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias
relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e
atividades respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As
Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem,
propõe-se, ainda, uma avaliação sobre o assunto.
Um abraço e bom trabalho!
Equipe de Elaboração.
3
Sumário
Introdução..............................................................................................
03
Aula 1: Expressões algébricas e valor numérico ....................................
05
Aula 2: Adição e subtração de monômios e binômios ...........................
09
Aula 3: Multiplicação e divisão de monômios e binômios ......................
13
Aula 4: Perímetros e áreas utilizando operações com polinômios ..........
17
Aula 5: Volume de um sólido ...............................................................
22
Aula 6: Volume de um sólido utilizando operações com polinômios ......
27
Avaliação ............................................................................................
31
Pesquisa ..............................................................................................
33
Referências ........................................................................................
35
4
Aula 1: Expressões algébricas e valor numérico
Caro aluno, nesta aula iremos iniciar o nosso estudo sobre expressões
algébricas e o cálculo de seu valor numérico. Estes são conceitos muito importantes
para as série seguintes! Preste bastante atenção! Vamos à aula!
1 – EXPRESSÕES NUMÉRICAS E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS:
Você sabia que as expressões matemáticas podem ser de dois tipos: numéricas
e algébricas? Agora, vamos aprender como diferenciar esses tipos de expressões
matemáticas! É simples, observe os exemplos no quadro abaixo:
Expressões Numéricas
Expressões Algébricas
a) 13 - 4 + 9
b) -2  (+8) - (- 1)7
c)
a) x + y
b) a + 2b - 3c
c) x2 - 3y + 4z3
(3)2  4(2)(5)
Apresenta somente números.
Apresenta apenas letras ou
letras e números.
As letras de uma expressão algébrica são denominadas de variáveis.
O uso de letras para representar números facilita a "tradução" de sentenças
escritas na linguagem comum para a linguagem matemática, veja no quadro abaixo
alguns exemplos:
Linguagem Comum
O triplo de um número
A soma de dois números
O quadrado de um número
Média aritmética de dois números
Linguagem
Matemática
3a (ou 3b, ou 3c, ou
3x, etc.)
x+y
x2
xy
2
5
A metade de um número
O quádruplo de um número somado com terça
parte desse mesmo número
A diferença entre o cubo e o dobro de um número
x
2
x
3
x3 - 2x
4x 
2 – VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA:
Para obtermos o valor numérico de uma expressão algébrica, devemos
proceder do seguinte modo:
I - Substituir as letras (variáveis) por números reais dados;
II - Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:
1º) Potenciação e radiciação;
2º) Divisão e multiplicação;
3º) Adição e subtração.
EXEMPLO 01:
Calcular o valor numérico da expressão 3x2 ─ 2x + 5 para x = ─ 1.
Resolução:
Devemos substituir a variável x por ─ 1 na expressão algébrica dada no
exemplo. É importante ressaltar que ao fazer tais substituições deve-se colocar os
números entre parênteses. Observe:
Portanto o valor numérico da expressão é 10.
6
EXEMPLO 02:
Calcular o valor numérico da expressão
4m2  3m
para m = 3.
m 5
Resolução:
Devemos substituir a variável m por 3 na expressão algébrica dada da seguinte
maneira:
4  (3) 2  3  (3)

(3)  5
49  9

8
39  9

8
30 : 2

8:2
15
4
Logo, o valor numérico da expressão é
.
Caro aluno, chegou a hora de praticar! Resolva as atividades a seguir para
exercitar os conhecimentos que você aprendeu.
Atividade 1
01. Complete o quadro abaixo com a representação das expressões literais, usando
apenas símbolos matemáticos:
Expressões literais
Expressões
matemáticas
a) a terça parte do número x.
b) a diferença do dobro do número m com 7.
c) o cubo do número y.
7
d) a soma do triplo do número k com a sua quarta parte.
e) o produto de dois números consecutivos.
f) a diferença entre o quadrado e a raiz quadrada de um número.
02. Yasmin e sua irmã Isadora estão brincando de perguntas e respostas. As regras são
as seguintes: quem acertar, ganha 10 pontos e quem errar, perde 3 pontos. Se Yasmin
tiver x acertos e y erros, qual é a expressão que indica os pontos obtidos por ela no
total?
03. Calcule o valor numérico das expressões abaixo:
a) x2 + 2x, para x = ─ 5
1
b) 3x 2  x  7 , para x = ─3
5
c)
a3  a2b  a  b
, para a= 2 e b = 4
a4  1
 b  b2  4ac
d)
, para a = 2, b = ─7 e c = ─9
2a
04. É comum pensar que uma pessoa que calça sapatos 38 tem um pé com 38 cm de
comprimento. A fórmula algébrica usada para determinar o tamanho dos sapatos é a
seguinte:
Número do sapato =
5p  28
4
p = comprimento do pé em centímetros
Determine o comprimento do pé de uma pessoa que mede 28 cm.
8
Aula 2: Adição e subtração de monômios e binômios
Caro aluno, nesta aula, vamos estudar os monômios! sobre duas operações
com monômios e binômios, são elas a adição e a subtração. Na próxima aula iremos
estudar as outras duas operações básicas entre monômios e binômios, serão a
multiplicação e a divisão. Vamos à primeira aula deste assunto!
1 – MONÔMIO E GRAU DE UM MONÔMIO:
Chama-se termo algébrico ou monômio a qualquer indicação de produto de
números reais, expresso ou não por letras. O termo algébrico é composto de um
coeficiente (número) e uma parte literal.
Veja os exemplos abaixo para melhor compreensão:

(coeficiente: 3
5
b)  m2np3 
9
(coeficiente: 
a) 3x
parte literal: x)
5
9
c) - xy2z7

(coeficiente: - 1
ab4 c2
3

(coeficiente:
d)
1
3
parte literal: m2np3)
parte literal: - xy2z7)
parte literal: ab4c2)
Para fazermos as operações com monômios devemos conhecer as
particularidades dos monômios, a primeira delas é o grau. Se todos os expoentes das
variáveis forem inteiros e não negativos, o grau do monômio é dado pela soma dos
expoentes da sua parte literal. Em caso contrário seu grau não está definido. Veja:
a) 5x2y3z é um monômio do 6º grau.
b) - 7 é um monômio do grau zero.
c) abc2 é um monômio do 4º grau.
9
O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma letra de sua
parte literal:
 5x2 y 3 z é um monômio do 2º grau em relação a x

5x2y3z 5x 2 y 3 z é um monômio do 3º grau em relação a y.
 5x 2 y 3z é um monômio do 1º grau em relação a z.

2 – MONÔMIOS SEMELHANTES OU TERMOS SEMELHANTES:
São aqueles que apresentam a mesma parte literal. Observe:
a) - 9a e 2a são monômios semelhantes.
b) 5a2b e 4ba2 são monômios semelhantes.
c) 7 e - 3,14 são monômios semelhantes.
Convém observar que não importa a ordem dos fatores
literais (b), e que os números reais são considerados termos
semelhantes (c).
Agora que já sabemos o que é grau de monômio e monômios semelhantes
vamos poder fazer as operações algébricas.
3 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MONÔMIOS:
Só podemos somar ou subtrair monômios semelhantes e devemos proceder do
seguinte modo na adição e subtração de monômios:
1º) Somar ou subtrair os coeficientes.
2º) Conservar a parte literal.
EXEMPLO 1:
a) 9x3 - 15x3 + x3 = 5x3
b) 7xy - 3x - 13xy + 11 + 18x = - 6xy + 15x + 11
10
4 – POLINÔMIOS:
Polinômio é toda expressão algébrica que representa um monômio ou uma
soma algébrica de monômios.
a) 6x é um polinômio de um só termo denominado monômio.
b) 3a – 8 é um polinômio de dois termos denominado binômio.
c) a2 – 6ab + 9b2 é um polinômio de três termos denominado trinômio.
Os polinômios com mais de três termos não
recebem nomes específicos.
5 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE BINÔMIOS:
Para adicionar ou subtrair binômios deve-se adicionar ou subtrair os termos
semelhantes.
a) (7x2 - 3x) + (- 2x2 - x) = 7x2 - 3x - 2x2 - x = 5x2 - 4x
b) (h3 - h2) - (3h2 + 1) = h3 - h2 - 3h2 - 1 = h3 - 4h2 - 1
c) (3x - 2k4) + (2k4 - 3x) = 3x - 2k4 + 2k4 - 3x = 0
Caro aluno chegou a hora de colocar em prática os conhecimentos que você
aprendeu resolvendo as atividades a seguir.
11
Atividade 2
01. Determine o grau dos monômios abaixo:
a) x²y³ ________________
b) 4xy³ ________________
c) -7xyz ________________
d) 11x²y²x³ ________________
02. Quando falamos em adição algébrica de monômios, podemos estar nos referindo
tanto a uma adição de monômios como a uma subtração. Assim sendo, efetue as
adições algébricas abaixo:
a) xy - 10xy
d) - 2x2y + 5x2y - 3x2y
b) 4m + m
e) 12ab2c +12ab2c
c) -6abc - abc - 8abc - 3abc -7abc
f) - 9p2q3r +13 p2q3r - p2q3r + 6 p2q3r
03. Classifique as expressões abaixo em monômio, binômio ou trinômio:
a) 3x – 5 ________________
b) 7xy ________________
c) 4x² - 3x + 1 ________________
d) ab – b³ ________________
04. Efetue:
a) (7x2 - 6x) + (- 2x2 + 1)
b) (3x + 4) - (6x - 1)
c) (3m - 7) - (3m + 5) + (- 6m + 9)
d) (3a2b - 4ab2) + (ab - 4a2b) - (3ab2 - 2ab)
12
Aula 3: Multiplicação e divisão de monômios e binômios
1 – MULTIPLICAÇÃO DE MONÔNIOS:
Para efetuarmos a multiplicação de monômios devemos proceder da seguinte
maneira:
1º) Multiplicar os coeficientes.
2º) Multiplicar as partes literais entre si.
a) (+9x3)  (+ 5x) = (+9)  (+ 5)  x3  x = 45x4
b) (+ 7xy)  (- 3x) = (+ 7)  (- 3)  xy  x = - 21x2y
c) (- 5ab2)  (+ 2a3b4) = (- 5)  (+ 2)  ab2  a3b4  = - 10a4b6
d) (- 8am)  (- 9mp3) = (- 8)  (- 9)  am  mp3 = + 72am2p3
Observe que ao multiplicarmos potências de uma mesma base,
repetimos a base e somamos os expoentes! Veja:
2 – DIVISÃO DE MONÔNIOS:
Para efetuarmos a divisão de monômios devemos proceder da seguinte
maneira:
1º) Dividir os coeficientes.
2º) Dividir as partes literais entre si.
 9 x3
a) (+9x )  (+ 3x) =
= 3x2

3 x
3
b) (+ 27x5y7)  (- 9xy4) =
 27 x 5 y 7
 4 = - 3x4y3
 9 xy
 12 a2b8
c) (- 12a b )  (+ 6b ) =
 3 = - 2 a 2b 5
6 b
2 8
3
13
d) (- 8a4m5)  (- 9a2m4) =
8
 8 a4 m5
 2 4 =  a 2m
9
9 a m
3 – POTENCIAÇÃO DE MONÔMIOS:
Para efetuarmos a potenciação de monômios devemos proceder da seguinte
maneira:
1º) Elevar o coeficiente à potência indicada.
2º) Elevar a parte literal à potência indicada.
a) (- 9x3)2 = (- 9)2  (x3)2 = 81x6
b) (- 5x4y2z)3 = (- 5)3  (x4)3  (y2)3  (z)3 = - 125x12y6z3
Você notou que quando elevamos uma potência a um segundo
expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes!
Veja:
4 – MULTIPLICAÇÃO DE BINÔMIOS:
a) Monômio por binômio:
Multiplicamos cada termo do binômio pelo monômio. Esta operação é conhecida
como operação distributiva da multiplicação:
a) 12  (4x - 5y) = 12.4x + 12.(-5y) = 48x - 60
b) -3a2b  (9a2b2 - 2a) = -3a2b. 9a2b2 -3a2b .(-2a) = -27 a4b3 + 6 a3b
b) Binômio por binômio:
Multiplicamos cada termo de um binômio por todos os termos do outro, em
seguida reduzimos os termos semelhantes.
14
Exemplos:
a) (a + 3)  (a + 5) = a.a + a.5 + 3.a + 3.5 = a2 + 5a + 3a + 15 = a2 + 8a + 15
b) (x2 - 3x)  (x - 4) = x2.x + x2.(-4) -3x.x -3x.(-4) = x3 - 4x2 - 3x2 + 12x
c) (p + 7)  (p - 7) = p.p + p.(-7) + 7.p + 7.(-7) = p2 - 7p + 7p - 49 = p2 - 49
5 – DIVISÃO DE BINÔMIO POR MONÔMIO:
Para dividirmos um binômio por um monômio, dividimos cada termo do binômio
pelo monômio e adicionamos os resultados obtidos.
18x 2 3
a) (18x + 3) : (- 3) =
= -6x2 - 1

3 3
2
b) (6x5 - 12x4 + 9x3) : (3x3) =
6x 5 12x 4 9x 3
 3  3 = 2x2 - 4x + 3
3
3x
3x
3x
c) (16y3 - 48y2 - 5y) : (4y) =
16y 3 48y 2 5y
5

 = 4y2 - 12y 4
4y
4y 4y
Note que ao dividirmos potências de uma mesma base,
repetimos a base e subtraímos os expoentes! Veja:
Atividade 3
01. Calcule as multiplicações entre os monômios:
a) 6  (- 7x) =
b) - 9  (+ 4a2b) =
c) (- 3x2y)  (- 2x3yz4) =
d) (xy)  (- 3x2y)  (- 7xy3) =
15
02. Calcule as divisões entre os monômios:
a) (+ 12a2) : (- 3) =
b) (- 18x2y3) : (- 6xy) =
c) (- 5pq3) : (+ pq2) =
d) (15m4n3) : (- 20mn2p) =
03. Calcule as potências de monômios:
a) (- 2x3y)4 =
b) (- p2q3r)5 =
c) (- 4h2m3n5)0 =
d) (10a2b3)4 =
04. Efetue operações entre monômios e binômios abaixo:
a) - 5m  (m2 - 4m)
e) (30x4 - 15x2) : (- 3)
b) (6x2 + 7)  2x3
f) (- 10m5 - 21m3) : (2m)
c) (2x - 7)  (3x - 1)
g) (a60 - a20) : a10
d) (1 -t4)  (t4 + 1)
h) (22m22 - 11m11) : 44m
16
Aula 4: Perímetros e áreas utilizando operações com polinômios
Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre como escrever o perímetro e a
área de figuras geométricas simples que tem seus lados determinados por elementos
desconhecidos, ou seja, por incógnitas. Antes de começar a aula precisamos
determinar algumas notações,
extremidades noa pontos A e B, já
é o mesmo que segmento de reta com
é a medida do segmento
e finalmente
éa
notação para perímetro. Agora sim, vamos a aula!
1 – PERÍMETRO:
Já sabemos que o perímetro de uma figura geométrica plana é dado pela soma
das medidas de todos os seus lados. Quando estes lados estão bem definidos, ou seja
com valor numérico explícito, a tarefa de calcular seu perímetro é muito simples,
vamos relembra uma situação:
EXEMPLO 1:
Calcular o perímetro da figura abaixo considerando as medidas em centímetros.
Note que alguns lados não possuem suas medidas
explícitas. Então vamos tentar determiná-los. Veja que
não temos as medidas dos lados
que
acontece com
,
, então
, ou seja,
e
, mas perceba
. O mesmo
. Agora ficou fácil, podemos
calcular o perímetro da figura:
17
Da mesma forma vamos proceder com figuras em que os lados estão
representados por incógnitas, veja mais um exemplo:
EXEMPLO 2:
Calcular o perímetro do quadrado ABDC abaixo.
Como se trata de um quadrado, sabemos que todos
os seus lados possuem a mesma medida, assim:
EXEMPLO 3:
Calcular o perímetro da figura abaixo.
A figura é similar a do exemplo 1, perceba que não está explícita as medidas
dos lados
e
. Mas
, ou seja,
, então
. O mesmo acontece com
,
. Agora ficou fácil, podemos calcular o perímetro da
figura:
18
Observe que agrupamos os fatores com a mesma parte
literal e depois somamos. Veja que não podemos
somar fatores com partes literais diferentes!
2 – ÁREA:
O mesmo raciocínio vale para o cálculo de áreas de figuras com lados
representados por incógnitas, precisamos aplicar as fórmulas de área que já
aprendemos anteriormente, mas nossos resultados ficaram em função das incógnitas
gerando algum polonômio, vamos aos exemplos:
EXEMPLO 4:
Calcular a área do quadrado ABCD.
Você já deve ter percebido que é o mesmo quadrado do
exemplo 2, mas agora queremos calcular sua área, lembre-se que a
área de um quadrado é dado pelo quadrado da medida de seu lado,
portanto:
Perceba que x . x é igual a x². Algumas
pessoas confundem com x + x = 2x.
Fique atento!
EXEMPLO 5:
Calcular a área do triângulo ABC, retângulo em B, abaixo.
19
Como se trata de um triângulo retângulo, sua área é o produto dos catetos (os
lados que formam o ângulo reto). Logo:
Você percebeu que multiplicamos os valores numéricos e o pruduto de x por y
indicamos por xy? Em um produto com partes literais diferentes sempre agimos assim!
EXEMPLO 6:
Calcular a área da figura ABCDE abaixo:
Mais uma vez vamos utilizar uma figura de um exemplo anterior, exatamenta a
do exemplo 3, mas agora queremos calcular sua área. Como ela não é exatamente um
quadrado ou retângulo, temos que tentar parti-la em figuras que conhecemos a
fórmula de área. Perceba que podemos prolongar o segmento
segmento
até tocar o
gerando um ponto que chamaremos de G, veja como ficou a nossa
figura:
Agora, a nossa figura foi partida em dois retângulos, o ABCG e o DEFG. Vamos
calcular a área de cada um desses retângulos:
Neste momento, para calcular a área final, basta somar as duas área
encontradas, então:
20
Chegou o momento de testar seus conhecimentos, vamos às atividades. Caso
tenha alguma dúvida, volte aos tópicos da aula. Bom estudo!
Atividade 4
01. Calcule o perímetro e a área do quadrado ABCD abaixo:
02. Calcule o perímetro e a área do triângulo ABC, reto em B, abaixo:
03. Calcule o perímetro e a área do triângulo equilátero ABC abaixo:
(DICA: Lembre que a área de um triângulo equilátero de lado é dada por
):
04. Calcule o perímetro e a área da figura ABCDEF abaixo:
21
Aula 5: Volume de um sólido
Querido aluno, nesta aula vamos estudar sobre a medida do volume dos
principais sólidos geométricos, lembrando que volume é a medida que um sólido
ocupa no espaço. Iremos começar com o estudo do volume de um paralelepípedo,
passando pelo volume de um prisma reto e chegando ao volume de uma pirâmide
reta.
1 – VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO:
Para calcular o volume de um paralelepípedo, basta efetuar o produto das suas
três dimensões:
V=a.b.c
EXEMPLO 1:
Calcular o volume do paralelepípedo abaixo:
Aplicando a fórmula, temos:
Como volume é uma medida espacial, ou seja, em três
dimensões, a unidade de medida deve estar sempre ao cubo!
22
Exemplo 2: Calcular o volume do cubo abaixo:
Note que o cubo é um paralelepípedo com todas as
dimensões com a mesma medida. Assim:
2 – VOLUME DE UM PRISMA RETO:
Um prisma é reto quando suas faces laterais são perpendiculares a face da
base. E para calcular o volume de um prisma reto, é necessário efetuar o produto da
área da base pela medida da altura do prisma:
V = Ab . h
3 – VOLUME DE UMA PIRÂMIDE RETA:
Uma pirâmide é chamada de reta quando a projeção de seu vértice sobre o
plano da base é exatamente o centro da base. Para calcular o volume de uma pirâmide
reta, basta notar que ela ocupa um terço do espaço ocupado por um prisma que
possui a mesma base e a altura de mesma medida. Assim, o volume da pirâmide é um
terço do produto entre a área de sua base pela medida de sua altura.
23
V = Ab . h
3
EXEMPLO 3:
Calcular o volume do prisma abaixo, cuja base é um triângulo equilátero.
Como a base é um triângulo equilátero, podemos
calcular
sua
área
utilizando
a
fórmula
.
Assim,
. Agora, sabendo os valores da área
da base e da altura podemos calcular o volume do prisma:
EXEMPLO 4:
Calcular o volume da pirâmide abaixo, cuja base é um retângulo.
Como a base da pirâmide é um retângulo de
dimensões 3cm e 5cm, temos que sua área é dada por 3.5 =
15cm². Note que a altura da pirâmide mede 7cm. Assim, o
volume da pirâmide pode ser calculado da seguinte forma:
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Agora chegou a hora de testar seus conhecimentos. Tente fazer as atividades e
caso encontre dificuldades, relembre a teoria e os exemplos. Bom estudo!
Atividade 5
01. Calcule o volume do paralelepípedo abaixo:
02. Calcule o volume do cubo abaixo:
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03. Calcule o volume do prisma abaixo, sabendo que sua base é um triângulo
retângulo:
04. Calcule o volume da pirâmide abaixo, sabendo que sua base é um quadrado:
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Aula 6: Volume de um sólido e operações com polinômios
Caro aluno, esta aula é similar a aula 5. Agora vamos estudar o volume dos
mesmos sólidos estudados anteriormente, porém suas dimensões serão dadas por
elementos desconhecidos, ou seja, por incógnitas. Então vamos aplicar, além das
fórmulas de volume, os conhecimentos da aula 4, pois os volumes serão dados por
polinômios.
1 – VOLUME UTILIZANDO CÁLCULOS COM POLINÔMIOS:
Nesta aula vamos analizar diretamente os exemplos:
EXEMPLO 1:
Calcular o volume do paralelepípedo abaixo:
Aplicando a fórmula do volume de um paralelepípedo
temos:
EXEMPLO 2:
Calcular o volume do cubo abaixo.
Como se trata de um cubo, sabemos que todas as suas
dimensões são iguais, assim:
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Você percebeu que na segunda linha da solução quem estava
elevado ao cubo era 2z?
Agora, você deve ter percebido que 2³ = 8 e que z³ é ele próprio, por
isso a resposta final é 8z³.
Ou seja, quem está elevado ao cubo na resposta final é somente o z!
EXEMPLO 3:
Calcular o volume do prisma abaixo, sabendo que a base é um triângulo retângulo.
Como a base é um triângulo retângulo, a sua área é
dada pelo produto dos catetos, ou seja,
.
Agora o volume pode ser calculado:
Perceba que ao multiplicar
por
estamos multiplicando um
monômio por um binômio, ou seja, precisamos realizar a opoeração distributiva da
multiplicação.
EXEMPLO 4:
Calcular o volume da pirâmide abaixo, sabendo que sua base é um quadrado.
Como a base da pirâmide é um quadrado, temos
que sua área é dada por
. Agora, o
volume pode ser calculado:
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Agora chegou o momento especial de testarmos se você entendeu tudo com
clareza, faça as atividades e em caso de dúvidas volte aos tópicos da aula! Bom estudo!
Atividade 6
01. Calcule o volume do paralelepípedo abaixo:
02. Calcule o volume do cubo abaixo:
03. Calcule o volume do prisma abaixo, sabendo que sua base é um triângulo
retângulo:
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04. Calcule o volume da pirâmide abaixo, sabendo que sua base é um quadrado:
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Avaliação
Caro aluno, chegou à hora de avaliar tudo o que nós estudamos nas aulas
anteriores. Leia atentamente cada uma das questões e faça os cálculos necessários.
Vamos lá, vamos tentar?
01. Calculando o valor numérico da expressão algébrica -4x²y para x = 2 e y = -3,
temos:
(A) -48
(B) 48
(C) -24
(D) 24
02. A soma entre os binômios 3x – y e -5x + 3y é dada por:
(A) 2x + 2y
(B) 2x – 2y
(C) -2x + 2y
(D) -2x – 2y
03. O produto entre os binômios 2a – 1 e 3 + a é dado por:
(A) 2a² + 5a – 3
(B) 2a² – 5a + 3
(C) 2a² + 5a + 3
(D) -2a² + 5a – 3
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04. A área do triângulo retângulo em A abaixo é dada por:
(A) 12x
(B) 4x²
(C) 3x²
(D) 12x²
05. O prisma abaixo tem como base um triângulo equilátero. Sabendo disso, o volume
do prisma abaixo é:
(A) 1cm²
(B) 3cm²
(C) 6cm²
(D)
cm²
06. A pirâmide abaixo possui base quadrada. Sabendo disso, o volume da pirâmide
abaixo é dada por:
(A) 9y³ + 18xy²
(B) 6y³ + 12xy²
(C) 9y³ + 18xy
(D) 9y² + 18xy²
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Pesquisa
Caro aluno, agora que já estudamos os principais assuntos relativos ao 3°
bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles na nossa vida!
Espero que você tenha entendido tudo com clareza! Agora, vamos fazer uma
pesquisa para que estes conceitos fiquem consolidados. Vamos lá!
ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos
livros e sites nos quais foram utilizados.
I – Apresente alguns exemplos de situações reais nas quais podemos encontrar a
aplicação de expressões algébricas.
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II – Agora pesquise em jornais e revistas alguns exemplos de notícias que evidenciam a
aplicação de expressões algébricas. Recorte e cole em folha separada.
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III – Assista ao vídeo sugerido sobre Expressões Algébricas, e escreva suas observações
sobre o que assistiu e qual a sua aplicabilidade no dia a dia?
O vídeo está disponível em: http://www.telecurso.org.br/matematica/
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Referências
[1] IEZZI, Gelson; Et al. Matemática e Realidade: 8ª série. 5 ed. São Paulo: Atual, 2005.
[2] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática 9º ano. 1 ed. São Paulo: Ática,
2012.
[3] BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática Ensino Fundamental 8.
1 ed. São Paulo: Moderna, 2003.
[4] BIANCHINI, Edwaldo. Matemática 9º ano. 7 ed. São Paulo: Moderna, 2011.
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Equipe de Elaboração
COORDENADORES DO PROJETO
Diretoria de Articulação Curricular
Adriana Tavares Mauricio Lessa
Coordenação de Áreas do Conhecimento
Bianca Neuberger Leda
Raquel Costa da Silva Nascimento
Fabiano Farias de Souza
Peterson Soares da Silva
Marília Silva
COORDENADORA DA EQUIPE
Raquel Costa da Silva Nascimento
Assistente Técnico de Matemática
PROFESSORES ELABORADORES
Ângelo Veiga Torres
Daniel Portinha Alves
Fabiana Marques Muniz
Herivelto Nunes Paiva
Izabela de Fátima Bellini Neves
Jayme Barbosa Ribeiro
Jonas da Conceição Ricardo
Reginaldo Vandré Menezes da Mota
Tarliz Liao
Vinícius do Nascimento Silva Mano
Weverton Magno Ferreira de Castro
Revisão de Texto
Isabela Soares Pereira
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