Lista de Exercícios – 03

Lista de Exercícios – 03
Aplicações das relações e funções no cotidiano
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes,
são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais
interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos
gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas
informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao
interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na
origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo
OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano
ortogonal.
Domínio e Contradomínio de uma Relação
As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma
relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se
definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:
O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado
por CoDom(R).
Relações que não são funções
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }
não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3.
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }
não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a
elementos do segundo conjunto B.
Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Exemplos
 f:R  R definida por f(x)=x²
Dom(f) = R, CoDom(f) = R e Im(f)=[0,∞)
 f: [0,2] R definida por f(x)=x²
Dom(f) = [0,2], CoDom(f) = R e Im(f)= [0,4]
 f: R+ R+ definida por f(x)= x1/2
 f: R+  R definida por f(x)=1/(x - 2)
Funções injetoras
Uma função f:AB é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas
em B, isto é:
x1 ≠ x2 implica que f(x1) ≠ f(x2)
ou de forma equivalente
f(x1 )=f(x2) implica que x1=x2
Exemplos:
1. A função f:RR definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes
para x, obtemos dois valores diferentes para f(x).
2. A função f:RR definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1
temos f(-1)=6.
Funções sobrejetoras
Uma função f:AB é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto
equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função,
ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x).
Exemplos:
1. A função f:RR definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um
elemento de R pela função.
2. A função f:R (0,∞) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertencente a (0, ∞) é
imagem de pelo menos um elemento de R pela função.
3. A função f:RR definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do
contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.
Funções bijetoras
Uma função f:AB é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo: A função f:RR dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora.
Funções crescentes e decrescentes
Funções Compostas
Dadas as funções f:AB e g:BC, a composta de f com g, denotada por g○f, é a função definida por
(g○f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).
Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof são
possíveis e neste caso serão definidas por:
(f○g)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14
(g○f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10
Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos:
(g○f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10
Observação:Em geral, f○g é diferente de g○f.
Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. Então:
(f○g)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-16x+17
(g○f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2
Funções Inversas
Exemplo
Obtenção da inversa: Seja f:RR, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y
e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3.
Assim fog=gof=Identidade. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.
Exemplo:
Exercícios
1) Um garoto brinca de arrumar palitos fazendo uma sequência de quadrados como na figura.
a) Quanto palitos ele deve usar para construir 7 quadrados.
b) Quanto palitos ele deve usar para construir k quadrados (ou seja, construir uma função que relaciona
o número de palitos com o número que quadrados).
c) Determina o domínio e a imagem da função apresentada no intem anterior.
2) (Vunesp-SP) Uma função de variável real satisfaz a condição f(x+2)=2f(x)+f(1), qualquer que seja a
variável x. Sabendo que f(3) = 6, determine o valor de:
a) f(1)
b) f(5)
c) f(9)
3) Seja f: R → R uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A (1, 2)
e B (2, 3), a função f -1 (inversa de f ) é:
4) Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para seus assinantes:
Plano A - Assinatura mensal de R$8,00 mais R$0,30 por cada Gigabite de download.
Plano B - Assinatura mensal de R$10,00 mais R$0,20 por cada Gigabite de download.
a) Dê a expressão de y(x), onde y é a conta de Internet e x é a quantidade de Gigabite de download.
b) Acima de quantos Gigabite de download por mês é mais econômico optar pelo plano B?
c) Faça, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das contas de Internet dos dois planos.
5) Sejam as funções f(x) = (x + 1)/(x - 1) definida para todo x real e x ≠ 1 e g(x) = 2x+3 definida para todo x
real. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
02. (
04. (
08. (
16. (
32. (
) O valor de g(f(2)) é igual a 4/3.
) O domínio da função fog (f composta com g) é D(fog) = IR - {-1}.
) A função inversa da g é definida por g-1(x)=(x-3)/2.
) A reta que representa a função g intercepta o eixo das abscissas em (-3/2, 0).
) A função f assume valores estritamente positivos para x < -1 ou x > 1.
6) Os 87 alunos do 3ª ano do ensino médio de certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B
e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um
terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e todos os
alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas.
Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos
alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de aprovados em
A e em B é igual ao de aprovados em A e em C.
Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados? Justifique.
7) Determine a função capaz de gerar o gráfico abaixo:
8) Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que
a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc
9) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem
-2/5 como imagem é:
10) O gráfico abaixo expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus
Celsius. Considere que a função é do tipo y = mx + n
a) Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius;
b) Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit.
11) Determine o domínio das seguintes funções
a)
= √3 −
b) ( ) =
c) ( ) =
12) Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente
se k for igual a:
a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1
13) Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
d) 5 - 2x
14) Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
a) 1/2
b) 2
c) 1
d) 4
e) -1/2
15) Sendo f(x) = -2x+6 e g(x) = 6x-2, determine f(g(x)) e g(f(x)).
16) Um marreteiro compra diariamente objetos por R$ 3,00 e os vende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com
transporte. Se x é a quantidade vendida e y o lucro diário do marreteiro, determine a lei de formação da
função:
17) Determine o domínio e a imagem da função representada no gráfico abaixo:
Respostas:
1) a) P=32
b) P=3k+1
c)D=Naturais
Im={x:x=3k+1,kN}
2) a) 2
b) 14
c) 62
3) f -1(x)=x-1
4) yA=8+0,3G
yB=10+0,2G
b)20
5) 60
6)15
; 0 ≤ ≤ 4
4; 4 < ≤ 6
7) ( ) =
−2 + 16; 6 < ≤ 8
8) a
9) 3/4
10)a) 1,8C+32
b) 21,333..
11)a) x ≤ 3
12) a
13) d
b)
≠ ±√2
c) x ≠ - 7
14) a
15) f(g(x)) = -12x + 10
g(f(x)) = -12x +34
16) y = 2x - 100
17) [-3;5]-{3}
Profº Leandro Colombi Resendo