Capítulo 3 - DSCE

Transcrição

Capítulo 3 - DSCE

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
S.M.Deckmann e J.A.Pomilio
3. Análise de Sinais no Domínio da Frequência
Como se viu, pode-se extrair um grande número de informações de sinais periódicos e
aperiódicos no domínio do tempo. A questão agora é: quando se torna mais conveniente analisar um
sinal no domínio da frequência?
Para existir um mapeamento entre fenômenos analisados nos domínios do tempo e da
frequência, o comportamento da grandeza no domínio do tempo deve ser periódico, ou seja, repetir-se
em intervalos iguais a T, sendo T o período de tempo que contém um ciclo do sinal de frequência f.
1
Com isso se estabelece a regra básica de mapeamento entre os dois domínios:
f 
T
3.1 Representação no Domínio do Tempo
No domínio do tempo precisa-se definir explicitamente a função e os parâmetros que a
caracterizam, por exemplo:
x(t )  A.sen( 2ft  )
Figura 3.1 Representação de senóide no domínio do tempo.
portanto, tem-se três parâmetros característicos (A, T,  ):
A= amplitude
1 2
T 
= período
f

  fase inicial
No caso de sinal composto de k frequências, são 3k parâmetros além da função analítica (no
caso a função seno) para caracterizar a sucessão de valores no domínio do tempo.
3.2 Representação no Domínio da Frequência
No domínio da frequência esse mesmo sinal é representado apenas pelos seus parâmetros,
ficando subentendida a função temporal (senoidal) escolhida como referência na decomposição:
x( f )  [ A, f , ]
DSE – FEEC - UNICAMP
1
Amplitude
A
Fase
0
0
f
f

Figura 3.2 Representação de senóide no domínio da frequência.
Uma vez que a função periódica de referência já está implícita no domínio da frequência, a
caracterização do sinal decomposto em termos dessa referência necessita apenas dos parâmetros
resultantes da decomposição.
Nem todas as funções definidas no domínio do tempo apresentam período. Por exemplo, a
função:
f ( t )  cos 1t  cos  2t
será periódica apenas se a relação entre as frequências angulares for um número racional:
1 m

, para n e m inteiros.
2 n
Desta forma, a função abaixo não é periódica, embora esteja descrita no domínio do tempo e
seja composta por dois sinais periódicos.
f ( t )  cos 10t  cos( 10   )t
Figura 3.3 Forma de onda não periódica.
3.3 Representação de Sinais Periódicos
Um sinal periódico qualquer pode ser expresso como série de senos e cossenos. Por exemplo,
a função:
f 1 ( t )  sen  1 t 
1
1
1
sen 2 1 t  sen 3 1 t  sen 4 1 t  ...
2
3
4
2
produz uma onda dente de serra, com valor de pico
f2( t ) 
Por outro lado a função:
4


.
2
1
1




cos
t

cos
3
t

cos 5 1 t  ... produz uma
1
1

3
5

onda quadrada de amplitude unitária.
a)
T/2
T
b)
Figura 3.4 a) Soma dos primeiros 5 termos da série da onda dente de serra.
b) Soma dos primeiros 5 termos da série de uma onda quadrada.
A função correspondente a uma onda triangular é dada por:
f3( t ) 
4

1
1


 sen  1 t  9 sen 3 1 t  25 sen 5 1 t  ...
3
T/2
T
Figura 3.5 Primeiros 3 termos da série da onda triangular.
Os três exemplos mostram algumas propriedades gerais importantes da denominada Série de
Fourier ou, como é também chamada, série harmônica (pois as componentes em frequência são
múltiplas inteiras da fundamental):

1 - as séries são formadas por múltiplos inteiros da frequência fundamental ( f 1  1 ) . As
2
frequências múltiplas são chamadas harmônicas (fh = h.f1, h = 2,3,4...).
2 - se a função é par [f(t) = f(-t)], a série contém apenas termos em cosseno; se for ímpar [f(t) = f(-t)], contém apenas termos em seno.
3 - se a função apresentar simetria de meia onda [ f (t )   f (t  T2 )] então a série não contém
harmônicas pares, pois só as ímpares satisfazem essa propriedade.
4 – se, no tempo, a função tiver descontinuidades, aparece o efeito Gibbs nas descontinuidades,
devido à impossibilidade de reproduzir esse efeito pela soma de termos finitos em frequência.
3.4 Como aplicar a Análise de Fourier
As propriedades anteriores ajudam a simplificar a análise qualitativa, porém se necessita de
uma técnica para "quebrar" a função em sua série harmônica. Para isso recorre-se à decomposição do
sinal periódico através da combinação de funções cosseno e seno, resultando na chamada série de
Fourier:


h 1
h 1
f (t )  A0   Ah cos(h1t )   Bh sen( h 1t )
2
1 
T
A análise pela série de Fourier, no domínio da frequência, para sinais periódicos, resume-se a
determinar os valores dos coeficientes A e B da série, uma vez que se conhece o período T da função
de referência. Sabendo que as funções cosseno e seno são ortogonais, a decomposição de Fourier
pode ser vista como uma operação de projeção em base de sinais ortogonais:
4
fe
f1
fe
c12.f2
f2
Figura 3.6 Decomposição ortogonal do sinal f1.
C12 é a medida da projeção ortogonal da função f1 sobre a função f2. Para determinar C12
sobre um intervalo de tempo [ta,tb] pode-se utilizar a técnica de erro quadrático médio mínimo para
a função de erro fe , dada por
fe (t)= f1 (t)- C12. f2 (t), ou seja,  f1 (t)= fe (t)+ C12. f2 (t)
O erro quadrático médio no intervalo será, portanto:
eab 
1
tb  ta
tb

ta
f e2 (t ).dt
 eab
0
 c12
O mínimo dessa função será encontrado impondo:
Por essa técnica chega-se à relação seguinte (ver demonstração no final do capítulo): i
C 12 

b
a
f 1 ( t ). f 2 ( t ) dt

b
a
f 22 ( t ). dt
Se f1 e f2 forem ortogonais, então C12 é nulo no intervalo dado. No caso da série de Fourier
obtém-se, por analogia, que:

A0 
  f (  t ).1. d t  1 

2  
  1 . d t


f (  t ) . d t  valor médio no período


Ah 
  f (  t ) .cos( h t ).dt  1  f (  t ).cos( h t ).d t

 
  cos ( h t ).d t
1

1

2
1


Bh 
  f (  t ) .sen( h t ) .d t  1  f (  t ) .sen( h t ) .d t

 
  sen ( h t ) .d t
1


1

2
1
Cada coeficiente pode ser interpretado como sendo o dobro do valor médio da função,
5
ponderado pela respectiva base harmônica. Notar que os coeficientes (das funções seno ou cosseno)
serão números reais, podendo ser positivos ou negativos. Uma vez obtidos os coeficientes, pode-se
dispor o espectro na forma seguinte:
A
1
1/3
1/5
2f1
f1
4f1
5f1
3f1
f
-1/4
-1/2
Figura 3.7 Espectro de amplitude da onda dente de serra.
Como se pode notar, coeficientes negativos correspondem à fase de 180.
3.5 Representação da Série de Fourier na Forma Exponencial
Existem vantagens, na hora de generalizar a análise de Fourier, em usar a representação pela
série exponencial complexa, ao invés de usar funções seno e cosseno:
f (t ) 

 a .e
h  
h
jh1t
h  0,  1,  2,...
onde:
ah = coeficiente complexo
Notar que para h = 0 resulta o termo médio (CC) e para h = 1 resulta a onda fundamental.
Isso pode ser verificado impondo-se as condições de simetria par e ímpar:
se a h = a -h resulta termo cosseno
se a.h = -a -h resulta termo seno
Para verificar, basta considerar que:
e jt  e  jt
 cos t
2
e jt  e  jt
 sen t
2j
 e jt  e  jt  2 j sen t
resultando a forma de Euler: e j..t = cos t + j.sent
Uma vez que k pode assumir valores positivos e negativos, diz-se que essa série é bilateral.
3.5.1 Série Exponencial Complexa Unilateral
Pode-se rearranjar a soma bilateral na forma de série exponencial unilateral:


f (t )  a 0   a h e
h 1
j h 1 t
 ah e
 j h 1 t

h=1, 2, 3...
Para sinais reais, a condição de simetria complexa tem que ser satisfeita, ou seja, a h  ah ,
6
devido ao teorema de Parseval (a energia deve se manter tanto no domínio do tempo como no da
frequência). Portanto:


f (t )  a0   a h .e jh1t  ah .e  jh1t
h 1

(I)
Assumindo ainda que cada coeficiente complexo é formado pelas partes real e imaginária na forma:
1
ah   Ah  j Bh 
h > 0,
2
1
 Ah  jBh 
2
resulta que a equação (I) pode ser escrita como:
de modo que:
ah  a h 

f (t )  a0    Ah cos( h1t )  Bh sen( h1t )
h 1
que é a própria série de Fourier de cossenos e senos formulada inicialmente.
Portanto, as três formas de representação da série de Fourier:
série de senos e cossenos;
série exponencial complexa bilateral;
série exponencial complexa unilateral,
são equivalentes e intercambiáveis.
Com os coeficientes de uma série podem-se determinar os coeficientes da outra.
3.6. Da Série de Fourier à Transformada de Fourier
Existe uma relação direta entre a forma exponencial complexa e a forma em termos de senos e
cossenos da série de Fourier. Devido à relação entre os coeficientes das duas formas, ou seja, para h >
0:
1
1
ah   Ah  jBh 
ah   Ah  jBh 
2
2
pode-se obter os coeficientes complexos ah a partir dos coeficientes reais Ah e Bh:
Ah 
1 
f (t ) cos(h1t ). dt
 
Bh 
1 
f (t ).sen( h1t ). dt
 
resultando:
ah 
1 
f (t )cos( h1t )  j. sen( h1t ). dt
2 
ah 
1 
f (t ) . e  j h 1 t . dt



2
h = 0, 1, 2....
 jh  t
1
Notar que e
é um operador de rotação cuja amplitude é 1. Portanto, cada coeficiente ah
corresponde ao valor médio da função f(t), ponderada pelo operador que gira com velocidade h1, a
qual define a periodicidade harmônica.
7
3.6.1 Análise de um Sinal com Especial Interesse: O Trem de Pulsos
f(x)
2/k
1
-
x=0

2
x=1t
T1
Figura 3.8 Trem de pulsos unitários.
Esse sinal é importante para se chegar à Transformada de Fourier. Por conveniência, tome-se o
2
2
sinal com período T1 
, o pulso com amplitude 1 e duração t=
. Notar que k inteiro pode ser
k
1
interpretado como uma frequência múltipla de 1, uma vez que t é uma fração de T1.
Sabe-se que os coeficientes da série complexa de Fourier são dados por:
am 
1
2

k
 e

 jm x
. dx
para
m=0, 1, 2...
k
resultando para:
e para
x = 1t
   1
 k  k   k
m=0
a0 
1
2
m0
am 
1
e  jmx
 jm2



k


jm 
1   jm k
1
 
e k  
sen m 
e
 =

 jm 2 
 k
k
 m
Logo, o trem de pulsos pode ser escrito como sendo a série:

sen( m )


1
k .e j m x 
m=0, 1, 2....
f ( x)   .
am .e j m x


m  k
m  
m
k

sen( m )
1
k
onde os coeficientes valem: a m  k .

m
k
A função
sen( m
m

k

)
k
é chamada função sinc(.) e, para argumento contínuo, apresenta a
seguinte forma:
8
Figura 3.9 Função sinc(.).
Essa função define a envoltória para os valores dos coeficientes am do trem de pulsos. No
caso do trem de pulsos, verifica-se que os coeficientes são definidos para as abcissas da função sinc
apenas para valores específicos ou discretos, dados por:
m

2
3
 0,  , 
,
,.... pois m=0, 1, 2, 3....
k
k
k
k
Podemos visualizar o que ocorre com os coeficientes am se os representarmos para dois casos,
por exemplo, k=3 e k=5:
Figura 3.10 Coeficientes am do trem de pulsos para k=3.
Figura 3.11 Coeficientes am do trem de pulsos para k=5.
Quanto menor a duração do pulso (maior k), mais os coeficientes se aproximam e diminuem de
amplitude. Se, ao invés de reduzir a duração, aumentar o período entre pulsos (T1 ), tem-se, no limite,
9
um trem de pulsos com período infinito, ou seja, apenas um pulso na origem. Com isso, a frequência
fundamental (  1  2 ) tende a zero, e os componentes se aproximam tanto que formam um espectro
T1
contínuo com amplitudes infinitesimais:
am 
1
2


f ( x ).e  jmx .dx 

1
T1
T1 / 2
 f ( t ).e
 jm 1t
.dt
T1 / 2
Como am tende a zero, enquanto T1 tende a infinito, o produto am.T1 tende a uma constante:

amT1   f ( t ).e  j  t .dt

( T  )
1
 (  )
A função contínua () é chamada transformada ou integral de Fourier.
A função inversa é obtida da série:
f (t ) 


() j m 1 t
1 
.e
  () 1 . e j m 1 t 
().e j t . d



2
2
m    T1
m  




1
T
am
1


notar os limites usados para essas associações de operações contínuas e discretas:
T1  
1  d
m.1  



Resumindo: A Transformada de Fourier (TF) mapeia sinais aperiódicos para o domínio da
frequência, resultando um espectro contínuo através da Integral de Fourier:


1
(  )   f ( t ). e  j t . dt
f (t ) 
(). e j t . d

2



3.6.2 Exemplos de aplicação:
a) Obter a TF da seguinte onda retangular com período T1 
2
:
1
A
-

t
T1
Figura 3.12 Trem de pulsos
Os coeficientes da TF são:
10
1
a0 
T1

2

1
 A .dt  T
A
(média do período)
e o termo genérico, de ordem k, vale:

1
A
A.2
 j k 1 t
ak 
A .e
. dt 
. e  j k 1   e j k 1 
. sen( k 1 ) ( k  0 )

 jk 1T1
T1 
k 1T1


portanto, multiplicando numerador e denominador por :
 2 
sen  k

T1 
2A sen( k 1 ) 2A

ak 
.

.
2
T1
k 1
T1
k

T1
Esse coeficiente se anula cada vez que o argumento se torna múltiplo de , ou seja, quando
2
(inteiro).
k.
T1
n
Para n=1 temos k  T1 representa o inverso do ciclo de trabalho.
2
Figura 3.13 Coeficientes da Transformada de Fourier da onda retangular.
Portanto, para a onda periódica resulta um espectro discreto, cuja resolução é dada por
2
.
   1 
T1
Notar que a duração do pulso (2) define a largura da faixa de frequências (primeiro
cruzamento da função sinc por zero).
11
b) Transformada de Fourier do pulso isolado:
A
A
-

t
Figura 3.14
Pulso isolado e respectivo espectro contínuo.
Neste caso, como T1   , o pulso é expresso por:

  T1 / 2

jm 1t
f (t )   amT1.e
    f (t ).e  jm1t .dt .e jm1t
m  
m   

  T1 / 2
(  )  a m T1 
portanto a TF é dada por:
T1 / 2
 f ( t ). e
 jm 1 t
. dt
T1 / 2
a0T1 
e
T1 / 2

T1 / 2

 f (t ).dt   f (t ).dt  2.A
Notar que para o pulso isolado o espectro é uma função contínua de .
A duração do pulso (2) continua definindo a largura da faixa de frequência do lóbulo
principal.
No caso do pulso ser estreito, o espectro se alarga na proporção inversa da duração do pulso
(2), enquanto que a amplitude diminui.
A
- 
t
Figura 3.15
Pulso isolado estreito e seu espectro contínuo.
No caso de pulso largo, acontece o oposto, o espectro se estreita e aumenta amplitude em
torno da origem:
12
A

-
Figura 3.16
t
Pulso isolado largo e seu espectro contínuo.
Continuando essa expansão da duração do pulso, pode-se, no limite, considerar o degrau
como um pulso de duração infinita, daí o seu espectro de concentrar em um impulso na origem.
0
Figura 3.17

Espectro do degrau.
A questão pendente, que será respondida na sequência é: quanto vale a amplitude da “vareta”
do espectro do degrau?
3.7 Da Transformada de Fourier à Transformada de Laplace
Para existir a TF é preciso que no intervalo -  t   a integral seja finita, ou seja:



f ( t ). e  j  t dt  

Como e-j..t tem magnitude 1, uma condição suficiente é que:


f ( t ) .dt  
Porém, essa condição não é satisfeita por várias funções de interesse prático, como as funções
seno, cosseno, degrau, as quais, portanto, não possuem transformada de Fourier. No entanto,
limitando as funções periódicas entre -T e +T e depois fazendo T  pode-se obter a transformada.
Para o degrau u(t), pode-se utilizar outro processo, que é supor decaimento exponencial (e-.t ) do
degrau, e fazer o valor da atenuação tender a zero ( 0) após calcular a transformada.
1
t
e-
t
0
Figura 3.18 Função atenuação do degrau.

G(  )   e  t . e  j t . dt 
0

1
e  t .e  j t
 (   j )


0

1
  j
( >0)
Para obter o espectro do degrau não basta zerar , pois em =0 ocorre uma singularidade.
Porém, levantando essa singularidade, vê-se que:
1
para =0, resulta:
G( 0 ) 

13
e, para >>0, resulta: G(  ) 
1
j
ou seja, o espectro é contínuo e decrescente. A fase inicial é zero e atrasa até -90.
G(  )
1/
Degrau unitário

1
G(  )
0

t
-90
Figura 3.19 Transformada de Fourier do degrau unitário.
3.7.1 A Transformada de Laplace
Incorporando-se a técnica de atenuação à transformada de Fourier, resulta a Transformada
de Laplace.


0
0
G a (  )   f ( t ).e  t .e  j  t . dt   f ( t ).e (   j  ).t . dt
Designando s    j resulta:

L( s )   f ( t ).e  s t .dt
0
A integral agora tem que começar em t=0 uma vez que para t<0 a atenuação vira ampliação, e
portanto a integral se torna divergente.
3.7.2 Comparação da Transformada de Laplace e de Fourier
Uma vez que:
(  )  


f ( t ). e
 j t
. dt

L( s )   f ( t ).e  s t .dt
0
percebe-se que, enquanto Fourier expande f(t) em um conjunto infinito de exponenciais tipo ej..t, que
dão origem a senos e cossenos sobre todo o intervalo - < t < , Laplace expande f(t) em um
conjunto infinito de exponenciais complexas tipo es.t, que dão origem não apenas a senos e cossenos,
como também a exponenciais crescentes e decrescentes, e combinações deles, resultando modos
14
oscilatórios decrescentes (amortecidos) e crescentes (instáveis).
Essa é uma importante generalização, mas que só se aplica para t  0. Essa transformação
atende a grande parte dos sinais físicos, e por isso encontrou grande aplicação na área de controle
moderno. Neste caso, convertendo cada sinal para o domínio da frequência pela transformada de
Laplace, descobre-se que a função de transferência descreve a relação entrada-saída dos dispositivos
que intervêm no processo.
Sistemas complicados podem ser analisados através das relações matemáticas no domínio da
frequência, gerando funções complexas H(s) que podem ser decompostas em pólos e zeros que são as
raízes dos polinômios do denominador e numerador de H(s). Os pólos e zeros podem ser usados para
caracterizar o comportamento dinâmico do sistema sob diferentes condições de excitação e controle.
Porém esse é assunto para outro curso.
15
Apêndice: Exemplos de uso do MathCad para análise de Fourier
Ondas periódicas e aperiódicas
t  0  .001  3
s1 ( t)  2 cos( 15 t)  5 sin( 20 t)
10
5
s1 ( t)
0
5
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
O máximo divisor comum entre as frequências de cada onda períodica é 5, logo o período é:
 5   1

To  
 
2



 
s1 ( 0)  2
s1 ( To )  2
To  1.257
Seja outra forma de onda:
s2 ( t)  2 cos( 15 t)  1 cos 10  t
4
2
s2 ( t)
0
2
4
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
Embora cada sinal, individualmente, seja periódico, como as frequencia não estão em uma
relação RACIONAL, ou seja, NÃO SÃO MÚLTIPLAS inteiras de um fator comum, a onda
resultante não é periódica
16
3
Coeficientes da série de Fourier para a onda s1(t)
w1  2 

To
To
2
1 

Ao 
s1 ( t) dt
To  To

2
Ao  0
n  1  10
To
2
2 
An 
s1 ( t)  cos [ n  ( w1 ) t] dt

To  To

2
To
2
2 
s1 ( t)  sin( n w1  t) dt
Bn 

To  To

2
An 
Bn 
0
0
0
-15
-1.502·10
2
0
0
5
0
-1.034·10 -15
0
0
0
0
0
-1.612·10 -15
0
4.736·10 -15
0
0
17
Outra forma de onda
s1 ( t)  sign( cos ( 15  t) ) 
1
2
2
s1 ( t)
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
w1  15
To  2 

w1
To  0.419
To
2
Ao 
1 
s1 ( t) dt

To  To

Ao  0.5
2
n  1  10
To
2
An 
2 
s1 ( t)  cos [ n  ( w1 ) t] dt

To  To

2
An 
1.273
0
Bn 
0
0
0
0.255
0
0
0
-0.182
0
0
0
0.141
0
0
0
2 

s1 ( t)  sin( n w1  t) dt
To  To

2
0
-0.424
Bn 
To
2
18
Reconstrução do sinal:
x( t)  Ao  A1 cos ( w1 t)
2
0
x( t)
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t)  Ao  A1 cos ( w1 t)  A3 cos ( 3 w1 t)
2
x( t)
0
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t)  Ao  A1 cos ( w1 t)  A3 cos ( 3 w1 t)  A5 cos ( 5 w1 t)
2
x( t)
0
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t)  Ao  A1 cos ( w1 t)  A3 cos ( 3 w1 t)  A5 cos ( 5 w1 t)  A7 cos ( 7 w1 t)
2
1
x( t)
0
1
0
0.5
1
1.5
t
19
2
2.5
3
E  2
Outra forma de onda
s1 ( t)  E  cos ( w1  t)

2
s1 ( t)
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
To 
 2
w1
To  0.419
To
2
1 
s1 ( t) dt
Ao 

To  To

2
Termo geral, para n par:
n
An 
Ao  1.273
n  1  10
4 ( 1)
2
1  n2 
To
2
2 
An 

s1 ( t)  cos [ n  ( w1 ) t] dt
To  To

2
To
2
2 
Bn 

s1 ( t)  sin( n  w1  t) dt
To  To

2
An 
Bn 
0
0
0.849
0
0
0
-0.17
0
0
0
0.073
0
0
0
-0.04
0
0
0
0.026
0
20
E
Reconstrução do sinal
x( t)  Ao  A1 cos ( w1 t)
1.276
1.274
x( t)
1.272
1.27
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t)  Ao  A1 cos ( w1 t)  A2 cos ( 2 w1 t)
3
2
x( t)
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t)  Ao  A1 cos ( w1 t)  A2 cos ( 2 w1 t)  A4 cos ( 4 w1 t)
2
x( t)
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t)  Ao  A1 cos ( w1 t)  A2 cos ( 2 w1 t)  A4 cos ( 4 w1 t)  A6 cos ( 6 w1 t)
3
2
x( t)
1
0
0
0.5
1
1.5
t
21
2
2.5
3
Análise de Trem de Pulsos
Pulso de largura variável
t  0  0.0001  1
w1  2   5
s1 ( t) 
sign cos  2  5 t  0.9   1
2
To  2 

w1
1
s1 (t) 0.5
0
0
0.2
0.4
1
n  1  30
To
2
1 

s1 ( t) dt
To  To

Ao  0.144
0.8
t
To  0.2
Ao 
0.6
2
To
2
An 
2
An 
To
2
0.277
0.251
0.209
0.156
0.099
0.045
2 

s1 ( t) cos [ n ( w1 ) t] dt
To  To

Bn 
2 

s1 ( t) sin( n  w1 t) dt
To  To

2
Bn 
0
-1.419·10 -3
0
-0.036
0
-0.056
0
-0.063
0
-0.057
0
-0.04
0
-0.02
0
1.419·10 -3
0
0.02
0.032
22
Reconstrução do sinal
x( t)  Ao  A1  cos ( w1 t)
0.5
x( t)
0
0.5
0
5
x( t)  Ao 

0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
 Ancos ( n w1 t)  Bnsin( n w1 t) 
n1
2
1
x( t)
0
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1
t
30
x( t)  Ao 

 Ancos ( n w1 t)  Bnsin( n w1 t) 
n1
1.5
1
x( t)
0.5
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
t
23
Análise dos coeficientes
n  0  40
To
2
an 
1 
 inw1t

dt
s1 ( t) e
To  To

an 
0.144
2
0.139
0.125
0.104
0.077
0.049
0.15
0.022
-7.097·10 -4
-0.018
-0.028
0.1
-0.032
an
-0.028
-0.02
0.05
-9.981·10 -3
7.097·10 -4
9.842·10 -3
0
0.016
0.019
0.05
0.017
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40
n
0.013
6.26·10 -3
-7.096·10 -4
-6.91·10 -3
-0.011
-0.013
-0.012
-9.115·10 -3
-4.468·10 -3
7.095·10 -4
5.393·10 -3
8.722·10 -3
24
Em direção ao impulso isolado e seu espectro contínuo e constante:
t  0  0.0001  0.2
w1  2  5
s1 ( t) 
sign cos  2    5  t  0.995   1
2
To  2 

w1
1
s1 (t) 0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t
To
2
1 
 inw1 t
an 
s1 ( t) e

dt
To  To

To  0.2
2
an 
0.032
0.032
0.032
0.031
0.031
0.031
0.05
0.03
0.029
an
0.029
0
0.028
0.027
0.026
0.05
0.025
0.024
0
4
8
12 16 20
24 28
n
25
32 36 40
0.022
0.021
i
Demonstração
e ab 
1
tb  ta
 f
tb
ta
( t )  C 12  f 2 ( t )  . dt
2
1
 e ab
  1


 C 12
 C 12  t b  t a
 2 C 12

 C 12 

tb
ta
f
2
1
( t )  2 C 12 f 1 ( t ) f 2 ( t )  C
f 22 ( t ). dt  2  f 1 ( t ). f 2 ( t ). dt  0

b
a
f 1 ( t ). f 2 ( t ) dt

b
a
f 22 ( t ). dt
26
2
12


. f 22 ( t ) . dt   0


Capítulo 3 - DSCE

Transcrição

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