apostila - Laboratório de Sistemas de Potência da UFSC

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
ASPECTOS DINÂMICOS DO CONTROLE DE
SISTEMAS DE POTÊNCIA
Aguinaldo S. e Silva
Antônio J.A. Simões Costa
Sumário
1 Introdução
2 Modelos para estudos do controle de freqüência
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modelo do gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Modelo de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Modelo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Conjunto isolado carga-gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Caso de duas máquinas interligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Caso máquina - barra infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Modelagem de turbinas a vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Função de transferência de uma tubulação de vapor . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Modelo de turbinas com reaquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Modelo para turbinas de condensação direta (sem reaquecimento) . . . . .
2.6 Gerador de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Tipos de caldeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Modelagem da dinâmica da caldeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Turbinas a gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Vantagens da turbina a gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Princı́pios de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Plantas de ciclo simples e ciclo combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Modelagem da turbina a gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Modelagem da turbina hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Modelo do conduto forçado e turbina hidráulica . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Resposta da potência mecânica da turbina a uma variação em degrau de
posição da válvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Parada de emergência de uma unidade hidráulica . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Comparação do desempenho dinâmico de unidades térmicas e hidráulicas .
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ii
SUMÁRIO
3 Reguladores de velocidade
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Estrutura do regulador de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Modelagem do Regulador de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Modelagem dos componentes do regulador de velocidade . . . .
3.4 Caracterı́sticas dos reguladores de velocidade . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Regulador isócrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Regulador com queda de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Regulador de velocidade com compensação de queda transitória
3.5 Tipos de reguladores de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Regulador tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Regulador moderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Ajuste de reguladores de velocidade para turbinas hidráulicas . . . . . .
3.6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Partida e sincronização ao sistema . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Operação da unidade isolada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Unidade conectada a grande sistema em regulação primária . . .
3.6.5 Unidade conectada a grande sistema em regulação secundária .
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4 Controle primário de carga e freqüência
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Sistemas isolado alimentando uma carga . . . .
4.2.1 Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Comportamento estático . . . . . . . . .
4.2.3 Comportamento transitório . . . . . . .
4.3 Sistemas de duas áreas interligadas . . . . . . .
4.3.1 Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Comportamento em Regime Permanente
4.3.3 Comportamento Transitório . . . . . . .
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5 Controle suplementar de carga e freqüência
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Controle suplementar em uma única área de controle
5.2 Sistema de duas áreas interligadas com controle suplementar
5.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Desempenho dinâmico para variações
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Comportamento das unidades fora da
6.2.1 Turbinas a vapor . . . . . . .
6.3 Comportamento das unidades fora da
6.3.1 Turbinas a vapor . . . . . . .
6.3.2 Caldeiras . . . . . . . . . . .
6.3.3 Controle de unidades térmicas
6.3.4 Turbinas a gás . . . . . . . .
6.4 Um estudo de caso . . . . . . . . . .
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de freqüência
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freqüência nominal
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freqüência nominal
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SUMÁRIO
iii
7 Controle da excitação
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Efeito do controle da excitação sobre a estabilidade transitória . . . . . . .
7.3 Efeito do controle de excitação sobre a estabilidade dinâmica . . . . . . . .
7.4 Análise do comportamento dinâmico de uma máquina contra barra infinita
7.4.1 Modelo de Heffron-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Desempenho com fluxo de campo constante . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Análise com tensão de campo constante . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.4 Análise com inclusão do regulador de tensão . . . . . . . . . . . . .
7.4.5 Análise do efeito dos sinais estabilizadores . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Caracterı́sticas dos sinais adicionais e dos ESP associados . . . . . . . . . .
7.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 A função de transferência GEP (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Caracterı́sticas de sinais adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.4 Potência de aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Projeto de estabilizadores de sistemas de potência . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Resposta em freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Lugar das raı́zes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Equipamentos FACTS
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Princı́pios e dispositivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Compensador estático de reativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Tipos e princı́pios dos compensadores estáticos . . . . . . . . . .
8.3.3 Reator saturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4 Aplicações de compensadores estáticos em sistemas de potência
8.4 STATCOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Princı́pio de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Caracterı́sticas de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Compensador série controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Princı́pios de operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2 Funções do compensador série controlado . . . . . . . . . . . . .
8.6 UPFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Estabilidade a pequenos sinais de sistemas multimáquinas
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Modos de oscilação eletromecânicos . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Análise por autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Localização dos controladores . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Fatores de participação . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Índices de controlabilidade e observabilidade . . . . .
9.6 Projeto coordenado de controladores . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Posicionamento de pólos . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.2 Controle ótimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.3 Resposta em freqüência multivariável . . . . . . . . .
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iv
10 Ressonância Subsı́ncrona
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Ressonâncias nos sistemas mecânico e elétrico
10.3.1 Ressonância no sistema mecânico . . .
10.3.2 Ressonância da rede . . . . . . . . . .
10.4 Mecanismos de ressonância subsı́ncrona . . . .
10.4.1 Interação torcional . . . . . . . . . . .
10.4.2 Efeito do gerador de indução . . . . . .
SUMÁRIO
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SUMÁRIO
v
CAPÍTULO 1
Introdução
Os sistemas elétricos de potência são complexos sistemas, que cobrem áreas geográficas de dimensões continentais, onde a energia proveniente de várias fontes é convertida em energia elétrica
e transmitida a cargas situada muitas vezes a milhares de quilômetros das usinas geradoras. As
fontes primárias de energia podem ser de origem, hidráulica, fóssil, nuclear, ou alternativa como
vento, solar, biomassa ou marés. A conversão da energia primária para energia elétrica é realizada
por geradores sı́ncronos ou de indução e painéis fotovoltaicos. A energia elétrica é transmitida
por linhas de alta tensão, de corrente alternada ou contı́nua, que requerem avançadas tecnologias
de materiais para isolamento e o uso de eletrônica de alta potência para estações conversoras de
CA para CC ou vice-versa. Controladores nos geradores e dispositivos controláveis na rede permitem a automatização de muitas funções de controle do sistema. Os equipamentos controláveis
da rede são muitas vezes baseados em dispositivos de eletrônica de alta potência, permitindo o
controle rápido de variáveis do sistema. Os equipamentos que compõem os sistemas elétricos sofrem um processo contı́nuo de incorporação de novas tecnologias visando aumentar a eficiência e
confiabilidade destes sistemas. A operação destes sistemas requer o uso de sofisticadas técnicas de
monitoração e controle, que incorporam os mais recentes avanços na tecnologia de computadores
e transmissão de dados.
Uma visão macro do sistema elétrico, leva a uma descrição de um complexo sistema dinâmico,
que pode ser analisado como um todo ou desacoplado no espaço ou no tempo (freqüência). Por
outro lado, os componentes do sistema em si, podem ser estudados em separado ou em subsistemas,
em termos das suas funções.
A operação do sistema de potência requer a alimentação das cargas dentro de certas exigências
de qualidade do suprimento. Dado que as cargas variam aleatoriamente (embora dentro de ciclos
diários, semanais e sazonais) e que a energia elétrica não pode ser armazenada, há a necessidade
de que esta seja gerada no instante em que for requerida pela carga. Além disso a operação deve
ser tal que a capacidade nominal dos componentes do sistema (geradores, linhas de transmissão,
transformadores, etc) seja respeitada. O estado no qual a demanda é satisfeita e o sistema está
operando dentro dos limites de capacidade é chamado estado normal de operação.
O sistema deve ser mantido no estado normal de operação, mesmo diante de perturbaçãoes, por
meio da atuação de controladores nos geradores ou outros equipamentos controláveis localizados
2
Capı́tulo 1: Introdução
na rede. De maneira simplificada pode-se reduzir a questão do desempenho dinâmico do sistema
ao comportamento do mesmo entre o ponto de equilı́brio antes da atuação da perturbação e o
ponto de equilı́brio após a atuação da perturbação. A análise do sistema e a sı́ntese de controles
adequados que garantam um desempenho adequado para esta transição constituem o assunto deste
trabalho.
A complexidade do sistema de potência faz com que os fenômenos dinâmicos abarquem uma
faixa ampla de freqüências. Embora a análise e a sı́ntese de controladores possa ser feita de
uma maneira global, uma abordagem deste tipo exige uma modelagem detalhada do sistema o
que, para sistemas elétricos de grande porte, leva a um problema de alta dimensão. É preferı́vel
então separar os fenômenos segundo a faixa de freqüências onde eles ocorrem. Com isto modelos
adequados para representar os componentes em cada uma destas faixas podem ser usados para fins
de análise e controle. Os diversos fenômenos e as malhas de controle associadas a serem abordadas
neste trabalho são comentadas a seguir em conexão com a descrição do conteúdo deste trabalho.
Os controladores de tensão e freqüência tem por objetivo manter o sistema no estado normal
de operação através do controle de tensão nas barras terminais e da freqüência dos geradores. O
controle da freqüência em especial é importante desde que a freqüência é uma medida do balanço
de potência ativa do sistema. Se a carga do sistema cresce e a potência gerada não aumenta, a
diferença de potência é obtida da energia cinética das máquinas e a freqüência decresce. Portanto
a igualdade entre carga e geração é necessária para a operação estável e a freqüência é uma
medida de desbalanço. Além disso é uma exigência de muitas cargas a manutenção de variações
da freqüência entre limites estreitos.
A tensão deve ser mantida constante principalmente porque o desempenho de diversos componentes de carga dependem da mesma.
O controle da freqüência e tensão é facilitado pelo fato de que há um desacoplamento entre
os pares de variáveis potência ativa-ângulo de tensão nas barras e potência reativa-magnitude
de tensão. Embora este desacoplamento não seja completo e decresça durante transitórios no
sistema, pode-se considerar este efeito como apenas marginal na faixa usual de operação. Assim,
controlando-se o torque entregue pelas máquinas primárias aos geradores controla-se a potência
ativa e consequentemente a freqüência, cujas variações estão ligadas às variações do ângulo. Da
mesma forma, através da variação da excitação de campo do gerador controla-se a potência reativa
gerada e, conseqüentemente, a tensão terminal da máquina.
Os controladores associado aos geradores são também importantes na manutenção da estabilidade para pequenas pertubações (estabilidade em regime permanente ou estabilidade dinâmica)
e para grandes pertubações (estabilidade transitória). O controle de tensão é mais efetivo para o
amortecimento das oscilações dos rotores das máquinas a curto prazo. Isto porque o controle de
velocidade é mais lento, uma vez que a dinâmica térmica das caldeiras e a dinâmica hidráulica
estão envolvidas.
Os três principais sistemas de controle que atuam sobre o gerador sı́ncrono são:
1. Controle primário de carga-freqüência.
2. Controle suplementar de carga-freqüência (ou Controle Automático de Geração).
3. Controle de excitação.
Um diagrama de blocos simplificado mostrando os sistemas de controle de um gerador sı́ncrono
é apresentado na Figura 1.1.
O controle de velocidade envolve uma faixa de baixas freqüências e além de geradores, cargas e turbinas, outros dispositivos de dinâmica lenta como caldeiras podem ser modelados para
3
Controle de T ensão
T.P. e
Retif icadores
Pe,w,f - Estabilizador
do Sistema
?
?+
-
- Amplif icador
e
de P otência
Excitatriz
Regulador de velocidade
Pref +
-
Controlador
- de
carga−
6- f requência
+
-
6-
Amplif icador
-
Hidráulico
w
T urbina
?
-
Vt
Gerador
Pe
?
Estatismo
6
?
Sensor de
F luxo de
Intercâmbio
Rede de
T ransmissão
Figura 1.1: Sistema de Controle Associados a um Gerador Sı́ncrono
4
Capı́tulo 1: Introdução
estes estudos. Os modelos dos componentes envolvidos nas malhas de controle de velocidade são
apresentados no capı́tulo 2.
O regulador de velocidade é um dispositivo que além de atuar nas malhas de controle primário
e secundário exerce outras funções no sistema de potência. As funções, caracterı́sticas, tipos e
sintonização de parâmetros dos reguladores de velocidade são apresentados no capı́tulo 3.
O controle primário de carga-freqüência (local), apresentado no capı́tulo 4, basicamente monitora a velocidade do eixo do conjunto turbina-gerador e controla o torque mecânico da turbina
de modo a fazer com que a potência elétrica gerada pela unidade se adapte às variações de carga.
As constantes envolvidas são da ordem de segundos. As variações de geração resultantes se dão
às custas de desvios de freqüência.
O restabelecimento da freqüência para valores nominais, assim como a manutenção do fluxos
de potência nas linhas de interligação conforme os valores programados requer a atuação de um
outro sistema de controle, que é o controle suplementar de carga-freqüêcia (global). As constantes
de tempo envolvidas são da ordem de minutos. A atuação deste controle é abordada no capı́tulo 5.
O controle de excitação (local) visa:
1. Manter a tensão nos terminais do gerador igual aos valores programados.
2. Propiciar uma adequada distribuição da potência reativa entre as unidades de uma mesma
usina.
3. Amortecer as oscilações do rotor da máquina em condições estáticas e transitórias. Esta
última função do regulador de tensão advém do fato de que a tensão de campo do gerador
afeta o torque elétrico da máquina.
As constantes de tempo envolvidas são da ordem de mili-segundos. O controle de excitação é
apresentado no capı́tulo 6.
Os controles descritos atuam diretamente no gerador sı́ncrono. No entanto o desenvolvimento
da eletrônica de alta potência permitiu o aparecimento de uma geração de dispositivos controláveis,
localizados na rede, que podem ter uma influência considerável no comportamento dinâmico do
sistema. Estes dispositivos estão associados ao conceito de F ACT S. O capı́tulo 7 descreve os
principais dispositivos associados a este conceito e seus efeitos na dinâmica do sistema de potência.
Os controles descritos e especialmente o controle de excitação estão associados ao problema
de estabilidade dinâmica ou estabilidade para pequenas perturbações do sistema de potência. No
capı́tulo 6 este problema é abordado do ponto de vista de um gerador ligado a uma barra infinita.
Para sistemas multimáquinas a modelagem deve incluir todos os geradores com seus controladores,
a rede e outros dispositivos controláveis. Além disso deve-se utilizar ferramentas adequadas para a
análise da estabilidade para sistemas de grande porte assim como para a sı́ntese de controladores.
O capı́tulo 8 apresenta a modelagem e alguns métodos de análise e sı́ntese de controladores.
O capı́tulo 9 apresenta o fenômeno da ressonância subsı́ncrona. Este envolve uma faixa de
freqüências mais elevada do que as oscilações eletromecânicas. A natureza do fenômeno e a
modelagem do sistema são discutidas neste capı́tulo.
CAPÍTULO 2
Modelos para estudos do controle de
freqüência
2.1
Introdução
Este capı́tulo desenvolve os modelos usados para o estudo do controle de velocidade. Este controle
envolve baixas freqüências e portanto além de turbinas, geradores e cargas, equipamentos com
resposta lenta como caldeiras podem influenciar o comportamento do sistema. Os modelos usados
são derivados partindo da hipótese de desacoplamento entre fenômenos em diferentes faixas de
freqüência. Isto permite a obtenção de modelos simplificados, que podem ser usados, para a análise
e sı́ntese de controladores. Uma vez que a sı́ntese dos controladores tenha sido feita usando estes
modelos simplificados, pode-se testar o desempenho dos controladores projetados usando modelos
mais detalhados.
2.2
Modelo do gerador
No estudo de aspectos dinâmicos do controle em sistemas de potência, está-se interessado na sı́ntese
(projeto) e análise de reguladores e controladores. Como este projeto pode torna-se complexo,
principalmente quando se trata de sistemas de várias máquinas, é importante que os modelos
de máquina utilizados sejam os mais simples possı́veis. Ainda assim o modelo deve ser capaz de
representar convenientemente o comportamento da máquina e também ser adequado para o projeto
do regulador em questão. A sı́ntese do controle de excitação, por exemplo exige a modelagem do
decaimento de fluxo, e portanto o modelo clássico do gerador não pode ser usado.
Para o controle de velocidade um modelo simplificado do gerador sı́ncrono conectado a uma
carga, a outro gerador ou a uma barra infinita será desenvolvido. Um modelo detalhado será
apresentado para o controle de excitação, no capı́tulo 6.
A equação de oscilação do gerador sı́ncrono é dada por:
6
Capı́tulo 2: Modelos para estudos do controle de freqüência
M
dω
= Pm − Pe
dt
(2.1)
onde
ω - velocidade angular em pu da velocidade nominal ωR
ωR = 377 rad/s
Pm , Pe - potência mecânica de entrada e elétrica de saı́da, respectivamente, em pu da potência
base trifásica.
M = 2H - constante de inércia da máquina (seg)
Para pequenas perturbações a equação (7.58) pode ser escrita para pequenas variações ao redor
de um ponto de operação. O ponto de operação é dado por ω̇ = 0 ou ω = ω 0 = ωR , ou
Pm0 = Pe0
(2.2)
ω = ω 0 + ∆ω
Pm = Pm0 + ∆Pm
Pe = Pm0 + ∆Pe
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Denotando
e usando em (7.58):
M
ou
d(ω0 + ∆ω)
= Pm0 + ∆Pm − Pe0 − ∆Pe
dt
(2.6)
d∆ω
= ∆Pm − ∆Pe
dt
(2.7)
M
2.3
Modelo de carga
O modelo das cargas deve considerar a variação da potência das cargas com a freqüência. Este
modelo é apresentado nesta seção.
A carga pode ser modelada por uma parcela de potência constante e uma parcela dependente
da freqüência:
Pe = PL + D ∆ω
(2.8)
onde
PL - carga a freqüência nominal
D - caracterı́stica de freqüência da carga. Em geral pode-se supor a carga variando linearmente
com a freqüência (D constante) para cargas industriais. Para cargas resistivas D = 0.
Pode-se representar ainda a equação (2.8) por
0
Pe = PL (1 + D ∆ω)
(2.9)
0
onde D é dado em pu de potência (na base da carga) por pu de velocidade.
Linearizando (2.8) para pequenas perturbações tem-se:
∂Pe
∂Pe
(PL − PL0 ) +
∆ω
Pe ∼
= Pe0 +
∂PL
∂(∆ω)
(2.10)
∆Pe = ∆PL + D ∆ω
(2.11)
ou
GSP-EEL-UFSC
7
PM
-
?Pe
Figura 2.1: Sistema gerador-carga
∆PL (s)
∆PL (s)
?∆Pm (s) +
6-
e
-
1
Ms
D
∆w-
+ ?∆Pm (s)-
1
Ms + D
∆w(s)
-
Figura 2.2: Diagrama de blocos do conjunto isolado carga-gerador
2.4
2.4.1
Modelo do sistema
Conjunto isolado carga-gerador
A Figura 2.1 mostra um gerador alimentando uma carga Pe . O modelo adotado considera apenas
a dinâmica eletromecânica do gerador.
Usando (2.11) em (2.7):
d∆ω
M
= ∆Pm − ∆PL − D∆ω
(2.12)
dt
Usando a transformada de Laplace obtém-se:
M s∆ω(s) = ∆Pm (s) − ∆PL (s) − D∆ω(s)
ou
1
(∆Pm (s) − ∆PL (s) − D∆ω(s))
Ms
O diagrama de blocos correspondente é apresentado na Figura 2.2.
∆ω(s) =
2.4.2
Caso de duas máquinas interligadas
A Figura 2.3 mostra o caso de duas máquinas interligadas.
(2.13)
(2.14)
8
Ē1
P12
e
Ē2
-
e
X12
PL2
PL1
Figura 2.3: Duas máquinas interligadas
Os geradores sı́ncronos são representados pelo modelo simplificado anterior que só considera
a equação de oscilação do gerador. As tensões terminais são consideradas constantes e dadas por
Ē1 = E1 ∠δ1 e Ē2 = E2 ∠δ2 .
A potência P12 é dada por
E1 E2
P12 =
sin δ12
(2.15)
X12
Linearizado-se esta equação tem-se:
0
P12 = P12
+
∂P12
∆δ12
∂δ12
(2.16)
E1 E2
0
cosδ12
)∆δ12
X12
(2.17)
ou
0
0
+(
P12
+ ∆P12 = P12
e portanto
∆P12 =
E1 E2
0
cosδ12
∆δ12
X12
Define-se
E1 E2
0
cosδ12
X12
∆
T0 =
(2.18)
(2.19)
como o coeficiente de potência de sincronização.
As equações das duas máquinas podem então ser escritas:
d(∆ω1 )
= ∆Pm1 − ∆PL1 − D1 ∆ω1 − T 0 ∆δ12
dt
d(∆ω2 )
= ∆Pm2 − ∆PL2 − D2 ∆ω2 + T 0 ∆δ12
M2
dt
M1
e da definição de δ12
∆δ12 = 2πf0
desde que
∆δ12 =
com δ em rad, ω em pu e ωR = 2πf0 .
Z
Z
(2.20)
(2.21)
t
0
(∆ω1 − ∆ω2 )dt
t
∆ω12 ωR dt
0
(2.22)
GSP-EEL-UFSC
9
∆PL1
∆Pm1
+
-
D1
-
?
=-
-
6
-
+
-
1
M1 s
∆ω1
-
+
T
s
∆Pm2
?
-
-
}
6
-
∆PL2
6
-
1
M2 s
D2
?
-
∆ω2
Figura 2.4: Diagrama de blocos para o caso de duas máquinas
Usando-se a transformada de Laplace:
1
(∆Pm1 − ∆PL1 − D1 ∆ω1 (s) − T 0 ∆δ12 (s))
M1 s
1
∆ω2 (s) =
(∆Pm2 − ∆PL2 − D2 ∆ω2 (s) + T 0 ∆δ12 (s))
M2 s
2πf0
(∆ω1 (s) − ∆ω2 (s))
∆δ12 (s) =
s
∆ω1 (s) =
(2.23)
(2.24)
(2.25)
∆
O diagrama de blocos correspondente é dado na Figura 2.4, onde foi usada a definição T =
2πf0 T 0 .
O modelo desenvolvido aplica-se também ao caso de duas áreas interligadas.
2.4.3
Caso máquina - barra infinita
Pode-se considerar este caso como um caso particular do anterior em que o gerador 2 é uma barra
∞
infinita (∆ω2 = 0). O diagrama de blocos é mostrado na Figura 2.5, onde Ksinc = EE
cosδ0 = T 0 .
Xe
2.5
2.5.1
Modelagem de turbinas a vapor
Introdução
Uma turbina a vapor consiste basicamente de aletas montadas sobre um eixo, com uma aerodinâmica projetada para converter a energia térmica e de pressão do vapor superaquecido ori-
10
∆PL
∆PM -+ ?- 6
D
1
Ms
-
∆w
∆δ
377
s
-
KSIN C Figura 2.5: Diagrama de blocos para o caso máquina-barra infinita
QS
QEN T
V
Figura 2.6: Câmara de vapor
ginário da caldeira em energia mecânica. O vapor é admitido na turbina através de válvulas de
controle, a alta temperatura e pressão, e na saı́da da turbina é entregue ao condensador, a baixa
pressão e baixa temperatura.
Em geral as turbinas são compostas de diferentes estágios, em função do nı́vel da pressão de
vapor. Assim, o projeto das aletas da turbina é diferente dependendo se o estágio é de alta ou
baixa pressão. No caso geral, uma turbina pode ter três estágios: de alta (AP ), intermediária (P I)
e baixa pressão (BP ). Em turbinas com reaquecimento, o vapor que sai do estágio de alta pressão
é levado de volta à caldeira para ter a sua energia térmica aumentada antes de ser introduzido no
estágio seguinte (turbina de intermediária ou baixa pressão). O objetivo é aumentar a eficiência
da turbina.
2.5.2
Função de transferência de uma tubulação de vapor
As turbinas a vapor utilizam válvulas controladas pelo regulador de velocidade para controlar o
fluxo de vapor para a turbina. Retardos na resposta do fluxo de vapor ao movimento das válvulas
são introduzidos pela entrada e saı́da do vapor nos cilindros da turbina, pelos reaquecedores e
outras tubulações. Tais retardos devem ser levados em conta para estudos de estabilidade. A
função de transferência para uma câmara de vapor (Figura 2.6) é determinada a seguir.
Seja Qent o fluxo de vapor (massa por unidade de tempo) que entra na tubulação e Qs o fluxo
de saı́da. Se W é o peso (ou massa) do vapor no volume V , a equação da continuidade para a
tubulação pode ser escrita como
dW
= Qent − Qs
(2.26)
dt
GSP-EEL-UFSC
11
Supondo que o fluxo de vapor saindo da tubulação é proporcional à pressão na tubulação P ,
tem-se
Qs = kP
(2.27)
0
onde P0 é a pressão na tubulação em
onde k é uma constante, que pode ser determinada como Q
P0
regime permanente e Q0 é o fluxo de saı́da correspondente a pressão P0 .
Da equação (2.27) segue que
dP
1 dQs
P0 dQs
=
=
(2.28)
dt
k dt
Q0 dt
Considerando-se que a temperatura na tubulação é constante, a variação da massa de vapor
na tubulação será função apenas da pressão, ou seja:
∂W dP
dW
=
dt
∂P dt
(2.29)
Seja v o volume especı́fico (volume por massa) de vapor, ou seja
Então
V = vW
(2.30)
∂( 1 )
∂W
=V v
∂P
∂P
(2.31)
∂( v1 ) dP
dW
=V
dt
∂P dt
(2.32)
que substituı́da em (2.29) leva a
Combinando as equações (2.26) e (2.32) obtém-se
P0 ∂( v1 ) dQs ∆ dQs
Qent − Qs =
V
=T
Q0 ∂P dt
dt
onde T em segundos é a constante de tempo da tubulação de vapor. O termo
constante pode ser estimado a partir de cartas entalpia x entropia do vapor.
Da equação (2.33) obtém-se:
Qs
1
=
Qent
1 + sT
2.5.3
(2.33)
∂( v1 )
∂P
a temperatura
(2.34)
Modelo de turbinas com reaquecimento
Um diagrama simplificado mostrando o percurso do vapor através de uma turbina com reaquecimento é mostrado na Figura 2.7
O diagrama de blocos que relaciona a posição das válvulas de controle de admissão de vapor
e o torque mecânico da turbina é dado na Figura 2.8, onde TAP , TBP e Tm representam, respectivamente, os torques produzidos nos estágios de alta pressão, baixa pressão e torque total da
turbina.
Para a obtenção da função de transferência entre Tm e a entrada de vapor deve-se modelar o
efeito dos vários elementos.
12
Reaquecedor
-
vapor
proveniente
da caldeira
Válvula de controle
de admissão de vapor
(válvula do regulador)
turbina de
alta pressão
turbina de
baixa pressão
6
?
Regulador
de
velocidade
Condensador
Figura 2.7: Percurso do vapor em uma unidade com reaquecimento
-
comando do
-
servomotor
(reg. de vel.)
válvula
de
controle
coef iciente de
torque do
estágio de AP
TAP
+
f luxo de
tubulacão de
vapor na
de vapor
- entrada e câmara
?
Tm
-
+6
válvula
- reaquecedor
-
coef iciente de
torque do
estágio de BP
TBP
Figura 2.8: Diagrama de blocos relacionando torque e posição da válvula de controle
GSP-EEL-UFSC
13
µ
L
6
Y
Deslocamento
devido ao
servomotor
6
L
-
Y
-
µ
-
-
Abertura
da
Válvula
(fluxo de vapor)
-L
Figura 2.9: Combinação de não-linearidades no primeiro bloco da figura anterior
6
Y
µ
-
-
-
Figura 2.10: Relação entre a posição da válvula de entrada e fluxo de vapor
2.5.3.1
A função de transferência da válvula de controle é aproximadamente constante e seria 1.0 a não ser
pelas variações não-lineares introduzidas pela ação da válvula. Estas se devem a uma combinação
de não-linearidades. Em primeiro lugar o fluxo de vapor na válvula é uma função não-linear do
deslocamento da mesma, apresentando saturação com a abertura da válvula. Uma maneira de
contrabalançar este efeito é introduzir uma não-linearidade no mecanismo de abertura da válvula.
Um projeto de came adequado produz uma saı́da L = f (Y, L) na qual a saı́da L é uma função
de Y e de L. A função de transferência dos dois blocos juntos é aproximadamente constante. Uma
não-linearidade residual ainda existe devido aos ”pontos de válvula”, ou seja, no ponto em que
um conjunto de válvulas atinge o fluxo nominal e um novo conjunto começa a abrir. Isto causa
uma função de transferência formada por pequenos arcos como mostrado na Figura 2.10.
A função de transferência da válvula é então representada por uma constante K v .
2.5.3.2
Tubulações de entrada e câmara de vapor
O vapor proveniente do super-aquecedor é introduzido na turbina através de tubulações de alta
pressão passando por uma câmara de vapor (”steam chest”) onde estão localizadas as válvulas de
parada de emergência e as válvulas controladas pelo regulador de velocidade. Estas tubulações de
entrada e a câmara de vapor introduzem um atraso de tempo entre variações do fluxo de vapor
na válvula e o fluxo de vapor que entra na turbina de alta pressão. A função de transferência
correspondente é do tipo desenvolvido na subseção 2.5.2.
2.5.3.3
Turbina
A turbina de alta pressão extrai uma fração f da potência térmica do vapor. Os estágios restantes,
de pressão média e baixa, extraem a fração (1 − f ) restante da potência disponı́vel para acelerar
o eixo. Geralmente o valor f é entre 0.2 e 0.3.
Em uma turbina com reaquecimento, um grande volume de vapor passa entre a saı́da da turbina
de alta pressão e a entrada do estágio seguinte, isto é, pelo reaquecedor. Entre o reaquecedor e o
estágio de pressão intermediária há uma câmara de vapor contendo as válvulas de interceptação
14
Turbina de AP
-
Comando do
regulador
turbina de AP
f
Câmara
de
vapor Fluxo de
vapor
1
entrando
1 + sT c
na
de velocidade
-
Torque da
Kv
H
+
turbina
Válvula de
controle
Reaquecedor
-
1
1 + sTr
Turbina de
média e
baixa
pressão
-
1−f
? Tm
-
+6
Torque da
Turbina de
média e baixa
pressão
Figura 2.11: Diagrama de blocos para uma turbina com reaquecimento
e válvulas de parada de emergência. O reaquecedor introduz um outro atraso no sistema térmico
e também é dado por uma função de transferência similar à desenvolvida na subseção 2.5.2.
Assim, o diagrama de blocos da Figura 2.8 pode ser mais detalhadamente representado como
na Figura 2.11.
Do diagrama de blocos da Figura 2.11, obtém-se a função de transferência da turbina com
reaquecimento:
Kv (1 + f Tr s)
Tm
=
η
(1 + sTc )(1 + sTr )
(2.35)
Faixa de valores para os parâmetros:
Kv : 0.6 a 0.8 valor tı́pico = 0.625)
f : 0.2 a 0.3 (valor tı́pico = 0, 24)
Tr : 3 a 11 seg (valor tı́pico = 5 seg)
Tc : 0.05 a 0.4 seg
Dos valores acima, vê-se que a maior parte do atraso se dá no reaquecedor. Isto se deve à
grande quantidade de vapor que deve passar através dele antes que as novas condições ditadas
pelo controle sejam estabelecidas.
Uma unidade térmica com reaquecimento a três estágios é mostrada na Figura 2.12. Nesta
figura a seguinte notação é utilizada:
GSP-EEL-UFSC
15
VI
G
VA
R/A
S/A
AP
BP
PI
C
T
E
B
DA
Figura 2.12: Unidade térmica com três estágios com reaquecimento
E
= Economizador
T
= Tambor
S/A = Superaquecedor
R/A = Reaquecedor
VA
= Válvula de vapor de alta pressão
VI
= Válvula de interceptação de vapor
AP
= Turbina de alta pressão
BP
= Turbina de baixa pressão
PI
= Turbina de pressão intermediária
B
= Bomba de alimentação
G
= Gerador
C
= Condensador
DA = Desaerador
O diagrama de blocos correspondente é apresentado na figure 2.13. Neste caso uma função
de transferência de primeira ordem modela o atraso na tubulação de vapor (”crossover”) entre o
estágio de pressão intermediária e o estágio de baixa pressão.
2.5.3.4
Sinais adicionais de controle associados a uma turbina a vapor com reaquecimento
Sinal de controle derivado da aceleração Uma falta no sistema próximo aos terminais do
gerador provoca um torque acelerante até que a falta seja retirada. Se isto não for feito rapidamente
pode ocorrer a perda de sincronismo da máquina. Uma forma de evitar que isto ocorra é reduzir
rapidamente o torque mecânico da turbina. O uso de um sinal de aceleração no regulador de
velocidade é uma forma de se reduzir este torque.
O uso apenas de um sinal de velocidade tem pouco efeito dado que a variação de velocidade é
relativamente pequena.
Exemplo 1
Considere o caso de um perı́odo de falta tı́pica de 0.15 seg com H = 4 seg e P m = 1 pu tem-se
dω
1
= 2H
(Pm − Pe )
dt
16
Fraçãoo do torque suprida
pela turbina de A.P.
N
-
1
1 + sTc
-
1−fn
Fração do torque suprida
pela turbina de M.P.
-
fn
1
1 + sTr
-
+
+ ?
-
1−fb
TN
-
+
6
-
fb
-
1
1 + sTb
Figura 2.13: Diagrama de blocos da unidade térmica com três estágios com reaquecimento
m
= P2H
= 18 = 0.125 ≈ 13%/seg
∆ω = 0.125 × 0.15 = 0.01875 ≈ 2%
∆ω
Supondo R = 4% onde R = ∆P
é a regulação tem-se
0.02
∆P = 0.04 = 0.5 = 50% de fechamento da válvula
dω
dt
dω
dt
Considerando os retardos adicionais (turbina, etc) a redução de torque é muito pequena. Com
o uso de um sinal de aceleração (derivado do sinal de erro do regulador) pode-se obter quase que
imediatamente o sinal que ocasiona o fechamento completo da válvula de vapor. Em turbinas
sem reaquecimento consegue-se assim uma substancial redução no ângulo máximo do motor. Em
turbinas com reaquecimento, no entanto, devido a grande quantidade de vapor no reaquecedor o
fechamento do vapor para o estágio de AP produz pouca redução do fluxo nos estágios de P I e
BP . Como 75% do torque é produzido nos cilindros de P I e BP a redução total da potência é
pequena. Emprega-se então o controle conjunto das válvulas interceptadoras (Figura 2.14).
Válvulas interceptadoras As válvulas de parada são usadas para minimizar a sobre-velocidade.
No caso de saı́da do gerador, a válvula de parada do estágio de AP corta o fluxo de vapor vindo
da caldeira. No entanto o vapor armazenado no reaquecedor indo para os estágios de P I e BP
provocariam sobre-velocidade (tipicamente o vapor armazenado no reaquecedor tem um conteúdo
de energia de 5 − 19 pu de potência seg a qual daria lugar a uma sobre-velocidade de 110%). Com
o emprego de válvulas interceptoras de parada a sobre-velocidade é limitada a 10%.
O uso de válvulas interceptadores (do regulador) em série com as válvulas de parada é uma
caracterı́stica conveniente. O controle destas válvulas pelo regulador, operando portanto junto
com as válvulas de AP tende a manter o vapor preso no reaquecedor e desta maneira a pressão
do reaquecedor fica praticamente constante. O fluxo de vapor no cilindro de P I fica uma função
direta da posição das válvulas interceptoras e pode ser ajustado rapidamente. Com isto a elevada
constante de tempo associada ao reaquecedor é praticamente eliminada, dando respostas rápidas
na malha de potência.
Quando uma falta ocorre no sistema o efeito da válvula interceptadora é reduzir o fluxo de
vapor em todos os cilindros. Com isto uma margem de estabilidade maior é conseguida.
GSP-EEL-UFSC
17
Reaquecedor
Válvula de parada
principal
Válvula de parada
Crossover
Válvula
de
interceptação
Válvula de
controle
Turbina
AP
Turbina
PI
Turbina
BP
Condensador
Figura 2.14: Válvulas interceptadoras de parada e do regulador
2.5.4
Modelo para turbinas de condensação direta (sem reaquecimento)
Para se obter a função de transferência de turbina sem reaquecimento, basta que se considere
f = 1 no diagrama de blocos da Figura 2.11 e na função de transferência da Equação (2.35).
Assim a função de transferência torque × comando do regulador se reduz aos blocos da válvula
de controle e câmara de vapor, e é dada por
Kv
Tm (s)
=
η(s)
1 + sTc
2.6
(2.36)
Gerador de vapor
Em relação aos outros componentes do sistema, a caldeira apresenta uma resposta consideravelmente mais lenta. O tempo de recuperação da pressão da caldeira após uma variação súbita
das válvulas de controle de admissão de vapor da turbina é geralmente medido em minutos, nos
sistemas de projeto convencional. Durante este perı́odo, o sistema caldeira - turbina opera em
um transitório com o seu ganho em malha aberta variando, possivelmente oscilando com baixa
freqüência. É importante conhecer como tais oscilações podem afetar o desempenho global do
sistema. Isto requer o estudo dos sistemas de controle associados com a caldeira.
O projeto dos sistemas de controle para a caldeira é muito complexo, porque o sistema é
multivariável (Figura 2.15), e as variáveis a serem controladas são acopladas. Por exemplo, as
variáveis a serem controladas em um caldeira poderiam ser a temperatura do vapor, a pressão de
saı́da, a temperatura do reaquecimento, o nı́vel de água no tambor (para o caso de caldeira do tipo
tambor). As variáveis de controle seriam a taxa de entrada do combustı́vel, a taxa de entrada de
ar, inclinação dos queimadores e o fluxo de água de alimentação. A dificuldade de se implementar
um controle multivariável é a carência de um modelo preciso da caldeira.
2.6.1
Tipos de caldeira
Existem basicamente dois projetos diferentes para caldeira: a caldeira tipo tambor e a caldeira de
fluxo direto.
18
Taxa de entrada
de combustı́vel
Taxa de entrada de ar
Inclinação do queimador
Fluxo de água de alimentação
Temperatura
do vapor
-
-
Pressão de saı́da
-
-
CALDEIRA Temperatura de reaquecimento
-
Nı́vel de água no tambor
-
-
Figura 2.15: Caldeira como um sistema de controle multivariável
Ventilador
Ar para
combustão
Reaquecedor
do ar
Economizador
Entrada de ar
Aquecedor
de
água
Válvula
Superaquecedor
primário
Bomba
Superaquecedor
secundário
Aquecedores
de regeneração
de água
Turbina
Queimadores
Condensador
Tambor
Bomba
Figura 2.16: Caldeira com um tambor
As caldeiras do tipo tambor podem ser de dois tipos: de um tambor ou de dois tambores. O
esquema de uma caldeira de um tambor é apresentado na Figura 2.16.
Na caldeira da Figura 2.16, o tambor funciona como um reservatório de energia térmica que
pode fornecer quantidades limitadas de vapor para satisfazer a aumentos súbitos na demanda. Do
mesmo modo, o tambor serve como reservatório para receber energia após uma súbita perda de
carga. Em outras palavras o tambor é um ”buffer”entre o sistema turbina-gerador e os sistemas de
combustão e bombeamento de água da caldeira. Contudo, ele não é uma fonte infinita de energia
térmica, e as variações de demanda que ele pode suprir são limitadas.
O projeto de caldeira tipo fluxo direto é mais recente. A diferença fundamental com relação à
caldeira tipo tambor é a ausência do tambor e das tubulações de circulação ascendente e descendente de vapor. A água de alimentação passa pelo economizador, pelas tubulações da parede da
fornalha e super-aquecedor até atingir a turbina. A transformação do estado lı́quido para o gasoso
se dá em algum ponto do percurso. Assim, a taxa de bombeamento de água tem uma grande
influência tanto na saı́da do vapor quanto na taxa de entrada de calor e regulação da turbina.
As vantagens da caldeira tipo fluxo direto são:
• podem ser construı́das para pressões mais altas que as caldeiras tipo tambor
• mais compacta
• a resposta para variações súbitas de carga é mais rápida
GSP-EEL-UFSC
19
• menor custo operacional
Por outro lado, este tipo de caldeira requer o uso de um sistema de controle mais rápido e
eficiente, pois apresenta uma capacidade limitada de armazenamento de vapor em conseqüência
da ausência do tambor.
2.6.2
Modelagem da dinâmica da caldeira
A modelagem da caldeira é um assunto muito complexo, basicamente porque para se levar em
conta o efeito da geometria da caldeira é necessário se usar um modelo de parâmetros distribuı́dos,
e também porque existem vários fenômenos termodinâmicos a serem considerados. Entretanto,
um modelo simplificado para a caldeira tipo tambor pode ser desenvolvido se:
• O tambor for considerado um elemento concentrado de armazenamento de vapor
• O controle de água de alimentação for considerado ideal, isto é, satisfazer sem atraso à
demanda da caldeira
• A geometria da caldeira for ignorada
Uma certa massa de vapor encontra-se armazenada na caldeira, e qualquer variação nessa
massa afeta a pressão da caldeira, por causa de desequilı́brios transitórios entre o vapor gerado e
o vapor solicitado pela turbina. Assim, a pressão na caldeira depende do fluxo de vapor.
A pressão de vapor no tambor não é a mesma que a pressão de vapor na válvula de controle
da turbina, porque entre eles está interposto o super-aquecedor. A queda de pressão no superaquecedor varia com o quadrado da taxa de fluxo de vapor. Se a queda de pressão no superaquecedor for linearizada com respeito a um dado ponto de operação, a variação na queda de
pressão se tornará proporcional à variação na taxa de fluxo de vapor. Assim, é possı́vel se usar o
equivalente elétrico mostrado na Figura 2.17.
As seguintes analogias são usadas:
• pressão - tensão
• fluxo - corrente
• resistência - resistência do super-aquecimento ou resistência da turbina a uma certa abertura
da válvula.
Na Figura 2.17 a seguinte simbologia é adotada:
Qw - fluxo de vapor entrando no tambor
PD - pressão no tambor
QS - fluxo de vapor para a turbina
R - resistência de atrito do super-aquecedor
RT - resistência apresentada pela turbina, a uma dada abertura da válvula.
PD - pressão do tambor de caldeira
Nos primeiros instantes após a variação de RT (válvula da turbina) a tensão em C (pressão
da caldeira) não se altera. Mas a tensão em PT (pressão na válvula) variará devido à queda de
pressão em R (super-aquecedor). A queda de pressão no super-aquecedor varia com o quadrado
do fluxo:
PDT = KQ2S
(2.37)
20
Pressão na
caldeira PD
da turbina
Geração
de vapor
-
?
Fluxo de
vapor
Armaze−
- namento
concen−
trado
?
-
Turbina
Superaquecedor
?
?
Pressão na
válvula PT
PDT
QW
-
QD
R
?
PD 6
C
-
QS
RT
1
=
KV
6
PT
Figura 2.17: Análogo elétrico para o fluxo de pressão na caldeira
GSP-EEL-UFSC
21
∆KV
?
QS0
KV 0
∆QW +
-
∆QD6-
1
sC
+
∆PD -
∆PT -
+
?
+
-
KV 0
∆QS
6-
∆QS
∆PDT
R
6
Figura 2.18: Diagrama de blocos simplificado do processo da caldeira
onde K é um coeficiente de atrito. Linearizando-se com respeito a QS :
∆PDT = (2KQS0 )∆QS
(2.38)
onde QS0 é o fluxo de vapor em regime permanente, no ponto de operação considerado. Assim,
da Figura 2.17
R = 2KQS0
(2.39)
O fluxo QS é análogo à corrente em RT . Da mesma figura tem-se
Q S = K V PT
(2.40)
onde KV é proporcional a abertura da válvula.
Linearizando-se com relação ao mesmo ponto de operação
∆Qs = KV0 ∆PT + PT0 ∆KV = KV0 ∆PT +
Q S0
∆KV
KV 0
(2.41)
onde KV 0 é função do nı́vel de carga.
Usando as equações (2.38), (2.39), e (2.41) e considerando-se a Figura 2.17, chega-se ao diagrama de blocos apresentado na Figura 2.18.
O vapor gerado pela caldeira, Qw , é por sua vez proporcional ao calor liberado na fornalha,
mas existe um atraso de 5 a 7 seg devido à transmissão de calor entre a parede do tubo e a pelı́cula
de água. Assim, se ∆Ff representa a variação na quantidade de combustı́vel na fornalha:
∆Qω
1
=
∆Ff
1 + sTa
(2.42)
onde Ta é a constante de tempo da pelı́cula de água.
Finalmente, a dinâmica do sistema de combustı́vel deve ser também levada em conta. Para o
carvão, a função de transferência entre o sinal de entrada de ar e combustı́vel e o calor na caldeira
apresentam um atraso de transporte da ordem de 40 s, e é da forma
∆Ff
e−Tds
=
∆Fs
1 + Tp s
(2.43)
22
∆KV
?
Sinal de
∆FS
-
−T DS
e
1 + TF S
Pressão no
Combustı́vel
e ar na
fornalha
∆QM
combustı́vel
e ar
∆FF
1
1 + TA S
QO
KV O
tambor
?
+
-
6-
1
SC
∆PD
+ ∆PT
-
-
6-
R
∆Q
6
KV O
-
+
?
∆Q
-
Fluxo de
vapor
para
turbina
Sistema de
ar e
-
Caldeira
-
Combustı́vel
Figura 2.19: Processo da caldeira com dinâmica do combustı́vel e transmissão de calor para água
onde Td é um tempo morto e Tf é um retardo.
O diagrama de blocos completo usando as equações (2.42), (2.43) e a Figura 2.18 é mostrado
na figure 2.19.
Valores tı́picos das constantes do modelo da Figura 2.19 são dados a seguir.
Td = 40 seg para carvão e 0 para outros
Tf = 30 seg para carvão e 5 seg para outros
Ta − 5 a 7 seg
C − 90 a 300 seg
Para se estudar o controle da dinâmica da caldeira, o diagrama de blocos da Figura 2.19 pode
ser representado como na Figura 2.20. Com essa disposição, torna-se possı́vel estudar o projeto
dos controladores para a dinâmica da caldeira. O controlador da Figura 2.20, por exemplo, usa
realimentações da pressão na válvula da turbina ∆PT e o fluxo de vapor para a turbina ∆Q.
A função do controlador é reconduzir a pressão de volta ao valor de referência.
2.7
Turbinas a gás
Uma turbina a gás é um um dispositivo que contem um compressor para aspirar e comprimir um
gás (geralmente o ar), uma câmara de combustão ou queimador, onde combustı́vel é adicionado
para aquecer o ar comprimido, e uma turbina para extrair a potência do fluxo de ar aquecido.
A turbina a gás começou a ser utilizada em 1939, para a geração de energia elétrica (Suı́ça) e
para os primeiros aviões a jato (Alemanha). O rendimento destas primeiras turbinas era bastante
reduzido (18% para a turbina usada na Suı́ça para geração de energia elétrica), mas aumentou até
o valor presente de cerca de 40% para ciclo simples e 55% para ciclo combinado. Espera-se um
aumento ainda maior de eficiência no futuro, atingindo-se 45-47% para ciclo simples e até 60%
GSP-EEL-UFSC
23
mudanças
de combustı́vel
ref. de
-
pressão
sistema ∆FS
?
de
controle
6
-
sistema
de ar e
∆FF
-
combustı́vel
sistema
de
caldeira
∆Q
-
6
realimentação da pressão na válvula
∆PT
Figura 2.20: Configuração do controle da caldeira
para ciclo combinado. Estes valores são bem superiores a outros fontes primárias como unidades
térmicas a vapor.
O combustı́vel usado em turbinas a gás para geração de energia elétrica é em geral gás natural,
mas outros combustı́veis podem ser usados como óleo Diesel ou óleos residuais e gaseificação
de combustı́veis sólidos como carvão e madeira. Na aviação, produtos destilados leves do tipo
querosene, são usados.
2.7.1
Vantagens da turbina a gás
Algumas das vantagens da turbina a gás para a geração de energia elétrica são:
1. Produção de elevada potência útil com relação ao tamanho e peso.
2. Pode ser trazida a plena carga em um tempo bastante reduzido, medido em minutos, enquanto unidades térmicas a vapor podem levar horas.
As caracterı́sticas da turbina a gás a tornam adequada para prover capacidade de suprimento
no pico ou em situações de emergência. A rapidez de partida até a tomada de carga é ilustrada
pelos dados a seguir:
• Partida (4 a 14 minutos)
– Motor de indução aciona a turbina
– Ignição do combustı́vel
– Detecção de chama
• Sincronização (1 a 4 minutos)
– Ajuste da tensão de campo
– Ajuste fino da velocidade
– Fechamento do disjuntor
• Carregamento a mı́nima carga (10%)
Existe pelo menos um caso relatado na literatura, onde o rápido acionamento de turbinas a
gás evitou um colapso do sistema.
24
2.7.2
Princı́pios de operação
Um esquema da turbina a gás para geração de eletricidade é mostrado na Figura 2.21
Câmara de
combustı́vel
Exaustão
Combustı́vel
Compressor
eixo
Turbina de
potência
Turbina
Entrada de ar
Figura 2.21: Esquema da turbina a gás
A turbina a gás é baseada no ciclo Brayton, mostrado na Figura 2.22.
P
Calor adicionado
pela combustão
2
3
Trabalho para acionar
compressor
Aumento de pressão
através do compressor
e redução de volume
1
Trabalho útil
4
Calor de exaustão
V
Figura 2.22: Ciclo Brayton
O ar é comprimido do ponto 1 ao ponto 2, aumentando a pressão e reduzindo o volume
ocupado. O ar é então aquecido do ponto 2 ao ponto 3. Este calor é obtido pela injeção e ignição
do combustı́vel na câmara de combustão. O ar comprimido quente expande-se do ponto 3 ao
ponto 4, aumentando o volume, passando inicialmente pela turbina que aciona o compressor e
então pela turbina de potência. O ar passa então através de um exaustor para a atmosfera.
2.7.3
Plantas de ciclo simples e ciclo combinado
Uma turbina a gás que segue o ciclo Brayton é chamada de turbina a gás de ciclo simples. Turbinas
a gás de ciclo simples são usadas para geração distribuı́da (micro-turbinas), uso industrial ou
cogeração. A potência em geral é menor do que 20 M W .
Uma planta com turbina a gás com ciclo combinado (CCGT em inglês) é uma planta onde a
turbina a gás e a turbina a vapor são combinadas para obter uma maior eficiência do que no uso
separado. O gás de exaustão da turbina a gás é usado para produzir vapor através de um trocador
de calor para suprir uma turbina a vapor que é usada para produzir mais eletricidade. A potência
em geral é superior a 20 M W chegando até 400 M W .
GSP-EEL-UFSC
25
O rendimento para o ciclo combinado é dado pela equação
ηcc = ηB + ηR − ηB ηR
(2.44)
onde ηB denota o rendimento de uma turbina a gás com ciclo Brayton e ηR denota o rendimento
de uma turbina a vapor com ciclo Rankine.
Para uma turbina a gás com ciclo Brayton com alto rendimento ηB = 40%, e um rendimento
ηR = 30% para uma turbina a vapor, tem-se que o rendimento combinado das duas é ηcc = 58%
o que explica as vantagens do ciclo combinado.
2.7.4
Modelagem da turbina a gás
A modelagem da turbina é complexa se todos os elementos que compõem a turbina forem modelados detalhadamente. Para estudos na área de sistemas de potência, modelos simplificados são
usados. Basicamente o modelo deve incluir o controle de velocidade e carga, o sistema de controle
de combustı́vel e ar, a câmara de combustão, a turbina a gás, o sistema de controle de temperatura
de exaustão e, no caso de unidade de ciclo combinado, outros elementos associados ao processo de
troca de calor e turbina a vapor. A seguir estudaremos cada um destes componentes. A descrição
e a nomenclatura seguem de perto as referências [19] e [20].
2.7.4.1
Ciclo simples
A turbina a gás pode ser representada pelo modelo apresentado na Figura 2.23.
Neste modelo pode-se identificar o controle de velocidade e carga, o controle de combustı́vel,
a medição de temperatura de exaustão e a modelagem de elementos da própria turbina, como
atrasos de transporte, descritos a seguir.
Controle de velocidade e carga As entradas do regulador de velocidade são a demanda
de carga VL e a a variação de velocidade ∆N . O controlador pode ser do tipo proporcional ou
integral (PI ou PID). O controle proporcional limita a variação de velocidade, que pode ser trazida
à velocidade nominal pelo ajuste da potência de referência. No entanto, a temperatura ambiente
limita a máxima potência da turbina. Um controlador do tipo integral é usado principalmente
em condições de ilhamento, para assegurar que a freqüência inicial é recuperada. A saı́da do
controlador produz a demanda de combustı́vel. No entanto, como deve haver um limite para a
temperatura de exaustão, o sinal gerado pelo regulador é comparado com o sinal gerado pelo
controle de temperatura (descrito mais adiante), através de um seletor de menor valor (SMeV),
ou seja, o menor dentre os dois sinais é selecionado.
Controle de combustı́vel A constante K3 representa um fator de escala do sinal VCE . O
retardo associado à constante T representa retardos no regulador de velocidade digital. K 6 representa o consumo de combustı́vel a vazio em velocidade nominal, assegurando que o compressor
permanece em operação.. O posicionador da válvula e o controle de fluxo de combustı́vel, são
representados pelos blocos indicados na Figura 2.23. Estes blocos modelam a dinâmica da posição
da válvula e o sistema de condução de gás. O valor de saı́da deste bloco representa o sinal de
fluxo de combustı́vel WF , que é um dos sinais de entrada do modelo da turbina.
26
TR
(Referência de temperatura)
Escudo
Controle
de
de
temperatura
Termopar
radiação
Turbina
+
?
1
K5 T5 s + 1 K +
f1
Σ d
tt
T3 s + 1
− T4 s + 1
?
MAX
e−sTT D Referência
RV
+
?
MAX
- W (Xs + 1)
6−
Ys+Z
K6
MIN
?
-SMeV
Wf 1
VCE
- π
+
- K
3
-
e
−sT
6+
+
?
- Σ
+
Posição
da
válvula
-
6
a
bs + c
Sistema de
combustı́vel
-
Câmara de
combustão
Wf
1
tf s + 1
-
e−sECR
MIN
Kf
Dinâmica
da turbina
1
TCD + 1
desvio de
velocidade (pu)
Turbina
Pmec
1.0
+
?
- Σ
+
N
+
π 6+
f2
Wf 2
Figura 2.23: Modelo da turbina a gás: ciclo simples [20]
Elementos da turbina A câmara de combustão é modelada por um atraso ECR . O volume do
compressor é associado à constante TCD . A função não-linear f2 permite determinar a potência
mecânica de saı́da da turbina Pm . Esta função é dada por f2 = a12 + b12 Wf 2 − c12 ∆N . A potência
mecânica depende da velocidade N , e é dada por Pm = f2 N .
A saı́da da câmara de combustão passa por um atraso de transporte da turbina e exaustão,
dado por ET D e através da função não-linear f1 , fornece a temperatura de exaustão. A função f1
é dada por f1 = TR − a11 (1 − Wf 1 ) − bf 1 ∆N .
Controle da temperatura de exaustão A temperatura de exaustão depende da velocidade
do rotor, do fluxo de combustı́vel, da temperatura ambiente e do controle das aletas. Este último é
usado no caso da turbina de ciclo combinado, como discutido mais adiante. A função f1 combina
os demais fatores. A temperatura de exaustão é medida através de um escudo de radiação e
termopar, cuja saı́da é a temperatura medida TE0 .
A temperatura de exaustão medida TE0 é comparada com o valor limite TR e o erro atua no
controle de temperatura. Quando TE0 é menor que TR , o controle de temperatura permanece no
valor máximo, de cerca de 1.1 pu. Quando TE0 é maior que TR , o controlador sai dos limites e o
integrador produz um sinal que diminui até que, quando menor do que o sinal de combustı́vel FD ,
assume o controle do sinal de demanda para o combustı́vel VCE , através de um seletor de menor
valor (SMeV).
GSP-EEL-UFSC
2.7.4.2
27
Ciclo combinado
O modelo usado para o ciclo simples é praticamente usado integralmente no caso de ciclo combinado. No entanto, neste último caso, a temperatura de exaustão é controlada para que seja
mantida alta em perı́odos de baixa carga, assegurando a eficiência do ciclo de vapor. Além disso,
deve-se modelar o trocador de calor e a turbina a vapor. O modelo é apresentado na Figura 2.24.
28
Fuel Override
+
KF.O.
1.0
velocidade
−
Regulador IGV
−
KIGV
+
Dinâmica IGV
Fluxo de
Gás de Exaustão
1
1 + sTIGV
Reg
1 + sTIGV
s
Dinâmica da HRSG
Fluxo de
Vapor
u
FIGV
π
in
entrada Tex.gases
Conversões
FHRSG
1
(1 + sTm)(1 + sTb)
1
MW
mvapor
vapor
Pmec
1
(...)
+
F3
Incremento
Decremento
π
K4 +
+
1
(1 + sTat)
Ker
(1 + sTer )
1 + sTtemp
sTt
−
Set Point
Droop
Reg. Velocidade
+
+
fr
W (1 + Xs)
Z +Ys
Velocidade de Ref.
SMV
Limitador de
Combustı́vel
+
π
−
1
1 + sTvp
K3
1
1 + sTf s
1
1 + sTcd
F2
π
+
Posição da
Válvula
Limitador Acc.
velocidade
−
Kacc
s
s
Sistema de
Combustı́vel
Compr.
Descarga
K6
Compensação
+
velocidade
Max. acc.
Figura 2.24: Modelo da turbina a gás: ciclo combinado (baseado em [4])
velocidade
gas
Pmec
F4
+
Tambiente
Termopar
Escudo de Radiação
1/u
Wt
Limitador de Temp.
GSP-EEL-UFSC
29
A seguir os elementos adicionais para o caso de ciclo combinado, são descritos.
Controle de ar O controle de entrada de ar é realizado por aletas, conhecidas pela sigla inglesa
IGV (inlet guide vanes). Na faixa de baixa carga o combustı́vel e as aletas de entrada de ar
são controlados para manter a temperatura de entrada para o trocador de calor, assegurando a
eficiência da turbina a vapor mesmo em carga reduzida. Isto é conseguido programando-se o fluxo
de ar de entrada para uma certa demanda e fixando-se a referência de temperatura no valor que
resulta, na carga desejada e com o fluxo de ar estabelecido, em uma temperatura de entrada da
turbina constante. A temperatura de exaustão de referência e o fluxo de ar podem ser determinados
a partir de equações básicas. A temperatura de referência de exaustão é calculada em função da
temperatura ambiente e da demanda de carga a partir das equações básicas. Estes valores são
convenientemente limitados. O controle da aleta tem limites non-windup correspondentes à faixa
de variação do controle das aletas. A dinâmica das aletas é modelada por uma constante T IGV .
O fluxo de ar de exaustão é dado pelo produto de FIGV pela velocidade do eixo.
O cálculo da temperatura de exaustão é semelhante ao caso do ciclo simples, mas agora o
cálculo depende do fluxo de ar, como indicado no diagrama de blocos da Figura 2.24.
Turbina a vapor O modelo da turbina a vapor deve incluir o gerador de vapor. O gerador de
vapor recupera o calor gerado pelos gases de exaustão da turbina a gás. Este gerador é conhecido
pela sigla em inglês HRSG (heat recovery steam generator). Um modelo considerando apenas
duas constantes de tempo é apresentado na Figura 2.24.
Modelos simplificados da turbina a gás Modelos mais simples para a turbina a gás podem
ser obtidos se algumas hipóteses forem feitas [26].
• a dinâmica do sistema de combustı́vel é desconsiderada.
• a seção da turbina é modelada por uma função de transferência de primeira ordem.
• Consideram-se limites de potência associados a variações ambientais de temperatura. Assim
a potência de saı́da é reduzida em dias quentes e aumentada em dias frios.
Com estas hipóteses simplificadoras, o modelo da turbina a gás pode ser representado pela
Figura 2.25.
Plimite
Demanda
de
carga
-
1
1 + sTG
Potência
-
0
Figura 2.25: Modelo simplificado da turbina a gás
Consideram-se limites de potência, representados por limitadores, associados a variações ambientais de temperatura. Assim a potência de saı́da é reduzida em dias quentes e aumentada em
dias frios.
Nesta modelagem é considerada apenas a dinâmica da turbina a gás. Para o caso de unidade
de ciclo combinado, o modelo deve incluir a turbina a vapor.
30
2.8
Modelagem da turbina hidráulica
A central hidroelétrica é composta de barrgem, captação e condutos de adução de água, casa de
máquinas e conduto de restituição da água. Para a modelagem da turbina, apenas o conduto
forçado, que conduz a água da barragem até à turbina, é considerado.
2.8.1
Modelo do conduto forçado e turbina hidráulica
Para a determinação de um modelo de unidades hidráulicas para o controle de velocidade apenas
a dinâmica da água no conduto forçado é considerada.
Quando se levam em conta os efeitos de compressibilidade da água e elasticidade das paredes
do conduto forçado, a modelagem do conduto forçado e turbina hidráulica torna-se complexa.
Neste caso faz-se necessário considerar o caráter distribuı́do da tubulação hidráulica, resultando
na modelagem em termos de equações de ondas viajantes de pressão e velocidade.
Contudo, se o conduto forçado não for muito longo, se a água for considerada incompressı́vel
e a tubulação inelástica, é possı́vel se chegar a um modelo dinâmico mais simples para o conduto
forçado e turbina. Assim, no desenvolvimento abaixo se supõe que estas condições são verdadeiras.
Com estas hipóteses tem-se:
Q = Q(H, N, G)
Tm = Tm (H, N, G)
(2.45)
(2.46)
onde
Q - vazão da água na turbina
N - velocidade da turbina
H - altura da água no reservatório com respeito a entrada na turbina
G - posição do distribuidor
Tm - torque da turbina
As equações acima podem ser linearizadas e expressas em pu do valor em regime permanente:
∆H
∆N
∆G
∆Q
= a11
+ a12
+ a13
Q0
H0
N0
G0
∆Tm
∆N
∆G
∆H
+ a22
+ a23
= a12
Tm0
H0
N0
G0
(2.47)
(2.48)
Usando-se a segunda lei de Newton pode-se escrever a equação de aceleração da coluna de
água como:
d(∆v)
LAρ
= −Aρg∆H
(2.49)
dt
onde
∆v é a variação de velocidade da água,
ρ é a massa especı́fica da água,
L e A são o comprimento e a área do conduto forçado, respectivamente,
g é a aceleração da gravidade.
LAρ é a massa de água no conduto e ρg∆H representa o aumento incremental de pressão
hidráulica nas palhetas da turbina.
A equação (2.49) pode ser escrita como
Lv0
∆H
d ∆v
(
) = −g
H0
dt v0
H0
(2.50)
GSP-EEL-UFSC
31
ou ainda
d ∆v
gH0 ∆H
(
)=−
(
)
dt v0
H0 H0
Desde que
v=
segue que
d
dt
∆Q
Qo
(2.51)
Q
A
=−
(2.52)
1 ∆H
(
)
T w Ho
(2.53)
∆
Lvo
onde Tw = gH
é o tempo de partida nominal da água
o
Pode-se interpretar Tw como o tempo necessário para acelerar a água na tubulação desde zero
até vo sob a ação da pressão Ho .
e substituindo-se em (2.48), tem-se:
Resolvendo-se para ∆H
H0
a a
(a11 − 21a2313 )Tw s + 1
∆Tm
(s)
=
a
23
Tm0
a11sTw + 1
∆G
G0
+ a22
(a11 −
a21 a12
)Tw s
a22
a11 sTw + 1
+1
∆N
N0
(2.54)
Assim as variações de Tm são produzidas por dois componentes, um relacionado com variações
no distribuidor e outro com variações na velocidade da turbina. Como estas últimas são pequenas,
especialmente quando o gerador está ligado a um sistema, será desprezado o termo que depende
de ∆ NN0 .
Assim,
1 + (a11 − a13a23a21 )Tw s ∆G
∆Tm
(s)
=
a
(2.55)
23
Tm0
1 + a11 Tw s
G0
Para valores tı́picos para turbina a plena carga:
a11 = 0.58 a21 = 1.40
a13 = 1.10 a23 = 1.5
tem-se
(1 − 0.96Tw s) ∆G
∆Tm
(s)
=
1.5
Tm0
(1 + 0.58Tw s) G0
(2.56)
A expressão (2.55) pode ser consideravelmente simplificada se consideradas, além das hipóteses
anteriores, as√seguintes:
a. Q ∝ G H
b. Tm ∝ HQ
c. Perda de pressão no conduto forçado e distribuidor são desprezı́veis
Da hipótese a tem-se
√
Q = K1 G H
(2.57)
Linearizando-se
∆Q =
ou, dividindo-se por Q0
p
∂Q
∂Q
K1 G 0
|0 ∆G +
|0 ∆H = K1 H0 ∆G + √ ∆H
∂G
∂H
2 H0
∆Q
∆G 1 ∆H
=
+
Q0
G0
2 H0
Comparando-se (2.59) e (2.47) segue que:
a11 = 0, 5
(2.58)
(2.59)
32
a12 = 0
a13 = 1.0
Da hipótese b segue que
ou
Tm = K2 H Q∆Tm = K2 H0 ∆Q + K2 Q0 ∆H
(2.60)
∆Tm
∆H ∆Q
=
+
0
Tm
H0
Q0
(2.61)
∆Tm
∆H ∆G 1 ∆H
+
+
=
0
Tm
H0
G0
2 H0
(2.62)
3 ∆H ∆G
∆Tm
=
+
0
Tm
2 H0
G0
(2.63)
Usando (2.59):
ou
Comparando (2.63) e (2.48) segue que
a11 = 1.5
a23 = 1.0
a22 = 0
Substituindo os aij em (2.55) tem-se:
1 − Tw s ∆G
∆Tm
(s)
=
Tm0
1 + T2w s G0
(2.64)
Algumas observações importantes com relação a este resultado são:
1. O modelo de conduto forçado-turbina dado pela Equação (2.64) não considera a compressibilidade da água e da tubulação, que dariam origem ao fenômeno do ”golpe de arı́ete”. As
ondas viajantes correspondentes ao golpe de arı́ete são de freqüência mais alta. Assim, a
Equação (2.64) é uma aproximação para freqüências médias e baixas.
2. O desenvolvimento também não levou em conta a presença de chaminé de equilı́brio, que
provocaria o aparecimento de oscilações de baixa freqüência.
3. Tw é proporcional ao ponto de operação, isto é, a 50% da carga, Tw ≈
1
2
(Tw a plena carga).
A função de transferência dada na Equação 2.64 tem um zero no lado direito e portanto é de
fase não-mı́nima. Como veremos a seguir, isto determina o comportamento dinâmico da turbina
sob o ponto de vista de controle, exigindo alguma forma de compensação para assegurar um bom
desempenho dinâmico.
2.8.2
Resposta da potência mecânica da turbina a uma variação em
degrau de posição da válvula
Vamos considerar um aumento em degrau da posição G(s) da válvula, com objetivo de aumentar
a potência mecânica produzida. Usando
1 − Tw s
∆Pm (s)
=
∆G(s)
1 + T2w s
(2.65)
GSP-EEL-UFSC
e fazendo ∆G(s) =
33
∆G
s
tem-se:
∆Pm (s) =
1 − Tw s ∆G
2(1 − Tw s)
2 ∆G
=
(s +
)
Tw
Tw
Tw s
1+ 2 s s
(2.66)
Decompondo-se em frações parciais
B
A
1 − Tw s
+
2 ) =
s
s(s + Tw
s + T2w
e segue que A =
Portanto
Tw
2
(2.67)
e B = − 3T2w .
∆Pm =
∆G
3∆G
−
s
s + T2w
e no domı́nio do tempo
2t
∆Pm (s) = (1 − 3e− Tw ) ∆G
(2.68)
(2.69)
Inicialmente a potência mecânica diminui e depois aumenta. A queda de pressão resultante da
abertura da válvula distribuidora provoca uma variação negativa da potência da turbina. Isto se
dá porque a pressão está sendo usada para acelerar a massa de água no conduto forçado.
Se um comando no sentido de reduzir a potência mecânica tivesse sido aplicado, o comportamento seria o inverso, ou seja, a potência mecânica inicialmente aumenta e depois diminui. Como
o fluxo de água não muda instantneamente, a redução na abertura da válvula provoca um aumento
de velocidade da água e portanto uma maior potência.
Pode-se explicar este comportamente através do zero no lado direito na função de transferência
da turbina hidráulica. Pode-se reescrever a Equação 2.64 como
∆Tm (s) =
1
Tw
∆G − s
∆G
Tw
1+ 2 s
1 + T2w s
Observa-se que o segundo termo corresponde a subtrair a derivada da resposta do primeiro
termo a entrada, e produz o resultado observado acima.
O exemplo a seguir, embora hipotético, ilustra a ordem de grandeza das variáveis associadas
a uma turbina hidráulica.
Exemplo 2
Considere um conduto forçado de 150 m de comprimento e 1 m de diâmetro, sendo a altura de
água no reservatório, medida com respeito ao nı́vel do distribuidor, de 120 m (Figura 2.26).
Isto significa que uma massa de água dada por:
m = ρLA = 1000.150
π12
= 117, 8 ton
4
(2.70)
onde ρ = 1000 kg/m3 se desloca no conduto forçado com uma velocidade ao nı́vel da turbina dada
por:
√
√
1
2
2gH
o
que
resulta
em
v
=
2 × 9.81 × 120 = 48, 5m/s = 174, 6km/h
mv
=
mgH
ou
v
=
2
A massa que entra por unidade de tempo na turbina é
vAρ = 48, 5
π1
x1000 = 38, 1 ton
4
34
D= 1m
H= 120m
u= 175 km/h/
R
distri.
pot. saida= 36 M W
L= 150m
Figura 2.26: Conduto forçado e turbina
A energia associada a esta massa á
1
E = mv 2
2
ou E = 44, 8 M J, o que corresponde a uma potência P = 44, 8 M W .
Considerando o rendimento de η = 0, 85 tem-se uma potência de saı́da de P = 44, 8 × 8, 80 ou
P = 35, 84M W
Os valores envolvidos no exemplo anterior mostram que não se pode esperar que a redução
na abertura de distribuidor, embora provocando uma maior resistência ao fluxo e causando assim
uma desaceleração da massa d’agua, possa fazer a vazão variar instantâneamente. Como v = Q
A
e a vazão Q permanece inicialmente constante, a redução da área A apresentada ao fluxo pelo
distribuidor provoca um súbito aumento de velocidade da água para a turbina. O nı́vel de energia
da água ( 12 mv 2 ) conseqüentemente aumenta, dando origem a um aumento da potência de saı́da.
Após algum tempo, o aumento de resistência ao fluxo reduz tanto a vazão quanto a velocidade, e
a potência de saı́da da turbina reduz-se finalmente um valor abaixo do valor inicial.
2.8.3
Parada de emergência de uma unidade hidráulica
Quando a carga de um hidrogerador é subitamente reduzida a zero, o torque da turbina deve
ser reduzido tão rapidamente quanto possı́vel para evitar sobre-velocidade excessiva do gerador.
Para isso, é necessário fechar as pás do distribuidor o que, se for feito muito rapidamente, pode
provocar o surgimento de uma forte onda de pressão que pode facilmente causar rupturas no
conduto forçado. Este problema pode ser minimizado se forem adotadas as seguintes providências:
• Restringir a velocidade de fechamento das pás do distribuidor
• Prover o conduto forçado de uma chaminé de equilı́brio
• Introdução de uma ”válvula de alı́vio”no conduto forçado
GSP-EEL-UFSC
35
Quando o distribuidor fecha completamente, em caso de emergência, o aumento resultante de
pressão provoca a abertura da válvula de alı́vio que permite que a água contorne a turbina.
O custo de uso de uma válvula de alı́vio e do caminho de ”by-pass”deve ser ponderado contra
o custo de reforço das paredes do conduto forçado. Esta última opção deve ser a preferida para
condutos curtos, enquanto que a primeira poderá ser a preferida para tubulações longas.
Em caso de perda de carga, a baixa velocidade de fechamento das pás do distribuidor exigida
pelas turbinas hidráulicas fará com que a sobre-velocidade resultante seja muito mais elevada do
que para turbinas a vapor, de modo que em geral o gerador deve ser dimensionado para resistir a
sobre-velocidade da ordem de 60 a 100%.
2.8.4
Comparação do desempenho dinâmico de unidades térmicas e
hidráulicas
As caracterı́sticas de controle de turbinas hidráulicas e a vapor podem ser assim caracterizadas:
uma turbina a vapor com ”fast valving”e controle da válvula interceptora é capaz de estender os
limites de estabilidade transitória, contribuindo assim para o amortecimento de oscilações pósfalta. O controle rápido das válvulas de admissão e interceptora assegura nı́veis relativamente
baixos de sobre-velocidade após perda súbita de carga (sobre-velocidade limitada a 7 − 10%).
Por outro lado, uma turbina hidráulica contribui pouco quanto às caracterı́sticas de estabilidade transitória devido a lenta atuação das pás do distribuidor, mas é capaz de suprir variações
apreciáveis de potência em questão de segundos após uma variação de demanda. Em razão da
necessidade de se ter um controle lento do distribuidor, a sobre-velocidade após súbita perda total
de carga é muito maior que a de uma turbina a vapor, de modo que o projeto de um hidrogerador
deve considerar a possibilidade de sobre-velocidade da ordem de 60 − 100%.
Em sistemas de potência com geração mista (hidráulica e térmica), é claramente mais conveniente deixar com as unidades hidráulicas o suprimento de variações de demanda. Estas unidades
regularão portanto, a freqüência do sistema enquanto que as unidades térmicas suprirão a base de
geração.
36
Exercı́cios
1. Ache a função de transferência de uma turbina a vapor com estágios de alta, média e baixa
pressão. Considere que a válvula de admissão de vapor é representada por um ganho K c , a
constante de tempo da câmara de vapor é Tc , o reaquecedor é representado por uma constante
de tempo TR e a tubulação entre os estágios de média e baixa pressão é representada por
uma constante de tempo Tco . Admita igualmente que as frações de torque produzidas nos
estágios de AP , M P e BP são, respectivamente, f AP , fM P e fBP .
CAPÍTULO 3
Reguladores de velocidade
3.1
Introdução
O regulador de velocidade controla a velocidade da turbina e portanto a freqüência da tensão do
gerador sı́ncrono. Para que a velocidade seja mantida no valor desejado, a potência gerada deve ser
igual à potência da carga. O desvio de velocidade é usado como sinal de entrada a partir do qual
o regulador de velocidade controla a abertura da válvula de entrada de água, no caso de unidade
térmica, ou de entrada de vapor ou combustı́vel, no caso de unidades térmicas a vapor ou gás,
respectivamente. Além desta função básica, outras funções são ainda realizadas pelo regulador de
velocidade.
Pode-se listar as principais funções do regulador de velocidade como sendo:
• regulação primária de velocidade
• sincronização do gerador ao sistema no menor tempo possı́vel
• recebimento de comandos do controle automático de geração para zerar o erro de controle
de área
• distribuição correta de carga entre máquinas de uma mesma usina
• controle conjunto (”joint control”) de todas as máquinas de uma mesma usina
O regulador de velocidade para o conjunto turbina-gerador é composto genericamente de um
transdutor (sensor) de velocidade e amplificadores de deslocamento e força. A Figura 3.1 mostra
o diagrama de blocos da malha de controle de velocidade.
A saı́da do sensor de velocidade é um deslocamento proporcional à velocidade do rotor do
conjunto turbina-gerador. Tanto o deslocamento quanto a força produzidos pelo sensor são pequenos e necessitam ser amplificados. O amplificador de movimento é um amplificador hidráulico
cuja função é amplificar o deslocamento produzido pelo sensor, enquanto que a força do sensor é
amplificada através do servo-motor. A saı́da do servo-motor é que atua sobre a válvula da turbina.
38
Capı́tulo 3: Reguladores de velocidade
torque de
carga
+
posicão de
ref erência
-
válvula
- piloto e
de
6posicão servomotor 1
erro
-
servo
motor 2
(principal)
posicãoda
válvula
sensor
de
velocidade
válvula
e
turbina
torque
-
?
-
+
inércia
do
rotor
veloc.
-
Figura 3.1: Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade da turbina
No caso de turbinas hidráulicas, o regulador apresenta caracterı́sticas que tentam compensar
os efeitos instabilizantes peculiares da turbina.
O objetivo deste capı́tulo é apresentar a estrutura, modelagem, caracteristicas e tipos dos
reguladores de velocidade.
3.2
Estrutura do regulador de velocidade
O regulador de velocidade para a turbina hidráulica consiste de um sensor de velocidade, que
produz um deslocamento mecânico ou, mais comumente, um sinal elétrico que é convertido em
um deslocamento através de um transdutor eletro-mecânico. A saı́da do sensor de velocidade é
um deslocamento proporcional à velocidade do rotor do conjunto turbina-gerador.
Tanto o deslocamento quanto a força produzidos pelo sensor são pequenos e necessitam ser
amplificados. O amplificador de movimento é um amplificador hidráulico cuja função é amplificar
o deslocamento produzido pelo sensor, enquanto que a força do sensor é amplificada através de
servo-motores. O deslocamento produzido pelo transdutor eletro-mecânico aciona uma válvula
piloto, para ampliar a ação do transdutor e que, através do servo-motor piloto, aciona a válvula
distribuidora e o servo-motor principal. O servo-motor principal aciona o distribuidor, que abre
ou fecha a entrada de água na turbina.
Outros componentes fazem parte do regulador, como o controlador de carga-freqüência, o
amortecedor, para melhorar o desempenho transitório, sistemas de alavancas, etc.
A seguir os principais componentes dos reguladores de velocidade são modelados. sendo o
modelo do regulador de velocidade obtido, pela associação destes modelos.
3.3
Modelagem do Regulador de Velocidade
Os reguladores de velocidade evoluı́ram dos reguladores mecânico- hidráulicos convencionais aos
reguladores eletro-hidráulicos modernos. A parte hidráulica, associada aos diversos estágios de
amplificação de potência, não sofreu modificações significativas nos reguladores modernos. Outros
componentes, como os sensores de velocidade e amortecedores, sofreram modificações. Neste
último caso, as funções de transferência do modelo podem, em alguns casos, ser obtidas a partir
do componente mecânico, mais antigo, o que pode simplificar o desenvolvimento. É o caso, por
exemplo, do sensor de velocidade.
GSP-EEL-UFSC
39
w
Figura 3.2: Sensor centrı́fugo
3.3.1
Modelagem dos componentes do regulador de velocidade
3.3.1.1
Sensor de velocidade
O sensor de velocidade pode ser mecânico, hidráulico ou elétrico. Classicamente, o sensor utilizado
é do tipo centrı́fugo (”flyballs”). Sensores hidráulicos usam uma bomba de óleo cuja pressão
de saı́da é função da velocidade. Os sensores eletromecânicos, por sua vez, consistem de um
gerador acoplado ao eixo da turbina cuja tensão ou freqüência de saı́da é função da velocidade do
eixo. Reguladores mais modernos empregam um sistema eletro-hidráulico que apresenta uma alta
sensibilidade a desvios de velocidade, aliada a uma resposta rápida.
A análise a seguir baseia-se no regulador de velocidade mecânico do tipo centrı́fugo, cujos
componentes e desempenho são mais fáceis de visualizar.
Um sensor centrı́fugo tı́pico é apresentado na figura 3.2
Desprezando-se as forças gravitacionais, há duas forças atuando sobre as esferas: a força
centrı́fuga e a força dirigida para dentro devida à mola. O sensor é projetado de tal maneira
que os desvios ∆x são proporcionais aos desvios de velocidade angular, isto é:
∆x = Kω ∆ω
(3.1)
Em reguladores mais modernos o sensor de velocidade é um gerador elétrico que gera uma
tensão ou freqüência proporcional à velocidade. Este sinal elétrico é convertido em um deslocamento por um transdutor eletro-mecânico. No caso de reguladores convencionais o sinal elétrico
alimenta um motor que aciona um mecanismo tipo sensor centrı́fugo, convertendo o sinal em um
deslocamento. Em reguladores modernos um campo eletromagnético gerado em uma bobina atua
sobre uma peça móvel produzindo o deslocamento.
3.3.1.2
Servomotor hidráulico
O pequeno deslocamento e potência obtidos do sensor de velocidade ou transdutor eletromecânico
são amplificados por servomotores hidráulicos. Este deslocamento inicial atua sobre uma válvula
piloto. O deslocamento da válvula piloto permite a introdução de óleo nas câmaras do servomotor.
O servomotor aciona a válvula distribuidora a qual aciona o servomotor principal. O servomotor
principal abre então o distribuidor. Este esquema está ilustrado na figura 3.3.
A função de transferência do servomotor é deduzida para o caso de um único estágio (válvula
40
Figura 3.3: Válvula piloto, válvula distribuidora e servomotores
GSP-EEL-UFSC
41
piloto e servomotor), mas a mesma função de transferência pode ser usada para a válvula distribuidora e servo-motor principal.
Considerando-se o fluxo de óleo no mecanismo hidráulico tem-se:
Q = Q(x, P )
(3.2)
onde Q e P são a vazão e a pressão do óleo, respectivamente.
Linearizando-se em torno do ponto de operação tem-se:
∆Q =
∂Q
∂Q
|(x0 ,P0 ) ∆x +
|(x ,P ) ∆P
∂x
∂P 0 0
∆ ∂Q
|
∂x (x0 ,P0 )
A pressão pode ser considerada constante e definindo KQ =
(3.3)
tem-se
∆Q = KQ ∆x
(3.4)
A variação no volume de óleo é dada por ∆V
Então
d[A(−∆y)]
d(∆V )
=
(3.5)
∆Q =
dt
dt
onde o sinal − aparece devido ao fato que ∆y diminui quando ∆x aumenta (ver o sentido positivo
dos deslocamentos). Observa-se que um aumento positivo de ∆x aumenta o volume de óleo que
exerce pressão na parte superior do servo-pistão.
Usando (3.4) e (3.5) tem-se:
d∆y
KQ ∆x = −A
(3.6)
dt
ou
d∆y
= −k0 ∆x
(3.7)
dt
K
onde k0 = AQ
Usando-se a transformada de Laplace obtém-se a função de transferência
∆y
k0
=−
∆x
s
(3.8)
ou seja, o servomotor é um integrador.
A força de reação do óleo apresenta um componente de atrito viscoso, proporcional à velocidade
que é entretanto desprezı́vel face ao componente devido à alta pressão do óleo. Com o deslocamento
∆x mostrado na figura 3.4 há um fluxo de óleo na direção indicada, próximo a superfı́cie A. Logo,
há uma queda de pressão em A em relação à pressão em B, e conseqüentemente um esforço em
deslocar a válvula para cima, em oposição ao movimento original. Esta força será, para pequenos
deslocamentos, proporcional a ∆x.
3.3.1.3
Variador de carga-freqüência
O variador de carga-freqüência é usado para modificar a referência de velocidade na operação em
vazio ou a potência fornecida pela máquina no caso de operação em carga. Neste último caso
a freqüência é determinada pelo sistema ao qual a máquina está conectada. A referência pode
ser modificada através de um mecanismo tipo parafuso sem fim o qual é acionado, em caso de
reguladores mais antigos, por um volante para comando local ou um motor para comando remoto.
No caso de reguladores modernos o variador é um mecanismo que altera um nı́vel de tensão.
42
B
Óleo
sob
pressão
-
∆x
z
z
6
?
A
Figura 3.4: Pistão mostrando a força de reação do óleo
Figura 3.5: Regulador isócrono
3.4
Caracterı́sticas dos reguladores de velocidade
Os reguladores de velocidade apresentam diferentes caracterı́sticas com relação a resposta em
regime permanente após uma variação de carga, ou seja, o erro de freqüência após uma variação de
carga. O comportamento transitório associado a cada caracterı́stica pode exigir a modificação do
regulador para melhorar a resposta transitória. Basicamente os reguladores podem ser classificados
como isócronos ou com queda de velocidade. Nesta seção estudaremos estes dois tipos e ainda
adicionaremos o regulador com compensaçào de queda transitória.
3.4.1
Regulador isócrono
A figura 3.5 mostra um regulador isócrono que utiliza um sensor centrı́fugo cujo deslocamento é
amplificado pelo amplificador hidráulico.
Supondo ω > ωnom , as forças que agem sobre a válvula piloto são mostradas na figura 3.6.
Seja
km - constante da mola
kc - constante relacionada à força centrı́fuga
kr - constante de reação hidráulica
GSP-EEL-UFSC
43
Fm
Fr
?
?
6
Fc
Figura 3.6: Forças atuando no pistão
Então:
Fm = km (∆x + ∆r)
Fc = kc ∆ω
Fr = kr ∆x
(3.9)
(3.10)
(3.11)
onde ∆x, ∆r e ∆ω são variações em torno do ponto de equilı́brio das variáveis mostradas na
figura 3.6, e Fm , Fc e Fr são, respectivamente, as forças de mola, centrı́fuga e de reação do óleo.
Desprezando-se a massa da válvula piloto tem-se
Fm + F r = F c
(3.12)
ou, usando as expressões para estas forças
km (∆x + ∆r) + kr ∆x = kc ∆ω
(3.13)
(km + kr )∆x + km ∆r = kc ∆ω
(3.14)
k1 = k m + k r
(3.15)
k1 ∆x + km ∆r = kc ∆ω
(3.16)
ou ainda
Definindo-se
tem-se
Definindo-se as variações das grandezas nas equações (3.16) e (3.7) em pu tem-se
ξ = ∆x
xB
r
ρ= ∆
rB
σ = ∆ω
ωB
η = ∆y
e
yB
wB = ωnom
Usando-se estas definições em (3.16) tem-se:
k 1 xB ξ + k m r B ρ = k c ω B σ
(3.17)
44
ρ(s)
+
-
−ξ
k m rB
k 1 xB
-
6
Cg
-
η(s)
-
k 0 xB
syB
σ(s)
Figura 3.7: Diagrama de blocos das equações do regulador isócrono
ρ(s)
+
-
-
6
η(s)
-
1
T1 s
σ(s)
Cg
Figura 3.8: Diagrama de blocos do regulador isócrono
ou usando-se a transformada de Laplace
k m rB
ξ(s) = −
k 1 xB
∆ kc ω B
km r B
Definindo-se Cg =
kc ωB (s)
σ(s)
ρ(s) −
k m rB
(3.18)
pode-se escrever
ξ(s) = −
k m rB
(ρ(s) − Cg σ(s))
k 1 xB
(3.19)
Expressando-se a equação (3.8) em pu tem-se:
η(s) = −
k 0 xB
ξ(s)
s yB
(3.20)
As equações (3.19) e (3.20) podem ser representadas na forma de diagrama de blocos (Figura 3.7).
k1 yB
∆
Definindo-se T1 =
o diagrama da figura 3.7 pode ser rearranjado como mostrado na
k m k 0 rB
figura 3.8.
O desempenho deste regulador pode ser estudado considerando um sistema consistindo de uma
turbina vapor sem reaquecimento e da inércia do motor do conjunto turbina-gerador (Figura 3.9):
A função de transferência
σ(s)
ρ(s)
é dada por
σ(s)
=
ρ(s)
s3 +
1
T1 T2 M
1 2
s + T1CT2gM
T2
(3.21)
GSP-EEL-UFSC
45
∆TL
ρ(s) +
-
6
-
1
T1 s
η(s) -
1
1 + T2 s
+
-
?
-
6
-
1
Ms
D
Cg
σ(s)
-
Figura 3.9: Sistema simplificado controlado por regulador isócrono
+
ρ(s) -
-
-
6
M T1
s2
Cg
+ M T 1 T2 s 3
-
Figura 3.10: Diagrama equivalente do sistema simplificado
O comportamento dinâmico do sistema com regulador isócrono deve ser analisado. Uma
questão primordial é a estabilidade do sistema. Para isto será usado inicialmente o critério de
Routh-Hurwitz.
A equação caracterı́stica é dada por:
s3 +
1 2
Cg
s +
=0
T2
T1 T2 M
(3.22)
Aplicando-se o critério de Routh-Hurwitz:
s3 1
0
Cg
1
2
s T2
T1 T2 M
g
s1 − TC1 M
0
C
g
0
s T1 M
Como há duas mudanças de sinal na primeira coluna, segue que a função de transferência em
malha fechada tem dois pólos no semiplano direito e portanto o sistema é instável.
Uma análise em termos do lugar das raı́zes pode mostrar a influência do ganho Cg no deslocamento das raı́zes. A Figura 3.10 tem os mesmos pólos de malha fechada da Figura 3.9. O lugar
das raı́zes é mostrado na Figura 3.11.
Portanto o lugar das raı́zes confirma que duas raı́zes estão sempre no lado direito do plano complexo e o sistema é instável. Devido às não-linearidades presentes tal sistema teria provavelmente
um caráter oscilatório. É importante observar que no sistema em estudo não foi considerada a
46
Evans root locus
Imag. axis
16
12
8
4
×
0
×
−4
−8
−12
Real axis
−16
−23
−19
−15
closed−loop poles loci
asymptotic directions
−11
−7
−3
1
5
9
× open loop poles
Figura 3.11: Lugar das raı́zes para o sistema simplificado com regulador isócrono
∆TL -
-
6
σ-
1
Ms + D
Cg
T1 s(1+T2 s)
Figura 3.12: Sistema considerando a variação de carga
variação da carga com a freqüência (fator de amortecimento D) que pode resultar em um sistema
estável.
Considerando agora a variação de carga, deve-se obter o digrama de blocos ∆Tσ(s)
. Para isto
L (s)
um fator de amortecimento D 6= 0 é considerado, de modo que o sistema possa ser estabilizado
(figura 3.12).
Então:
σ(s)
T1 s(1 + T2 s)
=−
(3.23)
∆TL (s)
T1 s(1 + T2 s)(M s + D) + Cg
Para verificar o comportamento dinâmico do sistema é aplicado um degrau de variação de
carga. Usando o teorema do valor final tem-se
σ(∞) = lim −
s→0
T1 s(1 + T2 s)
∆TL
s
T1 s(1 + T2 s)(M s + D) + Cg s
ou seja, σ(∞) = 0
Portanto o desvio de freqüência em regime permanente é nulo.
GSP-EEL-UFSC
47
w
6
-
Carga
Figura 3.13: Caracterı́stica carga-freqüência para sistema com o regulador isócrono
A caracterı́stica freqüência-carga em regime permanente em um sistema com regulador isócrono
é da forma dada na figura 3.13. Assim, além de instável, o regulador isócrono não propicia uma
divisão adequada de carga entre máquinas. Isto só é obtido quando a caracterı́stica apresenta uma
queda de velocidade com a carga.
3.4.2
Regulador com queda de velocidade
Para corrigir as caracterı́sticas indesejáveis do regulador isócrono, introduz-se a conexão entre
o servomotor principal e a válvula piloto, conforme mostrado na Figura 3.14. As forças que
atuam sobre a válvula piloto são semelhantes à seção anterior, somente que agora F m é devida à
composição dos esforços produzidos pelo deslocamento do variador de velocidade r e pelo pistão
do servomotor.
Figura 3.14: Regulador com queda de velocidade
No equilı́brio
Fr + F m = F c
(3.24)
ou
0
kr ∆x + km (∆x − ∆x ) = kc ∆ω
(3.25)
48
ou ainda,
0
k1 ∆x − km ∆x = kc ∆ω
(3.26)
onde as constantes foram definidas anteriormente.
Considerando-se a superposição dos movimentos de r e y (figura 3.15) então o deslocamento
total é:
6
L
b
∆y
6
a
∆x0y
?
6
?
6
∆x0r
b
∆r
?
?
a
Figura 3.15: Deslocamentos na barra
0
0
0
∆x = ∆xy − ∆xr
(3.27)
ou
0
∆x =
a
b
∆y − ∆r
L
L
(3.28)
Usando (3.26) e (3.28) resulta em
km b
km a
∆e −
∆y = kc ∆ω
L
L
A equação (3.29) pode ser escrita como:
km b r B
a yB
k c ωB L
−ξ(s) =
ρ(s) −
η(s) −
σ(s)
k 1 xB L
b rB
km b r B
k1 ∆x +
(3.29)
(3.30)
onde as grandezas estão em pu. Usou-se ainda o fato de que quando ∆r = rB e ∆y = yB segue
0
que ∆x = 0.
Da equação (3.28):
a
rB
=
yB
b
(3.31)
GSP-EEL-UFSC
+ ?ρ(s) 6-
49
-
(−ξ)
km brB
k 1 xB L
1
R
-
η(s)
k 0 xB
syB
-
σ(s)
Figura 3.16: Diagrama de blocos do regulador com queda de velocidade
Fazendo-se a definição
∆
R=
segue que
km brB
−ξ(s) =
k 1 xB L
km brB
kc LωB
(3.32)
1
ρ(s) − η(s) − σ(s)
R
(3.33)
O diagrama de blocos para as equações (3.33) e (3.8) é dado na figura 3.16:
Definindo-se :
k 1 xB L y B
k1 L b r B
∆
T1 =
=
k m b r B k 0 xB
km b r B k0 a
ou
T1 =
k1 L
km k0 a
-
1
T1 s
chega-se a representação da figura 3.17.
+ ?ρ(s) 6-
1
R
η(s)
-
σ(s)
Figura 3.17: Diagrama de blocos equivalente do regulador com queda de velocidade
Para um degrau de variação de velocidade (com ρ = 0) tem-se
1
1 σ0
σ0
(− ) = −
s→0 1 + sT1 R
s
R
η(∞) = lim
Para provocar uma variação na posição do êmbolo do servo-motor de 1 pu é preciso uma
variação de velocidade de R.
Para estudar o comportamento do regulador com queda de velocidade e compará-lo ao do
regulador isócrono, pode-se usar o sistema simplificado mostrado na figura 3.18. Deve-se observar
que com relação à figura 3.9 somente o regulador foi modificado.
50
∆TL
ρ
+
-
6-
1
1 + sT1
η
-
1
1 + sT2
1
R
+
-
?-
-
1
Ms
σ
-
Figura 3.18: Sistema controlado por regulador com queda de velocidade
A função de transferência de malha fechada é:
1
σ(s)
=
= 3
3
ρ(s)
T1 T2 M s + M (T1 + T2 )s2 + M s + 1/R
s + ( T11 +
Definindo-se K =
1
T1 T2 M
1
)s2 + T11T2 s
T2
+
1
T1 T2 M R
1
tem-se:
T1 T2 M R
KR
σ(s)
= 3
1
1
ρ(s)
s + ( T1 + T2 )s2 +
1
s
T1 T2
+K
A estabilidade do sistema pode ser testada usando o critério de Routh-Hurwitz. Definindo-se
K1 = T11 + T12 a matriz de Routh é dada por
s3 1
s 2 K1
s1 T11T2 −
s0 K
1
T1 T2
K
K
K1
Para o sistema ser estável é necessário que
1
K
−
>0
T1 T2 K1
ou
1
K
>
T1 T2
K1
Usando as definições de K e K1 :
K
1
=
K1
RM (T1 + T2 )
Então
ou
1
1
1
+
>
T1 T2
RM
1
1
>
T1 T2
RM (T1 + T2 )
GSP-EEL-UFSC
51
Evans root locus
Imag. axis
21
17
13
9
5
×
1
× ×
−3
−7
−11
−15
Real axis
−19
−26
−22
−18
−14
−10
−6
closed−loop poles loci
asymptotic directions
−2
2
6
10
× open loop poles
Figura 3.19: Lugar das raı́zes para o sistema com regulador com queda de velocidade
∆TL (s)
--
6
-
∆Tm
1
Ms
σ(s)
-
1/R
(1 + T1 s)(1 + T2 s)
Figura 3.20: Diagrama de blocos para variação de carga
Os parâmetros T2 e M dependem do sistema e são portanto fixos. Pode-se portanto variar T1
e R para assegurar a estabilidade. Para isto deve-se reduzir T1 e aumentar-se R.
O lugar das raı́zes da função de transferência é mostrado na figura 3.19.
O valor crı́tico de R (em função de T1 ), correspondente a raı́zes sobre o eixo imaginário pode
ser calculado por
1
1
1
+
=
T1 T2
Rcrit M
ou
Rcrit =
T1 T2
M (T1 + T2 )
Para estudar o comportamento do sistema com relação a variação de carga, usa-se a função de
transferência ∆Tσ(s)
com ρ = 0, mostrada na figura 3.20:
L (s)
A função de transferência é dada por
52
∆TL (s)
-
−(1 + T1 s)(1 + T2 s)
M s(1 + T1 s)(1 + T2 s) +
σ(s)
-
1
R
Figura 3.21: Função de transferência
σ(s)
∆TL (s)
∆TL (t)
6
A
-
t
σ
- t
6
−AR1
−AR2
Figura 3.22: Variação de velocidade após um degrau de variação na carga para dois valores de
estatismo (regulação)
(1 + T1 s)(1 + T2 s)
σ(s)
=
∆TL (s)
M s(1 + T1 s)(1 + T2 s) +
que é representada na figura 3.21.
Para uma variação de carga ∆TL (s) =
lim σ(s) = lim s
t→∞
s→0
A
s
1
R
tem-se:
−(1 + T1 s)(1 + T2 s)
M s(1 + T1 s)(1 + T2 s) +
1
R
A
A
=−
s
R
A figura 3.22 mostra σ(t) após uma variação em degrau em ∆TL para dois valores de estatismo
(regulação)
As variações de freqüência com a carga em regime permanente são em geral representadas em
um diagrama σ × TL conhecido como caracterı́stica de carga freqüência em regime permanente
(Figura 3.23). Nota-se que um aumento de carga provoca uma queda de freqüência. Para restabelecer a freqüência para o valor nominal é necessário que se aja sobre a referência (variador de
velocidade) do regulador.
3.4.2.1
Nota sobre a interpretação de R
Seja Reg a regulação definida por
GSP-EEL-UFSC
53
6
σ1
σ2
α2
TL1
α1
-
TL2
TL
Figura 3.23: Caracterı́stica carga-freqüência
Reg =
ω0 − ω B
ωB
(3.34)
onde
ω0 velocidade a vazio
ωB velocidade nominal a plena carga
Supondo que o carregamento da máquina passa de vazio para plena carga. De acordo com a
definição do sistema pu, a posição do servo-pistão será (no regime permanente):
∆y = yB
No regime permanente
d(∆y)
=0
dt
ou seja, ∆x = 0
A variação da velocidade é:
∆w = −(w0 − wB ) = wB − w0
Logo, da definição de Reg :
∆ω = −Reg ωB
Na equação (3.29):
−
km a
yB = kc (−Reg ωB )
L
ou
Reg =
e de (3.32) e (3.34) segue que R = Reg
km b r B
km a y B
=
kc L ωB
kc L ωB
54
∆TL
ρ
+
-
6-
1
1 + T1 s
-
1 − Tw s
1 + T2w s
1
R
+
-
?-
-
1
Ms
σ
-
Figura 3.24: Regulador com queda de velocidade em sistema com turbina hidráulica
3.4.2.2
Nota sobre o sistema pu
As seguintes definições para os valores base podem ser usadas:
rB variação da referência de vazio para plena carga a velocidade constante
yB deslocamento do servo-pistão de vazio para plena carga
xB excursão de x correspondente a variação da referência igual a rB
ωB = ωnom
3.4.3
Regulador de velocidade com compensação de queda transitória
As caracterı́sticas particulares das turbinas hidráulicas que resultam basicamente da presença de
um zero da função de transferência no semi-plano direito (função de transferência de fase nãomı́nima), requerem reguladores de velocidade com caracterı́sticas especiais.
Considerando o regulador com queda de velocidade em um sistema com uma turbina hidráulica
com função de transferência
(1 − Tw s)
(1 + T2w )
tem-se então o diagrama de blocos da figura 3.24
Se o desempenho do sistema assim obtido for estudado através de um dos métodos de resposta
em freqüência tais como diagramas de Bode, Nyquist, etc, notar-se-á que o seu comportamento
transitório pode-se tornar demasiadamente oscilatório. Isto advém do fato de que o ganho em
malha aberta, Cg = R1 é alto o suficiente para criar problemas nas altas freqüências.
Desse modo, é necessário que se use alguma forma de compensação tal que o ganho seja
reduzido nas altas freqüências, ou seja, alta regulação para altas freqüências, enquanto que para
baixas freqüências o ganho volta a assumir o valor ditado pelo estatismo em regime permanente.
Esta compensação é obtida através de um compensador de atraso de fase em cascata, isto é,
um compensador cuja função de transferência é do tipo
Gc (s) =
onde α > 1.
1 + τs
1 + ατ s
GSP-EEL-UFSC
55
| Go (s) |db
6
0.1
1
10
ωT
0.1
1
10
ωT
−20log(α)
0
min
Figura 3.25: Diagrama de Bode do compensador de atraso de fase
Figura 3.26: Regulador de velocidade com compensação de queda transitória
Os diagramas de Bode de amplitude e fase para a função de transferência Gc (s) são mostradas
na figura 3.25. Da figura segue que Gc (s) é um filtro passa-baixa, ou seja, as altas freqüências são
atenuadas.
A compensação de atraso de fase acima descrita pode ser obtida através de uma modificação no
regulador com queda de velocidade da figura 3.14 que consiste na realimentação transitória através
de um amortecedor hidráulico (”dashpot”). O esquema deste regulador, chamado regulador de
velocidade com compensação de queda transitória, é apresentado na figura 3.26.
A função de transferência deste regulador é
η(s) =
1 + sTr
(σ(s) − Cg σ(s))
(1 + s Rr Tr )(1 + sT1 )
(3.35)
onde r é o estatismo transitório, Tr é a constante de tempo do amortecedor hidráulico e Cg = R1 .
A função de transferência correspondente a composição em cascata da função de transferência
de regulador com queda de velocidade com o compensador de atraso de fase dado pela equação (3.4.3),
56
com α =
r
.
R
A parte ajustável da função de transferência
Faj = −
η(s)
σ(s)
é
1 (1 + sTr )
R (1 + s Rr Tr )
Para altas freqüências, Faj (s) se comporta como um sistema proporcional de ganho 1r . Este é
o motivo pelo qual r é chamado estatismo transitório. Como r > R, o ganho em altas freqüências
é reduzido.
As constantes a serem ajustadas para se obter um bom comportamento transitório são r e T r ,
isto é, o estatismo transitório e a constante de tempo de amortecimento. Este ajuste é em geral
feito para o caso de uma máquina isolada, e usando-se os diagramas de Bode, de modo a se obter
valores convenientes de margens de fase e de ganho do sistema compensado, como é mostrado na
seção referente ao ajuste de reguladores de velocidade.
3.5
3.5.1
Tipos de reguladores de velocidade
Introdução
Na sua forma mais simples os reguladores de velocidade incluem as seguintes partes:
1. um sensor de velocidade e uma referência de velocidade
2. amplificadores do erro de velocidade
3. um ou mais servomotores para variar o distribuidor da unidade
No passado as partes correspondentes aos ı́tens 1 e 2 consistiam de dispositivos mecânicos ou
oleodinâmicos, mas mais recentemente amplificadores magnéticos ou eletrônicos tem sido usados.
O uso de dispositivos elétricos ou eletrônicos tornou mais fácil o controle da abertura do distribuidor por outros sinais além da velocidade. No caso do regulador de velocidade a concepção
do sistema permaneceu sem modificação, con estrutura do tipo com realimentação derivativa (tacométrico) ou taco-acelerométrico.
Mais recentemente o projeto do regulador de velocidade eletro-hidráulico tem sido mudado mais
profundamente com respeito ao regulador mecânico convencional e as possibilidades advindas do
uso de sinais elétricos tem sido melhor exploradas. O regulador propriamente dito é um regulador
eletrônico cuja saı́da é um sinal elétrico (e não o deslocamento de um servomotor piloto). Este sinal
é ”copiado”e transformado no deslocamento de um conjunto elétrico-hidráulico que compreende
ainda o servomotor de potência.Este ”servo-posicionador”, se não se leva em conta a natureza de
seu sinal de entrada, é igual ao que copiava a posição do servomotor piloto: aqui a entrada é um
sinal elétrico cujo valor, em uma dada escala representa a posição que deve assumir o servomotor,
enquanto que, no outro caso a entrada era um sinal mecânico (a posição do servomotor piloto).
Com tal estrutura, o esquema do regulador propriamente dito não necessita mais ser do tipo
taco-acelerométrico ou de realimentação derivativo, mas pode assumir, sem nenhuma restrição,
a configuração mais adequada para satisfazer a todas as caracterı́sticas que hoje são exigidas
de um regulador de velocidade de turbina. Uma configuração que oferece grande flexibilidade
é aquela na qual os sinais das variações P I, P ID, etc são somados imediatamente antes do
servoposicionador(ver Figura 3.27).
Nas seções seguintes são apresentados as estruturas dos reguladores tradicionais e dos reguladores com servo-posicionador.
GSP-EEL-UFSC
57
-
P
Demanda de
carga
σ
-
I
+ +
+-^ ?
+ 6
+
+
u
6-
-
V álvula distribuidora
Servomotor e
circuitos eletrônicos
η-
Outras
-
D
entradas
Regulador Eletrônico
Servoposicionador Eletro−hidráulico
Figura 3.27: Regulador com servo-posicionador
x
-
1
+
?
u
+
6I
-
V álvula Distribuidora
Servomotor
3
2
y
-
Figura 3.28: Esquema do princı́pio dos reguladores mecânicos e eletro-hidráulicos do tipo tradicional
3.5.2
Regulador tradicional
A estrutura convencional do regulador é geralmente do tipo P I (raramente do tipo P ID) e seja
mecânico ou elétrico é baseado em dois esquemas clássicos:
• com realimentação derivativa (ou com realimentação de queda temporária ou ainda tacométrica)
• com acelerômetro (ou seja com um sensor de velocidade que tem uma função de transferência
P D), também chamado taco-acelerométrico.
O esquema deste regulador é dado na figura 3.28.
Nesta figura tem-se a a associação entre blocos e tipos de reguladores dada na Tabela 3.1.
Estes esquemas tem sido usados tanto em reguladores mecânico-hidráulicos quanto em reguladores
eletro-hidráulicos.
58
1
2
3
Tabela 3.1: Reguladores de velocidade
Regulador Taco-acelerométrico
Regulador com
realimentação derivativa
Taco-acelerômetro
Tacômetro
Realimentação estática
Realimentação estática
Eventual realimentação
Realimentação derivativa
de velocidade do servomotor
A função de transferência genérica do regulador proporcional-integral (P I) é dada por
Tx
1 1 + s b0t
η(s)
GT (s)
=
σ(s)
bp 1 + s Tbpx
(3.36)
onde
Tx - tempo caracterı́stico de ação integral
1
1
1
≈ b1t
0 - coeficiente de ação proporcional onde 0 =
bt +bp
bt
bt
bp - estatismo permanente
bt - estatismo transitório
GT (s) - função de transferência que leva em conta retardos no taco-acelerômetro, amplificadores, servomotor de agulha, etc.
Supondo-se bp pequeno a função de transferência (3.36), sem considerar GT (s), pode ser escrita
como
η(s)
1
1
=
+ 0
σ(s)
sTx bt
que mostra claramente as ações integral e proporcional.
No regulador tradicional a realimentação da posição do servomotor principal é usada tanto para
o estatismo permanente quanto para o estatismo transitório (no caso de regulador tacométrico).
No entanto a caracterı́stica potência mecânica × deslocamento do servomotor é não-linear , especialmente no caso de turbinas Pelton, o que ocasiona uma variação do estatismo com a carga. Por
esta razão alguns reguladores de velocidade usam a realimentação da potência de saı́da em lugar
da posição do servomotor. Com isto a função de transferência da turbina é incluı́da no laço de
controle, o que ocasiona problemas de estabilidade quando a faixa de freqüências da realimentação
de potência é larga. Este é o caso quando a realimentação transitória é derivada da potência de
saı́da.
3.5.2.1
Regulador taco-acelerométrico
Este regulador pode ser representado pelo diagrama de blocos mostrado na figura 3.29.
O regulador taco-acelerométrico explora a ação integral intrı́nseca do servomotor para obter
a ação integral. A ação proporcional resulta do produto da ação derivativa do acelerômetro e da
ação integral do servomotor. A realimentação da velocidade do servomotor (através de T s ) é usada
em alguns reguladores para permitir fixar mais precisamente o ganho integral.
Supondo Tb ≈ 0, a função de transferência deste regulador é
1
η(s)
= KT (1 + sTn )
σ(s)
Kp + s(Ty + Ts )
(3.37)
GSP-EEL-UFSC
59
carga
σ
-KT 1 + sTn
+
-
1 + sTb
+
?
6
-
+
-
1
sTy
η-
sTs
Kp
6
+
Figura 3.29: Regulador taco-acelerométrico
ou
KT 1 + sTn
η(s)
=
σ(s)
Kp 1 + s Ty +Ts
Kp
Comparando-se com a função de transferência
1 1 + sTn
R 1 + s Rr Tn
deve-se ter
1
R
=
KT
Kp
e
r
Ty + T s
Tn =
R
Kp
o que leva a
1
Tn
=
KT
r
Ty + T s
η(s)
σ(s)
Considerando a função de transferência
com Kp → 0 tem-se
η(s)
KT (1 + sTn )
1
Tn
=
=
+
σ(s)
s(Ty + Ts )
s(Ty + Ts ) Ty + Ts
Se não houver realimentação derivativa então Ts = 0. Neste caso a ação integral depende de
e a ação proporcional depende de T1y e de Tn
Os parâmetros deste regulador podem ser relacionados aos parâmetros da função de transferência genérica (3.36). Comparando-se (3.37) com (3.36) tem-se
1
Ty
Kp
KT
Ty
=
KT
Ty
=
Tn KT
bp =
(3.38)
Tx
(3.39)
0
bt
(3.40)
60
c(s)
σ
-
+
-
KT
+
?
-
6
−
1
sTy
η-
sKd Td 1 + sTd
+
6
+
Kp
Figura 3.30: Regulador com realimentação derivativa
1
, o qual nem sempre é desprezı́vel, pode ser incluı́do em GT (s).
O termo 1+sT
b
A função de transferência com relação ao sinal de demanda da carga é
1
1
η(s)
=
Ty
ρ(s)
Kp 1 + s K
p
Observa-se que para obter-se uma resposta rápida a um sinal na referência de carga deve-se
ter um alto ganho do integrador (baixo valor de Ty ).
3.5.2.2
Regulador com realimentação derivativa (ou tacométrico)
Neste regulador tanto a ação proporcional quanto a ação integral resultam do efeito da realimentação transitória da abertura da válvula ou distribuidor (posição do servomotor principal).
O diagrama de blocos deste regulador é apresentado na figura 3.30.
Considerando apenas o laço de realimentação derivativa tem-se a função de transferência:
1+
1
sTy
1 sKd Td
sTy 1+sTd
=
s2 T
1 + sTd
y Td + sTy + sKd Td
Como Ty Kd Td tem-se
s2 T
1 + sTd
1 + sTd
1 + sTd
=
≈
Ty
sKd Td
y Td + sKd Td
sKd Td (1 + s Kd )
Ty
desprezı́vel.
onde foi suposto K
d
Incluindo a realimentação estática obtém-se a função de transferência
1
1+sTd
sKd Td
1+sTd
+ Kp sK
d Td
=
1 + sTd
1
Td
Kp 1 + s K
(Kp + Kd )
p
Logo
1 + sTd
KT
η(s)
=
Td
σ(s)
Kp 1 + s K
(Kp + Kd )
p
(3.41)
GSP-EEL-UFSC
61
Comparando-se com
1 1 + sTn
R 1 + s Rr Tn
tem-se
KT
1
=
Kp
R
ou
1
KT
=
r
Kp + K d
Considerando a função de transferência
η(s)
σs
com Kp → 0 tem-se
KT
KT
η(s)
=
+
σ(s)
sTd Kd
Kd
e tem-se uma parcela de ação integral e outra proporcional que dependem da realimentação transitória.
Do mesmo modo que no caso do regulador taco-acelerométrico, pode-se relacionar os parâmetros
do regulador com os parâmetros da função de transferência genérica (3.36). Comparando-se (3.41)
com (3.36) tem-se
Kp
KT
Td Kd
Td
=
(Kp + Kd ) ≈
KT
KT
bp =
(3.42)
Tx
(3.43)
Tx
= Td
0
bt
Kp + K d
Kd
0
bt =
≈
KT
KT
(3.44)
(3.45)
A função de transferência com relação ao sinal de demanda de carga é obtida considerando-se
as simplificações anteriores e é dada por
η(s)
1
1 + sTd
=
Td
σ(s)
Kp 1 + s K
(Kp + Kd )
p
Observa-se que uma resposta rápida a um sinal de referência de carga é obtido se a constante
Td for reduzida. Do mesmo modo que no caso do regulador taco-acelerométrico isto equivale a
um alto ganho da ação integral. No entanto, este ajuste pode degradar o controle de freqüência,
levando a um baixo amortecimento ??.
3.5.3
Regulador moderno
Nos dois esquemas anteriores, a malha de realimentação compreende o conjunto atuador-servomotor.
Os órgãos hidráulicos de potência fazem portanto parte do regulador, não sendo apenas órgãos
executivos do regulador.
Seria desejável desvincular o regulador propriamente dito dos órgãos executores, isto é, da parte
de potência que executa os comandos, agindo sobre o distribuidor. Esta é a idéia fundamental da
configuração moderna do regulador de velocidade.
62
-
P
Demanda de
carga
σ
-
-
+
^?
+
+
+
I
+
-
u
-
V álvula distribuidora
Servomotor e
circuitos eletrônicos
η-
D
Regulador Eletrônico
Servoposicionador Eletro−hidráulico
Figura 3.31: Regulador com servo-posicionador
Este regulador é eletrônico, e sua saı́da é um sinal elétrico. Este sinal é reproduzido e transformado em um deslocamento de um dispositivo eletro-hidráulico que inclui o servomotor de
potência.
Com esta estrutura, o esquema do regulador propriamente dito não precisa ser taco-acelerométrico
ou taquimétrico: ele pode assumir a configuração que for mais conveniente, de modo a satisfazer
as caracterı́sticas hoje exigidas de um regulador. Sendo eletrônico, este tipo de regulador oferece
maior flexibilidade para que sejam atendidas as várias condições de funcionamento.
O esquema deste regulador é dado na figura 3.31.
A estrutura do regulador moderno apresenta as seguintes vantagens:
1. Independência dos canais para regulação primária e secundária e conseqüentemente eliminação da comutação de parâmetros
2. Disponibilidade de um canal de resposta rápida para a demanda de carga, independente do
ajuste dos parâmetros para regulação primária e, por conseguinte eliminação das comutações
na passagem de vazio para carga.
3. Possibilidade de esquemas particulares para reduzir as variações máximas de freqüência
frente a grandes pertubações
4. Compensação em cascata da não-linearidade abertura do distribuidor-potência e conseqüentemente possibilidade de uma freqüência de corte mais alta.
O diagrama de blocos detalhado deste regulador é mostrado na figura 3.32.
A função de transferência do servo-posicionador é:
Kc
1
1
η(s)
=
=
=
Ty
u(s)
Kc + sTy
1 + sTc
1 + s Kc
GSP-EEL-UFSC
63
P
σ
I
-
1
bt
carga(CAG)
C(s)
1
-0
bp (1 + s Tb0x )
+
?
+
-
+
-
+
?
-
-
Kc
6
-
6
+
p
D
U
1
sTy
η-
sTn
1 + sTb
Figura 3.32: Diagrama de blocos detalhado do regulador com servo-posicionador
Tc é feita em geral bem pequena (≈ 0.1seg), por efeito do alto ganho Kc , para reduzir a
sensibilidade à pressão e temperatura do óleo, desgaste,etc.
Sem a ação derivativa , a qual é usada principalmente para sincronização, a função de transferência é:
Tx
bp + bt 1 + s b0p +bt
1
1
η(s)
= + 0
=
σ(s)
bt bp (1 + s Tb0x )
bt b0p 1 + s Tb0x
0
p
(3.46)
p
onde a função de transferência do servo-posicionador foi aproximada por um ganho unitário.
Para colocar esta função na forma
1 + sTr
1 + Rr Tr s
deve-se ter
Tr =
Tx
b0p + bt
R=
b0p bt
b0p + bt
e
r = bt
No caso em que bt b0p segue que R = b0p
A função de transferência (3.46) pode ser relacionada a função genérica (3.36). Tem-se então
as seguintes relações, onde os parâmetros a esquerda são da função de transferência genérica e os
da direita são da função de transferência do regulador com servo-posicionador.
0
bt = b t
0
bp bt
ou
bp = 0
bp + b t
0
bp ≈ para bp bt
(3.47)
(3.48)
(3.49)
64
e Tx representa o mesmo parâmetro.
A função de transferência entre a posição do servomotor e o sinal de demanda de carga é
1
η(s)
=
Ty
ρ(s)
1 + sK
c
Desde que
Ty
Kc
é baixo pode-se considerar que
η(s)
=1
ρ(s)
3.6
3.6.1
Ajuste de reguladores de velocidade para turbinas hidráulica
Introdução
As condições de operação do sistema determinam os requisitos de operação de reguladores de
velocidade para turbinas hidráulicas. Em especial, as seguintes condições de operação devem ser
consideradas
• operação a vazio, incluindo a fase de partida e a sincronização ao sistema
• operação alimentando carga isolada (rede isolada)
• operação em carga com conexão a um grande sistema em regulação primária e eventualmente
em regulação secundária
Cada condição de operação tem seus requisitos e os parâmetros do regulador que atendem a
uma condição de operação podem não atender a outra. A comutação de parâmetros é uma forma
de atender aos requisitos de todas aquelas condições.
O procedimento adotado geralmente para o projeto é considerar a condição de sistema isolado,
que impõe os requisitos mais severos de operação e que garante que em caso de ilhamento a
estabilidade é mantida. Considera-se ainda que a a otimização do ajuste para cada sistema
considerado isoladamente leva a um bom desempenho do sistema interligado.
No restante desta seção cada uma das condições de operação é analisada em termos dos requisitos e ajustes correspondentes do regulador.
3.6.2
Partida e sincronização ao sistema
Os requisitos desta fase são uma resposta rápida para conseguir a sincronização da máquina ao
sistema. Estes requisitos são diferentes para a regulação de freqüência na operação em carga. A
comutação de parâmetros é o procedimento usual, após o fechamento do disjuntor.
A dificuldade encontrada na sincronização é o aparecimento de oscilações sustentadas (ciclos
limite) [30]. Os ciclos limite são ocasionados pelas não-linearidades presentes nos reguladores de
velocidade.
A ocorrência de ciclo limite na malha de controle de velocidade pode ser detectada analiticamente usando funções descritivas [29]. Uma função descritiva é uma aproximação do ganho
complexo de uma não-linearidade considerando a entrada como senoidal e a saı́da como periódica.
Considera-se que as harmônicas de ordem superior desta última são amortecidas pelo sistema, o
que melhora a aproximação. No caso de reguladores de velocidade, a presença de integradores na
malha assegura este amortecimento. A seguir um resumo dos princı́pios de funções descritivas é
apresentado.
GSP-EEL-UFSC
65
+
-
-
N
-
G(s)
-
6
-
Figura 3.33: Sistema linear e não-linearidade com função descritiva
3.6.2.1
Funções descritivas
A função descritiva correspondente a uma não-linearidade, denotada por N , corresponde a um
ganho, que depende no entanto da amplitude da entrada da não-linearidade. Para uma nãolinearidade sem memória, a função descritiva N é real. Para uma não-linearidade com memória
a função descritiva N é complexa. Se uma não-linearidade formar com uma parte do sistema
uma não-linearidade equivalente, que tenha uma dinâmica associada, então esta não-linearidade
equivalente é dependente da freqüência.
Seja o sistema da Figura 3.33 onde G(s) representa a função de transferência da parte linear
e N é a função descritiva da não-linearidade.
3.6.2.2
Condição para a existência de ciclo limite
A condição para a existência de ciclo limite é
N (x)G(s) + 1 = 0
ou
1
N (x)
onde x representa a amplitude da senoide na entrada da não-linearidade.
Traçando-se o diagrama de Nyquist de G(ω) e o gráfico de N 1(x) em função de x, o ponto
de intercessão dos dois gráficos indica a existência de ciclo limite e os valores x 0 e ω0 tais que
1
G(ω0 ) = − N (x
são, respectivamente, a amplitude e a freqüência do ciclo limite. Se a função
0)
descritiva depender da freqüência então a intercessão só corresponde a ciclo limite se as freqüências
1
de G(ω) e − N (x,ω)
neste ponto forem iguais.
Para efeito do estudo de existência de ciclo limite no controle de velocidade na operação em
vazio, considera-se o diagrama de blocos apresentado na figura 3.34, onde o servomotor principal
tem uma não-linearidade do tipo zona morta.
O servomotor com zona morta e com realimentação unitária pode ser aproximado por uma nãolinearidade tipo histerese. O procedimento descrito acima pode então ser aplicado para detectar
ciclo limite.
G(s) = −
3.6.3
Operação da unidade isolada
Esta condição de operação é aquela para a qual os parâmetros do controlador são ajustados.
Métodos de controle clássico são geralmente empregados para o projeto. Duas abordagens são
usadas a seguir
• projeto no domı́nio da freqüência usando diagramas de Bode
• projeto usando o método de Ziegler-Nichols
66
σ(s)
+
-
1
sT
6
-
+
6
+
bt
+
-
-
6-
6
-
-
1
sTy
η(s)
-
Td s 1 + sTd
bp
Figura 3.34: Regulador com representação de não-linearidade do servomotor
3.6.3.1
Procedimento para compensação usando compensador de atraso de fase
A função de transferência de um compensador de atraso de fase é dada por
Gc (s) = K
1 + sτ
1 + sατ
com α > 1 (ver figura 3.35).
A compensação usando o compensador de atraso de fase é feita colocando o compensador em
cascata com o processo (figura 3.36).
Suponhamos que o sistema não-compensado tenha a resposta em freqüência mostrada na
figura 3.37, e que sua margem de fase seja insuficiente.
Na compensação usando o compensador de atraso de fase, tenta-se reduzir a freqüência de corte
de ganho do sistema não-compensado, utilizando-se a atenuação de Gc (s) a altas freqüências, de
modo que a nova freqüência de corte de ganho w1c propicie a margem de fase desejada.
O procedimento para o projeto pode ser resumido nos seguintes passos:
1. Traçar os diagramas de Bode do sistema não-compensado, e determinar a sua margem de
fase. Se esta não atender às especificações, prosseguir com o passo 2.
2. Determinar a freqüência em que se obteria a margem de fase desejada se a curva de amplitude
cortasse o eixo de 0 dB nesta freqüência (deixar uma folga de 5o a 15o para levar em conta
o atraso provocado pelo compensador).
3. Calcular a atenuação necessária à freqüência ωc para assegurar que a curva de amplitude
cruza 0 dB a esta freqüência.
4. Determinar a posição do zero do compensador de acordo com o atraso permissı́vel para
Gc (ω) para assegurar que a curva de amplitude cruza 0 dB a esta freqüência.
5. Calcular α a partir da atenuação calculada no passo 4.
6. Calcular o pólo como ωp =
ωz
,
α
onde ωz é a freqüência correspondente ao zero.
GSP-EEL-UFSC
67
| Fc (s) |db
6
1
αT
1
T
-
ω
-
ω
−20log(α)
0
ωmax
6
Figura 3.35: Compensador de atraso de fase
+
R(s) -
6-
K
1+s
1+s
-
Processo
Y(s)
-
Figura 3.36: Compensador de atraso de fase e processo
68
| G |db
6
ω1c
ω1
ω
∠
6
ω
6
−180o
M
M6
Figura 3.37: Sistema não-compensado
3.6.3.2
Procedimento para ajuste aproximado dos parâmetros de reguladores de
velocidade para hidrogeradores
Nste método usa-se o procedimento anteriormente descrito mas consideram-se algumas aproximações [9].
A parte ajustável da função de transferência em malha fechada do sistema de controle primário
de velocidade de um hidrogerador é dada por
Faj =
1 1 + sTr
R 1 + s Rr Tr
A derivação a seguir permite o cálculo aproximado de Tr e r.
Em regime permanente tem-se
Faj =
1
R
Como para altas freqüências w Rr Tr 1 ou w R
T
r r
tem-se um ganho
1 sTr
1
=
r
R s R Tr
r
ou Rr vezes o ganho R1 na freqüência zero. Também nas altas freqüências o ângulo de fase se
aproxima de zero.
Portanto por altas freqüências pode-se considerar
Faj (s) '
1
r
GSP-EEL-UFSC
69
Este é o motivo pelo qual r é chamado estatismo transitório. Como r > R (compensador de
atraso de fase), o ganho nas freqüências mais altas é menor que o ganho em regime permanente.
Normalmente R é fixado em um valor compatı́vel com a operação do sistema interligado (R =
4% ou 5%). Portanto os parâmetros a ajustar são r e Tr .
Para assegurar uma boa resposta e estabilidade projeta-se uma margem de fase do sistema
compensado de cerca de 40o . Considerando um atraso de cerca 15o introduzido pela função
1+Tr s
, a função compensada
1+ r Tr s
R
(1 + Tw s)
r(1 + sT1 )(1 + s T2w )(1 + s M
)D
D
deve ter um ângulo de fase de −125o (desde que −125o − 40o − 15o = −180o ).
Deve-se observar que somente o ganho a altas freqüências da função ajustável F aj (s) foi considerado ( 1r ).
Considerando-se a parcela 1+s1 M tem-se que a relação M
é pequena, ou seja, a freqüência de
D
corte
D
M
D
é bem menor do que ω1c . Portanto o ângulo em ω1c é
θ = − tan−1
w1c M
wc
= − tan−1 D1
D
M
D
M
< w1c . Então θ(w1c ) ≈ −90o .
Portanto os termos restantes devem contribuir com −35o . Uma aproximação adicional é feita
desprezando-se a contribuição em fase de T1 . Isto equivale a considerar que a freqüência de corte
1
1
é tal que T11 w1c , ou seja a contribuição em fase de 1+sT
em w1c é 0o .
T1
1
Então a fase de
e
1 + Tw s
1 + s T2w
deve ser −35o
Então
− tan−1 (Tw ω1c ) − tan−1 (
ou
tan−1 (Tw ω1c ) + tan−1 (
Fazendo tan θ ≈ θ tem-se
ou
Tw ω +
Tw c
ω ) = −35o
2 1
Tw c
ω ) = 35o
2 1
Tw
π
ω = 35
2
180o
0.4
Tw
Esta freqüência deve corresponder a passagem por 0 dB, ou seja
wc =
| F c (jw1c ) |= 1
A função de transferência, com o compensador reduzido a um ganho
(1 − sTw )
1
M
rD (1 + s D )(1 + s T2w )(1 + sT1 )
1
r
tem a forma já vista
70
Usando o fato de que T1 w1c 1 tem-se que
|
1
|' 1.0
1 + w1c T1
e a condição fica:
|
(1 − j0.4)
1
|= 1
rD (1 +  0.4M
)(1
+
j0.2)
Tw D
Ou aproximadamente
|
1
1 − j0.4
|= 1
0.4M
rD  Tw D (1 + j0.2)
fazendo
| 1 + jw1c
M
M
|≈ w1c
D
D
desde que w1c M
1
D
ou ainda
|
1 1
|= 1
rD  0.4M
Tw D
onde foi suposto que
| −w1c Tw |
≈ 1.0
| 1 + w1c T2w |
Então
Tw
0.4M r
=1e
r = 2.5
Determinação de Tr
Tw
M
1+sTr
r
Tr
1+s R
deve ter um ângulo de fase de −150 na freqüência de corte de ganho w1c =
Então
tan−1
0.4rTr
0.4Tr
− tan−1
= −150
Tw
Tw R
Usando
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
e desde que
tan(−150 ) = − tan 150 = −0.268
Fazendo X =
0.4Tr
Tw
tem-se:
r
X
X− R
r
1+X 2 R
= −0.268 ou
X2 +
(1 − Rr ) R
+ =0
0.268 Rr
r
0.4
Tw
GSP-EEL-UFSC
71
R(s)
+
-
-
-
Kosc
Y(s)
-
Processo
6
−
Figura 3.38: Ajuste de Ziegler-Nichols
A solução é:
X=
Desde que X =
0.4Tr
Tw
1− r
− 0.268Rr
R
±
r
r
1− R
r
0.268 R
2
2
− 4 Rr
segue que:

Tr = 
r
R
−1
+
0.536 Rr
s
1 − Rr
0.536 Rr
2
−

R  Tw
r 0.4
A raiz com sinal positivo é escolhida desde que um maior valor de Tr assegura a relação
1+sTr
tenha um ganho de cerca de 1r na freqüência w1c .
1 fazendo com que R(1+s
r
T )
R r
Na indústria é comum fazer
Tr = 6Tw
(3.50)
Tr 0.4
Tw
3.6.3.3
Ajuste de parâmetros de compensadores pelo método de Ziegler-Nichols
Os ajustes propostos são expressos em termos do valor do ganho Kosc de um controlador proporcional (figura 3.38) que leva o sistema ao limite da estabilidade e do perı́odo da oscilação sustentada
que ocorreria neste limite, dado por Posc = ω2π
.
osc
O método de Ziegler-Nichols permite a determinação dos parâmetros do compensador de uma
maneira simples. Os seguintes ajustes são propostos para o controlador Gc (s):
Proporcional (P ) : Gc (s) = Kc onde Kc = 0.5Kosc
Proporcional-integral (P I) : Gc (s) = Kc (1 +
Kc = 0.45Kosc
Ti = 0.83Posc
1
)
Ti s
onde
Proporcional-integral-derivativo (P ID) : Gc (s) = Kc (1 +
Kc = 0.6Kosc
Ti = 0.5Posc
Td = 0.125Posc
1
Ti s
+ Td s) onde
Proporcional-derivativo (P D) : Gc (s) = Kc (1 + Td s) onde
Kc = 0.6Kosc
Td = 0.125Posc
O método de Ziegler-Nichols é usado a seguir para a determinação dos parâmetros de controladores para reguladores de velocidade com configuração moderna.
72
+
ρ(s) -
-
-
K
6
-
1
1 + sT1
-
1 − sTw
1 + sTw /2
-
1
Ms
η(s)
-
Figura 3.39: Sistema usado para calcular ganho
O sistema com unidade hidráulico mostrado na figura 3.39 tem função de transferência
σ(s)
=
ρ(s)
M T 1 Tw 3
s
2
+
s2 (T
K(1 − sTw )
Tw
1 + 2 )M + s(M − KTw ) + K
O controlador foi substituı́do por um ganho K e T1 representa a constante de tempo do servoposicionador.
A equação caracterı́stica é dada por:
s3 (
Tw
M T 1 Tw
) + s2 M (T1 +
) + s(M − KTw ) + K = 0
2
2
Deve-se determinar o ganho Kosc que leva o sistema ao limiar da instabilidade. Usando RouthHurwitz:
M T 1 Tw
s3
M − KTw
2
Tw
2
s
M (T1 + 2 )
K
s1
M (T1 + T2w (M −kTw )−k
M (T1 + T2w
s0
M T 1 Tw
2
)
0
K
A condição para a existência de raı́zes sobre o eixo imaginário é
(T1 +
T1 Tw
Tw
)(M − Kosc Tw ) − Kosc
=0
2
2
e, portanto
2T1 + Tw M
3T1 + Tw Tw
A freqüência de oscilação pode ser calculada da equação auxiliar:
Kosc =
M (T1 +
Logo:
s = ±
Tw 2
)s + Kosc = 0
2
s
2
Tw (3T1 + Tw )
Portanto a freqüência é dada por
ωosc =
s
2
Tw (3T1 + Tw )
e o perı́odo pode ser calculado de
Posc =
2π
ωosc
GSP-EEL-UFSC
73
ou seja,
Posc = π
p
2Tw (3T1 + Tw )
Exemplo 3
Seja o sistema com parâmetros
R = 0.05
M = 10.0 seg
Tw = 2.0 seg
T1 = 0.5 seg
Então usando as expressões anteriores tem-se Kosc = 4.286 e Posc = 11.755 seg.
Supondo inicialmente que o controlador seja P I. Então
1
Gc (s) = Kc (1 +
)
sTi
onde Kc = 0.45Kosc e Ti = 0.83Posc .
Os parâmetros do controlador são Kc = 1.9287 e Ti = 9.757 seg.
A estrutura do regulador com ação P I tem função de transferência:
1
1
+ 0
bt bp + sTx
Então
1
1
Kc
= +
sTi
bt sTx
Gc (s) = Kc +
0
onde bp foi desprezado.
0
Usando-se a função de transferência do regulador considerando-se b p tem-se:
Tx
b0p + bt 1 + s b0p +bt
1 1 + sTr
=
Tx
0
bt bp 1 + s b0
R 1 + s Rr Tr
p
b0p bt
b0p +bt
x
,R=
e r = bt de tal modo que os dois lados da equação são equivalentes.
e Tr = b0T+b
t
p
Com os parâmetros calculados tem-se
bt = T1c e bt = 0.5185
r = bt e r = 0.5185
Tx = KTic e Tx = 5.06 seg
Pode-se calcular b0p usando a equação
R=
b0p bt
b0p + bt
b0p =
bt R
bt − R
Então
ou b0p = 0.055.
Tr pode ser calculado usando a equação
Tr =
Tx
b0p + bt
e Tr = 8.82 seg.
O projeto de um controlador ¨lag¨, por diagramas de Bode, usando as aproximações desenvolvidas anteriormente leva a r = 0.5 e Tr = 15.20 seg.
74
Controlador P ID
Este controlador é dado por
Gc (s) = Kc (1 +
1
+ Td s)
Ti s
onde Kc = 0.6Kosc , Ti = 0.5Posc e Td = 0.125Posc
Substituindo-se os parâmetros obtém-se
Kc = 2.57
Ti = 5.88 seg
Td = 1.47 seg
Comparando com a estrutura do regulador de velocidade P ID:
Gc (s) = Kc +
1
1
Kc
+ K c Td s = +
+ sTn
Ti s
bt sTx
Usando as mesmas fórmulas usadas para o controlador P I tem-se
bt = 0.389
0
bp = 0.0574
Tx = 2.288
Tn = 3.778
3.6.4
Unidade conectada a grande sistema em regulação primária
O ajuste dos reguladores de cada usina na situação de operação isolada assegura o bom desempenho
do sistema conectado. Esta abordagem tem sido aplicada com sucesso, inclusive ao sistema do Sul
do Brasil. A identificação do modelo do regulador é feito usando um teste de isolação simulada,
que permite que a unidade opere como se estivesse alimentando uma carga isolada, sob o ponto
de vista de regulação de freqüência.
Em contraste com a abordagem discutida, um método que faz o ajuste de cada usina conectada ao sistema e com os reguladores das outras usinas em manual, resultou em altos ganhos do
regulador P I. Isto levou à ocorrência de instabilidade no caso em que a participação da usina
aumentou de 20% da geração (condição para a qual foi feito o ajuste) para 50% da geração total,
sem que as demais usinas tivessem seus reguladores em manual.
Em alguns paı́ses é usada a comutação de parâmetros para melhorar a resposta à demanda
da carga. No entanto, desde que pode ocorrer ilhamento de forma imprevista, há o risco de que
os parâmetros não se adaptem à condição de operação isolada, resultando em instabilidade. A
questão da resposta à demanda de carga é discutida a seguir.
3.6.5
Unidade conectada a grande sistema em regulação secundária
Embora a malha de regulação secundária tenha baixa freqüência de cruzamento é desejável que a
resposta da máquina seja suficientemente rápida e se possı́vel independente da regulação primária.
A resposta ao controle de carga-freqüência pode ser muito lento, se houver dependência dos
parâmetros do controle primário. A necessidade de se obter respostas rápidas levou, em alguns
casos, à redução do amortecimento do ”dashpot”de reguladores mais antigos com a adoção de
baixos valores de (Td ≤ 1) e no caso dos reguladores mais modernos a altos valores dos ganhos
integrais. A estabilidade é garantida pelo esforço do sistema interligado mas há uma degradação
da regulação de freqüência do sistema.
GSP-EEL-UFSC
75
Uma solução para aumentar a rapidez da resposta à demanda de carga é a introdução de uma
modificação no regulador que permite obter um canal independente para o sinal de potência. No
caso dos reguladores com servo-posicionador geralmente este canal é independente.
Notas e referências
Princı́pios e modelagem de reguladores de velocidade Vários artigos descrevem os
princı́pios e modelagem de reguladores de velocidade [15],[18]. Textos didáticos descrevem a
estrutura de reguladores de velocidade.
Ajuste de reguladores de velocidade O ajuste de reguladores de velocidade é discutido
em vários artigos. Estudos de casos reais são apresentados em [7],[11],[10] e outros, usando em
geral técnicas de controle clássico. Técnicas de controle moderno foram propostas em alguns
artigos.
Ciclos limites em reguladores de velocidade Um estudo inicial da ocorrência de ciclos
limite em reguladores de velocidade pode ser encontrado em [29].
76
Exercı́cios
1. O diagrama de blocos abaixo corresponde a um regulador de velocidade utilizado em unidades hidráulicas.
-
t
σ
+
-
?
η
+
-
Gf
-
+ 6
-
6−
1
Ti
1
1 + sTc
-
sTa
Hp
η(s)
a) Ache σ(s)
;
b) Determine R e r, supondo Tc desprezı́vel. Calcule seus valores para Ta = 1.86 seg,
Ti = 3.05 seg, Gf = 5, Hp = 0.25, t = 1.
c) Se o regulador controla a velocidade de um gerador isolado de potência nominal de
100 M W e fnom = 60 Hz, que alimenta uma carga de 60 M W , calcule δf resultante de uma
variação de carga δL = 3 M W . Considere que 1% de variação de freqüência corresponde a
1% de variação de carga.
2. Seja o diagrama de blocos simplificado do sistema de controle de velocidade para uma turbina
a vapor com reaquecimento:
∆P1
ρ
+
-
6−
1
-
∆Pm −
?
+-
1 + τ1
1 + τ2
1
R
-
1
Ms
-
σ
Deseja-se saber qual o valor de R para o qual o regulador apresenta um comportamento
criticamente amortecido, se M = 10 s, τ1 = 1.5 s e τ2 = 5.0 s.
a) Calcule R a partir da equação caracterı́stica do sistema;
b) Analise o problema usando o método do lugar das raı́zes.
3. Os parâmetros da malha de controle primário de velocidade de um hidrogerador são: T w =
4.0 s, M = 10.0 s, D = 1, R = 0.05 e T1 = 0.2 s.
GSP-EEL-UFSC
77
a) Determine a função de transferência do sistema não-compensado, F (s), e esboce os diagramas de Bode de amplitude e fase correspondentes. Obtenha também, aproximadamente,
a margem de fase do sistema não-compensado;
b) Supondo que se especifica uma margem da fase de 40o para o sistema compensado,
admitindo-se um atraso de 15o do compensador na nova freqüência de cruzamento de ganho,
obtenha esta freqüência (não faça aproximação em F (s) ao calcular w 1c );
c) Supondo que, à freqüência w1c , C(s) ≈
1
,
(r/R)
calcule r;
d) A partir do atraso de fase admitido para C(s) à freqüência w1c , obtenha Tr ;
e) Esboce os diagramas de Bode do sistema compensado, determine a sua margem de fase e
verifique se as especificações em (b) são satisfeitas.
f) Calcule w1 , r e Tr a partir das aproximações clássicas que originam as fórmulas usualmente
utilizadas na indústria e compare com os resultados obtidos em (b), (c) e (d).
4. Usando o método de Ziegler-Nichols, determine os seguintes compensadores para o sistema
do problema 7:
a) Compensador P I (estatismo permanente = 0);
b) Compensador de atraso de fase, com estatismo permanente igual a 0.05;
c) Compensador P ID.
78
CAPÍTULO 4
Controle primário de carga e freqüência
4.1
Introdução
O controle primário de velocidade tem o objetivo de responder a variações de carga no sistema,
limitando o desvio de velocidade. O comportamento da resposta depende de o sistema estar
isolado ou conectado a outros sistemas (ou áreas). Como sistema isolado deve-se entender o caso
de uma única unidade alimentando uma carga ou uma área com várias unidades, a qual pode ser
representada por uma unidade equivalente. Esta área pode ser interligada a uma ou mais áreas
através de interligações. A resposta do sistema a uma variação de carga é diferente no caso de
o mesmo constituir uma área isolada ou de estar interligado a outras áreas. Um grande impacto
em uma área, por exemplo um aumento súbito de carga, provoca uma queda na freqüência. Esta
queda será maior no caso de o sistema estar isolado do que no caso de operação interligada.
A análise da resposta do sistema isolado ou interligado, envolve os aspectos estático e dinâmico.
O aspecto estático está relacionado aos valores dos desvios permanentes de freqüência no novo
ponto de equilı́brio do sistema (se este existir). O aspecto dinâmico envolve o comportamento do
controle primário desde o instante do impacto causado pela perturbação até o momento em que
o novo ponto de equilı́brio é atingido. Embora este último seja o aspecto principal deste capı́tulo
as principais caracterı́sticas do comportamento estático são revistas nas seções seguintes.
O comportamento dinâmico depende do tipo de unidade considerada (térmica com reaquecimento, térmica sem reaquecimento ou hidráulica). No caso de unidade hidráulica a resposta
transitória depende fortemente do ajuste do regulador de velocidade. Este ajuste foi discutido no
capı́tulo anterior.
4.2
4.2.1
Sistemas isolado alimentando uma carga
Modelos
Para o estudo do controle primário de velocidade considera-se cada área como predominantemente hidráulica ou térmica e representada por uma única máquina motriz com uma destas
80
Capı́tulo 4: Controle primário de carga e freqüência
1
R
∆PL (s)
+ ?-
-
-
-
1
1+T1 s
1
1+Tc s
+
-
?-
-
1
M s+D
∆F (s)
-
Figura 4.1: área isolada com turbina a vapor sem reaquecimento
1
R
∆PL (s)
+ ?-
-
-
1
1+T1 s
-
1+f TR s
(1+Tc s)(1+TR s)
+
-
?-
-
1
M s+D
∆F (s)
-
Figura 4.2: área isolada com turbina a vapor com reaquecimento
caracterı́sticas.
O sistema representado por uma única máquina equivalente pode ser representado por um dos
três diagramas de blocos representados nas Figuras 4.1, 4.2 e 4.3, dependendo se a turbina é a
vapor sem reaquecimento, vapor com reaquecimento ou hidráulica, respectivamente.
O diagrama de blocos pode ser considerado de maneira genérica como na figura 4.4, onde G é
a função de transferência do sistema de potência
G=
1
Ms + D
e H é a função de transferência do regulador e da máquina motriz.
A função de transferência entre ∆F e ∆PL é mostrada na figura 4.5
4.2.2
Comportamento estático
4.2.2.1
Resposta sem regulação primária
Neste caso o regulador está bloqueado (equivalente a fazer H = 0 na função de transferência entre
∆F e ∆PL ).
GSP-EEL-UFSC
81
1
R
∆PL (s)
+ ?-
-
-
1+Tr s
r
(1+Tr R
s)(1+T1 s)
-
+
-
1−Tw s
1+ T2w s
?-
-
1
M s+D
Figura 4.3: área isolada com turbina hidráulica
1
R
∆PL (s)
+ ?-
-
-
H
+
-
?-
-
G
∆F (s)
-
Figura 4.4: Diagrama de blocos genérico
∆PL (s)- − G
1+ GH
∆F (s)
-
R
Figura 4.5: Função de transferência entre freqüência e carga
∆F (s)
-
82
A resposta a um degrau na carga é:
∆f (∞) = lim[−sG(s)]
s→0
∆PL
∆PL
=−
s
D
O controle primário não opera e portanto não há aumento de geração. O novo ponto de
equilı́brio é atingido quando a redução da carga com a queda de freqüência é igual ao degrau
inicial de aumento de carga
4.2.2.2
Resposta com regulação primária
A resposta a um degrau de carga é
∆f (∞) = lim s
s→0
1
− M s+D
1 + H(s)
1
M s+D
R
∆PL
∆PL
=−
s
D + R1
pois H(0) = 1 para qualquer dos sistemas das figuras 4.1, 4.2 ou 4.3.
Para os mesmos valores de D e R1 o valor final do desvio é o mesmo para estes sistemas,
no entanto o comportamento transitório tem caracterı́sticas bem diferentes, como mostrado na
próxima seção.
Define-se
1
∆
(4.1)
β =D+
R
como a caracterı́stica de resposta de freqüência de área ou caracterı́stica natural de área, que inclui
tanto a regulação de estado permanente da máquina motriz como o amortecimento da carga.
Um valor tı́pico da caracterı́stica de resposta de freqüência de área para sistemas a vapor
com algumas unidades na faixa de regulação e outras com os reguladores bloqueados ou válvulas
completamente abertas (limite de carga) está entre 15 e 20% na base do sistema.
Para um sistema com várias máquinas motrizes com reguladores individuais pode-se obter uma
regulação equivalente (Figura 4.6).
Da Figura 4.6 segue que a função de transferência é:
∆F (s)
G(s)
=−
H
(s)
1
∆PL (s)
−
1 − [− R1 − HR2 (s)
2
Então
∆f (∞) =
1+
( R11
−1/D
+ R12 +
1 1
)
R3 D
H3 (s)
]G(s)
R3
∆PL = −
∆PL
P
D + ni=1
1
Ri
P
1
= ni=1 R1i onde Req é a regulação do regulador equivalente da área e
Define-se Req
a caracterı́stica de resposta de freqüência de área.
4.2.2.3
1
Req
+ D é
Notas adicionais
1. Estatismo como regulação de velocidade Considerando a figura 4.7 onde f v é a freqüência a
vazio, fc a freqüência a plena carga e PM a potência a plena carga. Seja f0 e PG0 a freqüência
e potência de operação em uma condição de operação do sistema. A regulação ou estatismo
é definida como a variação da velocidade de carga zero a 100% da carga, em pu da velocidade
nominal, ou seja
GSP-EEL-UFSC
83
?
1
R1
?
?-
-
∆PL (s)
H1
∆Pm1
-
H2
+
∆Pm2+
^ ?
+7
-
H3
∆Pm3
+
1
R2
?
?-
+
1
R3
-
?-
+
Figura 4.6: Sistema com várias máquinas motrizes
f
6
fv
f0
fc
P G0
-
PM
p
Figura 4.7: Interpretação do estatismo
∆F (s)
1
M s+D
-
84
f (Hz)
6
Ref erência de carga ajustada
1 para
50% de saída a 60Hz
60
Ref erência ajustada
para sincronizacão
-
57
50%
Carga percentual
100%
Figura 4.8: Caracterı́stica carga-velocidade
s=
fv − f c
fn
Da figura 4.7:
fv − f 0
= P G0
R
ou
f0 − f c
= P M − P G0
R
Somando as equações anteriores tem-se:
s=R
PM
fn
Desde que fn = 1.0 pu e tomando como base PM segue que s = R
2. O estatismo dá a inclinação da reta no plano f, PG . A localização da reta é dada pela
referência de carga-velocidade, ou seja pelo ajuste do variador de carga velocidade.
A figura 4.8 mostra a caracterı́stica carga/velocidade para duas situações: com a referência
ajustada para sincronização (a velocidade a vazio é igual a velocidade sı́ncrona e com a
referência carga-velocidade ajustada para fornecer 50% de potência a 60 Hz. Quando a
unidade está isolada, ajustes do variador de carga velocidade produzem apenas variações
de velocidade. Quando a unidade está sincronizada ao sistema, ajustes do variador de
velocidade resultam principalmente em variações de cargas e efeitos mı́nimos na freqüência
do sistema. O sistema aparece como um sistema infinito para uma unidade individual no
caso de sistemas interconectados, de maneira que o ajuste da referência de carga-velocidade
provoca somente variação de carga na unidade.
GSP-EEL-UFSC
85
Térmica sem reaquecimento
Térmica com reaquecimento
Hidráulica
M
10.0
10.0
10.0
D
1.0
1.0
1.0
Tc
0.4
0.4
-
TR
3.0
-
f
0.2
-
Tw
2.0
T1
0.1
0.1
0.1
R
0.05
0.05
0.05
r
0.5
Tr
12.0
Tabela 4.1: Dados dos três sistemas
3. A caracterı́stica carga-freqüência mostrada como uma reta é na realidade irregular, tendo
como média a reta, mas com curvaturas incrementais que variam de 2 a 12% na faixa de
controle (dependendo da posição da válvula de controle). Próximo ao final do deslocamento
da válvula, a regulação incremental é alta, enquanto que no inicio, ou ponto de bloqueio da
válvula, a regulação é baixa.
4.2.3
Comportamento transitório
Os sistemas apresentados nas figuras 4.1, 4.2 e 4.3 são usados para ilustrar o comportamento
transitório para uma variação em degrau da carga.
Se o regulador de velocidade estiver bloqueado (laço de realimentação através de R1 aberto) a
resposta para os três sistemas é a mesma e calculada através da função de transferência
∆F (s)
1
=−
∆PL (s)
Ms + D
A resposta é exponencial e o valor final é
∆f (∞) = −
∆PL
D + R1
As respostas para o caso com regulador são obtidas por simulação numérica em computador.
Os dados para os três sistemas são apresentados na tabela 4.1.
Os desvios de freqüência em cada um dos sistemas para um degrau de aumento de carga de
0.01 pu são mostrados nas Figuras 4.9, 4.10 e 4.11. As respostas caracterı́sticas de cada sistema
são ilustradas nesta figura. A área térmica sem reaquecimento tem uma resposta rápida e bem
amortecida. A resposta da área térmica com reaquecimento é mais lenta e menos amortecida.
Isto se deve ao considerável retardo introduzido pelo reaquecedor. A área hidráulica apresenta
uma resposta lenta mas bem amortecida. A excursão de freqüência é maior do que no caso de
turbinas térmicas. O compensador do regulador de velocidade permite neste caso a obtenção de
um comportamento transitório satisfatório do sistema. Nos dois casos anteriores esta compensação
não é necessária.
Exemplo 4
O sistema térmico sem reaquecimento mostrado na Figura 4.12 é usado neste exemplo para ilustrar
o cálculo analı́tico do comportamento tanto estático como dinâmico do sistema. Algumas questões,
como a base utilizada e interpretação fı́sica dos resultados, são ilustrados por este exemplo. O
objetivo é o cálculo da resposta do sistema sem e com controle primário a uma variação de carga
de 20 M W
Os dados do sistema são:
Capacidade nominal da área: Pr = 2000M W
Carga nominal: PD0 = 1000M W
86
Freq(Hz)
1.0e−04
2.0e−05
−6.0e−05
−1.4e−04
−2.2e−04
−3.0e−04
−3.8e−04
−4.6e−04
−5.4e−04
−6.2e−04
−7.0e−04
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time(sec)
Figura 4.9: Resposta de uma única área térmica sem reaquecimento
Freq(Hz)
1.250e−03
1.000e−03
7.500e−04
5.000e−04
2.500e−04
0.000e+00
−2.500e−04
−5.000e−04
−7.500e−04
−1.000e−03
−1.250e−03
+
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
15.0
17.5
20.0
22.5
25.0
Time(sec)
Figura 4.10: Resposta de uma única área térmica com reaquecimento
GSP-EEL-UFSC
87
Freq(Hz)
1.0e−03
4.0e−04
−2.0e−04
−8.0e−04
−1.4e−03
−2.0e−03
−2.6e−03
−3.2e−03
−3.8e−03
−4.4e−03
−5.0e−03
+
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Time(sec)
Figura 4.11: Resposta de uma única área hidráulica
∆PL
ρ
+
-
6
-
1
1 + sT1
-
1
1 + sTc
+
-
H(s)
-
?
-
1
Ms + D
G(s)
1
R
Figura 4.12: Sistema térmico sem reaquecimento
-
88
Constante de inércia: H = 5.0seg
Regulação: R = 4%
A caracterı́stica da carga é linear e tal que para um aumento de 1% na freqüência há um
aumento de 1% na carga.
Deve-se converter todos os dados para uma base comum.
A caracterı́stica de carga é dada usando como bases para freqüência e carga a freqüência nominal e a carga nominal, respectivamente. Então
D=
0.01 × 1000
1000
=
0.01 × 60
60
Usando a capacidade da área como base tem-se
D=
1000/2000
= 8.3310−3 pu M W/Hz
60
A regulação do sistema é de 4%, na base da freqüência nominal e da capacidade da área, ou
seja R = 0.04 pu Hz/pu M W .
e portanto R = 2.4 Hz/pu M W
Expressando-se a freqüência em Hz tem-se ou R = 0.04×60 pu Hz
MW
20
A perturbação de carga deve também ser expressa na base de potência comum ∆P L = 2000
=
0.01 pu.
Neste exemplo a freqüência é expressa em Hz. A função de transferência do gerador deve
então ser modificada.
A equação do gerador é dada por
2H dω
= Dω − Pe
ωB dt
(4.2)
MW
com ω em rad/seg e D em pu
.
rad/seg
Fazendo-se ω = 2πf em (4.2) tem-se
2H d(2πf )
= Pm − PL − D2πf
2πfB dt
(4.3)
ou, com f em Hz e D em pu M W/Hz
2H df
= Pm − PL − Df
fB dt
(4.4)
A função de transferência do gerador é então
∆F (s)
=
∆Pm (s) − ∆PL (s)
∆ 1
D
Definindo-se KG =
∆ 2H
fB
e TG =
1
+D
2H
s
fB
(4.5)
obtém-se a função de transferência
∆F (s)
KG
=
∆Pm (s) − ∆PL (s)
1 + sTG
Com os parâmetros do sistema pode-se calcular TG = 20 seg e KG = 120 Hz/pu M W .
(4.6)
GSP-EEL-UFSC
89
Regulador bloqueado Com o regulador bloqueado a resposta ao degrau de carga pode ser calculado da função de transferência
KG
∆F (s)
=
∆PL (s)
1 + sTG
A resposta da freqüência é dada por
∆f (t) = KG (1 − e
− Tt
G
)∆PL
O valor estático do desvio de freqüência é
∆f (∞) = lim s
s→∞
−120 0.01
= −1, 2 Hz
1 + 20s s
ou seja, a freqüência é reduzida de 60 Hz para 58.8 Hz.
Caso com regulador Embora uma expressão analı́tica para a resposta a um degrau de carga
possa ser obtida para o modelo completo no caso com regulador, pode-se considerar somente o
modo associado à inércia do gerador e amortecimento da carga na determinação da resposta. Esta
aproximação pode ser usada desde que as constantes associadas à turbina e regulador são reduzidas
e podem ser desprezadas (Tc e T1 são aproximadamente 1.0 seg) face ao valor da constante TG
(TG = 20 seg neste exemplo).
Tem-se então um sistema aproximado de primeira ordem
∆F (s)
KG R
=−
∆PL (s)
R + KG + RTG s
Para uma variação de carga em degrau
∆PL (s) =
a resposta é dada por
∆PL
s
"
#
1
KG RPL
∆F (s) = −
G
RTG
s(s + R+K
RTG )
Fazendo-se expansão em frações parciais
KG RPL
∆F (s) = −
R + KG
1
1
−
G
s s + R+K
RTp
!
e usando-se a anti-transformada tem-se
∆f (t) = −
R+Kp
Kp RPL
t
(1 − e RTp )
R + Kp
Deve-se notar que esta resposta é apenas aproximada e que a resposta real do sistema é oscilatória.
O desvio estático de freqüência para ∆PL = 0.01 pu é ∆f (∞) = −0.0235Hz, ou seja, a
freqüência cai de 60 Hz para 59.9765 Hz. Esta redução é consideravelmente menor do que no
caso sem regulador. O desvio estático diminui com R.
RTG
1
e vale Tmf = 2.55
seg.
A constante de tempo da malha fechada é calculada por T mf = R+K
G
Esta constante se reduz com R.
O ganho da malha aberta é R1 . Portanto a diminuição de R implica em aumento do ganho.
90
Interpretação fı́sica do resultado
Para suprir a variação de 20
M W são usados
• energia cinética retirada das massas girantes
• decréscimo da carga com o decréscimo de freqüência
• aumento de geração pela ação do regulador
O decréscimo da carga com a freqüência pode ser calculada por
∆PL = D∆f (∞)
ou
∆PL = 8.33 10−3 × (−0.0235) × 2000 ≈ 0.4M W
O aumento de potência devido a ação do regulador é:
∆PG =
∆f (∞)
R
ou
∆PG ≈ 19.6M W
4.3
4.3.1
Sistemas de duas áreas interligadas
Modelos
O modelo para duas áreas sem considerar as máquinas motrizes foi desenvolvido no capı́tulo 1. O
diagrama de blocos incluindo estas máquinas e os reguladores é apresentado na figura 4.13.
As seguintes observações se aplicam com relação a este modelo
1. O diagrama representado na figura considera que as freqüências individuais de cada área
podem diferir transitoriamente, mas devem manter o mesmo valor médio para os sistemas
permanecerem sincronizados.
2. A mesma potência base deve ser usada para duas áreas.
0
0
3. Se ∆f1 e ∆f2 forem expressos em pu então T = 2πf T , onde T é o coeficiente de potência
0
sincronizante dado em pu M W/rad. Se ∆f1 e ∆f2 forem expressos em Hz então T = 2πT .
Neste último caso a equação do gerador deve ser modificada, conforme visto no exemplo
anterior.
4.3.2
Comportamento em Regime Permanente
4.3.2.1
Regulador bloqueado
Seja a resposta a uma variação ∆PL1 da carga na área 1. Como o regulador está bloqueado deve-se
fazer 1/R1 = 1/R2 = 0 na figura 4.13. Então
G(s) =
−(M2 s2 + D2 s + T )
∆F1 (s)
=
∆PL1 (s)
(M1 s + D1 )(M2 s2 + D2 s + T ) + T (M2 s + D2 )
GSP-EEL-UFSC
91
1
R1
∆PL1
?
+
-
-
regulador e
+ ?
∆Pm1 -
turbina (1)
-
6
-
T
s
∆PT L12
+
-
6
-
regulador e
+
+ ?
∆Pm2 -
turbina (2)
1
M1 s + D 1
6
-
-
1
M2 s + D 2
∆PL2
1
R2
Figura 4.13: Modelo para duas áreas
∆f1
+
?
6
-
∆f2
92
Em regime permanente
∆f (∞) = lim sG(s)
s→0
e
∆PL1
∆PL1
=−
s
D1 + D 2
T D2
D2 ∆PL1
∆f (∞) = −
T
D1 + D 2
Se a variação de carga for na área 2 tem-se:
∆PT L12 (∞) =
∆f (∞) = −
∆PL
D1 + D 2
onde ∆PL = ∆PL2 = ∆PL1
∆PT L12 (∞) =
4.3.2.2
∆PL
D1
D1 + D 2
Sistema com Reguladores
O valor em regime permanente das diversas variáveis do sistema podem ser calculadas a partir das
equações do sistema apresentado na figura 4.13, considerando que nesta figura o valor dos blocos
das turbinas e reguladores correspondem a um ganho unitário em regime permanente.
As equações em regime permanente são:
∆Pm1
∆Pm2
∆f1 = ∆f2 = ∆f
− ∆PT L12 − ∆PL1 = D1 ∆f1
− ∆PL2 + ∆PT L12 = D2 ∆f2
∆f1
∆Pm1 = −
R1
∆f2
∆Pm2 = −
R2
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Usando (4.10) e (4.11) em (4.8) e (4.9) tem-se
∆f1
− ∆PT L12 − ∆PL1 = D1 ∆f1
R1
∆f2
−
− ∆PL2 − ∆PT L12 = D2 ∆f2
R2
−
(4.12)
(4.13)
(4.14)
ou
−∆PT L12 − ∆PL1
∆PT L12 − ∆PL2
1
= ∆f1 D1 +
R1
1
= ∆f1 D2 +
R2
(4.15)
(4.16)
(4.17)
GSP-EEL-UFSC
93
Usando (4.7) em (4.15) e (4.16)
−∆PT L12 − ∆PL1
∆PT L12 − ∆PL2
1
= ∆f D1 +
R1
1
= ∆f D2 +
R2
(4.18)
(4.19)
e somando
∆f =
−∆PL1 − ∆PL2
D1 + R11 + D2 + R12
(4.20)
De (4.19):
∆PT L12 = ∆PL2 +
(−∆PL1 − ∆PL2 )(D2 +
D1 +
1
R2
+ D2 +
1
)
R2
1
R2
(4.21)
Supondo uma variação na área 1, ∆PL1 = ∆PL , ∆PL2 = 0 tem-se de (4.20):
∆f =
−∆PL
D1 + R11 + D2 +
(4.22)
1
R2
e de (4.21):
∆PT L12 = −
∆PL (D2 +
D1 +
1
R1
1
)
R2
+ D2 +
1
R2
(4.23)
Supondo uma variação na área 2, ∆PL2 = ∆PL , com ∆PL1 = 0 tem-se de (4.20):
∆f =
−∆PL
D1 + R11 + D2 +
(4.24)
1
R2
e de (4.21):
∆PT L12 =
∆PL (D1 +
D1 +
1
R1
1
)
R1
+ D2 +
1
R2
Os resultados anteriores são resumidos a seguir
Variação de carga ∆PL1 = ∆PL na área 1 (∆PL2 = 0) Os valores das grandezas são
Freqüência em regime permanente na área 1
∆f1 = ∆f =
−∆PL
D1 + R11 + D2 +
1
R2
∆f2 = ∆f1 = ∆f
Interligação
∆PT L12 = −
∆PL (D2 +
D1 +
1
R1
1
)
R2
+ D2 +
1
R2
(4.25)
94
Variação de carga ∆PL2 = ∆PL na área 2 (∆PL1 = 0)
∆f1 = ∆f =
−∆PL
D1 + R11 + D2 +
1
R2
∆f2 = ∆f = −
∆PL
D1 +
+ D2 +
1
R1
1
R2
Interligação
∆PT L12 =
∆PL (D1 +
D1 +
1
R1
1
)
R1
+ D2 +
1
R2
Os resultados anteriores podem ser aplicados no caso particular em que D1 = D2 = D e
R1 = R 2 = R
Para um aumento de carga ∆PL1 = ∆PL na área 1 a variação de freqüência é:
∆f1 =
−∆PL
2(D + R1 )
(4.26)
e o desvio de freqüência em regime permanente é a metade do desvio obtido se a área 1 estivesse
isolada.
A variação de potência na interligação é:
∆PT L12 = −
∆PL ( R1 + D)
∆PL
=−
1
2
2( R + D)
(4.27)
e é a metade da potência adicional para suprir o aumento de carga na área 1 será fornecida
pela área 2.
4.3.3
Comportamento Transitório
A análise do comportamento de um sistema com duas áreas é mais complexo de ser analisado.
Simulações no domı́nio do tempo podem fornecer informações sobre o desempenho dinâmico do
mesmo e testar, no caso de turbinas hidráulicas, o ajuste dos reguladores de velocidade. Resultados
analı́ticos podem ser no entanto obtidos para o caso de uma unidade térmica sem reaquecimento,
fazendo algumas simplificações:
• áreas iguais, ou seja, M1 = M2 = M , D1 = D2 = D e R1 = R2 = R
• a dinâmica do regulador e turbina é rápida em relação ao resto do sistema, ou seja, T 1 =
Tc = 0 o que é justificado uma vez que se trata de unidade térmica sem reaquecimento.
O sistema com duas áreas pode então ser representado pelo diagrama de blocos da figura 4.14,
onde β = D+1 1
R
GSP-EEL-UFSC
95
β
∆PL1
?
-
-
6
1
Ms
T
s
+
?
6
-
-
∆f1
-
∆f2
+
?
6
-
1
Ms
β
-
Figura 4.14: Modelo simplificado de duas áreas
96
Da figura 4.14 obtém-se a função de transferência
M s2 + βs + T
∆F1 (s)
=−
∆PL1 (s)
(M s2 + βs + 2T )(M s + β)
(4.28)
segue que
!#
"
r
βt
1 − βt
β2
2T
e− 2M
1
∆f1 (t) = ∆PL1 −
+
e M −p
sen
−
t
2β 2β
M
4M 2
8T M − β 2
(4.29)
∆PT L (s)
T
=−
2
∆PL1 (s)
M s + βs + 2T
(4.30)
Para ∆PL1 (s) =
∆PL
s
Também da figura 4.14 obtém-se a função de transferência
ou
∆PT L (s)
=−
∆PL1 (s)
s2 +
que, para ∆PL1 (s) =
T
M
β
s
M
+
2T
M
(4.31)
∆PL1
s
permite calcular o desvio de potência de intercâmbio

!
r
β
t
− 2M
2
2T
β
e
∆PL1 
−
t+ϕ 
sen
1− q
∆PT L (t) = −
2
2
M
4M
β2
1−
(4.32)
8M T
q
2
β
.
onde ϕ = cos
8M T
Estas expressões genéricas permitem calcular a resposta em termos de desvio de freqüência e
potência na interligação para os casos sem e com reguladores.
−1
4.3.3.1
Comportamento transitório sem reguladores
Neste caso R1 = 0 e portanto β = D1
Usando a fórmula genérica (5.14), com β =
∆f1 (t) = −
D 2
)
(M
2T
M
∆PL ∆PL Dt
+
eM
2D
2D
q
1
,
D
o desvio de freqüência na área 1 é dado por
!
r
D
2T
D2
∆PL e− 2M t
− 2t
−√
sen
(4.33)
M
M
8T M − D 2
então ω1 ≈ 2T
Se
M
Deve-se observar que uma diminuição de reatância aumenta o coeficiente de torque sincronizante T e portanto a freqüência de oscilação aumenta. O amortecimento aumenta com D.
Da fórmula genérica (4.32), com β = D1 obtém-se o desvio de potência na interligação

!
r
D
− 2M
t
2T
D
∆PL1 
e
−
t+ϕ 
(4.34)
∆PT L (t) = −
1− q
sen
2
2
M
4M
1
1−
8M T D 2
Portanto tanto a freqüência na área 1 quanto a potência na interligação tem caráter oscilatório.
O amortecimento aumenta com o aumento do amortecimento da carga.
GSP-EEL-UFSC
97
área 1
área 2
M
10.0
8.0
D
4.0
4.0
Tw
2.0
1.5
T1
0.2
0.1
R
0.05
0.04
r
0.5
0.47
Tr
12.0
9.0
Tabela 4.2: Dados das áreas hidráulicas
4.3.3.2
Comportamento transitório com reguladores
Neste caso considera-se, para simplificar a análise, que R1 = R2 = R. Tem-se então β = D + R1 .
Usando-se as formulas gerais pode-se determinar o desvio de freqüência na área 1
∆f1 (t) = −
∆PL
∆PL
e
1 +
2(D + R ) 2(D + R1 )
t(D+ 1 )
− MR
s
(D+ 1 )t
− 2MR
∆PL e
−q
sen 
1 2
8T M − (D + R )
D + R1
2T
−
M
4M 2
2 
t
(4.35)
e o desvio de potência na interligação
∆PT L (t) = −
e
∆PL1
∆PL1
q
+
2
2
1−
−
(D+ 1 )t
R
2M
1
1 2
)
8M T (D+ R
s
sen 
2T
1
−
M
4M 2
D+
1
R
2

t + ϕ
(4.36)
Novamente o caráter oscilatório da resposta da freqüência e da potência de interligação são
mostrados nestes resultados. O amortecimento depende de β e aumenta com o aumento de R. O
aumento de R significa, no entanto, um maior desvio de freqüência em regime permanente.
Embora fornecendo uma primeira idéia sobre o comportamento do controle primário no caso
de duas áreas, o exemplo anterior utiliza um modelo extremamente simplificado. Modelos mais
realistas podem ser simulados em computador possibilitando uma melhor compreensão das caracterı́sticas de resposta de sistemas com duas ou mais áreas.Um caso de especial interesse é o de duas
áreas hidráulicas interconectadas. A resposta do sistema neste caso depende das caracterı́sticas
dos sistemas e do ajuste dos reguladores de velocidade.
Exemplo 5
Neste exemplo é estudado o controle primário para duas áreas hidráulicas interconectadas mostradas na Figura 4.15. Os dados de cada área são mostrados na Tabela 4.2.
Os reguladores de velocidade tem seus parâmetros ajustados para o caso de rede isolada, segundo os princı́pios discutidos no capı́tulo 3. Fórmulas aproximadas são usadas para este ajuste. A
estabilização das áreas interconectadas é problemática. Os resultados apresentados na figura 4.16
mostram o desvio de freqüência na área 1 e de potência na interligação. Embora valores elevados para os amortecimentos das cargas tenham sido usados na simulação o sistema apresenta
amortecimento reduzido.
98
1
R1
∆PL1 (s)
ρ1 (s) + ?-
-
1+Tr1 s
r Tr
1+ 1R 1
1
s
-
1
1 + T1 s
-
?∆Pm1 (s)
+ -
1−Tw1 s
Tw
1+ 2 1
s
-
6
1
M1 s + D 1
T
s
ρ2 (s) +
-
6-
1+Tr2 s
r Tr
1+ 2R 2
2
s
-
1
1 + T2 s
-
+
?
∆Pm2 (s)
+
-
1−Tw2 s
Tw
1+ 2 2
s
6
-
1
M2 s + D 2
∆PL2 (s)
1
R2
Figura 4.15: Duas áreas hidráulicas interconectadas
∆F1 (s)
-
?+
6-
∆F2 (s)
-
GSP-EEL-UFSC
99
0.000
−0.009
−0.018
−0.027
−0.036
−0.045
−0.054
−0.063
−0.072
−0.081
−0.090
+
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
0.0000
−0.0012
−0.0024
−0.0036
−0.0048
−0.0060
−0.0072
−0.0084
−0.0096
−0.0108
−0.0120
+
0
Figura 4.16: Desvio de potência da interligação e de freqüência na área 1
Referências e comentários
Princı́pios do controle de freqüência Uma referência antiga mas ainda útil do princı́pio
do controle primário é [24]. O livro de deMello [9] é uma exposição didática do controle primário
e secundário. O controle de freqüência também é apresentado no livro de Elgerd [12].
100
Exercı́cios
1. Considere o caso de uma área ligada a um sistema infinito, sem controle primário de velocidade. Denote por M a constante de inércia da área, D o coeficiente de amortecimento
da carga e T o coeficiente de potência de sincronização entre a área e o sistema infinito.
Através de uma análise para pequenas perturbações, calcule a resposta no tempo do desvio de freqüência que segue uma variação em degrau de amplitude δL na carga. Calcule a
razão de amortecimento, a freqüência natural não-amortecida e comente acerca do desvio de
freqüência em regime permanente.
2. Considere um sistema de potência trabalhando como área isolada. A potência nominal do
sistema é de 800 M W , a sua carga nominal é de 300 M W e a freqüência nominal é de
60 Hz . A constante de inércia H equivalente do sistema é igual a 6.0 seg e o ganho estático
do conjunto regulador mais turbina é unitário. O estatismo permanente da área é de 5%
e admite-se que um aumento de freqüência de 1% produz um aumento de 1% na carga. O
sistema não é dotado de controle suplementar.
Supondo um incremento de carga de 16 M W na área, determine:
a) O desvio de freqüência decorrente, em Hz;
b) As parcelas do incremento de carga que são devidas à regulação de velocidade e ao efeito
de regulação da carga.
CAPÍTULO 5
Controle suplementar de carga e
freqüência
5.1
Introdução
O controle primário age no sentido de limitar os desvios de freqüência. Assim um aumento da
carga é compensado pelo aumento da geração através da ação dos reguladores e pelo decréscimo
da carga com a freqüência. A demanda é atendida, no entanto a custa de uma queda na freqüência
do sistema. O valor do desvio estático de freqüência, embora limitado, é inaceitável, uma vez que
há uma série de restrições à operação com subfreqüência, entre as quais pode-se citar
• aumenta na fadiga das unidades geradoras com perda de vida útil.
• cargas controladas por processos sı́ncronos, ou dependentes de relógios sı́ncronos (computadores ±0, 5Hz, estações de TV a cores com fontes de no mı́nimo 59, 94Hz, equipamento de
radar em aeroportos com desvios de ±1, 5Hz, estações de rádio, relógios elétricos, etc).
• Capacitores conectados à rede fornecem menos reativo, os reatores absorvem mais corrente
reativa e a carga reativa do sistema aumenta devido a corrente de excitação.
É necessário, portanto, a existência de um controle suplementar que faça a freqüência retornar
ao valor original. Este controle atua no variador de carga-velocidade com o objetivo de corrigir o
desvio de freqüência que resulta quando apenas o controle primário atua.
Uma estratégia de controle suplementar deve ter os seguintes requisitos:
• a malha de controle resultante deve ser suficientemente estável
• após uma variação em degrau da carga, o desvio de freqüência ∆f deve voltar a zero e a
magnitude do desvio transitório de freqüência deve ser minimizado
• a integral do erro de freqüência não deve exceder certos limites (o erro de tempo é proporcional a esta integral)
102
Capı́tulo 5: Controle suplementar de carga e freqüência
∆F (s)
?
∆PL (s)
1
R
?
KI
−
s
+ ?-
-
-Regulador
de velo−
cidade mais turbina
?1
∆Pm (s)
Ms + D
+
∆F (s)
-
Figura 5.1: Esquema do controle secundário
Além do retorno à freqüência especificada existem objetivos adicionais como a minimização do
custo de produção através de uma distribuição adequada da geração entre as diversas usinas e a
operação do sistema em um nı́vel de segurança especificada.
Todos estes objetivos podem ser realizados posteriormente a atuação do controle primário por
um controle manual (como é feito por algumas empresas). O controle automático de geração
substitui parte deste controle manual, reduzindo o tempo de resposta a cerca de um ou dois
minutos. Retardos associados a limites fı́sicos não tornam desejável (ou possı́vel) maior redução
no tempo de resposta.
Para fazer o erro em regime permanente ser zero, um controle integral é usado para comandar
a referência do variador de carga-velocidade:
∆r = −KI
Z
t
∆f dt
(5.1)
0
onde o sinal negativo significa que um erro positivo de freqüência deve dar origem a um comando
no sentido de reduzir o valor de r.
Usando o desvio de freqüência como entrada para o controlador, tem-se o esquema do controle
suplementar da figura 5.1.
Define-se o erro de controle de área (ECA) como o sinal injetado no bloco integrador. Portanto
o erro de controle de área corresponde a grandeza (ou combinação de grandezas) cujo desvio deve
ser anulado. No equilı́brio ECA = 0. O esquema apresentado na figura pode ser generalizado
considerando outras grandezas como entrada do integrador. No caso de áreas interligadas o desvio
de potência nas interligações pode fazer parte do ECA.
5.1.1
Controle suplementar em uma única área de controle
No caso de uma única área de controle, a entrada do controlador integral é o desvio de freqüência.
Portanto neste caso
ECA = ∆f
O comportamento dinâmico do sistema depende do valor do ganho do integrador KI . Uma
análise simples do efeito deste ganho é possı́vel considerando uma área térmica (figura 5.2).
Como o controle suplementar é lento pode-se desprezar as constantes de tempo do regulador
GSP-EEL-UFSC
103
∆F (s)
?
∆PL (s)
1
R
?
KI
s
- ?-
-
-
?1
∆Pm (s)
Ms + D
+
1
(1+T1 s)(1+Tc s)
∆r(s)
∆F (s)
-
Figura 5.2: Área térmica com controle suplementar
e da turbina (T1 = Tc = 0). Obtém-se então a função de transferência
sR
∆F (s)
=−
∆PL (s)
sR(M s + D) + RKI + s
ou
1
∆F (s)
1
=−
1
D
2
∆PL (s)
M [s + ( M + RM
)s +
KI
]
M
(5.2)
(5.3)
Comparando o denominador com a forma padrão do sistema de segunda ordem
s2 + 2ζwn s + wn2
tem-se que
ωn =
e
ζ=
s
r
1
4M KI
KI
M
1
D+
R
2
Tem-se os seguintes casos para o amortecimento:
2
2
1
D + R1 e o sistema é subamortecido.
1. Se ζ < 1 4M1KI D + R1 < 1 ⇒ KI > 4M
2. Se ζ = 1
1
4M KI
D+
3. Se ζ > 1
1
4M KI
D+
1 2
R
1 2
R
= 1 ⇒ KIcrit =
> 1 ⇒ KI <
Deste resultado segue que para
1
4M
1
4M
D+
D+
1 2
R
1 2
R
e tem-se amortecimento crı́tico.
e o sistema é superamortecido.
ζ = 1 KI = KIcrit
ζ < 1 KI > KIcrit
ζ > 1 KI < KIcrit
A simulação da resposta transitória para cada um destes casos indica que
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
104
• A resposta inicial mesmo com o controle secundário corresponde a resposta do controle
primário. Após algum tempo, o qual se reduz com o aumento de KI , o controle secundário
se faz sentir, trazendo a freqüência de volta ao valor inicial.
• Para KI > KIcrit (ζ < 1) a resposta é oscilatória.
• Para KI < KIcrit (ζ > 1) a resposta é não oscilatória e lenta. Portanto a integral do erro
de freqüência será
R relativamente grande. Isto significa um maior erro de tempo, o qual é
proporcional a ∆f dt. Por outro lado o sistema não seguirá desnecessariamente variações
muito rápidas devidas a flutuações da carga.
• Quanto maior KI , mais rapidamente o sistema começa a responder
5.2
5.2.1
Sistema de duas áreas interligadas com controle suplementar
Introdução
No caso do sistema interligado, exige-se além dos requisitos em termos da resposta em regime
permanente e transitória e sobre a integral da freqüência, que os desvios de potência nas linhas de
interligações sejam iguais a zero em regime permanente. Isto basicamente requer que cada área
satisfaça suas próprias alterações de carga com respeito ao programado.
Portanto os erros de controle de área (que devem ser anulados pelo controle integral) são
ECA1 = ∆PT L12 + B1 ∆f1
ECA2 = ∆PT L21 + B2 ∆f2
(5.8)
(5.9)
(5.10)
onde B é um fator de ponderação da freqüência (”frequency bias”).
O controle suplementar do tipo integral fica:
∆r1 = −KI1
∆r2 = −KI2
Z
Z
(∆PT L12 + B1 ∆f1 )dt
(5.11)
(∆PT L21 + B2 ∆f2 )dt
(5.12)
(5.13)
O diagrama de blocos do sistema é mostrado na figura 5.3.
Na operação de áreas interligadas a condição enunciada acima de que para uma variação em
degrau da carga o controle suplementar deve zerar o erro de freqüência deve se restringir ao caso
em que a área na qual ocorreu a variação de carga possa satisfazer a mesma. Se este não for o
caso então o desvio de freqüência e de potência na interligação devem persistir de modo que a
assistência de outras áreas seja possı́vel.
A seqüência de eventos que se seguem a uma variação de carga em uma área de um sistema
constituı́do de duas áreas, é examinado considerando a atuação dos controles primários e secundários. Uma variação de carga ∆PL1 ocorre na área 1. De acordo com as relações obtidas no
GSP-EEL-UFSC
105
?
?
B1
?
+
6
+
∆PL1 (s)
1
R1
+ ?-
KI
− 1
s
-
-
Regulador de velo−
cidade mais turbina
∆PT L12 (s)
+- ?- 1
M1 s + D 1
6
∆r1 (s)
−1 ∆PT L21 (s)
3
+
?
-
+
6
B2
6
KI
− 2
s
∆F1 (s)
-
-
+ 61
R2
6
?+
6-
-1
∆r2 (s)
-
T
s
Regulador de velo−
cidade mais turbina
1
+- ? M2 s + D 2
6
∆PL2 (s)
Figura 5.3: Controle secundário para duas áreas
∆F2 (s)
-
106
capı́tulo 4, o desvio de freqüência em ambas as áreas é dado por
∆f =
( R11
−∆PL
+ D1 ) + ( R12 + D2 )
(5.14)
e o desvio de potência na interligação é de
∆PT L12 =
−∆PL ( R12 + D2 )
( R12 + D1 ) + ( R12 + D2 )
(5.15)
do ponto de vista da área 1 ou
∆PT L21 =
∆PL ( R12 + D2 )
( R11 + D1 ) + ( R12 + D2 )
(5.16)
do ponto de vista da área 2.
Esta situação decorre da atuação do controle primário . Como resultado a geração nas áreas
1 e 2 (contabilizando a redução da carga com a freqüência) são aumentadas, respectivamente de
∆PG1 = −β1
−∆PL
β1 + β 2
∆PG2 = −β2
−∆PL
β1 + β 2
e
ou seja, a geração total é ∆PG1 + ∆PG2 = ∆PL
A ação do controle suplementar é no sentido de zerar o erro de controle de área. Portanto o
valor do ECA mostra em que direção o controle secundário de cada área atuará. Como mostrado
na análise seguinte, esta direção depende da escolha do ”bias”de área. Tradicionalmente tem-se
feito B = β, ou seja, o ”bias”é igual a caracterı́stica natural de área. Uma sugestão encontrada na
literatura e baseada em controle ótimo propõe um ajuste ótimo de ”bias”tal que B = 0.5β. Esta
escolha foi objeto de muitas discussões. Atualmente aceita-se que o valor do ”bias”não precisa
ser estabelecido rigidamente, embora um valor próximo da caracterı́stica natural de área seja
geralmente usado. As caracterı́sticas de cada sistema determinam a escolha. Na realidade não há
necessidade de que os valores de B1 e B2 sejam iguais à caracterı́stica de regulação de área. No
regime permanente tem-se
∆PT L12 + B1 ∆f = 0
∆PT L21 + B2 ∆f = 0
(5.17)
(5.18)
Como ∆PT L12 = −∆PT L21 segue que ∆f = 0, independentemente dos valores de B1 e B2 .
Uma análise do efeito dos valores de ”bias”é desenvolvida para o sistema considerado, que
mostra as tendências que esta escolha implica no comportamento dinâmico do sistema. Para
simplificar a análise supõe-se que o controle primário age após o final da atuação do controle
secundário. Os desvios de freqüência e potência na interligação, no inı́cio da atuação do controle
secundário são dados por (5.14), (5.15) e (5.16). Nos casos considerados a seguir B 1 e B2 denotam
os valores de ”bias”das áreas 1 e 2, respectivamente. Os valores de erro de controle de área
são denotados por ECA1 e ECA2 para as áreas 1 e 2, respectivamente. Os seguintes casos são
analisados:
GSP-EEL-UFSC
107
1. A escolha do ”bias”é,
B1 = β1
B2 = β2
Os erros de controle de área são
ECA1 = −∆PL
ECA2 = 0
Portanto a escolha de B igual a caracterı́stica de regulação da área assegura que o sinal de
erro de área contém a informação exata sobre qual área deve exercer o esforço de controle
suplementar. A tendência de aumento de geração devido ao controle secundário é de ∆P L
que se adiciona ao aumento de geração ∆PL devido ao controle primário. Portanto há uma
tendência de sobrefreqüência e atuações sucessivas do controle secundário. É interessante
observar que se a área 1 não consegue satisfazer o aumento de demanda, como o ECA da
área 2 é zero, a mesma não tentará mudar o padrão estabelecido pelo controle primário. O
aumento de geração na área 2 persiste, assim como o desvio na interligação e a queda de
freqüência.
2. A escolha do ”bias”é
B1 = 0.5β1
B2 = 0.5β2
ECA2
β1
2
+ β2
∆PL
β1 + β 2
β2 ∆PL
=
β1 + β 2 2
ECA1 = −
A tendência portanto é de a área 1 aumentar a sua geração de
β1
2
+ β2
∆PL e a área 2 reduzir
β1 + β 2
β2 ∆PL
A tendência de aumento total de geração devido ao controle
β1 + β 2 2
secundário é, portanto ∆PL . O controle primário já havia aumentado a geração de ∆PL e
portanto há uma tendência de se ter excesso de geração e conseqüente sobrefreqüência de
valor menor, no entanto, do que no caso 1. No caso 2 há portanto menor necessidade de
atuação do controle secundário.
a sua geração de
B1 = 1.5β1
B2 = 1.5β2
+ β2
∆PL
β1 + β 2
β2 ∆PL
= −
β1 + β 2 2
ECA1 = −
ECA2
3
β
2 1
108
Neste caso as duas áreas tendem a aumentar a geração, com um aumento total de geração
devido ao controle secundário de 1.5∆PL . Este valor é superior ao valor obtido no caso 1.
Há portanto tendência de sobrefreqüência com muitas atuações do controle secundário, o
que resulta em um sistema mais oscilatório.
B1 = β1
B2 = 0
ECA1 = −∆PL
β2
∆PL
ECA2 =
β1 + β 2
Portanto a área 1 aumenta a geração para compensar o aumento de carga enquanto a área 2
reduz a geração para zerar o erro de intercâmbio. A área 2 opera na modalidade de controle
chamada de F lat T ie Line(F T L). Se o aumento de carga for na área 2 os erros de controle
de área são
ECA1 = 0
ECA2 = −
β1
∆PL
β1 + β 2
A área 1 não tem ação de controle suplementar enquanto que a área 2 tende a aumentar a
1
visando zerar o erro de intercâmbio.
sua geração de β1β+β
2
B1 = β1
B2 = ∞
ECA1 = −∆PL
ECA2 = −∞
Se o aumento de carga for na área 2 então os erros de controle de área são
ECA1 = −∆PL
ECA2 = −∞
Portanto neste caso a área 2, que tem seu ajuste de ”bias”infinito, tende a assumir toda
a variação de carga visando zerar o erro de freqüência. Esta modalidade de controle é
conhecida como F lat F requency(F F ).
B1 = 0
B2 = ∞
GSP-EEL-UFSC
109
β2
∆PL
β1 + β 2
= −∞
ECA1 = −
ECA2
Se o aumento de carga for na área 2 então os erros de controle de área são
β1
∆PL
β1 + β 2
= −∞
ECA1 =
ECA2
Novamente a área 2 tende a assumir toda a carga visando zerar o erro de freqüência. No
caso de aumento de carga na área 2 a área 1 tende a diminuir a geração diminuindo o excesso
de geração.
A análise anterior fornece apenas uma indicação de tendências. A determinação dos valores
de ”bias”e a verificação do efeito desta escolha devem ser feitos a partir de estudos analı́ticos e
simulações.
110
Princı́pios do controle secundário Os livros de deMello [9] e de X. Vieira [33] apresentam
os fundamentos do controle secundário. A referência [23] apresenta uma discussão interessante
sobre o controle secundário. As propostas de Elgerd sobre ajuste de bias causaram uma polêmica
no inı́cio dos anos 1970 [13],[16] (ver discussão destas referências).
Controle de freqüência e desregulamentação da indústria de energia elétrica A
desregulamentação da indústria de energia elétrica introduziu profundas mudanças na questão do
controle de freqüência em alguns paı́ses. O controle de freqüência passou a ser considerado um
serviço ancilar. Com isto este controle passa a ser leiloado no mercado de energia elétrica. Os
conceitos de área de controle são então modificados. Uma discussão de alguns aspectos do controle
de freqüência é encontrada em [6]
GSP-EEL-UFSC
111
Exercı́cios
1. Considere o caso de uma área isolada com controle suplementar, onde o regulador é representado por um termo de primeira ordem, com ganho unitário e constante de tempo T1 .
A turbina e os efeitos de inércia e carga são representados pelas funções de transferência
Kp
1
e (1+ST
. O controle suplementar é do tipo integral, com ganho KI , e o estatismo
(1+sTc )
p)
permanente é R. Ache o maior valor admissı́vel para KI para que o sistema de controle de
velocidade seja estável. Se Kp = 120 Hz/pu M W , Tp = 20 seg, Tc = 0.5 seg, T1 = 0.08 seg,
R = 2.4 Hz/puM W , calcule numericamente este valor máximo de KI . Compare este caso
com os casos em que (1) a dinâmica do regulador e (2) as dinâmicas de regulador mais
turbina são desprezadas.
112
CAPÍTULO 6
Desempenho dinâmico para variações de
freqüência
6.1
Introdução
Nos capı́tulos anteriores estudamos os modelos para estudos de controle de freqüência, o controle
primário e o controle secundário. Neste capı́tulo estudaremos o comportamento do sistema como
um todo, face a variações de freqüência como resultado de perturbações no sistema. O objetivo
é estudar o desempenho de unidades hidráulicas e termelétricas durante grandes excursões de
freqüência ou mesmo em situações fora da freqüência nominal. Esta situações aparecem como
resultado de
1. Perda de geração
2. Rejeição de carga
3. Condições de ilhamento com desequilı́brio entre geração e carga
6.2
Comportamento das unidades fora da freqüência nominal
Nesta seção as caracterı́sticas e restrições operativas dos componentes de unidades térmicas e
hidráulicas são estudadas.
6.2.1
Turbinas a vapor
O objetivo é estudar o comportamento e restrições de turbinas a vapor nas condições subfreqüência
e sobrefreqüência. Estas restrições tem implicações em termos de faixas viáveis de operação do
equipamento com implicações na operação do sistema
114
6.2.1.1
Capı́tulo 6: Desempenho dinâmico para variações de freqüência
Freqüência fora da nominal: sobrefreqüência
A sobrefreqüência pode ser causada por rejeição de carga ou uma situação de ilhamento, onde a
potência gerada é superior à carga.
A sobrefreqüência como resultado de rejeição de carga, é causada pelo desequilı́brio entre a
potência gerada pela turbina e a potência fornecida pelo gerador ao sistema. Com isto os rotores
das máquinas (turbina e gerador) aceleram. Neste caso a redução de velocidade é proporcionada
automaticamente por reguladores de velocidade eletro-hidráulicos
No caso de ilhamente, a caracterı́stica de regulação, ou seja, o estatismo do regulador, limita
o aumento da freqüência, que pode ser mantida a tempo de ações por parte do operador (redução
do setting de velocidade). No entanto, se a freqüência for muito elevada haverá atuação do relé
de sobre-velocidade.
6.2.1.2
Subfreqüência
Uma condição de subfreqüência é causada por um grande aumento de carga ou por uma situação
de ilhamento em que a geração seja inferior à carga. Esta condição é mais crı́tica de que o
caso de sobrefreqüência, pois a geração não pode ser aumentada além do limite. O corte de
carga é a primeira proteção contra subfreqüência, para evitar a atuação de relés de subfreqüência
empregados para proteger a unidade. O desligamento da turbina por subfreqüência deveria ser o
último recurso, pois pode causar blackout.
6.3
Comportamento das unidades fora da freqüência nominal
Nesta seção as caracterı́sticas e restrições operativas dos componentes de unidades térmicas e
hidráulicas são estudadas.
6.3.1
Turbinas a vapor
O objetivo é estudar o comportamento e restrições de turbinas a vapor nas condições subfreqüência
e sobrefreqüência. Estas restrições tem implicações em termos de faixas viáveis de operação do
equipamento com implicações na operação do sistema
A operação fora da frequência nominal de unidades e vapor é mais restritiva do que no caso
do gerador. Esta condição ocasiona vibração e ressonância das pás na baixa pressão. Os esforços
de vibração nas pás dependem das forças de excitação e da caracterı́stica da resposta natural da
estrutura das pás. magnitude da excitação aumenta com o aumento do fluxo de vapor. A resposta
depende da proximidade das freqüências naturais das pás e do amortecimento. A pás crı́ticas são
as últimas 3 fileiras na turbina de BP e, às vezes, a última fileira na turbina de PI. Estas pás são
fabricadas de modo a evitar a ressonância na freqüência natural de operação.
Existem três modos de vibração das pás
1. Modo tangencial onde as pás vibram em fase no plano de máxima flexibilidade da pá,
perpendicular ao eixo da unidade
2. Modo de vibração em fase, mas com deflexão no sentido axial
3. Modo torcional com a vibração do grupo de pás em uma direção aproximadamente axial
GSP-EEL-UFSC
115
Figura 6.1: Caracterı́stica de vibração das pás
Figura 6.2: Aumento da amplitude de vibração para operação fora da freqüência nominal
O diagrama de Campell, dado na Figura 6.1, mostra a relação entre a freqüência de operação
e modos de vibração das pás.
A relação entre falha e operação fora da freqüência nominal é mostrada na Figura 6.2
6.3.2
Caldeiras
No caso de caldeiras a tambor, o tambor funciona como um reservatório de vapor suprindo a
necessidade de vapor da turbina por um certo perı́odo após variações súbitas de carga. No caso
de rejeição de carga o tambor serve como reservatório para armazenar a energia. Para grandes
variações de carga, no entanto, a potência fornecida depende da dinâmica da caldeira.
As caldeiras de fluxo direto tem uma dinâmica mais rápida mas apresentam maiores variações
de pressão. Se a variação de pressão excede o nı́vel permitido um sistema de limitadores controla
a abertura das válvulas para manter a pressão nos limites ou o sistema de proteção desliga a
unidade
Em condições de ilhamento, com geração em excesso, o que corresponde a uma rejeição parcial
de carga a caldeira deve operar satisfatoriamente, o que implica em uma série de requisitos. O
fluxo de combustı́vel deve corresponder à redução de potência elétrica de saı́da, o que deve estar
associado a outras ações. Deve existir uma redução da alimentação do fluxo de água. Para a
caldeira a tambor, deve haver um retardo no fluxo de alimentação da água e controle adequado
do nı́vel da água no caso de grandes variações do fluxo de vapor assegurando que que o nı́vel
da água no tambor permaneça acima do nı́vel mı́nimo, evitando sobreaquecimento da caldeira.
116
pressão
desejada
geração
desejada
?
?
controles
de
caldeira
+
?
controle
geração real
de
saida
da unidade
?
regulador
+de
caldeira
pressão velocidade
entrada
para caldeira
do vapor
-
turbina
- gerador
-
saı́da
Figura 6.3: Modo de controle dirigido pela turbina
Para os dois tipos de caldeira, é necessário um controle do fluxo de ar para os queimadores para
manter a estabilidade da combustão já que diferenças entre combustı́vel e fluxo de ar podem
causar explosões. É importante ainda a coordenação dos controles da caldeira e turbina, tendo em
conta o fechamento rápido das válvulas de controle e interceptação como resultado da limitação
de sobrevelocidade.
As caracterı́sticas de turbinas a vapor e caldeiras, como descrito aqui tem implicações diretas na
resposta dinâmica destas unidades. Se apenas a dinâmica da turbina e reguladores de velocidade
for tomada em conta, as unidades a vapor tem uma grande capacidade de responder a variações
de carga em comparação com unidades hidráulicas onde a dinâmica lenta da coluna de água
está envolvida, especialmente no caso de caldeiras a tambor. No entanto outros controles além do
regulador acabam determinando a resposta primária. Como conseqüência da ação destes controles
a variação instantânea da potência de saı́da fica limitada a 10% da potência nominal. Para grandes
variações de carga a necessidade destes controles é reconhecida. Para pequenas variações em torno
do ponto de operação estes controle não deveriam ser restritivos.
6.3.3
Controle de unidades térmicas
Existem basicamente três filosofias para o controle de unidades térmicas:
• Controle dirigido pela turbina (”turbina-leading”ou ”boiler-following”)
• Controle dirigido pela caldeira (”boiler-leading”ou ”turbina-following”)
• Controle integrado caldeira-turbina
O modo de controle dirigido pela turbina está ilustrado na Figura 6.3. Este sistema é o geralmente usado para caldeiras tipo tambor. Ele consiste de um sistema de controle em malha fechada
envolvendo a turbina e o gerador, para o qual o regulador de velocidade faz com que as válvulas
de controle respondam a uma variação de carga. Deste modo, o sistema confia nos controles da
caldeira para fornecer vapor a pressão aproximadamente constante. A resposta desse sistema é
mais rápida do que a do modo dirigido pela caldeira, e tira vantagem da energia armazenada
pela caldeira. Contudo, a pressão da caldeira está sempre atrasada e requer algum tempo para
retornar ao nı́vel normal após uma variação da posição da válvula da turbina. Naturalmente o
ajuste para pequenas variações da válvula pode ser feito muito mais rapidamente do que para
grandes variações.
GSP-EEL-UFSC
117
demanda
da
carga
?
controle
de
controles
-das válvulas
bombeamento
da turbina
e injeção
de
combustı́vel
pressão
?
?
caldeira
válvulas
da turbina
- turbina
- gerador
Figura 6.4: Modo de controle dirigido pela caldeira
geração
desejada
geração
real
?
?
controlador
66
?
pressão
desejada
controle
de
?
controle de
reg. de
velocidade
combustão
?
- caldeira
pressão
do vapor
regulador
de
velocidade
turb.
gerador
Figura 6.5: Modo de controle integrado caldeira-turbina
No modo de controle dirigido pela caldeira as variações de carga são alimentadas diretamente
para os controle de bombeamento e combustão da caldeira. Isto resulta, após um atraso de
tempo, em uma variação na pressão da caldeira, que é regulada pela ação dos controles da turbina
(Figura 6.4).
Este tipo de controle é inerentemente lento, mas é muito estável. Nesse modo de operação o
laço é fechado de modo a incluir a caldeira. O modo pode então ser considerado como um modo
de operação acoplado, mas onde a caldeira domina a resposta, em razão de sua grande constante
de tempo.
Finalmente, o modo de controle coordenado (ou integrado) caldeira-turbina é multivariável. O
seu objetivo principal é ajustar a operação da caldeira e turbina conforme o exigido pelos controles
(Figura 6.5).
118
6.3.4
Turbinas a gás
A turbinas a gás operam pelo despacho econômico normalmente fornecendo elevada potência por
ser a melhor condição de combustão, redução de poluentes e reduzida manutenção. No modo de
regulação de freqüência as turbinas a gás são despachadas abaixo da carga nominal, permanecendo
prontas a tomar carga em resposta a uma perturbação de freqüência. A resposta da turbina a
gás depende do sistema de controle de combustı́vel e do fluxo de ar do compressor. Apresentam
respostas tı́picas de menos de 10 segundos para um degrau de variação da freqüência da rede.
A operaçào de turbinas a gás fora da condição de freqüência nominal aumenta o desgaste dos
componentes associados ao caminho do gás em alta temperatura. Com isto a manutenção também
aumenta.
6.3.4.1
Operação em subfreqüência
Quando ocorre uma situação de subfreqüência um umento de geração é necessário. Com a redução
da velocidade o fluxo de ar do compressor é reduzido, o que leva a uma redução da potência
da turbina. Para aumentar a potência há um aumento de injeção de combustı́vel (overfiring),
com conseqüente aumento de temperatura e desgaste de componentes. Operação em velocidades
menores do que 95% requer overfiring, mas também expõe as pás à excitação que pode levar a
ressonância e redução de vida por fatiga. O controle de entrada de ar através das palhetas guias de
entrada permite reduzir a temperatura. No entanto, com a entrada de ar completamente aberta,
a potência é limitada pelo controle de temperatura.
6.3.4.2
Operação em sobrefreqüência
Em situações de sobrefreqüência a velocidade acima da nominal leva a tensão mecânica dos componentes rotativos proporcional ao quadrado do aumento de velocidade.
6.4
Um estudo de caso
• Malásia 1996
• 8760 M W
– 67% geração a gás
– 22% vapor
– 11% hidráulica
• Pólo de um disjuntor travado e ajuste incorreto de proteção
– Perda de 922 M W de geração
– Queda de freqüência para 49.1 Hz em 3 seg
• Tomada de carga por turbinas a gás
– Muitas foram desligadas pela proteção
∗ Por limite de temperatura
∗ Por flame-out
GSP-EEL-UFSC
– Perda total de 2143 M W
• Blackout 16 seg após o incidente inicial
119
120
CAPÍTULO 7
Controle da excitação
7.1
Introdução
Neste capı́tulo serão analisados os efeitos do controle de excitação sobre a estabilidade, especialmente sobre a estabilidade dinâmica. O estudo de um gerador conectado a uma barra infinita
permite o entendimento da natureza dos torques desenvolvidos na máquina e a relação com o
comportamento em uma vizinhança do ponto de equilı́brio. O uso de sinais estabilizadores e os
problemas associados a escolha dos diversos sinais são discutidos neste capı́tulo.
7.2
Efeito do controle da excitação sobre a estabilidade
transitória
A estabilidade transitória está relacionada a grandes perturbações que levam as variáveis do sistema a uma excursão tal que as não-linearidades devem ser consideradas.
Para uma única máquina ligada a uma barra infinita através de uma impedância Xe , a potência
elétrica transmitida é dada por
Vt V∞
Pe =
senδ
(7.1)
Xe
onde Vt é a tensão terminal da máquina, V∞ é a tensão da barra infinita e δ é o ângulo do rotor
medido, por exemplo, com relação á barra infinita.
Durante uma perturbação, por exemplo um curto-circuito, pode haver uma considerável redução
da tensão terminal, e portanto da potência elétrica transmitida Pe . Esta redução em Pe pode ser
limitada pela ação rápida do sistema de excitação, forçando a tensão de campo para o valor
máximo (”ceiling”).
Do ponto de vista da estabilidade transitória os atributos desejáveis do sistema de excitação
são:
• rapidez de resposta, o que implica em baixas constantes de tempo do regulador de tensão e
altos ganhos.
122
Capı́tulo 7: Controle da excitação
• alto valor de ”ceiling”
Na estabilidade transitória, está-se interessado em saber se o sistema é capaz de manter o
sincronismo durante e logo após a perturbação. O primeiro ciclo é muito importante. Como
os reguladores de velocidade não tem tempo de atuar, o sistema de excitação deve tentar tanto
quanto possı́vel manter a potência elétrica de saı́da no perı́odo de interesse, de modo a reduzir a
potência de aceleração.
Assim, o sistema de excitação pode ajudar a manter a estabilidade transitória de dois modos:
• reduzindo a magnitude da primeira oscilação. Mesmo um sistema de excitação muito rápido
apresenta um efeito limitado sobre a primeira oscilação.
• amortecendo oscilações subseqüentes. A perda de sincronismo pode, em alguns casos, ocorrer
em oscilações subseqüentes pelo batimento de curvas de ângulos. O sistema de excitação,
através do uso de sinais estabilizadores, pode aumentar o amortecimento e evitar a perda
de sincronismo.
7.3
Efeito do controle de excitação sobre a estabilidade
dinâmica
A estabilidade dinâmica está relacionada ao comportamento da trajetória do sistema em uma
vizinhança do ponto de equilı́brio. As perturbações consideradas são pequenas e as equações do
sistema podem ser linearizadas.
Um estudo de estabilidade dinâmica deve indicar se variações de carga ou variações na topologia
do sistema elétrico resultam em um ponto de equilı́brio para o qual o sistema se ajusta com
amortecimento suficiente. Serão mostrados neste capı́tulo os fatores que afetam as caracterı́sticas
do ponto de equilı́brio. Em determinadas configurações, o sistema elétrico apresenta pequeno
amortecimento ou até amortecimento negativo. Neste último caso variações muito pequenas da
carga levam a oscilações que crescem no tempo.
Os sistemas de excitação modernos podem se adicionar aos fatores que conduzem a baixos
amortecimentos do sistema. Assim se por um lado eles são benéficos do ponto de vista da estabilidade transitória, estes sistemas de excitação podem ser prejudiciais do ponto de vista da
estabilidade dinâmica, como será visto nas seções subseqüentes.
7.4
7.4.1
Análise do comportamento dinâmico de uma máquina
contra barra infinita
Modelo de Heffron-Phillips
Embora o estudo da estabilidade dinâmica possa ser feito diretamente a partir das equações
linearizadas do sistema, a análise de um sistema simplificado consistindo somente de um gerador
conectado a uma barra infinita permite obter uma visão clara dos fatores que contribuem para
o aparecimento de amortecimento reduzido no sistema e a conseqüente emergência de oscilações
que se sustentam por longos perı́odos ou crescem com o tempo. A análise desenvolvida a seguir
usa o modelo de Heffron-Phillips. Este modelo representa um gerador sı́ncrono conectado a uma
barra-infinita (figura 7.1) por uma linha. O gerador é representado por um modelo de terceira
ordem. O modelo completo é mostrado na figura 7.2.
GSP-EEL-UFSC
123
e
Re + jXe
Vt
V∞
Figura 7.1: Gerador sı́ncrono conectado a barra infinita
K4
K1
?
∆Tm (s) +
- ]-
-
6
∆w(pu)
1
Ms
-
ωB
s
∆δ(s)
-
?
K2
D
K5
6
∆EF D (s)+ ?
-
-
∆Eq0
K3
0
1 + K3 Tdo
-
K6
+
?
+
-
∆V
(s)
-t
Figura 7.2: Modelo de Heffron-Phillips
As constantes K1 até K6 são calculadas por:
0
0
K1 = KI V∞ Eqa
[Re sen(δ 0 − α) + (Xd + Xe )cos(δ 0 − α)]
0
K2 =
0
+KI V∞ Eqa
{Iq0 (Xq − Xd )[(Xe + Xq )sen(δ 0 − α) − Re cos(δ 0 − α)]}
0
KI {Re Eqa
+
Iq0 [Re2
2
+ (Xq + Xe ) ]}
0
−1
K3 = [1 + KI (Xd − Xd )(Xq + Xe )]
0
K4 = V∞ KI (Xd − Xd )[(Xq + Xe )sen(δ 0 − α) − Re cos(δ 0 − α)]
0
KI V∞ Xd Vq0
K5 =
[Re cos(δ 0 − α) − (Xq + Xe )sen(δ 0 − α)]
0
Vt
KI V∞ Xq Vd0
0
−
[(Xd + Xe )cos(δ 0 − α) + Re sen(δ 0 − α)]
0
Vt
0
Vq
Vd0
0
[1
−
K
X
(X
+
X
)]
−
(
)KI Xq Re
K6 =
I d
q
e
Vt0
Vt0
(7.2)
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
onde
0
KI = [Re2 + (Xq + Xe )(Xd + Xe )]−1
0
0
0
Eqa
= Eq0 − (Xq − Xd )Id0
e α é o ângulo da barra infinita com relação a uma referência (se a barra infinita é a referência
então α = 0).
As equações anteriores tornam-se bastante simplificadas fazendo Re = 0. Esta hipótese facilita a análise do efeito do carregamento (ângulo δ 0 ) e impedância externa sobre os valores das
constantes.
124
K1
?
∆Tm (s) +
6
-
-
∆ω -
1
Ms
D
ωo
s
∆δ(s)
-
Figura 7.3: Modelo de Heffron-Phillips para fluxo constante
A constante K3 não depende do carregamento enquanto que todas as outras dependem dos
parâmetros da máquina e do carregamento.
Estudos realizados mostram que quando Re Xe , o que é normalmente o caso quando não
há carga local, todas as constantes são positivas com exceção de K 5 , que pode se tornar negativa
para valores elevados de Xe e alto carregamento (δ elevado).
Quando Re é da ordem de Xe , o que ocorre quando existe carga local, então K2 , K5 e K6 são
positivos e K1 e K4 podem se tornar negativos quando a potência reativa fornecida pela máquina
aumenta. Estas observações são importantes para a análise a ser desenvolvida, a qual segue de
perto a referência [8].
7.4.2
Desempenho com fluxo de campo constante
Desprezando-se a variação do fluxo concatenado com o campo (a reação da armadura não é
0
0
considerada) tem-se que Eq , que é proporcional àquele fluxo, é constante. Portanto ∆Eq = 0 e o
modelo de Heffron-Phillips se reduz ao diagrama mostrado na figura 7.3.
Desta figura tem-se
ω0
∆δ
(7.8)
= 2 D M ω0 K1
∆Tm
s + Ms+ M
Comparando-se com a forma padrão do sistema de segunda ordem obtém-se:
r
K1 ω 0
ωn =
M
(7.9)
e
D
ζ= √
(7.10)
2 K1 ω0 M
p
A freqüência própria é dada por ω = ωn 1 − ζ 2 . Para valores usuais de parâmetros esta
freqüência é da ordem de 0.5 a 2 Hz.
O torque elétrico desenvolvido pela máquina em qualquer instante pode ser representado por
∆Te = K1 ∆δ + D∆ω
(7.11)
e observa-se que há uma componente em fase com ∆δ e outra componente em fase com ∆ω. Se o
coeficiente K1 for positivo então um aumento do ângulo (causado, por exemplo, por uma potência
∆Tm > 0) origina um maior torque elétrico, o que tende a diminuir o torque acelerante. Se K 1 < 0
GSP-EEL-UFSC
125
então o torque elétrico diminui com o aumento do ângulo e a tendência é um aumento monotônico
do ângulo.
A componente K1 ∆δ é então chamada de torque de sincronização. Se K1 > 0 o sistema é
estável e se K1 < 0 o sistema é instável.
A componente D∆ω é chamada de torque de amortecimento. Se o amortecimento for negativo,
mesmo com K1 > 0, o sistema apresentará oscilações crescentes com o tempo. Uma forma de
instabilidade oscilatória se manifesta neste caso.
Os conceitos de torque de sincronização e de torque de amortecimento, desenvolvidos para
este modelo simplificado, podem ser generalizados para modelos mais complexos de geradores. A
qualquer freqüência de oscilação desenvolvem-se torques de frenagem em fase com o ângulo do
rotor da máquina e em fase com a velocidade do rotor da máquina. Os primeiros são chamados
de torques de sincronização e os últimos torques de amortecimento.
Qualquer que seja o modelo pode-se obter a função de transferência
∆Te
= F (s)
∆δ
(7.12)
Para uma freqüência de oscilação ω, tem-se s = ω e
∆Te = F (ω)∆δ
(7.13)
∆Te = Ks (ω)∆δ + ωKd (ω)∆δ
(7.14)
∆Ts = Ks (ω)∆δ
(7.15)
∆Td = Kd (ω)∆ω
(7.16)
ou ainda
onde F (ω) = Ks (ω) + ωKd (ω).
Define-se então
como o torque de sincronização e
como o torque de amortecimento.
7.4.3
Análise com tensão de campo constante
0
Esta análise inclui o efeito da reação da armadura, ou seja, a variação de E q . A tensão de campo é
constante, pois não existe o regulador de tensão e portanto ∆EF D = 0. O termo de amortecimento
D não é levado em conta.
O diagrama do sistema é dado pela figura 7.4.
O torque elétrico tem duas componentes. Uma componente, dada por K1 ∆δ, é puramente de
sincronização.
A segunda componente é dada por
∆Te
−K2 K3 K4
=
0
∆δ
1 + sTdo K3
(7.17)
∆TEq0 = −K2 K3 K4 ∆δ
(7.18)
No regime permanente (s = 0)
e o torque é puramente de sincronização e de sinal contrário a ∆Ts1 = K1 ∆δ.
126
K1
?
∆Tm (s) +
-
-
6
-
1
Ms
-
K2
ωo
s
∆δ(s)
?
6
∆Eq0
K4
K3
0
1 + sTdo
K3
6
∆Ef d = 0 +
-
-
Figura 7.4: Modelo de Heffron-Phillips considerando a reação da armadura
O torque de sincronização total é dado por
Ts = (K1 − K2 K3 K4 )∆δ
(7.19)
e a condição para estabilidade, no sentido de existir um torque de sincronização positivo é K 1 −
K2 K3 K4 > 0.
Para altas freqüências onde w K 1T 0 onde K 1T 0 é a freqüência de corte da função de
3 do
3 do
transferência, a fase é aproximadamente 90 graus. O torque é portanto quase que completamente
de amortecimento. No entanto a magnitude se atenua com a freqüência.
Para freqüências ao redor de 1 Hz (tı́pica das oscilações reais), ∆TEq0 possui uma componente
de sincronização e uma componente de amortecimento. Esta última, para a faixa de valores usual
dos parâmetros, contribui com uma razão de amortecimento entre 0.03 e 0.05.
O comportamento do sistema após variação em degrau de ∆Tm é ilustrado pelas curvas de
ângulo mostradas na Figura 7.5.
Nesta figura tem-se os seguintes casos:
• Efeito desmagnetizante da armadura desprezado, D = 0 e K1 > 0 (Figura 7.5(a)). O ângulo
oscila com amortecimento nulo ao redor do novo ponto de operação.
• Efeito desmagnetizante da armadura considerado, D = 0 e K1 −K2 K3 K4 > 0 (Figura 7.5(b)).
A máquina atinge um novo ponto de operação, com o ângulo apresentado um baixo amortecimento, conforme visto acima.
• Efeito desmagnetizante da armadura considerado, D = 0 e K1 −K2 K3 K4 < 0 (Figura 7.5(c)).
O ângulo apresenta uma componente monotônica devida ao coeficiente de torque sincronizante negativo. A ação do regulador de tensão pode adicionar torque sincronizante ao sistema
(estabilidade condicional).
• Efeito desmagnetizante desconsiderado e K1 < 0 (Figura 7.5(d)). O sistema perde estabilidade sem oscilações (aumento monotônico do ângulo).
GSP-EEL-UFSC
127
δ
δ
(a)
t
δ
(b)
t
δ
(c)
t
(d)
t
Figura 7.5: Resposta a um degrau de potência mecânica
7.4.4
Análise com inclusão do regulador de tensão
A inclusão do regulador de tensão altera os torques desenvolvidos pela máquina. Para analisar
estes torques é adicionado ao modelo de Heffron-Phillips um regulador de tensão com um modelo
simplificado representado pela função de transferência
Kε
∆Ef d
=
(7.20)
∆Vt
1 + sTε
onde Kε é um ganho e Tε uma constante de tempo pequena. Este modelo é adequado para se
representar sistemas de excitação a tiristores. Obtém-se então o diagrama de blocos da figura 7.6
Uma restrição inicial ao ganho do regulador de tensão é imposta pela condição de operação
em vazio. Nesta condição deve-se garantir além da estabilidade uma boa resposta do sistema
de excitação tanto na partida quanto aos comandos do operador ou sincronizador automático,
visando a colocação da máquina em paralelo com o sistema de potência.
Para a máquina a vazio pode-se fazer ∆δ = 0 e Xe → ∞ o que resulta em K3 = 1 e K6 = 1.
O diagrama de blocos da malha de controle de tensão para a máquina em vazio (figura 7.7)
pode então ser obtido da figura 7.6 usando-se estas simplificações.
A função de transferência é dada por
Kε
∆Vt (s)
= 2
0
0
∆Vref (s)
s Tε Tdo + (Tε + Tdo )s + (Kε + 1)
ou
∆Vt (s)
=
∆Vref (s)
s2 +
Kε
0
Tε Tdo
0
Tε +Tdo
0
Tε Tdo
s+
Kε +1
0
Tε Tdo
(7.21)
(7.22)
Para assegurar um sistema bem amortecido com uma ultrapassagem de 5% pode-se escolher
um amortecimento ζ = 0.707.
Comparando o denominador da função de transferência anterior com a forma padrão tem-se:
s
Tε + T d00
Kε + 1
2ζωn = 2ζ
=
(7.23)
0
0
Tε + Tdo
Tε Tdo
128
K1
?
∆Tm (s) +
6
-
1
Ms
-
K2
ωo
s
K4
-
-
K5
6
K3
0
1 + sK3 Tdo
-
-
?
∆Ef d
K
1 + sT
-
?+ ∆Vref (s)
-6
K6
Figura 7.6: Modelo Heffron-Phillips com regulador de tensão
∆Vref (s) +
-
-
6
K
1 + sT
∆Ef d -
1
0
1 + sTdo
∆V
-t (s)
Figura 7.7: Diagrama de blocos para gerador em vazio
GSP-EEL-UFSC
129
6
1
T2
√
1
1
T 1 T2 T1
-
Figura 7.8: Diagrama de Bode do compensador de atraso de fase
Então
1
ζ=
2
s
0
0
0
1
Tε + Tdo
Tε Tdo Tε + Tdo
p
= √
0
0
Kε + 1 Tε Tdo
2 Kε + 1 Tε Tdo
(7.24)
Desde que Kε é elevado e Tε é baixo, pode-se fazer
Kε + 1 ≈ K ε
0
0
Tε + Tdo ≈ Tdo
Portanto
(7.25)
(7.26)
0
1
T
ξ ≈ √ pdo 0
2 Kε Tε Tdo
e
Kε ≈
Para assegurar ξ > 0.707 =
√
2
2
(7.27)
Tdo0
4ξ 2 Te
(7.28)
Tdo0
2Tε
(7.29)
deve-se ter
Kε <
Para valores tı́picos Tε = 0.05 seg e Tdo0 = 5 seg tem-se Kε < 50.
A condição de operação a vazio limita portanto o ganho máximo. Um alto ganho estático pode,
1+sT1
com T2 > T1 ,
no entanto ser desejável. Pode-se então usar o compensador de atraso de fase 1+sT
2
cujo diagrama de Bode é mostrado na figura 7.8. O ganho (transitório) para altas freqüências
é dado por Kε TT12 , ou seja, TT21 = ganho transitório/ganho estático. Se T11 é bem menor do que a
freqüência de corte então o regulador, cuja função de transferência é
Kε (1 + sT1 )
(1 + sTε )(1 + sT2 )
0
Kε
onde Kε = Kε TT12 e Kε é o ganho estático.
pode ser representado por 1+sT
ε
A restrição sobre o ganho em (7.29) pode então ser interpretada como uma restrição sobre o
0
ganho transitório Kε .
Na análise do efeito do regulador de tensão na estabilidade dinâmica é conveniente, para
simplificar a análise, separar as contribuições de torque através das constantes K 4 e K5 , para
simplificar a análise.
0
130
∆δ(s)
K4
∆T
φ (s)
K2
K3
0
1 + sK3 Tdo
∆Eq0
-
-?
+
-
K5
-?
+ ∆Vref (s)
K
1 + sT
6
-
K6
Figura 7.9: Diagrama desprezando a contribuição de K5
K4
∆T
φ (s)
K2
∆Eq0
K3
0
1+sK3 Tdo
-
-?
+
6
-
K
1+sT
∆δ(s)
∆Vtref (s)
K6 K
1+sT
Figura 7.10: Diagrama equivalente sem a contribuição de K5
7.4.4.1
Torques através de K4
O efeito de ∆δ sobre Vt (através de K5 ) é desprezado. Apenas a componente desmagnetizante
K4 ∆δ é considerada. O diagrama de blocos é mostrado na figura 7.9. Esta simplificação permite
comparar os torques com os desenvolvidos no caso sem regulador de tensão.
Mudando o ponto de soma, obtém-se o diagrama equivalente da figura 7.10.
Supondo Tε desprezı́vel face a Tdo0 K3 e K6 Kε K3 1 tem-se
e
−K4
∆E 0 q
=
0
T
∆δ
K6 Kε (1 + s Kεdo
)
K6
(7.30)
∆Tφ
−K2 K4
=
0
T
∆δ
Kε K6 (1 + s K6doKε )
(7.31)
Verifica-se que, em baixas freqüências, o torque de sincronização é
∆T = −
K1 K2
∆δ
Kε K6
(7.32)
que se reduz com o aumento do ganho do regulador de tensão.
No caso sem regulador este torque é
∆T = −K2 K3 K4 ∆δ
(7.33)
GSP-EEL-UFSC
∆Te (s)
131
1
T
)K6 K
(1+s K do
K
K2
6
K
1 + T s
K5
∆δ(s)
Figura 7.11: Diagrama equivalente sem a contribuição de K4
Para freqüências mais elevadas tem-se
para o caso com regulador e
∆Tφ
−K2 K4
=
0
T
∆δ
)
K6 Kε (1 + s Kεdo
K6
(7.34)
∆Te
−K2 K3 K4
=
0
∆δ
1 + sTdo K3
(7.35)
para o caso sem regulador.
T
0
0
Como Kεdo
< Tdo K3 a componente de torque de amortecimento é bastante reduzida no caso
K6
com regulador, já que o atraso de fase tende a 90O a freqüências bem mais altas.
As seguintes conclusões sobre a componente de desmagnetização através de K 4 seguem da
análise precedente
1. A componente negativa de torque de sincronização devida a K4 é praticamente eliminada
por ação do alto ganho e baixa constante de tempo do sistema de excitação.
2. Em compensação, a componente de torque de amortecimento devida à reação de armadura
é também significativamente reduzida.
Assim, a contribuição de torque de amortecimento através de K4 é pequena quando o regulador
de tensão está presente, e pode ser desprezada.
7.4.4.2
Torques através de K5
∆T
∆δ
é dada neste caso, por:
∆T
K2 Kε K5
=− 1
0
0
Tε
∆δ
( K3 + K6 Kε ) + s( K
+ Tdo ) + s2 Tdo Tε
3
(7.36)
Se as simplificações consideradas no ı́tem anterior forem usadas obtém-se o diagrama de blocos
da figura 7.11 e a função de transferência é
K2 K5
∆T
=−
0
T
∆δ
K6 (1 + s Kεdo
)(1 + sTε )
K6
(7.37)
As componentes de torque de sincronização e amortecimento podem, no entanto, ser calculadas
diretamente a partir da função de transferência dada em (7.36).
A contribuição de torque sincronizante calculada a partir de (7.36) é
K2 Kε K5 ( K13 + K6 Kε − ω 2 Tdo Tε )∆δ
0
∆Ts = −
Tε
( K13 + K6 Kε − ω 2 Tdo Tε )2 + ω 2 ( K
+ Tdo )2
3
0
0
(7.38)
132
Para baixas freqüências tem-se
∆Ts ≈ −
K2 K5
K2 Kε K5
∆δ ≈ −
∆δ
K6
+ K 6 Kε
(7.39)
1
K3
para altos valores de Kε .
Quando K5 > 0, tem-se ∆Ts < 0. Isto não causa problema pois as situações em que K5 > 0
(impedância externa baixa ou média e carregamento baixo a médio) são as mesmas em que K 1 é
elevado. Portanto K1 − KK2 K6 5 é ainda significativamente maior que zero.
Quando K5 < 0 (impedância moderada a alta e alto carregamento) tem-se ∆Ts > 0, o que
ajuda a manter a estabilidade quando K1 é pequeno ou negativo, ou quando K1 − K2 K4 K3 < 0
(esta é a componente de torque sincronizante no caso sem regulador).
A componente de torque amortecimento pode ser calculada a partir de (7.36)
Tε
+ Tdo )ω
K2 Kε K5 ( K
3
0
∆Td =
Tε
( K13 + K6 Kε − ω 2 Tdo Tε )2 + ω 2 ( K
+ Tdo )2
3
0
0
(7.40)
Se K5 > 0 então ∆T d > 0. Se K5 < 0 então ∆Td < 0 e a componente de torque através de
K5 contribui com amortecimento negativo. Além disso quanto maior Kε maior será o torque de
amortecimento negativo. Por outro lado sem o regulador de tensão o amortecimento é pequeno,
como descrito anteriormente.
Quando K5 < 0 o regulador de tensão é de muita ajuda neste caso para fornecer torque
de sincronização, mas por outro lado ele destrói o amortecimento natural da máquina, que já é
pequeno.
Antes do uso de sinais estabilizantes, a solução era usar um valor baixo de Kε para fornecer torque de sincronização sem cancelar inteiramente o amortecimento natural das máquina. Contudo,
a operação em certos casos pode ser tornar extremamente oscilatória.
A solução é se fornecer amortecimento por outros meios, como por exemplo através de sinais
estabilizantes. Estes sinais são obtidos a partir de sinais adicionais como velocidade da máquina,
freqüência e potência elétrica, que são usados como entrada de um controlador denominado estabilizador do sistema de potência (ESP ). Esta abordagem, proposta na década de 60, foi adotada
pela indústria como a solução para os problemas de estabilidade dinâmica em sistemas de potência
e é examinada a seguir.
7.4.5
Análise do efeito dos sinais estabilizadores
Análise seguinte segue a referência [25] e expõe o princı́pio básico do estabilizador do sistema de
potência.
O ESP deve produzir um torque TESP em fase com a velocidade. O diagrama da figura 7.12
ilustra esta situação. Nesta figura Td representa o torque total de amortecimento e Ts o torque de
sincronismo do gerador. As componentes destes torques foram analisadas nas seções anteriores.
O torque adicionado pelo estabilizador é, idealmente, TESP = DESP ∆ω, onde DESP é um fator
de amortecimento.
O sinal de saı́da do ESP é aplicado ao ponto de soma do regulador de tensão. A tensão
terminal é portanto modulada por este sinal variando a potência terminal, e produzindo, se a fase
for correta, torque de amortecimento. A Figura 7.13 mostra este esquema.
O candidato natural para sinal adicional a ser usado como entrada do ESP é o sinal de
velocidade. O uso deste sinal é analisado nesta seção para ilustrar alguns requisitos sobre o sinal
a ser usado e sobre a função de transferência do estabilizador de sistemas de potência.
GSP-EEL-UFSC
133
gerador +
excitatriz + sist. de pot.
Td + T s
∆Tm (s)
?
+
-
-
6
-
1
Ms
∆w(s)
-
wB
s
∆δ(s)
-
TESP = DESP ∆w
Figura 7.12: Torque produzido pelo ESP
Vref (s)
?
+
6
+
-
regulador
de
tensão
-
ESP
gerador
e
sist. de pot.
Figura 7.13: Esquema de atuação do ESP
V-t (s)
-
∆ω(s)
134
∆w(s)
∆TESP (s)
6
?
K2
ESP
K3
0
1 + sTdo
K3
-
K
1 + T s
+?
∆Vref (s)
6-
∆Vt (s)
K6
Figura 7.14: Torque obtido a partir de um sinal de velocidade
Para sinal estabilizante derivado da velocidade está-se interessado em determinar a função de
transferência entre o sinal de desvio de velocidade, ∆ω, e o componente de torque correspondente.
O diagrama de blocos, obtido a partir do modelo de Heffron-Phillips, relacionando esta componente
de torque e ∆ω está mostrado na figura 7.14
Com as simplificações usadas na obtenção da equação (7.30) tem-se
K2
ESP (s)
∆TESP
≈
0
∆ω
K6 (1 + s Tdo )(1 + sT )
ε
Kε K6
(7.41)
onde ESP (s) é a função de transferência do estabilizador.
Para que TESP seja puramente de amortecimento sobre todo o espectro de freqüências, deve-se
ter
0
Tdo
ESP (s) = K 1 + s
(1 + sTε )
Kε K6
Esta função de transferência contudo não é realizável. Portanto ESP (s) deve ser um compromisso de modo a fornecer amortecimento sobre o espectro de freqüências de oscilações esperadas,
isto é, uma função com suficiente avanço de fase para compensar uma parte significativa do atraso
de fase devido à máquina e regulador de tensão.
Além disso, o sinal estabilizador não deve produzir efeitos em regime permanente, ou seja,
ESP (s) deve tender a um sinal derivativo a baixas freqüências.
A função de transferência (7.41) pode ser escrita como
∆TESP
∆TESP ∆Vref
=
= GEP (ω)ESP (ω) =| GEP (ω)ESP (ω) | ∠(γ − θ)
∆ω
∆Vref ∆ω
onde
GEP (s) =
e
K2
K6 (1 + s
(7.42)
1
0
Tdo
)(1
Kε K6
γ = ∠GEP (ω)
θ = − ∠ESP (ω)
+ sTε )
(7.43)
(7.44)
GSP-EEL-UFSC
135
Td
6
GEP.ESP
Td 6
γ−θ
-
-
Ts
Ts
Figura 7.15: Diagrama das componentes do torque devido ao ESP
Pode-se representar esta relação pelo diagrama da figura 7.15
Tem-se desta figura que
| Ts |
sen(γ − θ)
=
| Td |
cos(γ − θ)
(7.45)
Para que o torque seja integralmente de amortecimento deve-se ter γ − θ = 0. é muito difı́cil
achar um ESP (s) tal que γ = θ, qualquer que seja ω. Assim, é preferı́vel que γ seja escolhido de
modo a se obter também uma componente positiva de torque sincronizante. Desta análise pode-se
concluir que
• Para baixas freqüências de oscilações deve-se manter θ < γ ou no mı́nimo γ próximo a
γ. Como a essas freqüências γ é pequeno, θ deve portanto ser um ângulo de avanço de
fase pequeno. Isto é, deve-se procurar fornecer amortecimento sem prejudicar o torque de
sincronização
• Para altas freqüências γ aumenta com w e θ cessa de fornecer avanço de fase, devido a
limitações do ”hardware”, de modo que γ > θ. Contudo, se γ θ, Ts pode aumentar
muito, o que provoca o aumento de ωn . A diferença (γ − θ) deve ficar na faixa de ±30o .
As seguintes restrições devem ser colocadas com relação ao sinal estabilizador
• O sinal não deve produzir efeitos (”offset”) em regime permanente. Portanto ∠ESP (s) deve
tender a um sinal derivativo a baixas freqüências.
• há um limite para a constante de tempo τ do atraso de fase associado ao avanço de fase
(τ ≈ 0.05seg).
Embora o sinal de velocidade tenha sido inicialmente empregado para derivar um sinal estabilizante, outros sinais podem ser usados. Como discutido a seguir o sinal de velocidade apresenta
problemas e embora a sua escolha pareça natural há razões para considerar outros sinais. A seção
seguinte faz uma analisa detalhada dos diversos sinais adicionais e das caracterı́sticas das funções
de transferência que processam estes sinais afim de produzir sinais estabilizantes.
136
Outras
contribuicões
de torque
∆Tm (s) + ?-
6-
∆TESP (s)
1
Ms
∆w(s)(pu)
w0
s
∆δ(s)
-
GEP (s) ESPw (s) Figura 7.16: Diagrama da função GEP
7.5
7.5.1
Caracterı́sticas dos sinais adicionais e dos ESP associados
Introdução
Esta seção analisa com mais detalhes o uso de estabilizadores de sistemas de potência. A função
de transferência através da qual atua o sinal de saı́da do ESP é analisada em termos do efeito
do carregamento e reatância externa nas suas caracterı́sticas de magnitude e fase. Estas caracterı́sticas são importantes para o entendimento da ação e limitações dos ESP s. As vantagens e
problemas associados aos diversos sinais adicionais propostos são descritos nesta seção assim como
os requisitos impostos aos ESP s que processam estes sinais.
7.5.2
A função de transferência GEP (s)
A função básica dos sinais estabilizadores é estender os limites de estabilidade através da modulação da excitação do gerador de modo a fornecer amortecimento para as oscilações dos rotores
das máquinas.
Para fornecer amortecimento, o estabilizador deve produzir uma componente de torque elétrico
em fase com variações de velocidade ∆ω.
Para fazer isso, a função de transferência do estabilizador deve compensar as caracterı́sticas
de ganho e fase do sistema de excitação gerador e sistema de potência. A função de transferência
que inclui o gerador, sistema de excitação e sistema de potência será denotada por GEP (s). O
diagrama de blocos da figura 7.16 mostra as relações entre os torques aplicados no eixo do conjunto
turbina-gerador e ∆ω e ∆δ. Neste diagrama supõe-se que o sinal estabilizador é derivado da
velocidade do eixo.
Do diagrama de blocos tem-se
∆TESP (s)
∆TESP (s) ∆Vref
∆
=
= GEP (s)ESPw (s) = P (s)
∆ω
∆Vref
∆ω
(7.46)
O diagrama de blocos de GEP (s) detalhado para o caso de uma única máquina conectada a
uma barra infinita é apresentado na figura 7.17, onde EXC(s) denota a função de transferência
GSP-EEL-UFSC
137
∆wG (s)
∆TESP (s)
?
6
ESPw (s)
K2
∆Eq (s)
K3
1 + sTdo K3
-
EXC(s)
+?
∆Vref (s)
6-
∆Vt (s)
K6
GEP (s)
Figura 7.17: Diagrama da função GEP para o caso máquina- barra infinita
∆Vref (s)
+
-
-
6
EXC(s)
-
K3
1 + sTdo K3
∆Eq0 (s)
-
K6
∆Vt (s)
-
Figura 7.18: Diagrama obtido do modelo Heffron-Phillips com ângulo constante
do sistema de excitação. Na análise desenvolvida nas seções anteriores considerou-se
EXC(s) =
Kε
1 + sTε
Por outro lado, do diagrama de blocos do modelo de Heffron-Phillips, supondo ∆δ = 0 (o que
implica ∆Vt = K6 ∆E 0 q) obtém-se o diagrama da figura 7.18 Esta é a malha fechada de regulação
de tensão com a máquina em carga, levando em conta apenas os efeitos de variação de fluxo, ou
seja, com ∆δ = 0.
Comparando os dois diagramas de bloco, é fácil se concluir que:
GEP (s) =
K2 ∆Vt (s)
K6 ∆Vref (s)
(7.47)
Isto é, as caracterı́sticas de fase de GEP (s) assemelham-se àquelas do regulador em malha
∆Vt (s)
fechada. A importância desta associação deve-se ao fato que a função de transferência ∆V
é
ref (s)
que é acessı́vel a medições.
Para fins de ajuste do estabilizador, é necessário saber-se como GEP (s) varia com o ganho da
excitatriz, com a carga do gerador e com a capacidade de transmissão do sistema externo.
Antes de iniciar esta análise, é importante que se faça a seguinte consideração: será suposto que
0
o ganho transitório do regulador (isto é, o ganho Kε definido na seção anterior, e que corresponde
138
|G|dB
6
1
0
K3 Tdo
1
T
-
wc
w
Figura 7.19: Diagrama de Bode da malha do regulador de tensão
a faixa de freqüências entre 0.2 a 2.5 Hz) é de aproximadamente 20 pu Ef d /pu Vt Verifica-se
que este valor de ganho transitório é satisfatório para uma faixa bastante ampla de condições de
operação.
As caracterı́sticas de ganho e fase da malha do regulador de tensão são analisadas a seguir:
7.5.2.1
Ganho
0
Com a condição sobre Kε acima, a freqüência de cruzamento de ganho ωc da malha do regulador
será menor do que as freqüências de oscilação de interesse, e a freqüência K 1T 0 será menor do
3 do
∆Vt
|δ=cte
que a freqüência de cruzamento, como mostra o diagrama de Bode da função G(s) = ∆V
ref
mostrado na figura 7.19.
Nestas condições, a função de transferência em malha fechada do regulador pode ser aproximada por
G(s)
≈ G(s)
(7.48)
1 + G(s)
se G(s) 1, ou seja, se ωint ωc , onde ωint denota as freqüências de interesse.
Então
K2
K6
|
| GEP (ωint ) |≈
| EXC(s) ||
0
K6
ωint Tdo
(7.49)
0
onde considerou-se que ωint Tdo K3 1.
Obtém-se então
| GEP (jwint ) |≈
K2
| Exc(s) |
0
ωint Tdo
(7.50)
GSP-EEL-UFSC
139
∆Vref (s)
-
K
1 + sT
+
-
K3 K6
0
1 + sTdo
K3
-
6
∆Vt (s)
-
K
1 + sT
Figura 7.20: Sistema com regulador de tensão
7.5.2.2
Fase
Para efeito de análise o sistema de excitação é representado por um ganho e uma constante
de tempo. O diagrama de blocos apresentado na figura 7.18 pode então ser representado pelo
diagrama de blocos da figura 7.20.
Fazendo as aproximações de que Tε ≈ 0 (na malha de realimentação) quando comparado com
0
0
Tdo K3 e que Tdo K3 1, obtém-se a função de transferência
K6 K3
Kε sT
0
∆Vt
do K3
≈
K6 K3
∆Vref
(1 + sTε )(1 + Kε sT
)
0
K
do
ou
3
1
∆Vt
≈
0
T
∆Vref
(1 + sTε )(1 + s Kεdo
)
K6
Portanto
(7.51)
(7.52)
0
ωTdo
− tan−1 ωTε
(7.53)
∠GEP ≈ −tan
Kε K6
Nas equações (7.50) e (7.53) observa-se que K2 e K6 influenciam, respectivamente o ganho e a
fase de GEP .
Das equações para o cálculo das constantes do modelo de Heffron-Phillips tem-se que
−1
K2 =
E0 senδ0
0
Xe + x d
(7.54)
e
Xe e q 0
(7.55)
0
Xe + x d V t 0
Analisando-se as equações anteriores, chega-se às seguintes conclusões sobre o efeito do carregamento e reatância externa sobre o ganho e a fase de GEP (s).
K6 =
7.5.2.3
Ganho
• Carregamento - K2 aumenta com a carga e K6 é pouco sensı́vel a variação de carga. Logo
| GEP | é máximo na condição de carga pesada.
• Reatância externa - Quando Xe diminui (sistema mais forte), K2 aumenta e K6 diminui.
Logo, | GEP | aumenta quando o sistema se torna mais forte.
7.5.2.4
Fase
O ângulo de GEP depende de K6 o qual é pouco sensı́vel a variação de carga. No entanto, quando
Xe diminui, K6 diminui e portanto aumenta o atraso de fase introduzido por GEP (s).
140
7.5.2.5
Conclusão
• Como o ganho e o atraso de fase de GEP (s) são máximos para a condição de sistema externo
forte (baixo Xe ), é nesta condição que a malha do estabilizador é menos estável. Logo,esta é
a condição que impõe o máximo ganho admissı́vel para o estabilizador. Assim, o ganho não
pode ser tão alto quanto o desejado para sistemas fracos, que é quando mais se necessita do
estabilizador.
• O fato de que | GEP | aumenta com a carga é desejável porque os problemas de estabilidade
para os quais se requer o ESP aumentam para carga alta.
7.5.3
Caracterı́sticas de sinais adicionais
Nesta subseção os seguintes sinais adicionais são considerados
• velocidade angular do eixo
• freqüência terminal
• potência elétrica
• potência de aceleração
As caracterı́sticas destes sinais e da função de transferência do estabilizador para cada um
deles são analisadas. Os problemas associados a estes sinais também são discutidos.
7.5.3.1
Velocidade do eixo
O estabilizador deve compensar o atraso de fase GEP (s) de modo a produzir uma componente
de torque em fase com a velocidade para aumentar o amortecimento das oscilações do rotor. O
estabilizador ideal é da forma
DESP
(7.56)
ESPω (s) =
GEP (s)
onde DESP dá a contribuição desejada de amortecimento suprida pelo estabilizador.
Este estabilizador não é praticável, pois para compensar o atraso de fase de GEP (s) são
requeridos derivadores puros, o que introduz o problema de altos ganhos a altas freqüências.
Na prática, utilizam-se blocos de avanço-atraso de fase (”lead-lag”) que compensam os atrasos de fase de GEP(s) na faixa de freqüências de interesse. O ganho deve ser atenuado a altas
freqüências para limitar o efeito de ruı́do, e também para minimizar a interação torsional. Conseqüentemente, requer-se o uso de filtros passa-baixa e passa-faixa.
Também é necessário se usar um bloco tipo ”wash-out”para evitar o efeito do sinal estabilizador
na tensão quando há um desvio permanente de freqüência (por exemplo, em uma condição de
ilhamento).
Assim a função de transferência é:
ESPw (s) = K
Tw s (1 + sT1 )(1 + sT3 )
F ILT (s)
1 + Tw s (1 + sT2 )(1 + sT4 )
(7.57)
com T1 > T2 e T3 > T4 . A função de transferência
Tw s
1 + Tw s
corresponde ao filtro ”wash-out”e F ILT (s) representa o filtro para minimizar interações torsionais.
GSP-EEL-UFSC
141
Vref (s)
+
-
-
?
-
6
+
regulador
de
tensão
K
1 + sT1 1 + sT2
-
gerador
e
sist. de pot.
V-t (s)
-
∆Pe (s)
sTω 1 + stω
Figura 7.21: Esquema do ESP com sinal de potência elétrica
7.5.3.2
Freqüência
A principal diferença no uso da freqüência como sinal de entrada para o ESP ao invés de ω é
que a sensibilidade do sinal de freqüência a oscilações do rotor aumenta quando o sistema de
transmissão torna-se mais fraco (ou seja, Xe aumenta). Isto tende a compensar a redução em
ganho de GEP (s) para sistemas de transmissão mais fracos.
Assim, com sinal derivado da freqüência é mais viável se ajustar o ganho do estabilizador para
conseguir melhor desempenho para condições de alto Xe , que é quando mais se necessita do ESP .
Além dessa vantagem, o sinal de freqüência é mais sensı́vel a modos que envolvem unidades
individuais. Em conseqüência, é provável se obter maior contribuição de amortecimento para
modos de oscilação interáreas com freqüência do que com velocidade.
7.5.3.3
Potência elétrica
Se a potência mecânica for considerada constante na equação de oscilação
M
d∆ω
= −∆Pe
dt
(7.58)
tem-se que a potência elétrica é proporcional a aceleração.
O sinal de aceleração está adiantado de 90o com relação ao sinal de velocidade e o mesmo
ocorre com relação ao sinal de potência elétrica (a menos do sinal negativo em (7.58) que pode ser
levado em conta com uma realimentação negativa no ponto de soma do regulador de tensão). No
caso do sinal de velocidade foi observada a necessidade de o ESP apresentar avanço de fase. O uso
de potência elétrica como sinal adicional elimina a necessidade de grandes avanços de fase exigidos
pelo sinal de velocidade. Geralmente um ESP com um único estágio é usado apresentando atraso
de fase. O esquema é mostrado na figura 7.21.
O sinal de potência elétrica é pouco sensı́vel a modos torsionais dispensando o uso de filtros.
Também como o ESP apresenta atraso de fase, não há problemas com ruı́dos em altas freqüências.
Por outro lado o sinal de potência elétrica apresenta problemas devido ao fato de que a potência
mecânica não é constante, e a variação desta provoca variações na potência elétrica. Os problemas
associados aos sinais estabilizadores derivados da potência elétrica são listados a seguir
• oscilações locais na tensão terminal e potência reativa dos geradores, causadas por oscilações
de origem hidráulica. Estas oscilações aparecem no tubo de sucção quando o gerador opera
em carga baixa, próxima ao seu limite de cavitação. Estas oscilações são inerentes ao projeto
142
de turbinas hidráulicas (especialmente turbinas do tipo Francis). Mesmo fora da faixa de
cavitação, as oscilações de pressão provocam variações indesejáveis na tensão, restringindo
o ganho do ESP . O mecanismo de atuação se dá através das oscilações hidráulicas que
causam variações da potência mecânica e portanto da potência elétrica. Este sinal atuando
através do ESP causa sobremodulação da tensão terminal do gerador.
• Em situações de subfreqüência há elevação rápida de geração devido a atuação dos reguladores de velocidade. Nesta situação deve-se esperar redução de tensão do sistema. A
variação rápida de potência (tomada de carga) pode, devido à realimentação negativa do
sinal de potência elétrica, reduzir ainda mais a tensão (sinal estabilizador pode atingir o seu
limite inferior). Produz-se assim um efeito desestabilizante. Além disso, variações rápidas
de geração podem provocar transitórios na tensão terminal do gerador.
• O ESP pode apresentar interação com modos de baixa freqüência do regulador de velocidade, associados a ciclos limite causados por folgas e zonas morta nas válvulas dos servomotores. Um sinal com baixos ganhos em baixas freqüências, o que não é o caso da potência
elétrica, poderia resolver este problema. Usam-se então filtros passa-alta, de freqüência de
corte elevada, para rejeitar estes modos. Isto, no entanto, traz dificuldades para o amortecimento do modo inter-área, que se caracteriza por baixas freqüências.
7.5.4
Potência de aceleração
O uso de sinais baseados na potência de aceleração são mais vantajosos que os derivados da
velocidade e freqüência, principalmente porque não exigem o uso de funções com avanço de fase .
Na seção anterior discutiu-se o uso do sinal de potência elétrica que aproxima o sinal de
potência acelerante se as variações de potência mecânica forem pequenas. Se existirem variações
significativas da potência mecânica devidas a fatores tais como ação do regulador de velocidade,
”fast valving”ou controle automático ou manual da geração então o sinal de potência elétrica
pode trazer alguns problemas. Por exemplo, tomadas de carga ativa provocam grandes excursões
da carga reativa devido a depressão de tensões causada pelo sinal de potência elétrica. Este e
outros problemas foram discutidos anteriormente. Todas estas razões sugerem o uso da potência
acelerante como uma alternativa vantajosa em relação ao sinal de potência elétrica.
Para se obter a potência de aceleração torna-se necessário tanto a medição da potência elétrica
quanto a da potência mecânica. A medição da potência mecânica é difı́cil. O desenvolvimento a
seguir mostra dois método utilizados para a sı́ntese do sinal de potência acelerante.
7.5.4.1
Sı́ntese do sinal de potência acelerante a partir de grandezas elétricas
O esquema apresentado fundamenta-se nas seguintes considerações:
• A medida direta da potência mecânica é difı́cil
• Os efeitos da potência mecânica são significativos somente a baixas freqüências, de modo
que não é necessário se produzir a mesma faixa passante para potência mecânica que é
usada para potência elétrica. Ou seja, as variações de potência mecânica embora possam
ser substanciais são em geral lentas.
• A razão principal de se usar a potência elétrica ao invés da velocidade do eixo do rotor é que,
para as freqüências de interesse, a potência elétrica é proporcional à velocidade do rotor.
GSP-EEL-UFSC
143
Pm (s) +
Pa (s)
-
-
6-
1
Ms
∆w(s)
-
Pe (s)
Figura 7.22: Relação entre entre as grandezas básicas
ω(s)
-
Ms
1 + sT
Pm0
+
-
Pa -
+
-
6
+
6
1
1 + sT
ESP
∆V-ref (s)
Pe (s)
Figura 7.23: Sı́ntese do sinal de potência elétrica
Assim não há a necessidade de derivar o sinal de velocidade para se obter o avanço de fase
necessário.
O esquema básico que mostra a relação entre as potências elétrica, mecânica e de aceleração e
a velocidade é dado na figura 7.22
onde
Pm - potência mecânica
Pe - potência elétrica
Pa - potência acelerante
ω - velocidade do rotor
M - inércia
A potência de aceleração é sintetizada usando as medidas de potência elétrica e velocidade
através do esquema mostrado na figura 7.23
Tem-se então
Pm
M sω + Pe
0
Pm =
=
(7.59)
1 + sT
1 + sT
Considerando que a ação do filtro é pequena pois as componentes de alta freqüência de P m são
pouco significativas, tem-se
0
0
Pa = P m − P e ≈ P m − P e
(7.60)
Observa-se ainda que se o sinal de velocidade não existir, então o sinal resultante é:
sT
Pe
− Pe = Pe
1 + sT
1 + sT
(7.61)
que é o caso de um sinal de potência elétrica atuando através de um bloco ”wash-out”.
As vantagens deste esquema são
• Como a medida de velocidade pode ser obtida eletricamente, os efeitos da potência mecânica
podem ser simulados a partir de grandezas puramente elétricas.
144
• A taxa de variação de velocidade não necessita ter a precisão a altas freqüências exigidas
quando a velocidade é usada como sinal estabilizador
• Não há necessidade de se usar função do tipo ”washout”para anular o sinal em regime
permanente
7.6
Projeto de estabilizadores de sistemas de potência
A ação efetiva dos estabilizadores de sistemas de potência depende do ajuste adequado dos
parâmetros. Estes parâmetros são determinados visando conseguir um coeficiente de amortecimento mı́nimo para os modos pouco amortecidos do sistema. Além do amortecimento outros
fatores devem ser considerados no projeto, tais como a manutenção de um torque do torque de
sincronização, a limitação do efeito do ESP no controle de tensão e a interação com modos
torsionais.
A saı́da do ESP é limitada dentro de uma faixa de valores que se situam entre ±0.05 pu a
±0.1 pu. Os limitadores evitam a interferência excessiva dos ESP s no controle de tensão.
A interação torsional, no caso de sinal derivado da velocidade é evitada com o uso de sinais
fortemente filtrados.
As técnicas usuais de projeto não são coordenadas. Isto significa que o ajuste do ESP de
cada gerador é realizado isoladamente, considerando em geral o resto do sistema como uma barra
infinita. Usualmente o modo local, associado a oscilação da máquina ao resto do sistema, é o
modo de interesse, que deve ter seu amortecimento aumentado. No capı́tulo 7 a questão do
projeto de estabilizadores para sistemas multimáquinas, levando em conta a coordenação dos
diversos controladores, é abordada.
As técnicas de projeto comumente usadas na indústria são baseadas em controle clássico. Duas
destas técnicas são apresentadas resumidamente a seguir.
7.6.1
Resposta em freqüência
A função de transferência do ESP deve compensar o atraso de fase da função GEP (s) que
relaciona a variação da tensão de referência ∆Vref e a variação do torque elétrico ∆Te (ou a
variação da potência elétrica ∆Pe ). O diagrama de blocos para esta função de transferência
é apresentado na figura 7.17. A função de transferência considerando o sistema de excitação
representado por um ganho Kε e uma constante de tempo Tε e fazendo K3 K6 Kε 1 é
0
∆Te (s)
K2 Kε /Tdo Tε
= 2
∆Vref (s)
s + 2ζωn s + ωn2
com
ωn =
e
s
K6 Kε
0
Tdo Tε
0
Tε + K3 Tdo
ζ=
0
2ωn K3 Tdo Tε
Para valores tı́picos da freqüência de oscilação tem-se um atraso de fase. Para um sinal derivado
da velocidade deve-se posicionar os pólos e zeros do estabilizador de modo a compensar este atraso.
GSP-EEL-UFSC
145
Normalmente é necessário um duplo avanço (dois pólos e dois zeros). Se os mesmos pólos e zeros
forem escolhidos para cada estágio tem-se a função H(s) do estabilizador dada por
H(s) = K
1 + sτ1
1 + sτ2
2
é comum fazer τ2 = 0.05, fixando-se a posição dos pólos. Os zeros são então posicionados de
modo a assegurar o avanço de fase necessário.
Um ajuste conveniente do ganho é então necessário. Algumas vezes este ajuste é realizado a
partir de ensaios de campo. Um valor elevado do ganho pode levar a um deslocamento para a
direita dos modos associados a excitatriz. Uma regra usada na indústria é fixar o ganho em 2/3
(ou 1/2) do valor do ganho que levaria à instabilidade os modos da excitatriz.
7.6.2
Lugar das raı́zes
Neste caso supõe-se que a função de transferência G(s) entre Vref e o sinal a ser usado como sinal
suplementar (por exemplo, velocidade) está disponı́vel, e portanto a configuração dos pólos e zeros
da mesma no plano complexo é conhecida. Esta função pode ser determinada analiticamente ou
por ensaios de campo, usando um modelo de ordem reduzida.
Para ilustrar a aplicação do método considera-se o projeto de um ESP usando velocidade
como sinal suplementar. Fixando-se a estrutura como um duplo avanço de fase tem-se
2
1 + sτ1
H(s) = K
1 + τ2
O pólo do ESP é fixado tal que τ2 = 0.05. O zero do ESP é então fixado de tal maneira que
o ângulo de partida do lugar das raı́zes no par de pólos pouco amortecido seja 180 o (o lugar tende
a se deslocar para a esquerda do plano complexo).
Tomando-se um ponto de teste na vizinhança do pólo p1 , o qual deve ser deslocado para a
direita, a condição para que este ponto pertença ao lugar das raı́zes é que
X
X
X
X
θzp −
θpp +
θzc −
θpc = −180o
(7.62)
P c
onde θzp , θpp ,
θz e θpc são os ângulos dos vetores que ligam os zeros do processo, pólos do processo,
zeros do controlador e pólos do controlador, respectivamente, ao pólo p 1 . Esta aproximação é válida
desde que o ponto testado está próximo deste pólo. Apenas o ângulo θp1 na equação (7.62) é o
ângulo do vetor que liga o pólo p1 ao ponto de teste. Este ângulo vale 180o desde que esta é a
direção desejada para o lugar das raı́zes.
Tem-se então
X
X
X
X
θzp −
θpp =
θpc −
θzc
onde o ângulo de θp1 não está incluı́do em θpp . Esta expressão permite calcular τ2 .
O ganho é fixado pelo valor de ganho correspondente ao máximo deslocamento para a esquerda
dos ramos que partem dos pólos pouco amortecidos.
146
Aspectos gerais do controle de excitação Os artigos de deMello e Concordia [8] e Larsen
e Swann [25] são básicos para o estudo dos torques desenvolvidos na máquina sı́ncrona e para
entendimento do efeito do ESP. O livro de Byerly e Kimbark [5] apresenta uma coletánea de
artigos sobre o controle de excitação.
Estabilizadores de Sistemas de Potência A literatura sobre estabilizadores de sistemas de
potência é vasta. O artigo de Larsen e Swann [25] citado acima apresenta uma análise detalhada
do efeito do ESP. O projeto de estabilizadores por métodos clássicos é abordado em [2] e em
muitos artigos.
GSP-EEL-UFSC
147
Exercı́cios
1. Um gerador sı́ncrono, para o qual H = 5.0 seg e T 0 do = 8 seg, é ligado a uma barra infinita
através de uma reatância externa Xe = 0, 4 pu. Os parâmetros do modelo linearizado de
Heffron-Phillips para uma condição de carga P + jQ = 1.0 + j0 são os seguintes:
K1 = 1.174 K4 = 1.88
K2 = 1.47 K5 = −0.117
K3 = 0.36 K6 = 0.301
a) Qual o coeficiente de potência de sincronização considerando-se enlaces de fluxo constantes? Qual é o valor da freqüência de oscilação nestas condições?
b) Considerando-se a ausência da ação do regulador de tensão, determine o torque de sincronização, levando agora em conta a influência da reação da armadura, em regime permanente;
c) Determine o valor do ganho KE do regulador que faria com que o coeficiente de torque
de sincronização em regime permanente seja igual àquele do ı́tem (a).
d) Desprezando-se a ação do regulador, calcule os torques de sincronização e amortecimento
à freqüência natural ωn ;
e) Para o ı́tem (d), calcule a constante de amortecimento equivalente, D, e a razão de
amortecimento equivalente, ξ.
f) Para uma sistema de excitação de atraso considerável, descrito por:
KE
(1 + sTE )(1 + sTv )
onde KE = 20, TE = 0, 5 e Tv = 0, 2, quais os torques de sincronização e amortecimento à
freqüência ωn (do ı́tem (a)) produzidos pelas variações de fluxo?
g) Considere agora um sistema de excitação rápido representado por KE /(1 + sTE ), onde
KE = 100 e TE = 0.05. Calcule os torques de sincronização e amortecimento para ω = ωn .
O sistema é estável com este sistema de excitação?
h) Determine o avanço de fase da função de transferência através da qual um sinal estabilizante derivado da velocidade angular ω deverá ser processado a fim de produzir apenas
torque de amortecimento.
148
CAPÍTULO 8
Equipamentos FACTS
8.1
Introdução
Os dispositivos de controle introduzidos nos capı́tulos anteriores consistiam até recentemente quase
que as únicas alternativas para o controle dinâmico do sistema. Embora seja conhecido o efeito que
outros meios de controle tais como o chaveamento de indutores ou capacitores têm na dinâmica do
sistema, a reduzida rapidez de resposta dos dispositivos de chaveamento limitava o uso dos mesmos.
O desenvolvimento da eletrônica de alta potência permitiu, no entanto, o desenvolvimento de
uma série de dispositivos, controláveis, com alta velocidade de resposta, e que podem contribuir
significativamente para o desempenho dinâmico do sistema. Entre tais dispositivos pode-se citar o
compensador estático de reativo (CER), capacitor série controlado (CSC), o defasador controlado
a tiristor (DCT ), o UPFC (Unified Power Flow Controller), o STATCOM e o amortecedor de
ressonância subsı́ncrona. Outros dispositivos são citados mais adiante.
O desenvolvimento desta tecnologia originou o conceito de F ACT S (F lexible AC T ransmission
System), associado a uma filosofia de operação do sistema na qual os novos dispositivos permitem
uma grande flexibilidade no controle.
Se por um lado os equipamentos associados ao conceito de F ACT S aumentam a flexibilidade,
por outro lado os problemas associados ao controle dos mesmos são mais complexos. Para se
obter o máximo dos dispositivos controláveis há agora a necessidade de um projeto coordenado
dos diversos controladores do sistema e a questão da robustez do controle quanto à perda de
elementos controlados. Técnicas de controle avançadas devem então ser consideradas para este
projeto.
O objetivo deste capı́tulo é descrever alguns dos dispositivos mais comuns associados ao conceito de F ACT S, seus princı́pios, utilização e principalmente o potencial para a melhoria do
desempenho dinâmico do sistema. Os seguintes dispositivos são considerados em detalhe: compensadores estáticos de reativo, capacitores série controlados, Statcom e UPFC.
150
8.2
Capı́tulo 8: Equipamentos FACTS
Princı́pios e dispositivos
Os objetivos relacionados ao conceito de F ACT S são
• controle rápido dos fluxos de potência
• carregamento seguro das linhas até a capacidade térmica máxima
A tecnologia F ACT S deriva-se principalmente da eletrônica de alta potência e usa como
suporte o controle digital, a proteção digital, facilidades de comunicação baseadas em fibra ótica
e os centros de controle modernos.
Entre os dispositivos associados ao conceito de F ACT S pode-se citar
• Compensador estático de potência reativa
• Capacitor série controlado
• Defasador eletrônico
• ”Load Tap Changer”
• Amortecedor de ressonância subsı́ncrona
• Amortecedor de ferroressonância
• Limitador de corrente de falta
• pára-raios de alta energia
• freio dinâmico
Alguns destes elementos tem aplicações bem especı́ficas, como o amortecedor de ressonância
subsı́ncrona e amortecedor de ferroressonância. Outros são elementos de proteção como o limitador
de corrente de falta e o pára-raios de alta energia.
Dispositivos como os compensadores estáticos de reativo, capacitores série controlados, STATCOM, UPFC e defasadores eletrônicos são, no entanto, essencialmente dispositivos de controle de
fluxo de potência.
Os dispositivos FACTS podem ser enquadrados em dois grupos; aqueles que usam indutores e
capacitores chaveados por chaves eletrônicas, geralmente tiristores e aqueles que usam conversores
ca-cc ou cc-ca, também usando chaves eletrônicas. Este último tipo tem sido desenvolvido nos
últimos anos e apresenta um comportamento semelhante aos compensadores sı́ncronos.
Um sistema constituı́do de duas barras, mostrado na figura 8.1, pode ser usado para ilustrar
as variáveis que podem modificar o fluxo de potência, e portanto passı́veis de serem controladas
pelos dispositivos FACTS com este fim. A potência elétrica de transferência é
P12 =
E1 E2
senδ12
X12
O fluxo de potência pode então ser variado modificando
• os módulos das tensões terminais E1 e E2
• a reatância da linha X12
GSP-EEL-UFSC
151
E1 ∠δ1
E2 ∠δ2
P12
X12
-
Figura 8.1: Sistema com duas barras e fluxo de potência associado
• o ângulo δ12 entre as tensões terminais
Como exemplo, o compensador estático de reativo opera essencialmente sobre as tensões terminais. O capacitor série controlado modifica a reatância série da linha permitindo o controle do
fluxo de potência. O defasador eletrônico altera o ângulo entre as tensões terminais permitindo o
controle do valor do fluxo e ainda o sentido do mesmo. Portanto o defasador eletrônico permite
o controle bi-direcional rápido do fluxo. O UPFC combina a ação do controle paralelo com o
controle série, controlando o módulo e o ângulo de uma tensão em série e a tensão na barra.
Na seqüência serão apresentados o compensador estático de reativo, o STATCOM, o capacitor
série controlado e o UPFC.
8.3
8.3.1
Compensador estático de reativo
Introdução
A denominação de compensadores estáticos de reativo engloba uma série de dispositivos de controle de potência reativa que, ao contrário de condensadores sı́ncronos, não possuem partes móveis.
A maior parte destes dispositivos utilizam tiristores de alta potência. Três tipos de compensadores
estáticos são considerados neste capı́tulo: o reator controlado por tiristor (RCT ou T CR-Thyristor
Controlled Reactor), o capacitor chaveado por tiristor(CCT ou T SC-Thyristor Switched Capacitor) e o reator saturado(RS ou SR-Saturated Reactor).
8.3.2
Tipos e princı́pios dos compensadores estáticos
8.3.2.1
Reator controlado por tiristor
O esquema básico deste dispositivo é mostrado na figura 8.2.
Seja v = Vm senωt a tensão aplicada ao RCT, α o ângulo de disparo do tiristor (medido a
partir da passagem por zero da tensão e σ o ângulo de condução (figura 8.3). Observa-se que
α+
σ
=π
2
Desde que
v=L
a corrente é dada por
Vm
i=
ωL
Z
di
dt
ωt
senωtd(ωt)
α
152
i-
6
v
Figura 8.2: Esquema do RCT
Figura 8.3: ângulo de disparo e de condução
GSP-EEL-UFSC
153
ou
Vm
(cosα − cosωt) para α < ωt < α + σ
XL
i = 0 para α + σ < ωt < α + π
i =
onde XL = ωL.
A corrente pode ser analisada em termos de série de Fourier. Desde que i(t) = i(−t)(simetria
par) e i(t) = −i(t + T /2) (simetria de meia-onda) segue que a série só tem termos ı́mpares em
coseno.
Os coeficientes são dados por
4
In =
T
Z
T
2
i(t)cosnωt dt, n = 1, 3, . . .
(8.1)
0
O coeficiente do termo fundamental (n = 1), calculado usando (8.1) é:
I1 = −
σ − senσ
Vm
πXL
A componente fundamental é, então:
i=
σ − senσ
Vm sen(ωt − 90o )
πXL
A susceptância equivalente considerando apenas a componente fundamental da corrente é,
portanto, dada por
σ − senσ
BL =
πXL
ou seja, uma susceptância variável controlada pelo ângulo de condução σ. Para σ = 0, ou seja
α = π, o compensador não absorve nenhuma potência reativa (BLmin = 0). Para σ = π, ou
seja α = π/2 cada tiristor conduz durante meio ciclo e a situação é equivalente a se ter o reator
conectado (BL = X1L ). A absorção de potência reativa é máxima neste caso.
Caracterı́stica tensão - corrente A caracterı́stica tensão-corrente do RCT é mostrada na
figura 8.4.
Esta caracterı́stica relaciona o módulo da tensão aplicada e o módulo da corrente. Ela depende
essencialmente do controle do disparo dos tiristores. Para V = Vs o controle é tal que os tiristores
não conduzem (e portanto I = O). Se a tensão aumenta os tiristores são disparados e uma
susceptância 0 < BL1 < BLmax correspondente a reta od é estabelecida. Se a tensão aumenta
ainda mais o ângulo de condução aumenta (susceptância BL1 < BL2 < BLmax correspondente a
reta oe). Se a tensão continua a aumentar eventualmente atinge-se o ângulo máximo de condução
o que corresponde a BLmax (reta oc). Deve-se destacar que a reta ab depende da caracterı́stica do
sistema de controle do compensador estático.
A configuração considerada torna possı́vel apenas a absorção de potência reativa. Para que
o compensador estático possa absorver ou fornecer potência reativa a configuração mostrado na
figura 8.5 é usada.
O capacitor fixo permite a variação da potência reativa nos dois sentidos. Em regime permanente escolhe-se geralmente o ângulo de condução σ0 tal BL (σ0 ) = BC onde Bc = 1/ωC. Isto
assegure que nesta condição o compensador não fornece ou absorve reativo.
154
V
6
d
e
c
Vs
b
a
-
0
Figura 8.4: Caracterı́stica tensão-corrente do RCT
V
C
XL
Figura 8.5: Compensador com capacitor
I
GSP-EEL-UFSC
155
V
6
b
Vs
a
-
0
I
Figura 8.6: Caracterı́stica tensão-corrente com capacitor
A caracterı́stica tensão-corrente é dada na figura 8.6.
A linha oa corresponde a BL = O, ou seja a susceptância do compensador é B = Bc . A linha
1
− ωL. A região ab depende da caracterı́stica de
ob corresponde a B = Bc − BLmax , ou B = ωC
controle do compensador.
O ponto de operação de um compensador estático de reativo conectado a um sistema de
potência é a intercessão da caracterı́stica V − I do compensador e da caracterı́stica V − I do
sistema de potência (figura 8.7).
Esta última pode ser determinada a partir do equivalente Thevenin a partir da barra à qual
está conectado o compensador (figura 8.8).
A reta a na figura 8.7 representa uma condição do sistema para a qual o compensador não
injeta ou absorve potência reativa.
A caracterı́stica do sistema (reta a) é dada por
V = E − XT H I
com Vs = E.
0
Se o sistema sofre uma mudança de configuração tal que a tensão passa de E para E e a
0
impedância de Thevenin é XT H então a caracterı́stica (reta b) é dada por
0
V = E − XT H I
0
Sem o compensador a nova tensão do sistema seria V1 = E . Com o compensador estático o
ponto de operação é a intercessão da caracterı́stica do compensador estático com a caracterı́stica
do sistema e a tensão da barra na nova configuração é V2 > V1
8.3.2.2
Capacitor chaveado por tiristor
O princı́pio do capacitor chaveado por tiristor é ilustrado na figura 8.9.
A susceptância é ajustada controlando o número de capacitores em condução. Cada capacitor
conduz por um número inteiro de meio ciclos.
A susceptância equivalente varia em degraus. A caracterı́stica tensão-corrente é apresentada
na figura 8.10.
156
V
6
a
b
Vs
V2
V1
-
I
0
Figura 8.7: Caracterı́stica tensão-corrente do compensador e sistema de potência
E
e
V
XT H
CER
Figura 8.8: Equivalente Thevenin do sistema
GSP-EEL-UFSC
157
Figura 8.9: Capacitor chaveado por tiristor
V
6
1
2
3
0
Figura 8.10: Caracterı́stica tensão-corrente do TSC
-
I
158
Figura 8.11: Reator saturado
Para maior flexibilidade no controle deve-se ter um número elevado de capacitores que permitam reduzir o valor dos degraus.
A questão de transitórios no chaveamento do T SC é importante neste tipo de compensador
estático e limita os instantes em que os tiristores podem ser chaveados sem transitórios.
8.3.3
Reator saturado
O elemento de controle neste tipo de compensador é um núcleo magnético saturável. A figura 8.11
mostra o esquema básico e o princı́pio de operação.
Considerando que
v=N
dφ
dt
onde N é o número de espiras do enrolamento, e dada a forma da onda de fluxo, segue que a tensão
é quase que um trem de impulsos. A onda de fluxo é praticamente independente da corrente, e
portanto a fundamental da tensão é constante.
A relação entre a tensão fundamental e a corrente é apresentada na figura 8.12.
A tensão fundamental está 90o atrasada com relação à corrente e portanto potência reativa
é absorvida. Se um capacitor for usado em paralelo este compensador pode fornecer potência
reativa. A caracterı́stica tensão-corrente neste caso é apresentada na figura 8.13.
Para aplicações práticas as harmônicas são reduzidas por compensação interna. Os enrolamentos são arranjados de maneira que as forças eletromotrizes correspondentes às componentes
harmônicas da corrente tendem a se anular.
O compensador tipo reator saturado não possui um controle externo, o que o torna inadequado
para aplicações relacionadas a estabilidade dinâmica.
GSP-EEL-UFSC
159
6
-
Figura 8.12: Caracterı́stica tensão-corrente do SR
V
6
-
I
Figura 8.13: Caracterı́stica tensão-corrente do SR com capacitor
160
8.3.4
Aplicações de compensadores estáticos em sistemas de potência
O controle de potência reativa através de compensadores estáticos permite um espectro amplo
de aplicações em sistemas de potência. A velocidade de resposta destes dispositivos os torna
especialmente adequados com relação ao desempenho dinâmico do sistema. As aplicações mais
comuns de compensadores estáticos são citadas abaixo. Algumas destas tem sido usadas pela
indústria por um longo perı́odo. Outras ainda são objeto de estudos. Pode-se citar como possı́veis
aplicações :
• controle de tensão
• controle do fator de potência
• aumento de potência de transferência
• aumento das margens de estabilidade transitória
• amortecimento de oscilações eletromecânicas
• amortecimento de oscilações subsı́ncronas
Na seqüência apenas as funções de controle de tensão e de amortecimento de oscilações eletromecânicas são descritas.
8.3.4.1
Controle de tensão
Esta tem sido a aplicação mais comum de compensadores estáticos de reativo e muitos exemplos
de utilização pela indústria podem ser encontrados na literatura.
O controle de tensão exercido pelo compensador estático segue das caracterı́sticas tensãocorrente do mesmo.
Os compensadores estáticos devem ter os seus controles de tensão coordenados com outros
dispositivos tais como indutores e capacitores chaveados. Isto garante que a reserva de potência
reativa dos compensadores seja mantida para o caso de perturbações rápidas no sistema. No caso
de variações lentas outros dispositivos devem ser acionados.
As caracterı́sticas de controle de tensão dependem essencialmente do controlador. Nesta seção
o caso do RCT é analisado com mais detalhe. Duas configurações básicas são usadas para o
controle de tensão.
Controle com realimentação de tensão O esquema básico deste controle é dado na figura 8.14
Neste caso um controle proporcional é usado. A inclinação da caracterı́stica tensão-corrente é
dada pelo ganho de malha aberta K.
Controle com realimentação de tensão e corrente Neste caso a lei de controle é integral e
uma realimentação de corrente é usada para produzir a inclinação da caracterı́stica tensão-corrente.
A figura 8.15 ilustra este controle.
Um sinal dc proporcional a corrente reativa total do compensador é adicionada ao ponto de
soma do regulador. Polaridades diferentes são empregadas para corrente em avanço ou atraso.
A inclinação caracterı́stica tensão-corrente é dada pelo ganho Ks .
GSP-EEL-UFSC
Vref -+
161
-
−
6
K
1+T s
-
Circuito
de
Linearizacão
-
T ransdutor
de
T ensão
Sincronizacão
e Circuito
dos T iristores
-
Rede
V
Figura 8.14: Controle com realimentação de tensão
Ks
Vref -+ ?
6
-
KI
s
-
T ransdutor de
Corrente ou
P otência Reativa
Circuito
de
Linearizacão
-
T ransdutor
de
T ensão
Sincronizacão
e Circuito
dos T iristores
I
ou Q
-
V
Figura 8.15: Controle com realimentação de tensão e corrente
Rede
162
Vref -+
- Controlador
-
Outros
Componentes
6
-
∆V (s)
-
Rede
XT H .E
?
+
6
E(s)
Figura 8.16: Efeito da rede no controle
Efeito da rede no sistema de controle A resposta temporal do controlador proporcional
depende da constante T . O ganho KI determina a resposta temporal do controlador integral. No
entanto a dinâmica do sistema de controle depende de todo o laço de controle do qual a rede é
um componente. Se o sistema é representado pelo equivalente Thevenin então:
E−V
= BCER V
XT H
Linearizando tem-se
∆V
= XT H E
∆BCER
Para pequenas pertubações o sistema pode ser representado pela figura 8.16:
Deste diagrama fica claro que o ganho de malha aberta é proporcional à impedância do sistema.
Se a impedância do sistema aumentar, então a resposta é mais rápida mas menos estável. Em
termos de nı́vel de curto-circuito isto é equivalente a afirmação de que o tempo de resposta é mais
lento se o nı́vel de curto-circuito aumenta e é menos estável se o nı́vel de curto-circuito diminui [31].
O sistema precisa ser estável para a condição de mı́nimo nı́vel de curto-circuito o qual então fixa
o máximo ganho permitido do controlador. A rede não se comporta indutivamente em todas as
freqüências e conseqüentemente ressonâncias podem ocorrer que afetam diretamente o desempenho
do sistema de controle. Uma ressonância é equivalente a um alto ganho do sistema em uma faixa de
freqüências. Se a configuração do sistema muda e uma ressonância desaparece então a resposta é
muito mais lenta do que seria esperado devido a uma mudança no nı́vel de curto-circuito. O uso de
filtros no bloco de medição de tensão permite rejeitar freqüências correspondentes a ressonâncias
do sistema, o que permite maior ganho do controlador e portanto respostas mais rápidas.
−
8.3.4.2
Efeito do CER na dinâmica do sistema
Os CER tem sido aplicados visando principalmente o controle de tensão. No entanto o desempenho dinâmico do sistema pode ser melhorado tanto no aspecto de estabilidade transitória quanto
no aspecto de estabilidade dinâmica com o uso deste compensador.
O compensador estático mantém a tensão da barra ao qual está conectado com valor elevado no
caso de faltas. Com isto o torque de sincronismo é mantido aumentando as margens de estabilidade
transitória.
O CER também pode ser uma fonte adicional de amortecimento no sistema. O compensador
estático provido somente com o controle de tensão tem pouco efeito no torque de amortecimento.
No entanto o uso de um sinal suplementar permite modular a potência reativa do compensador e
portanto introduzir amortecimento no sistema.
GSP-EEL-UFSC
163
VT (s)
Vref -+ ?
6
-
K(1+sT1 )
1+sT2
-
Gc (s)
1
1+sT5
BLmax
BLmin
B(s)
BL (s) -+
-
6
BC (s)
Sinal Suplementar
Figura 8.17: Modelo do compensador estático para estudos em dinâmica de sistemas de potência
Em estudos de estabilidade modelos razoavelmente simples são usados para representar os
compensadores estáticos. O modelo mostrado na figura 8.17 tem sido usado em muitos trabalhos.
Entre os sinais usados como sinal suplementar pode-se citar
• freqüência em uma barra
• velocidade de um gerador
• potência ativa em uma linha
• aceleração de um gerador
O sinal escolhido deve ser processado através de um controlador com os parâmetros convenientemente sintonizados para produzir torque de amortecimento adequado.
O efeito do compensador estático como fonte de amortecimento depende de sua localização
na rede. Existem métodos na literatura que permitem determinar a barra na qual o CER tem
máximo efeito sobre um determinado modo de oscilação. Um destes métodos baseia-se nos ı́ndices
de controlabilidade e observabilidade que são vistos no capı́tulo 8. Deve-se observar que muitas
vezes o controle de tensão é o objetivo primário para a instalação do CER e a existência de um
transformador adequado em uma barra determina a localização.
A possibilidade de coordenação entre estabilizadores de sistemas de potência e controladores de
compensadores estáticos de reativo visando amortecimento de oscilações é abordada no capı́tulo 8.
8.4
STATCOM
O SVC controla a injeção ou absorção de potência reativa através do chaveamento através de
tiristores, de uma indutância, como visto na seção anterior. O STATCOM gera ou absorve potência
reativa sem o uso de capacitores e indutores de CA, mas através de conversores CC-CA.
8.4.1
Princı́pio de operação
O princı́pio de operação do STATCOM é muito semelhante ao capacitor sı́ncrono. No caso do
compensador sı́crono, a tensão de excitação provoca absorção de potência reativa (subexcitado),
164
agindo com um indutor, ou geração de potência reativa (caso sobre-excitado), agindo como um
capacitor. O STATCOM pode ser considerado um SVC. O SVC pode ser representado como uma
máquina sem inércia, com uma tensão de excitação igual à tensão de referência e uma reatância
equivalente, dada pela caracterı́stica V − I. No caso do STATCOM, tem-se um inversos DC − AC
para produzir uma tensão alternada a partir de uma tensão contı́nua. O sistema comporta-se como
uma máquina sem inércia. O esquema simplificado de um STATCOM é mostrado na Figura 8.18
Vb
Vc
Vdc
Conversor
DC-AC
Xs
Figura 8.18: Esquema básico do STATCOM
No caso da máquina sı́ncrona, para que somente haja fluxo de potência reativa, deve-se ter
E e V em fase (corrente atrasada ou adiantada de 90◦ , como mostrado no diagrama fasorial da
Figura ??.
Isto ocorre se a potência elétrica injetada for zero.
A corrente é dada por
V −E
I=
X
1 − VE
. Controlado-se a tensão interna E da máquina, controla-se Q. Se
X
E for maior que V , (máquina superexcitada), a máquina é vista como um capacitor, e fornece
potência reativa ao sistema. No caso onde E é menor do que V (máquina subexcitada), a máquina
é vista como um reator e absorve potência reativa. Deve-se observar que na máquina real há um
fluxo de potência ativa para suprir perdas mecânicas e elétricas do sistema.
No caso do STATCOM, tem-se um conversor CC-CA, com um capacitor para atuando como
fonte de tensão CC, que gera tensões trifásicas CA com a mesma freqüência da rede. Estas tensões
estão acopladas à tensão do sistema CA através de uma reatância de acoplamento, que é em geral
a reatância de dispersão do transformador de acoplamento.
Através da variação da amplitude de tensão de saı́da, pode-se controlar a troca de potência
reativa entre o conversor e o sistema, de modo semelhante ao caso da máquina sı́ncrona. Se a
tensão gerada for maior que a tensão da rede, o conversor fornece potência reativa. Se a tensão
gerada for menor do que a tensão da rede, então potência reativa flui do sistema para o conversor.
É importante observar que a fase das tensões geradas pode ser controlada de modo a ter a mesma
fase das tensões da rede, assegurando que apenas potência reativa é trocada.
Para o entendimento da operação do STATCOM não é necessário detalhes da operação da
ponte que constitui o conversor. Pode-se apenas levar em conta que algumas leis fı́sicas básicas
devem ser obedecidas. A potência instantânea nos terminais CA do conversor deve ser igual
à potência instantânea nos terminais DC, se as perdas nas chaves forem desprezadas. Como o
conversor fornece apenas potência reativa, a potência ativa fornecida pelo capacitor deve ser zero.
Por outro lado, como a potência reativa na freqüência zero, nos terminais do capacitor, é zero, por
definição, segue que o capacitor não desempenha nenhuma função na geração de potência reativa.
O conversor interliga os três terminais de maneira que as correntes reativas circulem entre eles,
com uma troca instantânea lı́quida de potência nula.
Então Q = V I = V 2
GSP-EEL-UFSC
165
C1
Cn
Figura 8.19: Compensador série com capacitores chaveados
C
Figura 8.20: Compensador série com reator controlado
8.4.2
Caracterı́sticas de operação
As caracterı́sticas de tensão-corrente e potência reativa-tensão do STATCOM são apresentadas na
Figura ?? e Figura ??, respectivamente.
A área v − i do STATCOM é limitada apenas pela máxima tensão e corrente do conversor.
O STATCOM tem uma alta velocidade de resposta quando comparado com o SVC devido
principalmente ao uso de GTOs, cuja condução e extinção podem ser controlados, ao contrário dos
tiristores usados no SVC, onde somente a condução é controlada. Uma outra razão para a rapidez
de resposta é o fato de que pequenas variações das tensões de saı́da do conversor provocarem
grandes variações na potência reativa.
8.5
8.5.1
Compensador série controlado
Princı́pios de operação
O Compensador série controlado (CSC) ou TCSC (Thyristor Controlled Capacitor) consiste de
módulos, onde cada módulo é constituı́do de um capacitor fixo e de uma indutância em série
com uma ponte de tiristores em um arranjo anti-paralelo. Para efeito de análise do princı́pio de
operação, apenas um módulo será considerado na seqüência (figura 8.19).
Algumas vezes o CSC consiste apenas de capacitores chaveados por tiristores (figura 8.19).
Neste caso a compensação série é controlada aumentando ou diminuindo o número de bancos de
capacitores em série. Os tiristores quando em condução atuam como ”bypass”dos capacitores. O
chaveamento dos tiristores deve ser coordenado com a passagem por zero da tensão e da corrente.
Esta configuração, menos comum, não será estudada nesta seção.
166
No caso do capacitor fixo, o grau de compensação capacitiva (supondo a admitância do reator
abaixo daquela do capacitor) é controlada pelo maior ou menor ângulo de condução dos tiristores.
com um reator controlado por tiristores.
1
e jXL (σ) a reatância do ramo indutivo,
Seja −jXC a reatância do capacitor, ou seja, XC = ωC
que de acordo com o desenvolvimento anterior, é função do ângulo de condução dos tiristores σ.
A reatância equivalente do CSC é dada por:
jXCSC =
1
−
jXL (σ)
1
ou
jXCSC = j
e portanto
XCSC =
1
jXC
XL (σ)
1−
XL(σ)
XC
XL (σ)
1−
XL (σ)
XC
(8.2)
(8.3)
(8.4)
A reatância do ramo indutivo varia com o ângulo de condução. Para um ângulo de condução
máximo σ = π , tem-se XL = XL0 , onde XL0 é o valor da reatância do indutor. Portanto o valor
mı́nimo desta reatância é dado por XLM IN = XL0 . Para um ângulo de condução zero, σ = 0 e
XL = ∞, ou seja, o ramo indutivo é um circuito aberto. Portanto o valor máximo desta reatância
é dado por XLM AX = ∞.
A análise seguinte mostra o comportamento da reatância do CSC para um ângulo de disparo
entre σ = 0 e σ = π. Para σ = π (plena condução) tem-se
XCSC =
XL 0
1−
X L0
XC
e como XL0 < XC , tem-se XCSC > 0, ou seja, indutivo. Diminuindo-se σ, XL aumenta, ou seja
XL (σ) > XLM IN , mas se XL (σ) < XC , tem-se ainda XCSC indutivo, com maior valor de reatância.
Para σ tal que XL = XC , tem-se uma condição de ressonância, onde o denominador da equação é
zero e XCSC = ∞. Diminuindo-se ainda mais o ângulo de condução, tem-se XL (σ) > XC . Logo,
da equação 8.4, tem-se XCSC < 0 e a reatância do CSC é capacitiva. Reduzindo-se ainda o ângulo
de condução, XL aumenta e XCSC diminui em módulo. Para um ângulo de condução zero (σ = 0)
tem-se XL = XLM AX = ∞. Logo XCSC = −XC , ou seja, a reatância do CSC é a própria reatância
do capacitor.
Observa-se que para um ângulo de disparo tal que XL (σ) = XC o CSC tem reatância infinita,
e portanto esta é uma região em que o CSC não pode operar. A região de ressonância corresponde
a passagem da região de reatância capacitiva para a indutiva ou vice-versa. O sistema de controle
não permite a operação nesta região.
A operação do TCSC é limitada pela máxima tensão do capacitor. Com isto, a reatância do
TCSC depende da corrente da linha. Se a corrente da linha aumenata, a reatância do TCSC
deve ser reduzida ao longo de uma hipérbole, mantendo a tensão do capacitor constante. Esta
caracterı́stica é mostrada na Figura.
8.5.2
Funções do compensador série controlado
O uso do compensador série controlado visa em geral as funções de manutenção de potência ou
corrente constante. O controlador é então especificado para alcançar um destes objetivos.
GSP-EEL-UFSC
167
P
-
Pref
Kp
?
+
-
+
?
BCSC
-
6
+
-
Ki
s
Figura 8.21: Controle para potência constante
I
-
Iref
Kp
?
+
-
+
?
BCSC
-
6
+
-
Ki
s
Figura 8.22: Controle para corrente constante
8.5.2.1
Controle de potência
Neste caso o objetivo é manter constante a potência ativa na linha de transmissão. Com este
propósito usa-se em geral um controlador P I (figura 8.21).
8.5.2.2
Controle de corrente
O objetivo é manter constante a corrente na linha de transmissão. Um controlador P I pode
também ser usado neste caso (figura 8.22).
8.5.2.3
Amortecimento de oscilações
Além das funções descritas anteriormente, o compensador série controlado pode ter um significativo efeito no amortecimento de oscilações eletromecânicas. Para isto a estrutura de controle
mostrada na figura 8.23 pode ser usada.
O sinal Xest opera apenas em transitórios e é a saı́da de um controlador cuja estrutura é
mostrada na figura 8.24.
O sinal suplementar pode ser, por exemplo,
• potência ativa na linha
• freqüência de uma das barras terminais da linha
• velocidade de um gerador
168
X
-
Xref
Kp
?
+
-
+
?
+
6
+
B
-
+
o
-
Ki
s
Xest
Figura 8.23: Controle para amortecimento
sinal
suplementar
sT
1+sT
-
(1+sT1 )(1+sT3 )
(1+sT2 )(1+sT4 )
Xest
-
Figura 8.24: Estrutura do controlador para amortecimento
8.6
UPFC
O UPFC (Unified Power Flow Controller) é um dispositivo FACTS que combina a ação em paralelo do CER com a ação série do CSC. O UPFC, na sua atual implementação, consiste de dois
conversores, que operam a partir de uma conexão CC comum, fornecida por um capacitor de
armazenamento CC. Um dos conversores, chamado aqui de conversor 1, é conectado ao sistema
através de um transformador em derivação. O outro, chamado aqui de conversor 2, é conectado
ao sistema através de um transformador série. Os conversores são constituı́dos por elementos
semicondutores com capacidade de interrupção, tais como GTO’s.
Através do conversor série, a magnitude da tensão série Vpq e o ângulo ρ são controlados em
uma faixa 0 ≤ Vpq ≤ vpqm ax e 0 ≤ ρ ≤ 2π, respectivamente. O controle da magnitude e do
ângulo da tensão série provoca trocas de potência ativa e reativa entre o conversor e a rede. O
conversor pode gerar a potência reativa necessária, mas a potência ativa trocada corresponde a
uma demanda positiva ou negativa na conexão CC, que deve ser suprida. O conversor 1, conectado
à barra emissora do sistema, tem a função de trocar com o sistema a potência ativa necessária
na conexão CC, suprindo portanto a potência ativa trocada entre o conversor 2 e o sistema CA.
Além desta função, o conversor 2 pode gerar ou absorver potência reativa, funcionando como um
compensador de potência reativa em derivação para a linha de transmissão. Deve-se observar que
através da conexão CC, não há nenhum fluxo de potência reativa.
Do exposto, conclui-se que o UPFC combina várias formas de controle da potência transmitida
através de uma linha: controle série, controle shunt da potência reativa e controle do ângulo de
fase. A seguir cada uma destas funções é examinada.
Regulação e controle da magnitude de tensão Neste caso o ângulo não é mudado. O
controle adiciona incrementos ∆V à tensão V , ou seja Vpq = ∆V , em fase com V . Esta função é
semelhante ao controle de taps de um transformador, mas com um número infinito de passos.
GSP-EEL-UFSC
169
Compensação série reativa Neste caso a tensão Vpq = Vq é injetada em quadratura com
relação à corrente de linha. A função é portanto semelhante à conseguida com um capacitor ou
indutor em série com uma linha de transmissão.
Regulação do ângulo de fase Neste caso a magnitude de tensão é mantida constante e apenas
a fase é controlada. A função é semelhante a de um transformador defasador.
Controle combinado Este caso combina os anteriores e é mostrado na Figura ??.
Deve-se adicionar às funções anteriores o controle derivação realizado pelo conversor através
do controle da potência reativa ou da tensão da barra S.
Notas e referências
Conceito de FACTS O uso de equipamentos baseados em eletrônica de potência para o
controle da rede, especialmente compensadores estáticos de reativo, vem do final da década de
1970, mas Hingorani propôs uma nova filosofia de operação e controle associada a estes equipamentos em cerca de 1990.
Compensação reativa O livro de T. Miller [28] é uma referência antiga, mas que contem
material interessante sobre a questão de compensação reativa. O livro aborda o uso de compensação fixa, chaveamento de reatores e capacitores e o uso de compensadores estáticos e reator
saturado.
Dispositivos FACTS O livro [21] é uma referência detalhada e bastante ampla sobre dispositivos FACTS. O livro editado por embora antigo, ainda apresenta material importante nesta
área. O IEEE tem pelo menos uma edição dedicada aos dispositivos FACTS [14]. Uma referência
com ênfase no nos equipamentos FACTS do ponto de vista de efeito no sistema elétrico é [1].
Aplicações para dinâmica de sistemas elétricos Muitos artigos abordam as aplicações
de dispositivos FACTS para a melhoria da margem de estabilidade de sistemas elétricos e projeto
de controladores. Projeto de controladores para a melhoria da estabilidade dinâmica são abordados
em [17]. Muitas outras referências podem ser encontradas nesta área. O projeto de controladores
é uma área com amplas possibilidades de aplicação de técnicas de controle linear e não-linear.
Muitas destes artigos tem interesse mais acadêmico, devido às restrições de aplicação das técnicas
para sistemas de grande porte. No entanto, o contı́nuo desenvolvimento teórico pode tornar muitas
destas técnicas viáveis no futuro.
Novos desenvolvimentos de dispositivos FACTS O desenvolvimento da eletrônica de
potência tem levado ao desenvolvimento de novos dispositivos semi-condutores, os quais poderão
levar a novos equipamentos FACTS com maior flexibilidade nas aplicações a sistemas de potência.
Descrições de pesquisa recente na área podem ser encontradas em [21].
170
CAPÍTULO 9
Estabilidade a pequenos sinais de
sistemas multimáquinas
9.1
Introdução
No capı́tulo 6 a estabilidade a pequenos sinais foi estudada do ponto de vista do gerador conectado
a uma barra infinita. No entanto, no caso de sistema multimáquinas, deve-se considerar a dinâmica
de todos os geradores e controladores associados aos mesmos. Além disso, outros equipamentos
presentes na rede podem ter influência direta no comportamento do sistema. Em especial os
equipamentos associados ao conceito de F ACT S podem ser usados para amortecer oscilações no
sistema. Para a análise do sistema e sı́ntese de controladores deve-se considerar o efeito de todos
estes componentes. Em sistemas de grande porte a modelagem pode envolver milhares de equações
diferenciais e algébricas. Além disso muitos controladores podem ter seus parâmetros ajustados, o
que envolve além do problema de dimensionalidade, o problema de coordenação entre os diversos
controladores.
Este capı́tulo desenvolve os modelos e alguns métodos de análise e sı́ntese de controladores,
adequados para aplicação a sistemas de grande porte.
9.2
Modelos
De maneira genérica o sistema de potência pode ser descrito por um conjunto de equações diferenciais e um conjunto de equações algébricas da forma
ẋ = f (x, z)
0 = g(x, z)
onde
x é um vetor de variáveis de estado,
z é um vetor de variáveis algébricas,
(9.1)
(9.2)
172
Capı́tulo 9: Estabilidade a pequenos sinais de sistemas multimáquinas
f é um campo vetorial,
g é um vetor de funções.
As equações (9.1) representam as equações diferenciais dos geradores e respectivos controladores, dispositivos F ACT S e cargas dinâmicas (motores de indução, etc ).
Nas equações (9.2) estão incluı́das
• As equações da rede
I¯ = Ȳ V̄
(9.3)
onde I¯ - são as injeções de correntes nas barras
V̄ - são as tensões nas barras
Ȳ - é a matriz de admitâncias
• as equações de conexão de componentes como geradores, motores de indução e compensadores estáticos de reativo à rede. Estas equações relacionam variáveis de estado dos componentes com a tensão e a corrente injetada nas barras às quais estes equipamentos estão
conectados.
As equações (9.1) e (9.2) podem ser linearizadas, obtendo-se
∂f
∂f
|(x0 ,z 0 ) ∆x +
|(x0 ,z 0 ) ∆z
∂x
∂z
∂g
∂g
0 =
|(x0 ,z 0 ) ∆x +
|(x0 ,z 0 ) ∆z
∂x
∂z
∆ẋ =
Denotando
J1 =
∂f
| 0 0
∂x (x ,z )
J3 =
∂g
| 0 0
∂x (x ,z )
J2 =
∂f
∂z
|(x0 ,z 0 )
J4 =
∂g
∂z
|(x0 ,z 0 )
(9.4)
(9.5)
(9.6)
as equações (9.4) e (9.5) podem ser escritas como
∆ẋ = J1 ∆x + J2 ∆z
0 = J3 ∆x + J4 ∆z
(9.7)
(9.8)
Da equação (9.8) obtém-se
∆z = J4−1 J3 ∆x
Substituindo-se na equação (9.7) tem-se
∆ẋ = (J1 − J2 J4−1 J3 )∆x
A matriz A = J1 − J2 J4−1 J3 é a matriz de estados. Uma forma alternativa de se obter A é
usar eliminação de Gauss. Aplicando-se a eliminação à equações (9.7) e (9.8) obtém-se
#
"
A
0
∆ẋ
∆x
=
.
0
∆z
. . . ..
A análise da estabilidade dinâmica pode ser feita através do estudo dos autovalores de A. Em
muitos trabalhos encontrados na literatura a matriz A é usada explicitamente, sendo determinada
a partir da matriz jacobiana aumentada, como mostrado anteriormente, ou construı́da diretamente
GSP-EEL-UFSC
173
IG - 1
V1
e
2
V2
6
PL + jQL
IL
Figura 9.1: Sistema usado para ilustrar a formação da matriz jacobiana
usando, por exemplo, o modelo Heffron-Phillips generalizado. Neste último caso há necessidade
de simplificações que tornam o modelo pouco flexı́vel.
O uso da matriz A apresenta, no entanto a desvantagem de não ser esparsa. Em contraste, a
matriz jacobiana aumentada J é altamente esparsa (tipicamente 4 a 6% de elementos não nulos).
Além disso é muito fácil incluir componentes como compensadores estáticos de reativo, cargas
dinâmicas, etc na matriz jacobiana.
A construção da matriz jacobiana é exemplificada para o sistema da figura 9.1.
A máquina sı́ncrona é representada pelo modelo 2, e tem as seguintes equações
0
0
Ėq =
ω̇ =
δ̇ =
Pe =
0
Eq − (Xd − Xd )Id − EF D
−
0
Tdo
Pm − Pe
ω
0
0
Eq Iq − (Xq − Xd ) Id Iq
As equações algébricas de conexão da máquina ao sistema são dadas por
−Vd
R s Xq
Id
0
=
0
Iq
Eq − V q
−Xd Rs
(9.9)
(9.10)
(9.11)
(9.12)
(9.13)
A solução do fluxo de carga fornece as condições iniciais da rede e fixa o sistema de referência
re, im em relação ao qual são representados os fasores. Por exemplo, se a barra k é a barra de
folga e a tensão nessa barra for especificada como V̄ = V ∠0o então o fasor V̄ está sobre o eixo
real. Todas as grandezas da equação da rede (9.3) são referidas a este sistema de coordenadas.
Por outro lado as grandezas de cada máquina sı́ncrona são referidas aos eixos d, q desta máquina.
A relação entre estes sistemas de referência é ilustrada na figura 9.2.
O ângulo δ mede a posição do eixo q com relação ao eixo re. Uma grandeza F expressa nos
eixos d, q pode ser ser expressa nos eixos re, im e vice-versa. A mudança de coordenadas é feita
pela matriz de transformação ortogonal
−senδ cosδ
−1
T =T =
(9.14)
cosδ senδ
174
im
6
d
K
*
δ
q
-
re
Figura 9.2: Sistemas de referência da rede e da máquina sı́ncrona
tal que
ou
Fre
Fim
Fd
Fq
=T
=T
Fd
Fq
Fre
Fim
(9.15)
(9.16)
Para formar a matriz jacobiana aumentada é necessário calcular a injeção de corrente da
máquina, a qual é usada na equação da rede (9.3). Esta injeção pode ser calculada a partir
da equação (9.13), que portanto não entraria no jacobiano com esta forma. No entanto é mais
conveniente manter estas equações e as variáveis Id e Iq no jacobiano, e usar as equações
Id
IreG
−senδ cosδ
(9.17)
=
Iq
cosδ senδ
IimG
para calcular a injeção de corrente I¯G = IreG + IimG do gerador em termos de Id e Iq .
O regulador de tensão é representado por um modelo de primeira ordem
K
EF D
=
Vref − V1
1 + sT
ou
onde
1
K
EF˙ D = − EF D + (Vref − V1 )
T
T
q
2
V1 = Vre2 1 + Vim
1
Não se considera a atuação do regulador de velocidade e portanto Pm é constante.
As equações da rede são
I¯1 = Y¯11 V¯1 + Y¯12 V¯2
I¯2 = Y¯21 V¯1 + Y¯22 V¯2
(9.18)
(9.19)
(9.20)
GSP-EEL-UFSC
175
onde
Y¯11 = G11 + B11
Y¯12 = G12 + B12
Y¯21 = G21 + B21
Y¯22 = G22 + B22
(9.21)
são os elementos da matriz de admitância do sistema.
Esta equações podem ser desdobradas nas partes real e imaginária
Ire1 + Iim1 = G11 Vre1 − B11 Vim1 + G12 Vre2 − B12 Vim2
+ (B11 Vre1 + G11 Vim1 + B12 Vre2 − G12 Vim2 )
Ire2 + Iim2 = G21 Vre1 − B21 Vim1 + G22 Vre2 − B22 Vim2
+ (B21 Vre1 + G21 Vim1 + B22 Vre2 − G22 Vim2 )
ou, em forma matricial
 
G11 −B11
Ire1
 Iim1   B11 G11
 

 Ire2  =  G21 −B21
B21 G21
Iim2


Vre1
G12 −B12
 Vim1
B12 G12 

G22 −B22   Vre2
Vim2
B22 G22




(9.22)
Para simplificar a análise a carga é considerada como potência constante. A injeção de corrente
da carga pode ser calculada por
PL − jQL
I¯L = −
(9.23)
V¯2∗
ou, desdobrando nas componentes real e imaginária,
PL Vre2 + QL Vim2
V22
PL Vim2 − QL Vre2
= −
V22
IreL = −
(9.24)
IimL
(9.25)
Todas as equações do sistema devem ser linearizadas. Linearizando-se as equações do gerador
tem-se
0
0
∆Ėq =
∆ω̇ =
∆δ̇ =
∆Pe =
0
∆Eq − (Xd − Xd )∆Id − ∆EF D
−
0
Tdo
−∆Pe
∆ω
0
0
0
0
Eq0 ∆Iq + Iq0 ∆Eq − (Xq − Xd ) Id0 ∆Iq − (Xq − Xd ) Id0 ∆Id
∆VT1 = V10 ∆Vre1 + V10 ∆Vim1
(9.26)
(9.27)
(9.28)
(9.29)
(9.30)
A equação (9.13) contém as tensões terminais da barra 1 referidas aos eixos d, q. É conveniente
representá-las nos eixos re, im. Para isto usa-se a matriz de transformação T .
0
R s Xq
Vd
Id
−1
0
−T T
=
(9.31)
0
Vq
Iq
Eq
−Xd Rs
ou
0
0
Eq
−
−senδ cosδ
cosδ senδ
Vre1
Vim1
=
R s Xq
0
−Xd Rs
Id
Iq
(9.32)
176
A linearização destas equações resulta em
0
0 = (Vre0 1 cosδ 0 + Vim
senδ 0 )∆δ + senδ 0 ∆Vre1 − cosδ 0 ∆Vim1
1
0
−Rs ∆Id − Xq ∆Iq
0
0 = (Vre1 senδ −
0
Vim
1
0
0
(9.33)
0
cosδ )∆δ − cosδ ∆Vre1 − senδ ∆Vim1
0
0
(9.34)
+Xd ∆Id − Rs ∆Iq + ∆Eq
As equações (9.17) linearizadas resultam em
∆IreG
∆IimG
=
−senδ 0 cosδ 0
cosδ 0 senδ 0
∆Id
∆Iq
+
cosδ 0 Id0 − senδ 0 Iq0
−senδ 0 Id0 + cosδ 0 Iq0
∆δ
(9.35)
A linearização das equações da rede é trivial.
A linearização das equações da carga leva a
o
2PL Vreo 2 2 2QL Vreo 2 Vim
PL
2
+
+
)∆Vre2
o2
o4
o4
V2
V2
V2
o 2
o
2QL Vim
2PL Vreo 2 Vim
QL
2
2
+
)∆Vim2
+( o 2 +
V2
V2o 4
V2o 4
o
2QL Vreo 2 2 2PL Vreo 2 Vim
QL
2
= ( o2 −
+
)∆Vre2
V2
V2o 4
V2o 4
o
o
2PL Vim
2QL Vreo 2 Vim
PL
2
2
−
)∆Vim2
+(− o 2 +
V2
V2o 4
V2o 4
∆IreL = (−
∆IimL
(9.36)
(9.37)
(9.38)
(9.39)
A injeção de corrente na barra 1 é
∆I¯1 = ∆IreG + ∆IimG
(9.40)
onde IreG e IimG são dadas por (9.35) e a injeção na barra 2 é
∆I¯2 = ∆IreL + ∆IimG
(9.41)
com IreL e IimL dadas por (9.38) e (9.39).
Para formar a matriz jacobiana, a seqüência escolhida para as variáveis, a qual determina a
seqüência das colunas da matriz, é
0
Eq ω δ EF D Id Iq Vre1 Vim1 Vre2 Vim2
A seqüência das equações, a qual determina a ordem das linhas da matriz jacobiana, é
• equações do gerador
• equações dos controladores associados ao gerador (no caso apenas o regulador de tensão)
• equações de conexão do gerador a rede
• equações da rede
GSP-EEL-UFSC
177
A equação matricial do sistema é
















com
onde JA =

− 10
 Tdo
 −I 0
q

 0

 0

 1
0
JD =
Ėq0
ω̇
δ̇
EF˙ D
0
0
0
0
0
0
















=J














JA JB
JC JD
0
Eq
ω
δ
EF D
Id
Iq
Vre1
Vim1
Vre2
Vim2
















(9.42)
0
0
Xd −Xd
Tdo
1
Tdo
0
0
0
0
0
0
0
0 (Xq − Xd )Iq0 −Eq0 (Xq − Xd )Id0
1
0
0
0
0
1
0
0
−T
0
0
0
0
0
0
−Rs
0 Vre1 senδ − Vim1 cosδ
0
Xd
0
0
0
0 Vre0 1 cosδ 0 + Vim
senδ
0
−R
−X
s
q
1


0
0
0 0

0
0
0 0 




0
0
0
0


o
o
V
JB =  K Vre

K im1
−
0
0
−

 T V0
T V10
1


 cosδ 0 −senδ 0 0 0 
senδ 0 −cosδ 0 0 0


0 0 −senδ 0 Id0 + cosδ 0 Iq0 0 cosδ 0 senδ 0
 0 0 cosδ 0 I 0 − senδ 0 Iq0 0 −senδ 0 cosδ 0 
d

JC = 

 0 0
0
0
0
0 0
0
0
0









(9.43)
(9.44)
(9.45)

−B11 −G11
−B12
−G12
 −G11 B11
−G12
B12

o Vo
o Vo
o 2
2PL Vre
2QL Vre
2QL Vre
2PL Vim2 o

QL
PL
2 im2
2 im2
2
)
−G
+
(−
+
−
)
 −B21 −G21 −B22 + ( V o 2 − V o 4 +
22
V2o 4
V2o 2
V2o 4
V2o 4
2
2

2
o
o
o
o
o
2
o
2QL Vre2 Vim
2QL V
2PL Vre2 Vim
2PL V
2
2
2
−G21 B21 −G22 + (− VPoL2 + V ore4 2 +
)
B22 + ( QoL2 + V oim
+
)
4
V o4
V o4
2
2
2
V2
2
2
(9.46)
As seguintes observações devem ser consideradas com relação a matriz jacobiana
• é conveniente ordenar as equações da rede colocando a parte imaginária e então a real
das injeções de corrente de cada barra. Isto assegura que as susceptâncias da matriz de
admitância ficam na diagonal da matriz jacobiana






178
AREA 1
AREA 2
e
e
e
e
e
interligacão
e
e
e
e
Figura 9.3: Sistema para descrição dos modos de oscilação
• No caso de cargas representadas por admitância constante pode-se proceder como no exemplo
acima, ou incorporar as cargas diretamente na matriz de admitância
9.3
Modos de oscilação eletromecânicos
As equações linearizadas do sistema podem ser escritas como
ẋ = Ax
(9.47)
Seja λ1 , . . . , λn os autovalores da matriz A. A solução da equação (9.47) é dada por
x(t) =
n
X
c i e λi t v i
(9.48)
i=1
onde vi é o autovetor a direita associado a λi e ci , i = 1, . . . , n são constantes que dependem das
condições iniciais. Os termos do tipo ci eλi t constituem modos do sistema. Se λi = σi + ωi é
complexo conjugado então λ∗i também é um autovalor, com coeficiente c∗i . Se ci = ρi eφi então a
∗
combinação dos termos ci eλi t e c∗i eλi t fornece um termo do tipo 2ρi eσi t cos(ωt + φi ).
O sistema (9.47) é estável se e somente se todos os autovalores de A estão no semiplano
esquerdo aberto do plano S. No caso de sistemas de potência, conforme visto no capı́tulo 6,
ocorrem configurações para as quais o sistema é instável ou fracamente amortecido. Mesmo este
último caso é inaceitável, pois as flutuações de potência e tensão degradariam a qualidade do
fornecimento de energia.
Os modos que predominam na resposta das variáveis ω e δ são conhecidos como modos eletromecânicos. O fraco amortecimento dos autovalores associados é o responsável pelo aparecimento
de oscilações no sistema. Os modos de oscilação eletromecânicos aparecem em um espectro de
freqüências que varia geralmente de 0.2 a 2.5 Hz. Pode-se dividir este espectro em três faixas, cada
uma das quais associada a participação de partes do sistema. A figura 9.3 apresenta um sistema
constituı́do de duas áreas conectadas por uma interligação, que ilustra os diferentes modos:
GSP-EEL-UFSC
179
• Modo de oscilação interárea, associado a oscilação do conjunto das máquinas da área 1 contra
o conjunto de máquinas da área 2. Como grandes massas estão envolvidas as freqüências
são baixas, na faixa de 0.2 a 0.5 Hz. Os enrolamentos amortecedores tem pouca atuação
neste modo.
• Modo de oscilação local, que corresponde a uma planta oscilando com relação ao conjunto
das demais plantas da mesma área. As freqüências envolvidas estão na faixa de 1 a 2 Hz.
• Modo intraplanta, associado a oscilações entre as unidades de uma mesma usina. Normalmente estes modos são bem amortecidos. Como massas reduzidas estão envolvidas a faixa
de freqüências envolvidas situa-se entre 2 a 2.5 Hz.
A resposta de cada máquina do sistema é a soma de todos estes modos, mas em geral um
único modo, local ou interárea, é o modo problemático. Os modos de baixa freqüência são em
geral mais propensos a apresentarem baixo amortecimento.
9.4
Análise por autovalores
As considerações anteriores demonstram a importância do cálculo dos autovalores para a análise
da estabilidade dinâmica de sistemas de potência. Além de informações sobre a estabilidade do
sistema, modos problemáticos, etc pode-se ainda, a partir do cálculo dos autovetores, desenvolver
métodos para escolha de localização e malhas de controle a serem fechadas visando atuar sobre
modos selecionados.
Técnicas de cálculo de autovalores estão bem estabelecidas e, em especial, o algoritmo QR
apresenta caracterı́sticas de robustez e rapidez de convergência. Este algoritmo está implementado
em pacotes padrão como o EISP ACK e a N AG. Para o caso de sistemas de grande porte este
método apresenta a desvantagem de não preservar a esparsidade. Mesmo que a matriz de estados
seja esparsa as operações necessárias a aplicação do método leva ao enchimento da matriz.
Para sistemas de potência seria desejável que, além de levar em conta a esparsidade, também
fosse possı́vel usar a matriz jacobiana aumentada, evitando o uso da matriz de estados, já que
esta não é esparsa. Recentemente alguns métodos tem sido pesquisados que permitem o uso de
esparsidade e da matriz jacobiana aumentada. Entre eles os seguintes podem ser citados
• iteração inversa
• iteração simultânea
• método de Arnoldi
• método de Lanczos
Estes métodos pertencem a classe de métodos conhecidos como método de Krylov. Este método
usa um subespaço de Krylov [x Ax . . . Ai−1 x] para aproximar o subespaço invariante dominante
da matriz A.
Os métodos citados tem em comum duas caracterı́sticas
• eles visam determinar alguns dos autovalores dominantes (ou seja, autovalores com os maiores módulos)
• a única operação envolvida nos métodos é do tipo Ay (multiplicação de matriz por vetor)
180
A primeira caracterı́stica é adequada para sistemas de potência desde que apenas alguns autovalores são requeridos. A dominância dos mesmos pode ser obtida por uma transformação. A
segunda implica que não é necessário se ter a matriz A explicitamente desde que o produto Ay
possa ser obtido.
9.5
Localização dos controladores
Os controladores utilizados para aumentar o amortecimento em sistemas de potência só são efetivos
se forem posicionados em lugares adequados do sistema. No caso de estabilizadores de sistemas
de potência a questão é determinar em que máquinas consegue-se uma atuação mais efetiva do
controlador sobre o modo ou os modos que se deseja amortecer. No caso de compensadores
estáticos ou outros equipamentos F ACT S a escolha é mais difı́cil pois deve-se escolher a barra do
sistema (ou linha, no caso de capacitor série controlado) na qual o equipamento será instalado.
Uma questão relacionada é a escolha do sinal suplementar a ser utilizado. Este sinal deve conter
informação sobre os modos a serem amortecidos. Estas questões foram abordados na literatura e
métodos apresentados para indicar tanto a questão do posicionamento dos controladores quanto a
determinação de sinais adicionais convenientes. Nesta seção dois métodos encontrados na literatura
são apresentados: os fatores de participação e os ı́ndices de controlabilidade e observabilidade.
O sistema de potência é representado pelas equações de estado
ẋ = Ax + bu
y = cT x
(9.49)
(9.50)
onde x é n × 1, u é escalar e y é e escalar tendo as matrizes A, b e c dimensões convenientes.
9.5.1
Fatores de participação
Sejam vi e wi respectivamente os i-ésimos autovetores a direita e a esquerda da matriz A, correspondentes ao i-ésimo autovalor λi .
Então
Avi = vi λi
wiT A = λi wiT
e pode ser mostrado que
wiT vj =
6
0 se i = j
T
wi vj = 0 se i =
6 j
Com uma normalização conveniente pode-se fazer
wiT vi = 1 se i = j
Pode-se então definir as matrizes de autovetores a direita


v11 . . . v1n

.. 
V = [v1 v2 . . . vn ] =  ...
. 
vn1 . . . vnn
(9.51)
(9.52)
GSP-EEL-UFSC
e a esquerda
onde
181

w11 . . . w1n

.. 
W = [w1 w2 . . . wn ] =  ...
. 
wn1 . . . wnn

W T = V −1
ou
A matriz de participação é definida como

w11 v11 w12 v12 . . . w1n v1n
 w21 v21 w22 v22 . . . w2n v2n

P =
..
..
..

.
.
.
wn1 vn1 wn2 vn2
wnn vnn



P =


p11 p12 . . . p1n
p21 p22 . . . p2n 

.. 
..
..
. 
.
.
pn1 pn2
pnn





O significado da matriz de participação é explorado no desenvolvimento a seguir.
Seja a equação
ẋ = Ax
cuja solução pode ser expressa por
x(t) =
n
X
c i e λi t v i
(9.54)
i=1
onde ci i = 1 . . . n são constantes que dependem
Para t = 0 tem-se de (9.54):

 
x1 (0)

 
x(0) =  ...  = 
xn (0)
Portanto

 
c1
 ..  
 . =
cn
das condições iniciais.

v11 . . . v1n
..
..  
.
. 
vn1 . . . vnn

c1
.. 
. 
cn
−1 

v11 . . . v1n
x1 (0)
..
..   .. 
.
.   . 
vn1 . . . vnn
xn (0)
ou usando a relação entre autovetores a direita e a esquerda

T 
 
x1 (0)
w11 . . . w1n
c1
 ..   ..
..   .. 
 . = .
.   . 
xn (0)
wn1 . . . wnn
cn

e portanto
ci = wiT x(0)
(9.53)
182
Supondo que a condição inicial é dada por


0
 .. 
 . 
 
 0 
 
x(0) = ek =  1 
 
 0 
 . 
 .. 
0
com 1 na k-ésima posição então wiT x(0) = wki e segue que
x(t) =
n
X
wki eλi t vi
i=1
Para o k-ésimo estado tem-se
xk (t) =
n
X
wki eλi t vki =
i=1
n
X
pki eλi t
i=1
O termo pki da matriz de participação mede a participação do i-ésimo modo na resposta do
k-ésimo estado.
Supondo agora que a condição inicial é tal que x(0) = vi . Então
x(t) = (wiT vi )eλi t vi
desde que wiT vj = 0 se i 6= j.
Considerando que
wiT vi
=
n
X
wki vki =
k=1
segue que
x(t) = (
n
X
pki
k=1
n
X
pki )vi eλi t
k=1
Para o j-ésimo estado tem-se que
xj (t) = (
n
X
pki )vji eλi t
k=1
ou
xj (t) = p1i vji eλi t + · · · + pki vji eλi t + · · · + pni vji eλi t
O fator de participação pki mede a participação relativa do k-ésimo estado na construção da
resposta no tempo do i-ésimo modo.
A partir da matriz de participação pode-se associar estados do sistema com os autovalores. O
arranjo seguinte ilustra este ponto.
x1
x2
..
.
xn
λ1
λ2 . . . λn
|p11 | |p12 | . . . |p1n |
|p21 | |p22 | . . . |p2n |
..
..
.
.
|pn1 | |pn2 |
|pnn |
GSP-EEL-UFSC
183
Os módulos dos fatores de participação permitem facilmente associar um modo eletromecânico
pouco amortecido com as variáveis de estado δ e ω dos geradores. O gerador que tiver os maiores
valores dos fatores de participação na intercessão da coluna correspondente ao modo com as
linhas correspondentes a estas variáveis estará mais fortemente associado a este modo. Pode-se
então considerar este gerador como apropriado para posicionar um controlador. Deve-se observar
que embora fornecendo uma indicação sobre o local a ser instalado o controlador os fatores de
participação não levam em conta as matrizes de entrada b e de saı́da c do sistema. Portanto os
ı́ndices de controlabilidade e observabilidade, descritos a seguir, parecem mais adequados. Ainda
assim os fatores de participação podem fornecer informações importantes sobre a relação entre os
diversos modos e as partes do sistema associados aos mesmos.
9.5.2
Índices de controlabilidade e observabilidade
Aplicando ao sistema (9.50) a transformação de similaridade
x = V x̄
onde V é a matriz de autovalores a direita tem-se
x̄˙ = V −1 AV x̄ + V −1 bu
y = cT V x̄
ou
x̄˙ = Āx̄ + b̄u
y = c̄T x̄
onde
Ā = V −1 AV̄
é uma matriz diagonal dada por A = diag(λ1 . . . λn ) o que resulta

 1
0 ...
0
s−λ1


..
(sI − Ā)−1 =  0
. 0
0 
0
...
0
1
s−λn
e
c̄T = cT V b̄ = V −1 b
A função de transferência entre u e y é
y(s)
= c̄T (sI − Ā)−1 b̄
u(s)
ou
n
y(s) X b¯k c¯k
=
u(s) k=1 s − λk
onde b¯k e c¯k são os k-ésimos componentes de b̄ e c̄ sendo o produto b¯k c¯k o resı́duo associado ao
autovalor λk .
184
O resı́duo b¯k c¯k é uma medida da sensibilidade do autovalor λk a uma realimentação adicionada
à função de malha aberta entre u(s) e y(s).
Os termos b¯k e c¯k são chamados de ı́ndices de controlabilidade e observabilidade, respectivamente. O ı́ndice b¯k está associado à entrada escolhida para adicionar o controlador enquanto que
o ı́ndice c¯k está associado ao sinal suplementar escolhido. Algumas vezes apenas o ı́ndice de controlabilidade é usado para determinar a localização do controlador, considerando que em geral é
possı́vel achar um sinal suplementar adequado uma vez que o controlador tenha sido posicionado.
A abordagem baseada nos ı́ndices de controlabilidade e observabilidade tem sido utilizadas
para a localização de estabilizadores de sistemas de potência, compensadores estáticos de reativo
e capacitores série controlados. É possı́vel o cálculo destes ı́ndices a partir da matriz jacobiana
aumentada preservando a esparsidade. Portanto o método pode ser aplicado a sistemas de grande
porte.
9.6
Projeto coordenado de controladores
No capı́tulo 6 o projeto de estabilizadores de sistemas de potência foi abordado considerando
o gerador conectado a uma barra infinita. A aplicação desta metodologia, embora comum na
indústria, é essencialmente seqüencial. A consideração de que o sistema é constituı́do de muitos
geradores com seus respectivos controladores e que portanto existe interação entre os mesmos
não é levada em conta explicitamente no projeto. A necessidade de projeto de controladores
adequados para os mesmos e a possibilidade de interação entre os diversos controladores adicionase ao problema do projeto dos ESP s. Nesta seção uma breve revisão de alguns métodos adequados
para o projeto de controladores para sistemas de potência é apresentada. Alguns destes métodos
são recentes e ainda objeto de pesquisas. O objetivo é, portanto, apenas indicar algumas linhas
de desenvolvimento nesta área. Para facilitar a exposição os métodos abordados são agrupados
de acordo com a teoria subjacente em
• posicionamento de pólos
• controle ótimo
• resposta em freqüência multivariável
Uma descrição sumária de cada uma destas abordagens é apresentada a seguir. A bibliografia
em anexo indica trabalhos que expõem com mais detalhes os métodos indicados.
9.6.1
Posicionamento de pólos
Embora a teoria de controle linear apresente vários métodos de posicionamento de pólos, a
aplicação a sistemas de potência apresenta restrições que tornam muitos destes métodos pouco
atrativos.
Uma primeira restrição diz respeito a necessidade de realimentação de estados na qual muitos
métodos são baseados. Deve-se observar ainda que no caso de sistemas de potência não há a
necessidade de realocar todos os pólos, mas apenas os pólos associados aos modos eletromecânicos
pouco amortecidos. O posicionamento de pólos usando realimentação de saı́da é uma possibilidade
mais promissora.
Uma segunda restrição é a necessidade que muitos métodos impõem de obtenção da matriz de
estado do sistema, a qual, no caso de sistemas de potência, pode ser de grande porte e não esparsa.
GSP-EEL-UFSC
185
É possı́vel, no entanto, o uso de técnicas de posicionamento de pólos usando realimentação das
saı́das, sem usar explicitamente a matriz de estado. Apenas a matriz jacobiana aumentada é
utilizada [3],[17].
9.6.2
Controle ótimo
As restrições que limitam o uso de muitos métodos de posicionamento a sistemas de potência se
repetem para o caso de controle ótimo na sua formulação tradicional. Novamente neste caso há
a necessidade de utilização explı́cita da matriz de estado e realimentação de todas as variáveis de
estado. A estes problemas adiciona-se a necessidade de determinar matrizes de peso adequadas.
Uma abordagem promissora é a aplicação do controle ótimo descentralizado das saı́das, o qual
foi discutido no capı́tulo 5. Esta abordagem tem as seguintes caracterı́sticas:
• permite usar a estrutura do controlador empregada na indústria, sendo os parâmetros determinados a partir dos ganhos do controle ótimo
• permite formular o problema em termos da matriz jacobiana aumentada e portanto aproveitar a esparsidade
A referência [32] descreve esta abordagem.
9.6.3
Resposta em freqüência multivariável
Esta abordagem considera a aplicação do método generalizado de Nyquist para sistemas multivariáveis. As aplicações ao problema de estabilidade dinâmica são ainda restritas. Algumas
vezes o método é usado para o projeto simultâneo de estabilizadores e reguladores de velocidade.
Existem poucos trabalhos que usam uma abordagem no domı́nio da freqüência multivariável para
o projeto coordenado de estabilizadores de sistemas de potência e outros controladores [22]. É
mais comum o uso do método de Nyquist na sua forma monovariável para o projeto seqüencial de
controladores [27].
186
CAPÍTULO 10
Ressonância Subsı́ncrona
10.1
Introdução
A usina Mohave (Southern California Edison Company) experimentou dois incidentes que causaram severos danos aos eixos dos geradores (dezembro/70 e outubro/71), como conseqüência de
oscilações torsionais autoexcitadas. A usina consistia de duas unidades térmicas de 790 MW cada
uma.
A configuração normal do sistema é mostrada na figura 10.1.
A configuração do sistema nos dois incidentes era a mesma, mostrada na figura 10.2
Os incidentes foram iniciados pela abertura da linha de 500 KV . Logo após a abertura as luzes
na sala de controle piscaram. O vatı́metro continuou normal assim como as tensões e correntes de
excitação. As luzes continuaram a piscar durante um a dois minutos e uma vibração no chão da
sala de controle foi detectada. O amperı́metro do campo do gerador passou então de 1220 A para
plena escala de 4000 A.
Um desligamento manual da unidade foi então iniciado, desde que os dispositivos automáticos
de proteção não atuaram nas circunstâncias. Verificou-se então sérios danos nos eixos da unidade.
O oscilógrafo registrou que a corrente de linha estava modulada a uma freqüência de 30.5 Hz.
10.2
Definições
A denominação de oscilações subsı́ncronas é aplicada aos fenômenos de interação eletromecânica
seja entre o conjunto turbina-gerador e elementos passivos de sistema de potência, seja entre
o conjunto turbina-gerador e elementos ativos como os controles de linhas de transmissão DC e
controle de compensadores estáticos de reativo. O primeiro caso de oscilação subsı́ncrona tem sido
tradicionalmente chamado de ressonância subsı́ncrona. O aparecimento de fenômenos de oscilação
associados a componentes do sistema e não necessariamente causados por ressonância, levou ao
uso do termo oscilação subsı́ncrona, para englobar todos estes termos.
No caso de ressonância subsı́ncrona o fenômeno da ressonância, no sentido em que dois osciladores um dos quais é motriz, ocorre. Tal caso não ocorre quando elementos ativos do sistema
188
Capı́tulo 10: Ressonância Subsı́ncrona
e
HP
e
HP
e
e
unid. 1
LP
unid. 2
LP
Figura 10.1: Configuração normal do sistema
linha
aberta
unid. 1
(300 M W )
e
um módulo
f ora
e
HP
LP
unid. 2
desconectada
Figura 10.2: Configuração do sistema durante os incidentes
GSP-EEL-UFSC
Xc
189
XL + X g
V
Figura 10.3: Circuito ressonante
estão envolvidos.
10.3
Ressonâncias nos sistemas mecânico e elétrico
10.3.1
Ressonância no sistema mecânico
O sistema mecânico dos turbo-geradores é composto de massas girantes acopladas entre si por
eixos. Um sistema de n massas terá um número de freqüências naturais de torção denotadas por
fn . Estas freqüências estão situadas entre 5 e 45 Hz para as centrais térmicas e menos que 10 Hz
para as hidráulicas.
10.3.2
Ressonância da rede
Seja o circuito mostrado na figura 10.3. onde
XL - reatância da linha
Xg - reatância subtransitória média dos dois eixos do gerador
Xc - reatância capacitiva
A ressonância ocorre quando XL + Xg − Xc = 0 ou
ωer (L1 + Lg ) −
ou ainda
1
=0
c
ωer
1
ωer = ω0 p
ω0 C(ω0 LL + ω0 Lg )
onde
ωer é a freqüência de ressonância e
ω0 é a freqüência nominal do sistema.
Então:
ωer = ω0
ou ainda
fer = f0
s
r
(10.1)
(10.2)
Xc
XL + X g
Xc
XL + X G
Com os nı́veis usuais de compensação série (Xc /XL < 80%) fer é inferior a fo e está na ordem
de 10 a 45 Hz.
190
Bf
6
Bmax
θ
-
Figura 10.4: Forças magnetomotrizes no rotor
10.4
Mecanismos de ressonância subsı́ncrona
A ressonância subsı́ncrona ocorre devido a interação torcional e ao chamado efeito do gerador de
indução.
10.4.1
Interação torcional
A distribuição de forças magnetomotrizes (f mm) no rotor tem a forma mostrada na figura 10.4
ou seja,
Bf = Bmax cosθ
para t = 0.
Como o rotor gira a uma freqüência angular 2πf0 , segue que a medida que o tempo avança a
onda se desloca como mostra a figura 10.5.
Pode-se portanto escrever que a onda de f mm é dada por
Bf = Bmax cos(θ − 2πf0 t)
(10.3)
que dá a distribuição da onda no espaço e no tempo.
Supondo agora que o rotor oscile com a freqüência fn . O efeito é introduzir uma variação em
θ para cada instante de tempo, dada por
θr = φmax cos2πfn t
(10.4)
tal que a indução magnética é dada por:
Bf = Bmax cos(θ − 2πf0 t + θr )
(10.5)
Bf = Bmax [cos(θ − 2πf0 t)cosθr − sen(θ − 2πf0 t)senθr ]
(10.6)
Então:
GSP-EEL-UFSC
191
Bf
6
Bmax
θ
-
Figura 10.5: Forças magnetomotrizes deslocadas
Supondo que as oscilações tem pequena amplitude:
cosθr ≈ 1
senθr ≈ θr
Então
sen(θ − 2πf0 t)sen(φmax cos2πfn t) ≈
sen(θ − 2πf0 t)φmax cos2πfn t =
φmax
sen(θ − 2πf0 t − 2πfn t) + sen(θ − 2πf0 t + 2πfn t) =
2
sen(θ − 2π(f0 + fn )t + sen[θ − 2π(f0 − fn )t]
= φmax
2
Portanto o fluxo total é dado por:
Bf = Bmax {cos(θ − 2πf0 t) −
φmax
φmax
[sen(θ − 2π(f0 + fn )t) −
[sen(θ − 2π(f0 − fn )t)]} (10.7)
2
2
As componentes de freqüências
f0 + f n
e
f0 − f n
geram tensões com estas freqüências. Se a freqüência de ressonância f er do circuito for próxima
da freqüência f0 − fn então correntes de valor elevado circulam na armadura. As f mm destas
correntes interagem com o fluxo principal do rotor e produzem torques na freqüência f n , o que
reforça as oscilações e conseqüentemente as tensões geradas. Se o amortecimento mecânico é
reduzido então estas oscilações crescerão e o processo pode levar a fadiga e avarias no eixo.
192
Ra
X1
6
Xr
Xm
VA
Rr
s
Figura 10.6: Circuito equivalente do motor de indução
10.4.2
Efeito do gerador de indução
As correntes de armadura com freqüências
f0 − f n
e
f0 + f n
produzem f mm0 s que induzem correntes no rotor na freqüência de escorregamento fn .
O rotor gira com velocidade angular 2πf0 e as correntes sub e supersı́ncronas produzem f mm0 s
que giram respectivamente com as velocidades angulares 2π(f0 − fn ) e 2π(f0 + fn ). Para cada
uma destas freqüências pode-se estabelecer um circuito equivalente da máquina de indução.
Os escorregamentos para as freqüências f0 − fn e f0 + fn são dados, respectivamente, por
s=
(f0 − fn ) − f0
fn
=−
f0 − f n
f0 − f n
(10.8)
fn
(f0 + fn ) − f0
=
f0 − f n
f0 − f n
(10.9)
e
s=
Portanto, para a freqüência subsı́ncrona o escorregamento é negativo. O circuito equivalente
do motor (ou gerador) de indução é apresentado na figura 10.6.
Para a freqüência subsı́ncrona, s < 0 e a resistência do rotor vista dos terminais da armadura
é negativa. A tensão aplicada na armadura, neste circuito equivalente, é a tensão (na freqüência
subsı́ncrona) gerada na armadura pela oscilação do rotor. O circuito equivalente é apresentado na
figura 10.7.
Então se
Rr
> Ra + Rrede
s
as correntes de armadura se sustentam ou crescem. Este é o chamado efeito gerador de indução.
Para complementar o circuito acima, uma impedância em série, na freqüência de ressonância,
e equivalente ao efeito dos demais componentes do sistema, deve ser incluı́da. O valor desta
GSP-EEL-UFSC
193
Ra
X1
e
Xr
Xm
Rr
s
Figura 10.7: Circuito equivalente para a freqüência subsı́ncrona
impedância determina a magnitude e a fase das correntes oscilantes. Esta impedância equivalente
requer a representação de todas as cargas e máquinas, assim como do sistema de transmissão.
Para as barras de carga a resistência e a reatância de curto-circuito podem ser usadas (ajustadas
para a freqüência subsı́ncrona). Outras máquinas sı́ncronas são representadas pelos seus circuitos
equivalentes de máquinas de indução.
é importante ressaltar que a interação torcional ocorre se a freqüência de ressonância f er do
circuito é próxima de f0 − fn , ou seja,
f er ≈ f0 − fn
ou ainda
fn ≈ f0 − fer
ou seja, a freqüência torcional fn é próxima de fo − fer . Se isto não ocorrer então existe pouca
interação torcional.
Ainda assim o efeito de gerador de indução pode ser importante. Normalmente os dois efeitos
coexistem.
A interação torcional domina quando fo − fer é próxima de um dos modos torcionais fn . O
efeito gerador de indução domina quando f0 − fer é bem diferente da freqüência torcional fn .
Desde que os modos torcionais são de baixa freqüência para unidades hidráulicas segue que
f0 − fer deve ser baixo, ou seja fer deve ser alta com relação a f0 . Isto é conseguido se a relação
Xc /XL é alta, ou seja, para linhas com alta relação de compensação.
Nota-se que para fn ≈ 10 Hz deve-se ter fer da ordem de 50 Hz. Isto requer uma grande
quantidade de compensação série o que reduz a possibilidade de oscilação subsı́ncrona para o caso
de unidades hidráulicas.
194
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apostila - Laboratório de Sistemas de Potência da UFSC

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