a a a a a a a a a a a a a a a a a sk w sk w sk w sk w sk w sk w sk w sk

Capítulo 2
Resoluções das atividades adicionais
Grupo A
21. a) 3 + (2 − 1) = 4
b) 17 + (29 − 13 ) = 33
c) −103 + ( −97 + 123 ) = −77
22. a) São semelhantes, pois a única diferença é entre os coeficientes numéricos 2 e 2 .
b) São semelhantes, pois são iguais.
c) Não são semelhantes, pois há diferenças entre os expoentes
das variáveis.
d) Não são semelhantes, pois há diferenças entre as variáveis.
e) São semelhantes, pois x 0 = 1 e a única diferença entre os
monômios é o coeficiente numérico.
23. a) 2a + 5a − 2 a + ( −6a ) + 2 a = 7a − 6a = a
b) (2 − 3a ) + ( 5a − 2) + ( −a + 3 ) − ( −2a + 9)
= (2 − 2 + 3 − 9) + ( −3a + 5a − a + 2a ) = −6 + 3a
1
7
c)
⋅ 2sk 3w 10 − sk 3w 10 + 1,25sk 3w 10 − (4 − 2 9 )sk 3w 10
3
6
7
⎛2
⎞
= ⎜ −
+ 1,25 − 4 + 2 9 ⎟ sk 3w 10
⎝3
⎠
6
7
5
⎛2
⎞
= ⎜ −
+
− 4 + 6⎟ sk 3w 10
⎝3
⎠
6
4
33
11 3 10
⎛ 8 − 14 + 15 − 48 + 72 ⎞ 3 10
=⎜
sk 3w 10 =
sk w
⎟ sk w =
⎝
⎠
12
12
4
d) 7r 3s 2 − 3r 2s 2 − 2r 3s 2 + 6rs − 2r 2s 2 − 9rs
= (7r 3s 2 − 2r 3s 2 ) + ( −3r 2s 2 − 2r 2s 2 ) + (6rs − 9rs )
= 5r 3s 2 − 5r 2s 2 − 3rs
e) −3 xat 2 + 2pq − 10e 3 + 3 xat 2 − 5pq + 11e 3
= (11e 3 − 10e 3 ) + (2pq − 5pq ) = e 3 − 3 pq
24. ( 5a 3 b + 3a 2 b 2 − 3ab 3 − 2b 4 ) − (4a 3 b − 2a 2 b 2
+ 3ab 3 − b 4 ) = ( 5a 3 b − 4a 3 b ) + (3a 2 b 2 + 2a 2 b 2 )
+ ( − 3ab 3 − 3ab 3 ) + ( −2b 4 + b 4 ) = a 3 b + 5a 2 b 2 − 6ab 3 − b 4
25. (2x 3 r 3 h 9 )( 2 y 4 x 3 h 3 ) = 2 2 h 12 r 3 x 6 y 4
1
26. a) a + ab = a (1 + b )
b) 4 x 3 − 8x 5 y = 4 x 3 (1 − 2x 2 y )
c) 2( x + 1) − 3 x ( x + 1) = ( x + 1)(2 − 3 x )
d) 2( x − 1) + 3(1 − x ) = 2( x − 1) − 3( x − 1) = −( x − 1) = 1 − x
e) x (a + b ) − y (a + b ) − ( −a − b ) = x (a + b ) − y (a + b ) − (a + b )
= (a + b )( x − y − 1)
27. a) ax + ay − bx − by = a ( x + y ) − b( x + y )
= (a − b )( x + y )
b) 12x 3 − 8x 2 + 9x − 6 = 4 x 2 (3 x − 2) + 3(3 x − 2)
= (3 x − 2)(4 x 2 + 3 )
c) m 2 p 2 + 4m 2 + 7 p 2 + 28 = m 2 ( p 2 + 4 ) + 7( p 2 + 4 )
= (m 2 + 7 )( p 2 + 4 )
d) xy − x − y + 1 = x ( y − 1) − ( y − 1) = ( x − 1)( y − 1)
e) ax + bx + cx + ay + by + cy = x (a + b + c ) + y (a + b + c )
= ( x + y )(a + b + c )
f) −y + x − x 2 + xy = ( x − y ) − x ( x − y ) = ( x − y )(1 − x )
28. a) ( x 2 + y 2 )2 = ( x 2 )2 + 2 ⋅ x 2 ⋅ y 2 + ( y 2 )2 = x 4 + 2x 2 y 2 + y 4
b) ( x − 2y )2 = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 2y + (2y )2 = x 2 − 4 xy + 4 y 2
c) ( 3 − 2 )2 = ( 3 )2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + ( 2 )2 = 5 − 2 6
5 ⎞
⎛2
d) ⎜ x +
y⎟
⎝3
2 ⎠
=
2
⎛2 ⎞
= ⎜ x⎟
⎝3 ⎠
2
⎛ 2 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞
+ 2⎜ x ⎟ ⎜ y ⎟ + ⎜ y ⎟
⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
10xy
25y 2
4x 2
+
+
9
3
4
x ⎞⎛
x⎞
⎛
⎛x⎞
e) ⎜ 9 − ⎟ ⎜ 9 + ⎟ = 92 − ⎜ ⎟
⎝
⎝ 2⎠
2 ⎠⎝
2⎠
2
= 81 −
x2
4
f) ( x + 2)( x − 2) = x 2 − 22 = x 2 − 4
g) (a + 1)3 = a 3 + 3a 2 + 3a + 1
h) (2 2 − 3 3 )(2 2 + 3 3 ) = (2 2 )2 − (3 3 )2 = 8 − 27
= −19
i) (2x + y )3 = (2x )3 + 3(2x )2 ⋅ y + 3(2x )y 2 + y 3
= 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3
j) (2a − 1)3 = (2a )3 + 3(2a )2 ⋅ ( −1) + 3(2a )( −1)2 + ( −1)3
= 8a 3 − 12a 2 + 6a − 1
k) ( x + 2)( x 2 − 2x + 4 ) = x 3 − 2x 2 + 4 x + 2x 2 − 4 x + 8
= x3 + 8
2
29. alternativa C
27a 4 b 3 x 2 − 36a 3 b 2 x 3 + 18a 4 b 3 x 4
= 9a 3 b 2 x 2 (3ab − 4 x + 2abx 2 )
30. a) x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1)
b) x 2 − 9 = ( x + 3 )( x − 3 )
c) 4 − x 2 = (2 − x )(2 + x )
d) x 4 − 1 = ( x 2 + 1)( x 2 − 1) = ( x 2 + 1)( x − 1)( x + 1)
e) x 2 − ( y + 1)2 = [ x − ( y + 1)] ⋅ [ x + ( y + 1)]
= ( x − y − 1)( x + y + 1)
f) x 4 − y 4 = ( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) = ( x − y )( x + y )( x 2 + y 2 )
g) ( x − y )2 − (a − b + c )2 = [( x − y ) − (a − b + c )] ⋅ [( x − y )
+ (a − b + c )] = ( x − y − a + b − c ) ⋅ ( x − y + a − b + c )
h) a 2 + 6a + 9 = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ 3 + 3 2 = (a + 3 )2
i) 1 + 4 x + 4 x 2 = 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ x + (2x )2 = (1 + 2x )2
j) y 6 + 30y 3 + 225 = ( y 3 )2 + 2 ⋅ y 3 ⋅ 15 + 152 = ( y 3 + 15)2
k) 8ay 2 − 40ay + 50a = 2a [(2y )2 − 2(2y ) ⋅ 5 + 52 ]
= 2a (2y − 5)2
l) x 2 − 2xy + y 2 − z 2 = ( x − y )2 − z 2 = ( x − y − z )( x − y + z )
m) a 2 − b 2 − c 2 − 2bc = a 2 − (b 2 + 2bc + c 2 ) = a 2 − (b + c )2
= (a − b − c )(a + b + c )
n) a 2 + 4b 2 + c 2 + 4ab + 2ac + 4bc = a 2 + (2b )2 + c 2
+ 2a ⋅ 2b + 2ac + 2 ⋅ 2bc = (a + 2b + c )2
o) a 4 + a 2 b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 − a 2 b 2
= (a 2 + b 2 )2 − (ab )2 = (a 2 + b 2 − ab )(a 2 + b 2 + ab )
p) x 3 + y 3 = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )
q) x 3 − y 3 = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 )
r) x 3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1)
s) 27a 3 + 1 = (3a )3 + 13 = (3a + 1)(9a 2 − 3a + 1)
t) a 3 − 8 = (a − 2)(a 2 + 2a + 4 )
u) x 3 + 6x 2 + 12x + 8 = x 3 + 3 x 2 ⋅ 2 + 3 x ⋅ 22 + 23
= ( x + 2)3
v) 27 x 3 − 54 x 2 y + 36xy 2 − 8y 3 = (3 x − 2y )3
31. a) x 2 − 3 x + 2 = x 2 − 2x − x + 2 = x ( x − 2) − ( x − 2)
= ( x − 1)( x − 2)
3
b) x 2 − 5x + 6 = x 2 + 3 x + 2x + 6 = x ( x + 3 ) + 2( x + 3 )
= ( x + 2)( x + 3 )
c) 3 x 2 − 10x + 3 = 3 x 2 − x − 9x + 3 = x (3 x − 1) − 3(3 x − 1)
= ( x − 3 )(3 x − 1)
d) x 4 − x 3 − 6x 2 = x 2 ( x 2 − x − 6) = x 2 ( x 2 − 3 x + 2x − 6)
= x 2 [ x ( x − 3 ) + 2( x − 3 )] = x 2 ( x + 2)( x − 3 )
e) 9x 2 − 12x + 4 = 9x 2 − 6x − 6x + 4 = 3 x (3 x − 2) − 2(3 x − 2)
= (3 x − 2)(3 x − 2) = (3 x − 2)2
xy − 3 x + 2y − 6
x ( y − 3 ) + 2( y − 3 )
=
xy + x + 2y + 2
x ( y + 1) + 2( y + 1)
( y − 3 )( x + 2)
y −3
=
=
( y + 1)( x + 2)
y +1
32. a)
(a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 )
b)
a 4 − b4
d)
x3 − x2 + x − 1
2
=
2
2
2
= a 2 + b2
a −b
a −b
2
2
a b + 3a − b − 3
a 2 (b + 3 ) − (b + 3 )
c)
=
(b − 3 )(b + 3 )
b2 − 9
(a 2 − 1)(b + 3 )
a2 − 1
=
=
(b − 3 )(b + 3 )
b −3
x 2 − 2x + 1
=
x 2 ( x − 1) + ( x − 1)
( x − 1)2
=
( x 2 + 1)( x − 1)
( x − 1)2
x2 + 1
x −1
(a + b )2 − (a − b )2
(a + b + a − b )(a + b − a + b )
e)
=
4ab
4ab
2a ⋅ 2b
4ab
=
=
= 1
4ab
4ab
(a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 )
a 4 − b4
f)
=
a 3 − a 2 b + ab 2 − b 3
a 2 (a − b ) + b 2 (a − b )
=
=
g)
=
=
(a 2 + b 2 )(a + b )(a − b )
(a − b )(a 2 + b 2 )
3t 3 + t 2s + ts 2 − 2s 3
t 3 − s3
=
= a +b
2t 3 − 2s 3 + t 3 + t 2s + ts 2
(t − s )(t 2 + ts + s 2 )
2(t − s )(t 2 + ts + s 2 ) + t (t 2 + ts + s 2 )
(t − s )(t 2 + ts + s 2 )
(t 2 + ts + s 2 )(3t − 2s )
(t − s )(t
2
2
+ ts + s )
=
3t − 2s
t −s
4
33. a) x 3 − 5x − 12 = x 3 − 9x + 4 x − 12 = x ( x 2 − 9) + 4( x − 3 )
= x ( x − 3 )( x + 3 ) + 4( x − 3 ) = ( x − 3 )[ x ( x + 3 ) + 4]
= ( x − 3 )( x 2 + 3 x + 4 )
Grupo B
34. alternativa B
⎛ 1
⎞⎛ 1
⎞
⎛ 1⎞ 1
( −15x 2 y )⎜ − x 3 ⎟ ⎜ y 2 ⎟ = ( −15) ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⋅ x 2 y ⋅ x 3 ⋅ y 2
⎝ 3
⎠⎝ 5
⎠
⎝ 3⎠ 5
= x 5y 3
35. alternativa C
2m 3 n 7 p 10 ⋅ 3m 5 n 2 p 11 ⋅ 4m 2 np 9 = 24m 10 n 10 p 30
36. alternativa E
5x 3a 10 z 8f 4
−2,5x 3a 9 z 8f 3
=
5
x 3 a 10 z 8 f 4
⋅
⋅
⋅
⋅
= −2af
( −2,5) x 3 a 9 z 8 f 3
37. alternativa A
M
= 2k 2tw 2 ⇔ M = (6k 3t 2 )(2k 2tw 2 ) = 12k 5t 3w 2
3 2
6k t
38. alternativa B
−xy [2x + y ( x − z )] + x 3 y 3 : xy + 2x ( xy + z 2 ) − 2xz 2
= −2x 2 y − x 2 y 2 + xy 2 z + x 2 y 2 + 2x 2 y + 2xz 2 − 2xz 2
= xy 2 z
39. alternativa A
a m + 1 − a m = a m ⋅ a − a m = a m (a − 1)
40. alternativa A
3 x 2 − 5x 2 y − 10y + 6 = x 2 (3 − 5y ) + 2(3 − 5y )
= ( x 2 + 2)(3 − 5y )
41. alternativa E
(2x + 3 y + z )2
= (2x )2 + (3 y )2 + z 2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3 y + 2 ⋅ 2x ⋅ z + 2 ⋅ 3 y ⋅ z
= 4 x 2 + 9y 2 + z 2 + 12xy + 4 xz + 6yz
5
42. alternativa D
2 + 2y − x − xy
=
4 − x2
1+ y
y +1
=
=
2+x
x +2
(2 − x ) + y (2 − x )
(2 − x )(1 + y )
=
(2 − x )(2 + x )
(2 − x )(2 + x )
43. alternativa B
a
b
c
a 2 + b2 + c 2
+
+
=
bc
ac
ab
abc
2
2
2
Como a + b + c = (a + b + c )2 − 2(ab + bc + ac )
= 62 − 2 ⋅ 11 = 36 − 22 = 14, e portanto,
= 7.
44. alternativa B
⎛x −y⎞
⎛x +y
x −y⎞
−
⎟
⎜
⎟ = ⎜
⎝ xy ⎠
⎝x −y
x +y⎠
⎡ ( x + y )2 − ( x − y )2 ⎤
= ⎢
⎥
⎢⎣ ( x − y )( x + y ) ⎥⎦
( x + y − x + y )( x + y
=
( x + y ) ⋅ xy
2y ⋅ 2x
4
=
=
x +y
( x + y ) ⋅ xy
⎛x −y⎞
⋅⎜
⎟
⎝ xy ⎠
+ x − y)
45. alternativa D
1
1
1
= x 2 + 2x ⋅
+
−2
x2 +
2
x
x
x2
1⎞
⎛
= ⎜x + ⎟
⎝
x⎠
2
− 2 = 102 − 2 = 98
6
a 2 + b2 + c 2
14
=
abc
2