Exemplo: Princípio Fundamental da Contagem

Exemplo: Princípio Fundamental da Contagem
Cotinina em Fumantes (Triola, Ed. 9, 1999): Níveis de cotinina medidos
em uma amostra de pessoas de cada um dos três grupos: fumantes
(representados por F), não-fumantes expostos à fumaça de cigarros
(representados por E) e não-fumantes não expostos à fumaça de cigarros
(representados por N). Quando a nicotina é absorvida pelo organismo, é
produzida cotinina. Se calcularmos o nível médio de cotinina para cada um
dos três grupos e ordenarmos essas médias do menor para o maior valor,
obteremos a seqüência NEF. Um lobista antitabagista afirma que isto é
evidência de que o tabaco é prejudicial à saúde, porque a cotinina aumenta
na medida em que aumentam a exposição ao tabaco ou seu uso. De
quantas maneiras os grupos representados por N, E e F podem ser
arranjados? Se um desses arranjos é aleatoriamente selecionado, qual é a
probabilidade de se obter NEF ? É essa probabilidade baixa o suficiente
para concluirmos que a seqüência NEF indica que a repensa de cotinina
aumenta à medida que aumentam a exposição ao fumo ou seu uso ?
Ao arranjarmos as seqüências dos grupos N, E e F, há três possíveis
escolhas para o primeiro grupo, duas restantes para o segundo grupo e
somente uma escolha para o terceiro grupo. O número total de arranjos
possíveis é, então
3.2.1 = 6
Há seis maneiras diferentes de organizar os grupos N, E e F: NEF, NFE,
EFN, ENF, FNE e FEN.
Se selecionarmos aleatoriamente uma das seis possíveis seqüências, há
uma probabilidade de 1/6 de que a seqüência NEF seja obtida. Como essa
probabilidade de 1/6 é relativamente alta, sabemos que a seqüência NEF
poderia facilmente ser obtida por pura chance. A probabilidade não é baixa
o suficiente para concluirmos que a seqüência NEF indica que a presença
de cotinina aumenta à medida que aumentam a exposição ao tabaco ou seu
uso. Seria necessário obter uma probabilidade tão pequena quanto 0,01.
Exemplos de combinação
1) Em uma sala de um curso de graduação há 30 alunos. Em uma eleição
pretende-se definir um comitê de 5 alunos que vai supervisionar a ação dos
dirigentes da universidade. Nesta eleição são eleitos, também, um
representante da sala, um vice-representante e três secretários.
a) Quantas são as maneiras se escolher um comitê de 5 alunos dessa sala ?
b) Quantas são as possíveis chapas de candidatos possíveis ?
a) A ordem não importa, queremos o número de combinações de r = 5
elementos selecionados entre os n = 30 elementos disponíveis.
Cn,r =
n! = 30! = 142.506
(n − r)!r! (30 − 5)!5!
b) A ordem importa! Ou seja, queremos permutações (ou seqüências) de r
= 5 elementos selecionados entre os n = 30 elementos disponíveis.
Pn,r =
n! = 30! = 17.100.720
(n − r)! (30 − 5)!
2) Na loteria americana chamada Powerball, o apostador tem que
selecionar 5 números entre 1 e 49 e também um número especial, o
powerball, entre 1 e 42 (Cinco bolas são escolhidas entre 49 bolas brancas
numeradas e uma bola é escolhida em uma urna contendo 42 bolas
vermelhas). Para ganhar o prêmio principal, você deve acertar os cinco
números e a powerball.
a) Probabilidade de acertar as cinco bolas brancas:
Cn,r =
n! =
49! = 1.906.884
(n − r)!r! (49 − 5)!5!
Ou seja, 1/ 1.906.884
b) Probabilidade de acertar uma bola vermelha: 1/42
c) Probabilidade de acertar a combinação: 5 brancas + 1 vermelha
1
1
.1 =
1.906.884 42 80.089.128
3) Calcule a probabilidade de uma pessoa acertar a mega-sena fazendo um jogo
simples com 6 números.
Os 6 números são selecionados entre 60 diferentes possibilidades e não precisam sair
na mesma ordem do sorteio. Assim:
Cn,r =
n!
60!
=
= 50.063.860
(n − r)!r! (60 − 6)!6!
Ou seja, a probabilidade de ganhar é de uma em 50.063.860