Novos métodos de Sintonia de Controladores PID

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Novos métodos de Sintonia de Controladores PID
1. Introdução
• Existem diversas questões que devem ser consideradas no projeto
de controladores PID, como por exemplo:
• Resposta a distúrbios de carga;
• Resposta ao ruído de medição;
• Seguimento de referência;
• Requisitos do modelo;
• Incerteza do modelo;
• Portanto, há uma necessidade de diversos métodos de sintonia,
como: técnicas simples onde é necessário pouco conhecimento do
processo, ou técnicas mais elaboradas que usam mais informações
sobre o processo;
• Para desenvolvimento de novas regras de sintonia, fazemos:
aplica-se um método de projeto confiável com as características
desejadas a uma grande bateria de testes com boa
representatividade de processos; tenta-se então correlacionar os
parâmetros obtidos para o controlador com padrões simples que
caracterizam a dinâmica do processo;
2. Espectro de Ferramentas
• Um bom método de sintonia deve considerar diferentes questões,
e ter parâmetros de projeto de forma que o desempenho
desejado possa ser alterado facilmente;
• Infelizmente não é possível encontrar um método que satisfaça
todas as necessidades; ao invés disto, existe um espectro de
métodos que diferem no esforço necessário para usá-los e no
desempenho obtido;
• O grande sucesso do método de Ziegler-Nichols indica a
necessidade de um método simples que usa um mínimo de
informação do processo;
• Para achar um método simples devemos responder a pergunta: É
possível obter regras de sintonia confiáveis baseados numa
simples caracterização da dinâmica do processo?
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• Se for, como é possível caracterizar a dinâmica do processo?
• Conseguiu-se aqui um método empírico baseado em tentativa e
erro;
• Inicia-se com a definição de uma bateria de processos testes com
função de transferência conhecida;
• Projeta-se controladores para estes processos baseados nos
métodos vistos anteriormente, como o projeto por pólos
dominantes;
• Tenta-se então encontrar padrões do processo que podem
descrever de forma simples os ajustes dos parâmetros do
controlador;
• Depois de diversas tentativas, chegou-se a um resultado razoável
que usa parâmetros normalizados em relação ao tempo de atraso
(tau) e ao ganho do processo (kappa);
• O método foi chamado de “Sintonia kappa-tau” ou “sintonia KT”;
2.1.
Bateria de testes
• Foram escolhidos processos que são representativos de
dinâmicas típicas de processos industriais, como:
e−s
T = 0,1, ! ,10
(1 + sT ) 2
1
G2 ( s ) =
n = 3,4,8
( s + 1) n
1
G3 ( s ) =
α = 0.2,0.5,0.7
(1 + s )(1 + αs )(1 + α 2 s )(1 + α 3 s )
1 − αs
G4 ( s) =
α = 0.1,0.2,0.5,1.2
( s + 1) 3
G1 ( s ) =
• Para também cobrir processos com integração, incluiu-se
modelos obtidos pela adição de um integrador ao sistemas
listados acima;
• A bateria de testes não inclui a função de transferência:
G (s) = K p
e − sL
1 + sT
porque este modelo não é representativo para processos
industriais típicos;
A sintonia baseada neste modelo fornece controladores com
ganho muito alto;
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Isto é muito interessante, pois, tradicionalmente a regras de
sintonia tem sido desenvolvidas para este modelo;
2.2.
Regras simples de sintonia
• Para obter regras simples, utilizou-se como base as regras de
Ziegler-Nichols como ponto de partida;
• As regras de Ziegler-Nichols baseiam-se em parâmetros como:
a e L para malha aberta e Tu e Ku para malha fechada; o
resultado da aplicação destas regras pode ser resumido abaixo:
• A resposta é bastante oscilatória;
• Diferentes regras de sintonia são necessárias para
resposta a mudança de referência e para resposta a
distúrbios de carga;
• As regras fornecem resultados pobres para
sistemas com longos atrasos de transporte;
• Não há um parâmetro de sintonia;
• O primeiro resultado acima é fácil de ser tratado, é só alterar
os parâmetros nas tabelas;
• O segundo pode ser resolvido sintonizando para distúrbios de
carga e ponderando-se a referência;
• O terceiro é mais difícil de ser tratado pois requer mais
informações do processo; o primeiro passo é caracterizar o
processo através de três parâmetros ao invés de dois;
• Como parâmetro de sintonia pode-se usar a sensibilidade
máxima, Ms:
M s = max
w
1
1 + G p (iw)Gc (iw)
que também pode ser usado como medida de robustez, pois
ele informa quanto pode-se alterar o processo sem provocar
instabilidade;
valores típicos de Ms estão na faixa de 1,2 a 2, valores altos
fornecem sistemas rápidos mas menos robustos;
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3. Métodos de resposta ao degrau
3.1.1.
Processos estáveis
• A dinâmica do processo é caracterizada por três
parâmetros: ganho estático, Kp, atraso aparente, T, e
tempo de atraso aparente, L;
3.1.2.
Processos com integração
• Os parâmetros a e L podem ser determinados a partir de
um experimento de resposta ao degrau; como o processo
não é estável, ele não atingirá um estado estacionário; a
parte inicial da resposta pode ser determinada, mas o
experimento deve ser interrompido após algum tempo;
• O tempo de atraso relativo, τ, é zero para processos com
integração;
• Um resultado melhor pode ser obtido com a resposta ao
impulso, H(s); G(s) será: G(s) = H(s) / s;
3.1.3.
Normalização dos parâmetros de controlador
• Um controlador PI tem três parâmetros: o ganho K, o
tempo de integração Ti, e a ponderação da referência b;
• É conveniente apresentar estes parâmetros na forma
normalizada (sem dimensões); ganho normalizado do
controlador aK, tempo de integração normalizado Ti / L;
• Esta é a mesma normalização usada no método de ZieglerNichols;
3.1.4.
O Método
• A relação entre os parâmetros normalizados do controlador
e os parâmetros normalizados do processo é realizada
plotando-se os parâmetros normalizados do controlador
como função do tempo de atraso normalizado, τ;
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3.2.
Controle PI para processos estáveis
• A figura 5.1 mostra as curvas dos parâmetros do controlador
normalizados em função do tempo de atraso normalizado para
um controlador PI;
• As figuras mostram que existem diferenças significativas
entre os ganhos do controlador obtidos quando Ms = 1,4 e 2; o
tempo integral é independente do parâmetro Ms;
• Também é mostrado a dificuldade dos ajustes de ganho de
Ziegler-Nichols, isto é, os mesmos devem ser reduzidos;
• Vê-se também, que para processos dominados por atraso, o
ganho proporcional e o tempo de integração devem ser
menores;
• Em processos dominados pelo tempo de atraso têm-se a
situação contrária;
• Tabela de sintonia para controladores PI com o método de
resposta ao degrau; a tabela fornece parâmetros de funções na
forma f(t)=a0exp(a1t+a2t2) para os parâmetros normalizados do
controlador:
aK
Ti/L
Ti/T
b
a0
0,29
8,9
0,79
0,81
Ms =1,4
a1
-2,7
-6,6
-1,4
0,73
a2
3,7
3,0
2,4
1,9
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a0
0,78
8,9
0,79
0,44
Ms =2,0
a1
-4,1
-6,6
-1,4
0,78
a2
5,7
3,0
2,4
-0,45
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3.3.
Controle PID para processos estáveis
• As regras para o PID foram desenvolvidas da mesma forma que
as do PI;
• A dinâmica do processo foi caracterizada pelos parâmetros a, L
e τ;
• Os parâmetros do controlador foram normalizados como aK,
Ti/L e Td/L;
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• Os parâmetros foram determinados para os processos
mencionados anteriormente;
• Os resultados são mostrados na figura 5.2;
• Note que a faixa dos parâmetros são significativamente
menores que as para o controle PI; isto explica porque é mais
fácil encontrar regras de sintonia que não dependam de τ para
PIDs do que para PI;
• A figura mostra que a ação proporcional é dominante para
pequenos τ e a ação integral domina para grandes τ;
• Tabela de sintonia para controladores PID com o método de
resposta ao degrau; a tabela fornece parâmetros de funções na
forma f(t)=a0exp(a1t+a2t2) para os parâmetros normalizados do
controlador:
aK
Ti/L
Ti/T
Td/L
Td/T
b
a0
3,8
5,2
0,46
0,89
0.077
0,40
Ms =1,4
a1
-8,4
-2,5
2,8
-0,37
5,0
0,18
a2
7,3
-1,4
-2,1
-4,1
-4,8
2,8
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a0
8,4
3,2
0,28
0,86
0,076
0,22
Ms =2,0
a1
a2
-9,6
9,8
-1,5
-0.93
3,8
-1,6
-1,9
-0,44
3,4
-1,1
0,65
0,051
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3.4.
Processos com integração
• As regras de sintonia foram desenvolvidas para processos com
função de transferência igual a G(s) = H(s) / s, onde H(s) são os
processos da bateria indicados anteriormente;
3.4.1.
Controle PI para processos com integração
• A figura 5.3 mostra os resultados encontrados;
• As regras geram parâmetros tais como ganho de processo
cerca de 30% menor que as de Ziegler-Nichols e tempos de
integração 50% mais longos;
• Tabela de sintonia para controladores PI com o método de
resposta ao degrau; a tabela fornece parâmetros de funções na
forma f(t)=a0exp(a1t+a2t2) para os parâmetros normalizados do
controlador:
aK
Ti/L
b
a0
0,41
5,7
0,33
Ms =1,4
a1
a2
-0,23 0,019
1,7
-0,69
2,5
-1,9
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a0
0,81
3,4
0,78
Ms =2,0
a1
-1,1
0,28
-1,9
a2
0,76
-0,0089
1,2
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3.4.2.
Controle PID para processos com integração
• A figura 5.4 mostra os resultados obtidos para
controladores PID em processos com integração;
• Neste caso, os parâmetros normalizados do controlador
variam significativamente com τ’;
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• Para obter um bom controle PID para processos com
integração é essencial conhecer τ’;
• Tabela de sintonia para controladores PID com o método de
resposta ao degrau; a tabela fornece parâmetros de funções na
forma f(t)=a0exp(a1t+a2t2) para os parâmetros normalizados do
controlador:
aK
Ti/L
Td/L
b
a0
5,6
1,1
1,7
0,12
Ms =1,4
a1
-8,8
6,7
-6,4
6,9
a2
6,8
-4,4
2,0
-6,6
Técnicas de Controle de Processos Industriais
a0
8,6
1,0
0,38
0,56
Ms =2,0
a1
-7,1
3,3
0,056
-2,2
a2
5,4
-2,3
-0,60
1,2
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4. Métodos de resposta em freqüência
• No método de Ziegler-Nichols, o processo é caracterizado por Ku
e Tu; e a razão de ganho κ = 1/KpKu;
• Os parâmetros são normalizados como: K/Ku, Ti/Tu e Td/Tu;
• As regras de sintonia são obtidas da mesma forma que no método
por resposta ao degrau;
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4.1.
Controle PI para processos estáveis
• A figura 5.5 mostra os parâmetros normalizados de um
controlador PI como uma função de κ;
• O ganho normalizado do controlador e a ponderação da
referência dependem do parâmetro de projeto Ms, porém, o
mesmo valor do tempo de integração pode ser utilizado para
qualquer Ms;
• A variação do tempo de integração com κ é notória na figura
5.5; isto reflete a situação que a ação proporcional é maior que
a ação integral para processos que são dominados por atrasos; a
situação reversa ocorre para processos onde a dinâmica é
dominada pelo tempo de atraso;
• Tabela de sintonia para controladores PI com o método de
resposta em freqüência; a tabela fornece parâmetros de
funções na forma f(κ)=a0exp(a1κ+a2κ2) para os parâmetros
normalizados do controlador:
K/Ku
Ti/Tu
b
a0
0,053
0,90
1,1
Ms =1,4
a1
2,9
-4,4
-0,0061
a2
-2,6
2,7
1,8
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a0
0,13
0,90
0,48
Ms =2,0
a1
1,9
-4,4
0,40
a2
-1,3
2,7
-0,17
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4.2.
Controle PID para processos estáveis
• A figura 5.6 mostra os parâmetros normalizados de um
controlador PID como uma função de κ;
• O ganho normalizado varia de 0,45 a 0,9 e o tempo de
integração normalizado de 0,2 a 0,55, o tempo derivativo de
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0,06 a 0,15 e a ponderação da referência de 0,2 a 0,4; as
faixas são significativamente menores do que as do controle PI;
• Desta forma é fácil achar regras que só dependam de dois
parâmetros;
• Tabela de sintonia para controladores PID com o método de
resposta em freqüência; a tabela fornece parâmetros de
funções na forma f(κ)=a0exp(a1κ+a2κ2) para os parâmetros
normalizados do controlador:
K/Ku
Ti/Tu
Td/Tu
b
a0
0,33
0,76
0,17
0,58
Ms =1,4
a1
-0,31
-1,6
-0,46
-1,3
a2
-1,0
-0,36
-2,1
3,5
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a0
0,72
0,59
0,15
0,25
Ms =2,0
a1
-1,6
-1,3
-1,4
0,56
a2
1,2
0,38
0,56
-0,12
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4.3.
Relação entre Ti e Td
• Na maioria das regras de sintonia, a relação entre Ti e Td é
fixa;
• Na figura 5.7 vê-se a razão Ti / Td obtida para as novas regras
de sintonia;
• A figura mostra que no projeto para Ms = 2 a relação é próxima
a 4, que é a mesma relação do método de Ziegler-Nichols;
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• Para Ms = 1,4, a razão é próxima de 4 para κ < 0,6; para valores
maiores a razão se torna maior;
4.4.
Processos com integração
• Para processos com integração, o ganho crítico e o período
crítico podem ser determinados como descrito anteriormente,
porém o ganho estático Kp não é definido;
• Processos com integração tem κ = 0, mas para o controle PID
são necessárias informações adicionais, como por exemplo,
outros pontos na curva de Nyquist (w90);
5. Conhecimento completo do processo
• Os métodos apresentados até agora são métodos aproximados
baseados no conhecimento parcial do processo; eles são
suficientes na maioria dos casos;
• Há situações, entretanto, que é necessária uma maior precisão;
isto pode ser obtido ou através de refinamentos “on-line” ou
utilizando um modelo mais preciso;
• Existem diversas regras de sintonia “on-line” que podem ser
usadas para o refino;
• Modelos mais precisos podem ser obtidos através da identificação
de sistemas;
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• O método multifrequencial permite a determinação da função de
transferência para diversas freqüências num único teste;
utilizando um ajuste de curva pode-se determinar a função de
transferência do sistema;
5.1.
Controle PI
• Seja um processo com a função de transferência G(s) e um
controlador PI parametrizado como:
Gc ( s ) = k +
ki
s
• Nosso problema é: achar os parâmetros k e ki de forma que ki
seja tão grande quanto possível e que a restrição de robustez
seja:
1 + G ( s )Gc ( s ) = a (k , k i , w) ≥ m0
este problema de otimização infelizmente não é
convexo;
para resolve-lo é necessário um método iterativo com
boas condições iniciais;
• A idéia do algoritmo é avaliar a função abaixo para diversos
valores de parâmetros do controlador e então determinar k que
maximiza ki considerando a restrição:
m(k , k i ) = min a (k , k i , w) = m0
w∈Ω
• A determinação da função m requer minimização com relação a
w, que é realizado através de uma busca simples no intervalo Ω
= [w1, w2];
• A função m pode ser localmente aproximada por:
1
m(k , k i ) = a + b0 k i + b1 k + (c0 k i2 + 2c1 kk i + c 2 k 2 )
2
• Maximizando ki com relação a k sujeito a restrição acima têmse:
b1 + c1 k i + c 2 k = 0
com isto, têm-se a seguinte relação entre k e ki:
k=−
b1 + c1 k i
c2
com este resultado e com m(k,ki) = m0, obtemos:
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A0 k i2 + 2 A1 k i + A2 = 0
onde :
c12
A0 = c0 −
c2
A1 = b0 −
b1c1
c2
b12
A2 = 2(a 0 − m0 ) −
c2
resolvendo esta equação chega-se a:
ki =
− A1 ± A12 − A0 A2
A0
com ki é fácil determinar k;
6. Exemplo
• Processo com três atrasos iguais
Seja o processo da forma:
G (s) =
1
( s + 1) 3
que tem ganho crítico Ku = 8, período crítico Tu = 3,6 e razão de
ganho κ = 0,125;
O novo método de resposta em freqüência fornece os seguintes
parâmetros para o controlador PID:
K
Ti
Td
b
Ms=1,4
2,5
2,2
0,56
0,52
Ms=2,0
4,8
1,8
0,46
0,27
• O método de resposta ao degrau fornece parâmetros que
diferem em menos do que 10% destes valores;
• A figura 5.11 mostra a resposta do sistema em malha fechada
para degraus na referência seguidos por degraus na carga; o
controle é significativamente melhor do que o obtido com o
método de Ziegler-Nichols;
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