X - sistele7

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X - sistele7

De outras fontes
Fonte
de
Informação
Formatação
Codificação
de
Fonte
Criptografia
Codificação
de
Canal
Modulação
MUX
Spread
Spectrum
Múltiplo
Acesso
Comunicação Digital I
Interface
de TX
Trasmissor
Sincronismo
Receptor
Ao receptor
da
Informação
Formatação
Essencial
Decodificação
de
Fonte
CANAL
Prof. Dayani Adionel Guimarães
[email protected] - Revisão 03/2000
Decriptografia
Decodificação
de
Canal
DEMUX
Demodulação
Despread
Interface
de RX
Múltiplo
Acesso
Para outros destinos
Opcional
Instituto Nacional de Telecomunicações
1
Conteúdo
PARTE I - Conceitos básicos - Classificação de sinais, Densidade
espectral, Autocorrelação, Sinais aleatórios, Transmissão de sinais
por sistemas lineares, Largura de faixa de sinais digitais.
PARTE II - Digitalização de sinais analógicos & Transmissão
em banda base - Formatação de sinais analógicos, Transmissão
em banda base, Detecção de sinais binários em ruído gaussiano,
Interferência intersimbólica, Sinalização de resposta parcial.
Livro Texto (Capítulos 1 & 2 ): Sklar, Bernard, “Digital
Communications - Fundamentals and Applications”, Prentice-Hall,
Inc.: Englewood Cliffs, New Jersey, 1988.
2
Objetivo
Proporcionar aos participantes uma abordagem dos conceitos
previstos pelo conteúdo do curso de forma que essa
abordagem resulte na formação de sólida base para o estudo
das comunicações digitais.
Procedimentos
Aulas expositivas e experimentos demonstrativos através de
simulação (quando cabíveis). Haverá uma única nota de
avaliação que será composta pela nota obtida em uma prova
e/ou em trabalhos práticos em sala (com datas e pesos
discutidos em acordo com a turma) . Espera-se ao menos um
grau de aproveitamento correspondente a 70% nessas
avaliações.
3
Motivação - o estudo de um sistema de comunicação digital
De outras fontes
Fonte
de
Informação
Formatação
Codificação
de
Fonte
Criptografia
Codificação
de
Canal
MUX
Modulação
Spread
Spectrum
Interface
de TX
Trasmissor
CANAL
Sincronismo
Interface
de RX
Receptor
Ao receptor
da
Informação
Formatação
Essencial
Decodificação
de
Fonte
Múltiplo
Acesso
Decriptografia
Decodificação
de
Canal
DEMUX
Demodulação
Despread
Múltiplo
Acesso
Para outros destinos
Opcional
4
Por que digital?
• Facilidade de regeneração
• Menor sensibilidade a ruídos e distorções
• Circuitos de maior confiabilidade e flexibilidade
• Diversidade de serviços e dados combinados
• Melhorias: VLSI e DSP a custos cada vez menores
5
Classificação dos sinais
Sinal determinístico: não há incerteza com relação ao seu valor em
qualquer instante de tempo. Ex.: x(t ) = 127 2 cos( 2π60t )
Sinal aleatório: há um certo grau de incerteza antes que um
determinado valor realmente ocorra. Não pode ser descrito por
expressões explícitas. Ex.: ruído branco. Formas de onda aleatórias
são chamadas de processos aleatórios ou estocásticos. O estudo de
sinais aleatórios: em termos probabilísticos e através de momentos
estatísticos.
Sinal periódico no tempo: se existe uma constante T0 > 0 tal que
x(t ) = x(t + T0 ), − ∞ < t < ∞ . O menor valor de que satisfaz a essa
condição é o Período.
6
Sinal não periódico no tempo: se não existe uma constante
T0 > 0 tal que x ( t ) = x ( t + T0 ), − ∞. < t < ∞
Sinal analógico: função contínua, definida para qualquer instante de
tempo t.
Sinal discreto: definido somente em alguns instantes de tempo.
Sinais de energia e de potência: em sistemas de comunicação digital a
performance depende, dentre outros fatores, da energia detectada do
sinal, energia esta que depende da potência de transmissão. Nessa
análise, às vezes se torna matematicamente mais viável considerar um
sinal como sendo de potência ou energia...
7
Classificação dos sinais - Sinal de energia e sinal de potência
v 2 (t ) 2
Potência ≡ p(t ) =
= i (t ) R Se R = 1Ω ⇒ p (t ) = v 2 (t ) = i 2 (t ) = x 2 (t )
R
onde x(t) é um sinal de corrente ou tensão
Energia dissipada num intervalo (-T/2, T/2)
Potência média dissipada nesse intervalo
T
E ≡ ∫ T2 x 2 (t ) dt
T
x
1
P ≡
T
T
x
− 2
T
∫
2
−T 2
x 2 (t )dt
8
Sinal de energia: sua energia é finita e diferente de zero
Ex ≡ lim ∫
T
2
T → ∞ −T 2
∞
x (t )dt = ∫ x 2 (t )dt
2
−∞
Sinal de potência : sua potência é finita e diferente de zero
1
Px ≡ lim
T →∞ T
∫
T
2
−T 2
x 2 (t ) dt
Essas classificações são exclusivas: um sinal de energia tem energia
finita e potência média nula. Um sinal de potência tem potência média
finita, mas tem energia infinita. Regra geral: sinais periódicos e
aleatórios são sinais de potência; sinais determinísticos e não
periódicos são sinais de energia
9
Sinal de energia: sua energia é finita e diferente de zero.
Exemplo: pulso retangular
 Px → 0

 Ex ≠ 0 e finita
x( t )
t
Sinal de potência : sua potência é finita e diferente de zero.
Exemplo: sinal aleatório
 Ex → ∞

 Px ≠ 0 e finita
x( t )
t
10
Impulso unitário (ou Delta de Dirac): abstração
matemática. Amplitude tendendo a infinito. Duração
tendendo e zero. Peso (área) igual a 1.
∫
δ( t)
−∞
t
∫
∞
−∞
∞
δ(t ) dt = 1
δ(t ) = 0, t ≠ 0
δ (t ) → ∞ , t = 0
x(t ) δ(t − t0 ) dt = x(t0 ) (sifting ou sampling)
11
Densidade Espectral - Distribuição da energia ou
potência na freqüência
∞
∞
E x = ∫ x (t )dt = ∫ | X ( f ) |2 df (Teorema de Parseval)
2
−∞
−∞
X ( f ) ≡ ℑ{x(t )}
| X ( f ) |2 = ψ x ( f )
e
∞
∞
−∞
0
E x = ∫ ψ x ( f )df = 2 ∫ ψ x ( f )df
ψ x ( f ) ≡ Densidade Espectral de Energia
Ψx(f)
Ex
f
12
Densidade Espectral de Potência para sinais periódicos
1
Px =
T0
T0
∫
−
2
T0
x (t )dt =
2
∞
∑| c
n
|2 (Teorema de Parseval)
n = −∞
2
cn ≡ coeficientes complexos da série de Fourier de x(t )
Gx ( f ) ≡
∞
2
|
c
|
∑ n δ( f − nf 0 ), f 0 =
n =−∞
1
T0
G x ( f ) ≡ Densidade Espectral de Potência
∞
∞
Px = ∫ Gx ( f )df = 2∫ G x ( f )df
−∞
0
G x(f)
f
13
Densidade Espectral de Potência para sinais não periódicos
1
| X T ( f ) |2
T →∞ T
G x ( f ) = lim
Exercício 1 - (a) Encontre a potência média normalizada na forma
de onda x(t) = Acos2πf0t, usando o conceito de média temporal. (b)
Repita a parte (a) utilizando o somatório dos coeficientes espectrais.
Obs.: Tentar fazer sem consultar a resolução na página 16 do livro
texto.
Nota: o apêndice A apresenta uma revisão da análise de Fourier
14
Autocorrelação
Dá a similaridade de um sinal com sua versão atrasada
Para um sinal de energia
∞
Rx (τ) = ∫ x (t ) x (t + τ) dt , − ∞ < τ < ∞
−∞
Rx (τ) = Rx (−τ) ⇒ simetria em τ em relação a τ = 0
Rx (τ) ≤ Rx (0) , ∀ τ ⇒ máximo valor em τ = 0
Rx (τ) = ℑ −1 {ψ x ( f )}
∞
Rx (0) = ∫ x 2 (t )dt ⇒ valor na origem é a energia do sinal
−∞
15
Autocorrelação
Para um sinal de potência
1 T2
1
R x (τ) = lim ∫ T x (t ) x (t + τ) dt =
T →∞ T − 2
T0
∫
T0
2
T
− 02
x (t ) x (t + τ) dt , − ∞ < τ < ∞
Rx (τ) = Rx (−τ) ⇒ simetria em τ em relação a τ = 0
Rx (τ) ≤ Rx (0) , ∀ τ ⇒ máximo valor em τ = 0
Rx (τ) = ℑ −1 {Gx ( f )}
1
Rx (0) =
T0
T0
∫
2
−T0
x 2 (t )dt ⇒ potência média do sinal
2
16
Sinais aleatórios
Variável aleatória: X(A) = relação funcional entre um evento
aleatório A e um número real X. Por simplicidade de notação X(A)
= X = variável aleatória discreta ou contínua (v.a.d. ou v.a.c.).
Exemplos de v.a.d.: jogo de cara ou coroa, jogo de dados.
Exemplos de v.a.c.: altura das pessoas, valor das amostras de
um sinal contínuo.
Nota: abordaremos principalmente os conceitos relacionados a
v.a.c..
17
Sinais aleatórios - Caracterização de uma v.a.
FX ( x) = P ( X ≤ x )
Função de Distribuição
0 ≤ FX ( x ) ≤ 1
FX ( x1 ) ≤ FX ( x2 ) se x1 ≤ x2
FX (−∞) = 0
FX (∞ ) = 1
Função Densidade de Probabilidade (F.D.P.)
p X ( x) =
dFX ( x)
dx
P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) = ∫ p X ( x) dx
x2
x1
p X (x) ≥ 0
∫
∞
−∞
p X ( x) dx = 1
18
Sinais aleatórios - Esperança ou Valor Esperado
Momento de ordem n da distribuição de probabilidade de uma v.a.
{ }= ∫
Ε X
n
∞
−∞
x n p X ( x)dx
E{Xn} = operador Esperança ou Valor Esperado
Média = 1º momento:
∞
m X = Ε{ X } = ∫ x p X ( x)dx
Valor médio quadrático = 2º momento:
−∞
{ }= ∫
Ε X
2
∞
x 2 p X ( x)dx
−∞
19
Sinais aleatórios - Esperança ou Valor Esperado
Momento central de ordem n da distribuição de probabilidade de uma v.a.
{
Ε ( X − mX ) n
}
Variância = 2º momento central - medida da dispersividade de uma
v.a. (“largura da F.D.P.”) = σ2, onde σ é o Desvio Padrão
{
}
∞
Var( X ) = Ε ( X − m X ) = ∫ ( x − m X ) 2 p X ( x)dx
2
−∞
σ 2X = Ε{ X 2 } − Ε 2 { X }
20
Processos aleatórios
X(A,t) = X(t) = função do evento A e o tempo t
X 1(t)
…
Xj (t )
…
Número real, x
Funções amostra
X2(t)
X N( t)
tk
t
N funções “amostra” {Xj(t)} = conjunto de funções.
Para um evento específico Aj, X(Aj,t) = Xj(t).
X(A,tk) é uma v.a. X(tk).
X(Aj,tk) é um simples número.
21
Processos aleatórios - Médias estatísticas
No estudo de comunicações dá-se grande importância à
Média e à Autocorrelação
Média:
∞
Ε{ X (t k )} = ∫ x p X k ( x)dx = m X (tk )
Autocorrelação:
−∞
RX (t1 , t 2 ) = Ε{ X (t1 ) X (t 2 )}
onde X(tk) é a v.a. obtida pela observação do processo aleatório
no instante tk e a F.D.P. de X(tk) é pXk(x).
22
Estacionariedade de Processos Aleatórios
SSS (Strict Sense Stationary) - estacionário no sentido restrito:
processo cujas estatísticas (todas) não são afetadas pelo
deslocamento na origem do tempo ou do tempo de análise.
WSS (Wide Sense Stationary) - estacionário no sentido amplo:
processo cuja média e autocorrelação não são afetadas pelo
deslocamento na origem do tempo ou do tempo de análise.
Estocásticos
 Ε{X (t )} = m X = constante
WSS ⇒ 
 R X (t1 , t 2 ) = RX (t1 − t 2 ) = RX ( τ)
WSS
SSS
Ergóticos
23
Autocorrelação de um processo WSS
Medida da aleatoriedade: a função de autocorrelação nos dá
informação sobre a “magnitude” e a taxa de variação de um processo
aleatório.
R X ( τ) = Ε{X (t ) X (t + τ)}
Rx(τ) mede a correlação entre valores do processo separados de τ.
Rx(τ) dá informação sobre o conteúdo de freqüências do processo.
Se Rx(τ) tem valor baixo => descorrelação (e vice-versa).
Se Rx(τ) cai lentamente com τ => componentes de freqüência mais
baixa (e vice-versa).
RX (τ) = R X (−τ)
{
R X (τ) ≤ RX (0) , ∀ τ
R X (τ) = ℑ−1{GX ( f )}
}
RX (0) = Ε X 2 (t ) = potência média normalizada
24
Média temporal & Ergodicidade
O problema: estimar as médias estatísticas de um p.a. implicaria na observância
de X(tk) em muitas funções amostra!
A solução: estimar as médias estatísticas através das médias temporais, o que
não é possível se essas médias variam com o tempo.
Um processo é
Ergótico na média se:
1
m X = lim
T →∞ T
∫
−T
−T
2
2
X (t ) dt
Um processo é Ergótico na
autocorrelação se:
1
R X ( τ) = lim
T →∞ T
−T
2
−T
2
∫
X (t ) X (t + τ ) dt
O teste da ergodicidade: intuitivo; o processo deve ser SSS; para sistemas de
comunicação basta que seja WSS (basta que média e autocorrelação não variem
com o tempo).
A aplicação: relacionar os momentos de um processo ergótico com parâmetros
elétricos: valor DC, valor rms e potência média.
25
Parâmetros elétricos x Momentos de um p.a.
m X = Ε{X (t )} ⇒ 1º momento = nível DC do sinal
m 2X = Ε 2 {X (t )} ⇒ potência DC normalizad a ( R = 1Ω)
{
Ε {X
}
(t )} ⇒ valor rms normalizad o de tensão ou corrente
Ε X 2 (t ) ⇒ 2º momento = potência total normalizad a
2
σ 2X ⇒ variância = potência AC normalizad a ( R = 1Ω)
Se m X = 0 ⇒ σ 2X = potência total normalizad a
Se m X = 0 ⇒ σ X = valor rms normalizad o de tensão ou corrente
{
}
σ 2X = Ε X 2 (t ) − Ε 2 {X (t )} ⇒ PAC = PTotal − PDC
26
Densidade espectral de potência de um p.a.
1
| X T ( f ) |2
T →∞ T
G X ( f ) = G X (− f ) para X (t ) real
G X ( f ) = ℑ{R X (τ )} = lim
G X ( f ) ≥ 0 e sempre real
∞
PX = ∫ G X ( f )df = potência média normalizad a
−∞
R X(τ)
R X(0) = potência média normalizada
Exemplos:
a) Seqüência
binária aleatória
-T
T
τ
Gx(f)
- 1/T
1/T
2/T
f
RX (τ)
1
b) Seqüência
pseudo aleatória
(periódica)
Gx(f)
1/NT
-NT
-T
T
NT
τ
f
- 1/T
1/T
2/T
27
Ruído em sistemas de comunicação
Tipos: criados pelo homem (por ignição, chaveamento, transientes e outras
emissões eletromagnéticas). Naturais (gerados pelos circuitos, ruídos atmosféricos
e galáticos).
Principal: ruído térmico (ou branco) - gerado pelo movimento aleatório de elétrons
nos componentes dissipativos do circuito.
Caracterização do ruído branco: processo aleatório gaussiano de média nula.
p(x)
p( x ) =
x( t )
t
1
e
σ 2π
 1 x  2 
−   
 2  σ  
-
σ
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Importância da distribuição gaussiana: N processos aleatórios independentes
quaisquer somados formam um processo gaussiano se N → ∞ (teorema do
limite central).
28
Modelo teórico do ruído branco
Densidade espectral de potência bilateral
Gx( f)
N0/2
GX ( f ) =
f
N0
2
Watts
Hertz
Função de autocorrelação
RX( τ)
RX (τ) = ℑ−1{G X ( f )} =
(N0/2)δ(τ )
N0
δ(τ)
2
τ
∞
∞
−∞
−∞
PX = ∫ G X ( f ) df = ∫
N0
df = ∞
2
29
Interpretação do modelo teórico do ruído branco
O ruído branco afeta de forma aditiva os sinais transmitidos através do
canal. Daí o nome Canal AWGN (Additive White Gaussian Channel) ser
muito comum no estudo de sistemas de comunicação. Sendo a função de
autocorrelação R X ( τ) = ( N 0 / 2)δ(τ) , n(t) é totalmente descorrelacionado
de n(t + τ), para qualquer τ diferente de zero, ou seja, o ruído branco afeta
de forma independe cada símbolo enviado através do canal - por essa
razão o canal AWGN é dito sem memória. Um canal com memória é
aquele que afeta de forma correlacionada símbolos adjacentes, podendo
provocar os chamados erros em rajada (erros em burst). Um exemplo de
canal com memória é o canal de rádio móvel, onde desvanecimentos
profundos por multipercursos podem afetar muitos símbolos consecutivos.
30
Transmissão de sinal através de sistemas lineares
Num sistema linear vale o
princípio da superposição
Se x (t ) = x1 (t ) + x2 (t ) + ... + xK (t )
⇒ y (t ) = y1 (t ) + y 2 (t ) + ... + yK (t ).
x (t )
y k (t ) é a resposta a xk (t ) , k = 1...K .
X(f)
Sistema h(t )
Linear H ( f )
y (t )
Y(f )
Se x(t ) = Ax1 (t ) ⇒ y(t ) = Ay1 (t )
Caracterização de um sistema linear
h (t ) = y(t ) quando x(t ) = δ (t )
∞
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(λ)h (t − λ)dλ
−∞
Resposta ao impulso
x(t ) ∗ h (t ) ≡ convolução = h(t ) ∗ x (t )
(Se o sistema é CAUSAL h (t ) = 0 , t < 0
⇒ não há saída antes de uma excitação)
31
Caracterização de um sistema linear
Y( f )
= ℑ{h (t )}
X( f )
H ( f ) é a resposta em freqüência do sistema
Y ( f ) = X ( f )H ( f ) ∴ H ( f ) =
Função de
transferência
em freqüência
ou resposta
em freqüência
Processos
aleatórios
& Sistemas
Lineares
H ( f ) é normalmente complexa : H ( f ) =| H ( f ) | e jθ ( f )
| H ( f ) | é a magnitude da resposta em freqüência
θ( f ) é a fase da resposta em freqüência
Im{H ( f )}
θ( f ) = arctan
Re{H ( f )}
Se a entrada é aleatória a saída também o será.
Densidade espectral de potência GY ( f ) = G X ( f ) | H ( f ) |2
Se x(t ) é gaussiano pode - se provar que y (t ) também o será.
32
Transmissão sem distorção
Aquela onde há apenas um atraso e um fator de escala no sinal recebido em
relação ao transmitido. O sinal recebido deve ter a mesma “forma” do sinal
transmitido:
y (t ) = Kx (t − t 0 ) ⇒ Y ( f ) = KX ( f )e
− j 2 πft 0
Ou seja, a resposta em freqüência do sistema (ou canal) deve possuir
Magnitude constante e desvio de fase linear (desvio proporcional à
freqüência para que todas as componentes cheguem ao mesmo tempo e assim
não alterem a forma do sinal). Na prática basta que |H(f)| seja constante e θ(f)
seja linear numa faixa de interesse correspondente à BW do sinal.
33
Largura de faixa de sinal digitais
Sinal em Banda Base: Sinal não transladado em freqüência, com
componentes em torno da freqüência zero.
|X(f)|
BWBanda Base = f m
-fm
0
fm
f
Sinal Passa Faixa: Sinal transladado em freqüência, com componentes
em torno da freqüência portadora.
|X(f)|
BWPassa Faixa = 2 f m
-f-f
c m
-fc
-f+f
c
m
f-f
c m
fc
f+f
c
m
f
BWPassa Faixa = 2BWBanda Base
34
O dilema da largura de faixa
Não existem sinais (sistemas) estritamente limitados em freqüência, o que
implicaria em durações infinitas do sinais (respostas ao impulso dos
sistemas). Durações finitas implicam em espectros infinitos. Na definição
da largura de faixa (BW) de um sinal (sistema) não há um padrão e sim
várias formas distintas, cada uma com sua conveniência ou aplicação.
Gx(f)
fc- 1 /T
fc
fc+1/T
f
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) 35dB
(e) 50dB
(a) meia potência, (b) equivalente de ruído, (c) nulo a nulo, (d) 99% de potência, (e) por
limitação de nível a 35dB e 50dB
35
As possíveis medidas da largura de faixa
(a) BW de meia potência - BW entre os pontos onde |Gx(f)| cai de 3dB
em relação ao pico.
(b) BW equivalente de ruído - tem como referência a potência
equivalente de ruído no sistema.
Seja uma fonte de ruído com densidade espectral de potênci
N 0 /2 conectada a um filtro passa baixas qualquer com resposta
em freqüência H ( f ).
(1) a potência de ruído na saída desse filtro valerá :
∞
N OUT = ∫ G Y ( f )df =
−∞
∫
∞
−∞
∞
G X ( f ) | H ( f ) |2 df = ∫ N 0 /2 | H ( f ) | 2 df
−∞
∞
N OUT = N 0 ∫ | H ( f ) | 2 df
0
Seja a mesma fonte conectada a um filtro passa baixas ideal
com BW = f u e resposta à freqüência zero igual a H (0).
( 2) a potência de ruído na saída desse filtro valerá :
N OUT = RY (0 ) = N 0 f u H 2 (0) (ver exeplo 1.2, p. 35)
Igualando (1) e (2) resulta em BW
∫
=
∞
0
| H ( f ) |2 df
H 2 (0 )
36
As possíveis medidas da largura de faixa
(c) BW nulo a nulo - BW do lóbulo principal da densidade espectral de
potência. Muito utilizado em comunicações digitais.
(d) BW da fração de potência contida - BW com 99% (tipicamente) da
potência do sinal contida nessa faixa.
(e) BW por limitação de nível - BW entre os pontos onde |Gx(f)| cai de
um determinado valor (tipicamente 3dB (meia potência), 35dB ou 50dB)
em relação ao pico.
(f) BW absoluta - Abstração, pois indica a BW entre os pontos a partir
dos quais o |Gx(f)| = 0.
37
Sistemas em banda base
Informação
Digital
Fonte de
Informação
Informação
Textual
Informação
Analógica
Formatação
Amostrador
Quantizador
Codificador
Dígitos
binários
Codificador de
forma de onda
(modulador)
Transmissor
Formas de
onda dos pulsos
Canal
Formatação
Informação
Analógica
Destino da
Informação
Informação
Textual
Filtro
passa-baixas
Decodificador
Detetor de
forma de onda
Receptor
Informação
Digital
38
A relação mensagem/caracter/bit/símbolo
Numa mensagem textual (seqüência de caracteres alfanuméricos),
cada caracter é inicialmente codificado em uma seqüência de bits
(códigos ASCII, EBCDIC, Baudot, etc). Grupos de k bits são
combinados para formar M = 2k símbolos. Cada símbolo desse
sistema M-ario é então codificado (mapeado) em uma das M formas
de onda para transmissão. Se M = 2k ⇒ k = log 2M.
Exemplo para M = 32
P
E
N
S
E
Codificação de caracteres 000010 101000 011100 110010 101000
Mensagem Textual
(código ASCII, 6 bits)
Símbolos M - ários (M = 32)
Formas de onda M - árias ( M = 32)
1
10
3
19
5
8
S1 (t)
S10(t )
S3(t)
S19(t )
S5(t)
S8(t)
39
Formatação de sinais analógicos
Teorema da amostragem: Um sinal “limitado em freqüência” e
com energia finita, que não possui componentes de freqüência
maiores que fm Hertz, pode ser totalmente descrito em termos
de valores desse sinal (amostras) tomadas a intervalos
regulares não superiores a 1/(2fm). Esse sinal pode ser
completamente recuperado a partir do conhecimento dessas
amostras à taxa não inferior a 2fm amostras/segundo.
40
Amostragem Ideal
Seja x(t) um sinal contínuo no tempo (analógico) e X(f) a sua transformada
X(f)
de Fourier:
x (t )
1
ℑ{.}
→
t
-fm
f
fm
Nota: X(f) é considerada aqui como limitado em freqüência, apesar de na
prática isso não acontecer.
Seja xδ(t) uma seqüência de impulsos unitários e Xδ(f) a sua transformada
de Fourier:
X (f)
xδ (t )
δ
1
t
-2T s -Ts 0 Ts 2T s
xδ (t ) =
∞
∑ δ (t − nT )
s
n = −∞
11/Ts
ℑ{.}
-2f s -fs
1
Xδ( f ) =
Ts
f
0 fs 2fs
∞
∑ δ( f − nf )
n = −∞
s
41
Amostragem Ideal
A seqüência de amostras de x(t) pode ser visualizada assim:
xs (t )
ℑ{.}
…
t
0 Ts 2Ts
xs (t ) = x (t ) xδ (t )
∞
= x(t ) . ∑ δ (t − nTs )
n= ∞
Xs(f )
1 / Ts
− fs
…
-fm
X s( f ) = X ( f )∗ X δ ( f )
1
=
Ts
f
fm
fs
∞
∑ X ( f − nf )
n = −∞
s
Observar que se fs < 2fm há sobreposição das “réplicas” espectrais de
X(f) em Xs(f). Esse fenômeno é chamado ALIASING e a distorção por
ele causada é chamada de ALIASING distortion. Assim a amostragem
deve ser feita a fs ≥ 2fm ∴ fs = 2fm é a chamada Taxa de Nyquist.
42
Amostragem Ideal
Observar que se xs(t) é filtrado com um filtro ideal com corte entre fm e
fS - fm e ganho Ts obtém-se fielmente x(t):
x s (t )
x (t)
Filtro passa baixas ideal
t
0 T s 2T s
…
− fs
X(f)
Xs( f )
1 / Ts
…
-fm
t
Ts
f
fm
-fc
1
fc
“Filtro interpolador”
-fm
fm
f
fs
Na prática, como os sinais não são limitados em freqüência, haverá o
fenômeno do ALIASING, que poderá ser reduzido se antes de ser
amostrado x(t) seja filtrado para reduzir os componentes de freqüência
fora de uma faixa de interesse. Esse filtro é chamado Filtro Antialiasing.
43
Amostragem Real
O Problema: Impossibilidade de geração de impulsos; pulsos muito
estreitos são inadequados ao processo de conversão A/D.
A solução: Trabalhar com pulsos mais largos.
Método mais empregado: amostragem e retenção (Sample & Hold)
Seja xs(t) convoluído com um pulso retangular p(t) de duração Ts e
amplitude unitária:
p (t )
xs (t )
xsh (t )
1
Ts
t
*
Ts
t
=
Ts 2Ts
t
xsh (t ) = xs (t ) ∗ p(t )
44
Amostragem Real
xsh(t) é a representação do sinal contínuo x(t) amostrado com
retenção (também chamado de retenção de ordem zero). Na
prática a implementação da amostragem com retenção segue a
idéia básica do chaveamento seguido da retenção de carga por
um capacitor:
Sample & Hold
x(t )
t
xsh (t )
T s 2Ts
t
1/Ts
45
Amostragem Real
Lembrando que uma convolução é igual o produto das transformadas:
X sh ( f ) = X s ( f ) . P ( f )∴ P ( f ) = ℑ{p(t )}
1
X sh ( f ) = 
 Ts
  sen πfTs

X
(
f
−
nf
)
T
.
exp
(
−
j
π
f
T
2
)
∑
s   s
s

πfTs
n = −∞


∞
1
X sh ( f ) = 
 Ts
  sen πfTs 
∑ X ( f − nf s ) Ts πfT 
n = −∞
s


∞
onde TSsen(πfTS)/πfTS representa uma distorção de amplitude de Xsh(f)
em relação a Xs(f):
1 / Ts
| P( f ) |
TS
| X S( f )|
…
…
x
f
− fs
fs
f
− 1 / TS
1 / TS
| X sh ( f ) |
1
=
f
− fs
fs
46
Amostragem Real
Na prática, para compensar a distorção causada pelo processo de
amostragem e retenção de ordem zero utiliza-se, na reconstrução do
sinal, um filtro com características inversas a P(f), ou seja:
 πfTs
, − fm ≤ f ≤ fm

X ( f ) = X s ( f )P( f )P ' ( f ) = X sh ( f )P ' ( f )∴ P ' ( f ) =  sen πfTs
 0
fora
| P'( f ) |
| X sh ( f ) |
1
| X( f )|
1
=
x
− fs
− fm
fm
fs
f
1
− fm
fm
f
− fm
fm
f
| P' ( f ) |
O formato do filtro P’(f), chamado Filtro
de Reconstrução com Correção (ou
Equalização) do Tipo senx/x, na prática
se assemelha a:
1
fm
f
47
A corrupção do sinal ao longo do sistema de comunicação
Dentre as principais causas destaca-se: ruído de quantização, saturação ou
clipping do quantizador (quando existir), jitter de temporização, ruído do canal e
interferência intersimbólica.
Quantização : Processo através do qual os infinitos valores das amostras de um
sinal são reduzidos a um número finito destes, para posterior codificação.
48
Relação sinal-ruído de quantização
O “ruído” de quantização ocorre devido à diferença entre o valor real da
amostra e seu valor quantizado. O erro máximo de quantização é de
metade do intervalo de quantização: emax = ±q / 2
Supondo uma F.D.P. uniforme para a distribuição do erro de quantização:
p(e )
q2
1
Variância do erro : σ = ∫ e p( e)de = ∫ e
de =
= potência média
q
−q / 2
−q / 2
12
2
e
1/q
q/ 2
2
q/2
2
normalizada do ruído de quantização (não depende da amplitude do sinal).
-q/2
q/2
e
Relação sinal - ruído ( S N ) q : assumindo um sinal de média nula, a variância = potência média = σ 2x .
( S N ) q = 10 log
σ 2x
σ
2
e
= 10 log
{ [(2Vp 2
( S N ) q = 10 log σ 2x
σ 2x
2
( q 12)
)
B +1 2
]}
12 ⇒
, mas q = 2Vp L = 2Vp 2 B +1 , onde B + 1 = nº de bits do A/D.
( S N ) q = 6. 02 B + 10.8 − 20 log(Vp σ x ) dB
49
Relação sinal-ruído de quantização
Observar que a relação (S/N)q aumenta com o aumento de L (aumento de
B). Vp/σx é chamado Fator de Pico (relação entre o valor de pico do sinal e
seu valor rms). Se Vp/σx é baixo, (S/N)q sobe, mas aumenta a probabilidade
de ocorrência de clipping mais severo (que causa maior distorção no sinal)
Se Vp/σx é alto, (S/N)q diminui mas a ocorrência de clipping severo diminui.
Como tanto uma baixa (S/N)q e a ocorrência de clipping são prejudiciais,
deve-se buscar uma solução de compromisso que maximize a qualidade
do sinal a ser quantizado/codificado. Às vezes deve-se permitir um certo
grau de clipping de forma que a relação sinal-ruído não fique muito baixa.
Esse procedimento é tomado quando o Fator de Pico do sinal a ser
quantizado/codificado é alto. Outra dica que o Fator de Pico nos dá se
refere à escolha do tipo de quantização mais adequado, se uniforme ou
não uniforme, como abordado mais adiante.
Exemplo de alguns sinais e seus Fatores de Pico típicos: senóide: Vp/σx =
21/2 ; voz (telefonia): Vp/σx = 5.5 ; alguns sinais de música: Vp/σx = 4.
50
Modulação por Código de Pulso - PCM
Sinal banda-base obtido pela codificação (representação) de cada amostra
quantizada de um sinal em uma palavra digital.
51
Quantização Uniforme e Não Uniforme
Um problema: na quantização uniforme, como os intervalos de
quantização são uniformemente distribuídos ao longo da faixa dinâmica do
quantizador, sinais de menores amplitudes sofrerão maiores efeitos do
erro de quantização, ou seja, a relação sinal-ruído (S/N)q é menor para
sinais de pequena amplitude e maior para sinais de maiores amplitudes.
Um fato: as estatísticas de um sinal de voz revelam que suas magnitudes
são exponencialmente distribuídas, ou seja:
Probabilidade de x ser excedido
1
0.88
Sinais de pequena intensidade
são predominantes (grande
Fator de Pico), o que inviabiliza
a quantização desse sinal (e
similares estatisticamente) de
maneira uniforme.
0.75
0.63
0.5
0.38
0.25
0.13
0
0 0.4 0.8 1.2 1.6
2
2.4 2.8 3.2 3.6
Magnitude em relação ao valor rms (x)
4
52
Quantização Uniforme e Não Uniforme
Uma solução: sinais com elevado fator de pico devem ser quantizados de
maneira não uniforme, com intervalos de quanização menores para as
menores amplitudes e vice-versa. Dessa forma procura-se manter a
relação sinal-ruído de quantização aproximadamente constante em toda a
faixa dinâmica do sinal de entrada do quantizador, pois menores
amplitudes vão ser afetas pelo erro de quantização menos que as maiores.
Uma solução equivalente: amplificar as pequenas amplitudes mais que
as grandes amplitudes - compressão, de forma que mais níveis de
quantização sejam “cortados” por esses sinais menores quando aplicados
a um quantizador uniforme. Em outras palavras, sinais de pequena
amplitude vão poder ser representados por um número maior de níveis de
quantização que os de grande amplitude. Na recuperação do sinal o
processo inverso é realizado - expansão. A compressão e a expansão
formam o que é conhecido como compansão.
53
Leis de compressão
Lei µ: - padrão nos Estados Unidos. Valor padrão µ = 255. Segue a lei e a
correspondente curva de compressão:
1
y = ymax
ln(1 + µ(| x | xmax )
sgn( x)
ln(1 + µ)
 1 para x ≥ 0
sgn( x) = 
− 1 para x < 0
y( 255)
0.8
y max
y( 5 )
0.6
y max
0.4
y( 0.01 )
y max
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
x max
Lei A: - padrão na Europa (e usada no Brasil). Valor padrão A = 87.6
Segue a lei e a correspondente curva de compressão:
1
A(| x | xmax )
|x| 1

y
sgn(
x
)
para
0
<
≤
max

1 + ln( A)
xmax A
y=
1 + ln[ A(| x | xmax )]
1 |x|
 y max
sgn( x ) para <
≤1

1 + ln( A)
A xmax
y( 87.6 )
0.8
y max
y( 5 )
0.6
y max
0.4
y( 1 )
y max
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
x
x max
0.8
1
54
Transmissão em banda-base
Após a codificação, cada bit (ou símbolo) deve ser representado por uma
forma de onda adequada ao meio de transmissão. Na recepção uma
decisão deverá ser tomada (0 ou 1?) em função da energia do pulso
recebido.
Os tipos de forma de onda, às vezes chamados de códigos de linha, mais
comuns estão listados a seguir. Os detalhes e aplicações de cada tipo
mencionado podem ser encontrados nas páginas 79 a 83 do livro texto.
Nonreturn-to-zero (NRZ)
Return-to-zero (RZ)
Códigos por fase
Códigos multinível
55
Exemplos de formas de onda em banda-base
56
A escolha da forma de onda adequada deve levar em conta:
•
Componente DC - elimina-la pode ser interessante, por exemplo para se ter
acoplamento AC e em sistemas com pequena resposta a baixas freqüências,
como meios magnéticos.
•
Sincronismo - quanto mais transições o código tiver, independente da
seqüência a ser codificada, mais fácil recuperar o clock na recepção.
•
Detecção de erros - alguns códigos permitem a detecção de erros sem a
adição de codificação de canal (específica para detectar e corrigir erros).
•
Largura de faixa - quanto maior a taxa atingível em uma determinada largura
de faixa disponível, melhor.
•
Codificação diferencial - permite detecção baseada na observação de
símbolos consecutivos e não no valor absoluto destes (Capítulo 3).
•
Ruído - alguns códigos são mais imunes a ruído que outros.
57
Características
espectrais de
algumas das
formas de onda
em banda-base
58
Detecção de sinais binários sob ruído gaussiano
Sejam os símbolos transmitidos:
O sinal recebido será:
s1 (t )
ou s2 (t )
Σ
AWGN
r (t )
Filtro Linear
h( t )
 s1 (t ) para bit 1, 0 ≤ t ≤ T
si (t ) = 
 s2 (t ) para bit 0, 0 ≤ t ≤ T
r (t ) = si (t ) + n(t ) ∴ n(t ) ≡ AWGN
sî (t )
z (t )
z = ai + n0
Decisão
amostra em t = T
O filtro h(t): um filtro casado ou correlator (ver mais adiante). z: variável de
decisão = amostra de sinal + amostra de ruído. sî (t ) : sinal estimado. n0 é
uma variável aleatória (amostras de um processo aleatório) gaussiana e de
média nula. z: é uma variável aleatória de média a1 ou a2 (dependendo se
s1(t) ou s2(t) foi enviado).
59
Sendo z gaussiana de média a1 ou a2 condicionada ao envio de s1(t) ou
s2(t), as F.D.P. condicionais dessa variável de decisão são:
 ( z − a1 ) 2 
1
p( z | s1 ) =
exp  −
e

2
2σ 
2 πσ

 ( z − a2 ) 2 
1
p ( z | s2 ) =
exp  −

2
2
σ
2 πσ


que são chamadas funções de verossimilhança (likelihood) de s1 ou s2.
p( z | s 2 )
p( z | s1 )
z
a2
γ
a1
60
O próximo passo é a decisão: escolha H1 (hipótese 1 => s1 foi transmitido)
ou H2 (hipótese 2 => s2 foi transmitido) de acordo com o limiar de decisão γ.
H1
z
>
<
γ ∴ se z = γ decida arbitraria mente
H2
Um critério de decisão pode ser aquele que minimize a probabilidade de
erro, ou seja:
decida por s i se Pr( si ter sido enviado | z ) > Pr(s k ter sido enviado | z )
para k ≠ i. Esse é o chamado CRITÉRIO MAP (Maximum - a - posteriori).
Há a necessidade do receptor conhecer Pr( si ) - probabilid ades a - priori.
61
O critério MAP pode ser assim escrito:
H1
Pr(s1 | z)
>
<
Pr(s2 | z ) ∴ se iguais decida arbitraria mente
H2
Usando o Teorema de Bayes pode-se escrever:
Pr(s1 | z) = p ( z | s1 ) Pr(s1 ) e Pr(s2 | z ) = p ( z | s2 ) Pr( s2 )
H1
⇒
p ( z | s1 ) > Pr(s2 )
onde Pr( s1 ) e Pr(s2 ) são as probabilid ades a - priori
p ( z | s2 ) < Pr(s1 )
H2
62
Então, para sinais igualmente prováveis de
(uniformemente distribuídos) o critério MAP se reduz a:
serem
enviados
decida por s1 se p ( z | s1 ) > p ( z | s 2 ) e por s 2 se p ( z | s 2 ) > p ( z | s1 );
decida arbitraria mente se p ( z | s1 ) = p ( z | s1 ).
e tem-se o limiar de decisão centralizado em relação às médias das F.D.P,
ou seja γ = (a1+a2)/2. Esse critério é chamado CRITÉRIO ML (Maximum
Likelihood) ou critério de Máxima Verossimilhança.
Por exemplo, se a1= -a2 (sinalização antipodal) => γ = 0 e a decisão é feita
em favor de s1 se z > 0 ou s2 se z < 0.
Nota: estudar apêndice B do livro texto para mais detalhes sobre essa
teoria.
63
Probabilidade de erro de bit: soma de todas as probabilidades que levam
à condição de erro.
γ
∞
−∞
γ
PB = Pr(erro | s1 ) Pr(s1 ) + Pr(erro | s2 ) Pr( s 2 ) = ∫ p ( z | s1 )dz Pr(s1 ) + ∫ p ( z | s 2 )dz Pr(s 2 )
Se Pr( s1 ) = Pr(s 2 ) = 1 2 e devido à simetria da F.D.P gaussiana :
PB = Pr(erro | s1 )1 2 + Pr(erro | s 2 ) 1 2 = Pr(erro | s1 ) ou Pr(erro | s 2 ) = ∫
∞
γ=
a1 + a 2
2
p ( z | s 2 ) dz
Essa integral não tem solução analítica fechada e é calculada
numericamente através da Função Erro Complementar Q(x) ou de uma
função equivalente. Essa função, para vários valores do argumento, é
apresentada através de tabelas ou gráficos, muitas vezes denominados
Função de Probabilidade Gaussiana (ver Apêndice B do livro texto).
a −a 
PB = Q  1 2 
 2σ 0 
64
O Filtro Casado & o Correlator
Objetivo: implementar no receptor um filtro linear que forneça em sua
saída a máxima relação sinal-ruído (ver Fig. 2.24, p.83 do livro texto) e
assim colabore para que a probabilidade de erro de bit seja minimizada.
O Filtro Casado: tem a resposta ao impulso
 Ks (T − t ) , 0 ≤ t ≤ T
h(t ) = 
0 , em caso contrário
ou seja, a resposta ao impulso é a imagem espelhada do pulso de
transmissão, deslocada de um intervalo de símbolo T (ver desenvolvimento
no item 2.9.2., p. 88 do livro texto).
O Correlator: também maximiza a relação sinal-ruído em sua saída e é,
portanto, equivalente ao filtro casado. Com ele tem-se o cálculo da
correlação entre o sinal recebido r(t) e o sinal igual à forma de onda do
sinal transmitido s(t), no intervalo de símbolo correspondente:
z=∫
t +T
t
r (t ) s(t )dt
65
Aplicação do Filtro Casado e do Correlator
Vimos que o limiar ótimo de decisão é γ = (a1 + a2)/2 e que a probabilidade
de erro de bit é PB = Q[(a1 - a2)/2σ0]. O filtro do receptor também deve ser
escolhido para minimizar a PB , ou seja, maximizar (a1 - a2)/2σ0 ou,
equivalentemente, maximizar (a1 - a2)2/σ02. Sabemos que a 1 - a2 é a
diferença entre as componentes de sinal na saída do filtro e, portanto, (a1 a2)2 é a potência instantânea dessa diferença.
Se h(t) é casado com s1(t) - s2(t) , a relação sinal-ruído instantânea (no
instante T) vale: (S/N)T = (a1 - a2)2/σ02 = 2Ed/N0 (pode-se provar), onde Ed é a
energia da diferença entre as componentes de sinal na entrada do filtro e
N0 /2 é a densidade espectral de potência de ruído.
Assim a probabilidade de erro de bit PB =
Q[(a1 - a2)/2σ0] dependerá da potência de
ruído e da diferença de energia entre os
sinais recebidos:
 Ed 

PB = Q

 2N 0 
66
Exemplo de aplicação do Filtro Casado ou do Correlator
si( t)
si (t ) = A ⇒ 1
Sinal unipolar:
t
si (t ) = 0 ⇒ 0
Integrate & Dump
r (t )
O correlator:
X
s (t ) = s1( t ) − s 2 (t ) = A
T
∫
T
0
(⋅)dt
Slicer
z (t )
γ
z
Taxa 1 / T
sî (t )
Decisão
{
T
z = ∫ r (t ) s(t )dt ∴para r (t ) = s1 (t ) + n (t ) ⇒ Ε{z} = a1 = Ε ∫ [ A + n(t )] Adt
0
=A

PB = Q 

0
}
a1 + a 2 A 2T
T , pois Ε{n(t )} = 0. Para r (t ) = s2 (t ) + n(t ) ⇒ a 2 = 0 ⇒ γ =
=
.
2
2
 A2T 
 Eb 
Ed 
A2T + 0 A2T
=
 = Q
 = Q
 ∴ Eb = energia média por bit =
2N 0 
2
N
N
2
2

0 
0 


2
67
s i(t)
Sinal bipolar (antipodal):
X
r (t )
O correlator:
si (t ) = A ⇒ 1
t
∫
T
0
(⋅)dt
s1 (t ) = A
s 2 (t) = − A
X
z1 (t )
Σ
∫
T
0
si (t ) = − A ⇒ 0
(⋅) dt
z 2 (t )
z (t )
z
γ
sî (t )
Taxa 1 / T
Se s1 (t ) = − s2 (t ) ⇒ γ = 0 . Para s1 (t ) = A e s2 (t ) = − A ⇒ Ed = ( 2 A) 2 T e
 2 A 2T
 Ed 
A2T + [( − A) 2 T ]
2
Eb =
= A T ⇒ PB = Q 
 = Q
2
 N 0
 2 N0 

 2 Eb 
=
Q



N

0 

68
1
PROBABILIDADE DE ERRO DE BIT
Comparação entre o
desempenho em termos
de taxa de erro de bit
entre as sinalizações em
banda-base unipolar e
bipolar. Note um fator de
2 (3dB) de superioridade
da sinalização antipodal
em relação à sinalização
unipolar,
conforme
previsto nas respectivas
expressões
para
a
probabilidade de erro PB.
0.1
0.01
1 10
1 10
1 10
1 10
1 10
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
10log(Eb/No)
Sinalização Antipodal
Sinalização Unipolar
69
Transmissão Multinível em banda-base
Objetivo: reduzir a BW (largura de faixa) do sinal transmitido ou aumentar a
taxa de bits em uma determinada BW.
Solução: transmitir mais de dois símbolos (M > 2) e assim ter cada símbolo
transportando k = log2M bits.
O problema: o receptor terá mais dificuldade de distinguir um número maior
de níveis (símbolos).
O preço pago: para a mesma performance da sinalização binária, a
sinalização multinível necessita maior potência de transmissão, o que implica
em maior energia da diferença entre os vários símbolos. Na sinalização binária
tem-se a possibilidade de uma potência de transmissão menor, mas para uma
dada taxa de bits é necessária uma maior BW que a sinalização multinível.
Como resolver o impasse: solução de compromisso, que leva em conta se o
sistema é limitado em potência ou em largura de faixa.
70
Interferência Intersimbólica
Definição: sobreposição de pulsos vizinhos no lado da recepção, no momento
da decisão. Essa sobreposição faz com que pulsos diferentes daquele que se
está pretendendo estimar influam na variável de decisão e assim causem
erros no processo de estimação do sinal transmitido.
Principal causa: dispersão temporal (alargamento dos pulsos) causada pelo
canal de comunicação por limitação em freqüência e/ou diferentes tempos de
propagação para as componentes de freqüência do sinal..
Diagrama de Olho
Diagrama de Olho
1.5
1.5
1.0
1.0
.5
.5
0
0
-.5
-.5
-1.0
-1.0
-1.5
-1.5
0
.02
.04
.06
.08
.1
Time (sec)
.12
.14
.16
.18
.2
0
.02
.04
.06
.08
.1
Time (sec)
.12
.14
.16
.18
.2
71
Diagrama de Olho: representação gráfica que permite a visualização da
interferência intersimbólica e de aspectos relativos ao jitter ou desvios de fase
do sinal. Corresponde à sobreposição de símbolos consecutivos em um
gráfico. Um diagrama de olho “fechado” no sentido vertical sinaliza a
existência de interferência intersimbólica e dá informação sobre a margem de
ruído suportada pelo sistema. Quando fechado no sentido horizontal pode
sinalizar também a existência de jitter ou desvio de fase. Esse jitter ou desvio
de fase impõe restrições quanto ao instante ideal de amostragem do sinal.
Mais preciso deve ser o instante de amostragem se o fechamento do olho em
relação ao instante ideal de amostragem é mais acentuado.
Diagrama de Olho
Diagrama de Olho
1.50
1.50
1.25
1.25
1.00
1.00
.75
.75
.50
.50
.25
.25
0
0
-.25
-.25
-.50
0
.02
.04
.06
.08
.1
Time (sec)
.12
.14
.16
.18
.2
-.50
0
.02
.04
.06
.08
.1
Time (sec)
.12
.14
.16
.18
.2
72
Critério de Nyquist para IIS nula: em 1928, Nyquist demonstrou que para
não haver interferência intersimbólica a resposta ao impulso conjunta do filtro
de transmissão, canal e filtro de recepção deveria ser nula em todo instante
múltiplo inteiro do inverso da taxa de sinalização RS . Nyquist ainda
demonstrou que a mínima largura de banda que atende a esse critério é RS/2,
ou seja, para que não haja IIS, a mínima largura de banda teórica que um
sinal à taxa RS símbolos por segundo pode ocupar é RS/2 Hertz. Essa situação
significa a se ter o conjunto filtro Tx, canal e filtro Rx com resposta igual à de
um filtro ideal com corte em RS/2 Hertz, ou seja:
h (t ) = ht (t ) ∗ hc (t ) ∗ hr (t )
H ( f ) = Ht ( f ) Hc ( f ) H r ( f )
1
Ts
ℑ−1{⋅}
…
−
1
R
=− s
2Ts
2
1
R
= s
2Ts 2
…
− 2Ts − Ts
Ts
2Ts
ht (t ), hc (t ) e hr (t ) são as respostas ao impulso do filtro de transmiss ão, canal e filtro de recepção,
respectiva mente e h (t ) é a resposta ao impulso conjunta.
73
Largura de faixa mínima de Nyquist: é justamente a mínima largura de
banda que atende ao critério de IIS nula, correspondente a RS/2 e que, por se
basear em uma resposta em freqüência igual à de um filtro ideal, não pode ser
alcançada na prática.
A figura a seguir ilustra uma sucessão de pulsos com taxa RS e limitados em
freqüência em RS/2, correspondente à seqüência de símbolos 11-11. Verificase que, apesar de terem grandes durações (teoricamente infinitas) estes
pulsos não se interferem nos instantes ótimos de amostragem.
1
1
1
…
…
− 2Ts − Ts
0
Ts
2Ts
-1
74
Resposta em freqüência com simetria vestigial: a resposta ideal e, dessa
forma, os pulsos do tipo senx/x não são realizáveis. Deve-se aumentar a
largura de faixa além da mínima prevista por Nyquist e pode-se provar que
toda resposta em freqüência que possui simetria vestigial em torno de RS/2
satisfaz ao critério de Nyquist para IIS nula. Muitos desse espectros levam a
formatos de pulsos realizáveis.
O espectro Cosseno Elevado: é uma das respostas em freqüência com
simetria vestigial em torno de RS/2. A transformada inversa de Fourier desse
espectro é chamada Pulso Cosseno Elevado (Raised Cosine) e esse tipo de
formato de pulso é largamente utilizado na prática.
 1, | f | < 2W0 − W

 π | f | +W − 2W0 
, 2W0 − W < | f | < W
H ( f ) = cos2 
4
W
−
W

0



0, | f | > W
onde W é a largura de faixa absoluta e W0 = 1 2Ts = Rs 2 é a largura de faixa mínima de Nyquist.
A diferença (W − W0 ) é chamada de largura de faixa de excesso e r = (W − W0 ) W0 é o Fator de Roll-off .
0 ≤ r ≤ 1 ⇒ se r = 0 a largura de faixa absoluta W = W0 e se r = 1 a largura de faixa absoluta W = 2W0 .
75
O espectro & o pulso Cosseno Elevado: a figura abaixo ilustra a simetria
vestigial do espectro cosseno elevado e o seu formato para alguns valores do fator
de roll-off r. O pulso cosseno elevado também é mostrado para alguns valores de
roll-off. Pode-se verificar o excesso de largura de faixa em relação à largura de
faixa mínima de Nyquist com o aumento de r e a inexistência de interferência
intersimbólica proporcionada pelos pulsos cosseno elevado, pois os mesmos têm
valor nulo em múltiplos inteiros do intervalo de sinalização. Na prática, se o canal
de comunicação tem resposta plana dentro da faixa ocupada pelo sinal, para que
h(t) corresponda ao pulso cosseno elevado, os filtros de transmissão e recepção
devem ter como resposta em freqüência a raiz quadrada do espectro cosseno
elevado. Essas respostas desses filtros são conhecidas como Raiz de Cosseno
Elevado (Root Raised Cosine).
h ( t ) = ht ( t ) ∗ hc (t ) ∗ hr (t )
H ( f ) = Ht ( f ) H c ( f ) H r ( f )
Ts
r=0
1
r = 0. 5
r =1
− Rs
−
Rs
2
Rs
2
Rs
r =0
r = 0.5
r =1
ℑ−1{⋅}
…
− 2Ts − Ts
Ts
…
2Ts
76
O pulso raiz de cosseno elevado x diagrama de olho: a figura abaixo ilustra
a o diagrama de olho para uma seqüência de símbolos bipolares aleatórios
com formato raiz de cosseno elevado para dois valores do fator de roll-off.
Eye Diagram
Eye Diagram
1.50
1.50
1.25
1.25
1.00
1.00
.75
.75
.50
.50
.25
.25
0
0
-.25
-.25
-.50
-.50
0
.02
.04
.06
.08
.1
.12
.14
.16
Time (sec)
Fator de Roll − off = 0
.18
.2
0
.02
.04
.06
.08
.1
.12
.14
.16
.18
.2
Time (sec)
Fator de Roll − off = 1
Observa-se que, apesar de ocupar uma largura de faixa maior, uma seqüência
de pulsos com maior fator de roll-off permite um maior desvio nos instantes de
amostragem no receptor que aquela com menor fator de roll-off .
77
Interferência Intersimbólica x Equalização
A interferência intersimbólica, se analisada no domínio da freqüência, pode ser
percebida pela atenuação de certas componentes de freqüência do sinal (que
faz com que os pulsos recebidos tenham maior duração que os transmitidos)
ou pelo comportamento de fase não linear do canal (que faz com que as
componentes de freqüência do sinal não tenham o mesmo tempo de
propagação e também causem um espalhamento temporal dos pulsos).
O Equalizador é o elemento que tem por função compensar essas distorções
de amplitude e/ou fase do sinal e, assim, reduzir tanto quanto possível o nível
de IIS.
Os equalizadores podem ser fixos ou adaptativos. No caso dos fixos sua
curva de resposta em freqüência (magnitude e fase) é fixa. No grupo dos
equalizadores adaptativos se encaixam os que ajustam sua curva de resposta
em freqüência ao canal no início e em pausas de uma transmissão, através
das chamadas seqüências de treinamento. Outros equalizadores adaptativos
usam a seqüência de treinamento no início da transmissão e ao longo desta
se adaptam continuamente às variações do canal.
78
Sinalização de Resposta Parcial
Definição: sinalização multinível que tem por objetivo tornar realizável a
transmissão de um sinal à taxa de RS símbolos por segundo em uma banda de
RS/2 Hertz. De forma mais genérica, essa sinalização necessita 1/(1 + r) da
banda necessária à uma sinalização binária - r é o roll-off do filtro. Outros
nomes afins: Sinalização Duobinária, Sinalização Polibinária e Codificação
Correlativa.
A implementação: através de introdução de interferência intersimbólica
controlada. O sinal digital, antes de transmitido, é pré-codificado
diferencialmente e posteriormente filtrado por um Filtro Cosseno (Cosine
Filter). Na recepção, por ser determinística, toda interferência intersimbólica
introduzida no transmissor é retirada através de adequada regra de
decodificação.
O preço a pagar: por se tratar de uma sinalização multinível, é sabido que a
performance será inferior à de uma sinalização binária, pois, como já citado,
ter-se-á um número maior de níveis a detectar (para um desempenho
eqüivalente a relação sinal-ruído deverá ser acrescida de cerca de 2.5 dB).
79
Sinalização de Resposta Parcial - Modelo
Filtro ideal
Filtro digital
{xk }
XOR
wk ∈ {± 1}
∈ {0,1}
Σ
−
wk −1 ∈ {0,1}
Atraso T
segundos
1
2T
1
2T
Σ
f
Ruído
AWGN
wk −1 ∈ {± 1}
{x̂k }
{ŷk }
Canal
T
yk
Decodificador
t = kT
Amostrador
{ }
Exemplo : x k = 0 0 1 0 1 1 0
Seqüência precodific ada : wk = x k ⊕ wk −1 = 0 0 1 1 0 1 1
{ }
Seqüência bipolar : w k = − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1
Regra de codificação : yk = wk + wk −1 = −2 0 + 2 0 0 + 2
Regra de decodificação :
Se yˆ k = ±2, decida por xˆ k = binário zero;
Se yˆ k = 0, decida por xˆ k = binário um.
{ }
Seqüência decodificada : xˆ k = 0 1
0 1 1 0
Nota: os pulsos xk
e wk têm duração
muito pequena e
amplitude A, tal
que, por exemplo,
xk = Aδ(t - kT). 80
Sinalização de Resposta Parcial - Implementação
A função de transferência equivalente He( f ), do Filtro digital H1( f ) em cascata
com o Filtro ideal H2( f ) vale He ( f ) = H1( f )H2( f ):
he (t )
4π
1
H e ( f ) = H1 ( f ) H 2 ( f ) = (1 + e − j 2 πfT )T , f < 1 2T e 0 fora
H e ( f ) = T ( e jπfT + e − jπfT )e − jπfT = 2T (e jπfT + e − jπfT 2)e − jπfT
sinc [(t − T )/ T ]
sinc (t / T )
…
⇒ H e ( f ) = 2T cos πfT , f < 1 2T e 0 fora
…
t
-T
T
2T
H e ( f ) é chamado Filtro Cosseno e he (t ) = sinc(t / T ) + sinc[(t − T ) / T ]
Filtro Cosseno
{x k }
XOR
wk ∈ {± 1}
∈ {0,1}
wk −1 ∈ {0,1}
He ( f )
−
Atraso T
segundos
1
2T
Canal
2T
1
2T
f
Σ
Ruído
AWGN
{x̂k }
{ŷ k }
t = kT
Decodificador
Amostrador
81
Sinalização de Resposta Parcial - Implementação
Comparando a sinalização dada como exemplo (Sinalização Duobinária)
com a Sinalização Binária, pode-se destacar os pontos principais:
•
A técnica Duobinária introduz correlação entre as amplitudes de pulsos
equivalentes; na sinalização Binária tais amplitudes são independentes.
•
Há introdução de interferência intersimbólica controlada; essa
interferência afeta somente um pulso vizinho (ver resposta ao impulso do
filtro cosseno) e pode ser extraída na recepção, durante o processo de
decodificação.
•
Como já mencionado, o preço a ser pago pela possibilidade de
transmissão de um sinal à taxa de RS símbolos por segundo em uma
banda de RS/2 Hertz é a necessidade de aumento na potência de
transmissão devido ao aumento do número de níveis a serem detectados.
Uma sinalização M-ária qualquer, quando convertida na sinalização
Polibinária resulta em (2M - 1) níveis.
82
Objetivo revisitado
Proporcionar aos participantes uma abordagem dos
conceitos previstos pelo conteúdo do curso de forma
que essa abordagem resulte na formação de sólida
base para o estudo das comunicações digitais.
ESPERO QUE ESSE OBJETIVO TENHA SIDO ALCANÇADO.
Obrigado e um abraço a todos !!!!
DAYANI - [email protected]
83

X - sistele7

Transcrição

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