Exercícios

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Exercícios

Luiz Rijo
Cálculo de
Várias Variáveis
com
Mathematica
XS
4×3
F 6 n! ds =
X/S
3 6 !t dl
F
CAPÍTULO 1
Vetores, Curvas e Superfícies no Espaço
Iniciar o MathKernel
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
In[3]:=
2+2
4
H∗ Pacote Add−on: GraphicsÀrrow` traça setas ∗L
<< GraphicsÀrrow`
H∗ Pacote Add−on Graphics`ParametricPlot3D`
traça gráficos parametrizados tridimensionais ∗L
<< Graphics`ParametricPlot3D`
1.1 Coordenadas cartesianas no espaço
Do mesmo modo que os pontos de um plano são caracterizados por pares ordenados de números reais (x, y), os pontos
do espaço podem igualmente ser identificado com ternos de números reais (Fig. 1.1).
2
Cal 3 Capítulo 1.nb
In[4]:=
H∗ Desenha a Fig 1.1 ∗L
Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False, Epilog → 8Text@"O", 8−0.1, .05<D,
Text@"y", 82, −.12<D, Text@"x", 8−.75, −.95<D, Text@"z", 8.1, 2<D,
Text@"P=Hx,y,zL", 81.2, 1.2<D, Text@"Fig. 1.1", 81.5, −.95<D<,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@80, 0<, 82, 0<D, Arrow@
80, 0<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 8−1, −1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, 0<, 8.6, −.6<, 8.6, 1.2<, 80, 1.7<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−.6, −.6<, 8.6, −.6<, 81.2, 0<<, PlotJoined → True,
[email protected], 1.2<<, PlotStyle → [email protected]<,
DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
z
P=Hx,y,zL
O
y
x
Fig. 1.1
EXEMPLO 1. (pág. 3)
A equação x2 + y2 + z2 = 0, representa o lugar dos pontos P = (x, y, z) tais que OP = 5, isto é, trata-se da superfície
esférica de centro na origem e raio r = 5.
In[5]:=
3
H∗ Desenha a superfície esferica x2 + y2 + z2 = 25 ∗L
ParametricPlot3D@85 Cos@uD Cos@vD, 5 Sin@uD Cos@vD, 5 Sin@vD<,
8u, 0, 2 Pi, Pi ê 10<, 8v, 0, 2 Pi, Pi ê 15<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;
y 2.5
0
5
-2.5
-5
5
5
2.5
z 0
-2.5
-5
-5
-2.5
0
2.5
x
5
A equação Hx - 2L2 + Hy + 1L2 + Hz - 1L2 = 9, representa o lugar dos pontos P = (x, y, z) tais que OP = 3, isto é,
trata-se da superfície esférica de centro nno ponto (2, -1, 1) e raio r = 3.
In[6]:=
H∗ Desenha a superfície esferica Hx − 2L2 + Hy + 1L2 + Hz −1L2 = 9 ∗L
ParametricPlot3D@83 Cos@uD Cos@vD + 2, 3 Sin@uD Cos@vD − 1, 3 Sin@vD + 1<,
y
2
0
-2
-4
4
4
2
z
0
-2
0
2
x
4
Vamos mostrar que a equação 4 (x2 + y2 + z2 + x - 2 y + 2 z) - 7 = 0, representa a superfície esférica. De fato,
usando a técnica de completar quadrado, temos
x2 + x = x + 2 x/2 = (x + 1 ê 2L2 - 1/4,
4
y2 - 2 y = (y - 1L2 - 1,
z2 + 2 z = (z + 1L2 - 1.
Portanto, a equação anterior pode ser escrita na forma (x + 1 ê 2L2 - 1/4 + (y - 1L2 - 1 + (z + 1L2 - 1 - 7/4 = 0,
ou ainda (x + 1 ê 2L2 + (y - 1L2 + (z + 1L2 = 4.
Está claro, agora, que esta é a equação da superfície da esfera de raio r = 2 e centro C = (-1/2, 1, -1).
In[7]:=
H∗ Desenha a superfície esferica Hx − 1ê2L2 + Hy −1L2 + Hz+1L2 = 4 ∗L
ParametricPlot3D@82 Cos@uD Cos@vD − 1 ê 2, 2 Sin@uD Cos@vD − 1, 2 Sin@vD + 1<,
y 0
-1
1
-2
-3
3
3
2
z 1
0
-1
-2
-1
x
0
1
A equação 2 y + 3 z - 6 = 0 representa uma reta no plano 0xz. Como ela não impõe qualquer restrição à variável x, ela
representa, no espaço o plano que passa pela reta mencionada e é perpendicular ao plano 0xz (Fig 1.4).
In[8]:=
5
H∗ Desenha a Fig. 1.4 ∗L
ParametricPlot3D@8u, v, 2 − 2 v ê 3<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,
AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5, ViewPoint → 82, 1, 2<D;
-1
-0.5
x 0
0.5
1
2.5
2
z
1.5
.5
-1
-0.5
0
y
0.5
1
6
1.1.2 Exercícios
(pág. 4)
1. Marque, num sistema de coordenadas, os pontos
A = (2, 3, 4), B = (3, 2, -4), C = (-2, 1, 3),
D = (-3, 2, -1), E = (-1, -2, 3), F = (-2, -1, -3).
In[1]:=
H∗ Marca,num sistema de coordenadas, os pontos A, B, C, D, E e F.∗L
pontos = 8Point@81, 3, 4<D, Point@83, 2, −4<D, Point@8−2, 1, 3<D,
Point@8−3, 2, −1<D, Point@8−1, −2, 3<D, Point@8−2, −1, −3<D<;
Show@Graphics3D@ [email protected], pontos, Text@"A", 81.4, 3, 4<D,
Text@"B", 83.5, 2, −4<D, Text@"C", 8−1.6, 1, 3<D, Text@"D", 8−3.5, 2, −1.2<D,
Text@"E", 8−1.4, −2, 3<D, Text@"F", 8−2.4, −1, −3<D<D,
Axes → True, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;
y
-2
2
x
0
2
0
A
-2
2
4
2
C
E
D
z
0
-2
F
-4
B
Nos Exercícios 2 a 5, os pontos dados são vértices opostos de um paralelepípedo retângulo de arrestas paralelas aos
eixos de coordenadas. Determine os outros seis vértices e faça gráficos em cada caso.
2. A = (1, 1, 1) e
B = (3, 3, 3).
In[2]:=
7
H∗ Desenha o paralelepípedo do Exer. 2. ∗L
Show@Graphics3D@Cuboid@81, 1, 1<, 83, 3, 3<D, Axes → TrueD,
AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;
y 2.5
2
3
1.5
1
3
2.5
z
2
1.5
1
1
1.5
2
x
2.5
3
3. A = (0, 1, 1) e
B = (1, 0, -3).
8
In[3]:=
Show@Graphics3D@Cuboid@80, 1, 1 <, 81, 0, −3<D, Axes → TrueD,
AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, TextStyle → 8FontSize → 7.0<D;
x
0
1
0.75
y
0.5
0.25
25
0
1
0.25
0.5
0.75
0
z
−1
−2
−3
4. A = (-2, 2, 3) e B = (1, -2, -1).
1
In[4]:=
9
Show@Graphics3D@Cuboid@8−2, 2, 3<, 81, −2, −1 <D, Axes → TrueD,
2
y 1
0
-1
-2
3
2
z 1
0
-1
-2
-1
0
x
5. A = (1, 2, 1) e
In[5]:=
1
B = (0, -3, -1).
Show@Graphics3D@Cuboid@81, 2, 1<, 80, −3, −1 <D, Axes → TrueD,
2
y
0
-2
1
0.5
z 0
-0.5
-1
0
0.25
.25
0.5
0
575
0.75
0
1
x
Nos Exercícios 6 a 9, calcule a distância entre os dois pontos dados, em cada caso.
6. A = (1, 0, -2) e B = (-2, -3, -1).
10
In[6]:=
Out[8]=
H∗ Solução do Exercício 6. ∗L
a = 81, 0, −2<;
b = 8−2, 3, −1<;
Sqrt@Total@Ha − bL ^ 2DD
è!!!!!!
19
7. A = (1/2, -1, -1/3) e
In[9]:=
Out[11]=
a = 81 ê 2, −1, −1 ê 3<;
b = 8−1, 1 ê 2, −3 ê 2<;
è!!!!!!!!!
211
6
8. A = (-1 +
In[12]:=
Out[14]=
è!!!
2 , 3, 0) e B = (-1, -1, 1).
H∗ Solução do Exercício 8 ∗L
a = 8−1 + Sqrt@2D, 3, 0<;
b = 8−1, −1, 1<;
è!!!!!!
19
9. A = (a, b, c
In[15]:=
Out[18]=
B = (-1, 1/2, -3/2).
è!!!
2 ) e B = (b, -a, 0).
Clear@a, b, cD
u = 8a, b, c Sqrt@2D<;
v = 8b, −a, 0<;
Sqrt@Total@Hu − vL ^ 2DD êê Simplify
!!!!!!!!
è!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!
2 a2 + b2 + c2
10. Num levantamento topográfico, um observador num ponto A determinou que um ponto B está 700 m mais ao Leste,
500 m mais ao Sul e 200 m acima de sua posição. Determine a distância entre A e B e faça um gráfico.
In[19]:=
Out[21]=
a = 80, 0, 0<;
b = 8700, 500, 200<;
è!!!!!!
100 78
11. Demostre que os pontos A = (1. 0, 1), B = (0, 1, -1) e C = (3, 4, 2) são vértices de um triângulo retângulo. Faça o
gráfico. .
Out[27]=
a = 81, 0, 1<;
b = 80, 1, −1<;
c = 83, 4, 2<;
ab = Sqrt@Total@Ha − bL ^ 2DD
ac = Sqrt@Total@Ha − cL ^ 2DD
bc = Sqrt@Total@Hb − cL ^ 2DD
bc ^ 2 − ab ^ 2 − ac ^ 2
è!!!
6
è!!!!!!
21
è!!!
3 3
Out[28]=
0
In[22]:=
Out[25]=
Out[26]=
12. Determinar z de maneira que os pontos A = (-1. 1, z), B = (-1, 1, -z) e a origem O sejam vértices de um triângulo
retângulo em O. Faça o gráfico. .
In[29]:=
Out[31]=
a = 8−1, 1, z<;
b = 8−1, 1, −z<;
[email protected]
0, 8z<D
è!!!
è!!!
99z → − 2 =, 9z → 2 ==
Verificação do resultado:
In[32]:=
è!!!!
2 =;
è!!!!
b = 9−1, 1, − 2 =;
a = 9−1, 1,
c = 80, 0, 0<;
ac = Sqrt@Total@Ha − cL ^ 2DD
bc = Sqrt@Total@Hb − cL ^ 2DD
ab = Sqrt@Total@Hb − aL ^ 2DD
ab ^ 2 − ac ^ 2 − bc ^ 2
Out[35]=
2
Out[36]=
2
Out[37]=
2
Out[38]=
0
è!!!
2
Nos Exercícios 13 a 22, faça o gráfico ilustrando os planos de equações dadas.
13. 3 x - 2 y + 1 = 0.
11
12
In[39]:=
H∗ Desenho do Exercício 13 ∗L
ParametricPlot3D@8u, 1 ê 2 + 3 ê 2 u, v<, 8u, −1, 1<,
8v, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5D;
2
1
y
0
-1
1
0.5
z 0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
x
0.5
1
14. y = 2 z + 3.
In[40]:=
ParametricPlot3D@8u, 2 v + 3, v<, 8u, −1, 1<,
8v, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5D;
5
4
y 3
2
11
0.5
z 0
-0.5
-1
-1
-0.5
15. - x + z/2 = 1.
0
0 5
x 0.5
1
In[41]:=
13
ParametricPlot3D@8u ê 2 − 1, v, u<, 8u, −1, 1<,
8v, −1, 1<, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5,
TextStyle → 8FontSize → 7.0<, ViewPoint → 84, 4, 1<D;
1
0.5
0 z
−0.5
−1
−0.5
0
0.5
y
−1
−1.5
−1.
−1.25
−1
1
1 −0.75
−0.5
x
16. x = 2.
In[42]:=
ParametricPlot3D@82, u, v<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,
AxesLabel → 8"x", "y", "z"<, PlotPoints → 5, TextStyle → 8FontSize → 7.0<D;
1
0.5
0 z
−0.5
−
−1
1−
0.5
0
1
0
2
x
−0.5
3
4
17. y = -3.
−1
y
14
In[43]:=
ParametricPlot3D@8u, −3, v<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,
0
−2
y
−4
−6
1
0.5
z
0
−0.5
−1
−1
1
−0.5
0
x
0.5
0
5
1
18. z = - 2.
In[44]:=
ParametricPlot3D@8u, v, −2<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,
1 −0.5 x
y0.5−1
0 0.5
0
1
−0.5
−1
1
0
−1
z−2
−3
−4
19. x + y = 2.
In[45]:=
15
ParametricPlot3D@8u, 2 − u, v<, 8u, −1, 1<,
1
0.5
5
z
0
−0.5
.5
−1
−0.5
−1
0
1
1.5
x
0.5
2
y
2.5
1
3
20. x - z = 1.
In[46]:=
ParametricPlot3D@8u, v, u − 1<, 8u, −1, 1<, 8v, −1, 1<,
1
y
0.5
0
−0.5
−1
1
0
−0.5
z
−1
−1.5
−2
−1
−0.5
0
x
0.5
1
21. 4 z + 5 y = 0.
16
In[47]:=
ParametricPlot3D@8u, v, −5 v ê 4<, 8u, −1, 1<,
1
z
0
−1
−1
−0.5
0
−1
−0.5
x
0.5
0
y
0.5
1
1
21. 5 x = 4 z.
In[48]:=
ParametricPlot3D@8u, v, 5 u ê 4<, 8u, −1, 1<,
1
z
0
−1
−1
−0.5
0
0
0.5
y
−0.5
−1
0.5
0
5
11
x
Nos Exercícios 23 a 27, determine a equação da esfera de centro e raio dados, em cada caso (Pág. 8).
23. C = (2, 1, 1), r = 2.
In[49]:=
Out[50]=
17
8a, b, c, r< = 82, 1, 1, 2<;
Expand@Hx − aL ^ 2 + Hy − bL ^ 2 + Hz − cL ^ 2D − r ^ 2
2 − 4 x + x2 − 2 y + y2 − 2 z + z2
0
0
24. C = (0, -2, 1), r = 5.
In[51]:=
Out[52]=
8a, b, c, r< = 80, −2, 1, 5<;
−20 + x2 + 4 y + y2 − 2 z + z2
0
0
25. C = (-1, 0, 4), r = 1.
In[53]:=
Out[54]=
8a, b, c, r< = 8−1, 0, 4, 1<;
16 + 2 x + x2 + y2 − 8 z + z2
0
0
26. C = (1/2, -1/3, 1), r = 1/2.
In[55]:=
Out[56]=
8a, b, c, r< = 81 ê 2, −1 ê 3, 1, 1 ê 2<;
2y
10
+ y2 − 2 z + z2
− x + x2 +
3
9
0
0
27. C = (0, -3, -2/3), r = 5.
In[57]:=
Out[58]=
8a, b, c, r< = 80, −3, −2 ê 3, 5<;
−
140
4z
+ x2 + 6 y + y2 +
+ z2
9
3
0
0
Nos Exercícios 28 a 31, determine o centro e o raio da esfera de equação dada, em cada caso.
28.
x2 + y2 + z2 - 2y + 4z + 4 = 0
In[59]:=
Out[59]=
Simplify@x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 − 2 y + 4 z + 4 D
x2 − 2 y + y2 + H2 + zL2
Completar os quadrados
y2 - 2 y = Hy - 1L2 - 1
z2 + 4 z = Hz + 2L2 - 4
0
0
18
In[60]:=
Out[60]=
x ^ 2 + Hy − 1L ^ 2 − 1 + Hz + 2L ^ 2 − 4 + 4
−1 + x2 + H−1 + yL + H2 + zL
2
2
0
0
Centro = (0, 1, -2) e raio = 1.
In[61]:=
Out[61]=
Expand@x ^ 2 + Hy − 1L ^ 2 + Hz + 2L ^ 2 − 1D
4+x −2y+y +4z+z
2
2
2
0
0
29. 4(x2 + y2 + z2 - x + y) - 26 = 0
In[62]:=
Out[62]=
Simplify@4 x ^ 2 + 4 y ^ 2 + 4 z ^ 2 − 4 x + 4 y − 26D
−26 − 4 x + 4 x2 + 4 y + 4 y2 + 4 z2
0
0
4 x2 - 4 x = 4 Hx - 1 ê 2L2 - 1
4 y2 + 4 y = 4 Hy + 1 ê 2L2 - 1
In[63]:=
Out[63]=
4 Hx − 1 ê 2L ^ 2 − 1 + 4 Hy + 1 ê 2L ^ 2 − 1 + 4 z ^ 2 − 26
−28 + 4 J−
1
1
+ xN + 4 J + yN + 4 z2
2
2
Dividindo por 4,
Centro = (1/2, -1/2, 0) e raio =
2
0
2
0
è!!!
7.
In[64]:=
Out[64]=
Expand@Hx − 1 ê 2L ^ 2 + Hy + 1 ê 2L ^ 2 + z ^ 2 − 7D
−
13
− x + x2 + y + y2 + z2
2
0
0
Multiplicando por 4,
4 Hx2 + y2 + z2 - x + yL - 26 = 0.
30. 9(x 2 + y2 + z2 ) - 12x + 24 z - 205 = 0
In[65]:=
Out[65]=
Simplify@9 x ^ 2 + 9 y ^ 2 + 9 z ^ 2 − 12 x + 24 z − 205D
−205 − 12 x + 9 x2 + 9 y2 + 24 z + 9 z2
9 x2 - 12 x = H3 x - 2L2 - 4
9 z2 + 2 4 z = H3 z + 4L2 - 16
0
0
In[66]:=
Out[66]=
19
H3 x − 2L ^ 2 − 4 + 9 y ^ 2 + H3 z + 4L ^ 2 − 16 − 205
−225 + H−2 + 3 xL + 9 y2 + H4 + 3 zL
2
2
0
0
Dividindo por 9,
Hx - 2 ê 3L2 + y2 + Hz + 4 ê 3L2 = 25
Centro = (2/3, 0, -4/3) e raio = 5.
In[67]:=
Out[67]=
Expand@Hx − 2 ê 3L ^ 2 + y ^ 2 + Hz + 4 ê 3L ^ 2 − 25D
−
205
4x
8z
−
+ x2 + y2 +
+ z2
9
3
3
0
0
9 Hx2 + y2 + z2 L - 12 x + 24 z - 205 = 0.
31. 2(x 2 + y2 + z2 ) - 4x + 2y - 6 z + 5 = 0
In[68]:=
Out[68]=
Simplify@2 x ^ 2 + 2 y ^ 2 + 2 z ^ 2 − 4 x + 2 y − 6 z + 5D
5−4x+2x +2y+2y −6z+2z
2
2
2
0
0
2 Hx2 + y2 + z2 L - 4 x + 2 y - 6 z + 5 = 0.
2 x2 - 4 x = 2 Hx - 1L2 - 2
2 y2 + 2 y = 2 Hy + 1 ê 2L2 - 1 ê 2
2 z2 - 6 z = 2 Hz - 3 ê 2L2 - 9 ê 2
In[69]:=
Out[69]=
2 Hx − 1L ^ 2 − 2 + 2 Hy + 1 ê 2L ^ 2 − 1 ê 2 + 2 Hz − 3 ê 2L ^ 2 − 9 ê 2 + 5
−2 + 2 H−1 + xL2 + 2 J
2
2
1
3
+ yN + 2 J−
+ zN
2
2
0
Dividindo por 2,
Hx - 1L2 + Hy + 1 ê 2L2 + Hz - 3 ê 2L2 = 1
Centro = (1, -1/2, 3/2) e raio = 1.
In[70]:=
Out[70]=
Expand@Hx − 1L ^ 2 + Hy + 1 ê 2L ^ 2 + Hz − 3 ê 2L ^ 2 − 1D
5
− 2 x + x2 + y + y2 − 3 z + z2
2
2 Hx2 + y2 + z2 L - 4 x + 2 y - 6 z + 5 = 0.
0
0
0
20
1.2 Vetores e Retas no Espaço
Um vetor no espaço é simplesmente um terno ordenado de números reais (x, y, z) simbolizado por uma letra em negrito
v = (x, y, z) ou encimada por uma flexa v” = (x, y, z). Os números x, y, z são as componentes do vetor v.
Dados dois vetores quaisquer (x, y, z) e (x', y', z') e um número real r, definimos a soma e o produto por um escalar:
(x, y, z) + (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z'),
r(x, y, z) = (rx, ry, rz).
Dado um vetor v = (x, y, z), seu oposto é o vetor
- v = (-1)v = (-x, -y, -z)
A diferença de dois vetores (x, y, z) e (x', y', z') é definida com a soma de v com -v':
v - v' = v + (- v') = (x - x', y - y', z - z' ).
O vetor 0 = (0, 0, 0) é camado vetor nulo.
Quaisquer que sejam os vetores u, v e w no espaço e os escalares r e s, as seguintes propriedades são verificadas:
u + v= v +u
(cumitatividade)
(u + v) + w = u + (u + w)
(associatividade)
u + 0 = u e u + (-u ) = 0 (vetor nulo)
(r + s)u = ru + su
(distributividade da soma de escalares)
r(u + v) = ru + rv
(distributividade da soma de vetores)
(rs)u = r(su)
(distributividade do produto de escalares)
1. u = u
O módulo, norma ou comprimento de um vetor v = (x, y, z) é definido como sendo
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|v| = x2 + y2 + z2
Geometricamente, o módulo de um vetor
÷÷÷÷÷÷ ”
v=0X =B-A
é o comprimento dos segmentos 0X ou AB que representam o vetor (Fig 1.5).
Se r é um número real e v = (x, y, z) é um vetor qualquer, então
21
|rv| = |r| |v|.
In[1]:=
H∗ Desenha a Fig. 1.5 ∗L
Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False, Epilog → 8Text@"O", 8−0.1, .05<D,
Text@"y", 82, −.12<D, Text@"x", 8−.75, −.95<D, Text@"z", 8.1, 2<D,
Text@"X", 81.3, .7<D, Text@"A", 8.6, .8<D, Text@"B", 81.8, 1.4<D,
Text@"Fig. 1.5", 81.5, −.95<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@80, 0<, 81.2, 0.6<D, Arrow@80, 0<, 80, 2<D,
Arrow@80, 0<, 8−1, −1<D, Arrow@80, 0<, 8−1, −1<D,
[email protected], .7<, 81.8, 1.3<D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], −.6<, 81.2, .6<<, PlotJoined → True,
ListPlot@88−.6, −.6<, 81.2, −.6<, 81.8, 0<<, PlotJoined → True,
z
B
A
X
O
y
x
Fig. 1.5
A equação vetorial da reta que passa pelo um ponto dado P0 = (x0 , y0 , z0 ) e é paralela a um vetor v = (a, b, c) ∫ 0
tem a forma
P = P0 + t(a, b, c)
equivalente às equações paramétricas da reta
x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct.
Vamos imaginar que um sistema de coordenadas Oxyz seja transladado
para uma nova posição O' x' y' z' HFig. 1.7L, de forma que os eixos o O' x' ,
O' y ' e O' z' permaneçam com a mesma direção e sentido que os eixos Ox,
Oy, e Oz, respectivamente .
22
Seja O ' = Ha, b, cL a nova origem, Então
÷÷÷÷÷÷”
÷÷÷÷÷÷÷÷”
÷÷÷÷”
OP = OO' + O' P
onde P é um ponto qualquer. sejam, x, y,
z coordenadas de P no sistema antigo Oxyz e x' , y' ,
z' as suas coordenadas no sistema novo O' x' y' z' . A equação anterior nos diz,
precisamente, que
x = a + x' , y = b + y' , z = c + z' .
Estas são as fórmulas de transformação de um sisyema np outro.
÷÷÷÷”
O ponto médio de um dado segmento AB é o ponto X tal que AX =
ou X − A = B − X . Daqui segue − se que
÷÷÷÷”
AX ,
A − B
.
2
A Fig. 1.8 ilustra o significado geométrico dessa fórmula.
X =
A reta pelo ponto P0 = H3, −2, 1L, paralela ao vetor v = H−4, 2, 3L tem equação vetorial
P = P0 + tv,
onde P = Hx, y, zL é o ponto genérico da
reta. Essa equação equivale às seguintes equações paramétricas.
x = 3 − 4 t, y = −2 + 2 t, z = 1 + 3 t.
1.2.1 Exercícios
(pág. 9)
Nos Exercícios 2 a 7, determine as equações paramétricas da reta pelos pontos dados.
2. A = (0, 1, 1) e
In[1]:=
Out[3]=
B = (-1, 2, -3).
a = 80, 1, 1<;
b = 8−1, 2, −3<;
b−a
8−1, 1, −4<
Equações paramétricas: x = -t, y = 1 + t, z = 1 - 4t.
3. A = (1, -2, -1) e B = (4, -1, 5).
In[4]:=
Out[6]=
23
a = 81, −2, −1<;
b = 84, −1, 5<;
b−a
83, 1, 6<
Equações paramétricas: x = 1 + 3t, y = -2 + t, z = -1 + 6t.
4. A = (6, -1, 0) e B = (0, -2, -3).
In[7]:=
Out[9]=
a = 86, −1, 0<;
b = 80, −2, −3<;
b−a
8−6, −1, −3<
Equações paramétricas: x = 6 - 6t, y = -1 - t, z = - 3t.
5. A = (-2, 3, 1) e B = (-2, 0, 2).
In[10]:=
Out[12]=
a = 8−2, 3, 1<;
b = 8−2, 0, 2<;
b−a
80, −3, 1<
Equações paramétricas: x = -2, y = 3 - 3t, z = 1 + t.
6. A = (0, 1, 4) e
In[13]:=
Out[15]=
B = (5, -1, 4).
a = 80, 1, 4<;
b = 85, −1, 4<;
b−a
85, −2, 0<
Equações paramétricas: x = 5t, y = 1 - 2t, z = 4.
7. A = (1, 7, 3) e
In[16]:=
Out[18]=
B = (-1, 7, 5).
a = 81, 7, 3<;
b = 8−1, 7, 5<;
b−a
8−2, 0, 2<
Equações paramétricas: x = 1 - 2t, y = 7, z = 3 + 2t.
8. Determine o ponto P tal que AP = 3 AB onde A = (10, 7, 3) e B = (2, -1, 5).
24
In[19]:=
Out[21]=
a = 810, 7, 3<;
b = 82, −1, 5<;
a + 3 Hb − aL
8−14, −17, 9<
9. Determine o ponto médio do segmento AP, onde A = (1, -1, 2) e
In[22]:=
Out[24]=
a = 81, −1, 2<;
b = 83, −5, −4<;
Hb + aL ê 2
B = (3, -5, -4).
82, −3, −1<
10. Determine os pontos M e N que divide o segmento AB em três partes iguais, sendo A = (2, 0, -1) e B = (4, 3, 4).
In[25]:=
Out[27]=
Out[28]=
a = 82, 0, −1<;
b = 84, 3, 4<;
m = Hb − aL ê 3
n = 2 Hb − aL ê 3
9
2
5
, 1,
=
3
3
4
10
9 , 2,
=
3
3
1.3 O Produto Escalar
Dados dois vetores
v1 = (x1 , y1 , z1 ) e v2 = (x2 , y2 , z2 ),
definimos seu produto escalar, ou produto interno, como no caso do plano
v1 · v2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
Quaisquer que sejam os vetores u, v, w e o escalar r, as seguintes propriedades são verificadas:
u · u = » u »2 ,
u · v = v · u,
25
u · (v + w ) = u · v + u · w,
(ru)· v = r(u · v ) = u · (rv).
Geometricamente, dois vetores u e v são ortogonais ou perpendiculares se
|v
+ w|=| v - w|
ou equivalentemente,
u · v = 0.
In[1]:=
H∗ Desenha a Fig. 1.9. ∗L
Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, PlotRange → 88−.1, 2.1<, 8−.1, 1<<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"u", 81, −.05<D, Text@"v", 8−.05, .5<D, Text@"u + v",
81.5, .6<D, Text@"u − v", 8.65, .8<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@80, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, 0<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, 82, 1<D,
Arrow@82, 0<, 80, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@882, 0<, 82, 1<, 80, 1<<, PlotJoined → True,
u − v
u + v
v
u
Dados os vetorres u e v e o escalar r
.
u v
v
v
ÅÅÅÅÅ v = (u ÅÅÅÅ
ÅÅ ) ÅÅÅÅ
ÅÅ
rv = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
»v »2
»v»
»v»
.
é chamado a projeção ortogonal de u sobre v. Se estes vetores são ambos não nulos e q é o angulo que eles formam,
então é claro que
r»v»
»v»
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ
cos q = ÅÅÅÅ
»u»
»u»
. ÅÅÅÅÅÅÅÅ.ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ . ÅÅÅÅÅÅ ,
u v
»v »2
u
»u»
v
»v»
donde segue-se que
u
. v = |u| |v| cos q
A direção e o sentido de um vetor v = (x, y, z) são dados pelo vetor unitário
v
x
x
x
ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ , ÅÅÅÅ
ÅÅ , ÅÅÅÅ
ÅÅ
u = ÅÅÅÅ
»v»
»v»
»v»
»v»
(
Em particular, os vetores unitários
) = (a, b, c)
26
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1),
são dois a dois ortogonais e caracterizam os sentidos positivos dos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente (Fig. 1.11). Eles
formam o chamado triedro fundamental.
A desigualdade de Schwartz,
u
. v § |u| |v|,
válida quaisquer que sejam os vetores u e v.
A desigualdade do trângulo,
|u + v| § |u| + |v|,
válida quaisquer que sejam os vetores u e v.
1.3.1 Exercícios
(pág. 12)
Nos Exercícios 1 a 6, determine o vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetir dado.
1. v = (2, -1, 2)
In[1]:=
Out[2]=
v = 82, −1, 2<;
v ê [email protected]
9
2
1
2
,− ,
=
3
3
3
2. v = (-2, 1, 3)
In[3]:=
Out[4]=
v = 8−2, 1, 3<;
2
1
3
9− $%%%%%% , è!!!!!! , è!!!!!! =
7
14
14
3. v = (0, -1, 2)
In[5]:=
Out[6]=
v = 80, −1, 2<;
1
2
90, − è!!! , è!!! =
5
5
4. v = (4, 1/2, -1/3)
In[7]:=
Out[8]=
v = 84, 1 ê 2, −1 ê 3<;
24
3
2
9 è!!!!!!!!! , è!!!!!!!!! , − è!!!!!!!!! =
589
589
589
5. v = (2/3, -1/2, 0)
In[9]:=
Out[10]=
v = 82 ê 3, −1 ê 2, 0<;
9
4
3
, − , 0=
5
5
6. v = (1, 6, -12)
In[11]:=
Out[12]=
v = 81, 6, −12<;
1
6
12
9 è!!!!!!!!! , è!!!!!!!!! , − è!!!!!!!!! =
181
181
181
Nos Exercícios 8 a 11, determine o ângulo entre os vetores dados.
8. u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 1)
In[13]:=
Out[15]=
u = 81, 1, 0<;
v = 80, 1, 1<;
[email protected] ê [email protected] [email protected]
π
3
9. u = (1, 1, 1/2) e v = (1, 1, 4)
In[16]:=
Out[18]=
u = 81, 1, 1 ê 2<;
v = 81, 1, 4<;
è!!!
4 2
ArcCosA
E
9
10. u = (-1, 2, 3) e v = (2, -1, 0)
27
28
In[19]:=
Out[21]=
u = 8−1, 2, 3<;
v = 82, −1, 0<;
2
ArcCosA−2 $%%%%%%%%% E
35
11. u = (-2, 1, 0) e v = (0, -3, 2)
In[22]:=
Out[24]=
u = 8−2, 1, 0<;
v = 80, −3, 2<;
3
ArcCosA− è!!!!!! E
65
Nos Exercícios 12 a 14, determine o vetor projeção de u sobre v.
12. u = (1, 1, 1) e v = (1, 1, 0)
In[25]:=
Out[27]=
u = 81, 1, 1<;
v = 81, 1, 0<;
Hu.v ê v.vL v
81, 1, 0<
13. u = (2, 3, 4) e v = (1, -1, 0)
In[28]:=
Out[30]=
u = 82, 3, 4<;
v = 81, −1, 0<;
Hu.v ê v.vL v
9−
1
1
,
, 0=
2
2
14. u = (-3, 1, -1) e v = (3, -1, 2)
In[31]:=
Out[33]=
u = 8−3, 1, 1<;
v = 83, −1, 2<;
Hu.v ê v.vL v
9−
12
4
8
,
,− =
7
7
7
29
1.4 Retas e Planos
Usando o produto escalar, é fácil obter a equação de um plano por um ponto P0 = Hx0 , y0 , z0 ), perpendicular a um
vetor v = (a, b, c). Um ponto P = (x, y, z) pertence ao referido plano, se, e somente se,
.
v (P - P0 ) = 0.
Esta equação equivale a
a (x - x0 ) + b (y - y0 ) + c (z - z0 ) = 0,
ou ainda
ax+by+cz+d=0
onde d = - a x0 - b y0 - c z0 .
O plano de equação
x + 3y + 2z −6 =0
é perpendicular ao vetor v = H1, 3, 2L e passa pelos pontos H6, 0, 0L,
H0, , 2, 0L e H0, 0, 3L.
Os planos de equações
x + 2 y − 3 z − 10 = 0 e 2 x + 3 y − 4 z + 7 = 0
são perpendiculares ais vetores v1 = H1, 2, −3L e v2 = H2, 3, −4L,
respectivamente. O ângulo entre os dois planos,
que é o mesmo que o ângulo entre esses vetores, pode ser determinado pelo produto escalar
In[1]:=
Out[3]=
v1 = 81, 2, −3<;
v2 = 82, 3, −4<;
2
ArcCosA10 $%%%%%%%%%%% E
203
O plano de equações
x+3y+2z-5=0
30
x + 3y + 2z −6 =0
é perpendicular ao vetor v = H1, 3, 2L e passa pelos pontos H6, 0, 0L,
H0, , 2, 0L e H0, 0, 3L.
Dados os planos de equações
x+3y+2z-5=0
é perpendicular ao vetor v = (1, 3, 2) e passa pelos pontos (6, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3).
1.4.1 Exercícios
(pág. 12)
1. Determine as equações paramétricas da reta pela origem, perpendicular ao plano
2x -y +3z -6=0
e faça o gráfico.
In[1]:=
Out[1]=
t 82, −1, 3<
82 t, −t, 3 t<
Equações paramétricas: x = 2 t , y = - t , z = 3 t.
2. Determine as equações paramétricas da reta pelo ponto (2, -1, 3), perpendicular ao plano de equação x - y + z + 10 =
0.
In[2]:=
Out[2]=
t 81, −1, 1< + 82, −1, 3<
82 + t, −1 − t, 3 + t<
Equações paramétricas: x = 2 + t , y = -1 - t , z = 3 + t.
4. Determine o vetor mais geral que é perpendicular aos vetores u = (1, -1, 2) e v = (2, 0,,-1).
In[3]:=
Out[4]=
v = 82, −1, 2<;
9
2
1
2
,− ,
=
3
3
3
Nos Exercícios 9 a 19, determine equações paramétricas das retas interseções dos planos dados.
9.
2x -y -z -1=0 e x +y -2z +7=0
In[5]:=
Out[7]=
31
Clear@x, y, zD
z = t;
Solve@82 x − y 1 + z, x + y −7 + 2 z<, 8x, y<D
88x → −2 + t, y → −5 + t<<
Equações paramétricas: x = t - 2, y = t - 5, z = t.
10.
3x -2y -7=0 e 2y +3z +7=0
In[8]:=
Out[10]=
Clear@x, y, zD
y = t;
Solve@83 x
7 + 2 y, 3 z −2 y − 7<, 8x, z<D
99x →
1
1
H7 + 2 tL, z →
H−7 − 2 tL==
3
3
Equações paramétricas: x = 2 t/3 + 7/3 , y = t , x = -2 t/3 - 7/3
Equações paramétricas: x = t - 2, y = t - 5, z = t.
11.
x -2y + z+1=0 e 2y -x+ z -3=0
In[11]:=
Out[13]=
Clear@x, y, zD
y = t;
Solve@8x + z
2 y − 1, −x + z −2 y + 3<, 8x, z<D
88x → 2 H−1 + tL, z → 1<<
Equações paramétricas: x = - 2 + 2 t + 7/3 , y = t , z = 1.
12.
3x -2y + z - 2=0 e 3x +4y+ z +1=0
In[14]:=
Out[16]=
Clear@x, y, zD
z = t;
Solve@83 x − 2 y
−z + 2, 3 x + 4 y
99x → −
1
1
H−1 + tL, y → − ==
3
2
−z − 1<, 8x, y<D
Equações paramétricas: x = -1/3 t + 1/3 , y = -1/2 , z = t.
13.
2x - y + 5z =0 e x +y -5z =10
In[17]:=
Out[19]=
Clear@x, y, zD
z = t;
Solve@82 x − y
−5 z , x + y 5 z + 10<, 8x, y<D
99x →
10
5
,y→
H4 + 3 tL==
3
3
32
Equações paramétricas: x = 10/3, y = 5 t + 20/3 , z = t.
14.
x + 3 y = 5 e 2x - z - 1 = 0
In[20]:=
Out[22]=
Clear@x, y, zD
x = t;
Solve@83 y
5 − x, z
2 x − 1<, 8y, z<D
99y →
5−t
, z → −1 + 2 t==
3
Equações paramétricas: x = t, y = -1/3 t + 5/3 , z = 2 t - 1.
15.
2x - y =3 e 2y + z = 0
In[23]:=
Out[25]=
Clear@x, y, zD
z = t;
Solve@82 x − y
3 , 2 y − z<, 8x, y<D
99x → −
1
t
H−6 + tL, y → − ==
4
2
Equações paramétricas: x = 1/4 t + 3/2 , y = -1/2 t, z = t.
16.
x = 3 e z = 2.
In[26]:=
Out[28]=
Clear@x, y, zD
y = t;
Solve@8 x
3 , z 2<, 8x, z<D
88x → 3, z → 2<<
Equações paramétricas: x = 3 , y = t, z = 2.
Equações paramétricas: x = 1/4 t + 3/2 , y = -1/2 t, z = t.
17.
x = - 4 e y = 5.
In[29]:=
Out[31]=
Clear@x, y, zD
z = t;
Solve@8 x
−4 , y 5<, 8x, y<D
88x → −4, y → 5<<
Equações paramétricas: x = - 4 , y = 5, z = t.
18.
y = 2 e z = - 3.
In[32]:=
Out[34]=
33
Clear@x, y, zD
x = t;
Solve@8 y
2 , z 5<, 8y, z<D
88y → 2, z → 5<<
Equações paramétricas: x = t, y = 2, z = 5.
19.
x + y = 0 e y + z = 0.
In[35]:=
Out[37]=
Clear@x, y, zD
y = −t;
Solve@8 x
−y , z −y<, 8x, z<D
88x → t, z → t<<
Equações paramétricas: x = t, y = - t, z = t.
1.5 O Produto Vetorial
Dados dois vetores v1 = (x1 , y1 , z1 ) e v2 = (x2 , y2 , z2 ), define-se o produto vetorial v1 × v2 mediante a expressão
w = v1 × v2 = (y1 z2 - z1 y2 , z1 x2 - x1 z2 , x1 y2 - y1 x2 ).
O produto vetorial w possui as seguintes propriedades:
(1)
| w | = | v1 | | v2 | sen q, onde q ( 0 § q § p ) é o ângulo entre os vetores v1 e v2 , supostamente ambos não nulos;
(2) w é perpendicular a v1 e a v2 ;
(3) O sentido de w é tal que os três vetores v1 , v2 e w, nesta ordem, formam um triedro com orientação positiva.
Isto significa que esses vetores obdecem à chamada regra da mão direita, assim descrita: com a mão direita semi-aberta, o dedo indicador representando o vetor v1 e o dedp médio representandpo o vetor v2 , o vetor w deve ser representado pelo dedo polegar, dispostos perpandicularmente aos dois primeiros;
Alem disso o produto vetorial deve possuir as seguintes propriedades, quaisquer que sejam os vetores a, b e c e o
escalar r,
a × ( b + c) = a × b + a × c;
(a + b) × c = a × c + b
(ra) × b = r (a × b).
34
Lembrando que um determinante de segunda ordem é assim definido
ƒƒ a b ƒƒ
ƒƒƒ
ƒƒ
ƒƒ c d ƒƒƒ = ab - bc,
ƒ
ƒ
podemos reescrever o produto vetorial dos vetores u = (x1 , y1 , z1 ) e v = (x2 , y2 , z2 ) na seguinte forma
ƒƒ y z1 ƒƒ
ƒƒ x1 z1 ƒƒ
ƒƒ x1 y ƒƒ
ƒ 1
ƒƒ
ƒ
ƒƒ
ƒ
1 ƒƒ
ƒƒ i - ƒƒƒ
ƒƒ j + ƒƒƒ
ƒƒ k.
u × v = ƒƒƒƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
y
z
x
z
x
y
ƒ 2 2 ƒ
ƒ 2 2 ƒ
ƒ 2 2 ƒƒ
Por outro lado, um determinante de terceira ordem desenvolve-se em termo de determinante de segunda ordem, de
acordo com a regra:
ƒ
a b c
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
x
ƒ
1 y1 z1
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ x2 y2 z2
ƒ
ƒ
ƒƒ y z1 ƒƒ
ƒƒ
ƒƒ
ƒƒ
ƒƒ
ƒ
ƒ
ƒ 1
ƒ
ƒƒƒ a - ƒƒƒ x1 z1 ƒƒƒ b + ƒƒƒ x1 y1 ƒƒƒ c.
ƒ
= ƒƒƒƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ y2 z2 ƒ
ƒ x2 z2 ƒ
ƒ x2 y2 ƒƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Comparando estas duas última expressões, podemos, simbolicamente, representar o produto vetorial na forma
ƒ
i j k
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
x
ƒ
u× v= ƒ
1 y1 z1
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
x
ƒ 2 y2 z2
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
O comando Det[m] calcula o determinante da matrix quadrada m.
Uma matriz m de terceira ordem é representada assim: {{a1 , a2 , a3 }, {b1 , b2 , b3 }, {c1 , c2 , c3 }}.
Vamos calcular o produto vetorial de u = (2, 4, 5) e v = (4, 3, 2).
In[1]:=
Out[3]=
H∗ Produto vetorial de u e v ∗L
u = 82, 4, 5<;
v = 84, 3, 2<;
Det@88i, j, k<, u, v<D
−7 i + 16 j − 10 k
Do mesmo modo, sendo u = (-2, 3, 2) e v = (3, -5, -4,) seu produto vetorial é dado por.
In[4]:=
Out[6]=
u = 8−2, 3, 2<;
v = 83, −5, −4<;
Det@88i, j, k<, u, v<D
−2 i − 2 j + k
É preferível usar o comando Cross[u, v] para calcular o produto vetorial dos vetores u e v.
35
Repetindo o EXEMPLO 1 com o comando Cross[u, v],
Vamos calcular o produto vetorial de u = (2, 4, 5) e v = (4, 3, 2).
In[7]:=
Out[9]=
u = 82, 4, 5<;
v = 84, 3, 2<;
Cross@u, vD
8−7, 16, −10<
Do mesmo modo, sendo u = (-2, 3, 2) e v = (3, -5, -4,) seu produto vetorial é dado por.
In[10]:=
Out[12]=
u = 8−2, 3, 2<;
v = 83, −5, −4<;
Cross@u, vD
8−2, −2, 1<
Dados os planos 2 x - y -3 z - 3 = 0 e x - 3 y + z + 1 = 0, os vetores a = (2, -1, -3) e b = (1, -3, 1) são perpendiculares a
esses dois planos, respectivamente. Então, o seu produto vetorial,
In[13]:=
Out[15]=
a = 82, −1, −3<;
b = 81, −3, 1<;
Cross@a, bD
8−10, −5, −5<
define a direção da reta interseção dos planos dados. Para escrever as equações parametricas da reta precisamos determinar
um de seus pontos, que é uma solução particular das equações dos dois planos. Por exemplo, considerando z = 1,
In[16]:=
Out[18]=
Clear@x, y, zD
z = 1;
Solve@82 x − y − 3 z
88x → 4, y → 2<<
3, x − 3 y + z
−1<, 8x, y<D
Portanto, as equações paramétricas da reta interseção dos planos são x = 4 - 10 t, y = 2 - 5t, z = 1 - 5 t.
Naturalmente, pode-se usar outra parametrização. Por exemplo, em vez do vetor c = (-10, -5, -5) podemos considerar o
vetor v = c/5 = (2, 1, 1) e em vez de z = 1, fazer z = 0. Então,
In[19]:=
Out[20]=
z = 0;
Solve@82 x − y − 3 z
88x → 2, y → 1<<
3, x − 3 y + z
−1<, 8x, y<D
Agora, as equações paramétricas da reta interseção dos planos são x = 2 + 2 t, y = 1 + t. t, z = t. A relação entre as duas
parametrização é t = (1 - t)/5.
36
Para determinar a equação do plano pelos três pontos A = (1, -2, -1), B = (-1, -1, 2) e C = (2, 3, 1), notemos que ele é
÷÷÷÷÷” ÷÷÷÷÷ ”
perpendicular ao vetor AB × AC . Portanto
In[21]:=
Out[24]=
a = 81, −2, −1<;
b = 8−1, −1, 2<;
c = 82, 3, 1<;
Cross@b − a, c − aD
8−13, 7, −11<
Então, a sua equação tem a forma -13 x + 7 y - 11 z + d = 0.
Para determinar d basta substituir, nesta equação, um dos pontos A, B, C, donde se conclui que d = - 16. Portanto, o plano
considerado tem equação
13 x - 7 y + 11 z - 11 = 0.
Sabendo-se que » a »2 » a »2 sen2 q = » a »2 » a »2 (1 - cos2 q ) = » a »2 » a »2 - » a . b »2 é fácil provar que a × b = |
a| | b| sen q. De fato,
In[25]:=
Out[28]=
a = 8a1, a2, a3<;
b = 8b1, b2, b3<;
axb = Cross@a, bD;
axb.axb − Ha.aL Hb.bL + Ha.bL.Ha.bL êê Simplify
−Ha1 b1 + a2 b2 + a3 b3L2 + Ha1 b1 + a2 b2 + a3 b3L.Ha1 b1 + a2 b2 + a3 b3L
Estes dois termos se cancelam, portanto a × b = | a| | b| sen q.
Geometricamente a propriedade que acabamos de demostrar significa que |a × b| é a área do paralelogramo de lado a
e b (Fig 1.19), pois | b| sen q = h é a altura desse paralelogramorelativa ao lado b.
In[29]:=
37
H∗ Desenha a Fig 1.19 ∗L
Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, PlotRange → 8−.1, 1.1<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"a", 82, −0.07<D, Text@"b", 8.9, 1.03<D, Text@"θ", 8.2, .1<D,
Text@"h", 81.1, .5<D, Text@"Fig 1.19.", 82.8, −.05<D<,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@80, 0<, 82, 0<D,
Arrow@80, 0<, 81, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@882, 0<, 83, 1<, 81, 1<<, PlotJoined → True,
ListPlot@881, 0<, 81, 1<<, PlotJoined → True,
b
h
θ
Fig 1.19.
a
1.5.1 Exercícios
(pág. 24)
1. Verifique as propriedades:
i × j = - j × i = k;
In[1]:=
j × k = - k × j = i;
H∗ Mostra que j × k = −k × j = i.
i := 81, 0, 0<;
j := 80, 1, 0<;
k := 80, 0, 1<;
TrueQ@Cross@i, jD
kD
TrueQ@Cross@−j, iD kD
Out[4]=
True
Out[5]=
True
k × i = - i × k = j;
i × i = j × j = k × k = 0;
∗L
True[expr] retorna True se expr for verdadeira, e retorna False se expr for falsa.
38
In[6]:=
H∗ Mostra que j × k = −k × j = i. ∗L
i := 81, 0, 0<;
j := 80, 1, 0<;
k := 80, 0, 1<;
TrueQ@Cross@j, kD
iD
TrueQ@Cross@−k, jD iD
Out[9]=
True
Out[10]=
True
In[11]:=
H∗ Mostra que k × i = −i × k = j. ∗L
i := 81, 0, 0<;
j := 80, 1, 0<;
k := 80, 0, 1<;
TrueQ@Cross@k, iD
jD
TrueQ@Cross@−i, kD jD
Out[14]=
True
Out[15]=
True
In[16]:=
H∗ Mostra que i × i = j × j = k × k = 0. ∗L
i := 81, 0, 0<;
j := 80, 1, 0<;
k := 80, 0, 1<;
TrueQ@Cross@i, iD
80, 0, 0<D
TrueQ@Cross@j, jD
80, 0, 0<D
TrueQ@Cross@k, kD
80, 0, 0<D
Out[19]=
True
Out[20]=
True
Out[21]=
True
2. Determine a equação do plano pelos pontos A = (2, 0, 1) e B = ( 0, 2, 1), paralelo ao vetor v = (-1, -2, 3).
In[22]:=
Out[26]=
Clear@x, y, zD
a := 82, 0, 1<;
b := 80, 2, 1<;
v := 8−1, −2, 3<;
Cross@8x, y, z< − a, b − aD.v êê Simplify
6 H−3 + x + y + zL
A equação do plano é x + y + z - 3 = 0.
3. Determine a equação do plano pelo ponto A = (-1, 2, -3) paralelo às direções u = (1, 0, 1) e v = (1, 1, 0).
In[27]:=
Out[31]=
39
Clear@x, y, zD
a := 8−1, 2, −3<;
u := 81, 0, 1<;
v := 81, 1, 0<;
Cross@u, vD.H8x, y, z< − aL êê Simplify
−x + y + z
A equação do plano é -x + y + z = 0.
4. Determine a equação do plano pela origem, perpendicular aos planos de equações 2 x - y + z = 1 e x + y - 2 z + 4 =
0.
In[32]:=
Out[35]=
Clear@x, y, zD
a := 82, −1, 1<;
b := 81, 1, −2<;
Cross@a, bD.8x, y, z<
x+5y+3z
O plano considerado tem equação x + 5 y + 3 z = 0.
5. Determine a equação do plano pela ponto A = (0, 1, 2), perpendicular aos planos de equações x - y + z + 1 = 0 e 3 x
+ y - 2 z - 5 = 0.
In[36]:=
Out[40]=
Clear@x, y, zD
a := 80, 1, 2<;
b := 81, −1, 1<;
c := 83, 1, −2<;
Cross@b, cD.H8x, y, z< − aL êê Simplify
−13 + x + 5 y + 4 z
O plano considerado tem equação x + 5 y + 4 z - 13 = 0.
6. Determine a equação do plano pelos pontos A = (1, -1, 2), B = (-1, 0, 1), C = (2, 1, 3).
In[41]:=
Out[45]=
Clear@x, y, zD
a := 81, −1, 2<;
b := 8−1, 0, 1<;
c := 82, 1, 3<;
Cross@b − a, c − aD
83, 1, −5<
Então a equação do plano tem a forma 3 x + y - 5 z + d = 0. Substituíndo o ponto A nesta equação se comclui que d =
8. Portanto o plano considerado tem equação 3 x + y - 5 z + 8 = 0.
40
9. Desenvolva o determinante
In[46]:=
Out[46]=
ƒ
a1 a2 a3
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
b1 b2 b3
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ c1 c2 c3
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
.
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Det@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D
−a3 b2 c1 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 + a1 b2 c3
10. Um determinante não se altera quando trocamos suas linhas por suas colunas, isto é
ƒ
a1 a2 a3
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
b1 b2 b3
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ c1 c2 c3
In[47]:=
Out[50]=
ƒ
ƒ
a1 b1 c1
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
=
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ a2 b2 c2
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ ƒ
ƒ a3 b3 c3
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
.
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
det1 = Det@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D;
det2 = Det@88a1, b1, c1<, 8a2, b2, c2<, 8a3, b3, c3<<D;
p = det2 − det1;
TrueQ@p == 0D
True
11. Um determinante troca de sinal quando trocamos entre si duas de suas linhas (ou colunas)
In[51]:=
Out[54]=
det2 = Det@88c1, c2, c3<, 8b1, b2, b3<, 8a1, a2, a3<<D;
p = det1 + det2;
TrueQ@p == 0D
True
12. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) são multiplicados por um mesmo número p, o determinante fica
multiplicado por esse número.
In[55]:=
Out[59]=
Clear@pD
det2 = Det@8 8a1, a2, a3<, p 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D;
q = p det1 − det2 êê Simplify;
TrueQ@q == 0D
True
13. Um determinante é zero se todos os elementos de uma linha (ou coluna) são o produto, por um mesmo número p, dos
elementos correspondentes de outra linha (ou coluna).
In[60]:=
Out[60]=
Det@88a1, a2, a3<, p 8a1, a2, a3<, 8c1, c2, c3<<D
0
14. Um determinante é zero se todos os elementos de uma linha (ou coluna) são o produto, por um mesmo número p, dos
elementos correspondentes de outra linha (ou coluna)
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
a1 a2 a3 ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ c1 c2 c3 ƒ
ƒ b1 b2 b3 ƒ
ƒ
ƒ b b b ƒ
ƒ= ƒ
ƒ = ƒ
ƒ
ƒ a a a ƒ
ƒ c c c ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
1
2
3 ƒ
1
2
3 ƒ
1
2
3 ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ c1 c2 c3 ƒ
ƒ
ƒ b1 b2 b3 ƒ
ƒ a1 a2 a3 ƒ
In[61]:=
det2 = Det@88c1, c2, c3<, 8a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<<D;
det3 = Det@88b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<, 8a1, a2, a3<<D;
TrueQ@det2 − det1 == 0 D
TrueQ@det3 − det2 == 0 D
Out[64]=
True
Out[65]=
True
41
42
1.6 O Produto Misto e Produto Duplo Vetorial
O produto misto dos vetores a, b e c, nesta ordem, é, por definição, o produto a · (b × c) = a · b × c. Note-se que (a ·
b) × c não faz sentido: seria o "produto vetorial" de um escalar por um vetor!
Sejam
a = (a1 , a1 , a1 ), b = (b1 , b1 , b1 ) e c = (c1 , c1 , c1 ).
Então, como
ƒƒ b2 b3 ƒƒ
ƒƒ b1 b3 ƒƒ
ƒƒ b1 b1 ƒƒ
ƒ
ƒƒ
ƒ
ƒƒ
ƒ
ƒƒ
ƒƒ i - ƒƒƒ
ƒƒ j + ƒƒƒ
ƒ
b × c = ƒƒƒƒ
ƒƒ c2 c3 ƒƒ
ƒƒ c2 c2 ƒƒƒ k,
ƒ c2 c3 ƒƒ
ƒƒ b2 b3 ƒƒ
ƒƒ b1 b3 ƒƒ
ƒƒ b1 b1 ƒƒ
ƒ
ƒƒ
ƒ
ƒƒ
ƒ
ƒƒ
ƒƒ a1 - ƒƒƒ
ƒƒ a2 + ƒƒƒ
ƒ
a · (b × c) = ƒƒƒƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒƒ c2 c2 ƒƒƒ a3 .
ƒ c2 c3 ƒ
ƒ c2 c3 ƒ
obtemos
Mas isso é precisamente o determinante de terceira ordem da matriz cujas primeira, segunda e terceira linhas são as
componentes dos vetores a, b e c, respectivamente, ito é
ƒ
a a2 a3 ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ 1
ƒ
ƒ
ƒ
b1 b2 b3 ƒ
a · (b × c) = ƒ
.
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
c
c
c
ƒ 1
2
3 ƒ
Custuma-se escrever o produto misto a · b × c dos vetores a, b e c na forma abc.
Geometricamente, o produto misto
a · b × c = | a | | b × c | cos q
é o volume de um paralelepípedo formado com os vetores a, b e c, tomados com o sinal positivo ou negativo conforme
o triedro a, b e c tenha ou não orientação positiva, respectivamente.
Dados dois vetores não colineares a = (a1 , a2 , a3 ) e b = (b1 , b2 , b3 ), a condição para que um ponto P = (x, y, z) esteja no
plano desses vetores e passe por um dado ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) é que P - P0 seja ortogonal a a × b. Isto significa que o
produto misto de P - P0 , a e b é zero, logo a equação do referido plano é
ƒ
x − x0 y − y0 z − z0 ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
a
a
a
(P - P0 ) . a × b = ƒ
= 0.
ƒ
ƒ
1
2
3
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
b
b
b
ƒ
ƒ
1
2
3
Para considerar uma situação concreta, sejam a = (2, -3, 1), b = (2, 1, 2) e P0 = (3, 5, 2). Portanto, a equação anterior fica
sendo
In[1]:=
Out[1]=
Det@88x − 3, y − 5, z − 2<, 82, −3, 1<, 82, 1, 2<<D êê Simplify
15 − 7 x − 2 y + 8 z
43
Então, a equação do referido plano é 7 x + 2 y + 8 z - 13 = 0.
1.6.1 Exercícios
(pág. 28)
1. Verifique que (a × b) × c = (a · c) b - (b · c) a.
In[2]:=
Out[6]=
H∗ Mostra que Ha × bL× c = Ha⋅cL b −Hb⋅cL a. ∗L
a = 8a1, a2, a3<;
b = 8b1, b2, b3<;
c = 8c1, c2, c3<;
p = Cross@Cross@a, bD, cD − a.c b + b.c a êê Simplify;
TrueQ@p == 80, 0, 0< D
True
2. Verifique que a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.
In[7]:=
Out[11]=
H∗ Mostra que a ×Hb × cL + b ×Hc × aL +c ×Ha × bL = 0. ∗L
a = 8a1, a2, a3<;
b = 8b1, b2, b3<;
c = 8c1, c2, c3<;
p = Cross@a, Cross@b, cDD + Cross@b, Cross@c, aDD + Cross@c, Cross@a, bDD ;
TrueQ@p == 80, 0, 0< D
True
3. Verifique que (a × b) . (c × d) = (a · c) (b · d) - (a · d) (b · c)
In[12]:=
Out[17]=
H∗ Mostra que Ha × bL.Hc × dL = Ha⋅cL Hb⋅dL − Ha⋅dL Hb⋅cL. ∗L
a = 8a1, a2, a3<;
b = 8b1, b2, b3<;
c = 8c1, c2, c3<;
d = 8d1, d2, d3<;
p = Cross@a, bD .Cross@c, dD − HHa.cL Hb.dL − Ha.dL Hb.cLL êê Simplify;
TrueQ@p == 0 D
True
4. Determine x de forma que os vetores a = i - j + 2 k, b = - i + 2 j + k e a = x i + 3 j + 2 k sejam
complanares.
44
In[18]:=
Out[25]=
Clear@xD
i := 81, 0, 0<;
j := 80, 1, 0<;
k := 80, 0, 1<;
a := i − j + 2 k;
b := −i + 2 j + k;
c := x i + 3 j + 2 k;
Solve@Cross@a, bD.c 0, 8x<D
99x → −
7
==
5
5. Determine a equação do plano pelos pontos A = (0, 1, 1}, B = (2, 0, -1}, paralelo ao vetor v = i - 2 j + 3 k.
In[26]:=
Out[33]=
Clear@x, y, zD
a := 80, 1, 1<;
b := 82, 0, −1<;
i := 81, 0, 0<;
j := 80, 1, 0<;
k := 80, 0, 1<;
v := i − 2 j + 3 k;
Cross@8x, y, z< − a, b − aD.v êê Simplify
11 − 7 x − 8 y − 3 z
A equação do plano é 7 x + 8 y + 3 z - 11 = 0.
6. Verifique que (b × c) × (c × a) = (abc) c
In[34]:=
Out[38]=
H∗ Mostra que Hb × cL×Hc × aL = HabcL c. ∗L
a = 8a1, a2, a3<;
b = 8b1, b2, b3<;
c = 8c1, c2, c3<;
p = Cross@Cross@b, cD , Cross@c, aDD − Ha . Cross@b, cDL c êê Simplify;
TrueQ@p == 80, 0, 0< D
True
7. Verifique que (a × b) . (b × c) × (c × a) = HabcL2
In[39]:=
Out[43]=
H∗ Mostra que Ha × bL.Hb × cL×Hc × aL = HabcL2 ∗L
a = 8a1, a2, a3<;
b = 8b1, b2, b3<;
c = 8c1, c2, c3<;
p = Cross@a, bD . Cross@Cross@b, cD, Cross@c, aDD −
Ha . Cross@b, cDL ^ 2 êê Simplify;
TrueQ@
p ==
0D
True
8. Verifique que os vetores b - a, b - c e a - c são complanares.
In[44]:=
Out[48]=
a = 8a1, a2, a3<;
b = 8b1, b2, b3<;
c = 8c1, c2, c3<;
p = Cross@b − a, b − cD .Ha − cL êê Simplify;
TrueQ@p == 0 D
True
9. Verifique que o vetor a × b + b × c + c × a é perpendicular ao plano dos vetores b - a e b - c.
In[49]:=
a = 8a1, a2, a3<;
b = 8b1, b2, b3<;
c = 8c1, c2, c3<;
p = HCross@a, bD + Cross@b, cD + Cross@c, aDL.Hb − aL êê Simplify;
q = HCross@a, bD + Cross@b, cD + Cross@c, aDL.Hb − cL êê Simplify;
TrueQ@p == 0 D
TrueQ@q == 0 D
Out[54]=
True
Out[55]=
True
45
46
@1.6.2 Exercícios
@1. Verifique que a equação do plano pelos pontos A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ) e C = (c1 , c2 , c3 ) tem a forma
ƒ
z − a3
x − a1 y − a2
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
b
−
a
b
−
a
b
ƒ
1
1
2
2
3 − a3
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3
In[1]:=
Out[8]=
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
= 0.
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
H∗ Solução do Exercício @1 ∗L
Clear@x, y, zD
a = 8a1, a2, a3<;
b = 8b1, b2, b3<;
c = 8c1, c2, c3<;
p = Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,
8b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3<, 8c1 − a1, c2 − a2, c3 − a3<<D êê Simplify;
q = Cross@b − a, c − aD;
r = q@@1DD x + q@@2DD y + q@@3DD z −
Hq@@1DD a1 + q@@2DD a2 + q@@3DD a3L êê Simplify;
TrueQ@
p −
r ==
0D
True
@1. Determine a equação do plano pelos pontos A = (1, -1, 2), B = (-1, 0, 1) e C = (2, 1, 3}.
In[9]:=
Out[13]=
Clear@x, y, zD
8a1, a2, a3< = 81, −1, 2<;
8b1, b2, b3< = 8−1, 0, 1<;
8c1, c2, c3< = 82, 1, 3<;
Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,
8b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3<, 8c1 − a1, c2 − a2, c3 − a3<<D êê Simplify
8+3x+y−5z
Portanto, o plano considerado tem equação 3 x + y - 5 z + 8 = 0. Compare este resultado com o do Exercício 6 da seção
1.5.1.
@2. Determine a equação do trângulo pelos pontos A = (0, 0, 1), B = (1, 0, 0) e C = (0, 1, 0} e traçe o gráfico.
In[14]:=
Out[18]=
47
Clear@x, y, zD
8a1, a2, a3< = 80, 0, 1<;
8b1, b2, b3< = 81, 0, 0<;
8c1, c2, c3< = 80, 1, 0<;
Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,
−1 + x + y + z
Portanto, o triângulo considerado tem equação x + y + z = 1.
In[19]:=
H∗ Desenho do plano do Exercício @2 ∗L
triangulo := Polygon@88a1, a2, a3<, 8b1, b2, b3<, 8c1, c2, c3<<D
Show@Graphics3D@trianguloD, Axes → True,
1
y 0.75
0.5
0.25
0
1
0.75
z
0.5
0.25
0
0
0.25
0.5
x 0.75
1
@3. Determine a equação do trângulo pelos pontos A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 1) e C = (0, 1, 0} e traçe o gráfico.
In[21]:=
Out[25]=
Clear@x, y, zD
8a1, a2, a3< = 80, 0, 0<;
8b1, b2, b3< = 81, 0, 1<;
8c1, c2, c3< = 80, 1, 0<;
Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,
−x + z
Portanto, o trângulo considerado tem equação - x + z = 0.
48
In[26]:=
H∗ Desenho do triângulo do Exercício @3 ∗L
1
y 0.75
0.5
0.25
0
1
0.75
z0.5
0.25
0
0
0.25
0.5
x 0.75
1
@4. Determine a equação do triângulo pelos pontos A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0) e C = (0, 1, 1} e traçe o gráfico.
In[28]:=
Out[32]=
Clear@x, y, zD
8a1, a2, a3< = 80, 0, 0<;
8b1, b2, b3< = 81, 0, 0<;
8c1, c2, c3< = 80, 1, 1<;
Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,
−y + z
Portanto, o triângulo considerado tem equação - y + z = 0.
In[33]:=
49
H∗ Desenho do triângulo do Exercício @4 ∗L
1
y 0.75
0.5
0.25
0
1
0.75
z
0.5
0.25
0
0
0.25
0.5
x
0.75
1
@5. Determine a equação do triângulo pelos pontos A = (0, 0, 2), B = (1, 0, 1/4 ) e C = (0, 1, 1} e traçe o gráfico.
In[35]:=
Out[39]=
Clear@x, y, zD
8a1, a2, a3< = 80, 0, 2<;
8b1, b2, b3< = 81, 0, 1 ê 4<;
8c1, c2, c3< = 80, 1, 1<;
Det@88x − a1, y − a2, z − a3<,
−2 +
7x
+y+z
4
Portanto, o triângulo considerado tem equação 33 x + 30 y + 4 z - 34 = 0.
50
In[40]:=
H∗ Desenho do triângulo do Exercício 3@ ∗L
Show@Graphics3D@trianguloD, Axes → True, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<,
0
x 0.25
0.5
0.75
1
2
0
0.25
y
0.5
0.75
0.7
1
1.5
z 1
0.5
5
@6. Sejam as funções f1 = 1 - x - y, f2 = x e f3 = y. Trace o gráfico do triângulo de equação - 2 f1 - f2 /4 - f3 e cujas
projeções dos vértices A, B e C no plano XY são, respectivamente, (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
In[41]:=
51
H∗ Desenha o triângulo do Exercício @6 ∗L
Clear@x, y, zD
f1 := 1 − x − y;
f2 := x;
f3 := y;
8a1, a2, a3< = 8x, y, 2 f1 + f2 ê 4 + f3< ê. 8x → 0, y → 0<;
8b1, b2, b3< = 8x, y, 2 f1 + f2 ê 4 + f3< ê. 8x → 1, y → 0<;
8c1, c2, c3< = 8x, y, 2 f1 + f2 ê 4 + f3< ê. 8x → 0, y → 1<;
Show@Graphics3D@trianguloD, Axes → True, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<,
0
x 0.25
0.5
0.75
1
2
0
0.25
y
0.5
0.75
0.7
1
1.5
z 1
0.5
5
O triangulo é idêntico ao do exercício anterior. Note-se que a equação deste triangulo é composta pela soma das equações
dos três triângulos dos exercícios @2, @3 e @4, multiplicadas, respectivamente por 2, 1/4 e 1.
1.7 Curvas no Espaço. Função Vetorial
Uma curva no espaço é descrita dando-se as coordenadas de seu ponto genérico P como função de uma variável
independente t:
x = x (t), y = y (t), z = z (t).
Estas são as equações paramétricas da curva e t é o parâmetro. Note-se que essas equações escalares equivalem à
única equação vetorial. Este é o vetor posição P (t).
52
Diz-se que P(t) tem limite P0 = (x0 , y0, z0 ) quando t Ø t0 se x (t) Ø x0 , y (t) Ø y0 e z (t) Ø z0 . O vetor posição P(t) é
função contínua em t = t0 se
lim P (t) = P (t0 ).
t Ø t0
Isto significa que são contínuas, simultaneamente, as três componentes de P (t) em t = t0 .
P(t) é derivável em t = t0 se suas componentes forem deriváveis nesse ponto. Neste caso, a derivada de P(t) é definida
por
dPHtL
dy
dx
dz
ÅÅ , ÅÅÅÅ
ÅÅ , ÅÅÅÅ
ÅÅ .
P(t) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
dt
dt
dt
dt
(
)
Isto equivale a definir derivada em termos da razão incremental,
PHt + Dt L - PHtL
DP
Dx Dy Dz
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
DÅtÅ , ÅÅÅÅ
DÅtÅ , ÅÅÅÅ
DÅtÅ .
Dt
Dt
(
)
Quando P(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento, então a derivada P '(t) é a sua velocidade vetorial e a
derivada segunda P ''(t), é a aceleração.
Geometricamente, P(t) descreve uma curva no espaço e P(t + Dt ) é um ponto dessa curva que torna-se tão próximo
de P(t) quanto menor for Dt.
Portanto, é natural considerar a derivada
dPHtL
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
dt
= lim
Dt Ø 0
PHt + Dt L - PHtL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Dt
como definido a direção tangente à curva no ponto P(t), desde que essa derivada não seja zero. Veja figura abaixo.
In[50]:=
<< GraphicsÀrrow`
ShowAPlotA8x + .25, 1 − Hx − 1L ^ 2<, 8x, 0, 2.3<, PlotRange → 80, 2<,
”
”
Epilog → 9TextA"PHtL", 8.4, .9<E, TextA"PHt + ΛtL", 82, .7<E,
”
TextA"P'HtL", 81.1, 1.6<E=, Axes → False, DisplayFunction → IdentityE,
[email protected], .75<, 82, .5<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@[email protected], 0.75<, 81.25, 1.5<D<D,
DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
”
P'HtL
”
PHtL
”
PHt + ΛtL
53
O comprimento de arco de uma curva no espaço,
P = P(t) = (x (t), y (t), z (t)), a § t § b,
é dado pela fórmula
s=‡
b
"################################
####################
x' HtL2 + y' HtL2 + z' HtL2 „ t ,
a
Evidentemente, temos de supor que P(t) seja derivável.
EXEMPLO 1.. (AG3, pág.31) A curva dada por P(t) = (r cos wt, r sen wt, vt) é chamda hélice cilíndrica circular. Interpretando o parâmetro t como tempo, vemos que a projeção de P(t) sobre o plano Oxy é o ponto Q(t) = r ( cos wt, sen wt) que
descreve a circunferência de centro na origem e raio r, com velocidade angular w. Ao mesmo tempo, a projeção de P(t)
sobre o eixo Oz desloca-se , sobre este eixo, com velocidade v.
In[99]:=
H∗ Gráfico de uma hélice cilíndrica circular com
r = 2; ω = 1; v = 1 ê 3;
p@tD = 8r Cos@ω tD, r Sin@ω tD, v t<;
ParametricPlot3D@Evaluate@p@tDD, 8t, 0, 21<D;
-1
-2
2
0
1
-2
2 -1
0
1
r = 2, ω = 1 e v = 1ê3 ∗L
2
6
4
2
0
A velocida e a aceleração da partícula são dados por
In[60]:=
Out[61]=
Out[62]=
H∗ Velocidade aceleração da partícula ∗L
Clear@t, r, ω , vD
D@p@tD, tD
D@%, tD
8−r ω Sin@t ωD, r ω Cos@t ωD, v<
8−r ω2 Cos@t ωD, −r ω2 Sin@t ωD, 0<
A derivada ds/dt, do comprimento de arco s com relação ao parâmetro t, é obtida pela fórmula
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
P ' HtL P ' HtL . Assim,
54
In[129]:=
Out[131]=
H∗ A derivada dsêdt ∗L
Clear@t, r, ω , vD
dsdt = Sqrt@D@p@tD, tD.D@p@tD, tDD êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!
v2 + r2 ω2
Portanto, contando o comprimento de arco a partir de t = 0, obtemos s =
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!
r2 w2 + v2 t.
Agora, vamos calcular o comprimento da curva no intervalo 0 § t § 21.
In[132]:=
Out[133]=
H∗ Comprimento da curva no intervalo 0 ≤
!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!
r2 ω2 + v2 t ∗L
t ≤ 21 usando a fórmula s =
r = 2; ω = 1; v = 1 ê 3;
Sqrt@r ^ 2 ω ^ 2 + v ^ 2D 21
7
è!!!!!!
37
Podemos também usar a fórmula geral Ÿa
arco. Nesse caso, teríamos
b
In[144]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x ' HtL2 + y ' HtL2 + z ' HtL2
t para calcular o comprimento de
H∗ Comprimento da curva no intervalo 0 ≤ t ≤ 21 usando a fórmula s =
b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!
2
+ y' HtL2 + z' HtL2
t∗L
Ÿa x' HtL
r = 2; ω = 1; v = 1 ê 3;
dpdt = D@p@tD, tD;
Integrate@Sqrt@dpdt@@1DD ^ 2 + dpdt@@2DD ^ 2 + dpdt@@3DD ^ 2D, 8t, 0, 21<D
Out[147]=
7
è!!!!!!
37
A expressão s =
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!
r2 w2 + v2 t pode ser usada para exprimoir P em termos de s:
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ws
ws
vs
ÅÅÅÅ , r sen ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ , ÅÅÅÅ
ÅÅ ) onde K = r2 w2 + v2 .
P (s) = (r cos ÅÅÅÅ
K
K
K
Isto resulta num nova parametrização da hélice cilíndrica circular.
Exercícios
1. Dada a curva P(t) = (t2 + 1)i + 8tj + (t2 - 3)k, ache o vetor unitário tangente em t = 1; calcule o comprimento da curva
no trecho compreendido entre t = 0 e t = 1. Entendendo-se que P9t) representa o movimento de uma partícula, encontre a
velocidade e a aceleração do movimento no instante t.
Primeiro, vamos traçar o gráfico da curva no intervalo 0 § t § 2 e o ponto na curva correspondente a t = 1.
In[200]:=
55
H∗ Gráfico da curva no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 e o ponto P H1L ∗L
p@tD = 8t ^ 2 + 1, 8 t, t ^ 2 − 3<;
Show@ParametricPlot3D@Evaluate@p@tDD,
8t, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics3D@
[email protected], Point@82, 8, −2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
15
10
5
0
1
0
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
Agora vamos achar o vetor unitário tangente em t = 1.
In[234]:=
Out[236]=
In[242]:=
Out[243]=
H∗ Vetor unitário tangente curva em t = 1 ∗L
p@tD = 8Ht ^ 2 + 1L, 8 t, Ht ^ 2 − 3L<;
v = D@p@tD, tD;
v ê [email protected] ê. t → 1
è!!!
1
2 2
1
9 è!!! ,
,
è!!! =
3
3 2
3 2
H∗ Vetor unitário tangente curva em t = 1 ∗L
p@tD = 8Ht ^ 2 + 1L, 8 t, Ht ^ 2 − 3L<;
v = D@p@tD, tD ê. t → 1
82, 8, 2<
O plano normal à curva no ponto P(1) é o plano normal ao vetor tangente (2, 8, 2). Portanto, a sua equação é dada por 2 x
+ 8 y + 2 z + d = 0. O valor de d é obtido substituindo t = 1 nas equaçõs paramétricas de x, y e z. Assim a equação do
plano é x + 4 y + z - 32 = 0.
O comprimento da curva no trecho compreendido entre t = 0 e t =1.
56
In[1]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[6]=
Out[7]=
H∗ Comprimento da curva no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 ∗L
p@tD = 8t ^ 2 + 1, 8 t, t ^ 2 − 3<;
dpdt = D@p@tD, tD;
Integrate@Sqrt@dpdt@@1DD ^ 2 + dpdt@@2DD ^ 2 + dpdt@@3DD ^ 2D, 8t, 0, 1<D
è!!!
2 H3 + Log@16DL
H∗ Velocidade aceleração da partícula ∗L
Clear@tD
p@tD = 8t ^ 2 + 1, 8 t, t ^ 2 − 3<;
D@p@tD, tD
D@%, tD
82 t, 8, 2 t<
82, 0, 2<
A velocidade é o vetor (2t, 8, 2t) e a acelaração é o vetor (2, 0, 2).
7. Determine os pontos em que a curva P(t) = (t2 - 1, t2 + 1, 3t) corta o plano 3x - 2y - z + 7 = 0.
Achar os pontos de interseção equivale a determinar os valores de t que satisfaçam simultaneamente as equações da curva e
do plano. Assim, podemos escrever
In[25]:=
Out[26]=
H∗ Resolve a equação 3 Ht2 −1L + 2 Ht2 +1L − 3 t + 7 = 0 ∗L
3 x − 2 y − z + 7 ê. 8x → t2 − 1, y −> t2 + 1, z → 3 t<;
Solve@%
0, tD
88t → 1<, 8t → 2<<
Os valores de t nos pontos de interseção são 1 e 2. Substituindo estes valores na equação paramétrica da curva, obtemos os
pontos de interseçao da curva com o plano. Portanto,
In[29]:=
Out[29]=
Out[30]=
H∗ Substitui os valres t = 1 e t = 2 na equação da curva. ∗L
8 t2 − 1, t2 + 1, 3 t< ê. t → 1 êê Simplify
8 t2 − 1, t2 + 1, 3 t< ê. t → 2 êê Simplify
80, 2, 3<
83, 5, 6<
57
1.8 Superfícies Quadráticas
Uma superfície quadrática ué o conjunto das soluções da equação de segundo grau em x, y e z,
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Vamos examinar vários casos particulares desta equação que são representativos da situação geral.
Elipsoides
Consideremos uma elípse no plano Oyz, de equação
2
2
y
z
ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1,
b2
c2
onde suponhamos b < c < 0. Quando giramos essa elipse em torno de seu eixo Oz, obtemos a superfície ilustrada na
figura abaixo. Ela é chamada elipsóide de revolução do tipo achatado, oblato ou oblongo.
In[43]:=
H∗ Elipsóide achatado ou oblato ∗L
esferoideOblato = 82 Cos@uD Cos@vD, 2 Cos@uD Sin@vD, Sin@uD<;
ParametricPlot3D@Evaluate@esferoideOblatoD, 8u, −Pi ê 2, Pi ê 2<,
8v, 0, 2 Pi<, PlotPoints → 25, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;
1
0.5
z 0
-0.5
-1
-2
2
1
0 y
-1
-1
0
x
1
2
-2
A equação do elipsóide oblato a cima descrito é
2
2
2
y
x
z
ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1,
b2
b2
c2
com b > c.
No caso de b < c, tem-se o elipsóide alongado ou prolato.
58
In[51]:=
H∗ Elipsóide alongado ou prolato ∗L
esferoideOblato = 8Cos@uD Cos@vD, Cos@uD Sin@vD, 2 Sin@uD<;
x
-1
1
y
0.5 -0.5 0 0.5
0
1
-0.5
-1
1
2
1
z 0
-1
-2
Os elipsóides oblato e prolato são superfícies de revolução, e portanto, são elipsóides especiais. A equação do tipo
mais geral de elipsóide é
2
2
2
y
x
z
ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1,
a2
b2
c2
com a, b e c diferentes de zero.
In[61]:=
59
H∗ Elipsóide do tipo geral ∗L
esferoideOblato = 82 Cos@uD Cos@vD, 6 Cos@uD Sin@vD, 3 Sin@uD<;
5
y 0
-5
2
z 0
-2
-2
2-1
0
x 1 2
Elipsoides
Os hiperbolóides de revoluçãosão obtidos por rotação de um hipérbole em redor de um dos seus eixos. Consideremos a
hipérbole no plano Oyz, de equação
2
2
y
z
ÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1,
b2
c2
A rotação dessa hiperbóle em volta do eixo Oz resulta na superfície chamada hiperbolóide de uma folha mostrada na figura
abaixo.
60
In[153]:=
H∗ Elipsóide de uma folha ∗L
hiperboloide = 8HCos@uD − v Sin@uDL ê 2,
HSin@uD + v Cos@uDL ê 2, v<;
ParametricPlot3D@Evaluate@hiperboloideD, 8u, 0, 2 Pi, 2 Pi ê 20<,
8v, −2, 2<D;
1-1
0.5 -0.5 0 0.5
0
1
-0.5
-1
2
1
0
-1
-2
A equação do hiperpolóide de um folha em torno do eixo Oz é
2
2
2
y
x
z
ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1,
b2
b2
c2
Se efetuarmos a rotação da hipérbole em volta do eixo Oy, obtemos o chamado hiperbilóide de duas folhas de equação
2
2
2
y
x
z
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1.
- ÅÅÅÅ
c2
b2
c2
Hiperbolóides mais gerais são obtidos dos hiperbolóides acima por contração ou dilatação ao longo do eixo Ox. Isto
significa que as equações acima dão lugar às equações mais gerais,
2
2
2
2
2
2
y
y
x
z
x
z
ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1 e - ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1,
a2
b2
c2
a2
b2
c2
respectivamente.
Parabolóides
Consideremos, no plano Oyz, a parábola de equação z = y2 ê b2 . Quando girada em volta do eixo Oz ela dá origem à
superfície chamada parabolóide de revolução como mostra a figura abaixo.
61
CylindricalPlot3D@r ^ 2, 8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<D;
In[123]:=
2
0
-2
0
2
-2
8
6
4
2
0
Um parabolóide mais geral é chamado parabolóide elíptico, e é obtido do parabolóide cilíndrico por contração ou
dilatação ao longo do eixo Ox. Sua equação é
2
2
y
x
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ .
z = ÅÅÅÅ
a2
b2
Cones
62
In[145]:=
cone = 8v Cos@uD, v Sin@uD, v<;
ParametricPlot3D@Evaluate@coneD, 8u, 0, 2 Pi, 2 Pi ê 20<, 8v, −2 , 2<D;
2
1
0
-1
-2
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
Cilindros e casos degenerados
In[147]:=
cilindro = 82 Cos@uD, 2 Sin@uD, v<;
ParametricPlot3D@Evaluate@cilindroD,
8u, 0, 2 Pi, 2 Pi ê 20<, 8v, −2, 2, 2 ê 5<D;
2
1
0
-1
-2
2
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
63
Exercícios
Identifique e descreva as superfícies de equações dadas nos Exercícios 1 a 24.
1. x2 + y2 + z2 - 2 x + 4 y + 4 = 0.
Completando os quadrados , obtemos (x - 1L2 + (y + 2L2 + z2 = 1. Portanto, trata-se de uma esfera de centro (1, -2, 0)
e raio 1.
2. 4 x2 + 4 y2 - 9 z2 - 8 y - 32 = 0.
Dividindo por 4 e completando os quadrados , obtemos x2 + (y - 4L2 + 9/4 z2 = 25. Dividindo os dois membros por 25,
obtemos
Hy-4 L
z
ÅÅÅÅ5xÅ2ÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
52
H10ê3L2
2
2
2
Portanto, trata-se de um esferóide oblato de centro (0, -4, 0) e semi-eixos 5, 5, 10/3.
3. x2 + y2 - 2 y - z + 1 = 0.
Completando os quadrados , obtemos x2 + (y - 4L2 - z2 = 25. Dividindo os dois membros por 25, obtemos
Hy-4 L
z
ÅÅÅÅ5xÅ2ÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
52
H10ê3L2
2
2
2
Portanto, trata-se de um esferóide oblato de centro (0, -4, 0) e semi-eixos 5, 5, 10/3.
64
1.9 Espaço Euclidiano de n Dimensões
Até agora só consideramos vetores no plano e no espaço. Eles foram identificados por pares e ternos de números reais.
Todas as operaç!oes com vetores -- soma, multiplicação por escalar, produto escalar foram definidos para esses pares e
ternos de números. Essencialmente, as mesmas definições podem ser dadas para quádruplas, quíntuplas e, em geral,
para ênuplas de números reais (x1 , x2 ,. . . , xn ).
Assim, sendo
x = (x1 , x2 ,. . . , xn ) e y = (y1 , y2 ,. . . , yn ),
ênuplas quaisquer, definimos sua soma como sendo
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ,. . . , xn + yn );
o produto da ênupla x por qualquer escalar r é a ênupla
rx = (rx1 , rx2 ,. . . , rxn )
e o produto escalar de x e y é assim definido
x • y = x1 xy1 + x2 y2 + . . + xn yn .
Nestas definições, n é um inteiro positivo qualquer O conjunto de todas as ênuplas de números reais, com n fixo, com
as operações adotadas acima, é o que chamamos espaço euclidiano de n dimensões e que indicaremos com o símbolo
Rn . As ênuplas são chamadas pontos ou vetores desse espaço.
O comprimento, norma ou módulo de um vetor x = (x1 , x2 ,. . . , xn ) é definido em termo do produto escalar:
è!!!!!!!!!!
. . #.#######
+ x#2n##
x21 + x22 +########
|x| = x • x = "################
Em termo desse conceito, introduzimos também a noção de distância de dois pontos x e y, que indicamos d(x, y):
"################################
################################
########################
d(x, y) = |x - y| = Hx1 - y1 L2 + Hx2 - y2 L2 + . . . + Hxn - yn L2
CAPÍTULO 2
Funções de Várias Variaveis
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
2.1 Funções e Gráficos
O conceito de função de várias variáveis reais é análogo ao de funções deuma variável real. Por exemplo, as equações
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
z = x2 + y2 e z = 1 - x2 - y2
exprimem z como função de x e y. Em abos os casos, z é a variável dependente e x e y são as variáveis independente. O
domínio da função do primeiro exemplo o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano, ao passo que, no segundo
exemplo, o domínio máximo da função é o círculo {(x, y): x2 + y2 § 1.
Em geral, z é uma função de x e y se existe uma correspondência f que a cada ponto P = (x, y) de um certo conjunto D
do plano associa um valor z. D é o domínio da função f, x e y são as variáveis independentes e z é a variável dependente. Escreve-se z = f(x, y) ou z = f(P).
As funções de várias variáveis são introduzidas do mesmo modo que as fun;cões de duas variáveis. Assim, dizemos
que az é função de x1 x2 , . . ., xn se a cada ponto P = (x1 x2 , . . ., xn ) de um domínio D do espaço n corresponde,
segunda uma lei determinada f, um vlor z. Escreve-se
z = f (x1 x2 , . . ., xn ).
As funções mais simples são as funções lineare, ou seja, funções do tipo z = a x + b y + c onde a, b e c são constantes.
Essa equação, que é equivalente a a x + b y - z = - c, representa, como sabemos, um plano perpendicular ã direção v = (x,
y, - 1) e que passa pelo ponto
2
-c
P0 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ (a, b, - 1).
a2 + b2 + 1
Este plano, representado na figura abaixo, é o gráfico da função.
In[2]:=
H∗ Gráfico da função z = x + y + 1 ∗L
triangulo := Polygon@881, 0, 0<, 80, 1, 0<, 80, 0, 1<<D
1
y 0.75
0.5
0.25
0
1
0.75
z
0.5
0.25
0
0
0.25
0.5
x
0.75
1
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A equação x 2 + y2 + z2 = 1, quando resolvida em relação a z, nos permite definir duas funções, z = 1 - x2 - y2 e z
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
= - 1 - x2 - y2 . Ambas têm por domínio o círculo de centro na origem e raio 1., x2 + y2 § 1. SEus gráficos são os
hemisferos superior e inferior da esfera x 2 + y2 + z2 = .1, ilustrados abaixo.
In[10]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função z = 1 − x2 − y2 ∗L
ParametricPlot3D@8Cos@uD Cos@vD, Sin@uD Cos@vD, Sin@vD<, 8u, 0, 2 Pi<,
8v, 0, Pi<, PlotPoints → 17, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;
1
0.75
z
0.5
0.25
0
-1
-0.5
1
0.5
0 y
-0.5
0
x
0.5
1
-1
In[11]:=
3
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ Gráfico da função z =− 1 − x2 − y2 ∗L
ParametricPlot3D@8Cos@uD Cos@vD, Sin@uD Cos@vD, Sin@vD<, 8u, 0, 2 Pi<,
8v, Pi, 2 Pi<, PlotPoints → 17, AxesLabel → 8"x", "y", "z"<D;
0
-0.25
z
-0.5
-0.75
-1
-1
-0.5
1
0.5
0 y
-0.5
0
x
0.5
1
-1
A função z = x2 + y2 , definida em todo o plano, tem por gráfico um parabolóide de revolução em torno do eixo Oz,
ilustrado na figura abaixo.
In[12]:=
H∗ Gráfico da função z = x2 + y2 ∗L
CylindricalPlot3D@r ^ 2, 8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<D;
2
0
-2
0
2
-2
8
6
4
2
0
Toda função do tipo z = f Hx2 + y2 L têm por gráficos uma superfície de revolução em torno do eixo Oz. Asim , os
gr;aficos das funções
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
2
2 è!!!!!!!!!!!!!!!!
3ê2
e z = ex + y x2 + y2 + 1 são todos
z = log(1 - x2 + y2 ), z = (2 - x2 + y2 )/(1 - x2 - y2 ), z = tgHx2 + y2 L
superfícies de revolução em torno do eixo Oz, como mostra as figuras abaixo.
4
In[24]:=
H∗ Gráfico da função z = logI1 −
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
x2 + y2 M ∗L
Clear@rD;
CylindricalPlot3D@Log@1 − rD, 8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<D;
0.5
-0.5
0
0
0.5
-0.5
0
-1
-2
Toda função z = x2 + y2 , definida em todo o plano, tem por gráfico um parabolóide de revolução em torno do eixo Oz,
ilustrado na figura abaixo.
In[59]:=
H∗ Gráfico da função z = I2 +
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
x2 + y2 MëH1 − x2 − y2 L ∗L
Clear@rD;
CylindricalPlot3D@H2 + rL ê H1 − r ^ 2L, 8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<, PlotPoints → 20D;
-2
2
10
0
-10
0
2
-2 0
2
In[71]:=
5
H∗ Gráfico da função z = tgHx2 + y2 L
∗L
Clear@rD;
CylindricalPlot3D@Tan@r ^ 3D,
8r, 0, 3<, 8θ, 0, 2 Pi<, ViewPoint → 81.2, 1.2, 1.2<D;
3ê2
-2
0
-2
0
2
2
4
2
0
-2
-4
Além da representação gráfica de uma função de duas variáveis, z = f(x, y), por uma superfície no espaço, outro modo
muito conveniente de visualizar geometricamente a função consiste em representar, no plano Oxy, as chamadas curvas
de nível desta função. Quando atribuimos a z um valor constante k, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a
equação f(x, y), = k formam, em geral, uma curva Ck , que é chamada curva de nível da função f correspondente ao
valor z = k. Quando consideramos várias curvas de nível de uma dada função f, podemos formar uma idéia da super2
2
fície que é o gráfico dessa função. Na figura abaixo a função z = f(x, y) = 2 e-x - y Hx2 - y2 L é ilustrada por estes dois
tipos de representação gráfica.
H∗ A função z = 2 e−x − y Hx2 − y2 L ∗L
Clear@x, yD;
f@x_, y_D := 2 Exp@−x ^ 2 − y ^ 2D Hx ^ 2 − y ^ 2 L
2
In[110]:=
In[120]:=
2
H∗ Gráficos da função z =
2 e−x − y Hx2 − y2 L nas formas de superfície e mapa de curvas de níveis ∗L
p1 = Plot3D@f@x, yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, PlotPoints → 20,
BoxRatios → 81, 1, 1<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = ContourPlot@f@x , yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, ContourShading → False,
Contours → 10, DisplayFunction → Identity D;
p3 = ContourPlot@f@x , yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, ColorFunction → Hue,
2
2
6
In[120]:=
2 e−x − y Hx2 − y2 L nas formas de superfície e mapa de curvas de níveis ∗L
Show@GraphicsArray@8p1, p2, p3<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
2
0
1
2
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-1
-2
2
0.5
0
-0.5
-2
-1
0
1
2
-2
-2
-1
0
1
2
-2
-2
-1
0
1
2
A função z = x2 - y2 tem por curvas de níveis as hiperbóles x2 - y2 = k. A figura abaixo mostra os gráficos da função z
= x2 - y2 nas formas de superfície e de mapa de curva de níveis.
In[100]:=
In[106]:=
In[106]:=
H∗ A função z = x2 − y2 ∗L
Clear@x, yD;
f@x_, y_D := x ^ 2 − y ^ 2
x2 − y2 nas formas de superfície e mapa de curvas de níveis ∗L
p1 = Plot3D@f@x, yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, PlotPoints → 15,
p2 = ContourPlot@f@x , yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, ContourShading → False,
p3 = ContourPlot@f@x , yD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<, ColorFunction → Hue,
x2 − y2 nas formas de superfície e mapa de curvas de níveis ∗L
Show@GraphicsArray@8p1, p2, p3<D, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
0
1
2
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-1
-2
2
4
2
0
-2
-4
-2
-1
0
1
2
-2
-2
-1
0
1
2
-2
-2
-1
0
1
2
7
2.2 Limite e Continuidade
Dado um ponto P0 = Hx0 , y0 L e um número d > 0, chama-se vizinhança d de P0 que se indica com o símbolo
Vd (P0 ), ao conjunto dos pontos P = (x, y) cuja distância a P0 é menor que d:
Vd (P0 ), = {P: |P - P0 | < d,
"################################
########
#
#####
ou |P - P0 | = Hx - x0 L2 + Hy - y0 L2 < d.
No caso do espaço 3 , a vizinhança Vd (P0 ) é definida pela condição
"################################
########################################
|P - P0 | = Hx - x0 L2 + Hy - y0 L2 + Hz - z0 L2 < d,
e por uma desigualdade análoga no caso de n .
Diz-se que um ponto P é ponto interior de um conjunto C se existe uma vizinhança de P toda contida em C. Diz-se
que um ponto Q é ponto de fronteira de C se qualquer vizinhança de Q contém pontos de C e pontos fora de C. A
fronteira de C é o conjunto de todos os seus pontos de fronteira. Um conjunto diz-se aberto se não contém qualquer
ponto da sua fronteira, e fechado se contém toda a fronteira.
Diz-se que uma função f, com domínio D, tem limite L com P tendendo a P0 se, dado e ? 0 existe d > 0 tal que
0 < |P - P0 | < d e P œ D fl | f(P) - L | < e
ou seja
P œ [Vd (P0 ) - 8P0 <D › D fl » f HPL - L » < e.
A função f(x, y) = x y ê Hx2 + y2 L, Hx, yL ∫ (0, 0), não tem limite com P = (x, y) Ø 0 = (0, 0) no sentido ordinário.
8
2.3 Derivadas parciais
Seja f uma função de duas variáveis, definidas numa vizinhança de um ponto Hx0 , y0 L. Como já notamos, o gráfico de f
é, em geral, uma superfície no espaço. Se fixarmos uma das variáveis, digamos, y = y0 , obtemos uma função z =
fHx, y0 L da única variável x. Sua derivada, que é o limite da razão incremental
f Hx + h, y0 L - f Hx0 , y0 L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
h
com h Ø 0, quando existe, é chamada derivada parcial de f em relação a x no ponto . Ela costuma ser indicada com os
símbolos
∑f
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ Hx0 , y0 L,
∑x
fx Hx0 , y0 L,
∑z
ÅÅÅÅ
ÅÅ ,
∑x
f1 Hx0 , y0 L.
É importante observar que fx , ∑f/∑x, etc., significa a derivada de f em relação a primeira variável. Asim, quando
escrevemos
∑f
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ Hx2 + y2 , yL
∑x
é preciso primeiro derivar fHx, yL em relação a x para depoissubstituir x por x2 + y2 .
Como a derivada é o declive do gráfico no caso de funções de uma variável., a derivada parcial fx Hx0 , y0 L é o declive,
no ponto Hx0 , y0 L, da curva C y0 , interseção do gráfico de f com o plano y = y0 .
De maneira inteiramente análoga define-se a derivada parcial f y Hx0 , y0 L , que é o declive da curva Dx0 , interseção do
gráfico de f com o plano x = x0 .
No Mathematica a deivada parcial de f(x, y) em relação a x é dada pelo comando D[f, x]. Analogamente, a derivada parcial em relação a y é dada pelo comando D[f, y].
Seja f(x, y) = x2 + y3 . Então,
In[81]:=
In[83]:=
Out[83]=
H∗ A função f Hx,yL = x2 + y2 ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x ^ 2 + y ^ 3
H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a x ∗L
D@f@x, yD, xD
2x
In[84]:=
Out[84]=
In[90]:=
In[92]:=
Out[92]=
9
H∗ Derivada parcial da função f
Hx,yL em relação a x no ponto Hx2 + y2 , y2 L ∗L
D@f@x, yD, xD ê. x → x ^ 2 + y ^ 2
2 Hx2 + y2 L
H∗ A função g Hx,yL = Hx2 + y2 L + y3 ∗L
Clear@x, y, gD;
g@x_, y_D := Hx ^ 2 + y ^ 2L ^ 2 + y ^ 3
2
H∗ Derivada parcial da função g Hx,yL em relação a x ∗L
D@g@x, yD, xD
4 x Hx2 + y2 L
∑f
∑
ÅÅÅÅ Hx2 + y2 , yL ∫ ÅÅÅÅ
ÅÅ fHx2 + y2 , yL.
Note que ÅÅÅÅ
∑x
∑x
Dada a função f(x, y) = cos x y + x2 y3 , temos
In[98]:=
In[100]:=
Out[100]=
In[101]:=
Out[101]=
In[103]:=
Out[103]=
In[104]:=
Out[104]=
In[105]:=
Out[105]=
H∗ A função f Hx,yL = cos xy + x3 y3 ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Cos@x yD + x ^ 3 y ^ 3
D@f@x, yD, xD
3 x2 y3 − y Sin@x yD
H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a y ∗L
D@f@x, yD, yD
3 x3 y2 − x Sin@x yD
H∗ Derivada parcial segunda da função f Hx,yL em relação a x ∗L
D@f@x, yD, 8x, 2<D
6 x y3 − y2 Cos@x yD
H∗ Derivada parcial segunda da função f Hx,yL em relação a y ∗L
D@f@x, yD, 8y, 2<D
6 x3 y − x2 Cos@x yD
H∗ Derivada parcial mista da função f
Hx,yL em relação a x e em seguida em relação a y ∗L
D@f@x, yD, x, yD
9 x2 y2 − x y Cos@x yD − Sin@x yD
10
In[106]:=
Out[106]=
H∗ Derivada parcial mista da função f
Hx,yL em relação a y e em seguida em relação a x ∗L
D@f@x, yD, y, xD
9 x2 y2 − x y Cos@x yD − Sin@x yD
Observe que, neste caso, as derivadas fxy e fyx são iguais. Isso ocorre na quase totalidade das funções com que lidamos
na prática, mas não é uma propriedade evidente, em geral, como ilustra o exemplo seguinte.
Vamos mostrar que no caso da função f(x, y) = x y (x2 - y2 )/(x2 + y2 ), fxy (0, 0) ∫ fyx (0, 0)
In[107]:=
In[127]:=
Out[127]=
In[126]:=
Out[126]=
H∗ A função f Hx,yL = x y Hx2 − y2 LêHx2 + y2 L ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x y Hx ^ 2 − y ^ 2L ê Hx ^ 2 + y ^ 2L
H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a x em x → 0
D@f@x, yD, xD ê. x → 0
∗L
−y
H∗ Derivada parcial da função f Hx,yL em relação a y em
D@f@x, yD, yD ê. y → 0
y → 0 ∗L
x
TEOREMA. Suponhamos que uma função f seja definida, contínua e tenha derivada contínuas, fx , f y e fxy numa
vizinhança Vd de um ponto P0 = Hx0 , y0 L. Então fxy Hx0 , y0 L ∫ fyx Hx0 , y0 L.
Exercícios
(pág. 60)
Calcule as derivadas parciais ∑z/∑x e ∑z/∑y das funções dadas nos Exercícios 1 a 15.
1. z = 3 x2 y3 - 5 x3 y2 .
In[128]:=
In[130]:=
Out[130]=
H∗ A função z = 3 x2 y 3 −5 x3 y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 3 x ^ 2 y ^ 3 − 5 x ^ 3 y ^ 2
D@f@x, yD, xD
−15 x2 y2 + 6 x y3
In[131]:=
Out[131]=
11
D@f@x, yD, yD
−10 x3 y + 9 x2 y2
2. z = (x2 - y2 )/(1 + x2 + y2 ).
In[132]:=
In[135]:=
Out[135]=
In[136]:=
Out[136]=
H∗ A função z = Hx2 −y 2 LêH1+x2 +y2 L. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Hx ^ 2 − y ^ 2L ê H1 + x ^ 2 + y ^ 2L
D@f@x, yD, xD êê Simplify
2 Hx + 2 x y2 L
H1 + x2 + y2 L2
D@f@x, yD, yD êê Simplify
2 Hy + 2 x2 yL
H1 + x2 + y2 L2
−
3. z = exêy .
In[137]:=
In[139]:=
H∗ A função e = exêy . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@x ê yD
D@f@x, yD, xD
xêy
Out[139]=
In[140]:=
Out[140]=
y
D@f@x, yD, yD
−
4. z = esen x
In[141]:=
In[143]:=
Out[143]=
xêy
x
y2
è!!!!
y
.
H∗ A função e = esen x y . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@Sin@xD Sqrt@yDD
è!!!!
D@f@x, yD, xD
è!!!!
y Sin@xD
è!!!
y Cos@xD
12
In[144]:=
D@f@x, yD, yD
è!!!!
y Sin@xD
Sin@xD
è!!!
2 y
Out[144]=
2
5. z = x3 e y .
H∗ A função e = x3 ey . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x ^ 3 Exp@y ^ 2D
2
In[145]:=
In[147]:=
Out[147]=
In[148]:=
Out[148]=
D@f@x, yD, xD
3
y2
2
y2
x2
D@f@x, yD, yD
x3 y
6. z = yx .
In[149]:=
In[151]:=
Out[151]=
In[152]:=
Out[152]=
H∗ A função z = yx . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := y ^ x
D@f@x, yD, xD
yx Log@yD
D@f@x, yD, yD
x y−1+x
In[153]:=
In[155]:=
Out[155]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!
1 + x2 y4 .
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função z = cos 1 + x2 y4 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Cos@Sqrt@1 + x ^ 2 y ^ 4DD
7. z = cos
D@f@x, yD, xD
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x y4 SinA 1 + x2 y4 E
−
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
1 + x2 y4
In[156]:=
Out[156]=
D@f@x, yD, yD
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 x2 y3 SinA 1 + x2 y4 E
−
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
1 + x2 y4
In[159]:=
Out[159]=
In[160]:=
Out[160]=
è!!!!!
x3 .
è!!!!!!
H∗ A função z = log y2 x3 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Log@y ^ 2 Sqrt@x ^ 3DD
8. z = log y2
In[157]:=
D@f@x, yD, xD
3
2x
D@f@x, yD, yD
2
y
9. z = ( sin x2
In[161]:=
13
è!!!!
è!!!
y )/(cos y2 x )
H∗ A função z = Isin x2
è!!!
è!!!
y MëIcos y2 x M. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Sin@x ^ 2 Sqrt@yDD ê Cos@y ^ 2 Sqrt@xDD
In[166]:=
Out[166]=
In[165]:=
Out[165]=
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
y SecA x y2 E I4 x3ê2 CosAx2 y E + y3ê2 SinAx2 y E TanA x y2 EM
è!!!
2 x
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
x SecA x y2 E Ix3ê2 CosAx2 y E + 4 y3ê2 SinAx2 y E TanA x y2 EM
è!!!
2 y
10. z = x2
In[167]:=
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!
x2 + y2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função z = x2 x2 + y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x ^ 2 Sqrt@x ^ 2 + y ^ 2D
14
In[172]:=
Out[172]=
In[170]:=
Out[170]=
In[1]:=
Out[1]=
3 x3 + 2 x y2
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 + y2
x2 y
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 + y2
2+2
4
11. z = arc sen
In[2]:=
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!
x2 + y4
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função z = arc sen x2 + y4 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := ArcSin@ Sqrt@x ^ 2 + y ^ 4DD
x
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
−H−1 + x2 + y4 L Hx2 + y4 L
2 y3
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
−H−1 + x2 + y4 L Hx2 + y4 L
12. z = arc tg x2 y3
In[6]:=
In[8]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[9]=
H∗ A função z = arc tg x2 y 3 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := ArcTan@x ^ 2 y ^ 3D
2 x y3
1 + x4 y6
3 x2 y2
1 + x4 y6
15
13. z = x3 cos xy2
In[10]:=
In[12]:=
Out[12]=
In[13]:=
Out[13]=
H∗ A função z = x3 cos xy2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x ^ 3 Cos@x y ^ 2D
x2 H3 Cos@x y2 D − x y2 Sin@x y2 DL
−2 x4 y Sin@x y2 D
14. z = sen(xy) log(x2 - y2 )
In[14]:=
In[16]:=
Out[16]=
In[17]:=
Out[17]=
H∗ A função z = sen HxyL log Hx2 − y 2 L. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Sen@x yD Log@x ^ 2 − y ^ 2D
2 x Sen@x yD
+ y Log@x2 − y2 D Sen @x yD
x2 − y2
2 y Sen@x yD
+ x Log@x2 − y2 D Sen @x yD
−x2 + y2
15. z = x2ê3 tg (xy/(1 + x2 y4 )
In[151]:=
In[153]:=
H∗ A função z = x2ê3 tg HxyêH1 + x2 y4 L. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x ^ H2 ê 3L Tan@x y ê H1 + x ^ 2 y ^ 4LD
Sec@
Out[153]=
In[155]:=
Out[155]=
xy
1+x2 y4
D2 I3 x y − 3 x3 y5 + H1 + x2 y4 L Sin@
3 x1ê3 H1 +
x2 y4 L2
2
2xy
1+x2 y4
DM
−
x5ê3 H−1 + 3 x2 y4 L Sec@
H1 + x2 y4 L2
xy
1+x2 y4
D2
16
Mostre que as funções dos Exercícios 34 a 40 satisfazem a equação deferencial parcial zxx + zyy = 0, chamada equação de
Laplace
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
34. z = log x2 + y2
In[133]:=
H∗ A função z = log
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
x2 + y2 M. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Log@Sqrt@x ^ 2 + y ^ 2DD
In[135]:=
Out[135]=
H∗ Verificar se f satisfaz à equação de Laplace ∗L
D@f@x, yD, 8x, 2<D + D@f@x, yD, 8y, 2<D
0 êê Simplify
True
35. z = arc tg(y/x)
In[136]:=
In[138]:=
Out[138]=
H∗ A função z = arc tg HyêxL. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := ArcTan@y ê xD
D@f@x, yD, 8x, 2<D + D@f@x, yD, 8y, 2<D
0 êê Simplify
True
36. z = x3 - 3 xy2 .
In[139]:=
In[141]:=
Out[141]=
H∗ A função z = x3 − 3 x y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x ^ 3 − 3 x y ^ 2
D@f@x, yD, 8x, 2<D + D@f@x, yD, 8y, 2<D
0 êê Simplify
True
37. z = ex cos y
In[142]:=
In[144]:=
Out[144]=
H∗ A função z = ex cos y. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@xD Cos@yD
D@f@x, yD, 8x, 2<D + D@f@x, yD, 8y, 2<D
0 êê Simplify
True
37. z = ex sen y
In[145]:=
H∗ A função z = ex sen y. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@xD Sin@yD
In[147]:=
Out[147]=
17
D@f@x, yD, 8x, 2<D + D@f@x, yD, 8y, 2<D
0 êê Simplify
True
39. z = y ê Hx2 + y2 L
In[148]:=
In[150]:=
Out[150]=
H∗ A função z = yêHx2 + y2 L. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := y ê Hx ^ 2 + y ^ 2L
D@f@x, yD, 8x, 2<D + D@f@x, yD, 8y, 2<D
0 êê Simplify
True
40. z = x ê Hx2 + y2 L
In[130]:=
In[132]:=
Out[132]=
H∗ A função z = xêHx2 + y2 L. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x ê Hx ^ 2 + y ^ 2L
D@f@x, yD, 8x, 2<D + D@f@x, yD, 8y, 2<D
0 êê Simplify
True
41. Seja f uma função de uma variável, derivável até a segunda ordem. Demostre que z = f(x - ct) satisfaz a chamada
equação da onda zxx - H1 ê cL zyy = 0, onde c é uma constante.
In[127]:=
In[129]:=
Out[129]=
H∗ A função z = f Hx − ctL. ∗L
Clear@x, t, fD;
f@x_, t_D := x − c t
H∗ Verificar se f satisfaz à equação da onda ∗L
D@f@x, tD, 8x, 2<D − D@f@x, tD, 8t, 2<D
0 êê Simplify
True
42. Mostre que a função z = e-x
onde c é uma constante.
In[124]:=
In[126]:=
Out[126]=
2
ê4 k t ë è!!
t
satisfaz a chamada equação da difusão ou equação do calor, zt = k zxx = 0,
H∗ A função z = f Hx − ctL. ∗L
Clear@x, t, fD;
f@x_, t_D := 1 ê Sqrt@tD Exp@−x ^ 2 ê H4 k tLD
H∗ Verificar se f satisfaz à equação do calor ∗L
D@f@x, tD, tD − k D@f@x, tD, 8x, 2<D
0 êê Simplify
True
18
2.4 Diferenciabilidade
Quando uma função de um variável é derivável, ela é também contínua. Isto não é mais verdade em se tratando de
funções de mais de uma variável, como mostra o exemplo seguinte.
Seja f a função dada por f(0, 0 ) = 0 e f(x, y) = x y ê Hx2 + y2 L, se Hx, yL ∫ (0, 0). Vimoa na seção 2.2 que essa função é
descontínua na origem. Não obstante isso, ela é derivável em relação a x e a y neste mesmo ponto. De fato, as duas
derivadas parciais são iguais a zero no ponto (0, 0), como podemos ver:
In[158]:=
In[160]:=
H∗ A função f Hx, yL = xyêHx2 + y2 L
Clear@x, yD;
f@x_, y_D := x y Hx2 + y2 L
∗L
H∗ Derivadas parciais de f Hx,yL no ponto H0, 0L ∗L
D@f@x, yD, xD ê. 8x −> 0, y −> 0<
D@f@x, yD, yD ê. 8x −> 0, y −> 0<
Out[160]=
0
Out[161]=
0
Diz-se que uma função z = f(x, y) é diferenciável num ponto Hx0 , y0 L se existe um plano pelo ponto
Hx0 , y0 , f Hx0 , y0 L L , de equação
Z = f Hx0 , y0 L + A (x - x0 ) + B (y - y0 )
tal que a diferença de f(x, y) - Z
"################################
##############
Hx - x0 L2 + Hy - y0 L2 quando r Ø 9,
seja um infinitésimo de ordem superior em comparação com
r =
O conceito de diferenciabilidade assegura a continuidade da função. De fato,
Uma função f, que é diferenciável num ponto Hx0 , y0 L é contínua nesse ponto. Ademais, f terá derivadas parciais de
primeira ordem neste ponto. Além disso, numa vizinhança do ponto (x0 , y0 ) o plano de equação
Z = f(x0 , y0 ) + fx Hx0 , y0 L Hx - x0 L + f y Hx0 , y0 L Hy - y0 L
aproxima o gráfico de
relação a r com r Ø 0:
z = f(x, y) no sentido de que a diferença f(x, y) - Z é um diferencial de ordem superior em
f Hx, yL - Z
ÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø 0 com r Ø 0.
f(x, y) - Z = o(r) ou h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
r
19
Geometricamente, o plano de equação Z = f(x0 , y0 ) + fx Hx0 , y0 L Hx - x0 L + f y Hx0 , y0 L Hy - y0 L e a superfície z = f(x, y)
têm, no ponto Hx0 , y0 L , contato de ordem ¥ 1. Podemos dizer, então, que a distância f(x, y) - Z, entre a superfície e o
plano ao longo das perpendiculares ao plano Oxy, tendem a zero mais depressa que r.
Determinar a equação do plano tangente ao hiperbolóide z = 10 - x2 - 2 y2 no ponto (1, 2). Esboçe o parabolóide e o plano
tangente.
In[62]:=
Out[66]=
In[97]:=
H∗ Equação do plano tangente ao hiperbolóide no ponto H1, 2L ∗L
Clear@x, yD;
f@x_, y_D := 10 − x2 − 2 y2
fx = D@f@x, yD, xD ê. 8x → 1, y → 2<;
fy = D@f@x, yD, yD ê. 8x → 1, y → 2<;
z = f@1, 2D + fx Hx − 1L + fy Hy − 2L êê Expand
19 − 2 x − 8 y
H∗ Gráfico hiperbolóide e do plano tangente no ponto H1, 2L ∗L
p1 = Plot3D@f@x, yD, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = Plot3D@z, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<,
PlotPoints → 10, DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2<, ViewPoint → 82.3, −2.2, 0.8<,
50
0
-50
-5
-2.5
0
0
2.5
2.5
5
-2.5
5-5
In[30]:=
Plot3D@Sqrt@Abs@x yDD, 8x, −10, 10<, 8y, −10, 10<, PlotPoints → 15D;
10
7.5
5
2.5
0
-10
0
10
5
0
-5
-5
0
5
10 -10
20
Exercícios
(pág. 69)
Calcule as diferenciais de cada uma das funções dadas nos Exercícios 1 a 10.
1. z = ex y2
In[162]:=
In[173]:=
Out[175]=
H∗ A função z = ex y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@xD y2
H∗
fx
fy
df
x
Diferencial da função z = ex y2 . ∗L
= D@f@x, yD, xD;
= D@f@x, yD, yD;
= fx dx + fy dy êê Simplify
y H2 dy + dx yL
O diferencial da função dada é y2 ex dx + 2yex dy.
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
2. z = x2 1 + xy2
In[176]:=
In[178]:=
Out[180]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função z = x2 1 + xy2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_, y_D := x2 1 + x y2
H∗
fx
fy
df
Diferencial da função z = x2
= D@f@x, yD, xD;
= D@f@x, yD, yD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!2!!
1 + xy . ∗L
x H2 dy x2 y + dx H4 + 5 x y2 LL
è!!!!!!!!!!!!!!!!
2 1 + x y2
O diferencial da função dada é ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ dx + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ dy.
è!!!!!!!!ÅÅÅÅÅÅÅÅ
!!!!!!!!!
è!!!!!!!!ÅÅÅÅÅÅÅÅ
!!!!!!!!!
2
2
4 x + 5 x2 y2
2 1+x y
2 x3 y
2 1+x y
O diferencial da função dada é y2 ex dx + 2yex dy.
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
3. z = log x2 + y2
In[229]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função z = log x2 + y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_, y_D := LogA x2 + y2 E
In[231]:=
H∗
fx
fy
df
21
Diferencial da função z = log
= D@f@x, yD, xD;
= D@f@x, yD, yD;
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
x2 + y2 . ∗L
dx x + dy y
x2 + y2
Out[233]=
y
x
O diferencial da função dada é ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ dx + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ dy.
x2 + y2
x2 + y2
4. z = x2 y3 z4
In[200]:=
In[202]:=
Out[205]=
H∗ A função z = x2 y3 z4 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x2 y3 z4
H∗
fx
fy
fz
df
Diferencial da
= D@f@x, y, zD,
= D@f@x, y, zD,
= D@f@x, y, zD,
= fx dx + fy dy
função z = x2 y3 z4 . ∗L
xD;
yD;
zD;
+ fz dz êê Simplify
x y2 z3 H4 dz x y + 3 dy x z + 2 dx y zL
O diferencial da função dada é 2 x y3 z4 dx + 3 x 2 y2 z4 dy + 4 x 2 y3 z3 dz.
2
5. z = ex y2 z3
In[206]:=
In[208]:=
Out[211]=
H∗ A função z = ex y2 z3 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := Exp@xD2 y2 z3
2
H∗
fx
fy
fz
df
2x
Diferencial da
= D@f@x, y, zD,
= D@f@x, y, zD,
= D@f@x, y, zD,
= fx dx + fy dy
função z = ex y2 z3 . ∗L
xD;
yD;
zD;
+ fz dz êê Simplify
2
y z2 H3 dz y + 2 Hdy + dx yL zL
O diferencial da função dada é 2 y2 z3 e2 x dx + 2 y z3 e2 x dy + 3 y2 z2 e2 x dz.
6. z = x2 ê y
In[219]:=
H∗ A função z = x2 êy . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x2 ê y
22
In[221]:=
Out[223]=
H∗
fx
fy
df
Diferencial da função z = x2 êy . ∗L
= D@f@x, yD, xD;
= D@f@x, yD, yD;
x H−dy x + 2 dx yL
y2
2xy
2
O diferencial da função dada é ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ dx - ÅÅÅÅyx2ÅÅÅ dy.
y2
y
7. z = x2 sen ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
x2 + 1
In[224]:=
In[226]:=
Out[228]=
H∗ A função z = x2 senHyêHx2 + 1LL . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x2 Sin@y ê Hx2 + 1LD
H∗
fx
fy
df
x Ix Hdy + dy x2 − 2 dx x yL Cos@
In[236]:=
Out[238]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!
1 + x2 y2
H1
y
1+x2 D
+ x2 L2
+ 2 dx H1 + x2 L Sin@
2
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função z = arc tg 1 + x2 y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := ArcTan@1 + x2 y2 D
8. z = arc tg
In[234]:=
Diferencial da função z = x2 senHyêHx2 + 1LL . ∗L
= D@f@x, yD, xD;
= D@f@x, yD, yD;
H∗
fx
fy
df
Diferencial da função z = arc tg
= D@f@x, yD, xD;
= D@f@x, yD, yD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!
1 + x2 y2 . ∗L
2 x y Hdy x + dx yL
2 + 2 x2 y2 + x4 y4
9. z = ÅÅÅÅxy + ÅÅÅÅxy
In[239]:=
In[241]:=
Out[243]=
H∗ A função z = xêy + yêx . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x ê y + y ê x
H∗
fx
fy
df
−
Diferencial da função z = xêy + yêx . ∗L
= D@f@x, yD, xD;
= D@f@x, yD, yD;
Hdy x − dx yL Hx2 − y2 L
x2 y2
y
1+x2
DM
23
x- y
10. z = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
x+ y
In[249]:=
In[251]:=
Out[253]=
H∗ A função z = Hx − yLêHx + yL . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Hx − yL ê Hx + yL
H∗
fx
fy
df
Diferencial da função z = Hx - yLêHx + yL . ∗L
= D@f@x, yD, xD;
= D@f@x, yD, yD;
−2 dy x + 2 dx y
Hx + yL2
2.5 Derivada direcional e Gradiente
Uma função diferenciável possui derivadas em todas as direções e não apenas nas direções i = (1, 0) e j = (0, 1), que
são as derivadas fx e f y , respectivamente.
÷a” = (cos q, sen q) = cos q i + sen q j
Seja f uma função de duas variáveis e
uma direção qualquer no plano Oxy. Chama-se derivada de f na direção ÷a” , no ponto P = (x, y), ao seguinte limite,
÷” , “÷” f ou D÷” f:
quando existe, indicado pelos símbolos ∑f/∑a
a
a
÷”
∑f
f HP + t aL - f HPL
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ .
÷Å”ÅÅÅ = (“÷a” f )(P) = (D÷a” f)(P) = limt Ø 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
t
∑a
Fazendo t Ø 0, obtemos
(D÷a” f)(x, y) = fx (x, y) cos q + f y (x, y) sen q
Vamos calcular a derivada da função f(x, y) = x2 y na direção (2, 1) no ponto (-1, 2). Como (2, 1) não é unitário, devemos
primeiro normalizá-lo para encontrar o vetor unitário ÷a” com a mesma direção e sentido do vetor:
In[57]:=
H∗ A função f Hx, yL = x2 y . ∗L
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := x2 y
24
In[59]:=
Out[60]=
In[61]:=
Out[62]=
H∗ O vetor unitário ”
α . ∗L
v = 81, 2<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
1
2
9 è!!! , è!!! =
5
5
H∗ Derivada direcional no ponto H−1, 2L na direção H1, 2L ∗L
8x0, y0< = 8−1, 2<;
D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<
2
− è!!!
5
Seja calcular a derivada da função f(x, y) = xy (x + y) na direção (2, -3) no ponto (x, y).
In[11]:=
In[13]:=
Out[14]=
In[16]:=
Out[16]=
H∗ A função f Hx, yL = x y Hx + yL . ∗L
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := x y Hx + yL
α . ∗L
v = 82, −3<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
2
3
9 è!!!!!! , − è!!!!!! =
13
13
H∗ Derivada direcional no ponto H−1,2L ∗L
D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD êê Simplify
−3 x2 − 2 x y + 2 y2
è!!!!!!
13
Gradiente
O gradiente de f, indicado por “ f ou grad f, é o vetor
In[1]:=
∑ f ÷”
∑ f ÷”
ÅÅÅÅ i + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ j
“ f = grad f = ÅÅÅÅ
∑x
∑y
H∗ Pacote Add−on: Calculus`VectorAnalysis` ∗L
<< Calculus`VectorAnalysis`
Grad[f, Cartesian[x, y, z]] fornece o gradiente da função escalar f[x, y, z] no sistema de coordenadas cartesiano.
25
A fórmula da derivada dericional
pode ser reescrita assim:
∑f
∑f
ÅÅÅÅ , ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ). ÷a”
(D÷a” f)(x, y) = ( fx (x, y)+ f y (x, y) ) . (cos q, sen q) = ( ÅÅÅÅ
∑x
∑y
Como ÷a” é um vetor unitário podemos reescrever ainda
(D÷a” f)(x, y) = (“ f). ÷a” = | “ f | cos f
onde f é o ângulo entre os vetores “ f e ÷a”, como ilusta a figura abaixo.
In[17]:=
In[52]:=
H∗ Pacote Add−on: GraphicsÀrrow` traça setas ∗L
<< GraphicsÀrrow`
H∗ Direção do gradiente ∗L
Show@Graphics@8Arrow@80, 0<, 81 ê 2, 2<D, Arrow@80, 0<, 81, 3 ê 2<D<,
”
Epilog → 8Text@"P", 80.01, .15<D, Text@"α", 8.95, 1.6<D,
Text@"∇f", 8.4, 1.9<D, Text@"φ", 80.13, .3<D<DD;
”
α
∇f
P
φ
A fórmula da derivada dericional
pode ser reescrita assim:
∑f
∑f
ÅÅÅÅ ). ÷a”
(D÷a” f)(x, y) = ( fx (x, y)+ f y (x, y) ) . (cos q, sen q) = ( ÅÅÅÅ∑xÅÅÅÅ , ÅÅÅÅ
∑y
Como ÷a” é um vetor unitário podemos reescrever ainda
(D÷a” f)(x, y) = (“ f). ÷a” = | “ f | cos f
onde f é o ângulo entre os vetores “ f e ÷a”, como ilusta a figura abaixo.
26
Exercícios
(pág.73)
Nos Exercícios 1 a 8 , determine as derivadas das funções dadas, nos pontos dados e nas dir ções indicadas
1. z = x2 - 3y em P = (0, 0), na direção do vetor (1, 2).
In[53]:=
In[7]:=
Out[8]=
In[55]:=
Out[56]=
H∗ A função f Hx, yL = x2 − 3 y . ∗L
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := x2 − 3 y
α . ∗L
v = 81, 2<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
1
2
9 è!!! , è!!! =
5
5
H∗ Derivada direcional no ponto H0,0L na direção H1, 2L ∗L
8x0, y0< = 80, 0<;
9
è!!!!!!
13
2. z = sen x2 y + cos x y2 em P = (x, y), na direção do vetor (1,
In[63]:=
In[65]:=
Out[66]=
In[70]:=
Out[70]=
è!!!
3 ).
H∗ A função f Hx, yL = sen x2 y + cos x y2 . ∗L
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := Sin@x2 yD + Cos@x y2 D
α . ∗L
è!!!!
v = 91, 3 =;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
è!!!
1
3
9 ,
=
2
2
1
è!!!
è!!!
Ix I 3 x + 2 yM Cos@x2 yD − y I2 3 x + yM Sin@x y2 DM
2
3. z = cos x y em P = (x, y), na direção do vetor (a1, a2).
In[74]:=
In[76]:=
Out[76]=
In[79]:=
Out[79]=
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := Cos@x yD
α . ∗L
α = 8α1, α2<
8α1, α2<
H∗ Derivada direcional no ponto Hx,yL na direção Hα1, α2L ∗L
D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD
−y α1 Sin@x yD − x α2 Sin@x yD
In[82]:=
Out[83]=
In[84]:=
Out[85]=
5. z = ex
In[86]:=
In[88]:=
Out[89]=
In[90]:=
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 + y2 em P = (3, 4), na direção do vetor (-1, 1).
è!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função f Hx, yL = sen x2 +y2 . ∗L
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := Sin@x2 + y2 D
4. z = sen
In[80]:=
α . ∗L
v = 8−1, 1<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
1
1
9− è!!! , è!!! =
2
2
H∗ Derivada direcional no ponto H3,4L na direção H−1, 1L ∗L
8x0, y0< = 83, 4<;
è!!!
2 Cos@25D
2
-cos y
em P = (x, y), na direção do vetor (2, 3).
H∗ A função f Hx, yL = ex -cos y . ∗L
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := Exp@x2 − Cos@yDD
2
α . ∗L
v = 82, 3<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
2
3
9 è!!!!!! , è!!!!!! =
13
13
H∗ Derivada direcional no ponto Hx,yL na direção H2, 3L ∗L
x2 −Cos@yD
Out[90]=
27
H4 x + 3 Sin@yDL
è!!!!!!
13
28
6. w = x2 + 2 x y + z2 em P = (1, 0, -1), na direção do vetor (1, -1, 1).
In[91]:=
In[93]:=
Out[94]=
In[95]:=
Out[96]=
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x2 + 2 x y + z2
α . ∗L
v = 81, −1, 1<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
1
1
1
9 è!!! , − è!!! , è!!! =
3
3
3
H∗ Derivada direcional no ponto H1, 0, −1L na direção H1, −1, 1L ∗L
8x0, y0, z0< = 81, 0, −1<;
D@f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@f@x, y, zD, zD α@@3DD ê.
8x → x0, y → y0, z → z0<
2
− è!!!
3
7. w = x y2 z3 em P = (x, y, z), na direção do vetor (1, -2, 1).
In[101]:=
In[99]:=
Out[100]=
In[103]:=
Out[103]=
H∗ A função f Hx, yL = x y2 z3 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x y2 z3
α . ∗L
v = 81, −2, 1<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
1
2
1
9 è!!! , − $%%%%%% , è!!! =
3
6
6
D@f@x, y, zD, xD α@@1DD +
D@f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@f@x, y, zD, zD α@@3DD êê Simplify
y z2 H3 x y − 4 x z + y zL
è!!!
6
8. w = 2x2 y3 - 3 x3 y2 em P = (1, 2), na direção à tangente a curva y = x3 + 1.
In[191]:=
H∗ A função f Hx, yL = 2 x2 y3 −3 x3 y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 2 x2 y3 − 3 x3 y2
In[193]:=
Out[194]=
In[195]:=
Out[196]=
In[197]:=
Out[198]=
In[199]:=
Out[200]=
29
H∗ Tangente a curva y = x3 + 1 . ∗L
m = D@x3 + 1, xD ê. x → 1;
α = 8Cos@ArcTan@mDD, Sin@ArcTan@mDD<
1
3
9 è!!!!!! , è!!!!!! =
10
10
H∗ Derivada direcional no ponto H1,2L à tangente a curva y=x3 + 1 ∗L
8x0, y0< = 81, 2<;
D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0< êê Simplify
2
16 $%%%%%%
5
H∗ Tangente a curva y = x3 + 1 . ∗L
m = D@x3 + 1, xD ê. x → 1;
α = 8−Cos@ArcTan@mDD, −Sin@ArcTan@mDD<
1
3
9− è!!!!!! , − è!!!!!! =
10
10
H∗ Derivada direcional no ponto H1,2L à tangente a curva y = x3 + 1 ∗L
8x0, y0< = 81, 2<;
D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0< êê Simplify
2
−16 $%%%%%%
5
Exercícios
(pág.73)
Nos Exercícios 1 a 8 , determine as derivadas das funções dadas, nos pontos dados e nas dir ções indicadas
1. z = x2 - 3y em P = (0, 0), na direção do vetor (1, 2).
In[53]:=
In[7]:=
Out[8]=
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := x2 − 3 y
α . ∗L
v = 81, 2<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
1
2
9 è!!! , è!!! =
5
5
30
In[55]:=
Out[56]=
8x0, y0< = 80, 0<;
9
è!!!!!!
13
2. z = sen x2 y + cos x y2 em P = (x, y), na direção do vetor (1,
In[63]:=
In[65]:=
Out[66]=
In[70]:=
Out[70]=
è!!!
3 ).
H∗ A função f Hx, yL = sen x2 y + cos x y2 . ∗L
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := Sin@x2 yD + Cos@x y2 D
α . ∗L
è!!!!
v = 91, 3 =;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
è!!!
1
3
9 ,
=
2
2
1
è!!!
è!!!
Ix I 3 x + 2 yM Cos@x2 yD − y I2 3 x + yM Sin@x y2 DM
2
3. z = cos x y em P = (x, y), na direção do vetor (a1, a2).
In[74]:=
In[76]:=
Out[76]=
In[79]:=
Out[79]=
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := Cos@x yD
α . ∗L
α = 8α1, α2<
8α1, α2<
H∗ Derivada direcional no ponto Hx,yL na direção Hα1, α2L ∗L
D@f@x, yD, xD α@@1DD + D@f@x, yD, yD α@@2DD
−y α1 Sin@x yD − x α2 Sin@x yD
In[80]:=
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 + y2 em P = (3, 4), na direção do vetor (-1, 1).
è!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função f Hx, yL = sen x2 +y2 . ∗L
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := Sin@x2 + y2 D
4. z = sen
In[82]:=
Out[83]=
In[84]:=
Out[85]=
5. z = ex
In[86]:=
In[88]:=
Out[89]=
In[90]:=
α . ∗L
v = 8−1, 1<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
1
1
9− è!!! , è!!! =
2
2
H∗ Derivada direcional no ponto H3,4L na direção H−1, 1L ∗L
8x0, y0< = 83, 4<;
è!!!
2 Cos@25D
2 -cos
y
em P = (x, y), na direção do vetor (2, 3).
H∗ A função f Hx, yL = ex -cos y . ∗L
Clear@x, fD;
f@x_, y_D := Exp@x2 − Cos@yDD
2
α . ∗L
v = 82, 3<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
2
3
9 è!!!!!! , è!!!!!! =
13
13
H∗ Derivada direcional no ponto Hx,yL na direção H2, 3L ∗L
x2 −Cos@yD
Out[90]=
31
H4 x + 3 Sin@yDL
è!!!!!!
13
6. w = x2 + 2 x y + z2 em P = (1, 0, -1), na direção do vetor (1, -1, 1).
In[91]:=
In[93]:=
Out[94]=
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x2 + 2 x y + z2
α . ∗L
v = 81, −1, 1<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
1
1
1
9 è!!! , − è!!! , è!!! =
3
3
3
32
In[95]:=
Out[96]=
H∗ Derivada direcional no ponto H1, 0, −1L na direção H1, −1, 1L ∗L
8x0, y0, z0< = 81, 0, −1<;
8x → x0, y → y0, z → z0<
2
− è!!!
3
7. w = x y2 z3 em P = (x, y, z), na direção do vetor (1, -2, 1).
In[101]:=
In[99]:=
Out[100]=
In[103]:=
Out[103]=
H∗ A função f Hx, yL = x y2 z3 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x y2 z3
α . ∗L
v = 81, −2, 1<;
è!!!!!!!!!
α = v ë v.v
1
2
1
9 è!!! , − $%%%%%% , è!!! =
3
6
6
D@f@x, y, zD, xD α@@1DD +
D@f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@f@x, y, zD, zD α@@3DD êê Simplify
y z2 H3 x y − 4 x z + y zL
è!!!
6
14. Data a função f(x, y) = x y ( 3 x2 - 5 y2 ) calcule “ f no ponto (1, 1) e duas direções ao longo das quais a derivada
direcional de f é zero.
In[234]:=
In[236]:=
Out[237]=
In[233]:=
Out[233]=
H∗ A função f Hx, yL = x y H 3 x2 − 5 y2 L . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x y H3 x2 − 5 y2 L
H∗ Gradiente de f Hx, yL = x y H 3 x2 − 5 y2 L no ponto H1, 1L . ∗L
8x0, y0< = 81, 1<;
gradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD ê. 8x → x0, y → y0<
84, −12, 0<
H∗ Direção ao longo do gradiente de f . ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
gradF ë gradF.gradF
1
3
9 è!!!!!! , − è!!!!!! , 0=
10
10
A derivada de f é zero nas direções perpendiculares à direção do gradiente. Portamto, ± ( 3 ë
è!!!!!!
è!!!!!!
10 , 1 ë 10 ).
Nos Exercícios 15 a 24, determine para a função f dada, as curvas ao longo das quais a direção de “ f permanece constante. Faça um gáfico com várias curvas f(x, y) = constante, mostrando também as curvas a determinar.
33
15. f(x, y) = 2 x2 + 3 y2 .
In[48]:=
In[50]:=
Out[50]=
In[11]:=
H∗ A função f Hx, yL = 2 x2 + 3 y2 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := 2 x2 + 3 y2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = 2 x2 + 3 y2 no ponto Hx, yL . ∗L
gradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD
84 x, 6 y, 0<
H∗ Ativa o pacote Add−on Graphics`PlotField`. ∗L
<< Graphics`PlotField`
ContourPlot[f, {x, xmin. xmax}, {y, ymin, ymax}] gera um mapa de contorno da função f(x,
y).
PlotGradientFiield[f, {x, xmin. xmax,(xu)}, {y, ymin, ymax,(yu)}] gera um mapa um
campo de vetores do gradiente de um campo escalar f(x, y).
In[54]:=
In[56]:=
H∗ Gera as curvas de níveis da função f e campo de vetores do greadiente∗L
p1 = ContourPlot@f@x , y, zD, 8x, −2, 2<, 8y, −2, 2<,
ColorFunction → Hue, Contours → 10, DisplayFunction → IdentityD;
p2 = PlotGradientField@f@x, y, zD, 8x, −2, 2<,
8y, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD;
H∗ Traça as curvas de níveis e o campo de vetores ∗L
Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
1
0
-1
-2
-2
-1
16. f(x, y) = 4 x2 + y2 .
0
1
2
34
In[57]:=
In[59]:=
Out[59]=
In[65]:=
In[67]:=
H∗ A função f Hx, yL = 4 x2 + y2 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := 4 x2 + y2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = 4 x2 + y2 no ponto Hx, yL . ∗L
88 x, 2 y, 0<
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
17. f(x, y) = y - x2 .
In[71]:=
In[73]:=
Out[73]=
In[74]:=
H∗ A função f Hx, yL = y − x2 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := y − x2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = y − x2 no ponto Hx, yL . ∗L
8−2 x, 1, 0<
In[76]:=
35
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
18. f(x, y) = y + x2 .
In[77]:=
In[79]:=
Out[79]=
In[80]:=
In[82]:=
H∗ A função f Hx, yL = y + x2 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := y + x2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = y + x2 no ponto Hx, yL . ∗L
82 x, 1, 0<
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
36
19. f(x, y) = x - y2 .
In[83]:=
In[85]:=
Out[85]=
In[86]:=
In[88]:=
H∗ A função f Hx, yL = x − y2 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x − y2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = x − y2 no ponto Hx, yL . ∗L
81, −2 y, 0<
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
20. f(x, y) = x + y2 .
In[89]:=
In[91]:=
Out[91]=
In[92]:=
H∗ A função f Hx, yL = x + y2 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x + y2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = x + y2 no ponto Hx, yL . ∗L
81, 2 y, 0<
In[94]:=
37
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
21. f(x, y) = x y .
In[95]:=
In[97]:=
Out[97]=
In[98]:=
In[100]:=
H∗ A função f Hx, yL = xy. ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x y
H∗ Gradiente de f Hx, yL = xy no ponto Hx, yL . ∗L
8y, x, 0<
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
38
22. f(x, y) = x2 - y2 .
In[101]:=
In[103]:=
Out[103]=
In[104]:=
In[106]:=
H∗ A função f Hx, yL = x2 − y2 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x2 − y2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = x2 − y2 no ponto Hx, yL . ∗L
82 x, −2 y, 0<
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
23. f(x, y) = x3 - y2 .
In[107]:=
In[109]:=
Out[109]=
In[110]:=
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x3 − y2
83 x2 , −2 y, 0<
In[112]:=
39
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
24. f(x, y) = x2 - y3 .
In[113]:=
In[115]:=
Out[115]=
In[116]:=
In[118]:=
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x2 − y3
82 x, −3 y2 , 0<
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
40
Nos Exercícios 25 a 27, determine as direções em que f(x, y) crescem e decrescem mais rapidamente no ponto dado, bem
como as componentes derivadas direcionais máxima e mínima respectivamente.
25. f(x, y) = x3 - y2 , P = (1, 1).
In[125]:=
In[127]:=
Out[128]=
In[129]:=
Out[129]=
In[133]:=
Out[133]=
In[134]:=
Out[134]=
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x3 − y2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = x2 − y3 no ponto H1, 1L . ∗L
8x0, y0< = 81, 1<;
83, −2, 0<
α . ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
α = gradF ë gradF.gradF
3
2
9 è!!!!!! , − è!!!!!! , 0=
13
13
H∗ Derivada direcional máxima . ∗L
D@f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@f@x, y, zD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<
è!!!!!!
13
H∗ Derivada direcional mínima . ∗L
D@−f@x, y, zD, xD α@@1DD − D@f@x, y, zD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<
è!!!!!!
− 13
26. f(x, y) = x2 + 2 y2 , P = (1, -1).
In[138]:=
In[140]:=
Out[141]=
In[142]:=
Out[142]=
In[143]:=
Out[143]=
H∗ A função f Hx, yL = x2 + 2 y2 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x2 + 2 y2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = x2 + 2 y2 no ponto H1, −1L . ∗L
8x0, y0< = 81, −1<;
82, −4, 0<
α . ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1
2
9 è!!! , − è!!! , 0=
5
5
D@f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@f@x, y, zD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<
è!!!
2 5
In[144]:=
Out[144]=
D@−f@x, y, zD, xD α@@1DD − D@f@x, y, zD, yD α@@2DD ê. 8x → x0, y → y0<
è!!!
−2 5
27. f(x, y, z) = x2 + 3 y2 + 4 z2 , P = (1, -1, 1).
In[154]:=
In[156]:=
Out[157]=
In[158]:=
Out[158]=
In[161]:=
Out[161]=
In[162]:=
Out[162]=
H∗ A função f Hx, y, zL = x2 + 3 y2 + 4 z2 . ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := x2 + 3 y2 + 4 z2
H∗ Gradiente de f Hx, yL = x2 + 3 y2 + 4 z2 . no ponto H1, −1, 1L . ∗L
8x0, y0, z0< = 81, −1, 1<;
gradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD ê. 8x → x0, y → y0, z → z0<
82, −6, 8<
α . ∗L
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1
3
2
9 è!!!!!! , − è!!!!!! , 2 $%%%%%%%%% =
13
26
26
8x → x0, y → y0, z −> z0<
è!!!!!!
2 26
D@−f@x, y, zD, xD α@@1DD + D@−f@x, y, zD, yD α@@2DD + D@−f@x, y, zD, zD α@@3DD ê.
8x → x0, y → y0, z −> z0<
è!!!!!!
−2 26
41
42
2.6 Regra da cadeia e Plano tangente
Seja a função f(x, y, z) diferenciável num ponto P = (x, y, z). Se esse ponto for função de um parâmetro t
P = (x(t), y(t), z(t)
verifica-se a regra da cadeia:
∑ f ∑x
∑ f ∑y
∑ f ∑z
dfHtL
d
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ
Å f(x(t), y(t), z(t)) = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ
dt
dt
∑x ∑t
∑y ∑t
∑z ∑t
ou ainda
d
ÅÅÅÅ
Å f(P(t)) = “ f. P '(t)
dt
As equações paramétricas do plano tangente à superfície f(x, y, z) = 0 que passa pelo ponto Hx0 , y0 , z0 L são
”
x = x0 + t “ f Hx0 , y0 , z0 L.i
”
y = y0 + t “ f Hx0 , y0 , z0 L. j
÷”
z = z0 + t “ f Hx0 , y0 , z0 L.k
EXEMPLO (pág. 78)
Vamos considerar a superfície de equação f(x, y, z) = 3 x2 + y2 - 7z = 0 que passa pelo ponto P = (1, -2, 1).
In[203]:=
In[214]:=
Out[215]=
H∗ A função f Hx, y, zL = 3 x2 + y2 + 7 z. ∗L
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := 3 x2 + y2 − 7 z
H∗ Gradiente de f Hx, yL = 3 x2 + y2 + + 7 z. no ponto H1, −2, 1L . ∗L
8x0, y0, z0< = 81, −2, 1<;
gradF = Grad@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD ê. 8x → x0, y → y0, z → z0<
86, −4, −7<
x0 + t gradF.81, 0, 0<
y0 + t gradF.80, 1, 0<
z0 + t gradF.80, 0, 1<
In[218]:=
x
y
z
Out[218]=
x
1+6t
Out[219]=
y
−2 − 4 t
Out[220]=
z
1−7t
As equações paramétricas do plano tangwnte são: x = 1 + 6 t, y = -2 - 4 t e z = 1 - 7 t.
43
2.7 Regra da cadeia - continuação
Seja a função f(x, y, z) em que x = x(t, s, u), y = y(t, s, u), e z = z(t, s, u) vale a regra da cadeia
∑f
∑f
∑f
∑y
∑f
∑x
∑z
ÅÅÅÅ∑tÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ∑xÅÅÅÅ ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ∑zÅÅÅÅ ÅÅÅÅ
ÅÅ
∑t
∑y ∑t
∑t
∑f
∑ f ∑x
∑ f ∑y
∑ f ∑z
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
∑s
∑x ∑s
∑y ∑s
∑z ∑s
∑f
∑ f ∑x
∑ f ∑y
∑ f ∑z
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
∑u
∑x ∑u
∑y ∑u
∑z ∑u
EXEMPLO 1 (pág. 80)
Seja a função z = 3 x2 - 5 y2 . Se tuvermos também x = st e y = s2 + t2 , então z será função de s e t através de x e y.
In[241]:=
In[251]:=
Out[251]=
In[252]:=
Out[252]=
H∗ A função f Hx, y, zL = 3 x2 − 5 y2 ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 3 x2 − 5 y2
x@s_, t_D := s t
y@s_, t_D := s2 + t2
D@f@x, yD, xD D@x@s, tD, tD + D@f@x, yD, yD D@y@s, tD, tD ê.
8x → s t, y → s2 + t2 < êê Simplify
−2 H7 s2 t + 10 t3 L
D@f@x, yD, xD D@x@s, tD, sD + D@f@x, yD, yD D@y@s, tD, sD ê.
8x → s t, y → s2 + t2 < êê Simplify
−2 H10 s3 + 7 s t2 L
CAPÍTULO 3
Fórmula de Taylor - Máximos e Mínimos
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
3.1 Fórmula de Taylor
Seja f(x, y) uma função definidas num domínio aberto D, com derivadas parciais contínuas até a ordem n + 1.
Neste caso, a função f pode ser aproximada numa vizinhança de qualquer ponto P0 = (x0 , y0 ) de D, por um
polinômio de grau n na variáveis Dx = x - x0 e Dy = y - y0 . O polinômio é obtido a partir da fórmula de Taylor
1
ÅÅ H fxx Dx2 + 2 DxDx fxy + fyy Dy2 L
f(x, y) = f (x0 , y0 ) + fx Dx + f y Dy + ÅÅÅÅ
2!
1
ÅÅ @Dnx f Dxn + n Dn-1
DnY f Dxn-1 Dy + . . . + DnY f Dyn D + Rn ,
+ . . . + ÅÅÅÅ
x
n!
onde todas as derivadas de f que ai aparecem são calculadas no ponto P0 = (x0 , y0 ): o resto Rn , por sua vez, é
dado por
1
Rn = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ HDx Dx + D y DyLn + 1 f ,
Hn + 1L!
onde as derivadas são agora calculadas num ponto Pc = (x0 + cDx, y0 + cDy), sendo c um número compreendido entre 0 e 1.
A série de Maclaurin de um função f(x, y) é um caso particular da série de Taylor quando P0 = (0, 0).
Series[f[x, y], {x, x0, nx}, {y, y0, nt)] gera a série de Taylor da função f(x, y) em torno
do ponto Hx0 , y0 L de ordem n = nx + ny.
Normal[Series[f[x, y], {x, x0, nx}, {y, y0, nt)]] trunca a série de Taylor da função
f(x, y) num polinômio de grau n = nx + ny.
2
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
Vamos obter o desenvolvimento de Taylor da função arc sen(x/y) até os termos de segunda ordem no ponto P0 = (0,
1):
In[7]:=
In[9]:=
Out[9]=
In[10]:=
Out[10]=
H∗ A função f Hx,yL = arcsen HxêyL ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := ArcSin@x ê yD
H∗ Desenvolvimento de Taylor de f Hx,yL de segunda ordem ∗L
Series@f@x, yD, 8x, 0, 1<, 8y, 1, 1<D
H1 − Hy − 1L + O@y − 1D2 L x + O@xD2
H∗ Polinômio de Taylor de f Hx,yL de grau dois ∗L
Normal@Series@f@x, yD, 8x, 0, 1<, 8y, 1, 1<DD
x − x H−1 + yL
Obter o desenvolvimento de Maclaurin da função f(x, y) = log(1 + x + y) até os termos de terceira ordem.
In[11]:=
In[27]:=
Out[27]=
H∗ A função f Hx,yL = log H1 + x + yL ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Log@1 + x + yD
H∗ Polinômio de Taylor de f Hx,yL de grau 3 + 3 = 6 ∗L
Normal@Series@f@x, yD, 8x, 0, 3<, 8y, 0, 3<DD êê Expand
x2
x3
y2
+
+ y − x y + x2 y − x3 y −
+
2
3
2
3 x2 y2
y3
10 x3 y3
+ 2 x3 y2 +
− x y3 + 2 x2 y3 −
x y2 −
2
3
3
x−
Exercícios
(pág. 60)
Nos Exercícios 1 a 7, desenvolver a Fórmula de Taylor de cada função, no ponto indicado, até os termos de terceira
ordem.
1. f(x, y) = exy , P0 = (1, -1)
In[28]:=
In[34]:=
Out[34]=
H∗ A função f Hx, yL = exy . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@x yD
Normal@Series@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, −1, 3<DD êê Expand
−
π
9x
7 x3
9y
7 x2 y
−
+ 2 x2 −
−
+
−
4
4
12
4
4
3 x3 y
7 x y2
x3 y2
7 y3
3 x y3
x2 y3
− 2 y2 +
−
−
+
−
4
4
4
12
4
4
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
3
2. f(x, y) = arctg(x/y), P0 = (1, 1)
In[31]:=
In[35]:=
Out[35]=
H∗ A função f Hx, yL = arctg HxêyL ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := ArcTan@x ê yD
π
9x
7 x3
9y
7 x2 y
+
− 2 x2 +
−
−
+
4
4
4
12
4
3
2
3
2
3
3x y
7xy
x y
7y
3 x y3
x2 y3
+
−
+
−
+ 2 y2 −
4
4
12
4
4
4
3. f(x, y) = x2 y - cos xy, P0 = (1, p/2)
In[36]:=
In[38]:=
Out[38]=
H∗ A função f Hx, yL = x2 y − cos xy. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x2 y − Cos@x yD
Normal@Series@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, π ê 2, 3<DD êê Expand
−
5 π5 x2
π
π3
π5
π5 x
+
+
+
−
−
96
2
48
384
384
3 4 2
7
5 π3 y2
π x y+
π4 x3 y +
32
192
96
2
3
1 3 3 2 π y
7 2
π x y −
+
π x y3 −
12
24
48
1 2
π5 x3
π4 y
5 4
+xy−
π xy+
−
π x y + x2 y −
48
8
192
64
3 3
1
7 3 2 2
−
π x y2 +
π x2 y2 +
π x y −
16
4
32
1 2 2 3 x3 y3
1 2 3 3
π x y −
+
π x y
6
6
16
4. f(x, y) = x - 3 x2 y + 2 y2 , P0 = (1, -1)
In[43]:=
In[45]:=
Out[45]=
H∗ A função f Hx, yL = x − 3 x2 y + 2 y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x − 3 x2 y + 2 y2
Normal@Series@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, −1, 3<DD êê Expand
x − 3 x2 y + 2 y2
5. f(x, y) = e y cosx, P0 = (p, 0)
In[46]:=
In[48]:=
Out[48]=
H∗ A função f Hx, yL = ey cos x ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@yD Cos@xD
Normal@Series@f@x, yD, 8x, π, 3<, 8y, 0, 3<DD êê Expand
x2 y
y2
π2
x2
π2 y
−πxy+
−
−πx+
−y+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
π y
1
x y
y
π y
1
x2 y3
−
π x y2 +
−
+
−
π x y3 +
4
2
4
6
12
6
12
−1 +
6. f(x, y) = log(1 + xy), P0 = (1, 2)
4
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
In[49]:=
In[51]:=
Out[51]=
H∗ A função f Hx, yL = log H1 + xyL ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Log@1 + x yD
−
2440
16 x
104 x2
80 x3
8y
259 x y
112 x2 y
64 x3 y
26 y2
+
+
−
+
+
−
−
+
+
2187
729
729
2187
729
243
729
243
729
56 x y2
37 x2 y2
8 x3 y2
10 y3
16 x y3
4 x2 y3
x3 y3
+
−
−
+
−
+
+ Log@3D
243
486
729
2187
729
729
2187
7. f(x, y) = x y P0 = (1, 0)
In[53]:=
In[55]:=
Out[55]=
H∗ A função f Hx, yL = xy ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := xy
11 y
3 x2 y
x3 y
+3xy−
+
+ y2 −
6
2
3
5 x y2
x3 y2
y3
x y3
x2 y3
x3 y3
+ 2 x2 y2 −
−
+
−
+
2
2
6
2
2
6
1−
Nos Exercícios 8 a 14, determine o desenvolvimento de Maclaurin de cada função até os termos de segunda ordem.
8. f(x, y) = cos x ê cos y.
In[58]:=
In[60]:=
Out[60]=
H∗ A função f Hx, yL = cos xêcos y. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Cos@xD ê Cos@yD
1−
9. f(x, y) =
In[64]:=
In[66]:=
Out[66]=
x2
y2
x2 y2
+
−
2
2
4
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
1 - x2 - y2 .
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função f Hx, yL = 1 − x2 − y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!
1 − x2 − y2
f@x_, y_D :=
1−
x2
y2
x2 y2
−
−
2
2
4
10. f(x, y) = logH1 + x + yL ê H1 - x - yL.
In[67]:=
H∗ A função f Hx, yL = log H1 + x + yLêH1 − x − yL . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Log@1 + x + yD ê H1 − x − yL
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
In[69]:=
Out[69]=
5
x+
y2
x2
5 x2 y
5 x y2
7 x2 y2
+
+y+xy+
+
+
2
2
2
2
2
11. f(x, y) = arc tg(1 + x)/(1 - y).
In[70]:=
In[72]:=
Out[72]=
H∗ A função f Hx, yL = arc tg H1 + xLêH1 − yL . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := ArcTan@H1 + xL ê H1 − yLD
π
x
x2
y2
y
x2 y
x y2
+
−
+
+
−
−
4
2
4
4
2
4
4
12. f(x, y) = Hx + 1L y .
In[73]:=
In[75]:=
Out[75]=
H∗ A função f Hx, yL = Hx + 1Ly . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Hx + 1Ly
1+xy−
x2 y2
x2 y
+
2
2
13. f(x, y) = ex sen y
In[76]:=
In[78]:=
Out[78]=
H∗ A função f Hx, yL = ex sen y ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@xD Sin@yD
y+xy+
x2 y
2
14. f(x, y) = ex log(1 - y).
In[79]:=
In[81]:=
Out[81]=
H∗ A função f Hx, yL = ex log H1 − yL ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@xD Log@1 − yD
−y − x y −
y2
x2 y
x y2
x2 y2
−
−
−
2
2
2
4
6
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
3.2 Máximos e Mínimos
Diz que um pontp P0 é ponto de máximo de uma função f se f(P) b f HP0 L para todo ponto P no domínio de f.
Analogamente, P0 é ponto de mínimo se f(P) r f HP0 L para todo P no domínio de f.
Quando P0 é ponto inerior do domínio D da função f e f(P) b f HP0 L para todo P de uma vizinhança Vd de
P0 ,dizemos que P0 é um ponto de máximo local ou máximo relativo. DE maneira análoga define-se mínimo local
ou mínimo relativo.
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A função z = 1 - x2 - y2 / Hx2 + y2 L definida no conjunto limitado D = {(x, y): x2 + y2 b 1, (x, y) ∫ (0, 0), não
tem máximo, quando (x, y) aproxima a origem, z tende para ¶. Seu mínimo, zero, ocorre em todos os pontos da
circunferência x2 + y2 = 1.
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A função f(x, y) = x 1 - x2 - y2 / y com domínio D = {(x, y): x2 + y2 b 1, y >0 não tem máximo nem mínimo.
DE fato, basta notar que, fazendo x ∫ 0, lim yz0 f(x, y) = ± ¶, conforme seja x > 0 ou x < 0, respectivamente.
Teorema. Seja fuma função contínua com domínio fechado e limitado (compacto). Então f possui ao menos um
ponto de máximo e ao menos um ponto de mínimo.
Teorema. Se P0 é ponto de máximo ou de mínimo local da função f e se esta for diferenciável nesse ponto, então
suas derivadas parciais de primeira ordem se anulam em P0.
Um ponto P0 onde as derivadas de f se anulam é chamado ponto crítico ou ponto estacionário. da função. Um
ponto crítico que não é de máximo ou de mínimo é chamado de ponto de sela.
Vamos considerar a função f(x, y) = x y (3 - x - y), definida no domínio D = x r 0, y r 0, x + y b 3. Esta função tem
um único ponto crítico em D. De fato:
In[82]:=
In[84]:=
Out[84]=
Out[85]=
H∗ A função f Hx, yL = xy H3 − x − yL ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x y H3 − x − yL
H∗ Calculo das derivadas parciais fx e fy ∗L
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
−x y + H3 − x − yL y
x H3 − x − yL − x y
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
In[86]:=
Out[86]=
In[88]:=
7
H∗ Determinação dos pontos críticos ∗L
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
88x → 0, y → 0<, 8x → 0, y → 3<, 8x → 1, y → 1<, 8x → 3, y → 0<<
H∗ Os valores da função nos pontos críticos ∗L
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 3<
f@x, yD ê. 8x → 1, y → 1<
f@x, yD ê. 8x → 3, y → 0<
Out[88]=
0
Out[89]=
0
Out[90]=
1
Out[91]=
0
Exercícios
(pág. 60)
Nos Exercícios 1 a 6, determine os pontos estacionários das funções dadas e verifique quais são de máximo e quais
são de mínimo.
1. z = 5 - 2 x2 - 3 y2
In[94]:=
In[96]:=
H∗ A função z = 5 − 2 x2 − 3 y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 5 − 2 x2 − 3 y2
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
Out[96]=
−4 x
Out[97]=
−6 y
In[98]:=
Out[98]=
In[99]:=
Out[99]=
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
88x → 0, y → 0<<
H∗ O valor da função no ponto crítico ∗L
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<
5
O valor máximo da função é 5 no ponto (0, 0).
2. z = ex
2
+ 3 y2
8
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
H∗ A função z = ex + 3 y . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@x2 + 3 y2 D
2
In[104]:=
In[109]:=
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
Out[109]=
2
Out[110]=
6
In[111]:=
Out[111]=
In[112]:=
Out[112]=
2
x2 +3 y2
x2 +3 y2
x
y
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
88x → 0, y → 0<<
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<
1
3. z = x2 = 5 y2 +7
In[113]:=
In[115]:=
H∗ A função z = x2 + 5 y2 +7. ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x2 + 5 y2 + 7
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
Out[115]=
2x
Out[116]=
10 y
In[117]:=
Out[117]=
In[118]:=
Out[118]=
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
88x → 0, y → 0<<
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<
7
4. z = e1 - 3 x
2
- 5 y2
H∗ A função z = e1 − 3 x 5 y . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@1 − 3 x2 − 5 y2 D
2
In[119]:=
2
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
In[121]:=
Out[121]=
Out[122]=
In[123]:=
Out[123]=
In[124]:=
9
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
−6
−10
1−3 x2 −5 y2
1−3
x2 −5
x
y2
y
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
88y → 0, x → 0<<
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<
Out[124]=
O valor máximo da função é ‰ no ponto (0, 0).
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
5. z = 3 - 2 x2 - 5 y2
In[125]:=
In[127]:=
Out[127]=
Out[128]=
In[129]:=
Out[129]=
In[130]:=
Out[130]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!
H∗ A função z =
3 − 2 x2 − 5 y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_, y_D := 3 − 2 x2 − 5 y2
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
2x
− è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
3 − 2 x2 − 5 y2
5y
− è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
3 − 2 x2 − 5 y2
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
88x → 0, y → 0<<
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<
è!!!
3
O valor máximo da função é
6. z = x2 y2
In[131]:=
è!!!
3 no ponto (0, 0).
H∗ A função z = x2 y2 . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x2 y2
10
In[133]:=
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
Out[133]=
2 x y2
Out[134]=
2 x2 y
In[135]:=
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…
Out[135]=
In[136]:=
Out[136]=
88x → 0<, 8x → 0<, 8y → 0<, 8y → 0<<
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<
0
7. Determinar a distância mínima da origem ao plano 2x - 3y -z +2 = 0
In[391]:=
In[394]:=
Out[394]=
Out[395]=
In[396]:=
Out[396]=
In[397]:=
Out[397]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função z =
x2 + y2 + z2 ∗L
Clear@x, y, fD;
z = 2 x − 3 y + 2;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_, y_D := x2 + y2 + z2
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
2 x + 4 H2 + 2 x − 3 yL
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 x2 + H2 + 2 x − 3 yL2 + y2
−6 H2 + 2 x − 3 yL + 2 y
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 x2 + H2 + 2 x − 3 yL2 + y2
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
99x → −
2
3
,y→
==
7
7
f@x, yD ê. 8x → −2 ê 7, y → 3 ê 7<
2
$%%%%%%
7
8. Determinar a distância mínima da origem ao plano a x + b y + c z + d = 0
In[398]:=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função z =
x2 + y2 + z2 ∗L
Clear@x, y, fD;
z = H−a x − b y − dL ê c;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_, y_D := x2 + y2 + z2
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
In[409]:=
Out[409]=
11
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
x−b yL
2 x − 2 a H−d−a
c2
########
yL#2###
2 "################################
x2 + y2 + H−d−a x−b
c2
Out[410]=
2 b H−d−a x−b yL
c2
2y−
########
yL#2###
2 "################################
x2 + y2 + H−d−a x−b
c2
In[403]:=
Out[403]=
In[406]:=
Out[406]=
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
99x → −
ad
bd
,y→− 2
==
a2 + b2 + c2
a + b2 + c2
f@x, yD ê. 9x → −
d2 %%%%%%%%%%
$%%%%%%%%%%%%%%%%
a2 + b2 + c2
ad
a2 + b2 + c2
,y→−
bd
a2 + b2 + c2
= êê Simplify
9. Ache a menor distância da origem à superfície z = x y + 2
In[421]:=
In[424]:=
Out[424]=
Out[425]=
In[426]:=
Out[426]=
In[427]:=
Out[427]=
Out[428]=
Out[429]=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!
H∗ A função z =
x2 + y2 + z2 ∗L
Clear@x, y, fD;
z = x y + 2;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_, y_D := x2 + y2 + z2
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
2 x + 2 y H2 + x yL
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!
2 x2 + y2 + H2 + x yL2
2 y + 2 x H2 + x yL
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!
2 x2 + y2 + H2 + x yL2
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
98x → −1, y → 1<, 8x → 0, y → 0<, 8x → 1, y → −1<,
è!!!
è!!!
è!!!
è!!!
9x → −
3, y → −
3 =, 9x →
3, y →
3 ==
f@x, yD ê. 8x → −1, y → 1<
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<
f@x, yD ê. 8x → 1, y → −1<
è!!!
3
2
è!!!
3
11. Calcule a menor distância entre a parábola y = x2 + 1 e a reta y = x - 2
12
In[438]:=
In[440]:=
Out[440]=
Out[441]=
In[442]:=
Out[442]=
In[444]:=
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
è!!!!!!
H∗ A função z =
Hx ∗L
Clear@x, y, fD;
##################################
"################################
f@x_, y_D := Hx − yL2 + Hx2 + 1 − y + 2L2
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
2 Hx − yL + 4 x H3 + x2 − yL
"################################
#################
2 Hx − yL2 + H3 + x2 − yL2
−2 Hx − yL − 2 H3 + x2 − yL
"################################
#################
2 Hx − yL2 + H3 + x2 − yL2
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
99y →
f@x, yD ê. 8x → 1 ê 2, y → 15 ê 8<
Out[444]=
4
In[449]:=
15
1
,x→
==
8
2
11
è!!!
2
Show@Plot@8x2 + 1, x − 2<, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881 ê 2, 5 ê 4<, 815 ê 8, −1 ê 8<<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,
4
2
-2
-1
1
-2
-4
2
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
3.3 Caracterização de máximos e mínimos locais
Teorema. Seja z = f(x, y) uma função contínua, com derivadas contínuas até a terceira ordem, numa vizinhsmça
de P0 = Hx0 , y0 L , onde fx = f y = 0. Então, se o discriminante D = fxy2 - fxx f yy for negativo e fxx < 0 no ponto
P0 (quando teremos também f yy < 0), P0 será um ponto de máximo da função f; se D < 0 e fxx > 0 em P0
(quando teremos também f yy < 0), então P0 será então ponto de mínimo. Ao contrário, se D > 0 em P0 , este será
um ponto de sela da função f.
Veja a demostração no GA3, pág. 94.
Determinar os pontos críticos da função f(x, y) = x y (3 - x - y) definida no plano xy.
In[142]:=
In[144]:=
Out[144]=
Out[145]=
In[146]:=
Out[146]=
In[147]:=
H∗ A função f Hx, yL = xy H3 − x − yL ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x y H3 − x − yL
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
−x y + H3 − x − yL y
x H3 − x − yL − x y
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
88x → 0, y → 0<, 8x → 0, y → 3<, 8x → 1, y → 1<, 8x → 3, y → 0<<
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 0<
f@x, yD ê. 8x → 0, y → 3<
f@x, yD ê. 8x → 1, y → 1<
f@x, yD ê. 8x → 3, y → 0<
Out[147]=
0
Out[148]=
0
Out[149]=
1
Out[150]=
0
13
14
In[170]:=
Out[173]=
In[174]:=
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
H∗ Calculo do discriminante ∗L
fxx = D@f@x, yD, 8x, 2<D;
fxy = D@D@f@x, yD, xD, yD;
fyy = D@f@x, yD, 8y, 2<D;
desc = fxy ^ 2 − fxx fyy
H3 − 2 x − 2 yL2 − 4 x y
H∗ Os valores do discriminante nos pontos críticos ∗L
desc ê. 8x → 0, y → 0<
desc ê. 8x → 0, y → 3<
desc ê. 8x → 1, y → 1<
desc ê. 8x → 3, y → 0<
Out[174]=
9
Out[175]=
9
Out[176]=
−3
Out[177]=
9
Os pontos (0, 0), (0, 3), (3, 0) são pontos de sela. O ponto (1, 1) é um ponto de máximo ou de mínimo da função.
In[179]:=
H∗ Teste se o ponto crítico é de máximo ou de mínimo. ∗L
fxx ê. 8x → 1, y → 1<
fyy ê. 8x → 1, y → 1<
Out[179]=
−2
Out[180]=
−2
O ponto (1, 1) é um ponto de máximo da função.
In[195]:=
Plot3D@f@x, yD, 8x, −4, 4<, 8y, −4, 4<, PlotRange → 8−200, 200<D;
200
100
4
0
2
-100
-200
-4
0
-2
-2
0
2
4 -4
Determinar os pontos críticos da função f(x, y) = Hx - 2L2 y + y2 - y no domínio D = x ¥ 0, y ¥ 0, x + y b 4.
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
In[196]:=
In[198]:=
Out[198]=
Out[199]=
In[200]:=
Out[200]=
In[201]:=
H∗ A função f Hx, yL = Hx − 2L2 + y2 − y ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Hx − 2L2 y + y2 − y
fx = D@f@x, yD, xD
fy = D@f@x, yD, yD
2 H−2 + xL y
−1 + H−2 + xL2 + 2 y
Solve@8fx
0, fy 0<, 8x, y<D
98y → 0, x → 1<, 8y → 0, x → 3<, 9y →
0
Out[202]=
0
Out[203]=
−
Out[207]=
In[208]:=
Out[208]=
1
, x → 2==
2
f@x, yD ê. 8x → 1, y → 0<
f@x, yD ê. 8x → 3, y → 0<
f@x, yD ê. 8x → 2, y → 1 ê 2<
Out[201]=
In[204]:=
15
1
4
H∗ Calculo do discriminante ∗L
fxx = D@f@x, yD, 8x, 2<D;
fxy = D@D@f@x, yD, xD, yD;
fyy = D@f@x, yD, 8y, 2<D;
desc = fxy ^ 2 − fxx fyy
4 H−2 + xL2 − 4 y
H∗ Os valores do discriminante nos pontos críticos ∗L
desc ê. 8x → 2, y → 1 ê 2<
−2
O ponto (2, 1/2) é um ponto de máximo ou de mínimo da função.
In[209]:=
H∗ Teste se o ponto crítico é de máximo ou de mínimo. ∗L
fxx ê. 8x → 1, y → 1<
fyy ê. 8x → 1, y → 1<
Out[209]=
2
Out[210]=
2
Como fyy > 0, o ponto (2, 1/2) é um ponto de mínimo da função.
16
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
3.4 Método dos multiplicadores de Lagrange.
Em muitas aplicações o problema de achar os extremos de uma função f(x, y, z) apresenta-se sujeito a certas
condições, por exemplo g(x, y, z) = 0, nas variáveis independentes. Estas condições são chamadas vínculos e o
problema correspondente é um problema de extremos vinculados ou extremos condicionados.
Determinar o paralelepípedo retângulo de maior volume cujos vertices jazem no elipsóide de equação x2 ê a2 +
y2 ê b2 + z2 ê c2 = 1.
In[311]:=
Clear@x, y, zD;
f@x_, y_, z_D := 8 x y z
In[313]:=
Clear@x, y, gD;
g@x_, y_, z_D := x2 ê a2 + y2 ê b2 + z2 ê c2 − 1
In[315]:=
dfdx = D@f@x,
dfdy = D@f@x,
dfdz = D@f@x,
dgdx = D@g@x,
dgdy = D@g@x,
dgdz = D@g@x,
y,
y,
y,
y,
y,
y,
zD,
zD,
zD,
zD,
zD,
zD,
xD;
yD;
zD;
xD;
yD;
zD;
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
In[321]:=
Out[321]=
In[322]:=
Out[322]=
17
Solve@8dfdx − λ dgdx 0, dfdy − λ dgdy 0,
dfdz − λ dgdz 0, g@x, y, zD
0<, 8x, y, z, λ<D
98λ → 0, x → 0, y → 0, z → −c<, 8λ → 0, x → 0, y → 0, z → c<,
8λ → 0, x → 0, y → −b, z → 0<, 8λ → 0, x → 0, y → b, z → 0<,
8λ → 0, x → −a, y → 0, z → 0<, 8λ → 0, x → a, y → 0, z → 0<,
4abc
a
b
c
9λ → − è!!! , x → − è!!! , y → − è!!! , z → − è!!! =,
3
3
3
3
4abc
b
a
c
9λ → − è!!! , x → − è!!! , y → è!!! , z → è!!! =,
3
3
3
3
4abc
a
b
c
9λ → − è!!! , x → è!!! , y → − è!!! , z → è!!! =,
3
3
3
3
4abc
a
b
c
9λ → − è!!! , x → è!!! , y → è!!! , z → − è!!! =,
3
3
3
3
4abc
a
b
c
9λ → è!!! , x → − è!!! , y → − è!!! , z → è!!! =,
3
3
3
3
a
b
c
4abc
9λ → è!!! , x → − è!!! , y → è!!! , z → − è!!! =,
3
3
3
3
4abc
a
b
c
9λ → è!!! , x → è!!! , y → − è!!! , z → − è!!! =,
3
3
3
3
4abc
a
b
c
9λ → è!!! , x → è!!! , y → è!!! , z → è!!! ==
3
3
3
3
f@x, y, zD ê. 9x →
8abc
è!!!
3 3
a
b
c
,y→
,z→
=
è!!!!
è!!!!
è!!!!
3
3
3
Encontrar a menor distância da origem à curva y = x3 + 1.
In[336]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x2 + y2
In[348]:=
Clear@x, y, gD;
g@x_, y_D := y − x3 − 1
In[350]:=
dfdx = D@f@x,
dfdy = D@f@x,
dgdx = D@g@x,
dgdy = D@g@x,
In[357]:=
Solve@8dfdx − λ dgdx
Out[357]=
yD,
yD,
yD,
yD,
xD;
yD;
xD;
yD;
0, dfdy − λ dgdy
0<, 8x, y, λ<D êê N
88y → −0.175865 − 0.259309 ,
λ → −0.351731 − 0.518618 , x → 0.597146 − 0.880478 <,
8y → −0.175865 + 0.259309 , λ → −0.351731 + 0.518618 ,
x → 0.597146 + 0.880478 <, 8y → 0.393875, λ → 0.787749, x → −0.846293<,
8y → 0.957856, λ → 1.91571, x → −0.347999<, 8λ → 2., y → 1., x → 0.<<
0, g@x, yD
18
In[359]:=
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
f@x, yD ê. 8y → 1., x → 0.<
f@x, yD ê. 8y → 0.787749, x → −0.846293<
f@x, yD ê. 8y → 0.957856, x → −0.347999<
Out[359]=
1.
Out[360]=
1.33676
Out[361]=
1.03859
In[366]:=
Plot@x3 + 1, 8x, −1, 1<, PlotRange → 80, 2<D;
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
-1
-0.5
0.5
1
Calcular a distância mínima da origem à curva g(x, y) = H1 - xL3 + y2 , x r 1.
In[369]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := x2 + y2
In[371]:=
Clear@x, y, gD;
g@x_, y_D := H1 − xL3 + y2
In[373]:=
dfdx = D@f@x,
dfdy = D@f@x,
dgdx = D@g@x,
dgdy = D@g@x,
In[377]:=
Solve@8dfdx − λ dgdx
Out[377]=
99y → −
9y →
xD;
yD;
xD;
yD;
0, dfdy − λ dgdy
0, g@x, yD
1 $%%%%%%%%%%%%%%%%
2
1
è!!!
%%%%%%
I7 − %%%%%%%%5
M% , λ → 1, x →
I2 +
3
3
3
1
2
1
è!!!
$%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%
I7 − %%%%%%%%5
M% , λ → 1, x →
I2 +
3
3
3
9y → −
9y →
yD,
yD,
yD,
yD,
1 $%%%%%%%%%%%%%%%%
2
1
è!!!
%%%%%%
I7 + %%%%%%%%5
M% , λ → 1, x →
I2 −
3
3
3
2
1
1 $%%%%%%%%%%%%%%%%
è!!!
%%%%%%
I7 + %%%%%%%%5
M% , λ → 1, x →
I2 −
3
3
3
è!!!
5 M=,
è!!!
5 M=,
è!!!
5 M=,
è!!!
5 M==
0<, 8x, y, λ<D
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
19
In[299]:=
dfdx = D@f@x,
dfdy = D@f@x,
dfdz = D@f@x,
dgdx = D@g@x,
dgdy = D@g@x,
dgdz = D@g@x,
In[305]:=
Solve@8dfdx − λ dgdx 0, dfdy − λ dgdy 0,
dfdz − λ dgdz 0, g@x, y, zD
0<, 8x, y, z, λ<D
Out[305]=
In[306]:=
Out[306]=
Out[307]=
Out[308]=
y,
y,
y,
y,
y,
y,
zD,
zD,
zD,
zD,
zD,
zD,
xD;
yD;
zD;
xD;
yD;
zD;
1
98λ → 1, z → 2, x → 0, y → 0<, 9λ → è!!! , z → 1, x → −1, y → 1=,
3
1
è!!!
è!!!
9λ → è!!! , z → 1, x → 1, y → −1=, 9λ → è!!! , z → −1, x → −
3, y → −
3 =,
3
5
è!!!
è!!!
9λ → è!!! , z → −1, x →
3, y →
3 ==
5
f@x, y, zD ê. 8x → 0, y → 0, z → 2<
f@x, y, zD ê. 8x → −1, y → 1, z → 1<
f@x, y, zD ê. 8x → 1, y → −1, z → 1<
2
è!!!
3
è!!!
3
20
Rijo Cal 3 Cap 3.nb
3.5 Extensão do método dos multiplicadores de Lagrange.
O método dos multiplicadores de Lagrange se estende a funções de várias variáveis e aos casos em que vários
vínculos devem ser considerados simultaneamemte.
Consideremos uma função f Hx1 , x2, . . ., xn L, cujos pontos esrtacionáriosse desejam encontrar, sujeitos a r vínculos (r < n) dados pelas equações
g1 Hx1 , x2, . . ., xn L = 0,
g2 Hx1 , x2, . . ., xn L = 0,
...................
gr Hx1 , x2, . . ., xn L = 0,
Para isso introduzimos os parâmetros l1 , l1 , . . ., lr e formemos a função de n + r variáveis
F(x1 , x2, . . ., xn ; l1 , l1 , . . ., lr ) = f - l1 g1 - l1 g1 - . . . - lr gr .
Em seguida determinamos seus pontos estacionários, rersolvendo as n + r equações
∑F
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = 0, i = 1, 2, . . . n; gi = 0, j = 1, 2, . . . ,r.
∑xi
..
CAPÍTULO 4
Funções Implícitas e Transformações
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
4.1 Funções implícitas de uma variável
Teorema das Funções Implícitas. Seja F(x, y) uma função com derivadas Fx e F y contínuas num domínio aberto
D. Suponhamos que F se anula num ponto P0 = Hx0 , y0 L de D, onde F y ∫ 0. Então existe um retângulo
R : x0 - d < x < x0 + d,
todo contido em D, e uma única função f, com domínio
tal que Hx, f HxLL
œ
R e FHx, f HxLL = 0 para todo x0
y0 - m < y < y0 + u,
Vd = 8x : x0 - d < x < x0 + d<,
œ
Vd . Além disso, f é derivável e
f ´HxL = -
Fx
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Fy
(4.1)
A equação FHx, yL = x2 + y2 - 1 = 0 está satisfeita em todos os pontos da circunferência de centro na origem e
raio 1. A condição F y = 2 y ∫ 0 também está satisfeita em todos os pontos dessa circunferência, exceto em
A≤ = H≤1, 0L. Então, numa vizinhança de cada ponto P0 ∫ A≤ , a equação define y0 = f HxL, com derivada
F
x
f ´HxL = - ÅÅÅÅÅxÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅ .
y
Fy
Se a função F(x, y) tiver derivadas segundas contínuas, a Eq. 4.1 nos mostra que f ´será derivável. Para calcular
f ´´tanto podemos derivar essa equação ou sua equivalente, a identidade
Fx Hx, f HxLL + F y Hx, f HxLL f ´HxL = 0.
Derivando esta identidade, obtemos
Fxx + Fxy f ` + Fyx f ´ + Fyy f ´2 + F y f ´´ = 0.
2
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
Daqui e da Eq. 4.1 segue-se que
F F2 + 2 F F F + F F2
xx
y
xy x y
yy
f0 ´´ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅxÅÅÅÅÅ .
F3 y
De maneira análoga podemosw obter as derivadas de f até certa ordem n que F tenha derivadas contínuas até essa
ordem.
Vamos considerar y como função de x, na equação FHx, yL = x3 y3 - x - y + 1 = 0 numa vizinhança de
Po = H1, 1L. Como equação FH1, 1L = 0, Fx = 3 x2 y3 - 1 e F y = 3 x3 y2 - 1 , podemos aplicar o teorema das
Funções Implícitas.
In[35]:=
Out[36]=
In[22]:=
Out[22]=
In[24]:=
H∗ Primeira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗L
Clear@xD;
le = D@x3 y@xD3 − x − y@xD + 1 , xD
−1 + 3 x2 y@xD3 − y @xD + 3 x3 y@xD2 y @xD
H∗ Explicitar y´ ∗L
Solve@le 0, y @xDD
99y @xD →
1 − 3 x2 y@xD3
==
−1 + 3 x3 y@xD2
H∗ Calcular o valor de y´ no ponto H1, 1L∗L
1 − 3 x2 y3
−1 + 3 x3 y2
Out[24]=
In[25]:=
Out[26]=
In[28]:=
Out[28]=
In[30]:=
ê. 8x → 1, y → 1<
−1
H∗ Segunda d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗L
Clear@x, y, fD;
le = D@x3 y@xD3 − x − y@xD + 1 , 8x, 2<D
6 x y@xD3 + 18 x2 y@xD2 y @xD − y @xD + x3 H6 y@xD y @xD2 + 3 y@xD2 y @xDL
H∗ Explicitar y´´ ∗L
Solve@le 0, y @xDD
99y @xD →
−6 x y@xD3 − 18 x2 y@xD2 y @xD − 6 x3 y@xD y @xD2
==
−1 + 3 x3 y@xD2
H∗ Calcular o valor de y´´ no ponto H1, 1L ∗L
−6 x y3 − 18 x2 y2 y − 6 x3 y y
−1 + 3 x3 y2
Out[30]=
In[31]:=
Out[32]=
2
ê. 8x → 1, y → 1, y → −1<
3
H∗ Terceira d erivada de F Hx, yL em relação a x. ∗L
Clear@x, y, fD;
le = D@x3 y@xD3 − x − y@xD + 1 , 8x, 3<D
6 y@xD3 + 54 x y@xD2 y @xD + 9 x2 H6 y@xD y @xD2 + 3 y@xD2 y @xDL −
yH3L @xD + x3 H6 y @xD3 + 18 y@xD y @xD y @xD + 3 y@xD2 yH3L @xDL
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
In[33]:=
Out[33]=
In[34]:=
3
H∗ Explicitar yH3L ∗L
Solve@le 0, yH3L @xDD
99yH3L @xD →
1
H−6 y@xD3 − 54 x y@xD2 y @xD − 6 x3 y @xD3 −
−1 + 3 x3 y@xD2
18 x3 y@xD y @xD y @xD − 9 x2 H6 y@xD y @xD2 + 3 y@xD2 y @xDLL==
H∗ Calcular o valor de yH3L no ponto H1, 1L ∗L
−6 y3 − 54 x y2 y − 6 x3 y 3 − 18 x3 y y y − 9 x2 H6 y y 2 + 3 y2 y L
−1 + 3 x3 y2
8x → 1, y → 1, y → −1, y → 3<
Out[34]=
−
ê.
27
2
Estes valores nos permitem escrever o polinômio de Taylor de terceiro grau da função y = f HxL relativo ao ponto x =
1.
11
ÅÅ Hx - 1L3 .
p3 = 1 - Hx - 1L + ÅÅÅÅ32 Hx - 1L2 - ÅÅÅÅ
4
Exercícios
(pág. 60)
Nos Exercícios 1 a 7, desenvolver a Fórmula de Taylor de cada função, no ponto indicado, até os termos de terceira
ordem.
1. f(x, y) = exy , P0 = (1, -1)
In[28]:=
H∗ A função f Hx, yL = exy . ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@x yD
4
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
4.2 Funçâo implícita de várias variáveis
Do mesmo modo que uma equação FHx, yL = 0 pode determinar uma das variáveis como função da outra,
também uma equação envolvendo três ou mais variáveis determina, sob certa condições, uma das variáveis como
fun;cão das outras. Assim, se FHx0 , y0 , z0 L = 0 e se as derivadas parciais Fx , F y , Fz são funções contínuas em
todo um conjunto aberto D, contendo o ponto P0 = Hx0 , y0 , z0 L, onde Fz ∫ 0, então a equação FHx, y, z L = 0determina uma função z = f Hx, yL , definida numa vizinhança V conveniente do ponto Hx0 , y0 L em  2 , tal que,
para Hx, yL em V Hx, y, f Hx, yLL está em D e
FHx, y, f Hx, yLL = 0
(4.2)
identicamente. Além disso, f possui derivada parciais fx e f y , que são calculadas por derivação da identidade
(4.2), usando a regra da cadeia:
∑f
Fx
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ
ÅÅ
∑x
Fy
e
∑f
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ
ÅyÅ .
∑y
Fx
F
A equação função FHx, y, zL = 2 sen z - x z + y2 - 1 está satisfeita no ponto (1, 1, 0), onde Fz = 1 ∫ 0, logo ela
define z como função de x e y numa vizinhança do ponto (1, 1).
In[4]:=
Out[5]=
In[3]:=
Out[3]=
In[9]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[11]=
In[12]:=
Out[12]=
Clear@x, y, zD;
le = D@2 Sin@z@xDD − x z@xD + y3 − 1 , xD
−z@xD − x z @xD + 2 Cos@z@xDD z @xD
Solve@le 0, z @xDD
99z @xD → −
z@xD
==
x − 2 Cos@z@xDD
Clear@x, y, zD;
le = D@2 Sin@z@yDD − x z@yD + y3 − 1 , yD
3 y2 − x z @yD + 2 Cos@z@yDD z @yD
Solve@le 0, z @yDD
99z @yD →
3 y2
==
x − 2 Cos@z@yDD
H∗ Calcular o valor de fx H1, 1L ∗L
z
−
ê. 8x → 1, y → 1, z → 0<
x − 2 Cos@zD
0
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
In[13]:=
5
H∗ Calcular o valor de fy H1, 1L ∗L
3 y2
x − 2 Cos@zD
Out[13]=
ê. 8x → 1, y → 1, z → 0<
−3
Exercícios
(pág. 112)
Nos Exercícios 1 a 6, ache em termos de x , y, z, as derivadas parciais de primeira ordem das funções implícitas
z = f Hx, yL, determinadas pelas equações dadas
1. x2 + y2 + z2 = 1
In[14]:=
Out[15]=
In[16]:=
Out[16]=
In[17]:=
Out[18]=
In[19]:=
Out[19]=
Clear@x, y, zD;
le = D@x2 + y2 + z@xD2 , xD
2 x + 2 z@xD z @xD
Solve@le 0, z @xDD
x
99z @xD → −
==
z@xD
Clear@x, y, zD;
le = D@x2 + y2 + z@yD2 , yD
2 y + 2 z@yD z @yD
Solve@le 0, z @yDD
y
99z @yD → −
==
z@yD
Resultado: fx = -x ê z e f y = - y ê z.
2. x yH1 + x + yL - z2 = 0
In[20]:=
Out[21]=
In[22]:=
Out[22]=
Clear@x, y, zD;
le = D@x y H1 + x + yL − z@xD2 , xD
x y + y H1 + x + yL − 2 z@xD z @xD
Solve@le 0, z @xDD
99z @xD →
y + 2 x y + y2
==
2 z@xD
6
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
In[23]:=
Out[24]=
In[25]:=
Out[25]=
Clear@x, y, zD;
le = D@x y H1 + x + yL − z@yD2 , yD
x y + x H1 + x + yL − 2 z@yD z @yD
Solve@le 0, z @yDD
99z @yD →
x + x2 + 2 x y
==
2 z@yD
Resultado: fx = Hy + 2 x y + y2 L ê H2 zL e f y = Hx + 2 x y + x2 L ê H2 zL.
Resultado: fx = -x ê z e f y = - y ê z.
3. log x y z + ez = 1
In[28]:=
Out[29]=
In[30]:=
Out[30]=
In[31]:=
Out[32]=
In[33]:=
Out[33]=
Clear@x, y, zD;
le = D@Log@x y z@xDD + Exp@z@xDD − 1, xD
z@xD
z @xD +
y z@xD + x y z @xD
x y z@xD
Solve@le 0, z @xDD
99z @xD → −
x H1 +
z@xD
z@xD
z@xDL
==
Clear@x, y, zD;
le = D@Log@x y z@yDD + Exp@z@yDD − 1, yD
z@yD
z @yD +
x z@yD + x y z @yD
x y z@yD
Solve@le 0, z @yDD
99z @yD → −
y H1 +
z@yD
z@yD
z@yDL
==
Resultado: fx = - z ê Hx + x z ez L e f y = - z ê Hy + y z ez L.
4. x2 z + y x2 - arc sen z = 0
In[34]:=
Out[35]=
In[37]:=
Out[37]=
Clear@x, y, zD;
le = D@x2 z@xD + y x2 − ArcSin@z@xDD, xD
z @xD
2 x y + 2 x z@xD + x2 z @xD − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 − z@xD2
Solve@le 0, z @xDD êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 x Hy + z@xDL 1 − z@xD2
99z @xD → −
==
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
−1 + x2 1 − z@xD2
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
In[38]:=
Out[39]=
In[41]:=
Out[41]=
7
Clear@x, y, zD;
le = D@x2 z@yD + y x2 − ArcSin@z@yDD, yD
z @yD
x2 + x2 z @yD − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 − z@yD2
Solve@le 0, z @yDD êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x2 1 − z@yD2
99z @yD →
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ==
1 − x2 1 − z@yD2
Resultado: fx = - 2 x Hy + z L
è!!!!!!!!!!!!!!2
è!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!
1 - z ë Ix2 1 - z2 - 1M e fx = x2 1 - z2 ë Ix2 1 - z2 - 1M .
Resultado: fx = - z ê Hx + x z ez L e f y = - z ê Hy + y z ez L.
5. x z2 - 3 y z + cos z = 0
In[44]:=
Out[45]=
In[48]:=
Out[48]=
In[49]:=
Out[50]=
In[53]:=
Out[53]=
Clear@x, y, zD;
le = D@x z@xD2 − 3 y z@xD + Cos@z@xDD, xD
z@xD2 − 3 y z @xD − Sin@z@xDD z @xD + 2 x z@xD z @xD
99z @xD →
z@xD2
==
3 y + Sin@z@xDD − 2 x z@xD
Clear@x, y, zD;
le = D@x z@yD2 − 3 y z@yD + Cos@z@yDD, yD
−3 z@yD − 3 y z @yD − Sin@z@yDD z @yD + 2 x z@yD z @yD
Solve@le 0, z @yDD
99z @yD →
3 z@yD
==
−3 y − Sin@z@yDD + 2 x z@yD
Resultado: fx = z2 ê H3 y + sen z - 2 x zL e fx = - 3 z ê H3 y + sen z - 2 x zL.
6. x2 - y2 + z2 = 1
In[54]:=
Out[55]=
In[56]:=
Out[56]=
Clear@x, y, zD;
le = D@x2 − y2 + z@xD2 − 1, xD
2 x + 2 z@xD z @xD
x
99z @xD → −
==
z@xD
8
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
In[57]:=
Out[58]=
In[59]:=
Out[59]=
Clear@x, y, zD;
le = D@x2 − y2 + z@yD2 − 1, yD
−2 y + 2 z@yD z @yD
Solve@le 0, z @yDD
y
99z @yD →
==
z@yD
Resultado: fx = - x ê z e fx = y ê z.
4.3 Funçôes implícitas de várias variáveis
Os resultados anteriores se estendem mesmo ao caso em que lidamos com sistema de equações envolvendo várias
variáveis. Assim, duas equações em várias variáveis,
FHx1 , x2 , . . . , xn L = 0
e
GHx1 , x2 , . . . , xn L = 0
(4.3)
podem, em geral, ser resolvidas em relação a duas dessas variáveis como função das outras.
Vamos considerar, em seguida, duas equações
FHu, v, x, yL = 0
e
GHu, v, x, yL = 0
(4.4)
que desejamos resolver para exprimir, digamos, u e v como função de x e y. Para isso devemos introduuzir o
determinante
ƒƒ ∑F
ƒƒ ÅÅÅÅ∑uÅÅÅÅ
J = ƒƒƒƒ ∑F
ƒƒ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ƒƒ ∑v
∑G ƒƒ
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ƒ
∑u ƒƒ
∑F ∑G
∑F ∑G
ƒƒ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
∑u ∑v
∑v ∑u
∑G ƒƒ
ƒ
ÅÅÅÅ∑vÅÅÅÅ ƒƒ
chamado o jacobiano das funções F e G em relação a u e v. Ele costuma ser indicado pelos símbolos
∑HF, GL
DHF, GL
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ou ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
∑Hu, vL
DHu, vL
Teorema. Sejam FHu, v, x, yL e GHu, v, x, yL funções contínuas com derivadas contínuas num domínio D de
 4 . Se as Eqs. (4.4) estão satisfeitas num ponto P0 = Hu0 , v0 , x0 , y0 L de D e se nesse ponto o jacobiano é
diferente de zero, então existe um único par de funções, u = f Hx, yL e v = g(x, y), definidas numa vizinhança V
conveniente do ponto Q0 = Hx0 , y0 L em  2 , tal que o ponto H f Hx, yL, gHx, yL, x, yL está em D, o jacobiano J é
diferente de zero e
FH f Hx, yL, gHx, yL, x, yL
e
F(f(x, y), g(x, y), x, y)
identicamente para Hx, yL em V. Além disso, as funções f e g são diferenciáveis e suas derivadas são dadas por
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
9
ƒƒƒ ∑F
ƒƒƒ ÅÅÅÅ∑vÅÅ Å
ƒƒƒƒ ∑F
ƒƒ ÅÅÅÅ∑xÅÅ Å
∑G ƒƒ
ÅÅÅÅ
ÅÅ Å ƒƒƒ
∑v
ƒƒ
∑G ƒƒƒ
ÅÅÅÅÅÅ Å ƒƒ
ƒƒƒ ∑F
ƒƒƒ ÅÅÅÅ∑vÅÅ Å
ƒƒƒƒ ∑F
ƒƒƒ ÅÅÅÅ∑yÅÅ Å
∑G ƒƒ
ÅÅÅÅ
ÅÅ Å ƒƒƒ
∑v
ƒƒ
∑G ƒƒƒ
ÅÅÅÅ
ÅÅ Å ƒƒƒ
∑y
∑f
∑x
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
J
∑x
∑f
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
J
∑y
Exercícios
ƒƒƒ ∑F
ƒƒƒ ÅÅÅÅ∑uÅÅÅÅ
ƒƒƒƒ ∑F
ƒƒ ÅÅÅÅ∑xÅÅÅÅ
∑G ƒƒ
ÅÅÅÅ
ÅÅ Å ƒƒƒ
∑u
ƒƒ
∑G ƒƒƒ
ÅÅÅÅÅÅ Å ƒƒ
ƒƒƒ ∑F
ƒƒƒ ÅÅÅÅ∑uÅÅÅÅ
ƒƒƒƒ ∑F
ƒƒƒ ÅÅÅÅ∑xÅÅÅÅ
∑G ƒƒ
ÅÅÅÅ
ÅÅ Å ƒƒƒ
∑u
ƒƒ
∑G ƒƒƒ
ÅÅÅÅ
ÅÅ Å ƒƒƒ
∑y
∑g
∑x
ÅÅÅÅ
ÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
J
∑x
∑g
ÅÅÅÅ
ÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
J
∑y
(pág. 115)
1. Resolver explicitamente as equações x + y + sen u v = 0 e 3 x + 2 y + u2 + v2 = 0 para obter x e y como
funções de u e v.
In[1]:=
Out[2]=
H∗ Explicitar x e y ∗L
Clear@x, y, fD;
Solve@8x + y + Sin@ u vD
0, 3 x + 2 y + u2 + v2
88x → −u2 − v2 + 2 Sin@u vD, y → u2 + v2 − 3 Sin@u vD<<
0<, 8x, y<D
2. Determinar as derivadas parciais de primeira ordem de u e v como funções de x e y, definidas implicitamente pela
equações x u2 + y2 v = 1 e u v - x2 + y 2 u2 = 0.
In[5]:=
In[9]:=
H∗ Calcular o jacobiano ∗L
Clear@x, y, u, vD;
f@x_, y_, u_, v_D := x u2 + y2 v2 − 1
g@x_, y_, u_, v_D := u v − x2 + y2 u2
j = Det@88D@f@x, y, u, vD, uD, D@g@x, y, u, vD, uD<,
8D@f@x, y, u, vD, vD, D@g@x, y, u, vD, vD<<D
Out[9]=
2 u2 x − 2 v2 y2 − 4 u v y4
In[26]:=
dfdx = Det@88D@f@x, y, u, vD, vD, D@g@x, y, u, vD, vD<,
8D@f@x, y, u, vD, xD, D@g@x, y, u, vD, xD<<D ê j êê Simplify
Out[26]=
In[25]:=
Out[25]=
In[24]:=
Out[24]=
−2
u2
u3 + 4 v x y2
x + 2 v2 y2 + 4 u v y4
dgdx = −Det@88D@f@x, y, u, vD, uD, D@g@x, y, u, vD, uD<,
8D@f@x, y, u, vD, xD, D@g@x, y, u, vD, xD<<D ê j êê Simplify
u Hu v + 4 x2 + 2 u2 y2 L
2 u2 x − 2 v2 y2 − 4 u v y4
dfdy = Det@88D@f@x, y, u, vD, vD, D@g@x, y, u, vD, vD<,
8D@f@x, y, u, vD, yD, D@g@x, y, u, vD, yD<<D ê j êê Simplify
u v y H−v + 2 u y2 L
u2 x − v2 y2 − 2 u v y4
10
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
In[23]:=
Out[23]=
dgdy = −Det@88D@f@x, y, u, vD, uD, D@g@x, y, u, vD, uD<,
8D@f@x, y, u, vD, yD, D@g@x, y, u, vD, yD<<D ê j êê Simplify
y Hv3 − 2 u3 x + 2 u v2 y2 L
u2 x − v2 y2 − 2 u v y4
4.4 Transformações e suas inversas. Transformações lineares
Um sistema de duas funções
u = uHx, yL e v = vHx, yL
definidas num mesmo domínio D constitui o que chamamos de transformação ou aplicação, visto que cada ponto
P = Hx, yL e transformado (aplicado) num outro ponto Q = Hu, vL. Podemos indicar essa aplicação com o
símbolo f, escrevendo
f HPL = HuHPL, vHPLL = Q
f : Hx, yL Ø Hu, vL, f : P Ø f HPL ou f : D œ 2 Ø 2
A idéia de aplicação não se restringe apenas ao plano, ele pode ser generalizada para espaços de três ou mais
dimensões. Nesse caso, teríamos
f : D œ m Ø n
Uma aplicação desse tipo é também chamada de campo vetorial.
Vamos considerar a transformação f dada pelas equações
z = a x + b y,
w = c x + d y,
onde a, b, c, d são constantes não todas nulas. Esta aplicação tem a interessante propriedade de transformar retas em
retas. Por esta razão este tipo de transformação é chamada transformação linear.
Essa transformação linear é inversível se D = a d - b c ∫ 0. Neste caso, teremos
x = Hd z - b wL ê D,
y = Ha w - c zL ê D,
Uma aplicação linear f no espaço 3 é dada pela fórmulas de transformação
u = a1 x + b1 y + c1 z,
v = a2 x + b2 y + c2 z,
w = a3 x + b3 y + c3 z.
Como no exemplo anterior, essa aplicação transforma reta em retas e planos em planos.
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
11
Aplicações lineares satisfazem as seguintes propriedades
f Hu + vL = f HuL + f HvL,
f Ht uL = t f HuL.
A transformação por reflexão no círculo unitário, também chamada transformação de Kelvin é dada pela fórmulas de
transformação
u = x ê Hx2 + y2 L
v = y ê Hx2 + y2 L
e
Essa transformação f leva o exterior do círculo unitário de centro na origem no seu interior e vice-versa. Ela deixa
invariantes os pontos da circunferência desse círculo. Além disso f HPL Ø 0 com P Ø ¶ e f HPL Ø ¶ com P Ø 0.
De forma análoga, a transformação inversa é dada por
x = u ê Hu2 + v2 L
Exercícios
e
y = v ê Hu2 + v2 L.
(pág. 119)
4. Determine as equações de transformação da aplicação linear f dada por f(1, 1) = (1, 2) e f(-1, 2) = (0, 7)
In[2]:=
Out[2]=
H∗ Calcular a, b, c, d ∗L
Solve@8a + b
1, c + d
2, −a + 2 b == 0, −c + 2 d == 7<, 8a, b, c, d<D
99a →
2
1
,b→
, c → −1, d → 3==
3
3
z = H 2 x + yL ê 3,
In[6]:=
Out[6]=
w = -x + 3y
H∗ Transformação inversa ∗L
Solve@8H2 x + yL ê 3 == z, −x + 3 y
99x → −
w<, 8x, y<D
1
1
Hw − 9 zL, y → −
H−2 w − 3 zL==
7
7
x = H 9 z - wL ê 7,
y = H 3 z + 2 wL ê 7
7. Determine as equações de transformação da aplicação linear f : 3 Ø 3 tal que
f(1, 0, 0) = (0, 1, 2), f(1, 1, 0) = (1, 1, 1),
In[4]:=
Out[4]=
f(1, 1, 1) = (2, -1, 1),
H∗ Calcular a, b, c, d ∗L
Solve@8a1
0, a2
1, a3
2, a1 + b1
1, a2 + b2
a1 + b1 + c1
2, a2 + b2 + c2
−1, a3 + b3 + c3
8a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3<D
1, a3 + b3
1<,
88a1 → 0, b1 → 1, c1 → 1, a2 → 1, b2 → 0, c2 → −2, a3 → 2, b3 → −1, c3 → 0<<
u = y + z,
v = x - 2 z,
w = 2 x - y.
1,
12
Rijo Cal 3 Cap 4.nb
In[5]:=
Out[5]=
H∗ Transformação inversa ∗L
Solve@8y + z == u, x − 2 z v, 2 x − y
99x → −
w<, 8x, y, z<D
1
1
1
H−2 u − v − 2 wL, y → −
H−4 u − 2 v + wL, z → −
H−u + 2 v − wL==
5
5
5
4.5 Mudança de Coordenadas
Teorema: Suponhamos que as funções u = u(x, y) e v = v(x, y) sejam contínuas e tenham derivadas primeira
contínuas numa vizinhança V de um ponto Hx0 , y0 L onde o jacobiano é sempre diferente de zero, isto é,
∑Hu, vL
J0 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = ux v y - u y vx ∫ 0 em V.
∑Hx, yL
Então u = u(x, y) e v = v(x, y) podem ser resolvidas, ao menos inplicitamente, e as funções inversas u = u(x, y) e v
= v(x, y) são contínuas e possuem derivadas primeirascont;inuas numa vizinhança do ponto Hx0 , y0 L , onde u0 =
uHx0 , y0 L e v0 = vHx0 , y0 L. Além disso, as derivadas dessas funções são dadas por
xu = v y ê J , yu = -vx ê J , xv = -u y ê J , yv = ux ê J .
CAPÍTULO 5
Integrais Múltiplas
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
5.1 Integrais que dependem de um parâmetro
F(x) = Ÿ
Dada a função a função
A derivada de F0 HxL é dada por
d
ÅÅÅÅ
ÅÅ
dx Ÿ
u2 HxL
u1 HxL
f Hx, yL „ y =
Ÿu HxL
u2 HxL
1
u1 HxL
H∗ Derivada de f HxL ∗L
FHxL =
f@x_D := IntegrateAExp@−y2 D, 9y, x2 ,
D@f@xD, xD êê Simplify
è!!! − 2
2 x
−x
Out[2]=
−x4
f Hx, yL „ y.
∑ f Hx, yL
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ „ y + f Hx, u2 HxLL u2 ' HxL - f Hx, u1 HxLL u1 ' HxL
∑x
EXEMPLO 1. Derivar a função
In[1]:=
u2 HxL
Ÿx
è!!!!
x
‰-y „ y
2
2
è!!!!
x =E
x
Ÿ0 logHx2 + y2 L „ y
1
FHxL =
2
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
In[3]:=
Out[4]=
f@x_D := Integrate@Log@x2 + y2 D, 8y, 0, 1<D
D@f@xD, xD êê Simplify
IfARe@x2 D > 0, −
IntegrateA
In[27]:=
Out[27]=
H1 +
−
2
1
x2
L x3
H1 +
2
1
x2
L x3
−
I1 + H
2
1
x
L Mx
2
2x
, 8y, 0, 1<, Assumptions → Re@x2 D ≤ 0EE
x2 + y2
−
I1 + H
2
1
x
L Mx
2
+
2x
x2
êê Simplify
0
FHxL =
In[5]:=
Out[8]=
2x
1
+ 2 ArcTanA E,
x2
x
+
Ÿx
è!!!!
x
‰xy ê y „ y
2
f@x_, y_D := Exp@x y2 D ê y
u1@x_D := x
è!!!!
u2@x_D := x
Integrate@D@f@x, yD, xD, 8y, u1@xD, u2@xD<D +
f@x, u2@xDD D@u2@xD, xD − f@x, u1@xDD D@u1@xD, xD êê Simplify
2
x2
−3
2x
Exercícios
x3
(pág. 60)
x2
Ÿ1 log y „ y
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 13.
1.
FHxL =
In[57]:=
In[61]:=
Out[61]=
Clear@x, yD;
f@y_D := Log@yD
u1@x_D := 1
u2@x_D := x2
f@u2@xDD D@u2@xD, xD − f@u1@xDD D@u1@xD, xD
2 x Log@x2 D
‰x
Ÿ1 log y „ y
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 13.
2.
FHxL =
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
In[62]:=
In[66]:=
Clear@x, yD;
f@y_D := Log@yD
u1@x_D := 1
u2@x_D := x
x
Out[66]=
3.
FHxL =
In[68]:=
In[72]:=
Out[72]=
4.
In[78]:=
Out[78]=
5.
In[88]:=
Out[88]=
6.
x
D
Ÿ-è!!!x 1 ê
1
è!!!!!!!!
!!!!!!!
y2 + 1 „ y
1
è!!! è!!!!!!!!!!
2 x 1+x
è!!!!!!!!!!!!
Ÿ-è!!!x y 1 - y „ y
1
Clear@x, yD;
è!!!!!!!!!!!!!
f@y_D := y 1 − y
u1@x_D := x
u2@x_D := x2
f@u2@xDD D@u2@xD, xD − f@u1@xDD D@u1@xD, xD êê Simplify
è!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!
− 1 − x x + 2 x3 1 − x2
FHxL =
In[84]:=
Log@
Clear@x, yD;
è!!!!!!!!!!!!!!!
f@y_D := 1 ë y2 + 1
è!!!!
u1@x_D := − x
u2@x_D := 1
FHxL =
In[73]:=
3
Ÿ-è!!!x ‰ y „ y
1
Clear@x, yD;
f@y_D := Sin@1 ê yD
è!!!!
u1@x_D := x
u2@x_D := x
SinA
FHxL =
1
SinA è!!!
! E
1
x
E−
è!!!
x
2 x
1
Ÿ-è!!!x ‰ y „ y
4
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
In[31]:=
Out[35]=
Clear@x, yD;
f@y_D := y
u1@x_D := x2
u2@x_D := Log@xD
1−2
x2
x
5.2 Integrais duplas. Áreas e Volume
Seja f Hx, yL uma função definida num domínio D do plano. Vamos supor que ekle seja limitado, de sorte que ele
estará todo contido num retângulo
R : a § x § b, c § y § d
A integral dupla da função f Hx, yL é o resultado de se integrar primeiro em y e depois em x:
Ÿ ŸD f Hx, yL „ x „ y = Ÿa AŸu HxL
u2 HxL
b
ou primeiro em x e depois em y:
Ÿc AŸu HyL
Ÿ ŸD
f Hx, yL „ x „ y =
Ÿ ŸD
è!!!
è!!!
x cos Iy x M „ x „ y
EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral
u2 HyL
d
f Hx, yL „ xE „ y
1
onde D é o domínio delineado pelas retas y = 0, x = p/4 e pela curva y =
In[28]:=
f Hx, yL „ yE „ x
1
è!!!
x.
H∗ O gráfico do domínio D ∗L
è!!!!
p1 = PlotA x , 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityE;
p2 = ShowA
[email protected], LineA98t, 0<, 9t,
è!!!!
t ==E=E, 8t, 0, π ê 4, .001<E,
DisplayFunction → IdentityE;
Show@8p1, p2, p1<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
In[89]:=
Out[90]=
5
H∗ Cálculo da integral da função f Hx, yL ∗L
è!!!!
è!!!!
f@x_, y_D := x CosAy x E
è!!!!
IntegrateAIntegrateAf@x, yD, 9y, 0, x =E, 8x, 0, π ê 4<E
1
1 − è!!!
2
Ÿ ŸD x
è!!!!
y „x„ y
onde D é o domínio delineado pelas retas y = 0, x + y = 2 e e a parábola x = y2 .
In[42]:=
H∗ O gráfico do domínio D ∗L
è!!!!
p1 = PlotA9 x , 2 − x=, 8x, 0, 2<, DisplayFunction → IdentityE;
p2 = ShowA
[email protected], LineA98t, 0<, 9t,
è!!!!
t ==E=E, 8t, 0, 1, .001<E,
DisplayFunction → IdentityE;
p3 = Show@
Table@Graphics@[email protected], Line@88t, 0<, 8t, 2 − t<<D<D, 8t, 1, 2, .001<D,
DisplayFunction → IdentityD;
Show@8p1, p2, p3, p1<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2
1.5
1
0.5
0.5
In[91]:=
Out[92]=
1
1.5
2
è!!!!
f@x_, y_D := x y
Integrate@Integrate@f@x, yD, 8x, y2 , 2 − y<D, 8y, 0, 1<D
676
1155
6
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
5.3 Propriedades da integral
Ÿ ŸD c f Hx, yL „ x „ y = c Ÿ ŸD f Hx, yL „ x „ y
A linearidade da integral se expressa através das seguintes equações:
Ÿ ŸD @ f Hx,
ou primeiro em x e depois em y:
yL + gHx, yLD „ x „ y =
Ÿ ŸD f Hx, yL „ x „ y
+
Ÿ ŸD gHx, yL „ x „ y .
Se D = D1 ‹ D2 , onde D1 e D2 são domínios disjuntos ou se têm em comum um número finito de arcos regulares,
então
Ÿ ŸD ‹ D
1
f Hx, yL „ x „ y =
2
Ÿ ŸD
f Hx, yL „ x „ y +
1
Ÿ ŸD
f Hx, yL „ x „ y
2
5.4 Mudança de variáveis nas integrais duplas
Ÿ ŸD f Hx, yL „ x „ y.
Seja a integral
Vamos supor que o domínio D do plano x, y seja transformado num domínio D ' do plano u, v por uma aplicação
biunívoca dada pela equações de transformação
x = xHu, vL e y = yHu, vL
Supomos ainda que essas funções sejam contínuas, com derivadas contínuas e jacobiano diferente de zero em D '.
∑y ƒƒ
∑x
ƒƒƒ ÅÅÅÅ
ÅÅ ƒ
ƒƒ ∑uÅÅ ÅÅÅÅ
∑u ƒƒƒ
∑Hx, yL
ƒƒ
J = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Å
=
ƒƒ ∑x ∑y ƒƒƒ ∫ 0
∑Hu, vL
ƒƒƒ ÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅ
ÅÅ ƒ
∑v
∑v ƒƒ
Ÿ ŸD f Hx, yL „ x „ y = Ÿ ŸD ' f Hx@u, vL, yHu, vLL À J À „ u „ v
onde D é o círculo x2 + y2 § R.
In[76]:=
f@x_, y_D :=
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!
x2 + y2
Ÿ ŸD
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!
x2 + y2 „ x „ y
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
In[69]:=
In[83]:=
Out[83]=
In[84]:=
Out[84]=
7
Clear@x, y, r, θD;
x = r Cos@θD;
y = r Sin@θD;
jacobiano = Det@88D@x, rD, D@y, rD<, 8D@x, θD, D@y, θD<<D êê Simplify
r
Integrate@Integrate@f@x, yD Abs@jacobianoD, 8r, 0, R<D, 8θ, 0, 2 π<D
3ê2
2
π HR2 L
3
Ÿ ŸDI ÅÅÅÅax ÅÅ
2
y
x
onde D = 9Hx, yL : ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ § 1=.
a2
b2
2
In[85]:=
In[90]:=
f@x, yD
In[94]:=
Out[94]=
In[96]:=
Out[96]=
2
f@x_, y_D := x2 ê a2 + y2 ê b2
Clear@x, y, r, θD;
x = a u;
y = b v;
In[91]:=
y
+ ÅÅÅÅ
ÅÅ M „ x „ y
b2
2
In[86]:=
Out[90]=
2
u2 + v2
Clear@u, v, r, θD;
u = r Cos@θD;
v = r Sin@θD;
jacobiano = Det@88D@u, rD, D@v, rD<, 8D@u, θD, D@v, θD<<D êê Simplify
r
a b Integrate@Integrate@f@x, yD Abs@jacobianoD, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D
abπ
2
ondeD = 8Hx, yL : » x » + » y » § 1<
Ÿ ŸD À Hx + yL Hx - yL À „ x „ y
#
"######################################
HHx + yL Hx − yLL2
In[110]:=
f@x_, y_D :=
In[111]:=
Clear@x, y, u, vD;
x = Hu + vL ê 2;
y = Hu − vL ê 2;
8
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
In[114]:=
Out[114]=
In[119]:=
Out[119]=
jacobiano = Det@88D@x, uD, D@y, uD<, 8D@x, vD, D@y, vD<<D êê Simplify
−
1
2
Integrate@
Integrate@Evaluate@f@x, yDD Abs@jacobianoD, 8u, −1, 1<D, 8v, −1, 1<D
1
2
5.5 Integrais impróprias
5.6 Integrais triplas
O cálculo de uma integral tripla, em geral, é efetuado por redução a uma integral simples, seguida de uma integração dupla. Por exemplo, vamos considerar um domínio D, cuja fronteira seja constituída de duas superfícies
z = g1 Hx, yL
e
z = g2 Hx, yL
onde g1 e g2 são definidas no mesmo domínio D do plano x, y, g1 Hx, yL § g2 Hx, yL. Então
Ÿ Ÿ ŸD f Hx, y,
zL „ x „ y „ z =
Ÿ ŸR „ x „ y Ÿg HxL
ug2 HxL
f Hx, y, zL „ z
1
EXEMPLO 1. Vamos usar a integração tripla para calcular o volume do sólido D, delineado pelos parabolóides
z = x2 + y2 e z = 12 - x2 - 3 y2 .
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
9
p1 = Plot3D@x2 + y2 , 8x, −3, 3<, 8y, −3, 3<,
p2 = Plot3D@12 − x2 − 3 y2 , 8x, −3, 3<, 8y, −3, 3<,
In[210]:=
2
0
-2
10
0
-10
-20
-2
0
2
In[154]:=
Out[154]=
In[157]:=
Out[157]=
In[161]:=
Out[163]=
1. ‡
0
πê2
H∗ Interseção dos dois parabolóides ∗L
0 êê Simplify
x2 + y2 − 12 + x2 + 3 y2
x2 + 2 y2
6
Solve@2 y2
6, yD
è!!!
è!!!
99y → − 3 =, 9y → 3 ==
H∗ Cálculo da integral da função f Hx, y, zL = 1 em D ∗L
Clear@x, y, zD;
f@x_, y_, z_D := 1
IntegrateAIntegrateAIntegrate@f@x, y, zD, 8z, x2 + y2 , 12 − x2 − 3 y2 <D,
è!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!! è!!!!
9x, − 6 − 2 y2 , 6 − 2 y2 =E, 9y, − 3 , 3 =E
18
è!!!
2 π
x‡
0
x
y ‡ cos Hx + y + zL z
Exercícios
y
0
(pág. 60)
Calcule as integrais repetidas nos Exercícios 1 a 5.
10
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
1. ‡
πê2
0
In[164]:=
−
Out[165]=
πê2
In[168]:=
x
y
π
0
z‡
Out[184]=
πê4
Out[190]=
0
y‡
y
y
x
z
1
9
In[183]:=
In[189]:=
z
0
z
y‡
yz
cos Hx ê y L x
Clear@x, y, zD;
Integrate@
Integrate@Integrate@ Cos@x ê yD, 8x, 0, y z<D, 8y, 0, z<D, 8z, 0, π<D
0
0
z ‡ sen Hx + y + zL z
Clear@x, y, zD;
Integrate@Integrate@Integrate@ y ê x, 8z, 0, y<D, 8y, 0, x<D, 8x, 0, 1<D
0
Out[178]=
5. ‡
y‡
x‡
In[177]:=
4. ‡
1
3
1
3
Out[169]=
0
y
0
0
1
y ‡ cos Hx + y + zL z
Clear@x, y, zD;
Integrate@
Integrate@Integrate@Sin@x + y + zD, 8x, 0, z<D, 8z, 0, y<D, 8y, 0, π ê 2<D
0
3. ‡
x
Clear@x, y, zD;
Integrate@
Integrate@Integrate@Cos@x + y + zD, 8z, 0, y<D, 8y, 0, x<D, 8x, 0, π ê 2<D
0
2. ‡
x‡
0
1
H−4 + π2 L
2
z‡
2z
y‡
y
x x
Clear@x, y, zD;
Integrate@
Integrate@Integrate@ x, 8x, Cos@yD, y <D, 8y, z, 2 z<D, 8z, 0, π ê 4<D
z
Cos@yD
π2 H−48 + 7 π2 L
6144
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
11
5.7 Mudanças de variáveis
O problema de mudança de variáveis numa integral tripla é inteiramente análogo ao mesmo problema, já tratado
no caso das integrais duplas.
Ÿ Ÿ ŸD f Hx, yL „ x „ y.
Seja a integral
Vamos supor que o domínio D do espaço x, y, z seja transformado num domínio D ' do espaço u, v, w por uma
aplicação biunívoca dada pela equações de transformação
x = xHu, v, wL , y = yHu, v, wL , z = z (u, v, w)
Supomos ainda que essas funções sejam contínuas, com derivadas contínuas e jacobiano diferente de zero em D '.
∑x
∑x
∑x ƒƒ
ƒƒƒ ÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ƒ
ƒƒ ∑uÅÅ ÅÅÅÅ
∑v
∑w ƒƒ
ƒƒ
ƒƒ
ƒ
∑y
∑y ƒƒ
∑Hu, v, wL
∑y
ƒƒ ÅÅÅÅ
ƒƒ ∫ 0
J = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
=
Å
Å
ÅÅÅÅ
Å
Å
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
ƒ
∑Hx, y, zL
ƒƒƒ ∑u ∑v ∑w ƒƒƒ
ƒƒ ∑z ∑z ∑z ƒƒ
ƒƒ ÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ƒ
∑v
∑w ƒƒ
ƒ ∑uÅÅ ÅÅÅÅ
Ÿ Ÿ ŸD f Hx, yL „ x „ y = Ÿ Ÿ ŸD ' f Hx@u, v, wL, yHu, v, wL, zHu, v,
wLL À J À „ u „ v „ w
Coordenadas cilíndrica
In[191]:=
In[195]:=
Out[195]=
x = r Cos@θD;
y = r Sin@θD;
z = z;
jacobiano = Det@88D@x, rD, D@x, θD, D@x, zD<, 8D@y, rD, D@y, θD, D@y, zD<,
8D@z, rD, D@z, θD, D@z, zD<<D êê Simplify
r
Coordenadas esféricas
In[197]:=
In[202]:=
Out[202]=
Clear@x, y, z, r, θ, φD;
x = r Sin@θD Cos@φD;
y = r Sin@θD Sin@φD;
z = r Cos@θD;
jacobiano = Det@88D@x, rD, D@x, θD, D@x, φD<, 8D@y, rD, D@y, θD, D@y, φD<,
8D@z, rD, D@z, θD, D@z, φD<<D êê Simplify
r2 Sin@θD
EXEMPLO 1. Calculo da massa de um cilindro contido num cilindro circular reto de raio R e altuta h, supondo que
a densidade de massa r = r0 r 0nde r0 é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro.
12
Rijo Cal 3 Cap 5.nb
In[214]:=
<< Graphics`Shapes`
In[215]:=
Show@Graphics3D@Cylinder@DDD;
In[208]:=
Clear@r, θ, zD;
Integrate@Integrate@Integrate@ρ0 r2 , 8z, 0, h<D, 8r, 0, R<D, 8θ, 0, 2 π<D
Out[209]=
2
h π R3 ρ0
3
CAPÍTULO 6
Integrais de Linha
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
6.1 Arcos e Regiões
Um arco de curva ou caminho no espaço é uma aplicação de I
paramétricas
x = x HtL,
y = y HtL,
Õ  em 3
especificada por três equações
z = z HtL.
Um arco C(t) = x HtL i + y HtL j + z HtL k é contínuo se as funções paramétricas forem contínuas.
Um arco é dito liso ou regular se C ' (t) = x' HtL i + y ' HtL j + z' HtL k ∫ 0. Um arco é seccionalmente regular se
suas funções paramétricas forem contínuas no intervalo de definição, porém cujas derivadas sejam seccionalmente
contínuas nesse intervalo.
A representação paramétrica de um arco C(t), a § t § b ordena os pontos de C de acordo com os valores
crescentes de t, de sorte que C é um conjunto ordenado ou orientado. A orientação é direta ou positiva quando t
cresce de a a b, a orientação é oposta ou negativa quando t decresce de b a a. Os pontos C(a) e C(b) são chamados
a origem e a extremidade de C, respectivamente. Diz-se que um arco é simples quando t1 ∫ t2 fl CHt1 L ∫ CHt2 L.
Diz-se que o arco é fechado quando suas extremidades são coincidentes: C(a) = C(b). O arco é fechado simples se
todos os seus pontos, à exceção das extremidades, forem simples. Um arco fechado simples é chamado de
contorno.
Um conjunto aberto é todo conjunto cujos pontos são interiores, nenhum deles pertencem à sua fronteira. Diz-se
que um conjunto aberto é conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser ligados por uma linha poligonal toda
contida no conjunto.
Chamanos região a todo conjunto aberto e conexo. É comum indicar a fronteira de um conjunto qualquer A com o
êêê
símpolo ∑A. Dada um região R, chamamos região fechada R ao conjunto R ‹ ∑R, que se obtém juntando-se a R
os pontos de sua fronteira.
2
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
Uma região R é simplesmente conexa se qualquer curva (arco, caminho) fechada em R pode ser deformada com
continuidade até reduzir-se a um ponto sem sair de R.
Exercícios
Identifique os arcos nos Exercícios 1 a 12, faça gráficosa e indique suas orientações
1. P(t) = t i + H1 - tL j,
In[228]:=
0§t§1
H∗ O gráfico do arco P HtL ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1 − t
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 1<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
2. P(t) = 2 t i + t2 j,
In[232]:=
0.4
0.6
0.8
1
-1 § t § 0
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 2 t
y@t_D := t2
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, −1, 0<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1.5
3. P(t) = Ht2 + 1L i + 3 t j,
-1
-0.5
-1 § t § 1
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[236]:=
3
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t2 + 1
y@t_D := −3 t
3
2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-1
-2
-3
4. P(t) = t i + 2 t j + H1 - tL k ,
In[240]:=
0§t§2
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 2 t
z@t_D := 1 − t
ParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, 2<D;
4
3
2
1
10
0.5
0
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
1
5
2
5. P(t) = cos t i + sen t j + t k ,
0 § t § 2p
4
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[245]:=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := t
ParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, 2 π<D;
-1
1 -0.50 0.5
0.5
1
0
-0.5
5
-1
6
4
2
0
6. P(t) = sen t i - cos t j - 2 t k ,
0§t§p
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[250]:=
5
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := Sin@tD
y@t_D := −Cos@tD
z@t_D := −2 t
ParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, π<D;
0 0.5
0.25
0.75
1
0
-2
-4
-6
1
0.5
0
-0.5
-1
7. P(t) = 1 ê t i + t j ,
In[253]:=
1§t§¶
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1 ê t
y@t_D := t
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 70<, PlotRange → 80, 10<D;
10
8
6
4
2
0.5
8. P(t) = t i + 2 ê t j ,
1
1.5
¶§t§0
2
2.5
3
6
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[269]:=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 2 ê t
40
35
30
25
20
15
10
5
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1- t j ,
0.5
9. P(t) = t i +
In[263]:=
1
1.5
2
-1 § t § 1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
è!!!!!!!!!!!!!!!!
y@t_D := 1 − t2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
10. P(t) = t i In[267]:=
-0.5
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1- t j ,
0.5
1
-1 § t § 1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
è!!!!!!!!!!!!!!!!
y@t_D := − 1 − t2
-1
-0.5
0.5
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
1
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1 - t i + tj ,
11. P(t) =
In[271]:=
7
-1 § t § 1
Clear@x, y, tD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
x@t_D := 1 − t2
y@t_D := t
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.5
-1
12. P(t) = -cos i + sen t j ,
P(t) =
P(t) =
In[179]:=
Ht - p ê 2L j ,
0 § t § p/2;
p/2 § t § 1 + p/2;
Ht - 1 - p ê 2L i + (2 - t + p/2) j , 1+p/2 § t § 2 + p/2;
Clear@x, y, tD;
x@t_D := − Cos@tD ê; 0 ≤ t ≤ π ê 2
y@t_D := Sin@tD ê; 0 ≤ t ≤ π ê 2
x@t_D := 0 ê; π ê 2 ≤ t ≤ 1 + π ê 2
y@t_D := t − π ê 2 ê; π ê 2 ≤ t ≤ 1 + π ê 2
x@t_D := t − 1 − π ê 2 ê; 1 + π ê 2 ≤ t ≤ 2 + π ê 2
y@t_D := 2 − t + π ê 2 ê; 1 + π ê 2 ≤ t ≤ 2 + π ê 2
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<,
8t, 0, 2 + π ê 2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
11. P(t) = t i + t 3 j + sen 1 ê t k ,
0.5
0<t§1
1
8
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[280]:=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@tD := Sin@1 ê tD
10
0.75 0.250.50.75
0.5
1
0.25
0
0
-0.5
-1
-1.5
-2
In[209]:=
H∗ Limite do arco P' HtL no ponto t = 0 ∗L
Limit@x '@tD, t → 0D
Limit@y '@tD, t → 0D
Out[209]=
1
Out[210]=
0
O arco dado é regular.
11. P(t) = t i + t 2 sen 1 ê t j ,
In[309]:=
0<t§1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2 Sin@1 ê tD
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
0.08
0.06
0.04
0.02
-0.02
-0.04
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[203]:=
9
Out[203]=
1
Out[204]=
Interval@8−1, 1<D
O arco dado não é regular em t = 0..
6.2 Integral de linha de primeira espécie.
Sejam C (s) = (x(s), y(s), z(s)) um arco de curva e s o comprimento, ao longo de C, contando positivamente a partir
de uma de suas extremidades. Os pontos (x, y, z) desse arco são, então, caracterizados pelo parâmetro s, que varia
de 0 a L, onde L é o comprimento total de C.
Ÿ
Seja f (C) uma função contínua definida nos pontos de C. A integral
L
f (C (s)) ds
0
é chamada integral de linha de primeira espécie de f sobre C..
Em virtude de d s =
forma
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
d x2 + d y2 + d z2 podemos reescrever a integral de linha de primeira espécie na seguinte
Ÿ
b
f (x (t), y(t), z(t))
"################################
###############################
Hx ' HtLL2 + Hy ' HtL L2 + Hz' HtLL2 d t
a
onde C (t) = (x(t), y(t), z(t)) , a § t § b, é uma nova parametrização do arco C. Do ponto de vista computacional esta fórmula é muito mais simples que a anterior.
EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral da função f Hx, yL = x sobre o contorno fechado 0AB0, formado pelas
retas x = 0, y = 1 e a parábola y = x2 , x ¥ 0.
10
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[32]:=
H∗ Gráfico do contorno C ∗L
p1 = Plot@x2 , 8x, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"A", 8.9, .92<D, Text@"B", 8.06, .92<D<,
p2 = ListPlot@880, 0<, 80, 1<, 81, 1<<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD;
1
B
A
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[299]:=
Out[302]=
In[307]:=
Out[310]=
In[317]:=
Out[320]=
In[321]:=
Out[321]=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Integral no trecho 0 B ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 0
y@t_D := t
"######################################
int0B = IntegrateAx@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
0
H∗ Integral no trecho BA ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1
"######################################
intBA = IntegrateAx@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
1
2
H∗ Integral no trecho A0 ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
"######################################
intA0 = IntegrateAx@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
1
è!!!
I−1 + 5 5 M
12
int0B + intBA + intA0 êê Simplify
5
è!!!
I1 + 5 M
12
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
11
Exercícios
Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 1 a 10.
1. Ÿ Hx - yL ds, onde C é o contorno do trângulo de vértices (0, 0), (1, 2) e (2, 1).
C
In[48]:=
ListPlot@880, 0<, 81, 2<, 82, 1<, 80, 0<<,
PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, Epilog →
8Text@"A", 8.2, .2<D, Text@"B", 81.05, 1.8<D, Text@"C", 81.85, 1<D<D;
2
B
1.5
C
1
0.5
A
0.5
In[217]:=
1
1.5
H∗ Integral no trecho AB ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 2 t
è!!!
5
2
intAB = IntegrateAHx@tD − y@tDL
Out[220]=
In[221]:=
−
H∗ Integral no trecho BC ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := − t + 3
intBC = IntegrateAHx@tD − y@tDL
Out[224]=
0
2
######################
"################
x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
######################
"################
x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 1, 2<E
12
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[234]:=
H∗ Integral no trecho CA ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t ê 2
è!!!
5
2
intCA = IntegrateAHx@tD − y@tDL
Out[237]=
In[238]:=
Out[238]=
######################
"################
x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 2<E
intAB + intBC + intCA
0
3. Ÿ x y ds, onde C é o quadrado | x | + | y | = 1.
C
In[87]:=
ListPlot@88−1, 0<, 80, 1<, 81, 0<, 80, −1<, 8−1, 0<<,
PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"A", 8.1, 1<D, Text@"B", 81, .1<D,
Text@"C", 8.1, −1<D, Text@"D", 8−1, .1<D<,
AspectRatio → AutomaticD;
1 A
0.5
D
B
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1 C
In[200]:=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := −t + 1
"######################################
intAB = IntegrateAx@tD y@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
Out[203]=
3
1
è!!!
2
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[204]:=
Out[207]=
In[208]:=
Out[211]=
In[212]:=
Out[215]=
In[216]:=
Out[216]=
13
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t − 1
"######################################
intBC = IntegrateAx@tD y@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 1, 0<E
1
è!!!
3 2
H∗ Integral no trecho CD ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := −t − 1
"######################################
intCD = IntegrateA x@tD y@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, −1<E
−
1
è!!!
3 2
H∗ Integral no trecho DA ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t + 1
"######################################
intDA = IntegrateAx@tD y@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, −1, 0<E
−
3
1
è!!!
2
intAB + intBC + intCD + intDA
0
5. Ÿ x ds, onde C é o arco C (t) = Ht, t2 L, 0 § t § 1
C
In[125]:=
H∗ Gráfico do caminho C ∗L
ParametricPlot@8t, t2 <, 8t, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
14
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[239]:=
Out[242]=
H∗ Integral no caminho C ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
"#####################################
IntegrateAx@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
1
è!!!
I−1 + 5 5 M
12
7. Ÿ x ds, onde C é o arco C (t) = Hq, q sen q, q cos qL, 0 § q § a
C
In[131]:=
ParametricPlot3D@8θ, θ Sin@θD, θ Cos@θD<, 8θ, 0, 4 π<D;
5
0
-5
-10
10
5
0
-5
-10
0
5
10
In[243]:=
Out[246]=
x@θ_D := θ
y@θ_D := θ Sin@θD
z@θ_D := θ Cos@θD
##########################
"################################
IntegrateAx@θD x '@θD2 + y '@θD2 + z '@θD2 , 8θ, 0, a<E
3ê2
1
è!!!
I−2 2 + H2 + a2 L M
3
9. Ÿ y coa z ds, onde C é o arco C (t) = Ht, t2 L, 0 § t § 1
C
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[125]:=
15
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[283]:=
Out[286]=
0.4
0.6
0.8
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
"#####################################
IntegrateAy@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
1
è!!!
I18 5 − ArcSinh@2DM
64
6.2 Integral de linha das formas diferenciais
Sejam L (x, y, z), M (x, y, z), N (x, y, z) funções definidas e contínuas numa região R do espaço e seja C um arco
regular, todo contido em R, com representação paramétrica
C (t) = (x (t), y (t), z (t)),
a § t § b.
Vamos definir a integral de linha da expressão
L dx + M dy + N dz
Ÿ
ao longo do arco C , como sendo
b
[L (x (t), y(t), z(t)) x' (t) + M (x (t), y(t), z(t)) y' (t) + N (x (t), y(t), z(t)) z' (t)] dt
a
A expressão
÷”
é chamada forma diferencial. Ela pode ser interpretada como produto escalar do vetor F = L i + M j + N k com
o vetor \
÷”
d P = d x i + d y j + d z k. Então, a integral de linha ao logo do arco C toma a forma
÷”
÷”
Ÿ F (x, y, z) . d P
L dx + M dy + N dz
C
16
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
÷”
Como d P = t ds, onde o vetor unitário t é paralelo à tangente ao arco no ponto (x, y, z), podemos reescrever a
integral de linha da seguinte maneira
÷”
Ÿ F (x, y, z) . t ds
C
EXEMPLO 1. Calcular a integral da forma diferencial
yd x - xd y + zd z
ao logo do arco de hélice C : x = cos t, y = sen t, z = t, 0 § t § p/2,
In[324]:=
ParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t, 0, π ê 2<D;
10
0.25
0.75
0.5
0.75
0.5
0.25
1
0
1.5
1
0.5
0
In[325]:=
Out[328]=
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := t
Integrate@y@tD x '@tD − x@tD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, π ê 2<D
1
H−4 + πL π
8
xzd z
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[333]:=
Out[336]=
17
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := t
Integrate@x@tD y@tD z '@tD, 8t, 0, π ê 2<D
1
2
EXEMPLO 3. Consideremos a forma
x y d x + y2 d y,
que será integrada ao logo dos arcos C e C ',
C : y = x2 , 0 § x § 1,
C ': x = y2 , 0 § y § 1.
In[117]:=
H∗ Gráfico dos arcos C e C' ∗L
è!!!!
PlotA9x2 , x =, 8x, 0, 1<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<,
Epilog → 8Text@"C", 8.6, .45<D, Text@"â", 8.4, .2<D,
Text@"C'", 8.6, .8<D, Text@"â", 8.2, .5<D<,
AspectRatio → AutomaticE;
1
C'
0.8
0.6
â
C
0.4
0.2
â
0.2 0.4 0.6 0.8
In[2]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[7]=
1
x@t_D := t
y@t_D := t2
Integrate@x@tD y@tD x '@tD + y@tD2 y '@tD, 8t, 0, 1<D
7
12
H∗ Integral no caminho C' ∗L
x@t_D := t2
y@t_D := t
11
15
18
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
EXEMPLO 4. A integral da forma
yxd x - xzd y + x yzd z ,
ao logo do polígono P1 P2 P3 P4 onde,
P1 = H1, 1, 1L, P2 = H2, 1, 1L, P3 = H2, 2, 1L, P4 = H2, 2, 2L.
In[116]:=
è!!!!
PlotA9x2 , x =, 8x, 0, 1<,
Text@"C'", 8.6, .8<D, Text@"â", 8.2, .5<D<,
1
C'
0.8
0.6
â
C
0.4
0.2
â
0.2 0.4 0.6 0.8
In[34]:=
Out[37]=
In[38]:=
Out[41]=
1
H∗ Integral no caminho P1 P2 ∗L
x@t_D := t
y@t_D := 1
z@t_D := 1
intP1P2 =
Integrate@y@tD x@tD x '@tD − x@tD z@tD y '@tD + x@tD y@tD z@tD z '@tD, 8t, 1, 2<D
3
2
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 1
intP2P3 =
−1
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[42]:=
Out[45]=
In[46]:=
Out[46]=
19
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
intP3P4 =
3
2
H∗ Integral no arco C total ∗L
intP1P2 + intP2P3 + intP3P4
2
Exercícios
Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 1 a 11. Faça gráficos dos caminhos de intrgração em cada caso, sempre
que possível.
1. Ÿ x y d x - d y, onde C é o arco y = x2 , 0 § x § 1.
C
In[110]:=
ParametricPlot@8t, t2 <, 8t, 0, 1<,
Epilog → 8Text@"â", 80.75, .47<D<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[51]:=
Out[54]=
0.4
0.6
0.8
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
Integrate@x@tD y@tD x '@tD − y '@tD, 8t, 1, 2<D
3
4
2. Ÿ x y d x - d y, onde C é o arco x = y2 , 0 § y § 1.
C
20
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[114]:=
ParametricPlot@8t2 , t<, 8t, 0, 1<,
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[56]:=
Out[59]=
0.4
0.6
0.8
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t2
y@t_D := t
57
5
3. Ÿ x y d x - d y, onde C é o segmento 0 § x § 1, y = 0, seguido do segmento x = 1, 0 § y § 1,
C
In[99]:=
ListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<<,
PlotJoined → True, PlotRange → 88−.1, 1.1<, 8−.1, 1.1<<,
Epilog → 8Text@"z", 8.5, .07<D, Text@"↑", 81.05, .45<D<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
1
0.8
0.6
↑
0.4
0.2
z
0.2 0.4 0.6 0.8
In[79]:=
Out[82]=
1
H∗ Integral no trecho 0 ≤ x ≤ 1, y = 0 ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
int1 = Integrate@x@tD y@tD x '@tD − y '@tD, 8t, 0, 1<D
0
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[74]:=
Out[77]=
In[83]:=
Out[83]=
21
H∗ Integral no trecho x = 1, 0 ≤ y ≤ 1 ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
−1
H∗ Integral no arco C total∗L
int1 + int2
−1
5. Ÿ x2 y d x + y d y, onde C é o segmento x = 1/2, y = 1 a y = 1/2 seguido do segmento y = 1/2, x =1/2 a x =1,
C
In[96]:=
[email protected], 1<, 8.5, .5<, 81, .5<<,
PlotJoined → True, PlotRange → 880, 1<, 80, 1<<,
Epilog → 8Text@"↓", 8.45, .75<D, Text@"z", 8.75, .55<D<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, PlotRange → 880, 1<, 80, 1<<D;
1
0.8
0.6
↓
z
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
In[122]:=
Out[125]=
In[126]:=
Out[129]=
In[130]:=
Out[130]=
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1 ê 2
y@t_D := t
int1 = Integrate@x@tD2 y@tD x '@tD + y@tD y '@tD, 8t, 1, 1 ê 2<D
−
3
8
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1 ê 2
int2 = Integrate@x@tD2 y@tD x '@tD + y@tD y '@tD, 8t, 1 ê 2, 1<D
7
48
int1 + int2
−
11
48
7. Ÿ sen y d x - cos y d y + z d z, onde C é o arco Ht2 , -2 t, sen tL , 0 § t § p/2.
C
22
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[96]:=
[email protected], 1<, 8.5, .5<, 81, .5<<,
1
0.8
↓
0.6
z
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
In[136]:=
Out[140]=
1
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t2
y@t_D := −2 t
z@t_D := − Sin@tD
int1 =
Integrate@Sin@y@tDD x '@tD − Cos@ y@tDD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, π ê 2<D
1−π
2
9. Ÿ 2 x d y - y d x + z d z, onde C é o arco da hélice Hcos t, sen t, tL , 0 § t § 2p.
C
In[293]:=
ParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t, 0, 2 π<D;
0.5
0
-0.5
5
-1
6
4
2
0
-1
1 -0.5 0
0.5 1
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[141]:=
Out[145]=
23
H∗ Integral no arco C ∗L
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := t
int1 = Integrate@−y@tD x '@tD + 2 x@tD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, 2 π<D
π H3 + 2 πL
11. Ÿ y z d x + x z d x + x y d z, onde A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1).
C
In[158]:=
Out[162]=
In[163]:=
Out[167]=
In[168]:=
Out[168]=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := −t + 1
z@t_D := 0
int1 =
Integrate@y@tD z@tD x '@tD + x@tD z@tD y '@tD + x@tD y@tD z '@tD, 8t, 0, 1<D
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 0
y@t_D := t
z@t_D := −t + 1
int2 =
0
H∗ Integral no arco C completo ∗L
int1 + int2
0
12. Ÿ y d x - x d y, ao longo do semicírculo (cos q, sen q), 0 § q § p.
C
In[169]:=
Out[172]=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
Integrate@y@tD x '@tD − x@tD y '@tD , 8t, 0, π<D
−π
13. Ÿ y d x - x d y, ao longo do semicírculo parametrizado por y =
C
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1 - x , -1 § x § 1.
24
In[177]:=
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
è!!!!!!!!!!!!!!!
y@t_D := 1 − t2
Integrate@y@tD x '@tD − x@tD y '@tD , 8t, 1, −1<D
−π
÷”
Nos Exercícios 15 a 18 calcule o trabalho da força F dada ao longo do deslocamento dado.
÷”
15. F = j / H1 + x2 L; C é o arco de parábola y = x2 + 1, de x = 0 a x = 1.
Out[180]=
In[183]:=
ParametricPlot@8t, 1 + t2 <, 8t, 0, 1<, PlotRange → 80, 2<,
Epilog → 8Text@"â", 80.75, 1.47<D<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
â
0.2
In[184]:=
Out[187]=
0.4
0.6
0.8
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1 + t2
Integrate@ 1 ê H1 + x@tD2 L y '@tD , 8t, 0, 1<D
Log@2D
÷”
è!!!!!!!!!!!!!!!
16. F = j / H1 - x2 L; C é o arco de parábola y = - 1 - x2 , de x = 0 a x = 1 ê 2.
In[183]:=
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
â
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[188]:=
Out[191]=
25
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
è!!!!!!!!!!!!!!
y@t_D := − 1 − t2
Integrate@ 1 ê H1 − x@tD2 L y '@tD , 8t, 0, 1 ê 2<D
2
−1 + è!!!
3
÷”
17. F = y i + z j + x k ; C é o arco de hélice (cos q, sen q, -q ), 0 § q § 2p
In[289]:=
ParametricPlot3D@8Cos@θD, Sin@θD, −θ<, 8θ, 0, 2 π<D;
0.5
0
-1
1 -0.5 0
0.5 1
-0.5
5
-1
0
-2
-4
-6
In[192]:=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := −t
Integrate@ y@tD x '@tD + z@tD y '@tD + x@tD z '@tD, 8t, 0, 2 π<D
−π
÷”
Nos Exercícios 19 a 22 calcule o trabalho da força F dada ao longo de dois caminhos.
Out[196]=
a) C1 é o arco (t, t3 , t5 ), 0 § t § 1;
b) C2 é poligonal 0 P1 P2 P3 , onde 0 = (0, 0, 0), P1 = (1, 0, 0), P2 = (1, 1, 0), P3 = (1, 1, 1).
÷”
19. F = x i + y j + z k
26
In[296]:=
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
H∗ Gráfico do caminho C1 ∗L
ParametricPlot3D@88t, 0, 0<, 81, t, 0<, 81, 1, t<, 8t, t3 , t5 <<, 8t, 0, 1<D;
1
0.75
0.5
0.25
0
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0.25
0.5
0.75
1
In[197]:=
Out[201]=
In[202]:=
Out[206]=
In[207]:=
Out[211]=
H∗ Integral no arco C1 ∗L
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@t_D := t5
Integrate@ x@tD x '@tD + y@tD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, 1<D
3
2
H∗ Integral no trecho 0 P1 do caminho C2 ∗L
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
z@t_D := 0
int0P1 = Integrate@ x@tD x '@tD + y@tD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, 1<D
1
2
H∗ Integral no trecho P1 P2 do caminho C2 ∗L
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 0
intP1P2 = Integrate@ x@tD x '@tD + y@tD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, 1<D
1
2
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[212]:=
Out[216]=
In[217]:=
Out[217]=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
1
2
H∗ Integral no caminho C2 completo ∗L
int0P1 + intP1P2 + intP2P3
3
2
÷ ” è!!!
20. F = z i - x j
In[218]:=
Out[222]=
In[223]:=
Out[227]=
In[228]:=
Out[232]=
In[233]:=
Out[237]=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@t_D := t5
è!!!!!!!!!!!
IntegrateA z@tD x '@tD − x@tD y '@tD , 8t, 0, 1<E
−
13
28
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
z@t_D := 0
è!!!!!!!!!!!
int0P1 = IntegrateA z@tD x '@tD − x@tD y '@tD , 8t, 0, 1<E
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 0
è!!!!!!!!!!!
intP1P2 = IntegrateA z@tD x '@tD − x@tD y '@tD , 8t, 0, 1<E
−1
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
è!!!!!!!!!!!
0
27
28
In[238]:=
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
−1
÷”
è!!!
21. F = z i - x k
Out[238]=
In[244]:=
Out[248]=
In[249]:=
Out[253]=
In[254]:=
Out[258]=
In[259]:=
Out[263]=
In[264]:=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@t_D := t5
è!!!!!!!!!!!
IntegrateA z@tD x '@tD −
x@tD z '@tD , 8t, 0, 1<E
−
49
66
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
z@t_D := 0
è!!!!!!!!!!!
x@tD z '@tD , 8t, 0, 1<E
int0P1 = IntegrateA z@tD x '@tD −
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 0
è!!!!!!!!!!!
x@tD z '@tD , 8t, 0, 1<E
intP1P2 = IntegrateA z@tD x '@tD −
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
è!!!!!!!!!!!
x@tD z '@tD , 8t, 0, 1<E
−1
−1
÷”
22. F = y j + z k
Out[264]=
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[265]:=
Out[269]=
In[270]:=
Out[274]=
In[275]:=
Out[279]=
In[280]:=
Out[284]=
In[285]:=
Out[285]=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@t_D := t5
Integrate@ y@tD y '@tD + z@tD z '@tD , 8t, 0, 1<D
1
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
z@t_D := 0
int0P1 = Integrate@ y@tD y '@tD + z@tD z '@tD , 8t, 0, 1<D
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 0
intP1P2 = Integrate@ y@tD y '@tD + z@tD z '@tD , 8t, 0, 1<D
1
2
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
1
2
1
29
30
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
6.4 Teorema de Green no plano
Teorema de Green. Seja R uma região do plano, quesupomos simples ou que possa ser decomposta em um
número finito de regões simples por meio de um número finito de arcos regulares. Sejam L(x, y) e M(x, y) funções
êêê
contínuas, com derivadas primeiras contínuas em R = R ‹ ∑R. Então
Ÿ
R
∑M
∑L
I ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅ M d x d y =
∑x
∑y
Ÿ
Ld x + M d y
∑R
EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral da forma função LHxL + M HyL = Hy + x2 cos xL d x + H2 x - y2 L d y ao
longo da circunferência x2 + y2 = 1, no sentido anti-horário.
In[32]:=
In[321]:=
H∗ Gráfico do círculo de raio 1 ∗L
ParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<, 8t, 0, 2 π<, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
In[317]:=
Out[317]=
In[318]:=
Out[318]=
In[305]:=
Out[308]=
Integrate@ Hy@tD + x@tD2 Cos@x@tDDL x '@tD , 8t, 0, 2 π<D êê Timing
8148.544 Second, −π<
Integrate@ H2 x@tD − y@tD2 Sin@y@tDDL y '@tD , 8t, 0, 2 π<D êê Timing
81.231 Second, 2 π<
H∗ Integral de linha do teorema de Green ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
Integrate@ Hy@tD + x@tD2 Cos@x@tDDL x '@tD +
H2 x@tD − y@tD2 Sin@y@tDDL y '@tD , 8t, 0, 2 π<D
$Aborted
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[331]:=
Out[331]=
31
H∗ Integral de superfície do teorema de Green ∗L
Integrate@Integrate@
HD@2 x − y2 Sin@yD, xD − D@y + x2 Cos@xD, yDL r, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D
π
O teorema de Green pode ser usado para se obter a área de uma região R o plano. De fato, fazendo-se L = 0 e M =
x, obtemos
A(R) =
Ÿ
R
Ÿ
Analogamente, fazendo-se L = -y e M = 0, encontramos
A(R) =
R
Portanto, podemostambém escrever
A(R) =
Ÿ
R
d xd y =
Ÿ
xd y
∑R
d xd y = -Ÿ yd x
∑R
d x d y = ÅÅÅÅ12
Ÿ
xd y - yd x
∑R
EXEMPLO 1. Vamos calcular a área encerrada pela hipociclóide x2ê3 + y2ê3 = a2ê3 .
In[313]:=
H∗ Gráfico do círculo da hipociclóide ∗L
ParametricPlot@8Cos@tD3 , Sin@tD3 <, 8t, 0, 2 π<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
In[341]:=
Out[344]=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := a Cos@tD3
y@t_D := a Sin@tD3
1 ê 2 Integrate@ x@tD y '@tD − y@tD x '@tD , 8t, 0, 2 π<D
3 a2 π
8
EXEMPLO 2. Vamos calcular a área encerrada pela elipsóide b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 .
32
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[314]:=
Clear@ θD;
ParametricPlot@82 Cos@θD, Sin@θD<, 8θ, 0, 2 π<,
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
In[358]:=
Out[361]=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := a Cos@tD
y@t_D := b Sin@tD
abπ
Exercícios
Use a fórmula de Green para calcular as integrais dadas nos Exercícios 1 a 10.
1. Ÿ x y d x + Hy2 - x2 L d y, onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (0,1), (1,0), (1,1).
C
In[363]:=
ListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<, 80, 1<, 80, 0<<,
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[412]:=
Out[412]=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Integral dupla do teorema de Green no quadrado ∗L
Integrate@Integrate@D@y2 − x2 , xD − D@x y, yD , 8x, 0, 1<D, 8y, 0, 1<D
−
3
2
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[380]:=
Out[383]=
In[384]:=
Out[387]=
In[397]:=
Out[400]=
In[401]:=
Out[404]=
In[405]:=
Out[405]=
In[412]:=
Out[412]=
H∗ Integral no trecho H0, 0L a H1,0L ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
int1 = Integrate@x@tD y@tD x '@tD + Hy@tD2 − x@tD2 L y '@tD, 8t, 0, 1<D
0
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
−
2
3
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1
−
1
2
H∗ Integral de linha no trecho H0, 1L a H0,0L ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 0
y@t_D := t
−
1
3
H∗ Integral de linha do teorema de Green ao longo do quadrado ∗L
int1 + int2 + int3 + int4
−
3
2
−
3
2
3. Ÿ x y2 d x - x2 y d y, onde C é o retângulo determinado pelas retas x = 1, x = 3, y = -1, y = 3.
C
33
34
In[363]:=
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
ListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<, 80, 1<, 80, 0<<,
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[413]:=
Out[413]=
In[414]:=
Out[417]=
In[418]:=
Out[421]=
In[422]:=
Out[425]=
In[426]:=
Out[429]=
In[430]:=
Out[430]=
0.4
0.6
0.8
1
Integrate@Integrate@D@ −x2 y, xD − D@x y2 , yD , 8x, 1, 3<D, 8y, −1, 3<D
−64
H∗ Integral no trecho H1, −1L a H3, −1L ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := −1
int1 = Integrate@x@tD y@tD2 x '@tD − x@tD2 y@tD y '@tD, 8t, 1, 3<D
4
H∗ Integral no trecho H3, −1L a H3, 3L ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 3
y@t_D := t
int2 = Integrate@x@tD y@tD2 x '@tD − x@tD2 y@tD y '@tD, 8t, −1, 3<D
−36
H∗ Integral no trecho H3, 3L a H1, 3L ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 3
−36
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
int4 = Integrate@x@tD y@tD2 x '@tD − x@tD2 y@tD y '@tD, 8t, 3, −1<D
4
−64
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
5. Ÿ
35
è!!!!
è!!!!
y d x + x d y, onde C é o retângulo determinado pelas retas x = 1, x = 3, y = -1, y = 3.
C
In[363]:=
ListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<, 80, 1<, 80, 0<<,
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[413]:=
Out[413]=
In[435]:=
Out[438]=
In[439]:=
Out[442]=
In[443]:=
Out[446]=
In[447]:=
Out[447]=
0.4
0.6
0.8
1
−64
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
è!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!
int1 = IntegrateA y@tD x '@tD +
x@tD y '@tD, 8t, 0, 1<E
13
10
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1
è!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!
x@tD y '@tD, 8t, 1, 0<E
−1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 0
y@t_D := t
è!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!
x@tD y '@tD, 8t, 1, 0<E
0
int1 + int2 + int3
3
10
7. Ÿ Hx2 - y tan yL d y, onde C é a circunferência Hx - aL2 + y2 = R2 com R < p/2
C
36
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[496]:=
ParametricPlot@82 + Cos@tD, Sin@tD<,
8t, 0, 2 π<, Epilog → 8Text@"â", 82.7, −0.6<D<,
1
0.5
1.5
2
2.5
-0.5
3
â
-1
In[413]:=
Out[413]=
In[456]:=
Out[459]=
−64
Clear@x, y, tD;
x@t_D := a + R Cos@tD
y@t_D := R Sin@tD
int1 = Integrate@H x@tD2 − y@tD Tan@y@tDDL y '@tD, 8t, 0, 2 π<D
2 a π R2
9. Ÿ x3 d y , onde C é a circunferência x 2 + y2 = 1.
C
In[495]:=
ParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<,
8t, 0, 2 π<, Epilog → 8Text@"â", 80.7, −0.6<D<,
1
0.5
-1
-0.5
0.5
-0.5
-1
1
â
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[474]:=
Out[475]=
In[484]:=
Out[485]=
In[476]:=
Out[479]=
37
H∗ Integral dupla do teorema de Green no círculo x2 + y2 < 1 ∗L
x@θ_D := Cos@θD
Integrate@Integrate@r D@x@θD3 , x@θDD, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D
3π
2
x@θ_D := Cos@θD
Integrate@Integrate@r 3 Cos@θD2 , 8θ, 0, π<D, 8r, 0, 1<D
3π
4
H∗ Integral de linha do teorema de Green na circunferência x2 + y2 =
1 ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
Integrate@ x@tD3 y '@tD, 8t, 0, 2 π<D
3π
4
6.5 Teorema da Divergência e Fórmula de Green no plano
÷”
÷”
÷”
O divergente de um vetor F = L i + M j , indicado com os símbolos div F e “ . F é o escalar
÷”
÷”
∑L
∑M
ÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
div F = “ . F = ÅÅÅÅ
∑x
∑y
<<Calculus`VectorAnalysis` carrega o pacote de análise vetorial
In[8]:=
Div[f, coordsys] calcula o divergente da função vetorial f no sistema de coordenadas coordsys(Cartesian, Cylindrical, Spherical)
Teorema da Divergência. Sejam R uma região que possa ser dividida em um número finito de regiões simples e
÷”
sejam L e M em F = L i + M j , funções contínuas, com derivadas primeiras contínuas em R. Então
÷”
÷”
Ÿ div F d x d y = Ÿ F . n d s
R
onde n é normal externa a ∑R.
In[318]:=
<< GraphicsÌmplicitPlot`
∑R
38
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[321]:=
x3 H2 − xL,
ImplicitPlot@Hy − 1L2
8x, 0, 2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
EXEMPLO 1. Vamos calcular a seguinte integral
r
Å . n d s,
Ÿ ÅÅÅÅ
r2
C
onde r = x i + y j, r2 = x2 + y2 , C é um contorno fechado simples que não passa pela origem e n é a normal externa a
C.
r
Å = r = Hx ê Hx2 + y2 L i + y ê Hx2 + y2 L jL e aplicar o teorema de Green.
Vamos calcular o divergente de ÅÅÅÅ
r2
In[13]:=
Out[14]=
H∗ Divergente da função dada ∗L
f@x_, y_, z_D := 8x ê Hx2 + y2 L, y ê Hx2 + y2 L, 0<
Div@f@x, y, zD, Cartesian@x, y, zDD êê Simplify
0
r
Å é igual a zero, a integral dada também é zero em virtude do teorema de Green.
Como o divergente de ÅÅÅÅ
r2
Exercícios
1. Mostre que Ÿ Hx i - y j L . n d s = 0, qualquer que seja o contorno fechado simples.
C
Vamos calcular o divergente de (x i - y j ) e aplicar o teorema de Green.
In[15]:=
Out[16]=
f@x_, y_, z_D := 8x, −y, 0<
0
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
39
Como o divergente de Hx i - y jL é igual a zero, a integral dada também é zero em virtude do teorema de Green.
3. Mostre que div@HHx - 3L i + y jL ê HHx - 3L2 + y2 LD = 0.
f@x_, y_, z_D := 8Hx − 3L, y, 0< ê HHx − 3L2 + y2 L
In[17]:=
0
Out[18]=
Fazendo-se r - r0 igual a v, podemos escrever
f@v_, θ_, φ_D := 81 ê v2 , 0, 0<
Div@f@v, θ, φD, Spherical@v, θ, φDD êê Simplify
In[27]:=
0
Out[28]=
6.6 Integração de diferenciais exatas
÷”
L d x + M d y + N d z = F (P) . dP
Diz-se que a forma diferencial
÷”
onde F = L i + M j + N k e dP = d x i + d y i + d x i ,
é exata se existe uma função U(x, y, z) tal que
∑U
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = L,
∑x
∑U
∑U
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = M , ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = N ,
∑y
∑z
ou seja,
d U = Ld x + M d y + N d z
O teorema a seguir é fundamental sobre forma diferencial exata.
Teorema. Se L, M e N são funções contínuas numa região R, então as seguintes condições são iquivalentes:
1) a forma diferencial L d x + M d y + N d z é exata.
2) a integral da forma L d x + M d y + N d z ao longo de qualquer caminho C indo do ponto A até o
ponto B só depende dos pontos A e B e não do caminho C.
3) a integral da forma L d x + M d y + N d z ao longo de qualquer caminho fechado C contido em R é
zero.
Ÿ
÷”
F (P) . dP =
Ÿ
÷”
F (P) . t ds = U(B) - U(A).
Satisfeita qualquer dessas condições, existe uma função U(x, y, z) tal que
B
A
B
A
40
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
÷”
Se um campo vetorial F deriva de um potencial U, esse potencial é determinado a menos de uma constante
arbitrária. Ademais,
÷”
∑U
∑U
F = grad U = “ U = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ i + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ j
∑x
∑y
÷”
EXEMPLO 1. O campo vetorial F = x i + y j é de fácil visualização com o Mathematica.
<<Graphics`PlotField` carrega o pacote que traça gráficos de campos vetoriais bidimensionais.
In[29]:=
PlotVectorField[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] traça o gráfico do campo vetorial
bidimensiona f.
In[131]:=
H∗ Gráfico do campo vetorial da função dada ∗L
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8x, y<
PlotVectorField@f@x, yD, 8x, −2, 2<,
8y, −2, 2<, ScaleFactor → .5, Frame → TrueD;
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
÷”
EXEMPLO 2. O análogo do campo vetorial anterior no espaço é o campo F = x i + y j + z k que pode também
ser facilmente visualizado o Mathematica como campo de vetores radiais.
<<Graphics`PlotField3D` carrega o pacote que traça gráficos de campos vetoriais tridimensionais.
In[194]:=
<< Graphics`PlotField3D`
PlotVectorField3D[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] traça o gráfico do campo
vetorial tridimensiona f.
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[231]:=
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := 8x, y, z<
PlotVectorField3D@f@x, y, zD, 8x, −2, 2<,
8y, −2, 2<, 8z, −2, 2<, PlotPoints → 5, VectorHeads → TrueD;
EXEMPLO 2. A diferencial H3 x2 + 2 x yL d x + Hx2 + 3 y2 L d y é exata para todo ponto (x, y).
In[355]:=
In[358]:=
Out[358]=
In[412]:=
Out[415]=
In[410]:=
Out[410]=
In[411]:=
Out[411]=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 83 x2 + 2 x y, x2 + 3 y2 <
H∗ Mostra que a forma diferencial é exata ∗L
D@f@x, yD@@1DD, yD − D@f@x, yD@@2DD, xD
0
H∗ Calcula o potencial ∗L
Clear@x, y, w, potUD;
w@x_, y_D := Integrate@f@u, yD@@1DD, 8u, 0, x<D
potU@x_, y_D :=
w@x, yD + Integrate@f@x, vD@@2DD − D@w@x, vD, vD, 8v, 0, y<D + c
potU@x, yD
c + y3 + x2 Hx + yL
H∗ Verifica que ∂Uê∂x = L ∗L
D@potU@x, yD, xD êê Simplify
x H3 x + 2 yL
H∗ Verifica que ∂Uê∂y = M ∗L
D@potU@x, yD, yD êê Simplify
x2 + 3 y2
41
42
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
Exercícios
Nos Exercícios 9 a 24, verifique se a forma diferencial dada é xatae, em caso afirmativo, encontre a função potencial U
da qual ela deriva.
9. y d x + x d y
In[416]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8y, x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[45]:=
Out[46]=
In[419]:=
Out[422]=
In[423]:=
Out[423]=
-1
0
1
2
0
H∗ Calcula o potencial U Hx, yL ∗L
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c+xy
y
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[424]:=
Out[424]=
43
x
10. x d x + y d y
In[425]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8x, y<
2
1
0
-1
-2
-2
In[56]:=
Out[56]=
In[428]:=
Out[431]=
In[432]:=
Out[432]=
In[433]:=
Out[433]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c+
x2
y2
+
2
2
x
y
11. x d x - y d y
44
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[434]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8x, −y<
2
1
0
-1
-2
-2
In[53]:=
Out[53]=
In[437]:=
Out[440]=
In[441]:=
Out[441]=
In[442]:=
Out[442]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c+
x2
y2
−
2
2
x
−y
12. 3 Hx2 d x - y2 L d y
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[452]:=
45
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 3 8x2 , − y2 <
2
1
0
-1
-2
-2
In[59]:=
Out[59]=
In[455]:=
Out[458]=
In[459]:=
Out[459]=
In[460]:=
Out[460]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + x3 − y3
3 x2
−3 y2
13. H2 x - 3 yL d x + H 2 y - 3 xL d y
46
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[461]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 82 x − 3 y, 2 y − 3 x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[62]:=
Out[62]=
In[464]:=
Out[467]=
In[468]:=
Out[468]=
In[469]:=
Out[469]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + x Hx − 3 yL + y2
2x−3y
−3 x + 2 y
14. Hy2 - 2 x yL d x + H 2 y - 3 xL d y
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[470]:=
47
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8y2 − 2 x y , 2 x y − x2 <
2
1
0
-1
-2
-2
In[325]:=
Out[325]=
In[473]:=
Out[476]=
In[477]:=
Out[477]=
In[478]:=
Out[478]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + x y H−x + yL
y H−2 x + yL
−x Hx − 2 yL
15. Hy2 - 3 x L d x + H 2 xy + cos yL d y
48
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[479]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8y2 − 3 x , 2 x y + Cos@yD<
2
1
0
-1
-2
-2
In[68]:=
Out[68]=
In[482]:=
Out[485]=
In[486]:=
Out[486]=
In[487]:=
Out[487]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c−
3 x2
+ x y2 + Sin@yD
2
−3 x + y2
2 x y + Cos@yD
16. Hx2 y + 3 y2 L d x - H x3 - 3 y2 L d y
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[488]:=
49
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8x2 y + 3 y2 , −x3 + 3 y2 <
2
1
0
-1
-2
-2
In[74]:=
Out[74]=
-1
0
1
2
4 x2 + 6 y
A forma diferencial dada nãi é exata.
17. Hcos x y L Hy d x + x d yL
In[491]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Cos@x yD 8y, x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[77]:=
Out[77]=
-1
0
1
2
0
50
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[494]:=
Out[497]=
In[498]:=
Out[498]=
In[499]:=
Out[499]=
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + Sin@x yD
y Cos@x yD
x Cos@x yD
18. H‰ x y Hy d x + x d yL
In[500]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@x yD 8y, x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[80]:=
Out[80]=
In[503]:=
Out[506]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
−1 + c +
xy
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[507]:=
Out[507]=
In[508]:=
Out[508]=
51
xy
y
xy
x
19. ‰x y Hsen y d x + sen x d yL
In[182]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@x yD 8Sin@yD, Sin@xD<
2
1
0
-1
-2
-2
In[84]:=
Out[84]=
-1
0
1
2
D@f@x, yD@@1DD, yD − D@f@x, yD@@2DD, xD êê Simplify
xy
H−Cos@xD + Cos@yD − y Sin@xD + x Sin@yDL
20. H 4 x3 - 6 x y3 L d x + H2 y - 9 x2 y2 L d y
A forma diferencial dada não é exata.
52
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[509]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 84 x3 − 6 x y3 , 2 y − 9 x2 y2 <
2
1
0
-1
-2
-2
In[87]:=
Out[87]=
In[512]:=
Out[515]=
In[516]:=
Out[516]=
In[517]:=
Out[517]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + x4 + y2 − 3 x2 y3
4 x3 − 6 x y3
y H2 − 9 x2 yL
21. H‰x cos y + 2 yL d x + H‰x sen y - 2 xL d y
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[518]:=
53
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8Exp@xD Cos@yD + 2 y, −Exp@xD Sin@yD + 2 x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[90]:=
Out[90]=
In[525]:=
Out[528]=
In[529]:=
Out[529]=
In[530]:=
Out[530]=
24. 3
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD êê Simplify
−1 + c + 2 x y +
x
Cos@yD
2y+
x
2x−
x
Cos@yD
Sin@yD
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!
x2 + y2 Hx d x + y d yL
54
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
In[531]:=
Clear@x, y, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_, y_D := 3 x2 + y2 8x, y<
2
1
0
-1
-2
-2
In[93]:=
-1
0
1
2
Out[93]=
0
In[551]:=
potU@x_, y_D := Hx2 + y2 L
H∗ O potencial U ∗L
3ê2
In[552]:=
Out[552]=
In[553]:=
Out[553]=
è!!!!!!!!!!!!!!!
3 x x2 + y2
è!!!!!!!!!!!!!!!
3 y x2 + y2
Usando o cálculo do exercício anterior, identifique os potenciais das formas ou camps dados nos Exercícios 26 a 28.
÷”
26. F = 6 Hx2 + y2 L Hx i + y jL
In[561]:=
3
In[562]:=
6 x Hx2 + y2 L
2
Out[562]=
In[563]:=
6 y Hx2 + y2 L
2
Out[563]=
Rijo Cal 3 Cap 6.nb
55
O potencial U(x, y) = Hx2 + y2 L
÷”
3ê2
27. F = 5 Hx2 + y2 L Hx i + y jL
3
In[564]:=
5ê2
In[565]:=
5 x Hx2 + y2 L
3ê2
Out[565]=
In[566]:=
5 y Hx2 + y2 L
3ê2
Out[566]=
5ê2
28. d U = Hx d x + y d yL ë Hx2 + y2 L
2ê3
In[580]:=
potU@x_, y_D := 3 ê 2 Hx2 + y2 L
1ê3
In[581]:=
Out[581]=
In[579]:=
Out[579]=
x
2
Hx + y2 L2ê3
y
Hx2 + y2 L2ê3
O potencial U(x, y) = 3 ê 2 Hx2 + y2 L
1ê3
CAPÍTULO 7
Teoremas da Divergência e de Stokes
In[1]:=
Out[1]=
2+2
4
7.1 Integrais de superfícies
Um arco de curva ou caminho no espaço é uma aplicação de I
paramétricas
x = x HtL,
y = y HtL,
Õ  em 3
especificada por três equações
z = z HtL.
Um arco C(t) = x HtL i + y HtL j + z HtL k é contínuo se as funções paramétricas forem contínuas.
Um arco é dito liso ou regular se C ' (t) = x' HtL i + y ' HtL j + z' HtL k ∫ 0. Um arco é seccionalmente regular se
suas funções paramétricas forem contínuas no intervalo de definição, porém cujas derivadas sejam seccionalmente
contínuas nesse intervalo.
A representação paramétrica de um arco C(t), a § t § b ordena os pontos de C de acordo com os valores
crescentes de t, de sorte que C é um conjunto ordenado ou orientado. A orientação é direta ou positiva quando t
cresce de a a b, a orientação é oposta ou negativa quando t decresce de b a a. Os pontos C(a) e C(b) são chamados
a origem e a extremidade de C, respectivamente. Diz-se que um arco é simples quando t1 ∫ t2 fl CHt1 L ∫ CHt2 L.
Diz-se que o arco é fechado quando suas extremidades são coincidentes: C(a) = C(b). O arco é fechado simples se
todos os seus pontos, à exceção das extremidades, forem simples. Um arco fechado simples é chamado de
contorno.
Um conjunto aberto é todo conjunto cujos pontos são interiores, nenhum deles pertencem à sua fronteira. Diz-se
que um conjunto aberto é conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser ligados por uma linha poligonal toda
contida no conjunto.
Chamanos região a todo conjunto aberto e conexo. É comum indicar a fronteira de um conjunto qualquer A com o
êêê
símpolo ∑A. Dada um região R, chamamos região fechada R ao conjunto R ‹ ∑R, que se obtém juntando-se a R
os pontos de sua fronteira.
2
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
Uma região R é simplesmente conexa se qualquer curva (arco, caminho) fechada em R pode ser deformada com
continuidade até reduzir-se a um ponto sem sair de R.
Exercícios
Identifique os arcos nos Exercícios 1 a 12, faça gráficosa e indique suas orientações
1. P(t) = t i + H1 - tL j,
In[228]:=
0§t§1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1 − t
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 1<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
2. P(t) = 2 t i + t2 j,
In[232]:=
0.4
0.6
0.8
1
-1 § t § 0
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 2 t
y@t_D := t2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1.5
3. P(t) = Ht2 + 1L i + 3 t j,
-1
-0.5
-1 § t § 1
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[236]:=
3
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t2 + 1
y@t_D := −3 t
3
2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-1
-2
-3
4. P(t) = t i + 2 t j + H1 - tL k ,
In[240]:=
0§t§2
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 2 t
z@t_D := 1 − t
4
3
2
1
10
0.5
0
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
1
5
2
5. P(t) = cos t i + sen t j + t k ,
0 § t § 2p
4
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[245]:=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := t
ParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, 2 π<D;
-1
1 -0.50 0.5
0.5
1
0
-0.5
5
-1
6
4
2
0
6. P(t) = sen t i - cos t j - 2 t k ,
0§t§p
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[250]:=
5
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := Sin@tD
y@t_D := −Cos@tD
z@t_D := −2 t
ParametricPlot3D@8x@tD, y@tD, z@tD<, 8t, 0, π<D;
0 0.5
0.25
0.75
1
0
-2
-4
-6
1
0.5
0
-0.5
-1
7. P(t) = 1 ê t i + t j ,
In[253]:=
1§t§¶
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1 ê t
y@t_D := t
10
8
6
4
2
0.5
8. P(t) = t i + 2 ê t j ,
1
1.5
¶§t§0
2
2.5
3
6
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[269]:=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 2 ê t
40
35
30
25
20
15
10
5
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1- t j ,
0.5
9. P(t) = t i +
In[263]:=
1
1.5
2
-1 § t § 1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
è!!!!!!!!!!!!!!!!
y@t_D := 1 − t2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
10. P(t) = t i In[267]:=
-0.5
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1- t j ,
0.5
1
-1 § t § 1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
è!!!!!!!!!!!!!!!!
y@t_D := − 1 − t2
-1
-0.5
0.5
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
1
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1 - t i + tj ,
11. P(t) =
In[271]:=
7
-1 § t § 1
Clear@x, y, tD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!
x@t_D := 1 − t2
y@t_D := t
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.5
-1
12. P(t) = -cos i + sen t j ,
P(t) =
P(t) =
In[179]:=
Ht - p ê 2L j ,
0 § t § p/2;
p/2 § t § 1 + p/2;
Ht - 1 - p ê 2L i + (2 - t + p/2) j , 1+p/2 § t § 2 + p/2;
Clear@x, y, tD;
x@t_D := − Cos@tD ê; 0 ≤ t ≤ π ê 2
y@t_D := Sin@tD ê; 0 ≤ t ≤ π ê 2
x@t_D := 0 ê; π ê 2 ≤ t ≤ 1 + π ê 2
y@t_D := t − π ê 2 ê; π ê 2 ≤ t ≤ 1 + π ê 2
x@t_D := t − 1 − π ê 2 ê; 1 + π ê 2 ≤ t ≤ 2 + π ê 2
y@t_D := 2 − t + π ê 2 ê; 1 + π ê 2 ≤ t ≤ 2 + π ê 2
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<,
8t, 0, 2 + π ê 2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
11. P(t) = t i + t 3 j + sen 1 ê t k ,
0.5
0<t§1
1
8
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[280]:=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@tD := Sin@1 ê tD
10
0.75 0.250.50.75
0.5
1
0.25
0
0
-0.5
-1
-1.5
-2
In[209]:=
Out[209]=
1
Out[210]=
0
O arco dado é regular.
11. P(t) = t i + t 2 sen 1 ê t j ,
In[309]:=
0<t§1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2 Sin@1 ê tD
ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
0.08
0.06
0.04
0.02
-0.02
-0.04
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[203]:=
9
Out[203]=
1
Out[204]=
Interval@8−1, 1<D
O arco dado não é regular em t = 0..
6.2 Integral de linha de primeira espécie.
Sejam C (s) = (x(s), y(s), z(s)) um arco de curva e s o comprimento, ao longo de C, contando positivamente a partir
de uma de suas extremidades. Os pontos (x, y, z) desse arco são, então, caracterizados pelo parâmetro s, que varia
de 0 a L, onde L é o comprimento total de C.
Ÿ
Seja f (C) uma função contínua definida nos pontos de C. A integral
L
f (C (s)) ds
0
é chamada integral de linha de primeira espécie de f sobre C..
Em virtude de d s =
forma
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
d x2 + d y2 + d z2 podemos reescrever a integral de linha de primeira espécie na seguinte
Ÿ
b
f (x (t), y(t), z(t))
"################################
###############################
Hx ' HtLL2 + Hy ' HtL L2 + Hz' HtLL2 d t
a
onde C (t) = (x(t), y(t), z(t)) , a § t § b, é uma nova parametrização do arco C. Do ponto de vista computacional esta fórmula é muito mais simples que a anterior.
EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral da função f Hx, yL = x sobre o contorno fechado 0AB0, formado pelas
retas x = 0, y = 1 e a parábola y = x2 , x ¥ 0.
10
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[32]:=
p1 = Plot@x2 , 8x, 0, 1<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"A", 8.9, .92<D, Text@"B", 8.06, .92<D<,
p2 = ListPlot@880, 0<, 80, 1<, 81, 1<<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD;
1
B
A
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[299]:=
Out[302]=
In[307]:=
Out[310]=
In[317]:=
Out[320]=
In[321]:=
Out[321]=
0.4
0.6
0.8
1
H∗ Integral no trecho 0 B ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 0
y@t_D := t
"######################################
int0B = IntegrateAx@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
0
H∗ Integral no trecho BA ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1
"######################################
intBA = IntegrateAx@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
1
2
H∗ Integral no trecho A0 ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
"######################################
intA0 = IntegrateAx@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
1
è!!!
I−1 + 5 5 M
12
int0B + intBA + intA0 êê Simplify
5
è!!!
I1 + 5 M
12
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
11
Exercícios
Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 1 a 10.
1. Ÿ Hx - yL ds, onde C é o contorno do trângulo de vértices (0, 0), (1, 2) e (2, 1).
C
In[48]:=
ListPlot@880, 0<, 81, 2<, 82, 1<, 80, 0<<,
PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, Epilog →
8Text@"A", 8.2, .2<D, Text@"B", 81.05, 1.8<D, Text@"C", 81.85, 1<D<D;
2
B
1.5
C
1
0.5
A
0.5
In[217]:=
1
1.5
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 2 t
è!!!
5
2
intAB = IntegrateAHx@tD − y@tDL
Out[220]=
In[221]:=
−
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := − t + 3
intBC = IntegrateAHx@tD − y@tDL
Out[224]=
0
2
######################
"################
x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
######################
"################
x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 1, 2<E
12
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[234]:=
H∗ Integral no trecho CA ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t ê 2
è!!!
5
2
intCA = IntegrateAHx@tD − y@tDL
Out[237]=
In[238]:=
Out[238]=
######################
"################
x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 2<E
intAB + intBC + intCA
0
3. Ÿ x y ds, onde C é o quadrado | x | + | y | = 1.
C
In[87]:=
ListPlot@88−1, 0<, 80, 1<, 81, 0<, 80, −1<, 8−1, 0<<,
PlotJoined → True, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
Epilog → 8Text@"A", 8.1, 1<D, Text@"B", 81, .1<D,
Text@"C", 8.1, −1<D, Text@"D", 8−1, .1<D<,
AspectRatio → AutomaticD;
1 A
0.5
D
B
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1 C
In[200]:=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := −t + 1
"######################################
intAB = IntegrateAx@tD y@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
Out[203]=
3
1
è!!!
2
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[204]:=
Out[207]=
In[208]:=
Out[211]=
In[212]:=
Out[215]=
In[216]:=
Out[216]=
13
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t − 1
"######################################
intBC = IntegrateAx@tD y@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 1, 0<E
1
è!!!
3 2
H∗ Integral no trecho CD ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := −t − 1
"######################################
intCD = IntegrateA x@tD y@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, −1<E
−
1
è!!!
3 2
H∗ Integral no trecho DA ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t + 1
"######################################
intDA = IntegrateAx@tD y@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, −1, 0<E
−
3
1
è!!!
2
intAB + intBC + intCD + intDA
0
5. Ÿ x ds, onde C é o arco C (t) = Ht, t2 L, 0 § t § 1
C
In[125]:=
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
14
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[239]:=
Out[242]=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
"#####################################
IntegrateAx@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
1
è!!!
I−1 + 5 5 M
12
7. Ÿ x ds, onde C é o arco C (t) = Hq, q sen q, q cos qL, 0 § q § a
C
In[131]:=
ParametricPlot3D@8θ, θ Sin@θD, θ Cos@θD<, 8θ, 0, 4 π<D;
5
0
-5
-10
10
5
0
-5
-10
0
5
10
In[243]:=
Out[246]=
x@θ_D := θ
y@θ_D := θ Sin@θD
z@θ_D := θ Cos@θD
##########################
"################################
IntegrateAx@θD x '@θD2 + y '@θD2 + z '@θD2 , 8θ, 0, a<E
3ê2
1
è!!!
I−2 2 + H2 + a2 L M
3
9. Ÿ y coa z ds, onde C é o arco C (t) = Ht, t2 L, 0 § t § 1
C
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[125]:=
15
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
In[283]:=
Out[286]=
0.4
0.6
0.8
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
"#####################################
IntegrateAy@tD x '@tD2 + y '@tD2 , 8t, 0, 1<E
1
è!!!
I18 5 − ArcSinh@2DM
64
6.2 Integral de linha das formas diferenciais
Sejam L (x, y, z), M (x, y, z), N (x, y, z) funções definidas e contínuas numa região R do espaço e seja C um arco
regular, todo contido em R, com representação paramétrica
C (t) = (x (t), y (t), z (t)),
a § t § b.
Vamos definir a integral de linha da expressão
L dx + M dy + N dz
Ÿ
ao longo do arco C , como sendo
b
[L (x (t), y(t), z(t)) x' (t) + M (x (t), y(t), z(t)) y' (t) + N (x (t), y(t), z(t)) z' (t)] dt
a
A expressão
÷”
é chamada forma diferencial. Ela pode ser interpretada como produto escalar do vetor F = L i + M j + N k com
o vetor \
÷”
d P = d x i + d y j + d z k. Então, a integral de linha ao logo do arco C toma a forma
÷”
÷”
Ÿ F (x, y, z) . d P
L dx + M dy + N dz
C
16
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
÷”
Como d P = t ds, onde o vetor unitário t é paralelo à tangente ao arco no ponto (x, y, z), podemos reescrever a
integral de linha da seguinte maneira
÷”
Ÿ F (x, y, z) . t ds
C
yd x - xd y + zd z
In[324]:=
ParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t, 0, π ê 2<D;
10
0.25
0.75
0.5
0.75
0.5
0.25
1
0
1.5
1
0.5
0
In[325]:=
Out[328]=
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := t
Integrate@y@tD x '@tD − x@tD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, π ê 2<D
1
H−4 + πL π
8
xzd z
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[333]:=
Out[336]=
17
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := t
Integrate@x@tD y@tD z '@tD, 8t, 0, π ê 2<D
1
2
EXEMPLO 3. Consideremos a forma
x y d x + y2 d y,
que será integrada ao logo dos arcos C e C ',
C : y = x2 , 0 § x § 1,
C ': x = y2 , 0 § y § 1.
In[117]:=
è!!!!
PlotA9x2 , x =, 8x, 0, 1<,
Text@"C'", 8.6, .8<D, Text@"â", 8.2, .5<D<,
1
C'
0.8
0.6
â
C
0.4
0.2
â
0.2 0.4 0.6 0.8
In[2]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[7]=
1
x@t_D := t
y@t_D := t2
7
12
H∗ Integral no caminho C' ∗L
x@t_D := t2
y@t_D := t
11
15
18
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
EXEMPLO 4. A integral da forma
yxd x - xzd y + x yzd z ,
ao logo do polígono P1 P2 P3 P4 onde,
P1 = H1, 1, 1L, P2 = H2, 1, 1L, P3 = H2, 2, 1L, P4 = H2, 2, 2L.
In[116]:=
è!!!!
PlotA9x2 , x =, 8x, 0, 1<,
Text@"C'", 8.6, .8<D, Text@"â", 8.2, .5<D<,
1
C'
0.8
0.6
â
C
0.4
0.2
â
0.2 0.4 0.6 0.8
In[34]:=
Out[37]=
In[38]:=
Out[41]=
1
x@t_D := t
y@t_D := 1
z@t_D := 1
intP1P2 =
3
2
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 1
intP2P3 =
−1
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[42]:=
Out[45]=
In[46]:=
Out[46]=
19
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
intP3P4 =
3
2
H∗ Integral no arco C total ∗L
intP1P2 + intP2P3 + intP3P4
2
Exercícios
Calcule as integrais indicadas nos Exercícios 1 a 11. Faça gráficos dos caminhos de intrgração em cada caso, sempre
que possível.
1. Ÿ x y d x - d y, onde C é o arco y = x2 , 0 § x § 1.
C
In[110]:=
ParametricPlot@8t, t2 <, 8t, 0, 1<,
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[51]:=
Out[54]=
0.4
0.6
0.8
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
3
4
2. Ÿ x y d x - d y, onde C é o arco x = y2 , 0 § y § 1.
C
20
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[114]:=
ParametricPlot@8t2 , t<, 8t, 0, 1<,
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[56]:=
Out[59]=
0.4
0.6
0.8
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t2
y@t_D := t
57
5
3. Ÿ x y d x - d y, onde C é o segmento 0 § x § 1, y = 0, seguido do segmento x = 1, 0 § y § 1,
C
In[99]:=
ListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<<,
PlotJoined → True, PlotRange → 88−.1, 1.1<, 8−.1, 1.1<<,
Epilog → 8Text@"z", 8.5, .07<D, Text@"↑", 81.05, .45<D<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
1
0.8
0.6
↑
0.4
0.2
z
0.2 0.4 0.6 0.8
In[79]:=
Out[82]=
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
0
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[74]:=
Out[77]=
In[83]:=
Out[83]=
21
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
−1
int1 + int2
−1
5. Ÿ x2 y d x + y d y, onde C é o segmento x = 1/2, y = 1 a y = 1/2 seguido do segmento y = 1/2, x =1/2 a x =1,
C
In[96]:=
[email protected], 1<, 8.5, .5<, 81, .5<<,
1
0.8
0.6
↓
z
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
In[122]:=
Out[125]=
In[126]:=
Out[129]=
In[130]:=
Out[130]=
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1 ê 2
y@t_D := t
int1 = Integrate@x@tD2 y@tD x '@tD + y@tD y '@tD, 8t, 1, 1 ê 2<D
−
3
8
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1 ê 2
int2 = Integrate@x@tD2 y@tD x '@tD + y@tD y '@tD, 8t, 1 ê 2, 1<D
7
48
int1 + int2
−
11
48
7. Ÿ sen y d x - cos y d y + z d z, onde C é o arco Ht2 , -2 t, sen tL , 0 § t § p/2.
C
22
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[96]:=
[email protected], 1<, 8.5, .5<, 81, .5<<,
1
0.8
↓
0.6
z
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
In[136]:=
Out[140]=
1
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t2
y@t_D := −2 t
z@t_D := − Sin@tD
int1 =
Integrate@Sin@y@tDD x '@tD − Cos@ y@tDD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, π ê 2<D
1−π
2
9. Ÿ 2 x d y - y d x + z d z, onde C é o arco da hélice Hcos t, sen t, tL , 0 § t § 2p.
C
In[293]:=
ParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<, 8t, 0, 2 π<D;
0.5
0
-0.5
5
-1
6
4
2
0
-1
1 -0.5 0
0.5 1
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[141]:=
Out[145]=
23
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := t
int1 = Integrate@−y@tD x '@tD + 2 x@tD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, 2 π<D
π H3 + 2 πL
11. Ÿ y z d x + x z d x + x y d z, onde A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1).
C
In[158]:=
Out[162]=
In[163]:=
Out[167]=
In[168]:=
Out[168]=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := −t + 1
z@t_D := 0
int1 =
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 0
y@t_D := t
z@t_D := −t + 1
int2 =
0
H∗ Integral no arco C completo ∗L
int1 + int2
0
12. Ÿ y d x - x d y, ao longo do semicírculo (cos q, sen q), 0 § q § p.
C
In[169]:=
Out[172]=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
Integrate@y@tD x '@tD − x@tD y '@tD , 8t, 0, π<D
−π
13. Ÿ y d x - x d y, ao longo do semicírculo parametrizado por y =
C
è!!!!!!!!!!!!!!2!
1 - x , -1 § x § 1.
24
In[177]:=
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
è!!!!!!!!!!!!!!!
y@t_D := 1 − t2
Integrate@y@tD x '@tD − x@tD y '@tD , 8t, 1, −1<D
−π
÷”
Nos Exercícios 15 a 18 calcule o trabalho da força F dada ao longo do deslocamento dado.
÷”
15. F = j / H1 + x2 L; C é o arco de parábola y = x2 + 1, de x = 0 a x = 1.
Out[180]=
In[183]:=
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
â
0.2
In[184]:=
Out[187]=
0.4
0.6
0.8
1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1 + t2
Integrate@ 1 ê H1 + x@tD2 L y '@tD , 8t, 0, 1<D
Log@2D
÷”
è!!!!!!!!!!!!!!!
16. F = j / H1 - x2 L; C é o arco de parábola y = - 1 - x2 , de x = 0 a x = 1 ê 2.
In[183]:=
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
â
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[188]:=
Out[191]=
25
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
è!!!!!!!!!!!!!!
y@t_D := − 1 − t2
Integrate@ 1 ê H1 − x@tD2 L y '@tD , 8t, 0, 1 ê 2<D
2
−1 + è!!!
3
÷”
17. F = y i + z j + x k ; C é o arco de hélice (cos q, sen q, -q ), 0 § q § 2p
In[289]:=
ParametricPlot3D@8Cos@θD, Sin@θD, −θ<, 8θ, 0, 2 π<D;
0.5
0
-1
1 -0.5 0
0.5 1
-0.5
5
-1
0
-2
-4
-6
In[192]:=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
z@t_D := −t
Integrate@ y@tD x '@tD + z@tD y '@tD + x@tD z '@tD, 8t, 0, 2 π<D
−π
÷”
Nos Exercícios 19 a 22 calcule o trabalho da força F dada ao longo de dois caminhos.
Out[196]=
a) C1 é o arco (t, t3 , t5 ), 0 § t § 1;
b) C2 é poligonal 0 P1 P2 P3 , onde 0 = (0, 0, 0), P1 = (1, 0, 0), P2 = (1, 1, 0), P3 = (1, 1, 1).
÷”
19. F = x i + y j + z k
26
In[296]:=
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
H∗ Gráfico do caminho C1 ∗L
ParametricPlot3D@88t, 0, 0<, 81, t, 0<, 81, 1, t<, 8t, t3 , t5 <<, 8t, 0, 1<D;
1
0.75
0.5
0.25
0
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0.25
0.5
0.75
1
In[197]:=
Out[201]=
In[202]:=
Out[206]=
In[207]:=
Out[211]=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@t_D := t5
Integrate@ x@tD x '@tD + y@tD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, 1<D
3
2
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
z@t_D := 0
int0P1 = Integrate@ x@tD x '@tD + y@tD y '@tD + z@tD z '@tD, 8t, 0, 1<D
1
2
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 0
1
2
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[212]:=
Out[216]=
In[217]:=
Out[217]=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
1
2
3
2
÷ ” è!!!
20. F = z i - x j
In[218]:=
Out[222]=
In[223]:=
Out[227]=
In[228]:=
Out[232]=
In[233]:=
Out[237]=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@t_D := t5
è!!!!!!!!!!!
IntegrateA z@tD x '@tD − x@tD y '@tD , 8t, 0, 1<E
−
13
28
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
z@t_D := 0
è!!!!!!!!!!!
int0P1 = IntegrateA z@tD x '@tD − x@tD y '@tD , 8t, 0, 1<E
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 0
è!!!!!!!!!!!
−1
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
è!!!!!!!!!!!
0
27
28
In[238]:=
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
−1
÷”
è!!!
21. F = z i - x k
Out[238]=
In[244]:=
Out[248]=
In[249]:=
Out[253]=
In[254]:=
Out[258]=
In[259]:=
Out[263]=
In[264]:=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@t_D := t5
è!!!!!!!!!!!
IntegrateA z@tD x '@tD −
x@tD z '@tD , 8t, 0, 1<E
−
49
66
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
z@t_D := 0
è!!!!!!!!!!!
x@tD z '@tD , 8t, 0, 1<E
int0P1 = IntegrateA z@tD x '@tD −
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 0
è!!!!!!!!!!!
x@tD z '@tD , 8t, 0, 1<E
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
è!!!!!!!!!!!
x@tD z '@tD , 8t, 0, 1<E
−1
−1
÷”
22. F = y j + z k
Out[264]=
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[265]:=
Out[269]=
In[270]:=
Out[274]=
In[275]:=
Out[279]=
In[280]:=
Out[284]=
In[285]:=
Out[285]=
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t3
z@t_D := t5
Integrate@ y@tD y '@tD + z@tD z '@tD , 8t, 0, 1<D
1
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
z@t_D := 0
int0P1 = Integrate@ y@tD y '@tD + z@tD z '@tD , 8t, 0, 1<D
0
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
z@t_D := 0
1
2
Clear@x, y, z, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := 1
z@t_D := t
1
2
1
29
30
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
6.4 Teorema de Green no plano
Teorema de Green. Seja R uma região do plano, quesupomos simples ou que possa ser decomposta em um
número finito de regões simples por meio de um número finito de arcos regulares. Sejam L(x, y) e M(x, y) funções
êêê
contínuas, com derivadas primeiras contínuas em R = R ‹ ∑R. Então
Ÿ
R
∑M
∑L
I ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅ M d x d y =
∑x
∑y
Ÿ
Ld x + M d y
∑R
EXEMPLO 1. Vamos calcular a integral da forma função LHxL + M HyL = Hy + x2 cos xL d x + H2 x - y2 L d y ao
longo da circunferência x2 + y2 = 1, no sentido anti-horário.
In[32]:=
In[321]:=
ParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<, 8t, 0, 2 π<, AspectRatio → AutomaticD;
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
In[317]:=
Out[317]=
In[318]:=
Out[318]=
In[305]:=
Out[308]=
Integrate@ Hy@tD + x@tD2 Cos@x@tDDL x '@tD , 8t, 0, 2 π<D êê Timing
8148.544 Second, −π<
Integrate@ H2 x@tD − y@tD2 Sin@y@tDDL y '@tD , 8t, 0, 2 π<D êê Timing
81.231 Second, 2 π<
Clear@x, y, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
Integrate@ Hy@tD + x@tD2 Cos@x@tDDL x '@tD +
H2 x@tD − y@tD2 Sin@y@tDDL y '@tD , 8t, 0, 2 π<D
$Aborted
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[331]:=
Out[331]=
31
H∗ Integral de superfície do teorema de Green ∗L
Integrate@Integrate@
HD@2 x − y2 Sin@yD, xD − D@y + x2 Cos@xD, yDL r, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D
π
O teorema de Green pode ser usado para se obter a área de uma região R o plano. De fato, fazendo-se L = 0 e M =
x, obtemos
A(R) =
Ÿ
R
Ÿ
Analogamente, fazendo-se L = -y e M = 0, encontramos
A(R) =
R
Portanto, podemostambém escrever
A(R) =
Ÿ
R
d xd y =
Ÿ
xd y
∑R
d xd y = -Ÿ yd x
∑R
d x d y = ÅÅÅÅ12
Ÿ
xd y - yd x
∑R
EXEMPLO 1. Vamos calcular a área encerrada pela hipociclóide x2ê3 + y2ê3 = a2ê3 .
In[313]:=
ParametricPlot@8Cos@tD3 , Sin@tD3 <, 8t, 0, 2 π<,
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
In[341]:=
Out[344]=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := a Cos@tD3
y@t_D := a Sin@tD3
3 a2 π
8
EXEMPLO 2. Vamos calcular a área encerrada pela elipsóide b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 .
32
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[314]:=
Clear@ θD;
ParametricPlot@82 Cos@θD, Sin@θD<, 8θ, 0, 2 π<,
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
In[358]:=
Out[361]=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := a Cos@tD
y@t_D := b Sin@tD
abπ
Exercícios
Use a fórmula de Green para calcular as integrais dadas nos Exercícios 1 a 10.
1. Ÿ x y d x + Hy2 - x2 L d y, onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (0,1), (1,0), (1,1).
C
In[363]:=
ListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<, 80, 1<, 80, 0<<,
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[412]:=
Out[412]=
0.4
0.6
0.8
1
−
3
2
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[380]:=
Out[383]=
In[384]:=
Out[387]=
In[397]:=
Out[400]=
In[401]:=
Out[404]=
In[405]:=
Out[405]=
In[412]:=
Out[412]=
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 0
0
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
−
2
3
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1
−
1
2
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 0
y@t_D := t
−
1
3
−
3
2
−
3
2
3. Ÿ x y2 d x - x2 y d y, onde C é o retângulo determinado pelas retas x = 1, x = 3, y = -1, y = 3.
C
33
34
In[363]:=
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
ListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<, 80, 1<, 80, 0<<,
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[413]:=
Out[413]=
In[414]:=
Out[417]=
In[418]:=
Out[421]=
In[422]:=
Out[425]=
In[426]:=
Out[429]=
In[430]:=
Out[430]=
0.4
0.6
0.8
1
−64
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := −1
4
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 3
y@t_D := t
int2 = Integrate@x@tD y@tD2 x '@tD − x@tD2 y@tD y '@tD, 8t, −1, 3<D
−36
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 3
−36
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 1
y@t_D := t
int4 = Integrate@x@tD y@tD2 x '@tD − x@tD2 y@tD y '@tD, 8t, 3, −1<D
4
−64
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
5. Ÿ
35
è!!!!
è!!!!
y d x + x d y, onde C é o retângulo determinado pelas retas x = 1, x = 3, y = -1, y = 3.
C
In[363]:=
ListPlot@880, 0<, 81, 0<, 81, 1<, 80, 1<, 80, 0<<,
1
0.8
0.6
â
0.4
0.2
0.2
In[413]:=
Out[413]=
In[435]:=
Out[438]=
In[439]:=
Out[442]=
In[443]:=
Out[446]=
In[447]:=
Out[447]=
0.4
0.6
0.8
1
−64
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := t2
è!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!
x@tD y '@tD, 8t, 0, 1<E
13
10
Clear@x, y, tD;
x@t_D := t
y@t_D := 1
è!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!
x@tD y '@tD, 8t, 1, 0<E
−1
Clear@x, y, tD;
x@t_D := 0
y@t_D := t
è!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!
x@tD y '@tD, 8t, 1, 0<E
0
int1 + int2 + int3
3
10
7. Ÿ Hx2 - y tan yL d y, onde C é a circunferência Hx - aL2 + y2 = R2 com R < p/2
C
36
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[496]:=
ParametricPlot@82 + Cos@tD, Sin@tD<,
8t, 0, 2 π<, Epilog → 8Text@"â", 82.7, −0.6<D<,
1
0.5
1.5
2
2.5
-0.5
3
â
-1
In[413]:=
Out[413]=
In[456]:=
Out[459]=
−64
Clear@x, y, tD;
x@t_D := a + R Cos@tD
y@t_D := R Sin@tD
int1 = Integrate@H x@tD2 − y@tD Tan@y@tDDL y '@tD, 8t, 0, 2 π<D
2 a π R2
9. Ÿ x3 d y , onde C é a circunferência x 2 + y2 = 1.
C
In[495]:=
ParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<,
8t, 0, 2 π<, Epilog → 8Text@"â", 80.7, −0.6<D<,
1
0.5
-1
-0.5
0.5
-0.5
-1
1
â
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[474]:=
Out[475]=
In[484]:=
Out[485]=
In[476]:=
Out[479]=
37
x@θ_D := Cos@θD
Integrate@Integrate@r D@x@θD3 , x@θDD, 8r, 0, 1<D, 8θ, 0, 2 π<D
3π
2
x@θ_D := Cos@θD
Integrate@Integrate@r 3 Cos@θD2 , 8θ, 0, π<D, 8r, 0, 1<D
3π
4
H∗ Integral de linha do teorema de Green na circunferência x2 + y2 =
1 ∗L
Clear@x, y, tD;
x@t_D := Cos@tD
y@t_D := Sin@tD
Integrate@ x@tD3 y '@tD, 8t, 0, 2 π<D
3π
4
6.5 Teorema da Divergência e Fórmula de Green no plano
÷”
÷”
÷”
O divergente de um vetor F = L i + M j , indicado com os símbolos div F e “ . F é o escalar
÷”
÷”
∑L
∑M
ÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
div F = “ . F = ÅÅÅÅ
∑x
∑y
<<Calculus`VectorAnalysis` carrega o pacote de análise vetorial
In[8]:=
Div[f, coordsys] calcula o divergente da função vetorial f no sistema de coordenadas coordsys(Cartesian, Cylindrical, Spherical)
Teorema da Divergência. Sejam R uma região que possa ser dividida em um número finito de regiões simples e
÷”
sejam L e M em F = L i + M j , funções contínuas, com derivadas primeiras contínuas em R. Então
÷”
÷”
Ÿ div F d x d y = Ÿ F . n d s
R
onde n é normal externa a ∑R.
In[318]:=
<< GraphicsÌmplicitPlot`
∑R
38
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[321]:=
x3 H2 − xL,
ImplicitPlot@Hy − 1L2
8x, 0, 2<, PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<D;
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
EXEMPLO 1. Vamos calcular a seguinte integral
r
Å . n d s,
Ÿ ÅÅÅÅ
r2
C
onde r = x i + y j, r2 = x2 + y2 , C é um contorno fechado simples que não passa pela origem e n é a normal externa a
C.
r
Å = r = Hx ê Hx2 + y2 L i + y ê Hx2 + y2 L jL e aplicar o teorema de Green.
Vamos calcular o divergente de ÅÅÅÅ
r2
In[13]:=
Out[14]=
f@x_, y_, z_D := 8x ê Hx2 + y2 L, y ê Hx2 + y2 L, 0<
0
r
Å é igual a zero, a integral dada também é zero em virtude do teorema de Green.
Como o divergente de ÅÅÅÅ
r2
Exercícios
1. Mostre que Ÿ Hx i - y j L . n d s = 0, qualquer que seja o contorno fechado simples.
C
Vamos calcular o divergente de (x i - y j ) e aplicar o teorema de Green.
In[15]:=
Out[16]=
f@x_, y_, z_D := 8x, −y, 0<
0
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
39
Como o divergente de Hx i - y jL é igual a zero, a integral dada também é zero em virtude do teorema de Green.
f@x_, y_, z_D := 8Hx − 3L, y, 0< ê HHx − 3L2 + y2 L
In[17]:=
0
Out[18]=
Fazendo-se r - r0 igual a v, podemos escrever
f@v_, θ_, φ_D := 81 ê v2 , 0, 0<
Div@f@v, θ, φD, Spherical@v, θ, φDD êê Simplify
In[27]:=
0
Out[28]=
6.6 Integração de diferenciais exatas
÷”
L d x + M d y + N d z = F (P) . dP
Diz-se que a forma diferencial
÷”
onde F = L i + M j + N k e dP = d x i + d y i + d x i ,
é exata se existe uma função U(x, y, z) tal que
∑U
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = L,
∑x
∑U
∑U
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = M , ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = N ,
∑y
∑z
ou seja,
d U = Ld x + M d y + N d z
O teorema a seguir é fundamental sobre forma diferencial exata.
Teorema. Se L, M e N são funções contínuas numa região R, então as seguintes condições são iquivalentes:
1) a forma diferencial L d x + M d y + N d z é exata.
2) a integral da forma L d x + M d y + N d z ao longo de qualquer caminho C indo do ponto A até o
ponto B só depende dos pontos A e B e não do caminho C.
3) a integral da forma L d x + M d y + N d z ao longo de qualquer caminho fechado C contido em R é
zero.
Ÿ
÷”
F (P) . dP =
Ÿ
÷”
F (P) . t ds = U(B) - U(A).
Satisfeita qualquer dessas condições, existe uma função U(x, y, z) tal que
B
A
B
A
40
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
÷”
Se um campo vetorial F deriva de um potencial U, esse potencial é determinado a menos de uma constante
arbitrária. Ademais,
÷”
∑U
∑U
F = grad U = “ U = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ i + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ j
∑x
∑y
÷”
EXEMPLO 1. O campo vetorial F = x i + y j é de fácil visualização com o Mathematica.
<<Graphics`PlotField` carrega o pacote que traça gráficos de campos vetoriais bidimensionais.
In[29]:=
PlotVectorField[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] traça o gráfico do campo vetorial
bidimensiona f.
In[131]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8x, y<
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
÷”
EXEMPLO 2. O análogo do campo vetorial anterior no espaço é o campo F = x i + y j + z k que pode também
ser facilmente visualizado o Mathematica como campo de vetores radiais.
<<Graphics`PlotField3D` carrega o pacote que traça gráficos de campos vetoriais tridimensionais.
In[194]:=
<< Graphics`PlotField3D`
PlotVectorField3D[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] traça o gráfico do campo
vetorial tridimensiona f.
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[231]:=
Clear@x, y, z, fD;
f@x_, y_, z_D := 8x, y, z<
PlotVectorField3D@f@x, y, zD, 8x, −2, 2<,
8y, −2, 2<, 8z, −2, 2<, PlotPoints → 5, VectorHeads → TrueD;
EXEMPLO 2. A diferencial H3 x2 + 2 x yL d x + Hx2 + 3 y2 L d y é exata para todo ponto (x, y).
In[355]:=
In[358]:=
Out[358]=
In[412]:=
Out[415]=
In[410]:=
Out[410]=
In[411]:=
Out[411]=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 83 x2 + 2 x y, x2 + 3 y2 <
0
H∗ Calcula o potencial ∗L
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + y3 + x2 Hx + yL
x H3 x + 2 yL
x2 + 3 y2
41
42
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
Exercícios
Nos Exercícios 9 a 24, verifique se a forma diferencial dada é xatae, em caso afirmativo, encontre a função potencial U
da qual ela deriva.
9. y d x + x d y
In[416]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8y, x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[45]:=
Out[46]=
In[419]:=
Out[422]=
In[423]:=
Out[423]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c+xy
y
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[424]:=
Out[424]=
43
x
10. x d x + y d y
In[425]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8x, y<
2
1
0
-1
-2
-2
In[56]:=
Out[56]=
In[428]:=
Out[431]=
In[432]:=
Out[432]=
In[433]:=
Out[433]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c+
x2
y2
+
2
2
x
y
11. x d x - y d y
44
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[434]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8x, −y<
2
1
0
-1
-2
-2
In[53]:=
Out[53]=
In[437]:=
Out[440]=
In[441]:=
Out[441]=
In[442]:=
Out[442]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c+
x2
y2
−
2
2
x
−y
12. 3 Hx2 d x - y2 L d y
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[452]:=
45
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 3 8x2 , − y2 <
2
1
0
-1
-2
-2
In[59]:=
Out[59]=
In[455]:=
Out[458]=
In[459]:=
Out[459]=
In[460]:=
Out[460]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + x3 − y3
3 x2
−3 y2
13. H2 x - 3 yL d x + H 2 y - 3 xL d y
46
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[461]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 82 x − 3 y, 2 y − 3 x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[62]:=
Out[62]=
In[464]:=
Out[467]=
In[468]:=
Out[468]=
In[469]:=
Out[469]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + x Hx − 3 yL + y2
2x−3y
−3 x + 2 y
14. Hy2 - 2 x yL d x + H 2 y - 3 xL d y
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[470]:=
47
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8y2 − 2 x y , 2 x y − x2 <
2
1
0
-1
-2
-2
In[325]:=
Out[325]=
In[473]:=
Out[476]=
In[477]:=
Out[477]=
In[478]:=
Out[478]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + x y H−x + yL
y H−2 x + yL
−x Hx − 2 yL
15. Hy2 - 3 x L d x + H 2 xy + cos yL d y
48
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[479]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8y2 − 3 x , 2 x y + Cos@yD<
2
1
0
-1
-2
-2
In[68]:=
Out[68]=
In[482]:=
Out[485]=
In[486]:=
Out[486]=
In[487]:=
Out[487]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c−
3 x2
+ x y2 + Sin@yD
2
−3 x + y2
2 x y + Cos@yD
16. Hx2 y + 3 y2 L d x - H x3 - 3 y2 L d y
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[488]:=
49
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8x2 y + 3 y2 , −x3 + 3 y2 <
2
1
0
-1
-2
-2
In[74]:=
Out[74]=
-1
0
1
2
4 x2 + 6 y
A forma diferencial dada nãi é exata.
17. Hcos x y L Hy d x + x d yL
In[491]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Cos@x yD 8y, x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[77]:=
Out[77]=
-1
0
1
2
0
50
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[494]:=
Out[497]=
In[498]:=
Out[498]=
In[499]:=
Out[499]=
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + Sin@x yD
y Cos@x yD
x Cos@x yD
18. H‰ x y Hy d x + x d yL
In[500]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@x yD 8y, x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[80]:=
Out[80]=
In[503]:=
Out[506]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
−1 + c +
xy
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[507]:=
Out[507]=
In[508]:=
Out[508]=
51
xy
y
xy
x
19. ‰x y Hsen y d x + sen x d yL
In[182]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := Exp@x yD 8Sin@yD, Sin@xD<
2
1
0
-1
-2
-2
In[84]:=
Out[84]=
-1
0
1
2
D@f@x, yD@@1DD, yD − D@f@x, yD@@2DD, xD êê Simplify
xy
H−Cos@xD + Cos@yD − y Sin@xD + x Sin@yDL
20. H 4 x3 - 6 x y3 L d x + H2 y - 9 x2 y2 L d y
A forma diferencial dada não é exata.
52
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[509]:=
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 84 x3 − 6 x y3 , 2 y − 9 x2 y2 <
2
1
0
-1
-2
-2
In[87]:=
Out[87]=
In[512]:=
Out[515]=
In[516]:=
Out[516]=
In[517]:=
Out[517]=
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD
c + x4 + y2 − 3 x2 y3
4 x3 − 6 x y3
y H2 − 9 x2 yL
21. H‰x cos y + 2 yL d x + H‰x sen y - 2 xL d y
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[518]:=
53
Clear@x, y, fD;
f@x_, y_D := 8Exp@xD Cos@yD + 2 y, −Exp@xD Sin@yD + 2 x<
2
1
0
-1
-2
-2
In[90]:=
Out[90]=
In[525]:=
Out[528]=
In[529]:=
Out[529]=
In[530]:=
Out[530]=
24. 3
-1
0
1
2
0
potU@x_, y_D :=
potU@x, yD êê Simplify
−1 + c + 2 x y +
x
Cos@yD
2y+
x
2x−
x
Cos@yD
Sin@yD
è!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!
x2 + y2 Hx d x + y d yL
54
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
In[531]:=
Clear@x, y, fD;
è!!!!!!!!!!!!!!!!!
f@x_, y_D := 3 x2 + y2 8x, y<
2
1
0
-1
-2
-2
In[93]:=
-1
0
1
2
Out[93]=
0
In[551]:=
3ê2
In[552]:=
Out[552]=
In[553]:=
Out[553]=
è!!!!!!!!!!!!!!!
3 x x2 + y2
è!!!!!!!!!!!!!!!
3 y x2 + y2
Usando o cálculo do exercício anterior, identifique os potenciais das formas ou camps dados nos Exercícios 26 a 28.
÷”
26. F = 6 Hx2 + y2 L Hx i + y jL
In[561]:=
3
In[562]:=
6 x Hx2 + y2 L
2
Out[562]=
In[563]:=
6 y Hx2 + y2 L
2
Out[563]=
Rijo Cal 3 Cap 7.nb
55
÷”
3ê2
27. F = 5 Hx2 + y2 L Hx i + y jL
3
In[564]:=
5ê2
In[565]:=
5 x Hx2 + y2 L
3ê2
Out[565]=
In[566]:=
5 y Hx2 + y2 L
3ê2
Out[566]=
5ê2
28. d U = Hx d x + y d yL ë Hx2 + y2 L
2ê3
In[580]:=
potU@x_, y_D := 3 ê 2 Hx2 + y2 L
1ê3
In[581]:=
Out[581]=
In[579]:=
Out[579]=
x
2
Hx + y2 L2ê3
y
Hx2 + y2 L2ê3
O potencial U(x, y) = 3 ê 2 Hx2 + y2 L
1ê3

Exercícios

Transcrição

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