Prática: Gravitaç˜ao - Terceira Lei de Kepler

Lab Virtual de Ensino de Fı́sica
Prof. Samir Lacerda da Silva
email: [email protected]
Prática: Gravitação - Terceira Lei de Kepler
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Introdução - Terceira Lei de Kepler
Neste roteiro vamos estudar a relação entre o semi-eixo maior da trajetória elı́ptica de um planeta
com seu perı́odo de movimento através de uma animação feita no Algodoo. Os modelos geocêntrico
e heliocêntrico do sistema solar afirmam que os corpos celestes descrevem órbitas circulares. A
primeira lei de Kepler indicou que essa órbita circular é apenas um caso muito especial e as órbitas
elı́piticas são a situação geral. A obra de Kepler é resumida em três declarações conhecidas como
as Leis de Kepler:
1. Todos os planetas se movem em órbitas elı́pticas com o Sol em um dos pontos focais.
2. Uma linha traçada a partir do Sol a qualquer planeta varre áreas iguais em intervalos de
tempo iguais.
3. O quadrado do perı́odo orbital de qualquer planeta é proporcional ao cubo da distância média
do planeta ao Sol.
A terceira lei será o objeto de estudo desse experimento virtual. A relação entre o perı́odo orbital
T e a distância do semi-eixo maior a da trajetı́ria elı́ptica do planeta ao redor do Sol é dado por:
T =
4π 2
GMs
1/2
1/2
a3/2 = (Ks )
a3/2
(1)
onde Ks é uma constante de proporcionalidade que não depende da massa do planeta. A equação
(1) é válida para qualquer planeta com órbitas circulares ou elı́pticas.
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Objetivos
O objetivo dessa prática virtual é verificar a terceira lei de Kepler através de um experimento virtual
feito no Algodoo.
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Materiais
Para realizar a prática virtual vamos precisar dos seguintes materiais:
1. Animação Gravitation02.phz [3].
2. Um programa de tratamento de planilhas como EXCEL, open office ou libreoffice.
3. Um programa de análise gráfico como OriginLab, QtiPlot[4] ou ou SciDAVis[5].
4. O template para formatação do relatório [5].
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Teoria do experimento virtual
Um diso vermelho de massa m é lançado com uma velocidade ~v para entrar em órbita elı́ptica com
o disco amarelo de massa M em um dos focos. Veja figura 1.
O perı́odo orbital T descrito pelo disco vermelho e a distância do semi-eixo maior a de sua trajetória
elı́ptica depende da orientação e do módulo da velocidade de lancamento do disco vermelho. Assim,
quando analisamos a relação entre T e a para uma determinada condição de lançamento eles
obedecem a equação (1). Para cada valor distindo da velocidade de lançamento vi irá produzir um
par (Ti , ai ) que observa a equação (1). Com o auxı́lio do recurso gráfico do Algodoo podemos medir
o semi-eixo maior ai fazendo um gráfico de y × x e o perı́odo orbital Ti com o gráfico do módulo
de vi pelo tempo. Desta forma, podemos verificar a relação entre T e a da seguinte forma:
T ∝ aγ
(2)
onde γ é o expoente da terceira lei de Kepler e vale γ = 1.50.
Figura 1: Ilustração do sistema de atração gravitacional.
Para obter o expoente γ podemos linearizar a equação (2) aplicando logarı́tmo dos dois lados da
expressão. O γ é o coeficiente linear desse procedimento.
log T ∝ γ log a
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(3)
Procedimentos:
1. Utilize a animação Gravitation01.phz. O disco vermelho já está na posição de lançamento.
Para obter a trajetória elı́ptica basta clicar com o botão direito sobre o disco vermelho e ir
até a ferramenta Velocities modificando apenas o módulo da velocidade em Speed. Teste qual
será o menor valor da velocidade vmin para que o disco vermelho não choque com o disco
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amarelo e o valor limite vmax para que o disco vermelho não escape da atração gravitacional
do disco amarelo. Não precisa obter vmin e vmax com precisão.
2. Após realizar a etapa 1 obtendo os limites da velocidade, escolha dez valores de velocidade
de lançamento nesse intervalo (de preferência igualmente espaçados). Para cada velocidade
vi faça os gráficos de y × x e v × t. Utilize a ferramenta Show plot clicando com o botão
direito sobre o disco vermelho. Utilize os próprios gráficos para obter Ti e ai e guarde seus
valores em uma tabela. Se sentir dificuldades para obter Ti e ai no Algodoo sugiro seguir os
passos 3, 4 e 5 abaixo e obter os dados em um programa de análise gráfica.
3. Salvar os pontos do gráfico em um arquivo .CSV .
4. Os arquivos salvos ficam na pasta screenshots do Algodoo. Abra o arquivo .CSV em um
programa de planilha (exemplo EXCEL). As colunas das variáveis do gráfico em questãp
apareceram juntas, inicialmente separadas por vı́rgula. Utilize a planilha para separar em
duas colunas. Feito essa etapa, copie a nova planilha para o programa de gráfico, exemplo
QtiPlot.
5. Faça os gráficos com seus respectivos nomes e unidades nos eixos. Obtenha Ti e ai .
6. Repita o passo 2 até obter os dez pares de Ti e ai .
7. Escreve os pontos Ti e ai no QtiPlot e faça o gráfico de T × a e linearize o gráfico conforme
a equação (3). Isso pode ser feito manipulando as tabelas dentro do programa gráfico e
construindo um novo gráfico. Através da ferramenta de regressão linear do QtiPlot obtenha
o coeficiente angular da reta.
8. O coeficiente angular representa o valor do expoente γ para a terceira lei de Kepler conforme
a equação (2). Compare o resultado com o valor esperado para γ pela terceira lei de Kepler.
9. Realizado todas as etapas anteriores apresente os resultados na forma de um relatório. Observe
a formatação do relatório conforme o template fornecido.
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Referências:
[1] Site do Algodoo - www.algodoo.com
[2] Halliday, Resnick e Walker - Fundamentos de Fı́sica volume 2 – 8a ed. LTC (2008)
[3] Animação Gravitation02.phz - https://www.dropbox.com/s/naehueuofyy4dzz/Gravitation02.
phz?dl=0
[4] Programa Qtiplot - https://www.dropbox.com/s/isav88i6xvtdexz/Qtiplot-0.9.7.4.zip?
dl=0
[5] Programa SciDAVis - http://www.scidavis.sourceforge.net
[6] Template do Relatório - https://www.dropbox.com/s/6zhudplb1lnbj72/template_Relatorio.
rar?dl=0
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