2016 - Olimpíada Internacional de Matemática sem Fronteiras

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Caderno de Questões
2016
Prova para Níveis Júnior e Sênior – 7º EF à 3ª. EM
Qualquer tentativa gera alguma pontuação.
A organização das resoluções será levada em conta.
Responda cada questão em apenas uma folha.
2016
7 PONTOS
Q uestão 1 Língua Estrangeira
Questão em língua estrangeira. Deve ser respondida em Alemão, Espanhol, Francês ou Inglês.
Anatole, Benjamin et Chloé rentrent d’une sortie de ski. Leur maman leur demande :
« Est-ce que tout le monde veut un chocolat chaud ? ».
Anatole répond « Je ne sais pas ».
Benjamin, à son tour, répond : « Je ne sais pas ».
Chloé a écouté ses frères et répond « Oui ! »
La maman sert chacun.
Expliquer chaque réponse.
Anatol, Benjamin und Chloé kommen vom Skifahren nach Hause. Ihre Mutter fragt sie: „Wollt
ihr alle eine heiße Schokolade?“
Anatol antwortet: „Ich weiß nicht.“
Benjamin antwortet: „Ich weiß nicht.“
Chloé hat die Antworten ihrer Brüder gehört und antwortet: „Ja.“
Die Mutter schenkt daraufhin jedem heiße Schokolade aus.
Erklärt jede der drei Antworten.
Anatole, Benjamin y Chloé vuelven de un día de esquí. Su madre les pregunta :
« ¿Todos quéreis chocolate caliente ? ».
Anatole contesta « No lo sé ».
Benjamin, tras él, contesta : « No lo sé ».
Chloé , después de escuchar a sus hermanos, contesta « ¡Sí ! »
La madre les sirve a todos.
Explica cada respueta.
Anatole, Benjamin and Chloe have just come back home after skiing. Their mum asks them:
“Does everyone want hot chocolate?”
Anatole replies first and says: “I don’t know.”
Benjamin answers next and also says: “I don’t know.”
Chloe has been listening to her brothers and she answers: “Yes!”
Their mother gives each of them a mug of hot chocolate.
Explain the three answers.
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2016
Dança do Quadrado
Floriane comprou uma faixa retangular de grama artificial medindo 9 m por 4 m. Ela quer tranformála em um quadrado usando o menor número de peças possíveis e sem jogar nada fora.
Desenhe um diagrama para mostrar como Floriane pode fazer isso.
2016
5 PONTOS
Q uestão 2
Resultados!
7 PONTOS
Q uestão 3
Um professor de educação física organizou um torneio de futebol para 3 acampamentos de férias.
Cada acampamento tem uma equipe.
Cada equipe jogou apenas uma vez contra as outras equipes.
A tabela mostra alguns dos resultados obtidos, mas não está completamente preenchida.
Times
Número
de jogos
ganhos
Números
de
empates
Os boleiros
Reis da bola
1
Números
de Jogos
Perdidos
Número
de gols
marcados
Número de
gols
sofridos
1
3
2
1
0
Goleadores
1
Complete a tabela em sua folha de resposta, preenchendo os espaços em branco.
2016
Lado a lado
Sylvie está jogando cartas. Ela tem um maço de 32 cartas, todas diferentes e com um número
inteiro entre 1 e 8 e uma das letras A, B, C ou D escrito sobre elas.
Neste jogo duas cartas que tocam os lados devem ter o mesmo número ou a mesma letra sobre
elas.
Sylvie já colocou 13 cartas em cima da mesa.
Complete na folha de respostas o quadro com as cartas que faltam seguindo a regra do jogo.
2016
5 PONTOS
Q uestão 4
Algoritmo
7 PONTOS
Q uestão 5
Este é um processo matemático ou um algoritmo:
• Escolha um número inteiro N ≥ 2
• Anote todos os números inteiros de 1 a N
• Elimine quaisquer dois números de sua escolha, substituindo-os pelo número
correspondente à sua soma, subtraído de 1
• Continue fazendo isso até que sobre um único número
• Mostre seu resultado
Você pode prever o resultado se o número N for 10? Explique sua resposta.
Qual seria o resultado se o número N for 100?
2016
Beijos e apertos de mão
24 estudantes e 3 professores (homens e mulheres) acabam de regressar de uma viagem de
escola. Antes de se despedir as garotas trocam beijos; as meninas também beijam os meninos;
os meninos apertam as mãos uns dos outros. Os professores se despedem entre si seguindo as
mesmas regras dos estudantes. Mas é claro que cada aluno, meninos e meninas, apertam as
mãos de seus professores (e professoras).
Ao todo foram 118 apertos de mão.
Encontre o número de garotas e de professorAs na viagem. Justifique sua resposta.
2016
5 PONTOS
Q uestão 6
Atrás da curva
Duas retas d e d' se cruzam formando um ângulo reto em O. A segmento OA bissecta o ângulo reto
formado por d e d'. OA = 5 cm.
Escolha um ponto qualquer B na reta d e considere que a reta AB intersecta d' em C. Marque o ponto
M, sendo M o ponto médio de BC.
À medida que deslocarmos o ponto B ao longo da reta d, o ponto M traçará uma curva.
Desenhe essa curva.
2016
7 PONTOS
Q uestão 7
Kirigami
No Japão Kirigami é a arte de cortar e dobrar o papel para que objetos tridimensionais apareçam
quando o papel é dobrado.Este modelo de Kirigami mostra duas escadas que estão ligadas de uma
forma estranha. Ela é criada fazendo alguns cortes e, em seguida, dobrando uma única folha de
papel. A escada aparecerá quando o papel for dobrado.
Faça os cortes e dobras corretos para criar o modelo da escada.
Use papel quadriculado para manter as mesmas dimensões.
Cole seu kirigami na folha de resposta.
2016
5 PONTOS
Q uestão 8
Pirâmide
7 PONTOS
Q uestão 9
Hugo tem uma caixa cheia de varetas de comprimento 4 e 8 cm.
Ele constrói o modelo apresentado abaixo. Ele usa hastes de 4 cm para a base quadrada e
hastes de 8 cm para todas as outras. Seu sólido não é uma pirâmide, porque as bordas
inclinadas não são linhas retas.
Usando mais 4 varetas encontre pelo menos uma forma de transformar o sólido numa
pirâmide. Justifique sua escolha.
Calcule a altura de uma das suas pirâmides arredondando para o valor inteiro em
milímetros mais próximo.
2016
Palmas para a revolução
Durante a Revolução Francesa o novo governo decidiu introduzir um sistema decimal para
todas as unidades de medida. Devido a essa decisão bem sucedida usamos metros e litros até
hoje. Eles propuseram um novo sistema decimal para o tempo também, mas que não durou
muito tempo. As medidas de tempo e todos os mostradores dos relógios tiveram que ser
alterados.
Um dia medido a partir da meia-noite até a meia-noite seguinte foi dividido em 10 horas
decimais, e cada hora tinha 100 minutos decimais. Cada minuto foi dividido em 100 segundos
decimais.
Em um relógio decimal seu mostrador mostrava um dia completo(de meia-noite à meianoite) !
Então, em um relógio decimal o ponteiro pequeno para as horas fazia uma volta completa em
10 horas decimais. E o ponteiro grande para os minutos fazia uma volta completa em 1 hora
decimal.
Desenhe o mostrador de um relógio decimal quando ele indica meio-dia.
Depois desenhe o mostrador desse relógio o tempo equivalente às 13h20min de um relógio
convencional.
Explique suas respostas.
2016
10 PONTOS
Q uestão 10
Duas peças
5 PONTOS
Q uestão 11
Apenas para o Ensino Médio
Myriam tem um pedaço de espuma de poliestireno de 4 cm de espessura. A peça é um
paralelepípedo de base quadrada.
Ela corta um novo paralelepípedo de base quadrada de 20 cm de lado da peça anterior como ilustra a
figura abaixo.
Então diz a Sofia: "Olhe agora tenho dois sólidos. O volume de um é menor do que o volume do
outro. Se eu tivesse cortado um paralelepípedo com uma base quadrada de 19 centímetros de lado,
teria sido o contrário ".
Para que valores, em números inteiros e em cm, do lado da base quadrada a afirmação de Myriam
é verdadeira? Justifique sua resposta.
2016
Tudo igual
7 PONTOS
Q uestão 12
Apenas para o Ensino Médio
Jean utilizou um software de geometria para a construção de um pentágono com cinco lados
do mesmo comprimento, mas com os ângulos internos diferentes.
Ele então colocou um ponto M no interior do pentágono e mediu as distâncias desse ponto a
cada um dos lados.
Ele move o ponto M em torno do pentágono e afirma que a soma das cinco distâncias a, b, c,
d, e será sempre a mesma, não importa onde M é colocado.
Encontrar uma relação entre a área do pentágono e a soma das distâncias do ponto M de
cada lado do pentágono. Mostrar por que a afirmação de Jean está correta.
2016
Dobradura
Apenas para o Ensino Médio
M. Kazuo Haga, o famoso mestre do Origami, encontrou um engenhoso método para dividir
os lados de um pedaço de papel quadrado em partes iguais. Os primeiros passos do seu
método para encontrar 1/5 de um lado estão estabelecidos aqui (veja a ilustração abaixo):
1. Dobre seu papel quadrado
em 4 partes iguais. (Esta é a
parte fácil!)
2. Traga a ponta superior
esquerda até um quarto do
comprimento do lado direito
e dobre.
3. Pinte os dois triângulos e
depois desdobre
Corte os dois triângulos coloridos, colocando-os um de cima do outro para mostrar que são
triângulos semelhantes. Cole-os em sua folha de respostas.
Calcule o valores de X e Y indicados na figura.
Que dobra finalmente mostra 1/5 do lado do quadrado?
2016
10 PONTOS
Q uestão 13