da matemática babilônica à matemática escolar

DA MATEMÁTICA BABILÔNICA À MATEMÁTICA ESCOLAR
José Damião Souza de Oliveira
Maria Isabel da Costa Pereira
Eixo temático: Etnomatemática e as relações entre tendências em educação matemática
Resumo: Este artigo visa mostrar um estudo realizado por bolsista e ex-bolsista do
PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) da UFRN, a partir de
estudos e discussões realizadas em uma disciplina ofertada pelo PPGECNM (Programa
de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática), a qual estávamos
matriculados como aluno especial e/ou ouvinte. Focamos neste trabalho parte da obra de
Manuel Campos de Almeida intitulada Origens da matemática, sendo este um dos livros
abordados nesta disciplina, o qual trata da Matemática produzida e praticada pelos
Babilônicos. Para tanto, buscamos traçar um paralelo da visibilidade da matemática
babilônica e a matemática escolar, através do ensino da história da matemática, para que
possamos produzir um material voltado ao ensino desta disciplina, a qual faça uso de
metodologias de ensino que possam propiciar aos alunos uma aprendizagem
significativa.
Palavras chave: Matemática babilônica; Contabilidade arcaica; Matemática escolar.
INTRODUÇÃO
O presente trabalho tem como objetivo lançar mão da história da matemática
em particular de parte da história da matemática babilônica ou Etnomatemática
babilônica, fazendo uma ligação da história da matemática deste povo, com o que
conhecemos por Etnomatemática, mostrando a relação dos métodos de contagem
utilizados pelos povos da Mesopotâmia com a matemática escolar. De fato, desde o
início das civilizações o homem está em decorrente processo de assimilação e
acomodação, no qual sempre busca instrumentos e técnicas que facilitem sua vida.
Nesta perspectiva, Ubiratan D’Ambrosio vislumbra o programa Etnomatemática
dividido em três aspectos:
Etno: É hoje algo muito amplo, referente ao contexto cultural e,
portanto inclui considerações como linguagem, jargão, códigos de
comportamento, mitos e símbolos; Matema: É uma raiz difícil, que vai
à direção de explicar, conhecer, entender; Tica: Vem sem dúvidas de
Tchne, que é a mesma raiz de arte ou técnica de explicar, de conhecer,
de entender os diversos contextos culturais.
(D’AMBRÓSIO, 1990, p.5)
Dentro desta perspectiva estaremos abordando parte da matemática
desenvolvida pelos babilônicos, para que possamos fazer um estudo de seus
instrumentos e mecanismos de contagem, de modo a desenvolver um material voltado
para o ensino da matemática usando como suporte a história de como a matemática foi
produzida pela civilização babilônica utilizar.
REFERENCIAL TEÓRICO
O referido trabalho traz em seu corpo um pouco da história da humanidade,
mostrando a presença da Etnomatemática como um programa novo, mas que esteve
presente na vida dos nossos antepassados e que continua coevo em nossas vidas.
Ubiratan D’Ambrosio (2001) nos traz um exemplo muito interessante de como surge a
Etnomatemática no momento em que ressalta o ato de um australopitesco ao escolher e
lascar um pedaço de pedra, com o objetivo de descarnar um osso, destacando que,
naquele instante, sua mente matemática se revelou. Com isso mostraremos as relações
existentes deste programa com a matemática escolar e a matemática de nosso dia-a-dia,
bem como a que nossos antepassados utilizavam em seu cotidiano, revelando o vínculo
existente entre a história da Matemática e o ensino da matemática.
Realmente, o programa Etnomatemática atenta para as conexões da Educação
Matemática com o mundo social mais amplo, através das diferentes ideias e práticas
desenvolvidas por diversas culturas. Neste sentido (SOUSA; PEREIRA, 2010),
apresentam o contexto, aplicações e atividades desenvolvidas por pesquisadores de
Etnomatemática refletindo sobre a história e uso do Programa Etnomatemática, com a
finalidade de vincular a história da Matemática com o Programa Etnomatemática
elucidando sua existência, objetivos e contribuições para o ensino de Matemática bem
como atividades que envolvam a matemática babilônica e os conteúdos da matemática
escolar.
Para tal abordagem, conforme posto, utilizaremos como texto base para os
estudos realizados da matemática babilônica a obra de Manoel de Campos Almeida
(2011) intitulada por: ORIGENS DA MATEMÁTICA a pré-história da matemática o
neolítico e o alvorecer da história, o qual nos mostra o desenvolvimento da matemática
babilônica.
Podemos observar os estudos realizados por Almeida (2011) sobre os signos
arcaicos nos tabletes dos sítios arqueológicos de Uruk. Nos quais ele mostra que nos
textos proto-literatos encontrados nestes sítios, foram identificados aproximadamente
1200 sinais, dos quais cerca de 60 são signos numéricos. Alguns desses signos foram
identificados em textos administrativos e talvez por esse motivo tenham sobrevividos
por vários séculos sem sofrerem grandes alterações.
METODOLOGIA
Para a produção deste trabalho foi realizado um estudo teórico de parte do
desenvolvimento da matemática babilônica, onde toma-se como base o livro Origens da
matemática Almeida (2011), obra esta que trás um belo estudo das produções
matemáticas desta civilização. A fim de criar atividades de ensino tomando como
suporte a história da matemática, realizaremos um estudo do desenvolvimento dos
sistemas de contagens babilônicos, bem como da cultura deste povo. Após este estudo
lançaremos mão das atividades das escolas de escribas, assim como de alguns
problemas encontrados em tabletes estudados por pesquisadores, os quais estão
detalhados na obra citada anteriormente.
Os principais tópicos a serem discutidos a seguir são: Simbologia arcaica
numérica; O estudo dos sistemas metro-numéricos cuneiformes tradicionais; e Notação
posicional e tabletes administrativos. Após a realização deste estudo e de uma análise de
como iremos construir tais atividades, traremos os primeiros ensaios das propostas de
atividades para o ensino da matemática onde teremos as produções matemáticas da
civilização babilônica como um suporte didático.
As atividades serão modeladas de modo que após o levantamento das mesmas,
inspirados em fontes originais como a de Almeida (2011), bem como de outros textos a
serem estudados e analisados, estudando as atividades, ajustando de modo que tornemse compreensivas pelos alunos, onde a aplicação ocorrerá com o debate e/ou discussão
do professor com os alunos, para que as possíveis lacunas que os alunos venham a
apresentar sejam sanadas pelo professor.
Simbologia arcaica numérica
Antigamente nossos antepassados utilizavam símbolos para os números 1, 10,
60 e 600 que são os mais encontrados nos textos e devido a isso foram facilmente
traduzidos. Contudo, em alguns casos os cálculos dispostos nos tabletes não
concordavam com os valores dos sinais, fato este interpretado inicialmente pelos
pesquisadores como supostos erros cometidos pelos escribas ou inabilidade de escribas
aprendizes. Além disso, alguns signos possuíam mais de um significado, que variava
conforme a natureza das coisas que estivessem sendo contabilizadas. Daí, os constantes
erros e confusões cometidos pelos escribas.
Entre as principais contribuições arqueológicas para a compreensão dos
sistemas metro-numéricos arcaicos, no ano de 1936, foram identificados a partir de
textos proto-literato de Uruk, três tipos de signos numéricos, a saber: um sistema
sexagesimal, um sistema decimal e um sistema de frações. Em meados da década de
70, foram realizadas novas investigações no sítio arqueológico de Uruk e contrariando
interpretações de pesquisas realizadas anteriormente, foi observado que os signos
numéricos não pertenciam apenas a três sistemas, mais a uma variedade de sistemas
numéricos e ainda, que o sistema decimal não existia.
Utilizando pioneiramente recursos computacionais para analisar os sinais
numéricos contidos em 6500 tabletes encontrados em Uruk, identificaram cerca de 13
sistemas metro-numéricos, sendo que 10 dos símbolos da figura 1, não estão associados
aos sistemas identificados. Foi denominado de metro-matemático alguns textos protoliteratos de Uruk, assim como identificado algumas regras dos sistemas numéricos e de
medidas, que expõe alguns dos sistemas metro-numéricos arcaicos, bem como indica a
utilização de cada um dos sistemas, pois alguns destes eram empregados em situações
especificas do cotidiano dos povos arcaicos.
Figura 1— signos arcaicos para números
Fonte: Almeida (2011)
Nos estudos dos sistemas metrológicos, temos como base trabalhos sobre
textos cuneiformes sumerianos que identificam os signos numéricos, as notações de
unidades numéricas e de medidas contidas nos textos proto-cuneiformes, os quais
continham dois sistemas numéricos, os números sexagesimais e os números de área. As
notações dos números de área são em sua essência as mesmas dos textos proto-literatos
sumerianos de períodos posteriores, com os resultados dessas pesquisas podemos
conjecturar que o sistema de numeração sexagesimal é tão antigo quanto os textos
proto-cuneiformes de Uruk IV, os mais antigos registros de notação de números de área
são de Uruk III.
Segundo Almeida (2011) ao discutir sobre os atuais sistemas de numeração,
nosso sistema decimal não é capaz de dar conta de todas as necessidades, talvez devido
a sua pequena quantidade de submúltiplos, deixando espaço para utilização dos
números sexagesimais e outras. Podemos observar ainda que do quarto milênio a.C até
2000 a.C já existia um sistema de medidas bem estruturado, o que nos leva a pensar que
antes do quarto milênio a.C o sistema já estava se estruturando. Dentro do sistema
sexagesimal estava presente o sistema decimal, de fato, bem como um pouco sobre a
evolução do sistema sexagesimal sumeriano, pois inicialmente não era posicional e não
dispunha de um símbolo para o zero, que só veio a ser criado por volta de 300 a.C.
Mesmo assim, o símbolo para o zero não estava presente em textos matemáticos, apenas
em textos astronômicos.
O estudo dos sistemas metro-numéricos cuneiformes tradicionais
Sistema
Tabela 1. Sistemas metro-numéricos cuneiformes tradicionais
Nome do Sistema
Empregado para contar:
S
Números sexagesimais para contagem
Pessoas e objetos
C
Números de capacidade
Medir quantidades de
cereais, etc.
M
Número de peso (ou metal)
Medir quantidades de prata,
etc.
A
Número de área
Medir áreas de campo, etc.
L
Número de comprimento
Medir comprimento de
linhas retas ou curvas.
Fonte: Almeida (2011)
A respeito do sistema sexagesimal S, é encontrado desde o proto-literato,
passando pelo sumeriano e proto-acadiano, babilônico antigo chegando até ao sistema
de frações babilônicas antigas. As ideias do sistema sexagesimal posicional babilônico
são desde o período dos proto-literatos, e neste período já se usava o mesmo símbolo
para 1 e 60. Vimos que os textos proto-literatos são datados por volta do quarto milênio
antes de nossa era, o que nos leva a pensar em que momento foi usado o sistema
sexagesimal pela primeira vez. Outro sistema mais antigo e também discutido por
Almeida (2011) é o sistema de números-tokens que se apresenta como um dos primeiros
sistemas de numeração empregado possivelmente em transações comerciais, mostrando
que o sistema de números-tokens tem estreitas relações com o sistema sexagesimal.
O sistema de números de capacidade Š, é um sistema proto-cuneiforme. Este
sistema era utilizado para medir quantidades de grãos, como cereais e outros produtos
agrícolas. Ao que tudo indica, este sistema tem sua origem no sistema de númerostokens. Alguns tokens eram representados por: cilindros altos, bolas grandes, bolas
pequenas, discos e discos pequenos. Com o surgimento da escrita cuneiforme, os tokens
foram substituídos por símbolos para o sistema de capacidade babilônico antigo, esse
sistema era usado para determinar a forma de pagamento dos trabalhadores.
O sistema proto-cuneiforme para número de peso era definido como sistema E,
é formado por duas partes: uma superior – usada para pesar quantidades de prata, sendo
a unidade básica N1, a outra a inferior – que tinha como finalidade medir quantidades de
ouro, sendo a unidade N7 (ver figura 1). Com a existência deste sistema de peso,
podemos imaginar a existência de um mecanismo que seria utilizado para realizar suas
medidas, porém não se tem registros da existência de tal instrumento. As primeiras
evidências da existência de uma balança foram encontradas em registros administrativos
datados de 2700 a.C. Os conceitos matemáticos de peso e medida são necessários para a
criação da balança, os mecanismos de medida para volume são derivados de objetos
utilizados para o armazenamento como vasos e tigelas.
No final do período proto-literato o sistema E passou a ser substituído pelo
sistema M, onde todos os números eram múltiplos ou frações de grão de cevada. O
sistema de números de área G, não sofreu muitas alterações com a introdução do
sistema S, os números de área são acompanhados de índices que indicam serem
elementos de área.
O sistema de números de comprimento do período acadiano antigo, tinha como
unidade básica o cúbito que valia cerca de 0,5m e o ninda, que valia aproximadamente
6m. A figura 2 mostra as unidades de comprimento utilizadas durante o período neosumeriano e período babilônico antigo.
Figura 2 — Sistema neo-sumeriano e babilônico antigo de unidades de comprimento.
Fonte: Almeida (2011)
Notação posicional e tabletes administrativos
O surgimento da notação posicional parece ter ocorrido para facilitar a
identificação dos valores de 1 e 60, pois estes tinham o mesmo símbolo. No período Ur
III, um escriba inventa a notação posicional, provou-se que a existência da notação
posicional está presente em textos matemáticos de 2500 e 2200 a.C, porém tem-se
poucos registros do período Ur III, pois parece que os tabletes eram reutilizados. O
tablete com o mais antigo cálculo é datado de 2039 a.C, no qual os números aparecem
escritos em notação posicional. Alguns registros indicam que o sistema de notação
posicional deve ter surgido pela necessidade de organização dos cálculos pelos escribas,
que trabalhavam em diversos setores administrativos e burocráticos.
Nos tabletes administrativos são encontrados registros referentes às transações
comerciais, que permitem identificar o que e quanto foi comercializado, bem como as
pessoas envolvidas. Nos exemplos mostrados em Almeida (2011), podemos identificar
como são estruturadas e organizadas as informações. A figura 3 registra 120 rações, 30
jarras de cerveja, o nome do responsável, e em algumas coleções tem-se textos só para
registrar produções de mercadorias.
Figura 3 — Tabletes administrativos
Fonte: Almeida (2011)
Os tabletes administrativos também nos informa como se dava as relações
entre os serviços prestados, ou seja, como eram feitos os cálculos para determinar
quanto um trabalhador iria ganhar por dia de trabalho. Vale ressaltar que nesse período
não existe o conceito de moeda, com isso o pagamento pelo trabalho era feito através de
bens. Também é notável a maneira com que os administradores eram punidos se seus
balanços não estivessem corretos, em casos de dividas o escriba poderia até morrer e
sua família ser escravizada.
Acreditamos que a divisão sexagesimal da hora em 60 minutos e dos minutos
em 60 segundos é uma contribuição da cultura sumeriana, porém nos registros datados
até o terceiro milênio a.C. não nos permite afirmar que os sumerianos conheciam o
tempo como nós conhecemos hoje em dia. Para eles o tempo era cíclico e mitopoético.
Embora possuíssem um símbolo para denotar o tempo não tinham conhecimento da
divisão do dia nos períodos arcaicos, nestes períodos não se tinha a divisão do dia de
trabalho, o que só veio a ocorrer no período Ur III dividido nas seguintes frações 5/6,
2/3, ½ e 1/3, a unidade de tempo era 1/60 de um dia de trabalho, assim o relógio
sumeriano marcava um dia contendo 120 horas sumerianas, com as observações dos
períodos lunares, os tempos de colheitas chegou-se a criação de um ano religioso
composto de 12 meses lunares, com 30 dias cada, no período Ur III notou-se a
necessidade de acrescentar um mês a cada três anos lunares para que pudesse manter os
períodos de colheitas com os rituais religiosos.
ANÁLISE
Diante do estudo exposto, observamos que podemos trabalhar com o ensino da
matemática a partir da história da matemática utilizando a história de nossos
antepassados em especial nesse trabalho a história da matemática babilônica. Para tanto
buscamos analisar atividades que possam ser desenvolvidas com nossos alunos.
A partir das atividades descritas pelas escolas de escribas, podemos propor
atividades semelhantes e/ou iguais, para serem utilizadas no ensino de matemática.
Desta forma temos a proposta de estudar e fazer levantamentos de atividades e de
problemas da matemática babilônica, procurando evidenciar em que momentos
poderíamos fazer uso dessas atividades em sala de aula, retomando a etnomatemática
babilônica.
Veremos a seguir um exemplo de atividade que mostra adaptações que podem
ser realizadas em atividades das escolas de escribas para serem utilizadas no ensino da
matemática.
Atividades
Atividade da escola de escribas
Nos textos de campo ou nos tabletes que registram as medidas lineares de
campos, divisões de terras, registro de quantidades de sementes necessárias para plantar
uma determinada área conhecida, vemos como é efetuado os cálculos para determinar
áreas de terrenos pelos escribas, além dos tabletes servirem para registros também eram
utilizados como atividades para os aprendizes de escribas. Como podemos ver na figura
a seguir:
Figura 4 — A mais antiga evidência do calculo de área.
Fonte: Almeida (2011)
Como podemos ver na explicação de Almeida (2011, p. 261) a respeito dos
problemas de textos de campos.
Seu obverso e verso têm aproximadamente o mesmo formato e
contem os traços horizontais e verticais que o identificam como um
texto de calculo de área de um campo. Ambas as faces mostram dois
levemente diferentes comprimentos e igualmente duas levemente
diferentes larguras, o que é típico dos campos quadrangulares, como
comprovado por textos posteriores. Damerow e Englund
reconstituíram o tablete baseando em fotos antigas e considerando um
seu fragmento hoje perdido.
Esta situação trata de uma atividade das escolas de escribas, onde vemos que os
problemas eram contextualizados, porém abstratos, pois provavelmente não se
trabalhava com áreas tão grandes.
Figuras 5 — Período Uruk III: Quantidade de grãos necessários para plantar um campo
irrigado
Fonte: Almeida (2011)
Figuras 6 — Período Ur III: Posições relativa entre terrenos
Fonte: Almeida (2011)
Foi preciso desenvolver alguns métodos em que era necessário dividir o terreno
em campos com outros formatos que poderiam ser medidos, os formatos destes campos
eram aproximadamente triângulos retângulo, retangulares ou trapezoides, quando a área
a ser medida era muito grande, então se dividia em pequenos quadriláteros, em seguida
media-se as dimensões das secções do campo. Para finalizar, o texto traz mais algumas
regras utilizadas nas medições de terrenos para situações particulares das formas dos
campos.
Considerações finais
Ao finalizar este estudo teórico podemos ver o desenvolvimento da matemática
babilônica – sistema de numeração, simbologia, métodos de contagem e álgebra
babilônica. Como também vemos as possibilidades de fazermos uso destas produções
matemáticas para um ensino, voltado a uma aprendizagem mais humana, onde o aluno
possa ter uma maior interação com o professor e os conteúdos estudados.
Referências
ALMEIDA, Manoel de Campos. Origens da matemática: a pré-história da
matemática: o neolítica e o alvorecer da história. Curitiba, PR: Progressiva, 2011.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade.
Belo Horizonte: Autêntica, 2001. Coleção Tendências em Educação Matemática.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Uma história concisa da matemática no Brasil / Ubiratan
D’Ambrósio. - Petrópolis, RJ: Vozes, 2008.
SOUSA, Giselle Costa de; PEREIRA, Maria Isabel da Costa. Contexto e conceito
histórico aliado a aplicações da Etnomatemática. In: Colóquio de História e
Tecnologia no Ensino de Matemática.