Gravitação e relatividade geral

Universidade Federal do Espírito Santo
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Física
Introduç
Introdução ao Estudo dos
Fenômenos Fí
Físicos
Aula 10
Gravitação e relatividade geral
A lei da gravitação universal.
Os antecessores de Newton.
A queda livre e o movimento da Lua.
A teoria da relatividade geral.
Referenciais acelerados na mecânica
newtoniana.
Princípio de Mach.
Princípio da equivalência.
Noções sobre a TRG.
Verificação experimental.
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Gravitação universal - os antecessores de Newton
“Se vi mais longe, foi porque me apoiei sobre os
ombros de gigantes.” (Newton)
Ptolomeu de Alexandria (século II A.D.):
modelo geocêntrico, aceito até o
começo da idade moderna.
Copérnico (1473-1543): modelo
heliocêntrico.
Tycho Brahe (1546-1601): observações
experimentais detalhadas.
Johannes Kepler (1571-1630): leis do
movimento dos planetas.
Galileu Galilei (1564-1642): uso do
telescópio, novas observações.
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Gravitação universal – leis de Kepler
1a Lei de Kepler: As órbitas
planetárias são elipses, com o Sol
ocupando um dos focos.
2a Lei de Kepler: O raio vetor que
Johannes Kepler
(1571-1630)
liga um planeta ao Sol descreve
áreas iguais em tempos iguais.
3a Lei de Kepler: Os quadrados dos
períodos de revolução de dois
planetas quasiquer estão entre si
como os cubos de suas distâncias
médias ao Sol.
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A contribuição de Newton
• “…e no mesmo ano [1666] comecei a pensar na gravidade como se estendendo até
a órbita da Lua, e… da lei de Kepler sobre os períodos dos planetas… deduzi que as
forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem variar inversamente com os
quadrados de suas distâncias aos centros em torno dos quais as descrevem: tendo
então comparado a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da
gravidade na superfície na Terra, e encontrado que concordavam bastante bem.”
M. Nussenzveig, Curso de Fìsica Básica, Vol. 1, Mecânica, 1996.
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O sistema Terra-Lua
Aula 01: Algumas questões pertinentes à física e aos físicos:
Se é verdade que a Terra atrai a Lua da mesma forma como atrai os
demais corpos na superfície terrestre, por que então a Lua não cai sobre
a Terra?
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A lei da gravitação universal
Newton (1687):
A força de atração gravitacional entre dois corpos puntiformes é
diretamente proporcional ao produto das massas dos corpos e
inversamente proporcional ao quadrado da distância que os
separa.
m
F
r
M
Mm
F = −G 2 rˆ
r
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A falácia do “equilíbrio” da Lua
http://www.deducoeslogicas.com/forcas/forca_gravidade.html
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O sistema Terra-Lua
RTL ≅ 60 RT
Wikipedia, “Moon”.
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O sistema Terra-Lua
Força centrípeta:
RTL
2
2
Fcp = − mω RTL rˆ = −4π m 2 rˆ
TL
Fcp
L m
Terceira lei de Kepler:
3
RTL
TL 2
m
2
= C ⇒ Fcp = −4π C
rˆ
2
RTL
RTL
T
M
Da terceira lei de Newton, por simetria:
Mm
Fcp = −G
rˆ
2
RTL
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O sistema Terra-Lua
Qual a velocidade e a aceleração da Lua em seu
movimento orbital?
Movimento circular uniforme.
Aceleração centrípeta.
Fcp
RTL
RTL = 3,84 ×108 m
L
T
TL = 27,3 dias
2πRTL
2π× 3,84 ×108 m
v = ωRTL =
=
= 1, 02 ×103 m / s
TL
27,3 × 24 × 60 × 60s
4π2 RTL
acp = ω RTL =
= 2, 72 ×10−3 m / s 2
2
TL
2
acp
g
≅
1
3, 6 ×103
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O sistema Terra-Lua
Alternativa geométrica (usada por Newton):
∆s 2πRTL 2, 41×109 m
=
=
∆t
TL
27,3 dias
P
∆t = 1min ⇒ ∆s = 6,12 ×10 m
∆s
4
Fcp
∆s ≅ PV VW = 2 RTL
V
Q
VQ = distância que Lua cairia na direção radial
RTL
se sua velocidade tangencial fosse igual a
zero, sob ação da força de atração da Terra,
durante intervalo de tempo ∆t.
∆ PVQ ∼ ∆ PVW ⇒
W
VQ PV
=
PV VW
(∆s ) 2
VQ ≅
= 4,88m
2 RTL
VQ ≅
acp (∆t )
2
2
⇒ acp ≅
acp
2 × 4,88m
= 2, 71×10−3 m / s 2
2
(60 s )
g
≅
1
3, 6 × 103
“Uma exposição didática de como Newton apresentou a força gravitacional”, O. Freire Jr. et al.. Física na Escola, 5(1), 25-31, 2004.
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O sistema Terra-Lua
Aceleração centrípeta da Lua:
Fcp
GM
acp =
=
m RTL 2
Fcp
RT
Aceleração de um objeto em queda
RTL
livre na Terra:
L m
T
M
GM
g= 2
RT
Relação entre a aceleração da Lua e do
objeto:
2
 RT 
1
1
=
≅
=

g  RTL 
(60) 2 3, 6 × 103
acp
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Mm
F = −G
rˆ
2
RTL
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Os referenciais acelerados na Mecânica Newtoniana
O “balde de Newton”:
As
forças
aparecem
inerciais
no
que
referencial
rotativo explicam a forma
parabólica de superfície da
água quando o balde está
girando.
Oswaldo Pessoa Jr., Experimento do balde e espaço absoluto.
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Os referenciais acelerados na Mecânica Newtoniana
O “balde de Newton”:
Newton e o espaço absoluto:
O espaço absoluto, em sua
própria
natureza,
sem
relação com qualquer coisa
externa, permanece sempre
similar e imóvel.
Oswaldo Pessoa Jr., Experimento do balde e espaço absoluto.
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Os referenciais acelerados na Mecânica Newtoniana
Críticos do “espaço absoluto”:
Leibiniz (1646-1716), G. Berkeley (1685-1753).
Ernst Mach (1838-1916):
Só existem movimentos relativos.
A lei da inércia não diz respeito à ausência de aceleração com
relação ao “espaço absoluto”, mas sim com relação ao centro de
Ernst Mach
(1838-1916)
massa (CM) de todas as massas do universo.
CM identificado com as “estrelas fixas”.
A inércia mede uma resistência à aceleração com relação às
massas de todos os corpos do universo, sendo portanto afetada
por essas massas.
“Tente fixar o balde de Newton e girar o céu das estrelas fixas e
então prove a ausência de forças centrífugas.”
M. Nussenzveig, Curso de Fìsica Básica, Vol. 1, Mecânica, 1996.
Oswaldo Pessoa Jr., Experimento do balde e espaço absoluto.
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Questionamentos sobre a mecânica Newtoniana
Validade das leis de Newton apenas em referenciais inerciais?
O que são referenciais inerciais?
Existe “espaço absoluto”?
Existe “tempo absoluto”?
Ação à distância?
Coincidência entre massa inercial e massa gravitacional?
A. Einstein & L. Infeld, A evolução da Física.
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O Princípio da Equivalência
mg1mg 2
F1 = −G
rˆ21
2
r21
F1 = mi1a1
Massa gravitacional (mg):
Massa inercial (mi):
Para a queda livre de um corpo na superfície da Terra:
GM T  mg 
a=−
 zˆ
2 
RT  mi 
a = g ⇒ mi = mg
Resultado experimental:
Verificado por Newton com pêndulos simples…
…e por muitos outros depois dele.
mi = mg , com precisão > 10-12
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O Princípio da Equivalência
Einstein, 1907: igualdade das massas inercial e gravitacional.
“O pensamento mais feliz da minha vida.” (Einstein)
Num pequeno laboratório em queda livre num campo
Albert Einstein
(1879-1955)
gravitacional uniforme, as leis físicas são as mesmas que
num referencial inercial na ausência de campo gravitacional.
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A Teoria da Relatividade Geral
Einstein, 1916:
“Poderíamos construir uma Física real válida para todos os sistemas de coordenadas,
uma Física na qual não houvesse lugar para o movimento absoluto, mas apenas para o
movimento relativo? Isso é de fato possível!” [Einstein & Infeld]
As equações gravitacionais da TRG podem ser aplicadas a qualquer referencial, seja
ele acelerado ou não.
O espaço-tempo (quadridimensional) é curvo.
A geometria do espaço-tempo depende da distribuição de matéria.
A interação gravitacional passa a ser vista como uma manifestação da curvatura do
espaço-tempo…
…e não como uma ação à distância.
Os corpos livres sob ação da interação gravitacional seguem as trajetórias chamadas
de geodésicas.
“A matéria determina como o espaço deve se curvar; o espaço determina como a
matéria deve se mover.” [John Wheeler (1911-2008)]
A. Einstein & L. Infeld, A evolução da Física.
J. Wudka, The General Theory of Relativity.
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A Teoria da Relatividade Geral
Algumas imagens…
Modelos tridimensionais para uma realidade quadridimensional.
Analogia: modelos bidimensionais para descrever o mundo tridimensional.
Tapetes de borracha com massas pesadas causando deformação mecânica.
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A Teoria da Relatividade Geral
Algumas imagens…
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A Teoria da Relatividade Geral
A precessão do periélio de Mercúrio:
Diferença de (43,1 ± 0,1) segundos de arco por século em relação às previsões da
Mecânica Clássica de Newton.
Previsão da TRG: 43,0 segundos de arco.
Um dos primeiros triunfos da TRG.
A. Einstein & L. Infeld, A evolução da Física.
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A Teoria da Relatividade Geral
Feixe de luz disparado em um referencial inercial:
Trajetória retilínea vista do referencial inercial.
Trajetória curva vista de um elevador subindo acelerado.
Consequência do Princípio
de Equivalência: Os raios
de luz devem seguir uma
trajetória curva sob ação do
campo gravitacional.
J. Wudka, The General Theory of Relativity.
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A trajetória curva dos raios de luz
Observação de estrelas “atrás” do Sol durante um eclipse:
Trajetória curvilínea próxima ao Sol.
Mudança na posição aparente das estrelas (em comparação com observações feitas
em outras direções, afastadas do Sol).
J. Wudka, The General Theory of Relativity.
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A trajetória curva dos raios de luz
Observação experimental – Arthur Eddington (1882-1944):
Eclipse total de 1919.
Uma parte das observações foi feita em Sobral (CE).
Primeira comprovação de uma previsão nova da Teoria da Relatividade Geral de Einstein.
Reação de Einstein: “Eu sabia que a teoria estava certa.”
E se a sua previsão tivesse sido refutada? “Eu lamentaria muito por Deus nesse caso.”
Einstein torna-se uma “celebridade” mundial.
Museu do Eclipse, Sobral (CE)
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A trajetória curva dos raios de luz
Lentes gravitacionais:
J. Wudka, The General Theory of Relativity.
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Leitura obrigatória:
“Uma exposição didática de como Newton apresentou a força gravitacional”, O. Freire
Jr., M. Matos Filho, A. L. do Valle. Física na Escola, 5(1), 25-31, 2004.
“A origem da inércia”, D. Gardelli. Caderno Catarinense de Ensino de Física, 16, 4353, 1999.
A evolução da física, Albert Einstein e Leopold Infeld, Zahar Editores, 1980. Páginas:
32-39; 171-196 (da 4ª edição).
Bibliografia sugerida:
A evolução da física, Albert Einstein e Leopold Infeld, Zahar Editores, 4ª Ed., 1980.
Curso de Física Básica. Vol. 1 - Mecânica, Moisés Nussenzveig, Edgar Blücher,
1996.
Os Grandes Experimentos Científicos, Michel Rival, Editora Zahar, 1997.
The Ideas of Physics, Ernest H. Hutten, Oliver & Boyd, 1967.
Introducing Einstein’s relativity, Ray d’Inverno, Oxford University Press, 2005.
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Prof. Jair C. C. Freitas
Na internet:
http://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity.
http://en.wikipedia.org/wiki/Moon.
http://phyun5.ucr.edu/~wudka/Physics7/Notes_www/web_notes.html.
http://www.fflch.usp.br/df/opessoa/FiFi-08.htm.
http://video.if.usp.br/coloquio/400-anos-de-gravita-o-tycho-brahe-johannes-kepler-e-cincia-moderna. (Colóquio do IFUSP: 400 anos de gravitação: Tycho Brahe, Johannes
Kepler e a Ciência Moderna. Proferido por Élcio Abdala.)
http://video.if.usp.br/coloquio/de-erat-stenes-foucault-os-fil-sofos-naturais-e-ci-ncias-daterra. (Colóquio do IFUSP: De Eratóstenes a Foucault: os filósofos naturais e as Ciências
da Terra. Proferido por Élcio Abdala.)
http://video.if.usp.br/o-universo-visto-atrav-s-de-lentes-gravitacionais. (Colóquio do
IFUSP: O universo visto através de lentes gravitacionais. Proferido por Martin Makler.)
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