Stable optical resonator made of a pair of flat mirrors and a positive

Stable optical resonator made of a pair of flat mirrors and a
positive lens: numerical analysis
1
2
2
Márcio de Lima Oliveira , Nicolau A. S. Rodrigues , Marco Antonio Sala Minucci
1
Instituto Tecnológico de Aeronáutica /CTA – São José dos Campos -SP
2
Instituto de Estudos Avançados /CTA - São José dos Campos – SP
Abstract
This paper presents the numerical analysis of an optical resonator which has in one side a flat coupling mirror and, in the other side, a convergent lens and a flat reflector emulating a concave total reflector mirror. Between the lens
and the total reflector flat mirror there is a chopper to promote q-switching operation. This resonator was conceived to be installed in a CW CO2 laser. Two analysis were performed: stability and mode formation. The stability was
done by using ray tracing (ABCD matrix) and evaluating the configurations the stability criteria is observed. The mode formation analysis was done by using the Fox and Li formalism. It was concluded that it is possible to find a
range of parameters (mirrors and lens distances and focal lengths) that allows stable operation and a convergence to the fundamental mode in just few round-trips inside the resonator. These characteristics are quite desirable for
pulsed operation in the TEM00 mode.
INTRODUÇÃO
FORMAÇÃO DOS MODOS
O Q-switching em lasers de CO2 já é conhecido desde a década de 70 e
diferentes configurações foram usadas para obter este regime de operação
[1]. Uma maneira simples de obter Q-switching em lasers de CO2 é por meio
de um obturador intracavidade [2]. O incoveniente para esta configuração é
que o tempo de chaveamento deve ser da ordem de centenas
nanosegundos para uma real operação em Q-switching. Então, ou a
velocidade do obturador deve ser extremamente alta, ou o raio laser focado
no interior da cavidade é chaveado pelo obturador no foco. Nesta última
solução, duas lentes positivas, fazendo um telescópio, são colocados no
interior da cavidade e o obturador é colocado no foco do telescópio. O
incoveniente deste arranjo é o aumento da perda na cavidade devido as
duas lentes. É proposto neste trabalho uma pequena mudança, mostrada
na Fig.1, que reduz a perda na cavidade e simplifica o arranjo. Somente
uma lente é introduzida no interior da cavidade e um espelho plano 100%.
Variando a distância entre a lente e o espelho 100%, é possível ter um
comportamento de espelho côncavo e a cavidade pode ser estável ou
instável.
Para avaliar a formação de modos do meio de uma cavidade é usado o
formalismo Fox e Li para uma dimensão.
Na seqüência equivalente mostrada na Fig.2 é considerado uma onda plana
entrando no espelho de acoplamento com uma amplitude do campo elétrico
dado por u(x)=1. Na abertura u(x) é zerado para x e não muda no interior da
abertura. A propagação através de uma distância d é calculada pela equação
de Fresnel-Kirchhof em uma dimensão,
Este trabalho descreve a representação de um estudo teórico para a
avaliação da estabilidade e formação de modos para a cavidade proposta. A
estabilidade da cavidade foi estudada usando a matriz ABCD [3] e a
formação dos modos usando o formalismo Fox e Li [4].
O efeito de um percurso sobre a distribuição de amplitude no campo é
avaliado calculando em seqüência , a propagação na distância d1, o efeito da
lente, a propagação na distância 2d2, o efeito da lente novamente e, por
último, a propagação na distância d1. Este procedimento é repetido, até que
ambas, distribuição de amplitude u(x) e fase de partida seja reproduzida para
um e mais percursos. Esta distribuição de amplitude descreve o modo
fundamental de uma cavidade.
u x=u  x 0 ∗h x 0 
onde

e
i kd −
h x 0 =

4
 d

.e
ik x0
2d
2
O efeito da lente introduz um raio de curvatura na frente de onda dado por
−i.k. x 0
u x=u  x 0 . e
2.f
2
Para um laser pulsado, o número de percursos que a onda leva para
convergir no modo fundamental deve ser menor que o tempo de vida do
pulso.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Figura 1: Obturador intracavidade proposto neste trabalho.
Figura 2: Seqüência equivalente de lente e aberturas para a cavidade.
A análise apresentada neste trabalho foi aplicada para um laser de CO2
contínuo ( λ = 10,6 μm) montado para operar em Q-switching, usando a
configuração diagramada na Fig.1. O diâmetro do tubo é de 10,5mm (diâmetro
de abertura), a distância d1 entre o espelho de acoplamento e a lente de
1495mm, a distância focal da lente de 127 mm e a distância entre a lente e o
espelho 100% variada.
Primeiro foi verificado que a cavidade é estável na faixa de 130,0 mm a 135,7
mm para d2. A Fig.3 mostra a distribuição de amplitude do campo na
superfície do espelho 100%, para d2=133 mm que foi a melhor distância
observada.
ESTABILIDADE DA CAVIDADE
A seqüência equivalente da Fig.2 é dado por

A
C
  
1 d1
B
=
D
0 1
1
−1
f
0

 
1 d2 1 d2
1 0 1 0 1
1
−1
f
0

1 d1
1 0 1

(1)
Para ter uma cavidade estável, um raio de luz deve ter um caminho fechado
no interior desta cavidade,ou, em outras palavras,
   
N
A B
1 0
=
C D
0 1
Esta condição é satisfeita se
1
−1  A D1
2
(2)
(3)
Aplicando (3) na relação (1), com um esforço algébrico temos que
2
F =2.
 f −2 d 1 f −2 d 2 f 2 d 2 d 1 
f2
−1F 1 é a condição de estabilidade para a cavidade apresentada.
Figura 3: Distribuição da amplitude do campo no espelho 100%.
BIBLIOGRAFIA
[1] - W.W. Duley, CO2 laser, effects and applications, New York: Academic Press, 1976.
[2] – N. Hamada, T. Sakai, High-power Q-switching CO2 laser based on a fast axial gas flow
system, Proc. SPIE Vol. 1810, p.53-56, 9th International Symposium on Gas Flow and Chemical
Lasers, Costas Fotakis; C. Kalpouzos; Theodore G. Papazoglou; Eds., 1993.
[3] - A. C. Walker, Laser Resonator and Gaussian Beams, in: The Physics and Technology of
Laser Resonator, Ed. D.R. Hall, P.E. Jackson, Bristol:Institute of Physics Publ., 1992.
[4] – A. Siegman, Lasers, Mill Valley: University Science Books, 1986.
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