Módulo Objetivo - Matemática FGV 2010/1 - 13.12.2009

Resolução feita pelo Intergraus!
Módulo Objetivo - Matemática
FGV 2010/1 - 13.12.2009
VESTIBULAR FGV 2010 – DEZEMBRO 2009
MÓDULO OBJETIVO – PROVA TIPO “A”
PROVA DE MATEMÁTICA
QUESTÃO 1 (Prova: Tipo B – Resposta E; Tipo C – Resposta C; Tipo D – Resposta A)
O gráfico abaixo fornece o Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBovespa) nos finais dos anos
2000 (ano 0), 2001 (ano 1) até 2008 (ano 8).
70000
63886
Índice Bovespa
60000
50000
44473
40000
30000
22236
20000
15259
10000
0
37550
33455
26196
13577
11268
0
1
2
3
5
4
6
7
8
9
Ano
Considerando o menor e o maior valor observados do índice, o aumento porcentual em relação ao menor
valor foi de aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
e)
170%
270%
370%
470%
570%
Resolução:
valor máx. – valor mín. 63 886 – 11 268

 4,7.
valor mínimo
11 268
Logo, aumento de 470%.
Aumento (%) 
Resposta D
QUESTÃO 2 (Prova: Tipo B – Resposta A; Tipo C – Resposta D; Tipo D – Resposta B)
Chama-se custo médio de fabricação por unidade ao custo total de fabricação dividido pela quantidade produzida.
Uma empresa fabrica bicicletas a um custo fixo mensal de R$ 90 000,00; entre peças e mão de obra,
cada bicicleta custa R$ 150,00 para ser produzida. A capacidade máxima de produção men sal é de
1 200 unidades. O custo médio mensal mínimo por unidade vale:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 150,00
R$ 187,50
R$ 225,00
R$ 262,50
R$ 300,00
Resolução:
90 000  150  x 90 000
+ 150

x
x
 Custo médio mínimo será quando a produção for máxima, assim o custo médio mínimo é:

Custo médio =
90 000
 150  225,00 reais.
1 200
Resposta C
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QUESTÃO 3 (Prova: Tipo B – Resposta B; Tipo C – Resposta A; Tipo D – Resposta E)
Como consequência da construção de futura estação de Metrô, estima-se que uma casa que hoje vale
R$ 280 000,00 tenha um crescimento linear com o tempo (isto é, o gráfico do valor do imóvel em função do
tempo é uma reta), de modo que a estimativa de seu valor daqui a 3 anos seja de R$ 325 000,00. Nessas
condições, o valor estimado dessa casa daqui a 4 anos e 3 meses será de:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 346 000,00
R$ 345 250,00
R$ 344 500,00
R$ 343 750,00
R$ 343 000,00
Resolução:
Em 3 anos o crescimento será de 325 000 – 280 000 = 45 000, crescimento anual
1
de ano, o crescimento será de 4,25  15 000 = 63 750.
4
O valor estimado será de 280 000 + 63 750 = 343 750 reais.
45 000
 15 000.
3
Em 4 anos e
Resposta D
QUESTÃO 4 (Prova: Tipo B – Resposta A; Tipo C – Resposta E; Tipo D – Resposta D)
A função quadrática f(x) = 16x – x2 definida no domínio dado pelo intervalo [0, 7] tem imagem máxima
igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
64
63,5
63
62,5
62
Resolução:
f(x) = 16x – x2, com x  [0, 7] , tem como gráfico
y
0
7 8
16
x
Observando o gráfico temos que f máx.  f(7)  16  7 – 7 2  63
Resposta C
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QUESTÃO 5 (Prova: Tipo B – Resposta D; Tipo C – Resposta A; Tipo D – Resposta C)
Um polinômio P(x) do terceiro grau tem o gráfico dado abaixo:
P(x)
x
Os pontos de intersecção com o eixo das abscissas são (–1, 0), (1, 0) e (3, 0).
O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas é (0, 2). Portanto, o valor de P(5) é:
a)
b)
c)
d)
e)
24
26
28
30
32
Resolução:
2
P(x)  A(x  1)  (x – 1)  (x – 3) e P(0)  2  A  1( –1)  (–3)  2  A  .
3
2
Logo, P(5)   6  4  2  32
3
Resposta E
QUESTÃO 6 (Prova: Tipo B – Resposta D; Tipo C – Resposta B; Tipo D – Resposta A)
Um capital de R$ 1 000,00 é aplicado a juro simples, à taxa de 10% ao ano; os montantes, daqui a 1, 2, 3, ... n
anos, formam a sequência (a1, a2, a3 ... an ).
Outro capital de R$ 2 000,00 é aplicado a juro composto, à taxa de 10% ao ano gerando a sequência de
montantes (b1, b2, b3, ... bn) daqui a 1, 2, 3, ... n anos.
As sequências (a1, a2, a3 ... an ) e (b1, b2, b3, ... bn) formam, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
uma progressão aritmética de razão 1,1 e uma progressão geométrica de razão 10%.
uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 0,1.
uma progressão aritmética de razão 10% e uma progressão geométrica de razão 1,10.
uma progressão aritmética de razão 1,10 e uma progressão geométrica de razão 1,10.
uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 1,10.
Resolução:
10
 100.
100
A outra sequência (b1, b2, b3, ..., bn) é uma P.G. de razão 1 + 0,1 = 1,1.
A primeira sequência (a1, a2, a3 …, an) é uma P.A. de razão 1 000 
Resposta E
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QUESTÃO 7 (Prova: Tipo B – Resposta A; Tipo C – Resposta D; Tipo D – Resposta C)
2
No intervalo [0, ], a equação 8 sen
a)
b)
c)
d)
e)
x
=4
sen x –
1
8
admite o seguinte número de raízes:
5
4
3
2
1
Resolução:
2
8 sen

x
=4
sen x –
1
8 
2
2 3 sen
x
2
2 sen x –
1
4 
12 sen 2 x – 8 sen x  1  0  sen x 
sen
x2
x4
12
16
3 sen 2 x = 2 sen x –
1
4

1
1
ou sen x  .
2
6
x1
x3
cos
Logo, para x  [0, ] temos 4 soluções.
Resposta B
QUESTÃO 8 (Prova: Tipo B – Resposta C; Tipo C – Resposta E; Tipo D – Resposta D)
No início de dezembro de certo ano, uma loja tinha um estoque de calças e camisas no valor total de
R$ 140 000,00, sendo R$ 80,00 o valor (preço de venda) de cada calça e R$ 50,00 (preço de venda) o de
cada camisa.
Ao longo do mês, foram vendidos 30% do número de calças em estoque e 40% do número de camisas em
estoque, gerando uma receita de R$ 52 000,00.
Com relação ao estoque inicial, a diferença (em valor absoluto) entre o número de calças e o de camisas é:
a)
b)
c)
d)
e)
1 450
1 500
1 550
1 600
1 650
Resolução:
Sendo x o número de calças, y o número de camisas e R$ 140 000,00 o valor de venda deste estoque, temos:
 80x  50y  140 000

 0,3  80x  0,4  50y  52 000

 8x  5y  14 000


 24x  20y  52 000
y = 2 000 e x = 500. Assim, a diferença (em valor absoluto) entre o número de calças e o de camisas é
2 000 – 500 = 1 500.
Resposta B
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QUESTÃO 9 (Prova: Tipo B – Resposta E; Tipo C – Resposta C; Tipo D – Resposta B)
Num departamento de uma empresa há 5 funcionários: Alberto, Bernardo, César, Dolores e Eloísa. Dois
funcionários são sorteados simultaneamente para formarem uma comissão. A probabilidade de que Eloísa
seja sorteada, e César não, vale:
a) 3/10
b) 4/11
c) 5/12
d) 6/13
e) 7/14
Resolução:
5 4
Com os 5 funcionários da empresa podemos formar
 10 comissões com dois funcionários. Se Eloísa
2!
deve participar da comissão e César não, restarão 3 funcionários para compor a comissão com Eloísa.
3
Assim, a probabilidade pedida é .
10
Resposta A
QUESTÃO 10 (Prova: Tipo B – Resposta A; Tipo C – Resposta B; Tipo D – Resposta C)
Dionísio possui R$ 600,00, que é o máximo que pode gastar consumindo dois produtos A e B em quantidades x e y respectivamente.
O preço por unidade de A é R$ 20,00 e o de B é R$ 30,00.
Admite-se que as quantidades x e y sejam representadas por números reais não negativos e sabe-se que
ele pretende gastar no máximo R$ 300,00 com o produto A. Nessas condições, o conjunto dos pares (x, y)
possíveis, representados no plano cartesiano, determinam uma região cuja área é:
a) 195
b) 205
c) 215
d) 225
e) 235
Resolução:
Do enunciado temos as seguintes desigualdades simultâneas:
x  0, y  0, 2x + 3y  60 e x  15.
y
20
10
0
Ssolução =
15
30
(10  20) 15
 15 2  225
2
Resposta D
x
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QUESTÃO 11 (Prova: Tipo B – Resposta D; Tipo C – Resposta D; Tipo D – Resposta A)
O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y:
 x  3y  m

 2x – py  2
será impossível quando:
a)
b)
c)
d)
e)
Nunca
p  –6 e m = 1
p  –6 e m  1
p = –6 e m = 1
p = –6 e m  1
Resolução:
 x  3y  m
 x  3y  m
~ 

 (–p – 6)y  2 – 2m
 2x – py  2
O sistema será impossível quando (–p – 6) = 0 e (2 – 2m)  0, isto é:
p = –6 e m  1
Resposta E
QUESTÃO 12 (Prova: Tipo B – Resposta B; Tipo C – Resposta D; Tipo D – Resposta E)
Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima.
A soma das coordenadas de P é:
a)
b)
c)
d)
e)
10
10,5
11
11,5
1
Resolução:
x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0  (x – 3)2 + (y – 5)2 = 4. Temos uma circunferência de centro (3, 5) e raio igual a 2.
y
7
P(3, 7)
2
5
Soma das coordenadas de P = 10.
0
3
Resposta A
x
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QUESTÃO 13 (Prova: Tipo B – Resposta A; Tipo C – Resposta B; Tipo D – Resposta E)
O valor de um carro decresce exponencialmente, de modo que seu valor, daqui a x anos, será dado por
V = Ae–kx, em que e = 2,7182... . Hoje, o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá R$ 30 000,00.
Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos será:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 17 500,00
R$ 20 000,00
R$ 22 500,00
R$ 25 000,00
R$ 27 500,00
Resolução:
Se x = 0, vem: A  e–k  0 = 40 000  A = 40 000.
Se x = 2, vem: 40 000  e–k  2 = 30 000  e–2k =
O valor do carro daqui a dois anos será:
3
.
4
V = 40 000  e–4k
V = 40 000  (e–2k)2
2
 3
V = 40 000   
 4
V = 22 500,00 reais
Resposta C
QUESTÃO 14 (Prova: Tipo B – Resposta B; Tipo C – Resposta E; Tipo D – Resposta D)
Adotando o valor 0,30 para log 2, a raiz da equação 23x – 6 = 51 – x, arredondada para duas casas decimais, é:
a)
b)
c)
d)
e)
1,32
1,44
1,56
1,65
1,78
Resolução:
23x – 6 = 51 – x
log 23x – 6 = log 51 – x
(3x – 6)  log 2 = (1 – x)  log 5
(3x – 6)  0,3 = (1 – x)  0,7
0,9x – 1,8 = 0,7 – 0,7x
1,6x = 2,5
x  1,56
Resposta C
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QUESTÃO 15 (Prova: Tipo B – Resposta E; Tipo C – Resposta C; Tipo D – Resposta A)
Roberto obtém um financiamento na compra de um apartamento. O empréstimo deverá ser pago em
100 prestações mensais, de modo que uma parte de cada prestação é o juro pago. Junto com a 1ª
prestação, o juro pago é de R$ 2 000,00; com a 2ª prestação, o juro pago é R$ 1 980,00 e, genericamente,
em cada mês, o juro pago é R$ 20,00 inferior ao juro pago na prestação anterior. Nessas condições, a soma
dos juros pagos desde a 1ª até a 100ª prestação vale:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 100 000,00
R$ 101 000,00
R$ 102 000,00
R$ 103 000,00
R$ 104 000,00
Resolução:
Os juros formam uma P.A. de 100 termos com a1 = 2 000 e razão r = –20.
a100 = a1 + 99  r = 2 000 + 99(–20) = 20
 2 000  20 
A soma dos juros será, em reais, 
  100  101 000.
2


Resposta B