Quien sabe, hace... ¿Y quién no sabe? ¿Enseña? Resumo Create

Quien sabe, hace... ¿Y quién no sabe? ¿Enseña?
Consideraciones sobre la enseñanza de la División en la escuela primaria1
María Christina BITTENCOURT de MARQUES
Miriam CARDOSO UTSUMI(1)
(1) Centro Universitário Moura Lacerda
Brasil
[email protected], [email protected]
Resumo
O presente artigo discute como é ensinada a operação de divisão em algumas escolas, refletindo sobre
as dificuldades de compreensão do conceito e algoritmo por parte dos alunos que nas operações
anteriores (adição, subtração e multiplicação) começam operando as unidades, mas, na divisão,
iniciam o processo adotando o sentido contrário, ficando as unidades para serem divididas ao final. As
autoras, ainda, relacionam estas dificuldades dos alunos a má compreensão do conceito e do
algoritmo por parte dos professores das séries iniciais do ensino fundamental: desde a década de 80 ou
ainda em épocas anteriores, os professores têm trocado entre si um material que provavelmente tenha
sido escrito, revisado e complementado ao longo dos anos pelos que são considerados mais
experientes: os famosos “passos” da adição, subtração, multiplicação e da divisão de números
naturais. Segundo esse material, o professor deveria ensinar o aluno a dividir gradativamente, como se
existissem vários algoritmos, semelhantes entre si, mas não exatamente o mesmo. O fracionamento do
algoritmo, fraciona também o raciocínio do aluno que passa a acreditar na existência de vários
algoritmos. Desta forma conclui-se que o algoritmo da divisão não é ensinado com compreensão, mas
como uma técnica que funciona se as regras forem seguidas.
1
Produção vinculada ao grupo de pesquisa “Currículo, História e Poder”.
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Shaw (como citado em Nóvoa, 1996), diante da postura de alguns professores que se assumem como simples
transmissores de um saber científico, afirmou que Quem sabe, faz; quem não sabe, ensina (p. 27). Esta antiga
ideologia de que só os medíocres, incompetentes e mal formados partem para o ensino, tende a relacionar a
opção pelo magistério àqueles que não obtiveram sucesso nas áreas disciplinares de base.
Para ensinar Matemática, é preciso conhecer Matemática. Esse é um dos princípios básicos enunciados por
Patrocínio (1989) que traduzem a vivência de quem se preocupa com a melhoria do ensino em Matemática em
todos os níveis. Também Grossi (2000) em uma publicação que objetiva a qualificação de professores para o
trabalho na alfabetização de adultos, afirma que só ensina quem aprende.
Passos (1996), no entanto, constatou que o professor responsável pelo ensino de Matemática nas séries iniciais
normalmente não gosta de Matemática e pouco sabe sobre este componente curricular, pois tem a concepção,
construída ao longo de sua vida de que o saber matemático é constituído por um conjunto de regras que são
impostas e devem ser aplicadas em situações bem claras e definidas.
Em 2001, numa palestra sobre o ensino da Matemática nas quatro primeiras séries do Ensino Fundamental,
proferida para licenciandos de um curso de Pedagogia de uma cidade do interior do Estado de São Paulo, Brasil,
alguns dados sobre as concepções e dificuldades que os licenciandos tinham para ensinar Matemática foram
colhidos através de um questionário aplicado aos presentes (Marques e Utsumi 2001). Como os professores,
geralmente, destinam muito pouco tempo ao ensino da Geometria, acreditava-se que talvez fosse este o conteúdo
considerado mais difícil de ser ensinado. No entanto, a maioria das respostas indicava que difícil era ensinar o
aluno dividir.
Voltando a atenção para esse fato, pode-se constatar que a divisão de números inteiros e principalmente seu
algoritmo são assuntos que sempre suscitam perguntas entre professores ou mesmo de alunos durante as aulas de
Matemática ministradas para classes do Ensino Fundamental e Médio.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN Matemática (Brasil, 2000), destacam a necessidade de se
introduzir tópicos da Matemática, dentre eles as operações com números naturais, de forma contextualizada
evidenciando o trabalho oral em sala de aula e a necessidade de se apresentar todas as idéias que envolvem cada
uma das operações em diferentes situações-problema. Entretanto, a principal preocupação de alguns professores
parece não ser essa: eles querem ensinar, antes de tudo, o algoritmo.
A introdução quase que imediata do algoritmo da divisão provavelmente não traria tantos problemas se feita com
paciência e compreensão. As Atividades Matemáticas (São Paulo, 1985), documentos elaborados pela
Coordenadoria de Ensino e Normas Pedagógicas - CENP, publicados na década de 80 pela Secretaria de
Educação do Estado de São Paulo apresentam, como sugestão para esse trabalho, um processo longo de divisão
que não dispensa, ao menos no início, uma simulação do que ocorre quando se divide para, principalmente,
justificar os registros feitos.
Para isso, o professor pode, por exemplo, convidar 6 alunos para dividir entre eles, 20 balas (ou grãos de feijão,
palitos de fósforo, etc), de modo que cada um receba a mesma quantidade, e iniciar o processo, registrando de
modo que todos possam ver
20
6
Em seguida entregar uma bala a cada aluno, registrar o número de balas que cada um recebeu e a quantidade de
balas que foram subtraídas das 20 que tinha inicialmente.
20
- 6
14
6
1
(número de balas que cada um
recebeu na 1a. distribuição)
Os alunos deverão observar que ainda é possível entregar a cada um deles mais uma bala. E novamente ocorre a
ação, seguida do registro correspondente.
20
6
-6
1
14
1
-6
8
Como ainda restam 8 balas, mais uma vez é feita e registrada a distribuição:
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20
-6
14
-6
6
1
1
1
8
-6
2
Como a proposta inicial era que cada um recebesse a mesma quantidade de balas, os alunos deverão ser levados
a observarem que a divisão terminou, pois dividir as 2 balas que restaram igualmente para 6 crianças não é
possível.
Esse processo permite que os alunos:
Ø percebam que dividir é subtrair a mesma quantidade;
Ø entendam porque no algoritmo da divisão sempre uma certa quantidade é subtraída do dividendo;
Ø estabeleçam uma relação entre a multiplicação do quociente pelo divisor, feita no algoritmo tradicional, com
a soma dos valores registrados abaixo do divisor ( 1 + 1 + 1 = 3 . 1 = 3).
Sabe-se que, tradicionalmente, trabalhar as quatro operações nas séries iniciais significa: ensinar “fazer as
contas” e, para isso, leva-se os alunos a efetuarem cálculos e mais cálculos. São contas com unidades, com
dezenas, com centenas, com milhares, com números que têm o zero como um dos seus algarismos e por aí vai.
Depois de bem treinados, os alunos deveriam saber aplicar as técnicas aprendidas na solução de problemas. Em
suma: o aluno “aprende” (treina) algo que lhe é ensinado sem compreensão ou sentido, muitas vezes associado a
expressões esquisitas, tais como: “vai um”, “escorrega o dois” , “se o 2 não der para dividir, abraça o amiguinho
e se transforma em 26”, “no lugar da unidade, põe o sinal + porque a unidade morreu” e tem que saber aplicar
isso para resolver uma situação-problema que também, muitas vezes, não tem nada em comum com a sua
realidade.
Talvez seja esse um dos motivos pelos quais o aluno desiste de tentar entender e aprender Matemática: para ele
quase nada faz sentido e assim, como se estivesse assistindo a um filme sem entender o desenrolar da trama,
desiste e, pelo menos em pensamento, sai da sala de aula.
O algoritmo da divisão, então, sempre foi considerado o mais complicado. Em todos os outros, que normalmente
são ensinados antes do da divisão, deve-se começar operando unidades, mas, neste, inicia-se o processo
adotando o sentido contrário, ficando as unidades para serem divididas no final.
E como se deve proceder para ensinar o aluno a dividir se o divisor for um número com dois ou mais
algarismos? Desde a década de 80, ou ainda em épocas anteriores, os professores das séries iniciais do ensino
fundamental têm trocado entre si um material que provavelmente tenha sido escrito, revisado e complementado
ao longo dos anos pelos que são considerados mais experientes: os famosos “passos” da adição, subtração,
multiplicação e da divisão de números naturais. Nesses documentos, o número de “passos” sugeridos para um
ensino eficaz do algoritmo da divisão supera, e muito, os indicados para as outras três operações.
Numa das versões desses “documentos”, por exemplo, para o algoritmo da divisão são sugeridos dez passos e
para o ensino da adição, seis. Essas orientações, que também são transmitidas oralmente entre os professores das
séries iniciais, objetivam ensinar o aluno a dividir preparando-o, em tese, para superar, uma a uma, as diferentes
dificuldades que podem surgir enquanto ele efetua uma divisão. Segundo esse material, o professor deveria
ensinar o aluno a dividir gradativamente, como se existissem vários algoritmos, semelhantes entre si, mas não
exatamente o mesmo.
As primeiras divisões, por exemplo, não deveriam apresentar resto durante ou no final do processo, como se a
maioria das divisões no dia-a-dia do aluno sempre fosse exata.
20 ÷ 4
. Este exemplo caracteriza o primeiro “passo”: o caso das “dezenas exatas”.
Em seguida, o caso da “divisão parcial exata”, exemplificado por: 36 ÷ 3. Observa-se, que a própria
nomenclatura de cada caso é complexa: o termo parcial se refere ao fato desta divisão necessitar de duas
passagens: a divisão das dezenas e a divisão das unidades.
Depois, as divisões que apresentam resto na “primeira divisão”, mas são exatas na “divisão total” caracterizam o
caso das “divisões parciais inexatas” como, por exemplo, 45 ÷ 2.
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E assim, seguem os exemplos e casos, cada qual apresentando um grau maior de dificuldade e uma terminologia
mais difícil ainda. As divisões cujo quociente é um número que apresenta o zero como um de seus algarismos,
são consideradas as mais difíceis e somente introduzidas após o aluno ter enfrentado, e dominado os outros
tantos “passos”.
Os professores que adotam esse tipo de documento como um manual a ser seguido para se ensinar a dividir
acreditam na sua eficiência e não percebem nele uma fragmentação do algoritmo em vários outros.
Já os professores que desconhecem esse tipo de orientação, geralmente, introduzem a divisão como sendo a
operação inversa da multiplicação. Assim, aquelas divisões cujo divisor tem um único algarismo, são fáceis de
serem resolvidas pelos alunos que memorizaram os fatos fundamentais da multiplicação. Para que os alunos
resolvam as divisões cujo divisor tem dois ou mais algarismos, os livros didáticos, inclusive, apresentam
sugestões tais como:
na divisão de 19876 por 543 substituímos essa divisão por outra, considerando apenas os números 19 e 5
(Coll e Teberosky, 2000, p. 96).
Mais uma vez, observa-se aí uma partição no algoritmo, que, possivelmente, fraciona também a lógica de
raciocínio do aluno que se torna incapaz de estimar um quociente aproximado do real. Se ele cometer um erro
qualquer durante a aplicação da técnica que lhe foi ensinada, pode chegar a um quociente absurdo que ele
geralmente não questiona.
Em cursos de formação continuada para professores pode-se constatar que muitos dos que ministram aulas nas
séries iniciais e mesmo alguns professores licenciados em Matemática, quando se discute o algoritmo da divisão,
não sabem explicar porque na divisão de 245 por 8, por exemplo, ao verificar que não é possível dividir 2 por 8,
divide-se 24 por 8. Esses professores não percebem ou não compreendem, a “transformação” das duas centenas
em 20 dezenas e a soma destas com as 4 dezenas do dividendo. Provavelmente, também nunca notaram que se
estão dividindo dezenas, o primeiro algarismo do quociente representará dezenas e não centenas ou unidades.
Talvez, por isso, seja comum numa divisão semelhante a do número 245 por 12, o quociente encontrado ser 2,4 e
não 20,4.
Desta forma, observa-se que uma das finalidades atuais do ensino do cálculo que consistiria em fazer com que os
alunos desenvolvessem e sistematizassem procedimentos de estimativa e estratégias de verificação de resultados,
que contribuiriam para o refinamento das suas habilidades de cálculo, não estão sendo adequadamente
desenvolvidos, visto que os próprios professores não têm uma compreensão profunda do sistema de numeração e
das operações numéricas. Normalmente, o cálculo do quociente é feito da seguinte maneira:
245 12
-24
2,4
050
- 48
2
Quando as 5 unidades não foram suficientes para serem divididas por 12 não foi feito o registro no quociente de
zero unidades. O resto passou a representar 50 décimos com o acréscimo do zero e, o quociente que apresentava
2 dezenas, ficou sem o algarismo das unidades e com os 4 décimos resultantes da divisão de 50 décimos por 12.
Esse é um exemplo das, tão comentadas, divisões que apresentam o quociente com um “zero intercalado” que
têm merecido destaque especial no ensino da técnica de dividir. Acreditamos que seria mais simples fazer o
aluno observar que se fosse dividir 245 balas entre 12 crianças cada uma delas receberia muito mais que 2 balas
e, a partir daí, levá-lo a corrigir seu erro com compreensão.
Outro aspecto interessante na análise da compreensão do algoritmo da divisão por parte dos professores diz
respeito ao valor do resto. Numa divisão do tipo 35 por 8, por exemplo,
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35
- 32
8
4,3
030
- 24
6
é comum responderem, se questionados, que o quociente é 4,3 e o resto 6. O quociente está certo, mas o valor do
resto é 0,6, uma vez que se estava dividindo décimos e não mais unidades.
Pode-se dizer, então, diante das considerações feitas, que, geralmente, o algoritmo da divisão não é ensinado
com compreensão, mas como uma técnica que funciona se as regras forem seguidas. Se os alunos fracassarem na
sua utilização serão incapazes de utilizar procedimentos mais primitivos porque se produziu um “curto-circuito”
entre suas próprias representações e procedimentos e o algoritmo padronizado.(Parra & Saiz, 2001, p. 182).
É importante também observar como são apresentadas as diferentes situações-problema resolvidas através de
uma divisão, que poderíamos chamar de trabalho com as “idéias” da divisão. O desejável é que o aluno seja
apresentado a diversas situações-problema que envolvam o conceito de divisão como partição, cotição e
combinação.
Tradicionalmente os alunos identificam mais os problemas de partição (por exemplo, Vítor tinha 18 bolinhas de
gude para dividir entre seus 3 filhos. Quantas bolinhas cada filho receberá?) como problemas de divisão, do que
os problemas de cotição (Vera queria comprar um microondas que custava R$ 400,00, mas só poderia arcar com
prestações mensais de até R$ 80,00. Qual o número de meses que ela vai ficar pagando este eletrodoméstico?) e
combinação (na cantina da escola é possível montar 12 tipos diferentes de sorvete com os sabores e as coberturas
disponíveis. Sabendo que as coberturas são de crocante e chocolate, determine quantos são os sabores.)
Parra & Saiz (2001) realizaram um estudo com 300 alunos de 5a. e 6a. séries do ensino fundamental, em que
apresentavam aos alunos, sem quaisquer comentários, alguns problemas envolvendo divisões e eles deveriam
descobrir a operação adequada para resolvê-los e encontrar a solução. A partir da análise das respostas dos
alunos, os pesquisadores procuraram apresentar aos professores destes, elementos que os auxiliassem a
diagnosticar as dificuldades que seus alunos encontravam e os conseqüentes procedimentos inadequados,
porém, presentes na prática pedagógica deles.
O problema que a maioria dos alunos reconheceu como um problema de divisão e acertou a resposta, envolvia a
idéia de cotição: 293 pães deveriam ser colocados em tabuleiros, sendo que em cada tabuleiro seriam colocados
24 pães. 58,18% dos alunos reconheceram como sendo de dividir, e 32% dos alunos não resolveram, um
problema que abordava a idéia de medida: tratava-se de descobrir a medida de cada pedaço de um fio de 8,7 m
de comprimento que havia sido cortado em 6 pedaços de mesmo comprimento.
Talvez neste caso, a falta de reconhecimento deste problema como sendo de divisão esteja associada a ausência
ou pouco trabalho com problemas que envolvam medidas e números decimais. É bom lembrar que as situações
– problema têm um papel importante no fornecimento de um contexto que contribua para as crianças interagirem
com os diferentes significados das operações. (Brasil, 2000)
Partindo destas reflexões, acredita-se que os professores deveriam enfatizar em suas aulas a construção de um
repertório básico para o desenvolvimento das habilidades de cálculo dos alunos, que consistiria em identificar as
estratégias utilizadas pelos mesmos, incentivar que eles explicitem oralmente para os outros colegas sua
compreensão, realizem comparações e análises de seus procedimentos, o que favoreceria o enriquecimento das
estratégias de cálculos de todos.
De acordo com as orientações de Brasil (2000) a organização deste repertório básico se daria por meio de
escritas numéricas e se apoiaria na contagem, no uso de materiais didáticos e da reta numérica.
As autoras consideram indispensável que os cursos de formação inicial e continuada de professores
auxiliem os professores a ampliarem sua compreensão do sistema de numeração e dos algoritmos das operações,
de maneira que seja possível para estes ensinarem seus alunos de maneira significativa e efetiva. Desta forma,
estaríamos respondendo ao insulto de Shaw, como postulado por Shulman (citado em Nóvoa, 1996), quem sabe
faz; quem compreende, ensina. (p.27)
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