POSSIBILIDADE DE DESCREVER A CONDUÇÃO DE CALOR

Transcrição

PGMEC
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
POSSIBILIDADE DE DESCREVER A
CONDUÇÃO DE CALOR
HIPERBÓLICA USANDO A EQUAÇÃO
CONSTITUTIVA DE FOURIER
RODRIGO ARAUJO CARDOSO DIAS
JULHO DE 2011
RODRIGO ARAUJO CARDOSO DIAS
POSSIBILIDADE DE DESCREVER A CONDUÇÃO
DE CALOR HIPERBÓLICA USANDO A
EQUAÇÃO CONSTITUTIVA DE FOURIER
Dissertação apresentada ao Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica da UFF
como parte dos requisitos para a obtenção do
título de Mestre em Ciências em Engenharia
Mecânica
Orientador(es): Heraldo Silva da Costa Mattos, Ph.D.
U NIVERSIDADE F EDERAL F LUMINENSE
N ITERÓI , J ULHO DE 2011
POSSIBILIDADE DE DESCREVER A CONDUÇÃO
DE CALOR HIPERBÓLICA USANDO A
EQUAÇÃO CONSTITUTIVA DE FOURIER
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
na área de concentração de Mecânica dos Sólidos, e aprovada em sua forma
final pela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:
Heraldo Silva da Costa Mattos, D.Sc (Orientador)
Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
Rogério M. Saldanha da Gama, D.Sc
Universidade Estadual do Rio de Janeiro – UERJ
Maria Laura Martins Costa, D.Sc
Roney Leon Thompson, D.Sc
Agradecimentos
Agradeço em primeiro lugar a Deus pelo cuidado e força que tem me dado em
todas as etapas da minha vida. Agradeço a minha família que também, sem sombra
de dúvidas, tem mérito nessa minha conquista. Agradeço a minha Lorena, por ser a
parte mais alegre da minha vida. Você me dá força pra continuar conquistando meus
objetivos.
Ao meu orientador, professor Heraldo Silva da Costa Mattos, meus sinceros agradecimentos. Pelas idéias, pelo tempo gasto comigo, pela motivação nesse projeto. Agradeço
a todos os professores do Laboratório de Mecânica Teórica Aplicada, vocês me ajudaram e continuam ajudando na minha formação.
A todos os amigos do LMTA que participaram direta ou indiretamente da minha
dissertação.
iv
Resumo
A equação linear de condução de calor clássica é parabólica em termos do campo
de temperatura. Embora essa equação parabólica leve a uma descrição adequada da
condução de calor na maioria das aplicações de engenharia, esta prevê uma velocidade
de onda de calor infinita, o que é fisicamente impossível. Vários modelos alternativos
têm sido propostos a fim de contabilizar uma velocidade finita de onda de calor. Geralmente os modelos tentam substituir a lei de Fourier clássica. Alguns deles violam
claramente a segunda lei da termodinâmica, já que preveem o fluxo de calor indo de
regiões de menor temperatura para regiões com maior temperatura durante um período
de tempo finito. Para alguns deles é extremamente difícil assegurar que a segunda lei da
termodinâmica é satisfeita em todos os processos. O objetivo desse estudo é discutir
se uma formulação termodinamicamente adequada pode levar a uma equação hiperbólica de condução de calor, mesmo se a lei de Fourier for levada em consideração.
Essa equação hiperbólica só é encontrada se uma abordagem diferente da abordagem
clássica da termodinâmica, ou seja, usando desigualdade de Clausius Duhem, for feita.
Caso contrário, a equação encontrada para o calor será elíptica em relação ao tempo.
v
Abstract
The classical linear equation for heat conduction is a parabolic equation in terms of
the temperature field. Although this parabolic equation leads to an adequate description of heat conduction in most engineering applications, it predicts an infinite wave
speed of heat conduction what is physically unrealistic. Various alternative models
have been proposed to lead to a finite thermal wave speed. Generally they try to replace the classical Fourier Law. Some of them clearly violate a notion of the second
law of thermodynamics since the heat may flow from regions of lower temperature to
regions of higher temperature during finite time periods. For some of them it is very
difficult to assure the resulting governing equations are thermodynamically admissible. The goal of the present study is to discuss if an adequate e formulation of the
thermomechanical couplings may lead to a thermodynamically admissible hyperbolic
heat equation even if the Fourier Law is taken into account. This hyperbolic equation
is only found if a different approach to the classical approach of thermodynamics, ie,
using the Clausius Duhem inequality, is made. Otherwise, the equation found for the
heat will be elliptical.
vi
Sumário
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1
Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Segunda Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3. Equação de Calor Hiperbólica usando a Equação de Cattaneo . . . . . . .
11
3.1
Hipóteses Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2
Desenvolvimento Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.4
Função de Dissipação e Energia Livre de Helmholtz . . . . . . . . . . .
16
4. Equação de Calor Hiperbólica Geral usando a Equação de Cattaneo Objetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.1
Derivadas Temporais Objetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.2
20
4.3
22
4.4
Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.5
26
5. Equação de Calor usando a Lei de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.1
28
5.2
30
vii
Sumário
viii
5.3
Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.4
32
6. Equação de Calor Geral usando a Lei de Fourier
. . . . . . . . . . . . . .
37
6.1
37
6.2
39
6.3
Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.4
42
7. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
A. Conceitos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
A.1 Objetividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
A.2 Funções Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
A.2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
A.2.2 Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Nomenclatura
τ
Tempo de Relaxação Térmico
c
Calor específico
ρ
Massa específica
θ
Temperatura
θ̇
Derivada Primeira da Temperatura
θ̈
Derivada Segunda da Temperatura
ψ̂
Energia Livre de Helmhotz
φ̂
Potencial de Dissipação
p
Pressão
U
Energia Interna
e
Energia Interna Específica
S
Entropia
s
Entropia Específica
K
Energia Cinética
Ph
Potência não Mecânica
P ext
Potência da Forças Externas
H1
Variação da Entropia devido a dissipação interna
H2
Fluxo de entropia pelo Contorno
H3
Fonte de Entropia
r
Geração de Calor
k
Condutividade Térmica
r
Fonte de calor por unidade de massa
Vetores e tensores
q
Vetor Fluxo de Calor
ix
Nomenclatura
T
Tensor Tensão
σ
Tensor ExtraTensão
D
Parte Simétrica do Gradiente de Velocidade
W
Parte Não Simétrica do Gradiente de Velocidade
x
Capítulo 1
Introdução
O objetivo do presente trabalho é discutir se uma adequada formulação termomecânica pode levar a uma equação do calor hiperbólica mesmo se usarmos a lei de
Fourier. O objetivo do trabalho não é afirmar que os outros modelos estão errados e
que os modelos propostos aqui são os únicos fisicamente realísticos que prevêm ondas
de calor de velocidade finita. O principal objetivo é mostrar abordagens alternativas
que não podem ser desprezadas em futuros estudos experimentais.
condução de calor na maioria das aplicações de engenharia, esta prevê uma velocidade de onda de calor infinita, o que é fisicamente inadequado. Situações envolvendo
intervalos de tempo muito pequenos, gradientes térmicos extremos ou temperaturas
próximas ao zero absoluto podem levar a uma velocidade de onda de calor finita. Consequentemente, qualquer pertubação externa ao corpo é instantâneamente sentida pelo
corpo todo. Velocidades de ondas térmicas finitas precisam ser consideradas no estudo
de dispositivos microeletrônicos tais como chips IC [1], no uso de fontes de calor tais
como lasers e microondas e na pesquisa científica (por exemplo, na medição das propriedades físicas de filmes finos, exibindo a dinâmica de transporte microscópico de
calor). Lasers e microondas são usados em inúmeras aplicações relacionadas ao processamento de materiais como por exemplo, no recozimento superficial, na soldagem
1
1. Introdução
2
e furação de metais e na sinterização de cerâmicas [2]. Em aplicações que envolvam
altas taxas de aquecimento induzidas por um pulso de laser, o tempo de resposta típico
é da ordem de picosegundos [3–6]. Lasers são também rotineiramente utilizados na
medicina.
Vários modelos alternativos têm sido propostos para obter uma velocidade finita
de onda térmica. Geralmente eles tentam substituir a equação clássica de Fourier da
condução de calor. Alguns deles violam claramente a noção da segunda lei da termodinâmica, pois o calor pode fluir de regiões de baixas temperaturas para regiões de
temperaturas altas durante períodos de tempo finito. Para alguns deles, é muito difícil assegurar que as equações resultantes são termodinamicamente aceitáveis. Alguns
modelos também não levam em consideração o princípio da objetividade.
Vernotte [7] e Cattaneo [8], baseados no conceitos de transmissão de calor por
ondas, introduziram independentemente uma equação alternativa com o objetivo de
descrever os problemas que envolvam altas taxas de mudança de temperatura, fluxo
de calor em um período de tempo muito curto ou de temperaturas muito baixas, ou
seja, temperaturas perto do zero absoluto. Após os trabalhos pioneiros de Vernotte
e Cattaneo, uma série de contribuições de pesquisa têm sido dedicadas ao estudo de
problemas envolvendo condução de calor hiperbólica [6, 9–19].
A equação mais aceita para a transferência de calor hiperbólica, escrita em termos
de temperatura absoluta θ é dada por:
ρc(θ̇ + τθ̈) = ∇ · (k∇θ)
(1.1)
Onde ρ é a massa específica, c é o calor específico por unidade de massa e τ um
parâmetro material não negativo. Classicamente, esta equação é obtida considerandose a seguinte equação constitutiva:
q + τq̇ = −k∇θ
(1.2)
Onde q é o vetor fluxo de calor, e k é a condutividade térmica. Sendo q̇ a derivada
1. Introdução
3
material de q.
Embora a equação (1.1) pareça fisicamente adequada, a equação (1.2) é fisicamente
inadequada, uma vez que não respeita o princípio da objetividade material. O uso da
equação (1.2) é restrito, já que a derivada material temporal de uma grandeza vetorial
(como o vetor fluxo de calor) não é necessariamente objetiva. Por isso, é necessário
substituir a derivada material temporal em (1.2) por algum tipo especial de derivada no
tempo, a fim de garantir a objetividade. Um grande número de definições de derivadas
temporais objetivas podem ser encontradas na literatura (Jaumann, Truesdell, CotterRivling, etc). Para uma discussão mais aprofundada ver, por exemplo, [20] e [21]. A
escolha de uma derivada particular é muito importante e pode ser interpretada como
uma hipótese constitutiva [22].
Não é o objetivo principal do presente trabalho discutir as correções possíveis a
serem feitas em (1.2) a fim de satisfazer o princípio da objetividade material (uma
discussão interessante pode ser encontrada, por exemplo em [14]). O presente estudo
demonstra que uma adequada formulação termomecânica pode levar a uma equação
de calor semelhante a (1.1) mesmo que a lei de Fourier seja considerada. O objetivo
do trabalho não é dizer que os outros modelos estão errados e que os modelos aqui
propostos são os únicos fisicamente realistas que prevêm ondas de calor com velocidade finita. O objetivo principal é mostrar uma abordagem alternativa que não pode
ser negligenciada em futuros estudos experimentais.
Capítulo 2
Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica
2.1
Primeira Lei da Termodinâmica
A estrutura básica termodinâmica e as principais definições necessárias para a
análise são resumidas nesta seção. A fim de apresentar os argumentos teóricos formais, considera-se como sistema uma parte arbitrária P de um corpo B , que ocupa
uma região P t ⊂ R em cada instante t do tempo. Por definição, o contorno da região
P t será chamada de ∂P t .
Notando U (P t ), K (P t ), P ext (P t ) e P h (P t ), respectivamente, a energia interna, a
energia cinética, o potência das forças externas e a potência não mecânica (calor) do
sistema P t no instante t , a primeira lei da termodinâmica (PLT), pode ser expressa da
seguinte maneira:
dU (P t ) dK (P t )
+
= P ext (P t ) + P h (P t )
dt
dt
(2.1)
Onde:
Z
U (P t ) =
(ρe) dV
Pt
4
(2.2)
2. Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica
1
2
K (P t ) =
5
Z
Pt
ρ(v · v) dV
Z
P ext (P t ) =
Z
∂P t
(f · v) dA +
Z
P h (P t ) = −
(2.3)
∂P t
Pt
(b · v) dV
(2.4)
(ρr ) dV
(2.5)
Z
(q · n) dA +
Pt
Onde ρ é a massa específica, e a energia interna por unidade de massa, v a velocidade,
f a força de contato aplicada ao contorno ∂P t , b a força de corpo aplicada em P t , q o
vetor fluxo de calor, n a normal exterior à superfície ∂P t e r uma fonte de calor por
unidade de massa e unidade de tempo. Se o princípio da potência virtual é levado em
conta, a seguinte relação vale:
dK (P,t )
= P i nt (P t ) + P ext (P t )
dt
(2.6)
Onde:
Z
P i nt (P t ) = −
Pt
(T : ∇v) dV
(2.7)
Sendo T o tensor tensão de Cauchy. A partir de (2.1) e (2.6) pode-se chegar à primeira
lei da termodinâmica na forma:
dU (P t )
= −P i nt (P t ) + P h (P t )
dt
(2.8)
Sob a hipótese de regularidade, usando a conservação de massa:
ρ̇ + ρ∇ · v = 0
(2.9)
Usando a simetria do tensor tensão de Cauchy, é possível obter a forma local clássica
6
da equação da primeira lei:
ρ ė = −∇ · q + T : D + ρr
(2.10)
Onde ė denota a derivada material de e . O tensor D representa a parte simétrica do gradiente de velocidade sendo usualmente chamado de tensor taxa de deformação. Outra
alternativa de expressar a primeira lei da termodinâmica é introduzindo o conceito de
balanço de entropia. Nesse caso, a entropia e a temperatura absoluta são introduzidas
como quantidades primitivas. Denotando S(P t ), H1 (P t ), H2 (P t ) e H3 (P t ), respectivamente como a entropia do sistema, a variação de entropia devido aos mecanismos de
dissipação interna, o fluxo de entropia pelos contornos e a fonte de entropia, é possível
escrever:
dS(P t )
= H1 (P t ) + H2 (P t ) + H3 (P t )
dt
(2.11)
Onde:
Z
S(P t ) =
(ρs) dV
(2.12)
d
dV
θ
(2.13)
Pt
Z
H1 (P t ) =
Pt
q·n
Z
H2 (P t ) = −
∂P t
Z
H3 (P t ) =
Pt
θ
dA
ρr
dV
θ
(2.14)
(2.15)
Onde s é a entropia por unidade de massa, θ a temperatura absoluta e d a taxa de
dissipação de energia por unidade de volume. Usando a equação da conservação da
massa e a simetria do tensor das tensões de Cauchy, é possível provar que d deve ter a
7
seguinte forma:
1
d = T : D − ρ (ė − ṡθ) − q · ∇θ
θ
2.2
(2.16)
Segunda Lei da Termodinâmica
Se a PLT através de um balanço de energia, indica a possibilidade da transformação
de calor em trabalho e vice-versa, a segunda lei da termodinâmica (SLT) distingue os
processos fisicamente possíveis dos processos fisicamente impossíveis.
Neste trabalho será adotada uma versão da SLT onde os conceitos de temperatura
absoluta θ e entropia s são introduzidos como quantidades primitivas. Ao contrário do
conceito de energia interna, definido na PLT, a entropia não é facilmente associada a
conceitos físicos.
Para um sistema qualquer, a SLT pode ser expressa como:
H1 (P t ) ≥ 0 ∀t =⇒ d ≥ 0 ∀ t
(2.17)
A segunda lei da termodinâmica estabelece uma distinção entre os processos possíveis
(d ≥ 0) e os impossíveis (d < 0). A desigualdade clássica de Clausius-Duhen, ou seja,
uma versão local da SLT, é obtida através da introdução da energia livre de Helmholtz
ψ por unidade de massa em (2.16):
ψ = e − θs
(2.18)
¡
¢ 1
d = T : D − ρ ψ̇ + s θ̇ − q · ∇θ ≥ 0 ∀t
θ
(2.19)
Os processos possíveis podem ser reversíveis (a taxa de dissipação de energia d é
sempre igual a zero) ou não. Esta versão local do SLT não exclui a possibilidade
de comportamentos incomuns, tais como uma diminuição da temperatura se o calor
for adicionado ao meio. Para excluir esse tipo de possibilidade, no presente trabalho
8
considera-se apenas materiais que sempre satisfazem a restrição:
¡
¢
d 1 = T : D − ρ ψ̇ + s θ̇ ≥ 0
(2.20)
1
d2 = − q · g ≥ 0
θ
(2.21)
g = ∇θ
(2.22)
Denotando:
Obviamente, se as relações acima forem satisfeitas, então a versão local da SLT apresentada na equação (2.16) também será satisfeita. Também é simples verificar que a
equação (2.21) leva à desigualdade clássica da condução de calor, já que a temperatura
absoluta θ é uma quantidade positiva.
q·g ≥ 0
(2.23)
Esta relação implica que o calor se propaga no sentido da diminuição da temperatura
quando q é paralelo ao gradiente de temperatura. A quantidade d1 , definida em (2.20),
é geralmente chamada de dissipação intrínsica e a quantidade d 2 , definida em (2.21),
de dissipação térmica.
Pode-se chegar a segunda lei da termodinâmica através das definições de S(P t ),
H2 (P t ) e H3 (P t ):
Z
S(P t ) =
Pt
ρs dV
H (P t ) = H2 (P t ) + H3 (P t )
(2.24)
(2.25)
Z
H (P t ) = −
Γt
9
(q · n)
dS +
θ
Z
Pt
ρr
dV
θ
d S(P t )
≥ H (P t )
dt
(2.26)
(2.27)
Usando o Teorema de Transporte de Reynolds, a SLT e o teorema de Green, é possível
escrever a forma local da SLT:
ρ ṡ ≥ −∇ ·
³q´
θ
+ρ
r
θ
(2.28)
E sabendo que:
∇·
³q´
θ
=
∇·q q·g
− 2
θ
θ
(2.29)
Temos que:
1
ρθ ṡ + ∇ · q − q · g − ρr ≥ 0
θ
(2.30)
Uma expressão alternativa, conhecida como a forma reduzida da SLT, é obtida combinandose a forma local da PLT com a forma local da SLT:
1
T : D − ρ [ė − θ ṡ] − q · g ≥ 0
θ
(2.31)
Como será visto, é interessante introduzir a Energia Livre de Helmholtz, definida da
seguinte maneira:
ψ = e − θs
(2.32)
Introduzindo a definição (2.32) na expressão (2.31), obtém-se a desigualdade de Clausius-
10
Duhem:
£
¤ 1
d = T : D − ρ ψ̇ + s θ̇ − q · g ≥ 0
θ
(2.33)
É importante notar que restrições a esta versão local da SLT foram feitas por Green e
Naghdi [1970]. Eles mostram que (2.33) não exclui a possibilidade de comportamentos
inadmissíveis como uma temperatura decrescente se calor for cedido ao meio. Para
excluir a possibilidade desse tipo de comportamento, neste trabalho serão considerados
materiais que sempre satisfazem a restrição:
£
¤
d 1 = T : D − ρ Ψ̇ + s θ̇ ≥ 0
(2.34)
1
d2 = − q · g ≥ 0
θ
(2.35)
Onde d2 será chamado de dissipação térmica e d1 de dissipação intrínseca. Obviamente, se (2.34) e (2.35) são satisfeitas então (2.33) é também satisfeita. É simples
de verificar que a segunda desigualdade em (2.33) implica na clássica desigualdade da
condução de calor −q · ∇θ ≥ 0 , já que a temperatura absoluta é uma grandeza sempre
positiva.
Capítulo 3
Equação de Calor Hiperbólica usando a Equação de
Cattaneo
Será desenvolvido uma construção teórica termodinâmica com o objetivo de deixar
claro os passos das hipóteses constitutivas do presente trabalho. A hipótese de pequenas transformações será usada nesse capítulo. Considera-se pequenas transformações
quando a configuração de referência pode ser confundida com a configuração atual.
Isso é feito para que a derivada material possa ser usada sem violar o princípio da objetividade. As escolhas constitutivas durante esse capítulo serão feitas de maneira que
a equação encontrada no final do processo deve ser a equação hiperbólica de Cattaneo
conhecida na literatura como sendo:
ρc(θ̇ + τθ̈) = ∇ · (k∇θ)
(3.1)
Manipulações algébricas serão feitas na forma local da PLT com o objetivo de ter
a dissipação intrínseca na equação da primeira lei:
ρ ė = −∇ · q + T : D + ρr
11
(3.2)
3. Equação de Calor Hiperbólica usando a Equação de Cattaneo
12
Reorganizando os termos:
∇ · q = (T : D − ρ ė) + ρr
(3.3)
Introduzindo a definição de dissipação intrínseca:
¡
¢
d 1 = T : D − ρ ψ̇ + s θ̇
(3.4)
d 1 = T : D − ρ (ė − ṡθ)
(3.5)
Ou o que é equivalente:
É possível substituir o termo (T · D − ρ ė) na equação da energia (3.3), obtendo-se a
seguinte forma alternativa da primeira lei:
∇ · q = d 1 − ρθ ṡ + ρr
3.1
(3.6)
Hipóteses Constitutivas
Uma metodologia será usada com o objetivo de encontrar a equação hiperbólica
do calor usando a equação de Cattaneo. Essa metodologia será feita em todo o trabalho e utilizada aqui para que algumas simplifações do uso da equação constitutiva
de Cattaneo sejam verificadas. As três hipóteses constitutivas são:
1. A equação de Cattaneo é válida para relacionar o fluxo de calor com a temperatura do corpo. O uso da derivada material na equação constitutiva do calor só
é válida se o problema estudado for simplificado para o caso de pequenas transformações.
q + τq̇ = −k∇θ
(3.7)
Embora a equação de Cattaneo viole o princípio da objetividade e por isso os
problemas aplicados a esse caso precise ser simplificado a problemas de peque-
13
nas transformações é necessário verificar se existe uma outra restrição para o seu
uso. Quando a segunda lei da termodinâmica é aplicada em termos da dissipação
térmica.
1
d 2 = − q · ∇θ ≥ 0
θ
·
d2 = q ·
q + τq̇
k
(3.8)
¸
≥0
(3.9)
Isso significa que os vetores q e (q + τq̇) precisam estar sempre no mesmo semi
espaço, ou seja, o ângulo entre eles precisa ser sempre menor do que noventa
graus.
2. A Energia Livre de Helmholtz é uma função diferenciável apenas da temperatura
absoluta.
ψ = ψ̂(θ)
(3.10)
d 1 = φ̂ = 0
(3.11)
3. A escolha da função dissipação d 1 :
A escolha dessa função para a função dissipação não viola a restrição da termodinâmica (d 1 ≥ 0), sendo assim uma escolha adequada.
A teoria constitutiva é definida postulando-se dois potenciais termodinâmicos: a
energia livre de Helmholtz ψ e o potencial de dissipação φ.
3.2
14
Desenvolvimento Teórico
No presente capítulo considerar-se-á fluidos incompressíveis não viscosos:
T = −p I
(3.12)
Onde p é a pressão hidrostática que é um multiplicador plástico associado a restrição
de incompressibilidade (∇ · v = t r (D) = 0). Sabendo-se que:
T : D = −p · I : D = −p · t r (D) = 0
(3.13)
No presente estudo os efeitos externos de qualquer tipo de fonte de calor não será
levado em consideração, então:
r =0
(3.14)
Usando a hipótese fluidos incompressíveis não viscosos chega-se na forma da dissipação intrínseca:
¡
¢
d 1 = T : D − ρ ψ̇ + s θ̇
(3.15)
¡
¢
d 1 = −ρ ψ̇ + s θ̇
(3.16)
E como para esse caso temos a função potencial de dissipação igual a zero, ou seja,
usando a hipótese constitutiva 3:
¶
∂ψ
d 1 = −ρ
θ̇ + s θ̇ = 0
∂θ
(3.17)
¶
∂ψ
+ s θ̇ = 0; ∀ θ̇
−ρ
∂θ
(3.18)
µ
µ
15
Logo, a seguinte relação constitutiva é obtida para a entropia:
∂ψ
∂θ
s =−
3.3
(3.19)
Equação do Calor
Aplicando as hipóteses feitas sobre o tipo de material e não considerando fontes de
calor externas na equação alternativa da energia:
∇ · q = d 1 − ρθ ṡ + ρr
(3.20)
∇ · q = −ρθ ṡ
(3.21)
Introduzindo a equação (3.19):
∂2 ψ
∇ · q = −ρθ − 2 θ̇
∂θ
µ
¶
(3.22)
Reorganizando:
¶
∂2 ψ
ρ −θ 2 θ̇ = −∇ · q
∂θ
µ
(3.23)
Definindo com calor específico:
ĉ = −θ
∂2 ψ
∂θ 2
(3.24)
Aplicando a hipótese constitutiva número 1:
ρ ĉ θ̇ = −∇ · q
(3.25)
q + τq̇ = −k∇θ
(3.26)
16
Aplicando o divergente na equação (3.26) tem-se que:
¡ ¢
∇ · q + ∇ · τq̇ = ∇ · (−k∇θ)
(3.27)
¡ ¢
− ρ ĉ θ̇ + ∇ · τq̇ = ∇ · (−k∇θ)
(3.28)
Multiplicando a equação (3.25) por τ e aplicando a derivada material na mesma tem-se
que:
¡
¢
ρ ĉ θ̇ + τθ̈ = ∇ · (k∇θ)
3.4
(3.29)
Função de Dissipação e Energia Livre de Helmholtz
Com o objetivo de encontrar o valor do calor específico é necessário escolher a
forma da função da energia livre de Helmholtz. Uma forma particular dessa função
para que o calor específico seja constante:
ψ̂(θ) = ψ̂0 −
Z
θ
θ0
π1 l og (ξ)d ξ
(3.30)
A forma da função dissipação:
φ̂ = 0
(3.31)
Calculando as derivadas da função energia livre é encontrado:
£
¤
∂ψ̂
= −π1 l og (θ) − l og (θ0 )
∂θ
(3.32)
1
∂2 ψ̂
=
−π
1
∂θ 2
θ
(3.33)
µ
¶
∂2 ψ
1
ĉ = −θ 2 = −θ −π1
∂θ
θ
(3.34)
17
O calor específico proposto é constante:
ĉ = π1
(3.35)
Fazendo π1 = c apenas para que a equação encontrada tenha a mesma forma da equação
da condução de calor hiperbólica:
¡
¢
ρc θ̇ + τθ̈ = ∇ · (k∇θ)
(3.36)
Capítulo 4
Equação de Calor Hiperbólica Geral usando a Equação
de Cattaneo Objetiva
O presente capítulo tem como objetivo o estudo de condições termodinâmicas suficientemente consistentes para a modelagem da transferência hiperbólica de calor em
fluidos newtonianos generalizados. O objetivo é estender a equação bem conhecida
de Cattaneo a fim de verificar automaticamente o princípio da objetividade material.
A escolha de uma derivada objetiva pode ser interpretada como uma hipótese constitutiva. Tal procedimento permite uma identificação dos termos responsáveis pelo
acoplamento termomecânico na equação do calor. Esse é o primeiro passo para um
melhor entendimento do acoplamento no comportamento do fluido.
A escolha de dois potenciais e de uma derivada temporal objetiva é suficiente para
definir um conjunto de equações constitutivas objetivas e termodinamicamente admissíveis. Um procedimento geral é apresentado e desenvolvido dentro de um quadro
termodinâmico de processos irreverssíveis. Esse procedimento apresenta condições
suficientes para satisfazerem a versão local da segunda lei da termodinâmica. O objetivo é deixar claro todo o procedimento para construir um conjunto de equações
constitutivas que possam ser usadas.
18
4. Equação de Calor Hiperbólica Geral usando a Equação de Cattaneo Objetiva
4.1
19
Derivadas Temporais Objetivas
Os conceitos fundamentais de equações constitutivas não podem ser apresentados sem considerar se o princípio da objetividade material é satisfeito. Sabe-se que
a derivada material temporal de uma quantidade tensorial objetiva não é necessariamente objetiva. Então é interessante usar alguns tipos de derivadas especiais nas
equações constitutivas a fim de garantir o princípio da objetividade. Um largo número
de definições de derivadas objetivas podem ser encontradas na literatura (para uma
discussão mais detalhada ver, por exemplo, [20] e [21]). A escolha de uma derivada
particular é importante e pode ser interpretada como uma hipótese constitutiva. Por
motivo de simplicidade o estudo será restrito a uma família particular de derivadas:
1. Para um tensor de segunda ordem:
ε̆ = ε̇ + ε(W − W R ) − (W − W R )ε
(4.1)
2. Para um tensor de primeira ordem:
q̆ = q̇ − (W − W R )q
(4.2)
Sendo Ă uma derivada temporal objetiva de um tensor simétrico e ă uma derivada
temporal objetiva de um vetor objetivo arbitrário. É importante ressaltar que, para pequenas transformações, a derivada objetiva coincide com a derivada material, ou seja,
para pequenas rotações (q̆ = q̇). O tensor W R pode ser associado ao movimento microscópico da estrutura do material. E o tensor W é a parte anti-simétrica do gradiente
de velocidade.
W=
¤
1£
∇v − ∇v T
2
(4.3)
As expressões (4.1) e (4.2) englobam um grande número de derivadas encontradas
na literatura. A derivada objetiva ε̆ é igual à derivada material ε̇ se um observador
20
estiver sobre um sistema de coordenanas fixo em uma partícula e rotacionando com
uma velocidade angular igual a ao valor instantâneo da rotação (W − W R ).
A rotação W R pode ser associada ao movimento microscópico da estrutura do material ou da subestrutura. Essa pode coincidir com diferentes rotações propostas na
literatura, tais como o conceito de rotação relativa proposta por [23](que é a generalização da rotação plástica utilizada por Dafalias [24, 25]) no contexto de mecânica dos
sólidos ou da taxa de rotação relativa usada por Drouot [26] e Drout e Lucius [27].
A rotação relativa W R deve ser uma função objetiva do tensor taxa de deformação
D, do tensor de Cauchy T e também de outros tensores auxiliares das variáveis internas
tal que W R = 0 se D = 0. Várias expressões gerais podem ser adotadas para o tensor
W R [22]. Normalmente, para uma adequada descrição fenomenológicado do compor-
tamento do fluido e a fim de eliminar oscilações indesejáveis induzidas pelas derivadas
temporais tipo da de Jauman, é suficiente considerar a expressão seguinte para o tensor
W R:
W R = η(εD − Dε)
(4.4)
Onde η é uma constante.
4.2
Será enumerado nesta seção o conjunto de hipóteses constitutivas usadas para encontrar a equação do calor considerando fluidos newtonianos generalizados e uma
equação objetiva de Cattaneo:
1. A primeira hipótese constitutiva é:
¢¶
µ ¡
1 q · q + τ̄q̆
d2 =
θ
k
(4.5)
Com τ̄ = τ ≥ 0 se q · q + τ̄q̆ ≥ 0 e τ̄ = 0 caso contrário. Onde k ≥ 0 é a con¡
¢
dutibilidade térmica. Nesse caso, é possível verificar que, diferente do capítulo
21
anterior, d 2 ≥ 0 em todos os processos.
Combinando a hipótese anterior com a equação (2.21) obtém-se a seguinte equação
constitutiva:
q + τ̄q̆ = −kg
(4.6)
Com τ̄ = τ ≥ 0 se q · q + τ̄q̆ ≥ 0 e τ̄ = 0 caso contrário.
¡
¢
2. A escolha da derivada objetiva temporal é uma hipótese constitutiva
ε̆ = ε̇ + ε(W − W R ) − (W − W R )ε
(4.7)
q̆ = q̇ + (W − W R )q
(4.8)
3. Nessa seção a energia livre de helmholtz ψ é uma função diferenciável apenas
da temperatura absoluta:
ψ = ψ̂(θ)
(4.9)
4. Restringindo ao estudo de fluidos incompressíveis, o potencial φ̂ é tal que a
dissipação d1 tem a seguinte forma:
d1 =
∂φ̂
:D
∂D
(4.10)
A escolha de uma teoria constitutiva geral é necessária para considerar os aspectos da segunda lei da termodinâmica, já que o comportamento dissipativo deve
ser levado em consideração. A relação com os mecanismos dissipativos é introduzida pelo potencial de dissipação φ̂. No presente trabalho o potencial de
22
dissipação é uma função convexa de D tal que φ̂(D) ≥ 0 ∀ D e φ̂(D = 0) = 0.
φ̂ = φ̂(D)
(4.11)
Então, um resultado clássico da análise convexa é:
∂φ̂
D≥0 ∀D
∂D
(4.12)
É importante deixar claro que através dessa escolha de função dissipação, a restrição da segunda lei da termodinâmica (d 1 ≥ 0) sempre será atendida para todos
os processos.
4.3
Nesse capítulo será considerado materiais incompressíveis com viscosidade, mas
da forma:
T = −p I + σ
(4.13)
Como os materiais estudados aqui são incompressíveis, tem-se que t r (D) = 0 e p a
pressão hidrostática, que nada mais é do que um multiplicador de Lagrange. Onde σ é
a parte do tensor de tensão de Cauchy a ser definida pelas relações constitutivas.
Não está sendo levado em consideração os efeitos de fontes externas de energia,
o objetivo do presente trabalho é o estudo teórico da equação hiperbólica de calor
encontrada na literatura, então:
r =0
(4.14)
Substituindo a tensão na equação de dissipação chega-se na forma da dissipação in-
23
trínseca:
¡
¢
¡
¢
d 1 = −p I + σ : D − ρ Ψ̇ + s θ̇
(4.15)
¡
¢
d 1 = σ : D − ρ Ψ̇ + s θ̇
(4.16)
∂ψ̂
d1 = σ : D − ρ
θ̇ + s θ̇
∂θ
µ
¶
(4.17)
Como temos a hipótese constitutiva 5:
µ
¶
∂φ̂
∂ψ̂
: D = σ : D−ρ
θ̇ + s θ̇
∂D
∂θ
(4.18)
¸
¸
·
·
∂ψ̂
∂φ̂
+ s θ̇ = 0
: D−ρ
σ−
∂D
∂θ
(4.19)
Separando os termos:
Chega-se então:
σ=
∂φ̂
∂D
(4.20)
∂ψ̂
∂θ
(4.21)
s =−
A equação para s é a mesma encontrada no capítulo anterior e a equação encontrada
para o tensor extratensão representa a irreversibilidade relacionada com o fenômeno
viscoso.
4.4
24
Equação do Calor
No caso de fluidos newtonianos generalizados o acoplamento termomecênico pode
ser muito importante. Recentes trabalhos mostram como a escolha dos potenciais termodinâmicos φ̂ e ψ̂ são importantes e como eles podem afetar a equação do calor em
equações constitutivas do tipo taxa [28–31]. Porém, diferente desse trabalho, eles estão
preocupados com sólidos inelásticos (não fluidos) no caso de pequenas transformações
e a influência da derivada temporal objetiva não é considerada. Aplicando as hipóteses
feitas sobre o tipo de material e não considerando efeitos externos de fontes de energia:
−∇ · q = −d 1 + ρθ ṡ
(4.22)
∂φ̂
: D − ρθ ṡ
∂D
(4.23)
Usando a equação (4.10):
∇·q =
E Usando a equação (4.9):
µ 2
¶
∂φ̂
∂ ψ̂
∇·q =
: D − ρθ − 2 θ̇
∂D
∂θ
(4.24)
µ
¶
∂2 ψ̂
∂φ̂
∇·q =
: D − ρ −θ 2 θ̇
∂D
∂θ
(4.25)
Reorganizando:
Aplicando o divergente na equação de Cattaneo
q + τ̄q̆ = −k∇θ
(4.26)
∇ · q + ∇ · (τ̄q̆) = −∇ · (k∇θ)
(4.27)
25
Usando a derivada objetiva escolhida no presente trabalho (Jauman) e fazendo W R = 0:
£
¤
∇ · q + ∇ · τ̄q̇ + τ̄Wq = −∇ · (k∇θ)
(4.28)
£
¤
∇ · q + τ̄ (∇ · W) · q + W : ∇q + ∇ · q̇ = −∇ · (k∇θ)
(4.29)
Ou de uma forma mais simplificada:
∇ · q + τ̄∇ · (Wq) + τ̄∇ · q̇ = −∇ · (k∇θ)
(4.30)
Usando a equação (4.25) e a equação (4.20) na equação (4.30):
µ
¶
∂2 ψ̂
∇ · q = σ : D − ρ −θ 2 θ̇
∂θ
(4.31)
O termo devido ao concerto da derivada no tempo devido a objetividade ∇ · (Wq) não
será modificado. Então:
µ 2
¶ ¶
∂ ψ̂
σ : D − ρ − 2 θ̇ θ + τ̄∇ · (Wq)+
∂θ
¶
µ 3
¶¶
µ 2
µ
¶
µ 2
∂ ψ̂
∂ ψ̂
∂ ψ̂
τ̄ σ̇ : D + σ : Ḋ − ρ θ̇ − 2 θ̇ − ρθ − 3 θ̇ θ̇ − ρθ − 2 θ̈ = −∇ · (k∇θ) (4.32)
∂θ
∂θ
∂θ
µ
Reorganizando:
µ 2
¶
µ 2 ¶
µ
¶
µ
¶
∂ ψ̂
∂ ψ̂ 2
∂3 ψ̂ 2
∂2 ψ̂
− ρ − 2 θ θ̇ − ρ τ̄ − 2 θ̇ − ρ τ̄ −θ 3 θ̇ − ρ τ̄ −θ 2 θ̈
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
¡
¢
+ σ : D + τ̄ σ̇ : D + σ : Ḋ + τ̄∇ · (Wq) = −∇ · (k∇θ) (4.33)
Então:
¶
µ 2
¶
µ
¶
µ 2
∂ ψ̂
∂3 ψ̂ 2
∂2 ψ̂
∂ ψ̂
− ρ − 2 θ θ̇ − ρ τ̄ − 2 − θ 3 θ̇ − ρ τ̄ −θ 2 θ̈
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
¢
¡
+ σ : D + τ̄ σ̇ : D + σ : Ḋ + τ̄∇ · (Wq) = −∇ · (k∇θ) (4.34)
4.5
26
Com o objetivo de comparar com a equação clássica de Cattaneo, será considerado
c como uma constante. Uma forma particular da equação da energia livre de Helmhotz:
ψ̂(θ) = ψ̂0 −
Z
θ
θ0
π1 l og (ξ)d ξ
(4.35)
E a função dissipação intrínsica:
φ̂(D) = νD2n
(4.36)
Calculando as derivadas da função energia livre:
£
¤
∂ψ̂
= −π1 l og (θ) − l og (θ0 )
∂θ
(4.37)
∂2 ψ̂
1
= −π1
2
∂θ
θ
(4.38)
∂3 ψ̂
1
=
π
1
∂θ 3
θ2
(4.39)
Calculando as derivadas da função potencial de dissipação:
∂2 φ̂
∂D2
∂φ̂
= 2nνD2n−1
∂D
(4.40)
= 2n(2n − 1)νD2n−2
(4.41)
Então a forma do tensor extratensão e de sua derivada:
σ = 2nνD2n−1
(4.42)
£
¤
σ̇ = 2n(2n − 1)νD2n−2 Ḋ
27
(4.43)
Substituindo as derivadas das funções potenciais escolhidas na equação (4.34):
−ρπ1 θ̇ − ρ τ̄
³π
1
θ
−
¡
¢
π1 ´ 2
θ̇ − ρ τ̄π1 θ̈ + σ : D + τ̄ σ̇ : D + σ : Ḋ + τ̄∇ · (Wq) = −∇ · (k∇θ)
θ
(4.44)
¡
¢
¡
¢
−ρπ1 θ̇ + τ̄θ̈ + σ : D + τ̄ σ̇ : D + σ : Ḋ + τ̄∇ · (Wq) = −∇ · (k∇θ)
(4.45)
Encontra-se dessa forma uma equação em função tanto da temperatura como do fluxo
de calor, ou seja, para resolver essa equação precisa-se acoplá-la com a equação constitutiva de Cattaneo generalizada. Substituindo π1 = c por conveniência, chega-se:
¡
¢
¡
¢
−ρc θ̇ + τ̄θ̈ + σ : D + τ̄ σ̇ : D + σ : Ḋ + τ̄∇ · (Wq) = −∇ · (k∇θ)
q + τ̄ q̇ + Wq = −k∇θ
¡
¢
(4.46)
(4.47)
Capítulo 5
Equação de Calor usando a Lei de Fourier
O objetivo desse capítulo é discutir a possibilidade de se obter a equação hiperbólica do calor sem usar a equação de Cattaneo conhecida na literatura como também
não usar a equação objetiva de Cattaneo proposta no capítulo anterior. O presente capítulo demonstra que uma versão alternativa da SLT pode levar a uma equação de calor
hiperbólica usando a lei de Fourier como equação constitutiva.
5.1
A seguir as três hipóteses constitutivas:
1. A equação clássica de condução de calor (Fourier) é válida
q = −k∇θ
(5.1)
Onde k é uma função positiva de θ , geralmente chamada de condutividade térmica. Usando a equação (5.1) é simples verificar:
1
k
d 2 = − q · ∇θ = ∇θ · ∇θ ≥ 0
θ
θ
(5.2)
Já que a temperatura θ é uma quantidade positiva e k uma constante positiva. Portanto para que as equações sejam termodinamicamente admissíveis, é
28
5. Equação de Calor usando a Lei de Fourier
29
necessário propor condições suficientes para que d1 seja maior que zero e então
qualquer processo será satisfeito termodinamicamente. Informações adicionais
sobre o comportamento do material é obtido a partir de dois potenciais termodinâmicos: a energia livre de Helmholtz ψ̂ e o potencial de dissipação φ̂.
absoluta
ψ̂ = ψ̂(θ)
(5.3)
3. A dissipação d 1 tem a seguinte forma:
φ̂ = φ̂(θ̇, θ)
d1 =
∂φ̂(θ̇, θ)
∂θ̇
(5.4)
θ̇
(5.5)
A teoria constitutiva é definida postulando-se dois potenciais termodinâmicos: a
energia livre de Helmholtz ψ̂ e o potencial de dissipação φ̂. Um resultado clássico da
análise convexa é que d1 descrito dessa forma (d1 =
∂φ̂(θ̇,θ)
θ̇
∂θ̇
≥ 0) será sempre posi-
tivo, independente das geometrias envolvidas, das condições iniciais, das condições de
contorno e das ações externas, se o potencial φ̂ for uma função positiva e estritamente
convexa de θ̂(θ̇ = 0, θ) = 0 ∀ θ . As equações descritas nessa seção formam um completo conjunto de equações constitutivas possíveis termodinamicamente, isto é, para
qualquer cunjunto de equações constitutivas particulares obtidas dentro do contexto
proposto por esse trabalho, as desigualdades d 1 ≥ 0 e d2 ≥ 0 serão automaticamente
satisfeitas e então a desigualdade de Clausius-Duhen também será satisfeita.
5.2
30
Nesse capítulo também será considerado fluidos incompressíveis sem viscosidade,
mais especificamente dessa forma:
T = −p I
(5.6)
Onde p é a pressão hidrostática que é um multiplicador de Lagrange, ou seja, um multiplicador plástico associado a restrição de incompressibilidade (∇ · v = t r (D) = 0). É
importante deixar claro que tal hipótese é levada em consideração apenas para reduzir
os cálculos. Uma adequada formulação para o acoplamento termomecânico pode levar
a uma equação hiperbólica do calor, mesmo usando a lei de Fourier. Ou seja, a equação
hiperbólica do calor não depende da simplificação de materiais incompressíveis sem
viscosidade para ser encontrada. Sabendo-se que:
T : D = −p · I : D = −p · t r (D) = 0
(5.7)
Não está sendo levado em consideração os efeitos de fontes externas de calor, o objetivo do presente trabalho é o estudo teórico da equação hiperbólica de calor, então:
r =0
(5.8)
Usando a hipótese de fluidos incompressíveis chega-se na forma da dissipação intrínseca:
¡
¢
d 1 = −p I : D − ρ ψ̇ + s θ̇
(5.9)
¡
¢
d 1 = −ρ ψ̇ + s θ̇
(5.10)
31
E como temos a hipótese constitutiva 3:
¶
∂ψ
∂φ̂(θ̇, θ)
d 1 = −ρ
θ̇ + s θ̇ =
θ̇; ∀ θ̇
∂θ
∂θ̇
(5.11)
¶
∂ψ
∂φ̂
−ρ
+ s θ̇ =
θ̇
∂θ
∂θ̇
(5.12)
¶
∂ψ 1 ∂φ̂
−ρ
+
+ s θ̇ = 0
∂θ ρ ∂θ̇
(5.13)
µ
Então:
µ
µ
Logo, a seguinte relação constitutiva para a entropia é obtida:
∂ψ 1 ∂φ̂
s =−
+
∂θ ρ ∂θ̇
µ
5.3
¶
(5.14)
Equação do Calor
Aplicando as hipóteses feitas sobre o tipo de material e não considerando efeitos
de fonte de calor:
∇ · q = d 1 − ρθ ṡ
(5.15)
Introduzindo a equação constitutiva da entropia na equação alternativa da energia,
chega-se:
∂ψ̇ 1 ∂φ̂˙
∇·q =
θ̇ − ρθ −
−
∂θ ρ ∂θ̇
∂θ̇
∂φ̂
∂φ̂
Ã
!
µ 2
¶
∂ ψ
1 ∂2 φ̂
1 ∂2 φ̂
θ̇ − ρθ − 2 θ̇ −
θ̈ −
θ̇
∇·q =
∂θ
ρ ∂θ̇ 2
ρ ∂θ∂θ̇
∂θ̇
(5.16)
(5.17)
32
Reorganizando:
µ
µ 2 ¶
¶
1 ∂φ̂ ∂2 ψ
1 ∂2 φ̂
∂ φ̂
ρ −
− 2 θ−
θ θ̇ −
θ θ̈ = −∇ · q
ρ ∂θ̇ ∂θ
ρ ∂θ∂θ̇
∂θ̇ 2
(5.18)
Onde;
ĉ = −
1 ∂φ̂ ∂2 ψ
1 ∂2 φ̂
− 2 θ−
θ
ρ ∂θ̇ ∂θ
ρ ∂θ∂θ̇
τ̂ = θ
∂2 φ̂
∂θ̇ 2
(5.19)
(5.20)
Então a equação encontrada será:
ρ ĉ θ̇ − τ̂θ̈ = −∇ · q
(5.21)
Onde ĉ é um parâmetro análogo ao calor específico. E aplicando a hipótese constitutiva
número 1:
q = −k∇θ
(5.22)
ρ ĉ θ̇ − τ̂θ̈ = ∇ · (k∇θ)
(5.23)
Chega-se na equação hiperbólica:
5.4
Como uma escolha de função de dissipação φ̂(θ, θ̇):
φ̂(θ, θ̇) =
τ
f (θ̇ = 0) = 0
θ
(5.24)
Usando a equação (5.24) na expressão para o termo análogo ao calor específico:
ĉ = −
1 ∂φ̂ ∂2 ψ
1 ∂2 φ̂
− 2 θ−
θ
ρ ∂θ̇ ∂θ
ρ ∂θ∂θ̇
(5.25)
∂φ̂
∂θ̇
∂2 φ̂
∂θ∂θ̇
33
1 0
f (θ̇)
θ
=
θ=−
1 0
f (θ̇)
θ2
(5.26)
(5.27)
Substituindo as derivadas encontradas, percebe-se que com a escolha da função de
dissipação adequada consegue-se encontrar para o parâmetro ĉ a mesma função usada
geralmente na literatura para o calor específico.
ĉ = −
∂2 ψ
θ=c
∂θ 2
(5.28)
Encontrando, por enquanto, para a equação hiperbólica do calor:
ρc θ̇ − τ̂θ̈ = ∇ · (K ∇θ)
(5.29)
Serão feitas as ecolhas para as funções de potencial de dissipação φ̂, agora de maneira
mais restrita, e também para a energia livre de Helmholtz:
τ θ̇ 2
θ 2
φ̂ =
ψ̂(θ) = ψ̂0 −
Z
θ
(5.30)
π1 l og (ξ)d ξ
(5.31)
¡
¢
∂ψ̂
= −π1 l og (θ) − l og (θ0 )
∂θ
(5.32)
∂2 ψ̂
π1
=−
2
∂θ
θ
(5.33)
θ0
Então para obter o calor específico:
34
Como o calor específico tem a expressão:
ĉ = −
∂2 ψ
∂θ 2
(5.34)
Então:
ĉ = π1
(5.35)
Agora para obter a forma do termo τ̂:
τ̂ = θ
∂2 φ̂
∂θ̇ 2
=τ
(5.36)
É encontrada a equação da condução de calor proposta por Green e Naghdi [32], onde
eles usaram uma dedução bem diferente da do presente trabalho. Com o objetivo
de deixar a equação exatamente igual ao do trabalho de Naghdi tem-se que π2 = 0,
α = τ/ρ , tendo π1 = c e assumindo constante a condutividade térmica K constante:
¡
¢
ρ c θ̇ − αθ̈ = k∇2 θ
(5.37)
Se a restrição d 1 ≥ 0 for considerada, o termo α tem que ser necessariamente positivo
e a equação (5.37) é elíptica, não permitindo que o calor se propague como uma onda.
Contudo, se a versão local a SLT proposta por Green e Naghdi no seu clássico trabalho
[32] for adotada, é possível adotar um valor negativo para α.
Não é objetivo deste trabalho a discussão sobre as diferentes versões da SLT. A
versão da SLT proposta por Green e Naghdi pode ser apresentada da seguinte forma
resumida:
As parcelas d 1 e d 2 da taxa de energia dissipada por unidade de volume d são
definidas da seguinte forma.
1
d2 = − q · g ≥ 0
θ
(5.38)
35
d1 = d − d2
(5.39)
Além disso, d1 pode ser uma função das variáveis de estado e de suas taxas. No caso
deste trabalho
d 1 = d 1 (θ, θ̇)
(5.40)
d 10 = d 10 (θ, θ̇ = 0)
(5.41)
Definindo a variável auxiliar d10
É possível finalmente expressar a seguinte versão alternativa da SLT
d 10
H10 (P t ) =
Z
H100 (P t ) =
Z
Pt
Pt
dV
(5.42)
d2
dV
θ
(5.43)
θ
A principal diferença no caso da versão local da SLT proposta por Green e Naghdi é
que a restrição termodinâmica é feita sobre d10 e não sobre d 1 .
No presente estudo, a entropia por unidade de volume pode ser decomposta de
forma aditiva numa parte reversível s r e numa parcela irreversível s i r da seguinte
maneira (ver a equação (5.14)):
s = sr + si r
∂ψ(θ)
∂θ
(5.45)
1 ∂φ̂(θ, θ̇)
ρ ∂θ̇
(5.46)
sr = −
si r = −
(5.44)
36
Usando a definição de φ̂ feita na equação (5.30), é fácil concluir que s i r = 0 quando
θ̇ = 0 e que, portanto, d 10 = 0 em todos os processos, já que
d 10
µ
¶
¢
¡
∂ψ(θ) ∂ψ(θ)
r
= T : D − ρ ψ̇ + s θ̇ = −p · t r (D) − ρ
−
=0
∂θ
∂θ
(5.47)
Portanto, a versão local da SLT proposta por Green e Naghdi é satisfeita e permite que o
parâmetro τ seja negativo (τ = −τ0 ; comτ0 < 0), já que não apresenta nenhuma restrição
sobre o mesmo. Portanto, ela admite uma equação hiperbólica para a condução de
calor.
¡
¢
ρ c θ̇ + αθ̈ = k∇2 θ
(5.48)
Onde
α=
τ0
ρ
(5.49)
Capítulo 6
Equação de Calor Geral usando a Lei de Fourier
O objetivo do presente capítulo é estender a teoria encontrada no capítulo anterior
para fluidos newtonianos generalizados. Os fluidos newtonianos generalizados são tais
que sua viscosidade depende da taxa de deformação. Essa informação será encontrada
a partir dos potenciais termodinâmicos. A energia livre de Helmholtz continua sendo
uma função apenas da temperatura e o potencial de dissipação intrínseca agora depende
da temperatura, da taxa da temperatura e da taxa de deformação.
6.1
1. A equação clássica de condução de calor (Fourier) é válida
q = −k∇θ
(6.1)
Onde k é uma função positiva de θ , geralmente chamada de condutividade térmica. Usando a equação (6.1) é simples verificar:
k
1
d 2 = − q · 5θ = 5 θ · 5θ ≥ 0
θ
θ
(6.2)
Já que a temperatura θ é uma quantidade positiva e k uma função positiva de
θ . Portanto para que as equações sejam termodinamicamente admissíveis, é
37
38
necessário propor condições suficientes para que d1 ≥ 0 e então qualquer processo será satisfeito termodinamicamente. Informações adicionais sobre o comportamento do material é obtido a partir de dois potenciais termodinâmicos: a
energia livre de Helmholtz ψ̂ e o potencial de dissipação φ̂.
absoluta
ψ̂ = ψ̂(θ)
(6.3)
3. A dissipação d 1 tem a seguinte forma:
d1 =
∂φˆ1 (θ̇, θ)
∂θ̇
θ̇ +
∂φˆ2 (D)
:D
∂D
(6.4)
Como já foi mencionado uma teoria constitutiva é definida postulando-se dois potenciais termodinâmicos: a energia livre de Helmholtz ψ̂ e o potencial de dissipação
φ̂. A função dissipação nesse caso será uma função da temperatura, da taxa da temper-
atura e da taxa de deformação (φ̂ = φ̂(θ, θ̇, D). A forma da função potencial para esse
caso é:
φ̂(θ, θ̇, D) = φ̂1 (θ, θ̇) + φ̂2 (D)
(6.5)
Um resultado clássico da análise convexa é que d1 descrito dessa forma é que:
∂φ̂1 (θ̇, θ)
θ̇ ≥ 0
(6.6)
∂φ̂2 (D)
:D≥0
∂D
(6.7)
∂θ̇
Ou seja, d1 será sempre positivo, independente das geometrias envolvidas, das condições
iniciais, das condições de contorno e das ações externas, se o potencial φ̂ for uma
39
função positiva e estritamente convexa de θ̂1 (θ̇ = 0, θ) = 0 ∀ θ e θ̂2 (D = 0) = 0 ∀ D.
As equações descritas nessa seção formam um completo conjunto de equações constitutivas possíveis termodinamicamente, isto é, para qualquer conjunto de equações
constitutivas particulares obtidas dentro do contexto proposto por esse trabalho, as desigualdades d1 ≥ 0 e d2 ≥ 0 serão automaticamente satisfeitas e então a desigualdade
de Clausius-Duhen também será satisfeita.
6.2
Nesse capítulo estamos trabalhando com fluidos newtonianos generalizados incompressíveis:
T = −p I + σ
(6.8)
Como os materiais estudados aqui são incompressíveis, tem-se que t r (D) = 0 e p a
pressão hidrostática, que nada mais é do que um multiplicador de Lagrange. Onde σ é
a parte do tensor de tensão de Cauchy a ser definida as relações constitutivas.
¡
¢
T : D = −p I + σ : D
(6.9)
¡
¢
−p I + σ : D = −p · t r (D) + σ : D = σ : D
(6.10)
Não está sendo levado em consideração os efeitos de radiação, então:
r =0
(6.11)
Substituindo a tensão na equação de dissipação chega-se na forma da dissipação intrínseca:
¢
¡
¢
¡
d 1 = −p I + σ : D − ρ Ψ̇ + s θ̇
(6.12)
40
¡
¢
d 1 = σ : D − ρ Ψ̇ + s θ̇
∂ψ̂
d1 = σ : D − ρ
θ̇ + s θ̇
∂θ
µ
(6.13)
¶
(6.14)
Como temos a hipótese constitutiva 3:
µ
¶
∂ψ̂
∂φˆ2
∂φˆ1
: D+
θ̇ = σ : D − ρ
θ̇ + s θ̇
∂D
∂θ
∂θ̇
(6.15)
·
¸
·
¸
∂φˆ2
∂ψ̂ 1 ∂φˆ1
σ−
+
: D−ρ
+ s θ̇ = 0
∂D
∂θ ρ ∂θ̇
(6.16)
Separando os termos:
Chega-se então:
σ=
∂φˆ2
∂D
¶
∂ψ̂ 1 ∂φˆ1
s =−
+
∂θ ρ ∂θ̇
(6.17)
µ
(6.18)
A equação para s é a mesma encontrada no capítulo anterior e a equação encontrada
para o tensor extratensão representa a irreversibilidade relacionada com o fenômeno
viscoso.
6.3
Equação do Calor
Aplicando as hipóteses feitas sobre o tipo de material e não considerando radiação
na equação alternativa da energia:
∇ · q = d 1 − ρθ ṡ
(6.19)
41
Introduzindo a equação constitutiva da entropia na equação da primeira lei alternativa:
·
∇·q =
∂φˆ1
¸
µ 2
¶
1 ∂2 φˆ1
∂ ψ
1 ∂2 φˆ1
∂φˆ2
: D − ρθ − 2 θ̇ −
θ̈ −
θ̇ +
θ̇
∂D
∂θ
ρ ∂θ̇ 2
ρ ∂θ∂θ̇
∂θ̇
(6.20)
Reorganizando:
µ 2 ˆ ¶
µ
¶
∂ φ1
∂φˆ2
1 ∂φˆ1 ∂2 ψ
1 ∂2 φˆ1
ρ −
− 2 θ−
θ θ̇ −
θ θ̈ −
: D = −∇ · q
ρ ∂θ̇
∂θ
ρ ∂θ∂θ̇
∂D
∂θ̇ 2
(6.21)
Onde;
ĉ = −
1 ∂φˆ1 ∂2 ψ
1 ∂2 φˆ1
− 2 θ−
θ
ρ ∂θ̇
∂θ
ρ ∂θ∂θ̇
τ̂ = θ
∂2 φˆ1
∂θ̇ 2
(6.22)
(6.23)
Como a função dissipação é da forma:
φ̂(θ, θ̇, D) = φ̂1 (θ, θ̇) + φ̂2 (D)
(6.24)
E lembrando que:
σ=
∂φˆ2
∂D
(6.25)
Então a equação encontrada será:
ρ ĉ θ̇ − τ̂θ̈ − σ : D = −∇ · q
(6.26)
Onde ĉ é um parâmetro análogo ao calor específico. E aplicando a hipótese constitutiva
número 1:
q = −k∇θ
(6.27)
42
Chega-se na equação hiperbólica:
ρ ĉ θ̇ − τ̂θ̈ − σ : D = ∇ · (k∇θ)
6.4
(6.28)
Como uma escolha de função de dissipação φ̂(θ, θ̇, D):
φ̂(θ, θ̇, D) = φ̂1 (θ, θ̇) + φ̂2 (D)
φ̂1 (θ, θ̇) =
τ
f (θ̇)
θ
φ̂2 (D) = νD2n
(6.29)
(6.30)
(6.31)
Usando a equação do potencial de dissipação intrínseca na expressão para o termo
análogo ao calor específico:
1 ∂φˆ1 ∂2 ψ
1 ∂2 φˆ1
ĉ = −
− 2 θ−
θ
ρ ∂θ̇
∂θ
ρ ∂θ∂θ̇
∂φˆ1
∂θ̇
∂2 φˆ1
∂θ∂θ̇
=
1 0
f (θ̇)
θ
θ=−
1 0
f (θ̇)
θ2
(6.32)
(6.33)
(6.34)
Percebe-se que com a escolha da função de dissipação adequada consegue-se encontrar para o parâmetro ĉ a mesma função usada geralmente na literatura para o calor
43
específico.
ĉ = −
∂2 ψ
θ
∂θ 2
(6.35)
Serão feitas as escolhas para as funções de potencial de dissipação φ̂, agora de maneira
mais restrita, e também para a energia livre de Helmholtz:
φˆ1 (θ, θ̇) =
ψ̂(θ) = ψ̂0 −
Z
θ
τ θ̇ 2
θ 2
(6.36)
π1 l og (ξ)d ξ
(6.37)
¡
¢
∂ψ̂
= −π1 l og (θ) − l og (θ0 )
∂θ
(6.38)
π1
∂2 ψ̂
=−
2
∂θ
θ
(6.39)
θ0
Então para obter o calor específico:
Como o calor específico tem a fórmula:
ĉ = −
∂2 ψ
∂θ 2
(6.40)
Então:
ĉ = π1
(6.41)
Agora para obter a forma do termo τ̂:
τ̂ = θ
∂2 φˆ1
∂θ̇ 2
=τ
(6.42)
44
Para o termo de dissipação viscosa:
∂φ̂
= 2nνD2n−1
∂D
(6.43)
σ = 2nνD2n−1
(6.44)
Percebe-se que é possível chegar a uma equação mais geral que as equações propostas
por Green e Naghdi, tal como no capítulo anterior. Fazendo π2 = 0, α = τ/ρ , tendo
π1 = c e assumindo constante a condutividade térmica K constante:
¡
¢
ρ c θ̇ − αθ̈ − σ : D = k∇2 θ
(6.45)
Da mesma forma que no capítulo anterior, se a versão da SLT proposta por Green
e Naghdi for considerada, é possível ter um valor de alfa negativo e a equação será
hiperbólica.
Capítulo 7
Conclusões
condução de calor na maioria das aplicações de engenharia, esta prevê uma velocidade
de onda de calor infinita, o que é fisicamente impossível. Agora é aceito que em situações envolvendo intervalos de tempo muito pequenos, gradientes térmicos extremos
ou temperaturas próximas ao zero absoluto podem levar a uma velocidade de onda de
calor finita. Consequentemente, qualquer pertubação externa ao corpo é instantâneamente sentida pelo corpo todo.
O presente estudo começou apresentando algumas das equações de conservação
da mecânica do contínuo nas formas global e local. A primeira lei da termodinâmica
é apresentada de uma forma diferente da PLT encontrada na literatura. A forma da
equação da energia alternativa auxilia no procedimento termodinâmico mostrado no
presente estudo. Com a motivação de estudar ondas térmicas com velocidades finitas,
no capítulo 3, a teoria de Cattaneo e Vernotte é colocada dentro da estrutura termodinâmica apresentada. O uso da equação de Cattaneo é mostrada no presente trabalho
como uma metodologia simplificada e o seu uso é restrito a pequenas transformações
(devido ao princípio da objetividade) e a um caso particular onde o fluxo de calor e sua
derivada estejam no mesmo semi-espaço, ou seja q · q + τq̇ ≥ 0.
£
¤
No capítulo 4, uma generalização da equação constitutiva de Cattaneo é proposta.
45
7. Conclusões
46
Tal generalização é feita para que o princípio da objetividade seja satisfeito. A não
generalidade da equação de Cattaneo está associados a segunda lei da termodinâmica.
A SLT precisa ser então satisfeita e para que isso aconteça, no caso do capítulo 4, é
necessário impor nas hipóteses constitutivas que q · g ≥ 0. Portanto, em alguns processos poderia haver calor se propagando como uma onda (equação hiperbólica) e em
outros isso seria impossível (equação parabólica), dependendo do sinal do produto
q · q + τq̆
¡
¢
No capítulo 5, a estratégia para o estudo de velocidade de onda de calor finita
muda. O uso da lei de Fourier é mais geral do que a dos casos dos capítulos 3 e 4.
Não existe o problema de objetividade, já que a derivada material não está mais na
equação constitutiva do calor. Então para que a derivada segunda da temperatura seja
levada em consideração na equação da condução de calor é preciso que o potencial de
dissipação intrínsica seja da forma d1 =
∂φ̂(θ̇,θ)
θ̇ .
∂θ̇
Essa é a principal idéia do presente
estudo, o potencial dissipativo é uma função que depende da temperatura e da taxa da
temperatura. A equação de calor resultante será elíptica, se a desiguladade de Clausius
Duhen for adotada, mas pode ser hiperbólica se a versão da SLT proposta por Green e
Naghdi for considerada.
No capítulo 6, o tipo de material é mudado. Nesse capítulo a condução de calor
hiperbólica pode ser encontrada em fluidos newtonianos generalizados. A equação
encontrada é nova na literatura. Fica claro que casos mais gerais (materiais mais complexos) podem ser estudados com a estrutura termodinâmica apresentada no presente
trabalho. E a condução de calor hiperbólica pode ser obtida para diferentes tipos de
materiais, desde que se adote a versão da SLT proposta por Green e Naghdi. Todos
os casos apresentados no presente trabalho foram colocados em uma estrutura termodinâmica que facilita o entendimento das hipóteses constitutivas. Esse procedimento
apresentado mostra as restrições e generalidades de cada caso para que a segunda lei
da termodinâmica e o princípio da objetividade sejam satisfeitos.
Este estudo teórico prova que uma formulação adequada termomecânico pode levar
a uma equação hiperbólica de calor mesmo que a lei de Fourier seja levada em conta. A
7. Conclusões
47
idéia principal é que a dissipação intrínseca também é uma função da taxa de temperatura e usar uma versão menos restritiva da SLT. Vários modelos alternativos têm sido
propostos na literatura tentando obter uma velocidade finita de onda térmica. Geralmente, a lei clássica de condução de calor (Fourier) (q = −k∇θ) é substituída por leis
alternativas, como a equação Cattaneo-Vernotte (q + τq̇ = −k∇θ). No entanto, a maioria dessas equações alternativas de condução de calor violam claramente o princípio
da objetividade. Além disso, é muito difícil garantir que as equações governantes resultantes são termodinamicamente admissíveis, pois o calor pode fluir de regiões frias
para regiões quentes durante períodos de tempo finitos.
O objetivo principal é mostrar uma abordagem alternativa que não pode ser negligenciada em futuros estudos experimentais. A generalização dessa demonstração para
comportamentos de materiais mais complexos pode ser realizada considerando uma
teoria mais sofisticada constitutiva no âmbito do quadro da termodinâmica dos processos irreversíveis. Todas as equações constitutivas obtidas em [31] no caso de sólidos
inelásticos danificados com a hipótese de pequenas transformações, e no artigo [22] no
caso de fluidos não newtonianos, podem ser estendidas para levar em conta a transferência de calor hiperbólica, mesmo que a clássica hipótese de Fourier para a condução
de calor seja adotada. A chave em todos os casos é considerar que a dissipação intrínseca não é apenas uma função das variáveis de estado, mas também da taxa de
temperatura e, além disso, adotar uma versão menos restritiva para a SLT.
Foram apresentadas e discutidas duas alternativas para obter equações termodinamicamente admissíveis capazes de modela a propagação de calor como uma onda,
sem violar o princípio da objetividade:
1. A primeira seria uma generalização da equação q + τ̄q̆ = −kg incluindo uma
derivada temporal objetiva e uma restrição adicional para impedir a possibilidade
de fluxo de calor de uma região com temperatura menor para com uma temperatura maior. O calor se propagaria como uma onda somente quando q + τ̄q̆ ≥ 0.
q + τ̄q̆ = −kg
(7.1)
7. Conclusões
48
Com τ̄ = τ ≥ 0 se q · q + τ̄q̆ ≥ 0 e τ̄ = 0 caso contrário.
¡
¢
2. A segunda seria usar a clássica equação de Fourier, considerar que a parcela d1
da dissipação pode ser uma função das variáveis de estado e de suas taxas. No
caso deste trabalho d 1 = d 1(θ, θ̇). A desigualdade de Clausius Duhen neste caso
só permite uma equação elíptica envolvendo a derivada segunda no tempo da
temperature absoluta. Uma equação hiperbólica seria possível, caso a versão da
SLT proposta por Green e Naghdi d 10 = 0 seja considerada válida.
Referências
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49
7. Conclusões
50
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7. Conclusões
51
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[32] Naghdi P. M. Green, A. E. On thermodynamics and the nature of the second law.
Proc. R. Soc. Lond. A, 357:253–270, 1977.
Apêndice A
Conceitos Importantes
A.1
Objetividade
A objetividade é o estudo do comportamento ou da depêndencia de determinada
entidade física em relação a diferentes observadores.
O vetor posição pode ser enxergado por diferentes observadores de tal forma que
obedeça:
x ∗ (t ) = Q(t )x(t ) + c(t )
(A.1)
Onde Q(t ) é um tensor ortogonal e é o responsável pela contabilização da rotação
do observador e o vetor c(t ) é o responsável pela translação. Isso implica que:
α∗ = α
(A.2)
v∗ = Qv
(A.3)
T ∗ = QT Q T
(A.4)
Isso ocorre se α, v e T são escalar, vetor e tensor de segunda ordem respectivamente são entidades objetivas.
O gradiente de velocidade não é objetivo:
52
Apêndice A. Conceitos Importantes
53
v ∗ = Q̇(t )x(t ) +Q(t )v (t ) + ċ(t )
L∗ =
∂v ∗
= Q̇(t )Q T (t ) +Q(t )LQ T (t )
∂x ∗
(A.5)
(A.6)
Aparece o termo Q̇(t )Q T (t ) "atrapalhando"a objetividade.
O tensor taxa de deformação é objetivo:
1
T
D ∗ = (L ∗ + L ∗ ) = Q̇(t )Q T (t ) +Q(t )DQ T (t )
2
(A.7)
Mas o tensor taxa de deformação não:
1
T
W ∗ = (L ∗ − L ∗ ) = Q̇(t )Q T (t ) +Q(t )W Q T (t )
2
(A.8)
A derivada material é um operador não objetido, ou seja, se aplicarmos este operador em uma entidade objetiva o resultado é uma entidade não objetiva.
Existem derivadas que são objetivas e estas são como por exemplo:
• A derivada convectada covariante
A ∆ = Ȧ + AL + L T A
(A.9)
• A derivada convectada contravariante
A ∆ = Ȧ − L A − AL T
(A.10)
• A derivada convectada corotacional ou derivada de Jaumman
Ă = Ȧ − AW − W A
(A.11)
Apêndice A. Conceitos Importantes
A.2
Funções Convexas
A.2.1
Definição
54
Uma função f : R n → R é convexa se o domínio de f é um conjunto convexo e para
todo x , y ∈ d om f e θ com 0 ≤ θ ≤ 1 tivermos:
¡
¢
f θx + (1 − θ)y ≤ θ f (x) + (1 − θ) f (y)
(A.12)
Geometricamente, a desigualdade significa que o segmento de linha de (x, f (x)) a
(y, f (y)), que é a corda de x para y, está acima do gráfico de f .
A.2.2
Propriedades Básicas
1. A função é estritamente convexa se a desigualdade (A.12) é verificada na sua
forma estrita sempre que x 6= y e 0 ≤ θ ≤ 1.
2. Dizemos que f é concava se − f é convexa.
3. Para a função afim a desigualdade (A.12) sempre é satisfeita com a igualdade,
portanto todas as funções afim (e lineares também) são funções convexas e côncavas.
4. Uma função é convexa se e somente se é convexa quando restrita a qualquer
linha que intercepta seu domínio.
5. A função f só é convexa se e somente se para todo x ∈ d om f e todo v , a função
f (x + t v) é convexa no domínio t : x + t v ∈ d om f

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2. Função Linear 2.1 Função linear e sua representação gráfica

Dimensionamento de uma placa de orifício

condução - Unisinos

20 3 4 3 5 2 xx = - 2 2 3 4 = + + xx )05 4 2 2 = - ∙ + + ∙