Elementos Finitos

Capítulo III
3.2. Método das Diferenças Finitas
Este item 3.2 foi extraído da referência [55] Carnahan 1969, sofrendo modificações.
Em todo o desenvolvimento da análise numérica, utiliza-se as diferenças finitas, com um
roteiro a ser seguido numa seqüência lógica. Partindo da definição de operadores
numéricos de diferenças finitas (∆, ∇, µδ e δ), introduz-se o conceito de interpolação
através das fórmulas de Gregory-Newton e Stirling, que utilizam estes operadores. Em
seguida, introduz-se a derivação numérica e a integração numérica (Quadratura) por meio
da derivação e integração da fórmula de Gregory-Newton, chegando às fórmulas de
Newton-Cotes.
Seguindo essa técnica, praticamente todos os tópicos da análise numérica podem
ser introduzidos por meio das diferenças finitas, e depois, eles são desenvolvidos para
além das diferenças finitas. No estudo de análise numérica de equações diferenciais não
é diferente. Sugere-se uma introdução por meio dos métodos das diferenças finitas (do
inglês: Finite Difference Methods ou FDM), e posteriormente, o desenvolvimento do
assunto para além das diferenças finitas, como por exemplo, a introdução do Método dos
Elementos Finitos. Com isso, segue-se um desenvolvimento didático muito próximo do
desenvolvimento histórico, uma vez que, conforme foi citado no item 1.2 da Introdução, o
método das diferenças finitas surgiu antes do Método dos Elementos Finitos.
O método das diferenças finitas pode ser utilizado para resolver problemas de valor
de contorno ou valor inicial, envolvendo equações diferenciais ordinárias ou parciais.
Assim, este método pode ser usado para solucionar as equações de modelos a
parâmetros concentrados ou distribuídos. A técnica consiste em substituir cada derivada
ou diferencial das equações diferenciais por aproximação de diferenças finitas ou
acréscimo finitos das variáveis, como mostra as equação 3.1 abaixo:
dx ≈ ∆x, dy ≈ ∆y
ì
ï
ï
dy ∆y d 2 y ∆2 y d 3 y ∆3 y
ï
≈
,
≈
≈
,
ï
dx ∆x
dx 2 ∆x 2
dx 3 ∆x 3
í
ï
ï
2
2
3
3
2
2
ï ∂u ≈ ∆u , ∂ u ≈ ∆ u , ∂ u ≈ ∆ u , ∂ u ≈ ∆ u
ïî ∂x ∆x ∂x 2 ∆x 2
∂x 3 ∆x 3 ∂x∂y ∆x.∆y
(3.1)
O Método de Elementos Finitos é bem mais recente que o anterior, sendo mais
genérico, e podendo ser aplicado a complexas estruturas geométricas e a ambientes com
várias mudanças de meio. Ele possui uma formulação matemática mais trabalhada,
sendo, portanto, um conjunto de técnicas e métodos que se baseia na discretização do
problema em elementos pequenos e na aproximação de cada elemento por um conjunto
de polinômios.
Considere, primeiramente, o problema formado por equações diferenciais
ordinárias (EDO’s). Existem dois tipos. Um deles, é o problema de valor inicial, que
1
assume a forma geral abaixo:
F[ t, y(t), y´(t) ] =0, t>0
t=t0, y=yo, y´=y´0
(3.2)
Onde, o t é a variável independente, usualmente o tempo; y é um vetor de variáveis
dependentes; y´ é a sua derivada em relação a t; F é um vetor de funções de t, y, e y´; e,
finalmente, yo e y´o são vetores que representam as condições iniciais do problema. Notese, que o domínio da variável t é semi-infinito, e que a solução deste problema deverá ser
obtida marchando-se no tempo, a partir da condição inicial. Caso exista, pelo menos, uma
função dentro do vetor F que não dependa de nenhum elemento do vetor y´, a equação
representa um sistema de equações algébrico-diferenciais (sistema de EAD). [68]
O outro tipo de problema é o do valor de contorno, que assume a seguinte forma
geral para sistemas de segunda ordem:
F[ x, y(x), y´(x), y´´(x) ] = 0, xo<x<xf
x=xo, go(x,y,y´)=0
x=xf, gf(x,y,y´)=0
(3.3)
Onde, o x é a variável independente, usualmente, uma coordenada espacial; y é o
vetor de variáveis dependentes; y´ e y´´ são as suas derivadas: primeira e segunda,
respectivamente, em relação a x; F é um vetor de funções; e go e gf são vetores de
funções que representam as condições de contorno nos limites do domínio do sistema de
equações.
O objetivo do Método das Diferenças Finitas é transformar um problema composto
por equações diferenciais em um problema formado por equações algébricas. O primeiro
passo, nesta direção, é a chamada discretização do domínio da variável independente. A
discretização consiste em dividir o domínio de cálculo em um certo número de
subdomínios. Para um domínio semi-infinito, existem infinitos subdomínios. Quando o
domínio é finito, o número de subdomínios também o é, e digamos que seja J. Em
qualquer caso, estipulam-se os pontos que delimitam os subdomínios, que, no caso de
um domínio finito, são iguais a (J+1), em número.
Note-se, que os subdomínios podem ter o mesmo tamanho, gerando uma malha
uniforme, ou então, formando uma malha não-uniforme. Embora as discretizações
baseadas no primeiro tipo de malha sejam mais simples, existem vantagens numéricas,
em muitos casos, no uso de malhas não-uniformes.
O segundo passo é gerar aproximações para as derivadas das variáveis
dependentes que aparecem nas diferenciais, nos pontos discretos, xj ou tj, isto é, obter y´j
e y´´j, utilizando apenas os valores de y nestes pontos discretos: yj. Finalmente, aplicamse as equações diferenciais ordinárias aos pontos discretos xj, substituindo as
aproximações obtidas para y´j e y´´j. Isto gera sistemas de equações algébricas na forma:
f( yj ) =0,
(3.4)
Onde, o f é um vetor de equações algébricas que depende dos valores
desconhecidos yj, sendo que esta dependência varia conforme o tipo de problema, de
contorno ou inicial. Este sistema de equações, quer seja ele linear ou não linear, pode ter
2
a sua solução obtida. Note-se, que a solução assim obtida para o problema consistirá em
uma seqüência de pontos, xj ou tj, onde se conhecem os valores de y, yj.
Ficam claras, agora, duas características do Método de Diferenças Finitas: a
aplicação das equações diferenciais é local, isto é, em cada ponto, xj ou tj, e a solução
obtida é composta por um conjunto enumerável de pontos onde os valores da solução são
conhecidos.
Um dos passo necessários na solução de equações diferenciais por diferenças
finitas é a aproximação das derivadas presentes nestas equações, aplicadas a um dado
ponto arbitrário, xj ou tj. Uma maneira simples de se obter estas aproximações, é por meio
do uso da expansão de uma função em série de Taylor, em torno de um dado ponto. Seja
xj este ponto base, podemos escrever o valor de y( xj+1 )= yj+1, pela seguinte série infinita:
y j +1 = y j + y′j ( x j +1 − x j ) +
y′j′( x j +1 − x j ) 2
2!
+
y′j′′( x j +1 − x j )3
3!
y′j′′(′ x j +1 − x j ) 4
+
4!
+ ... (3.5)
Enquanto que o valor de y(xj-1)=yj-1 é dado por:
y j −1
= y j − y ′j ( x j − x j −1 ) +
y ′j′ ( x j − x j −1 ) 2
2!
−
y ′j′′( x j − x j −1 ) 3
3!
+
y ′j′′(′ x j − x j −1 ) 4
4!
+ ... (3.6)
Considere, agora, a necessidade de se aproximar o valor de y´j , o que será feito,
utilizando-se as expansões acima. Estas equações podem ser escritas de forma mais
compacta por meio da definição do comprimento do domínio j : hj=xj-xj-1.
Dessa forma, multiplicando a segunda expansão (3.6) por hj+12, e diminuindo da
primeira expansão (3.5) multiplicada por hj2, obtemos a seguinte expressão, na qual y´´j foi
eliminado:
y ′j =
[h 2j y j +1 + (h 2j +1 − h 2j ) y j − h 2j +1 y j −1 ]
(h h j +1 + h j h
2
j
2
j +1
)
+ O (h 2 )
(3.7)
Nela, o O(z) indica que a aproximação tem ordem de grandeza de z, isto é, o valor
exato da derivada da função, no ponto considerado, é obtido, a partir da expressão
aproximada, no limite, quando z→0. Esta ordem de grandeza é oriunda do termo de
menor ordem (ou primeiro termo) entre aqueles que envolvem as derivadas de maior
ordem. O conjunto deste termos, ou a sua forma simplificada de representação por ordem
de grandeza, é denominado de erro de truncamento.
Para uma malha uniforme hj=h, qualquer que seja j, a aproximação dada fica com a
simplificação:
y ′j =
y j +1 − y j −1
2h
+ O(h 2 )
(3.8)
Ela é chamada aproximação por diferença central da derivada primeira de y.
Podemos, ainda, usar as expansões, para obter mais duas aproximações para a
3
derivada primeira de y, que para uma malha uniforme são dadas por:
y ′j =
y j − y j −1
h
+ O ( h)
(3.9)
Ela é obtida, a partir da segunda expansão (3.6), sendo chamada de aproximação
por diferença descendente (backward differentiation):
y ′j =
y j +1 − y j
h
+ O ( h)
(3.10)
Ela é obtida, a partir da primeira expansão (3.5), sendo chamada de aproximação
por diferença ascendente (forward differentiation).
Para uma aproximação da derivada segunda, pode-se somar as duas expansões
(3.5) e (3.6), obtendo-se:
y ′j′ =
y j +1 − 2 y j + y j −1
h
2
+ O(h 2 )
(3.11)
Ela é chamada aproximação por diferenças centrais da derivada segunda de y.
A equação anterior envolve três valores funcionais, para descrever uma
aproximação da derivada segunda da função, o que representa o mínimo necessário para
isto, já que a derivada primeira tem que ser eliminada da forma final, e, portanto, pelo
menos duas expansões em série de Taylor têm que ser consideradas.
Nada impede, que seja utilizada uma outra expansão em série de Taylor, para
melhorar a ordem de aproximação das equações acima. Por exemplo, poder-se-ia utilizar
a expansão para o valor funcional yj-2 ( ou yj+2 ), para eliminar o primeiro termo do erro de
truncamento da equação, obtendo-se, assim, uma aproximação de ordem h3. Entretanto,
aproximações envolvendo mais de três valores funcionais, em pontos adjacentes,
apresentam uma maior dificuldade de solução das equações algébricas obtidas pelo
processo de discretização.
Como exemplo, considere o problema de valor de contorno abaixo:
y´´+y´-2y=0 com x=0, y(0)=0 e para x=1, y(1)=1
(3.12)
Seja o domínio discretizado por uma malha uniforme com J, e subdomínios de
comprimento h e com xo=0 e xf=1. Aplicando a equação diferencial acima, nos pontos
onde não se conhecem os valores funcionais de y, temos:
y´´j+y´j-2yj=0, j=1,2,3,4....J-1
(3.13)
Utilizando as aproximações das derivadas primeiras e segunda por diferenças
centrais e arrajandos os termos, tem-se:
2(yj+1 –2 yj + yj-1) + h(yj+1-yj-1) – 4 h2 yj =0, j=1,2,3,4....,J-1
(3.14)
4
ou
(2+h) yj+1 - 4(h2+1) yj + (2-h) yj-1 =0, j=1,2,3,4,.....,J-1
e yo=0 e yJ=1
(3.15)
Logo, caímos em um sistema linear de equações algébricas. As condições de
contorno do problema dado acima são chamadas de primeiro tipo, isto é, definem o valor
da variável no contorno, sendo facilmente incorporadas ao sistema algébrico das
equações discretizadas. Diversos outros tipos de condições de contorno são possíveis,
sendo que, a sua utilização no sistema de equações algébricas discretizadas, torna-se um
pouco mais elaborada.
Em geral, a condição de contorno pode ser não-linear, na qual go e gt são funções
arbitrárias de x, y e y´. Entretanto, são três, os tipos existentes de condições de contorno
lineares.
Diz-se, que a condição de contorno é do primeiro tipo, quando o valor da variável
dependente é dado no contorno, sendo facilmente utilizada nas equações discretizadas.
O problema acima serve de exemplo, e a forma geral é dada por:
x=xc, y=yc
(3.16)
Quando a condição de contorno é de segundo tipo, o valor da derivada da variável
dependente é dado no contorno, isto é:
x=xc, y´=y´c
(3.17)
Esta condição de contorno tem que ser discretizada, para ser combinada com o
sistema algébrico discretizado, fazendo:
y ′j =
y j +1 − y j −1
2h
(3.18)
A condição de contorno é dita de terceiro tipo, quando tem a seguinte forma geral:
x=xc, ay´+by=c
(3.19)
Nela, a, b e c são constantes conhecidas. O seu tratamento é similar ao dado às
condições de contorno de segundo tipo.
Considere, agora, o seguinte problema de valor inicial que envolve apenas uma
diferencial ordinária na sua forma normal:
y´=f(t,y)
com t=0, y(0)=yo
(3.20)
Sendo o intervalo genérico entre tj e tj+1, considere diferentes formas de aproximar
a derivada primeira, utilizando, como informação conhecida, apenas o ponto j, isto é
y(tj)=yj .
Utilizando a aproximação de diferenças finitas para frente, para y´j, obtém-se :
5
Yj+1=yj+hf(t,yj) + O(h2), h=tj+1-tj
(3.21)
Fórmula que permite calcular yj+1 a partir de yj , com erro da ordem de h2. Esta
equação é explícita no valor desconhecido de yj+1, sendo, pois, o método denominado de
explícito. Especificamente, representa o método explícito de Euler. Não caímos em um
sistema linear, tendo a solução direta.
Caso, por outro lado, resolvermos utilizar a aproximação de diferenças finitas para
trás de y´j+1 , dada com j+1 no lugar de j, podemos aplicar no ponto tj+1 e escrever:
yj+1=yj + h f(tj+1, yj+1) + O(h2), h=tj+1-tj
(3.22)
Fórmula que calcula yj+1 a partir de yj, com erro da ordem de h2. Note-se que, no
caso geral, a equação é não linear no valor desconhecido de yj+1, sendo, pois, necessário,
utilizar-se um método adequado à solução de problemas não lineares, para se obter o
valor de yj+1.Assim, como yj+1 não pode ser explicitado a partir da equação, o método é
denominado de implícito. Mais especificamente, este é chamado método implícito de
Euler.
Além dos dois métodos acima, podemos, ainda, obter um terceiro, a partir da
aproximação por diferença central de y´j+1/2, no intervalo considerado. Aplicando ao meio
do intervalo, temos:
yj+1=yj + h f(tj+h/2, yj+1/2) + O(h3), h=tj+1-tj
(3.23)
Fórmula que ainda não pode ser usada para obter yj+1, porque o valor de f no ponto
considerado, não é conhecido. Entretanto, expandindo fj e fj+1 em série de Taylor, em
torno do ponto tj+1/2=tj+h/2, tem-se que:
yj+1=yj+h/2 . [ f(tj,yj) + f(tj+1,yj+1) ] + O(h3),
h= tj+1-tj
(3.24)
Fórmula que permite calcular yj+1, ainda que de forma implícita. Este método é
ainda implícito, sendo denominado de método trapezoidal (ou de Crank-Nicholson).
Considere a solução numérica do problema de valor inicial, abaixo:
y´=-y2, t>0 com t=0, y=1
(3.25)
Ela utiliza os métodos de Euler, até o ponto t=1, com passos uniformes de
integração de 0,2. A solução analítica deste problema é:
y(t)=1/(1+t)
(3.26)
Aplicando os métodos, temos:
6
Tabela 3.1 – Comparação dos métodos de diferenças finitas aplicados à equação 3.25.
[68].
T
Euler
Euler
Trapezoidal
Solução
Explícito
Implícito
Analítica
0,0
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,2
0,8000
0,8541
0,8310
0,8333
0,4
0,6720
0,7434
0,7113
0,7143
0,6
0,5817
0,6572
0,6220
0,6250
0,8
0,5140
0,5880
0,5528
0,5556
1,0
0,4612
0,5316
0,4975
0,5000
No caso de problema de valor inicial com equações de ordem maior do que 1, uma
redução de ordem deve ser feita para uma ordem menor, com a inserção de uma variável
no sistema. Exemplo:
y´´=3y´+y+5x
com y(0)=1 e y´(0)=2
(3.27)
Introduz-se a variável z com z=y´, derivando z´=y´´. Assim, temos agora, dois P.V.I.
(Problema de Valor Inicial) de primeira ordem:
ì z ′ = 3z + y + 5 x
í
z ( 0) = 2
î
ì y′ = z
í
î y ( 0) = 1
(3.28)
Resolvemos, simultaneamente, os dois P.V.I., construindo uma tabela de x, y e z.
[52]
Os métodos de Runge-Kutta são de ponto simples, explícitos, mas com diversos
estágios, de modo a se obter uma maior ordem de aproximação. A idéia básica deste tipo
de método é definir que a variação da variável dependente, no passo em questão, é dada
por uma média ponderada de variações desta variável, calculadas com avaliações
diferentes da função derivada, isto é:
n
ì
−
=
y
y
C i ∆y i
å
j +1
j
ï
i =1
ï
∆y1 = ∆t. f (t j , y j )
í
ï∆y = ∆t. f (t + a , y + b ) , com i > 1
j
i
j
i
ï i
î
(3.29)
Nela, Ci, ai e bi são coeficientes a serem determinados. Usando a equação acima,
e ou igualando-a à série de Taylor, determinamos estes coeficientes para a diversa ordem
de Runge-Kutta. Mostra-se, que Runge-Kutta é, na verdade, uma variação do Método das
Diferenças Finitas. Por exemplo:
Para segunda ordem: C1+C2=1, aC2=1/2 e bC2=1/2. Se escolhermos C2=1/2,
chegamos a Euler Modificado, onde C1=C2=0,5 e a=b=1.
7
Para quarta ordem: C1=C4=1/6, C2=C3=1/3,
a2=a3=h/2, a4=h, b2=b3=1/2 e b4=1.
Os problemas matemáticos descritos nesta seção correspondem a modelos mais
simples, onde existe apenas uma variável independente, seja ela o tempo ou uma
coordenada espacial. Entretanto, modelos físicos mais elaborados originam equações
diferenciais parciais (EDP’s), com duas ou mais variáveis independentes. As equações
diferenciais parciais, com suas condições auxiliares, formam tanto problemas de valor
inicial quanto problemas de valor de contorno.
A discretização de problemas, em mais de uma variável dependente, segue um
procedimento similar ao visto para problemas unidimensionais. O primeiro passo, aqui, é,
como antes, a discretização do domínio de cálculo. Serão considerados, neste estudo,
problemas com, no máximo, duas coordenadas espaciais, já que estes apresentam todas
as características dos problemas multidimensionais. A extensão do procedimento para
problemas tridimensionais é facilmente obtida.
Considere uma função u(t,x,y) definida em um domínio 0≤x≤1, 0≤y≤1 e t ≥0, que
podem ser coordenadas adimensionais ou não. A discretização do domínio pode ser feita
com malhas uniformes ou não uniformes. Como não há nenhuma característica
fundamental do procedimento de discretização, que seja dependente do tipo da malha, a
atenção especial é dada a malhas uniformes.
i-1,
j+1
i, j+1
i+1, j+1
y
i-1, j
i-1, j-1
i, j
i, j-1
i+1, j
i+1, j-1
x
Figura 3.1 – Malha de diferenças finitas em problemas com duas dimensões espaciais x e
y. Note-se, que, em geral, as malhas são quadradas, e se adota um índice para cada
variável i para x e j para y.
Temos assim: ui,jn=u(tn,xi,yj), onde tn, xi e yj representam cada ponto da malha de
discretização.
O segundo passo é, também, a aproximação por diferenças finitas das derivadas,
que aparecem na equação diferencial parcial, e que podem ser obtidas das expansões da
variável dependente, em série de Taylor, em relação a uma ou mais variáveis
independentes. [55]
Dada a expansão de Taylor para u(x,y), em um formato clássico:
∂
∂
1
∂
∂
+ k )u ( x, y ) + (h + k ) 2 u ( x, y )
∂x
∂y
2! ∂x
∂y
1
∂
∂
1
∂
∂
+ (h + k ) 3 u ( x, y ) + ... + (h + k ) n u ( x, y ) + ....
3! ∂x
∂y
n! ∂x
∂y
u ( x + h, y + k ) = u ( x , y ) + ( h
(3.30)
Ou fazendo a expansão até a derivada segunda :
8
u ( x + h, y + k ) = u ( x , y ) + h
∂u ( x, y )
∂u ( x, y )
+k
∂x
∂y
1 ∂ 2 u ( x, y )
∂ 2 u ( x, y ) 1 ∂ 2 u ( x, y )
+ h
+
+ k
+ ...
hk
2
∂x∂y
2
∂x 2
∂y 2
(3.31)
Assumindo-se o índice i para x e j para y, tem-se: u(x,y)=ui,j , u(x+h,y)=ui+1,j,
u(x,y+k)=ui,j+1, e assim por diante, onde cada espaçamento de h em x corresponde a
somar ou subtrair 1 no índice i, e cada espaçamento de k em y corresponde a somar ou
subtrair 1 no índice j. Com isso, faz-se a expansão em série, de Taylor, até a derivada
segunda de u(x+h,y) e u(x-h,y), usando a equação 3.31, abaixo:
∂u ( x, y ) 1 2 ∂ 2 u ( x, y )
+ h
+ ....
∂x
2
∂x 2
1 2 ∂2
+ h
u i , j + ...
2 ∂x 2
(3.32)
∂u ( x, y ) 1 2 ∂ 2 u ( x, y )
u ( x − h, y ) = u ( x , y ) − h
+ h
− ....
∂x
2
∂x 2
∂
1
∂2
u i +1, j = u i , j − h u i , j + h 2 2 u i , j − ...
∂x
2 ∂x
(3.33)
u ( x + h, y ) = u ( x , y ) + h
u i +1, j = u i , j
∂
+ h ui, j
∂x
e
Da equação 3.32, truncando todos os termos maiores que h2, ou seja, com erro
O(h ), e isolando a derivada primeira, chega-se a uma primeira aproximação por
diferenças finitas da derivada parcial de u em relação a x:
2
∂u i , j
∂x
=
u i +1, j − u i , j
h
=
u i +1, j − u i , j
∆x
(3.34)
Da equação 3.33, truncando todos os termos maiores que h2 , ou seja, com erro
O(h ), e isolando a derivada primeira, chega-se a uma segunda aproximação por
diferenças finitas da derivada parcial de u em relação a x:
2
∂u i , j
∂x
=
u i , j − u i −1, j
h
=
u i , j − u i −1, j
∆x
(3.35)
Somando-se a equação 3.32 com a equação 3.33, truncando todos os termos
maiores que h3, ou seja, com erro O(h3), e isolando a derivada primeira, chega-se a uma
terceira aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de u em relação a x:
∂u i , j
∂x
=
u i +1, j − u i −1, j
2h
=
u i +1, j − u i −1, j
2∆x
(3.36)
Subtraindo-se a equação 3.33 da equação 3.32, truncando todos os termos
maiores que h3, ou seja, com erro O(h3), e isolando a derivada segunda, chega-se a uma
aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de segunda ordem de u em relação
a x:
9
∂ 2ui, j
∂x 2
=
u i +1, j − 2u i , j + u i −1, j
h2
=
u i +1, j − 2u i , j + u i −1, j
(3.37)
(∆x) 2
A última etapa para a solução de uma equação diferencial parcial por diferenças
finitas, é substituir as aproximações das derivadas na equação e nas suas condições de
contorno, gerando um sistema algébrico, cuja solução fornece a solução aproximada do
problema original.
Dado o exemplo abaixo, considere uma barra fina metálica de 1 metro de
comprimento, e estude a condução de calor, segundo a equação:
∂u ∂ 2 u
=
∂t ∂x 2
(3.38)
u(x,t) é a temperatura da barra na posição x e instante t.
Condição Inicial: u(x,0)=0oC
Condições de Contorno: u(0,t)=u(1,t)=100oC
Passos: ∆x=0,2metros e ∆t=0,01segundos
Substituindo, na equação diferencial, as aproximações de diferenças finitas das
equações 3.34 e 3.37, e trocando o índice i por j para a derivada em relação a t, tem-se:
u i , j +1 − u i , j
∆t
=
u i +1, j − 2u i , j + u i −1, j
(3.39)
(∆x) 2
Isolando o termo ui,j+1 , que corresponde ao tempo seguinte, e substituindo os
valores de ∆x e ∆t, tem-se :
u i , j +1 =
u i +1, j + 2u i , j + u i −1, j
(3.40)
4
A equação acima fornece a temperatura do tempo j+1 em função do tempo anterior
j. Quando se tem uma equação deste tipo, onde o novo valor é calculado em função de
valores conhecidos, dá-se o nome de método explícito, pois pode-se explicitar um valor
desconhecido em função de outros já conhecidos. Em seguida, pode-se chegar na tabela
abaixo:
Tabela 3.2: Solução numérica do problema de condução de calor. [55]
J
0
1
2
3
4
5
6
I
t \ x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0
0,0 m
1
0,2 m
0
100
100
100
100
100
100
2
0,4 m
0
0
25
37,5
45,3
51,1
56,0
3
0,6 m
0
0
0
6,25
14,0
21,8
29,1
4
0,8 m
0
0
0
6,25
14,0
21,8
29,1
5
1,0 m
0
0
25
37,5
45,3
51,1
56,0
0
100
100
100
100
100
100
10
Veja-se, agora, um outro exemplo: considere uma placa quadrada fina metálica de
1 metro de comprimento, e encontre a temperatura de equilíbrio (após um tempo muito
grande), segundo a equação de Laplace:
∂ 2u ∂ 2u
=0
(3.41)
+
∂x 2 ∂y 2
u(x,y) é a temperatura da barra na posição x e y como na figura abaixo:
y
1
x
1
0
Figura 3.2 – Placa Quadrada do Exemplo
Condições de Contorno: u(0,y)=u(x,0)=100oC e
Passos: ∆x=∆y=0,25 metros
u(1,y)=u(x,1)=0oC
Substituindo, na equação diferencial, as aproximações de diferenças finitas da
equação 3.37, e trocando o índice i por j para a derivada em relação a y, tem-se:
u i +1, j − 2u i , j + u i −1, j
(∆x) 2
+
u i , j +1 − 2u i , j + u i , j −1
(∆y ) 2
=0
(3.42)
Lembrando que ∆x = ∆y, corta os denominadores e isolando o termo ui,j , tem-se :
ui, j =
u i +1, j + u i −1, j + u i , j +1 + u i , j −1
(3.43)
4
A equação acima fornece a temperatura na posição i, j , em função da média
aritmética das temperatura de cima, de baixo, da direita e da esquerda. Quando se tem
uma equação deste tipo, onde o novo valor é calculado em função de valores
desconhecidos, dá-se o nome de método implícito. Em seguida, pode-se chegar a um
sistema linear, onde a equação 3.43 é expandida para cada ponto do interior da placa,
seguindo a numeração dada na figura abaixo:
y
100
100
0
u7
0
u8
0
u9
0
0
100
u4
u5
u6
0
100
u1
u2
u3
0
100
100 100
0
0,25 0,5
100 100
0,75
1
x
Figura 3.3 : Malha da discretização da placa.
Expandindo a equação 3.43 para cada ponto do interior, de u1 a u9, chega-se às
equações:
11
u 2 + 100 + u 4 + 100
ì
ïu1 =
4
ï
u 3 + u1 + u 5 + 100
ï u2 =
4
ï
4u1 − u 2 − u 4 = 200
ì
0 + u 2 + u 6 + 100
ï
ï
ï u3 =
ï − u1 + 4u 2 − u 3 − u 5 = 100
4
ï
ï − u 2 + 4u 3 − u 6 = 100
u + 100 + u 7 + u1
ï u4 = 5
ï
4
ï
ï − u1 + 4u 4 − u 5 − u 7 = 100
u 6 + u 4 + u8 + u 2
ï
ï
Þ í− u 2 − u 4 + 4u 5 − u 6 − u 8 = 0
í u5 =
4
ï
ï − u − u + 4u − u = 0
3
5
6
9
+
+
0
u
u9 + u3
5
ï u =
ï
−
+
4
−
=
100
u
u
u
ï 6
ï
4
4
7
8
ï
ï
u 8 + 100 + 0 + u 4
ï u7 =
ï − u 5 − u 7 + 4u8 − u 9 = 0
4
ï
ïî
− u 6 − u8 + 4u 9 = 0
ï u = u9 + u7 + 0 + u5
ï 8
4
ï
0 + u8 + 0 + u 6
ï u9 =
î
4
(3.44)
Resolvendo o sistema linear da equação 3.44, chega-se à solução abaixo:
u 7 = 50,000 u8 = 28,571 u 9 = 14,285
u 4 = 71,428 u 5 = 50,000 u 6 = 28,571
u1 = 85,714 u 2 = 71,428 u 3 = 50,000
(3.45)
Observa-se a simetria em relação à diagonal principal da placa, e constata-se que
os valores da temperatura, nos vértices da placa, não entraram no cálculo. [55]
12
3.3. Método dos Elementos Finitos
O primeiro método numérico com o intuito de resolver equações diferenciais
parciais (PDE - Partial Differential Equations) foi o método das diferenças finitas. Neste
método, o domínio da solução é dividido em uma malha de pontos ou nós discretos. O
PDE é então aplicado para cada nó e suas derivadas substituídas por diferenças finitas
divididas. Embora tal aproximação seja, conceitualmente, de fácil compreensão, registrase alguns inconvenientes. Em particular, torna-se difícil sua aplicação em sistemas com
geometria irregular, condições de contorno não usuais ou composição heterogênea.
Figura 3.4 – (a) Uma peça industrial com geometria irregular e composição não
homogênea. (b) Tal sistema é muito difícil de modelar com a aproximação por diferenças
finitas. Isso se deve ao fato de complicadas aproximações serem requeridas nos
contornos do sistema e na fronteira entre as regiões de diferentes composições. (c) Uma
discretização de elementos finitos é muito melhor aplicada a tal sistema. [54]
O Método dos Elementos Finitos fornece uma alternativa melhor a tais sistemas.
Em contraste à técnica das diferenças finitas, o MEF divide o domínio da solução em
formas simples de regiões ou “elementos”. Uma solução aproximada do PDE pode ser
desenvolvida para cada um destes elementos. A solução total é então gerada, colocandoas juntas ou montando-as. Utilizando-se as soluções individuais, toma-se o cuidado de
assegurar a continuidade dos contornos entre os elementos. Assim, o PDE é satisfeito em
forma de fatias.
O uso de elementos, em vez de malhas retangulares, fornece melhor aproximação
em sistemas com formatos irregulares, além de valores desconhecidos poderem ser
gerados continuamente por meio do domínio da solução inteira, em vez de pontos
isolados.
Em razão de uma descrição detalhada ir além do escopo deste texto, este capítulo
se conterá a uma introdução geral do Método dos Elementos Finitos. O objetivo é mostrar,
de forma simples e fácil, suas características, princípios e capacidades. Assim, a seção
seguinte abordará uma visão geral dos passos envolvidos na solução de um problema,
utilizando o MEF. Este é seguido por um simples exemplo: molas ligadas em séries.
Embora este exemplo não envolva PDE, permite-se desenvolver e mostrar os principais
aspectos da aproximação de elementos finitos, sem ser desencorajados por fatores
complicados. Pode-se, então, discutir algumas características, envolvendo o emprego do
método de elementos finitos em PDE.
13
Etapas para aplicação do Método dos Elementos Finitos
-
Pré-Processamento:
- Definição do problema e do domínio.
- Discretização ou divisão do domínio em elementos.
-
Processamento:
- Obter as equações dos elementos [k]{u}={f}.
- Escolha da função de aproximação.
- Ajuste ótimo da função de aproximação.
- Formulação Direta.(ou)
- Método dos Resíduos Ponderados.(ou)
- Método Colocacional
- Método de Subdomínios
- Método dos Mínimos Quadrados
- Método de Galerkin
- Técnica Variacional.
- Método Rayleigh-Ritz
- Montagem ou colocação das equações dos elementos juntas [K]{u´}={F´}.
- Acréscimo das condições iniciais e de contorno k {u ′} = {F ′}.
- Solução do sistema linear (ou não linear) {u´}.
[]
-
Pós-Processamento:
- Apresentação dos resultados ou visualização gráfica.
- Determinação de variáveis secundárias.
3.3.1. Visão Geral
Este desenvolvimento foi extraído da referência [54], Chapra 1997. Embora as
particularidades irão variar, utiliza-se, usualmente, na implementação do Método dos
Elementos Finitos, um padrão de procedimentos, passo a passo. A seguir, é apresentada
uma breve visão geral de cada um desses passos, cuja aplicação, nos contextos de
Engenharia, irá ser demonstrada em itens subseqüentes.
3.3.1.1 Discretização (Pré-Processamento)
Este passo envolve a divisão do domínio solução em elementos finitos, e podem
ser em uma, duas ou três dimensões. Os pontos de interseção das linhas que descrevem
os lados dos elementos são referenciados como nós, e os lados são chamados de linhas
ou planos nodais.
14
Elemento Linear
(a) Unidimensional
Nó
Linha
Nodal
Elemento
Quadrílateral
Elemento
Triangular
(b) Bidimensional
Elemento
Hexaédrico
Plano Nodal
Elemento Tetraédrico
(c) Tri-dimensional
Figura 3.5 - Exemplos de elementos empregados em (a) uma, (b) duas, e (c) três
dimensões.
3.3.1.2. Equações dos Elementos (Processamento)
A seguir, desenvolvem-se equações, a fim de aproximar a solução de cada
elemento. Isso envolve dois sub-passos. Primeiro, escolhe-se uma função apropriada com
coeficientes desconhecidos, que serão usados para aproximar a solução. Por último,
avaliam-se os coeficientes, em que as funções se aproximam da solução, de forma
considerada ótima. [54]
Escolha das Funções de Aproximação
Considera-se que, por serem de fácil manipulação matemática, os polinômios são
freqüentemente empregados para este propósito. Para o caso unidimensional, a
15
alternativa mais simples é um polinômio de primeira ordem, ou uma linha reta:
u(x) = a0 + a1 x
(3.46)
Nesta fórmula, u(x) é a variável dependente; a0 e a1 são constantes; e x é a
variável independente. Essa função deve passar através dos valores u(x) nos pontos
finais dos elementos em x1 e x2. Portanto:
u1 = a0 + a1 x1
u2 = a0 + a1 x2
Onde u1 = u (x1) e u2 = u (x2). Estas equações podem ser resolvidas, usando a
regra de Cramer, onde:
a0 = (u1 x2 – u2 x1) / (x2 – x1)
a1 = (u2 – u1) / (x2 – x1)
Este resultado pode, então, ser substituído na Eq. (3.46), a qual, depois de se
arrumar os termos, pode ser escrita como:
u = N1 u1 + N2 u2
(3.47)
onde N1 = (x2 – x) / (x2 – x1)
(3.48)
e N2 = (x – x1) / (x2 – x1)
(3.49)
A equação (3.47) é chamada função “de aproximação” ou “de forma”, e N1 e N2 são
chamados de funções de interpolação. Inspecionando melhor, percebe-se que a Eq.
(3.47) é, de fato, o polinômio interpolador de primeira ordem de Lagrange. Ela fornece um
significado, para predizer valores intermediários (que é interpolar) entre valores dados u1
e u2 nos nós.
16
Nó 1
Nó 2
(a)
u
u1
u2
x1
x2
(b)
1
N1
x1
x2
(c)
N2
1
x2
x1
(d)
Figura 3.6 (b) Uma função de aproximação ou forma para (a) um elemento linear. As
correspondentes funções de interpolação são mostradas em (c) e (d). Note-se, que a
soma das funções de interpolação (N1+N2) são iguais a 1.
Em adição, lidar com equações lineares facilita operações como a diferenciação e
integração. Tais manipulações, mais à frente, serão importantes em outros itens. A
derivação da Eq. (3.47) é:
du dN1
dN 2
=
u1 +
u2
dx
dx
dx
(3.50)
De acordo com as Eq. (3.48) e (3.49), as derivadas de N1 e N2 podem ser
calculadas como:
1
dN1
=−
dx
x2 − x1
1
dN 2
=
dx
x2 − x1
(3.51)
E, portanto, a derivada de u é:
1
du
(−u1 + u2 )
=
dx x2 − x1
(3.52)
Em outras palavras, essa é a diferença dividida, representando a inclinação da reta
conectada nos nós.
A integral pode ser expressa como:
17
x2
x2
x1
x1
ò udx = ò N1u1 + N 2u2 dx
Cada termo, no lado direito, é somente a integral de um triângulo reto com base x2
– x1 e altura u. Isto é:
x2
1
ò Nudx = 2 ( x
2
− x1 )u
x1
Assim, a integral inteira é:
x2
ò udx =
x1
u1 + u 2
( x 2 − x1 )
2
(3.53)
Ou seja, simplesmente, a regra dos trapézios.
Obtenção de um Ajuste Ótimo da Função de Aproximação
Após a escolha da função de interpolação, as equações que governam o
comportamento dos elementos deve ser desenvolvida. Elas representam um ajuste da
função de aproximação, com a finalidade de solução da subjacente equação diferencial.
Vários métodos são disponíveis para este propósito. Entre os mais comuns, cita-se a
aproximação direta, o método dos resíduos ponderados, e a técnica variacional. O
resultado desses métodos é análogo para o ajuste de curvas. Contudo, em vez de ajustar
funções para dados, eles especificam relacionamentos entre a desconhecida Eq. (3.47)
para satisfazer as subjacentes PDE, em uma forma apropriada.
Matematicamente, o resultado das equações dos elementos irá, freqüentemente,
consistir de um conjunto de equações lineares algébricas, podendo ser expressa na forma
matricial:
[k] {u}={F}
(3.54)
Nela, [ k ] é uma matriz propriedade ou rigidez do elemento; { u } é um vetor coluna
de valores desconhecidos dos nós; e { F } é um vetor coluna, refletindo o efeito de
quaisquer influências externas aplicadas nos nós. Percebe-se, que, em alguns casos, as
equações podem ser não lineares. Contudo, nos exemplos elementares descritos aqui e
em muitos dos problemas práticos, os sistemas são lineares.
3.3.1.3. Montagem (Processamento)
Depois de se obter as equações dos elementos individuais, elas devem ser
colocadas juntas ou montadas, para caracterizar o comportamento unificado do sistema
inteiro. O processo de montagem é governado pelo conceito de continuidade. Isto é, as
soluções de elementos contíguos são combinadas, e os valores desconhecidos (algumas
vezes, as derivadas) de seus comuns nós são equivalentes. Assim, a solução total será
contínua.
18
Quando todas as versões individuais da Eq. (3.54) são, finalmente, montadas, o
sistema inteiro é expresso sob forma matricial, como:
[ K ] { u´ } = { F´ }
(3.55)
Nela, [ K ] é a matriz propriedade montada e { u´ } e { F´ } são vetores colunas de
valores desconhecidos dos nós e forças externas feitas com apóstrofos, para denotar uma
montagem dos vetores { u } e { F } dos elementos individuais.
3.3.1.4. Condições de Contorno e Iniciais (Processamento)
Antes da Eq. (3.55) poder ser resolvida, deve-se modificá-la, para considerar as
condições iniciais e de contorno do sistema. Estes ajustes resultam em:
[k ] {u ′} = {F ′}
(3.56)
Nela, as barras significam as condições de contorno incorporadas.
3.3.1.5. Solução (Processamento)
Pode-se obter a solução da Eq. (3.56), com técnicas para a resolução de sistemas
lineares e não lineares. Em muitos casos, os elementos serão configurados, de modo que
as equações resultantes possam ser unidas, diminuindo o tamanho do sistema. Assim, o
esquema de eficiência mais alto disponível a cada sistema é possível de ser empregado.
O uso de simetrias, onde uma parte do sistema é igual à outra, possibilita a redução da
ordem do sistema linear.
3.3.1.6 Apresentação dos Resultados (Pós-Processamento)
Obtida a solução, esta será exibida na forma de tabelas ou gráficos. Em adição,
variáveis secundárias serão determinadas e expressas.
Apesar dos passos precedentes serem muito genéricos, eles são comuns na
maioria das implementações do Método dos Elementos Finitos. No item seguinte, ilustrase como eles podem ser aplicados na obtenção do resultado numérico de dois sistemas
físicos simples – o primeiro, molas ligadas em série, e depois, uma haste sendo aquecida.
3.3.2. Exemplo da Temperatura de Equilíbrio
Nos item seguinte vai-se exemplificar o Método dos Resíduos Ponderados usando
a Técnica de Galerkin para um caso bidimensional. Usa-se um exemplo semelhante ao do
item 3.2 do MDF. Considere uma placa quadrada fina metálica de 1 metro de
comprimento, e encontre a temperatura de equilíbrio (após um tempo muito grande),
segundo as equação de Laplace:
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x 2 ∂y 2
(3.57)
19
u(x,y) é a temperatura da barra na posição x e y como na figura abaixo:
y
1
x
0
1
Figura 3.7 – Placa Quadrada do Exemplo.
Condições de Contorno: u(x,0)=0oC, u(x,1)=100oC, u(0,y)=75oC e u(1,y)=50oC
3.3.3. Problema Bidimensional
Este item foi extraído da referência [54]. Embora o número de operações
matemáticas cresça bastante, a extensão da aproximação de elementos finitos para duas
dimensões é, conceitualmente, similar à aplicação unidimensional discutida. Assim, ela
segue os mesmos passos, como mostrado no subitem 3.2.1.
3.3.3.1. Discretização
Uma variedade de simples elementos, como triângulos e quadriláteros, são
usualmente empregados para fracionar os elementos finitos em duas dimensões. Na
discussão presente, limitar-se-á a elementos triangulares do tipo descrito na Fig. 3.8.
y
3
2
1
x
Figura 3.8 Um elemento triangular
3.3.3.2. Equações dos Elementos
Como no caso unidimensional, o próximo passo é desenvolver uma equação para
aproximar a solução ao elemento. Em um elemento triangular, a aproximação mais
simples é um polinômio linear [Compare com a Eq. (3.46)].
u(x, y) = a0 + a1,1x + a1,2y
(3.58)
Onde u é a variável dependente, os a’s representam os coeficientes, e x e y são
variáveis independentes. Essa função deve passar pelos valores de u(x, y) nos nós do
triângulo (x1, y1), (x2, y2), e (x3, y3). Portanto:
u1(x, y) = a0 + a1,1x1 + a1,2 y1
u2(x, y) = a0 + a1,1x2 + a1,2 y2
20
u3(x, y) = a0 + a1,1x3 + a1,2 y3
Ou na forma matricial:
é1 x1
ê1 x
2
ê
êë1 x3
y1 ù ì a 0 ü ì u1 ü
ï ï ï ï
y 2 úú í a1,1 ý = íu 2 ý
y 3 úû ïîa1, 2 ïþ ïîu 3 ïþ
Este pode ser resolvida a:
1
[u1 ( x 2 y 3 − x3 y 2 ) + u 2 ( x3 y1 − x1 y 3 ) + u 3 ( x1 y 2 − x 2 y1 )]
2 Ae
1
a1,1 =
[u1 ( y 2 − y 3 ) + u 2 ( y 3 − y1 ) + u 3 ( y1 − y 2 )]
2 Ae
1
a1, 2 =
[u1 ( x3 − x 2 ) + u 2 ( x1 − x3 ) + u 3 ( x 2 − x1 )]
2 Ae
a0 =
(3.59)
(3.60)
(3.61)
Onde Ae é a área do elemento triangular:
1
Ae = [( x 2 y 3 − x3 y 2 ) + ( x3 y1 − x1 y 3 ) + ( x1 y 2 − x 2 y1 )]
2
As equações (3.59) até (3.61) podem ser substituídas na Eq. (3.58). Depois de
agrupar os termos, o resultado pode ser expresso como:
u = N1u1 + N2u2 + N3u3
(3.62)
Onde:
1
[( x 2 y 3 − x3 y 2 ) + ( y 2 − y 3 ) x + ( x3 − x 2 ) y ]
2 Ae
1
N2 =
[( x3 y1 − x1 y 3 ) + ( y 3 − y1 ) x + ( x1 − x3 ) y ]
2 Ae
1
N3 =
[( x1 y 2 − x 2 y1 ) + ( y1 − y 2 ) x + ( x 2 − x1 ) y ]
2 Ae
N1 =
A equação (3.62) fornece uma maneira de predizer valores intermediários para o
elemento, com base nos valores dos nós. A Figura 3.9 mostra a função de aproximação
com as correspondentes funções de interpolação. Percebe-se, que a soma das funções
de interpolação é sempre igual a um.
21
Figura 3.9 (a) Uma linear função de aproximação para um elemento triangular. As
correspondentes funções de interpolação são mostradas em (b) até (d). Fonte [54]
Também no caso unidimensional, vários métodos são disponíveis para desenvolver
as equações dos elementos, baseadas na subjacente PDE e nas funções de
aproximação. As equações resultantes são, consideravelmente, mais complicadas que as
do caso unidimensional. Contudo, devido às funções de aproximação serem usualmente
polinômios de mais baixa ordem, como na Eq. (3.58), os termos da matriz final do
elemento consistirá a polinômios de baixa ordem e constantes.
22
3.3.3.3. Ajuste Ótimo da Função de Aproximação
O desenvolvimento foi extraído da referência [37]. Seja em R2, espaço onde se
situa o maior número de problemas físicos, a ortogonalidade de duas funções f e g é dada
por:
ò f .g
dv = 0
Ω
Logo, na resolução de um problema, onde as derivadas parciais podem ser
traduzidas pela pesquisa de uma função v , tal como os operadores L sobre o domínio e B
sobre a fronteira, que verifica-se: L(v) – f = 0 e B(v) – g =0. [37]
O método denominado Método dos Resíduos Ponderados consiste, na pesquisa de
funções v , em que satisfaçam a condição de contorno, ponderadas por funções u, tais
que, para toda função u que satisfaça condições de continuidade determinadas, se possa
escrever:
ò u.( L(v) − f )dw = 0
(3.63)
Ω
Se o conjunto de funções u é de dimensão infinita, então, é possível obter uma
equivalência entre o problema, as derivadas parciais e sua formulação integral.
Entretanto, nas aplicações práticas, as funções u formam um espaço de dimensão finita, e
a fórmula (2.63) constitui uma única aproximação caracterizada pela função dada e por
este conjunto de funções.
A vantagem do Método dos Resíduos Ponderados, em relação à formulação
variacional, é poder se aplicar a qualquer equação, independentemente, da existência e
do conhecimento de uma formulação variacional do problema; por outro lado, de início,
existe um erro de método caracterizado pela escolha das funções u; no entanto, este
último ponto é de importância secundária, pois este erro e o de aproximação se
conjugam, para resultar, sob certas condições, os mesmos resultados nas duas
formulações.
Tem-se, como exemplo, o problema térmico (Para o exemplo do item 3.3.2 tem-se
k=1 e Q=0):
∂ æ ∂T ö ∂ æ ∂T ö
÷+Q = 0
çk
÷ + çk
∂x è ∂x ø ∂y çè ∂y ÷ø
T = T0 I s
A formulação, em termos do Método dos Resíduos Ponderados, consiste em
escolher funções T, que verificam as condições de contorno, onde ∀u é:
æ ∂ æ ∂T ö
∂ æ ∂T ö
ö
òò uççè ∂x çè k ∂x ÷ø + ∂y ççè k ∂y ÷÷ø + Q ÷÷ødΩ = 0
Ω
Uma integração, por partes, permite transformar esta integral:
23
ö
æ æ ∂T ∂u ∂T ∂u ö
∂T
÷dΩ + ò ku dS = 0
ç
ç
÷
−
+
k
+
uQ
òò çè çè ∂x ∂x ∂y ∂y ÷ø
÷
∂n
S
ø
Se impusermos u=0 sobre o contorno, o segundo termo desaparece e resulta a:
ö
æ æ ∂T ∂u ∂T ∂u ö
÷dΩ = 0
ç
ç
÷
−
Qu
+
k
òò çè çè ∂x ∂x ∂y ∂y ÷ø
÷
ø
A seqüência de funções de projeção ui tomada e as funções de aproximação αi
escolhida para T caracterizarão, portanto, o método. [37]
O princípio geral consiste em determinar os coeficientes u1, u2,..., uNN da
aproximação u* , pela realização de um certo número de condições a impor. Se a função u
é substituída por sua aproximação u* sobre todo domínio Ω, obtém-se:
NN
u = å ui N i
*
i =1
NN
NN
i =1
i =1
; u ′x* = å u i N ix′ ; u ′y* = å u i N iy′ ,
Onde os ui são os coeficientes numéricos. Como foi visto, anteriormente, são, de
fato, valores de u* em cada um dos nós da discretização. Logo, o funcional vem a ser uma
função exclusiva dos coeficientes u1, u2,..., uNN. Pode-se, então, escrever a função
pesquisada u* aproximada pela combinação linear:
u * = A1 N 1 + A2 N 2 + ... + ANN N NN
Onde os coeficientes A1, A2,..., ANN serão determinados pelo método, de forma a
realizar a melhor aproximação possível de u sobre a base de funções N1, N2,..., NNN.
No Método dos Elementos Finitos, o domínio de estudo é discretizado em
subdomínios chamados Elementos Finitos, sobre os quais, a função procurada é
aproximada por um polinômio. A discretização realizada é uma partição do domínio, sem
buracos nem recobrimentos. Os polinômios próprios de cada elemento devem respeitar,
na fronteira, as condições de continuidade compatíveis com aquelas impostas pela
natureza do problema. Este vínculo permite determinar o conjunto de funções Ni, a partir
das funções Ni(e) definidas sobre cada elemento.
Um exemplo em R2, é uma divisão em dois sub-domínios triangulares de primeira
ordem, sobre os quais, a função procurada é aproximada por um polinômio de primeira
ordem: P=a+bx+cy. Em cada elemento, existem três coeficientes a determinar, e,
portanto, três monômios, perfazendo um total de seis coeficientes não conhecidos; mas
as condições de continuidade sobre a aresta, que une os vértices 2 e 3 aos seis
coeficientes, restringem a 4 o número real de coeficientes não conhecidos. Há, então,
uma função de aproximação que afeta cada vértice, como mostrado na Figura 3.10.
24
3
1
4
2
Figura 3.10 - Domínio a dois elementos triangulares.
A escolha de cada elemento das funções de aproximação definirá o seu tipo, e
caracterizará, pela seqüência, a natureza das funções de aproximação. Há uma ligação
matemática rigorosa entre a escolha da natureza das funções de aproximação (lineares,
quadráticas, cúbicas) e a forma dos elementos, sempre definidas por trechos sobre a
discretização.
Na aplicação deste método, é preciso escolher um conjunto de funções de projeção
(ou funções de ponderação) Φ1, Φ2,..., ΦNN antes de escrever as equações de projeção
L(u*) sobre cada uma destas funções. Na técnica de Galerkin tem-se N1=Φ1 , N2=Φ2 e
assim por diante.[37]
ö
æ æ NN
ö
Φ
u j N j ÷÷ − f ÷ dΩ = 0
òò 1 çç Lççè å
÷
ø
ø
è j =1
NN
ö
æ æ
ö
u j N j ÷÷ − f ÷dΩ = 0
òò Φ 2 çç Lççè å
÷
ø
ø
è j =1
...
ö
æ æ NN
ö
ç
ç
÷
Φ
L
u
N
−
f
å
òò NN ç çè j =1 j j ÷ø ÷÷dΩ = 0
ø
è
(3.64)
Obtém-se, de novo, um sistema de NN equações algébricas a resolver para se
encontrar as NN incógnitas u1, u2,..., uNN.
Observações Importantes:
A aplicação do método dos elementos finitos conduz à substituição de uma
equação ou sistema de equações a derivadas parciais por um sistema de equações
algébricos, contento coeficientes da função de aproximação, que são, na realidade, os
valores das funções de aproximação nos nós do domínio discretizado. Como no Método
dos Resíduos Ponderados as funções de ponderação são idênticas às funções de
aproximação, o sistema de equações obtido é idêntico àquele obtido pela formulação
variacional.
Se o operador L é linear, então a funcional é quadrática, implicando na linearidade
do sistema de equações algébricas obtido. Da mesma forma, no Método dos Resíduos
Ponderados, a linearidade de L implica na linearidade das equações (3.64), pois, em cada
uma delas, os coeficientes ui podem ser colocadas em evidência na integral.
25
NN
æ æ NN
öö
÷
ç
ç
÷
Φ
L
u
N
−
f
d
Ω
=
uj
å
j
j
òò i ç çè å
÷÷
i =1
øø
è j =1
(òò L(N )Φ dΩ) − òò Φ fdΩ
j
i
Ω
i
3.3.3.4. Condições de Contorno e Montagem
A incorporação das condições de contorno e a montagem do sistema matricial
também se tornam mais complicados, quando a técnica dos elementos finitos é aplicada
em problemas de duas ou três dimensões. Contudo, como na derivação da matriz
elemento, as dificuldades relativas ao mecanismo dos processos são maiores do que a
complexidade conceitual. Por exemplo, o estabelecimento da topologia do sistema, o qual
era trivial para o caso de uma dimensão, torna-se um problema de grande importância em
duas ou três dimensões. Em particular, a escolha do esquema de numeração irá ditar a
estrutura do sistema matricial resultante e, portanto, a eficiência com a qual ele pode ser
resolvido. A Figura 3.11 mostra um esquema desenvolvido para uma placa plana em
equilíbrio térmico, solucionada por meio do método dos elementos finitos.
100 oC
75 oC
Y
50 oC
X
O oC
Figura 3.11 - Um esquema de numeração dos nós e elementos para uma aproximação
por elementos finitos, para uma placa plana em equilíbrio térmico. [54]
Logo para o exemplo tem-se:
∂ 2T
∂ 2T
R =
+
∂x 2
∂y 2
Integrando pelo Método dos Resíduos ponderados e associado à técnica de
Galerkin, tem-se:
æ ∂ 2T ∂ 2T ö
òòΩ N i ççè ∂x 2 + ∂y 2 ÷÷ødΩ = 0
26
onde Ni são as funções de teste no caso as funções de Lagrange N1, N2 e N3 da função
de aproximação T = T1 . N1 + T2 . N2 + T3 . N3. Após uma integração por partes (Teorema
de Green), obtém-se:
æ ∂T ∂N i ∂T ∂N i
+
∂x
∂y ∂y
òò ççè ∂x
∆
ö
∂T
÷÷d∆ = − ò N i
dS
∂n
ø
S
para cada elemento triangular. O termo do lado direito representa o fluxo sobre o contorno
do elemento triangular (Percorrendo no sentido anti-horário). Assim para um elemento
genérico 1,2 e 3 pode-se escrever:
− ò Ni
S
(
) (
) (
)
∂T
dS = Fluxo no lado 12 [F12 ] + Fluxo no lado 23 [F23 ] + Fluxo no lado 31 [F31 ]
∂n
Pode-se aplicar as equações acima em cada elemento da malha:
Para o Elemento (1) tem-se:
Nó 7 (0,25;0,25)
Nó 1 (0;0)
Nó 2 (0,25;0)
Figura 3.12 – Elemento 1 da Malha com as coordenadas (x,y) de cada nó.
Para i=1:
0 , 25 x
æ ∂T ∂N 1 ∂T ∂N 1 ö
∂T
÷÷dydx = − ò N 1 dS
+
∂y ∂y ø
∂n
∂x
0
S
ò ò ççè ∂x
0
Substituindo a integral do lado direito pelo fluxo em cada lado do triangulo e
lembrando que N1 é zero para o lado oposto ao vértice 1 (F27=0) tem-se:
0 , 25 x
æ ∂T ∂N 1 ∂T ∂N 1 ö
÷dydx = F12 + F71
+
∂y ∂y ÷ø
∂x
0
ò ò ççè ∂x
0
Resolvendo o lado esquerdo tem-se:
0,5T1 − 0,5T2 = F12 + F71
(3.65)
Para i=2 tem-se de maneira similar:
27
0 , 25 x
æ ∂T ∂N 2 ∂T ∂N 2
+
∂y ∂y
∂x
0
ò ò ççè ∂x
0
ou
ö
÷÷dydx = F27 + F12
ø
− 0,5T1 + 0,5T7 = F27 + F12
(3.66)
Para i=3 tem-se:
0 , 25 x
ò
0
æ ∂T ∂N 3 ∂T ∂N 3 ö
ò0 ççè ∂x ∂x + ∂y ∂y ÷÷ødydx = F71 + F27
ou
− 0,5T2 + 0,5T7 = F71 + F27
(3.67)
As equações de (3.65) até (3.67) formam as equações elemento para o primeiro
triangulo. De maneira similar para o segundo elemento tem-se:
ì 0,5T1 − 0,5T6 = F17 + F61
ï
í 0,5T6 − 0,5T7 = F61 + F76
ï− 0,5T + 0,5T = F + F
6
7
76
17
î
Cada equação acima foi obtida para N1, N2 e N3, respectivamente. Deve notar que
F71=-F17 ou seja o fluxo que sai do elemento 1 e vai para o elemento 2 através do lado
modal 17 é o mesmo que sai do elemento 2 e vai para o elemento 1 só que com sentido
oposto. Isso é fundamental na fase de montagem onde os termos de fluxo interno na
placa irão se anular.
Vai-se procedendo assim para os 32 elementos da malha do exemplo. Para os
triângulos inferiores (Elementos impares 1,3,5,7...31) tem-se:
ì 0,5T1 − 0,5T2 = F12 + F31
ï
í − 0,5T1 + 0,5T3 = F12 + F23
ï− 0,5T + 0,5T = F + F
2
3
31
23
î
Para os triângulos superiores (Elementos pares 2,4,6,8...32) tem-se:
ì 0,5T1 − 0,5T2 = F13 + F21
ï
í 0,5T2 − 0,5T3 = F21 + F32
ï− 0,5T + 0,5T = F + F
2
3
32
13
î
Montando as equações elementos tem-se 25 equações e 41 incógnitas, das quais
25 são de T1, T2,..., T25 mais 16 correspondente ao fluxo em cada lado externo dos
elemento (F12, F23, F34, F45, F5,10 .... F61).
28
T1 + 0,5T2 − T7 + 0,5T8 = F12 + F16;
ì
ï
− 0,5T1 + T2 − 0,5T4 + 0,5T8 = F23;
ï
ï
− 0,5T2 + T3 − 0,5T4 − 0,5T9 = F34 ;
ï
ï − 0,5T3 + T4 − 0,5T5 + 0,5T9 + T10 = F45 + F5,10 ;
ï
− 0,5T4 + T5 − 0,5T10 − 0,5T9 = F5,10;
ï
− 0,5T1 + T6 − T7 + 0,5T12 = F16;
ï
ï
í − 0,5T2 + 0,5T3 − T7 + 0,5T8 − 0,5T12 − 0,5T13 = 0;
ï − 0,5T − 0,5T −1,5T + T − 0,5T − 0,5T = 0;
2
3
7
8
13
14
ï
ï − 0,5T3 − 0,5T4 −1,5T8 + T9 − 0,5T15 − 0,5T15 = 0;
ï − 0,5T + T − 0,5T + 0,5T = F + F ;
9
10
14
15
5,10
10,15
ï
ï − 0,5T6 + T11 − 0,5T12 + 0,5T17 = F6,11 + F11,16;
ï
ï− 0,5T6 − 0,5T7 +1,5T12 + 0,5T13 − 0,5T17 − 0,5T18 = 0;
ïî − 0,5T7 − 0,5T8 + T13 + 0,5T14 − 0,5T15 − 0,5T19 = 0;
0,5T9 − 0,5T10 − T14 + 0,5T18 − 0,5T19 = 0;
− 0,5T9 − 0,5T10 + T15 + 0,5T20 = F5,10 + F15,20;
− 0,5T11 + 0,5T12 − T16 + 0,5T21 = F11,16 + F16,21;
− 0,5T12 + 0,5T13 − T17 + 0,5T22 + T23 = 0;
− 0,5T21 + 0,5T13 − T18 + 0,5T23 − 0,5T24 = 0;
− 0,5T14 + 0,5T15 + T19 + 0,5T25 = F20,25 + F25,24;
− 0,5T14 + 0,5T15 − T20 + 0,5T25 = F20,25 + F15,20;
− 0,5T16 + 0,5T17 + T21 + 0,5T22 = F16,21 + F21,22;
− 0,5T16 + 0,5T17 − T22 + 0,5T23 = F21,22 + F22,23;
− 0,5T17 + 0,5T18 + T23 + 0,5T24 = F22,23;
− 0,5T18 + 0,5T19 + T24 + 0,5T25 = F23,24;
− 0,5T19 + 0,5T20 − 0,5T24 + T25 = F24,25 + F20,25;
Pode-se agora colocar as condições de contorno:
T1 = 0; T2 = 0; T3 = 0; T4 = 0; T5 = 0;
ì
ï
T6 = 75; T11 = 75; T16 = 75;
ï
í
T10 = 50; T15 = 50; T20 = 50;
ï
ïîT21 = 100; T22 = 100; T23 = 100; T24 = 100; T25 = 100;
Resolvendo o sistema final de 25 equações e 25 incógnitas tem-se :
ìT17 = 78,57 T18 = 76,12 T19 = 69,64
ï
íT12 = 63,17 T13 = 56,25 T14 = 52,46
ï T = 42,86 T = 33,26 T = 33,93
8
9
î 7
Solução para as temperaturas internas na placas em equilíbrio térmico. As outras
incógnitas tem um interesse menor pois são o fluxo nas bordas da placa.
29
3.3.3.5. Solução e Apresentação do Resultado (Pos-Processamento)
Embora o mecanismo seja complicado, o sistema matricial é meramente um
conjunto de n equações simultâneas, que pode ser solucionada, para se encontrar os
valores das variáveis dependente nos n nós. A Figura 3.13 mostra uma solução possível,
no caso de uma placa em equilíbrio térmico.
Figura 3.13 - A distribuição da temperatura de uma placa em equilíbrio térmico, sendo
calculada por meio do Método dos Elementos Finitos. [54]
3.3.3.6. Comparação com a Solução pelo MDF
Mesmo neste exemplo com meio homogêneo e geometria simples, nota-se uma
vantagem no MEF, pois não se é obrigado a usar malhas retangulares de mesmo
tamanho como no MDF. Em outros problemas com meios não homogêneos, geometrias
complexas e parâmetros não lineares as vantagens do MEF aumentam bastante. O que
torna o MEF um método bem mais amplo e com uma aplicabilidade prática muito maior
que o MDF. Assim o aumento na complexidade matemática dos elementos finitos é
compensada por sua portabilidade e eficiência na solução de equações diferenciais
parciais encontradas na engenharia. Por esta razão o MEF é o método mais comumente
implementado pelas ferramentas de CAE e para muitos autores é a base da Engenharia
Assistida por Computador.
30
Apêndice A
Ajuste Ótimo da Função de Aproximação em uma
Dimensão
A.1. Solução de Elementos Finitos para Molas em Séries
Figura A.1 (a) Uma série de molas interconectadas. Uma extremidade é fixada na
parede, enquanto a outra é submetida a uma força constante F. (b) Representação em
elementos finitos. Cada mola é representada por um elemento. Portanto, o sistema
consiste de quatro elementos e cinco nós. [54]
Descrição do problema: a figura A.1 mostra uma série de molas Interconectadas.
Uma extremidade é fixada a uma parede, enquanto a outra é sujeita a uma força
constante F. Usando, passo a passo, os procedimentos do Método dos Elementos Finitos,
determina-se o deslocamento das molas.
Solução − Discretização: o modo de particionar esse sistema é, obviamente, tratar
cada mola como um elemento. Assim, o sistema consiste de quatro elementos e cinco
nós (Fig. A.1b).
Equações dos Elementos: como este sistema é muito simples, suas equações dos
elementos podem ser escritas diretamente, sem o recurso da aproximação matemática.
Este é um exemplo de aproximação direta para os elementos derivados.
31
Figura A.2 - Um diagrama de corpo livre de um sistema de molas. [54]
A Figura A.2 mostra um elemento individual. O relacionamento entre a força F e o
deslocamento x pode ser representado, matematicamente, pela lei de Hooke:
F=kx
Onde, k representa a constante da mola, a qual pode ser interpretada como a força
requerida para causar uma unidade de deslocamento. Se uma força F1 é aplicada no nó
1, o seguinte balanço de força (reação) deve segurar:
F = k (x1 – x2)
Onde, x1 é deslocamento do nó um da sua posição de equilíbrio; e x2 o
deslocamento do nó dois da sua posição de equilíbrio. Assim, x2 – x1 representa o quanto
a mola é alongada ou comprimida e relativa ao equilíbrio (Fig. A.2).
Essa equação pode também ser escrita como:
F1 = k x1 – k x2
Para um sistema estacionário, um balanço de forças também necessita que F1=F2
e, portanto:
F2 = -k x1 + k x2
Estas duas simultâneas equações especificam o comportamento do elemento em
resposta às forças aplicadas. Podem ser escritas numa forma matricial, como:
é k
ê− k
ë
− k ù ì x1 ü ì F1 ü
í ý=í ý
k úû î x 2 þ î F2 þ
Ou então:
[k]{x}={F},
Onde a matriz [ k ] é a matriz propriedade do elemento. Neste caso, é também
referenciada com a matriz rigidez do elemento. Note-se, que esta última equação tem sido
32
moldada no formato da Eq. (3.54). Assim, obteve-se sucesso na geração de uma equação
matricial, que descreve o comportamento de um elemento típico no sistema.
Antes de proceder para o próximo passo, montagem da solução total, introduzir-seá alguma notação. Os elementos [ k ] e { F } são convencionalmente colocados
sobreescrito e subescrito, como em:
− k12( e ) ù ì x1 ü ì F1( e ) ü
ý = í (e) ý ,
(e) ú í
k 22
û î x 2 þ î F2 þ
é k11( e )
ê ( e)
ë− k 21
Onde, o sobreescrito (e) designa que estas são equações elemento; os k’ s são
também colocados subescritos, e kij denota sua localização na linha i e coluna j da matriz.
Para o presente caso, elas são também fisicamente interpretadas como representando a
força requerida no nó i, para induzir uma unidade de deslocamento no nó j.
Montagem − Antes das equações elementos serem montadas, todos os elementos
e nós devem ser numerados. Esse esquema global de numeração especifica a
configuração ou topologia do sistema (o presente caso usa um esquema idêntico ao da
tabela A.1). Ou seja, mostra-se o nó que pertence a cada elemento. Uma vez que a
topologia é especificada, as equações, para cada elemento, podem ser escritas com
referência às coordenadas globais.
As equações elementos podem então ser adicionadas, uma de cada vez, para
montar o sistema total. O resultado final pode ser expresso na forma matricial como
[lembrando Eq. (3.55)]:
[ K ] { x´ } = { F´ }
Onde:
é k11(1)
ê (1)
ê− k 21
[K ] = ê
ê
ê
ê
ë
− k12(1)
(1)
+ k11( 2 )
k 22
( 2)
− k 21
−k
k + k11( 3)
( 3)
− k 21
(2)
12
( 2)
22
− k12(3)
( 3)
+ k11( 4 )
k 22
( 4)
− k 21
ù
ú
ú
ú
( 4) ú
− k12 ú
( 4) ú
k 22
û
e
ì F1(1) ü
ï
ï
ïï 0 ïï
{F ′} = í 0 ý
ï 0 ï
ï
ï
ïî F2( 4) ïþ
E { x´ } e { F´ } são os vetores deslocamento e força expandida. Quanto às
33
equações que foram montadas, as forças internas se cancelaram. Assim, o resultado final
para { F´ } é zero, em todas as linhas, exceto no primeiro e último nó.
Antes de proceder o próximo passo, deve-se comentar a estrutura da matriz
propriedade montada. Ela é tridiagonal. Isso é um resultado direto do esquema particular
de numeração escolhido (Tabela A.1) antes da montagem. Embora não seja muito
importante no contexto presente, com a realização de tal união, sistemas esparsos podem
ser uma vantagem na colocação de problemas mais complicados. Isso é devido a
esquemas eficientes disponíveis para a resolução de tal sistema.
Condições de Contorno − O sistema presente é sujeito a simples condições de
contorno e x1=0. Introduzindo essas condições, e aplicando o esquema de remuneração,
reduz-se o sistema para (k´s=1):
é 2 −1
ù ì x2 ü ì 0 ü
ê− 1 2 − 1
úïx ï ï 0 ï
ê
ú ïí 3 ïý = ïí ïý
ê
− 1 2 − 1ú ï x 4 ï ï 0 ï
ê
ú
− 1 1 û ïî x5 ïþ ïî F ïþ
ë
O sistema está agora na forma da Eq. (3.56), e está pronto para ser resolvido.
Embora a redução das equações é, certamente, uma valiosa aproximação
incorporada nas condições de contorno, usualmente, prefere-se deixar o número de
equações intactas, quando a solução é realizada por computador. Neste caso, temos de
F1 = -F (reação de F da parede) e x1=0. Assim fica o sistema:
é 1 −1
ù ì x1 ü ì− F ü
ê− 1 2 − 1
úïx ï ï 0 ï
ê
ú ïï 2 ïï ïï
ïï
ê
ú í x3 ý = í 0 ý
−1 2 −1
ê
ú
− 1 2 − 1ú ï x 4 ï ï 0 ï
ê
ï ï ï
ï
êë
− 1 1 úû ïî x5 ïþ ïî F ïþ
Uma vez incorporadas as condições de contorno, muda-se ao próximo passo: a
solução.
Gerando a Solução − Resolvendo o sistema linear com uma das técnicas
numéricas, onde todos os k´s = 1 e F = 1, temos:
X1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3 e x5 = 4.
Apresentação dos Resultados (Pós-processamentos) − O resultado pode agora ser
desenhado graficamente. Na Figura A.3, os resultados estão como esperados. Cada mola
alongada é uma unidade de deslocamento.
34
Figura A.3 (a) O diagrama do sistema original. (b) O sistema depois da aplicação da força
constante. Os deslocamentos são indicados no espaço entre os dois sistemas. [54]
A.2. Exemplo de uma Haste Sendo Aquecida
A figura A.4 mostra um sistema modelado pela equação de Poisson, na forma
unidimensional:
d 2T
= − f ( x)
dx 2
(A.1)
Onde, f(x) é uma função que define a fonte de calor ao longo da haste, e onde, as
pontas da haste, são mantidas numa temperatura fixa
T(0, t) = T1 e T(L, t) = T2.
Essa não é uma equação diferencial parcial, mas uma equação diferencial ordinária com
condições de contorno. Esse modelo simples é usado, porque ele permitirá introduzir a
aproximação por elementos finitos, sem algumas das complicações, como por exemplo,
um PDE de duas dimensões.
Figura A.4 (a) Uma longa e fina haste sujeita a fixas condições de contorno e a uma
contínua fonte de calor ao longo do seu eixo. (b) A representação de elementos finitos
consistindo de quatro elementos de igual comprimento e cinco nós.[54]
Exemplo: solução analítica para uma haste sendo aquecida.
Descrição do Problema − Resolver a Eq. (A.1) para uma haste de 10 cm, com as
seguintes condições de contorno: T(0, t) = 40 oC e T(10, t) = 200 oC e uma fonte de calor
35
uniforme f(x) = 10.
Solução − A equação a ser resolvida é:
d 2T
= −10
dx 2
Assume-se uma solução na forma:
T = a x2 + b x + c
Ela é diferenciada duas vezes, resultando T´´ = 2 a. Substituindo este na equação
diferencial, temos: a = -5. As condições de contorno são usadas para avaliar os
coeficientes restantes. Da primeira condição, para x=0:
40 = -5 (0)2 + b(0) + c ou c = 40.
Similarmente, para a segunda condição:
200 = -5(10)2 + b(10) + 40
A qual é solucionada dando b = 66. Portanto, a solução final é:
T = -5 x2 + 66 x + 40
O resultado é mostrado na figura A.5
Temperatura da Haste
280
T (Graus Celsus)
240
200
160
120
80
40
0
x
5
x (cm)
Figura A.5 - Distribuição de temperatura ao longo de uma haste aquecida por uma fonte
uniforme de calor e mantida fixa a temperatura nos extremos da haste.
36
A.3. Discretização
Uma configuração simples modeladora do sistema é uma série de elementos de
igual comprimento (Fig. A.4b). Assim, o sistema é tratado com quatro elementos de igual
comprimento e cinco nós.
A.4. Equações dos Elementos
Um elemento individual é mostrado na Fig. A.6a. A distribuição de temperatura
para o elemento é representada pela função de aproximação:
~
T = N 1T1 + N 2T2
(A.2)
Onde N1 e N2 são funções lineares de interpolação especificadas pelas Eq. (3.48) e
(3.49), respectivamente. Assim, como descrito na Fig. A.6b, a função de aproximação é
uma interpolação linear entre as duas temperaturas dos nós.
Nó 1
Nó 2
(a)
~
T
T2
T1
x1
(b)
x2
Figura A.6 (a) Um elemento individual (b). A função aproximação usada para caracterizar
a distribuição de temperatura ao longo do elemento.
A.5. Aproximação Direta
Como descrito no subitem 3.2.1, há uma variedade de aproximações para
desenvolver as equações elementos. Nesse subitem, emprega-se duas delas. Primeiro,
uma aproximação direta será usada em um caso simples, onde f(x)=0. Então, em função
de sua aplicabilidade geral na Engenharia, devotar-se-á a maior parte da abordagem para
o método dos resíduos ponderados.
No caso onde f(x)=0, o método direto é empregado para gerar as equações
elementos. O relacionamento entre o fluxo de calor e o gradiente de temperatura é assim
representado pela lei de Fourier:
q = −k ′
dT
dx
37
Nesta equação, q é fluxo [cal/(cm2. s)] e k´ é o coeficiente de condutividade térmica
[cal/(s.cm.oC)]. Se uma função linear de aproximação é usada na caracterização da
temperatura do elemento, o fluxo de calor para o elemento, através do nó 1, é
representado por:
T1 − T2
x 2 − x1
q1 = k ′
Onde q1 é o fluxo de calor no nó 1. Similarmente, com o nó 2:
q2 = k ′
T2 − T1
x 2 − x1
Estas duas equações expressam o relacionamento da distribuição da temperatura
interna do elemento (refletido pelas temperaturas dos nós) e o fluxo de calor nas suas
extremidades. Assim, elas constituem as equações dos elementos desejadas, e serão
simplificadas pelo reconhecimento da lei de Fourier, como útil para moldar o fluxo terminal
em termos do gradiente de temperatura na fronteira. Ou seja:
q1 = − k ′
dT ( x1 )
dx
q 2 = −k ′
dT ( x 2 )
dx
Pode-se substitui-la dentro das equações dos elementos, resultando:
1
x 2 − x1
ì− dT ( x1 ) ü
é 1 − 1ù ìT1 ü ï
dx ï
ê − 1 1 ú íT ý = í dT ( x ) ý
2
ë
ûî 2 þ ï
dx ïþ
î
(A.3)
A Eq. (A.3) é moldada no formato da Eq. (3.54). Assim, obteve-se sucesso na
geração da equação matricial onde o comportamento de um elemento típico no sistema é
descrito.
Outra forma de se chegar às mesmas equações elementos anteriores, é a partir da
seguinte idéia :
Se T’’(x)=0 então T´(x)= constante.
Assim, pode-se ter:
dT T2 − T1
=
dx x 2 − x1
(A.4)
Aplicando (A.4) aos nós 1 e 2, tem-se:
38
ì dT ( x1 ) T2 − T1
ï dx = x − x
2
1
ï
í
ï dT ( x 2 ) T2 − T1
=
ï
x 2 − x1
î dx
Þ
dT ( x1 )
1
(T1 − T2 ) = −
( x 2 − x1 )
dx
Þ
dT ( x 2 )
1
(−T1 + T2 ) =
nó 2
( x 2 − x1 )
dx
nó 1
(A.5)
Chegando-se, assim, a (A.3), e tem-se:
ì− dT ( x1 ) ü
é 0,4 − 0,4ù ìT1 ü ï
dx ï
ê− 0,4 0,4 ú íT ý = í dT ( x ) ý
2
ë
ûî 2 þ ï
dx ïþ
î
(A.6)
Parte-se, então, para a etapa de montagem:
39
é 0,4 − 0,4
ê− 0,4 0,4
ê
(a )ê 0
0
ê
0
ê 0
êë 0
0
0 0 0ù ìT1 ü ì− dT ( x1 ) ü
dx ï
ï
0 0 0úú ïïT2 ïï ï dT ( x 2 ) ï
ï ï ï
dx ï
0 0 0ú í 0 ý = í
ý
0
úï ï ï
ï
0 0 0ú 0
0
ï
ï ï ï
0 0 0úû ïî 0 ïþ ï
ï
0
þ
î
ü
ì
− dT ( x1 )
0 0ù ìT1 ü ï
dx
ï
0 0úú ïïT2 ïï ïdT ( x 2 ) − dT ( x 2 ) ï
dx
dx ï
ï ï ï
0 0ú íT3 ý = í
ý
dT ( x 3 )
0+
úï ï ï
ï
dx
0 0ú 0
ï
ï ï ï
0
0 0úû ïî 0 ïþ ï
ï
0
þ
î
ü
0
0
0ù ìT1 ü ì
− dT ( x1 )
é 0,4 − 0,4
dx
ï
ï
ú ïT ï ï
ê − 0,4 0,8
−
0
,
4
0
0
ï
0
ú ïï 2 ïï ï
ê
ï
dT
(
x
)
dT
(
x
)
3
3
(c )ê 0 − 0,4 0,4 + 0,4 0 − 0,4 0ú íT3 ý = í
−
ý
dx
dx
úï ï ï
ê
ï
dT ( x 4 )
0
0 − 0,4 0 + 0,4 0ú T4
ê 0
0+
ï
ï ï ï
dx
êë 0
0
0
0
0úû ïî 0 ïþ ï
ï
0
þ
î
ì
ü
− dT ( x1 )
0
0
0 ù ìT1 ü ï
é 0,4 − 0,4
dx
ï
ú ïT ï ï
ê − 0,4 0,8 − 0,4
ï
0
0
0
ú ïï 2 ïï ï
ê
ï
0
(d )ê 0 − 0,4 0,8
− 0,4
0 ú íT3 ý = í
ý
ú ï ï ïdT ( x 4 ) − dT ( x 4 ) ï
ê
− 0,4 0,4 + 0,4 0 − 0,4ú T4
0
ê 0
dx
dx ï
ï ï ï
ú
êë 0
dT
x
(
)
ï
ï
T
0
0
0 − 0,4 0 + 0,4û î 5 þ ï
ï
5
0+
dx
î
þ
0
0
0 ù ìT1 ü ì− dT ( x1 ) ü
é 0,4 − 0,4
dx ï
ú ïT ï ï
ê− 0,4 0,8 − 0,4
0
0
ï
ï
0
2
ú ïï ïï ï
ê
ï
(e )ê 0 − 0,4 0,8 − 0,4 0 ú íT3 ý = í
0
ý
úï ï ï
ê
ï
T
−
−
0
0
0
,
4
0
,
8
0
,
4
0
úï 4 ï ï
ê
ï
êë 0
− 0,4 0,4 úû îïT5 þï ï dT ( x 5 ) ï
0
0
dx þ
î
Figura A.7 - A montagem das equações no sistema total para a aproximação direta.
− 0,4
0
é 0,4
ê − 0,4 0,4 + 0,4 0 − 0,4
ê
(b )ê 0
0 − 0,4 0 + 0,4
ê
0
0
ê 0
êë 0
0
0
Segue-se, para o acréscimo das condições de contorno T1=40oC e T5=200oC:
40
ìdT ( x1 )
− 0,4T2
dx
ï
ï
0,8T2
ï
− 0,4T2
í
ï
ï
ï
î
− 0,4T3
+ 0,8T3
− 0,4T3
− 0,4T4
+ 0,8T4
− 0,4T4
−
dT ( x5 )
=
=
=
=
dx
− (0,4 x 40)
(0,4 x 40)
0
0
(A.7)
= − (0,4 x 200)
Tem-se o sistema abaixo:
ìdT ( x1 )
− 0,4T2
dx
ï
ï
0,8T2
ï
− 0,4T2
í
ï
ï
ï
î
− 0,4T3
+ 0,8T3
− 0,4T3
− 0,4T4
+ 0,8T4
− 0,4T4
−
dT ( x5 )
= − 16
= 16
0
=
= 80
dx
(A.8)
= − 80
Resolvendo o sistema, chega-se à solução para f(x)=0 :
dT
( x1 ) = 16
dx
T4 = 260,00
T2 = 80,00
T3 = 120,00
dT
( x5 ) = 16
dx
(A.9)
A aproximação tem grande apelo intuitivo. Adicionalmente, em áreas como
mecânica, ela é empregada na solução, para resolver problemas significativos. Contudo,
em outros contextos, é freqüentemente difícil ou impossível obter, diretamente, as
equações dos elementos finitos. Conseqüentemente, como é descrito, a seguir, técnicas
matemáticas mais gerais são disponíveis.
A.6. O Método dos Resíduos Ponderados.
A equação diferencial (A.1) pode ser re-expressa como:
d 2T
0 = 2 + f ( x)
dx
A função aproximação [Eq. (A.2)] é substituída nesta equação. Em razão da Eq.
(A.2) não ser a solução exata, o lado direito da equação resultante não será zero, mas um
resíduo:
~
d 2T
R=
+ f ( x)
dx 2
(A.10)
O método dos resíduos ponderados (do inglês, Method of Weighted Residuals MWR) consiste em calcular um mínimo para o resíduo, de acordo com a fórmula geral:
41
ò RW dD = 0
i = 1, 2, ..., m
i
(A.11)
D
onde D é o domínio solução e W i representam funções teste ou peso linearmente
independente. Essa aproximação advém do fato de que, se a Eq. (A.11) é verdadeira, se
R é igual a zero e W i, ela é uma função contínua qualquer. Nela, a integral é usada para
diminuir a ordem da equação diferencial de segunda para primeira derivada.
Neste ponto, há uma variedade de escolhas para as funções teste. Cada qual
representa uma aproximação alternativa para o MWR. (Seção A.7).
A aproximação mais rotineira no Método dos Elementos Finitos é empregar as
funções de interpolação Ni como funções de teste. Quando são substituídas na Eq.
(A.11), o resultado é referenciado como Método de Galerkin, onde:
ò RN dD = 0
i = 1, 2, ..., m
i
D
Para a haste unidimensional, a Eq. (A.10) é substituída na formulação, resultando
em:
ò
x2
x1
~
é d 2T
ù
ê 2 + f ( x)úN i dx
ë dx
û
i = 1, 2 ,
Que pode ser reescrita como:
~
x2
d 2T
ò 2 N i ( x)dx = − xò f ( x) N i ( x)dx
x1 dx
1
x2
i = 1, 2
(A.12)
A partir de então, manipulações matemáticas serão aplicadas, simplificando e
avaliando a Eq. (A.12). Entre as mais importantes, está a simplificação do lado esquerdo,
utilizando a integração por partes, relembrando o cálculo onde esta operação é expressa,
geralmente, como:
b
b
b
ò udv = uv a − ò vdu
a
a
Se u e v são escolhidos apropriadamente, a nova integral, no lado direito, será
melhor avaliada que a original, no lado esquerdo. Isso pode ser feito para o termo do lado
esquerdo da Eq. (A.12), pela escolha de Ni (x) como u e (d2T/dx2) dx como dv. Tem-se,
então:
x2
ò N i ( x)
x1
~
~
~
x
d 2T
dT x 2 2 dT dN i
dx
N
x
=
(
)
−
dx
i
dx x1 xò1 dx dx
dx 2
i = 1, 2
(A.13)
Assim, tem-se um significante passo de redução no termo de maior ordem na
formulação da derivada segunda para a primeira. Em seguida, avalia-se os termos
42
individuais criados na Eq. (A.13). Para i=1, o primeiro termo, no lado direito, da Eq. (A.13),
é avaliado como:
~
~
~
dT ( x 2 )
dT ( x1 )
dT x 2
N 1 ( x)
= N1 ( x2 )
− N 1 ( x1 )
dx x1
dx
dx
Contudo, lembrando da Fig. 3.6, na qual N1(x2)=0 e N1(x1)=1:
N1 ( x)
~
~
dT ( x1 )
dT x 2
=−
dx x1
dx
(A.14)
Similarmente, para i=2:
~
~
dT x 2 dT ( x 2 )
N 2 ( x)
=
dx x1
dx
(A.15)
Portanto, o primeiro termo do lado direito, da Eq. (A.13), representa as condições
de contorno naturais nas extremidades dos elementos.
Antes de prosseguir, agrupa-se a Eq. (A.13), substituindo o resultado anterior na
equação original. Transpondo a Eq. (A.13), através da (A.15), na Eq. (A.12), e arranjandoas para i=1, tem-se:
~
~
x
dT ( x1 ) 2
dT dN 1
dx
=
−
+
òx dx dx
òx f ( x) N1 ( x)dx
dx
1
1
x2
(A.16)
E para i=2:
~
~
x
dT ( x 2 ) 2
dT dN 2
ò dx dx dx = dx + xò f ( x) N 2 ( x)dx
x1
1
x2
(A.17)
A integração por partes tem conduzido a dois importantes resultados. Primeiro, ela
tem incorporado as condições de contorno diretamente dentro das equações dos
elementos, e por último, reduzido a alta ordem, passando da segunda para a primeira
derivada. Isso significa, que o resultado da função de aproximação precisa preservar a
continuidade dos valores, mas não a inclinação nos nós.
Agora começa-se a atribuir algumas significâncias físicas para os termos
individuais já obtidos. Ao lado direito de cada equação, o primeiro termo representa uma
das condições de contorno dos elementos, e o segundo, o efeito da função de forças
externas do sistema, no presente caso, a fonte de calor f(x). Como se torna evidente, o
lado esquerdo engloba o mecanismo interno, que governa a distribuição de temperatura
do elemento. Isto é, em termos do Método de Elementos Finitos, o lado esquerdo se
tornará a matriz propriedade do elemento.
Para demonstrar melhor isso, concentra-se nos termos do lado esquerdo. Assim,
para i=1, o termo é:
43
~
dT dN 1
ò dx dx dx
x1
x2
(A.18)
Lembrando do subitem 3.1.3, a natureza linear da função de aproximação torna
simples a diferenciação e a integração. Substituindo a Eq. (3.51) e (3.52), na Eq. (A.18),
tem-se:
x2
T1 − T2
1
dx =
(T1 − T2 )
2
x 2 − x1
2 − x1 )
ò (x
x1
(A.19)
Similar substituição para i=2 [Eq. (A.17)], conduz a:
x2
− T1 + T2
1
dx =
(−T1 + T2 )
2
x 2 − x1
2 − x1 )
ò (x
x1
(A.20)
Comparando com a Eq. (A.3), estas são similares nos relacionamentos
desenvolvidos com o método direto, usando a lei de Fourier. Isso se torna bem claro, com
a reescrita das Eq. (A.19) e (A.20), na forma matricial como:
1 é 1 − 1ù ìT1 ü
í ý
x 2 − x1 êë − 1 1 úû îT2 þ
Substituindo esse resultado nas Eq. (A.16) e (A.17), e expressando-o na forma
matricial, obtém-se a versão final das equações elementos:
ì x2
ü
ì dT ( x1 ) ü ï f ( x) N 1 ( x)dx ï
ï− dx ï ï xò1
1 é 1 − 1ù
ï
{T } = í dT ( x ) ý + í x2
ý
ê
ú
x 2 − x1 ë − 1 1 û
2
ï
ï
ï
""
" """
!
f ( x) N 2 ( x)dx ï
î"dx"!þ ï ò
ï
Matrix rigitez do Elemento [k]
îx1""
" """
!þ
Condições de Contorno
(A.21)
Efeitos Externos
Além do método direto e dos resíduos ponderados, as equações elementos
também são derivadas, usando o cálculo variacional. Para o presente caso, essas
aproximações condizem a equações idênticas para ambas derivações.
Exemplo: Equações Elemento para uma Haste Aquecida
Descrição do Problema - Empregando a Eq. (A.21), desenvolver as equações
elementos para uma haste de 10 cm com condições de contorno de T(0, t)=40 e T(10,
t)=200, além de, uma uniforme fonte de calor de f(x)=10. Usar quatro elementos de igual
tamanho, com comprimento =2,5cm.
Solução - O termo da fonte de calor, na primeira linha da Eq. (A.21), é avaliada
pela substituição da Eq. (3.48). Integrando, temos:
44
2, 5
ò 10
0
2,5 − x
dx = 12,5
2,5
Similarmente, a Eq. (3.49) é substituída dentro do termo da fonte de calor da
segunda linha da Eq. (A.21), à qual pode, também, ser integrada, conduzindo a:
2, 5
ò 10
0
x−0
dx = 12,5
2,5
Este resultado, com valores de outros parâmetros, pode ser substituído na Eq.
(A.21), para resultar em :
0,4T1 − 0,4T2 = −
dT
( x1 ) + 12,5
dx
e
− 0,4T1 + 0,4T2 =
dT
( x 2 ) + 12,5
dx
45
A.7. Esquemas Alternativos de Resíduos para os
Resíduos Ponderados (MWR)
Métodos dos
Várias escolhas podem ser feitas nas funções teste da Eq. (A.11). Cada uma
representa uma aproximação alternativa para o MWR.
Na aproximação colocacional, escolhe-se tantas posições quantas são os
coeficientes desconhecidos. Então, os coeficientes são ajustados até o resíduo
desaparecer em cada uma dessas posições. Conseqüentemente, a função de
aproximação conduzirá a resultados perfeitos para as posições escolhidas, mas terão um
resíduo diferente de zero em outras partes. Assim, ele é um poderoso método de
interpolação. Quantidades colocacionais usam a seguinte função teste:
Wi = δ ( x − xi )
para i = 1,2,..., n
Onde n é número de coeficientes desconhecidos e δ(x-xi) é a função do delta de
Dirac, que vale zero em toda parte, exceto em x=xi , onde é igual a 1.
No método de subdomínios, o intervalo é dividido em muitos segmentos ou
subdomínios, onde há coeficientes desconhecidos. Então, estes são ajustados até o valor
médio do resíduo ser zero em cada um deles. Assim, para cada subdomínio, a função
teste é igual a 1 e a Eq. (3.66) é:
xi
ò Rdx = 0
para i = 1,2,..., n
xi −1
Onde xi-1 e xi são as extremidades do subdomínio.
Para o caso dos mínimos quadrados, os coeficientes são ajustados para minimizar
a integral do quadrado do resíduo. Assim, as funções peso são:
Wi =
∂R
∂ai
Pode ser substituído, na Eq. (A.11), para resultar em:
∂R
ò R ∂a dD = 0
D
i = 1,2,..., n
i
Ou
∂
R 2 dD = 0
ò
∂a i D
i = 1,2,..., n
Observando esta formulação, conclui-se tratar de uma forma contínua de
regressão.
O método de Galerkin emprega as funções de interpolação Ni como funções de
46
teste, lembrando terem essas funções sempre a soma igual a 1. em qualquer posição em
um elemento. Em muitos problemas de contexto, o método de Galerkin conduz aos
mesmos resultados obtidos por meio do método variacional. Conseqüentemente, é o mais
empregado das versões do MWR, usando a análise de elementos finitos.
A.8. Montagem
Antes das equações elementos serem montadas, um esquema global de
numeração deve ser estabelecido para especificar a topologia do sistema ou seu
esquema espacial. A Tabela A.1 define as conectividades entre os elementos. Devido ao
presente caso ser unidimensional, o esquema de numeração parece tão simples que o
torna trivial. Contudo, para problemas de duas ou três dimensões, ele serve,
freqüentemente, somente para especificar qual nó pertence a cada elemento.
Tabela A.1 A topologia do sistema para o esquema de segmentação de elementos finitos
da Fig. A.4b.
Elemento
Número dos Nós
Local
Global
1
1
1
2
2
2
1
2
2
3
3
1
3
2
4
4
1
4
2
5
Uma vez a topologia especificada, as equações dos elementos Eq. (A.21) podem
ser escritas para cada elemento, usando as coordenadas globais. Então, adicionando um
de cada vez, montando a matriz do sistema total, como descrito na Fig. A.8.
47
é 0,4 − 0,4
ê− 0,4 0,4
ê
(a )ê 0
0
ê
0
ê 0
êë 0
0
0 0 0ù ìT1 ü ì− dT ( x1 ) + 12,5ü
dx
ï
ï
0 0 0úú ïïT2 ïï ï dT ( x 2 ) + 12,5 ï
ï ï ï
ï
dx
0 0 0ú í 0 ý = í
ý
0
úï ï ï
ï
0 0 0ú 0
0
ï ï ï
ï
0 0 0úû ïî 0 ïþ ï
ï
0
þ
î
ü
ì
− dT ( x1 ) + 12,5
0 0ù ìT1 ü ï
dx
ï
0 0úú ïïT2 ïï ïdT ( x 2 ) + 12,5 − dT ( x 2 ) + 12,5ï
ï
dx
dx
ï ï ï
0 0ú íT3 ý = í
ý
dT ( x 3 )
+ 12,5
0+
úï ï ï
ï
dx
0 0ú 0
ï
ï ï ï
0
0 0úû ïî 0 ïþ ï
ï
0
þ
î
ü
0
0
0ù ìT1 ü ì
− dT ( x1 ) + 12,5
é 0,4 − 0,4
dx
ï
ï
ú ïT ï ï
ê− 0,4 0,8
−
0
,
4
0
0
ï
25
ú ïï 2 ïï ï
ê
ï
dT
x
dT
x
(
)
(
)
3
3
(c )ê 0 − 0,4 0,4 + 0,4 0 − 0,4 0ú íT3 ý = í
+ 12,5 −
+ 12,5ý
dx
dx
ú
ê
ï
dT ( x 4 )
0
0 − 0,4 0 + 0,4 0ú ïT4 ï ï
ê 0
+ 12,5
0+
ï
ï ï ï
dx
êë 0
0
0
0
0úû ïî 0 ïþ ï
ï
0
þ
î
ì
ü
− dT ( x1 ) + 12,5
0
0
0 ù ìT1 ü ï
é 0,4 − 0,4
dx
ï
ú ïT ï ï
ê− 0,4 0,8 − 0,4
ï
25
0
0
ú ïï 2 ïï ï
ê
ï
25
(d )ê 0 − 0,4 0,8
− 0,4
0 ú íT3 ý = í
ý
ú ï ï ïdT ( x 4 ) + 12,5 − dT ( x 4 ) + 12,5ï
ê
− 0,4 0,4 + 0,4 0 − 0,4ú T4
0
ê 0
dx
dx
ï ï ï
ï
dT
x
ú
êë 0
(
)
ï
ï
T
0
0
0 − 0,4 0 + 0,4û î 5 þ ï
ï
5
+ 12,5
0+
dx
î
þ
0
0
0 ù ìT1 ü ì− dT ( x1 ) + 12,5ü
é 0,4 − 0,4
dx
ï
ú ïT ï ï
ê− 0,4 0,8 − 0,4
0
0
ï
ï
25
2
ú ïï ïï ï
ê
ï
(e )ê 0 − 0,4 0,8 − 0,4 0 ú íT3 ý = í
25
ý
úï ï ï
ê
ï
T
−
−
0
0
0
,
4
0
,
8
0
,
4
25
úï 4 ï ï
ê
ï
êë 0
− 0,4 0,4 úû îïT5 þï ï dT ( x 5 ) + 12,5 ï
0
0
dx
þ
î
Figura A.8 A montagem das equações no sistema total.
− 0,4
0
é 0,4
ê − 0,4 0,4 + 0,4 0 − 0,4
ê
(b )ê 0
0 − 0,4 0 + 0,4
ê
0
0
ê 0
êë 0
0
0
A.9. Condições de Contorno
Com as equações montadas, as condições internas de contorno se cancelam.
Assim, o resultado final para { F }, na Fig. A.8e, tem condições de contorno para,
somente, o primeiro e último nó. Em razão de T1 e T5 serem disponíveis, suas naturais
condições de contorno nas extremidades da barra, dT(x1)/dx e dT(x5)/dx, apresentam-se
desconhecidas. Portando, as equações podem ser expressas como:
48
ìdT ( x1 )
− 0,4T2
dx
ï
ï
0,8T2
ï
− 0,4T2
í
ï
ï
ï
î
− 0,4T3
+ 0,8T3
− 0,4T3
− 0,4T4
+ 0,8T4
− 0,4T4
−
dT ( x5 )
=
=
=
=
dx
− 3,5
41
25
105
(A.22)
= − 67,5
A.10. Solução
A Eq. (A.22) pode ser solucionada, onde se conclui:
dT
( x1 ) = 66
dx
T4 = 253,75
T2 = 173,75
T3 = 245
dT
( x5 ) = −34
dx
A.11. Apresentação dos Resultados (Pós-Processamentos)
Os resultados podem ser mostrados, graficamente. A Figura A.9 mostra os
resultados dos elementos finitos com a solução exata. O cálculo de elementos finitos
captura a tendência total da solução exata e, de fato, fornece valores bem aproximados
nos nós. Contudo, existe discrepância no interior de cada elemento, em virtude da
natureza linear da função de aproximação.
T e m p e r a tu ra d a H a s te
280
T (Graus Celsios)
240
200
160
120
80
40
0
0
2 ,5
5
7 ,5
10
x (c m )
A n a líti c a
E le m e n to s F i n i to s
Figura A.9 Resultados da aplicação do método de elementos finitos para uma barra
aquecida. A solução exata é também mostrada.
49
Apêndice B
Aplicações do MEF na Engenharia Elétrica
B.1 Introdução
Este apêndice está baseado no desenvolvimento da referência [39,75]. O Método
dos Elementos Finitos vem se consagrando, há alguns anos, como uma das mais
poderosas ferramentas utilizadas na determinação das distribuições de campos
eletromagnéticos em dispositivos e sistemas elétricos. Apesar das equações de Maxwell
descreverem completamente os fenômenos eletromagnéticos, sua solução analítica é
impraticável em dispositivos com geometrias complexas. Uma alternativa para contornar
este problema é a utilização de métodos de cálculo numérico, para se obter uma solução
aproximada.
O Método dos Elementos Finitos é um entre os vários conhecidos do cálculo
numérico para fenômenos eletromagnéticos. Ele pode ser aplicado sem as limitações ou
dificuldades de implementação que existem em alguns outros métodos, notadamente,
aqueles de uso já consagrado, quando o Método dos Elementos Finitos estava sendo
desenvolvido, dentre eles, o Método das Diferenças Finitas, ou ainda, outros mais
limitados, como o Método da Simulação de Cargas, por exemplo.
Mesmo alguns métodos numéricos mais recentes, como por exemplo, o Método
dos Elementos de Fronteira ou Contorno, apresentam mais dificuldades de aplicação que
o Método dos Elementos Finitos, quer no cálculo dos coeficientes dos sistemas de
equações, quer no tratamento de meios não lineares ou na exploração dos resultados
obtidos. [39]
Para se utilizar o Método dos Elementos Finitos, o objeto de estudo deve ter sua
geometria subdividida em várias partes, que são os elementos finitos. Essa subdivisão é
chamada malha, sendo geralmente constituída, no caso bidimensional, de triângulos ou
quadriláteros, cujos vértices são denominados nós da malha. É através dela, que se
monta um sistema de equações, cuja solução permite determinar as grandezas de
interesse no fenômeno utilizado. No caso eletromagnético, essa solução é o vetor
potencial magnético (A) ou o potencial elétrico (V), em cada nó da malha, a partir dos
quais é possível determinar os campos magnéticos (B e H) ou elétricos (E e D) no interior
dos Elementos Finitos, e proceder os cálculos de energia, força, torque, parâmetros como
indutâncias, capacitâncias, resistências, e etc.
Para demonstrar a importância do Método dos Elementos Finitos na Engenharia de
Eletricidade, faz-se uma análise, nos itens abaixo, de problemas básicos de campos
eletromagnéticos bidimensionais, usando elementos finitos triangulares, isto é, as
distribuições de campos elétricos ou magnéticos que não variam, nas seções transversais
dos dispositivos a serem analisados, e, admite-se, ainda, que o regime, no qual a variável
tempo não afeta as grandezas de campo, é estacionário. Assim, tem-se três situações a
analisar:
a) Eletrostática
b) Campo de Correntes (Eletrocinética)
50
c) Magnetostática.
Nos dois primeiros casos, o campo elétrico age em meios lineares, isto é, as
permissividades ou condutividades presentes não são afetadas pela intensidade do
campo elétrico, ao passo que, na Magnetostática, a presença de meios ferromagnéticos
introduzem uma não linearidade, que deve ser considerada. [39,75]
B.2. Eletrostática
A aplicação do Método dos Elementos Finitos na eletrostática é baseada na Quarta
equação de Maxwell ( Lei de Gauss da Eletrostática):
ò D.dS = Q
i
(B.1)
S
Onde: D é o Vetor Deslocamento (C/m3)
Qi é a quantidade total de Cargas Elétricas envolvidas pela superfície fechada S.
O vetor deslocamento D e o vetor campo elétrico E estão relacionados através da
relação constitutiva: D=εE, onde ε é a permissividade elétrica do meio, que na maioria das
aplicações pode ser admitida constante.
O vetor campo elétrico E e a função potencial são associados através da relação :
E=-∇V
Chegando-se ao elemento triangular genérico de um domínio discretizado, sejam
V1 , V2 e V3 os potenciais elétricos dos vértices 1, 2 e 3 (numeração local) do elemento.
Face ao fato, de que a função potencial é contínua, pode-se calcular o potencial elétrico
num ponto R qualquer no interior do elemento, através de uma interpolação linear dos
potenciais de seus vértices. Assim sendo, o potencial do ponto R poderá ser expresso por
uma função linear do tipo:
V(x,y) = α1 + α2 x + α3 y
(B.2)
Onde os coeficientes α1, α2 e α3 são funções de V1, V2 e V3.
Para determiná-los, basta aplicar a Eq. B.2 aos vértices do elemento considerado,
resultando o sistema de equações seguinte:
Vi = α1 + α2 xi + α3 yi ,
i=1,2,3
(B.3)
A solução da Eq. B.3 fornece os valores dos coeficientes de B.2, resultando:
α1=(1/2∆)(a1 V1+a2 V2+a3 V3)
α2=(1/2∆)(b1 V1+b2 V2+b3 V3)
α3=(1/2∆)(c1 V1+c2 V2+c3 V3)
(B.4)
51
Onde: a1=x2 y3 – x3 y2; b1=y2 – y3; c1=x3 – x2; e ∆=(b1 c2 – b2 c1)/2,
os demais coeficientes a, b e c são obtidos por rotação cíclica dos seus índices, e ∆ é a
área do elemento.
Substituindo-se B.4 por B.2, obtém-se a expressão do potencial, num ponto
qualquer no interior do elemento, por meio de uma interpolação linear dos potenciais em
seus vértices, como segue:
V(x,y)=N1 V1 + N2 V2 + N3 V3
Onde: Ni = (1/2∆)(ai + bi x + ci y)
(B.5)
i=1,2,3
As funções Ni, denominadas funções de forma do elemento, observam a seguinte
propriedade:
Ni (x,y) = δij
(B.6)
Onde δij é o símbolo de Kronecker, e é tal, que:
ì1,
δ ij = í
î0,
se i = j
se i ≠ j
Observa-se que os erros desta aproximação serão menores, na medida em que
são reduzidas as dimensões do elemento, de modo que a discretização exerce um papel
fundamental na qualidade dos resultados, e exige uma solução de compromisso entre a
quantidade de elementos, a capacidade do sistema computacional utilizado e a precisão
requerida. Desta forma, o algoritmo de geração automática de elementos deve
contemplar, com alguma interação com o usuário, a possibilidade de discretizar o domínio
em estudo, respeitando não só sua geometria, como também, as características do
fenômeno físico.
52
Figura B.1 – Apresenta uma interpretação geométrica para esta aproximação. Fonte [39]
Lembrando que E=-∆V, podemos escrever para cada componente:
Ex = -∂V/∂x = -(1/2∆) (b1 V1 + b2 V2 + b3 V3)
(B.7)
Ey = -∂V/∂y = -(1/2∆) (c1 V1 + c2 V2 + c3 V3)
53
Figura B.2 – Regiões de Controle envolvendo os nós. [39]
A análise das expressões B.7 mostra, como era de se esperar, que o campo
elétrico, no interior do elemento, resulta constante, no caso da aproximação linear da
função potencial. A aplicação da quarta equação de Maxwell (B.1) a superfícies fechadas
(constituídas por um prisma de profundidade unitária e seção transversal idêntica às das
regiões de controle, que são definidas como regiões envolvendo cada um de seus nós,
construídas por segmentos de reta, que passam pelos pontos médios das aresta ligadas
ao nó, e pelos baricentros dos triângulos, que admitem o referido nó como vértice), pode
ser calculada por partes, obedecendo a seguinte procedimento:
Para a superfície que envolve o nó 7, pode-se escrever:
ò D.dS = E
4
7
+ E711 + E712 + E76 + E75
S
ò
(B.8)
onde : E = D.dS
e
i
S
E representa o fluxo do vetor deslocamento na porção da superfície S, que envolve
o nó (i) pertencente ao elemento (e).
No caso do nó 3, que pertence à fronteira do domínio, resulta:
ò
′
′
D.dS = E34 + E35 + E31 + E31 + E34
(B.9)
S
Como condição adicional, vai-se considerar que o campo elétrico além da fronteira
é nulo ou tangente a esta, de modo que as duas últimas parcelas da expressão anterior
são nulas.
Assim sendo, para cada elemento finito pode-se calcular 3 parcelas de integrais de
superfície: uma parcela da integral de superfície que envolve o nó 1 (E1e), uma que
envolve o nó 2 (E2e), e outra que envolve o nó 3 (E3e), como mostra a figura abaixo:
54
Figura B.3 - Partes das regiões de controle internas ao elemento. O ponto O é seu
baricentro; os pontos P, S e G são os pontos médios de suas arestas. Os segmentos PO
e OS são partes da região de controle que envolve o nó 1. Os segmentos PO e OG são
partes da região que envolve o nó 2, e os segmentos GO e OS são partes da região de
controle que envolve o nó 3. [39]
O cálculo de E1e sobre aquele elemento genérico pode ser facilmente obtido,
levando-se em conta que o campo elétrico em seu interior é constante. Assim, na face
POS de S1 pode-se escrever:
ò
E1e = D.dS
(B.10)
POS
Lembrando-se que:
D=ε Ex ux + ε Ey uy
dS = - ∆y ux - ∆x uy
O que resulta em:
E1e= - ε Ex ∆y - ε Ey ∆x
(B.11)
Substituindo-se Ex e Ey por seus valores expressos em (B.7), e notando-se que:
∆x= xs – xp = (x3 – x2)/2 = c1 /2
∆y= yp – ys = (y2 – y3)/2 = b1 /2
O resultado é:
E1e=(ε/4∆)[(b1 b1 + c1 c1)V1 +(b1 b2 + c1 c2)V2 + (b1 b2 + c1 c2)V3]
(B.12)
O cálculo de E2e, que representa o fluxo do vetor deslocamento na parte da
superfície S que envolve o nó 2 (S2), pertencente ao elemento (e), é calculado de forma
semelhante a E1e, fazendo:
E2e= - ε Ex ∆y - ε Ey ∆x
55
Substituindo-se Ex e Ey por seus valores expressos em (B.7) e notando que:
∆x= xg – xp = (x3 – x1)/2 = -c2 /2
∆y= yp – yg = (y1 – y3)/2 = -b2 /2
O resultado é:
E2e=(ε/4∆)[(b2 b1 + c2 c1)V1 +(b2 b2 + c2 c2)V2 + (b2 b3 + c2 c3)V3]
(B.13)
Seguindo procedimento análogo, pode-se deduzir:
E3e=(ε/4∆)[(b3 b1 + c3 c1)V1 +(b3 b2 + c3 c2)V2 + (b3 b3 + c3 c3)V3]
(B.14)
Em resumo, as contribuições dos fluxos do vetor deslocamento por meio das
porções das superfícies, que envolvem os nós 1,2 e 3 do elemento (e), podem ser
expressas, matricialmente, como segue:
é E1e ù
é b1b1 + c1 c1
ê eú ε ê
ê E 2 ú = 4∆ êb1b2 + c1 c 2
ê E 3e ú
êë b1b3 + c1 c3
ë û
b1b2 + c1 c 2
b2 b2 + c 2 c 2
b2 b3 + c 2 c 3
b1b3 + c1c 3 ù éV1 ù
b2 b3 + c 2 c 3 úú êêV2 úú
b3 b3 + c3 c 3 úû êëV3 úû
(B.15)
A matriz quadrada da expressão B.15 é denominada matriz do elemento, tendo as
características de simetria e singularidade (determinante nulo). O segundo membro da
quarta equação de Maxwell é igual à carga interna à superfície S. Assim sendo, para a
superfície fechada, que envolve o nó 7, podemos escrever:
Q7=Q74+Q711+Q712+Q76+Q75
Onde Qie é a parcela da carga total contida no interior da superfície S que envolve
o nó (i) pertencente ao elemento (e). Reportando-se ao elemento genérico, as linhas PO,
OS e OG, onde O é seu baricentro, divide-o em 3 polígonos de áreas iguais a 1/3 da área
total do elemento. Admitindo que as cargas elétricas, nele contidas, são distribuídas,
uniformemente, no volume delimitado pelo prisma de base triangular e altura unitária,
segundo a densidade volumétrica ρ (C/m3), pode-se escrever:
Q1e=Q2e=Q3e=ρ∆/3
Ou, matricialmente,
éQ1e ù é ρ∆ / 3ù
ê eú ê
ú
êQ2 ú = ê ρ∆ / 3ú
êQ3e ú ëê ρ∆ / 3ûú
ë û
(B.16)
Finalmente, a aplicação da quarta equação de Maxwell numa superfície fechada
envolvendo o nó (i), resultará:
56
NE
åE
e =1
e
i
NE
= å Qie
i = 1,2,..., NN
(B.17)
e =1
Onde NE é o número total de elementos e NN é o número total de nós do domínio.
Note-se, que os termos das somatórias indicadas em (B.17) só terão valor não
nulo, nos elementos (e´s) que admitirem o nó (i) como vértice. Esta expressão também
gera um sistema de NN equações com NN incógnitas, cujas incógnitas são os potenciais
elétricos dos nós. Assim sendo, pode-se escrever:
[C][V] = [Q]
(B.18)
Como a matriz [C] é montada a partir das matrizes dos elementos, e sendo estas
singulares, resulta que a referida matriz também é singular. Esta singularidade é
levantada após a introdução das condições de contorno. A resolução do sistema de
equações, obtida após a introdução das condições de contorno, fornece os potenciais em
todos os nós do domínio, que, uma vez conhecidos, permitem calcular a intensidade de
campo elétrico no interior de todos os elementos e as demais grandezas de interesse, tais
como: capacitâncias, energia elétrica armazenada, forças e conjugados de natureza
eletrostática. [39]
B.3. Campo de Correntes Estacionárias – Eletrocinética
A mesma técnica utilizada na formulação do Método dos Elementos Finitos, na
eletrostática, é integralmente aplicada nos estudos do campo de correntes estacionárias.
Neste caso, a equação que descreve o fenômeno é a equação da continuidade:
ò J .dS = 0
(B.19)
S
A relação constitutiva a ser considerada é a lei de Ohm: J=σE, onde σ é a
condutividade do meio, conjuntamente com a definição da função potencial: E=-∆V
As deduções das integrais de superfície E1e, E2e e E3e são obtidas, para este caso,
seguindo-se procedimento idêntico ao desenvolvido na eletrostática, ou seja, substituindose simplesmente D por J e ε por σ, que resultará:
é E1e ù
é b1b1 + c1 c1
ê eú σ ê
ê E 2 ú = 4∆ êb1b2 + c1 c 2
ê E 3e ú
êë b1b3 + c1 c3
ë û
b1b2 + c1 c 2
b2 b2 + c 2 c 2
b2 b3 + c 2 c 3
b1b3 + c1c 3 ù éV1 ù
b2 b3 + c 2 c 3 úú êêV2 úú
b3 b3 + c3 c 3 úû êëV3 úû
(B.20)
Finalmente, a aplicação da equação da continuidade numa superfície fechada
envolvendo o nó (i), resultará:
NE
åE
e =1
e
i
=0
i = 1,2,..., NN
(B.21)
57
A expressão B.21, a exemplo da B.17, pode ser expressa matricialmente, como
segue:
[G][V] = 0
(B.22)
A indeterminação do sistema anterior é levantada com a introdução das condições
de contorno inerentes ao problema. A resolução do sistema de equações, após a
introdução destas condições, fornecerá os potenciais elétricos em todos os nós do
domínio, a partir dos quais são determinadas as intensidades do campo elétrico em cada
elemento e as demais grandezas de interesse, tais como: resistência ôhmica e potência
dissipada. [39]
B.4. Magnetostática
Na Magnetostática, a segunda equação de Maxwell (Lei de Ampère) é a que
governa o fenômeno físico:
(B.23)
ò H .dl = ò J .dS
C
S
A relação constitutiva a ser considerada é a que relaciona o vetor intensidade
magnética (H) e o vetor campo magnético (B): H=νB onde ν=1/µ é a relutividade do meio.
A partir da terceira equação de Maxwell ∇.B=0, define-se o vetor potencial magnético A,
tal que:
B= ∇ x A
(B.24)
E impõe-se, ainda, que: ∇.A=0.
Nos estudos dos campos bidimensionais planos na Magnetostática, admite-se que
as correntes fluem na direção normal ao domínio de estudo. Assim sendo, supondo-se
que este domínio está definido no plano (x,y), o vetor densidade de corrente deverá ser
tal, que: J=Jux, com J constante no elemento. Como as direções de J e A são idênticas,
resulta que: A=A(x,y) ux.
Desta forma, nos campos bidimensionais planos, a equação B.24 é escrita como
segue:
B = ∂A/∂y ux - ∂A/∂x uy
(B.25)
Sejam A1, A2 e A3 os valores da componente z do vetor potencial magnético nos
vértices 1, 2 e 3 do elemento triangular, calcula-se o potencial magnético no interior do
elemento, por meio de uma interpolação linear de seus valores nos vértices, à
semelhança do que já foi feito na eletrostática e na Eletrocinética, de modo, que pode-se
escrever:
A(x,y) = N1 A1 + N2 A2 + N3 A3
(B.26)
Desta forma, pode-se escrever:
58
∂A ν
(c1 A1 + c 2 A2 + c3 A3 )
=
∂y 2∆
ν
∂A
H y =ν
=−
(b1 A1 + b2 A2 + b3 A3 )
2∆
∂x
H x =ν
(B.27)
Aplicando-se, agora, a segunda equação de Maxwell (Lei de Ampère) a contornos
fechados, do tipo mostrado na Fig. B.3, os quais envolvem os nós do domínio, e
orientando-se no sentido anti-horário, obtém-se
E1e =
ò H .dl = H
x
∆x − H y ∆y
(B.28)
POS
Substituindo-se Hx e Hy por seus valores obtidos em B.27, obtém-se:
E1e=(ν/4∆)[(b1 b1 + c1 c1)V1 +(b1 b2 + c1 c2)V2 + (b1 b3 + c1 c3)V3]
(B.29)
Para a parcela da circuitação ao redor do nó (2) do e-ésimo elemento, pode-se
escrever:
E2e = Hx ∆x + Hy ∆y
(B.30)
Com: ∆x= xp – xg = c2/2
∆y= yp – yg = -b2/2
Substituindo-se H e H por seus valores, em B.30, obtém-se:
E2e=(ν/4∆)[(b2 b1 + c2 c1)V1 +(b2 b2 + c2 c2)V2 + (b2 b3 + c2 c3)V3]
(B.31)
Para a parcela da circuitação ao redor do nó (3), obtém-se:
E3e=(ν/4∆)[(b3 b1 + c3 c1)V1 +(b3 b2 + c3 c2)V2 + (b3 b3 + c3 c3)V3]
(B.32)
Representando esses resultados matricialmente, chega-se à matriz do elemento
para a Magnetostática:
é E1e ù
é b1b1 + c1 c1
ê eú ν ê
ê E 2 ú = 4∆ êb1b2 + c1 c 2
ê E 3e ú
êë b1b3 + c1 c3
ë û
b1b2 + c1 c 2
b2 b2 + c 2 c 2
b2 b3 + c 2 c3
b1b3 + c1 c 3 ù é A1 ù
b2 b3 + c 2 c 3 úú êê A2 úú
b3 b3 + c3 c3 úû êë A3 úû
(B.33)
Em cada elemento, tem-se contribuições para corrente concatenada de três
contornos diferentes. Admitindo-se densidade de corrente uniforme no interior deles,
essas contribuições serão tais, que:
é I 1e ù é J∆ / 3ù
ê eú ê
ú
ê I 2 ú = ê J∆ / 3ú
ê I 3e ú êë J∆ / 3úû
ë û
(B.34)
Assim, a segunda equação de Maxwell aplicada a um contorno fechado
59
envolvendo o nó (i), obtém-se:
NE
åE
e =1
e
i
NE
= å I ie
i = 1,2,..., NN
(B.35)
e =1
Que expressa matricialmente, obtém-se:
[S][A] = [I]
(B.36)
Estes três exemplos mostram a força e a importância do Método dos Elementos
Finitos aplicado em cálculo de campos bem gerais, utilizados em qualquer parte da
Engenharia Elétrica. Outros desenvolvimentos com variações no tempo dos campos
elétricos (E) e magnéticos (B) podem também ser feitos, usando-se o MEF, mas a
formulação matemática é um pouco mais complicada. [39]
60
Apêndice C
Pacotes Computacionais
C.1. Pacotes Computacionais
Este apêndice foi baseado na referência [72]. Bibliotecas e pacotes de Softwares
têm sido criados para solucionar, diretamente, as equações diferenciais parciais. Contudo,
em geral, quando se implementa os Métodos dos Elementos Finitos, restringe-se a um
dado problema físico especifico. Isso é particularmente verdade para duas ou três
dimensões. Apesar disso, com essa aparente limitação, simples aplicações podem ser de
grande utilidade, no sentido de uma visão pedagógica.
Uma poderosa ferramenta computacional e de relativa simplicidade é a caixa de
ferramentas (Toolbox) de Equações Diferenciais Parciais do Matlabâ, que é acionada pelo
comando “pdetool” de dentro do Matlabâ. Essa caixa de ferramenta estende o ambiente
do Matlab, para o estudo e a solução de PDE em duas dimensões e no tempo. O Toolbox
fornece um conjunto de funções de comando de linha e uma interface gráfica com o
usuário, desde o pré-processamento até o pós-processamente de PDE de 2-D, usando o
Método de Elementos Finitos (MEF). A ferramenta também fornece potencialidades de
gerar malhas automáticas e adaptáveis, além de resolver os sistemas de equações
resultantes e sistemas de equações diferenciais ordinárias.
Estas aproximações fundamentais facilitam o uso de coeficientes não constante e
de não linearidade específicas, o uso de subdomínios e de sistemas dimensionais de n
variáveis dependentes. Também possibilitam o uso de uma sintaxe familiar de comandos
de linha do Matlab. São exemplos de problemas que podem ser resolvidos:
-
Problema Magnestostático e Eletrostático;
Problemas de Stress em Resistência de Materiais;
Problemas de Propagação de Ondas;
Problemas de Estruturas usadas em Engenharia Civil e Mecânica;
Problemas de Vibrações de Membranas;
Problemas de Transferência de Calor;
Processos Industriais e Químicos;
Estudos de Mecânica Quântica e Relativística;
Estudos de Movimentos de Corpos e etc.
As equações diferenciais parciais são usadas como modelos matemáticos, para
fenômenos em todas as áreas da Engenharia e ciência. Por exemplo, as equações
elípticas e parabólicas podem ser usadas na transferência de calor constante e não
constantes em sólidos, para fluxos em meios viscosos, e em problemas de difusão, para
eletrostática em meios dielétricos e condutores, e para fluxo de potencial. O PDE
hiperbólico é usado na propagação de ondas acústicas e eletromagnéticas e nos
movimentos transversais das membranas. O sistema elíptico de PDE pode ser usado
para resolver problemas de planos da tensão de stress e do plano em estruturas
mecânicas (Momentos e Esforços).
Soluciona-se quatro tipos de PDE (onde a, c, d e λ são constantes ou números
reais, u variável dependente, função de x, y e t variáveis independentes, t representa o
61
tempo, e x e y, o plano cartesiano, e ∇ o operador gradiente em geral
∂
∂
+
, e f uma
∂x ∂y
função dada; a solução aplicada sempre no domínio Ω ) :
Elíptico: − ∇.(c∇u ) + au = f
Exemplo de uso: transferência constante de calor, fluxo e difusão, magnestotática e
eletrostática em materiais condutivos.
∂ 2u
Hiperbólico: d 2 − ∇.(c∇u ) + au = f
∂t
Exemplo de uso: transientes e harmônicos em propagação de ondas acústicas e
movimento transversal de membranas.
Parabólicos: d
∂u
− ∇.(c∇u ) + au = f
∂t
Exemplo de uso: transiente de transferência de calor, fluxo e difusão em meios
porosos.
Autovalores (ou valores próprios): − ∇.(c∇u ) + au = λ du
Exemplo de uso: estudo de freqüências acústicas, transversal e longitudinal;
movimento de membranas; mecânicas quânticas e propagação de ondas
eletromagnéticas.
As funcionalidades gráficas da interface do usuário e os comandos de linha da
ferramenta foram projetadas para seguir, intuitivamente, o processo de resolução dos
PDE. O processo da solução do PDE, usando o Método dos Elementos Finitos pode ser
caracterizado por seis etapas genéricas. Estas etapas e modalidades correspondentes
ao uso da ferramenta de PDE, são:
-
Definição da geometria (modalidade de tração)
Especificação de condições de limite (modalidade da condição de limite)
Seleções dos coeficientes do PDE que definem o problema (modalidade de
PDE)
Discretização em elementos finitos (modalidade de malhas)
Especificação de condições e da solução iniciais do PDE (modalidade de
resolução)
E apresentação dos resultados e soluções (modalidade de lote).
Cada uma dessas modalidades está disponível por meio das linhas de comando e
da interface gráfica com o usuário. [72]
Figura C.1 - Resolução passo a passo no MatLab, empregando o Método dos Elementos
Finitos em um exemplo que usa a equação de equilíbrio térmico de Laplace
æ ∂ 2u ∂ 2u
ö
çç 2 + 2 = 0 ÷÷ para uma placa fina metálica retangular, onde um lado é mantida a 100oC
∂y
è ∂x
ø
62
[u(-1,y)] e os outros três lados são mantidos a 0oC [u(1,y); u(x,-0,8); u(x,0,8) com
condições de contorno]:
(a) Chamada da rotina PDETOOL no MatLab e desenho da placa retangular.
(b) Definição da condição de contorno do lado de 100oC. 1*u=100 (h=1 e r=100).
63
(c) Definição das condições de contorno dos três outros lados à 0oC. 1*u=0.(h=1 e r=0).
(d) Definição da equação diferencial a ser resolvida. Tipo Elíptico com c=1, a=0 e
æ
ö
H ∂ 2u ∂ 2u
f=0. çç ∇.∇u = 2 + 2 = 0 ÷÷ .
∂x
∂y
è
ø
64
(e) Definição da malha inicial de elementos finitos triangulares planos na placa metálica.
(f) Melhora da malha onde cada elemento triangular se torna quatro. Onde o ponto médio
de cada lado do triângulo se torna vértice dos triângulos internos.
(g) Exemplo de como o MatLab melhora a malha. Um triângulo vira quatro outros
triângulos menores.
65
(h) Solução do PDE por elementos finitos. Onde cada tom de cor representa uma
temperatura na placa metálica. Note a escala do lado. (=)
(i)
Solução do PDE por elementos finitos, visão em três dimensões.
O princípio do método dos elementos finitos segue os passos:
- Definição do domínio;
- Discretização em elementos finitos;
- Cálculo dos Coeficientes do Sistema Algébrico;
- Resolução das Equações;
- Exploração dos Resultados.
66
Apêndice D
Técnica ou Formulação Variacional
Uma originalidade do método dos elementos finitos reside no fato de ser baseado
numa formulação integral do fenômeno analisado, derivada da forma diferencial que
representa a equação a derivadas parciais e respectivas condições de contorno. Esta
formulação integral pode ser do tipo Variacional, deste que possível, enquanto, em outros
problemas, ela será do tipo projetada em associação com uma base de funções.
A formulação projetada (Método dos Resíduos Ponderados) é de aplicação mais
ampla que a formulação Variacional. Desde que esta exista, pode ser equivalente à
primeira, através de uma escolha adequada de funções base. Entretanto, é sempre
interessante tentar explorar o princípio dos trabalhos virtuais, porque este permite uma
interpretação física que poderá servir de suporte à determinação de algumas grandezas
globais com um mínimo de cálculos suplementares e, sobretudo, conseguir uma grande
precisão originária da coerência entre a física destas grandezas e o aspecto Variacional
(freqüentemente energético) do método. Algumas vezes, o método Variacional também é
chamado de método das energias.
O cálculo Variacional é a parte da matemática onde melhor se estuda os extremos
das funções, buscando os seus máximos e mínimos. Trabalha com o funcionais, que são
funções de funções, ou seja, f é função de y, que por sua vez é função de x. Um dos
problemas básicos é achar o máximo ou o mínimo de I, onde:
b
I = ò f ( x, y ( x), y´(x))dx
a
É importante relembrar o lema fundamental do cálculo Variacional:
t2
Lema: Se
ò f (t )ξ (t )dt = 0.
∀ξ (t ) contínua e tal que ξ (t ) > 0 e ξ (t1 ) = ξ (t 2 ) = 0 ,
t1
então f (t ) = 0, ∀t ∈ (t1 , t 2 ) .
Ou seja, se a integral é zero, devemos ter f(t)=0. Isso nos traz a Eq. (3.16), onde se
deseja o resíduo R próximo de zero, solucionado a equação diferencial e realizando a
aproximação através da integral que se iguala a zero:
ò RW dD = 0
i
i = 1, 2, ..., m
D
onde R = f (t ) e Wi = ξ (t ) .
O lema fundamental do cálculo Variacional também é verdade se dispensar as
condições ξ (t ) > 0 e ξ (t1 ) = ξ (t 2 ) = 0 , cuja a demonstração pode ser encontrada em
Sagan [18].
67
Outra razão para a formulação Variacional é a equivalência entre calcular o extremo
de uma integral e resolver uma equação diferencial parcial de segunda ordem, como
mostra o teorema abaixo:
Teorema: Seja u(x, y, t), uma função de três variáveis contínuas com derivadas
primeiras também contínuas. A função v(t) derivável e de derivada v´(t), definida num
intervalo (t1, t2) tal que v(t1)=v1, v(t2)=v2 e torna extrema a integral:
t2
I = ò u (v, v ′, t )dt
t1
Verifica a equação de Euler associada a esta funcional:
ì ∂u d æ ∂u ö
− ç
ï
÷=0
í ∂v dt è ∂v ′ ø
ïîv(t1 ) = v1 , v(t 2 ) = v 2
Demonstração:
Pesquisa-se, entre todas as funções que passam pelos pontos M1(t1, v1) e M2(t2, v2),
aquela que torna a integral I extremante. Seja v0 a função solução e, a partir de uma
função contínua ξ(t), onde ξ(t1)=ξ(t2)=0 e ξ(t)>0, defini-se uma função v(t)=v0(t)+λξ(t).
A integral I torna-se uma função de λ :
t2
I (λ ) = ò u (v(λ , t ), v ′(λ , t ), t )dt
t1
Esta função será extrema para λ=0 se sua derivada dI(0)/dλ = 0
t
t
1
2
dI
du
æ ∂u ∂v ∂u ∂v ′ ö
= ò dt = ò ç
+
Ora:
÷dt
∂v ∂λ ∂v ′ ∂λ ø
dλ t1 dλ
t1 è
Se ∂v/∂λ se exprime facilmente, o mesmo não se pode dizer de ∂v´/∂λ, e convém
transformá-la por uma integração por partes. O segundo termo de dI/dλ resulta então em:
t
t2
t
2
2
d æ ∂u ö ∂u
∂u ∂ 2 v
é ∂u ∂v ù
=
dt
dt
−
ç
÷
òt ∂v ′ ∂v ′∂t
ò
ê ∂v ′ ∂ λ ú
′
λ
dt
v
∂
∂
ë
û
è
ø
t1
t1
1
x=
∂u
∂v ′
dx =
∂ 2v
dt = dy
∂t∂ λ
æ ∂u ö
ç
÷ dt
è ∂v ′ ø
∂
y=
∂λ
d
dt
Considerando que
∂v
∂
=
(v0 + λξ ) = ξ (t ) ,
∂λ ∂λ
68
t
resulta
t
2
2
é ∂u d æ ∂u ö ù
dI é ∂u
ù
= ê ξ (t )ú + ò ê − ç
÷ úξ (t )dt ,
dλ ë ∂v ′
û t1 t1 ë ∂v dt è ∂v ′ ø û
As propriedades de ξ(t) ( ξ(t1)=ξ(t2)=0 ) resulta que λ=0, v=v0 e verifica:
ì ∂u d æ ∂u ö
− ç
ï
÷=0
í ∂v dt è ∂v ′ ø
ïîv(t1 ) = v1 , v(t 2 ) = v 2
Mesmo não parecendo, esta é uma equação diferencial de segunda ordem, pois u é
uma função semi-implícita de t. Através de v e v´ obtém-se:
∂ 2u
d æ ∂u ö ∂ 2 u dv ∂ 2 u dv ′ ∂ 2 u
∂ 2u
∂ 2u
′
′
′
+
+
=
+
+
v
v
ç
÷=
dt è ∂v ′ ø ∂v ′∂v dt ∂v ′ 2 dt ∂v ′∂t ∂v ′ 2
∂v∂v ′
∂v ′∂t
Resultando, após um reagrupamento, tem:
ì ∂ 2u
∂ 2u
∂ 2 u ∂u
ï 2 v ′′ +
=0
+
−
í ∂v ′
∂v∂v ′ ∂v ′∂t ∂v
ïî v(t1 ) = v1 , v(t 2 ) = v 2
Estes teoremas mostram que, sob certas condições, há uma equivalência entre a
resolução de um problema diferencial de Segunda ordem e a pesquisa de uma função,
que torna extrema uma funcional associada àquela equação diferencial. A equação
diferencial em questão é denominada equação de Euler associada à funcional, cujo
extremo se está pesquisando.
Pode-se, portanto, indiferentemente, resolver a equação diferencial com suas
condições de contorno ou minimizar a integral a ela associada. Até recentemente, o
conjunto de ferramentas matemáticas que se dispunha eram orientados de modo a
resolver diretamente os problemas diferenciais ao invés de fazê-lo através da
minimização de funcionais, devido ao fato de que as maiorias dos tratados de física
descrevem os fenômenos sob a forma diferencial, mesmo que na maior parte dos casos a
análise, seguindo os princípios energéticos e termodinâmicos, fornecessem uma
formulação integral ou mesmo variacional, em particular nos casos da mecânica ou do
eletromagnetismo.
Em geral, as formulações variacionais são montadas a partir do principio da ação
Hamiltoniana, da qual dar-se-á uma breve descrição.
Considerando um sistema físico cuja evolução em função das variáveis
independentes x1, x2,..., xn seja descrita pela variação de um certo número de funções,
∂qi
chamadas variáveis de estado q1, q2,..., qn , e suas derivadas qik′ =
. O princípio da
∂x qk
ação Hamiltoniana postula a existência de uma funcional do tipo integral:
I a = ò L( xi , q j , q ij′ )dw
69
Cujo extremo definido por uma condição de equilíbrio (estacionária) caracteriza a
evolução do sistema. O domínio é definido a partir das variáveis independentes xk e do
integrando L(xi, qj, q´ij), também conhecidos pelo nome de função de Lagrange do
sistema, sendo a mesmo uma função escalar das variáveis de estado qi, de suas
derivadas e das variáveis independentes xk.
Esta função de Lagrange, característica da evolução do sistema, tem uma
significação física direta e é em geral construída a partir da diferença de dois termos
energéticos, um termo W c de coenergia do tipo cinético, que varia de maneira quadrática
em função das derivadas parciais q´ij e um termo W p de energia potencial que é uma
função complicada das variáveis de estado qi:
L(xi, qj, q´ij) = W c(q´ji, q´kl) – W p(qk).
A condição necessária de equilíbrio (estacionaridade) da integral Ia, definida pelas
equações de Euler da integral de L, é a representação diferencial do fenômeno físico
caracterizado pela funcional Ia.
Com exemplo para o campo eletrostático
Admitindo, então, um espaço de duas dimensões, as variáveis independentes são
as coordenadas x, y, a variável de estado é o potencial elétrico V, e suas derivadas
parciais os campos Ex= -∂V/∂x e Ey= -∂V/∂y.
As considerações energéticas elementares introduzem as noções de energia
potencial W p = - ρ(x, y) V e de coenergia cinética num meio caracterizado por uma
2
2
ε æç æ ∂V ö æ ∂V ö ö÷
÷ .
permissividade ε , Wc =
ç
÷ +ç
2 ç è ∂x ø çè ∂y ÷ø ÷
ø
è
A função de Lagrange é escrita como segue:
2
2
1 æç æ ∂V ö æ ∂V ö ö÷
÷ − ρ ( x, y )V
L= ε ç
÷ +ç
2 ç è ∂x ø çè ∂y ÷ø ÷
ø
è
1
L = ε V x′ 2 + V y′ 2 − ρV
2
(
)
A equação de Euler da integral sobre o domínio de estudo I a = ò Ldw fornece:
∂L ∂ æ ∂L ö ∂ æç ∂L ö÷
÷−
− ç
=0
∂V ∂x çè ∂V x′ ÷ø ∂y çè ∂V y′ ÷ø
resultando
∂
(εVx′ ) + ∂ (εV y′ ) − ρ = 0
∂x
∂y
70
ou
∂ æ ∂V ö ∂ æ ∂V ö
÷ = ρ ( x, y )
çε
÷ + çε
∂x è ∂x ø ∂y çè ∂y ÷ø
D.5.1 Método da Projeção
O princípio fundamental deste método é baseado em um teorema próprio dos
espaços de Hilbert, estabelece que neste espaço, apenas o vetor nulo é ortogonal a todos
os vetores do espaço. Na prática, a ortogonalidade de dois vetores, ou ainda de duas
funções, é descrita pela nulidade de seus produtos escalares. Seja em R2, espaço onde
se situa o maior número de problemas físicos, a ortogonalidade de duas funções f e g é
dada por:
ò f .g
dv = 0
Ω
Logo, na resolução de um problema, onde as derivadas parciais podem ser
traduzidas pela pesquisa de uma função v tal como os operadores L sobre o domínio e B
sobre a fronteira que verifica: L(v) – f = 0 e B(v) – g =0.
O método denominado Método dos Resíduos Ponderados consiste na pesquisa de
funções v que satisfaçam a condição de contorno, ponderadas por funções u tais que,
para toda função u que satisfaça condições de continuidade determinadas, possa-se
escrever:
ò u.( L(v) − f )dw = 0
(D.33)
Ω
Se o conjunto de funções u é de dimensão infinita, então é possível obter uma
equivalência entre o problema, as derivadas parciais e sua formulação integral.
Entretanto, nas aplicações práticas, as funções u formam um espaço de dimensão finita e
a fórmula (D.33) constitui uma única aproximação caracterizada pela função dada e por
este conjunto de funções.
A vantagem do Método dos Resíduos Ponderados, em relação à formulação
variacional, é poder se aplicar a qualquer equação, independentemente da existência e do
conhecimento de uma formulação variacional do problema; por outro lado, de início existe
um erro de método caracterizado pela escolha das funções u; no entanto, este último
ponto é de importância secundária, pois este erro e o de aproximação se conjugam para
resultar, sob certas condições, os mesmos resultados nas duas formulações.
Tem-se como exemplo o problema térmico:
∂ æ ∂T ö ∂ æ ∂T ö
÷+Q = 0
çk
÷ + çk
∂x è ∂x ø ∂y çè ∂y ÷ø
T = T0 I s
A formulação em termos do Método dos Resíduos Ponderados consiste em escolher
71
funções T que verificam as condições de contorno, onde ∀u é:
æ ∂ æ ∂T ö
∂ æ ∂T ö
ö
òò uççè ∂x çè k ∂x ÷ø + ∂y ççè k ∂y ÷÷ø + Q ÷÷ødΩ = 0
Ω
Uma integração por partes permite transformar esta integral:
æ
æ ∂T ∂u
ö
∂T ∂u ö
∂T
÷÷ + uQ ÷÷dΩ + ò ku dS = 0
∂y ø
∂n
S
ø
òò ççè − k ççè ∂x ∂x + ∂y
Se impusermos u=0 sobre o contorno, o segundo termo desaparece e resulta a:
ö
æ æ ∂T ∂u ∂T ∂u ö
÷÷ − Qu ÷÷dΩ = 0
+
∂x ∂y ∂y ø
ø
òò ççè k ççè ∂x
A seqüência de funções de projeção ui tomada e as funções de aproximação αi
escolhida para T caracterizarão então o método.
D.5.2 Outras Formulações
Junto com outras formulações possíveis, pode-se utilizar formulações variacionais
mistas utilizando os multiplicadores de Lagrange ou métodos do tipo penalidade. Entre os
métodos de projeção, o dos mínimos quadrados onde, minimizando a norma quadrática
do erro sobre a equação e as condições de contorno, permite definir coeficientes da
combinação linear das funções de base que realiza a aproximação da função procurada.
D.5.3 Funções de Aproximação
Uma vez definida a formulação integral, o resultado obtido pela minimização do
funcional é a solução do problema diferencial inicial. Entretanto, para a maior parte dos
problemas, a obtenção de uma solução exata é tão difícil na formulação integral como na
diferencial; esta dificuldade incita a pesquisar uma solução aproximada sob a forma de
uma combinação linear de funções independentes conhecidas e cuja manipulação
matemática não apresente dificuldades. Estas funções podem ser trigonométricas, como
no caso das séries de Fourier, ou polinomiais por trechos, como no Método dos
Elementos Finitos. Pode-se, então, escrever a função pesquisada u aproximada pela
combinação linear:
u * = A1 N 1 + A2 N 2 + ... + ANN N NN
Onde os coeficientes A1, A2,..., ANN serão determinados pelo método, de forma a
realizar a melhor aproximação possível de u sobre a base de funções N1, N2,..., NNN.
No Método dos Elementos Finitos, o domínio de estudo é discretizado em subdomínios chamados Elementos Finitos, sobre as quais cada um deles, a função
procurada é aproximada por um polinômio. A discretização realizada é uma partição do
72
domínio, sem buracos nem recobrimentos. Os polinômios próprios de cada elemento
devem respeitar, na fronteira, as condições de continuidade compatíveis com aquelas
impostas pela natureza do problema. Este vínculo permite determinar o conjunto de
funções Ni a partir das funções Ni(e) definidas sobre cada elemento.
Um exemplo em R2 é uma divisão em dois sub-domínios triangulares de primeira
ordem sobre os quais a função procurada é aproximada por um polinômio de primeira
ordem: P=a+bx+cy. Em cada elemento existem três coeficientes a determinar e, portanto,
três monômios, perfazendo um total de seis coeficientes não conhecidos; mas as
condições de continuidade sobre a aresta, que une os vértices 2 e 3 aos seis coeficientes,
restringem a 4 o número real de coeficientes não conhecidos. Há, então, uma função de
aproximação que afeta cada vértice, como mostrado na figura D.10.
3
1
4
2
Figura D.10 Domínio a dois elementos triangulares.
A escolha de cada elemento das funções de aproximação definirá o seu tipo e
caracterizará, pela seqüência, a natureza das funções de aproximação. Há uma ligação
matemática rigorosa entre a escolha da natureza das funções de aproximação (lineares,
quadráticas, cúbicas) e a forma dos elementos, sempre definidas por trechos sobre a
discretização.
D.5.4 Minimização através das Funções de Aproximação
O princípio geral comum a duas formulações integrais, definidas anteriormente,
consistirá em determinar os coeficientes u1, u2,..., uNN da aproximação u* , pela realização
de um certo número de condições a impor a estas funcionais.
Formulação Variacional
Seja u a função procurada que verifica uma equação a derivadas parciais: L(u)=f e
condições de contorno que, por enquanto, não consideraremos, mas poderão ser levadas
em conta pelo funcional:
F = òò L(u , u ′x , u ′y , x, y )dΩ
(D.34)
Ω
Se a função u é substituída por sua aproximação u* sobre todo domínio Ω, obtém-se:
NN
u * = å ui N i
i =1
NN
NN
i =1
i =1
; u ′x* = å u i N ix′ ; u ′y* = å u i N iy′ ,
onde os ui são os coeficientes numéricos, como foi visto anteriormente são de fato
valores de u* em cada um dos nós da discretização. Logo o funcional vem a ser uma
73
função exclusiva dos coeficientes u1, u2,..., uNN. A condição necessária para a obtenção
do extremo da Eq. (D.34) é, na maior parte dos casos, uma de minimização, tal que:
∂F
=0 ,
∂u1
∂F
∂F
= 0 , ...,
=0,
∂u 2
∂u NN
sendo um sistema de NN equações algébricas a NN incógnitas u1, u2,..., uNN. A
resolução deste sistema fornece, então, a função de aproximação u* sobre todo o
domínio.
D.5.5 Método dos Resíduos Ponderados
Na aplicação deste método é preciso escolher um conjunto de funções de projeção
(ou funções de ponderação) Φ1, Φ2,..., ΦNN antes de escrever as equações de projeção
L(u*) sobre cada uma destas funções.
æ æ NN
ö
ç Lç å u j N j ÷ −
Φ
1
òò ç çè j =1
÷
ø
è
ö
f ÷ dΩ = 0
÷
ø
æ æ NN
ö
Φ
u j N j ÷÷ − f
òò 2 çç Lççè å
ø
è j =1
...
æ æ NN
ö
Φ
u j N j ÷÷ −
òò NN çç Lççè å
ø
è j =1
ö
÷ dΩ = 0
÷
ø
(D.35)
ö
f ÷ dΩ = 0
÷
ø
Obtém-se, de novo, um sistema de NN equações algébricas a resolver para se
encontrar as NN incógnitas u1, u2,..., uNN.
Observações importantes
Nos dois casos, a aplicação do método dos elementos finitos conduz à substituição
de uma equação ou sistema de equações a derivadas parciais por um sistema de
equações algébricos contento coeficientes da função de aproximação, que são, na
realidade, os valores das funções de aproximação nos nós do domínio discretizado. Como
no Método dos Resíduos ponderados as funções de ponderação são idênticas às funções
de aproximação, o sistema de equações obtido é idêntico àquele obtido pela formulação
variacional.
Se o operador L é linear, então a funcional é quadrática, implicando na linearidade
do sistema de equações algébricas obtido. Da mesma forma, no Método dos Resíduos
Ponderados, a linearidade de L implica na linearidade das equações (D.35), pois, em
cada uma delas, os coeficientes ui podem ser colocadas em evidência na integral.
NN
æ æ NN
öö
÷
ç
ç
÷
Φ
L
u
N
−
f
d
Ω
=
uj
å
j
j
òò i ç çè å
÷÷
j
i
=
1
=
1
øø
è
(òò L(N )Φ dΩ) − òò Φ fdΩ
j
i
Ω
i
74
Apêndice E
Revisão Conceitual de Equações Diferenciais
Parciais
O conjunto de equações a derivadas parciais que regem os fenômenos físicos é bem
vasto, e compreende um número de casos particulares que seria ilusório querer descrever
de maneira exaustiva, sem ir de encontro a uma redação enciclopédia. Pode-se, no
entanto, classificar a maioria das equações em três grandes classes, cada uma ilustrada
por um tipo de fenômeno bem particular. Seja a u(x, y) e equação diferencial de segunda
ordem abaixo:
A
∂ 2u
∂u
∂u
∂ 2u
∂ 2u
+
B
+
C
+D
+E
+ Fu + G = 0
2
2
∂x∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
Se B2 – 4 AC > 0, têm-se as Equações Hiperbólicas, como, por
∂ 2u ∂ 2u
=
exemplo, as equações de ondas: Para u ( x, t ) temos
.
∂t 2 ∂x 2
Se B2 – 4 AC < 0, têm-se as Equações Elípticas, como nas equações
∂ 2u ∂ 2u
de Laplace ou de Equilíbrio: Para u ( x, y ) temos
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2
Se B2 – 4 AC = 0, têm-se as Equações Parabólicas, exemplificado
∂u ∂ 2 u
=
pelas equações de condução de calor: Para u ( x, t ) temos
.
∂t ∂x 2
-
As equações do tipo elípticas são representativas dos problemas de potencial que
aparecem nos estudos em regime permanente na eletricidade (eletrostática ou
magnetostática), mecânica (deformação de um sólido, escoamento Laplaciano de um
fluido) e térmica (distribuição de temperaturas). As condições de contorno normalmente
associadas são do tipo:
Dirichlet, (u ( s ) = u 0 = f 0 ( s ))
æ ∂u
ö
Neuman ç ( s ) = f 0 ( s ) ÷
è ∂n
ø
∂u
æ
ö
ou mista ç u ( s ) +
( s) = f 0 (s ) ÷
∂n
ø
è
As equações parabólicas são representativas dos problemas de difusão, cuja
equação de difusão da temperatura em um corpo incompreensível é o caso típico. Esta
equação é igual a de penetração das correntes induzidas em um corpo condutor de
eletricidade. As condições de contorno associadas à equação parabólica são de dois
tipos:
a) Condições de Dirichlet, Neuman ou mista sobre a fronteira espacial do
domínio.
b) Uma condição inicial (t=0) em todo o domínio.
75
As equações hiperbólicas caracterizam o fenômeno da propagação das ondas,
sejam elas vibratórias do tipo mecânicas ou eletromagnéticas. As condições de contorno
relacionadas à equação de propagação são associadas às condições de Cauchy ao
instante inicial (dada sua função u e sua derivada ∂u/∂t em relação ao tempo).
Desde que o domínio de estudo seja formado de vários sub-domínios, sobre os
quais os coeficientes da equação diferem por causa das propriedades físicas, diferentes
materiais que compõem estes sub-domínios, há na fronteira de separações derivadas de
ordens elevadas e formação de condições de transmissão que exprimem as condições
atribuídas às diversas funções e suas derivadas. Como exemplo, na eletrostática é bem
conhecido que na passagem de um meio isolante a outro, há refração das linhas de
campo elétrico. Chamando de V o potencial elétrico definido no interior de um domínio D
formado de um sub-domínio D1 , no qual o material dielétrico tenha permissividade
dielétrica ε1 , e um sub-domínio D2 , caracterizado por um meio de permissividade ε2 , a
equação do potencial varia de um meio a outro.
∂ æ ∂V ö ∂ æ ∂V ö
÷=0
çε1
÷ + ç ε1
∂x è ∂x ø ∂y çè ∂y ÷ø
∂ æ ∂V ö ∂ æ ∂V ö
÷=0
Meio 2 :
çε 2
÷ + çε 2
∂x è ∂x ø ∂y çè ∂y ÷ø
Meio 1 :
Na interface, estas equações não são válidas e substituem-se por duas outras: da
continuidade do potencial e da indução elétrica, que leva em conta a descontinuidade do
campo elétrico:
Interface: V1 = V2
e
ε1
∂V1
∂V
= ε 2 2 (n normal a interface)
∂n
∂n
Os problemas elípticos são características da análise de fenômenos de regime
permanente, fenômenos do tipo estático (sem variação temporal) ou variável no tempo
segundo função conhecida (senoidal, por exemplo). Os problemas parabólicos e
hiperbólicos são ligados aos estudos de regime transitório (chamados algumas vezes de
dinâmicos) e sua resolução permite analisar a evolução de um fenômeno físico no
decorrer do tempo (regime transitório elétrico ou térmico, resposta mecânica a uma
perturbação).
Noção de um problema “Bem Definido”
As equações a derivadas parciais e as condições de contorno associadas
constituem o chamado problema a derivadas parciais. Entretanto, a associação de uma
equação e das condições de contorno não conduzem forçosamente a um problema
matemático simulando um fenômeno ou um processo físico.
Com finalidade de caracterizar mais precisamente este tipo de problema, Hadamard
introduziu a noção de problema “bem definido”. Um problema é “bem definido” desde que
satisfaça as três condições seguintes:
-
O problema possui uma solução;
76
-
A solução é única;
A solução varia de maneira contínua em função dos dados.
Se as duas primeiras condições parecem triviais (apesar de ser muito fácil definir um
problema sem solução), a terceira condição, de mais difícil entendimento, impede a
formulação de um problema cuja definição parece “a priori” suficiente, mas que, por
vezes, pode conduzir, salvo exceções, a uma ausência de solução, caracterizada por um
fenômeno de instabilidade.
O exemplo mais significativo é o seguinte problema:
ü
∂ 2V ∂ 2V
+ 2 = 0 y > 0ï
2
∂x
∂y
ï
b) V = 0
y=0ý
ï
∂V sen(nx)
c)
=
y=0ï
2
∂y
n
þ
a)
A condição (c) converge uniformemente para zero, desde que n tenda ao infinito,
podendo, neste caso, definir-se o problema pela equação (a) e pelas condições V=0,
∂V/∂y=0 para y=0, cuja solução é uma constante.
Ora, a solução do problema como definido é:
V ( x, y ) =
1
sinh(ny ) sin(nx)
n3
Que tende ao infinito com n, qualquer que sejam os valores de x e y não nulos.
Definimos aqui um problema instável (este problema torna-se “bem definido” se a
condição V=0 for suprimida e levada ao infinito).
Geralmente as equações elípticas são associadas a condições de contorno de
Dirichlet, Neuman ou mista, e as equações parabólicas e hiperbólicas são associadas a
condições de Cauchy (definição do valor inicial de sua derivada em relação à variação no
tempo).
A tabela E.2 que se segue, extraída da obra de Morse e Freschbach [16], define, de
modo bem preciso as associações de equação e condições de contorno que, seguindo a
natureza aberta (isto é: se estende ao infinito) ou fechada na fronteira, conduzem a
problemas bem definidos.
77
Condição de Natureza da Equação
Equação
Contorno
Fronteira
Parabólica
Elíptica
Dirichlet
ou Aberta
Única (t>0)
Insuficiente
Neuman
Fechada
Excessiva
Única Estável
Cauchy
ou Aberta
Excessiva
Instável
mista
Fechada
Excessiva
Excessiva
Tabela E.2 Classificação dos PDE segundo sua solução.
Equação
Hiperbólica
Insuficiente
Não Única
Única Estável
Excessiva
Figura E.18 Exemplo de uma malha em três dimensões de elementos finitos.
(Elementos Tetraédricos).
Figura E.19 Exemplo de malhas: (a) Discretização em duas dimensões - 2D
(elementos triangulares) e (b) Discretização em três dimensões - 3D (elementos
tetraédricos).
78
Apêndice F
Visão Histórica
Esta parte é baseada na contribuição original de [34]. O desenvolvimento moderno
do método de elementos finitos começa na década de quarenta no campo da engenharia
estrutural com o trabalho de HRENNIKOFF [1] (1941) e MCHENRY [2] (1943), usando um
modelo de elementos em linhas, de uma dimensão tipo barras e feixes, para a solução de
problemas de esforços em sólidos contínuos. Em artigos publicados em 1943, mas não
largamente reconhecidos por muitos anos, COURANT [3] propôs usar a solução para os
esforços, de uma forma variacional. Ele. então, introduz funções de interpolação sobre
pedaços de sub-regiões triangulares, e une todas estas em um método, para obter uma
solução numérica aproximada. LEVY [4] (1947), desenvolve o método de flexibilidade ou
forças, e, em outro trabalho [5] (1943), sugere um método de rigidez ou deslocamentos,
prometendo ser uma alternativa na análise de estruturas redundantes estáticas de aviões.
Contudo, suas equações apresentavam dificuldade de solução manual, e seu método só
se tornaria popular com o advento dos computadores digitais de alta velocidade.
ARGYRIS e KELSEY [6], [7] (1954) desenvolvem um método matricial de análise
estrutural, usando o princípio das energias. Este ilustraria a importância das regras, que o
princípio das energias poderia ter no Método dos Elementos Finitos.
O primeiro tratamento de elementos em duas dimensões foi dado por TURNER,
CLOUGH, MARTIN e TOPP [8], em 1956. Eles derivaram matrizes de rigidez de
elementos de pontos, feixes e elementos triangulares e retangulares de duas dimensões
em planos de esforços, e esboçaram procedimentos comuns conhecidos, como o método
da rigidez direta para obter a matriz total da estrutura rígida. Logo, com desenvolvimento
de computadores digitais de alta velocidade, no começo da década de cinqüenta, o
trabalho de TURNER, CLOUGH, MARTIN e TOPP [8] apontou para o desenvolvimento
das equações de rigidez de elementos finitos expressas na notação matricial. O termo
“Elementos Finitos” foi introduzida por CLOUGH [9] (1960), quando ambos, elementos
triangulares e retangulares, foram usados na análise do plano de esforços. SILVERTER
[58], nesta mesma época, cria avanços no modelamento matemático, trabalhando em
esquemas de discretização e ajuste de curvas.
A matriz de rigidez para elementos curvos de planos retangulares foi desenvolvida
por MELOSH [10], em 1961, seguida pelo desenvolvimento de conchas (três dimensões)
curvas em elementos curvos de matriz de rigidez, para conchas assimétricas e pressões
em embarcações, por GRAFTON e STROME [11] (1963).
Extensões do Método dos Elementos Finitos, para os problemas de três
dimensões, com o desenvolvimento da matriz de rigidez tetrahédrica, foram realizadas por
MARTIN [12] (1961), por GALLAGHER, PADLOG e BIJLAARD [13] (1962) e por MELOSH
[14] (1963). Elementos tridimensionais adicionais foram estudados por ARGYRIS [15]
(1964). Os casos especiais de sólidos assimétricos foram considerados por CLOUGH,
RASHID [16] e WILSON [17], em 1965.
A maioria dos trabalhos de elementos finitos, no começo dos anos 60, lidava com
pequenos esforços e deslocamentos, elasticidade de materiais e cargas estáticas.
Contudo, grandes deflexões e análises térmicas foram consideradas por TURNER, DILL,
MARTIN e MELOSH [18] (1960), e a não linearidade dos materiais, por GALLAGHER,
79
PADLOG, e BIJLAARD [13] (1962), quando problemas de curvaturas foram inicialmente
tratados por GALLAGHER e PADLOG [19] (1963). ZIENKIEWICZ, WATSON e KING [20]
(1968) estenderam o método para problemas de visco-elasticidade.
Em 1965, ARCHER [21] considera a análise dinâmica no desenvolvimento da
matriz de massas de consistência (distribuições das cargas), aplicada para análise de
sistemas de massa distribuída, tal como barras e feixes na análise estrutural.
MELOSH [14] considera, em 1963, que o método de elementos finitos poderia ser
colocado em termos da formulação variacional, e então, este começou a ser usado para a
resolução de aplicações não estruturais. Problemas de cálculo de campo, tal como a
determinação de torção de hastes, escoamento de fluidos e condição do calor foram
resolvidos por ZIENKIEWICZ e CHEUNG [22] (1965), MARTIN [23] (1968), e WILSON e
NICKEL [24] (1966).
O trabalho que marcou a aplicação do MEF na Engenharia de eletricidade é
creditado a SILVERTER & CHARI [74], em 1969, que promoveram seu desenvolvimento.
A partir de então, uma série de pesquisadores dedicou esforços, no sentido de aplicá-lo
na resolução dos maiores problemas da Engenharia de eletricidade, que é o cálculo de
campos eletromagnéticos presentes nos dispositivos e sistemas elétricos.
As extensões dos métodos foram possíveis, pela adaptação da técnica dos
resíduos ponderados, primeiramente, por SZABO & LEE [25] (1969), que derivaram as
equações de elasticidade usadas em análise estrutural, e posteriormente,
por
ZIENKIEWICZ & PAREKH [26] (1970), que a utilizaram nos problemas de campos
transitórios. Entende-se, então, que a formulação direta e a variacional era difícil ou
impossível de se usar, e logo, o método dos resíduos ponderados tornava-se mais
apropriado. Por exemplo, em 1977, LYNESS, OWEN & ZIENKIEWICZ [27] aplicaram os
resíduo ponderados para determinação de campos magnéticos.
BELYTSCHKO [28], [29] (1976) estudou problemas associados a grandes
deslocamentos em dinâmica não linear, e melhorou as técnicas numéricas para a
resolução de sistemas de equações. Aplicações em novos campos como a bioengenharia
foram tratadas pelo Métodos dos Elementos Finitos, embora outros, como materiais não
lineares, geometria não lineares e outras complexidades, permaneceram ainda sem
solução.
Resumidamente, o Método dos Elementos Finitos é conhecido, no que se refere
aos seus princípios, a, aproximadamente, meio século, e só veio a ser utilizado, com o
aparecimento dos modernos meios informáticos. De fato, apesar das formulações
integrais serem conhecidas a longo tempo, graças aos trabalhos de GALERKINE, RITZ,
COURANT e HILBERT, suas aplicações não puderam se generalizar, de imediato, pela
dificuldade em se resolver, facilmente, os sistemas algébricos lineares e não lineares de
grandes dimensões. De fato, o trabalho necessário para se resolver um sistema linear,
com algumas dezenas de equações e com o correspondente número de incógnitas, levou
a maioria dos engenheiros a restringir este tipo de cálculo a um pequeno número de
especialistas, como CHOLESK, SEITEL, JACOBI e GAUSS, que desenvolveram métodos
astuciosos, recentemente, ainda utilizados.
Os engenheiros civis e mecânicos, enfrentando problemas complexos de cálculo
estrutural, foram os primeiros a se aproveitarem do desenvolvimento da informática e das
80
linguagens de programação de alto nível, para expressar, em termos de equações
algébricas, os modelos de desempenho das estruturas mecânicas. Nos anos sessenta, o
Método dos Elementos Finitos ganha rigor matemático e implementação computacional,
passando a ser adotado por profissionais de diversas áreas, na resolução de equações
diferenciais parciais.
A partir de 1970, sob o impulso de numerosos pesquisadores da Engenharia e
Matemática (ZIENKIEWICZ, GALLAGHER, ODEN, LIONS, RAVIART, SILVESTER,
CHARI, TOUZOT e outros), este método tornou-se realmente popular entre os
engenheiros de todas as especialidades, e sua utilização implicou no aparecimento de
vários softwares comerciais, utilizados na mecânica (NASTRAN, ASKA), em problemas
de temperatura (TITUS) e eletromagnetismo (FLUX, MAGNET11, PE2D, MATLAB), para
citar apenas as aplicações mais desenvolvidas.
No Brasil, o Método dos Elementos Finitos chega, na década de 70, por meio de
inúmeras dissertações de mestrado e teses de doutorado na Universidade Federal do Rio
de Janeiro (UFRJ), Universidade Estadual de São Paulo (USP), Universidade Federal de
Santa Catarina (UFSC) e Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), originando a
criação de disciplinas de pós-graduação sobre o tema. Em âmbito nacional, o primeiro
trabalho sobre a aplicação deste método na engenharia de eletricidade foi desenvolvido
na Escola Politécnica da USP, por JANISZEWSKI [75], em 1978, época em que surgem
alguns grupos de pesquisa em universidades brasileiras, destacando-se o GRUCAD da
UFSC, o grupo de pesquisa da UFMG e a equipe de Simulação de Fenômenos
Eletromagnéticos da Escola Politécnica da USP.
Em seqüência, na década de noventa, surgem cursos de pós-graduação ministrado
por empresas comerciais, para suprir a grande necessidade de atualização no mercado
de trabalho da Engenharia. E finalmente, após longos anos sendo ministrado apenas em
cursos de pós-graduação, em 1995, a USP cria a disciplina optativa de Método dos
Elementos Finitos, para o curso de graduação em Engenharia Civil, tornando-se pioneira
no ensino de graduação, e assumida por diversos outros cursos de graduação em todo o
país.
As universidades brasileiras, a exemplo do que ocorreu nas universidades dos
países desenvolvidos, foram as responsáveis pelo lançamento, no mercado nacional, dos
primeiros produtos, visando atender as necessidades da comunidade acadêmica, no
sentido de suprir as pesquisas neste setor, bem como assessorar o setor industrial em
suas necessidades de estudos e projetos.
Ferramentas computacionais são criadas, no Brasil, pelo produto das pesquisas
técnico-científicas dos cursos de mestrado e doutorado realizadas nas universidades que
implementam o Método dos Elementos Finitos. Muitas dessas pesquisas são
convertidas em softwares comerciais e integradas a programas de desenho de CAD,
gerando um novo tipo de ferramenta: a CAE – Computer Aided Enginneering. Esta, por
sua vez, parece representar o futuro do projeto e concepção da Engenharia moderna.
Outros métodos numéricos, derivados dos elementos finitos, surgem em diversas
partes do mundo, destacando-se o método de volumes finitos e o método dos elementos
de fronteira ou contorno. Em geral, eles são aplicados a problemas específicos de
Engenharia e ciências físicas. Além disso, diversas variações na implementação e
formulação dos elementos finitos são comuns, principalmente, aquelas voltadas para
otimizações de ajustes e características particulares de uma dada aplicação.
81
Apêndice G
Conceitos Fundamentais do Método dos Elementos
Finitos
G.1. Introdução
Esse capítulo pretende ser uma revisão conceitual do Método dos Elementos
Finitos, abordando os principais aspectos matemáticos do método. Todo o
desenvolvimento se dará em uma dimensão estudando problemas de valor de contorno e
facilitando a exposição dos principais conceitos e desenvolvimentos matemáticos
empregados no MEF. Apresenta aspectos importantes do método como a diferenciação
entre a formulação forte e fraca da resolução de equações diferenciais e o MEF do ponto
de vista global e do ponto de vista do elemento. Segue o desenvolvimento da referência
bibliográfica [76] de Thomas J. R. Hughes com algumas mudanças no intuito de sintetizar
a revisão.
G.2. Princípios do Método dos Elementos Finitos
Os principais constituintes do Método dos Elementos Finitos para a solução de um
problema de valor de contorno são:
i.
A formulação variacional ou fraca do problema; e
ii.
A solução aproximada das equações variacionais através do uso de funções
de elementos finitos.
Para clarear esses conceitos inicia-se com um simples exemplo.
Suponha que esteja-se interessado em resolver a seguinte equação diferencial
para u:
u , xx + f = 0
(G.1)
onde uma vírgula representa a diferenciação (ou seja, u , xx = d 2 u dx 2 ). Assume-se
que f seja uma função de valores escalares contínua e suave definida num intervalo
unitário. Pode-se escrever
f : [0,1] → R
(G.2)
onde [0, 1] representa o intervalo unitário (isso é, o conjunto de pontos de x tal que
0 ≤ x ≤ 1) e R representa os números reais. Em outras palavras, (G.2) diz que para um
dado x em [0, 1], f(x) é um número real. (Freqüentemente, usa-se a notação ∈ que
significa “pertence a”. Assim, para cada x ∈ [0, 1], f(x) ∈ R.). Também, [0, 1] é dito ser o
domínio de f, e R é sua faixa.
Tem-se descrito a função f como sendo suave. Ou seja, se esboçar o gráfico da
82
função f, deseja-se que ela seja uma curva suave sem descontinuidades e torções. Fazse isso para evitar dificuldades técnicas e complexidades matemáticas no
desenvolvimento do MEF.
A equação (G.1) é conhecida por governar os deslocamentos transversais de uma
corda sob tensão e também o deslocamento longitudinal de uma haste elástica. Nestes
casos, parâmetros físicos, tais como a magnitude da tensão na corda ou o módulo de
elasticidade no caso da haste, aparecem em (G.1). Estes parâmetros foram omitidos para
simplificar o desenvolvimento subseqüente.
Antes de prosseguir, vai-se introduzir algumas notações e terminologias adicionais.
O intervalo ]0, 1[ denotará o intervalo unitário sem pontos finais (isso é, o conjunto de
pontos de x tal que 0<x<1). Os intervalos ]0,1[ e [0, 1] são referenciados como intervalos
unitários aberto e fechado respectivamente. Para simplificar adotam-se as definições:
Ω = ]0, 1[ (aberto)
Ω = [0,1 ] (fechado)
Ω = ]0, 1[
(G.3)
(G.4)
Ω = [0, 1]
]
[
[
]
0
1
0
1
Figura G.1 Mostra os intervalos abertos e fechados.
G.3. Formulação Forte ou Clássica
Um problema de valor de contorno dado pela equação (G.1) envolve imposições de
condições de contorno na função u. Há uma variedade de possibilidades. Assume-se que
u é requerido a satisfazer :
u(1)=g
-u,x(0)=h
(G.5)
(G.6)
onde g e h são constantes dadas. As equações (G.5) e (G.6) requerem que u tenha
o valor de g em x=1 e a derivada de u (isso é, sua inclinação) tenha o valor de –h em
x=0, respectivamente. Este conjunto de condições de contorno irá possibilitar ilustrar
certos aspectos chaves da formulação variacional. Por razões óbvias, as condições de
contorno do tipo (G.5) e (G.6) conduzem para o chamado problema de valor de contorno
de dois pontos.
A forma forte do problema do valor de contorno (S) é representada como se segue:
ìDado f : Ω → R e g e h constantes, achar u : Ω → R, tal que
ï
u , xx + f = 0 em Ω
ï
( S )í
u( 1 ) = g
ï
ï
− u , x ( 0) = h
î
Quando se escreve u , xx + f = 0 em Ω , significa que u , xx + f ( x) = 0 para todo x∈Ω. É
claro, a solução exata de (S) é trivial de ser obtida, a saber,
83
ìï y
üï
u ( x) = g + (1 − x)h + ò íò f ( z )dz ýdy
ïþ
xï
î0
1
(G.7)
onde y e z são usados para denotar variáveis temporárias. Contudo, isso não é o
principal interesse aqui. Está-se interessado em desenvolver um esquema para obter
soluções aproximadas de (S) que serão aplicáveis para muitas situações complexas na
qual a solução exata não é possível.
Alguns métodos de aproximação começam diretamente com a formulação forte do
problema. O exemplo mais notável é o Método das Diferenças Finitas. O Método dos
Elementos Finitos requer uma formulação diferente, a qual é tratada no próximo item.
G.4. Formulação Fraca ou Variacional
Para definir a forma fraca ou variacional, contrapartida de (S), necessita-se
caracterizar duas classes de funções. A primeira é composta de funções admissíveis.
Neste conjunto de soluções admissíveis é importante impor que a condição de contorno
u(1)=g seja satisfeita. A outra condição de contorno não será requerida na definição. É
importante também, para que certas expressões façam sentido, impor que as derivadas
primeiras das funções admissíveis tenham quadrado integrável. Isto é, se u é uma
solução trivial, então
1
ò (u
,x
) 2 dx < ∞
(G.8)
0
Funções que satisfazem (G.8) são chamadas de funções H1; escreve-se u ∈ H1.
Algumas vezes o domínio é explicitado, isso é u ∈ H1([0, 1]). Então o conjunto de
soluções admissíveis, denotado por γ, consiste de todas as funções as quais tem derivada
primeira com quadrado integrável e que tenham o valor de g para x=1. Isso é
representado como se segue:
γ = { u | u ∈ H1 , u(1)=g }
(Funções admissíveis)
(G.9)
O fato de que γ é um conjunto de funções é indicado pela chave em (G.9). A
notação para um membro típico de um conjunto, neste caso u, vem em primeiro dentro no
lado esquerdo das chaves, seguido à linha vertical (|) e a propriedade satisfeita pelo
membro do conjunto.
A segunda classe de funções é chamada de funções de teste ou funções de peso.
Este conjunto é muito similar ao conjunto da solução admissível exceto que este requer a
imposição de condições de contorno homogênea de g. Isto é, este conjunto requer que
funções de teste, w, satisfaçam w(1)=0. O conjunto é denotado por υ e definida por
υ = {w | w ∈ H1, w(1)=0 }
(Funções de teste)
(G.10)
Isso simplifica o assunto no qual se quer ter f : Ω → R como sendo suave.
84
Em termos da definição anterior, pode-se agora estabelecer uma forma fraca
apropriada, (W), do problema de valor de contorno.
ìDando f, g, e h, como antes. Achar u ∈ γ tal que para todo w ∈υ
ï
1
(W )í 1
w
u
dx
=
wfdx + w(0)h
ò
ïò , x , x
0
î0
(G.11)
Formulações deste tipo são freqüentemente chamadas de trabalho virtual ou
deslocamento virtual na mecânica. Os w’s são os deslocamentos virtuais.
A equação (G.11) é chamada de equação variacional ou
mecânica) a equação do trabalho virtual.
(especificamente na
A solução de (W) é chamada de solução fraca ou generalizada. A definição dada
da formulação fraca não é a única possível, mas é a mais natural para os problemas que
serão considerados.
G.5. Equivalência entre as Formas Forte e Fraca
Claramente, há algum relacionamento entre a formulação forte e fraca do
problema, caso contrário não existiria razão para introduzir a forma fraca. Mostra-se que a
solução fraca e forte são idênticas. Isso se estabelece assumindo que todas as funções
são suaves. Isso permitirá prosseguir sem envolver condições técnicas que complique a
matemática envolvida. Prova deste tipo exige algumas vezes provas formais. A intenção
aqui não é de apresentar uma prova completamente rigorosa, mas tornar plausível se
acreditar na proposição. Com esta filosofia em mente, prova-se o seguinte:
Proposição:
a) Seja u uma solução de (S). Então u é também uma solução de (W).
b) Seja u uma solução de (W). Então u é também uma solução de (S).
Um outro resultado, o qual não se preocupou verificar, mas que de fato é
facilmente estabelecido, é que ambas (S) e (W) possuem solução única. Então de (a) e
(b), a solução forte e fraca são uma e a mesma. Conseqüentemente, (W) é equivalente a
(S).
Prova Formal:
a) Como u é assumido ser uma solução de (S), pode-se escrever
1
0 = − ò w(u , xx + f )dx
(G.12)
0
para qualquer w ∈ υ. Integrando G.12 por partes resulta em
1
1
1
0
0
0
0 = ò w, x u , x dx − ò wfdx − wu , x
(G.13)
Rearranjando e fazendo uso do fato que –u,x(0)=h e w(1)=0 resulta em
85
1
òw
1
,x
0
u , x dx = ò wfdx + w(0)h
(G.14)
0
Além do mais, tem-se que u é uma solução de (S), satisfaz u(1)=g e portanto está
em γ. Finalmente, desde que u também satisfaz (G.14) para todo w ∈ υ, u satisfaz a
definição de uma solução fraca dado por (W).
b) Agora u é assumido ser uma solução fraca. Então u ∈ γ; conseqüentemente
u(1)=g, e
1
1
0
0
ò w, x u ,x dx = ò wfdx + w(0)h
para todo w ∈ υ. Integrando por partes e usando do fato de w(1)=0 resulta em
1
0 = ò w(u , xx + f )dx + w(0)[u , x (0) + h]
(G.15)
0
Provar que u é uma solução de (S) é suficiente mostrar que (G.15) implica em
(estas equações são algumas vezes chamadas de equação de Euler-Lagrange da
formulação fraca):
i. u , xx + f = 0 em Ω; e
ii. u , x (0) + h = 0
Primeiro, prova-se (i). Define w em (G.15) por
w = φ( u,xx + f)
(G.16)
onde φ é suave; φ(x)>0 para todo x ∈ Ω = ]0, 1[; e φ(0) = φ(1) = 0. Por exemplo,
pode-se tomar φ(x) = x(1-x), o qual satisfaz todos os requisitos estipulados. Segue que
w(1) = 0 e então w ∈ υ, assim (G.16) define uma função membro legítima de υ.
Substituindo (G.16) em (G.15) resulta em
1
0 = ò φ (u , xx + f ) 2 dx + 0
" "!
0
(G.17)
≥0
Desde que φ > 0 em Ω, segue-se de (G.17) que (i) deve ser satisfeito.
Agora que se tem estabelecido (i), passa-se a usar (G.15) para provar (ii), assim
0 = w(0)[u,x(0)+h]
(G.18)
Vê-se que w ∈ υ não impõem qualquer restrição no seu valor em x = 0. Portanto,
pode-se assumir que o w em (G.18) é tal que w(0) ≠ 0. Então (ii) está também satisfeita, a
qual completa a prova da proposição.
86
G.6. Condições de Contorno Naturais
A condição de contorno –u,x(0) = h não é explicitamente mencionada na formulação
de (W). Da prova anterior, vê-se que essa condição de contorno é contudo, implícita para
se satisfazer à equação variacional. Condições de contorno deste tipo são referenciadas
como condições de contorno naturais. Por outro lado, as soluções admissíveis são
explicitamente requeridas para satisfazer a condição de contorno u(1)=g. Condições de
contorno deste tipo são chamadas condições de contorno essenciais. O fato de que a
solução da equação variacional satisfaz a condição de contorno natural é extremamente
importante em situações mais complicadas.
O método usado para provar a parte (b) da proposição é na verdade o lema
fundamental do cálculo variacional. Em essência, essa é a metodologia que possibilita
deduzir equações diferenciais e condições de contorno envolvidas pela formulação fraca.
Desenvolver formas fracas corretas de problemas complexos e multidimensionais é
essencial para se ter um profundo entendimento deste procedimento.
Agora, vê-se que para obter solução aproximada para o problema de valor de
contorno original, tem-se um ponto de partida alternativo, isso é, a formulação forte ou
fraca do problema. O Método dos Elementos Finitos é baseado em cima do último. Em
outras palavras, a idéia básica é aproximar γ e υ por conjuntos convenientes de
dimensões finitas de funções. (Claramente, γ e υ contem infinitas funções.) A equações
variacionais são então solucionadas no contexto de dimensões finitas. Um exemplo
explicito de como se fazer sobre isso é o assunto do próximo item. Contudo, primeiro
introduzem-se algumas notações adicionais para simplificar a escrita subseqüente.
Tem-se
1
a( w, u ) = ò w, x u , x dx
(G.19)
0
1
( w, f ) = ò wfdx
(G.20)
0
Em termos de (G.19) e (G.20), a equação variacional toma a forma
a(w,u) = (w,f) + w(0)h
(G.21)
Aqui, a(.,.) e (.,.) são exemplos de formas bilineares simétricas. O que isso significa
é como se segue: sejam c1 e c2 constantes e u, v e w funções. Então as propriedades de
simetria são
a(u,v) = a(v,u)
(u,v) = (v,u)
(G.22)
(G.23)
Bilinearidade significa linearidade em cada termo nos parênteses; por exemplo,
a(c1u + c2v, w) = c1a(u,w) + c2 a(v,w)
(c1u + c2v, w) = c1(u,w) + c2 (v,w)
(G.24)
(G.25)
87
As notações anteriores são muito concisas; e ao mesmo tempo elas compreendem
aspectos matemáticos essenciais que conduzem para o entendimento matemático da
variação e do Método dos Elementos Finitos. Diversas classes de problemas físicos em
engenharia podem ser escritas de maneira similar a (G.21).
G.7. Método de Aproximação de Galerkin
Agora descreve-se um método de obter soluções aproximadas para problemas de
valor de contorno baseados na formulação fraca. Se Introduz este assunto com um
tratamento abstrato.
O primeiro passo no desenvolvimento do método é construir aproximações de
dimensões finitas de γ e υ. Estas coleções de funções são denotadas por γh e υh ,
respectivamente. O sobre índice refere para a associação de γh e υh com uma divisão ou
discretização do domínio Ω, o qual é parametrizado por um comprimento característico de
escala h. Deseja-se ter que γh e υh como sendo subconjuntos de γ e υ, respectivamente.
Isso pode ser escrito como
γh ⊂ γ (isso é, se uh ∈ γh, então uh ∈ γ)
υh ⊂ υ (isso é, se wh ∈ υh, então wh ∈ υ)
(G.26)
(G.27)
onde o significado preciso é dado em parênteses. Conseqüentemente, de (G.26) e
(G.27) são respectivamente que se uh ∈ γh e wh ∈ υh, então
uh(1) = g
wh(1) = 0
(G.28)
(G.29)
As coleções γ, υ, γh , e υh, são freqüentemente referenciadas como espaço de
funções. A terminologia espaço em matemática usualmente conota uma estrutura linear.
Este tem o seguinte significado: se c1 e c2 são constantes e v e w estão em υ, então c1v +
c2w está também em υ. Ambos υ e υh são assim vistos possuindo as propriedades do
espaço linear. Contudo, essas propriedades não são claramente compartilhadas por γ e γh
devido a não homogeneidade das condições de contorno. Por exemplo, u1 e u2 são
membros de γ, então u1 + u2 ∉ γ, uma vez que u1(1) + u2(1) = g + g = 2g em violação a
definição de γ. Contudo, a terminologia de espaço de funções ainda é aplicada para γ e γh.
Método (Bubnov-) Galerkin
Assume-se que o conjunto υh seja dado. Então, para cada membro vh ∈ υh,
constrói-se uma função uh ∈ γh tal que
uh = vh + gh
(G.30)
onde gh é uma função dada satisfazendo a condição de contorno essencial, isso é,
gh(1) = g
(G.31)
Note que (G.30) satisfaz também as requeridas condições de contorno:
88
uh(1) = vh(1) + gh(1) = 0 + g
(G.32)
Assim (G.30) constitue uma definição de γh; que é, γh são todas as funções da
forma de (G.30). O ponto importante a observar é que, acima disto às funções gh, γh e υh
são compostas de conjuntos idênticos de funções.
Agora escreve-se a equação variacional, da forma (G.21), em termos de uh ∈ γh e
wh ∈ υh:
a(wh,uh) = (wh,fh) + wh(0)h
(G.33)
Essa equação é considerada como definindo uma solução aproximada (fraca), uh.
Substituindo (G.30) em (G.33), e a bilinearidade de a(.,.) possibilita escrever:
a(wh,uh) = (wh,f) + wh(0)h – a(wh,gh)
(G.34)
O lado direito consiste totalmente de termos associados com dados fornecidos
(isso é, f, g, e h). A equação (G.34) é usada para definir vh, a parte desconhecida de uh.
A forma (Bubnov-) Galerkin do problema, denotada por (G) é representada como
se segue:
ìDado f, g, e h, como antes, achar u h = v h + g h , onde v h ∈ υ h ,
ï
tal que para todo w h ∈ υ h
(G )í
ï
a ( w h , v h ) = ( w h , f ) + w h ( 0) h − a ( w h , g h )
î
Note que (G) é justamente uma versão de (W) em termos de uma coleção de
funções com dimensões finitas em υh. O método de Bubnov-Galerkin é comumente
referenciado como simplesmente método de Galerkin, terminologia que se adotará para
frente. A equação (G.34) é algumas vezes referida como Equação de Galerkin. O método
de aproximações do tipo considerado são exemplos do chamado Método dos Resíduos
Ponderados.
G.8. As Equações Matriciais – A Matriz de Rigidez K
O método de Galerkin conduz a um sistema de equações algébricas lineares. Para
ver isso, necessita-se dar mais estrutura para a definição de υh. Assim υh consiste de toda
combinação linear de funções dadas denotadas por NA: Ω →R, onde A = 1,2,....,n. Isso
significa que se wh ∈ υh, então existe constantes cA, A = 1,2,...,n, tal que
n
w h = å c A N A = c1 N 1 + c 2 N 2 + c3 N 3 + ... + c n N n
(G.35)
A=1
As NA’s são referidas com funções de forma, base ou interpolação. Requer-se que
cada NA satisfaça
NA(1) = 0, A = 1, 2, ...., n
(G.36)
89
Da qual segue por (G.35) que wh(1)=0, como é necessário. υh é dito ter dimensões
n por razões obvias.
Para definir membros de γh necessita-se especificar gh. Para esse fim, introduz-se
uma outra função de forma Nn+1: Ω →R, a qual tem a seguinte propriedade
Nn+1(1) =1
(G.37)
(Note Nn+1∉ υh.) Então gh é dado por
gh = g Nn+1
(G.38)
e então
gh(1) = g
(G.39)
Com essas definições, um típico uh ∈ γh pode ser escrito como
n
u h = v h + g h = å d A N A + gN n+1
(G.40)
A =1
onde os dA’s são constantes e das quais é aparente que uh(1)=g.
Substituindo (G.35) e (G.40) na Equação de Galerkin tem-se,
n
æ
ö
aç å c A N A , å d B N B ÷ =
B =1
è A=1
ø
æ n
ö én
æ n
ö
ù
ç å c A N A , f ÷ + êå c A N A (0)ú h − aç å c A N A , gN n +1 ÷
è A=1
ø ë A=1
è A=1
ø
û
n
(G.41)
Usando a bilinearidade de a(.,.) e (.,.), (G.41) torna
n
0 = å c AG A
(G.42)
A =1
onde
n
G A = å a ( N A , N B )d B − ( N A , f ) − N A (0)h + a ( N A , N n +1 ) g
(G.43)
B =1
Agora a equação de Galerkin é garantida para todo wh ∈ υh. De (G.35), isso
significa para todo cA’s, A = 1,2,...,n. Uma vez que os cA’s são arbitrários em (G.42),
necessariamente segue que cada GA, A = 1,2,...,n, deve ser identicamente zero isto é de
(G.43)
n
å a( N
B =1
A
, N B )d B = ( N A , f ) − N A (0)h + a ( N A , N n +1 ) g
(G.44)
Note que todos os termos são conhecidos em (G.44) exceto os dB’s. Então (G.44)
constitue um sistema de n equações e n incógnitas. Este pode ser escrito numa forma
90
mais concisa como se segue:
Tem-se
KAB = a(NA, NB)
FA=(NA, f) + NA(0)h – a(NA, Nn+1) g
(G.45)
(G.46)
Então (G.44) torna
n
åK
B =1
AB
d B = FA , A = 1,2, ..., n
(G.47)
Maior simplicidade é ganha adotando-se uma notação matricial. Tem-se
é K 11
êK
ê 21
ê .
K = [ K AB ] = ê
ê .
ê .
ê
êë K n1
K 12
K 22
.
.
.
K n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. K 1n ù
. K 2 n úú
.
. ú
ú
.
. ú
.
. ú
ú
. K nn úû
(G.48)
ì F1 ü
ïF ï
ï 2 ï
ï . ï
ï
ï
F = {FA } = í . ý
ï . ï
ï
ï
ï Fn −1 ï
ïF ï
î n þ
(G.49)
ì d1 ü
ïd ï
ï 2ï
ïï . ïï
d = {d B } = í ý
ï. ï
ï. ï
ï ï
ïîd n ïþ
(G.50)
e
Agora (G.47) pode ser escrita com
Kd = F
(G.51)
As seguintes terminologias são freqüentemente aplicadas, especialmente quando o
problema sobre consideração pertence a um sistema mecânico:
K = Matriz de Rigidez
F = Vetor de Forças
d = Vetor Deslocamentos
91
Uma variedade de interpretações físicas são possíveis.
Neste ponto, pode-se representar a matriz equivalente, (M), do problema de
Galerkin.
ì Dados a matriz de coeficiente K e o vetor F, achar d tal que
(M )í
Kd = F
î
A solução de (M) é, claro, justamente d = K-1.F (assumindo a inversa de K, K-1,
existente). Uma vez que d é conhecido, a solução (G) pode ser obtida em qualquer ponto
x ∈ Ω , empregando (G.40), assim,
n
u h ( x) = å d A N A ( x) + gN n+1 ( x)
(G.52)
A=1
Do mesmo modo, derivadas de uh, se requeridas, podem se obtidas pela
diferenciação termo por termo. Deve ser enfatizado, que a solução (G) é uma solução
aproximada de (W). Conseqüentemente, a equação diferencial e as condições de
contorno naturais são apenas aproximadamente satisfeitas. A qualidade da aproximação
depende das escolhas de NA’s e do número de n.
Observações:
1.
A matriz K é simétrica. Isso segue da simetria de a(.,.) e do uso do
método de Galerkin (que é, as mesmas funções formas são usadas para as
variações e soluções admissíveis):
KAB = a(NA,NB) = a (NB,NA) = KBA
(G.53)
Em notação matricial
K = KT
(G.54)
Onde o sobre-índice T denota a matriz transposta. A simetria de K tem importantes
conseqüências computacionais.
2.
Vai-se relembrar os passos seguidos para o problema matricial, já
que eles são típicos do processo que se deve desenvolver na solução de um dado
problema usando o Método dos Elementos Finitos:
( S ) ⇔ (W ) ≈ (G ) ⇔ ( M )
(G.55)
A única aproximação aparentemente feita está na resolução aproximada de (W) via
(G). Em situações mais complexas encontradas na prática, o número de aproximações
aumenta. Por exemplo, os dados f, g e h podem ser aproximados, como também o
domínio Ω, cálculo de integrais e assim por diante. Prova de convergência e análise de
erros envolvem considerações de cada aproximação.
3.
É algumas vezes conveniente escrever
92
n +1
u h ( x) = å N A ( x)d A
(G.56)
A=1
onde dn+1 = g.
G.9. O Espaço “Piecewise” Linear (“Por Partes”)
Normalmente emprega-se a definição de υh e γh a qual são casos especiais do
chamado Espaço de Elementos Finitos Lineares “Piecewise”. Para definir o caso geral no
qual υh é n dimensional, divide-se o domínio [0, 1] em n subintervalos não sobrepostos.
Um subintervalo típico é denotado por [xA, xA+1], onde xA<xA+1 e A = 1,2,..., n. Também
requer que x1=0 e xn+1=1 Os xA’s são chamados de pontos nodais, ou simplesmente “nós”.
Os subintervalos são algumas vezes referidos com os elementos finitos do domínio, ou
simplesmente elemento. Note que o comprimento dos elementos, hA = xA+1-xA, não são
necessariamente iguais. O parâmetro da malha, h, é geralmente tomado como sendo o
comprimento máximo de um subintervalo (isso é, h= Max hA , A=1,2...,n). Com h menores,
mais refinada é a partição ou a malha. Se os comprimentos dos subintervalos são iguais,
então h = 1/n.
As funções de forma são definidas como se segue: associando a um “nó” típico
interno (isso é, 2 ≤ A ≤ n)
ì( x − x A−1 )
x A−1 ≤ x ≤ x A
h A−1 ,
ï
ï
x A ≤ x ≤ x A+1
N A ( x) = í ( x A+1 − x)
hA ,
ï
0,
caso contrário
ï
î
(G.57)
para os “nós” de contorno tem-se
x2 − x
,
h1
x − xn
N n +1 ( x) =
,
hn
N1 ( x) =
x1 ≤ x ≤ x 2
x n ≤ x ≤ x n +1
(G.58)
(G.59)
As funções de forma são esboçadas na figura G.2. Por razões obviais, elas são
referenciadas alternativamente como funções chapéu ou telhado. Note que NA(xB)=δAB,
onde δAB é o delta de Kronecker (isso é, δAB=1 se A=B, caso contrario δAB=0 se A≠B). Em
palavras, NA tem o valor de 1 no “nó” A e é 0 em todos os outros nós. Além do mais, NA
não é zero somente no subintervalo que contém xA.
93
Figura G.2 Funções Base para o espaço de elementos finitos lineares “Piecewise”.
Um típico membro wh ∈ υh tem a forma
n
åc
A=1
A
N A e aparece como na figura G.3.
Note que wh é contínua mas tem descontinuidades de declive (ou na derivada) em cada
elemento de fronteira. Por essa razão, wh,x, derivada generalizada de wh, irá ser constante
em pedaços (Piecewise), experimentando descontinuidades entre os elementos de
contorno ou fronteira. (Tal função é chamada algumas vezes de uma função de passo
generalizado.) Restringindo-se a cada elemento do domínio, wh é um polinômio linear em
x. Em relação as condições de contorno essenciais homogêneas, wh(1)=0. Claramente,
wh é identicamente zero se e somente se cada cA=0, A=1,2,...,n.
Figura G.3 Um típico membro wh ∈ υh.
Membros típicos de γh são obtidos pela adição de gh = g Nn+1 a membros típicos de
υh. Isso assegura que uh(1)=g.
As funções de elemento finito linear “Piecewise” são mais simples e mais
largamente usadas por funções de elementos finitos em problemas unidimensionais.
Exemplo:
Considere a formulação fraca do problema no modelo unidimensional:
1
òw
,x
0
1
u , x dx = ò wfdx + w(0)h
(G.60)
0
94
onde w ∈ υ e u ∈ γ são assumidos ser suave nos interiores dos elementos (isso é,
]xA, xA+1[, A=1,2,... n), mas podem sofrer descontinuidades de declive entre os elementos
de contorno. (Funções desta classe contém o espaço de elementos finitos lineares
“Piecewise” descritos anteriormente.) De (G.60) e assumindo continuidade das funções,
mostra-se que:
n x A +1
0=å
n
+
+
−
ò w(u, xx + f )dx + w(0)[u, x (0 ) + h] + å w( x A )[u, x ( x A ) − u, x ( x A )]
A =1 x A
(G.61)
A=2
Pode ser concluído que as condições de Euler-Lagrange de (G.61) são
i. u,xx(x)+f(x)=0, onde x∈]xA, xA+1[ e A = 1,2, ...,n,
ii. –u,x(0+)=h; e
iii. u,x(xA-)=u,x(xA+), onde A= 2,3,..., n.
Observe que (i) é a equação diferencial restrita a elementos interiores, e (iii) é uma
condição de continuidade entre os elementos de contorno. Isso pode ser contrastado com
o caso no qual a solução é assumida suave. Neste caso a condição de continuidade é
identicamente satisfeita e o somatório das integrais sobre os elementos interiores pode
ser trocada por uma integral sobre todo domínio. Na formulação de elementos finitos de
Galerkin, uma solução aproximada de (i)-(iii) é obtida.
G.10. Propriedades da Matriz K
As funções de forma NA, A= 1,2,..., n+1 são zero fora da vizinhança do “nó”. Como
resultado, muitos termos de K são zero. Isso pode ser visto como se segue. Seja B > A+1.
Então (Figura G.4)
1
K AB = ò N A, x N B , x dx = 0
" "
!
0
(G.62)
0
NA
NB
A
A+1
B
Figura G.4 Se B > A+1, a porção diferente de zero de NB e NA não faz sobreposição.
A simetria de K implica, adicionalmente, que (G.62) é garantida para A > B+1. E é
dito que K é semidiagonal (isso é, seus valores diferentes de zero estão em uma banda
sobre a diagonal principal). A figura G.5 mostra essa propriedade. Matrizes Semidiagonais
têm vantagens significantes uma vez que os elementos zeros fora da banda não são
armazenados e nem operados pelos computadores. A matriz rigidez obtida na análise de
elementos finitos, em geral, a estreita banda, conduz ela mesma a uma formulação e
solução mais econômica.
95
.
.
.
é k11 k12 0
êk
0
.
.
ê 21 k 22 k 23
ê 0 k 32 k 33
k 34
0
.
ê
.
.
.
.
.
K=ê .
ê .
.
0 k n −2,n −3 k n −2,n −2 k n− 2,n −1
ê
.
.
0
k n −1,n − 2 k n −1,n −1
ê .
ê0
.
.
.
0
k n ,n −1
ë
Figura G.5 Estrutura de Banda de K.
0
.
.
.
0
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
k n −1,n ú
k nn úû
Definição: Uma matriz A n x n é dita ser definida positiva se
i. cTAc ≥ 0 para todo vetor c de ordem n; e
ii. cTAc = 0 implica em c=0.
Observa-se:
1. Uma matriz definida positiva e simétrica possui uma única inversa.
2. Os autovalores de uma matriz definida positiva são reais e positivos.
Teorema:
A matriz K n x n definida em (G.45) é definida positiva.
Prova:
i. Seja cA, A= 1, 2, ..., n, e os componentes de c (isso é, c={cA}), um vetor
n
arbitrário. Usa-se estes cA’s para construir um membro de υh, w h = å A=1 c A N A ,
onde os NA’s são as funções bases para υh. Então
cTKc =
n
å c A K AB c B =
A, B =1
n
åc
A, B =1
A
a ( N A , N B )c B
(Definição de K AB )
n
æ n
ö
= aç å c A N A , å c B N B ÷
(Bilinearidade de a(.,.))
B =1
è A=1
ø
= a( w h , w h )
(definição de w h )
1
) dx
ò (w !
h 2
,x
=
0
≥ 0 (Por (2.19))
≥0
ii. Assume cTKc=0. Por parte da prova de (i),
1
ò (w
) dx = 0
h 2
,x
0
e conseqüentemente wh deve ser constante. Uma vez que wh ∈ υh, wh(1)=0.
Combinando estes fatos, conclui-se que wh(x)=0 para todo x ∈ [0, 1], o qual é possível
somente se cada cA = 0, A = 1,2,...,n. Então c=0.
Note que à parte (ii) depende da definição de K e das condições de contorno
essenciais zeros construída dentro da definição de υh.
96
Resumindo: K definido por (G.45), é
i. Simétrico
ii. Semidiagonal
iii. Definida Positiva
A conseqüência prática das propriedades acima é uma solução computacional de
Kd=F muito eficiente.
G.11. O MEF do Ponto de Vista do Elemento – Coordenadas
Locais e Globais.
Até aqui, analisou-se o Método dos Elementos Finitos simplesmente como um
procedimento de aproximação de Galerkin aplicado para formulações fracas do problema
em questão. O que faz com que se tenha feito um procedimento de elementos finitos é a
característica das funções bases selecionadas; particularmente suas suavidade
“Piecewise” e o suporte local (isso é, NA≡0 fora da vizinhança do nó A). Esse é
matematicamente o ponto de vista global no qual as funções bases são consideradas
como definidas em todo o domínio do problema de valor de contorno. O ponto de vista
global é muito usado em estabelecer as propriedades matemáticas do Método dos
Elementos Finitos.
Agora deseja-se discutir um outro ponto de vista chamado de ponto de vista local
ou do elemento. Este ponto de vista é tradicional em engenharia e é muito usado na
implementação computacional do Método dos Elementos Finitos e no desenvolvimento de
elementos finitos.
Começa-se o tratamento do ponto de vista local com uma questão: O que é um
elemento finito ?
Tenta-se dar uma resposta em termos do espaço de elementos finitos lineares
“Piecewise” que se definiu previamente. Um elemento individual consiste das seguintes
quantidades.
Elemento Finito Linear (Descrição Global)
(g1) Domínio:
[xA, xA+1]
(g2) Nós:
{xA, xA+1}
(g3) Graus de Liberdades:
{dA, dA+1}
(g4) Funções Forma:
{NA, NA+1}
(g5) Funções de Interpolação:
uh(x)=NA(x)dA+ NA+1(x)dA+1, x∈[ xA, xA+1]
No Método dos Resíduos Ponderados no qual γh e υh são construídos em cima de
diferentes classes de funções (isso é, Método de Petrov-Galerkin), pode-se também
~ ~
especificar um conjunto de funções teste ou ponderadas, ditas N A , N A+1 ; o conjunto
~
~
inteiro de N A ’s poderia então constituir uma base para υh. No método de Galerkin N A =NA.
{
}
Em palavras, um elemento finito linear é justamente a totalidade da parafernália
associada com as funções uh restritas para o domínio dos elementos. As quantidades
acima são em termos dos parâmetros globais – chamados de coordenadas globais,
97
funções de forma globais, ordenação de nós globais e assim por diante. Passa-se agora a
introduzir um conjunto de quantidades locais, correspondentes a umas globais, tal que
cálculos para um típico elemento podem ser padronizados. Estes são dados a seguir:
Elementos Finitos Lineares (Descrição Local)
(l1)
Domínio:
[ξ1, ξ2]
(l2)
Nós:
{ξ1, ξ2}
(l3)
Graus de Liberdades:
{d1, d2}
(l4)
Funções de Forma:
{N1, N2}
(l5)
Funções de Interpolação: uh(ξ) = N1(ξ)d1 + N2(ξ)d2
Note que na descrição local, a numeração dos nós começa com 1.
Relacionam-se os domínios da descrição global e local por uma transformação afim
ξ:[xA, xA+1] → [ξ1, ξ2], tal que ξ(xA) = ξ1 e ξ(xA+1) = ξ2. Isso é padronizado na prática
tomando ξ1 = -1 e ξ2 = +1. Então ξ pode ser representado pela expressão
ξ(x) = c1 + c2 x
(G.63)
onde c1 e c2 são constantes na qual são determinados por
− 1 = c1 + x A c 2 ü
ý
1 = c1 + x A+1c 2 þ
(G.64)
Solucionando esse sistema chega-se
ξ ( x) =
2 x − x A − x A+1
hA
(G.65)
(Lembrando que hA = xA+1 – xA.) O inverso de ξ é obtido pela resolução para x:
x(ξ ) =
h Aξ − x A − x A+1
2
(G.66)
Em (G.63), ξ é um mapeamento e x é um ponto, ao contrario em (G.66) x é um
mapeamento e ξ é um ponto.
Na seqüência, adota-se a notação convencional na qual os sub-indices a,b,c,...
pertencem ao sistema de numeração local. Os sub-indices A,B,C,... irão sempre pertencer
ao sistema de numeração global. Para controlar a proliferação de notações, usa-se a
mesma notação para o sistema local e global (por exemplo, da e dA ou Na e NA). Isso
geralmente não deve causar confusão pois o contexto irá tornar claro qual o ponto de
vista que esta sendo adotado. Se há perigo de confusão, um sobre-indice e irá ser
introduzido para denotar uma quantidade com descrição local associada com o número
do elemento e (por exemplo, dae=dA, Nae(ξ)=NA(xe(ξ)), onde xe:[ξ1, ξ2] → [x1e, x2e]= [xA,
xA+1], etc.).
Em termos de ξ, as funções de forma na descrição local tomam a forma padrão
Na(ξ) = (1 + ξaξ)/2,
a = 1,2
(G.67)
98
Note também que (G.66) pode ser escrito em termos de (G.67):
2
x e (ξ ) = å N a (ξ ) x ae .
(G.68)
a =1
Essa tem a mesma forma que as funções de interpolação. Por referência, nota-se o
seguinte resultado:
ξ a (−1) a
N a ,ξ =
=
2
2
e
h
x,eξ =
2
onde he = x2e – x1e e
2
ξ ,ex = ( x,eξ ) −1 = e
h
(G.69)
(G.70)
(G.71)
A descrição local e global dos e-simos elementos são esboçados na Figura G.6.
Figura G.6 Descrição local e global do ézimo elemento.
G.12. A Matriz de Rigidez e o Vetor Independente de um Elemento
Genérico.
Para desenvolver mais o ponto de vista dos elementos, assumi-se que o modelo
em questão consiste de nel elementos, numerados como na figura G.7. Claro que para
este caso nel = n. E seja e a variável índice para os elementos; então 1 ≤ e ≤ nel.
99
Número dos Elementos (e)
1
2
x1
3
x2
nel
x3
x4
xn
xn+1
Coordenadas dos “nós”
Figura G.7 Os Elementos e seus “Nós”.
Agora relembrando da definição (global) das matrizes de rigidez e do vetor força
K = [K AB ],
!
n× n
F = {{
FA }
(G.72)
n×1
onde
1
K AB = a( N A , N B ) = ò N A, x N B , x dx
(G.73)
0
1
1
0
0
FA = ( N A , f ) + δ A1 h − a( N A , N n +1 ) g = ò N A fdx + δ A1 h − ò N A, x N n +1, x dxg
(G.74)
Em (G.73) assumiu-se NA(x1)=δA1 , como para o espaço de elementos finitos
lineares “Piecewise”. As integrais sobre [0,1] podem ser escritas como a soma de
integrais sobre os elementos do domínio. Então
nel
K = åKe,
e =1
nel
F = åFe,
e =1
[ ]
e
K e = K AB
(G.75)
{ }
F e = FAe
(G.76)
onde
e
K AB
= a( N A , N B ) e =
òN
A, x
(G.77)
N B , x dx
Ωe
FAe = ( N A , f ) e + δ e1δ A1 h − a( N A , N n +1 ) e g =
òN
Ω
e
A
fdx + δ A1 h − ò N A, x N n +1, x dxg (G.78)
Ωe
e Ωe = [x1e, x2e], o domínio do ézimo elemento.
Uma observação importante há fazer é que K e F podem ser construídos pela
soma das contribuições das matrizes e vetores dos elementos, respectivamente.
Pela definição de NA’s, tem-se que
KABe=0, se A ≠ e ou e+1
e
e
FA =0, se A ≠ e ou e+1
ou B ≠ e ou e+1
(G.79)
(G.80)
100
A situação para um elemento típico, e, é mostrado na figura G.8. Na prática, não se
deve é claro, adicionar os zeros mas meramente adicionar os termos diferentes de zeros
na locação apropriada. Para esse propósito é muito útil definir a matriz de rigidez para o
ézimo elemento ke e o vetor forca elemento fe como se segue:
[ ]
e
k e = k ab
,
{
2× 2
f e = {f ae }
{
e
k ab
= a( N a , N b ) e =
(G.81)
2×1
òN
Ω
a, x
(G.82)
N b, x dx
e
e =1
ì δ a1 h
ï
f = ò Nfdx + í 0
e = 2,3,..., nel − 1
e
e
ï− k g
Ω
e = nel
î a2
e
a
Coluna Coluna ù
é
ê
ú
e
e +1
ê
ú
ê
ú
↓
↓
ê
ú
e
K =ê
ú
ê
ú
X
X
ê
ú
X
X
ê
ú
ê
ú
ë """""" """"""!û
n× n
(G.83)
ì ü
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
e
F =í ý
ïX ï
← Linha (e) →
ï ï
← Linha (e + 1) →
ïX ï
ï ï
î{þ
n×1
Figura G.8 X’s indica termos diferentes de zero; todos os outros termos são zeros.
Aqui ke e fe são definidos com respeito à ordenação local, onde Ke e Fe são
definidos com respeito à ordenação global. Para determinar onde os componentes ke e fe
irão ficar em K e F, respectivamente, requer informações adicionais. Isso é discutido no
item seguinte.
G.13. A Montagem da Matriz Global de Rigidez e do Vetor
Independente.
Em um programa computacional de elementos finitos, existe a tarefa de uma subrotina de elementos finitos para produzir ke e fe, e=1,2,...,nel, dos dados fornecidos e para
prover a sub-rotina de montagem necessita-se de informação adicional tal que os termos
em ke e fe possam ser adicionados em locações apropriadas em K e F, respectivamente.
Estas informações para montagem são armazenadas em uma matriz chamada LM, a
matriz de localizações.
Constroe-se uma matriz LM para o problema acima considerado. As dimensões de
LM são nel, o número de nós dos elementos, pelo número de elementos; no caso
presente, os números são 2 e nel, respectivamente. Dando um número particular de
graus de liberdade e um número de elementos (diga-se a e e, respectivamente), o valor
retornado pela matriz LM é correspondente ao número global das equações, A, isso é
101
se a = 1
ì e
A = LM (a, e) = í
îe + 1 se a = 2
(G.84)
A matriz completa LM é mostrada na figura G.9 esse é o modo usado para se
armazenar nos computadores. Note que LM(2, nel)=0. Isso indica que o grau de liberdade
2 do elemento número nel é prescrito e não é conhecido na equação da matriz global.
Portanto os termos k12nel , k 21nel , k 22nel , e f 2nel não são montados em K e F respectivamente.
Número de Elemetos 1≤ e ≤ nel
$"""
"""%""""""&
1 2 3 ... e ... nel −1 nel
Número ì1
e
... n − 1 n
ï 1 2 3 ...
de nós í
Locais ïî2
2 3 4 ... e + 1 ...
n
0
(nen = 2)
nen × nel
Figura G.9 Matriz LM para o problema exemplo.
Como no exemplo, assume-se querer adicionar a contribuição do ézimo elemento,
onde 1 ≤ e ≤ nel-1, para a parcialmente montada K e F. Da matriz LM, deduz o seguinte
procedimento de montagem:
K ee ← K ee + k11e
K e ,e +1 ← K e,e +1 + k
(G.85)
e
12
(G.86)
e
K e +1,e ← K e +1,e + k 21
(G.87)
e
K e +1,e +1 ← K e +1,e +1 + k 22
(G.88)
Fe ← Fe + f 1e
(G.89)
Fe +1 ← Fe +1 + f 2e
(G.90)
onde a seta (←) é lida com “é trocado por”. Devido à simetria k21e não deve ser
montado na prática.
Para o elemento nel tem-se apenas
K nn ← K nn + k11nel
(G.91)
Fn ← Fn + f
(G.92)
nel
1
Com estas idéias, pode-se construir, esboçando um modelo, um algoritmo para
montar K e F; Na figura G.10.
102
Algoritmo
| Ler dados de entrada
| Aprontar a matriz LM
| Coloca os Zeros Armazenados em K e F
| e=1
| repita
| | Forma ke e fe.
| | Usa a matriz LM para adicionar os componente de ke e fe na
| | locação apropriada de K e F, respectivamente.
| | e←e+1
| até e > nel
Fim Algoritmo
Figura G.10 Esboço de um algoritmo para a montagem de elementos finitos.
A ação do algoritmo de montagem é denotada pelo símbolo U, operador de
montagem, isso é,
nel
K = 7 (k e ),
e =1
nel
F = 7( f e )
(G.93)
e =1
G.14. A Resolução do Sistema de Equações
Os problemas resolvidos pelo Método de Elementos Finitos, recaem em grandes
sistemas lineares, com as seguintes representações:
ì a11 x1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b1
ïa x + a x + . . . + a x = b
22 2
2n n
2
ï 21 1
.
.
.
ï .
a )í
.
.
.
ï .
ï .
.
.
.
ï
î a n1 x1 + a n 2 x 2 + . . . + a nn x n = bn
ou
b) A. X = B
éa11 a12 . . . a 1n ù
êa a
ú
ê 21 22 . . . a 2n ú
ê.
ú
A=ê
ú ,
ê.
ú
ê.
ú
ê
ú
êëa n1 a n 2 . . . a nn úû
éb 1 ù
êb ú
ê 2ú
ê. ú
B=ê ú
ê. ú
ê. ú
ê ú
ëêb n ûú
,
éx 1 ù
êx ú
ê 2ú
ê. ú
X=ê ú
ê. ú
ê. ú
ê ú
ëêx n ûú
A = Matriz de Coeficiente, B = Vetor dos Termos Independentes e X = Vetor
das Incógnitas.
103
Diversos métodos numéricos são disponíveis na resolução de um sistema linear.
Destaque pode ser dados as duas classes abaixo, devido à facilidade de implementação
computacional e a sua simplicidade matemática:
Métodos Diretos (Baseados no Escalonamento de Matrizes):
- Método de Jordan;
- Método de Gauss;
- Método da Pivotação Parcial e
- Método da Pivotação Completa.
Métodos Iterativos:
- Método de Jacobi;
- Método de Gauss-Seidel e
- Método SOR (Sucessive Over Relaxation).
Nota-se que para os métodos iterativos tem a restrição de seu critério de
n
convergência : | a ii |= å | a ij | . Em certos casos extremos pode-se até usar análise de
i =1
i≠ j
sistemas mal condicionados e refinamento de sistemas lineares. Além disso, alguns
métodos só podem ser aplicados a sistemas especiais como por exemplo o método de
Cholesky no qual a matriz A deve ser simétrica.
104
Bibliografia
[1] HRENNIK OFF. A. Solution of problems in elasticity by frame work
method. Journal of Appied Mechanics. Vol. 8, Nº 4, pp. 169-175, Dec,
1941.
[2] MCHENRY, D. A lattice analogy for the s olution of plane stress
Problems. Journal of Institution of Civil Engineers. Vol. 21, pp. 59-82,
Dec, 1943.
[3] COURANT, R., Variational methods for the solution of problems of
Equilibrium and Vibrations. Bulletin of the American Mathematical
Society. Vol. 49, pp. 1-23, 1943.
[4] LEVY, S., Computation of influence coeficients for aircraft structures
with discontinuities and sweepback. Journal of Aeronautical
Sciences. Vol. 14, Nº 10, pp. 547-560, Oct, 1947.
[5] LEVY, S. Structural analysis and influence coefficients for delta wings.
Journal of Aeronautical Sciences, Vol 20, Nº 7, pp. 449-454, July,
1953.
[6] ARGYRIS, J.H., Energy Theorems and structural analysis. Aircraft
Engineering, Oct., Nov., Dec, 1954; and Feb, Mar, Apr, May, 1955.
[7] ARGYRIS, J. H. & KELSEY, S. Energy theorems and structural
Analysis, Butterworths. London, 1960 (collection of papers published
in Aircraft Engineering in 1954 and 1955).
[8] TURNER, M. J. & CLOUGH, R. W. & MARTIN, H. C. & TOPP, L. J.
Stiffness and deflection analysis of complex structures. Journal of
Aeronautical Sciences. Vol. 23, No. 9. Pp.805-824, Sept, 1956.
[9] CLOUGH, R. W., The finite Element Method in Plane Stress Analysis.
Proceedings. American Society of civil Engineers, Journal . 2nd
Conference on Eletronic Computation, Pittsburgh, PA, pp. 345-378,
Sept, 1960.
[10] MELOSH, R. J., A stiffness matrix for the analysis of thin plates in
bending. Journal of the Aerospace Sciences. Vol. 28, Nº 1, pp. 3442, Jan. 1961.
[11] GRAFTON, P. E., & STROME, D. R. Analysis of axisymmetric
shells by the direct stiffness methods. Journal of American Institute
of Aeronautics and Astronautics. Vol.1, Nº 10, pp. 2342-2347, 1963.
[12] MARTIN, H. C. Plane elasticity problems and the direct stiffness
Methods. The trend in Engineering. Vol. 13, pp. 5-19, Jan, 1961.
[13] GALLAGHER, R. H. & PADLOG, J. & BIJLAARD, P. P. Stress
Analysis of heated complex shapes. Journal of the American
Rocket Society. Vol. 32, pp. 700-707, May, 1962.
[14] MELOSH, R. J. Structural analysis of solids. Journal of Structural
Division. Proceedings of the American Society of Civil Enginners, pp.
205-223, Aug. 1963.
[15] ARGYRIS, J. H., Recent advances in matrix methods of structural
analysis. Progress in Aeronautical Science, Vol. 4, Pergamon Press,
New York, 1964.
[16] CLOUGH, R. W. & RASHID, Y. Finite element of axisymmetric
Solids. Journal of the Enginnering Mechanics Division. Proceedings
of the American Society of Civil Engineers, Vol. 91, pp. 71-85, Feb,
1965.
105
[17] WILSON, E. L. Structural analysis of axisymmetric solids. Journal of
the American Institute of Aeronautics and Astronautics, Vol. 3, Nº 12,
pp. 2269-2274, Dec. 1965.
[18] TURNER, M. J. & DILL, E. H. & MARTIN, H. C. & MELOSH, R. J.
Large deflections of structures subjected to heating and external
Loads. Journal of Aeronautical Sciences. Vol. 27, Nº 2, pp. 97-107,
Feb 1960.
[19] GALLAGHER, R. H., AND PADLOG, J., Discrete element approach to
structural stability analysis. Journal of the American Institute of
Aeronautics and Astronautics. Vol. 1, Nº 6, pp. 1437-1439, 1963.
[20] ZIENKIEWICZ, O. C. & WATSON, M. & KING I. P. A Numerical
methods of visco-elastic stress analysis. International Journal of
Mechanical Sciences, Vol. 10, pp. 807-827, 1968.
[21] ARCHER, J. S. Consistent matrix formulations for structural analysis
using finite-element techniques. Journal of the American Institute
of Aeronautics and Astronautics. Vol. 3, Nº 10, pp. 1910-1918, 1965.
[22] ZIENKIEWICZ, O. C. & CHEUNG, Y. K. Finite elements in the
solution of field problems. The Enginner. pp. 507-510, Sept. 24,
1965.
[23] MARTIN, H.C. Finite element analysis of fluids flows. Proceedings of
the Second Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics,
Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, pp. 517-535, Oct, 1968.
(AFFDL-TR-68-150, Dec. 1968; AD-703-685, N.T.I.S.)
[24] WILSON, E. L. & NICKEL, R. E. Application of the finite element
methods to heat conduction analysis. Nuclear Engineering and
Design. Vol. 4, pp 276-286, 1966.
[25] SZABO, B. A. & LEE, G. C. Derivation of stiffness matrices for
problems in plane elasticity by Galerkin’s Methods. International
Journal of Numerical Methods in Enginneering. Vol. 1, pp. 301-310,
1969.
[26] ZIENKIEWICZ, O. C., & PAREKH. C. J., Transient field problems:
two-dimensional and three-dimensional analysis by isoparametric
finite elements. International Journal of Numerical Methods in
Enginnering. Vol. 2, Nº 1, pp. 61-71, 1970.
[27] LYNESS, J. F. & OWEN, D. R. J. & ZIENKIEWICZ, O. C. Threedimensional magnetic field determination using a scalar potential. A
finite element solution. Transactions on Magnetics. Institute of
Eletrical and Electronics Engineers, pp. 1649-1656, 1977.
[28] BELYTSCHKO, T. A Survey of numerical methods and computer
programs for dynamic structural analysis. Nuclear Engineering and
Design. Vol. 37, Nº 1, pp. 23-34, 1976.
[29] BELYTSCHKO, T. Efficient Large-Scale Nonlinear Transient Analysis
by Finite Elements. International Journal of Numerical Methods in
Enginnering. Vol. 10, Nº 3, pp. 579-596, 1976.
[30] HUISKIES, R. & CHAO, E. Y. S. A survey of finite elements
analysis in orthopedic biomechanics: The First Decade. Journal of
Biomechanics. Vol. 16, Nº 6, pp. 385-409, 1983.
[31] JOURNAL OF BIOMECHANICAL ENGINNERING. Transactions of
american society of mechanical engineers. ( published quarterly )
(1st issue published 1977).
106
[32] KARDESTUNCER, H., ed. Finite element handbook. New York::
McGraw- Hill, 1987.
[33] CLOUGH, R. W. The finite element method after twenty-five years: a
personal view. Computers and Sctructures. Vol. 12, Nº 4, pp. 361370, 1980.
[34] LOGAN, DARYL L. A. First course in the finite element methods using
algor. Boston: PWS Publishing Company,1997.
[35] FENNER, T. ROGER,. Finite element methods for engineers. Imperial
London: Colleges Press, 1975.
[36] BASTOS, JOÃO PEDRO ASSUMPÇÃO, Eletromagnetismo e cálculo
de campos. 3ª ed., Florianópolis: Editora da UFSC, 1996.
[37] SABONNADIÈRE, JEAN - CLAUDE & COULOMB, JEAN - LOUIS.
Elementos finitos e CAE. São Paulo, 1993.
[38] BUCHANAN, GEORGE R. Finite element analysis, Schaum´s
OutLines, McGraw-Hill, New York, 1994.
[39] CARDOSO, JOSÉ ROBERTO. Introdução ao método dos elementos
finitos. São Paulo: Publicação Independente, 1996.
[40] REDDY, J. N. An Introduction to the finite element method, 2nd
Edition Texas. McGraw-Hill International Editions: Texas, 1993.
[41] ZIENKIEWICZ, O. C. The finite element methods. 3rd ed. London:
McGraw-Hill, 1977.
[42] MOREIRA, DANIEL AUGUSTO. Didática do ensino superior –
técnicas e tendências. Rio de Janeiro: Editora Pioneira, 1997.
[43] PEREIRA, LUIZ TEIXEIRA & BAZZO, W. ANTÔNIO. Ensino de
engenharia – Na Busca de seu Aprimoramento. Florianópolis:
Florianópolis: Editora da UFSC, 1997.
[44] GODOY, ARILDA SCHIMIDT. Didática para o ensino superior. Editora
IGLU, São Paulo, 1986.
[45] GARCIA, MARIA MANUELA ALVES. A Didática no ensino superior.
São Paulo: Editora Papirus, 1994.
[46] BORDEMAVE, JUAN DIAZ & PEREIRA, ADAIR MARTINS. Estratégias
de ensino e aprendizagem. 15º Edição, São Paulo: Editora Vozes,
1995.
[47] RIBEIRO, ELILSON EUSTÁQUIO. Cálculo de campos eletrostáticos
laplacianos através do método dos elementos finitos. Orientador:
Prof. Rodney Resende Saldanha – Dissertação de Mestrado, Belo
Horizonte UFMG, 1987.
[48] RAMIREZ, JAIME ARTURO; Geração automática de malha para
cálculo de campos eletrostáticos e magnetostáticos bidimensionais
através do método dos elementos finitos. Orientador: Prof. José
Celso Borges de Andrade; Dissertação de Mestrado defendida em
22/05/90. Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG – Belo
Horizonte, 1990.
[49] GONZALES, MANUEL LOUSADA Y. Propriedade matemática dos
elementos finitos para o cálculo de campo magnéticos. Orientador:
Prof. Renato Cardoso Mesquita. Dissertação de Mestrado defendida
em 11/08/95. Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte,
1995.
[50] MESQUITA, RENATO CARDOSO. Cálculo de campos eletromagnéticos
tridimensionais utilizando elementos finitos: magnetostática, quase
estática e aquecimento indutivo. Tese de Doutorado. Universidade
107
Federal de Florianópolis – UFSC. Florianópolis, 1990.
[51] LAMBERT, J. D. Computational methods in ordinary differential
equations. Dundee: Wiley Series, 1972.
[52] BARROSO, LÊONIDAS CONCEIÇÃO; BARROSO, MAGALI M. A.;
CAMPOS, FREDERICO FERREIRA; CARVALHO, MÁRCIO L. B. &
MAIA, MIRIAM LOURENÇO. Cálculo numérico com aplicações. 2ª
ed. Belo Horizonte: Editora Harbra, 1987.
[53] DIANESE, ANTÔNIO. Computação e simulação analógica e híbrida. 2ª
ed., Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.
[54] CHAPRA, STEVEN C. & CANALE, RAYMOND P. Numerical methods
for engineers with programming and software applications. 3rd
Edition. McGraw-Hill International Editions, 1997.
[55] CARNAHAN, BRICE; LUTHER, H. A. & WILKES, JAMES O. Applied
numerical methods. New York:: John Wiley & Sons, 1969.
[56] HAMMING, R. W., Numerical methods for scientists and engineers. 2nd
Edition, New York: Dover Publications, 1962.
[57] KRAUS, JOHN D. & CARVER, KEITH R. Eletromagnetismo. 2º Edição,
Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1978.
[58] ASSAN, ALOISIO ERNESTO. Métodos dos elementos finitos.
primeiros passos. (em português) 1ª Ed., Campinas: Editora da
Unicamp, 1999.
[59] CLÁUDIO, DALCIDIO MORAES & MARINS, JUSSARA MARIA.
Cálculo numérico computacional – teoria e prática. 2ª Ed., Rio de
Janeiro: Editora Atlas, 1994. (Em Português).
[60] LAMBERT, J. D. Computational methods in ordinary differential
equations. Dundee: Wiley Series, 1972.
[61] DIANESE, ANTÔNIO, Computação e simulação analógica e híbrida. 1ª
Ed. (em português). Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982.
[62] CURTIS, F. G.& PATRICK, W. Applied numerical analysis. 6nd Edition.
New York: Addison-Wesley Longman, 1999.
[63] FERREIRA, AURÉLIO, Dicionário aurélio básico da língua portuguesa,
Editora Nova Fronteira S/A. Rio de Janeiro, 1988.
[64] ALVES, AVELINO. Elementos finitos. A base da tecnologia CAE,
São Paulo: Editora Érica, 2000.
[65] BRENNER, SUSANNE C. & SCOTT, L. RIDGWAY. The mathematical
theory of finite element methods. New York: Springer-Verlag, 1994.
[66] ARIS, RUTHERFORD. Mathematical Modelling Techniques. New York:
Dover Publications, Inc, 1994.
[67] MIKHLIN. Variational methods in mathematical physics. Mac Millan,
1964.
[68] PINTO, JOSÉ CARLOS & LAGE, PAULO LARANJEIRA DA CUNHA,
Apostila de métodos numéricos em problemas de engenharia. Rio de
Janeiro: COPPE/UFRJ, 1998.
[69] SAGAN, HANS. Introduction to the calculus of variations. New York:
Dover Publication. Inc., 1969.
[70] WEINSTOCK, ROBERT. Calculus of variations with applications to
physics and enginneering. New York: Dover Publications, Inc.,1970.
[71] HANSELMAN, DUANE AND LITTLEFIELD, BRUCE. MatLab 5 guia do
usuário – Versão do Estudante (em português) 1ª Ed. Makron Book,
1998.
108
[72] THE MATHWORKS. Partial Differential Equation Toolbox for Use with
Matlab. Inc. New York, 1997.
[73] REECE, A B. J., PRESTON, T. W. Finite Element Methods in Electrical
Power Engineering. NewYork: Oxford University Press, 2000.
[74] SILVERTER, P. P; CHARI, M. V. K. Finite solution of saturable
magnetic field problems. IEEE Transaction on PAS, 89(7): 1642-50,
Sep./Oct.1970.
[75] JANISZEWSKI, J. M. Método dos elementos finitos aplicados a
problemas de campos eletromagnéticos estáticos. Universidade de
São Paulo. 215p. Tese (Doutorado) – Escola Politécnica. São Paulo,
1978.
[76] HUGHES, THOMAS J. R. The Finite Element Methods – Linear
Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice-Hall
International, Inc. New Jersey, 1987.
109