2o Lista de Exerc´ıcios -´Areas, Volumes e Trabalho

Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologias Agroalimentar - CCTA
Unidade Acadêmica de Tecnologia Agroalimentar - UATA
Disciplina: Cálculo II
Professor:
e-mail: [email protected]
Aluno(a):
2o Lista de Exercı́cios - Áreas, Volumes e Trabalho
ATENÇÃO: Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
Questão 1: Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas e determine a área da
região.
(a) y = 1/x, y = −x, x = 1, x = 2;
(b) y = x, y = −x, x = 1, x = 4;
(c) y = −x, x − y = 4, y = −1, y = 2;
(d) x = y, y − x = 2, y = −2, y = 3;
(e) y = 1 − x2 , y = x − 1;
(f ) x + y = 3, y + x2 = 3.
Questão 2: Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e também o sólido de
revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo indicado. A seguir calcule o volume do
sólido obtido.
(a) y = 1/x, x = 1, x = 3, y = 0; em torno do eixo dos x;
(b) y = x, y = 0, x = 4; em torno do eixo y = 0;
(c) y = x2 , y = 2, x = 0; em torno do eixo dos y;
(d) y = 1/x, x = 0, y = 1, y = 3; em torno do eixo dos y;
(e) y = 2x, y = 4x2 ; em torno do eixo x = 0;
(f ) y = x2 , y = 4 − x2 ; em torno do eixo dos x.
Questão 3: Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região delimitada pelos gráficos
√
de y = x, y = 0 e x = 4 em torno de cada uma das retas indicadas a seguir.
(a) x = 4,
(b) x = 6,
(c) y = 2 .
Questão 4: Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e também o sólido de
revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo indicado. A seguir calcule o volume do
sólido obtido.
(a) y = 1/x, x = 1, x = 2, y = 0; em torno do eixo dos y;
(b) y = x2 , y 2 = 8x; em torno do eixo x = 0;
(c) x = 4y, y = 0, x = 4; em torno do eixo y = 0;
(d) y 3 = x, y = 3, x = 0; em torno do eixo dos x;
(e) y = 2x, y = 6, x = 0; em torno do eixo y = 0;
(f ) y = x2 − 5x, y = 0; em torno do eixo dos y.
Questão 5: Use alguns dos métodos para calcular o volume dos seguintes sólidos e determine que
tipo de sólido é gerado.
−h
(a) A reta y =
x + h em torno do eixo y = 0 ;
r
√
(b) A curva y = r2 − x2 em torno do eixo x = 0;
Questão 6: Determine o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada pelos gráficos
de y = x2 + 1, x = 0, y = 0 e x = 2 em torno das retas indicadas a seguir.
a) x = 3
b) x = −1.
Questão 7: Determine o comprimento do arco de A a B do gráfico da equação dada.
(a) 8x2 = 27y 3 ; A(1, 2/3), B(8, 8/3);
(b) (y + 1)2 = (x − 4)3 ; A(5, 0), B(8, 7);
(c) y = (x3 /12) + (1/x); A(1, 13/12), B(2, 7/6);
(d) y + 1/(4x) + (x3 /3) = 0; A(2, 67/24), B(3, 109/12);
(e) 30xy 3 − y 8 = 15; A(8/15, 1), B(271/240, 2);
(f ) x = (y 4 /16) + 1/(2y 2 ); A(9/8, −2), B(9/16, −1).
Questão 8: Uma mola de comprimento natural de 25 cm é distendida de 4 cm, sob um peso de
3, 6 kg.
(a)Determine o trabalho realizado para distender a mola do seu comprimento natural até 35 cm;
(b) Determine o trabalho realizado para distender a mola de 27 cm até 33cm.
Questão 9: Se uma mola tem 12 cm de comprimento, compare o trabalho realizado ao distendê-la
de 12 para 13 cm com o trabalho realizado para distendê-la de 13 para 14 cm.
Questão 10: Exige-se um trabalho de 60 dinas/cm para distender certa mola do comprimento de
6 cm até 7 cm, e um trabalho adicional de 120dinas/cm para distendê-la de 7cm para 8cm. Determine
a constante da mola e o seu comprimento natural.
Questão 11: Um elevador de 1360 kg de peso acha-se suspenso por um cabo de 3, 65 m de comprimento pesando 20 kg por metro linear. Determine o trabalho necessário para elevá-lo de 3 m,
enrolando-se o cabo numa roldana.
OBS.: Esta lista não vale pontuação!!!!
Respostas
Questão 1: a) ln2 +
Questão 2: a)
2
π,
3
Questão 3: a)
256
π,
15
3
,
2
Questão 4: a) 2π,
Questão 5: a)
b) 15,
64
π,
3
b)
b)
b)
c) 15,
c) 2π,
192
π,
5
24
π,
5
c)
c)
b)
2
π,
3
d)
486
π,
5
e)
9
,
2
1
π,
15
1
6
f)
f)
64 √
2π
3
4
π,
3
b)
e) 72π,
f)
625
π
6
4 3
πr , circunferência
3
64
π
3
680 √
97 √
Questão 7: a)
85 −
97,
729
729
Questão 8: a) 0, 45J,
d)
e)
40
π
5
1
πhr2 , cone circular reto
3
Questão 6: a) 16π,
d) 13,
"
3 #
3
13 2
8
2
b)
(10) −
,
27
4
c)
13
,
12
b) 0, 27J
Questão 9: T2 = 3T1
Questão 10: Comprimento natural é 6 cm e constante da mola é k = 1.2 · 106
Questão 11: W = 480J
d)
51
,
8
e)
59
,
24
f)
21
16