Programação Linear (PL) Solução do problema (método gráfico)

Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Engenharia de Produção e Gestão
Pesquisa Operacional
Método Gráfico
Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi
Programação Linear (PL)
Solução do problema (método
gráfico)
Possível para duas
variáveis
Problema formulado para
Giapetto
max Z = 3X1 + 2X2
sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Restrições:
Tempo de acabamento
Tempo de carpintaria
Demanda de soldados
Implicações implícitas da FO
em PL
max Z = 3X1 + 2X2
9 A contribuição para a função objetivo
de cada variável de decisão é
proporcional ao valor da variável de
decisão;
9 A contribuição para a função objetivo
para cada variável é independente dos
valores de outras variáveis de decisão.
Definição
9 Região de solução para um problema de
PL: é o conjunto de todos os pontos que
satisfazem todas as restrições do
problema.
Região de solução
Giapetto: X1 = 40 X2 = 20
Restrições:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
região de solução
ok 2*40+20 ≤ 100
ok 40+20 ≤ 80
ok 40 ≤ 40
ok 40 ≥ 0
ok 20 ≥ 0
Região de solução
Giapetto: X1 = 15 X2 = 70
Restrições:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
não é região de solução
ok 2*15+70 ≤ 100
não 15+70 > 80
ok 15 ≤ 40
ok 15 ≥ 0
ok 70 ≥ 0
Região de solução
região de solução
Pontos que atendem e onde será procurada
a solução ótima
Solução ótima
Ponto da região de solução, que leva ao maior
valor da função objetivo.
Solução ótima
9 A maioria dos problemas de PL, tem
somente uma solução ótima;
9 Alguns não tem solução ótima;
9 Alguns tem infinitas soluções.
Para o problema de Giapetto, solução ótima:
X1=20 e X2 = 60
Z = 3*20 +2*60 = 180
Solução gráfica para o
problema de 2 variáveis de
decisão
9Um PL com 2 variáveis pode ser
resolvido graficamente.
9Nós sempre nomeamos as variáveis
X1 e X2 e os eixos coordenados por
X1 e X2.
Como plotar uma inequação
2X1+3X2 ≤ 6 (1)
3X2 ≤ 6 - 2X1
X2 ≤ 1/3*(6 - 2X1) = 2 - 2/3X1 (2)
O conjunto de pontos que
satisfaz (1) e (2) cai sobre a
retaX2ou abaixo dela
X2 = 2 - 2/3X1
6
5
4
Região onde:
3
2X1+3X2 ≥ 6
2
1
Região onde:
2X1+3X2 ≤ 6
X1
1
2
3
4
5
6
Encontrando a região de solução
do problema de Giapetto:
Para um
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
ponto (X1, X2)
pertencer a região de
solução é preciso
satisfazer todas
estas inequações.
X1 e X2 ≥ 0, indicam o primeiro quadrante
X2
(2)
(4)
120
100
D
Polígono DGFEH - região de solução
B
80
G
Região convexa simplex
60
40
(3)
F
20
A
E
H
20
40
X1
C
60
80
100 120
Encontrando a solução
ótima
9 Após a identificação da região de solução,
nós devemos procurar a solução ótima, que
será o ponto da região que leva ao maior
valor de:
Z = 3X1+2X2
Encontrando a solução
ótima
9 Para encontrar a solução ótima, nós
precisamos desenhar uma linha sobre a
qual todos os pontos levem ao mesmo valor
de Z.
9 Escolhe-se qualquer ponto da região de
solução:
(20, 0): Z = 3X1+2X2 = 60
Assim (20, 0) cai sobre a reta:
Z = 3X1 + 2X2 = 60
X2 = 30 - 3/2X1
Encontrando a solução
ótima
9 3X1 + 2X2 = 60
9 tem coeficiente angular = -3/2
9 Assim todas as retas 3X1+2X2 = constante
terão o mesmo coeficiente angular.
Importante: uma vez desenhada a reta,
podemos encontrar
todas as outras pelo movimento paralelo da reta
que desenhamos.
X2
(2)
(4)
120
100
D
Retas iso-lucro
B
80
G
Indica o ponto ótimo - G (20, 60)
60
40
F
20
A
E
H
20
X2 = 30 - 3/2 X1
(3)
40
X1
C
60
80
100 120
Lucro de Giapetto
9Z = 3*20 + 2*60 = 180
Quatro casos especiais em
PL
9 Sem solução (infeasibility);
9 Sem fronteira (unboundedness);
9 Redundância (redundancy);
9 Múltiplas soluções (alternate optimal
solutions).
X2
Sem solução
120
100
80
60
40
20
E
20
X1
C
40
0
60
80
X2
100 120
Sem
fronteira
120
100
80
60
40
20
E
20
C
40
60
80
X1
100 120
X2
120
Redundância
100
80
60
40
20
E
20
X1
C
40
0
60
80
100 120
X2
Múltiplas
soluções
120
100
80
60
40
20
E
20
X1
C
40
0
60
80
100 120
Resolva o exercício 1 do item
4.4.1 pelo método gráfico
max Z = 5X1 + 2X2
sujeito a:
X1≤ 3
X2 ≤ 4
X1 + 2X2 ≤ 9
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
X2
Método Gráfico
6
Indicando ponto ótimo - C (3, 3)
5
D
4
E
3
Z = 21
C
2
1
X1
A
1
2
B
3
4
5
6
Exercício
9 Obter os gráficos dos problemas
formulados anteriormente no item 4.3.2
e o do problema 02 do item 4.4.1;
9 Grupos de 2 participantes;
9 Entregar o resultado para fazer parte da
avaliação da disciplina.