Teorema de Nyquist e Teorema de Shannon

UNIDADE I
Aula 6 – Taxas de Transmissão Máxima em um Canal:
Teorema de Nyquist e Teorema de Shannon
Fonte: Rodrigo Semente
Sabemos que, quanto maior a banda passante de
um meio
i físico,
fí i
maior
i o número
ú
d harmônicos
de
h
ô i
que
podem ser recuperados na conversão A/D. Pergunta-se...
Qual a Banda Passante mínima para que um sinal
digital, convertido para analógico (D/A), com taxa de
transmissão X seja recuperado (A/D) sem sofrer
alterações que comprometam a recuperação deste?
Cálculo da taxa de transmissão máxima em um canal:
Teorema de Nyquist
` Em 1928, Harry Nyquist, formulou uma equação
matemática qque define a taxa de transmissão máxima de
um canal de banda passante limitada e imune a ruídos. A
equação
q
pode ser escrita da seguinte
p
g
forma:
C = 2*W*Mm bps, onde:
C = capacidade do canal na ausência de ruído;
W = frequência do sinal (largura de banda);
Mm = a modulação multinível (2 bits, 4 bits, 8 bits, 16
bits...).
Ex: Dado um canal com uma largura de banda igual a 4 KHz e
supondo-se que este canal esteja utilizando uma codificação A/D
d 2 bits,
de
bit quall a taxa
t
d transmissão
de
t
i ã máxima
á i desse
d
canall na ausência
ê i
de ruídos?
R:
`
Ap
partir do Teorema de Nyquist
yq
temos,
C = 2*W*Mm
g ,
logo,
C = 2*4k*2
C = 16 Kbps, portanto,
A taxa de
d transmissão
i
máxima
i desse
d
canall na ausência
ê i de
d ruídos
d é de
d 16 Kbps
b
Cálculo da taxa de transmissão máxima em um canal:
Teorema de Shannon
` Em 1948, Claude Shannon, a partir de uma série de estudos,
como base no teorema de Nyquist, provou matematicamente que
um canal possui uma capacidade de transmissão limitada.
limitada No
entanto, suas pesquisas consideram a atuação de um ruído branco
((ruído térmico )). A equação
q ç p
pode ser escrita da seguinte
g
forma:
C = W*log2(1 + S/N) bps,
onde:
C = capacidade do canal na presença de ruído;
W = frequência do sinal (largura de banda);
S/N = relação
l ã sinal/ruído,
i l/ íd em Watts
W
`
`
Ex: Dado uma linha telefônica com um canal com
largura de banda de 3000 Hz e cuja razão sinal-ruído
vale 30 dB. Pergunta-se: Qual a taxa de transmissão
máxima desse canal na presença de ruído branco?
Passo1: Temos a relação (razão) sinal ruído (S/N) expressa em dB,
mas não em Watts. Desta forma, recorreremos a equação que mede
o ruído em decibel (dB), para encontrarmos a relação sinal/ruído em
Watts (slide 5, aula 5). Assim, para um SNR de 30 dB, temos:
X dB = 10*log10(S/N)
30dB = 10*log10(S/N)
g ( / )
Log10(S/N) = 3dB
Eliminando o Log10 da equação,por simplificação, temos:
10^log10(S/N) = 10 ^3 =>
> S/N = 1000 w
Teorema de Shannon,, Ex ((continuação)
ç )
`
Aplicando, agora, a SNR (S/N), em Watts, na equação de Shannon:
C=W
W*log2(1
log2(1 + S/N)
C = 3000*log2(1 + 1000)
C = 2,9902 *104 bps ≅ 30.000 bps, portanto:
A taxa de
d transmissão máxima
á
em um canall com a presença d
de ruído
íd
branco é de 30 Kbps
OBS: Esse mesmo cálculo pode ser obtido diretamente através do
Matlab. Experimente e pratique!
Prática no Matlab
Dado um canal com uma largura de banda igual a 10KHz e supondo-se que
este canal esteja utilizando
d uma codificação
d
A/D
/ de
d 8 bits,
b
qual a taxa de
d
transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos?
2. Dado um canal de transmissão de TV em VHF com largura
g
de banda de 20
KHz e cuja razão sinal-ruído vale 20 dB. Pergunta-se: Qual a taxa de transmissão
máxima desse canal na presença de ruído branco?
3
3.
Dado um canal com uma largura de banda igual a 200 KHz e supondo-se
supondo se que
este canal esteja utilizando uma codificação A/D de 16 bits, qual a taxa de
transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos?
4. Dado um canal de transmissão de Rádio AM com largura de banda de 1.500
KHz e cuja razão sinal-ruído vale 15 dB. Pergunta-se: Qual a taxa de transmissão
presença de ruído branco?
máxima desse canal na p
1.
Prática no Matlab - Respostas
1.
Dado um canal com uma largura de banda igual a 10KHz e supondo-se que
este canal esteja utilizando uma codificação A/D de 8 bits,
bits qual a taxa de
transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos? R:
C = 2*W*Mm => C = 2 * 10000 * 8 => C = 160000 = > C = 160 Kbps
Dado um canal de transmissão de TV em VHF com largura de banda de 20
KHz e cuja razão sinal-ruído vale 20 dB. Pergunta-se: Qual a taxa de
transmissão máxima desse canal na presença de ruído branco? R:
P
Passo
1 achando
1:
h d S/N:
S/N
X dB = 10*log10(S/N) => 10*log10(S/N) = 20dB => log10(S/N) = 2dB =>
10^log10(S/N)
g (
) = 10^2 => S/N = 100W
Passo 2: Aplicando S/N em Shannon: C = W*log2(1 + S/N) =>
C = 20000*log2(1+100) => C = 133.164.23 bps => C ≅ 133 Kbps
2
2.
Prática no Matlab - Respostas
3.
Dado um canal com uma largura de banda igual a 200 KHz e supondo-se que
este canal esteja utilizando uma codificação A/D de 16 bits,
bits qual a taxa de
transmissão máxima desse canal na ausência de ruídos? R:
C = 2*W*Mm => C = 2 * 200000 * 16 => C = 6400Kbps = > C ≅ 6 Mbps
Dado um canal de transmissão de Rádio AM com largura de banda de 1.500
1 500
KHz e cuja razão sinal-ruído vale 15 dB. Pergunta-se: Qual a taxa de
transmissão máxima desse canal na presença de ruído branco? R:
P
Passo
1 achando
1:
h d S/N:
S/N
X dB = 10*log10(S/N) => 10*log10(S/N) = 15dB => log10(S/N) = 1,5dB
=> 10^log10(S/N)
g (
) = 10^1,5 => S/N = 31,62W
Passo 2: Aplicando S/N em Shannon: C = W*log2(1 + S/N) =>
C = 1500000*log2(1+31.62) =>C=754,2 Kbps => C ؆ 1 Mps
4
4.